Mathematik für Informatiker 1

VorlesungsskriptumWintersemester 2012/2013

Bernhard SteffenOliver RüthingMalte Isberner

Fakultät für InformatikTechnische Universität Dortmund

2012

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 11.1 Illustrative Beispiele und typische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Das Zusammenspiel von Syntax und Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Denken in Strukturen: Ein lernpragmatischer Zugang . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Lernziele und Kompetenzen zusammengefasst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Aussagen und Mengen 112.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Anwendung: Digitale Schaltkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Logische Beweisprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Mengenbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Mächtigkeit endlicher Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4 Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Abschließende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Relationen und Funktionen 313.1 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Exkurs: Endliche Bitvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3 n-stellige Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.4 Binäre Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Partiell definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2 Exkurs: Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Induktives Definieren 534.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Peano-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.2 Operationen auf natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.3 Induktiv definierte Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Induktiv strukturierte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Exkurs: Listen in funktionalen Programmiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Darstellung und deren Bedeutung 635.1 Zeichenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Grenzen der Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Semantikschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Backus-Naur-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Induktive Semantikschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Induktives Beweisen 756.1 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1.1 Partielle Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.1.2 Quasiordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.3 Totale Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1.4 Striktordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1.5 Ordnungen und Teilstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Noethersche Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.1 Terminierungsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Verallgemeinerte Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 Strukturelle Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Ordnungsstrukturen 937.1 Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.1.1 Verbände als algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2 Spezielle Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.2.1 Vollständige Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2.2 Boolesche Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Konstruktionsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4 Strukturverträgliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8 Algebraische Strukturen 1078.1 Mengen mit einer Verknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.1.1 Halbgruppen und Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.1.3 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.1.4 Nebenklassen und der Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.1.5 Faktorstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.1.6 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.1.7 Schnitte und Produkte algebraischer Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.2 Mengen mit zwei Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.2.2 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.4 Integritätsbereiche und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Index 135

1 Einleitung

Ohne Zweifel ist die Mathematik neben der Elektrotechnik einer der Grundpfeiler der Informatik.So gab es z.B. noch bis in die neunziger Jahre hinein in Aachen einen Lehrstuhl mit der Bezeich-nung „Praktische Mathematik, insbesondere Informatik“. Inzwischen hat sich die Informatik jedochemanzipiert und wird als eigenständiges Fach akzeptiert. Das bedeutet jedoch keinesfalls, dass ihreWurzeln in der Mathematik dadurch irrelevant geworden sind. Vielmehr sind gerade die wohlver-standenen Grundlagen der Informatik durch einen starken mathematischen Kern gekennzeichnet,und viele konzeptuelle Vorgehensmuster (insbesondere, aber nicht nur) der theoretischen Informa-tik sind der Mathematik entlehnt. Auf der anderen Seite gibt es auch klassische mathematischeProbleme, die am Ende nur mit Hilfe der Informatik gelöst werden konnten. Ein prominentes Bei-spiel ist das Vierfarbenproblem1, dessen Lösung bis heute auf Hilfsmitteln der Informatik beruht.Durch diese enge Verzahnung hat die Informatik ihrerseits der Mathematik ihren Stempel aufge-drückt. Beispiele hier sind Bereiche der diskreten Mathematik, die konstruktive Logik und weiteTeile der Numerik.

Ziel der Vorlesung ist es, den Wert dieser Verzahnung greifbar zu machen und ein Gefühl dafür zuvermitteln, wann welche mathematischen Vorgehensmuster vorteilhaft eingesetzt werden können.Gleichzeitig sollen die mathematischen Verfahrensmuster auch dazu dienen, die Natur der Infor-matik etwas besser zu verstehen: Was sind ihre Besonderheiten z.B. gegenüber der Mathematik.

Im Folgenden diskutieren wir einige typische, beispielhafte Problemszenarien, deren Lösungen imweiteren Verlauf der Vorlesung adressiert werden.

1.1 Illustrative Beispiele und typische Probleme

Der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des GGT. Informell ausgedrückt zieht der Eukli-dische Algorithmus2 solange ein maximales Vielfaches der kleineren Zahl b von der größeren Zahla ab, bis schließlich b Null wird. Der GGT ist dann a. Abbildung 1.1 illustriert dies mit a = 65,b = 50 worauf a = 50, b = 15 und schließlich a = 15 und b = 5 folgt. Der Wert von b passt nundreimal in a worauf der Algorithmus mit b = 5, dem größten gemeinsamen Teiler von 65 und 50,terminiert.

Auf den ersten Blick ist hier keineswegs klar, warum dieser über 2200 Jahre alte Algorithmustatsächlich den GGT seiner beiden Eingabeparameter berechnet. Klar wird dies, sobald man diedem Algorithmus unterliegende Invariante erkennt: Die Subtraktion ändert den zu berechnenden1siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Farben-Satz2siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Algorithmus

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Abbildung 1.1: Illustration des GGT

GGT nicht!

Invarianten sind der zentrale Schlüssel zum Verständnis von Programmschleifen und Rekursion.Diese Erkenntnis ist in vollem Einklang mit Archimedes Intuition: „Gebt mir einen Punkt auf demich still stehe, und ich werde die Welt aus den Angeln heben“. Das Verständnis als Invariantenals archimedische Punkte3 ist ein guter Leitfaden. Er hilft iterative und rekursive Programme zubeherrschen, Induktionsbeweise zu führen und und evolutionäre Programmentwicklung zu struk-turieren, alles durch die Beantwortung der Frage „Was ist beständig im Wandel“.

Türme von Hanoi. Ausgehend von drei unterschiedlich großen Scheiben auf dem ersten vondrei Stapeln, sollen diese durch einzelne Bewegung in die gleiche Position auf dem dritten Stapelgebracht werden. Es dürfen dabei jedoch nur kleinere Scheiben auf größere gelegt werden (in derAusgangsposition sind diese auch so angeordnet).

Abbildung 1.2: Türme von Hanoi

Frage:Wie viele Schritte benötigt man, um den Turm regelgerecht und vollständig zu ’verschieben’?

Während im vorigen Beispiel der Algorithmus vorgegeben war, kommt hier ein wesentliches StückInformatik hinzu: Die Entwicklung des Algorithmus. Dabei ist darauf zu achten, dass dieser Al-gorithmus so strukturiert ist, dass er z.B. einer Analyse bzgl. der Schrittzahl zugänglich ist. Wie imvorigen Beispiel steht dabei der zugehörige archimedische Punkt (die Invariante) im Vordergrund.

Finden eines Objektes in einer Menge. Wie viele Objekte muss man im ungünstigsten Fall auseiner Menge herausnehmen, um nachzuprüfen, ob ein vorgegebenes Element in dieser Menge liegt?Ähnlich wie im vorigen Problem ist das Lösungsverfahren auch hier nicht vorgegeben.3siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedischer_Punkt

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Abbildung 1.3: Suchen eines Elements in einer Menge

Offensichtlich gibt es ein triviales Verfahren, das aber erfordert, dass man alle Elemente aus derMenge herausgenommen haben muss, bevor man entscheiden kann, dass das in Frage stehendeElement nicht in der Menge liegt.

Geht das besser?

Das liegt an den Spielregeln. Darf ich mir die Menge selbst organisieren, d.h. darf ich die Artund Weise, wie die Elemente abgelegt werden, selbst bestimmen? Sofern das möglich ist, geht esviel besser. Als Anhaltspunkt denke man an ein Telefonbuch und überlege sich, wie es möglich ist,die gesuchte Telefonnummer unter Tausenden von Einträgen schnell finden zu können.

Dieses Beispiel illustriert einen wesentlichen Informatik-typischen Aspekt, das Ausnutzen von Mo-dellierungsspielräumen: Man kann (in Grenzen) seine Aufgabenstellung so (um)strukturieren,dass effiziente/elegante Lösungen möglich sind. Im vorliegenden Fall ist Sortieren der Schlüssel zuErfolg. Tatsächlich ist die adäquate (Um-)Strukturierung eine Kunst, die den guten Informatikerauszeichnet.

Im Folgenden werden wir entsprechende Vorgehensmuster behandeln, die insbesondere die mathe-matische Beherrschbarkeit und die damit verbunden Zuverlässigkeit von Systemen in den Vorder-grund stellen. Spezifisch auf Laufzeiteffizienz zielende Muster werden typischer Weise unter demThema Algorithmen und Datenstrukturen vertieft.

Terminierung von Algorithmen In der Informatik trennt man oft den Aspekt der sogenanntenpartiellen Korrektheit, die besagt, dass alle erfolgreichen Berechnungen ein korrektes Ergebnis er-zielen, von dem Aspekt der Terminierung. Ein besonders drastisches Beispiel zur Illustration desKerns dieser beiden Aspekte ist die sogenannte Collatz-Funktion4, deren Lebensinhalt es zu sein

4siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Collatz-Problem

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scheint, unabhängig vom Eingabewert das Resultat 1 zu berechnen:

Eingabe : Natürliche Zahl nAusgabe : 1

solange n 6= 1 wiederholewenn n gerade dann

n← n/2

sonstn← 3n+ 1

EndeEndeGib n aus.

Algorithmus 1: Berechnung der Collatz-Funktion

Die partielle Korrektheit der Collatz-Funktion ist offensichtlich: Wenn die Funktion überhaupt ter-miniert, d.h. ein konkretes Ergebnis liefert, dann ist das 1. Ob die Collatz-Funktion aber für jedenEingabewert terminiert, ist aber bis heute ein offenes Problem. Dies mag erstaunlich scheinen, dasie auf sehr einfache Weise zu beschreiben ist. Wie unvorhersehbar sich der Wert von n entwickelt,erkennt man jedoch daran, dass bereits für den Startwert 27 im Verlauf des Algorithmus ein Wertvon 9232 erreicht wird, während bei einem Startwert von 100 der initiale Wert nie überschrittenwird!

Umgang mit beschränkten Ressourcen. Es ist modern, komplexe Aufgaben zu verteilen, undzwar zum Teil auf sehr, sehr viele Problemlöser (Crowd Sourcing). Ein von der Verteilung hernoch moderateres Beispiel der Verteilung ist die in Abbildung 1.4 skizzierte ANTS Mission derNASA. Hier soll ein Schwarm von etwa 2000 notebookgroßen Raumschiffe durch den Asteroiden-gürtel geschifft werden, um irgendwelche Missionen zu erfüllen, wie Probennahmen, Fotografien,Analyse, usw.. Wegen ihrer eingeschränkten Größe und Kapazität muss dazu eine klare Rollenver-teilung vorgenommen werden: jedes dieser Raumschiffe erfüllt Teilaufgaben, deren Ergebnisse dannanschließend zusammengeführt werden müssen. Es ist im allgemeinen sehr schwierig, eine derar-tige Zusammenarbeit effizient zu organisieren. Wir wollen uns daher hier auf ein sehr einfachesBeispielproblem beschränken:

Abbildung 1.4: ANTS

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Angenommen wir haben einen Schwarm von Minirechnern, die jeder die ganzen Zahlen bis zueinem Byte beherrschen. D.h. sie können die üblichen Rechenarten wie +, *, - und / verwenden,wobei / nur für glatt aufgehende Divisionen definiert ist.

Frage 1: Ist es möglich, trotz des Überlaufproblems zu garantieren, dass alle Ergebnisse, die sichmit einem Byte darstellen lassen, präzise sind? Oder ist es sogar möglich, die Berechnungsergeb-nisse abschließend auf einem größeren, beispielsweise auf der Erde stationierten Rechner zu einempräzisen, in vier oder acht Byte repräsentierbaren Ergebnis zusammen zu führen?

Im Rahmen der Behandlung von Faktorstrukturen werden wir sehen, dass es genügt, nur auf denResten nach Division mit einer geeigneten Menge von Primzahlen zu rechnen. Wie und warum dasmöglich ist, gehört zu den elementaren Grundlagen der Algebra.

Faktorstrukturen haben viele Anwendungen in der Informatik, insbesondere bei der Modellbildungund der automatischen Programmanalyse (Stichwort: abstrakte Interpretation).

Lösen linearer Gleichungssystemen Das Lösen kleiner linearer Gleichungssysteme begleitet einenüber Jahre hinweg im gymnasialen Mathematik- und Physikunterricht in den unterschiedlichstenSzenarien. Einer Motivation des zugehörigen Teils 2 der Vorlesung bedarf es an dieser Stelle alsonicht. Was aber typischer Weise nicht adressiert wird, ist der Aspekt der Skalierbarkeit: Wie löstman lineare Gleichungssysteme mit wirklich vielen Unbestimmten? Die lineare Algebra umfasstnicht nur effiziente Methoden zur Lösung komplexer linearer Gleichungssysteme, sondern sie stelltauch ein mit den Worten der Informatik ausgedrückt ideales domänenspezifisches Frameworkzur Verfügung, das es insbesondere erlaubt, die Struktur von Lösungen, deren etwaige Eindeutig-keit, sowie Einflüsse von verändernden Transformationen elegant zu erfassen, zu beschreiben undzu beherrschen.

Eigenfaces Ein besonders aktuelles Anwendungsfeld der linearen Algebra ist die Gesichtserken-nung: Wie charakterisiert man individuelle Gesichter möglichst einfach? Die Idee hier ist es, Gesich-ter (approximativ) aus einem kleinen Repräsentantensystem, den sogenannten Eigenfaces, zusam-men zu setzen/zu überlagern. Dieses Vorgehen ist aus Sicht der Informatik besonders spannend,da es

• Approximation: Der betrachtete Raum der Faces/Gesichter ist eigentlich unendlich-dimensional und wird hier approximativ in den endlichen Raum projiziert, der von denEigenfaces aufgespannt wird, und

• die aus der Linearen Algebra bekannte Eigenraumzerlegung zusammen führt.

Während Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume konkret Thema dieser Vorlesung sind, könnenTheorie und Anwendung der Eigenfaces hier nur intuitiv zur Motivation angerissen werden. Detailssind Thema weiterführender Vorlesungen wie Computergraphik.

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Abbildung 1.a: Eigenfaces

Das linke Bild zeigt ein Mittelwertgesicht (das ganz oben links) und 19 Eigenfaces. Mittelwertge-sichter entstehen durch Überlagerung aller zugrundeliegenden Gesichter und sind daher ein guterAusgangspunkt, von dem aus man spezifische Variantengesichter durch Hinzufügen von Eigen-gesichtern unterschiedlicher Intensität konstruieren kann. Mittelwertgesichter bilden damit denUrsprung des vollen ’Gesichtsraumes’. Weitere Gesichter werden dann durch sogenannte Linear-kombinationen von Eigenfaces gebildet. Die Qualität dieser Bilder hängt von der gewählten Di-mension des jeweils gewählten approximative Raumes ab. Abbildung 1.a zeigt Varianten für dieDimensionen 5, 10, 15, 20.

1.2 Das Zusammenspiel von Syntax und Semantik

Traditionell wird in der Mathematik präzise, aber großenteils informell natürlichsprachlich argu-mentiert. Ein klare (formale) Abgrenzung zwischen der Argumentationsebene, auf der über dasProblem geredet wird und der Problemebene selbst ist unüblich. Insbesondere trennen Mathemati-ker typischer Weise konzeptuell nicht zwischen der sogenannten Darstellungsebene/Repräsentation(Syntax) und der intendierten Bedeutung (Semantik). In der Informatik ist diese Trennung dagegenessentiell.

Im Rahmen der Vorlesung sollen zwei Vorteile dieser Trennung klar werden

• Die formale Beherrschbarkeit von der Repräsentationsebene. Sie ist Grundlage für jeglicheComputer-gestützte Bearbeitung, angefangen von einfacher Textverarbeitung, über das Über-setzen von Programmen in Maschinencode, bis hin zu ambitionierteren Problemen wie z.B.automatisiertes Theorembeweisen, Compiler-Generierung und computergestütztes Sprach-verständnis.

• Der kreative Spielraum, der durch diese Trennung ermöglicht wird: Das intuitiv vorgegebeneProblem kann auch in der Informatik, wie z.B. in der Physik als „naturgegeben“ angese-hen werden. Wir haben aber Spielraum bei der Art, wie dieses Problem formal beschrieben(repräsentiert) wird:

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Abbildung 1.5: Semiotisches Dreieck

Beispiel: Natürliche Zahlen: Wir sind an die Dezimaldarstellung gewöhnt, ihre logarith-mische Prägnanz, und die elegante Weise wie man im Dezimalsystem stellenbezogen rechnet.Man vergleiche dies einmal mit der Darstellung als römische Zahlen und mit dem Unärsystem.

Ein weiteres Beispiel, das bis heute Relevanz hat, ist er Vergleich zwischen dem metrischenSystem und dem angelsächsischen System mit Fuß, Yard und Meile. Das angelsächsischeSystem hat wegen seiner klaren Handhabungsschwierigkeiten keine Zukunft.

1.3 Denken in Strukturen: Ein lernpragmatischer Zugang

Das war jetzt ein Feuerwerk von Eindrücken, die nicht alle auf einmal vollständig verstandenund verarbeitet werden können. Seien Sie deswegen jetzt nicht beunruhigt. Der Weg liegt ja nochvor ihnen. Doch auch hier kann man auf Euklid zurückgreifen, der gesagt hat: „Es gibt keinenKönigsweg zur Mathematik!“ Das bedeutet aber nicht, dass der Weg zur Mathematik unattraktivist. Vielmehr kann man den „Ausblick“ von jedem neu errungenen Erkenntnisplateau genießen,besonders wenn man ihn sich hart erarbeitet hat.

Um dieses Erklimmen des ’Erkenntnisberges’ zu unterstützen, ist das Skript ist so aufgebaut, dasses einen schrittweisen Zugang zu der mathematisch geprägte Welt der ’höheren’ Informatik ermög-licht. Sorgfältig wurden z.B. der klausurrelavante Teil und die illustrativen Beispiele von den hiergrau unterlegten Zusatzinformationen wie Motivation, weiterführenden Gedanken und Vorwärts-verweisen in das weitere Informatikstudium abgegrenzt. Diese Vorwärtsverweise betreffen keineswegnur Aspekte der theoretischen Informatik. Vielmehr profitieren fast alle Bereiche der Informatik un-mittelbar von den im Rahmen dieser Vorlesung erarbeiteten Denkmustern. Die Universalität dieserStruktur-orientierten Denkmuster ist damit ein ideales Werkzeug für den Methoden/Technologie-Transfer zwischen den unterschiedlichen Teildisziplinen der Informatik und hinein in die Welt derAnwendungsdisziplinen.

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Sicher steht für Viele zunächst das Bestehen der Klausur zunächst im Vordergrund. Die klareKennzeichnung der Klausur-relevanten Teil soll dabei helfen, sich bei der finalen Klausurvorbe-reitung nicht zu verzetteln.5 Es sollte aber nicht vergessen werden, dass die Hintergründe undMotivationen auch hier helfen, die Intentionen zu begreifen und die unterschiedlichen Begriffe undMethoden gezielt einzuordnen. Das Gehirn arbeitet hier auf unbewusster Ebene mit. Es ist nichtselten, dass man später, an ganz anderer Stelle, auf einmal versteht, was da gemeint war. Das’Fallen von Groschen’ ist ein erstaunliches Phänomen, und wenn es passiert ist es erhebend.

Groschen können aber nur fallen, wenn es genügend Material gibt. Die zahlreichen Hinweise, Bei-spiele und Verweise sollen hier anregen, zum Weiterdenken, zum Diskutieren aber auch zum Goo-glen und zum Nachschlagen bei Wikipedia. Jede Beschäftigung mit der Thematik bringt einenweiter, unmerklich, aber bei entsprechendem Einsatz fast unweigerlich. Die Auseinandersetzungmit dem Vorlesungsstoff betrifft aber keinesfalls nur die mathematischen Inhalte. Tatsächlich istes erstaunlich, was man über die Informatik ’im Spiegel’ der Mathematik alles lernen kann, Dinge,die eine unmittelbare Beschäftigung mit der Informatik gar nicht ans Licht bringen würden. WennSie das verstehen, dann ist der Hauptziel erreicht, dann werden sich die vielen Einzelteile nach undnach zu einem Ganzen zusammenfügen. Das Skript ist daher perspektivisch als eine Art Beglei-ter für Ihr ganzes Studium aufgebaut, der es Ihnen ermöglichen soll, das Fallen der Groschen zuerkennen und zu genießen.

An dieser Stelle ist eine Bemerkung zu Verweisen auf Wikipedia-Artikel angebracht, welche sichbereits im vorangegangenen Text fanden und auch an vielen Stellen im Skript finden werden. Die-se sollen als Denkanstöße verstanden werden, sich tiefergehend über interessante mathematischePhänomene und Problemstellungen zu informieren, auch wenn sich diese aufgrund ihrer Komple-xität und der erforderlichen Vorkenntnisse hier allenfalls namentlich erwähnen lassen, und sich soeine Art „mathematischer Allgemeinbildung“ anzueignen. Für diesen Zweck scheinen Verweise aufWikipedia wesentlich geeigneter als auf mathematische Fachartikel. Bitte missverstehen Sie diesnicht:Wikipedia ist keine wissenschaftliche Quelle, die Sie in Seminar- oder Abschluss-arbeiten zitieren können! Dies liegt daran, dass die Informationen nicht durch Wissenschaftlerder jeweiligen Fächer begutachtet werden (peer review), nicht jedoch an der Qualität – diese isterfahrungsgemäß insbesondere bei Themen der Mathematik und Informatik sehr hoch.

Es ist ganz normal, wenn Sie am Anfang angesichts der vielen neuen Eindrücke und der Flut anBegrifflichkeiten, Denkansätze und Techniken zunächst ’schwimmen’. Wichtig ist, dass sie weiter-schwimmen!6 und auf diese Weise genügend Material zu sammeln, dass die Groschen auch fallenkönnen. Das kann je nach Umständen länger dauern, oder manchmal ganz schnell spontan gesche-hen.

Sorgen machen müssen Sie sich erst, wenn Sie trotz ernsthafter Bemühung7 das hier vorgestellteAnliegen am Ende der Vorlesung immer noch nicht begreifen. Wenn Sie das Anliegen aber ver-5Hierbei bezieht sich Klausurrelevanz auf die Methoden und Konzepte, nicht aber auf die konkreten Aufgabenstel-lungen und Beispiele. Die Klausur kann sehr wohl Fragestellungen des Motivationsteils oder der Übungsaufgabenübernehmen. Nur lassen sich alle Klausuraufgaben allein mit den als klausurrelevant gekennzeichneten ’Werk-zeugen’ bearbeiten.

6Selbst der Soldat hat bei Wassertiefen ab 1,40m laut Soldatengesetz selbsttätig mit Schwimmbewegungen zubeginnen.

7Ernsthaft bedeutet hier zusätzlich zu den Veranstaltungen einen Zeitaufwand von wenigstens 5 vollen Stunden inder Woche für die Bearbeitung der Übungsaufgaben und themenbezogenen Diskussionen mit Kommilitonen

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innerlicht haben, dann steht einem erfolgreichen Informatikstudium nichts mehr im Wege. Dannwerden Sie zunehmend in der Lage sein, die Prinzipien und Verfahrensmuster selbst einzusetzen,fehlende Details zu ermitteln, und sich in neue Thematiken einzuarbeiten.

Ganz wichtig ist es, sich klar zu machen, dass anspruchsvollere Texte, jedes mal wenn man sie liest,wieder eine neue Ebene des Verstehens anregen. Wenn Sie dieses Skript z.B. im Hauptstudiumlesen, werden Sie auf Hinweise stoßen, die Ihnen früher verborgen geblieben sind, da sie zu demZeitpunkt noch keine entsprechende Sensibilität entwickelt hatten. Das gilt natürlich nicht nur fürTexte. Wenn Sie im Studium auf ein Thema stoßen, dass Ihnen aus der Schule bekannt vorkommt,sollten Sie besonders aufmerksam sein und zu erkennen versuchen, was neu ist an der universitärenHerangehensweise. Jede Stufe des Verstehens lässt Bekanntes ganz anders aussehen. Bleiben Sieoffen für diese Stufen. Sie werden sehen, es gibt sehr viele davon.

1.4 Lernziele und Kompetenzen zusammengefasst

Zweifelfreies Verstehen:

• mathematische Präzision

• dazugehörige Formalismen, sowie

• mathematisches Vorgehen

Einsatz wiederverwendbarer Muster:

• Beschreibungsmuster

• Strukturierungsmuster

• Beweismuster

• algorithmische Muster

Prinzipielles Vorgehen:

• Was ist der Kern des Problems?

• Was sind angemessene Lösungsmuster?

• Wie kann man diese Muster gezielt zur Problemlösung einsetzen?

• Wie erhält man ein spezifisches Lösungsszenario (Domänenmodellierung)

Beherrschung von Modellierungsspielräumen:

I Trennung von Syntax/Semantik: WIE vs. WAS

II (Induktives) Strukturieren

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III Generalisierung und Abstraktion

als Grundlage für ’teile und herrsche’-Prinzipien wie:

IV Invarianz

V Kompositionalität

mit dem Ziel:

VI Korrektheit (z.B.(induktive) Beweisbarkeit)

VII Effizienz

VIII Skalierbarkeit

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2 Aussagen und Mengen

2.1 Aussagen

In der Mathematik ist es von essentieller Bedeutung wissenschaftliche Erkenntnisse in (schrift-)sprachlicherForm abzufassen. Da umgangssprachliche Formulierungen die Gefahr von Missverständnissen insich tragen, hat sich eine formalisierte Verwendung sprachlicher Konstrukte durchgesetzt. Fastnoch stärker gilt dies in der Informatik und der Logik, da hier oft Aussagen über verschiedeneSinnebenen (z.B. Syntax und Semantik) miteinander in Zusammenhang gesetzt werden. Hier istselbst bei der Formalisierung größte Sorgfalt geboten, da es sonst zu Missverständnissen durchVermischung verschiedener Ebenen kommen kann.

Ein zentraler Begriff der gesamten Logik ist der Begriff der Aussage (engl. proposition), der sichwie folgt definieren lässt:

Definition 2.1 (Aussagen). Aussagen sind (schrift-)sprachliche Gebilde, für die es sinnvoll ist,ihnen einen Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f) zuzuordnen.

Leider ist auch diese Definition nicht völlig eindeutig. Problematisch ist hierbei die Formulierung„sinnvoll“: Während es für viele Sätze unbestreitbar sinnvoll ist, ihnen Wahrheitswerte zuzuordnen,ist dies bei anderen weit weniger klar. Wir werden dies weiter unten präzisieren, zunächst folgenjedoch einige Beispiele für Sätze, die zweifellos Aussagen darstellen.

Beispiel 2.2 (Aussagen).

1. Borussia Dortmund ist Deutscher Fußballmeister der Herren 2011. (w)

2. Delfine sind Fische. (f)

3. 5 ist eine Primzahl. (w)

4. Es gibt nur endlich viele Primzahlen. (f)

5. Jede gerade Zahl größer als zwei ist Summe zweier Primzahlen. (?)

Aussage (4) ist falsch, denn mit dem Satz von Euklid1 lässt sich die Existenz unendlich vielerPrimzahlen nachweisen. Bei Aussage (5) hingegen handelt es sich um die sogenannte GoldbachscheVermutung2, deren Gültigkeit bis heute nicht nachgewiesen werden konnte. Dennoch kann man

1siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Satz%20von%20Euklid2siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Goldbachsche%20Vermutung

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davon ausgehen, dass die Vermutung entweder durch einen Beweis nachgewiesen oder durch einGegenbeispiel widerlegt werden kann.

Keine Aussagen im mathematischen Sinne sind:

Beispiel 2.3 (Keine Aussagen).

1. Wie spät ist es?

2. Kommt her!

3. Diese Aussage ist falsch.

Während es sich bei (1) und (2) um eine Frage beziehungsweise Anweisung handelt, hat (3) zumin-dest die äußere Form einer Aussage. Allerdings kann man dem Satz keinen eindeutig bestimmtenWahrheitswert zuordnen, da es sich um ein logisches Paradoxon handelt: Jeder mögliche Wahr-heitswert, den man (3) zuordnen kann, stünde im Widerspruch zum Inhalt des Satzes.

Zuletzt gibt es Sätze, bei denen die Einordnung unklar ist:

Beispiel 2.4.

1. Heute ist das Wetter schön.

2. Verdi hat die bedeutendsten Opern komponiert.

Bei nasskaltem Herbstwetter würden die meisten Menschen Satz (1) wohl für falsch befinden.Allerdings ist die Beurteilung „schön“ immer von der jeweiligen Person abhängig, und mancheLeute mögen ein solches Wetter vielleicht als „schön“ empfinden. Bei Satz (2) kann man sichdurchaus Gedanken über eine objektive Betrachtung machen – die Bedeutsamkeit einer Oper ließesich beispielsweise daran messen, wie oft sie weltweit in einem Jahr aufgeführt wird. Dennochist zu erwarten, dass beide mögliche Zuordnungen eines Wahrheitswerts zu diesem Satz manchenWiderspruch aus der Musikwissenschaft nach sich ziehen würden.

In der Mathematik und Informatik sind solche Uneindeutigkeiten jedoch selten von Bedeutung:Es wird verlangt, dass Aussagen in einer bestimmten, genau definierten Form vorliegen müssen(Syntax), und dass es eindeutige Vorschriften gibt, wie sich die Wahrheitswerte dieser Aussagenberechnen (Semantik). Dann ist die Zuordnung eines Wahrheitswerts zu einem – syntaktisch kor-rekten – Ausdruck durch die Semantik unmittelbar als „sinnvoll“ gerechtfertigt.

2.1.1 Aussagenlogik

In der Aussagenlogik betrachtet man, wie komplexere Aussagen aus einfachen Aussagen gebildetwerden können. Hierzu geht man von gewissen elementaren (auch: atomaren, griech. atomos =„unteilbar“) Aussagen aus, welche zu neuen Aussagen verknüpft werden können. Zwei Gedankensind dabei zentral: Zum einen ist die Struktur der elementaren Aussagen nicht relevant, es genügtdie Annahme, dass ihnen ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Die Frage, ob eine elementare

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Aussage wirklich eine Aussage im Sinne von Definition 2.1 ist, stellt sich also überhaupt nicht.Zum anderen findet das sogenannte Extensionalitätsprinzip Anwendung: Der Wahrheitswert derkomplexen Aussagen soll sich eindeutig aus den Wahrheitswerten der Teilaussagen ergeben.

Wir werden in den Kapiteln 4 und 5 späteren Kapiteln diese Sichtweise formal präzisieren, in-dem wir aussagenlogische Formeln (Syntax ) induktiv definieren und diesen dann induktiv eineBedeutung (Semantik) zuweisen. Zunächst aber betrachten wir hier einen etwas weniger formalenZugang:

Definition 2.5 (Verknüpfung von Aussagen). Seien A und B beliebige Aussagen. Die folgendenGebilde sind dann ebenfalls Aussagen (aussagenlogische Formeln):

Negation von A: (¬A), gesprochen „nicht A“. Der Wahrheitswert von A wird invertiert.a

Disjunktion von A und B: (A ∨ B), gesprochen „A oder B“. Wahr genau dann, wenn mindestenseine der beiden Aussagen wahr ist.

Konjunktion von A und B: (A ∧ B), gesprochen „A und B“. Wahr genau dann, wenn beideAussagen wahr sind.

Implikation von A und B: (A ⇒ B), gesprochen „A impliziert B“ oder „aus A folgt B“: Wahrgenau dann, wenn falls A wahr ist auch B wahr ist.b

Äquivalenz von A und B: (A ⇔ B), gesprochen „A ist äquivalent zu B“ oder „A genau dann,wenn B“. Wahr genau dann, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen.

aGelegentlich wird die Negation auch durch einen Überstrich ausgedrückt: A.bA ist die Prämisse und B die Konklusion der Implikation.

Bemerkenswert an Definition 2.5 ist die Selbstbezüglichkeit: Obwohl Aussagen im Sinne der Aus-sagenlogik dort erst definiert werden, so wird in der Definition bereits auf Aussagen A und Bzurückgegriffen. Da für Aussagen A,B, C auch ¬A und (B ∨ C) Aussagen sind, ist auch ¬(B ∨ C)eine Aussage. An dieser Art des induktiven Definierens, das in Kapitel 4 formalisiert wird, lassensich sofort zwei Eigenschaften ablesen: Zum einen ist die Menge aller aussagenlogischen Formelnunbegrenzt, da sich aus den vorhandenen stets neue, komplexere Aussagen bilden lassen. Zum an-deren ist es leicht einsichtig, warum elementare Aussagen benötigt werden: Andernfalls hätte mankeinen Punkt, an dem man mit der Konstruktion einer aussagenlogischen Formel beginnen könnte.

Die Definitionen basieren selbst bereits auf einer der obigen Verknüpfungen: Die Formulierung„genau dann, wenn ...“ drückt eine Äquivalenzbeziehung aus. Aufgrund der großen Wichtigkeitdieser Beziehung kürzt man dies auch oft mit „gdw.“ (im Englischen iff = „if and only if“) ab.Hier zeigt sich allerdings die in der Einleitung bereits angesprochene Wichtigkeit der Trennungverschiedener Bedeutungsebenen: Die Äquivalenz „⇔“ ist eine Verknüpfung in der Aussagenlogik,der eine bestimmte Bedeutung zugeordnet ist. Die Aussage „genau dann, wenn ...“ findet jedochauf einer Ebene statt, auf der man über die Aussagenlogik bzw. deren Semantik spricht. Die beidenAusdrücke sind in der obigen Definition also keinesfalls vertauschbar!

Bei der Implikation ist zu bedenken, dass diese im Falle einer nicht erfüllten Prämisse wahr ist. So

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ist die Aussage:10 ist eine Primzahl ⇒ Elefanten können fliegen

eine wahre Aussage. Aus einer logisch falschen Aussage lässt sich daher jede andere Aussage folgern(lat. ex falso quodlibet, „aus dem Falschen folgt Beliebiges“).

Die Verknüpfungen⇒ (Implikation) und⇔ (Äquivalenz) drücken eine „wenn, dann ...“- bzw. „genaudann, wenn ...“-Beziehung aus. Im normalen Sprachgebrauch vernachlässigt man diese Trennungjedoch oft. So trifft der Satz „Wenn heute die Sonne scheint, gehe ich schwimmen“ formal logischgesehen keine Aussage über den Fall, dass die Sonne nicht scheint – anders als eine „Genau dann,wenn ...“-Formulierung, also eine Äquivalenz.

Eine weitere Verknüpfung, die weniger in der mathematischen Logik, dafür umso mehr in derInformatik eine Rolle spielt, ist das sogenannte XOR (von engl. eXclusive OR, „exklusives Oder“,auch als Kontravalenz oder Antivalenz bezeichnet), ausgedrückt durch das Zeichen ⊕. Die AussageA ⊕ B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Es lässt sichleicht überprüfen, dass dies die Negation der Äquivalenz ist.

Eine zentrale Eigenschaft der XOR-Verknüpfung ist die Tatsache, dass eine zweifache Anwendungmit dem gleichen Operand wieder den ursprünglichen Wahrheitswert ergibt, d.h. (A⊕B)⊕B besitztden gleichen Wahrheitswert wie A. In der Informatik ist sie insbesondere in der Kryptographie vonBedeutung.

Die Verknüpfungssymbole ¬,∨,∧,⇒ und ⇔ werden auch Junktoren genannt. Um Klammern ein-zusparen vereinbart man, dass bei der Auswertung ¬ Vorrang vor anderen Junktoren, ∧ Vorrangvor allen Junktoren außer ¬ und ∨ Vorrang vor ⇒ und ⇔ hat.3

Eine formalere Form der Auswertung von Aussagen im Sinne der Aussagenlogik erlaubt die imFolgenden dargestellte Wahrheitstafel, welche die in Definition 2.5 Verknüpfungen zusammenfasst:

A B ¬A A ∨ B A ∧ B A ⇒ B A ⇔ Bf f w f f w wf w w w f w fw f f w f f fw w f w w w w

Die Spalten einer Wahrheitstafel lassen sich in zwei Hälften einteilen: Auf der linken Seite stehendie elementaren Aussagen (hier A und B), auf der rechten Seite finden sich die aus diesen zusam-mengesetzten aussagenlogischen Formeln. Eine Zeile in der Wahrheitstafel korrespondiert zu einereindeutigen Belegung der elementaren Aussagen mit einem Wahrheitswert. In den Zellen schließlichfinden sich die Wahrheitswerte der Aussagen unter der jeweiligen Belegungen.

Es lässt sich zeigen, dass man für eine gegebene Menge von elementaren Aussagen und eine beliebigeSpalte in der zugehörigen Wahrheitstafel eine aussagenlogische Formel konstruieren kann, derenAuswertung genau die in der Spalte vorgegebenen Wahrheitswerte ergibt. Dies ist beispielsweise3Man sagt auch, dass ¬ stärker bindet als ∧. Die Rangfolge der Junktoren bezeichnet man auch als Operatoren-

präzedenz, in der Arithmetik wird diese durch die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ verkörpert.

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durch die Konstruktion der disjunktiven Normalform (DNF) möglich, ein Verfahren, welches inder Vorlesung „Rechnerstrukturen“ vorgestellt wird. Die resultierenden Formeln enthalten sogarlediglich die Junktoren ¬, ∧ und ∨. Man sagt daher auch, dass die Junktorenmenge {¬,∧,∨}funktional vollständig sei.

Aussagen A und B, deren Wahrheitstafeleinträge gleich sind, werden als (semantisch) äquivalentbezeichnet (in Zeichen A ≡ B). Zum Beispiel kann die Konjunktion, die Implikation und dieÄquivalenz wie folgt durch alleinige Verwendung der Junktoren ¬ und ∨ ausgedrückt werden.

A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B) (2.1)

A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B (2.2)

A ⇔ B ≡ ¬(¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(¬B ∨ A))) (2.3)

Es sei darauf hingewiesen, dass die semantische Äquivalenz ≡ nicht etwa Junktor der Aussagenlogikist, sondern – vergleichbar zu „genau dann, wenn ...“ – Metasymbol, um Aussagen über Aussagenzu formulieren. Es gilt jedoch, dass für äquivalente Aussagen A ≡ B die Aussage A ⇔ B eineTautologie, sprich eine immer wahre Aussage ist.

Größe von Wahrheitstafeln. Bei der Betrachtung aussagenlogischer Formeln interessiert mansich seltener für den Wahrheitswert unter einer bestimmten Belegung, sondern für die Gesamtheitaller möglichen Belegungen: Ist eine Aussage widersprüchlich (auch: unerfüllbar), d.h. unter keinermöglichen Belegung wahr? Ist sie zumindest erfüllbar, d.h. unter mindestens einer Belegung wahr?Oder ist sie gar eine Tautologie (auch: allgemeingültig), also wahr unter jeder möglichen Belegung?

Man erkennt schnell, dass man für die eindeutige Beantwortung dieser Fragen mithilfe einer Wahr-heitstafel immer die gesamte Wahrheitstafel kennen muss – für widersprüchliche und allgemein-gültige Aussagen im Falle einer positiven, für die Erfüllbarkeit im Falle einer negativen Antwort.Jedoch wächst die Größe einer Wahrheitstafel exponentiell mit der Anzahl elementarer Aussagen:Bei n elementaren Aussagen sind 2n Zeilen erforderlich. Sind im Falle von 2 elementaren Aussa-gen 4 Zeilen, wie in der obigen Wahrheitstafel, auch für einen Menschen noch überschaubar, sowird dies bei 5 elementaren Aussagen (32 Zeilen) bereits schwer und bei 10 elementaren Aussa-gen (1024 Zeilen) unmöglich. Auch Computer geraten spätestens ab n = 50 an ihre Grenzen. Inder Vorlesung „Logik für Informatiker“ werden daher Algorithmen vorgestellt, welche den Test auf(Un-)Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln, teilweise unter gewissen Einschränkungen, wesent-lich effizienter als durch Berechnung einer Wahrheitstafel durchführen können.

Die Äquivalenzen 2.1 und 2.2 sind exemplarisch in der folgenden Wahrheitstafel bewiesen:

A B ¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬(¬A ∨ ¬B) A ∧ B ¬A ∨ B A ⇒ Bf f w w w f f w wf w w f w f f w ww f f w w f f f fw w f f f w w w w

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Die Gleichungen (2.1) - (2.3) zeigen, dass Negation und Disjunktion alleine ausreichen, um allein Definition 2.5 eingeführten Aussagenverknüpfungen auszudrücken. Dies ist nicht überraschend:Da die Junktorenmenge {¬,∧,∨} funktional vollständig ist, und sich ∧ durch ¬ und ∨ ausdrückenlässt (Äquivalenz 2.1), ist natürlich auch die Menge {¬,∨} funktional vollständig, also insbesondereauch ausreichend, um Implikation und Äquivalenz auszudrücken.

Tatsächlich genügt sogar schon ein einziger Operator: Definiert man die „Nicht-Und“-Verknüpfung(auch NAND-Verknüpfung, Not AND, genannt), durch A∧B =df ¬(A∧B), so lässt sich die Negati-on ausdrücken durch ¬A ≡ A∧A und die Disjunktion durchA∨B ≡ ¬A∧¬B ≡ (A∧A)∧(B∧B).Die NAND-Verknüpfung alleine ist also bereits funktional vollständig. Dies ist insbesondere imSchaltwerksentwurf von Bedeutung, wo es von Vorteil ist, möglichst einheitliche Bausteine zu ver-wenden.

