Mathematik fur Informatiker I - TU Dortmundls5-Prof. Dr. Bernhard Ste en Mathematik fur Informatiker...
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Mathematik fur Informatiker I
WS 2013/14
Prof. Dr. Bernhard Steffen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 1 / 107
Einleitung
Team
Dozent:Prof. Dr. Bernhard Steffen
WiMis:Malte Isberner, Dr. Oliver Ruthing, Melanie Schmidt,Dr. Hubert Wagner
Studentische Tutoren:Jessica Buehler, Marcel Clostermann, Nils Dabrock,Daniel Friesel, Till Hartmann, Philip Kißmer, Annika Nehrke,Richard Niland, Lars Filipp Lenssen, Dennis Menzel, Kai Sauerwald,Galyna Safarova, Katharina Schamber, Martin Schwitalla,Tim Vormann, Marcel Walker
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 2 / 107
Einleitung Organisation
Organisation
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 3 / 107
Einleitung Organisation
Organisation: Vorlesung
Vorlesungstermine:
Dienstag 16.15 Uhr - 17.45 Uhr (SRG, HS 001) oderMittwoch 08.15 Uhr - 09.45 Uhr (Horsaalzelt)Donnerstag 10.15 Uhr - 11.45 Uhr (SRG, HS 001) oderDonnerstag 18.15 Uhr - 19.45 Uhr (SRG, HS 001)
Zusatztermin
Dienstag, 18.15 Uhr, OH 14, E023Fragestunde mit Prof. SteffenTermine nach Ankundigung.
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Einleitung Organisation
Organisation: Material
Vorlesungsseite
Lehrstuhl 5 → Lehre → WS12/13Wichtige Ankundigungen, TermineWeblinks (EWS, AsESS,..)Keine Vorlesungsmaterialien
EWS Arbeitsraum
Anmeldung und Freischaltung erforderlichSkript, Folien, UbungsblatterForum fur Diskussionen
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Einleitung Organisation
Organisation: Material
Skript
Stand WS 2012/2013Nicht weiter gepflegtIm Aufbau: Trilogie Grundlagen der hoheren InformatikKlausurrelevanter Haupttext und grau unterlegtes Zusatzmaterial
Folien
Weniger ausfuhrlich als das Buch/SkriptFoliensatze vor der Vorlesung verfugbar
Ubungsblatter
Nur als Download (EWS)Veroffentlichung: Donnerstags bis 18.00 UhrAbgabe:Freitags der Folgewoche bis 14.00 Uhr (Zettelkasten, OH 20)
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Einleitung Organisation
Organisation: Material
Trilogie Grundlagen der hoheren Informatik
Band 1: Induktives Vorgehen (in Druck)Band 2: Algebraisches Denken (Fruhjahr 2014)Band 3: Perfektes Modellieren (Herbst 2014)
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Einleitung Organisation
Organisation: Ubungen
40 Gruppen einrichtbar
Termine fur die Ubungsgruppen:
Mi, 8-10 Uhr (2 Gruppen)Mi, 12-14 Uhr (5 Gruppen)Do, 8-10 Uhr (6 Gruppen)Do, 16-18 Uhr (8 Gruppen)Fr, 8-10 Uhr (7 Gruppen)Fr, 10-12 Uhr (5 Gruppen)Fr, 12-14 Uhr (5 Gruppen)Fr, 14-16 Uhr (2 Gruppen)
Anmeldung bis zum 21.10.2013, 12:00 uber das AsSESS-System.
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Einleitung Organisation
Organisation: Ubungen
Modalitaten der Ubungen:
Abgabe in Gruppen 2-3 StudierendeJe Ubungungsblatt 1-2 KorrekuraufgabenZweimalige Nichtabgabe keine weitere KorrekturLuckenlose Abgabe Korrektur der Probeklausur
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Einleitung Organisation
Organisation: Prufungen und Scheine
Benotete Modulprufung (Klausur, max. 180 Minuten)
40% der Punkte zum BestehenKeine Blocke, die einzeln bestanden werden mussen
Klausurtermine:
Erstklausur: Samstag, 29. Marz 2014, ca. 11.30-14.30 UhrZweitklausur: Nach dem Sommersemester 2014, Termin noch nichtbekannt
Zulassungsvoraussetzung (Studienleistung):
Abgabe der ProbeklausurIm Vorjahr erbrachte Studienleistungen sind gultig!
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Einleitung Organisation
Motivation
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Einleitung Themenubersicht
Themenubersicht
Einige Beispiele
Euklidischer Algorithmus
Turme von Hanoi
Suche von Objekten
...
Trennung vonSyntax und Semantik
Lernziele
Zweifelsfreies Verstehen
Einsatz wiederverwendbarerMuster
Prinzipielles Vorgehen
Beherrschung vonModellierungsspielraumen
Inhalte der Vorlesung
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 12 / 107
Einleitung Themenubersicht
Euklidischer Algorithmus
Euklid, ca. 360 - 280 v. Chr.
