Mathematik II - iaa.tu-bs.de · f erlaubt Mathematik II f ur Studierende der E-Technik Prof. Dr....

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URF–Reproduktionnur furnichtkommerzielleZweckeerlaubt

Mathematik IIfur Studierende der E-Technik

Prof. Dr. Volker Bach

Technische Universitat BraunschweigSommersemester 2019

Version vom 06.06.2019

Diese Vorlesung ist eine Einfuhrung in die Analysis mehrerer reeller Veranderlichen, Integra-tionstheorie und Vektoranalysis sowie die Theorie der Fouriertransformation. Jedes Kapitelenthalt am Schluss neben dem in der Vorlesung behandelten und somit prufungsrelevantenStoff dargestellt noch einen Abschnitt mit (nicht prufungsrelevanten) Erganzungen, d.h. Be-weise und Beispiele, die wegen der Fulle des Materials in der Vorlesung nicht behandelt werdenkonnen.

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Inhaltsverzeichnis

I Metrische Raume, Banachraumeund Hilbertraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.1 Topologie metrischer Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2 Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.3 Banachraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.4 Hilbertraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5 Schwartzsche Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.6 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.6.1 Beweis von Glg. (I.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.6.2 Aquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit . . . . . . . . . . . . 17

II Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.1 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.1.1 Kommutatorlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.1.2 Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge . . . . . . . . . . . . . 30

III Differentiation von Funktionenmehrerer Veranderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III.1 Partielle und stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III.2 Beschrankte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III.3 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.4 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.4.1 Eigenschaften der Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.4.2 Aquivalenz von Stetigkeit und Beschrankheitlinearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.4.3 Beweis der Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.4.4 Totale und partielle stetige Differenzierbarkeitsind gleichwertig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

IV Richtungsableitungund Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV.1 Der Satz von Taylor in mehreren Veranderlichen . . . . . . . . . . . . . . 46

IV.2 Gradient, Richtungsableitungund Hessesche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

IV.3 Kritische Punkte undExtremalwerte bei mehreren Veranderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV.4 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV.4.1 Beweis von Korollar IV.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV.4.2 Das Minimax-Prinzip fur Matrizen (Lemma IV.8) . . . . . . . . . . 57

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INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS

V Umkehrfunktionen undImplizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V.1 Umkehrfunktionen undlokale Invertibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V.2 Lokale Auflosbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64V.3 Extrema mit Nebenbedingungen

und Lagrangesche Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67V.4 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

V.4.1 Beweis von Lemma V.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74V.4.2 Detaillierter Beweis des Satzes V.4

uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

VI Maßtheoretische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79VI.1 Ringe und Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79VI.2 Sigma-Algebren und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81VI.3 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

VI.3.1 Ringe und Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84VI.3.2 Pramaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VI.3.3 σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91VI.3.4 Das außere Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93VI.3.5 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

VII Integration uber Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VII.1 Messbare Funktionen und

Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VII.2 Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103VII.3 Die Konvergenzsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103VII.4 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VII.4.1 Riemann-Integrabilitat monotoner Funktionen . . . . . . . . . . . . 108VII.4.2 Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111VII.4.3 Die Konvergenzsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114VII.4.4 Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VIII Produktmaße, Fubiniund die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

VIII.1 Produktmaße und der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121VIII.2 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123VIII.3 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

VIII.3.1 Produkt-σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127VIII.3.2 Das Produkt zweier Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128VIII.3.3 Faltung und Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133VIII.3.4 Beweis der Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

IX Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142IX.1 Topologische Raume, Homoomorphismen

und Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

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IX.2 Parametrisierungen undeingebettete Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

IX.3 Tangentialraum undGramsche Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

IX.4 Integrale uberparametrisierte Hyperflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

IX.5 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153IX.5.1 Aquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

X Gaußscher Satz undStokesscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

X.1 Normalenvektoren und Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155X.2 Mannigfaltigkeiten mit Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158X.3 Der Gaußsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159X.4 Stokesscher Satz in R2 und R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165X.5 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

X.5.1 Norm des Normalenvektors und Gramsche Determinante . . . . . . 170X.5.2 Beweis des Stokesschen Satzes in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

XI GewohnlicheDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

XI.1 Definitionen von Differenzialgleichungenund Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

XI.2 Explizit losbare Differenzialgleichungenerster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

XI.2.1 Richtungsfelder und Linienelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175XI.2.2 Rechte Seite ist unabhangig von x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176XI.2.3 Rechte Seite ist unabhangig von t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176XI.2.4 Trennung der Veranderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178XI.2.5 Lineare ODE erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

XI.3 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182XI.3.1 Differenzialgleichungen, die auf “Trennung der

Veranderlichen” zuruckgefuhrt werden konnen . . . . . . . . . . . . 182

XII Lipschitz-Bedingungen,Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

XII.1 Banachraume und Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183XII.2 Globale Existenz fur

Differenzialgleichungen auf Banachraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185XII.3 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

XII.3.1 Beweis von Lemma XII.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191XII.3.2 Lokale Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

XIII LineareDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

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XIII.1 Operatornorm undMatrixexponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

XIII.2 Systeme linearer Differenzialgleichungenmit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

XIII.3 Zeitabhangige lineareDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

XIII.4 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210XIII.4.1 Ruckfuhrung von ODE n. Ordnung

auf Systeme 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210XIII.4.2 Inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . 212

XIV Stabilitatsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214XIV.1 Stabilitat linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215XIV.2 Kleine nichtlineare Storungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

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KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME

Kapitel I

Metrische Raume, Banachraumeund Hilbertraume

In diesem ersten Kapitel fuhren wir den Begriff einer Metrik auf einer Menge ein und erinnernan den Begriff einer Norm auf einem K-Vektorraum, wobei in dieser Vorlesung K stets denKorper K = R der reellen oder K = C den der komplexen Zahlen bezeichnet.

I.1 Topologie metrischer Raume

Definition I.1. Sei M 6= ∅ eine nichtleere Menge.Eine Abbildung ρ : M ×M → R+

0 heißt Metrik (auf M) :⇔

(i) ∀x, y ∈M :ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y

, (I.1)

(ii) ∀x, y ∈M : ρ(x, y) = ρ(y, x), (I.2)

(iii) ∀x, y, z ∈M : ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z). (I.3)

In diesem Fall bezeichnen wir (M,ρ) als metrischen Raum.

Definition I.2. Seien (M,ρ) ein metrischer Raum und A ⊆M eine Teilmenge.

(i) Sind r > 0 und x ∈M , so heißt

Bρ(x, r) :=y ∈M

∣∣ ρ(y, x) < r

(I.4)

offene Kugel um x vom Radius r.

(ii) Ein Punkt x ∈ A heißt innerer Punkt (I.P.)

:⇔ ∃ r > 0 : Bρ(x, r) ⊆ A. (I.5)

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I.1. TOPOLOGIE METRISCHER RAUME


(iii) Ein Punkt x ∈M heißt Haufungspunkt (H.P.) von A

:⇔ ∀ r > 0 :(Bρ(x, r) ∩ A

)\ x) 6= ∅. (I.6)

(iv) Eine Teilmenge U ⊆M heißt offen

:⇔ Jeder Punkt in U ist ein innerer Punkt (I.7)

⇔ ∀x ∈ U ∃ r > 0 : Bρ(x, r) ⊆ U. (I.8)

(v) Eine Teilmenge V ⊆M heißt abgeschlossen

:⇔ V enthalt alle seine Haufungspunkte (I.9)

⇔x ist H.P. von V ⇒ x ∈ V

. (I.10)

(vi) Eine Teilmenge K ⊆M heißt kompakt

:⇔ Jede offene Uberdeckung von K enthalt eine endliche Teiluberdeckung (I.11)

⇔ Ist U eine Familie offener Mengen mit K ⊆⋃U∈U

U

⇒ ∃U1, U2, . . . , Un ∈ U : K ⊆ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un. (I.12)

Definition I.3. Sei (M,ρ) ein metrischer Raum.Eine Folge (xn)∞n=1 ∈MN heißt konvergent :⇔

∃x ∈M ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : ρ(x, xn) ≤ ε. (I.13)

In diesem Fall schreiben wir

limn→∞

xn = x oder xn → x, n→∞. (I.14)

Eine Folge (xn)∞n=1 ∈MN heißt Cauchy-Folge :⇔

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 : ρ(xm, xn) ≤ ε. (I.15)

Ein metrischer Raum M heißt vollstandig :⇔

Jede Cauchy-Folge in M ist konvergent. (I.16)

Bemerkungen und Beispiele.

• Eine Metrik ρ auf einer Menge M definiert einen Abstand ρ(x, y) zwischen je zwei Ele-menten x, y ∈M dieser Menge.

• (R, ρ|·|) ist ein vollstandiger metrischer Raum mit ρ|·|(x, y) := |x− y|.