Im Folgenden werden semantische Äquivalenzen von aussagenlogischen Formeln aufgelistet, welcheinsbesondere für die Vereinfachung von Formeln von Bedeutung sind. T und F stehen hierbei alsSymbole für eine immer wahre bzw. immer falsche Aussage. Den Nachweis dieser Äquivalenzen mitHilfe von Wahrheitstafeln überlassen wir dem Leser als Übungsaufgabe.

Lemma 2.6 (Semantische Äquivalenzen). Es gelten für beliebige Aussagen A,B, C die folgendenÄquivalenzen:

A ∧ B ≡ B ∧ A (Kommutativität)A ∨ B ≡ B ∨ A

(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (Assoziativität)(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

A ∧ (A ∨ B) ≡ A (Absorption)A ∨ (A ∧ B) ≡ A

A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (Distributivität)A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A ∧ ¬A ≡ F (Negation)A ∨ ¬A ≡ T

A ∧ A ≡ A (Idempotenz)A ∨ A ≡ A

¬¬A ≡ A (Doppelnegation)

¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B (deMorgansche Regeln)¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

T ∧ A ≡ A (Neutralität)F ∨ A ≡ A

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Negationsnormalform. Die sogenannten deMorganschen Regeln erlauben es, eine Negation voneinem Junktor auf die Operanden zu verschieben. Bei der Verarbeitung von aussagenlogischenFormeln ist es oftmals unerwünscht, dass ganze Teilausdrücke negiert werden. Die wiederholteAnwendung der deMorganschen Regeln sowie der Elimination von Doppelnegationen erlaubt es,die Formel in eine semantisch äquivalente Formel zu transformieren, in der Negationen nur nochunmittelbar vor elementaren Aussagen auftreten. Dieses Vorgehen bezeichnet man als negationpushing, die resultierende Form bezeichnet man als Negationsnormalform (NNF).

2.1.2 Anwendung: Digitale Schaltkreise

In der bisher betrachteten Aussagenlogik liegt der Fokus auf der Kombination elementarer Aussagenzu größeren Konstrukten. Die Struktur elementarer Aussagen ist nicht relevant. Die Aussagenlogikist daher in Szenarien adäquat, wo nicht näher untersuchte Basisobjekte genau zwei Werte anneh-men können. Dieses ist zum Beispiel in der Theorie digitaler Schaltkreise der Fall. Dort geht es umdie Verarbeitung binärer Signale, die durch zwei unterschiedliche Spannungspotentiale, etwa 0V(entspricht f oder 0) und 5V (entspricht w oder 1), realisiert werden.

Wir betrachten hier zunächst die Funktionalität eines Halbaddierers. Dieser addiert die an zweiEingängen A und B anliegende Signale (entweder 0 oder 1) und erzeugt dabei gegebenenfalls einenÜberlauf (oder Übertrag), der von einem nachgeschalteten Volladdierer verarbeitet werden kann.Liegt an einem von beiden Eingängen eine 1 an, so ergibt sich als Summe am Ausgang Z ebenfalls 1,ein Überlauf geschieht nicht. Liegt jedoch an beiden Eingängen 1 an, so ist – wie in der schriftlichenAddition, hier in das Binärsystem übertragen – die Summe 0, dafür aber wird der Überlauf Ü auf1 gesetzt.

Abbildung 2.a: Halbaddierer aus NAND-Bausteinen

In Abbildung 2.a findet sich das Schaltbild eines Halbaddierers, der ausschließlich aus NAND-Bausteinen besteht.a Die Wahrheitstafel für die Gesamtfunktionalität des Halbaddieres ist in Ta-belle 2.a zu finden.

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A B

C︷ ︸︸ ︷A ∧B

D︷ ︸︸ ︷A ∧C

E︷ ︸︸ ︷C ∧B

Z︷ ︸︸ ︷D ∧E

Ü︷ ︸︸ ︷C ∧C

0 0 1 1 1 0 00 1 1 1 0 1 01 0 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0 1

Tabelle 2.a: Wahrheitstafel zu Schaltung aus Abbildung 2.a

aDies ist aufgrund der funktionalen Vollständigkeit von NAND für jede Schaltung möglich.

Wir werden digitale Schaltkreise an dieser Stelle nicht weiter vertiefen. Diese werden ausführlichin der Vorlesung Rechnerstrukturen oder Elektrotechnik-Vorlesungen (wie z.B. Elektrotechnik undNachrichtentechnik) behandelt.

2.1.3 Prädikatenlogik

Genügt die Aussagenlogik zur Beschreibung der Theorie digitaler Schaltkreise, so ist sie für dieBehandlung allgemeiner mathematischer Theorien zu eingeschränkt, da die innere Struktur derelementaren Aussagen dort eine Rolle spielt. Beispielsweise folgen die Aussagen

1 + 2 = 2 + 1

2 + 3 = 3 + 2

6 + 14 = 14 + 6...

alle demselben Muster. Sie drücken nämlich die Kommutativität der Addition natürlicher Zahlenaus. Diesem wird durch die Einführung quantifizierter Ausdrucksformen wie „für alle“ und „esgibt“ in der Prädikatenlogik Rechnung getragen. Bezeichnet N die Menge der natürlichen Zahlen,4

so drückt die prädikatenlogische Formel

∀x ∈ N. ∀ y ∈ N. x+ y = y + x

den Tatbestand der Kommutativität aus.

Wir verzichten in dieser Vorlesung auf eine formal fundierte Einführung der Prädikatenlogik undverweisen auf vertiefende Vorlesungen wie Logik für Informatiker. Wesentlicher Bestandteil derPrädikatenlogik ist eine zugrundeliegende Struktur. Hierunter versteht man eine nichtleere Men-ge sogenannter Individuen mit zugehörigen Operationen und Relationen (siehe Kapitel 3.1). Einwichtiges Beispiel für eine solche Struktur sind die natürlichen Zahlen N, auf denen die Operatio-nen Addition und Multiplikation definiert sind, und welche über die Gleichheits- und ≤-Relationmiteinander verglichen werden können. Die Prädikatenlogik über den natürlichen Zahlen erweitertdie Aussagenlogik in folgender Weise:

4Im Verlauf dieses Skripts gehen wir davon aus, dass auch 0 eine natürliche Zahl ist. Für die Menge der echtpositiven natürlichen Zahlen schreiben wir dann N+.

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1. Die Junktoren der Aussagenlogik dürfen wie gewohnt zum Kombinieren von Aussagen ver-wendet werden.

2. Zusätzlich dürfen relationale Ausdrücke mit freien Variablen über natürlichen Zahlen, wiez.B. n + 1 ≤ 3, verwendet werden. Man spricht hier von Prädikaten oder Aussageformen.5

Aussageformen dürfen auch mehrere freie Variablen enthalten.

3. Aussageformen können unter Verwendung des All- und Existenzquantors in Aussagen über-führt werden. Für eine Aussageform A(n) mit freier Variable n bilden wir die:

Allaussage: ∀n. A(n). Diese ist genau dann wahr, wenn A(n) für alle Werte n ∈ N wahr ist.

Existenzaussage: ∃n. A(n). Diese ist genau dann wahr, wenn A(n) für mindestens einenWert n ∈ N wahr ist.

Ist die zugrundeliegende Struktur der natürlichen Zahlen nicht aus dem Kontext ersichtlich,schreiben wir auch ∀n ∈ N. A(n) bzw. ∃n ∈ N. A(n). In der quantifizierten Formel istdie Variable n an den Quantor gebunden und kann somit nicht durch äußere quantifizierteFormeln referenziert werden.

Auf einen Quantor muss nicht immer unmittelbar eine Aussageform folgen. Ist bspw. B eineAussageform mit zwei freien Variablen, so kann man z.B. schreiben ∀n. ∃m. B(n,m).

Natürlich lassen sich auch Prädikatenlogiken über anderen Strukturen als den natürlichen Zah-len definieren. Um Klammern einzusparen vereinbart man, dass Quantoren schwächer binden alsalle Junktoren. Soll eine engere Bindung zum Ausdruck gebracht werden, müssen quantifizierteAussagen entsprechend geklammert werden. Statt ¬(∀n. A(n)) und ¬(∃n. A(n)) schreiben wirkurz 6 ∀n. A(n) und @n. A(n). Geschachtelte quantifizierte Aussagen mit demselben Quantor, etwa∀x1. ∀x2. . . . ∀xn. A(x1, . . . , xn), können abgekürzt durch ∀x1, . . . , xn. A(x1, . . . , xn) dargestelltwerden.

Oft führt man in der Prädikatenlogik auch Relationen als Abkürzungen für komplexere Teilformelnmit freien Variablen ein. Wir demonstrieren dieses für die Eigenschaft des größten gemeinsamenTeilers (ggT). Als Hilfsmittel definieren wir zunächst die Teilbarkeitsrelation:

n|m =df ∃ k ∈ N. n · k = m.

In Worten: n teilt m, falls es eine natürliche Zahl k gibt, so dass das k-fache von n die Zahl mergibt. Darauf aufbauend definieren wir eine dreistellige Relation ggT , die ausdrückt, wann einenatürliche Zahl x größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen n und m ist:

ggT (n,m, x) =df x|n ∧ x|m ∧ ∀ y ∈ N. (y|n ∧ y|m) ⇒ y ≤ x.

Durch x|n ∧ x|m wird zunächst die Forderung ausgedrückt, dass x ein gemeinsamer Teiler vonn und m ist. Die dann folgende Allaussage drückt die Forderung aus, dass x größer oder gleich zu

5Der Begriff Aussageform bringt zum Ausdruck, dass eine solche erst durch das Zuordnen von Werten für dieVariablen zur Aussage wird. Beispielsweise ergibt n + 1 ≤ 3 für n 7→ 2 eine wahre, aber für n 7→ 3 eine falscheAussage.

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jedem anderen gemeinsamen Teiler ist. Da die ggT-Relation auch als Funktion (siehe Kapitel 3.2)ggT : N× N→ N angesehen werden kann, schreibt man statt ggT (n,m, x) auch x = ggT (n,m).

Hier zeigt sich einer der wesentlichen Unterschiede zwischen Mathematik und Informatik: Anhandder obigen prädikatenlogischen Ausdrücke lässt sich die ggT -Funktion mathematisch einwandfreidefinieren. Zu einer Funktion im Sinne der Informatik gehört jedoch eine Berechnungsvorschrift,d.h. eine algorithmische Beschreibung, wie man zum korrekten Ergebnis gelangt. In der Definitiondes obigen ggT -Prädikats ist eine solche nicht enthalten! Selbst der Test auf Teilbarkeit liefert keineexplizite Beschreibung, wie ein geeignetes k zu finden ist.

Will man jedoch einen Bezug zwischen einer Implementierung der Funktion und dem mathemati-schen Phänomen des größten gemeinsamen Teilers herstellen, die Korrektheit des Programms alsoverifizieren, so ist es oftmals unabdingbar, sich auf die formalen Definitionen etwa in Form derobigen prädikatenlogischen Formel zu stützen. Dies gilt beispielsweise für die Ableitung korrekterInvarianten, die ein Schlüsselwerkzeug zur Programmverifikation darstellen. Für das Problem derggT-Berechnung mittels des Euklidischen Algorithmus werden wir dies an späterer Stelle auchdurchführen.

Eine häufige Quelle von Missverständnissen ist die Auswirkung logischer Negation auf quantifizierteFormeln, da diese sich nicht unbedingt mit dem Alltagsverständnis deckt. So ist die Negation von„alle“ keinesfalls „keiner“, sondern eben „nicht alle“. Formal gilt folgender Zusammenhang:

Lemma 2.7 (Negation von quantifizierten Formeln). Sei A eine Aussageform mit einer freienVariablen. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

1. ¬(∀x. A(x)) ≡ ∃x. ¬A(x)

2. ¬(∃x. A(x)) ≡ ∀x. ¬A(x)

Beweis Wir zeigen exemplarisch die erste Eigenschaft, wobei wir die Struktur natürlicher Zahlenzugrunde legen.

¬(∀x. A(x)) ist wahr gdw. ∀x. A(x) ist falsch (Auswertung ¬)gdw. A(x) ist falsch für mindestens ein x (Auswertung ∀)gdw. ¬A(x) ist wahr für mindestens ein x (Auswertung ¬)gdw. ∃x. ¬A(x) ist wahr (Auswertung ∃)

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Negationsnormalform. Ähnlich wie über die deMorganschen Regeln lassen sich auch mit denobigen Äquivalenzen Negationen auf eine tiefere Ebene verschieben. Eine Negationsnormalform,wie in Abschnitt 2.1.1 beschrieben, lässt sich also auch für prädikatenlogische Formeln definie-ren. Hierbei wendet man – solange dies möglich ist – die Elimination doppelter Negationen, diedeMorganschen Regeln oder die Regeln zur Negation von Quantoren an. Das Ergebnis ist eineprädikatenlogische Formel, in der Negationssymbole nur noch unmittelbar vor aus Aussageformengebildeten Aussagen auftreten.

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2.1.4 Logische Beweisprinzipien

Während Wahrheitstafeln ausreichen um beliebige Sätze der Aussagenlogik zu beweisen, kann eintabellarischer Ansatz in der Prädikatenlogik wegen der im Regelfall unendlich großen zugrundelie-genden Strukturen nicht mehr zielführend sein. Prinzipiell gibt es beim Beweisen zwei unterschied-liche Ansätze. Zum einen kann ein Beweis semantisch vorgehen, d.h. sich direkt an der Definitionder Semantik der logischen Konstrukte (Junktoren und Quantoren) orientieren. Ein Beispiel füreine solches Vorgehen ist der Beweis zu Lemma 2.7.6 Zum anderen können als gültig nachgewieseneRegeln verwendet werden, um die zu beweisende Behauptung syntaktisch zu transformieren. Aufdiesem Vorgehen basieren insbesondere automatisierte Beweissysteme. Ein Beweis für die seman-tische Äquivalenz T ∨ A ≡ T, der sich ausschließlich auf die Regeln aus Lemma 2.6 stützt, ist:

T ∨ A ≡ (A ∨ ¬A) ∨ A (Negation)≡ A ∨ (¬A ∨ A) (Assoziativität)≡ A ∨ (A ∨ ¬A) (Kommutativität)≡ (A ∨ A) ∨ ¬A (Assoziativität)≡ A ∨ ¬A (Idempotenz)≡ T (Negation)

Der vorangegangene Beweis folgt einem Vorgehen, welches zentral für die gesamte Mathematik ist:Dem axiomatischen Beweisen. Beim axiomatischen Beweisen wird die Gültigkeit einer Behaup-tung nachgewiesen, indem man sie aus bekannten, als wahr angenommenen Sätzen (den Axiomen)herleitet. In diesem Beispiel waren dies die in Lemma 2.6 festgehaltenen Äquivalenzen.

Beweisprinzip 2.8 (Axiomatisches Beweisen).

Aus einer Menge von Axiomen, also als wahr vorausgesetzten Sätzen, wird die zu zeigendeBehauptung abgeleitet.

In der mathematischen Praxis verwendet man meist ein gemischtes Vorgehen. Immer wenn einpraktisch besonders relevantes Beweismuster eingesetzt wird, wird dies in der obigen Weise festge-halten.

Der Begriff „Axiom“

Zentral für den Begriff des Axioms ist die Tatsache, dass dieses als wahr angenommen wird, ohnedass es bewiesen werden muss – und im strengen Sinne auch nicht bewiesen werden kann. Diein Lemma 2.6 festgehaltenen Äquivalenzen lassen sich natürlich anhand einer Wahrheitstafel überdie in Definition 2.5 definierte Semantik beweisen, dies ist jedoch für die Gültigkeit des obigenBeweises nicht notwendig! Nimmt man lediglich ein System an, in dem die Gesetzmäßigkeiten aus6Da die Semantik von Prädikatenlogik in diesem Kapitel nicht vollständig formal ausgeführt ist, sollte man genaugenommen von einem intuitiv semantischen Beweis sprechen. In Kapitel 5 werden wir anhand der formalenSemantik genauer argumentieren.

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Lemma 2.6 gelten, so lässt sich die Aussage T ∨A ≡ T ebenso beweisen, die Negationsregel selbstist jedoch nicht ohne Zirkelschluss ableitbar.

Die gesamte moderne Mathematik basiert auf einem solchen Axiomensystem (genauer: auf einerAxiomatisierung der Mengenlehre, siehe den folgenden Abschnitt). Eine boshafte Interpretationhiervon ist die Behauptung, Mathematik gründe sich ausschließlich auf willkürliche Annahmen.Tatsächlich sind auch Systeme denkbar, in denen zusätzliche Axiome gelten, oder aber manche dergemeinhin verwendeten Axiome als falsch angenommen werden. Dies ist weniger eine Frage vonrichtig oder falsch als davon, ob sich im resultierenden System als relevant erachtete Sätze ableitenlassen – auch wenn Mathematik Grundlage vieler Naturwissenschaften ist, so ist sie nicht per sezu einer korrekten (was auch immer dies bedeuten mag) Abbildung der Wirklichkeit verpflichtet!

Anforderungen, die man auf einer höheren Ebene an Axiomensysteme stellen kann, sind ihre Kon-sistenz (aus den Axiomen lässt sich nicht sowohl ein Satz als auch seine Negation ableiten) undVollständigkeit (sämtliche wahren Sätze lassen sich aus den Axiomen ableiten). Dem sind jedochenge Grenzen gesetzt: In Axiomensystemen hinreichender Komplexität ist weder die Konsistenzbeweisbar, noch die Vollständigkeit realisierbar. Dies wird in Abschnitt 2.3 noch genauer ausge-führt.

2.2 Mengen

Die Mengenlehre als eigenständige mathematische Disziplin geht zurück auf Arbeiten von GeorgCantor aus dem späten 19. Jahrhunderts. Im Rahmen seiner Arbeit formulierte er folgende Men-gendefinition:

Definition 2.9. Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmtenwohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elementevon M genannt werden) zu einem Ganzen.

Für eine Menge M kennzeichnet die Aussage m ∈ M , dass m ein Element von M ist. Für dienegierte Aussage ¬(m ∈M) wird abkürzend auch m /∈M geschrieben.

Mengen lassen sich in unterschiedlicher Weise beschreiben. Endliche Mengen lassen sich durchAufzählung ihrer Elemente beschreiben. So stellt M1 = {♣,♠,♥,♦} die Menge der Kartenfarbenvon Spielkarten und M2 = {Montag,Dienstag,Mittwoch,Donnerstag,Freitag, Samstag, Sonntag}die Menge der Wochentage dar. Auch für unendliche Mengen ist eine solche Beschreibung prinzipiellmöglich, wenn die Beschreibung unmissverständlich ist. So kann man die aus der Schulmathematikbekannte Menge der natürlichen Zahlen aufzählend beschreiben als N = {0, 1, 2, 3, . . .} und dieMenge der geraden natürlichen Zahlen als Nger = {0, 2, 4, 6, . . .}.7

Die beschreibende Form charakterisiert Mengen, indem die enthaltenen Elemente durch ein Prädikatcharakterisiert werden. So kann die Menge der Primzahlen beschrieben werden durch

Prim = {p | p ∈ N ∧ p /∈ {0, 1} ∧ ∀n ∈ N. n | p ⇒ n ∈ {1, p}}.7In Kapitel 4 wird das Konzept des induktiven Definierens als Formalisierung der “..”-Notation eingeführt.

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Allgemein hat die beschreibende Form einer Menge M die Gestalt

M = {m | A(m)},

wobei A(m) Prädikat über m, also eine Aussageform mit freier Variablen m ist. Sind die Ele-mente von m aus einer in A(m) beschriebenen Grundmenge, so kann diese Information auch derVariablenangabe zugeschlagen werden. Im Falle der Primzahlen hätten wir also:

Prim = {p ∈ N | p /∈ {0, 1} ∧ ∀n ∈ N. n|p ⇒ n ∈ {1, p}}.

Ist A(m) ein unerfüllbares Prädikat so wird dadurch die leere Menge ∅ beschrieben, also ∅ = {x |F}. Die leere Menge ist die eindeutig bestimmte Menge, die kein Element enthält. Es gilt also∀x. x /∈ ∅.8

Charakteristisch für Mengen sind die folgenden zwei Eigenschaften:

• Eine Menge definiert keine Anordnung ihrer Elemente. Die Menge {1, 2, 3} unterscheidet sichnicht von der Menge {3, 2, 1}.

• Elemente einer Menge haben keine Vielfachheit. Von Interesse ist ausschließlich, welche Ele-mente vorhanden sind. So bezeichnet {1, 1, 2, 2} die gleiche Menge wie {1, 2}.

2.2.1 Mengenbeziehungen

Bei der Betrachtung von Mengen ist es oftmals von Interesse, wie diese sich zueinander verhalten.Ein naheliegendes Konzept zum Vergleichen zweier Mengen ist natürlich die Betrachtung, ob diesedie gleichen Elemente enthalten, also ob die Mengen an sich gleich sind. Aber auch im Falleungleicher Mengen gibt es interessante Fragen: Sind alle Elemente der einen Menge auch in deranderen Menge enthalten? Formal spricht man hier von einer (echten) Teilmengenbeziehung. DieseBetrachtung liefert die folgenden Mengenbeziehungen.

Definition 2.10 (Mengenbeziehungen). Seien A und B Mengen. Es gelten die folgenden Bezie-hungen:

1. A ⊆ B (sprich A ist Teilmenge von B) ⇔df (∀x. x ∈ A ⇒ x ∈ B)

2. A = B (sprich A ist gleich B) ⇔df A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

3. A ⊂ B (sprich A ist echte Teilmenge von B) ⇔df A ⊆ B ∧ A 6= B.

Per Definition ist die leere Menge Teilmenge jeder anderen Menge. Die (echte) Teilmengenbeziehungvon Mengen lässt sich anschaulich gut in einem sogenannten Venn-Diagramm (Abb. 2.1) darstellen.In diesem werden Mengen durch geometrische Formen (z.B. Kreise) repräsentiert, welche sichüberdecken, ineinander enthalten sind, sich überschneiden oder schnittfrei sind.

8Auch wenn „Mengen von Mengen“ erst zu einem späteren Zeitpunkt behandelt werden, so sei bereits an dieser Stelleangemerkt, dass sich die leere Menge ∅ von der Menge {∅}, welche nur die leere Menge enthält, unterscheidet!

23

BA

A ⊂ B

Abbildung 2.1: Venn-Diagramm der echten Teilmengenbeziehung

Potenzmengen

Mengen, deren Elemente selbst Mengen über einer Grundmenge M , sind bezeichnet man als Men-gensysteme über M . Ein besonders wichtiges Mengensystem ist die Menge aller Teilmengen vonM :

Definition 2.11 (Potenzmenge). Sei M eine Menge. Die Potenzmenge von M ist definiert durchP(M) =df {M ′ |M ′ ⊆M}.

Zu bemerken ist hier, dass die Potenzmenge P(M) stets sowohl die Grundmenge M als auch dieleere Menge ∅ enthält. Einen besonderen Fall stellt die leere Menge ∅ dar, wo diese beiden Mengenidentisch sind und außerdem das einzige Element der Potenzmenge darstellen; es gilt P(∅) = {∅}.

Beispiel 2.12. Für M = {1, 2, 3} gilt P(M) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},M }.

2.2.2 Mengenverknüpfungen

Analog zu den logischen Junktoren, welche Aussagen miteinander verknüpfen, existieren auchMengenverknüpfungen, welche die Bildung neuer Mengen aus bestehenden erlauben.

Definition 2.13 (Verknüpfung von Mengen). Seien A und B Mengen. Dann sind folgende Men-genverknüpfungen definiert:

Vereinigung A ∪ B =df {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Schnitt A ∩ B =df {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Differenz A \B =df {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Symmetrische Differenz A∆B =df (A ∪B) \ (A ∩B)

Wie man an der obigen Definition erkennt, weisen die aussagenlogischen Junktoren ∧ und ∨mit denMengenverknüpfungen ∩ und ∪ nicht nur optische Ähnlichkeit auf, stattdessen sind sie zentral fürdie Definition derselben. Die symmetrische Differenz ∆ entspricht weiterhin der XOR-Verknüpfung.

24

Falls A ∩ B = ∅ gilt, so nennt man A und B disjunkt. Bei der Übertragung auf mehrere Mengenist zu beachten, dass bspw. M1∩M2∩ . . .∩Mn = ∅ keinesfalls bedeutet, dass diese Mengen jeweilsverschiedene Elemente enthalten, sondern lediglich, dass kein Element in allen Mengen enthaltenist. Ist jedes Element nur in höchstens einer Menge enthalten, so sagt man, dass die MengenM1, . . . ,Mn paarweise disjunkt sind. In einer prädikatenlogischen Formel lässt sich dies ausdrückenals:

∀ i, j ∈ {1, . . . , n}. i 6= j ⇒Mi ∩Mj = ∅.

Für eine gegebene Grundmenge M mit Teilmenge A ⊆ M ist weiterhin das Komplement von A

definiert als A{ =df M \A.

Im folgenden finden sich illustrierende Venn-Diagramme zu jeder der oben definierten Verknüpfun-gen. Die aus der Verknüpfung resultierende Menge ist jeweils grau dargestellt.

A B

A ∩ B

A B

A ∪ B

A B

A∆B

A B

A \B

BA

B \A

Abbildung 2.2: Venn-Diagramme

Beispiel 2.14. Seien Prim und Nger die Menge der Primzahlen und der geraden natürlichenZahlen, wie auf Seite 22 definiert. Es gilt:

• Prim ∩ Nger = {2}

• Prim ∪ Nger = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, . . .} Beachte: 9 6∈ Prim ∪ Nger

• Prim \ Nger = {3, 5, 7, 11, 13, . . .}

• Nger \ Prim = {0, 4, 6, 8, 10, . . .}

• Nger ∆ Prim = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, . . .}

Korrespondierend zu den Gesetzen der Aussagenlogik (siehe Lemma 2.6) gelten folgende Gleich-heitsgesetze auf Mengen:

25

Lemma 2.15 (Mengengesetze). Seien A,B,C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M .Dann gilt:a

A ∩ B = B ∩ A (Kommutativität)A ∪ B = B ∪ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Assoziativität)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩ (A ∪ B) = A (Absorption)A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivität)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ A{ = ∅ (Komplement)A ∪ A{ = M

A ∩ A = A (Idempotenz)A ∪ A = A

A{ { = A (Doppelkomplement)

(A ∩B){ = A{ ∪B{ (deMorgansche Gesetze)(A ∪B){ = A{ ∩B{

M ∩ A = A (Neutralität)∅ ∪ A = A

a Die Voraussetzung der gemeinsamen Grundmenge M ist nur für Gesetze erforderlich, die M selbst oder dieKomplementoperation { enthalten.

Die Vereinigung und der Schnitt von Mengen können auf beliebige Mengensysteme verallgemeinertwerden.

Definition 2.16 (Erweiterte Vereinigungen und Schnitte).Sei M ein Mengensystem über einer Grundmenge M . Dann gilt:

1.⋃

M ′∈MM ′ =df {m ∈M | ∃M ′ ∈M. m ∈M ′}

2.⋂

M ′∈MM ′ =df {m ∈M | ∀M ′ ∈M. m ∈M ′}

Verkürzt können dieses Operationen auch als⋃

M bzw.⋂M geschrieben werden.

26

2.2.3 Mächtigkeit endlicher Mengen

Mit der Mächtigkeit einer Menge M mit endlich vielen Elementen bezeichnen wir die Anzahl ihrerElemente, die wir mit |M | bezeichnen.9 Die Mächtigkeit der leeren Menge beträgt 0, d.h.: |∅| = 0.

Satz 2.17. Seien A und B endliche Mengen. Dann gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten:

1. |A\B| = |A| − |A ∩B|

2. |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

3. |A∆B| = |A|+ |B| − 2|A ∩B|

Beweis

1. A\B = A\(A ∩B). Da (A ∩B) ⊆ A gilt |A\B| = |A| − |A ∩B|

2. Sei A∩B = ∅, dann |A∪B| = |A|+ |B| was offensichtlich korrekt ist. Anderenfalls gilt jedoch

wegen A∪B = A∪ (B\A) auch |A∪B| = |A∪ (B\A)| = |A|+ |B\A| (1)= |A|+ |B| − |A∩B|.

3. Wegen A∆B = (A ∪B)\(A ∩B) folgt |A∆B| (1)= |A ∪B| − |A ∩B| (2)= |A|+ |B| − 2|A ∩B|.

2

Wir werden den Mächtigkeitsbegriff in Abschnitt 3.2.2 auf beliebige, auch unendliche Mengenverallgemeinern, benötigen dafür aber noch Begriffe, die erst im weiteren Verlauf eingeführt werden.

2.2.4 Antinomien

Die Cantorsche Mengenlehre stößt bei naiver Anwendung des Mengenbegriffes an ihre Grenzen.Bekannt unter dem Namen Russelsche Antinomie ist zum Beispiel die „Menge“ aller Mengen, diesich nicht selbst als Element enthalten:

R =df {M |M /∈M}.

Fragt man sich jetzt, ob R in R enthalten ist, so gilt:

R ∈ R ⇔ R /∈ R,

was offensichtlich logisch widersprüchlich ist.

Grundlegend für die Russelsche Antinomie ist die selbstreferentielle Konstruktion von R. Ein ver-wandtes Phänomen war uns bereits im Zusammenhang paradoxer “Aussagen” wie in Beispiel 2.3(4)

9Teilweise findet sich auch die Notation ]M , um die Mächtigkeit explizit von anderen Interpretationen der Betrags-striche | · | abzugrenzen.

27

begegnet. Ähnlich wie man in der Aussagenlogik „paradoxe Aussagen“ als Aussagen im mathemati-schen Sinne ausschließt, bildet die auf Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel zurückgehende

axiomatische Mengenlehrea einen formalen Rahmen, der es verhindert, Konstrukte wie R als Men-gen zu klassifizieren. Zentral dabei ist die Unterscheidung von Klassen und Mengen. WährendKlassen beliebige Zusammenstellungen von Elementen zulassen, erfordert die Mengeneigenschaftdas Einhalten zusätzlicher Konsistenzanforderungen.

Eine weitere bekannte Antinomie wurden von Cantor selbst offengelegt, der sich sehr wohl derAntinomie-Problematik bewusst war. So ist bereits die Allmenge A, das heißt die „Menge“ aller„Mengen“, widersprüchlich. Weil jede Teilmenge von A in A läge, müsste auch die PotenzmengeP(A) Teilmenge von P(A) sein. Jedoch lässt sich zeigen, dass die Potenzmenge einer (auch unend-lichen) Menge stets echt mächtiger als die Menge selbst ist. Dies wird in Kapitel 3 (Theorem 3.18)genauer erläutert.

Die Russelsche Antinomie hat auch einen unmittelbaren Bezug zur Informatik. Eine fundamentaleFragestellung der theoretischen Informatik ist, ob alle Probleme prinzipiell durch den Einsatz vonprogrammierbaren Rechenmaschinen gelöst werden können. Dies muss verneint werden, da sichbeispielsweise das sogenannte Halteproblem nicht mit einem Computer lösen lässt. Beim Haltepro-blem geht es um die Frage, ob ein Programm, das den Quelltext und die Eingabe eines anderenProgrammes kennt, entscheiden kann ob dieses Programm unter der gegebenen Eingabe hält odernicht. Das Halteproblem wird in weiterführenden Vorlesungen wie „Grundbegriffe der Theoreti-schen Informatik (GTI)“ ausführlich behandelt, unter anderem wird gezeigt, dass hieraus auch dieUnentscheidbarkeit vieler anderer Probleme folgt. An dieser Stelle verweisen wir interessierte Le-ser auf einen in http://lwb.mi.fu-berlin.de/personen/Halt.pdf vorgestellten didaktisch sehrgelungener Brückenschlag zwischen Halteproblem und Russelscher Antinomie.asiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Axiomatische_Mengenlehre

2.3 Abschließende Betrachtungen

Dem aufmerksamen Leser ist sicher nicht die ähnliche Struktur der Aussagen- und Mengengesetzein Lemma 2.6 und 2.15 entgangen. In der Tat liegt hier ein erstes Szenario vor, das die in Kapitel7 ausführlich diskutierten algebraischen Strukturen motiviert. Abstrahiert man nämlich von denkonkret vorliegenden Objekten und Verknüpfungen, so lassen sich Gesetzmäßigkeiten unabhängigdavon, nämlich auf der reinen Strukturebene studieren.

Tatsächlich sind sogar nur die jeweiligen Gesetze in der oberen Hälfte erforderlich,10 denn alleanderen Gesetze sind jeweils aus diesen herleitbar. Auch wenn sich Lemma 2.6 auf Aussagen undLemma 2.15 auf Mengen beziehen, so genügt es aufgrund der exakt übertragbaren Struktur, dieseHerleitung nur einmal zu vollziehen. Dies motiviert ein Lösen von der sogenannten Modellebene,also der Ebene der Aussagenlogik und Mengenverknüpfung, welche ein Modell für den Umgangmit logischen bzw. mathematischen Phänomenen definieren, hin zu einer Betrachtung der Meta-

10Diese fünf Gesetze bilden eine sogenannte Boolesche Algebra (auch Boolescher Verband genannt), eine Strukturmit herausragender Bedeutung in der Informatik.

28

Modell-Ebene, auf welcher man sich mit phänomenunabhängigen Modellen für ebensolche Modellebefasst.

Obwohl Sätze der Aussagenlogik anhand von endlichen Wahrheitstafeln semantisch überprüft wer-den können, stößt ein solches Vorgehen rasch an seine Grenzen, da die Tabellen exponentiell groß inder Anzahl der Aussagevariablen werden. Dagegen bietet das axiomatische, syntax-basierte Bewei-sen mit Hilfe der Gesetze aus Lemma 2.6 die Möglichkeit den Beweis kompositionell zu organisieren,also durch Ausnutzung des strukturellen Aufbaus und des Extensionalitätsprinzips, welches es er-laubt, Teilausdrücke für sich genommen zu betrachten. Das Regelsystem erfüllt dabei zwei zentraleZielsetzungen, die allgemein bei Axiomatisierung von Regel- bzw. Gleichungssystemen wichtig sind:

Korrektheit: Es können nur gültige Aussagen durch das Ersetzen von „Gleichem durch Gleiches“abgeleitet werden.

Vollständigkeit: Alle gültigen Aussagen können durch das Ersetzen von „Gleichem durch Gleiches“auch hergeleitet werden.

Für die Prädikatenlogik stellt sich die Situation allerdings schon etwas schwieriger dar. Zwar istdie Korrektheit in allen üblichen Regelsystemen gegeben, aber die Vollständigkeit hängt stark vonden betrachteten Strukturen ab. Für die Struktur der natürlichen Zahlen wurde durch Gödel inseinem berühmten 1. Unvollständigkeitssatza nachgewiesen, dass es kein endliches vollständiges undkorrektes Regelsystem geben kann. Dies gilt entsprechend auch für sämtliche Axiomensysteme,die eine Beschreibung der natürlichen Zahlen enthalten. Als unmittelbare Folge bedeutet diesauch, dass es im in der Mathematik weithin verwendeten Axiomensystem, der Zermelo-Fraenkel-Axiomatisierung der Mengenlehre, unbeweisbare (und unwiderlegbare) Sätze gibt. Dies hatte einengewaltigen Einfluss auf die Mathematik des 20. Jahrhunderts, zu dessen Beginn man glaubte, miteiner angemessenen Formalisierung der Mathematik sämtliche mathematischen Problemstellungenlösen zu können. Erwähnenswert ist hier das Hilbert-Programmb des deutschen MathematikersDavid Hilbert (* 1862; †1943).

In Kapitel 8 werden wir dagegen Strukturen (z.B. Gruppen) kennenlernen, die vollständig axio-matisierbar sind: Genau die gültigen Aussagen lassen sich im jeweiligen Regelsystem herleiten.Dennoch gibt es auch hier kein Verfahren, das entscheidenc kann, ob eine Aussage gültig ist odernicht.asiehe http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatzbsiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Programmcsiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidbar

2.4 Lernziele

Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie...

• ein Verständnis von Aussagen- und Prädikatenlogik erlangt haben:

– Was sind Aussagen?

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– Wie sind aussagenlogische/prädikatenlogische Formeln aufgebaut?

– Wie lässt sich die Gültigkeit einer Aussage zeigen?

– Wie lassen sich Aussagen in (semantisch äquivalente) Aussagen umformen (z.B. füraxiomatische Beweise)?

• ein Verständnis von Mengen erlangt haben:

– Was sind Mengen?

– Wie lassen sich Mengen definieren?

– In welcher Beziehung können Mengen zueinander stehen?

– Welche Verknüpfungen sind auf Mengen definiert?

– Welchen Grenzen unterliegt der Mengenbegriff?

• die Bedeutung von Mustern und Strukturen in der Mathematik erkannt haben:

– In welcher Beziehung stehen Aussagenlogik und Mengenlehre zueinander?

– Welche Vorteile hat (in diesem Kontext) das Betrachten der zugrundeliegenden Muster,anstelle der konkreten aussagenlogischen Junktoren und Mengenverknüpfungen?

– Was sind Axiomensysteme?

– Welche Anforderungen lassen sich an Axiomensysteme stellen?

30

3 Relationen und Funktionen

3.1 Relationen

Relationen stellen Beziehungen zwischen den Elementen von Mengen her. Grundlegend für denRelationenbegriff ist die Konstruktion des kartesischen Produktes.

3.1.1 Kartesisches Produkt

Intuitiv ist das Kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) zweier Mengen A und B das Resultat,wenn man jedes Element aus A mit jedem aus B kombiniert.

Definition 3.1 (Kartesisches Produkt). Seien A und B Mengen. Das Kartesische Produkt von Aund B ist definiert durch:

A×B =df {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Elemente (a, b) ∈ A × B heißen Paare oder (genauer) auch geordnete Paare, da die Reihenfolgeihrer Elemente von Bedeutung ist. Auf diesen ist die Gleichheit definiert durch

(a, b) = (a′, b′) ⇔df a = a′ ∧ b = b′.

Im Allgemeinen gilt also (a, b) 6= (b, a). Dies unterscheidet geordnete Paare von zweielementigenMengen, denn bei letzteren spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle – so gilt {1, 2} = {2, 1},aber (1, 2) 6= (2, 1). Dennoch kann man geordnete Paare auch als zweielementige Mengen auffassen.Hierzu definiert man:

(a, b) =df {{a}, {a, b}}.

Diese Festlegung ist im Einklang mit der strengeren Gleichheitheitsanforderung geordneter Paare,denn es gilt z.B. (1, 2) = {{1}, {1, 2}} 6= {{2}, {1, 2}} = (2, 1).

Beispiel 3.2 (Kartesisches Produkt). Betrachten wir A = {♣,♠,♥,♦} und B = {As,König ,Dame,Bube, 10 , 9 , 8 , 7} so ist das kartesische Produkt die Menge der 32 Spielkarten in einem

31

Skat-Spiel:

A×B = { (♣, As), . . . , (♣, 7),

(♠, As), . . . , (♠, 7),

(♥, As), . . . , (♥, 7),

(♦, As), . . . , (♦, 7) }

Sofern A = B gilt, schreiben wir statt A×A auch A2. Das kartesische Produkt lässt sich auf mehrals zwei Mengen verallgemeinern durch:

M1 ×M2 × . . .×Mn =df ((. . . (M1 ×M2)× . . .)×Mn).

Wir schreiben (m1,m2, . . . ,mn) statt ((..(m1,m2), . . .),mn) und bezeichnen diese als Tupel derLänge n oder auch n-Tupel. Analog zur NotationA2 schreiben wir kurzAn an Stelle vonA× . . .×A︸ ︷︷ ︸

n mal

.

3.1.2 Exkurs: Endliche Bitvektoren

Ein wichtiges Beispiel eines n-fachen kartesischen Produktes ist {0, 1}n. Die Elemente aus {0, 1}n

werden auch Bitvektoren der Länge n genannt. Eine besondere Bedeutung kommt ihnen bei derRepräsentation von Teilmengen einer n-elementigen Menge M = {m1, . . . ,mn} zu: A ⊆ M kanndurch einen charakteristischen Bitvektor (b1, . . . , bn) ∈ {0, 1}n repräsentiert werden mit:

bi = 1 ⇔ mi ∈ A.

Betrachtet man aus der Grundmenge der Monate M =df {Januar , . . . ,Dezember} die TeilmengeM31 der Monate mit 31 Kalendertagen, so können diese durch den Bitvektor

(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1)

beschrieben werden. Diese Sichtweise als Bitvektor ist versteckt auch in der bekannten Merkregelzu finden, die die Monate mit 31 Tagen anhand der Fingerknöchel beschreibt.Hier stehen die Knöchelerhebungen für die 1- und

die Knöchelvertiefungen für die 0-Einträge.

Die Teilmenge der Monate Mr, die den Buchstaben r enthalten, werden entsprechend durch denBitvektor

(1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)

charakterisiert.

