Magnetischer Monopol

24.04.2015

Eileen Giesel

Gliederung

1. Motivation

2. Beschreibung des magnetischen Monopols

3. Herleitung der Diracschen Quantisierungsbedingung

3.1 Minimale Kopplung

3.2 Testeilchen um Diracstring

3.3 Herleitung über Eichtransformationen

4. Quasimonopole in Spineis

5. Weitere Experimente

1. Motivation

- MWG in der klassischen Elektrodynamik:

- Symmetrie zwischen E- und B- Feldern

- Asymmetrie der Quellengleichungen

- Einführung einer magnetischen Ladungdichte und somit einer magnetischen Stromdichte: verallgemeinerte MWG

- Kontinuitätsgleichungen:

Elektrische und magnetische Größen ineinander überführbar Rotation

Invarianz der MWG unter folgenden dualen Transformationen:

Die Quellen müssen ähnlich transformieren:

MWG ändern sich hierbei nicht: Symmetrie

2. Beschreibung eines magnetischen Monopols

Temporale Eichung: A0=Φ= 0

Betrachtung in 3D (Raumdimensionen)

Ausgangslage: Magnetischer Monopol ruhend im Ursprung

Es gelte:

Fluss durch geschlossene Oberfläche:

Bis auf den Ursprung gilt:

Satz von Gauß kann so nicht gelten:

Divergenz einer Rotation verschwindet

Vektorpotential irregulär Singularität in A!

Somit: Nichtverschwindendes Integral

Finde Vektorpotential, dessen Rotation das Magnetfeld ergibt, und welches irregulär ist.

- Konsistenzcheck: Berechne Rotation

- Rotation in Kugelkoordinaten:

Passendes Vektorpotential für B-Feld

- 1/r-Singularität und Singularität entlang des Winkel θ = 0

- Liegt auf jeder den Monopol eingrenzenden Oberfläche vor

Singularität entlang einer unendlich langen Linie entlang θ = 0

Bezeichnung: Dirac-String

Abb.2: Veranschaulichung des Dirac-Strings über eine Spule; Jackson, Klassische Elektrodynamik

Zum Dirac-String

Durch infinitesimal dünne Spule veranschaulichbar

Singuläres Verhalten identifizierbar mit starkem B-Feld in dieser „Spule“

Ende dieser „Spule“ als mag. Monopol

Unterschied zu „echter“ Spule: keine Wechselwirkung eines Testteilchens mit dem Dirac-String!

Dirac-String unphysikalisch

Beliebig verschiebbar

Herleitung der Diracschen Quantisierungsbedingung

3.1 Minimale Kopplung

Wiederholung: Kopplung der elektromagnetischen Wechselwirkung an freie Teilchen

Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale:

Hamiltonoperator:

Schrödingergleichung:

Eichtransformation der Wellenfunktion eines Teilchens:

SGL sollte unter den Eichtransformationen gleiche Form haben Dies ist erfüllt für:

Unter Beachtung von:

In SGL einsetzen

Phasenfaktor kürzen

WW mit Eichfeld äußert sich über Phasenänderung

1D Modell: Bewegung entlang einer Linie

Phasenfaktor

x1; χ(x1) x2; χ(x2)

In 3D

„aufgenommene Phase“

3.2 Testteilchen um Diracstring

Testteilchen kreise um Dirac-String

Bewegung im Eichfeld

Aufgenommene Phase:

Keine Wechselwirkung mit dem Dirac-String

Aufgenommene Phase

Satz von Stokes:

Spulenfluss:

Quantisierungsbedingung

Λ als Strom pro Länge dz

Magnetische Ladung könnte Quantelung der elektrischen Ladung erklären! Stärke der Wechselwirkung?

4692,25 mal stärker als bei el. Ladungen !

3.3 Herleitung über Eichtransformation

Idee: Dirac-String nicht eindeutig

Verschiedene Vektorpotentiale mit verschiedenen Singularitäten für ein bestimmtes B-Feld.

Beispiel: Magn. Monopol beschrieben durch 2 Vektorpotentiale in unterschiedlichen Raumbereichen

Definiere Überlappungsbereich ohne Dirac-String:

Bestimme Eichfunktion:

Phasenfaktor der Wellenfunktion eines Testteilchens:

Eindeutigkeit für φ=0 und φ=2π

Phasenfaktor für φ=2π muss 1 sein

soll eine ganze Zahl sein

Quantisierungsbedingung

Quasimonopole im Spineis

Abb.4: Modell Spineis; Bildquelle: http://www.wissenschaft-aktuell.de/onTEAM/fotos/221377681639.jpg

4. Quasimonopole in Spineis

Spineis: Magnetisches kristallines Material (Dysprosiumtitanat)

Bei sehr geringen Temperaturen Magnetische Monopole im Material

Aufbau:

Abb.5: Spins im Spineis (PhysikJournal Juni 2014; Magnetische Monopole in Spineis)

Spinachsen als Paar magn. Monopole verbunden über Hantel Minimale Energie: 2 Spins zeigen in Tetraeder, zwei raus (Eisregel) Bei Anregung: Umklappen der Richtung eines Spins Ausbildung vom magn. Monopolen an den jeweiligen Enden in jeweils einem Tetraeder (Defektstellen)

N

S N S N

N

S S S N

Abb.6 : Hantelmodell

Induziert benachbarte Spins zum Umklappen

Monopole entfernen sich voneinander Beliebige Bewegung durch Material (wie freie Teilchen) „Spinfaden“ hat Ähnlichkeit zu Dirac-String Gemessen: Coulombwechselwirkung zw. zwei solcher

Defektstellen

Abb.7: Veranschauung der Wanderung zweier magn. Ladungen (Bildquelle: PhysikJournal Juni 2014; Magnetische Monopole in Spineis)

Abb.8: Langgestreckter Dipol (Bildquelle: PhysikJournal Juni 2014; Magnetische Monopole in Spineis)

Unterschiede zu „echten“ magnetischen Monopolen

Keine Elementarteilchen, da kein Vorkommen bei hohen Temperaturen

„Dirac-String“ nachweisbar

Keine Quantisierungsbedingung Ladung des Monopols im Spineis kleiner als Ladung eines Dirac-Monopols

Im Spineis: Langgestreckter Dipol

Abb.9: Langgestreckter Dipol 2 (Bildquelle: PhysikJournal Juni 2014; Magnetische Monopole in Spineis)

5. Weitere Experimente Blas Cabrera: Supraleitende Spule zur Detektion

magn. Monopole

Idee: Induktionsstrom eines magn. Monopols

Bisher ein Ereignis, dass nicht reproduziert werden konnte

Hochenergiephysik: Erschließung höherer Energiebereiche Können magn. Monopole dann detektiert werden?

Kosmisches B-Feld: magn. Monopole könnten diesem Energie entnehmen

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Quellen:

P.A.M. Dirac; Quantised Singularities in the Electromagnetic Field;

29.05.1931

J.D. Jackson; Klassische Elektrodynamik; Walter De Gruyter; 2006

T. Weigand; Kursvorlesung PTP4; Theoretische Quantenmechanik; SoSe 2011

U.Schwartz; Theoretische Physik 3 Elektrodynamik; WS 2014/15

K. M. Ellis; Magnetic Monopoles: Quanitzation and Quasiparticles; 06.05.2013

W. Lautz; Seminarvortrag: Magnetische Monopole; 04.05.2012

R.Moessner; Magnetische Monopole in Spineis; PhysikJournal, Juni 2014