Mathematik Fach- und Berufsoberschule Bayern Vorklasse ...Mathematik Fach- und Berufsoberschule...
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Mathematik Fach- und Berufsoberschule Bayern Vorklasse Lösungen J. Dillinger, M. Schittenhelm VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co.KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr. 87638
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MathematikFach- und Berufsoberschule BayernVorklasse
LösungenJ. Dillinger, M. Schittenhelm
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co.KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-GruitenEuropa-Nr. 87638
Autoren:
Dillinger, Josef HausenSchittenhelm, Michael Hof
Lektorat:
Dillinger, Josef
Bildbearbeitung:
Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern
1. Auflage 2020Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
ISBN: 978-3-8085-8763-8
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fülle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2020 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, Radevormwald unter Einsatz des Bildes © senoldo-Fotolia.comSatz: Schriftsatz Frauke Moritz, AhrensburgDruck: Totem, 88-100 Inowrocław, Poland
Inhaltsverzeichnis
1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln ................... 51.1 Mengenlehre ...................................................................................................... 51.1.2 Darstellungsformen von Mengen ..................................................... 51.1.3 Zahlenmengen ..................................................................................................... 51.1.4 Vergleich zweier Mengen .......................................................................... 71.1.5 Grundmenge und Ergänzungsmenge ............................................ 71.1.6 Schnittmenge zweier Mengen ............................................................. 81.1.7 Vereinigungsmenge zweier Mengen .............................................. 81.1.8 Restmenge (Differenzmenge) zweier Mengen .................... 81.1.9 Produktmenge ...................................................................................................... 91.1.10 Kombinationen von Mengenoperationen ............................ 101.1.11 Aufgaben zu Mengenlehre .................................................................. 11
1.2 Aussagenlogik .............................................................................................. 141.2.2 Verknüpfung von Aussagen und Aussageformen ......... 141.2.3 Gesetze der Aussagenlogik ................................................................ 141.2.4 Verbindung Aussagenlogik und Mengenlehre ................. 161.2.5 Aufgaben zu Aussagen bzw. Aussageformen ................... 16
1.3 Rechnen mit ganzen Zahlen ........................................................ 191.3.1 Die Grundrechenart Addition ........................................................... 191.3.2 Die Grundrechenart Subtraktion ................................................... 191.3.3 Addition und Subtraktion von Summen
und Differenzen ............................................................................................. 191.3.4 Addition und Subtraktion mit mehreren
Klammerausdrücken ................................................................................... 201.3.5 Die Grundrechenart Multiplikation ............................................ 201.3.6 Multiplikation von Summen und Differenzen ................. 201.3.7 Der Begriff Potenz ...................................................................................... 231.3.9 Bestimmung der Rechenart ............................................................... 231.3.10 Primfaktorzerlegung .................................................................................. 231.3.11 Größter gemeinsamer Teiler .............................................................. 231.3.12 Kleinstes gemeinsames Vielfaches ............................................. 241.3.13 Aufgaben zum Rechnen mit ganzen Zahlen .................... 24
1.4 Rechnen mit rationale Zahlen .................................................. 271.4.1 Grundbegriffe und -regeln beim Rechnen
mit Brüchen ....................................................................................................... 271.4.2 Bruchterme und ihre Definitionsmenge ................................ 271.4.3 Erweitern und Kürzen von Brüchen .......................................... 271.4.4 Vergleich zweier Brüche ........................................................................ 281.4.5 Addition und Subtraktion von
gleichnamigen Brüchen ......................................................................... 281.4.6 Addition und Subtraktion von
ungleichnamigen Brüchen .................................................................. 291.4.7 Multiplikation von Brüchen ............................................................... 301.4.8 Division von Brüchen ............................................................................... 301.4.9 Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüchen ................. 311.4.10 Rechnen mit Potenzen ........................................................................... 311.4.11 Binomische Formeln .................................................................................. 331.4.12 Aufgaben zum Rechnen mit rationalen Zahlen ............ 34
1.5 Rechnen mit reellen Zahlen ........................................................ 401.5.2 Wurzeln in Potenzschreibweise ..................................................... 401.5.3 Rechengesetze mit Wurzeln .............................................................. 401.5.4 Aufgaben zu reellen Zahlen .............................................................. 41
1.6 Termumformungen .................................................................................. 441.6.1 Ausklammern – Zerlegen in Faktoren ..................................... 441.6.2 Division von Termen ................................................................................. 451.6.3 Vereinfachen von Bruchtermen ..................................................... 451.6.4 Vereinfachen von Termen mit Potenzen .............................. 46
1.6.5 Vereinfachen von Wurzeltermen ................................................... 461.6.6 Aufgaben zu Termumformungen ................................................... 46 Lernbereich 1: Wissen ∙ Können ∙ Testen ................ 51
2 Gleichungen & lineare Ungleichungen ............................ 522.1 Lineare Gleichungen ............................................................................ 522.1.1 Fachbegriffe ....................................................................................................... 522.1.2 Äquivalenzumformungen ...................................................................... 522.1.3 Lösen von linearen Gleichungen .................................................. 532.1.4 Lösbarkeit von linearen Gleichungen ..................................... 542.1.5 Aufstellen von linearen Gleichungen