32

Was die Repräsentation von Mengen als Bitvektoren in der Informatik interessant macht, ist die

in Abschnitt 2.2.2 festgehaltene Beziehung zwischen Mengenverknüpfungen und aussagenlogischen

Junktoren. So lassen sich für zwei Mengen M und M ′ über derselben Grundmenge, dargestelltdurch Bitvektoren (b1, . . . , bn) und (b′1, . . . , b

′n) die Mengenoperationen Schnitt, Vereinigung, Diffe-

renz und symmetrische Differenz durch komponentenweise Berechnung von bi ∧ b′i, bi ∨ b′i, bi ∧¬b′ibzw. bi⊕b′i bilden. Dies ist besonders effizient, da Prozessoren diese Operationen für ganze Maschi-nenworte (also bspw. Bitvektoren der Länge 32 oder 64) in einer einzigen Instruktion durchführenkönnen. Der Nachteil besteht jedoch – jedenfalls in der naiven Umsetzung – darin, dass selbst einenur einelementige Menge den gleichen Platzbedarf hat wie die gesamte Grundmenge.

3.1.3 n-stellige Relationen

Eine n-stellige Relation lässt sich formal wie folgt definieren.

Definition 3.3 (n-stellige Relation). Sei n ≥ 1 und M1, . . . ,Mn Mengen. Eine Teilmenge R ⊆M1 × . . .×Mn heißt n-stellige Relation auf M1 × . . .×Mn.

Relationen spielen in der Informatik an verschiedenen Stellen eine bedeutende Rolle. Abbildung3.1 illustriert eine Relation, die Dozenten und Kurse miteinander in Beziehung setzt.

Abbildung 3.1: Relation zwischen Dozenten und Kursen.

Es fällt auf, dass in Definition 3.3 mit der Wahl n = 1 auch einstellige Relationen zugelassen sind.In der Tat sind einstellige Relationen R ⊆ M nichts anderes als Teilmengen von M . Relationensind eng mit den Aussageformen der in Abschnitt 2.1.3 eingeführten Prädikatenlogik verknüpft(bzw. deren semantischer Interpretation). Die definierten Aussageformen n|m für Teilbarkeit oderggT (n,m, x) definierten Relationen, welche 2 bzw. 3 natürliche Zahlen miteinander in Beziehungsetzen. Aber offensichtlich haben einstellige Aussageformen (Relationen) ebenso eine Berechtigung– man denke beispielsweise an die Frage, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist.

3.1.4 Binäre Relationen

Im folgenden werden wir uns im wesentlichen auf binäre (oder auch zweistellig genannte) Relationenbeschränken. Wir verwenden hier typischerweise die Notation R ⊆ A× B. In diesem Fall heißt AArgumentbereich und B Bildbereich der Relation. Vertauscht man deren Rollen, so kommt man

33

zum Begriff der Umkehrrelation.

Definition 3.4 (Umkehrrelation). Sei R ⊆ A × B eine binäre Relation. Die UmkehrrelationR−1 ⊆ B ×A ist definiert durch R−1 =df {(b, a) | (a, b) ∈ R}.

Binäre Relationen können komponiert werden, wenn der Zielbereich der ersten Relation mit demArgumentbereich der zweiten Relation übereinstimmt. In diesem Fall definiert man:

Definition 3.5 (Produktrelation). Seien R1 ⊆ A×B und R2 ⊆ B×C Relationen. Die Produktre-lation R1�R2 ⊆ A×C ist definiert durch R1�R2 =df {(a, c) | ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R2 }.

Die Konstruktion ist illustriert in Abbildung 3.2. Eine besondere Bedeutung kommt hierbei dersogenannten Identitätsrelation (oder identischen Relation) IA =df {(a, a) | a ∈ A} auf A zu:1 IstR ⊆ A × B, dann gilt IA � R = R = R � IB . Das Produkt mit der jeweiligen Identitätsrelationverändert die zugrundeliegende Relation also nicht.

Abbildung 3.2: Produktrelation

Konvention: Statt (a, b) ∈ R wird oft auch die sogenannte Infixnotation aR b verwendet. Diesesist insbesondere bei Relationssymbolen wie „=“,„≤“,„<“,. . . der Fall, in Einklang mit der üblichenSchreibweise. In seltenen Fällen findet man aber auch hier zur Verdeutlichung die Schreibweise(a, b) ∈≤.

Definition 3.6 (Bilder, Urbilder). Sei R ⊆ A×B eine binäre Relation. Als Bilder eines Elementsa ∈ A bezeichnen wir die Elemente der Menge

R(a) =df {b ∈ B | (a, b) ∈ R}.

1Wenn A aus dem Kontext klar hervorgeht, kann der Index A auch wegfallen.

34

Analog bezeichnet man für ein Elemente b ∈ B die Menge

R−1(b) =df {a ∈ A | (a, b) ∈ R}.

als Urbildmenge von b.

Bei der obigen Definition ist zu beachten, dass beide Mengen auch leer sein können. Die NotationR(a) bzw. R−1(b) bei Relationen findet sich in der Mathematik eher selten, meist ist sie Funktionen(siehe Abschnitt 3.2) vorbehalten. Allerdings lassen sich so manche Aussagen über Relationenkompakter formulieren; so ist – für eine Aussageform A – beispielsweise ∀ b ∈ R(a). A(b) äquivalentzu ∀ (x, y) ∈ R. x = a⇒ A(y).

Eine besondere Rolle spielen Relationen der Art R ⊆ A × A, also solche, bei denen Argument-und Bildbereich übereinstimmen. Diese werden als homogene Relationen bezeichnet. Ein Beispielhierfür ist die Identitätsrelation IA, die sich bei genauer Betrachtung als die Teilmenge der Gleich-heitsrelation „=“ darstellt, eingeschränkt auf Elemente aus A. Auch weitere bekannte Relationenwie „ 6=“ oder „≤“ betrachtet man als homogene Relationen, beispielsweise auf den reellen ZahlenR.

3.2 Funktionen

In der Schulmathematik werden Funktionen als eindeutige Zuordnungen von Elementen eines De-finitionsbereichs zu Elementen eines Wertebereichs eingeführt. Diese eher intuitive Beschreibunglässt sich formalisieren, indem man Funktionen als binäre Relationen mit speziellen Eigenschaftenauffasst. Hierfür betrachten wir zwei symmetrisch aufgebaute Eindeutigkeits- und Totalitätseigen-schaften.

Definition 3.7 (Rechts-,Linkseindeutigkeit). Eine binäre Relation R ⊆ A×B heißt

1. rechtseindeutig gdw.∀ a ∈ A, b1, b2 ∈ B. (a, b1) ∈ R ∧ (a, b2) ∈ R ⇒ (b1 = b2).

2. linkseindeutig gdw.∀ a1, a2 ∈ A, b ∈ B. (a1, b) ∈ R ∧ (a2, b) ∈ R ⇒ (a1 = a2).

Rechtseindeutige Relationen zeichnen sich dadurch aus, dass kein Element des Argumentbereichsverschiedene Elemente des Bildbereichs erreicht. Abbildung 3.3(a) zeigt eine Relation, die nichtrechtseindeutig ist (die fett dargestellten Pfeile verletzen die Eigenschaft). Entsprechend sind links-eindeutige Relationen solche, bei denen Elemente des Zielbereiches nicht von verschiedenen Ele-menten des Argumentbereichs getroffen werden dürfen. Abbildung 3.3(b) zeigt eine Relation, diezwar rechts- aber nicht linkseindeutig ist.

Eine Relation, die allen Elementen des Argumentbereichs Bilder zuordnet heißt linkstotal. Werdenalle Elemente des Bildbereichs getroffen, so spricht man von einer rechtstotalen Relation.

35

Abbildung 3.3: a) Nicht rechtseindeutige Relation b) Nicht linkseindeutige Relation

Definition 3.8 (Links-,Rechtstotalität). Eine binäre Relation R ⊆ A×B heißt

1. linkstotal ⇔df ∀ a ∈ A. ∃ b ∈ B. (a, b) ∈ R

2. rechtstotal, ⇔df ∀ b ∈ B. ∃ a ∈ A. (a, b) ∈ R

Die Relation aus Abbildung 3.3(a) ist offensichtlich rechts- aber nicht linkstotal, während dieRelation aus Abbildung 3.3(b) links- aber nicht rechtstotal ist.

Basierend auf einer Teilmenge der eingeführten Eigenschaften können wir nun den bekannte Begriffder Funktion formalisieren.

Definition 3.9 (Funktion). Eine rechtseindeutige, linkstotale Relation heißt Funktion (oder Ab-bildung).

Ist die Relation f ⊆ A × B eine Funktion, so wählt man stattdessen die Schreibweise f : A → B.Alle Bildmengen f(a) enthalten genau ein Element – wegen der Rechtseindeutigkeit höchstens, undwegen der Linkstotalität mindestens eines. Dies erlaubt es, f(a) = b statt f(a) = {b} zu schreiben.Es ist jedoch zu beachten, dass die Urbildmenge f−1(b) eines Elementes b ∈ B weiterhin mehrereoder auch gar keine Elemente enthalten kann; im Allgemeinen ist f−1 also lediglich eine Relation.Die Zuordnung der Funktionswerte zu den Elementen des Argumentbereichs beschreibt man auchin der Form a 7→ f(a).

Für die Menge aller Funktionen von A nach B schreiben wir auch kurz BA. Diese Schreibweiseerklärt sich als eine Verallgemeinerung der Notation Bn für das n-fache kartesische Produkt: Solässt sich ein n-Tupel (b1, . . . , bn) ∈ Bn als Abbildung von {1, . . . , n} nach B mit der Abbildungs-vorschrift i 7→ bi auffassen. Die Schreibweise BA verallgemeinert dies von der Menge {1, . . . , n} aufbeliebige „Index“-Mengen A. Im Falle endlicher Mengen gilt außerdem, dass die Anzahl möglicherFunktionen von A nach B genau

∣∣BA∣∣ = |B||A| ist.

Analog zur in Definition 3.5 eingeführten Produktrelation definieren wir die Komposition vonFunktionen f : A → B und g : B → C als die Verkettung bzw. Hintereinanderausführung zweierFunktionen. Man beachte, dass hierbei Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit durch das Relatio-nenprodukt erhalten bleiben. Historisch hat sich allerdings bei der Komposition von Funktioneneine gegenüber dem Relationenprodukt umgekehrte Reihenfolge der Argumente durchgesetzt: Diezuerst angewandte Funktion steht rechts. Es gilt also:

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g ◦ f =df f � g

wobei ◦ das Symbol für die Funktionskomposition ist. Der Vorteil der geänderten Reihenfolge ist,dass die Komposition von Funktionen kompatibel mit der argumentweisen Anwendung ist.2 Es giltnämlich für ein Argument a ∈ A:

(g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Die identische Relation IA ist per Konstruktion auch eine Funktion von A nach A. Da die Funk-tionskomposition mit dem Relationenprodukt (in vertauschter Operandenreihenfolge) identifiziertwerden kann, behält sie natürlich auch hier ihre besondere Bedeutung. Im Funktionskontext ver-wenden wir für IA gleichbedeutend die Notation idA, für f : A → B gilt f ◦ idA = idB ◦f = f .

3.2.1 Eigenschaften von Funktionen

Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit sind die essentiellen Eigenschaften von Funktionen. Aberauch ihre symmetrischen Gegenstücke, Rechtstotalität und Linkseindeutigkeit, bestimmen wichtigezusätzliche Funktionseigenschaften.

Definition 3.10 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität). Eine Funktion f : A→ B heißt:

1. injektiv genau dann, wenn f linkseindeutig ist;

2. surjektiv genau dann, wenn f rechtstotal ist;

3. bijektiv genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Wir betrachten einige Beispiele für diese Eigenschaften.

Beispiel 3.11.

1. Die Funktion f1 : N → N mit n 7→ 2n ist injektiv, denn für n,m ∈ N mit n 6= m folgtf1(n) 6= f1(m). Andererseits ist f1 nicht surjektiv, denn es gibt kein n ∈ N mit f1(n) = 1.

2. Die Funktion f2 : Z → N mit z 7→ |z| ist surjektiv,a denn jedes n ∈ N ist Bild derentsprechenden Zahl aus Z. Allerdings ist f2 nicht injektiv, denn es gilt f2(−1) = f2(1) = 1.Das bedeutet, dass die Eins von verschiedenen Elementen aus Z getroffen wird.

3. Die Funktion f3 : Q→ Q mit q 7→ 2 q ist bijektiv. Die Injektivität folgt analog wie für f1. DieSurjektivität ergibt sich aus der Tatsache, dass jede Zahl q ∈ Q von q

2 ∈ Q getroffen wird.

2Bei manchen anderen Autoren findet sich jedoch auch eine Definition der Funktionskomposition, deren Argumen-treihenfolge mit dem Relationenprodukt übereinstimmt.

37

a|z| bezeichnet den Absolutbetrag von z, definiert durch |z| =df

{z falls z ≥ 0

−z sonst.

Beim Beweis der Injektivität von f1 wurde nicht direkt mit der Definition der Linkseindeutigkeitargumentiert. Vielmehr wurde statt der Implikation f1(a1) = f1(a2) ⇒ a1 = a2 die Implikationa1 6= a2 ⇒ f1(a1) 6= f1(a2) gezeigt. Dieses Vorgehen ist allgemein als Prinzip der Kontrapo-sition bekannt:

Beweisprinzip 3.12 (Kontraposition).

Seien A,B Aussagen. Dann gilt:

(A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ ¬A).

In Worten: Eine Implikation A ⇒ B kann man beweisen, indem man die umgekehrteImplikation über den negierten Aussagen beweist.

Die Gültigkeit des Prinzips der Kontraposition kann leicht anhand von einer Wahrheitstafel gezeigtwerden.

Wie bereits erwähnt ist die Umkehrrelation einer Funktion im Allgemeinen keine Funktion (manbetrachte etwa die Funktion f2 aus Beispiel 3.11). Die Umkehrrelation einer injektiven Funktionist jedoch zumindest rechtseindeutig (wegen der Linkseindeutigkeit der ursprünglichen Funktion),jedoch im Allgemeinen nicht linkstotal. Eine solche Relation bezeichnet man auch als partielle oderpartiell definierte Funktion (dies wird in Abschnitt 3.2.3 noch weiter ausgeführt werden).

Bijektive Funktionen f haben allerdings immer eine Umkehrfunktion, die wir mit f−1 bezeichnen.Da bijektive Funktionen aufgrund ihrer Umkehrbarkeit eine herausragende Bedeutung haben, be-zeichnet man sie kurz auch oft als Bijektionen. Seltener liest man außerdem die BezeichnungenInjektion und Surjektion für injektive bzw. surjektive Funktionen.

In Hinblick auf die Funktionskomposition gilt folgender hilfreicher Zusammenhang:

Satz 3.13. Seien f : A → B und g : B → A Funktionen mit g ◦ f = idA und f ◦ g = idB. Dannsind f und g bijektiv und es gilt weiter f−1 = g bzw. g−1 = f .

Beweis Wegen der symmetrischen Rollen von f und g genügt es die Bijektivität von f zu zeigensowie die Eigenschaft, dass g Umkehrfunktion von f ist.

Wir zeigen zunächst die Injektivität von f und betrachten dazu a, a′ ∈ A. Dann gilt:

f(a) = f(a′) ⇒ g(f(a)) = g(f(a′)) (g ist Funktion)

⇒ (g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(a′) (Def. ◦)⇒ idA(a) = idA(a′) (g ◦ f = idA)

⇒ a = a′ (Def. idA)

38

Für die Surjektivität haben wir zu zeigen, dass jedes b ∈ B ein Urbild a ∈ A besitzt. Sei also b ∈ B.Dann setze a =df g(b). Es gilt:

f(a)Def.a

= f(g(b)) = (f ◦ g)(b)f◦g=idB

= idB(b) = b

Schließlich zeigen wir noch, dass g Umkehrfunktion von f ist, also f−1 = g gilt. Seien a ∈ A, b ∈ B.Dann gilt:

f(a) = b ⇒ g(f(a)) = g(b) (g ist Funktion)

⇒ (g ◦ f)(a) = g(b) (Def. ◦)⇒ idA(a) = g(b) (g ◦ f = idA)

⇒ a = g(b) (Def. idA)

⇒ f−1(b) = g(b) (Def. f−1)

2

Obwohl wir schon mit quantifizierten Aussagen umgegangen sind, möchten wir an dieser Stelle nocheinmal ein prinzipielles Vorgehen beim Beweisen aufgreifen. Dieses machen wir anhand der Surjek-tivitätseigenschaft im vorangegangenen Beweis klar. Formal betrachtet ist hier eine geschachtelteAll- und Existenzaussage zu zeigen, nämlich:

∀ b ∈ B. ∃ a ∈ A. f(a) = b.

Der Beweis benutzt dabei folgendes Prinzip zur Elimination der Quantoren:

Beweisprinzip 3.14 (Auflösung von Quantoren).

• Der Allquantor einer Allaussage ∀x. A(x) wird aufgelöst, indem die Variable x alsbeliebig aus der Struktur angenommen gewählt wird und dann A(x) bewiesen wird.Im Beweis dürfen dann keine einschränkenden Annahmen über x getroffen werden,man verwendet eine Formulierung wie „Sei x beliebig gewählt“. Trotz der ursprünglichbeliebigen Wahl verändert sich der Wert von x im weiteren Verlauf jedoch nicht! ZurVerdeutlichung schreibt man daher manchmal auch „Sei x beliebig, aber fest“.

• Der Existenzquantor einer Existenzaussage ∃ y. A(y) wird aufgelöst, indem die Variabley geeignet aus der Struktur gewählt wird und dann A(y) bewiesen wird. Im Beweisverwendet man dann eine Formulierung wie „Wähle y als ...“ oder „Setze y = . . .“, unddie Eigenschaften dieses konkreten Wertes dürfen ausgenutzt werden.

Die Anwendung findet sich im vorangegangenen Surjektivitätsbeweis in den zwei Sätzen „Sei alsob ∈ B. Dann setze a =df g(b)“. Man erkennt, dass über b keinerlei Annahmen getroffen wurden – fürdie Wahl von a und den weiteren Beweis wird lediglich ausgenutzt, dass g(b) eindeutig bestimmtist – was aus der Funktionseigenschaft von g für jedes Element aus B folgt.

Eine weitere besondere Eigenschaft von bijektiven Funktionen ist die Tatsache, dass auch ihreKomposition wiederum eine bijektive Funktion ist. Der Beweis bleibt an dieser Stelle dem Leser

39

als Übungsaufgabe überlassen.

3.2.2 Mächtigkeit von Mengen

Injektive und bijektive Funktionen spielen eine wichtige Rolle bei der Entwicklung eines formalfundierten Mächtigkeitsbegriffes von Mengen (vgl. Kapitel 2.2), der auch für unendliche Mengenträgt.

Definition 3.15 (Mächtigkeitsbeziehungen von Mengen). Seien A und B Mengen.

1. A und B heißen gleichmächtig, in Zeichen A ∼= B, falls es eine bijektive Funktion f : A→ B

gibt.

2. A ist nicht mächtiger als B, in Zeichen A 5 B, falls es eine injektive Funktion f : A → B

gibt.

3. Ist A nicht mächtiger als B und sind A und B nicht gleichmächtig, so heißt A (echt) wenigermächtig als B, in Zeichen A � B.

Offensichtlich sind gemäß dieser Definition die endlichen Mengen {1, 2, 3, 4} und {♣,♠,♥,♦}gleichmächtig, die Mengen {2, 3, 4, 5} und {gelb, rot, blau} aber nicht. In diesem Fall ist {gelb, rot, blau}echt weniger mächtig als {2, 3, 4, 5}.

Es gilt folgender Zusammenhang:

Satz 3.16. Seien A und B Mengen. Dann gilt:

A ∼= B ⇔ A 5 B ∧ B 5 A.

Obwohl dieser Zusammenhang intuitiv naheliegend ist, ist der Beweis keinesfalls trivial. Das Re-sultat ist als Satz von Cantor-Bernstein-Schröder3 bekannt.

Besonders interessant werden Mächtigkeitsbetrachtungen im Falle unendlicher Mengen. DiesenUnterschied können wir zunächst einmal formal charakterisieren:

Definition 3.17 (Endliche und unendliche Mengen). Eine Menge M heißt unendlich genau dann,wenn

∃M ′ ⊂M. M ′ ∼= M.

Anderenfalls ist M endlich.

Die natürlichen Zahlen sind unendlich, denn es ist N+ ⊂ N, und die Funktion

f : N→ N+

n 7→ n+ 1

ist offensichtlich bijektiv.3siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schr%C3%B6der-Theorem

40

Der fundamentale Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Mengen lässt sich auch anhandeines als Hilberts Hotela bekannten Gedankenexperiment veranschaulichen. Man stelle sich einkomplett belegtes Hotel vor, in dem außerdem alle Zimmer aufsteigend durchnummeriert sind.Gibt es nur endlich viele Zimmer, so ist es offensichtlich nicht möglich, einem neu ankommendenGast ein freies Zimmer zuzuweisen. Anders stellt sich die Lage bei einem (hypothetischen) Hotelmit unendlich vielen Zimmern dar, von denen ebenfalls alle belegt sind: Fordert man alle Gästeauf, jeweils in das der Nummer nach nächste Zimmer umzuziehen, so wird das erste Zimmer frei.Der neue Gast findet also eine Unterkunft, ohne dass einer der bisherigen Gäste kein neues Zimmerfindet.asiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel

Man sagt auch, dass die natürlichen Zahlen abzählbar unendlich sind. Intuitiv bedeutet dies, dassman sämtliche Elemente in einer (unendlichen) linearen Folge auflisten, also durchnummerierenkann. Auch wenn dies wegen des Erlaubens unendlicher Folgen als eher schwache Einschränkungerscheint, so werden wir später zeigen, dass dies für die wenigsten unendlichen Mengen möglich ist.Natürlich sind aber auch alle zu den natürlichen Zahlen gleichmächtigen Mengen M abzählbar, dadie für M ∼= N erforderliche Bijektion genau die Aufgabe des Durchnummerierens übernimmt.

Im Folgenden werden wir weitere wichtige abzählbar unendliche Mengen kennenlernen. Die erstedieser Mengen sind die ganzen Zahlen Z. Um einzusehen, dass diese gleichmächtig zu den natürli-chen Zahlen sind, betrachten wir die Funktion:

fZ : N→ Z

n 7→

{n2 falls n gerade−n+1

2 falls n ungerade

fZ bildet natürliche Zahlen in folgender Weise auf ganze Zahlen ab:

0 7→ 0, 1 7→ −1, 2 7→ 1, 3 7→ −2, 4 7→ 2, . . . .

Offensichtlich ist f surjektiv, denn jede negative ganze Zahl z wird durch die natürliche Zahl−(2z + 1), jede andere ganze Zahl durch 2z getroffen. Zusätzlich ist fZ auch injektiv, denn fürunterschiedliche natürliche Zahlen ist deren Bild unterschiedlich.

Etwas erstaunlicher ist, dass auch N × N gleichmächtig zu N ist. Die Konstruktion der bijekti-ven Abbildung d : N × N → N ist bekannt als Cantorsches Diagonalverfahren und illustriert inAbbildung 3.4.4

Die dem Diagonalverfahren zugrunde liegende Funktion d kann auch explizit angegeben werdendurch:5

d(m,n) =df1

2(n+m)(n+m+ 1) +m.

4Dies lässt sich sogar, für ein beliebiges (aber festes) n ∈ N, auf Nn übertragen. Die Visualisierung gestaltet sichallerdings spätestens für n > 3 deutlich schwieriger.

5Der Term 12

(n + m)(n + m + 1) entspricht∑n+m−1

i=0 (i + 1) =∑n+m

i=0 i. Das sind die aufgezählten Elemente aufden vollständig durchlaufenen Diagonalen. In der letzten Diagonalen kommen dann noch m Schritte hinzu.

41

Abbildung 3.4: Cantorsches Diagonalverfahren: Aufzählung der Elemente aus N × N entlang dermarkierten Linie durch d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 1, d(1, 0) = 2, d(0, 2) = 3, d(1, 1) =

4 . . .

Die Gleichmächtigkeit von N und N × N ist auch deshalb von besonderer Bedeutung, da die ra-tionalen Zahlen Q durch Brüche, also Paare ganzer Zahlen, repräsentiert werden können. Da ver-schiedene Brüche allerdings dieselbe rationale Zahl darstellen können, etwa 1

2 = 24 = 3

6 = . . . liefertdie Funktion d hier nur eine Injektion dQ : Q → N. Dabei wird eine rationale Zahl repräsentiertdurch einen vollständig gekürzten Bruch p

q mit p ∈ Z und q ∈ N+. In der Diagonalfunktion lesenwir den Wert für (f−1Z (p), q) ab, also:

dQ

(p

q

)=df d

(f−1Z (p), q

).

Da es die sogenannte triviale Injektion von N nach Q gibt, also die Funktion f : N → Q mitf(n) = n, sind nach Satz 3.16 die Mengen N und Q gleichmächtig.

Fassen wir die bisherigen Erkenntnisse zusammen, so gilt also:

N ∼= Z ∼= N× N ∼= Q.

Dass nicht jede unendliche Menge gleichmächtig zu N ist, es also überabzählbar unendliche Mengengibt, ergibt sich aus folgendem sehr weitreichenden Resultat.

Satz 3.18. Sei M eine nichtleere Menge. Dann gilt M � {0, 1}M .

Beweis Wir zeigen zunächst, dass M 5 {0, 1}M gilt. Hierzu betrachten wir die folgende Funkti-onsfamilie bm : M → {0, 1}, mit m ∈M und

bm(x) =df

{1 wenn x = m

0 sonst.

Wir betrachten nun die folgende Abbildung a : M → {0, 1}M , definiert durch

a(m) =df bm.

42

Fürm 6= m′ gilt auch bm 6= bm′ , da bm(m) = 1 6= bm′(m) = 0 gilt. a ist also eine injektive Funktion,es folgt M 5 {0, 1}M .

Der Beweis vonM 6∼= {0, 1}M ist komplexer. Angenommen es gäbe eine bijektive, also insbesonderesurjektive, Funktion

g : M → {f | f : M → {0, 1}}︸ ︷︷ ︸{0,1}M

.

Dann definieren wir folgende Funktion h : M → {0, 1}

h(m) =df 1− g(m)(m) für alle m ∈M.

Da g surjektiv ist, existiert ein m0 ∈M :

g(m0) = h (3.1)

Nach Konstruktion gilt aber g(m0)(m0) 6= h(m0), also g(m0) 6= h im Widerspruch zu Gleichung3.1. 2

Die Konstruktion aus dem zweiten Teil des vorherigen Beweis ist fürM = N als Diagonalargumentgraphisch in Abbildung 3.5 veranschaulicht. Hier sind die Funktionen g(i) : N→ {0, 1} reihenweisein der Form g(i) = g(i)(0) g(i)(1) g(i)(2) . . . dargestellt. Auf der Diagonalen gibt es immer eineNichtübereinstimmung zur Funktion h.

g(0) = g(0)(0)︸ ︷︷ ︸6=h(0)

g(0)(1) g(0)(2) g(0)(3) . . .

g(1) = g(1)(0) g(1)(1)︸ ︷︷ ︸6=h(1)

g(1)(2) g(1)(3) . . .

g(2) = g(2)(0) g(2)(1) g(2)(2)︸ ︷︷ ︸6=h(2)

g(2)(3) . . .

......

Abbildung 3.5: Diagonalargument für die Nichtsurjektivität von Funktion g aus dem Beweis vonSatz 3.18. Funktion h wird nicht von g erreicht.

Beim Beweis von Theorem 3.18 haben wir ein weiteres wichtiges Beweisprinzip kennengelernt,nämlich das des Widerspruchsbeweises.

Beweisprinzip 3.19 (Widerspruchsbeweis).

Sei A eine zu beweisende Aussage. Gelingt es aus der Annahme ¬A auf eine Aussage

43

B zu schließen, für die ¬B gilt, so muss A gelten. Kurz:((¬A ⇒ B) ∧ ¬B

)⇒ A.

Auch dieses Beweismuster lässt sich leicht anhand einer Wahrheitstafel als gültig nachweisen.

Satz 3.18 hat deshalb besondere Bedeutung, da zwischen der Potenzmenge einer Menge und denFunktionen von M in die Menge {0, 1} eine bijektive Beziehung besteht. Eine Teilmenge A von Mkann nämlich durch ihre charakteristische Funktion

χA : M → {0, 1}

χA(m) =df

{1 falls m ∈ A0 sonst

beschrieben werden. Die charakteristische Funktion ist also ein (u.U. auch unendlicher) Bitvektor,der durch seine 1-Einträge genau die in A enthaltenen Elemente markiert. Es ist leicht zu sehen,dass

fM : P(M)→ {0, 1}M

fM (A) =df χA

bijektiv ist.6 Unmittelbare Folge von Satz 3.18 ist daher, dass die Potenzmenge einer MengeM echtmächtiger als die Menge selbst ist.7 Dieses offenbart auch die Vielschichtigkeit unendlicher Mengen.Offensichtlich liegt mit N,P(N),P(P(N)), . . . eine Folge von Mengen vor, deren Mächtigkeit injedem Schritt echt ansteigt. In der Mathematik trägt man dieser Tatsache durch den Begriff derKardinalzahlen (siehe Abschnitt 3.3.2) Rechnung.

Nachdem wir bereits typische abzählbar unendliche Mengen kennengelernt haben, wollen wir P(N)

als nächste Ebene noch näher beleuchten. Auch hier gibt es interessante gleichmächtige Mengen,denn es gilt:

{0, 1}N ∼= P(N) ∼= (0, 1) ∼= R

wobei (0, 1) =df {x ∈ R | 0 < x < 1} das offene Intervall der reellen Zahlen zwischen 0 und 1

bezeichnet.

Die erste ∼=-Beziehung haben wir bereits gezeigt. Die dritte ∼=-Beziehung ist unmittelbar durch dieBijektion fR : (0, 1)→ R mit x 7→ x− 1

2

x (x−1) gerechtfertigt.

Die zweite ∼=-Beziehung basiert auf der Idee, dass jede reelle Zahl im Intervall zwischen 0 und 1als Binärbruchentwicklung, also als abzählbar unendlicher Bitvekor, geschrieben werden kann. Sowird etwa der periodische Binärbruch 0, 001001 durch den entsprechenden unendlichen Bitvektor0010010101 . . . repräsentiert. Da diese Repräsentation aber nur eindeutig ist, wenn keine Binärbrü-6Der Zusammenhang zwischen der Potenzmenge und {0, 1}M motiviert auch die – vor allem in der Informatikübliche – Notation 2M für die Potenzmenge.

7Satz 3.18 beschränkte sich auf nichtleere Mengen M , da eine intuitive Definition von Abbildungen mit der leerenMenge als Definitionsbereich schwer fällt. Offensichtlich gilt jedoch auch ∅ � P(∅) = {∅}.

44

che mit endständiger Periode 1 vorliegen,a ist die dadurch definierte Abbildungf : (0, 1) → {0, 1}N nur injektiv, nicht aber surjektiv. Umgekehrt kann man alle unendlichen Bit-vektoren, die nicht ab einer Position dauerhaft 1 sind, auf ihre Binärbruchentwicklung im Intervall(0, 1) abbilden, die anderen auf ihre Binärbruchentwicklung plus 1. Damit hat man eine injektiveFunktion von {0, 1}N nach R. Schaltet man nun die injektive Funktion f−1R : R → (0, 1) dahinter,hat man auch eine injektive Funktion von {0, 1}N nach (0, 1). Aus Satz 3.16 folgt schließlich dieGleichmächtigkeit von (0, 1) und {0, 1}N.aMan beachte, dass z.B. der periodische Binärbruch 0, 0101 und der Binärbruch 0, 011 dieselbe reelle Zahl reprä-

sentieren.

3.2.3 Partiell definierte Funktionen

In der Informatik hat man es oft auch mit Abbildungen zu tun, die zwar rechtseindeutig, aber nichtlinkstotal sind. Man denke zum Beispiel an ein deterministisches8 Programm, das eine ganzzahli-ge Eingabe erwartet und eine ganzzahlige Ausgabe zurückliefert. Diese Ein-Ausgabe-Relation istrechtseindeutig, denn falls ein Ergebnis zurückgeliefert wird, so ist dieses eindeutig bestimmt. Fallsdie Berechnung allerdings fehlschlägt, sich etwa in einer Endlosschleife verfängt, so existiert keineAusgabe. Die Ein-Ausgabe-Relation ist also nicht linkstotal. Im Falle von rechtseindeutigen Rela-tionen spricht man daher auch von partiell definierten Funktionen. Wir verwenden die Notationf : A 99K B. Der Definitionsbereich von f (in Zeichen: Def (f)) ist die Menge aller Elemente aus A,die ein Bildelement besitzen. Im Unterschied zu totalen Funktionen gilt nur Def (f) ⊆ A,9 jedochkeine Gleichheitsbeziehung. Die Komposition partiell definierter Funktionen kann analog zu dertotaler Funktionen definiert werden, wobei a ∈ Def (f ◦ g) nur genau dann gilt, wenn a ∈ Def (g)

und in diesem Falle außerdem g(a) ∈ Def (f).

3.3 Äquivalenzrelationen

Äquivalenzrelationen formalisieren mathematisch das Konzept des Identifizierens ähnlicher Objek-te. Sie sind daher zentrales Instrument für den Prozess der Abstraktion. So lassen sich zum Beispielwertgleiche arithmetische Ausdrücke wie x + x und 2x identifizieren. Auch bei der mathematischfundierten Konstruktion der Zahlbereiche spielen Äquivalenzrelationen eine entscheidende Rolle.Da die Brüche 1

2 ,24 ,

36 , . . . allesamt dieselbe rationale Zahl repräsentieren, liegt es in der Tat nahe,

die rationalen Zahlen Q über eine Äquivalenzrelation auf Z × Z\{0} zu definieren. Formal sindÄquivalenzrelationen homogene Relationen mit folgenden Eigenschaften:

Definition 3.20 (Äquivalenzrelation). Eine Relation ∼ ⊆ A×A heißt Äquivalenzrelation gdw.

1. ∼ ist reflexiv, d.h.: ∀ a ∈ A. a ∼ a

2. ∼ ist symmetrisch, d.h.: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 ∼ a2 ⇒ a2 ∼ a18Bei einem deterministischem Programm ist, für eine bestimmte Eingabe, der Ablauf eindeutig bestimmt. Insbe-sondere finden also keine Zufallszahlen o.ä. Verwendung.

9Da wir zur Definition partieller Funktionen nur eine Forderung, nämlich diejenige nach Linkstotalität, aufgeben,werden von dieser Definition natürlich auch sämtliche total definierten Funktionen umfasst.

45

3. ∼ ist transitiv, d.h.: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 ∼ a2 ∧ a2 ∼ a3 ⇒ a1 ∼ a3

Auf Z× Z \ {0} definieren wir die Äquivalenzrelation ∼Q durch

(a, b) ∼Q (c, d)⇔df ad = bc,

wobei sich die rechte Seite durch einfache Termumformungen aus ab = c

d ergibt. Als eine leichteÜbungsaufgabe bleibt es dem Leser überlassen nachzuweisen, dass ∼Q die Eigenschaften (1)–(3)aus Definition 3.20 erfüllt.

Beispiel 3.21. Wir betrachten hier einige Verwandtschaftsbeziehungen unter einer Menge vonPersonen.

1. Die Geschwisterbeziehung ist eine Äquivalenzrelation.a

2. Die Freundschaftsbeziehung ist im Allgemeinen keine Äquivalenzrelation, da diese nicht tran-sitiv ist. Wenn Anna mit Bob befreundet ist und Bob mit Charlotte, so müssen Anna undCharlotte nicht unbedingt befreundet sein.

3. Die Bruderbeziehung ist keine Äquivalenzrelation, da diese nicht symmetrisch ist. Andreasist zwar Bruder von Beate, aber natürlich nicht umgekehrt. Definiert man diese Relationallerdings nur auf männlichen Personen, so erhält man wiederum eine Äquivalenzrelation(unter der Annahme, dass ein Mann Bruder von sich selbst ist.)

aWir nehmen dabei an, dass eine Person Geschwister von sich selbst ist. Ferner haben Geschwister ein gemeinsamesElternpaar, was Halbgeschwister ausschließt.

Äquivalenzrelationen über einer Grundmenge A legen Äquivalenzklassen auf A fest: Für a ∈ A istdie zugehörige ∼-Äquivalenzklasse [a]∼ definiert als

[a]∼ =df {a′ ∈ A | a ∼ a′},

d.h. die Menge aller Elemente aus A, die zu a äquivalent sind. Aufgrund der Eigenschaften (1)-(3)aus Definition 3.20 sind auch alle Elemente dieser Menge untereinander äquivalent. Man erkenntleicht, dass die Wahl eines konkreten a für die Menge [a]∼ nur eine untergeordnete Bedeutungspielt: Gilt a ∼ a′, so ist [a]∼ = [a′]∼.

Die Menge aller Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation ∼ bildet ein Mengensystem mit Grund-menge A. Dieses Mengensystem ist von einem besonderen Typ, den wir im Folgenden näher be-trachtet.

3.3.1 Partitionen

Partitionen sind Mengensysteme, die eine Grundmenge vollständig in eine paarweise disjunkteMenge von Teilmengen, auch Partitionsklassen genannt, zerlegen. Formal bedeutet dies:

Definition 3.22 (Partition). Sei M eine Menge. P ⊆ P(M) heißt Partition ⇔df

1. ∅ /∈ P (Die Partitionsklassen sind nichtleer)

46

2.⋃

M ′∈P M′ = M (Die Partitionsklassen überdecken M)

3. ∀M1,M2 ∈ P. M1 6= M2 ⇒ M1 ∩ M2 = ∅ (Die Partitionsklassen sind paarweisedisjunkt)

Beispiel 3.23. FürM = {1, 2, 3} sind P1 =df {{1}, {2}, {3}} und P2 =df {{1, 2}, {3}} Partitionen.P3 =df {{1}, {2}} ist keine Partition, da das Element 3 nicht überdeckt wird. Ebenso ist P4 =df

{{1, 2}, {2, 3}} keine Partition, denn die beiden Partitionsklassen sind nicht disjunkt.

Den engen Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Partitionen hält der folgende Satzfest.

Satz 3.24. Sei A eine beliebige Menge.

1. Ist ∼ ⊆ A×A eine Äquivalenzrelation auf A, dann bildet die Menge aller Äquivalenzklassen

A/ ∼ =df {[a]∼ | a ∈ A}

eine Partition auf A.

2. Ist P ⊆ P(A) eine Partition auf A, dann ist

∼P =df {(a1, a2) ∈ A×A | ∃A′ ∈ P. a1, a2 ∈ A′}

eine Äquivalenzrelation auf A.

Beweis

1. Wegen a ∈ [a]∼ für alle a ∈ A sind die Äquivalenzklassen offensichtlich nicht leer. Außerdemgilt

⋃a∈A[a]∼ = A. Es bleibt zu zeigen, dass die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind.

Dieses zeigen wir per Kontraposition. Sei [a1]∼ ∩ [a2]∼ 6= ∅ für a1, a2 ∈ A. Dann existiertein a′ mit a′ ∈ [a1]∼ und a′ ∈ [a2]∼. Also gilt a′ ∼ a1 und a′ ∼ a2. Mit der Symmetrie undTransitivität von ∼ folgt a1 ∼ a2 und somit auch [a1]∼ = [a2]∼.

2. Wir zeigen zuerst, dass ∼P reflexiv ist. Sei a ∈ A. Weil P ganz A überdeckt, existiert einePartitionsklasse A′, die a enthält. Per Definition gilt dann a ∼P a. Um die Symmetrie von∼P zu zeigen, nehmen wir an es gelte a1 ∼P a2 für Elemente a1, a2 ∈ A. Per Definition liegena1 und a2 in einer gemeinsamen Partitionsklasse A′ und es folgt dann auch a2 ∼P a1. DerBeweis der Transitivität ist analog.

2

Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der (1) durch ∼ induzierten Partition bzw. der(2) durch P induzierten Äquivalenzrelation auf A.

Auch zwischen Funktionen und Äquivalenzrelationen besteht ein Zusammenhang: Jede Funktionf : A→ B induziert eine Äquivalenzrelation ∼f auf A:

a1 ∼f a2 ⇔df f(a1) = f(a2).

47

Die zugehörige Partition wird als Urbildpartition bezeichnet, denn ihre Partitionsklassen sind dieUrbilder der Elemente aus f(A), also der Gestalt f−1(b) mit b ∈ f(A).

Beispiel 3.25. Wir betrachten eine Menge von Studierenden S =df {Adam, Barbie, Conan, Dana,Eric, Fred, Gia, Hannah, Ken, Iris, Jan}, die an einer Klausur teilgenommen haben. Die erzielteKlausurnote kann als Funktion n : S → {1, 2, 3, 4, 5} wie angesehen werden und sei hier etwa:

Adam 7→ 2,Barbie 7→ 5,Conan 7→ 1,Dana 7→ 2,Eric 7→ 3,Fred 7→ 3,

Gia 7→ 3,Hannah 7→ 2,Ken 7→ 5, Iris 7→ 1, Jan 7→ 2

Die zugehörige Äquivalenzrelation identifiziert Studierende mit derselben Klausurnote. Die Parti-tionsklasse der Einserresultate ist:

n−1(1) = {s ∈ S | n(s) = 1} = {Conan, Iris}.

Die gesamte Urbildpartition ist:

{{Conan, Iris}, {Adam,Dana,Hannah, Jan}, {Eric,Fred,Gia}, {Barbie,Ken}}.

Man beachte, dass die Note 4 nicht vergeben wurde und daher die leere Urbildmenge nicht Be-standteil der Partition ist.