Eingabe: Naturliche Zahlen n,mAusgabe: ggT (n,m)solange n 6= 0 und m 6= 0 tue
wenn n > m dannn← n −m
sonstm← m − n
Ende
EndeGib n + m aus.
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Einleitung Themenubersicht
Euklidischer Algorithmus
Kern: Invariante bezuglich gemeinsamer Teiler
GT ({a, b}) = GT ({a− b, b}) falls a ≥ b
Mathematische Beruhrungspunkte:
Naturliche Zahlen, ganze Zahlen
Ordnungen
Induktives Definieren
Induktives Beweisen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 14 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
A H Z
Wie bekommt man den Turm vom Ausgangsstab (A) zum Zielstab (Z)wenn man ..
den Hilfsstab (H) benutzen darf
nur eine Scheibe pro Schritt bewegen darf
nur kleinere Scheiben auf großere gelegt werden durfen
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Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
Einfach fur 2 Scheiben
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 16 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
Einfach fur 2 Scheiben
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 17 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
Einfach fur 2 Scheiben
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 18 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
Einfach fur 2 Scheiben
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 19 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
A Z H
Nun mit 3 Scheiben
Fur obere 2 Scheiben Problem schon gelost
Vertausche Rollen von Stab H und Z
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 20 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
A Z H
Nun mit 3 Scheiben
Fur obere 2 Scheiben Problem schon gelost
Vertausche Rollen von Stab H und Z
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 21 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
A H Z
Nun mit 3 Scheiben
Bewege die großte Scheibe auf den Zielstab
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 22 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
H A Z
Nun mit 3 Scheiben
Fur die Scheiben auf dem Hilfsstab ist das Problem schon gelost
Vertausche Rollen von Stab A und H
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 23 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
H A Z
Nun mit 3 Scheiben
Fur die Scheiben auf dem Hilfsstab ist das Problem schon gelost
Vertausche Rollen von Stab A und H
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 24 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
A H Z
Problem gelost!
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 25 / 107
Einleitung Turme von Hanoi
Turme von Hanoi
Kernfragen:
Finden des rekursivenAlgorithmus
Finden/Einhalten derInvarianten
Ermittlung der Komplexitat
Hanoi (n,a,h,z) ≡Wenn (n > 0)
dann Hanoi(n-1,a,z,h);Verschiebe oberste Scheibe von a nach z;Hanoi(n-1,h,a,z);
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 26 / 107
Einleitung Suche von Objekten
Suche von Objekten
Wie oft muss man hochstens in den Sack greifen, um festzustellen, ob sichein bestimmtes Objekt darin befindet?
Einfache Antwort: Man muss alle Objekte herausholen.
Geht das auch besser?
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 27 / 107
Einleitung Suche von Objekten
Suche von Objekten
Kern: GeeigneteUmstrukturierung des Problems,z.B. sortieren
Effiziente Suche im Internetbasiert auf massiver Vorarbeit
Bei Google: Indizierung,Page Ranking,...
Wichtig: Klarstellung der jeweiligen Spielraume zur Umstrukturierung!
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 28 / 107
Einleitung Terminierung von Funktionen
Terminierung von Funktionen
Collatz-Funktion
Eingabe: Naturliche Zahl n > 0Ausgabe: 1solange n 6= 1 tue
wenn n gerade dannn← n/2
sonstn← 3n + 1
Ende
EndeGib n aus.
Fur n = 27:27, 82, 41, 124, 62, 31, 94,47, 142, 71, 214, 107, 322,161, 484, 242, 121, 364, 182,91, 274, 137, 412, 206, 103,310, 155, 466, 233, 700, 350,175, 526, 263, 790, 395,1186, 593, 1780, 890, 445,. . .6154, 3077, 9232, 4616,. . .40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Terminierung unbekannt!
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 29 / 107
Einleitung Terminierung von Funktionen
Terminierung von Funktionen
Nochmal Euklidischer Algorithmus..
Eingabe: Naturliche Zahlen n,mAusgabe: ggT (n,m)solange n 6= 0 und m 6= 0 tue
wenn n > m dannn← n −m
sonstm← m − n
Ende
EndeGib n + m aus.
Beobachtung: n+m nimmt in jedem Schleifendurchlauf echt ab!
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 30 / 107
Einleitung Umgang mit beschrankten Ressourcen
Umgang mit beschrankten Ressourcen
Beispiel: Schwarmintelligenz: Losen komplexer Aufgaben im Kollektiv
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 31 / 107
Einleitung Umgang mit beschrankten Ressourcen
Umgang mit beschrankten Ressourcen
Beispielszenario:
Ausgangspunkt:
Die Einzelgerate haben beschrankte Arithmetik (z.B. 32 Bit).
Es soll prazise mit ganzen Zahlen bis zu dieser Grenze gerechnetwerden (+,−, ∗, /)
Problem: Zwischenergebnisse konnen viel grosser sein!
Wie konnte das gehen?
