Lineare Algebra im Mathematikunterricht anhand der...

MaMaEuSch

Management Mathematics for European Schools

http://www.mathematik.uni-

kl.de/~mamaeusch/

Lineare Algebra im Mathematikunterricht anhand der Anwendungen

Krebstherapie und Produktionsplanung

Eine Ausarbeitung für drei Unterrichtseinheiten

Nina Seimetz1

Dieses Projekt wurde veröffentlicht mit Unterstützung durch die EU mittels einer

teilweisen Förderung im Rahmen des Sokrates Programms.

Der Inhalt des Projektes reflektiert nicht notwendigerweise den Standpunkt der

EU, noch unterliegt es irgendeiner Verantwortung seitens der EU.

1 Lehramtsstudentin Mathematik an der TU Kaiserslautern und wissenschaftliche Hilfskraft im Projekt MaMaEuSch

http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/

http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/

Vorwort Diese Arbeit wurde von einer Lehramtsstudentin im Rahmen ihrer Tätigkeit als wissenschaft-

liche Hilfskraft im Projekt „Management Mathematics for European Schools“ erstellt. Die

Studentin hat mehrmals bei Modellierungsprojekten an Schulen als Betreuerin mitgewirkt und

konnte daher genügend Erfahrung in der Anleitung von Gruppenarbeit an Modellierungsthe-

men sammeln. Dabei wurde unter anderem die Aufgabenstellung zur Krebstherapie (Kap. A)

eingesetzt und getestet.

Für diese Ausarbeitung wurden Themen der angewandten Mathematik (Krebstherapie, Stück-

listenrechnung) benutzt, um die Arbeit mit Matrizen im Schulunterricht einzuführen. Als

Lehramtsstudentin konnte die Verfasserin bei der Erstellung der Ausarbeitung ihre didakti-

schen Kenntnisse sowie ihre Erfahrung im Schulpraktikum einbringen.

Die drei vorgestellten Unterrichtsblöcke sind als Vorschläge für die Herleitung der Matrizen

im Unterricht gedacht. Variation des Materials und der Einsatz einzelner Unterrichtseinheiten

unabhängig voneinander ist denkbar.

Kaiserslautern, 23.03.04

Silvia Schwarze

Stücklisten und lineare Algebra im Mathematikunterricht Seite 2/27

A. Erste Unterrichtseinheit:

Krebstherapie als Anwendungsbeispiel im Mathematikunterricht A.1. Fachwissenschaftliche Bemerkungen

Die Bestrahlungstherapie ist ein wichtiges Mittel für die Krebstherapie. In der Medizin wer-

den sogenannte Linearbeschleuniger (siehe Abb. A.1) eingesetzt, um den Patienten von außen

zu bestrahlen.

Abb.A.1

Mit Hilfe des Linearbeschleunigers soll der Tumor zerstört werden. Dabei kann die Strahlung

aus unterschiedlichen Winkeln und mit unterschiedlicher Intensität den Patienten treffen. Das

kranke Gewebe soll mit möglichst hoher Intensität bestrahlt werden. Dabei muss man darauf

achten, dass umliegendes gesundes Gewebe nicht beschädigt wird, um einen möglichst gro-

ßen Erfolg zu erzielen. Hier liegt das Problem der Therapie, da ein Kompromiss gefunden

werden muss zwischen niedriger Intensität zur Schonung gesunder Gewebe und hoher Inten-

sität zur Besiegung der Krankheit.

Eine neue Technik kann hierbei helfen. Multileafkollimatoren (siehe Abb. A.2) sollen eine

gezielte Bestrahlung ermöglichen.


Abb.A.2

Kleine Metallplättchen können jeweils von rechts und von links in das Bestrahlungsfeld ge-

schoben werden, um Gewebe die nicht bestrahlt werden sollen abzuschirmen.

Ein weiteres Ziel ist es, die Bestrahlungszeit eines Patienten zu minimieren, um Wartezeiten

und die Bestrahlungsdauer zu verkürzen.

Mit Hilfe der Mathematik soll nun ein idealer Bestrahlungsplan erstellt werden, der die Hei-

lungschancen der Patienten verbessern kann.

Hierzu unterteilt man das Gewebe in Felder mit unterschiedlicher Strahlungsintensität ein

(z.B. 0 für keine Bestrahlung und 6 für höchste Intensität).


Die Einträge kann man als Einträge einer Matrix – der Bestrahlungsmatrix – auffassen. Diese

Matrix gibt also wieder, welche Bereiche wie stark beschossen werden dürfen.

Beispiel:

I =

0 0 4 40 1 1 60 0 3 41 3 4 4

Geht man nun davon aus, dass einmal Bestrahlen die Intensität 1 aufweist, so müsste man, um

die höchste Intensität zu erreichen, sechs Bestrahlungen durchführen.

Beim ersten Bestrahlungsdurchgang werden zunächst alle Felder mit Eintrag 0 abgeschirmt.

Man kann sich also über den ersten beiden Einträgen in der ersten Reihe ein Metallplättchen

denken. Der erste Eintrag in Reihe zwei ist ebenfalls abgedeckt usw. Nach dem ersten Be-

strahlungsgang werden die Multileafkollimatoren nun über die Felder, die nur mit einem

Durchgang bestrahlt werden sollten, geschoben. In Reihe zwei kann das Metallplättchen von

der linken Seite also über die Einträge 0, 1, 1 gedeckt werden.

Diese Prozedur ist recht zeitaufwendig. Wenn man davon ausgeht, dass eine Bestrahlungsein-

heit eine Minute dauert, so würde die ganze Behandlung in diesem Fall mindestens sechs Mi-

nuten dauern. Hierbei ist die Zeit zum Einstellen der Multileafkollimatoren noch nicht be-

rücksichtigt.