• Ebenso ist (C, ρ|·|) ein vollstandiger metrischer Raum mit ρ|·|(w, z) := |w − z|.

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KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME I.1. TOPOLOGIE METRISCHER RAUME

• Ist d ∈ N, d ≥ 2, so ist (Rd, ρeukl) ein vollstandiger metrischer Raum bezuglich dereuklidschen Metrik

ρeukl(~x, ~y) :=√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . .+ (xd − yd)2, (I.17)

wobei ~x = (x1, . . . , xd), ~y = (y1, . . . , yd) ∈ Rd.

• Ebenso ist (Cd, ρunit) ein vollstandiger metrischer Raum bezuglich der unitaren Metrik

ρunit(~w, ~z) :=√|w1 − z1|2 + |w2 − z2|2 + . . .+ |wd − zd|2, (I.18)

wobei ~w = (w1, . . . , wd), ~z = (z1, . . . , zd) ∈ Cd.

• Sind (M,ρ) ein metrischer Raum und N ⊆ M eine Teilmenge, so ist auch (N, ρ) einmetrischer Raum, wobei die Metrik ρ : N × N → R+

0 durch die Restriktion ρ := ρ∣∣N×N

von ρ auf N ×N definiert ist, d.h. fur x, y ∈ N ist ρ(x, y) := ρ(x, y).

• Somit ist auch (Q, ρ|·|) ist ein metrischer Raum mit ρ|·|(x, y) := |x − y|. Allerdings ist Qnicht vollstandig.

• Es gibt viele metrische Raume, die keine Vektorraume sind. Beispielsweise ist M =a, b, c bzgl. ρ(a, a) = ρ(b, b) = ρ(c, c) = 0 und ρ(a, b) = ρ(b, c) = ρ(a, c) = 1 einmetrischer Raum (M,ρ), den man als Graph (M,Λ), Λ ⊆ M × M , veranschaulichenkann.

• Etwas anschaulicher ist das folgende Beispiel der Entfernungstabelle (Autobahnkilometer)zwischen den Stadten. Wir setzen M := BS,HB,HH,H und definieren ρ auf M ×Mdurch folgende Tabelle:

ρ BS HB HH H

BS 0 km 176,2 km 199,0 km 66,8 kmHB 176,2 km 0 km 130,2 km 123,0 kmHH 199,0 km 130,2 km 0 km 157,5 kmH 66,8 km 123,0 km 157,5 km 0 km

Dann ist (M,ρ) ein metrischer Raum.

• Ist (M,ρ) ein metrischer Raum, so sind die leere Menge ∅ ⊆M und auch M ⊆M sowohloffen, als auch abgeschlossen.

• Sind (M,ρ) ein metrischer Raum und A ⊆M eine Teilmenge, so gilt folgende Aquivalenz:x ∈M ist H.P. von A

⇔

∃(xn)∞n=1 ∈ (A \ x)N : xn → x, n→∞.

. (I.19)

• Sind (M,ρ) ein metrischer Raum und A ⊆ M eine Teilmenge, so gilt wie in K folgendeAquivalenz:

A ist offen⇔

Ac = M \ A ist abgeschlossen

. (I.20)

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I.1. TOPOLOGIE METRISCHER RAUME


• Fur d ∈ N und (M,ρ) = (Rd, ρeukl) oder (M,ρ) = (Cd, ρunit) gilt wie fur d = 1 folgende,als Satz von Heine-Borel bekannte Aquivalenz:

K ⊆M ist kompakt⇔

K ⊆M ist beschrankt und abgeschlossen

. (I.21)

Durch Nachprufen der Definition erhalt man leicht folgenden Satz.

Satz I.4. Sei (M,ρ) ein metrischer Raum.

(i) Sind I eine Indexmenge und Uii∈I ⊆ P(M) eine Familie offener Mengen, so ist auchderen Vereinigung

⋃i∈I Ui offen.

(ii) Sind m ∈ N und U1, U2, . . . , Um ⊆M endlich viele offene Teilmengen von M , so ist auchihr Durchschnitt U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Um offen.

(iii) Sind J eine Indexmenge und Vjj∈J ⊆ P(M) eine Familie abgeschlossener Mengen, soist auch deren Durchschnitt

⋂j∈J Vj abgeschlossen.

(iv) Sind n ∈ N und V1, V2, . . . , Vn ⊆ M endlich viele abgeschlossene Teilmengen von M , soist auch ihre Vereinigung V1 ∪ V2 ∪ · · · ∪ Vn abgeschlossen.

Definition I.5. Seien (M,ρ) ein metrischer Raum und A ⊆M eine Teilmenge.

(i) Die Vereinigung

A :=⋃

U∣∣∣ U ⊆ A, U offen

(I.22)

aller offenen Teilmengen von A heißt Inneres von A.

(ii) Der Durchschnitt

A :=⋂

V∣∣∣ A ⊆ V ⊆M, V abgeschlossen

(I.23)

aller abgeschlossenen Obermengen A heißt Abschluss von A.


• Nach Satz I.4 (i) ist das Innere A einer Teilmenge A ⊆M eines metrischen Raums (M,ρ)stets offen.

• Analog ist nach Satz I.4 (iii) der Abschluss A einer Teilmenge A ⊆M stets abgeschlossen.

• Das Innere A einer Teilmenge A ⊆ M ist die großte offene Teilmenge von A, denn furjede offene Teilmenge B ⊆ A folgt B ⊆ A.

• Außerdem kann A als die Menge aller inneren Punkte von A charakterisiert werden,

A =x ∈ A

∣∣ x ist I.P. von A. (I.24)

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KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME I.1. TOPOLOGIE METRISCHER RAUME

• Der Abschluss A einer Teilmenge A ⊆ M ist die kleinste abgeschlossene Obermenge vonA, denn fur jede abgeschlossene Obermenge C ⊇ A folgt C ⊇ A.

• Außerdem kann A als die Menge aller Punkte aus A und der Haufungspunkte von Acharakterisiert werden,

A =x ∈M

∣∣ x ∈ A oder x ist H.P. von A. (I.25)

Definition I.6. Seien (M,ρ) und (N,µ) zwei metrische Raume und f : M → N .

(i) Die Abbildung f heißt stetig in x ∈M

:⇔∀ ε > 0, ∃δ > 0 : f[Bρ(x, δ)

]⊆ Bµ(f [x], ε) (I.26)

⇔∀ ε > 0, ∃δ > 0,∀ y ∈M : ρ(x, y) < δ ⇒ µ[f(x), f(y)] < ε. (I.27)

(ii) Die Abbildung f : M → N heißt stetig, falls f stetig in x ist, fur alle x ∈M .

(iii) Die Abbildung f heißt folgenstetig in x ∈M

:⇔ ∀ (xn)∞n=1 ∈MN : x = limn→∞

xn ⇒ f(x) = limn→∞

f(xn). (I.28)

Satz I.7. Seien (M,ρ) und (N,µ) zwei metrische Raume, f : M → N und x ∈ M . Danngelten folgende Aquivalenzen:

(i)

f ist stetig in x ⇔ f ist folgenstetig in x. (I.29)

(ii)

f ist stetig ⇔ f ist folgenstetig (I.30)

⇔ Das Urbild f−1(U) ⊆M einer beliebigen

offenen Menge U ⊆ N ist offen (I.31)

⇔ Das Urbild f−1(V ) ⊆M einer beliebigen.

abgeschlossenen Menge U ⊆ N ist abgeschlossen. (I.32)


• In metrischen Raumen fallen Stetigkeit und Folgenstetigkeit zusammen. In allgemeinentopologischen Raumen ist dies nicht der Fall; es gilt nur

Stetigkeit ⇒ Folgenstetigkeit. (I.33)

• Die umgekehrte Implikation erhalt man fur allgemeine topologische Raume nur durchErsetzung von Folgen durch Netze und deren Konvergenz.

Satz I.8. Seien (M,ρ) und (N,µ) zwei metrische Raume, M kompakt und f : M → N stetig.

(i) Dann ist auch f(M) ⊆ N kompakt.

(ii) Ist N = R, so nimmt f auf M sein Minimum und Maximum an, d.h. es existierenxmin, xmax ∈M , sodass

∀x ∈M : f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xmax). (I.34)

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I.2. BANACHSCHER FIXPUNKTSATZ


I.2 Banachscher Fixpunktsatz

Wir beweisen den Banachschen Fixpunktsatz, ein “klassischer” Satz der Funktionalanalysis.

Definition I.9. Sei (M,ρ) ein vollstandiger metrischer Raum. Eine Abbildung T : M → Mheißt Kontraktion

:⇔ ∃ 0 ≤ q < 1 ∀x, y ∈M : ρ[T (x), T (y)] ≤ q · ρ[x, y]. (I.35)

Lemma I.10. Seien (M,ρ) ein vollstandiger metrischer Raum und T : M →M eine Kontrak-tion. Dann ist T stetig auf M .

