Literaturhinweise 283

Schluflbemerkung: Die nicht-euklidische Geometrie wurde am Beginn des vo­rigen Jahrhunderts von Gauss, W. Bolay und Lobatschewski konzipiert. Wir haben in diesem Buch nur die Grundlagen und eine begrenzte Auswahl aus den seither gefundenen Resultaten bringen konnen. Unter den nachfolgenden Literaturhinweisen findet der Leser weiterfiihrende Biicher. Unsere Darstellung solI ihm helfen, bei dem umfangreichen Material die Ubersicht zu behalten.

Literat ur hinweise

Die in den Kapiteln 1 bis 5 behandelten GegensHinde sind in jedem Lehrbuch der Linearen Algebra mehr oder weniger vollstandig zu finden. Ich erwlihne hier nur: Bourbaki [5a), Fischer [Sa), Greub, Klingenberg-Klein, Kowalski, Oeljeklaus-Remmert. Zu der Herleitung der Jordan-Normalform in 5.4 siehe auch Weyl. Fiir die in Kapitel 6 behandelten Vektorraume mit Skalarprodukt oder Norm siehe auch - insbesondere fiir die Abschnitte 6.2 bis 6.4 - Bourbaki [5b], Dieu­donne [7a) und Wloka. Eine ausgezeichnete Darstellung vom hoheren Standpunkt der in den Kapiteln 7 bis 10 behandelten klassischen Geometrie gibt Berger. Aus der aIteren Lite­ratur sei auf die Biicher von Blaschke [4a), [4b) hingewiesen. Dazwischen stehen auch die Werke von Kuiper und Pickert. Zu empfehlen ist auch Fischer [Sb). Mehr algebraisch ausgerichtet und weiterfiihrend sind die Biicher von Artin und Baer. Dieudonne [7b) trifft sich vielfach mit unserer Darstellung; zu den Quaternionen (S.4) siehe auch Blaschke [4c). Zu den Grundlagen der Geome­trie, insbesondere zu 9.3, vgl. Klingenberg [Ilb) und Lingenberg. Zu KapitellO sei auf Coxeter, Klein und Lenz verwiesen. Einen Uberblick mit vielen Litera­turhinweisen gebe ich in Klingenberg [Ila).

Literaturverzeichnis

[1] Artin, E.: Geometric Algebra. New York, N.Y.: Interscience 1957

[2) Baer, R.: Linear Algebra and Projective Geometry. New York, N.Y.: Aca-demic Press 1952

[3] Berger, M.:

[3a) Geometrie, 5 vol. Paris: Cedic/Fernand Nathan 1977

[3b) Geometry I, II. Translation from the French by Michael Cole and Silvio Levy. Berlin: Springer 1987

[4] Blaschke, W.:

[4a] Analytische Geometrie, 2. Auflage, Basel: Birkhauser 1954

[4b) Projektive Geometrie, 3. Auflage, Basel: Birkhauser 1954

[4c] Nichteuklidische Geometrie und Mechanik. Leipzig und Berlin: Teubner 1942

[5) Bourbaki, N.:

[5a] Elements de matMmatiques I, Livre II; Algebre. Paris: Hermann 1962 fr.

[5b] Elements de matMmatiques I, 'Livre V; Espaces vectoriels topologiques. Paris: Hermann 1955

[6] Coxeter, H.S.M.: Non-euc1idian Geometry. Toronto: The University of Toronto Press 1947

[7] Dieudonne, J.:

[7a] Foundations of Modern Analysis. New York and London: Academic Press 1960

[7b] Linear Algebra and Geometry. Paris: Hermann 1969

[8] Fischer, G.:

[8a] Lineare Algebra. Braunschweig: Vieweg 1978

[8b] Analytische Geometrie. Braunschweig: Vieweg 1978

[9] Greub, W.: Linear Algebra, 4. ed., New York-Heidelbf>rg-Berlin: Springer 1975

286 Literaturverzeichnis

[10] Klein, F.: Vorlesungen iiber Nicht-euklidische Geometrie. Berlin: Springer 1928

[11] Klingenberg, W.:

[11a] Grundlagen der Geometrie. Mannheim-Wien-Ziirich: Bibliographisches Institut 1971