Mathematisch kann man einen Bestrahlungsgang als 0-1-Matrix auffassen, bei der 1 gleich

Bestrahlen und 0 gleich bedeutend mit keiner Bestrahlung ist. So müsste also die erste

Bestrahlungs-0-1-matrix wie folgt aussehen.

1111110011101100

und die letzte Matrix


0000000010000000

.

Durch Addition der 0-1-Matrizen erhält man, wie bereits oben erwähnt, die maximale Be-

strahlungsdauer.

Man ist nun bemüht, die Bestrahlungszeit zu minimieren. Mathematisch macht man dabei

folgendes. Man fasst die 0-1-Matrizen mittels Multiplikation mit Skalaren zusammen. Bei

dem genannten Beispiel würde eine Möglichkeit wie folgt aussehen:

I = 3S1 + 1S + 2S 3 2

Mit

S1 = , S 2 = und S =

1100100010001100

1111110011101100

3

0010010010000000

Die Skalare bedeuten dabei 3-fache, 1-fache und 2-fache Intensitäten. Auf diese Weise kann

man die Hälfte der Zeit einsparen, die zur Bestrahlung nötig ist.

A.1.1 Klassen – Ausgangslage

(hier wird die aktuelle Klassensituation aus einer eigenen Schulpraktikumerfahrung beschrie-

ben)

In dem 12er Mathematik – Grundkurs des Albert – Schweitzer – Gymnasiums sind 21 Schü-

ler, wobei im Verhältnis von Schülern zu Schülerinnen die Schülerinnen überwiegen. Es sind

etwa 2/3 mehr Mädchen im Kurs als Jungen. Bereits im letzten Schulpraktikum lernte ich den

Kurs als freundliche und interessierte Schüler kennen. Drei der Kursteilnehmer sind bei der

Aufnahme und Umsetzung neuer Sachverhalte sehr schnell. Demgegenüber sind fünf der

Mädchen und ein Junge sehr langsam und haben große Schwierigkeiten.


Der Unterricht findet in einem Klassenraum statt, der mit Diaprojektor ausgestattet ist. Für

einen möglichen Computereinsatz muss in einen anderen Raum gewechselt werden, der auch

durch andere Klassen belegt sein kann.

A.2. Didaktische Analyse

A.2.1 Einordnung in den Lehrplan

Legitimation

Der schulinterne Lehrplan sieht in der Unterrichtseinheit „analytische Geometrie“ als Vertie-

fungsthema ein Anwendungsbeispiel vor.

Exemplarität

In dieser Stunde sollen die Schülerinnen und Schüler ein Anwendungsbeispiel der „Matrizen-

rechnung“ am Beispiel der Krebstherapie exemplarisch kennen lernen.

Im Lehrplan wird die Behandlung dieses Themas nicht explizit vorgeschrieben. Wahlweise

können noch drei weitere Vertiefungsrichtungen gewählt werden, wie z.B. Ebenen und Gera-

den im Raum. (siehe Abb. A.3) Es sprechen jedoch mehrere Gründe für die Wahl diese Ver-

tiefungsblocks. Zum einen ist das Interesse an theoretischen Themen im Mathematikunter-

richt im Grundkurs besonders gering. Hier soll gerade ein Anwendungsbeispiel motivierend

wirken. Weiterhin wurde oftmals von den Schülen gefragt, wie man das Erlernte denn über-

haupt gebrauchen kann. Das Thema Krebstherapie stellt ein aktuelles Forschungsgebiet der

Mathematik dar und kann einen kleinen Einblick bieten, was die Mathematik auf diesem Ge-

biet leisten kann, und dass das bisher erlernte Wissen hier einen Einsatz findet.


Abb. A.3


A.2.2 Vorwissen der Schüler

Im vorangegangenen Mathematikunterricht haben die Schüler gelernt was Matrizen sind und

wie man sie addieren kann. Ein besonderer Schwerpunkt wurde auf die Definition von Ein-

heitsmatrix und Matrix gelegt. Mit diesen beiden „Matrizen Arten“ haben die Schüler

Übungsaufgaben zur Addition gelöst.

Fächerübergreifend wurde im Biologieunterricht das Thema Krebsentstehung und Behand-

lung der Krankheit besprochen. Als Hausaufgabe sollten sich die Schüler einen Überblick

über Therapiemaßnahmen aus dem Internet verschaffen.

A.2.3 Bedeutungen des Unterrichtsgegenstandes

Das Thema Krebstherapie erlaubt eine enge Verknüpfung von zwei Fächern und zeigt, dass

nicht nur Mediziner sondern auch Physiker und Mathematiker zum Erfolg der Therapie bei-

tragen können. Die Schüler erlangen einen Einblick in die aktuelle Forschung und sehen, dass

die erlernten Inhalte diesem Gebiet eingesetzt werden können.

Gerade im Bereich der Mathematik sind viele Vorurteile vorhanden, dass man mit vielen

Lerninhalten im „wirklichen Leben“ nichts anfangen kann. Diese Vorurteile sollen ebenfalls

abgebaut werden.

Weiterhin wird eine große Motivation erwartet, die von diesem Thema ausgeht, denn vielen

Schülern sind die schlechten Überlebenschancen von Therapiepatienten bewusst. Auf diese

Weise ist das Interesse die Heilungschancen zu verbessern recht groß.