Beweis. Zu ε > 0 wahlen wir δ := ε. Sind nun x, y ∈ M mit ρ[x, y] < ε, so gilt auchρ[T (x), T (y)] < q ε ≤ ε.

Satz I.11 (Banachscher Fixpunktsatz). Seien (M,ρ) ein vollstandiger metrischer Raum undT : M → M eine Kontraktion. Dann besitzt T in M genau einen Fixpunkt x∗ ∈ M , d.h. esgibt genau eine Losung x∗ ∈M der Fixpunktgleichung

x∗ = T (x∗). (I.36)

Beweis. Da M 6= ∅, gibt es einen Punkt x0 ∈ M . Wegen T : M → M ist mit x auch T (x) inM , und wir konnen

∀n ∈ N0 : xn := T (xn−1) = [T T ](xn−2) = · · · = [T T · · · T ]︸︷︷︸n×

(x0) ∈ M (I.37)

setzen. Wir zeigen nun, dass die Folge (xn)∞n=0 in M konvergiert. Seien m,n, n0 ∈ N mitm > n ≥ n0. Dann ist mit der Dreiecksungleichung

ρ[xm, xn] ≤ ρ[xm, xm−1] + ρ[xm−1, xm−2] + . . .+ ρ[xn+1, xn]. (I.38)

Fur k ∈ N ist außerdem

ρ[xk+1, xk] = ρ[T (xk), T (xk−1)] ≤ q · ρ[xk, xk−1]

= q · ρ[T (xk−1), T (xk−2)] ≤ q2 · ρ[xk, xk−1]

≤ · · · ≤ qk · ρ[x1, x0], (I.39)

wobei wir k-mal die Kontraktionseigenschaft (I.35) verwendet haben. Damit ist, fur m > n ≥n0,

ρ[xm, xn] ≤(qm−1 + qm−2 + . . .+ qn

)ρ[x1, x0]

≤ qn ρ[x1, x0]( ∞∑k=0

qk)≤ qn0

1− qρ[x1, x0] → 0, (I.40)

fur n0 → ∞. Somit ist (xn)∞n=0 eine Cauchy-Folge in M . Da M vollstandig ist, konvergiert(xn)∞n=0 auch,

x∗ := limn→∞

xn ∈M. (I.41)

10

ENTW


KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME I.3. BANACHRAUME

Außerdem ist x∗ ein Fixpunkt, denn T ist nach Lemma I.10 stetig in M , und es gilt somit

x∗ = limn→∞

xn = limn→∞

T (xn−1) = T(

limn→∞

xn−1

)= T (x∗). (I.42)

Ist nun x∗∗ ∈ M irgendein Fixpunkt von T , so folgt aus der Kontraktionseigenschaft (I.35),dass

ρ[x∗, x∗∗] = ρ[T (x∗), T (x∗∗)] ≤ q · ρ[x∗, x∗∗], (I.43)

also ρ[x∗, x∗∗] = 0 und somit x∗∗ = x∗.

Der Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes ergibt auch eine quantitative Aussage uber dieRate, mit der sich die Iteration xn := T (xn−1) dem Fixpunkt annahert.

Korollar I.12. Seien (M,ρ) ein vollstandiger metrischer Raum, T : M →M eine Kontraktionund x∗ ∈M der Fixpunkt von T . Sind x0 ∈M und xn := T (xn−1), fur alle n ∈ N, so gilt

ρ[xn, x∗] ≤qn

1− qρ[T (x0), x0], (I.44)

fur alle n ∈ N.

Beweis. Folgt sofort mit n := n0 und m→∞ in (I.40).

I.3 Banachraume

Als Nachstes definieren wir spezielle metrische Raume, die normierten Raume.

Definition I.13. Sei X ein K-Vektorraum (K = R oder C).Eine Abbildung ‖ · ‖ : X → R+

0 heißt Norm (auf X) :⇔

(i) ∀x ∈ X :‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

(I.45)

(ii) ∀x ∈ X, λ ∈ K : ‖λx‖ = |λ| · ‖x‖, (I.46)

(iii) ∀x, y ∈ X : ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. (I.47)

In diesem Fall bezeichnet man (X, ‖ · ‖) als normierten Raum.


• Jeder normierte Raum (X, ‖·‖) ist ein metrischer Raum (X, ρ) bzgl. der Metrik ρ(x, y) :=‖x− y‖. Damit ubertragen sich auch die Begriffe der Konvergenz, der Cauchy-Folge undder Vollstandigkeit auf normierte Raume.

• Ist ein normierter Raum (X, ‖·‖) bzgl. der Metrik ρ(x, y) = ‖x−y‖ vollstandig, so nennenwir (X, ‖ · ‖) Banachraum.

• Ist (X, ‖ · ‖) ein normierter Raum, so ist ‖ · ‖ : (X, ‖ · ‖)→ (R+0 , ‖ · ‖) stets stetig.

11

ENTW


I.4. HILBERTRAUME


• Fur d ∈ N und 1 ≤ p < ∞ definiert ‖x‖p :=(|x1|p + |x2|p + . . . + |xd|p

) 1p eine Norm auf

Kd; ebenso ‖x‖∞ := max|x1|, |x2|, . . . , |xd|

. Sie sind alle aquivalent zueinander, d.h. zu

1 ≤ p, q <∞ gibt es eine Konstante Cd,p,q <∞, sodass

∀x ∈ X :1

Cd,p,q· ‖x‖p ≤ ‖x‖q ≤ Cd,p,q · ‖x‖p. (I.48)

Die durch das euklidsche bzw. unitare Skalarprodukt induzierte Norm ist ‖x‖2.

I.4 Hilbertraume

Als Nachstes definieren wir spezielle normierte (und somit auch metrische) Raume, die Hilber-traume. Dazu erinnern wir zunachst an die Definition eines Skalarprodukts, wobei wir exempla-risch nur den komplexen Fall K = C aufschreiben:Ist X ein komplexer Vektorraum, so heißt eine Abbildung 〈·|·〉 : X ×X → C Skalarprodukt(auf X), falls sie fur alle ~x, ~y, ~w, ~z ∈ X und α, β ∈ C die folgenden Eigenschaften besitzt,

〈α~x+ ~y|β ~w + ~z〉 = αβ 〈~x|~w〉+ α 〈~x|~z〉+ β 〈~y|~w〉+ 〈~y|~z〉 ,(Sesquilinearitat) (I.49)

〈~y|~x〉 = 〈~x|~y〉 ,(Symmetrie) (I.50)

~x 6= ~0 ⇒ 〈~x|~x〉 > 0 .(Positive Definitheit) (I.51)

Definition I.14. Sei X ein K-Vektorraum (K = R oder C) mit Skalarprodukt 〈·|·〉 : X×X →C. Ist (X, ρ) vollstandig bezuglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik ρ(~x, ~y) :=√〈~x− ~y|~x− ~y〉 , so nennt man (X, 〈·|·〉) einen Hilbertraum.


• Zu d ∈ N sind(Rd, 〈·|·〉eukl

)ein reeller und

(Cd, 〈·|·〉unit

)ein komplexer Hilbertraum.

• Ist (X, 〈·|·〉) ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·|·〉, so gilt die Cauchy-Schwarz-Un-gleichung (unabhangig davon, ob (X, 〈·|·〉) ein Hilbertraum ist oder nicht),

∀~x, ~y ∈ X :∣∣〈~x|~y〉∣∣ ≤ ‖~x‖ ‖~y‖. (I.52)

• Wir erinnern an die Definition der absolut Riemann-integrablen Funktionen auf R. Furjede Funktion f := R→ R und jedes λ > 0 definieren wir fλ : [−λ, λ]→ [−λ, λ] durch

fλ(x) := 1x : |f(x)|≤λ(x) f(x) − λ1x : f(x)<−λ(x) + λ1x : f(x)>λ(x), (I.53)

d.h. anschaulich gesprochen setzen wir einen quadratischen, um den Ursprung zentriertenRahmen der Kantenlange 2λ auf den Graphen von f und schneiden alles außerhalb desRahmens ab. f heißt absolut Riemann-integrabel, falls fλ ∈ R[−λ, λ] fur jedes λ > 0 unddie Integrale uber den Absolutbetrag von fλ uniform in λto∞ beschrankt bleiben,

supλ>0

∫ λ

−λ

∣∣fλ(x)∣∣ dx < ∞ . (I.54)

12

ENTW


KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME I.5. SCHWARTZSCHE TESTFUNKTIONEN

Definition I.15. Eine Funktion f : R→ C heißt (Riemann-)quadratintegrabel

:⇔ ∀λ > 0 : Refλ, Imfλ ∈ R[−λ, λ], (I.55)

supλ>0

∫ λ

−λ

∣∣fλ(x)∣∣2 dx < ∞. (I.56)

Die Menge der Riemann-quadratintegrablen Funktionen R → C bildet einen komplexen Vek-torraum, den wir mit

R2(R) :=f : R→ C

∣∣ f ist Riemann-quadratintegrabel

(I.57)

bezeichnen.