Eine Stolperfalle fördert die Betrachtung zutage, ob der Schnitt und die Vereinigung von Äquiva-lenzrelationen wiederum eine Äquivalenzrelation darstellen. Seien ∼1 und ∼2 zwei Äquivalenzre-lationen, dann offenbar auch ∼1 ∩ ∼2:10 Alle Elemente der Form (a, a) müssen sowohl in ∼1 alsauch ∼2 enthalten sein. Ebenso muss für (a, b) ∈∼1 ∩ ∼2 auch jeweils (b, a) in ∼1 sowie in ∼2 sein,für die Transitivität lässt sich analog argumentieren.

Anders stellt sich die Sache jedoch bei der Vereinigung ∼1 ∪ ∼2 dar, welche im Allgemeinenkeine Äquivalenzrelation ist. Dies liegt daran, dass die Vereinigung nicht notwendigerweise dieTransitivität erhält: Ist (a, b) ∈∼1 \ ∼2 und (b, c) ∈∼2 \ ∼1, aber (a, c) weder in ∼1 noch ∼2, soenthält die Vereinigung (a, b) und (b, c), ohne jedoch (a, c) zu enthalten.

Hüllenoperatoren

Die vorangegangene Betrachtung legt die Frage nahe, wie sich eine solche Relation „reparieren“lässt, d.h. wieder in eine Äquivalenzrelation überführen lässt. Für eine homogene binäre RelationR ⊆ A × A ist die transitive Hüllea (auch transitiver Abschluss, engl. transitive closure) R+ defi-niert als die kleinste Relation, die R enthält und transitiv ist. Diese lässt sich rekursiv wie folgtbeschreiben:

(a, b) ∈ R+ ⇔df (a, b) ∈ R ∨ ∃ c ∈ A. (a, c) ∈ R+ ∧ (c, b) ∈ R+.

10Man beachte, dass Relationen lediglich Teilmengen des kartesischen Produkts sind.

48

Ist zusätzlich die Reflexivität verletzt, lassen sich diese beiden Eigenschaften mit der reflexiv-transitiven Hülle R∗ wiederherstellen, welche mittels der Identitätsrelation als R∗ =df R+ ∪ IAdefiniert werden kann.

Die reflexiv-transitive Hülle findet häufig in der theoretischen Informatik Anwendung, wenn man et-wa die Übergänge zwischen Konfigurationen (Zuständen) einer Rechenmaschine, z.B. einer Turing-Maschinec, betrachtet: Bedeutet s ` s′, dass die Maschine in einem Berechnungsschritt von s inden Zustand s′ wechseln kann, so schreibt man s `∗ s′′, wenn man von der nötigen Anzahl anZwischenschritten (auch keine) abstrahieren will. Erforderlich ist dann nur eine – potentiell leere– Folge von Berechnungsschritten über Zwischenzustände, an deren Anfang s und Ende s′′ steht.

Die letzte Eigenschaft, die bei einer Äquivalenzrelation verletzt sein kann, ist die Symmetrie. Diesymmetrische Hülle lässt sich definieren als R↔ =df R ∪ R−1. Kombiniert man diese drei Hüllen-operatoren, so ergibt sich die reflexiv-transitiv-symmetrische Hülle R

∗↔. Für eine beliebige RelationR ist R

∗↔ eine Äquivalenzrelation.aEine „Hülle“ bezeichnet im mathematischen Sinne immer eine minimale Menge, welche eine gegebene Menge

vollständig enthält, und zusätzlich bestimmte Eigenschaften erfüllt. Zentral ist hierbei, dass keine Elementeenthalten sind, welche weder gegeben noch durch die Eigenschaften erzwungen wurden. Ein anschauliches Beispielaus der Geometrie ist die konvexe Hülleb einer Menge von Punkten.

csiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Turing-Maschine

Äquivalenzrelationen in der objektorientierten Programmierung

Äquivalenzrelationen sind von solch herausragender Bedeutung, dass ihre Anwendung oft unbe-wusst geschieht. Tatsächlich ist es oft üblich, äquivalente Objekte zu identifizieren, d.h. als exaktgleich zu betrachten. Hierbei ist zu beachten, dass auch die Gleichheit „=“ wiederum eine Äquiva-lenzrelation ist.

Ein Beispiel hierfür liefert die Programmiersprache Java: Der spracheigene Vergleichsoperator ==testet, ob zwei Operanden das selbe Objekt referenzieren (Identität). So wertet beispielsweise derAusdruck new String("foo") == new String("foo") zu false aus, da der new-Operator dieErzeugung eines komplett neuen Objekts garantiert.

Oft ist man jedoch am Inhalt (bzw. der Semantik) der Objekte interessiert, statt an ihrer Identität.Hierfür definiert die Klasse Object, von welcher alle selbst definierten Klassen erben, die Metho-de equals. Diese ist genau für den Test auf „semantische Gleichheit“ verantwortlich. Wird sieüberschrieben, so muss der Programmierer den Test auf Gleichheit selbst implementieren. Hierfürist es essenziell, die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen sicherzustellen, was auch die offizielleDokumentationa fordert:

„The equals method implements an equivalence relation on non-null object references:

• It is reflexive: for any non-null reference value x, x.equals(x) should returntrue.

• It is symmetric: for any non-null reference values x and y, x.equals(y) should

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return true if and only if y.equals(x) returns true.

• It is transitive: for any non-null reference values x, y, and z, if x.equals(y)returns true and y.equals(z) returns true, then x.equals(z) should returntrue.“

asiehe http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/lang/Object.html#equals(java.lang.Object)

3.3.2 Exkurs: Kardinalzahlen

Man kann sich leicht überlegen, dass die Gleichmächtigkeit von Mengen, wie sie in Kapitel 3.2.2definiert wurde, eine Äquivalenzrelation auf Mengen ist.a Die Äquivalenzklassen dieser Relationwerden als Mächtigkeit oder Kardinalzahlen bezeichnet. Wir verwenden wie im Falle endlicherMengen die Notation |M |. Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist ℵ0 =df |N|. Über die nächst-größere Kardinalzahl lässt sich nur schwerlich eine Aussage treffen: Die Kontinuumshypotheseb

besagt, dass die nächst größere unendliche Kardinalzahl ℵ1 =df |R| ist. Allerdings wurde nach-gewiesen, dass diese Hypothese sich in der herrschenden Axiomatisierung der Mathematik, derZermelo-Fraenkel-Mengenlehre, weder beweisen noch widerlegen lässt.

Basierend auf den Mächtigkeitsgesetzen endlicher Mengen definiert man folgende Rechenoperatio-nen auf Kardinalzahlen:

Definition 3.a (Operationen auf Kardinalzahlen).

1. |A|+ |B| =df |A ∪B|, falls A ∩ B = ∅

2. |A| ∗ |B| =df |A×B|

3. |A||B| =df |AB |aWegen der Antinomie der Allmenge muss der Begriff streng genommen auf der Klasse der Mengen oder relativ

zu einem zugrundeliegenden Mengenuniversum gesehen werden.bsiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

Kardinalzahlen lassen sich durch 5 partiell ordnen.c Für unendliche Mengen A und B mit |A| ≤|B| gilt:

|A|+ |B| = |A| ∗ |B| = |B|.cEine formale Definition von Ordnungen findet sich in Kapitel 7; die Antisymmetrie ist hier Konsequenz vonSatz 3.16.

3.4 Lernziele

Am Ende dieses Kapitels sollten Sie ...

• eine Vorstellung von Relationen haben:

50

– Wie sind Relationen formal definiert?

– Welche besonderen Eigenschaften können binäre Relationen aufweisen?

– Was bedeutet es, wenn eine Funktion injektiv/surjektiv/bijektiv ist?

• mit Mächtigkeiten von Mengen vertraut sein:

– Was bedeutet es, wenn eine Menge unendlich ist?

– Wie vergleicht man Mächtigkeiten von (unendlichen) Mengen?

– Welche unendlichen Mengen sind gleichmächtig, welche sind echt mächtiger?

– Mit welcher Beweisidee lässt sich bspw. die Überabzählbarkeit von {0, 1}N nachweisen?

• den Begriff der Äquivalenzrelation verinnerlicht haben:

– Durch welche Eigenschaften sind Äquivalenzrelationen definiert?

– Welcher Zusammenhang besteht zwischen Äquivalenzrelationen und Partitionen/Funk-tionen?

51

52

4 Induktives Definieren

In Kapitel 2 haben wir Mengen als eine der zentralen mathematischen Strukturen kennengelernt.Angegeben wurden Mengen entweder explizit (dies funktioniert natürlich nur bei endlichen Men-gen), durch Anwendung von Mengenoperationen wie Vereinigung oder Schnitt aus anderen Mengengebildet, oder in beschreibender Form unter Angabe eines Prädikats, welches Elemente aus einergrößeren Menge ausgewählt hat.

In vielen Fällen stoßen diese Spezifikationsmechanismen jedoch an ihre Grenzen, da die Strukturder zu beschreibenden Objekte beliebig komplex werden kann. In manchen Fällen haben wir unsdamit beholfen, „. . .“ in die Mengenbeschreibung aufzunehmen – selbst für die „Definition“ dernatürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, . . .} musste diese Notation bislang genügen.

Intuitiv ist es dem Leser sicher klar, wie er die „ . . .“-Notation zu interpretieren hat: Aus einfachenObjekten sowie einigen komplexeren Beispielen lassen sich allgemeine Regeln für den Aufbau kom-plexerer Objekte herleiten. Das Vorgehen anhand fester Regeln Objekte beliebiger Komplexitätzu bilden ist die Grundidee des in diesem Kapitel vorgestellten induktiven Definierens. Zwarwird dieses Prinzip hier zunächst anhand einer Formalisierung der natürlichen Zahlen vorgestellt,seine überragende Bedeutung kommt aber erst durch eine Vielzahl anderer Anwendungsbereiche,insbesondere aus der Informatik, zum Ausdruck. Als Beispiele sind Zahldarstellungen, Ausdrücke,Datenstrukturen sowie Programmier- und Prozesssprachen zu nennen, welche größtenteils induk-tiv aufgebaut sind. Aber auch Algorithmen, Funktionen und Prädikate sind oft induktiv über denAufbau der zugrundeliegenden Strukturen definiert.

Induktives Vorgehen ist jedoch nicht nur für die Definition solcher Mengen von Bedeutung, sondernauch um Aussagen über deren Elemente zu beweisen. Dieses induktive Beweisen (siehe Kapitel 6)bedeutet „Beweisen entlang der induktiven Struktur“ der zugrundeliegenden Objekte. Induktions-beweise erlauben es, Eigenschaften für unendlich viele Objekte auf einen repräsentativen Indukti-onsschluss zurückzuführen.

4.1 Natürliche Zahlen

Der intuitive Umgang mit natürlichen Zahlen ist dem Leser seit früher Kindheit vertraut. Auchwenn es unmöglich ist, alle natürlichen Zahlen aufzuzählen, so ist das Konzept der natürlichenZahl als Resultat des Zählens von Objekten einer endlichen Menge offenbar hinreichend leichtverständlich.1

1Mathematisch betrachtet könnte man sagen, dass die natürlichen Zahlen ein Modell der Äquivalenzklassen von ∼=auf endlichen Mengen sind.

53

Einen etwas tieferen Einblick erhält man, wenn man die oben angesprochene Notation N =

{0, 1, 2, . . .} betrachtet: Ausgehend von der kleinsten natürlichen Zahl 0 bildet man die jeweilsnächste natürliche Zahl, indem man 1 auf ihren Vorgänger addiert. In der Tat bildet diese Be-trachtung den Kern der im Folgenden vorgestellten Peano-Axiome. Hierbei zeigt sich auch einegrundsätzliche Beziehung des induktiven Definierens zu einem weiteren zentralen Konzept der In-formatik, den in Kapitel 1 bereits angesprochenen Invarianten: Addiert man auf eine beliebigenatürliche Zahl 1, so ist gesichert dass die resultierende Zahl ebenfalls natürlich ist.

4.1.1 Peano-Axiome

Die Peano-Axiome stellen eine formale Charakterisierung der natürlichen Zahlen dar. Die Grun-didee dabei ist, dass jede natürliche Zahl durch eine endliche Anwendung der Nachfolgefunktions(·) entsteht.

Definition 4.1 (Peano-Axiome).

P1 0 ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N.a

P2 Jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl s(n) als Nachfolger:

∀n ∈ N. ∃m ∈ N. m = s(n)

P3 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl:

@n ∈ N. 0 = s(n)

P4 Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger:

∀m,n ∈ N. n 6= m ⇒ s(n) 6= s(m)

P5 Induktionsaxiom: IstM ⊆ N mit 0 ∈M und der Eigenschaft, dass aus n ∈M auch s(n) ∈Mfolgt, so muss M = N gelten.

(∀M ⊆ N. 0 ∈M ∧ ∀n ∈ N. n ∈M ⇒ s(n) ∈M) ⇒ (M = N).

aIn diesem Skript nehmen wir an, dass 0 die kleinste natürliche Zahl ist. In der nicht-informatischen Mathematikgeht man üblicherweise von 1 als kleinster natürlichen Zahl aus, die Axiome (P1), (P3) und (P5) müssen dannentsprechend angepasst werden.

Die Axiome (P1) und (P3) beschreiben die Sonderrolle der Null. Die Axiome (P2) und (P4) drückenaus, dass die Anwendung der Nachfolgefunktion für alle natürlichen Zahlen wiederum eine natürli-che Zahl ergibt, und dass s(·) injektiv ist, also eine zumindest partiell definierte Umkehrfunktion2

besitzt. Axiom (P5) ist Grundlage des später in Theorem 6.17 eingeführten Beweisprinzips dervollständigen Induktion, welches es ermöglicht, Aussagen über die gesamte Menge der natürlichenZahlen zu beweisen.

2In der Tat ist 0 die einzige Definitionslücke der „Vorgängerfunktion“, wie auch durch (P3) festgelegt.

54

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass im Induktionsaxiom (P5) erstmals eine sogenannteprädikatenlogische Formel 2. Stufe vorliegt. Der äußere Allquantor bezieht sich nämlich nicht aufIndividuen der Struktur natürlicher Zahlen, sondern auf Mengen solcher Individuen. Allgemeinspricht man von Prädikatenlogik 2. Stufe, wenn dort auch über Relationen quantifiziert werdendarf. Lässt man auch Relationen über Relationen zu so kommt man zur Prädikatenlogik 3. Stufeusw.

4.1.2 Operationen auf natürlichen Zahlen

Es fällt auf, dass Operationen wie Addition und Multiplikation nicht Bestandteil der Peano-Axiomesind. Diese können aber leicht auf der axiomatischen Grundlage aufbauend induktiv definiert wer-den. Betrachten wir zunächst die Addition und definieren:

Definition 4.2 (Addition natürlicher Zahlen). Die Addition zweier Zahlen aus N ist induktivdefiniert durch

0 +m =df m (a)

s(n) +m =df s(n+m) (b)

Beschreibt Gleichung (a) noch eine echte Vereinfachung des Ausdrucks, so scheint Gleichung (b)nur die Positionierung der Klammern zu verändern. Jedoch ist das Argument von s(·) auf derrechten Seite wiederum ein Additionsausdruck, bei dem der linke Summand echt kleiner ist. DieAnwendung dieser induktiven Definition lässt sich anhand des Beispiels der Addition von 2 und 1

nachvollziehen:

s(s(0)) + s(0)(b)= s(s(0) + s(0))

(b)= s(s(0 + s(0)))

(a)= s(s(s(0)))

Diese Art zu rechnen ist zwar hochgradig impraktikabel, das berechnete Ergebnis ist jedoch offen-sichtlich korrekt. Auf der Addition aufbauend kann entsprechend auch die Multiplikation definiertwerden:

Definition 4.3 (Multiplikation natürlicher Zahlen). Die Multiplikation zweier Zahlen aus N istinduktiv definiert durch

0 ·m =df 0

s(n) ·m =df m+ (n ·m)

55

Mithilfe induktiver Definitionen lassen sich auch die manchen Lesern sicher bereits bekanntenSummen- und Produktzeichen

∑und

∏formalisieren:

k∑i=1

ni =df

0 falls k = 0

(k−1∑i=1

ni) + nk sonst

k∏i=1

ni =df

1 falls k = 0

(k−1∏i=1

ni) · nk sonst

wobei ni ∈ N für alle i ∈ {1, . . . , k}.

Beispiel 4.4 (Fakultät und Potenz). Weitere wichtige Operationen auf natürlichen Zahlen sinddie Fakultät von n (in Zeichen n!) sowie die n-te Potenz einer Zahl m (in Zeichen mn). Diese lassensich mithilfe des Produktzeichens ebenfalls sehr leicht definieren:

n! =df

n∏i=1

i = (. . . (1 · 2) . . .) · n)

mn =df

n∏i=1

m = (. . . (m ·m) . . .) ·m)︸ ︷︷ ︸n mal

.

4.1.3 Induktiv definierte Algorithmen

Basierend auf der induktiven Definition natürlicher Zahlen können eine Vielzahl weiterer Funk-tionen definiert werden. Etwas weniger offensichtlich, aber mindestens so bedeutend sind induktivdefinierte Algorithmen. In der Einleitung haben wir bereits das Problem der Türme von Hanoikennengelernt: Die Aufgabe ist es, n Scheiben aufsteigender Größe von einem Ausgangsstab A

unter Verwendung eines Hilfsstabes B auf einen Zielstab C zu verschieben, so dass jeweils nur eineScheibe bewegt wird und zu keinem Zeitpunkt eine größere auf einer kleineren Scheibe liegt.

Die algorithmische Lösung für dieses Problem lässt sich induktiv über die Anzahl der Scheiben ndefinieren:

• Für n = 0 ist nichts zu tun.

• Für n > 0

– Verschiebe n− 1 Scheiben von Stapel A nach B, wobei C als Hilfsstapel dient.

– Verschiebe die n-te Scheibe von Stapel A nach C.

– Verschiebe n− 1 Scheiben von Stapel B nach C, wobei A als Hilfsstapel dient.

Kern ist hier die rekursive Definition des Algorithmus: Das Problem, n Scheiben zu verschiebenwird hierbei auf das Verschieben von n − 1 Scheiben sowie das separate Verschieben der größtenScheibe reduziert. Auch wenn diese Vorgehensweise sehr indirekt wirkt, so lässt sich beweisen, dass

56

das Problem nicht mit weniger Schritten als für den obenstehenden Algorithmus benötigt werdenzu lösen ist. Es handelt sich also um einen für das Problem optimalen Algorithmus.

4.2 Induktiv strukturierte Mengen

In Abschnitt 4.1 haben wir die natürlichen Zahlen in ihrer Peano-Axiomatisierung als eine spezielle,sehr einfache induktiv definierte Struktur kennengelernt: Ausgehend vom Element 0 lässt sichjede weitere natürliche Zahl durch sukzessive Anwendung der Nachfolgefunktion s(·) beschreiben.Analog zum beschriebenen Vorgehen lassen sich jedoch auch komplexere Regeln zur induktivenDefinition von Mengen aufstellen.

Definition 4.5 (Induktiv strukturierte Mengen). Sei

1. A eine Menge elementarer oder atomarer Bausteine

2. O eine Menge von Operatoren (oder Konstruktoren) mit zugehöriger Stelligkeit k ≥ 1, die eserlauben, kleinere Bausteine zu größeren Einheiten zusammenzusetzen.

Die durch A und O induktiv beschriebene Menge M ist die kleinste Menge, für die gilt:

1. A ⊆M ,

2. Ist o ∈ O ein Operator mit Stelligkeit k und sind m1, . . . ,mk ∈ M , dann ist aucho(m1, . . . ,mk) ∈M .a

aEine noch kompaktere, aber weniger intuitive Formulierung erhält man, wenn man auch Operatoren mit Stelligkeit0 zulässt. Diese lassen sich als atomare Bausteine auffassen. Für die obige Definition genügt dann lediglich jeweilsPunkt 2.

Induktiv strukturierte Mengen spielen in der Informatik eine entscheidende Rolle. Wir betrachtenim folgenden einige Beispiele:

Beispiel 4.6 (Binäre Bäume). Binäre Bäume sind die kleinste Menge mit

1. Der leere Binärbaum − ist ein atomarer Binärbaum und

2. Falls T1 und T2 Binärbaume sind, so ist auch [T1, T2] ein Binärbaum. T1 ist linker und T2rechter Teilbaum von diesem.

Der induktiv konstruierte Binärbaum [[[−,−], [[−,−],−]], [−,−]] ist in Abbildung 4.1 graphisch inBaumform dargestellt.

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass in diesem Skript die aus Operatoren und Ele-menten aus M gebildeten Konstrukte o(m1, . . . ,mk) lediglich syntaktischer Natur sind. Dies sollnicht zuletzt die in der Informatik zentrale Trennung von Syntax und Semantik unterstreichen.Die Möglichkeit, zusätzlich eine Interpretation dieser syntaktischen Konstrukte zu definieren, wirddadurch nicht eingeschränkt.

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Abbildung 4.1: Graphische Darstellung eines Binärbaumes

Bei anderen Autoren findet sich jedoch auch die Vorgehensweise, die Definition induktiver Mengenim Stile von Definition 4.5 semantisch aufzufassen: Die Operatoren aus O sind dann k-stelligeFunktionen. Formal benötigt man hierfür allerdings noch eine Grundmenge G ⊇ M , so dass dieAbbildungsvorschrift der Operatoren ohne Verwendung von M angegeben werden kann.

Setzt man die natürlichen Zahlen als bekannt voraus, so lässt sich beispielsweise die Menge derZweierpotenzen P unter Verwendung der Verdoppelungsfunktion d : N → N, d(n) = 2n induktivdefinieren durch A = {1}, O = {d}. In diesem Fall hat der Operator d eine Interpretation alsFunktion auf den natürlichen Zahlen, d(d(· · · d(1) · · · ) ist lediglich eine Berechnungsvorschrift fürein bereits in N enthaltenes Element; die Menge P wurde über der Grundmenge N induktiv definiert.

In der Informatik ist es jedoch häufig die angemessenere Betrachtungsweise, die Operatoren ausO als Konstruktoren aufzufassen: Das Konstrukt o(m1, . . . ,mk) ist hierbei keine Berechnungsvor-schrift, die sich auf die Interpretation von o als Abbildung stützt, sondern beschreibt die inhärenteStruktur des jeweiligen Objekts, wie etwa bei binären Bäumen. Eine Grundmenge lässt sich hiernur schwer angeben, da die induktive Definition die besondere Gestalt binärer Bäume überhaupterst einführt.

Boolesche Terme

Im folgenden betrachten wir eine weitere induktiv definierte Menge, nämlich die der BooleschenTerme. Diese sind letztlich nichts anderes als ein induktiv definiertes Modell für die in Abschnitt 2.1eingeführte Aussagenlogik.

Definition 4.7 (Boolesche Terme). Sei V eine Menge von Booleschen Variablen, z.B. V =

{X,Y, Z, ...}. Die Menge BT aller Booleschen Terme über V ist die kleinste Menge mit:

1. T, F und Boolesche Variablen aus V sind atomare Boolesche Terme.

2. Sind t1 und t2 Boolesche Terme, so sind auch

• ¬t1, die Negation von t1,

• ( t1 ∧ t2 ), die Konjunktion von t1 und t2 und

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• ( t1 ∨ t2 ), die Disjunktion von t1 und t2

Boolesche Terme.

Es ist zu beachten, dass die obige Definition nur die Syntax, also die äußere Form BoolescherTerme beschreibt. Hiermit ist den Operatoren wie ∨ und ∧ noch keine Bedeutung, wie sie etwa inDefinition 2.5 (S. 13) natürlichsprachlich festgelegt wurde, zugeordnet. In Kapitel 5.4 werden wirBooleschen Termen ebenfalls induktiv eine Semantik zuordnen, die zu einem gegebenen BooleschenTerm eine Berechnung des Wahrheitswertes unter einer gewissen Belegung erlaubt.

In diesem Kapitel führen wir aber zunächst noch eine induktive Definition ein, die eine rein syn-taktische Transformation auf Booleschen Termen beschreibt.

Definition 4.8 (Syntaktische Substitution). Die Substitution ist eine dreistellige Abbildung

·[·/·] : BT × BT × V → BT .

Intuitiv ist t1[t2/X] der Term, der entsteht, wenn wir in t1 die Variable X an allen Stellen durchden Term t2 ersetzen.

Formal ist die Substitution für Boolesche Terme t, t1, t2 ∈ BT und Variablen X,Y ∈ V induktivüber den Aufbau von t1 wie folgt definiert:

• T[t/X] =df T

• F[t/X] =df F

• Y [t/X] =df

{t falls Y = X

Y sonst

• (¬t1)[t/X] =df ¬(t1[t/X])

• (t1 ∧ t2)[t/X] =df (t1[t/X] ∧ t2[t/X])

• (t1 ∨ t2)[t/X] =df (t1[t/X] ∨ t2[t/X])

Bemerkenswert an der obigen Definition ist die Tatsache, dass der Substitutionsoperator [t/X]

im Falle nicht-atomarer Boolescher Terme immer in exakt gleicher Form auf sämtliche Teilter-me angewendet wird, und sich die äußere Form (Negationen bleiben Negationen, Konjunktionenbleiben Konjunktionen etc.). Man spricht in diesem Kontext auch von Kompositionalität: Das Er-gebnis der Operation auf einer komplexen Struktur lässt sich zusammensetzen aus den Ergebnissendieser Operation auf den Teilstrukturen. Das zugrundeliegende formale Konzept sind sogenannteHomomorphismen, die in Kapitel 8 ausgiebig thematisiert werden.

Im folgenden ist der Substitutionsbegriff anhand zweier Beispiele illustiert. Im Falle der erstenSubstitution sind die Zwischenschritte gemäß der induktiven Definition explizit ausgeführt, imFalle der zweiten bleibt dies als Übungsaufgabe dem Leser überlassen:

59

Beispiel 4.9.

• ¬(Y ∧ X)[t/X] = ¬((Y ∧ X)[t/X]) = ¬(Y [t/X] ∧ X[t/X]) = ¬(Y ∧ t)

• (X ∨ (Y ∧ X))[t/X] = (t ∨ (Y ∧ t))

4.3 Exkurs: Listen in funktionalen Programmiersprachen

Lineare Listen werden vermutlich jedem Leser, der sich bereits mit Programmierung befasst hat,bekannt sein: Es handelt sich um eine Sequenz von n Elementen (bspw. ganzen Zahlen), die ineiner festen Reihenfolge angeordnet sind – jedem Element ist ein eindeutiger Index zwischen 1 undn (bzw. 0 und n− 1) zugeordnet.

In imperativen und objektorientierten Programmiersprachen wie C, C++ oder Java werden Listenhäufig entweder mit Hilfe von Feldern (Arrays) oder als sogenannte verkettete Listen implementiert.In funktionalen Programmiersprachen wie etwa Haskella bedient man sich oft einer induktivenDefinition, die in ihrer Struktur große Ähnlichkeiten zu den Peano-Axiomen aufweist.

Induktiv lassen sich Listen über einer bestimmten Menge von Elementen, beispielsweise ganzenZahlen Z, wie folgt definieren:

1. Die leere Liste ist eine Liste.

2. Ist z ∈ Z und l eine Liste, so ist auch z gefolgt von l eine Liste.

Solche induktiven Datentypdefinition lassen sich in Haskell sehr einfach vornehmen: BezeichnetEmpty die leere Liste und Lst den Listenkonstruktor gemäß Punkt 2, so lässt sich der Typ IntListwie folgt definieren:

1 data I n tL i s t = Empty | Cons Integer I n tL i s t

Der Listenkonstruktor Cons erhält also eine ganze Zahl (Integer) sowie die folgenden Elemente,wiederum als IntList spezifiziert. Die Liste 4, 8, 15, 16, 23, 42 besäße dann die Darstellung

1 (Cons 4 (Cons 8 (Cons 15 (Cons 16 (Cons 23 (Cons 42 Empty ) ) ) ) ) )

Eine Funktion mysum, welche die Summe aller Elemente einer Liste berechnet, lässt sich dannsehr einfach durch Fallunterscheidung nach der Gestalt der übergebenen Liste (pattern matching)angeben:

1 mysum : : I n tL i s t −> Integer2 −− Ba s i s f a l l : Die Summe der l e e r en L i s t e i s t 03 mysum Empty = 04 −− Die Summe e r g i b t s i c h aus dem er s t en Element5 −− p lu s der Summe der R e s t l i s t e6 mysum (Cons z l ) = z + mysum l

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Es fällt auf, dass diese Definition sehr stark der induktiven Definition des Summenzeichens aufSeite 56 ähnelt.

Natürlich ist in Haskell bereits ein Datentyp für Listen enthalten, so bezeichnet [Integer] eineListe ganzer Zahlen, [] ist die leere Liste, und der Listenkonstruktor hat die Form (z:l). Aberauch komplexere induktiv aufgebaute Datenstrukturen sowie Algorithmen auf diesen lassen sich inHaskell sehr kompakt definieren.asiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Haskell_(Programmiersprache)

4.4 Lernziele

Am Ende dieses Kapitels sollten Sie ...

• die Peano-Axiomatisierung der natürlichen Zahlen kennen:

– Welche „Bausteine“ (Atome/Operationen) sind hierfür nötig?

– Warum ist es unnötig, dass arithmetische Operationen in den Peano-Axiomen spezifi-ziert sind?

• mit induktiven Mengendefinitionen vertraut sein:

– Nach welchem Schema werden Mengen induktiv definiert?

– Welche Bedeutung haben induktiv definierte Mengen für die Informatik?

61

62

5 Darstellung und deren Bedeutung

Die systematische Verarbeitung von Informationen, insbesondere deren automatische Verarbei-tung mit Hilfe von Rechenanlagen, ist die grundlegende Aufgabe der Informatik. Unter Informa-tion versteht man dabei den abstrakten Bedeutungsgehalt eines Begriffs der realen Welt. Damitwir Information kommunizieren und Rechenanlagen diese verarbeiten können, wird eine schemati-sche, formalisierte Darstellung benötigt: die Repräsentation. Eine Information kann allerdings aufverschiedene Weisen repräsentiert werden. Beispielsweise sind gebräuchliche Repräsentanten dernatürliche Zahl “vier”:

• Dezimal: 4

• Binär: 100

• Unär: ||||

• Römisch: IV

Umgekehrt können auch Repräsentationen unterschiedlich interpretiert werden. Zum Beispiel kannIV entweder eine Buchstabenfolge oder eine Darstellung der natürlichen Zahl “vier” sein.

Die Festlegung oder Konzeption eines geeigneten Repräsentationssystems (Sprache) zusammen miteiner adäquaten Begriffsbildung ist eine zentrale Aufgabe der Informatik, die wir als Definition einesSemantikschemas bezeichnen wollen. Die Interpretation (Deutung) liefert zu jeder Repräsentationihre Semantik (Bedeutung). Ohne Interpretation sind alle Repräsentationen bedeutungsleer. Erstdie Zuordnung von Bedeutungen macht die Repräsentation zur Information.

Im täglichen Leben wird zwischen Repräsentation und Information oft nicht explizit unterschieden.Vielmehr unterstellt man implizit oft eine Standardinterpretation. In der Informatik jedoch gibt esa priori keine Standardinterpretation. Das erhöht den Spielraum beim Design der Semantiksche-mata, macht aber eine explizite begriffliche Trennung zwischen dem abstrakten Informationsgehaltund der äußeren Form unbedingt notwendig.

5.1 Zeichenreihen

Syntaktische Repräsentationen sind in der Regel Sequenzen von Alphabetzeichen, sogenannte Zei-chenreihen oder Worte. Mathematisch gesehen können Zeichenreihen der Länge n als Funktion,die von der Menge {1, . . . , n} in ein Alphabet A abbildet, aufgefasst werden.1

1Dies ist eine andere Auffassung von n-Tupeln, also Elementen des n-fachen kartesischen Produkts.

63

Definition 5.1 (Zeichenreihe).Sei A eine endliche Menge von Zeichen (auch Alphabet genannt). Eine Zeichenreihe (auch Wort)w der Länge n ∈ N über A ist eine Funktion

w : {1, . . . , n} → A.

Für n = 0 ist {1, . . . , n} leer. Die (eindeutige) Zeichenreihe der Länge 0 bezeichnet man als dasleere Wort ε.

Die Menge aller Zeichenreihen über A mit Länge n wird mit An bezeichnet, es ist A0 = {ε}. DieMenge aller Zeichenreihen beliebiger, aber endlicher Länge ist die sogenannte kleenesche Hülle A∗

von A:A∗ =df

⋃n∈N

An.

Offensichtlich enthält A∗ auch das das leere Wort ε. Beschränkt man sich auf nichtleere Worte soschreiben wir

A+ =df

⋃n∈N+

An.

Eine wichtige Operation auf endlichen Zeichenreihen ist ihre Verkettung (Konkatenation), d.h. dieeinfache Aneinanderreihung zweier Zeichenfolgen.

Definition 5.2 (Konkatenation von Zeichenreihen).Seien w1 und w2 Zeichenreihen der Länge n und m über A. Dann ist die Konkatenation von w1

und w2 definiert durch:

w1 w2 : {1, . . . , n+m} → A

(w1 w2)(i) =

{w1(i) falls 1 ≤ i ≤ nw2(i− n) falls n+ 1 ≤ i ≤ n+m

Die Konkatenation von Zeichenreihen lässt sich auch auf Mengen von Zeichenreihen verallgemei-nern: Sind W1 und W2 Mengen von Zeichenreihen über einem gemeinsamen Alphabet A, so be-zeichnet W1W2 (zur Verdeutlichung auch als W1 ·W2 geschrieben) die Menge

W1 ·W2 =df {w1w2 | w1 ∈W1, w2 ∈W2}

der Zeichenreihen über A, die durch Konkatenation einer Zeichenreihe aus W1 mit einer Zeichen-reihe aus W2 gebildet werden können.

Weiterhin bezeichnet Wn, n ∈ N die Menge derjenigen Zeichenreihen, die durch n-fache Kon-katenation von Zeichenreihen aus W gebildet werden können. Induktiv lässt sich dies wie folgtdefinieren:

W 0 =df {ε}Wn =df W ·Wn−1 ∀n ∈ N+

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Auch hier können wir die (positive) kleenesche Hülle definieren, es gilt

W ∗ =df

⋃n∈N

Wn, W+ =df

⋃n∈N+

Wn.

Interpretiert man A als eine Menge von Zeichenreihen der Länge 1, so fallen die beiden Definitionenzusammen. Zu beachten ist, dass W+ = W ∗ \{ε} nur gilt, falls ε /∈W . Andernfalls sind die beidenMengen gleich.

5.1.1 Grenzen der Berechenbarkeit

An dieser Stelle wollen wir noch auf eine für die Informatik folgenreiche Beobachtung hinweisen.Die Menge der endlichen Zeichenreihen A∗ über einem endlichen Alphabet A ist abzählbar un-endlich. Für den Spezialfall der endlichen Bitvektoren, also {0, 1}∗ wurde dies im Rahmen derÜbungen behandelt, die Konstruktion lässt sich für größere Alphabete leicht verallgemeinern. Pro-gramme in einer beliebigen Programmiersprache sind durch ihre textuelle Darstellung gegeben,es kann also nur abzählbar unendlich viele verschiedene Programme (oder, allgemeiner, endlicheBerechnungsvorschriften) geben.

Andererseits ist die Menge der Funktion von N nach N überabzählbar unendlich. Es kann also nichtjede Funktion f : N → N durch eine endliche Berechnungsvorschrift, also zum Beispiel durch einauf Computern ausführbares Programm, berechnet werden.

Diese Überlegung ist zwar nicht konstruktiv, im Rahmen der Vorlesung „Grundbegriffe der theore-tischen Informatik“ (GTI) werden Sie allerdings konkrete, praktisch relevante Funktionen kennen-lernen, die nicht berechnet werden können.

5.2 Semantikschemata

Formal wird der Zusammenhang zwischen Information und Repräsentation durch den Begriff desSemantikschemas erfasst.

Definition 5.3 (Semantikschema). Ein Semantikschema ist ein Tripel (R, I, [[ · ]]). Hierbei ist

• R die Menge der Repräsentationen,

• I die Menge der Informationen und

• [[ · ]] ⊆ R× I eine Semantikrelation oder Interpretation. Statt [[ · ]](r) schreibt man [[ r ]].

Bei der überwiegenden Anzahl in der Informatik vorkommender Semantikschemata ist die Seman-tikrelation sogar eine – zumindest partiell definierte – (Semantik-)Funktion. Im Umfeld natürlicherSprachen ist dies meist nicht der Fall: So steht das Wort Bank in der deutschen Sprache für un-terschiedliche Gegenstandskategorien unseres täglichen Lebens.

65

Die folgenden Semantikschemata für die Darstellung natürlicher Zahlen verdeutlichen den Un-terschied zwischen der Information und ihrer Repräsentation. Wir beginnen mit der einfachstenRepräsentation, der Unärdarstellung, die sich bei Verwendung des einelementigen Strichalphabetesergibt:2

Beispiel 5.4 (Unärdarstellung positiver natürlicher Zahlen).

• Ru =df {|}+ = {|,||,|||, . . .}

• Iu =df N+ = {1, 2, . . . }: Positive Natürliche Zahlen(als Information bzw. Konzept, nicht als ihre Darstellung im Dezi-

malsystem!)

• [[ · ]]u ist definiert durch [[ || . . . |︸ ︷︷ ︸n

]]u =df n

Die Semantik einer Nachricht aus n Strichen ist also die natürliche Zahl n.

Im täglichen Umgang gebräuchlich ist die Verwendung der Dezimaldarstellung:

Beispiel 5.5 (Dezimaldarstellung natürlicher Zahlen).

• Rd =df {0, . . . ,9}+

• Id =df N

• [[ · ]]d ist definiert durch [[w ]]d =df

n∑i=1

10n−i · [[w(i) ]]z

Dabei bezeichnet [[ · ]]z den Wert einer Dezimalziffer, also [[ 0 ]]z =df 0, . . . , [[ 9 ]]z =df 9.

Die Darstellung aus Definition 5.5 hat den Nachteil, dass [[ · ]]d nicht injektiv ist. Das Problem liegtim Zulassen führender Nullen von Repräsentanten. So gilt:

[[ 1 ]]d = [[ 01 ]]d = [[ 001 ]]d = . . . = 1.

2Um Elemente der Repräsentationsebene klar von den Konzepten der Informationsebene zu trennen, werden erstereim Folgenden immer durch Fettdruck gekennzeichnet.

66

Führende Nullen können aber vermieden werden, indem man die Menge der Repäsentanten ein-schränkt auf:

Rd =df {0} ∪ {z w | z ∈ {1, . . . ,9}, w ∈ {0, . . . ,9}∗}

Wir betrachten nun noch als weitere Darstellung natürlicher Zahlen deren Binärdarstellung:

Beispiel 5.6 (Binärdarstellung natürlicher Zahlen).

• Rb =df {0} ∪ {1w | w ∈ {0,1}∗}

• Ib =df N

• [[ · ]]b ist

definiert durch [[w ]]b =df

n∑i=1

2n−i · [[w(i) ]]bz

Dabei bezeichnet [[ · ]]bz den Wert einer Binärziffer, also [[ 0 ]]bz =df 0 und [[ 1 ]]bz =df 1.

Interessanterweise eröffnet sich für Binärzahlen auch eine völlig andere Möglichkeit der Interpre-tation. Diese können nämlich auch als endliche Mengen natürlicher Zahlen interpretiert werden(bzw. als Wertevektoren der zugehörigen charakteristischen Funktion, siehe Abschnitt 3.2.2bzw.Exkurs 3.1.2). Eine 1 steht für ein vorhandenes, eine 0 für ein nicht vorhandenes Element. BeiBinärzahlen ohne führende Nullen liegt es nahe das größte vorhandene Element durch die führendeEins zu repräsentieren. Also haben wir folgendes Semantikschema:

Beispiel 5.7 (Binärdarstellung endlicher Mengen natürlicher Zahlen).

• Rbs =df {0} ∪ {1w | w ∈ {0,1}∗}

• Ibs =df P(N)

• [[ · ]]bs ist definiert durch [[w ]]bs =df {|w| − i | i ∈ {1, . . . , |w|} ∧ w(i) = 1}

Offensichtlich ist [[ · ]]bs injektiv, aber nicht surjektiv, denn unendliche Teilmengen von N könnennicht durch endliche Binärworte beschrieben werden. Wir kommen in Kapitel 5.4 auf Semantik-schemata im Kontext induktiven Definierens zurück.

5.3 Backus-Naur-Form

Die bislang in den Semantikschemata auftretenden Zeichenreihen waren sehr einfach. Oft sind abersyntakische Strukturen komplizierter aufgebaut. In der Informatik hat sich ein spezielles Formatzur induktiven Definition syntaktischer Strukturen (Sprachen) durchgesetzt, die Backus-Naur-Form(BNF).

67

Eine BNF besteht aus endlich vielen (Produktions- oder Ableitungs-)Regeln der Form <N> ::= w.Die linke Regelseite besteht aus einem sogenannten Nichtterminalsymbol,3 die rechte Regelseitebesteht aus einer ggf. auch leeren Zeichenreihe, die sowohl Nichtteminalsymbole als auch soge-nannte Terminalsymbole enthalten kann. Terminalsymbole können nicht weiter mithilfe von Re-geln abgeleitet werden, sie entsprechen Zeichen des zugrundeliegenden Alphabets. Zum Zweck derUnterscheidung werden Nichtterminalsymbole hier in spitzen Klammern dargestellt. Nichttermi-nalsymbole sind Hilfssymbole, die im Rahmen eines Ableitungsprozesses ersetzt werden. Am Endedieses Prozesses sollen Nichtterminalsymbole vollständig eliminiert werden und eine Zeichenreihehervorgehen, die allein aus Terminalsymbolen besteht.