[11b] Beziehungen zwischen einigen a1finen SchlieBungssatzen. Abh. Math. Sem. Hamburg 18, 120-143 (1952)

[12] Klingenberg, W. - Klein, P.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Zwei Biinde und ein Ubungsband. Mannheim-Wien-Ziirich: Bibliographi­sches Institut 1971-73

[13] Kowalski, H.J.: Lineare Algebra, 9. Aufiage, Berlin-New York: de Gruyter 1979

[14] Kuiper, N.: Linear Algebra and Geometry. Amsterdam: North-Holland Publ. Compo 1965

[15] Lenz, H.: Nichteuklidische Geometrie. Mannheim: Bibliographisches In­stitut 1967

[16] Lingenberg, R.: Grundlagen der Geometrie 1. Mannheim-Wien-Ziirich: Bibliographisches Institut 1969

[17] Oeljeklaus, E. - Remmert, R.: Lineare Algebra 1. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1974

[18] Pickert, G.: Analytische Geometrie. Leipzig: Akademische Verlagsgesell­schaft 1955

[19] Weyl, H.: Mathematische Analyse des Raumproblems. Berlin: Springer 1922

[20] Wloka, J.: Funktionalanalysis und Anwendungen. Berlin-New York: de Gruyter 1971

Index

Abbildung 1 -, affine 134 -, bijektive 1 -, identische 1 -, injektive 1 -, inverse 1 -, line are 19 -, normale 117 -, orthogonale 117 -, selbstadjungierte 117 -, surjektive 1 -, transponierte 38 -, unit are 117

abgeschlossene Menge 103 Ableitung d/dt 38 Absolutbetrag 98 Abstand 103

-, elliptischer 263 -, hyperbolischer 248 -, spharischer 278

Achsen eines affinen Bezugssystems 219

Addition 11 -, in einer allgemeinen affinen

Ebene 219 Additionstheoreme 172, 247 affine Abbildung 134 affine Starrheit 153 Affinitat 134 affine Ebene, allgemeine 132 affines Erzeugnis 132 affiner Raum 129 affin-euklidischer Raum 159 affin-unitarer Raum 159 Algebra, K-Algebra 34

Allgemeine lineare Gruppe GL(V) 21

Allgemeine lineare Gruppe GL( n, K) 45

alternierende Gruppe An 60 Ankreis 186 Approximationssatz von Weierstrass

102 Aquivalenzklasse 8 Aquivalenzrelation 7 Assoziativgesetz 3, 11, 17, 220, 221 Asymptoten 190 AuBenwinkel im Dreieck 181 Austauschlemma 26 Austauschsatz (vo Steinitz) 26

-, kleiner 25 Automorphismus 7

-, innerer 7 -, linearer 20 -, isometrischer 11 7

BallI03 -, abgeschlossener 103 -, offener 103

Ballmodell -, des elliptischen Raumes 268 -, des hyperbolischen Raumes

251 Banachraum 104 Baryzentrum 130 baryzentrischer Kalkiil 130 Basis (Basissystem) 24

-, affine 136 -, zu einem projektiven Bezugs-

system 209

288

-, duale 36 -, kanonische 24

Besselsche Ungleichung 111 beste Approximation 110 Bewegung 159

-, eigentliche 159 -, (eigentliche) elliptische 262

(eigentliche) hyperbolische 246

Bezugssystem -, affines 136, 219 -, elliptisches 264 -, hyperbolisches 249 -, projektives 209 -, unitares 161

BUd 1 BUd von I, im 16 Brennpunkte 189, 190

Cauchy-Folge 104 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 103 Cayleysche Oktaven 178 Ceva, Satz von 142 charakteristisches Polynom 72, 73 C(Ij IR), Menge der stetigen Funk-

tionen 35 CliffordfHiche 276 Cliffordparallelen 275 Codimension 28, 132 Cosinussatz 105, 182

-, hyperbolischer 260 -, spharischer 279

Cramersche Regel 67

Dandelinsche Sphii.ren 199 Darstellungssatz von Riesz 116 Desargues, Satz von 145, 215 Determinante 60, 73