Lemma I.16. Auf dem komplexen Vektorraum R2(R) 3 f, g ist durch

〈f |g〉 :=

∫ ∞−∞

f(x) g(x) dx (I.58)

ein Skalarprodukt 〈·|·〉 : R2(R)×R2(R)→ C definiert.

Beweis. Wir zeigen nur, dass (I.58) fur f, g ∈ R2(R) definiert ist. Dazu beobachten wir, dassfur λ > 0 mit Ref, Imf,Reg, Img ∈ R[−λ, λ] auch Ref · g, Imf · g ∈ R[−λ, λ]und dass aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung fur Integrale folgt, dass

supλ>0

∫ λ

−λ

∣∣f(x) g(x)∣∣ dx ≤ sup

λ>0

(∫ λ

−λ|f(x)|2 dx

)(∫ λ

−λ|g(x)|2 dx

)1/2

< ∞. (I.59)

Also sind Ref · g, Imf · g ∈ R(R) absolut integrabel.

I.5 Schwartzsche Testfunktionen

Definition I.17. Der Raum der Schwartzschen Testfunktionen ist definiert als

S(R) :=f ∈ C∞[R;C]

∣∣ ∀α, β ∈ N0 : ‖f‖(∞)α,β <∞

, (I.60)

wobei fur α, β ∈ N0

‖f‖(∞)α,β := sup

x∈R

∣∣xα f (β)(x)∣∣ . (I.61)


• Eine glatte Funktion f ∈ C∞[R;C] ist genau dann eine Schwartzschen Testfunktion,f ∈ S(R), falls sie und alle ihre Ableitungen im Unendlichen schneller abfallen, als jedeinverse Potenz. Genauer gilt fur f ∈ C∞[R;C]:

f ∈ S(R) ⇔ ∀α, β ∈ N0 ∃Cα,β <∞∀x ∈ R : |f (β)(x)| ≤ Cα,β1 + |x|α

. (I.62)

13

ENTW


I.5. SCHWARTZSCHE TESTFUNKTIONEN


• Ein Beispiel fur eine konkrete Schwartzsche Testfunktion ist die Gaußsche GlockenkurveΩ ∈ S(R),

Ω(x) := π−1/4e−12x2 . (I.63)

• Ist p(x) =∑|α|≤n cαx

α ein Polynom, so ist auch (p · Ω) ∈ S(Rd).

• Auf S(R) 3 f, g ist durch

ρS(f, g) :=∞∑

α,β=0

2−α−β‖f − g‖(∞)

α,β

1 + ‖f − g‖(∞)α,β

(I.64)

eine Metrik definiert, wie man leicht nachpruft. Der metrische Raum(S(R), ρS

)ist

vollstandig (und sogar lokalkonvex, d.h. ein Frechet-Raum).

Definition I.18. Wir definieren lineare Abbildungen a, a∗ : S(R)→ S(R) durch

a :=1√2

(x+

d

dx

), a∗ :=

1√2

(x− d

dx

). (I.65)

a heißt Vernichtungsoperator, und a∗ heißt Erzeugungsoperator.

Lemma I.19. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfullen die kanonischen Ver-tauschungsrelationen (CCR)

[a, a∗] = 1 (I.66)

auf S(R), wobei [A,B]f := ABf −BAf . Weiterhin gilt

aΩ = 0 , (I.67)

und a∗ is der zu a adjungierte Operator, d.h. fur alle f, g ∈ S(R) ist⟨a∗f∣∣g⟩ =

⟨f∣∣ag⟩ . (I.68)

Beweis. Ist f ∈ S(R), so sind(af)(x) = 1√

2

(x f(x) + f ′(x)

)und

(a∗f)(x) = 1√

2

(x f(x)− f ′(x)

). (I.69)

Wenden wir dies abermals an, so erhalten wir mit der Produktregel(a∗a f

)(x) = 1

2

(x− d

dx

)(x f(x) + f ′(x)

)= 1

2

(x2 f(x)− f(x)− f ′′(x)

), (I.70)(

aa∗ f)(x) = 1

2

(x+ d

dx

)(x f(x)− f ′(x)

)= 1

2

(x2 f(x) + f(x)− f ′′(x)

), (I.71)

und somit ([a, a∗] f

)(x) =

(aa∗ f

)(x)−

(a∗a f

)(x) = f(x) , (I.72)

14

ENTW


KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME I.5. SCHWARTZSCHE TESTFUNKTIONEN

d.h. (I.66). Glg. (I.67) folgt direkt aus (I.69) mit f := Ω. Schließlich erhalt man (I.68) durch par-tielle Integration, bei keine Randterme auftreten, weil f, g, a∗f, ag ∈ S(R) allesamt Schwartz-sche Testfunktionen sind,

⟨a∗f∣∣g⟩ =

1√2

∫ ∞−∞

(x f(x)− f ′(x)

)g(x) dx

=1√2

∫ ∞−∞

f(x)(x g(x)

)dx− 1√

2

∫ ∞−∞

f ′(x) g(x) dx

=1√2

∫ ∞−∞

f(x)(x g(x)

)dx+

1√2

∫ ∞−∞

f(x) g′(x) dx

=1√2

∫ ∞−∞

f(x)(x g(x) + g′(x)

)dx

=⟨f∣∣ag⟩ . (I.73)


• Wegen x = 1√2(a∗ + a) ist, fur jedes Polynom p ∈ C[x] in der Variablen x, die Funktion

p · Ω eine Linearkombination von(a∗)n

Ω. So sind etwa

xΩ =1√2

(a∗ + a)Ω =1√2a∗Ω (I.74)

und mit

x2 =1

2(a∗ + a)(a∗ + a) =

1

2

((a∗)2 + a∗a+ aa∗ + a2

)=

1

2

((a∗)2 + 2a∗a+ a2 + 1

)(I.75)

ist

x2Ω =1

2(a∗)2Ω +

1

2Ω . (I.76)

Lemma I.20. Fur n ∈ N0 sei Φn := (n!)−1/2(a∗)Ω ∈ S(R). Dann ist

Φn

∞n=0⊆ S(R) ein

ONS bezuglich des Skalarprodukts (I.58), d.h. fur alle m,n ∈ N0 gilt

〈Φm|Φn〉 =

∫ ∞−∞

Φm(x) Φn(x) dx = δm,n . (I.77)

15

ENTW


I.5. SCHWARTZSCHE TESTFUNKTIONEN


Beweis. Ist etwa m ≥ n ≥ 0, so ist nach (I.66)-(I.68)⟨(a∗)mΩ

∣∣(a∗)nΩ⟩

=⟨(a∗)m−1Ω

∣∣a(a∗)nΩ⟩

=⟨(a∗)m−1Ω

∣∣a(a∗)nΩ− (a∗)naΩ⟩

=n∑k=1

⟨(a∗)m−1Ω

∣∣(a∗)k−1 [a, a∗]︸︷︷︸=1

(a∗)n−kΩ⟩

= n ·⟨(a∗)m−1Ω

∣∣(a∗)n−1Ω⟩

= n · (n− 1) ·⟨(a∗)m−2Ω

∣∣(a∗)n−2Ω⟩

= . . . = n! ·⟨(a∗)m−nΩ

∣∣Ω⟩= n! ·

⟨Ω∣∣ am−nΩ︸︷︷︸

= 0, falls m>n

⟩= n! · δm,n · 〈Ω|Ω〉

= n! · δm,n. (I.78)

Satz I.21.