aus dem Sachzusammenhang .......................................................... 552.1.6 Aufgaben zu linearen Gleichungen ........................................... 56
2.2 Lineare Gleichungen mit einer Formvariable ........ 612.2.1 Bedeutung einer Formvariablen ................................................... 612.2.2 Lösen einer linearen Gleichung mit
einer Formvariablen .................................................................................. 612.2.3 Notwendigkeit einer Fallunterscheidung ............................ 612.2.4 Aufgaben zu linearen Gleichungen mit
einer Formvariablen .................................................................................. 62
2.3 Lineare Ungleichungen ..................................................................... 682.3.1 Fachbegriffe ....................................................................................................... 682.3.2 Lösen von linearen Ungleichungen ........................................... 692.3.3 Lösen einer Ungleichung mit einer Formvariablen .. 702.3.4 Absolutbeträge von Termen .............................................................. 742.3.5 Aufgaben zu linearen Ungleichungen .................................... 74
2.4 Quadratische Gleichungen ............................................................ 842.4.1 Fachbegriffe ....................................................................................................... 842.4.2 Lösen von quadratischen Gleichungen .................................. 842.4.3 Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung ........................ 852.4.5 Quadratische Terme und Gleichungen
in der Geschichte der Mathematik ............................................. 862.4.6 Aufgaben zu quadratischen Gleichungen ............................ 87
2.5 Quadratische Gleichungen mit einer Formvariablen .............................................................................. 92
2.6 Faktorisieren ................................................................................................. 942.6.2 Standardverfahren zum Faktorisieren von Termen .... 942.6.3 Faktorisieren durch Ausklammern .............................................. 942.6.4 Faktorisieren durch Anwenden der
Binomischen Formeln .............................................................................. 942.6.5 Faktorisieren mithilfe des Satzes von Vieta .................... 952.6.6 Anwenden des Faktorisierens .......................................................... 952.6.7 Aufgaben zum Faktorisieren ............................................................. 96
2.7 Bruchgleichungen ................................................................................. 1002.7.1 Fachbegriffe .................................................................................................... 1002.7.4 Aufgaben zu Bruchgleichungen ................................................. 103 Lernbereich 2: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 106
3 Funktionen ..................................................................................................... 1083.1 Überblick über Funktionen ....................................................... 1083.1.1 Anschauliche Darstellung des Funktionsbegriff ....... 1083.1.2 Funktion als Paarmenge ..................................................................... 1093.1.3 Fachbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen .... 1093.1.4 Graphische Darstellung einer Funktion
mithilfe von Mengendiagrammen ............................................ 1093.1.5 Schreibweisen von Funktionen ................................................... 1123.1.6 Darstellung von Funktionen im
Koordinatensystem .................................................................................. 1123.1.8 Aufgaben zu Funktionen ................................................................... 112
Inhaltsverzeichnis 3
3.2 Lineare Funktionen ............................................................................ 1153.2.1 Grundlegendes zu linearen Funktionen ............................. 1153.2.2 Zeichnen einer Geraden ...................................................................... 1153.2.3 Aufstellen einer linearen Funktionsgleichung
mit zwei Punkten ...................................................................................... 1163.2.4 Punkt-Steigungsform einer Geraden ..................................... 1173.2.5 Nullstellen einer linearen Funktion ....................................... 1173.2.6 Gemeinsame Punkte zweier Gerade ....................................... 1173.2.8 Implizite Form einer linearen Funktion ............................ 1193.2.9 Ermittlung der Wertemenge einer
linearen Funktion ...................................................................................... 1193.2.10 Anwendungsaufgaben .......................................................................... 1203.2.11 Aufgaben zu linearen Funktionen ........................................... 120
3.3 Lineare Funktionenscharen ...................................................... 1273.3.1 Der Begriff lineare Funktionenschar ..................................... 1273.3.2 Besondere Geraden einer linearen
Funktionsschar ............................................................................................. 1273.3.3 Nullstellen einer linearen Funktionenschar .................. 1283.3.4 Nullstellen mit Fallunterscheidung ........................................ 1283.3.5 Schnittpunkte von Geradenscharen ...................................... 1303.3.7 Aufgaben zu linearen Funktionenscharen ....................... 130
3.4 Quadratische Funktionen ............................................................ 1353.4.2 Veränderung der Normalparabel ................................................ 1353.4.3 Die Scheitelpunktform ......................................................................... 1353.4.4 Die allgemeine Darstellungsform einer
quadratischen Funktion ...................................................................... 1363.4.5 Nullstellen von quadratischen Funktionen .................... 1373.4.6 Linearfaktordarstellung einer
quadratischen Funktion ...................................................................... 1383.4.7 Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse ............. 1403.4.8 Schnittpunkte einer Parabel mit
anderen Graphen ........................................................................................ 1413.4.9 Aufstellen von Funktionsgleichungen
quadratischer Funktionen ................................................................. 1413.4.10 Bestimmung der Wertemenge einer