A.2.4 Didaktische Konzeption

Geplanter Unterrichtsverlauf

Zeit Phase Geplantes Schüler-/ Lehrerver-

halten

Medien

2 min Begrüßung/ Einstieg/

Wiederholung

Nach der Begrüßung wird den

Schülern der neue Unterrichts-

gegenstand kurz vorgestellt. Die

Schüler werden aufgefordert

Ihre Ergebnisse der Internet-

Tafel (Über-

schrift: Krebsthe-

rapie als Anwen-

dungsbeispiel

analytischer Ge-


Recherche vorzutragen. ometrie)

8 min Vorstellung der The-

rapiemöglichkeiten

Einige Schüler tragen ihre Er-

gebnisse vor dem Kurs vor. Der

Lehrer hält diese Stichwortartig

an der Tafel fest.

Ergänzungen durch den Lehrer

(Bilder von Linearbeschleuniger

etc.) Die Schüler haben die

Möglichkeit Fragen zu stellen.

Tafel, Overhead,

Folie

5 min Vorstellung des Ar-

beitsauftrages

Der Arbeitsauftrag wird vom

Lehrer vorgestellt und die

Gruppen können sich einteilen.

Die Schüler haben die Möglich-

keit Fragen zu stellen.

Folie, Overhead

18 min Praktische Arbeits-

phase

Die Gruppen erarbeiten den

gleichen AA

Arbeitsblatt

Folien, Stifte,

Blätter, Texte aus

Internet-

Recherche

10 min Zwischenbilanz Ein Schüler aus jeder Gruppe

trägt den Mitschülern die bisher

erarbeiteten Ergebnisse in einer

kurzen Zusammenfassung vor

Folie, Tafel

2 min Hausaufgabenvertei-

lung

Schüler notieren sich HA Blatt

Nach der Begrüßung der Schüler wird die Überschrift der Stunde „Krebstherapie als Anwen-

dungsbeispiel analytischer Geometrie“ angeschrieben. Eine kurze Einleitung soll die Schüler

auf das bevorstehende Thema einstimmen. Nun haben die Kursteilnehmer die Gelegenheit

ihren Mitschülern einen kurzen Überblick über mögliche Therapiemaßnahmen (Chemothera-

pie, Bestrahlungstherapie…) und deren Funktion zu erläutern. Diese Vorgehensweise akti-

viert die Lerner und dient gleichzeitig dazu eine gemeinsame Wissensbasis zu schaffen.

Ein besonderes Augenmerk soll nun auf die Bestrahlungstherapie gelegt werden. Falls diese

nicht ausreichend von den Schülern erläutert wurde, werden Folien mit Bildern von einem


Linearbeschleuniger und Multileafkollimatoren aufgelegt und deren Funktionsweise kurz er-

klärt.

Währenddessen haben die Schüler die Möglichkeit Fragen zu stellen. Die Phase der Einfüh-

rung ist nun abgeschlossen und das weitere Vorgehen vorbereitet.

Nun wird der Arbeitsauftrag vorgestellt. Dieser gibt einen Teil eines Tumors vor und die In-

tensitäten, mit denen die Felder bestrahlt werden sollen.

A.3 Arbeitsauftrag:

1a) Stellt die Bestrahlungsmatrix anhand der Skizze unten auf.

1b) Zerlegt die Matrix in 0-1-Matrizen, so dass die Summe der 0-1-Matrizen die ursprüngli-

che Bestrahlungsmatrix ergibt.

2) Wie kann man die Bestrahlungsdauer minimieren, wenn Intensitäten größer 1 erlaubt

sind?

3) Präsentiert am Ende der Stunde Eure Ergebnisse vor dem Kurs. Benutzt dazu die ausge-

teilten Folien oder die Tafel.

0 : keine Bestrahlung

1 : Eine Minute Bestrahlung mit Intensität 1

2 : Zwei Minuten Bestrahlung mit Intensität 1

6 : Sechs Minuten Bestrahlung mit Intensität 1


Die Schüler sollen den Arbeitsauftrag in Gruppen bis zu fünf Teilnehmern lösen. Dabei steht

ihnen frei, mit wem sie zusammen arbeiten möchten. Für diese praktische Phase haben die

Schüler etwas mehr als eine Viertelstunde Zeit. Der Lehrer zieht sich ganz zurück und steht

nur für Fragen zur Verfügung. In dieser Phase sollen die Schüler ihre Ideen verfolgen und

möglichst unbeeinflusst zu einem Ergebnis kommen.

Die anschließenden zehn Minuten dienen dazu, eine Zwischenbilanz zu ziehen. So sollen bis-

her erzielte Ergebnisse den Mitschülern präsentiert werden. Auf diese Wiese werden Ideen

ausgetauscht und eventuell kurz diskutiert. Die Hausaufgabe besteht dann darin, die erzielte

Lösung auszubessern, vielleicht Lösungsvorschläge anderer Gruppen zu übernehmen und

einzubauen und schließlich eine kleine Präsentation für die nächste Stunde auszuarbeiten.

Aktuell zu entwickelndes Können:

Die Schüler sollen die Zerlegung von Matrizen in 0-1-Matrizen wiederholen und die Addition

von Matrizen dadurch ebenfalls üben. Nach dieser Reproduktionsphase müssen sie sich mit

einem neuen Thema auseinander setzten und ihr bisher gelerntes Wissen anwenden, um die

Bestrahlungszeit minimieren zu können. Sie entwickeln dabei die Multiplikation mit Skala-

ren.

Zukunftsbedeutung:

Wissenstransfer und selbstständiges Arbeiten, sowie Gruppenarbeit sollen geübt werden.

Weiterhin soll die Praxisbezogenheit der Mathematik und deren Anwendung vorgestellt wer-

den.

A.4. Methodische Überlegungen

Zu Beginn der Stunde wird den Schülern das neue Thema vorgestellt. Hier wird als Medium

die Tafel benutzt, um die Überschrift festzuhalten. Weiterhin wird in einen kurzen Lehrervor-

trag auf das Thema hingewiesen. Texte oder Folien sind hier nicht von Nöten, da bereits im

Biologieunterricht das Thema Krebs behandelt wurde und sich die Schüler außerdem als

Hausaufgabe im Internet Informationen beschaffen sollten.