Enthält eine BNF mehrere Regeln mit identischen linken Seiten, etwa

<N> ::= w1

. . .

<N> ::= wn

so schreiben wir für diese Regeln auch kurz

<N> ::= w1 | . . . | wn

Beispiel 5.8 (BNF für natürliche Zahlen). Die Konstruktion natürlicher Zahlen anhand der Peano-Axiome ist durch die folgende BNF definiert:

<Nat> ::= 0 | s(<Nat>)

In der BNF für natürliche Zahlen sind “0”,“s′′, “(” und “)” Terminalzeichen, während <Nat> daseinzige Nichtterminalzeichen ist.

Intuitiv benutzt man BNFs um Zeichenreihen zu erzeugen, die nur aus Terminalzeichen bestehen.Dafür startet man mit einem ausgezeichneten Nichtterminalzeichen (dem Startsymbol), hier etwa<Nat>, das man durch die rechte Seite einer Regel, etwa s(<Nat>), ersetzt. In dieser rechten Seitekann dann ein beliebiges Vorkommen eines Nichtterminalzeichens ebenso ersetzt werden. DieserProzess wird solange fortgesetzt, bis nur noch Terminalzeichen vorhanden sind. Zum Beispiel kanndie natürliche Zahl 3 durch folgende Ableitung erzeugt werden:

<Nat> =⇒ s(<Nat>)

=⇒ s(s(<Nat>))

=⇒ s(s(s(<Nat>)))

=⇒ s(s(s(0)))

Das Konzept der Ableitung wird durch den Begriff der Ableitungsrelation formalisiert. Seien T dieTerminalzeichen, N die Nichtterminalzeichen und R die Regeln einer BNF, so ist die Ableitungs-

3Nichtterminalsymbole werden im Folgenden immer durch serifenlose Schrift gekennzeichnet.

68

relation =⇒ ⊆ (N ∪ T)∗ × (N ∪ T)∗ wie folgt definiert:

w =⇒ w′ ⇔df

∃w1, w2 ∈ (N ∪ T)∗, A ::= w ∈ R. w = w1Aw2 ∧ w′ = w1 w w2

In einem Ableitungsschritt, in dem man eine Regel A ::= w anwendet, ersetzt man also in einemWort w ein Vorkommen von A durch w. Dabei bleibt alles, was in w links oder rechts von demersetzten Vorkommen von A steht, unverändert. Die oben angegebene Definition von =⇒ schreibtman auch kürzer als

w1Aw2 =⇒ w1 w w2

Eine Folge w1, . . . , wk von Worten über (N ∪ T)∗ (d.h. w1, . . . , wk ∈ (N ∪ T)∗) heißt Ableitungs-folge, wenn wi =⇒ wi+1 für alle i ∈ {1, . . . , k − 1} gilt. Man sagt, ein Wort w′ ∈ (N ∪ T)∗ lässtsich aus einem Wort w ∈ (N ∪ T)∗ ableiten, wenn es eine Ableitungsfolge w1, . . . , wk mit w = w1

und w′ = wk gibt. Für ein gegebenes Nichtterminalsymbol A besteht die von A generierte Spracheaus genau den Worten w über T (d.h. w ∈ T∗), die sich aus A ableiten lassen. Beachte, dass dieWorte in der von A abgeleiteten Sprache keine Nichtterminalsymbole enthalten dürfen.

Wir werden Eigenschaften der Backus-Naur-Form hier nicht weiter verfolgen, da diese uns hier inerster Linie als Werkzeug induktiven Definierens interessieren. Für eine umfassende Behandlung seiauf Vorlesungen wie „Grundbegriffe der Theoretischen Informatik“ (GTI) oder „Formale Methodendes Systementwurfs“ (FMS) verwiesen.

Betrachten wir nun eine BNF für Dezimalzahlen.

Beispiel 5.9 (BNF für Dezimalzahlen).

<DezimalZahl> ::= <Ziffer> | <DezimalZahl><Ziffer>

<Ziffer> ::= 0 | . . . | 9

Die Booleschen Terme (siehe Definition 4.7) sind durch die folgende BNF definiert:

Beispiel 5.10 (BNF für Boolesche Terme).

<BT> ::= T | F | <V> | ¬<BT> | (<BT> ∧ <BT> ) | (<BT> ∨ <BT> )

<V> ::= X0 | X1 | . . .

Bei der BNF für Boolesche Terme fällt auf, dass eine unendliche Variablenmenge durch eine mitPunkten stilisierten Notation beschrieben wird: Eine Variable hat hierbei die Form Xn, mit n ∈ N.Streng genommen ist das bei einer BNF nicht erlaubt, denn Terminal- und Nichtterminalsymbolesowie die Regelmenge müssen endlich sein.

Eine Möglichkeit dies zu umgehen ist es, unter Verwendung der Produktionsregel für Dezimal-zahlen das Benennungsschema für Variablen explizit anzugeben. Hierzu müsste die BNF wie folgt

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angepasst werden:

<BT> ::= T | F | <V> | ¬<BT> | (<BT> ∧ <BT> ) | (<BT> ∨ <BT> )

<DezimalZahl> ::= <Ziffer> | <DezimalZahl><Ziffer>

<Ziffer> ::= 0 | . . . | 9<V> ::= X<DezimalZahl>

Dann sind Variablennamen wie X0, X1, X2, . . . ableitbar, bspw. durch die Schrittfolge

<V> =⇒ X<Dezimalzahl> =⇒ X<Ziffer> =⇒ X0.

Verbreiteter ist jedoch die Verwendung einer Produktionsregel der Form

<V> ::= v ∈ V.

v ist eine Metavariable für eine gesondert spezifizierte Menge von Variablen(namen), z.B. V =

{X0, X1, . . .}. Auf Ebene der BNF wird diese Metavariable wie ein Terminalsymbol behandelt(d.h. sie kommt auf keiner linken Seite einer Produktionsregel vor), kann aber durch beliebigeIdentifikatoren instanziiert werden.

In der Praxis, beispielsweise im Übersetzerbau, bedient man sich letzterer Variante. Das Einlesendes Quellcodes wird in zwei Schritten vollzogen: Zuerst wird in der lexikalischen Analyse der ge-samte Eingabestrom in sogenannte Tokens aufgeteilt, gleichsam die kleinsten semantiktragendenEinheiten der Programmiersprache. Dies können einzelne Zeichen wie (, { sein, aber auch gan-ze Wörter wie Schlüsselwörter (if, else) oder eben Bezeichner von Variablen und Typen. AuchZahldarstellungen würde man – anders als in den obigen Beispielen – als Tokenklassen und nichtüber die BNF definieren.

Die verschiedenen Tokenklassen werden meist durch sogenannte Reguläre Ausdrückea spezifiziert,die eigentliche BNF der Programmiersprache wird dann auf Ebene der Tokens (die auch unend-lich große Bezeichnermengen umfassen können) spezifiziert – diese Struktur im Eingabetext zuanalysieren ist dann Aufgabe des Parsings.

In der Vorlesung „Übersetzerbau“ wird die Realisierung dieser Schritte vertiefend behandelt.asiehe http://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Ausdr%C3%BCcke

5.4 Induktive Semantikschemata

Besondere Bedeutung haben Semantikschemata, bei denen die Repräsentationen induktiv beschrie-ben sind, etwa als induktive Menge oder über eine BNF. In dieser Situation bietet es sich an, dassauch die Semantikfunktion induktiv auf den Repräsentationen definiert ist.

Betrachten wir zunächst eine induktive Variante für das Semantikschmema aus Beispiel 5.5, die sichergibt wenn wir die induktive Beschreibung der Repräsentationen aus Beispiel 5.9 zugrundelegen:

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Beispiel 5.11 (Dezimaldarstellung natürlicher Zahlen).

• Rd =df {0, . . . ,9}+,

• Id =df N

• [[ · ]]d ist induktiv definiert durch

[[ z ]]d =df [[ z ]]z[[w z ]]d =df 10 · [[w ]]d + [[ z ]]d

Semantik Boolescher Terme

Die in Beispiel 5.10 angegebene BNF für Boolesche Terme legt, ähnlich wie die induktive Defi-nition 4.7 (Seite 58), nur den syntaktischen Aufbau fest. Eine Semantik muss den so definiertensyntaktischen Konstrukten zusätzlich noch zugeordnet werden. Da Boolesche Terme Variablen ent-halten, die den elementaren Aussagen in der Aussagenlogik entsprechen, kann ein Boolescher Termim Allgemeinen nur relativ zum Wahrheitswert der Variablen ausgewertet werden. Wir führendazu den Begriff der Variablenbelegungen ein. Formal sind das Zuordnungen von Variablen zuWahrheitswerten.

BV =df {β | β : V → {w, f}}.

Die Semantik eines Booleschen Terms ist dann eine Funktion von BV nach {w, f}, die den Wahr-heitswert des Booleschen Terms unter der jeweiligen Variablenbelegung angibt.

Definition 5.12 (Semantikfunktion). Die Semantikfunktion für Boolesche Terme ist eine Funktion[[ · ]]B : BT → {w, f}BV , die einem Booleschen Term unter Zuhilfenahme einer Belegung einenWahrheitswert zuordnet. Sie ist wie folgt induktiv definiert:

• [[ T ]]B(β) =df w

• [[ F ]]B(β) =df f

• [[X ]]B(β) =df β(X) für alle X ∈ V

• [[ (¬t1) ]]B(β) =df ¬([[ t1 ]]B(β))

• [[ (t1 ∧ t2) ]]B(β) =df ([[ t1 ]]B(β) ∧ [[ t2 ]]B(β))

• [[ (t1 ∨ t2) ]]B(β) =df ([[ t1 ]]B(β) ∨ [[ t2 ]]B(β))

Dabei sind ¬, ∧, ∨ semantische Operationen auf den Wahrheitswerten {w, f}, die durch folgendeWahrheitstafel beschrieben sind:

71

b1 b2 ¬b1 b1 ∨ b2 b1 ∧ b2f f w f ff w w w fw f f w fw w f w w

Folgendes Besipiel enthält eine schrittweise Anwendung der Semantikfuktion.

Beispiel 5.13 (Anwendung Semantikfunktion). Sei β ∈ BV eine Variablenbelegung mit β(X) = f .Dann gilt:

[[ (¬X ∨ F) ]]B(β) = [[¬X ]]B(β) ∨ [[ F ]]B(β) (Def. [[ · ]]B für Disjunktion)= ¬[[X ]]B(β) ∨ [[ F ]]B(β) (Def. [[ · ]]B für Negation)= ¬β(X) ∨ [[ F ]]B(β) (Def. [[ · ]]B für Variablen)= ¬β(X) ∨ f (Def. [[ · ]]B für Konstante F )= ¬f ∨ f (Auswertung β(X))= t (Auswertung mit Operatoren ¬, ∨)

In Kapitel 2 haben wir die (semantische) Äquivalenz aussagenlogischer Formeln darüber definiert,dass sämtliche Einträge in der Wahrheitstafel übereinstimmen. Die wahrheitstafelgestützte Seman-tikdefinition dort war jedoch eher von intuitivem Charakter. Mithilfe der in Definition 5.12 induktivdefinierten Semantik können wir die semantische Äquivalenz nun auch formal definieren.

Definition 5.14 (Semantische Äquivalenz Boolescher Terme). Seien t1, t2 ∈ BT Boolesche Termeüber eine Variablenmenge V. t1 und t2 heißen genau dann (semantisch) äquivalent (geschriebent1 ≡ t2), wenn gilt

∀β ∈ BV . [[ t1 ]]B(β) = [[ t2 ]]B(β).

Man überzeugt sich leicht, dass dies exakt mit der intuitiven Definition übereinstimmt: Jede Bele-gung β ∈ BV entspricht genau einer Zeile in der entsprechenden Wahrheitstafel.

5.5 Lernziele

Am Ende dieses Kapitels sollten Sie ...

• das grundlegende Konzept der Trennung von Syntax und Semantik (Repräsentation undInformation) verinnerlicht haben.

– Warum ist dies gerade in der Informatik von so zentraler Bedeutung?

– Wie lassen sich Semantiken formal erfassen?

– Wie unterscheiden sich Semantikschemata in der Informatik zumeist von denen derrealen Welt? Warum sind diese Eigenschaften in der Informatik unabdingbar?

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• die Backus-Naur-Form (BNF) zur induktiven Definition syntaktischer Strukturen kennen.

– Aus welchen Elementen besteht eine BNF? Wie werden Regeln angegeben?

– Wie lassen sich (Terminal-)Wörter ausgehend von einem Nichtterminalsymbol konstru-ieren?

– Wie kann man auf diese Art definierten syntaktischen Konstrukten eine Semantik zu-ordnen?

73

74

6 Induktives Beweisen

In den Kapiteln 4 und 5 haben wir zahlreiche induktiv definierte Mengen, Funktionen und Algo-rithmen betrachtet. In diesem Kapitel werden wir das Werkzeug des induktiven Beweisens kennen-lernen. Induktives Beweisen bedeutet „Beweisen entlang der induktiven Struktur“ der zugrunde-liegenden Objekte. Induktionsbeweise erlauben es, Eigenschaften für unendlich viele Objekte aufeinen repräsentativen Induktionsschluss zurückzuführen.

In diesem Kapitel werden wir mehrere Induktionsprinzipien kennenlernen. Abweichend von derhistorisch geprägten Reihenfolge beginnen wir hier aber nicht mit den natürlichen Zahlen und demPrinzip der vollständigen Induktion, sondern stellen in Kapitel 6.2 das elementarste und gleichzeitigumfassendste Induktionsprinzip vor, nämlich das der Noetherschen Induktion. Dieses beruht aufrein ordnungsbegrifflichen Voraussetzungen, deren Grundlagen wir uns zunächst im Folgendenzuwenden.

6.1 Ordnungsrelationen

Ordnungen sind in verschiedenen Kontexten bekannt. So lassen sich Zahlbereiche wie N,Z,Q undR mit einer Ordnung ≤ versehen, die es erlaubt Zahlen hinsichtlich ihrer Größe zu vergleichen. FürPotenzmengen stellt die Mengeninklusion ⊆ eine Ordnung unter ihren Elementen her.

6.1.1 Partielle Ordnungen

Im Gegensatz zu den Ordnungen auf Zahlbereichen gibt es bei der Mengeninklusion allerdings auchunvergeleichbare Elemente. So gilt zum Beispiel weder {1, 2} ⊆ {1, 3} noch {1, 3} ⊆ {1, 2}. Manspricht daher hier von einer sogenannten partiellen Ordnung oder Halbordnung, im Gegensatz zurtotalen Ordnung, in der zwei beliebige Elemente immer untereinander vergleichbar sind. Formalist eine auf einer gewissen Menge A definierte (Halb-)Ordnung eine binäre homogene Relation, diebestimmte Eigenschaften aufweist. Die folgende Definition formalisiert dies.

Definition 6.1 (Partielle Ordnung (Halbordnung)). Eine homogene Relation � ⊆ A × A heißtpartielle Ordnung oder auch Halbordnung, gdw.

1. � ist reflexiv : ∀ a ∈ A. a � a

2. � ist antisymmetrisch: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 � a2 ∧ a2 � a1 ⇒ a1 = a2

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3. � ist transitiv : ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 � a2 ∧ a2 � a3 ⇒ a1 � a3

An dieser Stelle ist zu beachten, dass die partielle Ordnung � lediglich eine auf einer bestehendenMenge A nachträglich definierte Relation bezeichnet – die Elemente einer Menge sind prinzipiellungeordnet, was Mengen beispielsweise von Tupeln unterscheidet. In den meisten Fällen ist manjedoch an der Ordnungsrelation � sowie an der Menge A gleichermaßen interessiert. Das Paar(A,�) wird partiell geordnete Menge genannt. Diese Art von Struktur ist so wichtig, dass sichinsbesondere im Englischen hierfür auch die kompakte Bezeichnung poset (partially-ordered set)etabliert hat.

Es ist leicht nachzuweisen, dass (P(A),⊆) für jede Grundmenge A eine partiell geordnet ist. Ebensosind die natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeitsbeziehung eine partielle Ordnung.

Auf den natürlichen Zahlen ist jedem die intuitive Ordnung 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ . . . klar. Allerdings istdiese nicht unmittelbarer Bestanteil der Peano-Axiome (siehe 4.1). Man kann die Ordnung aufnatürlichen Zahlen wie folgt defineren:1

Definition 6.2 (Ordnung auf N). Für n,m ∈ N sei die Relation ≤⊆ N× N definiert durch

n ≤ m ⇔df ∃ k ∈ N. n+ k = m.

Es gilt:2

Satz 6.3. ≤ ist eine partielle Ordnung auf N.

Beweis Wir zeigen die drei geforderten Eigenschaften:3

Reflexivität: Sei n ∈ N. Mit k = 0 gilt dann n+ 0 = 0 + n = n, also auch n ≤ n.

Antisymmetrie: Seien n,m ∈ N mit n ≤ m und m ≤ n. Dann existieren Zahlen k1, k2 ∈ N mit:

n+ k1 = m

m+ k2 = n

Setzt man m aus der ersten Gleichung in die Zweite ein, so erhält man (n + k1) + k2 = n.Wegen der Assoziativität und Kommutativität der Addition gilt (k1 +k2) +n = n und somitauch

(k1 + k2) + n = 0 + n.

Daraus folgt mit der Rechtskürzungsregel k1 + k2 = 0, was wegen Peano-Axiom (P3) k1 =

k2 = 0 impliziert. Also gilt schließlich auch n = m.

Transitivität: Seien n,m, p ∈ N mit n ≤ m und m ≤ p. Dann existieren Zahlen k1, k2 ∈ N mit:

1Man beachte, dass die Ordnung sich auf die Definition der Addition natürlicher Zahlen stützt (vgl. Definition 4.2).2Als Vorgriff auf Abschnitt 6.1.3 sei darauf hingewiesen, dass es sich bei ≤ sogar um eine totale Ordnung handelt.Allerdings sind totale Ordnungen lediglich ein Spezialfall des allgemeineren Konzepts der partiellen Ordnung.

3Der Beweis stützt sich auf die Assoziativität, Kommutativität und Rechtskürzungsregel der Addition natürli-cher Zahlen. Diese sind zwar jedem Leser bekannt, werden aber erst an späterer Stelle formal bewiesen (sieheSatz 6.18).

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n+ k1 = m

m+ k2 = p

Setzt man m aus der ersten Gleichung in die Zweite ein, so erhält man (n+ k1) + k2 = p. Mit derAssoziativität der Addition folgt

n+ (k1 + k2) = p

und damit gilt n ≤ p. 2

6.1.2 Quasiordnungen

In manchen Situationen ist die Antisymmetrie eine zu restriktive Forderung: Schließlich besagt sie,dass wechselweise in Ordnungsrelation stehende Elemente schon identisch sein müssen. Will manaber beispielsweise Personen nach ihrer Körpergröße ordnen, so existieren durchaus verschiedenePersonen, die gleichgroß sind. Ein aus Abschnitt 3.2.2 bereits bekanntes Beispiel ist der Vergleichder Mächtigkeiten von Mengen, auch wenn dort noch mit einem rein intuitiven Ordnungsbegriffgearbeitet wurde: Mengen A und B, für die A ∼= B gilt, stehen wechselseitig in Relation bzgl. 5(vgl. Definition 3.15), auch wenn sie im allgemeinen nicht identisch sind.

Verzichtet man entsprechend in Definition 6.1 auf die Forderung der Antisymmetrie, so sprichtman von einer Quasiordnung oder auch Präordnung (engl. preorder). Ein weiteres Beispiel einerQuasiordnung ist die Teilbarkeitsrelation auf ganzen Zahlen. Während auf natürlichen Zahlen einepartielle Ordnung vorliegt, geht im Falle ganzer Zahlen die Antisymmetrie verloren, denn es giltzum Beispiel −1|1 aber auch 1| − 1. Auch die Implikation auf Booleschen Termen ist ein typischesBeispiel einer Quasiordnung, wie sie oft auf syntaktischen Bereichen anzutreffen ist. Wiederum isthier Reflexivität und Transitivität gegeben, die Antisymmetrie aber verletzt, denn verschiedenesemantisch äquivalente Terme stehen in beidseitiger Implikationsbeziehung. Betrachtet man hin-gegen die Implikation auf den Äquivalenzklassen semantisch äquivalenter Terme liegt eine partielleOrdnung vor. Im Allgemeinen wird für eine Quasiordnung - ⊆ A×A durch

a1 ∼ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a2 - a1

eine Äquivalenzrelation auf A definiert. Man spricht hier auch vom Kern der Quasiordnung. Um-gekehrt gilt, dass für eine Äquivalenzrelation ∼ auf einer Menge A eine partielle Ordnung � aufder Menge der Äquivalenzklassen A/∼ eine Quasiordnung - auf A induziert:

a1 - a2 ⇔df [a1]∼ � [a2]∼.

In der Praxis fällt die Trennung zwischen partiellen Ordnungen und Quasiordnungen oftmals un-scharf aus: Da eine Quasiordnung - durch Identifizieren bezüglich ∼ äquivalenter Objekte zu einerpartiellen Ordnung wird, ist der formal korrekte Begriff oftmals lediglich eine Frage des Abstrak-tionsniveaus der angenommenen Perspektive.

77

6.1.3 Totale Ordnungen

Eine Quasiordnung - ⊆ A×A, in der alle Elemente vergleichbar sind, d.h. für die gilt

∀ a1, a2 ∈ A. a1 - a2 ∨ a2 - a1

heißt totale Quasiordnung oder auch Präferenzordnung. Liegt statt einer Quasiordnung sogar einepartielle4 Ordnung vor, spricht man von einer totalen oder auch linearen Ordnung.

Im oben angesprochenen Beispiel der Ordnung von Personen nach ihrer Körpergröße handelt essich also um eine totale Quasiordnung. Die natürlichen Zahlen mit der ≤-Ordnung (siehe Abbil-dung 6.2(a)) sind hingegen sogar total geordnet.

6.1.4 Striktordnungen

Zu einer gegebenen Quasiordnung - lässt sich die zughörige Striktordnung ≺ definieren durch:

a1 ≺ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a1 6∼ a2 .

Offensichtlich ist ≺ transitiv. Außerdem kann es keine wechselweise in Beziehung stehenden Ele-mente geben. Denn würde sowohl a1 ≺ a2 als auch a2 ≺ a1 gelten, so folgt nach der Definition von≺:

a1 - a2 ∧ a1 - a2 ∧ a1 6∼ a2.

Hieraus folgt aber, dass sowohl a1 ∼ a2 als auch a1 6∼ a2 gelten muss. Somit hat ≺ also folgendecharakteristische Eigenschaften:

Lemma 6.4.

1. ≺ ist asymmetrisch, d.h.: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 ≺ a2 ⇒ a2 6≺ a1

2. ≺ ist transitiv, d.h.: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 ≺ a2 ∧ a2 ≺ a3 ⇒ a1 ≺ a3

Die Asymmetrie5 von ≺ impliziert außerdem sofort, dass ≺ irreflexiv ist, d.h.: ∀ a ∈ A. a 6≺ a.Umgekehrt induziert eine Striktordnung ≺, sprich eine Relation mit den Eigenschaften aus Lemma6.4, unmittelbar eine partielle Ordnung � durch:6

a1 � a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∨ a1 = a2 .

4Der Leser sollte sich an dieser Stelle nicht verwirren lassen: Auch wenn das Wort „partiell“ hier wie eine Gegen-überstellung zu „total“ wirkt, so ist hiermit lediglich die Abgrenzung zur Quasiordnung gemeint. Allgemein gilt,dass eine partielle Ordnung ein Spezialfall einer Quasiordnung ist, und dass eine totale Ordnung ein Spezialfalleiner partiellen Ordnung ist.

5Das Konzept der Asymmetrie ist nicht zu verwechseln mit der Antisymmetrie, wie sie für partielle Ordnungengefordert wird!

6Ersetzt man die Bedingung a1 = a2 durch a1 ∼ a2, wo ∼ eine Äquivalenzrelation auf A ist, so erhält manwiederum eine Quasiordnung.

78

Reduziert man eine Striktordnung auf die unmittelbar benachbarten Abhängigkeiten erhält mandie Nachbarschaftsordnung ≺N definiert durch:

a1 ≺N a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∧ @ a3 ∈ A. a1 ≺ a3 ≺ a2 .

In ≺N sind transitive Beziehungen eliminiert. Abbildung 6.1 illustriert den Unterschied der Re-lationen �, ≺ und ≺N anhand der Teilbarkeitsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen{1, 2, 3, 4, 6, 12}. Diese ist dabei wie üblich definiert durch n|m ⇔df ∃ k ∈ N. n · k = m. Im Bildwird n|m durch einen Pfeil von n nach m repräsentiert.

Abbildung 6.1: Teilbarkeitsrelation auf {1, 2, 3, 4, 6, 12}: a) Als partielle Ordnung, b) als Strikt-ordnung und c) als Nachbarschaftsordnung.

Konstruiert man ≺N ausgehend von einer partiellen Ordnung �, so erhält man � aus ≺N zurück,indem man deren reflexiv-transitive Hülle ≺∗N bildet (siehe Abschnitt 3.3.1); es gilt ≺∗N=�. ZurErinnerung: Die reflexiv-transitive Hülle R∗ einer Relation R ⊆ A×A ist die kleinste R umfassendetransitive und reflexive Relation.

Wegen ≺N ⊆ ≺ ⊂ � ist ≺N für die kompakte Respräsentation von � von besonderer Bedeutung.Die graphische Darstellung von ≺N ist auch unter dem Begriff Hasse-Diagramm von � bekannt.Bei dieser Darstellung wird ≺N durch Verbindungen dargestellt, wobei kleinere Elemente untenangeordnet sind. Abbildung 6.2 zeigt die Hasse-Digramme einiger partieller Ordnungen.

6.1.5 Ordnungen und Teilstrukturen

Betrachtet man eine Teilmenge B ⊆ A einer geordneten Menge, so heben sich einige Elementedurch ihre speziellen Eigenschaften hervor. Die folgende Definition beschreibt zunächst untere undobere “Randelemente” in B.

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Abbildung 6.2: Hasse Diagramme zu a) ≤-Ordnung auf N, b) ⊆-Ordnung auf P({1, 2, 3}), c) derTeilbarkeitsrelation | auf {1, . . . , 12}.

Definition 6.5 (Minimale, maximale Elemente).Sei - ⊆ A×A Quasiordnung und B ⊆ A. Ein Element b ∈ B heißt

1. minimales Element in B ⇔df @ b′ ∈ B. b′ ≺ b und

2. maximales Element in B ⇔df @ b′ ∈ B. b ≺ b′.

Man beachte, dass es in B mehrere verschiedene minimale bzw. maximale Elemente geben kann.

Beispiel 6.6. Betrachten wir in Abbildung 6.2(c) die Teilmenge B = {2, 3, 4, 6}, so sind 2 und 3

minimale Elemente, während 4 und 6 maximale Elemente sind.

Wirklich extreme Elemente in B werden durch folgende strengere Definition erfasst:

Definition 6.7 (Kleinstes, größtes Element). Sei � ⊆ A×A partielle Ordnung und B ⊆ A. EinElement b ∈ B heißt

1. kleinstes Element in B ⇔df ∀ b′ ∈ B. b � b′ und

2. größtes Element in B ⇔df ∀ b′ ∈ B. b′ � b.

Offensichtlich ist ein kleinstes Element insbesondere minimal und ein größtes Element auch maxi-mal. Für totale Ordungen gilt umgekehrt auch, dass minimale Elemente schon kleinste beziehungs-weise maximale Elemente größte Elemente sind.

Beispiel 6.8. Betrachten wir in Abbildung 6.2(c) die gesamte Menge der Elemente {1, . . . , 12}, sosind 7, 8, 9, 10, 11 und 12 maximale Elemente, aber es existiert kein größtes Element. Andererseitsist die 1 minimales und hier auch kleinstes Element.

80

6.2 Noethersche Induktion

Das Prinzip der Noetherschen Induktion ist das universelle Instrument, um Aussagen über geord-nete Mengen (siehe Kapitel 4) zu beweisen. Generell müssen nur schwache ordnungstheoretischeVoraussetzungen für die Anwendbarkeit dieses Induktionsprinzips vorliegen, nämlich die Struktureiner Noetherschen Quasiordnung.

Definition 6.9 (Noethersche Quasiordnung). Eine Quasiordnung - ⊆ A×A heißt Noetherschgenau dann, wenn jede nichtleere Teilmenge von A ein bezüglich - minimales Element besitzt.

Liegt sogar eine partielle Ordnung vor, spricht man von einer Noetherschen partiellen Ordnung.Anschaulich verhindert die Existenz minimaler Elemente, dass es bezüglich ≺ unendliche abstei-gende Ketten in A gibt.

Beispiele Nothersch partieller Ordnungen sind:

Beispiel 6.10 (Noethersch partielle Ordnungen).

1. Die durch ≤ geordneten natürlichen Zahlen N sind Noethersch total geordnet, denn jedenichtleere Teilmenge enthält sogar ein kleinstes Element.

2. Die durch die Teilwortbeziehung geordnete Menge der endlichen Zeichenreihen A∗ istNoethersch partiell geordnet. Jede echt absteigende Kette von Zeichenreihen wird in jedemSchritt echt kürzer.

3. Die Potenzmenge jeder endlichen Menge M ist durch ⊆ Noethersch partiell geordnet. Jedeecht absteigende Kette von Mengen enthält in jedem Schritt mindestens ein Element weniger.

Hingegen haben wir im Folgenden Beispiele für partiell geordnete Mengen, die aber nicht Notherschsind:

Beispiel 6.11 (Nicht Noethersch partielle Ordnungen).

1. Die durch ≤ total geordneten ganzen Zahlen Z sind nicht Noethersch geordnet, denn dienichtleere Teilmenge Z besitzt kein minimales Element.

2. Die durch ≤ total geordneten nichtnegativen rationalen Zahlen Q≥0 sind nicht Noetherschgeordnet, denn die nichtleere Teilmenge { 12 ,

13 ,

14 , . . .} besitzt kein minimales Element.

3. P(N) ist durch ⊆ nicht Noethersch geordnet, denn die nichtleere Teilmenge{N, N\{0}, N\{0, 1}, N\{0, 1, 2}, . . .} besitzt kein minimales Element.

Noethersche Quasiordnungen bilden die Grundlage für ein fundamentales Beweisprinzip in derMathematik, dem der Noetherschen Induktion.

81

Beweisprinzip 6.12 (Prinzip der Noetherschen Induktion).

Sei - ⊆ M×M eine Noethersche Quasiordnung. Lässt sich eine Aussage A über M fürjedes m ∈M aus der Gültigkeit der Aussage für alle echt kleineren Elemente ableiten, dannist sie für jedes m ∈M wahr.

(∀m ∈M.

(∀m′ ∈M. m′ ≺ m ⇒ A(m′)

)⇒ A(m)

)⇒ ∀m ∈M. A(m).

Beweis Wir zeigen die Behauptung per Kontraposition. Falls ∀m ∈ M. A(m) nicht gilt, gibt eseine nichtleere Menge G ⊆ M von Gegenbeispielen definiert durch G =df {g ∈ M | ¬A(g)}. Weil- Noethersch ist, existiert ein minimales Gegenbeipiel gmin ∈ G. Wegen der Minimalität von gmin

gilt ∀m′ ∈M. m′ ≺ gmin ⇒ A(m′). Damit ist aber der Induktionsschritt, d.h. die Implikation(∀m ∈M.

(∀m′ ∈M. m′ ≺ m ⇒ A(m′)

)⇒ A(m)

),

verletzt, denn ∀m′ ∈M. m′ ≺ gmin ⇒ A(m′) gilt, aber nicht A(gmin). 2

Als eine erste Anwendung Northerscher Induktion wollen wir die Kommutativität der Additionnatürlicher Zahlen gemäß Definition 4.2 beweisen, also

∀n,m ∈ N. n+m = m+ n.

Diese und andere Eigenschaften natürlicher Zahlen sind an späterer Stelle in Satz 6.18 zusam-mengefasst zu finden. Dort ist auch der Standardbeweis durch eine verschachtelte vollständigeInduktion zu finden. Der Beweis mittels Noetherscher Induktion ist aber vergleichsweise eleganter.Alles was man benötigt ist eine geeignete Noethersche Ordnung auf Paaren natürlicher Zahlen.Wir verwenden dafür die komponentenweise Ordnung auf N× N, die definiert ist wie folgt:

(n,m) ≤ (n′,m′) ⇔df n ≤ n′ ∧ m ≤ m′.

Dann ergibt sich für Satz 6.18(2) folgender Beweis:

Beweis Sei (n,m) ∈ N × N. Wir nehmen an, dass die Behauptung für alle echt kleineren Paarebereits bewiesen wurde. Wir unterscheiden folgende Fälle:

Fall 1: n = 0.

n+m = 0 +m(4.2.a)

= m(∗)= m+ 0 = m+ n

Eigenschaft (*) ist die Neutralität der 0 bezüglich der Addition (vergl. Satz 6.18) und wirdhier als verwendbar vorausgesetzt.

Fall 2: n 6= 0,m = 0. Der Fall ist analog zu Fall 1.

82

Fall 3: n 6= 0,m 6= 0. Dann existieren n′,m′ mit n = s(n′) und m = s(m′):

n+m = s(n′) +m(4.2.b)

= s(n′ +m)I.V.= s(m+ n′)

(4.2.b)= s(s(m′) + n′)

(4.2.b)= s(s(m′ + n′))

(I.V.)= s(s(n′ +m′))

(4.2.b)= s(s(n′) +m′) = s(n+m′)

(I.V.)= s(m′ + n)

(4.2.b)= s(m′) + n = m+ n

2

6.2.1 Terminierungsbeweise

In der Informatik hat die Noethersche Induktion große Bedeutung für den Nachweis, dass Pro-gramme für ihre Eingaben nicht unendlich lange rechnen, sondern dass die Berechnung irgendwannabbricht. Man spricht hier von der Terminierung des Programmes. Aus Gründen der Darstellungführen wir die Überlegungen hier nicht für Programme einer konkreten Programmiersprache durch,sondern betrachten rekursive Berechnugsvorschriften. Von diesen wollen wir nachweisen, dass je-der Aufruf nach höchstens endlich vielen rekursiven Aufrufen der Berechnungsvorschrift schließlichmit einem Ergebnis terminiert. Grundidee hierfür ist es eine Noethersche Quasiordnung auf denArgumentwerten zu definieren bezüglich der jeder rekursive Aufruf mit echt kleineren Argumentenals in der aufrufenden Berechnung erfolgt. Es ist offensichtlich, dass dann die Folge der rekursivenAufrufe schließlich terminieren muss.

Zunächst betrachten wir die rekursive Berechnungsvorschrift zur Berechnung des größten gemein-samen Teilers zweier positiver natürlicher Zahlen:

ggt : N+ × N+ → N+

ggt(n,m) =

n falls n = m

ggt(n−m,m) falls m < n

ggt(n,m− n) falls n < m

Eine geeignete Noethersche Quasiordnung auf N+ × N+ ist etwa gegeben durch:

(n,m) .max (n′,m′) ⇔df max(n,m) ≤ max(n′,m′).

Es ist leicht einzusehen, dass .max Noethersche Quasiordnung ist. Es liegt allerdings keine partielleOrdnung vor, da verschiedene Paare wie etwa (1, 3) und (2, 3) wechselweise in .max-Beziehung ste-hen können. Da bei jedem rekursiven Aufruf von ggt die kleinere von der größeren Zahl abgezogenwird, verringert sich das Maximum der Argumente im Aufruf. Damit terminiert die Berechnungs-vorschrift ggt nach endlich vielen Aufrufen.

Ein etwas ambitionierteres Beispiel ist die folgende Berechnungsvorschrift, die auch als Ackermann-Funktion bekannt ist.7

7Ausführliche Informationen zur Historie und Bedeutung der Ackermann-Funktion finden Sie unterhttp://de.wikipedia.org/wiki/Ackermannfunktion.

83

ack : N× N→ N

ack(n,m) =

m+ 1 falls n = 0

ack(n− 1, 1) falls n > 0, m = 0

ack(n− 1, ack(n,m− 1)) falls n > 0, m > 0

Eine für die Terminierung geeignete Noethersche totale Ordnung ist die lexikographische Ordnungauf N× N, die definiert ist durch:

(n,m) ≤lex (n′,m′) ⇔df n < n′ ∨ (n = n′ ∧ m ≤ m′).

Erfolgt ein rekursiver Aufruf gemäß der zweiten Alternative so wird das erste Argument echtverringert. Damit nimmt das Argumentpaar in der lexikographischen Ordnung ab. Gleiches giltfür den äußeren Aufruf in der dritten Alternative. Es bleibt den inneren Aufruf in der drittenAlternative, also ack(n,m− 1), zu untersuchen. Hier bleibt das erste Argument unverändert, aberdas zweite Argument nimmt echt ab. Damit erfolgt auch dieser Aufruf mit lexikographisch kleinerenArgumenten.

Das Finden einer für den Terminierungsbeweis geeigneten Noetherschen Quasiordnung ist aller-dings bei weitem nicht so offensichtlich wie es die beiden vorangehenden Beispiele nahelegen. Inder Tat ist die Terminierung beliebiger rekuriver Berechnungsvorschriften ein unentscheidbaresProblemm, d.h. kann nicht mit einem automatisierbaren Verfahren entschieden werden. Ein pro-minentes Beispiel einer konkreten rekursiven Berechnungsvorschrift, für die bis heute kein Termi-nierungsbeweis bekannt ist, bildet die sogenannte Collatz-Funktion.8

col : N+ → {1}

col(n) =

1 falls n = 1

col(n/2) falls n geradecol(3n+ 1) falls n ungerade

Es ist sofort klar, dass wann immer ein Aufruf von col(n) terminiert, das Ergebnis der Berechnung1 ist. Somit ist allein die Frage, ob die Terminierung für alle positiven natürlichen Zahlen garantiertist, von Bedeutung. Obwohl mit Rechnerunterstützung die Terminierung für alle Startwerte bis ca.5 · 1018 nachgewiesen wurde, gibt es bis heute weder einen Beweis der Terminierung noch einenHinweis auf die Existenz eines Startwertes, für den die Berechnung divergiert.

6.3 Verallgemeinerte Induktion

Der Spezialfall der Noetherschen Induktion, bei der als Menge die natürlichen Zahlen mit Ihrerüblichen Ordnung (Definition 6.2) zugrunde liegen ist unter dem Begriff Verallgemeinerte Induktionbekannt. Da hier eine Noethersche totale Ordnung vorliegt, haben wir:8Weitere Informationen zur Collatz-Funktion finden Sie unter http://de.wikipedia.org/wiki/Collatz-Problem.

84

Beweisprinzip 6.13 (Prinzip der verallgemeinerten Induktion).

Lässt sich eine Aussage A über natürliche Zahlen für jede natürliche Zahl aus der Gültigkeitder Aussage für alle kleineren natürlichen Zahlen ableiten, dann ist sie für jede natürlicheZahl wahr.

(∀n ∈ N. (∀m ∈ N. m < n ⇒ A(m)) ⇒ A(n)

)⇒ ∀n ∈ N. A(n).

Im Gegensatz zur populäreren vollständigen Induktion, auf die wir in Kapitel 6.5 noch nähereingehen werden, erlaubt es das Prinzip der verallgemeinerten Induktion bei der Induktionsvor-aussetzung auf alle echt kleineren natürlichen Zahlen zurückzugreifen. Ein bekanntes Beispiel, fürdas dieses sich als nützlich erweist, sind die wie folgt induktiv definierten Fibonacci-Zahlen.

Definition 6.14 (Fibonacci-Zahlen).fib(0) =df 0

fib(1) =df 1

fib(n+ 1) =df fib(n) + fib(n− 1)

Wir beweisen folgende obere Abschätzung für die Fibonacci-Zahlen:

∀n ∈ N. fib(n) < 2n.

Beweis Sei n ∈ N und die Behauptung bewiesen für alle m < n (Induktionsannahme). Wirunterscheiden dann folgende 3 Fälle:

• n = 0. Dann gilt fib(0)Def.= 0 < 1 = 20.

• n = 1. Dann gilt fib(1)Def.= 1 < 2 = 21.

• n ≥ 2. Dann gilt:

fib(n)Def.= fib(n− 2) + fib(n− 1)

IA< 2n−2 + 2n−1 ≤ 2n−1 + 2n−1 = 2 · 2n−1 = 2n.

2

Es ist auffällig, dass im Gegensatz zum Prinzip der vollständigen Induktion (siehe Kapitel 6.5) beider verallgemeinerten Induktion vermeintlich auf einen Induktionsbeginn für die Null verzichtetwird. Allerdings ist dieser implizit im Induktionsschritt verborgen. Weil es keine kleineren natür-lichen Zahlen als die Null gibt, ist die Eigenschaft ∀m < 0. A(m) trivialerweise erfüllt. Weil diegesamte Implikation (∀m < 0. A(m)) ⇒ A(0) im Induktionsschluss gelten muss, ist A(0) alsgültig nachzuweisen.