quadratischen Funktion ...................................................................... 1433.4.11 Offene Anwendungsaufgabe .......................................................... 1433.4.12 Aufgaben zu quadratischen Funktionen ........................... 143
3.5 Quadratische Funktionenscharen ...................................... 1493.5.1 Funktionen aus Scharen mit besonderen
Eigenschaften ............................................................................................... 1493.5.2 Lage einer Parabelschar im Koordinatensystem ....... 1503.5.3 Gemeinsame Punkte einer Parabelschar ........................... 1503.5.4 Nullstellen einer quadratischen
Funktionenschar ......................................................................................... 1513.5.5 Gemeinsame Punkte von Graphen
mit Parabelscharen .................................................................................. 1523.5.6 Aufgaben zu quadratische Funktionenscharen .......... 152
3.6 Symmetrie von Funktionsgraphen .................................... 1553.6.1 Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse ......................... 1553.6.2 Punktsymmetrie bezüglich des
Koordinatenursprungs .......................................................................... 1553.6.3 Aufgaben zu Symmetrie ..................................................................... 156
3.7 Grafisches Lösen von Ungleichungen ........................... 1573.7.1 Strategie zum grafischen Lösen einer
Ungleichung .................................................................................................... 1573.7.2 Lage von Graphen im Koordinatensystem ...................... 1573.7.4 Aufgaben zum grafischen Lösen von
Ungleichungen ............................................................................................. 158 Lernbereich 3: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 162
4 Lineare Gleichungssysteme ....................................................... 1634.1 Wichtige Begriffe ................................................................................. 1634.2 Strategien zum rechnerischen Lösen
linearer Gleichungssysteme ..................................................... 1644.2.1 Einsetzverfahren ........................................................................................ 1644.2.2 Gleichsetzverfahren ................................................................................ 1654.2.3 Additionsverfahren .................................................................................. 1664.2.5 Lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen ................. 1664.2.6 Gauß-Verfahren ........................................................................................... 1674.2.7 Lineare Gleichungssysteme beim Lösen von
anwendungsbezogenen Aufgaben ........................................... 1684.3 Üben & Anwenden ................................................................................ 170 Lernbereich 4: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 175
5 Dreieckslehre .............................................................................................. 1765.1 Wichtige Begriffe im Dreieck ................................................ 1765.2 Strategien zum Berechnen von Winkeln
und Seitenlängen eines Dreiecks ...................................... 1765.2.2 Winkelsumme im Dreieck .................................................................. 1765.2.3 Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken ................ 1765.2.4 Satz des Pythagoras ............................................................................... 1775.3 Üben & Anwenden ................................................................................ 178 Lernbereich 5: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 182
6 Berechnungen von Längen, Flächeninhalten und Volumina .............................................. 183
6.1 Wichtige Begriffe zu Längen, Flächeninhalten und Volumina ............................................. 183
6.2 Strategien zum Berechnen von Längen, Flächeninhalten und Volumina ............................................. 183
6.2.1 Försterdreieck ................................................................................................ 1836.2.2 Umfang und Flächeninhalt zweidimensionaler
geometrischer Figuren ......................................................................... 1836.2.3 Volumen und Oberflächeninhalt
geometrischer Körper ............................................................................ 1836.2.4 Flächeninhalt geometrischer Figuren
sowie Volumen geometrischer Körper in Abhängigkeit von einem Parameter ...................................... 184
6.3 Üben & Anwenden ................................................................................ 186 Lernbereich 6: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 194
7 Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit ........................... 1957.2 Strategien zum Bearbeiten von Daten,
Zufall und Wahrscheinlichkeit .............................................. 1957.2.1 Zufallsexperiment und Ereignis .................................................. 1957.2.2 Logische Verknüpfungen von Ereignissen ....................... 1957.2.3 Absolute und relative Häufigkeit ............................................. 1967.2.4 Vierfeldertafel ............................................................................................... 1967.2.5 Laplace-Experimente ............................................................................. 1977.2.6 Pfadregeln am Baumdiagramm ................................................... 1977.3 Üben & Anwenden ................................................................................ 197 Lernbereich 7: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 202
8 Exponentialfunktion und Logarithmus ........................ 2038.2 Strategien zum Bearbeiten von
Exponentialfunktionen .................................................................. 2038.2.2 Die Exponentialfunktion f (x) = b ∙ a x ................................ 2038.2.3 Exponentialgleichungen und Logarithmus ..................... 2038.2.4 Anwendung der Exponentialfunktion ................................... 2048.3 Üben & Anwenden ................................................................................ 204 Lernbereich 8: Wissen ∙ Können ∙ Testen ............. 208
4 Inhaltsverzeichnis
1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
1.1 Mengenlehre1.1.2 Darstellungsformen von Mengen
Lösung 1
A = {Bremen; Berlin; Brandenburg; Baden − Württemberg; Bayern}
Lösung 2
B
München
Bayreut
hRegensburg
Würzburg
Landshut
Ansbach
Augsburg
Lösung 3
C = {Staaten |liegen in Europa } Da die Menge der europäischen Staaten sehr viele Elemente hat, ist es sehr aufwendig alle Elemente (Staaten) explizit zu nennen. Schneller ist es die Staaten mithilfe ihrer gemeinsamen Eigenschaft, nämlich dass sie in Europa liegen, zu beschreiben.