Diese Informationen sollen in kleinen Präsentationen vor der Klasse von einigen Schülern

vorgetragen werden. Diese Vorgehensweise aktiviert die Lerner und dient gleichzeitig dazu

eine gemeinsame Wissensbasis zu schaffen. Es reicht aus nur zwei bis drei Schüler nach vor-


ne zu bitten, da sonst zu viel Zeit bei der nicht-mathematischen Einführung verloren geht. Um

diese Wissensbasis zu sichern, sollte der Lehrer wichtige Punkte an der Tafel festhalten und

die Schüler auffordern

Falls wichtige Informationen nicht genannt wurden, so kann an dieser Stelle die Lehrperson

mit Folien und Erklärungen weiter helfen. Denen Schülern wird ebenfalls die Möglichkeit

geboten Fragen zu stellen, damit die Ausgangslage vollkommen klar wird.

Im Anschluss wird der Arbeitsauftrag vorgestellt. Anhand von Folien wird erklärt, wie der

Tumor bestrahlt wird und welche Aufgabe dabei die Multileafkollimatoren übernehmen. Die

Felder, die nicht bestrahlt werden sollen, können mit Papierstreifen die die Aufgabe von den

Kollimatoren übernehmen, abgedeckt werden. Ist diese Vorgehensweise der Bestrahlung ge-

klärt, wird allen der Text der Aufgabenstellung auf der Folie vorgelesen. Eine andere Mög-

lichkeit wäre, jedem Schüler gleich die Zettel des Arbeitsauftrags auszuteilen. So können aber

nicht gemeinsam Fragen geklärt werden.

Im Folgenden werden die Zettel an die Gruppen verteilt, die sich gebildet haben. Es ist sinn-

voll, wenn sich die Schüler selbst zu einem Team zusammen finden. So arbeiten diejenigen

zusammen, die bereits gute Erfahrungen beim Lösen von Problemen miteinander gemacht

haben und der Spaß beim Lösen der Aufgabe ist vielleicht höher, als wenn Gruppen von der

Lehrperson gebildet werden. Außerdem ist die Aufgabenstellung so gewählt, dass sie keine

speziellen Anforderungsunterschiede aufweist. Wären Fragen mit unterschiedlichem Leis-

tungsniveau gestellt worden, so wäre eine Einteilung in leistungshomogene Gruppen ange-

bracht.

Somit besteht für leistungsschwächere Schüler eine Chance, sich gegenüber guten Schülern

zu beweisen und vielleicht neue Ideen vorzubringen, die sie in Zusammenarbeit mit diesen

Schülern nicht gefunden hätten.

Während der praktischen Arbeitsphase sollen die Schüler an Ihrem Platz arbeiten und be-

kommen bereits Folien zu Verfügung gestellt um eventuelle Ergebnisse gleich festzuhalten

für die Zwischenbilanz am Ende der Stunde. Falls in der Gruppe Fragen auftreten, so können

sich die Schüler an die Lehrperson wenden, so dass auftretende Probleme möglicherweise

beseitigt werden können.

Die Präsentation am Ende der Stunde ist mit Folien oder an der Tafel zu gestalten, da so alle

anderen Kursteilnehmer die Ergebnisse der vortragenden Gruppe sehen können. Besonders

schöne Ergebnisse auf Folie können so kopiert werden und an die anderen Schüler ausgeteilt


werden oder die Ergebnisse können von der Tafel abgeschrieben werden, was zur Ergebnissi-

cherung der Stunde unbedingt nötig ist.

Die Hausaufgabe dient zur Wiederholung der Stunde und zur Ausarbeitung der Ergebnisse,

die noch vervollständigt oder ausgebessert werden können. So kann in der nächsten Stunde

auf die Multiplikation mit Skalaren eingegangen werden, die die Schüler bereits entdeckt ha-

ben aber noch nicht unter diesem Namen kennen. Weitere Übungsbeispiele können diese

dann festigen.


B. Zweite Unterrichtseinheit:

Stücklisten als Anwendungsbeispiel zur Vektor-Matrix-

Multiplikation

B.1. Fachwissenschaftliche Bemerkungen

Bei der Analyse betriebswirtschaftlicher Produktionsprozesse kann mit Hilfe der linearen Al-

gebra eine mathematische Modellierung des Problems stattfinden. Dies ist nötig, da oftmals

schon bei einfachen Beispielen ein enorm hoher Rechenaufwand entstehen kann und ein ge-

eignetes mathematisches Verfahren bei variierenden Ausgangsbedingungen erfolgreich einge-

setzt werden kann.

Die vorzubereitende Unterrichtsstunde beschäftigt sich mit dem Problem der Stücklisten, das

im Folgenden näher beschrieben werden soll.

Bei der Berechnung des Rohstoffbedarfs bei vorgegebenen Bestellungen geht man in diesem

Fall von einem linearen mehrstufigen Produktionsprozess aus. So stellt das zu untersuchende

Unternehmen beispielsweise in der Abteilung A durch den Zusammenbau verschiedener

Rohprodukte Zwischenprodukte her, die in Abteilung B zu Endprodukten montiert werden.

Diese auf zwei Produktionsebenen beschränkte Montagestruktur soll im Unterricht an einem

konkreten Beispiel behandelt werden. Als Beispiel dient hier eine Möbelfirma, deren Produk-

tionsstruktur in folgender Abbildung (Abb.B.1) verdeutlicht ist:

Abb. B.1: Materialfluss der Möbelfirma


Anhand des Materialfluss-Graphen kann man auf den Materialbedarf für die Herstellung von

beispielsweise zehn Regalen vom Typ A und fünf Regalen vom Typ B schließen. Betrachtet

man den Rechenaufwand für die Herstellung der fünf Regale vom Typ B, so stellt man fest,

dass der Rechenaufwand mit der wachsenden Anzahl von Regalen schnell sehr groß wird.

