Lineare Algebra I Losung der Aufgabe 16¨ · PDF fileh ist nicht injektiv ⇔...
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David BlottiereWS 2006/07Universitat Paderborn
Lineare Algebra IL osung der Aufgabe 16
Seienf : X → Y , g : Y → Z zwei Abbildungen.
i) Wir zeigen :f, g sind injektiv ⇒ g ◦ f ist injektiv.
Seienf, g injektiv. Seienx, x′ ∈ X, so dassg ◦ f(x) = g ◦ f(x′).Aus der Injektivitat vong und der Gleichungg(f(x)) = g(f(x′)) folgt f(x) = f(x′).Nach der Injektivitat vonf und der Gleichungf(x) = f(x′) folgt x = x′.
Also haben wir, unter der Voraussetzung, dassf undg injektiv sind,
∀x, x′ ∈ X (g ◦ f(x) = g ◦ f(x′) ⇒ x′ = x′).
ii) Wir zeigen :f, g sind surjektiv ⇒ g ◦ f ist surjektiv.
Seienf, g surjektiv. Seiz ∈ Z.Dag surjektiv ist, existierty ∈ Y mit g(y) = z.Daf surjektiv ist, existiertx ∈ X mit f(x) = y. Also g ◦ f(x) = g(y) = z.
Wir haben, unter der Voraussetzung, dassf undg surjektiv sind,
∀z ∈ Z ∃x ∈ X so dassg ◦ f(x) = z.
iii) Wir zeigen :g ◦ f ist injektiv ⇒ f ist injektiv.Seig ◦ f injektiv. Seienx, x′ ∈ X, so dassf(x) = f(x′).Daf(x) = f(x′) folgt g(f(x)) = g(f(x′)). Dass heißtg ◦ f(x) = g ◦ f(x′).Nach der Injektivitat vong ◦ f folgt x = x′.
Also haben wir, unter der Voraussetzung, dassg ◦ f injektiv ist,
∀x, x′ ∈ X (f(x) = f(x′) ⇒ x′ = x′).
iv) Wir zeigen :g ◦ f ist surjektiv⇒ g ist surjektiv.
Seig ◦ f surjektiv. Seiz ∈ Z.Dag ◦ f surjektiv ist, existiertx ∈ X mit g ◦ f(x)
?
= z.Wir definiereny ∈ Y durchy := f(x). Aus? folgt g(y) = z.
Wir haben, unter der Voraussetzung, dassg ◦ f surjektiv ist,
∀z ∈ Z ∃ y ∈ Y so dassg(y) = z.
v) Wir zeigen :f ist surjektiv, undg ist nicht injektiv ⇒ g ◦ f ist nicht injektiv.
Bemerkung :Seih : M → N eine Abbildung.h ist injektiv :⇔ ∀m,m′ ∈ M (h(m) = h(m′) ⇒ m = m′)h ist nicht injektiv ⇔ ∃m,m′ ∈ M so dassh(m) = h(m′) undm 6= m′.
Seif surjektiv, und seig nicht injektiv.Dag nicht injektiv ist, existiereny, y′ ∈ Y so dassg(y)
?
= g(y′) undy 6= y′.Daf surjektiv ist, existierenx, x′ ∈ X mit y = f(x) undy′ = f(x′).Aus y 6= y′, y = f(x) undy′ = f(x′) folgt x 6= x′.
Unter der Voraussetzung, dassf surjektiv undg nicht injektiv ist, haben wirx, x′ ∈ X mit
g ◦ f(x) =nach?
g ◦ f(x′) und x 6= x′
gefunden.