Φn

∞n=0⊆ R2(R) ist eine ONB, d.h. fur jedes f ∈ R2(R) ist

f =∞∑n=0

〈Φn|f〉Φn , (I.79)

und genauer gilt

limN→∞

∥∥∥∥f − N∑n=0

〈Φn|f〉Φn

∥∥∥∥L2(Rd)

= 0 . (I.80)

Beweis. Wir verzichten auf den Beweis, der ohne Integrationstheorie auf Rd fur d ≥ 2 zuaufwandig ist. Wir bemerken aber, dass nach dem (verallgemeinerten) Satz von PythargorasGlg. (I.80) gleichwertig ist mit

∀ f ∈ R2(R) : ‖f‖2 =∞∑n=0

∣∣〈f |Φn〉∣∣2 . (I.81)

16

ENTW


KAPITEL I. METRISCHE RAUME, BANACHRAUMEUND HILBERTRAUME I.6. ERGANZUNGEN

I.6 Erganzungen

I.6.1 Beweis von Glg. (I.20)

Wir zeigen, dass fur jede Teilmenge A ⊆M eines metrischen Raums (M,ρ) gilt, dassA ist offen

⇔

Ac = M \ A ist abgeschlossen

. (I.82)

Fur A = M oder A = ∅ ist die Behauptung trivialerweise richtig. Wir konnen also annehmen,dass ∅ 6= A ⊂M und A 6= M in M echt enthalten ist.“⇒”: Seien A offen und x ∈ X ein H.P. von Ac. Ist r > 0, so ist also B(x, r) ∩ (Ac \ x) 6= ∅.Daher kann B(x, r) nicht Teilmenge von A sein und somit ist auch kein I.P. von A. Da A alsoffene Menge nur I.P. enthalt, folgt, dass x /∈ A, also x ∈ Ac gilt. Zusammen erhalten wir damit,dass Ac alle seine H.P. enthalt, also abgeschlossen ist.“⇐”: Seien Ac abgeschlossen und x ∈ A. Weil Ac alle seine H.P. enthalt, kann x /∈ Ac kein H.P.von Ac sein. Es gibt also ein r > 0, sodass B(x, r) ∩ (Ac \ x) = ∅, und wegen Ac \ x = Ac

bedeutet dies B(x, r)∩Ac = ∅, d.h. B(x, r) ⊆ A. Somit ist x ∈ A ein I.P. von A. Weil x beliebigin A gewahlt war, folgt die Offenheit von A.

I.6.2 Aquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit

Wir beweisen Satz I.7. Seien dazu (M,ρ) und (N,µ) zwei metrische Raume, f : M → N undx ∈M . Wir zeigen zunachst, dass

f ist stetig in x ⇔ f ist folgenstetig in x. (I.83)

“⇒”: Seien (xn)∞n=1 ∈ MN eine Folge in M mit xn → x und ε > 0. Weil f in x stetig ist, gibtes ein δ > 0, so dass mit ρ[y, x] < δ auch µ[f(y), f(x)] < ε gilt. Da xn → x konvergiert, gibt eszu obigem δ > 0 auch ein n0 ∈ N, sodass

∀n ≥ n0 : ρ[xn, x] < δ ⇔ xn ∈ Bρ(x, δ), (I.84)

und daher gilt auch

∀n ≥ n0 : f(xn) ∈ Bµ

(f(x), ε

)⇔ µ[f(xn), f(x)] < ε. (I.85)

Zusammenfassend erhalten wir somit

∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : µ[f(xn), f(x)] < ε, (I.86)

was gerade f(xn)→ f(x), fur n→∞ bedeutet.“⇐” : Sei f nicht stetig in x, d.h.

∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ y ∈ Bρ(x, δ) ∩M : f(y) /∈ Bµ

(f(x), ε

)∩ Y. (I.87)

Sei ε > 0 nun eine solche Zahl. Setzen wir δ := 1/n, so gibt es gemaß (I.87) ein xn ∈ Bρ(x, 1/n)∩M mit f(xn) /∈ Bµ

(f(x), ε

)∩ N , fur alle n ∈ N. Da ohnehin f(xn) ∈ N , muss sogar f(xn) /∈

Bµ

(f(x), ε

), fur alle n ∈ N gelten. Damit ist (xn)∞n=1 eine konvergente Folge in M mit xn → x,

17

ENTW


I.6. ERGANZUNGEN


weil ρ(x, xn) < 1/n. Andererseits ist aber µ[f(xn), f(x)] ≥ ε > 0, und(f(xn)

)∞n=1∈ NN

konvergiert nicht gegen f(x).Als Nachstes zeigen wir

f ist stetig auf M (I.88)

⇔ Das Urbild f−1(U) ⊆M einer beliebigen

offenen Menge U ⊆ N ist offen (I.89)

⇔ Das Urbild f−1(V ) ⊆M einer beliebigen.

abgeschlossenen Menge U ⊆ N ist abgeschlossen. (I.90)

(I.88) ⇒ (I.89): Seien f stetig auf M , U ⊆ N offen und x0 ∈ f−1[U ] ⊆M , d.h. f(x0) ∈ U ∩N .Da U offen ist, gibt es ein ε > 0, so dass

Bµ

(f(x0), ε

)⊆ U. (I.91)

Da f stetig in x0 ist, gibt es ein δ > 0, so dass

∀x ∈ Bρ(x0, δ) : f(x) ∈ Bµ

(f(x0), ε

)⊆ U. (I.92)

Also ist x ∈ f−1[U ] und somit

Bρ

(x0 , δ

)⊆ f−1[U ], (I.93)

d.h. f−1[U ] ist offen.(I.89) ⇒ (I.88): Fur x0 ∈ M und ε > 0 ist Bµ

(f(x0), ε

)offen. Nach (I.89) ist damit auch

f−1[Bµ

(f(x0), ε

)]offen. Da x0 ∈ f−1

[Bµ

(f(x0), ε

)]liegt, gibt es ein δ > 0, sodass

Bρ(x0, δ) ⊆ f−1[Bµ

(f(x0), ε

)], (I.94)

d.h.

∀x ∈ Bρ(x0, δ) ∩M : f(x) ∈ Bµ

(f(x0), ε

), (I.95)

und somit ist f stetig in x0. Da x0 beliebig ist, ist f stetig auf M .(I.89) ⇒ (I.90): Wegen

(f−1[V ]

)c= f−1

[V c]

folgt die Aquivalenz von (I.89) und (I.90) sofortaus (I.82).

18

ENTW


KAPITEL II. FOURIERTRANSFORMATION

Kapitel II

Fouriertransformation

Definition II.1.

(i) Die Fouriertransformierte f ≡ F [f ] : R → C einer Schwartzschen Testfunktion f ∈S(R) ist definiert durch

∀ k ∈ R : F [f ](k) :=

∫ ∞−∞

e−ikx f(x)dx√2π

. (II.1)

(ii) Die inverse Fouriertransformierte f ≡ F∗[g] : R→ C einer Schwartzschen Testfunk-tion g ∈ S(R) ist definiert durch

∀x ∈ R : F∗[g](x) :=

∫ ∞−∞

eikx g(k)dk√2π

. (II.2)

(iii) Die Faltung f ∗ g : R → C zweier Schwartzscher Testfunktion f, g ∈ S(R) ist definiertdurch

∀x ∈ R : [f ∗ g](x) :=

∫ ∞−∞

f(x− y) g(y)dy√2π

. (II.3)

Satz II.2. Mit f, g ∈ S(R) sind auch F [f ],F∗[g], f ∗ g ∈ S(R) Schwartzsche Testfunktionen,und es gelten folgende Identitaten:

F [f ′] = ik · F [f ] und ddkF [f ] = F [−ix · f ] (II.4)

F∗[g′] = −ix · F∗[g] und ddxF∗[g] = F∗[ik · g] . (II.5)

Weiterhin gelten

g ∗ f = f ∗ g und ddx

[f ∗ g] = f ′ ∗ g = f ∗ g′ (II.6)

19

ENTW



sowie

F [f ∗ g] = F [f ] · F [g] und F [f · g] = F [f ] ∗ F [g] . (II.7)

Beweis. Zunachst bemerken wir, dass (II.4)-(II.5) formal aus der Vertauschung von Differentia-tion und Integration folgen. Dass diese beiden Grenzprozesse vertauscht werden konnen, bedarfaber eines Beweises. Seien dazu f ∈ S(R) und

F [f ](k) =

∫ ∞−∞

e−ikx f(x)dx√2π

. (II.8)

Fur k ∈ R und h ∈ R \ 0 genugend klein ist dann

F [f ](k + h)−F [f ](k)

h−F [−ix · f ](k) (II.9)

=

∫ ∞−∞

(e−i(k+h)x − e−ikx

h+ ix e−ikx

)f(x)

dx√2π

=

∫ ∞−∞

(e−ihx − 1

h+ ix

)e−ikx f(x)

dx√2π

.

Nach dem Satz von Taylor gibt es fur jede Funktion F ∈ C2(R;C) zu jedem h 6= 0 ein h′ ∈ Rmit |h′| < |h| so, dass F (h) = F (0) + hF ′(0) + 1

2h2 F ′′(h′). Speziell fur F (h) := e−ihx erhalten

wir daraus e−ihx = 1− ixh− 12h2 x2 e−ih

′x und somit∣∣∣∣e−ihx − 1

h+ ix

∣∣∣∣ =|h|2

∣∣x2 e−ih′x∣∣ =

|h|2x2 . (II.10)

Also konvergiert∣∣∣∣F [f ](k + h)−F [f ](k)

h−F [−ix · f ](k)

∣∣∣∣ ≤ |h|2∫ ∞−∞

x2 |f(x)| dx√2π→ 0 , (II.11)

im Limes h→ 0, da x2f absolut integrabel ist. Dies beweist, dass ddkF [f ] = F [−ix · f ] gilt.