5 2 5 2 20⋅ + ⋅ = Seitenträger

5 5 5 2 4 65⋅ + ⋅ ⋅ = Einlagebretter

5 20 100⋅ = Schrauben

5 2 16 160⋅ ⋅ = Dübel

Hier ist es sinnvoll, ein effizientes mathematisches Modell zu entwickeln, das bei variieren-

den Aufträgen schnell auf den benötigten Rohproduktbedarf schließen lässt.

Man fasst die eingegangene Bestellung in Form einer Liste, der so genannten Stückliste, zu-

sammen. Dieser Bestellvektor x kann bei der Frage, wie viele Zwischenprodukte jeder Sorte

(Basisregal, Anbauregal) benötigt werden, um zehn Regale vom Typ A und sieben Regale

vom Typ B herzustellen, wie folgt aussehen:

107

x =

.

Den hierfür benötigten Bedarf an Zwischenprodukten entnimmt man Abb.1:

Anzahl der benötigten Basisregale: 1 10 1 7 1y = ⋅ + ⋅ =17

Anzahl der benötigten Anbauregale: 2 10 1 7 2y = ⋅ + ⋅ 24=

Die so genannte Produktionsmatrix erhält man, wenn man die unterstrichenen Werte in

einer Matrix zusammenfasst. Sie veranschaulicht die Geschehnisse in der letzten Produktions-

stufe.

1P

Die obige Rechnung lässt sich nun als Matrix-Vektor-Multiplikation schreiben:

1y P x= ⋅

oder

1

2

1 1 10 171 2 7 24

yy

= ⋅ =


In der geplanten Unterrichtseinheit soll das Beispiel der Möbelfirma dienen und an diesem die

Matrix-Vektor-Multiplikation eingeführt werden.

B.1.1 Klassen–Ausgangslage

(Die Klassensituation ist die gleiche wie unter A.1.1)

In dem 12er Mathematik – Grundkurs des Albert – Schweitzer – Gymnasiums sind 21 Schü-

ler, wobei im Verhältnis von Schülern zu Schülerinnen die Schülerinnen überwiegen. Es sind

etwa 2/3 mehr Mädchen im Kurs als Jungen. Bereits im letzten Schulpraktikum lernte ich den

Kurs als freundliche und interessierte Schüler kennen. Drei der Kursteilnehmer sind bei der

Aufnahme und Umsetzung neuer Sachverhalte sehr schnell. Demgegenüber sind fünf der

Mädchen und ein Junge sehr langsam und haben große Schwierigkeiten.

Der Unterricht findet in einem Klassenraum statt, der mit Diaprojektor ausgestattet ist. Für

einen möglichen Computereinsatz muss in einen anderen Raum gewechselt werden, der auch

durch andere Klassen belegt sein kann.

B.2. Didaktische Analyse

B.2.1 Einordnung in den Lehrplan

Legitimation



Exemplarität

Am Beispiel der Stücklisten wird den Schülern ein Anwendungsbeispiel aus der Wirtschaft

vorgestellt.

Im Lehrplan (Abb. A.3) wird wahlweise die Behandlung des Themas Vektoren und Matrizen

im Bereich der analytischen Geometrie vorgeschlagen. Anhand des Beispieles der Stücklisten


soll gleichzeitig zur Einführung des neuen Themas der Vektor-Matrizen-Multiplikation eine

Anwendung vorgestellt werden. Hier soll gerade das Anwendungsbeispiel motivierend wir-

ken, da es deutlicht macht, wie sehr ein mathematisches Modell zur Vereinfachung des Prob-

lems beiträgt.

B.2.2. Vorwissen der Schüler

Das Thema der Vektor-Matrizen-Multiplikation schließt sich dem der Krebstherapie an. Hier

haben die Schüler den Begriff der Matrize und der Einheitsmatrix angewandt und die Matri-

zen-Addition, sowie die Multiplikation mit Skalaren vertieft. Dieser Stunde schloss sich noch

eine weitere Übungsstunde an, in der das Thema wiederholt wurde und in der anschließend

noch einfache Übungsaufgaben gerechnet wurden.

Der Vektorbegriff als geordnetes Zahlen-n-Tupel ist den Schülern bereits vertraut.

B.2.3 Bedeutung des Unterrichtsgegenstandes

Am Beispiel der Stücklisten soll den Schülern eine mögliche Anwendung der Mathematik im

Bereich der Wirtschaft gezeigt werden. Die Verknüpfung dieser Gebiete soll das Vorurteil

abbauen, dass man mit vielen Lerninhalten im „wirklichen Leben“ nichts anfangen kann.

Weiterhin wird eine große Motivation erwartet, die von diesem Thema ausgeht.

Die theoretische Handhabung des Vektor- oder Matrix-Begriffs im Grundkurs halte ich für

nicht sehr sinnvoll, da diese Vorgehensweise die Schüler eher abschreckt. Praktische Anwen-

dungen und einfache Beispiele machen einen neuen Sachverhalt oftmals verständlicher und

einfacher zugänglich.

B.2.4 Didaktische Konzeption


Zeit Phase Geplantes Schüler-Lehrer-Verhalten Medien

5 min Begrü-

ßung/Einstieg

Nach der Begrüßung wird den Schü-

lern das neue Thema genannt. Hier

Folie (Über-

schrift: Stücklis-


wird noch nicht gesagt, dass die Vek-

tor-Matrizen-Multiplikation Ziel der

Stunde ist.

ten als Anwen-

dungsbeispiel der

Mathematik in

der Wirtschaft)

10

min

Vorstellung des

Problems

Der Lehrer erläutert an der Folie mit

Abb.1 (siehe oben) den Produktionsab-

lauf der Möbelfirma. Am oben erwähn-

ten Beispiel stellt er an der Tafel den

Materialaufwand dar.