-, Gramsche 125 -, Vandermondsche 69

Determinantenabbildung 60 Diagonaldreieck eines vollstandigen

Vierecks 229 Diametralpunkte 208 Dilatation 211 Dimension

Index

-, eines affinen (Unter-) Raums 132

-, eines elliptischen (Unter-) Raums 262

-, eines hyperbolischen (Unter-) Raums 246 eines projektiven (Unter-) Raums 159 eines sphii.rischen (Unter-) Raums 278

-, eines Vektorraums 26 V(Ij IR), Menge der einmal differen­

zierbaren Funktionen 39 Dimensionsformel

-, fur affine Rii.ume 132 -, fur projektive R1i.ume 208 -, fur Unterraume 29 -, fur Vektorrii.ume 28

Distributivgesetz 11, 17 direkte Summe 19 Doppelverhii.ltnis 224 Dreieck

-, euklidisches 181 -, orientiertes 181 -, elliptisches 281 -, hyperbolisches 259 -, spharisches 279

Dreiecksgeraden 181 Dreiecksgleichung 263, 278 Dreiecksregel 130 Dreiecksungleichung 103 Dualraum 34

-, L(Vj K) oder V· 34 -, Lb(Vj K) oder Vb· 116

Ek/42 Ebene

-, affine 132 -, elliptische 262, 266 -, hyperbolische 246, 255 -, projektive 207 -, spharische 278

Ecke eines Dreiecks 181, 259, 279, 281

Eigenwert 71

Index

Eigenraum 71 -, verallgemeinerter 80

Eigenvektor 71 -, verallgemeinerter 80

Einheitspunkt - eines projektiven Bezugssy­

stems 209 - eines affinen Bezugssystems

219 Einparametergruppe 272 Ellipse 189 elliptische Bewegung 262 elliptische Koordinaten 197 elliptischer (Unter-) Raum 262 endlich erzeugt 26 Erweiterung einer linearen Abbil-

dung 24 Erzeugende eines Kegels 200 Erzeugendensystem 22 erzeugter Unterraum 132 Euklidischer Algorithmus 75 Evaluierungsabbildung ev 20 Exzentrizitat 190

I A, die durch eine Matrix A be­stimmte lineare Abbildung 41 'If' die zu einer Affinitat cp gehOrende lineare Abbildung 134

Familie von Elementen 18 Fokalpunkte 190 Fourierpolynom 114 Fourierreihe, formale 114 freies System, frei 22 Fundamentalmatrix

-, einer hermiteschen Form 122 -, einer symmetrischen Form 146

Fundamentalsatz -, der Algebra 76 -, reelle Fassung 76 -, der projektiven Geometrie 216 -, fiir euklidische Dreiecke 182

iiber lineare Gleichungssy­steme 54

Gartnerformeln 192

289

GauBsches Eliminationsverfahren 56 Gegenseiten eines vollstandigen Vierecks

229 Gerade

-, affine 132, 218 -, elliptische 262 -, hyperbolische 246 -, projektive 207, 218 -, spharische 278

Gewichte 130 gleichorientiert 170 Grad eines Polynoms 72 Gruppe 3

-, abelsche 4 -, allgemeine lineare 21, 45 -, alternierende 60 -, Kleinsche Vierergruppe 226 -, kommutative 4 -, Lorentzgruppe 244 -, orthogonale 117 -, orthogonale beziiglich (,)L

244 -, spezielle lineare 65 -, spezielle orthogonale 119 -, spezielle unitare 119 -, symmetrische 47, 58

Gruppe der Affinitaten Aff(A) 135 Gruppe der Projektivitaten Pro(P)

209 Gruppenaxiome 3 Gruppenmorphismus 5

III, Quaternionen 177, 257 1H 257 Halbgerade 173 Halbsphare 267 Halbspharenmodell von Ell 267 Hamilton-Cayley, Satz von 78 Hauptachsen bei konfokalen Kegel-

schnitten 196 Hauptachsentransformation 122 Hauptsatz iiber quadratische Funk­

tionen 148 -, in affin-euklidischen Raumen

165

290

Hauptsatz iiber symmetrische Bili-nearformen 146

hermitesche Form 121 Hessesche Normalform 165 Hessenberg, G. 221 Hilbert, D. 221 Hilbertbasis 111 Hilbert-Dualraum 116 Hilbertraum 109 Hohenlinie in einem Dreieck 184 HOldersche Ungleichung 106 homogene Koordinate 209 homogenes lineares Gleichungssy-

stem 55 Homomorphiesatz fUr Gruppen 10 Homothetie 208, 211 Hyperbel190 hyperbolische Bewegung 246 hyperbolischer (Unter-) Raum 246 Hyperboloidmodell von 1iyp 248 Hyperebene