Umgekehrt erhalten wir mit partieller Integration und unter Beachtung, dass die Randtermeverschwinden, dass

ik · F [f ](k) =

∫ ∞−∞

(− d

dx

[e−ikx

])f(x)

dx√2π

=

∫ ∞−∞

e−ikx f ′(x)dx√2π

= F [f ′](k) . (II.12)

Aus (II.11) und (II.12) ergibt sich (II.4). Die Herleitung von (II.5) ist analog.Mit (II.4)-(II.5) folgt fur α, β ∈ N0 weiterhin, dass(

kα dβ

dkβF [f ]

)(k) = kαF

[(−ix)β · f

](k) = (−i)α+βF

[dα

dxαxβ · f

](k) . (II.13)

Gemaß dem Kommutatorlemma II.7 gilt

dα

dxα

[xβ · f

]=

min(α,β)∑ν=0

ν!

(αν

) (βν

)xβ−ν f (α−ν) , (II.14)

20

ENTW



und da f ∈ S(R), ist xβ−ν f (α−ν) absolut Riemann-integrabel. Fur A,B ∈ N0 gewinnt manbeispielsweise folgende Abschatzung,∫ ∞−∞|x|A |f (B)(x)| dx ≤

∫ −1

−∞|x|A+2 |f (B)(x)| dx

x2+

∫ 1

−1

|f (B)(x)| dx+

∫ ∞1

|x|A+2 |f (B)(x)| dxx2

≤ 2(‖f‖(∞)

0,B + ‖f‖(∞)A+2,B

) ∫ ∞−∞

dx

1 + x2. (II.15)

Also ist

∥∥F [f ]∥∥(∞)

α,β≤ 4π

min(α,β)∑ν=0

ν!

(αν

) (βν

) (‖f‖(∞)

0,β−ν + ‖f‖(∞)α+2−ν,β−ν

)< ∞ , (II.16)

und F [f ] ∈ S(R). Genauso folgt F∗[g] ∈ S(R) aus g ∈ S(R).Wir betrachten nun die Faltung. Durch die Substitution z := x− y erhalt man sofort

[f ∗ g](x) =

∫ ∞−∞

f(x− y) g(y)dy√2π

=

∫ ∞−∞

f(z) g(x− z)dz√2π

= [g ∗ f ](x) . (II.17)

Weiterhin ist fur h 6= 0 nach dem Satz von Taylor∣∣∣∣ [f ∗ g](x+ h)− [f ∗ g](x)

h− [f ′ ∗ g](x)

∣∣∣∣≤ 1

|h|

∫ ∞−∞

∣∣f(x− y + h)− f(x− y)− h f ′(x− y)∣∣ |g(y)| dy√

2π

≤ |h|2

supz∈R|f ′′(z)|

∫ ∞−∞|g(y)| dy√

2π→ 0 , (II.18)

fur h → 0. Also ist (f ∗ g)′ = f ′ ∗ g, und aus der Kommutativitat (II.17) folgt dann auch(f ∗ g)′ = (g ∗ f)′ = g′ ∗ f = f ∗ g′. Damit ist (II.6) bewiesen. Schließlich folgt ahnlich wie in(II.15) fur α, β ∈ N0 aus (II.17) und

|x|α ≤(|x− y|+ |y|

)α=

α∑ν=0

(αν

)|x− y|α−ν |y|ν , (II.19)

dass

|x|α∣∣[f ∗ g](β)(x)

∣∣ = |x|α∣∣[f (β) ∗ g](x)

∣∣≤

α∑ν=0

(αν

) ∫ ∞−∞|x− y|α−ν

∣∣f (β)(x− y)∣∣ · |y|ν |g(y)| dy√

2π

≤ 8π ‖f‖(∞)α−ν,β

(‖g‖(∞)

0,0 + ‖g‖(∞)ν+2,0

) ∫ ∞−∞

dx

1 + x2< ∞ . (II.20)

21

ENTW



Also ist auch f ∗ g ∈ S(R). Schließlich betrachten wir zu festem k ∈ R

(F [f ∗ g]

)(k) =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

e−ik(x−y) f(x− y) e−iky g(y)dy√2π

)dx√2π

. (II.21)

Setzen wir F (x, y) := e−ik(x−y) f(x− y) e−iky g(y), so ist F ∈ C(R2;C). Da f, g ∈ S(R), gibt eseine Konstante C <∞ so, dass

|f(x− y)| ≤ C

1 + (x− y)2und |g(y)| ≤ C

1 + y4≤ 2C

(1 + y2)2. (II.22)

Ist nun |x| ≥ 2|y|, so ist (x− y)2 ≥ 14x2 und daher [1 + (x− y)2] (1 + y2)2 ≥ 1

4(1 + x2)(1 + y2).

Ist umgekehrt |x| ≤ 2|y|, so ist abermals (1 + y2)2 ≥ (1 + 14x2)(1 + y2) ≥ 1

4(1 + x2)(1 + y2), d.h.

|F | besitzt die integrable und faktorisierte Majorante

∀x, y ∈ R : |F (x, y)| ≤ 2C

1 + x2

2C

1 + y2. (II.23)

Nach Lemma II.8 konnen wir deshalb die Integrationsreihenfolge in (II.21) vertauschen underhalten nach der Substitution x 7→ z := x− y im inneren Integral(

F [f ∗ g])(k) =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

e−ik(x−y) f(x− y) e−iky g(y)dx√2π

)dy√2π

(II.24)

=

(∫ ∞−∞

e−ikz f(z)dz√2π

)(∫ ∞−∞

e−iky g(y)dy√2π

)= F [f ](k) · F [g](k) .

Dies zeigt die linke Identitat in (II.7). Wir sehen vom Beweis der rechten Identitat in (II.7)ab.


• Ist f ∈ S(R), so folgt aus (II.4), dass

ak F [f ] =1√2

(kF [f ] + d

dkF [f ]

)=

1√2

(F [−if ′] + F [−ix · f ]

)= −iF [axf ] , (II.25)

und genauso a∗kF [f ] = iF [a∗xf ].

• Analog findet man axF∗[g] = iF∗[a∗kg] und a∗xF∗[g] = −iF∗[a∗kg].

Somit gilt fur alle n ∈ N0 und f ∈ S(R), dass

(ak)nF [f ] = (−i)nF

[(ax)

nf]

und (a∗k)nF [f ] = inF

[(a∗x)

nf], (II.26)

(ax)nF∗[f ] = inF∗

[(ak)

nf]

und (a∗x)nF∗[f ] = (−i)nF∗

[(a∗k)

nf], (II.27)

Wir berechnen als Nachstes eine konkrete Fouriertransformierte – die der Gaußschen Glocken-kurve.

Lemma II.3. Fur Ω(x) := π−1/4 exp[−12x2] ist F [Ω] = Ω.

22

ENTW



Beweis. Wir definieren f : R→ R durch

∀ k ∈ R : f(k) := 2

∫ ∞0

e12k2− 1

2x2 cos(kx)

dx√2π

(II.28)

und beobachten, dass

f(k) =

∫ ∞−∞

e12k2− 1

2x2−ikx dx√

2π=

∫ ∞−∞

e−12

(x+ik)2 dx√2π

(II.29)

Da der Integrand eine Schwarzsche Testfunktion (in x) ist, pruft man leicht nach, dass man dieAbleitung von f nach k durch Differentation des Integranden nach k erhalt. Damit und mitdem Hauptsatz der Integral -und Differentialrechnung folgt

f ′(k) = − i∫ ∞−∞

(x+ ik) e−12

(x+ik)2 dx√2π

= i

∫ ∞−∞

d

dx

(e−

12

(x+ik)2) dx√

2π

= i[e−

12

(x+ik)2]x=∞

x=−∞= 0 , (II.30)

d.h.

∀ k ∈ R : f(k) := f(0) =

∫ ∞−∞

e−12x2 dx√

2π= 1 . (II.31)

Also ist

F [Ω](k) = π−1/4

∫ ∞−∞

e−12x2−ikx dx√

2π= π−1/4 e−

12k2 f(k) = π−1/4 e−

12k2 = Ω(k) . (II.32)

Korollar II.4. Sei Φn∞n=0 ⊆ S(R) die in Lemma I.20 definierte ONB, d.h. fur n ∈ N0 istΦn := (n!)−1/2(a∗)Ω ∈ S(R). Dann sind F [Φn] = (−i)nΦn und F∗[Φn] = inΦn, fur alle n ∈ N0.