Kern: ’Teile und herrsche’-Prinzip, z.B.: (semantische) Dekompositiondes Problems ( Chinesischer Restsatz).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 32 / 107
Einleitung Eigenfaces
Lineare Gleichungssysteme
Aus der Schule bekannt:
x + 3y − 2z = 22x + 4y = 3−3x − 5y + 2z = 6
Systematische Losung durch geeignetes ‘Framework’
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 33 / 107
Einleitung Eigenfaces
Eigenfaces
Kern:
involvierteres ’Teile und herrsche’-Prinzip.
auch eine semantische Dekomposition des Problems.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 34 / 107
Einleitung Trennung von Syntax und Semantik
Trennung vonSyntax und Semantik
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 35 / 107
Einleitung Trennung von Syntax und Semantik
Trennung von Syntax und Semantik
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 36 / 107
Einleitung Trennung von Syntax und Semantik
Trennung von Syntax und Semantik
Kern: Etablierung von Modellierungsspielraumen
Beispiel: Rechnen Sie einmal mit romischen Zahlen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 37 / 107
Einleitung Lernziele
Lernziele
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 38 / 107
Einleitung Lernziele
Lernziele
Zweifelfreies Verstehen:
mathematische Prazision,
dazugehorige Formalismen,sowie
mathematisches Vorgehen.
Einsatz wiederverwendbarerMuster:
Beschreibungsmuster
Strukturierungsmuster
Beweismuster
algorithmische Muster
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 39 / 107
Einleitung Lernziele
Lernziele
Prinzipielles Vorgehen:
Was ist der Kern des Problems?
Was sind angemessene Losungsmuster?
Wie kann man diese Muster gezielt zur Problemlosung einsetzen?
Wie erhalt man ein spezifisches Losungsszenario(Domanenmodellierung)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 40 / 107
Einleitung Lernziele
Lernziele
Beherrschung von Modellierungsspielraumen:
I Trennung von Syntax/Semantik: WIE vs. WAS
II (Induktives) Strukturieren
III Generalisierung und Abstraktion
als Grundlage fur ’teile und herrsche’-Prinzipien wie:
IV Invarianz
V Kompositionalitat
mit dem Ziel:
VI Effizienz
VII Korrektheit (z.B.(induktive) Beweisbarkeit)
VII Skalierbarkeit
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 41 / 107
Einleitung Aufbau der Vorlesung
Aufbau der Vorlesung
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 42 / 107
Einleitung Aufbau der Vorlesung
Vorlesungsinhalte
Einfuhrung, Ubersicht
Aussagen und Mengen
Relationen und Funktionen
Induktives Definieren
Darstellung und Bedeutung
Induktives Beweisen
Ordnungsstrukturen
Algebraische Strukturen
Matrizen
Lineare Gleichungssysteme
Invertierbarkeit von Matrizen
Vektorraume
Erzeugendensysteme, Basen
Dimension eines Vektorraumes
Lineare Abbildungen
Determinanten
Eigenwerte und Eigenvektoren
Orthogonalisierbarkeit von Matrizen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 43 / 107
Aussagen und Mengen
2. Aussagen und Mengen - Themenubersicht
Aussagen
Aussagenlogik
Anwendung: Digitale Schaltkreise
Pradikatenlogik
Logische Beweisprinzipien
Mengen
Mengenbeziehungen
Machtigkeit endlicher Mengen
Mengenverknupfungen
Antinomien
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 44 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Aussagen
Definition 2.1 (2.1 im Buch)
Aussagen sind (schrift-)sprachliche Gebilde, fur die es sinnvoll ist, ihneneinen Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f) zuzuordnen.
Beispiel 2.2 (2.1)
1 Borussia Dortmund ist Deutscher Fussballmeister der Herren 2012.(w)
2 Delphine sind Fische. (f)
3 5 ist eine Primzahl. (w)
4 Es gibt nur endlich viele Primzahlen. (f)
5 Jede gerade naturliche Zahl grosser als zwei ist Summe zweierPrimzahlen. (?)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 45 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Keine Aussagen
Beispiel 2.3 (2.2)
1 Wie spat ist es?
2 Kommt her!
3 Diese Aussage ist falsch.
Bei Satz 3) liegt ein logisches Paradoxon vor.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 46 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Nicht klar einordenbare Satze
Beispiel 2.4 (2.3)
1 Heute ist das Wetter schon.
2 Verdi hat die bedeutendsten Opern komponiert.
Solche Uneindeutigkeiten sind in der Mathematik und Informatik in derRegel nicht von Bedeutung.
Grund: Strenge Anforderungen an Syntax und Semantik.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 47 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Verknupfung von Aussagen
Definition 2.5 (2.2)
Seien A und B beliebige Aussagen, dann auch die
Negation von A: (¬A). Der Wahrheitswert von A wird invertiert.
Disjunktion von A und B: (A ∨ B). Wahr genau dann, wenn mindestenseine der beiden Aussagen wahr ist.