-, affine 132 -, hyperbolische 246 -, projektive 207

Hyperebenenspiegelung 163, 245

identische Abbildung 1 im f, Bild von f 6 Inkreis 184 Integral 35 inverse Abbildung r 1 1 Inversion an der Sphare 253 Involution 229 isometrisch 117 Isomorphismus 7

-, linearer 20

Jordanmatrix Jm(A) 80 -, reelle J2m (a,(3) 89

Jordan-Normalform 84 -, reelle 89

kanonische Basis 24, 42 Karte (durch eine Basis bestimmt)

27 -, spharische 267

Kegel 235 ker f, Kern von f 6 Klassifikationssatz

-, fiir affine Quadriken 153

Index

-, fur euklidische Quadriken 168 Klassifikationstheorem 49 Kleinsche Vierergruppe 226 Korper 11 Korperautomorphismus 138 Kofaktor 66 Kollineation 137 Komplement 28 komplexe Erweiterung Vc eines lR.-

Vektorraums V 87 komplexe Konjugation 12, 87 komplexe Zahlen 12 Komposition 2 konfokale Kegelschnitte 196 konformes Modell

-, des elliptischen Raumes 268 -, der hyperbolischen Raumes

251 Kongruenz 159 Kongruenzsatze fUr Dreiecke 183 Kongruenzsatz

-, fiir affin-euklidische Rliume 162

-, fUr unit lire Vektorraume 161 konjugierte Elemente in einem Ring

58 konjugierte Matrizen 73 konjugierte Quaternionen 178 konjugiert-lineare Abbildung 97 konvergente Folge 104 Koordinate 27, 140

-, homogene 209 Koordinatendarstellung einer linearen

Abbildung 43 Koordinatentransformation 43 Kroneckersymbol 36

li<:, Hilbertraum der Folgen 109 LGS, lineares Gleichungssystem 53,

55

Index

L(V; W), Menge der linearen Abbil­dungen 33

Lange einer Dreiecksseite 181, 259, 279,281

Laplacescher Entwicklungssatz 66 Leitlinie 190 Limes einer konvergenten Folge 104 linear unabhangig, linear abhangig

22 lineare Abbildung 19

-, norm ale 117 -, orthogonale 117 -, selbstadjungierte 117 -, unit lire 117

lineare Funktion 139 lineare Hulle 22 Linearform 34 linearer Operator 115 lineares Erzeugnis 22 lineares Gleichungssystem, LGS 53,

55 -, homogenes 55 -, zugehoriges homogenes 55

Linkstranslation, Linksbahn 4, 273 Lorentzform 243 Lorentzgruppe 244

-, spezielle 245 Losung eines LGS 53

:, allgemeine 55 -, partikullire 55

Losung eines Systems linearer Diffe­rentialgleichungen 85

Lot, LotfuBpunkt 162, 260, 280

Matrizen, (m, n )-Matrizen 41 -, lihnliche 48 -, Diagonal- 46 -, Dreiecks- 46 -, nilpotente 95 -, schiefsymmetrische 69 -, skalare 46

maximale freie Teilmenge 25 Maximumsnorm 102 Menelaos, Satz von 142 Menge, abgeschlossene, offene 103

metrischer Raum 103 -, vollstandiger 104

Minkowskische Ungleichung 106 Minimalpolynom 78

291

minimales Erzeugendensystem 25 Mittelpunktsquadrik 168 Mittelpunkt einer Quadrik 168 Mittelsenkrechte in einem Dreieck

