Literatur: C. Kittel“Einführungin die Festkörperphysik ... · ElektronischeBandstruktur...
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Elektronische Bandstruktur
Literatur: C. Kittel “Einführung in die Festkörperphysik” Kapitel 7,8Ashcroft & Mermin, Kapitel 7,8Ziman “Principles of the Theory of solids”, Kapitel 3
1dimensionales Gitter: Dispersion E(k) für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen
Reduziertes ZonenschemaErweitertes Zonenschema
HN-Kette:
offene Enden!
N=4 N=8 N=12
kkk
E E E
Erlaubte ki- und Ei-Werte rücken näher zusammen:
∆k~1/N ∆E~W/N
Ej=α+2βcos(jπ/(N+1))
Tight Binding Elektronische Struktur von Festkörpern mit s-Orbitalen
Hückel Nähering zu LCAO, Tight Binding:
Lineare Kette: Ej=α+2βcos(jπ/(N+1))N → ∞ E(k)=α+2βcos(ka) α …. Coulombintegralβ …. Transferintegral
Verallgemeinert 3D: E(k)= α+βΣΝΝeik(R-R´)
“Bandbreite” : W= 2Ncβ, Nc… KoordinationszahlLokalisierung von Elektronen: ωe >> ωh
Hoppingfrequenz: ωh=2β/h~WEigenfrequenz: ωe=α/h
Metall Isolator ÜbergangBeispiel: Hg [Xe]4f145d106s2
van der Waals:N<10
Kovalent:30<N<80
Metall:N>200
ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER
2 dimensionales Gitter: Fermiflächen für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen
Erweitertes Zonenschema
Beispiele zu elektronischenBandstrukturen von Festkörpern:
1) Metalle: Akalimetalle, Cu, Au, Multivalente Metalle: Al2) Halbleiter/Halbmetalle: Bsp. Si,Ge, GaAs3) Molekulare Festkörper: Graphene, Fullerene, Nanoröhren
Alkalimetalle: Natrium Atomkonfiguration 1s22s22p63s, bcc Gitter
Energiedispersion für fast freie Elektronen bcc Brillouinzone mit Hochsymmetriepunkten
E(k) Dispersion für Natrium:
Im Vergleich zur Näherung des leeren Gitters, kleine Aufspaltung an den Hochsymmetriepunkten
Bandstruktur von fcc Metallen, Beispiel Kupfer
Fcc Brillouinzone mitHochsymmetriepunkten
Dispersionsrelation in Kupfer: 3d104sAm L Punkt (1/2,1/2,1/2) starke d-s Übergänge ca 2eV
Fermioberfläche von Kupfer:
Multivalente Metalle Beispiel Aluminium: 3 Valenzelektronen, fcc Gitter
Dispersionsrelation: s-p Interband-Übergänge am W-Punkt
Valenzelektronen besetzen3 Brillouinzonen
3s
3p
2 BZ 3BZ 1 BZ 3BZ
Klassische Typ IV und III-V Halbleiter: Diamant und Zinkblende Struktur: Ausgewählte wichtige Hochsymmetriepunkte:
Schematische Darstellung der Energielücken für Halbleiter:
Direkte Lücke Indirekte Lücke Stark dotierter Halbleiter
Schematische Darstellung derPhononenunterstützten Anregungim indirekten Halbleiter
Beispiel Germanium: Energielücke ~ 0.8 eV
Bandstruktur ohne Spin-Bahn Kopplung
Spin-Bahn Aufspaltungberücksichtigt
Graphene2D
Dimensionality of sp2 bonded carbon allotropes
Graphite,Mittelalter
3D
Fullerene0D
R. Curl, H. Kroto, R. Smalley, 1985Nobel prize chemistry, 1996
Carbon nanotubesIijima, 1991
1D
A. Geim, K. Novoselov, 2004Nobel prize physics, 2010
ELECTRONIC STRUCTURE OF GRAPHENE
Γ MK
1a
2aA B
ELaser
EFermi
)(ΨV k'
)(ΨC k
K
K’
ΓΓΓΓ
M
2D BZ
K
Graphene is a zero gap semiconductor.Bands at Fermi energy (K point) are linear in k.
Wallace (1947), Painter and Ellis PRB 1, 4747 (1970)
SWCNTs Hamada vector
(n,n) armchair
(n,0) zigzag
(n,m) chiral
(n,0)
(n,n)
a2
Φ
Formation of single-wall carbon nanotubes
Φ=0Φ=0Φ=0Φ=0
Φ=30Φ=30Φ=30Φ=30°°°°
0<Φ<300<Φ<300<Φ<300<Φ<30°°°°dn,m=|C|/ππππ=a(n2+m2+mn)1/2/ππππ
The diameter of SWCNT (n,m):
a=|a1|=|a2|=2.49 Å
graphene sheet
e.g. (10,10) d=1.37nm
o
A
O(A)
����
),(21 mnamanC =+= rrr
����C
����C
����a1
(n,m)
d
0.0 0.5 1.0-9
-6
-3
0
3
6
9
0.0 0.5 1.0-9
-6
-3
0
3
6
9
EF
E(K
) (e
V)
ka/π ka/π
0
-3 -2 -1 0 1 2 30
D
ensi
ty o
f sta
tes
E(k) (eV)
Electronic properties of SWCNTs
semiconductor
2πd·kn=2π·n
1/d
1/d
Eg~1/d
(10,10)
(17,0)
K KK
(kn-quantization)
Electronic properties are determined by the structure of SWCNT
periodic
boundaries
k
metal
(10,10)
(17,0)
EF
KM
K
K ΓΓΓΓ
EF
Theory: tight binding approximation (TBA)
SWCNT: semiconducting or metallic?
Armchair
Φ = 30°metallic
Zigzag+Chiral:
Φ< 30°metallic orsemiconducting
Metallic for m-n= 3jj = integer
-2 -1 0 1 20.0
0.1
-2 -1 0 1 20.0
0.1
EF
(10,10)
DO
S (
eV-1C
-1)
Energy (eV)(11,9)
DO
S (
eV-1C
-1)
Energy (eV)semiconductingmetallic
Eg~1/d
Elektronische Zustände in SWCNT
Parallel zur Achse der SWCNT:ähnlich Graphit unendliche Anzahl von k-Zuständen
Normal zur Achse der SWCNT:Quantisierung des Wellenvektors der Elektronen auf dem Umfang c
λ = c/j j = integerk = 2π/λ = 2πj/c = j/R
j=1 j=2j=0
Eigenschaften von C60
Fußballform hat Ih Symmetrie:
Elektronische Zustände: Hückelnäherung
Γπ =ag+t1g+t2g+2gg+3hg+2t1u+2t2u+2gu+2hu
Schwingungen: 174 Freiheitsgrade, entartet zu 46 Moden
Γπ =2Ag+3T1g+4T2g+6Gg+8Hg+4T1u+5T2u+6Gu+7Hu
Bindungslängen: as= 0.146 nm, ad=0.14 nm, φ=108°Durchmesser: D=0.7 nm, van der Waals r =0.5 nmElektronenaffinität = 2.65 eV, Ionisierungspotential = 7.6 eV
C60 ist leichter zu Reduzieren als Oxidieren