MagnetooszillationenShubnikov-de-Haas Oszillation

Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008

Gliederung:

1. Motivation

2. Einführung

3. Voraussetzungen

4. Oszillation der Gesamtenergie

5. Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH)

6. De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA)

7. Ausblick QHE

8. Zusammenfassung

1. Motivation

SdH-Oszillation

2. Einführung

Magnetooszillationen:

z.B. SdH: Widerstand xx oszilliert mit

dHvA: magnetisches Moment oszilliert mit

QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand xx

B

1

B

1

Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!B

1

Grund: Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert mit

jede aus der Energie ableitbare Größe oszilliert ebenfalls !!

Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus diesen Effekten

B

1

Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch)

c

dazu benötigt man: - hohes B-Feld

- lange Stoßzeit - tiefe Temperaturen T

QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus

e-

B

3. Voraussetzungen

1TkB

c

QM :

e- durch Wellenfunktion beschrieben

„Enden“ der Wellenfunktion

müssen „aufeinander“ passen

Semiklassísche Behandlung:

Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !!

4. Oszillation der Gesamtenergie

4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum

Klassisch:

e- im B-Feld auf Kreisbahn

Hamiltonoperator:

Lösen der stationären Schrödingergleichung Energieeigenwerte En

Weg motiviert:

e-

.Beobachter .

Beobachter

2

ˆ2

1ˆ

A

c

qp

mH

von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer Oszillator in x-y Ebene

Energieeigenwerte bekannt:

Quantisierte Energieeigenwerte:

2

1nE cn

Landau-Niveaus

2

1nE cn B = 0:

m

kE

2

22 B ≠ 0:

Umordnung der Zustände

Zustände bleiben aber erhalten !!

4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz

Wie sehen die Elektronenbahnen aus?

kanon. Impuls:

Bohr-Sommerfeld-Quantisierung:

Kinetischer Term integriert:

Feldimpuls

Ac

qpp kinkan

2)( ndlpkanPhasenkorrektur

2

Kreisbahnder Fläche 2tSpatproduk

2)()(

c

qdlrB

c

qdlBr

c

qkdldlpkin

Resultat:

Fluß in Einheiten von Tm2 quantisiert !!

Feldimpuls-Term integriert:

Insgesamt erhalten wir:

Quantisierung des magnetischen Flusses:

dfrotAAdlB

2)( nc

qdlpkan

e

hcnn )( 01 e

hcnn

Flußquantum

Zwischenergebnis:

Im Ortsraum quantisierte Bahnen

Bahn hat diskrete Fläche

Quantisierung des Flusses

Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?

4.3 Bahnquantisierung im k-Raum

Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B

- Bahn in k-Raum ~

Transformationsvorschrift:

B

1

LFBrqkF )( Integration

keB

r

Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum

Im k-Raum überstrichene Fläche:

Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2 benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im k-Raum umschließen?

nn AeB

S2

Fläche im k-Raum Fläche im Ortsraum

c

e

BBS

B

nn

211

1

1

Gleiche Zunahmen von

Identische Bahnen im k-RaumB

1

Merke:

Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B

Im k-Raum quantisierte Bahnen ~

Physikalische Eigenschaften oszillieren mit

Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?

B

1

B

1

4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum

B = 0:

- diskrete Punkte

- Energieeigenwerte:

- 1 Zustand hat Fläche :

Dichte der Punkte:

)(22

22222

yxn kkmm

kE

22

L

2

2

L

durch 2 Quantenzahlen bestimmt!

B ≠ 0: (hohes B-Feld)

- diskrete Landau-Zylinder (3-dim)

diskrete Landau-Kreise (2-dim)

- Energieeigenwerte:

2

1nE cn

nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!

Umverteilung:

zu festem n:

kx2 + ky

2 = const

Zustände bleiben erhalten

Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung:

BL

SD

2

2 0

2

Lmit

4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ)

B = 0 B = B1 ≠ 0Zustände bis EF besetzt

Energie erhöht um ins Niveau zu kommen

Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen

EF(B = 0) EF(B = B1)=Gesamtenergie bleibt gleich !!

B-Feld steigt an Abstand der Landau-Niveaus wird größer

B = 0 B ≠ 0 = B2 > B1

Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!!

EF( B = 0) EF( B = B2)<Gesamtenergie erhöht !!!

B = 0 B ≠ 0 = B3 > B2

Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt

EF( B = 0) EF( B = B3)=Gesamtenergie bleibt gleich !!!

Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !!

Teilweise besetzte Niveaus

vollständig besetzte Niveaus

4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ)

Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt; Niveau s+1 teilweise besetzt

EF liegt in Niveau s+1

B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s wenn Niveau s+1 leer EF springt ins Niveau s !

bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !

- „kritische“ Felder, an denen EF springt:

- Gesamtenergie für Feld B:

NBsNDs sN

B

Zahl der besetzten Niveaus

Entartung

Gesamtzahl der e-

Niveausbesetzten iseder teilwe EnergieNiveaus-Landau

besetzten der voll Energie

1 2

1

2

1sDNsnDE c

s

nc

B

1B

1

Voll besetzte LN

teilweise besetzte LN

Nur voll besetzte Niveaus

Minimum der Gesamtenergie

Gesamtenergie oszilliert mit

damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn.

Größe auch mit

B

1

B

1

5. Shubnikov-de-Haas Effekt

Gesamtenergie oszilliert mit

Zustandsdichte oszilliert ebenfalls

elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie

Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt

Widerstand oszilliert mit :

B

1

B

1

ssEs

sA

sAB

c

F

csxx

2

cosexp)sinh(

411

)(10

mitc

skTA

22

Starke Näherung: nur (s = 1)-Term

cc

Fxx

EB

1

exp2

12cos21)(

Oszillation des Widerstandes xx ~1/B

Dämpfungsterm

Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!

Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen:

aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen:

Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !

Sc

e

B

121

6. De-Haas-van-Alphen Effekt

Gesamtenergie oszilliert mit 1/B

magnetisches Moment oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:

B

E

7. Ausblick QHE

8. Zusammenfassung

- semiklassische Betrachtung: Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator)

- Landau-Niveaus

- Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e)

- entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum, d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder

- mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer

- Gesamtenergie oszilliert mit 1/B

- dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/Bz.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B

2

1nE cn