184 Modul, R-Modul 17 Morley, Satz von 188 Morphismus 5 Multiplikation 11

- in einer allgemeinen affinen Ebene 219

Nebenachse bei konfokalen Kegel-schnitten 196

nicht-entartete Form 123, 146 Norm 98, 102 Normaldarstellung von Quadriken

166 Normalteiler 9 normierter Vektorraum 102 Nullraum 123, 146, 243

obere Halbebene OH 259 offene Menge 103 Operator, linearer 115

-, normaler 117 -, orthogonaler 117 -, selbstadjungierter 117 -, unitlirer 117

Ordnung von 8n, An 60 orientiert, Orientierung 171

-, positiv, negativ 171 orthogonale Gruppe 117

-, spezielle 119 orthogonale Unterraume 98, 100,

162,232 -, Vektoren 98

Orthonormal-Basis, ON-Basis 98, 243

Orthonormalsystem 98 Orthonormalisierungsverfahren von

Gram-Schmidt 99

292

Ortsvektor 130

Paarung, natiirliche 35 Pappos-Pascal, Satz von 144, 214 Parabel190

-, Parameter einer 190 parallel 133, 218

-, links- oder rechts- 274, 275 Parallelepiped 125 Parallelogramm 275 Parallelogrammgleichung 105 Parallelogrammregel 130 Parsevalsche Gleichung 112 Parsevalsche Identitat 112 Partition 8 p-Norm 106, 107 Permutation 3

-, gerade, ungerade 59 Pfaffsche einer Determinante 69 Poincaresche Halbebene 259 Polynom 11, 19, 72 pol ares Dreieck 280 Polarkoordinaten 193 Polaritat 234 positiv unendlich 248 positiver Sektor 175 Positivitatsbereich 244 Potenz eines Punktes beziiglich ei-

ner Sphare 253 Prahilbertraum 109 Produkt von Matrizen 44 Projektion 19 Projektion von A in B 135 projektive Abbildung 208 projektive Ebene, allgemeine 218 projektive Erweiterung eines affinen

(Unter-) Raums 213 P OC» projektive Erweiterung eines

Korpers 224 projektive Kollineation 216 projektive Koordinate 209 projektiver (Unter-) Raum 207 Projektivitat 208 'ljJf: K - t- ---+ L(V; V) 77

Index

Pythagoras, Satz des 106, 182, 260, 279

quadratische Funktion 147 Quadrik

-, affine 150 -, affin-unitiire 166 -, eigentliche projektive 235 -, (n - l)-dimensionale 151

Quaternionen(-korper) 177,257 -, reelle 178 -, reine 178

Rang -, einer linearen Abbildung 47 -, einer hermiteschen Form 123 -, einer Matrix 47

rationale Funktion 11 Rechtstranslation, Rechtsbahn 4 Regel von Sarrus 64 Restklasse 8 Richtung

-, eines affinen Unterraums 132 -, eines Strahls 173

Riesz, Darstellungssatz von 116

Sn, symmetrische Gruppe 47, 58 Scheitel, Haupt- und Neben- 189,

190 SchlieBungssatz 144, 222 Schmetterlingssatz 220 Schwerpunkt 130 Seite eines Dreiecks 181, 259, 279,

281 Seitenhalbierende in einem Dreieck

184 selbstadjungiert 117 separabel 109 Sinussatz 182

-, Erganzung zum 187 -, hyperbolischer 260 -, spharischer 279

Skalar 17 Skalarprodukt, SKP 97

-, kanonisches 98, 110 Spalte, j-te einer Matrix 41

Index

Spektralwert 119 Sphare 103, 105 spharischer (Unter-) Raum 278 spharische Bewegung 278 spharisches Modell fur ell 267 Spiegelung 127, 163, 229 Spur einer Matrix bzw. linearen Ab-

bildung 72, 73 Stabilitat der Nullosung 92 v. Staudt, Hauptsatz von 231 stereographische Projektion 251,

268 stetige lineare Abbildung 104 Strahl 173 Strahlensatz 141 Streichungsmatrix Sij (A) 66 streng konvex 105 Study, E. 273 symmetrische Bilinearform 121, 146

-, eigentliche 232 symmetrische Gruppe Sn 47,58 Sylvester, Tragheitssatz von 124,