Konjuktion von A und B: (A ∧ B). Wahr genau dann, wenn beideAussagen wahr sind.
Implikation von A und B: (A ⇒ B). Wahr genau dann, wenn falls Awahr ist auch B wahr ist.
Aquivalenz von A und B: (A ⇔ B). Wahr genau dann, wenn beideAussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen.
Die Symbole ¬,∨,∧,⇒,⇔ heißen Junktoren.Prioritaten: pr(¬) > pr(∧) > pr(∨) > pr(⇒) = pr(⇔).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 48 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Wahrheitstafeln
A B ¬A A ∨ B A ∧ B A ⇒ B A ⇔ Bf f w f f w wf w w w f w fw f f w f f fw w f w w w w
A B ¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬(¬A ∨ ¬B) A ∧ B ¬A ∨ B A ⇒ Bf f w w w f f w wf w w f w f f w ww f f w w f f f fw w f f f w w w w
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 49 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Semantische Aquivalenzen
Lemma 2.6 (2.1)
Es gelten fur beliebige Aussagen A, B, C die folgenden Aquivalenzen:
A ∧ B ≡ B ∧ A (Kommutativit”at)A ∨ B ≡ B ∨ A
(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (Assoziativit”at)(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
A ∧ (A ∨ B) ≡ A (Absorption)A ∨ (A ∧ B) ≡ A
A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (Distributivit”at)A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A ∧ ¬A ≡ ⊥ (Negation)A ∨ ¬A ≡ >
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 50 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Semantische Aquivalenzen
Lemma 2.6
A ∧ A ≡ A (Idempotenz)A ∨ A ≡ A
¬¬A ≡ A (Doppelnegation)
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B (deMorgansche Regeln)¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
> ∧ A ≡ A (Neutralitat)⊥ ∨ A ≡ A
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 51 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Beispiel: Halbaddierer
A BC︷ ︸︸ ︷A∧B
D︷ ︸︸ ︷A∧ C
E︷ ︸︸ ︷C ∧ B
Z︷ ︸︸ ︷D ∧ E
U︷ ︸︸ ︷C ∧ C
0 0 1 1 1 0 00 1 1 1 0 1 01 0 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0 1
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 52 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Pradikatenlogik
1 + 2 = 2 + 1
2 + 3 = 3 + 2
6 + 14 = 14 + 6
:
∀x ∈ N. ∀y ∈ N. x + y = y + x
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 53 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Pradikatenlogik uber naturlichen Zahlen
Bestandteile:
1 Junktoren der Aussagenlogik
2 Relationale Ausdrucke mit freien Variablen (Pradikate oderAussageformen). Bsp.: A(n) =df (n + 1 ≤ 3)
3 Quantoren fur All- und Existenzaussagen
Allaussage: ∀ n. A(n). Diese ist genau dann wahr, wenn A(n) fur alleWerte n ∈ N wahr ist.
Existenzaussage: ∃ n. A(n). Diese ist genau dann wahr, wenn A(n) furmindestens einen Wert n ∈ N wahr ist.
Vereinbarung: Quantoren binden schwacher als Junktoren.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 54 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Beispiel - Quantoren
Pradikat fur ggT
Zunachst Pradikat fur “teilt”
n|m =df ∃k ∈ N. n · k = m
Darauf aufbauend:
ggT (n,m, x) =df x |n ∧ x |m ∧ ∀y ∈ N. (y |n ∧ y |m)⇒ y ≤ x
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 55 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Negation quantifizierter Formeln
Lemma 2.7 (2.2)
1 ¬(∀x .A(x)) ≡ ∃x .¬A(x)
2 ¬(∃x .A(x)) ≡ ∀x .¬A(x)
Beweis (intuitiv semantisch)
¬(∀x .A(x)) ist wahr gdw . ∀x .A(x) ist falschgdw . A(x) ist falsch fur mindestens ein xgdw . ¬A(x) ist wahr fur mindestens ein xgdw . ∃x .¬A(x) ist wahr
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 56 / 107
Aussagen und Mengen 2.1. Aussagen
Axiomatisches Beweisen
zu Zeigen: > ∨ A ≡ >
Beweis (axiomatisch)
> ∨ A ≡ (A ∨ ¬A) ∨ A (Negation)≡ A ∨ (¬A ∨ A) (Assoziativitat)≡ A ∨ (A ∨ ¬A) (Kommutativitat)≡ (A ∨ A) ∨ ¬A (Assoziativitat)≡ A ∨ ¬A (Idempotenz)≡ > (Negation)
Zum Vergleich:
A > > ∨ Aw w wf w w
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 57 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Mengen
Georg Cantor (1845-1918)
”‘Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M vonbestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsererAnschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente) von Mgenannt werden) zu einem Ganzen.”’ (Definition 2.3 im Buch)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 58 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Mengenbeziehungen
Definition 2.10 (2.4)
Seien A und B Mengen.