Lösung 4
• Die Menge aller Menschen, die in Europa leben, ist eine Menge M, die praktisch nur durch die beschreibende Darstellungsform angegebenen werden kann.
• Die Menge aller Euroscheine, in deren Seriennummer ein X enthalten ist, lässt sich ebenfalls praktisch nur durch die beschreibende Darstellungsform angeben.
1.1.3 Zahlenmengen
1.1.3.1 Die Menge der natürlichen Zahlen
Lösung 1
a) a > b b) a ≥ b c) a < b
Lösung 2
I = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
3 4 5 6 7 8 9 10
Lösung 3
Bei der Zahlenmenge, die durch das Intervall I = [3; 10] N beschrieben wird, ist die Zahl 10 enthalten. Bei der Zahlenmenge, die durch das Intervall I = [3; 10 [ N beschrieben wird, ist die Zahl 10 nicht enthalten.
▹ Lehrb. S. 12
▹ Lehrb. S. 9
1.1 Mengenlehre 5
Lösung 4
Ich stimme der Aussage zu. Ein Intervall ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Zahlen. Somit kann ein Intervall als eine Menge von Zahlen aufgefasst werden.
1.1.3.2 Die Menge der ganzen Zahlen
Lösung 1
− 1, − 2 und − 3
Lösung 2
Gegenzahl zu 2: − 2
Gegenzahl zu − 4 : 4
Lösung 3
I = {− 3; − 2; − 1; 0; 1; 2}
-3 -2 -1 0 1 2
Lösung 4
Sowohl die Zahl − 4 als auch die Zahl 4 haben auf dem Zahlenstrahl den gleichen Abstand zur 0. Somit haben sie den gleichen Betrag.
-4 0
4LE 4LE
4
1.1.3.3 Die Menge der rationalen Zahlen
Lösung 1
I = {x ∈ Q |− 1 ≤ x ≤ 4 }
-1 0 4
I = {x ∊ Q | –1 ≤ x ≤ 4}I
Lösung 2
Bei einem Stammbruch ist stets der Zähler 1. Ein Scheinbruch kann so gekürzt werden, dass der Nenner 1 wird.
Lösung 3
z.B. 7 __
4 ,
5 _
2 ,
11 _
7
Lösung 4
Die Zahl − 7 ist ein Element der Zahlmengen der ganzen Zahlen. Da alle ganzen Zahlen zur Zahlenmenge der ratio-nalen Zahlen gehören, ist die Zahl − 7 auch ein Element der rationalen Zahlen.
▹ Lehrb. S. 13
▹ Lehrb. S. 16
6 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
1.1.3.4 Die Menge der reellen Zahlen
Lösung 1
Eine rationale Zahl lässt sich stets durch einen Bruch darstellen. Das ist bei irrationalen Zahlen nicht der Fall.
Lösung 2
ℕ ℤ ℚ ℼ
ℝ
73
185– 1,38
4
–1
–1,63
1.1.3.5 Einschränkung und Erweiterung der Zahlenmengen
Lösung 1
Die Menge ℚ beschreibt alle rationalen Zahlen. Die Menge ℚ − hingegen beschreibt ausschließlich die negativen,
rationalen Zahlen.
Lösung 2
Die Aussage ist falsch. In der Zahlenmenge ℕ ist die Zahl 0 enthalten. Zur Zahlenmenge ℤ + gehört die Zahl 0
jedoch nicht dazu.
Lösung 3
Die Zahlenmenge ℝ schließt per Definition die Zahl 0 mit ein.
1.1.4 Vergleich zweier Mengen
Lösung 1
Zwei gleiche Mengen haben die gleiche Anzahl von Elementen. Gleichmächtig bedeutet eben, dass die Anzahl der Elemente gleich sind.
Lösung 2
Die Zahl 0 ist in beiden Mengen enthalten. Somit sind die genannten Mengen nicht disjunkt (elementarfremd).
1.1.5 Grundmenge und Ergänzungsmenge
Lösung 1
a) _ A = {− 5; − 4; − 3; − 2; 2}
b) Mengendiagramm
–5
2A
01
–4 –3 –2
–1
G
A
c) | G | = 8 | A | = 3 | _ A | = 5
▹ Lehrb. S. 17
▹ Lehrb. S. 17
▹ Lehrb. S. 19
▹ Lehrb. S. 19
1.1 Mengenlehre 7
Lösung 2
Eine Menge M und ihre zugehörige Ergänzungsmenge _
M haben keine gemeinsamen Elemente. Sie sind somit dis-junkt.