85

6.4 Strukturelle Induktion

Eine weitere Form des induktiven Beweisens, die für die Informatik von zentraler Bedeutung ist, istdie Anwendung auf induktiv beschriebene Mengen gemäß Definition 4.5. Zur Erinnerung: Die Ele-mente einer induktiv beschriebenen MengeM sind entweder Atome aus einer vorgegebenen MengeA, oder über Operatoren (bzw. Konstruktoren) o ∈ O aus Elementen aus M zusammengesetzt.Letztere Elemente haben die allgemeine Form o(m1, . . . ,mk), mit mi ∈M für 1 ≤ i ≤ k.

Will man eine Aussage A über M für jedes Element m ∈M beweisen, so geht man dabei wie folgtvor:

1. Man beweist, dass A für jedes Atom a ∈ A gilt.

2. Man beweist für jeden Konstruktor o ∈ O, dass unter der Voraussetzung, dass A für beliebigem1, . . . ,mk ∈M gilt, A auch für o(m1, . . . ,mk) gilt.

Zusammenfassen lässt sich dieses Vorgehen in folgendem Beweisprinzip.

Beweisprinzip 6.15 (Prinzip der strukturellen Induktion).

Sei M eine über eine Menge von Atomen A und Konstruktoren O induktiv beschriebeneMenge.

Lässt sich eine Aussage A über M für jedes Atom a ∈ A beweisen, und lässt sich für jedenKonstruktor o ∈ O aus der Gültigkeit der Aussage für m1, . . . ,mk ∈ M die Gültigkeit füro(m1, . . . ,mk) ableiten, dann ist A für jedes m ∈M wahr.((∀ a ∈ A. A(a)

)∧(∀ o ∈ O,m1, . . . ,mk ∈M.

(A(m1)∧· · ·∧A(mk)

)⇒ A

(o(m1, . . . ,mk)

)))⇒ ∀m ∈M. A(m)

Die strukturelle Induktion stellt ebenfalls einen Spezialfall der Noetherschen Induktion dar: Zueiner induktiv beschriebenen Menge M betrachte man die Nachbarschaftsordnung ≺N , die genaukomplexere Elemente mit ihren einzelnen „Bausteinen“ in Relation setzt. Es gilt:

m1 ≺N m2 ⇔df ∃ o ∈ O. m2 = o(m′1, . . . ,m′k) ∧m1 ∈ {m′1, . . . ,m′k}.

Betrachtet man die entsprechende, aus der reflexiv-transitiven Hülle gebildete partielle Ordnung� = ≺∗N , so ist klar, dass diese die „Teilstruktureigenschaft“ auf M beschreibt, und – aufgrundder zugrundeliegenden Atome a ∈ A – Noethersch ist. Das Beweisprinzip 6.15 ergibt sich dann alsSpezialfall von Beweisprinzip 6.12 auf der Noethersch geordneten Menge (M,�).

Die strukturelle Induktion ist von fundamentaler Wichtigkeit für viele Anwendungsfälle in derInformatik. Prinzipiell folgt sie einem sehr einfachen Schema: Die zu zeigende Aussage A wird fürjedes m ∈ M gezeigt, indem eine Fallunterscheidung nach den möglichen Konstruktionen von mdurchgeführt wird. Istm ∈ A, so muss die Gültigkeit der Aussage absolut bewiesen werden; istm =

o(m1, . . . ,mk) für einen Operator o ∈ O, so kann die Gültigkeit von A fürm1, . . . ,mk vorausgesetzt

86

werden. Dieses Muster soll aufgrund seiner Wichtigkeit hier noch einmal sehr detailliert vertieftwerden.

Beispiel 6.16 (Vollständigkeit von {¬,∧}). Wir betrachten die in Definition 2.5 (Seite 13) be-schriebenen aussagenlogischen Formeln, aufgefasst als induktiv beschriebene Menge aus den Ato-men a, b, c, . . . (elementare Aussagen) sowie dem einstelligen Konstruktor ¬ und den zweistelligenKonstruktoren ∧,∨,⇒,⇔.a

Wie in Kapitel 2 bereits angemerkt wurde, ist die Junktorenmenge {¬,∧} funktional vollständig,d.h. zu jeder aussagenlogischen Formel φ existiert eine semantisch äquivalente Formel φ′, so dass φ′

lediglich die Junktoren ¬ und ∧ enthält. Wir wollen dies nun mit Hilfe der strukturellen Induktionbeweisen.

Sei φ eine aussagenlogische Formel. Wir führen nun eine Fallunterscheidung nach dem induktivenAufbau von φ durch:

Fall 1: φ = a, also ist φ eine elementare Aussage. Dann enthält φ keine Junktoren, erfüllt die zubeweisende Eigenschaft also trivial.

Fall 2: φ = ¬ψ. Dann existiert nach der Induktionsannahme (IA) eine aussagenlogische Formelψ′ ≡ ψ, so dass ψ′ nur ¬ und ∧ enthält. Dies gilt dann auch für φ′ = ¬ψ′, und es gilt φ′ ≡ φ.

Fall 3: φ = ψ1 ∧ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1, ψ′2 ≡ ψ2 mit der gewünschten Eigen-schaft, und φ′ = ψ′1 ∧ ψ′2 ≡ φ enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.

Fall 4: φ = ψ1 ∨ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1, ψ′2 ≡ ψ2 mit der gewünschten Eigen-schaft, und φ′ = ¬(¬ψ′1 ∧ ¬ψ′2) ≡ φ enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.

Fall 5: φ = ψ1 ⇒ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1, ψ′2 ≡ ψ2 mit der gewünschtenEigenschaft, und φ′ = ¬(ψ′1 ∧ ¬ψ′2) ≡ φb enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.

Fall 6: φ = ψ1 ⇔ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1, ψ′2 ≡ ψ2 mit der gewünschtenEigenschaft, und φ′ = ¬(¬(ψ′1 ∧ ψ′2) ∧ ¬(¬ψ′1 ∧ ¬ψ′2)) ≡ φc enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.

aAus ästhetischen Gründen verwenden wir im Folgenden die Schreibweise A ∧ B statt ∧(A,B) etc.bAufgrund der Äquivalenz A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B und der deMorganschen Regeln.cAufgrund der Äquivalenz A ⇔ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) und der deMorganschen Regeln.

Nun soll noch ein komplexeres Beispiel betrachtet werden, nämlich eine als Substitutionslemmabekannte Aussage, die die in Definition 4.8 (Seite 59) eingeführte synaktische Substitution mitihrem semantischen Gegenstück in Beziehung setzt. Es ist zu beachten, dass im Gegensatz zumvorangehenden Beispiel nicht auf den in Kapitel 2 eingeführten aussagenlogischen Formeln, sondernauf den in Definition 4.7 (Seite 58) eingeführten Booleschen Termen gearbeitet wird.

Zunächst benötigen wir die folgende Definition.

87

Definition 6.a (Semantische Substitution). Sei β ∈ BV , also β : V → {w, f} eine Belegung füreine Variablenmenge V. Die semantische Substitution

·{·/·} : BV × {w, f} × V → BV

ist eine wie folgt definierte dreistellige Abbildung:

β{v/X}(Y ) =df

{v falls X = Y ,β(Y ) sonst.

∀v ∈ {w, f}, X, Y ∈ V.

In Worten ausgedrückt ergibt die Anwendung von β{v/X} eine neue Belegung, die sich von β

höchstens darin unterscheidet, dass die Variable X unter dieser Belegung den Wahrheitswert vannimmt.

Semantische und synaktische Substitution setzt das folgende Lemma in Beziehung.

Lemma 6.b (Substitutionslemma). Seien t, t′ ∈ BT Boolesche Terme über einer VariablenmengeV, X ∈ V eine Variable und β ∈ BV eine Belegung. Es gilt:

[[ t[t′/X] ]]B(β) = [[ t ]]B(β{[[ t′ ]]B(β)/X}).

In Worten bedeutet dies: Unter einer festen Belegung β hat die syntaktische Substitution einerVariable X mit einem Term t′ den gleichen (semantischen) Effekt wie die semantische Substitutiondes Wertes von X mit dem Wert von t′ unter β.

Der Beweis ist etwas länglich, erfordert außer eine konsequenten, wiederholten Anwendung vonDefinition 5.12 (Definition von [[ · ]]B , Seite 71), Definition 4.8 (Definition der syntaktischen Sub-stitution, Seite 59) und Definition 6.a (Definition der semantischen Substitution) jedoch lediglichan einigen Stellen eine Rückführung auf den Induktionsschluss.

Beweis Wir führen eine strukturelle Induktion nach dem Aufbau von t durch.

Fall 1: t = T. Dann ist

[[ T[t′/X] ]]B(β)(4.8)= [[ T ]]B(β)

(5.12)= w

(5.12)= [[ T ]]B

(β{[[ t′ ]]B(β)/X}

)Fall 2: t = F, analog zu Fall 1.

Fall 3: t = Y ∈ V, Y 6= X.

[[Y [t′/X] ]]B(β)(4.8)= [[Y ]]B(β)

(5.12)= β(Y )

(6.a)= β

{[[ t′ ]]B(β)/X

}(Y )

88

Fall 4: t = X.

[[X[t′/X] ]]B(β)(4.8)= [[ t′ ]]B(β)

(6.a)= β

{[[ t′ ]]B(β)/X

}(X)

(5.12)= [[X ]]B

(β{

[[ t′ ]]B(β)/X})

Fall 5: t = ¬t1.

[[ (¬t1)[t′/X] ]]B(β)(4.8)= [[¬t1[t′/X] ]]B(β)

(5.12)= ¬

([[ t1[t′/X] ]]B(β)

)(IA)= ¬

([[ t1 ]]B

(β{[[ t′ ]]B(β)/X}

))(5.12)

= [[¬t1 ]]B(β{[[ t′ ]]B(β)/X})

Fall 6: t = t1 ∨ t2.

[[ (t1 ∨ t2)[t′/X] ]]B(β)(4.8)= [[ t1[t′/X] ∨ t2[t′/X] ]]B(β)

(5.12)= ∨

([[ t1[t′/X] ]]B(β), [[ t2[t′/X] ]]B(β)

)(IA)= ∨

([[ t1 ]]B

(β{[[ t′ ]]B(β)/X}

), [[ t2 ]]B

(β{[[ t′ ]]B(β)/X}

))(5.12)

= [[ t1 ∨ t2 ]]B(β{[[ t′ ]]B(β)/X})

Fall 7: t = t1 ∧ t2, analog zu Fall 6.

2

Nehmen Sie sich ruhig Zeit, jede der Gleichungen im Einzelnen nachzuvollziehen. Sie werden schnellfeststellen, dass diese in den meisten Fällen nichts weiter als „wortwörtliche“ Anwendungen derjeweiligen Definitionen sind.

6.5 Vollständige Induktion

Traditionell ist induktives Beweisen sehr stark mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktionverknüpft. In der Tat lässt sich diese unmittelbar aus dem Induktionsaxiom (P5) der Peanoaxiomeableiten. Andererseits ist die vollständige Induktion nur ein Spezialfall der Kapitel 6.3 vorgestelltenverallgemeinerten Induktion, bei der im Induktionsschluss nur auf den direkten Vorgänger Bezuggenommen werden darf. Wir haben also:

89

Beweisprinzip 6.17 (Induktionsprinzip der vollständigen Induktion).

Ist eine Aussage A über natürliche Zahlen für 0 wahr und lässt sich ihre Gültigkeit für jedegrößere natürliche Zahl aus der Gültigkeit der Aussage für ihren Vorgänger ableiten, dann istsie für jede natürliche Zahl wahr.

(A(0) ∧ ∀n ∈ N. A(n) ⇒ A(n+ 1)

)⇒ ∀n ∈ N. A(n).

Wir wollen das Beweisprinzip der vollständigen Induktion zunächst dazu verwenden, einige zen-trale Eigenschaften der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen gemäß ihrer induktivenDefinitionen (siehe Definition 4.2 und 4.3) zu beweisen:

Satz 6.18. Seien n,m, k ∈ N. Dann gilt:

Assoziativität:(n+m) + k = n+ (m+ k) (n ·m) · k = n · (m · k)

Kommutativität:n+m = m+ n n ·m = m · n

Neutrale Elemente:n+ 0 = n n · 1 = n

Rechtskürzungsregeln:(n+k = m+k) ⇒ (n = m) (n · k = m · k) ⇒ (n = m) falls k 6= 0

Distributivität:(n+m) · k = n · k +m · k

Beweis Wir bweweisen hier exemplarisch die Assoziativität und Kommutativiät der Addition. Dieübrigen Beweis seien dem Leser überlassen. Während der Beweis der Assoziativität per vollstän-diger Induktion über das Argument n erfolgen kann, muss für den Beweis der Kommutativitätauch Argument m in Form einer inneren Induktion berücksichtigt werden. In diesem Falle ist alsoeine verschachtelte vollständige Indurktion erforderlich. Man beachte hier den Unterschide zumsimultanen Beweis per Noetherscher Induktion auf Seite 82.

Assoziativität der Addition

Induktionsanfang: n = 0. Dann gilt: (0 +m) + kDef.+

= m+ kDef.+

= 0 + (m+ k)

Induktionsschluss: Sei die Behauptung bereits für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gezeigt(Induktionsannahme). Dann zeigen wir, dass die Behauptung auch für n+ 1 gilt:

((n+ 1) +m) + kDef. +1

= (s(n) +m) + kDef. +

= s(n+m) + kDef. +

= s((n+m) + k)

IA= s(n+ (m+ k))

Def. += s(n) + (m+ k)

Def.+1= (n+ 1) + (m+ k)

90

Kommutativität der Addition

Induktionsanfang: Wie Fall n = 0 im Beweis auf Seite 82.

Induktionsschluss: Sei die Behauptung gezeigt für ein beliebiges, aber festes n ∈ N. Dannhaben wir:

(n+ 1) +m = s(n) +m(4.2.b)

= s(n+m)I.V= s(m+ n)

(∗)= m+ s(n) = m+ (n+ 1)

Die Behauptung (∗) im Induktionsschluss wird durch eine innere vollständige Induktionüber m für festes n gezeigt:

Induktionsanfang: Wie Fall m = 0 im Beweis auf Seite 82.

Induktionsschluss: Sei die Behauptung gezeigt für ein beliebiges, aber festes m ∈ N.

(m+ 1) + s(n) = s(m) + s(n)(4.2.b)

= s(m+ s(n))I.V.= s(s(m+ n))

(4.2.b)= s(s(m) + n) = s((m+ 1) + n)

2

In den durch (IA) gekennzeichneten Stellen im Induktionsschluss geht die Induktionsannahmeein. Dies sollte in einem sauber ausgeführten Induktionsbeweis immer irgendwo der Fall sein undentsprechend gekennzeichnet werden.

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion kann in Kombination mit den induktiv definiertenOperationen auf natürlichen Zahlen auch für anpruchsvollere Aussagen verwendet werden:

Beispiel 6.19 (Beispiele zur vollständigen Induktion).Für alle n ∈ N gilt:

1. Es gibt 2n Teilmengen von n–elementigen Mengen.

2.n∑

i=1

i = n∗(n+1)2 , Summe der ersten n natürlichen Zahlen.

3.n∑

i=1

(2i− 1) = n2, Summe der ersten n ungeraden Zahlen.

Beweis Wir beweisen hier nur die erste Aussage.

Induktionsanfang: n = 0. Eine 0-elementige Menge ist die leere Menge und diese hat genau 20 = 1

Teilmengen, nämlich die leere Mange selbst.

Induktionsschluss: Sei die Behauptung bereits für ein beliebiges aber festes n ∈ N gezeigt (Induk-tionsannahme). Sei M eine n + 1-elementige Menge. Wir wählen ein beliebiges m ∈ M . SeiA ⊆ M . Dann gibt es zwei Fälle:

• m /∈ A. Also A liegt voll in der n-elementigen Menge M\{m}, d.h.: A ⊆ M\{m}. NachInduktionsannahme gibt es 2n solche Teilmengen.

91

• m ∈ A. Dann liegt die Restteilmenge A\{m} voll in der n-elementigen Menge M\{m}.Da jede der Teilmengen in M\{m} auch zu einer Teilmenge mit m beitragen kann, gibtes nach Induktionsannahme wiederum 2n solche Teilmengen.

Insgesamt hat man 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1 Teilmengen.

2

92

7 Ordnungsstrukturen

In Kapitel 6.1 haben wir den Begriff der partiellen Ordnungen kennengelernt, motiviert durchdas Induktionsprinzip der Noetherschen Induktion. Auf der anderen Seite haben wir zahlreicheBeispiele partieller Ordnungen kennengelernt, die von großer Bedeutung sind, etwa:

• (P(M),⊆): Potenzmengen mit Inklusionsbeziehung

• (BT |≡,⇒): Klassen semantisch äquivalenter Boolesche Terme mit der Implikationsbeziehung

• (N, |): Natürliche Zahlen mit der Teilbarkeitsbeziehung

Die Definition partieller Ordnungen stellt an sich nur schwache Anforderungen, die den struktu-rellen Eigenschaften der obigen Beispiele nicht voll gerecht werden. So besitzen zum Beispiel zweiTeilmengen immer eine kleinste diese enthaltende Obermenge, die Vereinigung der beiden Men-gen. Dass dieses in partiellen Ordnungen allgemein, selbst in solchen mit kleinstem und größtemElement, keineswegs der Fall sein muss, illustriert Abbildung 7.1. Hier werden die Elemente 2 und3 zwar von 4, 5 und 6 nach oben übertroffen, aber in {4, 5, 6} gibt es kein kleinstes Element.

Abbildung 7.1: Partielle Ordnung mit kleinstem und größtem Element, die kein Verband ist.

7.1 Verbände

Will man Strukturen, wie in Abbildung 7.1 ausschließen, betrachtet man partielle Ordnungenmit zusätzlichen strukturellen Eigenschaften, die sogenannten Verbände. Bevor wir diese formaldefinieren, benötigen wir aber noch einige Begriffe.

93

Definition 7.1 (Obere und untere Schranken). Sei (M,�) eine partielle Ordnung undX ⊆ M.

1. a) y ∈M heißt obere Schranke von X ⇔df ∀x ∈ X. x � y.Wir schreiben auch kurz X � y.

b) Die Menge der oberen Schranken von X ist OX =df {y ∈M | X � y}.

c) Besitzt OX ein kleinstes Element, die kleinste obere Schranke (oder Supremum) von X,so wird dieses mit sup(X) bezeichnet.

2. a) y ∈M heißt untere Schranke von X ⇔df ∀x ∈ X. y � x.Wir schreiben auch kurz y � X.

b) Die Menge der unteren Schranken von X ist UX =df {y ∈M | y � X}.

c) Besitzt UX ein größtes Element, die größte untere Schranke (oder Infimum) von X, sowird dieses mit inf(X) bezeichnet.

Im Allgemeinen kann die Menge der oberen und unteren Schranken leer sein. So hat in Abbildung6.2 die Menge {8, 12} keine gemeinsamen oberen Schranken, d.h. O{8,12} = ∅. Selbst wenn etwaobere Schranken existieren, müssen diese kein kleinstes Element besitzen. Wie bereits diskutiert hatin Abbildung 7.1 die Knotenmenge {2, 3} die oberen Schranken 4, 5 und 6, d.h. O{2,3} = {4, 5, 6},aber es gibt keine kleinste obere Schranke.

Infimum und Supremum, sofern existent, sind eindeutig bestimmt. Dieses führen wir hier für dasInfimum näher aus. Seien y1, y2 ∈ M zwei Infima von X ⊆ M . Dann gilt y2 � y1, denn y2 istuntere Schranke von X und y1 ist größte untere Schranke von X. Mit vertauschten Rollen von y1und y2 folgt ebenso y1 � y2. Wegen der Antisymmetrie von � impliziert y2 � y1 zusammen mity1 � y2 dann y1 = y2.

Offensichtlich ist ein kleinstes Element von X, sofern ein solches existiert, das Infimum von X undein größtes Element von X das Supremum. Im Allgemeinen sind Infima und Suprema aber nichtnotwendig kleinste bzw. größte Elemente der Teilmenge X, ja nicht einmal in X selbst enthalten.Dieses gilt selbst dann, wenn X total geordnet ist. Betrachten wir die Potenzmenge der natürlichenZahlen, also (P(N),⊆) und X ⊆ P(N) mit X =df {∅, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, . . .}. Offensichtlich giltsup(X) = N, aber N ist nicht größtes Element von X, da N nicht in X enthalten ist.

Mit dem Begriff der Infima und Suprema definiert man:

Definition 7.2 (Verband). Eine partielle Ordnung (V,�) heißt Verband ⇔df

∀x, y ∈ V. inf({x, y}) existiert ∧ sup({x, y}) existiert

Betrachten wir erneut die Potenzmenge als Ordnung (P(M),⊆) so liegt offensichtlich ein Ver-band vor mit sup({A,B}) = A ∪ B und inf({A,B}) = A ∩ B. Ebenso ist (N, |) ein Ver-band mit sup({n,m}) = KgV (n,m), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von n und m, undinf({n,m}) = GgT (n,m), dem größten gemeinsamen Teiler von n und m. Verbände spielen eine

94

wichtige Rolle im Zusammenhang mit der Repräsentation von konkreter und abstrakter Informa-tion. So ist in Abbildung 7.2(a) ein Verband zu sehen, der als starke Abstraktion von P(Z,⊆)

angesehen werden kann. Hier sind Mengen ganzer Zahlen auf ihre Vorzeicheninformationen redu-ziert. So steht das mit “>=0” annotierte Element für die Vorzeicheninformation “nicht negativ”.Drunter fallen solche Mengen ganzer Zahlen, deren Elemente alle größer oder gleich 0 sind. Ei-ne genauere Vorzeicheninformation als “>=0” hat man mit “>0” oder “=0”. Das größte Element“any” steht für die total unspezifische Vorzeicheninformation, also Mengen, die sowohl positiveals auch negative ganze Zahlen enthalten. Das kleinste Element “none” steht für das Fehlen vonVorzeicheninformation und abstrahiert damit allein die leere Menge. Abbildung 7.2(b) zeigt densogenannten flachen Verband ganzer Zahlen. Hier wird die übliche Ordnungsbeziehung zwischenden Zahlen völlig ignoriert und alle Zahlen unabhängig nebeneinander angeordnet. Damit gilt aberfür verschiedene Zahlen wie 2 und 3 nicht etwa sup(2, 3) = max(2, 3) = 3, wie es bezüglich derüblichen ≤-Beziehung der Fall ist, sondern sup(2, 3) = any. Andererseits besitzt der flache Verbandden Vorteil, dass es keine echt unendlich absteigenden Folgen von Elementen gibt. In der Tat sindalle echt absteigenden Folgen in ihrer Länge durch 3 beschränkt.

Abbildung 7.2: a) Verband der Vorzeicheninformationen ganzer Zahlen, b) Flacher Verband ganzerZahlen

Auf endlichen Verbände, also solchen mit endlicher Trägermenge V =df {x1, . . . , xn}, existierendie Infima und Suprema auch für beliebige nichtleere Teilmengen. Das Infimum von X ⊆ M

bestimmt sich nämlich induktiv durch:

inf({x1, . . . , xk}) =

{x1 falls k = 1

inf({inf({x1, . . . , xk−1}), xk}) sonst

Das Supremum kann analog beschrieben werden. Endliche Verbände besitzen folglich auch einkleinstes und ein größtes Element, nämlich inf(V ) bzw. sup(V ). In unendlichen Verbänden giltdieses nicht unbedingt. Betrachten wir etwa die Teilbarkeit auf positiven natürlichen Zahlen, also(N+, |), so liegt ein Verband ohne größtes Element vor.

95

7.1.1 Verbände als algebraische Strukturen

Die Definition eines Verbandes erlaubt es, inf und sup als binäre Operatoren aufzufassen. Daherdefinieren wir:

xf y =df inf({x, y})xg y =df sup({x, y})

Es gilt dann:

Satz 7.3. Sei (V,�) ein Verband. Dann gilt für alle x, y, z ∈ V :

1. Assoziativität:a) (x f y) f z = x f (y f z)

b) (x g y) g z = x g (y g z)

2. Kommutativität:a) x f y = y f x

b) x g y = y g x

3. Absorption:a) x f (x g y) = x

b) x g (x f y) = x

Beweis Die Kommutativität ist offensichtlich trivial. Für die Assoziativität betrachten wir Ei-genschaft 1(a). Es bezeichne u1 =df (x f y) f z = inf({inf({x, y}), z}) und u2 =df x f

(y f z) = inf({x, inf({y, z})}). Offensichtlich ist u1 untere Schranke von x, y und z. Also giltu1 � inf({y, z}) und weiter u1 � inf({x, inf({y, z})}) = u2. Analog haben wir u2 � u1 und mitder Antisymmetrie von � schließlich u1 = u2. Eigenschaft 1(b) beweist man dual. Für Absorpti-onseigenschaft 3(a) stellen wir zunächst fest x g y = sup({x, y}) � x. Offensichtlich gilt dannx f (x g y) = inf({x, sup({x, y}︸ ︷︷ ︸

�x

)}) = x. Letztere Gleichheit folgt trivial aus der Tatsache,

dass das Infimum einer zweielementigen linear geordneten Menge deren kleinstes Element ist. Ei-genschaft 3(b) beweist man wiederum dual. 2

Eine Menge V mit zwei Operationen f und g, die die Eigenschaften aus Satz 7.3 erfüllen, wirdals algebraischer Verband bezeichnet. Die erwähnten Eigenschaften (Assoziativität, Kommutati-vität und Absorption) sind uns bereits an früherer Stelle begegnet. In der Tat sind die Mengen-und Aussagengesetze in Tabelle 2.15 und 2.6 Ausdruck einer zugrundeliegenden algebraischen Ver-bandsstruktur.

Aus Gründen der Abgrenzung zu algebraischen Verbänden bezeichnen wie Verbände im Sinne vonDefinition 7.2 auch als ordnungsstrukturelle Verbände. Mit Satz 7.3 haben wir bereits gesehen,dass jeder ordnungsstrukturelle Verband einen algebraischen Verband induziert. Dass auch die

96

Umkehrung gilt, wird in Satz 7.5 gezeigt. Zuvor zeigen wir aber die Idempotenzeigschaften inalgebraischen Verbänden.

Lemma 7.4 (Idempotenz). Sei (V,f,g) ein algbraischer Verband und x ∈ V . Dann gilt:

1. x = x f x

2. x = x g x

Beweis

x = x f (x g (x f x)) (Absorption)= x f x (Absorption)

x = x g (x f (x g x)) (Absorption)= x g x (Absorption)

2

Lemma 7.4 geht unmittelbar in den Beweis des bereits ankündigten folgenden Resultates ein:

Satz 7.5. Sei (V,f,g) ein algebraischer Verband. Definiert man eine binäre Relation � ⊆ V ×Vdurch:

x � y ⇔df x = xf y,

so ist (V,�) ein ordnungsstruktureller Verband.

Beweis Zunächst müssen wir zeigen, dass � überhaupt eine partielle Ordnung ist.

• Reflexivität: Folgt unmittelbar aus der Idempotenz von f (Lemma 7.4).

• Antisymmetrie: Seien x, y ∈ V mit x � y und y � x. Das heißt nach Definition x = x f y

und y = y f x. Wegen der Kommutativität von f impliziert das x = y.

• Transitivität: Es gelte x � y und y � z.

x = x f y (x � y)= (x f y) f (y f z) (x � y, y � z)= (x f (y f y)) f z (Assoziativität)= (x f y) f z (Idempotenz)= x f z (x � y)

Das heißt nach Definition x � z.

Es bleibt zu zeigen, dass je zwei Elemente aus V ein Infimum und Supremum besitzen. Aus Duali-tätsgründen beschränken wir uns hier auf die Infimumseigenschaft. Seien x, y ∈ V . Wir behaupten,dass x f y Infimum von {x, y} ist. Wegen x f y

Idemp.= (x f x) f y

Assoz.= x f (x f y)

Komm.=

x f (y f x)Assoz.

= (x f y) f x gilt x f y � x. Ebenso kann x f y � y gezeigt werden. x f y

97

ist also untere Schranke von {x, y}. Um zu zeigen, dass es auch die größte untere Schranke ist,nehmen wir an z ∈ V sei eine beliebige untere Schranke von {x, y}. Dann gilt:

z = z f y (z � y)= (z f x) f y (z � x)= z f (x f y) (Assoziativität)

Also ist z � x f y. 2

7.2 Spezielle Verbände

Nachdem wir nun Verbände sowohl in der Sicht als Ordnungsstrukturen, als auch als algebraischeStrukturen kennengelernt haben, wollen wir noch einige wichtige spezielle Verbände untersuchen.Diese ergeben sich durch zusätzliche Anforderungen an die betrachteten Strukturen.

7.2.1 Vollständige Verbände

Betrachten wir die ordnungsstrukturelle Sicht von Verbänden aus Definition 7.2, so haben wirgesehen, dass in endlichen Verbänden beliebige nichtleere Teilmengen ein Infimum und Supremumbesitzen. Es liegt also nahe diese Forderung auf unendliche Verbände zu übertragen. Man kommtso zum Begriff vollständiger Verbände:

Definition 7.6 (Vollständiger Verband). Eine partielle Ordnung (V,�) heißt vollständiger Verband⇔df

∀X ⊆ V. inf(X) existiert ∧ sup(X) existiert

Beispiel 7.7 (Vollständiger Verband).

1. (N,≤) ist Verband, aber kein vollständiger Verband, denn sup(N) existiert nicht.

2. (N ∪ {∞},≤) mit n ≤ ∞ für alle n ∈ N ∪ {∞} ist ein vollständiger Verband.

3. (P(M),⊆) ist vollständiger Verband für jede Menge M .

4. (N, |) ist vollständiger Verband mit inf(X) = GgT (X), dem größten gemeinsamen Teileraller Elemente in X. Das Supremum ist analog sup(X) = KgV (X), das kleinste gemeinsameVielfache aller Elemente in X. Man beachte, dass dieses für unendliche Teilmengen die 0 ist.

5. (N+, |) ist kein vollständiger Verband denn für unendliche Teilmengen wie z.B. N existiertkein Supremum.

Definition 7.6 ist eigentlich unnötig restriktiv definiert. Es reicht nämlich die Existenz von Infimaoder Suprema allein zu fordern, da die jeweils andere Eigenschaft dann automatisch sichergestelltist. Es gilt nämlich:

98

Lemma 7.8 (Vollständiger Verband).

1. Sei (V,�) eine partielle Ordnung, in der Infima generell existieren, also

∀X ⊆ V. inf(X) existiert.

Dann ist (V,�) vollständiger Verband, d.h. auch Suprema existieren generell, also

∀X ⊆ V. sup(X) existiert.

2. Sei (V,�) eine partielle Ordnung, in der Suprema generell existieren, also

∀X ⊆ V. sup(X) existiert.

Dann ist (V,�) vollständiger Verband, d.h. auch Infima existieren generell, also

∀X ⊆ V. inf(X) existiert.

Beweis Aus Dualitätsgründen beschränken wir uns auf Teil (1) und nehmen an, dass für alleTeilmengen X ⊆ V das Infimum inf(X) existiert. Sei X ⊆ V . Wir betrachten die Menge deroberen Schranken OX von X und zeigen:

sup(X) = inf(OX).

Hierfür zeigen wir zwei Ordunungsbeziehungen, wodurch die Behauptung aus der Antisymmetriefolgt.

• sup(X) � inf(OX) : Per Definition ist sup(X) kleinste obere Schranke von X. Also giltsup(X) � OX . Damit ist sup(X) untere Schranke von OX und somit sup(X) � inf(OX),da ja inf(OX) die größte untere Schranke von OX ist.

• sup(X) � inf(OX) : Per Definition ist sup(X) insbesondere obere Schranke von X. Somitist sup(X) ∈ OX und es gilt inf(OX) � sup(X), denn inf(OX) ist ja insbesondere untereSchranke von OX .

2

In einem vollständigen Verband (V,�) existiert immer ein kleinstes Element ⊥V (sprich bottomvon V ) und ein größtes Element >V (sprich top von V), nämlich:

⊥V = inf(V ) = sup(∅)>V = sup(V ) = inf(∅)

Nach den Ausführungen auf Seite 95 ist in endlichen Verbänden die Existenz der Infima undSuprema nichtleerer Teilmengen sichergestellt. Mit der vorangegangenen Betrachtung über größteund kleinste Elemente existiert auch inf(∅) und sup(∅) und wir haben:

99

Satz 7.9. Jeder endliche Verband ist vollständig.

7.2.2 Boolesche Verbände

Während vollständige Verbände ausschließlich über die Erweiterung der ordnungsstrukturellenEigenschaften definiert sind, können auch algebraische Verbände über zusätzliche Eigenschaftenerweitert werden. In der Tat enthalten die Mengen- und Aussagengesetze in Tabelle 2.15 und 2.6zwei zusätzliche Gesetze. Eines davon ist die Distributivität, die in folgenden Weise verallgemeinertwerden kann.

Definition 7.10 (Distributiver Verband). Ein algbraischer Verband (V,f,g) heißt distributiv,genau dann wenn für alle x, y, z ∈ V gilt:

1. x g (y f z) = (x g y) f (x g z)

2. x f (y g z) = (x f y) g (x f z)

Genau genommen reicht es in Definition 7.10 eine der beiden Eigeschaften zu fordern. Es gilt:

Lemma 7.11 (Distributiver Verband). Die Bedingungen in Definition 7.10 sind äquivalent. Dasheißt, eine der Eigenschaften stellt bereits sicher, dass ein distributiver Verband vorliegt.

Beweis Nehmen wir an, dass Eigenschaft (1) erfüllt ist. Dann gilt

x f (y g z) =(x f (x g z)

)f (y g z) (Absorption)

= x f((x g z) f (y g z)

)(Assoziativität)

= x f((z g x) f (z g y)

)(Kommutativität)

= x f(z g (x f y)

)(Distributivität Eig. (1))

=(x g (x f y)

)f(z g (x f y)

)(Absorption)

=((x f y) g x

)f((x f y) g z

)(Kommutativität)

= (x f y) g (x f z) (Distributivität Eig. (1))

2

Abbildung 7.3 zeigt einen Verband, der nicht distributiv ist, denn es gilt zum einen a g (b f c) =

a g 0 = a g 0 = a, zum anderen (a g b) f (a g c) = 1 f 1 = 1.

Ausgehend von dieser Definition führen wir Boolesche Verbände ein als ein abstraktes Model fürStrukturen wie sie und in der Mengenlehre oder Aussagenlogik begegnet sind.

Definition 7.12 (Boolescher Verband). Ein distributiver algebraischer Verband (V,f,g) heißtBoolescher Verband, genau dann wenn es zwei verschiedene Elemente 0 und 1 in V gibt und fürjedes x ∈ V ein komplementäres Element x ∈ V existiert, so dass gilt:

1. x g x = 1

2. x f x = 0

100

Abbildung 7.3: Nichtdistributiver Verband.

Satz 7.13 (Boolescher Verband). Sei (V,f,g) ein Boolescher Verband. Dann gilt für jedes x, y ∈V :

1. x ist eindeutig bestimmt.

2. Neutralität:

a) x g 0 = x

b) x f 1 = x

3. Extremalgesetze:

a) x g 1 = 1

b) x f 0 = 0

4. Doppelkomplement: ¯x = x

5. De Morgansche Gesetze:

a) x g y = x f y

b) x f y = x g y

Beweis Wir beweisen zunächst (2), da dieses für den Beweis von (1) vorteilhaft ist. Hier beschrän-ken wir uns auf Teil 1(a). Es gilt:

x g 0Kompl.

= x g (x f x)Absorp.

= x.

Für die Eindeutigkeit von x nehmen wir an, y und z wären zwei Komplemente von x. Dann gilt:

yNeutr.

= y f 1Def.z= y f (x g z)

Distr.= (y f x) g (y f z)

Komm.= (x f y) g (y f z)

Def.y= 0 g (y f z)

Neutr.= (y f z)

Analog zeigt man z = (y f z), was dann y = z beweist.

101

Für die Extremalgesetze beschränken wir uns wieder auf Eigenschaft 3(1). Hier gilt:

x g 1Kompl.

= x g (x g x)Assoz.

= (x g x) g xIdemp.

= x g xKompl.

= 1

Für die Eigenschaft des Doppelkomplementes haben wir zunächst:

(A) xf x = 0

(B) xf ¯x = 0

Nun gilt:

xNeutr.

= xg 0(B)= xg (xf ¯x)

Distr.= (xg x) f (xg ¯x)

Kompl.= 1 f (xg ¯x)

Neutr.= xg ¯x

Analog zeigt man unter Benutzung von (A) ¯x = xg ¯x. Zusammen haben wir dann ¯x = x.

Beweis de Morgan folgt.

2

7.3 Konstruktionsprinzipien

Im folgenden gehen wir noch auf einige besonders wichtige Konstruktionsprinzipien ein, um Ver-bände zu größeren Verbänden zu kombinieren. Zunächst betrachten wir das kartesische Produktder den Verbänden zugrundeliegenden Mengen:

Satz 7.14 (Produktverband). Seien (A,�A) und (B,�B) Verbände. Dann ist

(A×B,�A×B)

ein Verband, wobei(a, b) �A×B (a′, b′) ⇔df a �A a′ ∧ b �B b′.

Sind (A,�A) und (B,�B) vollständig, so ist auch der Produktverband vollständig.

Beweis Folgt 2

Das folgende Bild zeigt den Produktverband von ({1, 2, 3},≤) mit sich selbst, wobei ≤ die üblicheOrdnung auf natürlichen Zahlen ist.

102

(3,3)

(2,3) (3,2)

(1,3) (2,2) (3,1)

(1,2) (2,1)

(1,1)

Ein praktisch relevantes Beispiel eines Produktverbandes ist z.B. das Produkt der Verbände (R,≥)

und (R,≤). Die Paare charakterisieren Intervalle reeller Zahlen. Hier kann man etwa an ein Zeitfens-ter denken, in dem eine Steuerungsschaltung eine bestimmte Reaktion auslösen muss. Betrachtenwir nun das Infimum zweier Intervalle, so gilt:

inf((l1, u1), (l2, u2)) = (inf≥(l1, l2), inf≤(u1, u2)) = (max({l1, l2}),min({u1, u2})).

Konkret ist etwa inf((3.5, 7.2), (2.9, 5.7)) = (3.5, 5.7). Damit wird zum Ausdruck gebracht, dassdas Zeitfenster (3.5, 5.7) das größte ist, welches in den beiden Zeitfenstern (3.5, 7.2) und (2.9, 5.7)

enthalten ist. Dual dazu ist das Supremum zweier Intervalle definiert.

Betrachtet man Funktionen, deren Zielbereich Verbandseigenschaft hat, so kommt man zum Begriffdes Funktionenverbandes.

Satz 7.15 (Funktionenverband). Sei (A,�A) ein Verband und M eine Menge. Dann ist

(AM ,�AM )

ein Verband, wobei die Funktionsordnung �AM definiert ist durch:

f �AM g ⇔df ∀m ∈M. f(m) �A g(m).

Beweis Folgt 2

7.4 Strukturverträgliche Abbildungen

Im folgenden untersuchen wir Funktionen zwischen (vollständigen) Verbänden. Verbände haben wirbislang sowohl in der Sichtweise als Ordnungsstrukturen als auch in der Sichtweise als algebraischeStrukturen kennengelernt. Funktionen, die in besonderer Weise verträglich mit Operatoren oderOrdnungen sind, werden allgemein als Homomorphismen bezeichnet. Diese spielen insbesondereim Zusammenhang mit algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle und werden uns daher auchin Kapitel 8 immer wieder begegnen.

Wir betrachten hier zunächst den relativ schwachen Begriff des Ordnungshomomorphismus:

103

Definition 7.16 (Ordnungshomomorphismus). Seien (A,�A) und (B,�B) Verbände und f : A→B eine Funktion. f heißt Ordnungshomomorphismus genau dann, wenn für alle a1, a2 ∈ A gilt:

a1 �A a2 ⇒ f(a1) �B f(b).

Man nennt f dann auch monoton oder isoton.

Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele:

Beispiel 7.17 (Ordnungshomomorphismus).

1. Für (N,≤) ist jede konstante Funktion N→ k mit festem k ∈ N ein Ordnungshomomorphis-mus.

2. Für (N, |) ist f7 : N→ N mit f7(n) =df 7 · n ein Ordnungshomomorphismus, denn aus n | mfolgt n · k = m für ein geeignetes k ∈ N. Dann gilt aber auch 7 · (n · k) = (7 · n) · k = 7 ·m,also f7(n) | f7(m).

3. Für (N,≤) ist die Funktion qs, die einer Zahl ihre Quersumme zuordnet kein Ordnungsho-momorphismus, denn 99 ≤ 100, aber qs(99) = 18 > 1 = qs(100).

In der Sichtweise algebraischer Verbände stellt sich die Homomorphieeigenschaft als Verträglichkeitmit den binären Operatoren g und f dar.

Definition 7.18 (g− und f-homomorphismus). Seien (A,gA,fA) und (B,gB ,fB) algebraischeVerbände und f : A→ B eine Funktion.

1. f heißt g-Homomorphismus genau dann, wenn für alle a1, a2 ∈ A gilt:

f(a1 gA a2) = f(a1) gB f(a2).