Beweis. Nach Lemma II.3 und (II.26) ist

F [Φn] = (n!)−1/2F[(a∗x)

nΩ]

= (−i)n (n!)−1/2 (a∗k)nF [Ω]

= (−i)n (n!)−1/2 (a∗)nΩ = (−i)n Φn . (II.33)

Analog zeigt man die zweite Gleichung mit Hilfe von (II.27).

Mithilfe dieser Vorbereitungen konnen wir nun zeigen, dass Fouriertransormation das Skala-produkt erhalt.

Satz II.5 (Plancherel). Fur f, g ∈ S(R) gelten⟨F [g]

∣∣F [f ]⟩

=⟨g∣∣ f⟩ =

⟨F∗[g]

∣∣F∗[f ]⟩, (II.34)

∥∥F [f ]∥∥ =

∥∥F∗[f ]∥∥ =

∥∥f∥∥ . (II.35)

23

ENTW



Beweis. Wir zeigen nur die erste Gleichung in (II.34) und dies zunachst fur g = Φn. NachKorollar II.4 ist ⟨

F [Φn]∣∣F [f ]

⟩= in

⟨Φn

∣∣F [f ]⟩

= in∫ ∞−∞

Φn(k)F [f ](k) dk

= in∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

Φn(k) e−ikx f(x)dx√2π

)dk . (II.36)

Wir wenden nun Lemma II.8 auf F (k, x) := Φn(k) e−ikx f(x) an. Da Φn, f ∈ S(R) SchwartzscheTestfunktionen sind, ist offensichtlich F ∈ C(R;C) und genugt der integrablen Majorante inProduktform |F (k, x)| ≤ |Φn(k)| |f(x)|. Nach Lemma II.8 konnen also die Integrationen in(II.34) vertauscht werden, und wir erhalten

⟨F [Φn]

∣∣F [f ]⟩

= in∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

Φn(k) eikxdk√2π

)f(x) dx (II.37)

= in⟨F∗[Φn]

∣∣ f⟩ =⟨(−i)nF∗[Φn]

∣∣ f⟩ =⟨Φn

∣∣ f⟩ .Allgemein gilt fur f, g ∈ S(R) ⊆ R2(R), dass

f =∞∑n=0

〈Φn|f〉Φn und F [f ] =∞∑n=0

〈Φn|F [f ]〉Φn , (II.38)

g =∞∑m=0

〈Φm|g〉Φm und F [g] =∞∑m=0

〈Φm|F [g]〉Φm . (II.39)

Also ist nach (II.37)

⟨F [g]

∣∣F [f ]⟩

=∞∑

m,n=0

〈F [g]|Φm〉〈Φm|Φn〉〈Φn|F [f ]〉 =∞∑n=0

〈F [g]|Φn〉〈Φn|F [f ]〉

=∞∑n=0

〈F [g]|inΦn〉〈inΦn|F [f ]〉 =∞∑n=0

〈F [g]|F [Φn]〉〈F [Φn]|F [f ]〉

=∞∑n=0

〈g|Φn〉〈Φn|f〉 = 〈g|f〉 . (II.40)

Glg. (II.35) ist der Spezialfall f = g in (II.34).

Das folgende Korollar zeigt noch, dass die inverse Fouriertransformation F∗ : S(R)→ S(R) inder Tat die inverse Abbildung zu F : S(R)→ S(R) ist.

Korollar II.6. Es gilt F∗ F = F F∗ = 1 auf S(R).

Beweis. Seien f ∈ S(R), ε > 0 und N ∈ N so groß, dass ‖f − fN‖ ≤ ε, wobei

fN =N∑n=0

〈Φn|f〉Φn . (II.41)

24

ENTW



Nach Korollar II.4 sind dann

F [fN ] =N∑n=0

〈Φn|f〉 inΦn (II.42)

und deshalb auch

(F∗ F)[fN ] =N∑n=0

〈Φn|f〉 in(−i)nΦn = fN . (II.43)

Nach dem Satz II.5 von Plancherel gilt jedoch, dass∥∥(F∗ F)[f − fN ]∥∥ =

∥∥F [f − fN ]∥∥ =

∥∥f − fN∥∥ ≤ ε , (II.44)

so dass wir ∥∥f − (F∗ F)[f ]∥∥ ≤ ∥∥f − fN∥∥+

∥∥(F∗ F)[f − fN ]∥∥ ≤ 2ε (II.45)

erhalten, was im Limes ε→ 0 die Behauptung ergibt.


• Wir zeigen nun, wie ein Frequenzfilter prinzipiell funktioniert, mit dem ein Empfangeraus einem Funksignal einen bestimmten Sender herausfiltern kann. Dazu nehmen wiran, das empfangene Funksignal f(t) zum Zeitpunkt t ∈ R stamme von drei Sendernf1(t), f2(t), f3(t). Das Funksignal ist dann die Summe der drei Funksignale f1(t), f2(t), f3(t)der einzelnen Sender,

fin(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) . (II.46)

Dass die Signale einfach nur addiert werden, ist eine Folge des Superpositionsprinzips.Funksignale sind Losungen der Maxwellgleichung der Elektrodynamik. Das Superpositi-onsprinzip besagt, dass mit zwei gegebenen Losungen f1 und f2 auch f1 + αf2 fur jedesα ∈ C eine Losung der (homogenen) Maxwellgleichung ist, dass also die Losungen im Sin-ne der Linearen Algebra einen Unterraum des Vektorraums aller Funktionen f : R→ C,t 7→ f(t), bilden. Das Superpositionsprinzip folgt aus der Tatsache, dass die Maxwellglei-chung ein System linearer (partieller) Differentialgleichungen ist. Diese fur Anwendungenoffensichtlich fundamentale Konsequenz ubersieht man bei einem ersten Blick auf dieMaxwellgleichung leicht.

• Wir nehmen die drei Funksignale f1(t), f2(t), f3(t) der Einfachheit halber als gleichstarkund zu gleichen Zeitpunkten einsetzend und endend an. Außerdem sollen die Signaleauf den Frequenzen ω1, ω2, ω3 ∈ (a, 2a) mit a = 108 (in Einheiten von [a] = 1/sec,entsprechend 100 MHz) mit ω1 < ω2 < ω3 liegen,

fn(t) = T−1/2 exp[− 1

2(t/T )2

]exp[−iωnt] , n = 1, 2, 3. (II.47)

Dabei ist T = 102 (Das Zeitintervall der Dauer T wird in [T ] = sec gemessen, es wird alsoein Beitrag von 100 Sekunden gesendet – bspw. ein kurzes Lied).

25

ENTW



• Als Filter wird ein elektronisches Bauteil verwendet, das im Resultat das Eingangssignalfin mit einer Funktion

g(t) = τ−1/2 exp[− 1

2(t/τ)2

]exp[−iωτ ] (II.48)

faltet, mit dem Resultat

fout(t) := [f ∗ g](t) =

∫ ∞−∞

fin(t− s) g(s) ds . (II.49)

Hier ist ω > 0 die Filterfrequenz und τ ≤ 10−1 das Abtastintervall. Die Faltung mit gverzogert das Signal um hochstens eine Zehntelsekunde, was wir als nicht wahrnehmbarvoraussetzen.

• Zur Ermittlung von fout berechnen wir fn ∗ g:

[fn ∗ g](t) =

∫ ∞−∞

fn(t− s) g(s) ds (II.50)

= (τ T )−1/2

∫ ∞−∞

exp[− 1

2(t− s/T )2 + (s/τ)2 − iωn(t− s)− iωs

]ds .

Mit q := τ/T erhalten wir aus einer quadratischen Erganzung im Exponenten

−1

2

(t− sT

)2

− 1

2

(sτ

)2

= −1

2

t2

T 2− 1

2

( 1

T 2+

1

τ 2

)s2 +

ts

T 2(II.51)

= − 1

2T 2

(t2 +

[1 + q−2

]s2 − ts

)= − 1

2T 2

[t2 − t2

1 + q−2+(√

1 + q−2s− t√1 + q−2

)2]

= − 1

2T 2

[q−2 t2

1 + q−2+(1 + q−2

)(s− t

1 + q−2

)2]

Setzen wir dies ins Integral ein und substituieren s durch x := s− t/(1 + q−2) und spaterx durch y :=

√1 + q−2x/T , so ergibt sich

[fn ∗ g](t) = (τ T )−1/2

∫ ∞−∞

exp[− 1

2(t− s/T )2 + (s/τ)2 − iωnt− i(ω − ωn)s

]ds

= (τ T )−1/2 exp[− t2

2T 2

q−2

1 + q−2− i(ωn +

ω − ωn1 + q−2

)t]

·∫ ∞−∞

exp[− 1 + q−2

2T 2x2 − i(ω − ωn)x

]dx .