1 A ⊆ B (sprich A ist Teilmenge von B) ⇔ (∀x .x ∈ A ⇒ x ∈ B)
2 A = B (sprich A ist gleich B) ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
3 A ⊂ B (sprich A ist echte Teilmenge von B)⇔ A ⊆ B ∧ A 6= B.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 59 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Potenzmenge
Definition 2.11 (2.5)
Sei M eine Menge. Die Potenzmenge von M ist definiert durchP(M) := {M ′ | M ′ ⊆ M}.
Anwendung: Klassifikationssysteme
Typsysteme
Ontologien
Abstraktion
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 60 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Mengenverknupfungen/Operationen
Definition 2.13 (2.6)
Seien A und B Mengen. Dann sind folgende Mengenverknupfungendefiniert:
Vereinigung A ∪ B := {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}Schnitt A ∩ B := {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
Differenz A\B := {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}Symmetrische Differenz A∆B := (A ∪ B)\(A ∩ B)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 61 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Venn-Diagramme
A B
A ∩ B
A B
A ∪ B
A B
A∆B
A B
A \B
BA
B \A
Figure : Venn-Diagramme
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 62 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Machtigkeit endlicher Mengen
Satz 2.17 (2.2)
Seien A und B endliche Mengen. Dann gilt:
1 |A\B| = |A| − |A ∩ B|2 |A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|3 |A∆B| = |A|+ |B| − 2|A ∩ B|
Intuition: Einfach zahlen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 63 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Mengengesetze
Lemma 2.15 (2.3)
Seien A, B, C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M. Dann gilt:
A ∩ B = B ∩ A (Kommutativit”at)A ∪ B = B ∪ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Assoziativit”at)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (A ∪ B) = A (Absorption)A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivit”at)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ A{ = ∅ (Komplement)
A ∪ A{ = M
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 64 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Mengengesetze
Lemma 2.15 (2.3)
Seien A, B, C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M. Dann gilt:
A ∩ A = A (Idempotenz)A ∪ A = A
A{ { = A (Doppelnegation)
(A ∩ B){ = A{ ∪ B{ (deMorgansche Regeln)
(A ∪ B){ = A{ ∩ B{
M ∩ A = A (Neutralitat)∅ ∪ A = A
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 65 / 107
Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Abstrakte Theoriebildung
A ∩ B = B ∩ A A ∧ B ≡ B ∧ AA ∪ B = B ∪ A A ∨ B ≡ B ∨ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
A ∩ (A ∪ B) = A A ∧ (A ∨ B) ≡ AA ∪ (A ∩ B) = A A ∨ (A ∧ B) ≡ A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A ∩ A{ = ∅ A ∧ ¬A ≡ ⊥A ∪ A{ = M A ∨ ¬A ≡ >
A ∩ A = A A ∧ A ≡ AA ∪ A = A A ∨ A ≡ A
A{ { = A ¬¬A ≡ A
(A ∩ B){ = A{ ∪ B{ ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B(A ∪ B){ = A{ ∩ B{ ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
M ∩ A = A > ∧ A ≡ A∅ ∪ A = A ⊥ ∨ A ≡ A
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Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Korrektheit und Vollstandigkeit
Zentrale Zielstellung bei Regel/Gleichungssystemen (Axiomatisierungen)
Korrektheit: Alles was aus den Regeln/Gleichungen durch Ersetzenvon Gleichem durch Gleiches abgeleitet werden kann gilt.
Vollstandigkeit: Alles was gilt kann aus den Regeln/Gleichungendurch Ersetzen von Gleichem durch Gleiches abgeleitet werden.
Syntaktisches Vorgehen als Schritt zur Automatisierung (Stichwort:Termrewriting)
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Aussagen und Mengen 2.2. Mengen
Antinomien
Russelsche Antinomie:
R = {M|M /∈ M}”‘Menge”’ aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten
Allmenge:
”‘Menge”’ aller Mengen
Konzeptuelles Problem: Selbstreferenzierung
Halteproblem
Selbstanwendung
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Relationen und Funktionen
3. Relationen und Funktionen - Themenubersicht
Relationen
Kartesisches Produkt
n-stellige Relationen
Binare Relationen
Funktionen
Eigenschaften von Funktionen
Machtigkeit von Mengen
Partiell definierte Funktionen
Aquivalenzrelationen
Partitionen
Kardinalzahlen
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Kartesisches Produkt
Definition 3.1 (3.1)
Seien A und B Mengen. Das Kartesische Produkt von A und B istdefiniert durch:
A× B =df {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Elemente (a, b) ∈ A× B heißen geordnete Paare. Auf diesen ist dieGleichheit definiert durch:
(a, b) = (a′, b′) ⇔df a = a′ ∧ b = b′.
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Spielkarten
Beispiel 3.2 (3.1)
A = {♣,♠,♥,♦}B = {As,Konig,Dame,Bube, 10 , 9 , 8 , 7}
A× B = { (♣,As), . . . , (♣, 7),
(♠,As), . . . , (♠, 7),
(♥,As), . . . , (♥, 7),
(♦,As), . . . , (♦, 7) }
Die Menge der 32 Spielkarten in einem Skat-Spiel.