2. f heißt f-Homomorphismus genau dann, wenn für alle a1, a2 ∈ A gilt:

f(a1 fA a2) = f(a1) fB f(a2).

Die algebraischen Homomorphieeigenschaften implizieren Ordnungshomomorhie, wie das folgendeResultat ausführt:

Satz 7.19. Seien (A,gA,fA) und (B,gB ,fB) algebraische Verbände und f : A→ B eine Funk-tion. Wir betrachten weiter die zugehörigen ordnungsstrukturellen Verbände (A,�A) und (B,�B)

(siehe Satz 7.5). Dann gilt:

1. Falls f ein g-Homomorphismus ist, so ist f ein Ordnungshomomorphismus.

2. Falls f ein f-Homomorphismus ist, so ist f ein Ordnungshomomorphismus.

104

Beweis Wir zeigen zunächst (2). Seien a1, a2 ∈ A. Dann gilt:

a1 �A a2 ⇔ a1 fA a2 = a1 Def. �A

⇒ f(a1 fA a2) = f(a1)

⇒ f(a1) fB f(a2) = f(a1) f ist fA −Homomorphismus⇔ f(a1) �B f(a2) Def. �B

(1) folgt analog, wenn wir folgende allgemein in Verbänden geltende Beziehung ausnutzen:

xf y = x ⇔ xg y = y.

Für die “⇒”-Richtung betrachten wir die aus der Absorption folgende Gleichheit y = y g (y f x).Ausnutzen der Voraussetzung x f y = x liefert y = y g x und damit auch x g y = y. Die “⇐”-Richtung ist analog. 2

Dass g- und f-Homomorphismen echt strengere Eigenschaften als Ordungshomomorphismen sind,können wir anhand des folgenden Beispiels einsehen. Wir betrachten den gewöhnlichen Verbandnatürlicher Zahlen (N,≤) und f : N×N→ N definiert durch f((n,m)) = n+m. Offensichtlich istf ein Ordnungshomomorphismus. Allerdings liegt kein g-Homomorphismus vor, denn es gilt zumeinen

f((1, 4) gN×N (3, 2)) = f((min({1, 3}),min({4, 2}))) = f((1, 2)) = 3,

zum anderen aber

f((1, 4)) gN f((3, 2)) = min({f((1, 4)), f((3, 2))}) = min({5, 5}) = 5.

Ebenso liegt auch kein f-Homomorphismus vor, denn zum einen haben wir

f((1, 4) fN×N (3, 2)) = f((max({1, 3}),max({4, 2}))) = f((3, 4)) = 7,

zum anderen

f((1, 4)) fN f((3, 2)) = max({f((1, 4)), f((3, 2))}) = max({5, 5}) = 5.

105

106

8 Algebraische Strukturen

In Kapitel 7.1.1 haben wir bereits Verbände in der Sichtweise algebraischer Strukturen betrachtet.In diesem Kapitel werden wir weitere wichtige algebraische Strukturen kennenlernen. Die Un-tersuchung algebraischer Strukturen ist Ergebnis eines für die moderne Mathematik prägendenAbstraktionsprozesses. Statt ähnliche Resultate für unterschiedliche mathematische Disziplinenunabhängig nebeneinander zu entwickeln, versucht man gemeinsame Grundstrukturen zu identifi-zieren und Resultate anhand einer rein axiomatischen Basis herzuleiten.

8.1 Mengen mit einer Verknüpfung

Wir betrachten zunächst Mengen G, auf denen eine zweistellige Verknüpfung ⊕ : G × G → G

definiert ist. G bildet mit ⊕ eine algebraische Struktur, für die wir üblicherweise die Schreibweise〈G,⊕〉 verwenden. In diesem Kontext bezeichnet man G auch als die Trägermenge der Struktur〈G,⊕〉. Ist die zugehörige Operation aus dem Kontext ersichtlich, so ist es üblich – wenn auchetwas unsauber –, die Struktur 〈G,⊕〉 mit der Trägermenge G selbst zu identifizieren.

8.1.1 Halbgruppen und Monoide

Setzen wir als minimale Eigenschaft die Assoziativität der Verknüpfung voraus, wird die Strukturzur Halbgruppe:

Definition 8.1 (Halbgruppe). 〈G,⊕〉 heißt Halbgruppe ⇔df ⊕ ist assoziativ, d.h.:

∀ a, b, c ∈ G. (a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b⊕ c)

Betrachten wir die ganzen Zahlen Z mit der Addition, so handelt es sich bei 〈Z,+〉 um eineHalbgruppe, denn die Addition in Z ist bekanntlich assoziativ. Betrachten wir anstatt der Additionallerdings die Subtraktion als Verknüpfung, so liegt keine Halbgruppe vor, denn die Eigenschaftder Assoziativität ist hier verletzt: Es gilt (5 − 3) − 1 = 1 6= 5 − (3 − 1) = 3. Die Menge A+ dernicht-leeren Zeichenreihen über einem Alphabet A (siehe Kapitel 5.1) mit der Konkatenation · alsVerknüpfung, also 〈A+, ·〉, ist ein weiteres Beispiel für eine Halbgruppe. Eine Halbgruppe 〈G,⊕〉,

deren Operation ⊕ kommutativ ist (d.h. ∀a, b ∈ G.a ⊕ b = b ⊕ a), wird kommutative oder auchabelsche Halbgruppe genannt. Ein algebraischer Verband besteht folglich aus zwei kommutativenHalbgruppen, die über das Absorptionsaxiom gekoppelt sind.

107

Ein Element e ∈ G heißt neutrales Element genau dann, wenn

a⊕ e = e⊕ a = a für alle a ∈ G.

In 〈N,+〉 ist beispielsweise 0 das neutrale Element, es gilt n + 0 = 0 + n = n für alle n ∈ N.Natürlich muss es kein solches Element geben, z.B. sind 〈N\{1}, ·〉 oder 〈N\{0},+〉 Halbgruppenohne neutrale Elemente. Auch 〈A+, ·〉 besitzt kein neutrales Element – wohl aber 〈A∗, ·〉, nämlichε. In jedem Fall kann es höchstens ein neutrales Element geben.

Lemma 8.2 (Eindeutigkeit von neutralen Elementen). Existieren in einer Halbgruppe 〈G,⊕〉 neu-trale Elemente e und e′, so gilt e = e′.

Beweis Seien e, e′ ∈ G neutrale Elemente bezüglich ⊕. Dann gilt: e = e⊕ e′ = e′. 2

Eine Halbgruppe mit neutralem Element heißt Monoid.

Beispiel 8.3 (Halbgruppen/Monoide).

• 〈A+, ·〉 ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid, da kein neutrales Element existiert.

• 〈A∗, ·〉 ist ein Monoid mit neutralem Element ε ∈ A∗.

• 〈N,+〉 ist ein Monoid mit neutralem Element 0.

• 〈N, ·〉 ist ein Monoid mit neutralem Element 1.

• 〈AA, ◦〉 (Funktionen f : A → A mit der Komposition als Verknüpfung) ist ein Monoid mitder identischen Abbildung idA als neutralem Element.

8.1.2 Gruppen

Offensichtlich ist nicht nur 〈N,+〉 ein Monoid mit neutralem Element 0, sondern auch 〈Z,+〉. Hierlässt sich außerdem die Besonderheit beobachten, dass das neutrale Element 0 sich für ein beliebigesz ∈ Z als z + (−z) darstellen lässt – im Gegensatz zu N, wo −n für n 6= 0 nicht in N enthalten ist.Für eine ganze Zahl z bezeichnet −z das (bezüglich +) inverse Element (oder kurz Inverses) vonz.

Die folgende Definition beschreibt den allgemeinen Fall.

Definition 8.4 (Inverses Element). Sei 〈G,⊕〉 ein Monoid mit neutralem Element e ∈ G, fernersei a ∈ G. Ein Element a−1 ∈ G mit a⊕ a−1 = a−1 ⊕ a = e heißt inverses Element zu a.

Es sei hier darauf hingewiesen, dass a−1 an dieser Stelle eine etablierte, rein syntaktische Notationfür inverse Elemente in einem Monoid darstellt. Dies ist nicht zu verwechseln mit der Operation 1

x

auf rationalen oder reellen Zahlen! Der aufmerksame Leser wird bereits bemerkt haben, dass fürbspw. 〈R, ·〉 mit neutralem Element 1 der Bruch 1

x für x 6= 0 in der Tat das zu x inverse Elementbezeichnet. Für 〈G,⊕〉 = 〈Z,+〉 gilt davon unberührt jedoch a−1 = −a.

108

Eine Besonderheit zeigt sich beim neutralen Element e ∈ G: Aufgrund der Definition ist e⊕ e = e,dieses ist also zu selbstinvers. Darüber hinaus kann kein Element a ∈ G mit a 6= e zu e invers sein,da a ⊕ e = a 6= e gilt. Tatsächlich lässt sich diese Eindeutigkeit sogar für jedes Element, für dasein Inverses existiert, zeigen.

Lemma 8.5 (Eindeutigkeit von inversen Elementen). Sei 〈G,⊕〉 ein Monoid mit neutralem Ele-ment e ∈ G, ferner sei a ∈ G. Existiert ein zu a inverses Element a−1 ∈ G, so ist dieses eindeutigbestimmt.

Beweis Seien a−1 und a−1 zu a inverse Elemente. Dann gilt:

a−1Neut.

= e⊕ a−1 Inv.= (a−1 ⊕ a)⊕ a−1 Ass.

= a−1 ⊕ (a⊕ a−1)Inv.= a−1 ⊕ e Neut.

= a−1

2

Monoide, in denen jedes Element ein zugehöriges Inverses besitzt, kennzeichnen eine außerordent-lich wichtige algebraische Struktur.

Definition 8.6 (Gruppe). Ein Monoid 〈G,⊕〉, bei dem zu jedem Element a ∈ G ein inversesElement a−1 ∈ G existiert, heißt Gruppe.

Liegt sogar ein kommutatives Monoid zugrunde, so spricht man einer kommutativen bzw. abelschenGruppe.

Beispiel 8.7 (Gruppen).

• 〈R\{0}, ·〉 ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1. Das zu x inverse Elementist 1

x .

• 〈R,+〉, 〈Z,+〉 sind kommutative Gruppen. Neutrales Element ist 0 und inverses Element zux ist −x.

• 〈A∗, ·〉 ist keine Gruppe, da Worte aus A+ keine inversen Elemente besitzen.

• 〈Z, ·〉 ist keine Gruppe, da ganze Zahlen im Allgemeinen keine multiplikativ inversen Elementebesitzen.

• 〈{−1, 1}, ·〉 ist eine kommutative Gruppe.

In der in Beispiel 8.7 letztgenannten Struktur 〈{−1, 1}, ·〉 haben wir als Besonderheit eine endlicheTrägermenge {−1, 1}. Solche endlichen algebraischen Strukturen lassen sich mittels Strukturtafelndarstellen. Im diesem Falle ist das einfach:

· −1 1

−1 1 −1

1 −1 1

Für n ≥ 1 sei Zn =df {0, . . . , n− 1}. Auf dieser Menge definieren wir zweistellige Verknüpfungen

109

+n und ·n für a, b ∈ Zn wie folgt:

a+n b =df (a+ b) mod n

a ·n b =df (a · b) mod n

Hierbei bezeichnet a mod n den Rest der ganzzahligen Division von a durch n. Es gilt:

a mod n = k ⇔ ∃ l ∈ Z. a = l · n+ k, 0 ≤ k < n

In Abbildung 8.1 wird die Addition +n und Multiplikation ·n exemplarisch für Z6 dargestellt.

+n 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

·n 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

Abbildung 8.1: Additions- und Multiplikationstafeln für Z6

Es gilt:

Satz 8.8. Für n ∈ N+ ist 〈Zn,+n〉 eine kommutative Gruppe.

Beweis Siehe Übungen. 2

Allgemein gelten in Gruppen die folgenden Rechenregeln:

Lemma 8.9 (Rechenregeln in Gruppen). Sei 〈G,⊕〉 eine Gruppe. Dann gilt:

1. ∀a, b, c ∈ G. a⊕ b = c⊕ b ⇒ a = c (Rechtskürzungsregel)a

2. ∀a, b ∈ G. (a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1 (Invertierungsregel)aEs sei bemerkt, dass die Rechtskürzungsregel bspw. auch in 〈N,+〉 und 〈N+, ·〉 gilt, welche keine Gruppen, sondern

lediglich Monoide sind. Diese muss dann allerdings explizit unter Verwendung der Peano-Axiome bewiesen werden(siehe Satz 6.18).

Beweis

1. Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Prämisse:

aNeut.

= a⊕ e Inv.= a⊕ (b⊕ b−1)

Assoz.= (a⊕ b)⊕ b−1

Präm.= (c⊕ b)⊕ b−1 Assoz.

= c⊕ (b⊕ b−1)Inv.= c⊕ e

Neut.= c

2. Siehe Übungen.

110

2

8.1.3 Untergruppen

Für eine gegebene Gruppe lassen sich interessante Teilstrukturen, die sogenannten Untergruppen,identifizieren und näher untersuchen.

Definition 8.10 (Untergruppen). Ist 〈G,⊕〉 eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G,so dass 〈H,⊕〉 auch eine Gruppe ist, so nennen wir 〈H,⊕〉 Untergruppe von 〈G,⊕〉, in ZeichenH ≤ G.

Analoge Unterstrukturen lassen sich für Halbgruppen und Monoide definieren. Unterstrukturenmüssen insbesondere mit derselben Operation wie in der Oberstruktur versehen sein. So ist zumBeispiel die Gruppe 〈Q \ {0}, ·〉 keine Untergruppe der Gruppe 〈R,+〉, obwohl Q ⊆ R gilt.

Hierbei ist zu beachten, dass wir ⊕ als zweistellige Verknüpfung ⊕ : G ×G → G definiert hatten.Soll diese Operation jetzt auf H ⊆ G übertragen werden, so muss – unabhängig von der Artder Unterstruktur – in jedem Falle gezeigt werden, dass diese, auf Elemente aus H angewendet,ebenfalls auf Elemente auf H abbildet. Es muss also gelten:

∀ a, b ∈ H. a⊕ b = c ∈ H.

Man sagt in diesem Falle auch, dass H unter ⊕ abgeschlossen ist.

Beispiel 8.11. 〈Z,+〉 ist eine Untergruppe von 〈R,+〉.

Dass das neutrale Element in einem Monoid eindeutig ist, wurde in Satz 8.2 bereits gezeigt. Mankönnte jetzt vermuten, dass Untermonoide auch dasselbe neutrale Element wie in der übergeord-neten Struktur besitzen. Dies gilt im Allgemeinen jedoch nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel 8.12. Gegeben sei das Monoid 〈G,⊕〉 gemäß der folgenden Verknüpfungstabelle:

⊕ a b

a a b

b b b

〈G,⊕〉 besitzt als neutrales Element a. Im Untermonoid 〈{b},⊕〉 ist jedoch b das neutrale Element.

Betrachten wir Gruppen anstatt von Monoiden, so ist jedoch gewährleistet, dass das neutraleElement in Untergruppen erhalten bleibt.

Satz 8.13. Sei 〈G,⊕〉 eine Gruppe und H ⊆ G, so dass 〈H,⊕〉 eine Untergruppe ist. 〈H,⊕〉 besitztdas selbe neutrale Elemente wie 〈G,⊕〉.

Beweis Seien eG und eH die neutralen Elemente von G und H, und sei a ∈ H (beachte H 6= ∅).Dann gilt a = eG⊕ a = eH ⊕ a. Mit der Rechtskürzungsregel (Satz 8.9(1)) folgt sofort eG = eH .

111

2

Satz 8.13 stellt insbesondere sicher, dass {e} die einzige einelementige Untergruppe bildet. JedeGruppe 〈G,⊕〉 hat damit zwei sogenannte triviale Untergruppen, nämlich sich selbst und 〈{e},⊕〉.1

Definition 8.14 (Symmetrische Gruppe).Für n ≥ 2 bildet Sn =df {f | f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}, f bijektiv} mit der Komposition ◦ als

Operation eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe. Die Elemente in Sn werden auch alsPermutationen auf {1, . . . , n} bezeichnet.

Anschaulich betrachtet beschreibt eine Permutationen auf einer n-elementigen Menge die Opera-tion des „Vertauschens“ bzw. Umordnens der Objekte dieser Menge. Aus dieser Anschauung ergibtsich leicht, dass Permutationen umkehrbar und gegen Komposition (d.h. Hintereinanderausfüh-rung) abgeschlossen sind; einen formalen Beweis überlassen wir dem geneigten Leser als Übungs-aufgabe. Die identische Abbildung ist ebenfalls eine Permutation und ist bezüglich ◦ neutral (sieheauch Abschnitt 3.2, S. 37). Schließlich vervollständigt die Assoziativität der Funktionskompositi-on die Gruppeneigenschaften von 〈Sn, ◦〉. Allerdings werden wir später sehen, dass Sn (außer fürn = 2) nicht kommutativ ist.

Permutationen lassen sich in der sogenannten Matrixschreibweise darstellen. So repräsentiert dieSchreibweise

f =

(1 2 3

3 2 1

)

eine Permutation aus S3 mit f(1) = 3, f(2) = 2 und f(3) = 1. Damit lässt sich S3 explizitaufschreiben als:

S3 =

{(1 2 3

1 2 3

),

(1 2 3

1 3 2

),

(1 2 3

2 1 3

),

(1 2 3

2 3 1

),

(1 2 3

3 1 2

),

(1 2 3

3 2 1

)}

Alternativ können Permutationen auch in der kompakten Zykelschreibweise angegeben werden.Die Funktion f aus dem obigen Beispiel etwa lässt sich in Zykelschreibweise als f = (1 3) ◦(2) aufschreiben. Innerhalb der Klammerpaare stehen hier diejenigen Werte, die bei wiederholtenAnwendungen „der Reihe nach“ aufeinander abgebildet werden. Es gilt also f(1) = 3 und f(3) = 1.Einelementige Zykel kennzeichnen Elemente, die von der Permutation nicht verändert werden, alsoinvariant unter der Permutation sind. Diese trivialen Zykel werden üblicherweise weggelassen, esgilt also f = (1 3).

Das Konzept der Zykelschreibweise lässt sich noch besser an einem 3-Zykel wie etwa g = (1 2 3)

verdeutlichen:

g =

(1 2 3

2 3 1

).

1Ist |G| = 1, so existiert sogar nur eine einzige triviale Untergruppe!

112

Allgemein steht (c1 c2 c3 . . . ck−1 ck) für c1 7→ c2, c2 7→ c3,. . .,ck−1 7→ ck, ck 7→ c1. Die Menge S3

lässt sich in dieser Schreibweise wie folgt darstellen:

S3 = {id, (2 3), (1 2), (1 2 3), (1 3 2), (1 3)}

Allerdings lässt sich nicht jede Permutation mit lediglich einem nichttrivialen Zykel darstellen, wiees bei S3 der Fall ist. Jedoch gilt:

Satz 8.15. Jede Permutation lässt sich als Komposition von paarweise disjunkten Zykeln schreiben.

Zwei Zykel heißen hierbei disjunkt, wenn die Mengen der in ihnen vorkommenden Elemente dis-junkt sind. Das Symbol ◦ wird bei der Komposition von Zykeln oft weggelassen: Die Funktionh : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} mit h(1) = 2, h(2) = 1, h(3) = 4, h(4) = 3 schreibt man auch alsh = (1 2)(3 4). Wir wollen dies hier jedoch nicht weiter vertiefen.

Zu einer Gruppe 〈G,⊕〉 bildet die Menge aller Untergruppen einen vollständigen Verband (sie-he Abbildung 8.2). Die Infimumsoperation ist dabei der Schnitt der Untergruppen, die trivialenUntergruppen bilden das kleinste und größte Element.

〈{id}, ◦〉

〈{id, (12)}, ◦〉 〈{id, (13)}, ◦〉 〈{id, (23)}, ◦〉

〈{id, (123), (132)}, ◦〉

〈S3, ◦〉

Abbildung 8.2: Untergruppenverband zu 〈S3, ◦〉

8.1.4 Nebenklassen und der Satz von Lagrange

In diesem Abschnitt wird mit dem Satz von Lagrange einer der zentralen Sätze der Gruppentheorievorgestellt. Dieser setzt für den Fall endlicher Gruppen die Kardinalität einer Gruppe (bzw. derenTrägermenge) mit den Kardinalitäten ihrer Untergruppen in Beziehung.

Satz 8.16 (Satz von Lagrange). Sei 〈G,⊕〉 eine endliche Gruppe und 〈H,⊕〉 eine Untergruppevon G. Dann ist |G| ein Vielfaches von |H|, es gilt

|H|∣∣∣ |G|

Bevor wir Satz 8.16 beweisen können, benötigen wir zunächst ein weiteres wichtiges Konzept, wel-ches in engem Zusammenhang zu Untergruppen steht: Die sogenannten Nebenklassen. Betrachtetman beispielsweise die Gruppe 〈Z,+〉 und deren Untergruppe 3Z der Vielfachen von 3, so kann

113

man sich Z zerlegt vorstellen in

3Z = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, . . .}3Z+ 1 = {. . . ,−5,−2, 1, 4, 7, . . .}3Z+ 2 = {. . . ,−4,−1, 2, 5, 8, . . .}⇒ Z = 3Z ∪ (3Z+ 1) ∪ (3Z+ 2)

Der Begriff der Nebenklassen verallgemeinert diese Idee:

Definition 8.17 (Nebenklassen). Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G,⊕〉 und a ∈ G. Dannbezeichne

aH =df {a⊕ h | h ∈ H}Ha =df {h⊕ a | h ∈ H}

die Links- bzw. Rechtsnebenklasse von H zu a.

Offensichtlich stimmen in kommutativen Gruppen Links- und Rechtsnebenklassen überein. ImAllgemeinen ist dieses aber nicht so, wie das folgende Beispiel zeigt:

Beispiel 8.18. Betrachten wir die Untergruppe H = 〈{id, (1 2)}, ◦〉 von 〈S3, ◦〉 und das Elementa = (2 3) ∈ G, dann gilt

aH = {(2 3) ◦ id, (2 3) ◦ (1 2)} = {(2 3), (1 3 2)}Ha = {id ◦ (2 3), (1 2) ◦ (2 3)} = {(2 3), (1 2 3)}

Der Beweis des Satzes von Lagrange beruht nun darauf, dass die Menge der Rechtsnebenklasseeine Partition von G bildet, in der alle Elemente die gleiche Kardinalität aufweisen. Im Detail:

Beweis Seien 〈G,⊕〉 und 〈H,⊕〉 aus Satz 8.16 gegeben, insbesondere gilt alsoH ≤ G. Wir beweisenzunächst die Partitionseigenschaften von {aH | a ∈ G}:

1. ∀a ∈ G. aH 6= ∅. Klar, da H nicht leer ist.

2.⋃g∈G

gH = G. Klar, da e ∈ H (H ist Untergruppe).

3. ∀a, a′ ∈ G. aH ∩ a′H 6= ∅ ⇒ aH = a′H.Seien a, a′ ∈ G mit aH ∩ a′H 6= ∅. Dann gibt es h, h′ ∈ H mit a⊕ h = a′ ⊕ h′, also

a = a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 (8.1)

Zeige o.B.d.A. aH ⊆ a′H (der gesamte Beweis ist symmetrisch in a und a′, d.h. a′H ⊆ aH

lässt sich vollständig analog zeigen, es folgt aH = a′H). Sei g ∈ aH beliebig. Dann gibt es

114

ein h′′ ∈ H mit g = a⊕ h′′. Also folgt:

g = a⊕ h′′ (8.1)=

a︷ ︸︸ ︷a′a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′︸ ︷︷ ︸

∈H

∈ a′H

Beachte: h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′ ∈ H, da H eine Untergruppe ist.

Nun ist noch zu zeigen, dass alle Partitionsklassen die gleiche Kardinalität besitzen, d.h. |aH| =

|a′H| für alle a ∈ G. Wir zeigen dies durch Konstruktion einer injektiven Abbildung von aH nacha′H. Zunächst betrachten wir die Funktion f : aH → G mit b 7→ a′ ⊕ a−1 ⊕ b.

1. ∀b ∈ aH. f(b) ∈ a′HWegen b ∈ aH gibt es ein h ∈ H mit b = a⊕ h ∈ aH. Es gilt:

f(b) = f(a⊕ h)

= a′ ⊕ a−1 ⊕ a︸ ︷︷ ︸e

⊕h

= a′ ⊕ h ∈ a′H.

2. f ist injektiv. Seien b1 = a⊕ h1, b2 = a⊕ h2 und f(b1) = f(b2). Dann gilt:

b1 = a⊕ h1 = a⊕

e︷ ︸︸ ︷a′−1 ⊕ a′⊕a−1︸ ︷︷ ︸

e

⊕b1︷ ︸︸ ︷

a⊕ h1 = a⊕ a′−1 ⊕ a′ ⊕ a−1 ⊕ a⊕ h1︸ ︷︷ ︸f(b1)

V or.= a⊕ a′−1 ⊕ f(b2) = a⊕ a′−1 ⊕

f(b2)︷ ︸︸ ︷a′ ⊕ a−1 ⊕ a⊕ h2

= a⊕

e︷ ︸︸ ︷a′−1 ⊕ a′⊕a−1︸ ︷︷ ︸

e

⊕b2︷ ︸︸ ︷

a⊕ h2 = a⊕ h2 = b2

Aus dem ersten Punkt folgt, dass wir f auch als Funktion f : aH → a′H auffassen können, aus derInjektivität folgt |aH| ≤ |a′H|. Da wir über a und a′ jedoch keine weiteren Annahmen getroffenhaben, können wir ihre Rollen im Beweis auch vertauschen, es folgt |a′H| ≤ |aH|, womit sich diezu beweisende Aussage ergibt. 2

Aus dem Satz von Lagrange folgt beispielsweise, dass es in S3 keine Untergruppe mit 4 Elementengeben kann (|S3| = 6). Ebenso kann eine Gruppe, deren Mächtigkeit eine Primzahl ist, nur trivialeUntergruppen haben. Weitere bekannte Resultate die auf dem Satz von Lagrange aufbauen, sindder kleine Satz von Fermat und dessen Generalisierung, Eulers Theorem.

8.1.5 Faktorstrukturen

Es wurde bereits erwähnt, dass – außer für abelsche Gruppen – die Rechts- und Linksnebenklasseneiner Untergruppe nicht notwendigerweise übereinstimmen. Untergruppen, für die diese Eigenschaftjedoch erfüllt ist, nehmen eine besondere Rolle ein.

115

Definition 8.19 (Normalteiler). Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G,⊕〉. Wenn die Rechts- undLinksnebenklassen für alle a ∈ G übereinstimmen (Ha = aH), wird H ein Normalteiler von G

genannt (Notation: H / G).

Man erkennt direkt, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe gleichzeitig auch Normalteilerist. Aber auch in der nicht-kommutativen Gruppe S3 gibt es Normalteiler:

Beispiel 8.20. Es gilt N = 〈{id, (1 2 3), (1 3 2)}, ◦〉 / 〈S3, ◦〉. Wähle z.B. a = (2 3) ∈ S3. Danngilt

(2 3) ◦N = {(2 3) ◦ id, (2 3) ◦ (1 2 3), (2 3) ◦ (1 3 2)} = {(2 3), (1 3), (1 2)}N ◦ (2 3) = {id ◦(2 3), (1 2 3) ◦ (2 3), (1 3 2) ◦ (2 3)} = {(2 3), (1 2), (1 3)} = (2 3) ◦N

〈{id, (1 2 3), (1 3 2)}, ◦〉 wird auch als alternierende Gruppe mit 3 Elementen bezeichnet und mitA3 abgekürzt.

Ein interessanter Zusammenhang besteht zwischen 〈A3, ◦〉 und der Gruppe 〈Z3,+3〉: Betrachtetman die Verknüpfungstafeln der beiden Gruppenoperationen, so fällt auf, dass abgesehen von derunterschiedlichen Form der Elemente diese im Prinzip „strukturgleich“ sind:

◦ id (1 2 3) (1 3 2)

id id (1 2 3) (1 3 2)

(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) id

(1 3 2) (1 3 2) id (1 2 3)

+3 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Die beiden Tafeln lassen sich also durch eine feste Vertauschung zwischen den Elementen ausA3 und Z3 ineinander überführen. Das formale Konzept hinter dieser Strukturgleichheit ist dieIsomorphie, die später formal eingeführt wird. In Zeichen drückt man dies als 〈A3, ◦〉 ∼= 〈Z3,+3〉aus.

Die Bedeutung der Normalteiler liegt darin, dass sie eine Gruppenstruktur auf die Nebenklassenübertragen. So ist es möglich, direkt auf den Nebenklassen zu „rechnen“. Betrachten wir beispiels-weise den Normalteiler 3Z von Z auf Seite 114 erneut, so haben wir etwa:

(1 + 3Z) +3Z (2 + 3Z) = (1 + 2) + 3Z = 3 + 3Z = 3Z.

Allgemein definieren wir:

Lemma 8.21 (Faktorgruppe). Sei 〈G,⊕〉 eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann ist〈G/N,⊕N 〉 mit

G/N =df {aN | a ∈ G}

eine Gruppe, wobei ⊕N wie folgt definiert ist:

aN ⊕N bN = (a⊕ b)N

Wir nennen 〈G/N,⊕N 〉 die Faktorgruppe von G bezüglich N .

116

Beweis

Zu zeigen:

1. Wohldefiniertheit (Repräsentantenunabhängigkeit), d.h.

∀a, a′, b, b′ ∈ G.

aN = a′N ∧ bN = b′N ⇒ aN ⊕N bN = a′N ⊕N b′N

Seien a, a′, b, b′ ∈ G gegeben mit aN = a′N und bN = b′N . Zunächst gilt: Es existierenn, n′ ∈ N mit a′ = a ⊕ n und b′ = b ⊕ n′. Weil N Normalteiler ist, stimmen die Links- undRechtsnebenklassen überein und es existiert ein n′′ ∈ N mit n⊕ b = b⊕ n′′. Dann gilt:

a′N ⊕N b′N = (a′ ⊕ b′)N= ((a⊕ n)⊕ (b⊕ n′))N= (a⊕ (n⊕ b)⊕ n′)N= (a⊕ (b⊕ n′′)⊕ n′)N= ((a⊕ b)⊕ n′′ ⊕ n′︸ ︷︷ ︸

n′′′

)N

= (a⊕ b)N= aN ⊕N bN

2. G/N hat ein neutrales Element eN .Sei e das neutrale Element von G. Dann zeigen wir, dass eN = N = Ne das neutrale Elementvon G/N ist.

Sei a ∈ G. Dann gilt:

aN ⊕N eN = (a⊕ e)N = aN

3. G/N hat inverse Elemente:

∀aN ∈ G/N. ∃(aN)−1 ∈ G/N. aN ⊕N (aN)−1 = eN = N.

Sei aN ∈ G/N . Wir wählen (aN)−1 = a−1N ∈ G/N (da G eine Gruppe ist, ist die Existenzvon a−1 gesichert). Offensichtlich gilt:

aN ⊕N a−1N = (a⊕ a−1)N = eN = N.

2

Unmittelbare Folge des Satzes von Lagrange (genau genommen dessen Beweises) ist dann:

Korollar 8.22 (Korollar zum Satz von Lagrange). Sei 〈G,⊕〉 eine endliche Gruppe und H einNormalteiler von G. Es gilt

|G| = |H| · |G/H|

117

8.1.6 Homomorphismen

Homomorphismen als strukturverträgliche Abbildungen wurden bereits in Kapitel 7.4 im Zusam-menhang mit Verbänden betrachtet. Auch für die hier vorgestellten algebraischen Strukturen sinddiese von großer Bedeutung.

Einige solche strukturverträglichen Abbildungen sind bereits durch “Rechengesetze” der Schulma-thematik bekannt, ohne explizit als Homomorphismen charakterisiert worden zu sein. So verbirgtsich beispielsweise hinter dem Gesetz zum Rechnen mit Logarithmen

log(x · y) = log(x) + log(y)

die Aussage, dass log ein Gruppenhomomorphismus von 〈R>0, ·〉 nach 〈R,+〉 ist. Analog gilt diesfür

ex+y = ex · ey,

hier liegt entsprechend ein Gruppenhomomorphismus von 〈R,+〉 nach 〈R>0, ·〉 vor.

Definition 8.23 ((Gruppen-)Homomorphismus). Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen und f :

G1 → G2 eine Abbildung. f heißt (Gruppen-)Homomorphismus genau dann, wenn

∀a, b ∈ G1. f(a⊕1 b) = f(a)⊕2 f(b)

Die Abbildung heißt

• Monomorphismus, wenn f zusätzlich injektiv ist.

• Epimorphismus, wenn f zusätzlich surjektiv ist.

• Isomorphismus, wenn f zusätzlich bijektiv ist.

Bei Gleichheit beider Gruppen nennt man f ferner Endomorphismus. Ist f zusätzlich bijektiv (alsoein Isomorphismus), so wird f Automorphismus genannt.

Analoge Begriffe können für Halbgruppen und Monoide definiert werden. Bei Monoidhomomor-phismen fordert man zusätzlich, dass das neutrale Element der Argumentmonoids auf das neutraleElement des Zielmonoids abbildet.

Es mag verwundern, dass – obwohl eine Gruppe insbesondere auch ein Monoid ist – diese Forderungfür Gruppenhomomorphismen nicht explizit erhoben wird. Dies wird jedoch durch das folgendeLemma gerechtfertigt.

Lemma 8.24 (Lemma). Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen mit neutralen Elementen e1 unde2. Ferner sei f : G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

1. f(e1) = e2

2. ∀a ∈ G1. f(a−1) = (f(a))−1

Beweis

118

1. Sei a ∈ G1. Dann gilt zum einen f(a) = f(e1 ⊕1 a) = f(e1)⊕2 f(a),zum anderen f(a) = e2 ⊕2 f(a).

Insgesamt haben wir also f(e1) ⊕2 f(a) = e2 ⊕2 f(a). Mit der Rechtskürzungsregel (sieheSatz 8.9(1)) folgt f(e1) = e2.

2. Sei a ∈ G1. Dann gilt zum einen e2 = (f(a))−1 ⊕2 f(a),

zum anderen e2(1)= f(e1) = f(a−1 ⊕1 a) = f(a−1)⊕2 f(a).

Insgesamt haben wir also (f(a))−1 ⊕2 f(a) = f(a−1)⊕2 f(a). Wieder folgt mit der Rechts-kürzungsregel f(a−1) = (f(a))−1.

2

Abweichend von der üblichen Notation für Definitions- und Wertebereich von Abbildungen schrei-ben wir im Folgenden auch kurz f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉, um die zugrundeliegenden Strukturen〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 und die Abbildung in einer Schreibweise kompakt darzustellen. Betrachtenwir nun einige Beispiele für Homomorphismen.

Beispiel 8.25.

1. ϕ1 : 〈A∗, ·〉 → 〈N,+〉 mit w 7→ |w| ist ein Monoidepimorphismus, denn es gilt ϕ1(ε) = |ε| = 0

undϕ1(w1 · w2) = ϕ1(w1w2) = |w1w2| = |w1|+ |w2| = ϕ1(w1) + ϕ1(w2)

Surjektivität: Wir wählen ein festes Zeichen a ∈ A. Für ein beliebiges n ∈ N gilt ϕ1(an) = n.

Nichtinjektivität für |A| ≥ 2: Seien a, b ∈ A verschieden, also insbesondere ab 6= ba. Dann istϕ1(ab) = ϕ1(ba) = 2.

2. ϕ2 : 〈Z,+〉 → 〈N,+〉 mit ϕ2(x) = x2 ist kein Homomorphismus, denn

ϕ2(1 + 1) = (1 + 1)2 = 22 = 4 6= 2 = 12 + 12 = ϕ2(1) + ϕ2(1)

3. Sei 〈G,⊕〉 eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann ist

ϕ3 : 〈G,⊕〉 → 〈G/N,⊕N 〉 mit ϕ3(g) = gN

ein Gruppenepimorphismus. Nach der Definition von ⊕N gilt:

ϕ3(a⊕ b) = (a⊕ b)N = aN ⊕N bN = ϕ3(a)⊕N ϕ3(b).

Die Surjektivität ergibt sich unmittelbar aus der Definition von G/N . Für |N | ≥ 2 ist ϕ3

jedoch nicht injektiv, da für a, b ∈ N mit a 6= b dennoch gilt aN = bN .

4. Sei 〈G,⊕〉 eine Gruppe und b ∈ G. Dann ist

ϕb : G→ G mit ϕb(g) = b−1 ⊕ g ⊕ b

119

ein Gruppenautomorphismus.

Homomorphie: Seien g1, g2 ∈ G. Dann gilt:

ϕb(g1 ⊕ g2)Def. ϕb

= b−1 ⊕ (g1 ⊕ g2)⊕ b Ass.= (b−1 ⊕ g1)⊕ (g2 ⊕ b)

Neut.= (b−1 ⊕ g1)⊕ e⊕ (g2 ⊕ b)

Inv.= (b−1 ⊕ g1)⊕ (b⊕ b−1)⊕ (g2 ⊕ b)

Ass.= (b−1 ⊕ g1 ⊕ b)⊕ (b−1 ⊕ g2 ⊕ b)

Def. ϕb= ϕb(g1)⊕ ϕb(g2)

Surjektivität: Sei g ∈ G. Dann gilt mit g′ =df b⊕ g ⊕ b−1:

ϕb(g′)

Def.g′

= b−1 ⊕ (b⊕ g ⊕ b−1)⊕ b Ass.= (b−1 ⊕ b)⊕ g ⊕ (b−1 ⊕ b)

Inv.= e⊕ g ⊕ e Neut.

= g

Injektivität: Seien g1, g2 ∈ G. Dann gilt:

ϕb(g1) = ϕb(g2)Def. ϕb⇒ b−1 ⊕ g1 ⊕ b = b−1 ⊕ g2 ⊕ bRkürz.⇒ b−1 ⊕ g1 = b−1 ⊕ g2⇒ b⊕ (b−1 ⊕ g1) = b⊕ (b−1 ⊕ g2)Ass.⇒ (b⊕ b−1)⊕ g1 = (b⊕ b−1)⊕ g2Inv.⇒ e⊕ g1 = e⊕ g2Neut.⇒ g1 = g2

Abschließend wollen wir noch auf spezielle von Homomorphismen induzierte Gruppenstruktureneingehen.

Definition 8.26 (Kern). Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen mit neutralen Elementen e1 unde2. Für einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G1 → G2 ist der Kern von ϕ die Menge der Elemente,die auf das neutrale Element in G2 abgebildet werden:

Kern(ϕ) =df {x ∈ G1 | ϕ(x) = e2}

Anders ausgedrückt bezeichnet der Kern die Urbildmenge des neutralen Elements der Zielmenge.Diese recht einfache Definition soll dennoch für Z6 beispielhaft bestimmt werden.

Beispiel 8.27 (Kern). ϕ : 〈Z6,+6〉 → 〈Z6,+6〉 mit ϕ(x) = 2x ist ein Gruppenhomomorphismus.Es gilt:

Kern(ϕ) = {0, 3}

Der folgende Satz stellt die Verbindung zum vorangegangenen Abschnitt über Faktorstrukturenher.

Satz 8.28 (Homomorphismen und Gruppenstrukturen). Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppenmit neutralen Elementen e1 und e2. Für einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G1 → G2 gilt:

120

1. Kern(ϕ) bildet einen Normalteiler von G1,

2. Bild(ϕ) = {y ∈ G2 | ∃x ∈ G1. ϕ(x) = y} bildet eine Untergruppe von G2.

Beweis

1. Sei K =df Kern(ϕ). Wir zeigen zunächst, dass K Untergruppe von G1 ist. Seien a, b ∈ K.Wegen ϕ(a ⊕1 b) = ϕ(a) ⊕2 ϕ(b) = e2 ⊕2 e2 = e2 ist K bezüglich ⊕1 abgeschlossen.Wegen ϕ(e1) = e2 ist außerdem e1 ∈ K. Mit Lemma 8.24(2) gilt auch ϕ(a−1) = (ϕ(a))−1 =

e−12 = e2 und somit liegen auch die Inversen in K.

Wir zeigen nun, dass K Normalteiler von G1 ist. Zunächst überlegen wir uns dafür einealternative Normalteilercharakterisierung. Für eine Gruppe 〈G,⊕〉 und deren UntergruppeH gilt nämlich:

(∀ a ∈ G. aHa−1 ⊆ H) ⇔ (∀ a ∈ G. aH = Ha) (∗)

Wir haben zum einen:

(∀ a ∈ G. aHa−1 ⊆ H) ⇒ (∀ a ∈ G. aHa−1a ⊆ Ha) ⇒ (∀ a ∈ G. aH ⊆ Ha)

und zum anderen:

(∀ a ∈ G. aHa−1 ⊆ H) ⇒ (∀ a ∈ G. a−1Ha ⊆ H) ⇒ (∀ a ∈ G. aa−1Ha ⊆ aH)

⇒ (∀ a ∈ G. Ha ⊆ aH)

Zusammen gilt (∀ a ∈ G. aHa−1 ⊆ H) ⇒ (∀ a ∈ G. aH = Ha). Die umgekehrte Richtungist einfach, denn es gilt

(∀ a ∈ G. aH = Ha) ⇒ (∀ a ∈ G. aHa−1 = Haa−1) ⇒ (∀ a ∈ G. aHa−1 = H).