1.1.6 Schnittmenge zweier Mengen
Lösung
a) A ∩ B = {1; 3}
b) Mengendiagramm
G
A
B
9
2
0
–1
–2
5
7
A ∩ B
1
3
c) C = {0; 5; 7; 19}
1.1.7 Vereinigungsmenge zweier Mengen
Lösung 1
a) A ∪ B = {− 10; 0; 10; 20; 30; 40; 50}
b) Mengendiagramm
G
A B50
0
–1030
40
A∪ B
10
20
c) | A ∪ B | = 7
Lösung 2
A = {1; 2; 3; … ; 9; 10; 11} B = {− 1; 0; 1; 2; 3; …; 9}
1.1.8 Restmenge (Differenzmenge) zweier Mengen
Lösung 1
a) A\ B = {2; 3; 13; 21}
b) Mengendiagramm
A
A⟍B
562 13
3 217
910
118
G
▹ Lehrb. S. 20
▹ Lehrb. S. 21
▹ Lehrb. S. 21
8 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
Lösung 2
A = {2; 3; 5; 8; 13; 21} B = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
A
A⟍B
562 13
3 217
910
118
G
A
B
B⟍A
562 13
3 217
910
118
G
Lösung 3
AB
A⟍B = A
G
Lösung 4
Die Aussage ist richtig.
A
G
A
1.1.9 Produktmenge
Lösung 1
A = {(K |F ) ; (K |H ) ; (K |M ) ; (M |F ) ; (M |H ) ; (M |M ) ; (S |F ) ; (S |H ) ; (S |M )}
Lösung 2
A × B = {(− 1 |a ) ; (0 |a ) ; (1 |a ) ; (− 1 |b ) ; (0 |b ) ; (1 |b ) ; (− 1 |c ) ; (0 |c ) ; (1 |c )} | A × B | = 9
▹ Lehrb. S. 23
1.1 Mengenlehre 9
1.1.10 Kombinationen von Mengenoperationen
Lösung 1
M 1 = A ∩ B ∩ C = {5}
86
7
9
10C
BA
12
543
G
M 2 = (A ∩ C ) ∪ _ B = {0; 1; 2; 8; 9; 10}
86
7
9
10C
BA
12
543
G
M 3 = (B\C ) ∩ A = {3; 4}
86
7
9
10C
BA
12
543
G
M 4 = ‾ (A ∪ B) ∩ C = {8}
86
7
9
10C
BA
12
543
G
Lösung 2
Es besitzen 9 Personen nur ein Tablet, aber kein Smartphone und keinen Laptop.
L
TS
|3||5|
|9|
|7||5|
|11|
|18|
|50|
▹ Lehrb. S. 27
10 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
1.1.11 Aufgaben zu Mengenlehre
Lösung 1
Eine Menge Feinstaube ist keine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. (Es wird davon ausgegangen, dass die einzelnen Feinstaubpartikel nicht unterscheidbar sind.)
Lösung 2
Eine Menge, die kein Element enthält, wird als leere Menge bezeichnet.
Lösung 3
A = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
A1 2
45
1020
Lösung 4
B = {x ∈ ℝ |5 < x < 500 } Es gibt unendlich viele Zahlen, die größer als 5 und kleiner als 500 sind. Daher können diese alle nicht explizit genannt werden.
Lösung 5
Die Aussage stimmt. 1,2 kann als Bruchzahl dargestellt werden und ist somit eine rationale Zahl. √ _
2 lässt sich nicht als Bruchzahl darstellen und ist damit eine irrationale Zahl. Irrationale Zahlen gehören zur Zahlenmenge der reellen Zahlen.
Lösung 6
M = {6; 7; 8; 9; 10; 11}
Lösung 7
5
21
436
78
910
A
B
5
4
A
C 1 2 3
6
C ist eine Teilmenge von A, da alle Elemente von C auch in der Menge A liegen. B ist keine Teilmenge von A, da in B Elemente vorhanden sind, die nicht in A liegen.
Lösung 8
_ F = {Niederbayern; Oberpfalz; Oberbayern; Schwaben}
Lösung 9
A ∩ B = {2; 4; 8}
A ∪ B = {1; 2; 4; 6; 8; 10; 16}
A\B = {1; 16} B\ A = {6; 10}
▹ Lehrb. S. 27
1.1 Mengenlehre 11
Lösung 10
A × B = { (1|a) ; (1|b) ; (1|c) ; (2|a) ; (2|b) ; (2|c) ; (3|a) ; (3|b) ; (3|c) }
B
1 2 3
1a 2a 3a
1b 2b 3b
1c 2c 3c
a
c
b
A
A x B
Lösung 11
a) D = {− 2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}
b) E = {1; 2; 3}
c) F = {− 2; −1; 0}
d) G = {0}
A B
12
4–2
–15 3
A B
12
4–2
–15 3
D = A∪ B
E = A ∩ B
F = A⟍B
A B
12
4–2
–15 3
A B1
24–2
–15 3
G = A ∩ C⟍B
Lösung 12
a) Die Menge E ist eine Teilmenge der Menge L. Also alle Länder, die den Euro als offizielle Währung haben, sind Länder der EU.
b) N = {DEN; SWE; BUL; CRO; ROM; HUN} Stand 4/2020
c) Die Menge T sind alle Länder mit Euro als offizielle Währung, die nicht in der EU liegen. Die Menge ist leer, da es kein Land außerhalb der EU gibt, das den Euro als Währung hat.