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Beispiel: Kalendar
Kalenderwochen W = {1, 2, ..., 52}Tage T = {Montag ,Dienstag , ....,Sonntag}
(47. Kalenderwoche 2004, Montag) ⇒ 15. November 2004
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Konventionen
n-faches kartesisches Produkt (n ≥ 1)
M1 ×M2 × . . .×Mn =df ((. . . (M1 ×M2)× . . .)×Mn)
n-Tupel: (m1,m2, . . . ,mn) =df ((..(m1,m2), . . .),mn)
A2 =df A× A
An =df A× . . .× A︸ ︷︷ ︸n mal
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Beispiel: Endliche Bitvektoren
Beispiel 3.3
Sei M = {m1, . . . ,mn} endliche Menge und
A ⊆ M Teilmenge von M.
Charakteristischer Bitvektor (bA1 , . . . , bAn ) ∈ {0, 1}n:
bAi = 1 ⇔df mi ∈ A.
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Beispiel: Endliche Bitvektoren
Beispiel
Menge der Monate M =df {Januar , . . . ,Dezember}.
Monate mit 31 Tagen: M31 =df {Januar,Marz,Mai,Juli,August,Oktober, Dezember}.
Merkregel:
Als Bitvektor: bM31 =df (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1)
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Beispiel: Endliche Bitvektoren
Beispiel
Menge der Monate M =df {Januar , . . . ,Dezember}.
Monate, die Buchstaben “r” enthalten:Mr =df M \ {Mai , Juni , Juli ,August}.
Als Bitvektor: bMr =df (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
n-stellige Relationen
Definition 3.3 (3.2)
Seien M1, . . . ,Mn Mengen (n ≥ 1).
Eine Teilmenge R ⊆ M1 × . . .×Mn heißt n-stellige Relation aufM1 × . . .×Mn.
Beispiel : Einheitskugel im R3
K =df {(x , y , z) ∈ R3 |√x2 + y2 + z2 ≤ 1}
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Binare Relationen
Im Falle von n = 2 spricht man von einer binaren Relation.
Also R ⊆ A× B
Beispiel: Zuordnung Dozenten - Kurse
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Umkehr- und Produktrelationen
Definition 3.4 (3.3)
Fur R ⊆ A× B ist Umkehrrelation R−1 ⊆ B × A ist definiert durch
R−1 =df {(b, a) | (a, b) ∈ R}.
Definition 3.5 (3.4)
Fur R1 ⊆ A×B und R2 ⊆ B × C ist die Produktrelation R1 � R2 ⊆ A× Cdefiniert durch
R1 � R2 =df {(a, c) | ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R2 }.
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Beispiel: Produktrelation
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Relationen und Funktionen 3.1 Relationen
Konventionen, Begriffe
Infixnotation: a R b statt (a, b) ∈ R
Bildmenge: R(a) =df {b | (a, b) ∈ R}
Urbildmenge: R−1(b) =df {a | (a, b) ∈ R}
Homogene Relation: R ⊆ A× A
Identische Relation: IA =df {(a, a) | a ∈ A} ⊆ A× A.
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Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Rechts- und Linkseindeutigkeit
Definition 3.7 (3.6)
Eine Relation R ⊆ A× B heißt
1 rechtseindeutig ⇔df
∀ a ∈ A, b1, b2 ∈ B. (a, b1) ∈ R ∧ (a, b2) ∈ R ⇒ (b1 = b2)
2 linkseindeutig ⇔df
∀ a1, a2 ∈ A, b ∈ B. (a1, b) ∈ R ∧ (a2, b) ∈ R ⇒ (a1 = a2)
Nicht rechtseindeutige Relation Nicht linkseindeutige Relation
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Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Rechts- und Linkstotalitat
Definition 3.8 (Rechts-,Linkstotalitat) (3.7)
Eine binare Relation R ⊆ A× B heißt
1 linkstotal ⇔df ∀ a ∈ A. ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ R
2 rechtstotal ⇔df ∀ b ∈ B. ∃ a ∈ A. (a, b) ∈ R
Definition 3.9 (Funktion) (3.8)
Eine rechtseindeutige, linkstotale Relation heißt Funktion.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 83 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Bezeichnungen
Funktionsdefinition: f : A→ B statt f ⊆ A× B
Funktionsanwendung: b = f (a) statt {b} = f (a)
Funktionskomposition: Fur f : A→ B, g : B → C istg ◦ f ⇔df f � g insbesondere (g ◦ f )(a) = g(f (a))).