Um zu zeigen, dass K Normalteiler von G1 ist, zeigen wir nun die allgemeinere Behauptung,dass jedes Urbild eines Normalteilers von G2 ein Normalteiler von G1 ist. Da {e2} trivialerNormalteiler von G2 ist, impliziert das insbesondere die Behauptung. Sei alsoN2 Normalteilervon G2 und N1 =df ϕ

−1(N2) dessen Urbild. Dann gilt für a ∈ G1:

ϕ(aN1a−1)

ϕ Hom.= ϕ(a)ϕ(N1)ϕ(a−1)

Lem.8.24= ϕ(a)ϕ(N1)(ϕ(a))−1

Def.N1= ϕ(a)N2(ϕ(a))−1

(∗)⊆ N2

Da das Bild von aN1a−1 in N2 liegt, muss nach Definition von N1 insbesondere aN1a

−1 ⊆ N1

gelten. Gemäß Eigenschaft (*) folgt hieraus aber schon, dass N1 Normateiler von G1 ist.

2. Sei B =df Bild(ϕ). Wir zeigen, dass B Untergruppe von G2 ist. Seien b1, b2 ∈ B. Dannexistieren a1, a2 ∈ G1 mit b1 = ϕ(a1) und b2 = ϕ(a2). Wegen b1 ⊕2 b2 = ϕ(a1) ⊕2

ϕ(a1) = ϕ(a1 ⊕1 a2) ist B bezüglich ⊕2 abgeschlossen. Mit Lemma 8.24(2) gilt außerdemb−11 = (ϕ(a1))−1 = ϕ(a−11 ) ∈ B.

2

121

Beispiel 8.29. Wir greifen Beispiel 8.27 auf, also ϕ : 〈Z6,+6〉 → 〈Z6,+6〉 mit ϕ(x) = 2x. Es istKern(ϕ) = {0, 3}. Da 〈Z6,+6〉 abelsch ist, ist jede Untergruppe gleichzeitig auch Normalteiler.{0, 3} erfüllt offenbar die Untergruppeneigenschaft: Es ist 0 ∈ {0, 3} das einzige von Null verschie-dene Element 3 ist zu sich selbst invers. Die Abgeschlossenheit ist damit sogar schon abgedeckt:Es ist 0 + 0 = 3 + 3 = 0 sowie 3 + 0 = 0 + 3 = 3.

Weiterhin gilt Bild(ϕ) = {0, 2, 4}. Auch hier überzeugt man sich leicht von der Untergruppenei-genschaft.

Im vorigen Abschnitt haben wir auf der Basis von Normalteilern die Faktorgruppe G/N definiert,also aus einer (beliebigen) Gruppe G eine Struktur abgeleitet, die selbst wieder eine Gruppe war,jedoch gewissermaßen auf einer anderen „Ebene“: Elemente von G/N sind Teilmengen von G.

Auf der Basis von Gruppenhomomorphismen lässt sich ähnlich vorgehen. Anhand der Gruppenei-genschaften von G lässt sich zeigen, dass eine Gruppenstruktur auf einer Teilmenge der Gruppen-homomorphismen (genauer: der Automorphismen) existiert. Es gilt:

Satz 8.30 (Automorphismengruppe). Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe G bildetmit der Funktionskomposition ◦ eine Gruppe, die sogenannte Automorphismengruppe.

Beweis Die Funktionskomposition ist offensichtlich assoziativ. Das neutrale Element der Funk-tionskomposition ist die identische Abbildung, die den trivialen Automorphismus darstellt. Nunist noch zu zeigen, dass Automorphismen unter Komposition abgeschlossen sind, sowie dass dieUmkehrfunktion eines Automorphismus wiederum ein Automorphismus ist.

Für die Abgeschlossenheit unter der Komposition zeigen wir die etwas stärkere Aussage, dass dieKomposition von Homomorphismen wiederum ein Homomorphismus ist (dass Bijektivität unterKomposition erhalten bleibt ist bereits aus Kapitel 3 bekannt). Seien also f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉und g : 〈G2,⊕2〉 → 〈G3,⊕3〉 Gruppenhomomorphismen. Für beliebige a, b ∈ G1 gilt

(g ◦ f)(a⊕1 b) = g(f(a⊕1 b)) = g(f(a)⊕2 f(b)) = g(f(a))⊕3 g(f(b)) = (g ◦ f)(a)⊕3 (g ◦ f)(b).

Also ist (g ◦ f) : 〈G1,⊕1〉 → 〈G3,⊕3〉 ein Gruppenhomomorphismus.

Es bleibt die Abgeschlossenheit unter der Bildung inverser Elemente zu zeigen (wiederum ist dieprinzipielle Existenz von inversen Elementen bzgl. ◦ bereits aus Kapitel 3 bekannt, zu zeigen bleibtnoch, dass diese wiederum Homomorphismeneigenschaft haben). Wir zeigen dies allgemein fürIsomorphismen f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉:

f−1(a⊕2 b) = f−1(f(f−1(a))⊕2 f(f−1(b))) = f−1(f(f−1(a)⊕1 f−1(b))) = f−1(a)⊕1 f

−1(b).

Also ist f−1 : 〈G2,⊕2〉 → 〈G1,⊕1〉 ein Gruppenisomorphismus. Dies überträgt sich für den Spezi-alfall 〈G1,⊕1〉 = 〈G2,⊕2〉 natürlich auch auf Automorphismen, womit die Gruppeneigenschaft derAutomorphismengruppe gezeigt ist. 2

122

8.1.7 Schnitte und Produkte algebraischer Strukturen

Bei der Betrachtung von Gruppen (und anderen algebraischen Strukturen) haben wir die Betrach-tung auf die durch die Struktur definierte Verknüpfung auf der Ebene der Elemente konzentriert.Eine Ausnahme stellten Faktorstrukturen, wo aus einer Gruppe G und einem Normalteiler N eineneue Struktur G/N mit der entsprechenden Operation ⊕N konstruiert wurde. Es zeigte sich, dassdiese Struktur selbst wieder die Gruppeneigenschaften erfüllt. Im Folgenden wollen wir Operatio-nen auf zwei (Unter-)Strukturen betrachten. Auch hier interessiert uns, welche Operationen alsErgebnis wieder eine mathematisch interessante Struktur zur Folge haben.

Schnitt von Unterstrukturen. Zunächst betrachten wir den Schnitt zweier Strukturen. Eine na-heliegende Forderung ist hier, dass diese beiden Strukturen Unterstrukturen einer gemeinsamen„Oberstruktur“ sind – ansonsten ist der Schnitt leer, oder die Semantik der Verknüpfung, dasneutrale Element etc. nicht eindeutig definiert.

Lemma 8.31 (Schnitte von Unter(halb)gruppen). Sei 〈G,⊕〉 eine Gruppe (Halbgruppe) und〈H1,⊕〉, 〈H2,⊕〉 ≤ 〈G,⊕〉 Untergruppen (Unterhalbgruppen). Dann gilt: Der Schnitt 〈H1 ∩H2,⊕〉ist ebenfalls eine Untergruppe (Unterhalbgruppe) von G.

Beweis Die Assoziativität der Verknüpfung ⊕ überträgt sich von 〈G,⊕〉. Es sind also die Ab-geschlossenheit (Halbgruppe), sowie die Existenz des neutralen Elements und die Existenz derInversen (Gruppe) nachzuweisen. Man beachte, dass jede Gruppe auch eine Halbgruppe ist.

• Abgeschlossenheit: Seien a, b ∈ H1 ∩H2. Zu zeigen ist, dass a⊕ b ∈ H1 ∩H2 ist. Aus derUntergruppeneigenschaft von H1 folgt, da a, b ∈ H1, dass auch a ⊕ b ∈ H1 ist; analog folgta⊕ b ∈ H2. Damit ist die Aussage offenbar erfüllt.

• Neutrales Element: Sei e ∈ G das neutrale Element von 〈G,⊕〉. Da H1 und H2 Unter-gruppen sind, muss sowohl e ∈ H1 als auch e ∈ H2 (also e ∈ H1 ∩H2) gelten.

• Inverse Elemente: Sei a ∈ H1 ∩ H2. Aus der Gruppeneigenschaft von H1 und H2 folgta−1 ∈ H1 sowie a−1 ∈ H2, also a−1 ∈ H1 ∩H2.

2

Es fällt auf, dass in Lemma 8.31 keine Aussage über den Schnitt von Untermonoiden getroffenwurde. In der Tat sind Monoide nicht unter Schnittbildung abgeschlossen. Dies lässt sich anhandvon Beispiel 8.12 veranschaulichen: Es sei M = {a, b} mit a ⊕ a = a und b ⊕ x = x ⊕ b = b fürx ∈ {a, b}. Echte Untermonoide sind M1 = {a} sowie M2 = {b}, beide Elemente sind (bezogen aufdas jeweilige Untermonoid) neutral. Der Schnitt M1 ∩M2 ist jedoch leer, kann also insbesonderekein neutrales Element enthalten.

Aus Kapitel 3 wissen wir, dass Äquivalenzrelationen unter Schnittbildung abgeschlossen sind, nichtjedoch unter der Vereinigungsoperation. Dies liegt daran, dass die Vereinigung im Allgemeinen nichtausreichend ist, um Transitivität sicherzustellen. Eine ähnliche Problematik ergibt sich auch bei derBetrachtung der Vereinigung von Gruppen: Die Abgeschlossenheit ist im Allgemeinen nicht erfüllt

123

(daraus folgt insbesondere, dass schon die Vereinigung zweier Unterhalbgruppen im Allgemeinenkeine Halbgruppe ist). Wir betrachten hierzu das Beispiel 〈Z6,+6〉 mit den Untergruppen H1 =

{0, 2, 4} und H2 = {0, 3}. Die Vereinigung H1 ∪H2 = {0, 2, 3, 4} bildet jedoch keine Untergruppe:Es gilt 2, 3 ∈ H1 ∪H2, aber 2 +6 3 = 5 /∈ H1 ∪H2.

Kartesisches Produkt von Strukturen. Aus den Übungen ist bereits bekannt, dass für (vollstän-dige) algebraische Verbände (A,fA,gA) sowie (B,fB ,gB) auch (A×B,f,g) ein (vollständiger)algebraischer Verband ist. Die Operationen f und g auf dem Produktverband A × B sind durchkomponentenweise Anwendung von fA und fB bzw. gA und gB definiert, es gilt

(a1, b1) f (a2, b2) =df (a1 fA a2, b1 fB b2)

(a1, b1) g (a2, b2) =df (a1 gA a2, b1 gB b2)

Für algebraische Strukturen mit einer Operation ist eine vollständig analoge Definition möglich: ZuHalbgruppen (Monoiden, Gruppen) 〈A,⊕A〉 und 〈A,⊕A〉 definieren wir das Produkt als Struktur〈A×B,⊕〉, wobei die Verknüpfung wie folgt definiert ist:

(a1, b1)⊕ (a2, b2) =df (a1 ⊕A a2, b1 ⊕B b2).

Die Eigenschaften dieser Produktstruktur beschreibt das folgende Lemma.

Lemma 8.32. Seien 〈A,⊕A〉 und 〈B,⊕B〉 Halbgruppen (Monoide, Gruppen). Dann gilt: Das Pro-dukt 〈A×B,⊕〉 ist ebenfalls eine Halbgruppe (ein Monoid, eine Gruppe).Sind A und B (mindestens) Monoide, und sind eA bzw. eB die neutralen Elemente in A bzw. B,so ist (eA, eB) das neutrale Element des Produktmonoids.Sind A und B Gruppen, und sind zu a ∈ A, b ∈ B die inversen Elemente jeweils a−1 und b−1, soist (a−1, b−1) in der Produktgruppe das zu (a, b) inverse Element.

Beweis Die Abgeschlossenheit ist trivial: Da A und B unter ⊕A bzw. ⊕B abgeschlossen sind, folgt

(a1, b1)⊕ (a2, b2) = (a1 ⊕A a2︸ ︷︷ ︸∈A

, b1 ⊕B b2︸ ︷︷ ︸∈B

)

︸ ︷︷ ︸∈A×B

.

In allen Fällen ist weiterhin die Assoziativität zu zeigen. Diese lässt sich reduzieren auf die Asso-ziativität der Strukturen 〈A,⊕A〉 und 〈B,⊕B〉:

((a1, b1)⊕ (a2, b2))⊕ (a3, b3)Def. ⊕

= (a1 ⊕A a2, b1 ⊕B b2)⊕ (a3, b3)Def. ⊕

= ((a1 ⊕A a2)⊕A a3, (b1 ⊕B b2)⊕B b3)⊕A,⊕B assoz.

= (a1 ⊕A (a2 ⊕A a3), b1 ⊕B (b2 ⊕B b3))Def. ⊕

= (a1, b1)⊕ (a2 ⊕A a3, b2 ⊕B b3)Def. ⊕

= (a1, b1)⊕ ((a2, b2)⊕ (a3, b3))

Sind A und B (mindestens) Monoide, so ist zu zeigen, dass für alle (a, b) ∈ A×B gilt: (eA, eB)⊕(a, b) = (a, b) ⊕ (eA, eB) = (a, b). Der Beweis folgt einem ähnlichen Schema wie der Beweis der

124

Assoziativität.

(eA, eB)⊕ (a, b)Def. ⊕

= (eA ⊕A a, eB ⊕B b)eA, eB neutr.

= (a⊕A eA, b⊕B eB)[

= (a, b)⊕ (ea, eb)]

eA, eB neutr.= (a, b)

Für den Fall, dass A und B sogar Gruppen sind, ist die Eigenschaft der inversen Elemente zuzeigen. Für alle (a, b) ∈ A×B gilt:

(a−1, b−1)⊕ (a, b)Def. ⊕

= (a−1 ⊕A a, b−1⊕B)

a−1, b−1 inv.= (a⊕A a

−1, b⊕B b−1)[

= (a, b)⊕ (a−1, b−1)]

a−1, b−1 inv.= (eA, eB)

2

Es sei an dieser Stelle noch angemerkt, dass – da die spezifischen Struktureigenschaften erhaltenbleiben – sich dies auf beliebige Produkte A1 ×A2 × · · · ×An verallgemeinern lässt. Insbesondereist für n ∈ N+ zu einer Gruppe 〈G,⊕G〉 auch 〈Gn,⊕〉 eine Gruppe (selbiges gilt für Halbgruppen,Monoide, und auch für Verbände). Dies stellt einen wichtigen Unterschied zu den im nächstenAbschnitt betrachteten Strukturen mit zwei Verknüpfungen dar, wo eine solche Übertragung nichtmöglich ist.

Wir wollen abschließend noch die Übertragung von Homomorphismen, d.h. strukturerhaltendenAbbildungen, auf Produktstrukturen betrachten.

Lemma 8.33 (Produktstruktur-Homomorphismen). Seien 〈A1,⊕A1〉, 〈B1,⊕B1

〉, 〈A2,⊕A2〉 sowie

〈B2,⊕B2〉 Halbgruppen (Monoide, Gruppen), und seien ferner hA : 〈A1,⊕A1〉 → 〈A2,⊕A2〉 so-wie hB : 〈B1,⊕B1

〉 → 〈B2,⊕B2〉 Halbgruppen- (Monoid-, Gruppen-)Homomorphismen. Dann ist

h : A1 ×B1 → A2 ×B2 mith((a, b)) =df (hA(a), hB(b))

ein Halbgruppen- (Monoid-, Gruppen-)Homomorphismus von 〈A1 × B1,⊕1〉 nach 〈A2 × B2,⊕2〉,wobei ⊕1 und ⊕2 wie üblich durch komponentenweise Anwendung von ⊕A1

und ⊕B1bzw. ⊕A2

und⊕B2

definiert sind.

Beweis Für Halbgruppen und Gruppen genügt es, die Homomorphieeigenschaft nachzuweisen. Füralle (a, b) ∈ A1 ×B1 gilt:

h((a, b)⊕1 (a′, b′))Def. ⊕1= h((a⊕A1

a′, b⊕B1b′))

Def. h= (hA(a⊕A1 a

′), hB(b⊕B1 b′))

hA, hB Hom.= (hA(a)⊕A2 hA(a′), hB(b)⊕B2 hB(b′))

Def. ⊕2= (hA(a), hB(b))⊕2 (hA(a′), hB(b′))Def. h

= h((a, b))⊕2 h((a′, b′)).

Für Monoide ist zusätzlich noch zu zeigen, dass die neutralen Elemente aufeinander abgebildetwerden. Da diese Forderung jedoch auch für hA und hB gelten muss, ist der Beweis trivial. 2

125

8.2 Mengen mit zwei Verknüpfungen

Bei den bislang betrachteten Strukturen trat der Zahlbereich Z der ganzen Zahlen in zwei ver-schiedenen Rollen auf: Bei der Betrachtung der Multiplikation 〈Z, ·〉 lag ein kommutatives Monoidmit neutralem Element 1 vor, bei der Betrachtung der Addition sogar eine kommutative Gruppe〈Z,+〉 mit neutralem Element 0. Hierbei blieb ein Zusammenhang von Addition und Multiplika-tion jedoch unberücksichtigt. Dass dies keineswegs angemessen ist, wissen wir spätestens seit derinduktiven Definition der Multiplikation auf Grundlage der Peano-Axiome aus Kapitel 4, die alswiederholte Addition definiert wurde.

Formal gesehen wird im Unterschied zum vorigen Abschnitt die Struktur also nicht aus einer Mengesamt einer Verknüpfung gebildet, sondern wir betrachten gleichzeitig zwei Verknüpfungen auf einereinzelnen Trägermenge. Derartige Strukturen existieren in vielen Bereichen der Mathematik, sodass auch hier entsprechende algebraische Strukturen entstanden sind.

8.2.1 Ringe

Die einfachste algebraische Struktur mit zwei Verknüpfungen, die der Ringe, ist eine Verallgemei-nerung der wesentlichen Eigenschaften der ganzen Zahlen. Die Theorie der Ringe liefert bereitsweitreichende Resultate, die Anwendung auch in anderen Strukturen wie Polynomringen und qua-dratischen Matrizen haben.

Definition 8.34 (Ring). Eine Menge R mit Operationen ⊕ und � heißt Ring genau dann, wenn

• 〈R,⊕〉 bildet eine kommutative Gruppe,

• 〈R,�〉 bildet eine Halbgruppe,

• Es gelten die Distributivgesetze:

∀a, b, c ∈ R. a� (b⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)∀a, b, c ∈ R. (a⊕ b)� c = (a� c)⊕ (b� c)

Ein Ring 〈R,⊕,�〉 heißt kommutativ genau dann, wenn auch 〈R,�〉 kommutativ ist.

Man beachte, dass lediglich die Forderung der Distributivität die beiden Operationen ⊕ und �in Beziehung setzt. Für den Nachweis bzw. die Untersuchung der beiden anderen Forderungenkönnen die Strukturen 〈R,⊕〉 sowie 〈R,�〉 isoliert betrachtet werden. Aus naheliegenden Gründenbezeichnet man ⊕ als additive und � als multiplikative Verknüpfung des Ringes, diese Bezeichnun-gen überträgt man auch auf die jeweiligen Teilstrukturen.

Das neutrale Element bezüglich ⊕ bezeichnet man als Nullelement oder kurz 0 des Ringes. Existiertauch ein neutrales Element bezüglich � (d.h. ist 〈R,�〉 sogar ein Monoid), so bezeichnet mandieses als Einselement oder kurz 1 des Ringes. In diesem Fall spricht man von einem „Ring mitEinselement“. In einem Ring verwendet man die Notation −a (anstelle von a−1) für die Inversen

126

der additiven Gruppe. Für jedes Element a eines Ringes gilt a� 0 = 0� a = 0, denn

0⊕ (0� a) = 0� a = (0⊕ 0)� a Dist.= (0� a)⊕ (0� a).

Mit der Rechtskürzungsregel folgt dann 0 = 0 � a. Die Aussage 0 = a � 0 lässt sich analognachweisen.

Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele für Ringe.

Beispiel 8.35 (Ringe).

• 〈Z,+, ·〉 ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1.

• 〈mZ,+, ·〉 mit mZ =df {m · z | z ∈ Z} für m ∈ N+ sind kommutative Ringe. Für m > 1 istaber kein Einselement vorhanden.

• 〈P(M),∆,∩〉 (Potenzmenge, symmetrische Differenz, Schnittmenge) ist kommutativer Ringmit Einselement.a Offenbar ist 〈P(M),∩〉 kommutative Halbgruppe mit neutralem Ele-ment M . 〈P(M),∆〉 ist sogar kommutative Gruppe mit neutralem Element ∅. Die sym-metrische Differenz ist offensichtlich kommutativ und ∅ neutrales Element. Mit A∆B =

(A ∩ B{) ∪ (A{ ∩ B) lässt sich die Assoziativität, wenn auch mit einigem Rechenaufwand,nachweisen. Schließlich ist jede Menge zu sich selbst invers, denn A∆A = ∅. Den Nachweisder Distributivität überlassen wir an dieser Stelle dem Leser zur Übung.

• R[x] =df 〈{∑n

i=0 aixi | n ∈ N, ai ∈ R},+, ·〉 (Polynome mit reellen Koeffizienten) ist ein

kommutativer Ring. Hierbei bezeichnen + und · die Polynomaddition und -multiplikation.Null- und Einselement sind die konstante 0- bzw. 1-Funktion.

• Die n× n-Matrizen (n ∈ N+) über R bilden einen nichtkommutativen Ring mit Einselement(siehe Satz 10.1.4).

aMan beachte, dass 〈P(M),∪,∩〉 kein Ring ist. Zwar ist 〈P(M),∪〉 kommutative Halbgruppe mit neutralem Ele-ment ∅ und 〈P(M),∩〉 kommutative Halbgruppe mit neutralem Element M , aber die Mengenkomplemente sindkeine geeigneten Inversen. Bzgl. der Vereinigung gilt A ∪ A{ = M und nicht etwa A ∪ A{ = ∅. Ebenso giltA ∩A{ = ∅ und nicht etwa A ∩A{ = M .

Analog zum Begriff der Untergruppe bildet eine nichtleere Teilmenge R′ ⊆ R eines Ringes 〈R,⊕,�〉einen Unterring, wenn 〈R′,⊕,�〉 ein Ring ist. Da sämtliche Eigenschaften der Verknüpfung sichauf die Teilmenge übertragen (nachzuweisen ist erneut nur die Abgeschlossenheit sowie das Ent-haltensein der geforderten speziellen Elemente), ist ein Unterring eines kommutativen Ringes tri-vialerweise wieder kommutativ. Wie das Beispiel 2Z ⊆ Z zeigt, muss ein Unterring aber nichtnotwendigerweise ein Einselement enthalten, selbst wenn der Oberring ein Einselement besitzt. Alstriviale Unterringe eines Rings 〈R,⊕,�〉 bezeichnet man 〈R,⊕,�〉 selbst sowie 〈{0},⊕,�〉. Hierbeiist zu beachten, dass letzterer in keinem Fall ein Einselement enthält.

Beispiel 8.36. Ring Z8 mit Unterring {0, 2, 4, 6}.

127

0

1

2

3

4

5

6

7

Weitere Unterringe: Z8 selbst, {0} sowie {0, 4}.

8.2.2 Ideale

Für Ringe lässt sich eine zu den Nebenklassen für Gruppen analoge Konstruktion durchführen:

Definition 8.37 (Ideale). Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring. I ⊆ R heißt Linksideal, genau dann wenn

1. 〈I,⊕〉 ist Untergruppe von 〈R,⊕〉

2. ∀a ∈ I, r ∈ R. r � a ∈ I

Ersetzt man die zweite Bedingung durch

2’. ∀a ∈ I, r ∈ R. a� r ∈ I

erhält man analog den Begriff des Rechtsideals. Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring, so sind diebeiden Bedingungen offensichtlich äquivalent.

Die Bedingung aus Punkt 2) lässt sich auch kurz schreiben als r � I ⊆ I, wobei r � I =df

{r � a | a ∈ I}. Analoges gilt für Bedingung 2’).

I ⊆ R heißt Ideal genau dann, wenn I Links- und Rechtsideal ist. Wir schreiben in Anlehnung andie Normalteilereigenschaft dann I / R.

Offensichtlich ist jedes Ideal auch ein Unterring.

Beispiel 8.38 (Ideale).

• Für jedes m ∈ N+ ist der Unterring mZ von Z ein Ideal.

• Die endlichen und co-endlichena Teilmengen von N bilden einen Unterring von 〈P(N),∆,∩〉,denn die (co-)endlichen Teilmengen sind bezüglich Schnitten, Vereinigung und Komplement-bildung abgeschlossen. Es liegt aber kein Ideal vor, denn der Schnitt der co-endlichen MengeN mit der Menge der geraden Zahlen Nger ist Nger, welche weder endlich noch co-endlich ist.

128

• Polynome p ∈ R[x] mit p(1) = 0 sind ein Ideal der Menge der Polynome mit reellen Koeffizi-enten (siehe Beispiel 8.35).

aEine Teilmenge A ⊆ N heißt co-endlich genau dann, wenn A{ endlich ist.

Wegen Definition 8.37(1) ist jedes Ideal insbesondere nicht leer, wegen der Kommutativität deradditiven Gruppe sogar ein Normalteiler von 〈R,⊕〉. Ist R kommutativ, so fallen die Begriffe Links-ideal, Rechtsideal und Ideal zusammen. Ein Links- bzw. Rechtsideal, das ein eventuell vorhandenesEinselement enthält, ist immer schon der ganze Ring. Die trivialen Untergruppen 〈R,⊕,�〉 sowie〈{0},⊕,�〉 sind ebenfalls Ideale, die trivialen Ideale. Besitzt ein Ring nur triviale Ideale, so nenntman ihn einfach.

Ideale besitzen ein Reihe von Abgeschlossenheitseigenschaften:

Satz 8.39 (Abgeschlossenheitseigenschaften von Idealen).Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und I, J / R beliebige Ideale. Dann gilt:

1. I ∩ J / R

2. I + J =df {a⊕ b | a ∈ I, b ∈ J} / R

Beweis Wir zeigen exemplarisch die Linksidealeigenschaft. Die Rechtsidealeigenschaft lässt sichanalog beweisen.

1. Seien a, r ∈ R Dann gilt:

a ∈ I ∩ J ⇒ a ∈ I ∧ a ∈ J ⇒ r � a ∈ I ∧ r � a ∈ J ⇒ r � a ∈ I ∩ J.

2. Seien a, b, r ∈ R Dann gilt:

a⊕ b ∈ I + J ⇒ a ∈ I ∧ b ∈ J ⇒ r � a ∈ I ∧ r � b ∈ J ⇒ (r � a)⊕ (r � b) ∈ I + J

⇒ r � (a⊕ b) ∈ I + J.

2

Als Konsequenz von Satz 8.39 folgt, dass die Menge aller Ideale selbst wieder eine uns vertrauteStruktur bilden.

Satz 8.40 (Verband der Ideale). Die Menge aller Ideale eines Ringes 〈R,⊕,�〉 bildet einenalgebraischen Verband, nämlich

〈{I | I / R},+,∩〉

Beweis Die Abgeschlossenheit der Operationen + und ∩ wurde bereits in Satz 8.39 gezeigt. Of-fensichtlich sind beide Operationen auch assoziativ und kommutativ. Es bleiben die Absorptions-eigenschaften I + (I ∩ J) = I und I ∩ (I + J) = I nachzuweisen. Betrachten wir zunächst die ersteEigenschaft. Hier gilt zunächst die Inklusion I ⊆ I + (I ∩ J), weil I ∩ J das Nullelement enthält.Umgekehrt gilt I + (I ∩ J) = {a⊕ b | a ∈ I ∧ b ∈ I ∩ J} ⊆ I.

129

Nun betrachten wir die zweite Absorptionseigenschaft. Es gilt offensichtlich I ∩ (I + J) ⊆ I. Da Jdas Nullelement enthält, gilt I + J ⊇ I. Dann gilt auch I ∩ (I + J) ⊇ I. 2

Analog zur Konstruktion einer Faktorgruppe mittels eines Normalteilers lassen sich Ringe gemäßihrer Ideale faktorisieren. Die entstehende Struktur bildet, analog zur Faktorgruppe, einen Fak-torring.

Lemma 8.41 (Faktorring). Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und I ein Ideal von R. Dann ist 〈R/I,⊕I ,�I〉ein Ring, der sogenannte Faktorring von R bezüglich I.

Dabei ist R/I und ⊕I definiert wie in Lemma 8.21 – im Unterschied dazu verwenden wir aber dieSchreibweise (a⊕ I) statt aI – und �I durch:

(a⊕ I)�I (b⊕ I) =df (a� b)⊕ I

Beweis Weite Teile des Beweises lassen sich exakt aus dem Beweis zu Lemma 8.21 übertragen.Analog zum Beweis der Repräsentantenunabhängigkeit von ⊕I kann dies auch für �I gezeigtwerden. Die Assoziativität von �I und somit Halbgruppeneigenschaft von 〈R/I,�I〉 ist hingegentrivial. 2

8.2.3 Homomorphismen

Auch auf Strukturen mit zwei Operationen lässt sich der Homomorphiebegriff ausdehnen. Hierwird die Strukturverträglichkeit dann bezüglich beider Operationen gefordert. Exemplarisch fürRinge haben wir:

Definition 8.42 (Ringhomomorphismus).Seien 〈R,⊕R,�R〉 und 〈S,⊕S ,�S〉 Ringe. Eine Funktion

f : R→ S

heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn für alle a, b ∈ R gilt:

1. f(a⊕R b) = f(a)⊕S f(b) und

2. f(a�R b) = f(a)�S f(b)

Sind R und S Ringe mit Einselement, also solche, für die 1R und 1S existieren, so gilt zusätzlich:a

3) f(1R) = 1S .

aDiese Bedingung ist ohnehin erfüllt, wenn f surjektiv ist.

Beispiele für Ringhomomorphismen sind:

130

Beispiel 8.43.

• Die Abbildung ganzer Zahlen auf Modulo-Restklassen:

ϕn : 〈Z,+, ·〉 → Z/nZ mit

z 7→ (z mod n)Z

• Der Auswertungshomorphismus für Polynome mit reellen Koeffizienten für festes r ∈ R:

αr : R[x]→ 〈R,+, ·〉 mitn∑

i=0

aixi 7→

n∑i=0

airi

Als Verallgemeinerung des ersten Beispiels haben wir folgendes Resultat:

Satz 8.44. Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und I ein Ideal von R. Dann bildet die Funktion

f : R→ R/I mit

a 7→ a⊕ I

einen Ringepimorphismus.

Beweis Für die ⊕-Strukturverträglichkeit haben wir:

f(a⊕ b) = (a⊕ b)⊕ I = (a⊕ I)⊕I (b⊕ I) = f(a)⊕I f(b).

Die �-Strukturverträglichkeit ist analog. Die Surjektivität ist offensichtlich. 2

Die Ringe 〈Zn,+, ·〉 und die Faktorringe 〈Z/nZ,+, ·〉 für n ∈ N+ sind sogar isomorph. Man kannleicht nachweisen, dass die Abbildung z 7→ z + nZ in der Tat ein Ringisomorphismus ist.

Analog zu Satz 8.28(1) haben wir außerdem:

Satz 8.45. Seien 〈R1,⊕1,�1〉 und 〈R2,⊕2,�2〉 Ringe mit Nullelementen 01 und 02 sowief : 〈R1,⊕1,�1〉 → 〈R2,⊕2,�2〉 ein Ringhomomorphismus. Dann gilt

Kern(f) =df {a ∈ R | f(a) = 02}

bildet ein Ideal.

Beweis Im Beweis zu Satz 8.28(1) wurde bereits gezeigt, dassKern(f) ein Normalteiler zu 〈R1,⊕1〉und damit insbesondere Untergruppe ist. Sei a ∈ Kern(f) und r ∈ R1. Dann gilt:

f(a�1 r)f Hom.

= f(a)�2 f(r)a∈Kern(f)

= 02 �2 f(r) = 02.

131

Analog folgt f(r �1 a) = 0. Also gilt a�1 r ∈ Kern(f) und r �1 a ∈ Kern(f). 2

Schließlich sei noch auf einen interessanten Zusammenhang mit der Verbandsstruktur der Ideale(siehe Satz 8.40) hingewiesen, denn es gilt:

Lemma 8.46. Die Abbildung

f : 〈{nZ | n ∈ N+},⊇〉 → 〈N, |〉, nZ 7→ n

aller Ideale nZ ⊆ Z nach 〈N, |〉 ist ein Ordnungshomomorphismus auf Verbänden.

Der Zusammenhang wird im der folgenden Abbildung graphisch veranschaulicht. Man beachte,dass auch 0Z = {0} das bezüglich ⊇ maximale Element darstellt.

1 · Z

2 · Z 3 · Z 5 · Z

4 · Z 6 · Z

...

1

2 3 5

4 6

...

8.2.4 Integritätsbereiche und Körper

In Ringen sind noch nicht alle Eigenschaften ganzer Zahlen adäquat abgebildet. Insbesondere diebesondere Rolle der 0 für die Multiplikation ist nur teilweise berücksichtigt. Dieser wird durch dieDefinition der Integritätsbereiche Rechnung getragen. Hierzu benötigen wir zunächst das Konzeptder Nullteiler.

Definition 8.47 (Nullteiler). Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring. Ein Element a ∈ R mit a 6= 0 heißt Nullteilerin R genau dann, wenn

∃b ∈ R. b 6= 0 ∧ (a� b = 0 ∨ b� a = 0).

Existieren in einem Ring keine Nullteiler, so heißt er nullteilerfrei.

Beispiel 8.48 (Nullteiler).

• 〈Z,+, ·〉 ist nullteilerfrei

• 〈Z7,+7, ·7〉 ist nullteilerfrei.

• 〈Z6,+6, ·6〉 ist nicht nullteilerfrei. Nullteiler sind 2, 3 und 4, denn 2 ·6 3 = 0 und 3 ·6 4 = 0.

Man definiert dann:

132

Definition 8.49 (Integritätsbereich). Ist 〈R,⊕,�〉 ein nullteilerfreier kommutativer Ring mitEinselement, so heißt 〈R,⊕,�〉 Integritätsbereich.

Man erkennt leicht, dass 〈Zn,+n, ·n〉 genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn n eine Primzahlist. Da Zn isomorph zu Z/nZ ist, bietet sich hier eine Verallgemeinerung an. Hierfür benötigen wirzunächst eine Spezialisierung des Idealbegriffs.

Definition 8.50 (Primideal). Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring und P ⊂ R ein Ideal von R,so heißt P Primideal genau dann, wenn

∀a, b ∈ R. a� b ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P.

Die spezielle Eigenschaft der mittels Primidealen gebildeten Faktorringe

Satz 8.51 (Primideal). Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring und P ⊂ R ein Ideal von R. Danngilt:

R/P nullteilerfrei ⇔ P Primideal.

Beweis Wegen Satz 8.44 ist f : R → R/P Ringepimorphismus. Wie man sich leicht überlegt,gilt dabei insbesondere Kern(f) = P . Damit genügt es dann allgemein zu zeigen, dass für jedenRingepimorphismus ϕ : 〈R,⊕R,�R〉 → 〈S,⊕S ,�S〉 gilt:

S nullteilerfrei ⇔ Kern(ϕ) Primideal

Für die ⇒-Richtung betrachten wir r1, r2 ∈ R mit r1 �R r2 ∈ Kern(ϕ). Dann gilt:

ϕ(r1 �R r2) = 0 ⇒ ϕ(r1) �S ϕ(r2) = 0Vor.⇒ ϕ(r1) = 0 ∨ ϕ(r2) = 0

⇒ ϕ(r1) ∈ Kern(ϕ) ∨ ϕ(r2) ∈ Kern(ϕ)

Für die ⇐-Richtung nehmen wir an, dass Kern(ϕ) Primideal ist. Seien nun s1, s2 ∈ S mit s1 �S

s2 = 0. Wegen der Surjektivität von ϕ existieren r1, r2 ∈ R mit ϕ(r1) = s1 und ϕ(r2) = s2. Danngilt:

s1 �S s2 = 0 ⇒ ϕ(r1) �S ϕ(r2) = 0 ⇒ ϕ(r1 �R r2) = 0 ⇒ r1 �R r2 ∈ Kern(ϕ)

Vor.⇒ r1 ∈ Kern(ϕ) ∨ r2 ∈ Kern(ϕ) ⇒ ϕ(r1) = 0 ∨ ϕ(r2) = 0

⇒ s1 = 0 ∨ s2 = 0

2

Unmittelbare Folge von Satz 8.52 ist:

Korollar 8.52 (Primideal). Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring mit 1 und P Primideal von R,so ist R/P Integritätsbereich.

133

Beweis Die Nullteilerfreiheit von R/P gilt nach Satz 8.52. Es bleibt nur zu zeigen, dass 0 6= 1

gilt. Wäre 0 = 1, so würde 1 ∈ Kern(f) gelten, wobei f : R→ R/P der in Satz 8.44 beschriebeneRingepimorphismus ist. Wegen Kern(f) = P folgt insbesondere 1 ∈ P . Wie bereits festgestellt,ist ein Ideal, das die 1 enthält immer schon der ganze Ring. Dieses steht aber im Widerspruch zuP ⊂ R. 2

In Strukturen wie den rationalen oder reellen Zahlen existieren auch multiplikativ inverse Elemen-te. Dem wird durch einer weiteren Verfeinerung des Begriffes desb Integritätsbereiches Rechnunggetragen.

Definition 8.53 (Körper). Ein Integritätsbereich 〈R,⊕,�〉 heißt Körper genau dann, wenn〈R\{0},�〉 eine kommutative Gruppe ist.

Liegt mit 〈R\{0},�〉 nur eine (nicht notwendig kommutative) Gruppe vor, spricht man von einemSchiefkörper. Gemäß Definition ist jeder Körper auch ein Integritätsbereich. Der Umkehrschlussgilt jedoch nicht wie man am Beispiel von 〈Z,+, ·〉 erkennen kann (3 besitzt z.B. kein multiplikativInverses).

Beispiel 8.54 (Körper).

• 〈Z,+, ·〉 ist kein Körper, denn die multiplikativ Inversen fehlen.

• 〈Zp,+p, ·p〉 (p Primzahl) ist Körper.a

• 〈Q,+, ·〉 ist ein Körper.

• 〈R,+, ·〉 ist ein Körper.aDie Existenz der Inversen folgt aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus.

134

Index

n-stellige Relation, 33Äquivalenzklassen, 46Äquivalenzrelation, 45

Ableitungsrelation, 68Alphabet, 64

Backus-Naur-Form, 67Beweisprinzip

Auflösung Quantoren, 39Kontraposition, 38Noethersche Induktion, 82Verallgemeinerte Induktion, 85Vollständige Induktion, 90Widerspruchsbeweis, 43

Bitvektor, 32Charakteristischer Bitvektor, 32

Cantorsches Diagonalverfahren, 41

Fibonacci-Zahlen, 85Funktion, 36

Bijektivität, 37Injektivität, 37Partiell definierte Funktion, 45Surjektivität, 37

Gruppe, 109Alternierende Gruppe, 116Faktorgruppe, 116Nebenklasse, 114

Linksnebenklasse, 114Rechtsnebenklasse, 114

Normalteiler, 116Symmetrische Gruppe, 112Untergruppe, 111

Halbaddierer, 17Halbgruppe, 107

Hasse-Diagramm, 79Homomorphismus

Bild, 121Kern, 120Ringhomomorphismus, 130

InduktionNoethersche, 81Verallgemeinerte, 85Vollständige, 89

Infixnotation, 34

Junktoren, 14

Kardinalzahlen, 50Kartesisches Produkt, 31

Lineare Ordnung, 78

Maximales Element, 80Menge

Überabzählbarkeit, 42Mächtigkeit, 27

MengensystemPotenzmenge, 24

Minimales Element, 80

Nachbarschaftsordnung, 79Noethersche Induktion, 81Noethersche Quasiordnung, 81Nullteiler, 132

Ordnungshomomorphismus, 104

Partielle Ordnung, 75Infimum, 94Obere Schranke, 94Supremum, 94Untere Schranke, 94

Partition, 46

135

Peano-Axiome, 54Permutation, 112Potenzmenge, 24Prädikatenlogik, 18, 55Präferenzordnung, 78Präordnung, 77

Quasi-Ordnung, 77Quasiordnung

Kern, 77

RelationHomogene Relation, 35Identische Relation, 34Linkseindeutigkeit, 35Linkstotalität, 36Produktrelation, 34Rechtseindeutigkeit, 35Rechtstotalität, 36Teilbarkeitsrelation, 19Umkehrrelation, 34

Ring, 126Ideal, 128

Linksideal, 128Rechtsideal, 128

Russelsche Antinomie, 27

Satz von Lagrange, 113Semantikschemas, 65Striktordnung, 78Syntaktische Substitution, 59

Teilmenge, 23Totale Ordnung, 78Totale Quasiordnung, 78

Venn-Diagramm, 23, 25Verband, 94

Algebraischer Verband, 96Ideale eines Rings, 129

Boolescher Verband, 100Distributiver Verband, 100Funktionenverband, 103Ordnungsstruktureller Verband, 96Produktverband, 102Untergruppenverband, 113Vollständiger Verband, 98

Zeichenreihe, 64

136