12 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
Lösung 13
a) Mengendiagramm
F|G
|402|
|20| |46| |78||6|
|480|
b) | M 1 | = 6
M1: Teilnehmer am Italien- und Frankreichaustausch.
| M 2 | = 20
M2: Teilnehmer am Italienaustausch, die nicht am Frankreichaustausch teilnehmen.
| M 3 | = 46
M3: Teilnehmer am Frankreichaustausch, die nicht am Italienaustausch teilnehmen.
| M 4 | = 402
M4: Schüler, die an keinem der beiden Schüleraustauschprogramme teilnehmen.
F|
G
|402|
|20| |46| |78||6|
|480|
M3
M1
M2
M4
Lösung 14
a) Richtig. 10 % von 312 sind 31,2. Da 29 Mitglieder als passive Mitglieder gelten, beträgt die Anzahl der passiven Mitglieder unter 10 %.
b) Richtig. Die Fußballabteilung hat 31 Mitglieder und somit weniger als die Kajak- oder Tischtennisabteilung.
c) 143 + 57 + 7 + 52 = 259 < 0,85 ⋅ 312
Die Aussage ist falsch.
d) Die Aussage ist falsch. Nur 7 Mitglieder sind in beiden Abteilungen gleichzeitig aktiv.
e) Die Aussage ist falsch. Die Tischtennisabteilung hat mehr als 100 Aktive.
f) 12 ⋅ 1 ⋅ 283 + 12 ⋅ 0,5 ⋅ 29 = 3570 < 4000
Die Aussage ist somit falsch.
1.1 Mengenlehre 13
1.2 Aussagenlogik1.2.2 Verknüpfung von Aussagen und Aussageformen
Lösung 1
Eine Aussage ist ein Satz, der wahr oder falsch ist. Eine Aussageform ist ein Satz mit einer Variablen. Je nachdem welche Werte für die Variable eingesetzt werden, entsteht eine wahre oder falsche Aussage.
Lösung 2
a) M 1 = {4; 5; 6; 7; 8; 9}
b) M 2 = {5}
c) M 3 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Lösung 3
B: »Der Meeresspiegel steigt.«
Lösung 4
Nur wenn die Schalter A und B betätigt sind, leuchtet die Lampe.
Lösung 5
UND – Gatter: 0
ODER – Gatter: 1
1.2.3 Gesetze der Aussagenlogik
Lösung 1
Das Gesetz heißt Distributivgesetz.
A ∨ (B ∧ C ) ⇔ (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C)
Tabelle 1: Wahrheitstafel A ∨ (B ∧ C)
A B B A ∨ (B ∧ C)
w w w w
w w f w
w f w w
f w w w
w f f w
f w f f
f f w f
f f f f
▹ Lehrb. S. 34
▹ Lehrb. S. 38
14 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
Tabelle 1: Wahrheitstafel (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A B C A ∨ B A ∨ C (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
w w w w w w
w w f w w w
w f w w w w
f w w w w w
w f f w w w
f w f w f f
f f w f w f
f f f f f f
Anhand der Wahrheitstabellen erkennt man, dass folgende Äquivalenz gilt:
A ∨ (B ∧ C ) ⇔ (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C)
Lösung 2
(A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)
Tabelle 1: Wahrheitstafel (A ∨ B) ∨ C
A B C (A ∨ B) ∨ C
w w w w
w w f f
w f w f
f w w f
w f f f
f w f f
f f w f
f f f f
Tabelle 1: Wahrheitstafel A ∨ (B ∨ C)
A B C A ∨ (B ∨ C)
w w w w
w w f f
w f w f
f w w f
w f f f
f w f f
f f w f
f f f f
1.2 Aussagenlogik 15
1.2.4 Verbindung Aussagenlogik und Mengenlehre
Lösung _ A = {x |x ∈ G ∧ x ∉ A }
1.2.5 Aufgaben zu Aussagen bzw. Aussageformen
Lösung 1
a) Es sollten die Lohn- und die Einkommensteuer erhöht werden.
b) Es sollten die Lohn- oder die Einkommensteuer erhöht werden.
c) Es sollte nicht die Lohnsteuer erhöht werden.
d) Es sollte nicht die Einkommensteuer erhöht werden.
e) Z. B. Höhere Einnahmen des Staats und geringere Kaufkraft der Bürger.
Lösung 2
a) A: Schalter 1 ist geschalten.
B: Schalter 2 ist geschalten.
A B A ∨ B
w w w
w f w
f w w
f f f
b)
L
A
B
Lösung 3a)
R1 R2 R3 L1 L2 L3
w w w w w w
w w f f w w
w f w f w w
w f f w f f
f w w f w w
f w f w f f
f f w w f f
f f f f f f
▹ Lehrb. S. 39
▹ Lehrb. S. 39
16 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
b)
L1
R1
R2
R3
M L2 L3
R1
R2
R3
M
Lösung 4
a) Der Spieler erhält eine 2 + 10-minütige Zeitstrafe.
b) Der Spieler erhält eine Zweiminuten oder 10-minütige Zeitstrafe.
c) Der Spieler erhält keine Zeitstrafe von 2 Minuten.
d) Der Spieler erhält keine Zeitstrafte von 10 Minuten.