Was ist bei einer größeren Bestellung

zu tun?

-> mathematisches Modell muss her

Folie (Abb.1)

Tafel (Beispiel:

Herstellung der

fünf Regale vom

Typ B)

20

min

Bearbeitung der

Problemstellung

Zusammen mit den Schülern wird die

Problemstellung an der Tafel bearbei-

tet. Der Lehrer stellt Fragen, die zur

Lösung des Problems beitragen. Die

Schüler überlegen sich eine mögliche

Lösung und arbeiten mit.

Lehrer hält Ergebnisse an der Tafel

fest. Hier sollte als Ergebnis ein Bei-

spiel der Vektor-Matrix-Multiplikation

stehen.

Tafel

Hefte

10

min

Ergebnissiche-

rung

Schüler schreiben Tafelbild ab und

wiederholen als Hausaufgabe den In-

halt der Stunde.

Heft

Nach der Begrüßung werden die Schüler darauf vorbereitet, dass in der heutigen Stunde ein

neues Thema bearbeitet wird. Es handelt sich dabei um eine Anwendung aus der Wirtschaft,

insbesondere der Produktion. Als Überschrift ist auf einer Folie „Stücklisten als Anwen-

dungsbeispiel der Mathematik in der Wirtschaft“ zu lesen. Hierbei wird darauf verwiesen,

dass sich im Laufe der Stunde der Begriff „Stückliste“ noch klären wird.

Anschließend wird den Schülern eine Folie mit Abb. B.1 gezeigt und erläutert. Sie zeigt den

Produktionsablauf für zwei verschiedene Regale. An der Tafel wird nun als Beispiel mit den

Schülern zusammen der Materialaufwand für die Herstellung von fünf Regalen vom Typ B


berechnet. An dieser Stelle muss den Schülern bewusst gemacht werden, dass für dieses ein-

fache Beispiel der Weg durch „Abzählen“ gut funktioniert, dass aber bei größeren Bestellun-

gen oder komplizierten Materialflüssen eine effektivere Vorgehensweise nötig ist.

Als Beispiel dient nun die Bestellung von zehn Regalen vom Typ A und sieben Regalen vom

Typ B. Des Weiteren ist nur noch nach den Zwischenprodukten gefragt. Der Lehrer führt die

Begriffe Bestellvektor und Stückliste am oben genannten Beispiel ein und beschriftet den

Vektor farbig als Bestellvektor. Den Bedarf an Zwischenprodukten entnimmt man wie-

der Abb. B.1 auf der Folie und kommt zu oben erwähnten Gleichungen. Diese leiten die

Schüler aus der Abbildung her. Der Lehrer geht nun zum Begriff der Produktionsmatrix über

und fasst die unterstrichenen Zahlen in der Matrix zusammen. Diese wird ebenfalls farbig mit

dem Begriff Produktionsmatrix beschriftet. Nun soll den Schülern der Zusammenhang zwi-

schen Produktionsmatrix und Bestellvektor verdeutlicht werden, nämlich dass man beide mul-

tiplizieren muss, um den Zwischenprodukt-Vektor zu erhalten. (Also wie viele Zwischenpro-

dukte von welchem Typ nötig sind.)

10

7

Da bereits an der Tafel steht, wie man die Multiplikation durchführt (Gleichungen, die die

Schüler aus Abb. B.1 abgeleitet haben), muss der Lehrer (oder ein Schüler) nun diese nur

noch einmal kurz erklären und dabei darauf eingehen, welcher Eintrag in der Matrix mit wel-

chem Eintrag im Vektor verrechnet wird. Hierbei ist es sinnvoll, die folgende Gleichung an

die Tafel zu schreiben:

1

2

1 1 10 171 2 7 24

yy

= ⋅ =

und später die allgemeine Form

1y P x= ⋅

zu ergänzen. Die letzten zehn Minuten der Stunde dienen dazu, dass die Schüler das Tafelbild

in ihr Heft übernehmen sollen. Dies ist als Ergebnissicherung nötig. Als Hausaufgabe sollen

die Schüler das neu Gelernte wiederholen und vertiefen.

Ausblick:

In der nächsten Stunde könnte das Problem unter einem anderen Gesichtspunkt untersucht

werden und so die erlernte Multiplikation wiederholt werden.

Hier würde sich die Frage nach den benötigten Rohstoffen bei vorgegebenen Zwischenpro-

dukten anbieten.

Daraus kann man die Matrix-Matrix-Multiplikation entwickeln.


B.3. Methodische Überlegungen

Das erste Medium, dass zum Einsatz kommt, ist die Folie. Hier ist die Überschrift, die die

kommenden zwei Stunden beschreibt, fest gehalten. In einem kurzen Lehrervortrag werden

die Schüler auf das neue Thema vorbereitet. Im weiteren Verlauf der Stunde wird das Materi-

alfluss-Diagramm der fiktiven Möbelfirma ebenfalls auf Folie vorgestellt und erläutert. Der

Einsatz von Folien ist hier sinnvoll, da das Diagramm öfter benutzt wird und so immer wieder

aufgelegt werden kann. Das Tafelbild wäre nach der Stunde weg zu wischen und somit in der

zweiten Mathematikstunde nicht mehr präsent.

Die Gleichungen, die nun aus der Abbildung abgeleitet und gleichzeitig mit den Schülern

erarbeitet werden, werden an der Seiten-Tafel festgehalten. Sie dienen nur zur Einführung des

Themas und müssen später nicht unbedingt ins Heft übernommen werden. An ihnen soll le-

diglich gezeigt werden, dass eine umfangreichere Bestellung ein mathematisches Modell for-

dert.