Menge der Funktionen: BA =df {f | f : A→ B}
Identische Funktionen: idA : A→ A durch idA(a) = a.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 84 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat
Definition 3.10 (3.9)
Eine Funktion f : A→ B heißt:
1 injektiv ⇔df f ist linkseindeutig
2 surjektiv ⇔df f ist rechtstotal
3 bijektiv ⇔df f ist injektiv und surjektiv
Falls f : A→ B bijektiv ist, existiert eine Umkehrfunktion f −1 : B → A
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 85 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Beispiele: Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat
Beispiel 3.11 (3.2)
1 Die Funktion f1 : N→ N mit n 7→ 2 n ist injektiv und nicht surjektiv
2 Die Funktion f2 : Z→ N mit z 7→ |z | ist surjektiv und nicht injektiv
3 Die Funktion f3 : Q→ Q mit q 7→ 2 q ist bijektiv.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 86 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Das Beweisprinzip der Kontraposition
Beweisprinzip 3.12
Seien A,B Aussagen. Dann gilt:
(A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ ¬A)
bzw.(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A).
In Worten: Eine Implikation A ⇒ B kann man beweisen, indem man dieumgekehrte Implikation uber den negierten Aussagen beweist.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 87 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Komposition und Bijektivitat
Satz 3.13 (3.3)
Seien f : A→ B und g : B → A Funktionen mit
g ◦ f = idA und
f ◦ g = idB .
Dann sind f und g bijektiv. Inbesondere gilt f −1 = g und g−1 = f .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 88 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Beweisprinzip: Quantorenauflosung
Beweisprinzip 3.14
Allaussage ∀ x . A(x):
Wahle Variable x beliebig aus der Struktur und beweise dann A(x).
Formulierung: “Sei x beliebig, aber fest gewahlt”.
Existenzaussage ∃ y . A(y):
Wahle Variable y geeignet aus der Struktur und beweise dann A(y).
Formulierung:“Wahle y als ..” oder “Setze y = ..”.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 89 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Erhaltungssatz
Satz 3.1
Seien f : A→ B und g : B → C Funktionen. Dann gilt:
1 g ◦ f ist injektiv, falls f und g injektiv sind.
2 g ◦ f ist surjektiv, falls f und g surjektiv sind.
3 g ◦ f ist bijektiv, falls f und g bijektiv sind.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 90 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Schubfachprinzip
Satz 3.2
Seien A und B endliche Mengen mit |A| = |B| und f : A→ B eineFunktion. Dann sind aquivalent:
1 f ist injektiv,
2 f ist surjektiv und
3 f ist bijektiv.
Beweisprinzip 4 (Schubfachprinzip)
Seien A und B endliche Mengen und f : A→ B eine Funktion. Dann gilt:
1 Falls |A| > |B|, so ist f nicht injektiv.
2 Falls |A| < |B|, so ist f nicht surjektiv.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 91 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Machtigkeitsbeziehungen von Mengen
Definition 3.15 (3.10)
Seien A und B Mengen.
1 A und B heissen gleichmachtig, in Zeichen A ∼= B, falls es einebijektive Funktion f : A→ B gibt.
2 A ist weniger machtig als B, in Zeichen A 5 B, falls es eineinjektive Funktion f : A→ B gibt.
Beispiel
{1, 2, 3, 4} ∼= {♣,♠,♥,♦}
{2, 3, 4, 5} 6∼= {gelb, rot, blau}, aber {gelb, rot, blau} 5 {2, 3, 4, 5}.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 92 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Machtigkeiten von unendlichen Mengen
Satz 3.16 (3.4)
Seien A und B Mengen. Dann gilt:A ∼= B ⇔ A 5 B ∧ B 5 A.
Beweis:
“⇒” klar.“⇐” ist anspruchsvoll. Satz von Cantor-Schroder-Bernstein. �
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 93 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Endliche und unendliche Mengen
Definition 3.17 (3.11)
Eine Menge M heißt unendlich genau dann, wenn ∃M ′ ⊂ M. M ′ ∼= M.Andererseits ist M endlich.
M heißt abzahlbar unendlich genau dann, wenn M ∼= N.
Es gilt: N ∼= Z ∼= N× N ∼= Q.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 94 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Ringschluss
Beweisprinzip 5 (Ringschluss — Speziell)
Seien A1,A2, . . . ,An Mengen mit A1 5 A2 5 · · ·An−1 5 An 5 A1.Dann gilt A1
∼= A2∼= · · ·An−1
∼= An.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 95 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
N ∼= Z
Betrachte bijektive Funktion:
fZ : N→ Z
n 7→{
n2 falls n gerade−n+1
2 falls n ungerade
Dann: 0 7→ 0, 1 7→ −1, 2 7→ 1, 3 7→ −2, 4 7→ 2, . . . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 96 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
N ∼= N× N
1. CantorschesDiagonalverfahren
Explizit: d(m, n) =df12 (n + m)(n + m + 1) + m.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 97 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Beweisprinzip: Widerspruchsbeweis
Beweisprinzip 3.19 (6)
Sei A eine zu beweisende Aussage. Gelingt es aus der Annahme ¬A aufeine Aussage B zu schliessen, fur die ¬B gilt, so muss A gelten. Kurz:(
(¬A ⇒ B) ∧ ¬B)⇒ A.