Lösung 5
a) 5,50 €
b) 3,00 €
Lösung 6
a) – Das Schutzgitter muss nicht immer geschlossen sein. Es reicht, wenn die beiden Schalter E2 und E3 gleich-zeitig betätigt werden.
– Das stimmt nicht. Es muss immer noch zusätzlich E1 gedrückt werden. (exklusives Oder)
– Das stimmt. Diesen Sachverhalt kann man aus der fünften Zeile entnehmen.
b) Die Presse hat drei Sicherheitsvorrichtungen: Das Schutzgitter und zwei Handschalter. Wenn mindestens zwei der drei Vorrichtungen aktiv sind, fährt der Stempel aus.
c) Die beiden Handschalter müssen bei geöffnetem Schutzgitter gleichzeitig betätigt werden, damit die Hände beschäftigt sind und somit nicht in die Presse gelangen können.
Lösung 7
E1 E2 LS A
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 0
1.2 Aussagenlogik 17
Lösung 8
Eishockey ist eine tolle Sportart für Zuschauer. Bei diesem Sport stehen sich zu Beginn eines Spiels pro Mann-schaft fünf Feldspieler und ein Torwart gegenüber. Nach dem ersten Pully beginnt das schnelle und körperbe-tonte Spiel. Während des Spiels kreieren die Teams Torchance am laufenden Band, was zu zahlreichen Toren führt. Besonders sehenswert ist das Überzahlspiel. Ein Überzahlspiel entsteht, wenn beispielsweise ein Spieler ein Foul begangen hat und vom Schiedsrichter dafür 2 Minuten auf die Strafbank geschickt wird. Schießt die Mannschaft, die in Überzahl ist, ein Tor darf der Spieler, der eine zweiminütige Strafe erhalten hat, wieder am Spiel teilnehmen. Unabhängig wie das Spiel am Ende ausgeht, meist hatten alle, sowohl Spieler, Trainer, Funktionäre als auch Zuschauer Spaß am Spiel Ihres Vereins.
18 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
1.3 Rechnen mit ganzen Zahlen1.3.1 Die Grundrechenart Addition
Lösung
98 + 4 + 46 + 2 = (98 + 2) + (4 + 46)
Kommuativgesetz
= 100 + 50
Assoziativg.
= 150
Unter Verwendung des Kommutativgesetzes werden die Summanden so geordnet, dass jeweils zwei Zahlen einfach addiert werden können. Mithilfe des Assoziativgesetzes berechnet man zuerst die Summe aus den Summanden 1 und 2 sowie die Summe aus den Summanden 3 und 4. Die Ergebnisse dieser beiden Teilrechnungen können im Kopf einfach addiert werden.
1.3.1.1 Addition von Termen
Lösung 1
a) 14 x + 15 y + 4 x + 10 x + 3 y = 28 x + 18 y b ) 6 ab + 5 b + 2 ab + 8 b + 17 a + 2 ba + 2 a = 19 a + 13 b + 10 ab c ) 3 xy + 8 xyz + 4 xy + 3 yx + 7 yxz = 10 xy + 15 xyz Lösung 2
4 a + 5 b + 5 c
1.3.2 Die Grundrechenart Subtraktion
1.3.2.1 Subtraktion von Termen
Lösung 1
a ) 4 x + 17 y − 4 x − 11 x − 3 y = −11 x + 14 y
b ) 36 ab + 15 b − 12 ab − 8 b − 17 b − 20 ba = 4 ab − 10 b
Lösung 2
Eine Subtraktion ist eine Addition mit der Gegenzahl: a − b = a + (− b)
1.3.3 Addition und Subtraktion von Summen und Differenzen
Lösung 1
a ) 3 x − (2 x + 7) = 3 x − 2 x − 7 = x − 7
b ) 2 a + (10 a + 5 b) − (− 8 a + b) = 2 a + 10 a + 5 b + 8 a − b = 20 a + 4 b
a ) −12 x − (4 − 8 x + 9 xy) = −12 x − 4 + 8 x − 9 xy = − 4 x − 4 − 9 xy
b ) 4 x + 10 − (2 x − 1) + (2 + 3 x) = 5 x + 13
Lösung 2
a ) − (5 x − 4) = − 5 x + 4
b ) − (3 a + 4 b + 3) = − 3 a − 4 b − 3
c ) 5 x − (8 x + 5) = 5 x − 8 x − 5 = − 3 x − 5
d ) 2 ⋅ (4 a − 4 b + 1) − (6 a − 8 b + 2) = 8 a − 8 b + 2 − 6 a + 8 b − 2 = 2 a
e ) − (5 x + 2) + (1 − 3 y) + 8 x + 2 y − 2 = − 5 x − 2 + 1 − 3 y + 8 x + 2 y − 2 = 3 x − y − 3
f ) 2 a − (3 − 3 b) − (− 5 a + 5) + (− 7 b + 2) = 2 a − 3 + 3 b + 5 a − 5 − 7 b + 2 = 7 a − 4 b − 6
g ) (2 y − 2) + (4 − 3 x) − (− 3 + 8 y + 2 x) = 2 y − 2 + 4 − 3 x + 3 − 8 y − 2 x = − 6 y − 5 x + 5
h ) 2 − (− 6 b) − 4 a − (− 4 a + 8 b − 2) = 2 + 6 b − 4 a + 4 a − 8 b + 2 = − 2 b + 4
▹ Lehrb. S. 42
▹ Lehrb. S. 43
▹ Lehrb. S. 44
▹ Lehrb. S. 47
1.3 Rechnen mit ganzen Zahlen 19
Lösung 3
a) Rechnung passt.