Die weiteren Ergebnisse werden an der Mittel-Tafel festgehalten. Sie stellen das neu zu er-

werbende Wissen dar und tragen konkret zur Problemlösung des speziellen Beispieles bei. Sie

sollen auch später von den Schülern abgeschrieben werden. Während der Erarbeitungsphase

sollen die Schüler noch nicht mitschreiben, da sie beim lösen mitdenken und überlegen sollen

und nicht durch Schreiben abgelenkt werden. Die neuen Begriffe werden farbig geschrieben

und dadurch besonders vor gehoben. Dadurch, dass an der Tafel alle zusammen das Problem

verfolgen können, bietet sich diese Medium besonders an.

Zur Ergebnissicherung übertragen die Schüler das Tafelbild in ihr Heft, so dass sie es zu Hau-

se wiederholen können.


C. Dritte Unterrichtseinheit:

Stücklisten als Anwendungsbeispiel zur Matrix-Matrix-

Multiplikation

C.1. Fachwissenschaftliche Bemerkungen

In der nächsten Stunde könnte das Problem unter einem anderen Gesichtspunkt untersucht

werden und so die erlernte Multiplikation wiederholt werden.

Hier würde sich die Frage nach den benötigten Rohstoffen bei vorgegebenen Zwischenpro-

dukten anbieten. Aus Abb. B.1 lässt sich die entsprechende Produktionsmatrix bestimmen: 2P

2

2 15 420 00 16

P

=

.

Der Rohstoffbedarf für die Produktion der Zwischenprodukte kann somit wie folgt berechnet

werden:

2z P y= ⋅ .

Damit ergibt sich für das Beispiel:

1

2

3

4

2 1 585 4 17 18120 0 24 3400 16 384

zz

zzz

= = ⋅ =

Daraus folgt, dass 58 Seitenträger, 181 Einlagebretter, 340 Schrauben und 384 Dübel benötigt

werden.

Fasst man nun das in der Unterrichtsstunde besprochene Beispiel und das obige zusammen, so

folgt draus:

2 1z P P x= ⋅ ⋅

und man kann so die Produktionsmatrix P für die gesamte Produktion berechnen und die Mat-

rix-Matrix-Multiplikation einführen:


1 2

2 1 3 45 4 1 1 9 1320 0 1 2 20200 16 16 31

P P P

= ⋅ = ⋅ =

Anmerkung:

Im Lehrbuch zur „Analytischen Geometrie“ für den Leistungskurs (Lambacher. Schweizer,

Klett, 1988), das in Rheinland-Pfalz oftmals Verwendung findet, wird die Matrix-Matrix-

Multiplikation nur an 2×2-Matrizen eingeführt:

Definition: Unter dem Produkt AU der Matrizen A= und U= versteht

man die Matrix AU= .

1 1

2 2

a ba b

1 1

2 2

u vu v

1 1 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

a u b u a v b va u b u a v b v

+ + + +

In der Produktmatrix AU steht in der i-ten Zeile und j-ten Spalte das Skalarprodukt der i-ten

Zeile von A und der j-ten Spalte von U.

C. 1.1 Klassenausgangslage

Die Klassenausgangslage ist dem Unterrichtsentwurf zur Vektor-Matrix-Multiplikation zu

entnehmen. (B.1.1)

C.2. Didaktische Analyse

C.2.1 Einordnung in den Lehrplan

Legitimation




Exemplarität

Am Beispiel der Stücklisten wird den Schülern ein Anwendungsbeispiel aus der Wirtschaft

vorgestellt.

Im Lehrplan wird wahlweise die Behandlung des Themas Vektoren und Matrizen im Bereich

der analytischen Geometrie vorgeschlagen. Da in der vorangegangen Stunde bereits die Vek-

tor-Matrix-Multiplikation anhand des Beispieles der Stücklisten eingeführt wurde, kann mit

diesem Beispiel zum einen eine Vertiefung des gelernten Stoffes stattfinden und zum anderen

gleichzeitig die Matrix-Matrix-Multiplikation eingeführt werden. Hier soll gerade das An-

wendungsbeispiel motivierend wirken, da es deutlicht macht, wie sehr ein mathematisches

Modell zur Vereinfachung des Problems beiträgt.

C.2.2 Vorwissen der Schüler

Zusätzlich zum Wissen, dass die Schüler im Vorfeld der letzten Stunde hatten, wissen sie nun,

wie man Vektoren und Matrizen am Beispiel der Stücklisten der Möbelfirma multipliziert.

Ebenso sind ihnen die Begriffe Stückliste, Bestellvektor und Produktionsmatrix vertraut.

C.2.3 Bedeutung des Unterrichtsgegenstandes

Am Beispiel der Stücklisten soll den Schülern eine mögliche Anwendung der Mathematik im

Bereich der Wirtschaft gezeigt werden. Die Verknüpfung dieser Gebiete soll das Vorurteil,

dass man mit vielen Lerninhalten im „wirklichen Leben“ nichts anfangen kann, abbauen.

Weiterhin wird eine große Motivation erwartet, die von diesem Thema ausgeht.

Die theoretische Handhabung des Vektor- oder Matrix-Begriffs im Grundkurs halte ich für

nicht sehr sinnvoll, da diese Vorgehensweise die Schüler eher abschreckt. Praktische Anwen-

dungen und einfache Beispiele machen einen neuen Sachverhalt oftmals verständlicher und

einfacher zugänglich.