146 System von n linearen Differential­

gleichungen mit konstanten Koeffizienten 85

Tangentialraum 249, 252, 264 Tangentialvektor 249 TeilverhaItnis 140 Tetraeder, allgemeines 133 Thales, Satz des 141, 187 topologisch-aquivalente Normen 104 Translation 129 transponierte Abbildung 38 Transposition 58 Transvektion 212

Umkehrabbildung /-1 1 uneigentliche Punkte

-, eines affinen Raums 211

293

-, einer allgemeinen affinen Ebene 218

unendlich ferner Punkt -, eines affinen Raumes 211 -, eines hyperbolischen Raumes

246 unitare Gruppe 119

-, spezielle 119 Untergruppe 4

-, der inneren Automorphismen 7

-, invariante 9 Untergruppenkriterium 5 Untermodulkriterium 18 Urbild 1 Ursprung

-, eines Raumes 130 -, eines Strahls 173

Vektorprodukt 176 Vektorraum, R-Vektorraum 17

-, euklidischer 97 -, normierter 102 -, unitarer 97

Verfasser 221 Verkniipfung 3 vollstandiges Viereck 229 Volumen eines Parallelepipedes 125 Vorzeichen einer Permutation 59

Winkel 175 -, orientierter 173

Winkel an Parallelen 174 Winkel eines Dreiecks 181, 259, 279,

281 Winkelhalbierende 175, 184

Zeile, i-te einer Matrix 41 Zeilenstufenform einer Matrix 56 Zentrum einer Gruppe 10 Zornsches Lemma 25

Wilhelm Klingenberg

DER WElTE WEG ZUM KAlLAS

Mit dem Rucksack auf der Seidenstrafie und in Tibet

Mit Karten der Reiserouten, 257 Seiten ISBN 3-8902199-5-X

Pabri-Verlag, Ulm 1992

Nicht ohne Miihen - und wiederholt vergeblich - folgt der Autor den fruhen Reisenden, umkreist und umreist das Gebiet, das ihn so sehr fasziniert - das ehemals "verschlossene" Tibet.

Von Tag zu Tag begleiten wir den Wanderer, haben teil an seinen lustigen Begegnungen als bescheidener Einzelreisender, an den iiberwaltigenden landschaftlichen Eindrucken.

Die witzig-kritischen Schilderungen voller Situationskomik gehen in ihrer "Laienhaftigkeit" - im besten Sinne - besonders zu Herzen. Selbst der routinierteste Asienfahrer wird sich an den lebendigen Schilderungen freuen, wird sich gem an seine eigene Reisen erinnem und zu neuen Abenteuem inspirieren lassen.

Dr. Veronika Ronge

Fabri Verlag

Ab 1992 bei Springer-Verlag

Mathematische Semesterberichte Geschaftsfiihrender Herausgeber: N. Knoche, Essen

Die Mathematischen Semesterberichte wurden im Jahre 1932 durch H. Behnke und O. Toeplitz gegriindet. Sie widmen sich zwei Aufgabenbereichen: - der Fortbildung von Mathematikem, die als Lehrer oder Diplom­

mathematiker im Berufsleben stehen und - grundlegenden didaktischen Fragen des Lehrens und Lemens

von Mathematik an Schule und Hochschule

Aus diesem doppelten Aufgabenbereich ergibt sich eine Stellung der Zeitschrift zwischen rein fachwissenschaftlichen Joumalen und Zeitschriften, die sich ausschlieBlich didaktischen Fragestellungen widmen. Der Intention der Zeitschrift entsprechen die Rubriken "Mathema­tik in Forschung und Anwendung", "Mathematik in Studium und Unterricht" und "Mathematik in historischer und philosophischer Sicht". In allen Rubriken umfaBt Mathematik die Informatik. Die Rubrik "Probleme und LOsungen" dient der Kommunikation. Hier k6nnen Fragestellungen diskutiert werden, aber auch gezielt Probleme angesprochen werden, deren LOsung flir die eigene Forschung relevant ist.

·Bezugsbedingungen 1992:

ISSN 0720-728X Titel Nr. 591 Bd. 39 (2 Hefte) DM 68,-* zzgl. Versandkosten: BRD DM 3,53; andere Lander DM 6,70 * gebundener Preis

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