Das Prinzip des Widerspruchsbeweises wird auch als Reductio adabsurdum bezeichnet.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 98 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
N 6∼= {0, 1}N
Satz 3.18 (3.6)
Sei M eine nichtleere Menge. Dann gilt M 6∼= {0, 1}M .
Beweis:
Angenommen g : M → {f | f : M → {0, 1}} bijektiv.
Definiere h : M → {0, 1} durch h(m) =df 1− g(m)(m).
Wg. g surjektiv: ∃m0 ∈ M. g(m0) = h (*)
Nach Konstruktion g(m0)(m0) 6= h(m0).Also g(m0) 6= h im Widerspruch zu (*). �
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 99 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Cantorsches Diagonalverfahren
2. Cantorsches Diagonalverfahren speziell fur M = N:
. . .
...
0 1 2 . . . i
0
1
2
...
g(a)(b)Funktionstabelle
Aufzahlung der Funktionen
g(0)(2)g(0)(1) g(0)(i)0 1y
y
0 1y
y. . .
Skript: {0, 1}N ∼= P(N) ∼= (0, 1) ∼= R
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 100 / 107
Relationen und Funktionen 3.2 Funktionen
Partiell definierte Funktionen
Eine rechtseindeutige Relation f ⊆ A× B heißt partiell definierteFunktion.
In der Informatik relevant (z.B. Ein-/Ausgabefunktion).
Notation f : A 99K B.
Definitionsbereich Def (f ) =df {a ∈ A | ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ f }.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 101 / 107
Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen
Aquivalenzrelation
Definition 3.20 (3.12)
Eine Relation ∼ ⊆ A× A heißt Aquivalenzrelation ⇔df
1 ∼ ist reflexiv, d.h.: ∀ a ∈ A. a ∼ a
2 ∼ ist symmetrisch, d.h.: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 ∼ a2 ⇒ a2 ∼ a1
3 ∼ ist transitiv, d.h.: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 ∼ a2 ∧ a2 ∼ a3 ⇒ a1 ∼ a3
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 102 / 107
Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen
Beispiele: Verwandtschaftsbeziehungen
Beispiel 3.21 (3.3)
1 Die Geschwisterbeziehung ist eine Aquivalenzrelation.
2 Die Freundschaftsbeziehung ist i.A. keine Aquivalenzrelation, da sienicht transitiv ist. Wenn Anna mit Bob befreundet ist und Bob mitCharlotte, so mussen Anna und Charlotte nicht unbedingt befreundetsein.
3 Die Bruderbeziehung ist keine Aquivalenzrelation, da diese nichtsymmetrisch ist. Andreas ist zwar Bruder von Beate, aber naturlichnicht umgekehrt.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 103 / 107
Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen
Partitionen
Definition 3.22 (3.13)
P ⊆ P(M) heißt Partition ⇔df
1 ∅ /∈ P (Die Partitionsklassen sind nichtleer)
2⋃
M′∈P M ′ = M (Die Partitionsklassen uberdecken M)
3 ∀M1,M2 ∈ P. M1 6= M2 ⇒ M1 ∩ M2 = ∅(Die Partitionsklassen sind
paarweise disjunkt)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 104 / 107
Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen
Zusammenhang zw. Aquivalenzrelationen und Partitionen
Satz 3.7
1 Sei ∼ ⊆ A× A eine Aquivalenzrelation. Dann ist
A∼ =df {[a]∼ | a ∈ A}wobei [a]∼ =df {a′ | a ∼ a′} die zu a gehorige Aquivalenzklasse ist
eine Partition auf A.
2 Sei P ⊆ P(A) eine Partition auf A. Dann ist
∼P =df {(a1, a2) ∈ A× A | ∃A′ ∈ P. a1, a2 ∈ A′}
eine Aquivalenzrelation.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 105 / 107
Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen
Partitionen
Jede Funktion f : A→ B induziert eine Aquivalenzrelation ∼f auf A durch:
a1 ∼f a2 =df f (a1) = f (a2).
Die zugehorige Partition wird als Urbildpartition bezeichnet.
Beispiel :
f : N→ N mit f (n) =df n% 3 (n modulo 3)
Die Urbildpartition ist: {{0, 3, 6, . . .}, {1, 4, 7, . . .}, {2, 5, 8, . . .}}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 106 / 107
Relationen und Funktionen 3.3 Aquivalenzrelationen
Kardinalzahlen
∼= ist Aquivalenzrelation auf Mengensystemen.
Aquivalenzklassen heißen Kardinalzahlen.
Notation: |M|, ℵ0 =df |N|, ℵ1 =df |R|
Definition Operationen auf Kardinalzahlen (3.14)
1 |A|+ |B| =df |A ∪ B|, falls A ∩ B = ∅2 |A| ∗ |B| =df |A× B|3 |A||B| =df |AB |
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 107 / 107