C.2.4 Didaktische Konzeption



Zeit Phase Geplantes Schüler-Lehrer-Verhalten Medien

2 min Begrüßung Lehrer begrüßt Schüler und weist dar-

auf hin, dass zunächst die letzte Stunde

wiederholt wird und dann ein neues

Thema eingeführt wird.

Folie (siehe vor-

herige Stunde)

5 min Wiederholung Ein Schüler führt eine Vektor-Matrix-

Multiplikation an der Tafel durch und

erklärt diese. Falls Schwierigkeiten auf-

treten, sollen die Mitschüler helfen.

Lehrer hält sich im Hintergrund.

Tafel

13

min

Arbeitsphase Schüler bekommen ein Arbeitsblatt mit

Materialfluss-Diagramm und Fragestel-

lung. Jeder bearbeitet das Blatt für sich,

um die Vektor-Matrix-Multiplikation zu

wiederholen. Ein Schüler schreibt am

Ende sein Ergebnis an die Tafel.

Arbeitsblatt, Heft

Tafel

20

min

Bearbeitung

der Problem-

stellung

Die Berechnung der Produktionsmatrix

und somit die Herleitung der Matrix-

Matrix-Multiplikation erfolgt an der

Tafel. Der Lehrer leitet das Gespräch

und führt zur Lösung hin. Die Schüler

arbeiten mit.

Tafel, Folie bzw.

Arbeitsball mit

Materialfluss-

Diagramm

5 min Ergebnissiche-

rung

Schüler schreiben Tafelbild ab. Tafel, Heft

Nach der Begrüßung wird ein Schüler an die Tafel gerufen, der den Inhalt der letzten Stunde

an einem einfachen Beispiel wiederholen soll. Hier werden „einfache Zahlen“ ausgesucht, da

das Prinzip der Multiplikation wichtig ist. Falls Schwierigkeiten auftreten sollten, sollen die

Mitschüler weiter helfen. Der Lehrer hält sich dabei zurück.


Bei der anschließenden Arbeitsphase bekommen die Schüler ein Arbeitsblatt, das jeder für

sich bearbeiten soll. So kann jeder überprüfen, ob das neu erworbene Wissen angewendet

werden kann. Das zu bearbeitende Beispiel schließt sich dem der letzten Stunde an. Auf die-

sem Arbeitsauftrag kann auch gleichzeitig das neue Thema aufgebaut werden. Der Lehrer hält

sich wiederum im Hintergrund und steht für Fragen zur Verfügung. Das Ergebnis wird von

einem Schüler an die Tafel angeschrieben, damit die Mitschüler ihr Ergebnis auf die Richtig-

keit überprüfen können.

Auf dem Arbeitsauftrag baut nun die Fragestellung nach der Produktionsmatrix für die ge-

samte Produktion auf. Diese Frage wird mit dem Kurs zusammen bearbeitet. Hierzu leitet der

Lehrer ein Gespräch, das zur Problemlösung beitragen soll. Die Erarbeitung findet an der Ta-

fel statt. Am Ende der Stunde steht dort als Ergebnis die Matrix-Matrix-Multiplikation am

Beispiel der Möbelfirma. Eine Definition für die Multiplikation von 2×2- oder 3 3-Matrizen

kann nachgereicht werden. Diesen Teil der Stunde dominiert der Lehrer, der gezielt durch

Fragen die Lösung herleitet.

×

Schließlich haben die Schüler die Möglichkeit am Ende der Stunde das Tafelbild abzuschrei-

ben.

C.3. Methodische Überlegungen

In der ersten Phase der Stunde wird noch einmal die Folie benutzt, um an die vergangene

Stunde zu erinnern. Ansonsten spricht der Lehrer noch einmal den groben Inhalt der Stunde

an. In der zweiten Phase des Unterrichts wird die Tafel als Medium gewählt, da hier alle

Schüler der Vorgehensweise folgen können. Außerdem können Fehler einfach mit dem

Schwamm beseitigt werden. Für das einfache Beispiel zur Wiederholung wird die Seiten-

Tafel verwendet, da die Matrix-Matrix-Multiplikation an der Mittel-Tafel durchgeführt wer-

den soll.

Der Arbeitsauftrag wird im Heft und mit Hilfe des Arbeitsblattes erledigt. Da jeder sich selbst

auf Erfolg kontrollieren soll, indem er die erlernte Vektor-Matrix-Multiplikation durchführt,

sollen die Schüler in ihrem Heft arbeiten. Die Tafel findet erst wieder Verwendung, wenn ein

Schüler sein Ergebnis anschreibt, damit die Mitschüler ihr Ergebnis vergleichen können. Es

ist sinnvoll das Ergebnis anschreiben zu lassen, da allein einem Vorlesen die Mitschüler oft-

mals nicht folgen.


Das neue Thema wird an der Tafel erarbeitet. Die Gründe die hierfür sprechen, wurden bereits

im Unterrichtsentwurf der letzten Stunde diskutiert. Eine weitere Methode ist das vom Lehrer

geleitete Gespräch, das zur Problemlösung beitragen soll. Hier kann der Lehrer Vorschläge

der Schüler sammeln, muss jedoch notfalls auch die Lösung vorgeben und erklären. Das Ma-

terialfluss Diagramm liegt hierbei als Folie auf oder jedem Schüler auf dem Arbeitsblatt vor,

so dass sie mitarbeiten können.

Zur Ergebnissicherung schreibt jeder Schüler das Tafelbild ins Heft ab.

C.4. Arbeitsauftrag

Materialfluss der Möbelfirma

Arbeitsauftrag:

Wie viele Schrauben, Dübel, Einlagebretter und Seitenträger braucht man, wenn man 17 Ba-

sisregale und 24 Anbauregale herstellen möchte?

Hinweis: Stelle zunächst die Produktionsmatrix auf. 2P


Lineare Algebra im Mathematikunterricht anhand der...

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