b) Rechnung passt nicht. Beim Auflösen der Minusklammer wurde das Vorzeichen von + 3 a nicht in – 3 a geändert.
1.3.4 Addition und Subtraktion mit mehreren Klammerausdrücken
Lösung
a ) 3 − [5 a − (7 a − 25) + 5] = 3 − [5 a − 7 a + 25 + 5] = 3 − 5 a + 7 a − 25 − 5 = 2 a − 27
b ) − (3 − 5 x) − [5 + 10 x − (3 x + 1)] = − 3 + 5 x − [5 + 10 x − 3 x − 1]
= − 3 + 5 x − 5 − 10 x + 3 x + 1 = − 2 x − 7
c ) 5 − {6 b − 13 + [10 + (12 b − 8) ] } = 5 − {6 b − 13 + 10 + 12 b − 8} = 5 − {18 b − 11} = − 18 b + 16
d ) 1 + {7 p − [− (2 − 6 p) + (9 p − 1) ] } = 1 + {7 p − [− 2 + 6 p + 9 p − 1] }
= 1 + {7 p − [− 3 + 15 p] } = 1 + 7 p + 3 − 15 p = 4 − 8 p
e ) 4 − (x + 1) + [6 x − 7 x − (1 − 5 x)] = 4 − x − 1 + 4 x − 1 = 3 x + 2
f ) 1 − 2 b − [2 − (12 a + 1) − (12 b + 2)] = 1 − 2 b − [2 − 12 a − 1 − 12 b − 2]
= 1 − 2 b − 2 + 12 a + 1 + 12 b + 2 = 12 a + 10 b + 2
1.3.5 Die Grundrechenart Multiplikation
Lösung 1
5 ⋅ 17 ⋅ 2 = 170 Mithilfe des Assoziativgesetzes ist es möglich zuerst 5 ⋅ 2 = 10 zu rechnen. Die Rechnung 10 ⋅ 17 = 170 ist an-schließend im Kopf problemlos möglich.
Lösung 2
Produktwert: 0, da ein Faktor 0 ist.
1.3.5.1 Multiplikation von Termen
Lösung
a ) 4 b ⋅ (− 4 a) ⋅ 10 = − 160 ab
b ) − 12 x ⋅ (− 10 yz) ⋅ 10 = 1200 xyz
c ) 4 a ⋅ (− 2 b) + 7 ab − 2 ba = − 8 ab + 7 ab − 2 ab = − 3 ab
d ) − 21 a ⋅ 2 b + 20 ab + b ⋅ 5 a = − 42 ab + 20 ab + 5 ab = − 17 ab
e ) a ⋅ 2 b ⋅ (− c) − 5 acb − 9 cb ⋅ 3 a = − 2 abc − 5 abc − 27 abc = − 34 abc
1.3.6 Multiplikation von Summen und Differenzen
1.3.6.1 Multiplikation einer Zahl mit einer Summe
Lösung
a ) 2 ⋅ (4 − x) = 8 − 2 x b ) − 5 ⋅ (6 x − 1) = − 30 x + 5
c ) 10 ⋅ (x + y) = 10 x + 10 y d ) 3 x ⋅ (10 + y) = 30 x + 3 xy
e ) 5 a ⋅ (6 − 6 b) = 30 a − 30 ab f ) x ⋅ (2 a − b) = 2 ax − bx
g ) 4 ⋅ 3 ⋅ (a + 3 b) = 12 a + 36 b h ) 5 ⋅ (1 + 2 p) ⋅ (− 2) = − 10 − 20 p
i ) 2 ⋅ (− 2) ⋅ (1 − y) ⋅ 4 = − 16 ⋅ (1 − y) = − 16 + 16 y j ) 10 ⋅ (3 − 5 a + 6 ab) = 30 − 50 a + 60 ab
k ) − 3 ⋅ (x + 3 y − xy − 4) = − 3 x − 9 y + 3 xy + 12 l ) x ⋅ (4 − 2 y + 8 z) ⋅ 2 = 8 x − 4 xy + 16 xz
▹ Lehrb. S. 48
▹ Lehrb. S. 49
▹ Lehrb. S. 50
▹ Lehrb. S. 51
20 1 Mengenlehre, Aussagelogik, Rechenregeln