= (τ T )−1/2 exp[− t2

2T 2

q−2

1 + q−2− i(ωn +

ω − ωn1 + q−2

)t] T√

1 + q−2

·∫ ∞−∞

exp[− 1

2y2 − i(ω − ωn)T√

1 + q−2y]dy . (II.52)

26

ENTW



Aus (II.31) erhalten wir weiter, dass∫ ∞−∞

exp[− 1

2y2−i(ω − ωn)T√

1 + q−2y]dy

= exp[− (ω − ωn)2T 2

2(1 + q−2)

] ∫ ∞−∞

exp[− 1

2

(y + i

(ω − ωn)T√1 + q−2

)2]dy

=√

2π exp[− (ω − ωn)2T 2

2(1 + q−2)

], (II.53)

und somit vereinfacht sich (II.52) zu

[fn ∗ g](t) =

√2π q−1

1 + q−2exp

[− (ω − ωn)2T 2

2(1 + q−2)− t2

2T 2

q−2

1 + q−2− i(ωn +

ω − ωn1 + q−2

)t]

=

√2π q−1

1 + q−2exp

[− (ω − ωn)2T 2

2(1 + q−2)− t2

2T 2

q−2

1 + q−2− i( 1

1 + q−2ω +

q−2

1 + q−2ωn

)t]

=

√2π

q(1 + q2)exp

[− (ω − ωn)2τ 2

2(1 + q2)− t2

2T 2

1

1 + q2− i( 1

1 + q2ωn +

q2

1 + q2ω)t]. (II.54)

Unter Beachtung, dass q ≤ 10−3 eine kleine positive Zahl ist, konnen wir das Ergeb-nis (II.54) nun diskutieren.

• Durch die Faltung verschiebt sich die Signalfrequenz minimal von ωn auf den gewichtetenMittelwert 1

1+q2ωn + q2

1+q2ω von ωn und der Filterfrequenz ω.

• Die Signaldauer erhoht sich minimal von T auf T (1 + q2).

• Signalfrequenzen ωn, die von der Filterfrequenz ω abweichen, werden mit einem Damp-

fungsfaktor exp[− (ω−ωn)2τ2

2(1+q2)

]≈ exp

[− 1

2(ω − ωn)2τ 2

]unterdruckt. Die Trennscharfe ist

dabei also gleich τ−1, d.h. wenn ωn von ω um bspw. 5 · τ−1 oder mehr abweicht, so ist

exp[− (ω − ωn)2τ 2

2(1 + q2)

]≤ exp

[− 25

2(1 + 10−6)

]≤ 4 · 10−6 . (II.55)

• Bei der Verteilung der Sendefrequenzen bzw. Bau der Funkempfanger muss also

∀m 6= n : |ωm − ωn| τ−1 (II.56)

beachtet werden. Gilt fur m 6= n dass |ωm−ωn| ≥ 50 000, so ist also τ ≤ 10−4 zu fordern.

• Andererseits sind die Signale frequenzmoduliert, und ωn ist nicht fest, sondern variiertmit der Frequenz des (z.B. Audio-)Signals von etwa ∆ω := 10 000 Hertz um ωn. Wird alsodie Filterfrequenz auf genau ω = ωn eingestellt, so ist gemaß (II.54) eine (unerwunschte)

27

ENTW



Dampfung des gesuchten Signals von exp[− (∆ω)2τ2

2(1+q2)

]zu erwarten. Damit diese Dampfung

vernachlassigt werden kann, muss man also andererseits auch

∆ω τ−1 (II.57)

fordern.

• Um die Existenz einer Losung τ von (II.56) und (II.57) zu sichern, mussen die Sendefre-quenzen genugend weit auseinanderliegen. Es muss also

∀m 6= n : |ωm − ωn| ∆ω (II.58)

gelten. Deshalb gibt es einen Mindestabstand der Sendefrequenzen der FM-Radiosendervon 50 000 Hertz. Wir sehen außerdem, dass

τ ≈ 10−4 [sec] (II.59)

gewahlt werden muss.

28

ENTW


KAPITEL II. FOURIERTRANSFORMATION II.1. ERGANZUNGEN

II.1 Erganzungen

II.1.1 Kommutatorlemma

Lemma II.7. Fur A,B ∈ N0 und f ∈ S(R) gilt

dA

dxA

[xB · f

]=

min(A,B)∑k=0

k!

(Ak

) (Bk

)xB−k f (A−k) . (II.60)

Beweis. Wir schreiben ∂ := ddx

und lassen die Funktion f weg, sodass (II.60) gleichwertig istmit

∂A xB =

min(A,B)∑k=0

A!B!

(A− k)! (B − k)! k!xB−k ∂A−k . (II.61)

Zunachst stellen wir fest, dass (II.61) fur A = 0 oder B = 0 trivial richtig ist und wir deshalbo.B.d.A. A,B ∈ N annehmen konnen. Wir unterscheiden zwei Falle.

(i) 1 ≤ B ≤ A: Wir fuhren den Beweis fur festes A durch Induktion in B. Fur B = 1 sindmin(A,B) = 1 und

∂A x = x ∂A + A∂A−1 =1∑

k=0

A! 1!

(A− k)! (1− k)! k!x1−k ∂A−k , (II.62)

wie in (II.61) behauptet. Gilt nun die Behauptung fur B − 1 ∈ N, so folgt mit (II.62) sowiemin(A,B − 1) = B − 1 und min(A,B) = B, dass

∂A xB =

min(A,B−1)∑k=0

A! (B − 1)!

(A− k)! (B − 1− k)! k!xB−1−k ∂A−k x

=B−1∑k=0

A! (B − 1)!

(A− k)! (B − 1− k)! k!xB−1−k (x ∂A−k + (A− k) ∂A−k−1

)=

B−1∑k=0

A! (B − 1)!

(A− k)! (B − 1− k)! k!xB−k ∂A−k

+B−1∑k=0

A! (B − 1)!

(A− k − 1)! (B − 1− k)! k!xB−1−k ∂A−k−1

=B−1∑k=0

A! (B − 1)!

(A− k)! (B − 1− k)! k!xB−k ∂A−k

+B∑`=1

A! (B − 1)!

(A− `)! (B − `)! (`− 1)!xB−` ∂A−` . (II.63)

29

ENTW


II.1. ERGANZUNGEN KAPITEL II. FOURIERTRANSFORMATION

Diese beiden Summen konnen wir mit Hilfe von Indikatorfunktionen zu einer einzigen zusam-menfassen,

∂A xB =B∑k=0

A! (B − 1)! 1[k ≤ B − 1]

(A− k)! (B − 1− k)! k!+

A! (B − 1)! 1[k ≥ 1]

(A− k)! (B − k)! (k − 1)!

xB−k ∂A−k (II.64)

=B∑k=0

A! (B − 1)!

(A− k)! (B − k)! k!·(1[k ≤ B − 1] (B − k) + 1[k ≥ 1] k

)xB−k ∂A−k .

Nun ist fur k ∈ ZB0

1[k ≤ B − 1] (B − k) + 1[k ≥ 1] k = (B − k) + k = B , (II.65)

und daher

∂A xB =B∑k=0

A!B!

(A− k)! (B − k)! k!xB−k ∂A−k , (II.66)

wie in (II.61) behauptet.(ii) 1 ≤ A ≤ B: Wir fuhren den Beweis fur festes B durch Induktion in A. Fur A = 1 sindmin(A,B) = 1 und

∂ xB = xB ∂ +B xB−1 =1∑

k=0

1!B!

(1− k)! (B − k)! k!xB−k ∂1−k , (II.67)

wie in (II.61) behauptet. Gilt nun die Behauptung fur A − 1 ∈ N, so folgt mit (II.67) sowiemin(A− 1, B) = A− 1 und min(A,B) = A, dass

∂A xB =A−1∑k=0

(A− 1)!B!

(A− 1− k)! (B − k)! k!∂ xB−k ∂A−1−k

=A−1∑k=0

(A− 1)!B!

(A− 1− k)! (B − k)! k!

(xB−k ∂A−1−k + (B − k)xB−k−1 ∂A−1−k) . (II.68)

Das weitere Argument ist analog zu (II.63)-(II.66).

II.1.2 Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge

Ohne maßtheoretische Grundlagen ist es muhsam, einen praktikablen Begriff fur Integrale uberRd mit d ≥ 2 einzufuhren. Fur Funktionen mit genugend starker Regularitat gibt es aberAbkurzungen, von denen wir im folgenden Lemma eine vorstellen.

Lemma II.8. Seien F ∈ C(R2;C) und f, g ∈ R[R;R+0 ] zwei nichtnegative (absolut) integrable

Funktionen so, dass |F (x, y)| ≤ f(x) · g(y) fur alle x, y ∈ R. Dann ist∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dx

)dy =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dy

)dx . (II.69)

30

ENTW


KAPITEL II. FOURIERTRANSFORMATION II.1. ERGANZUNGEN

Beweis. Zunachst bemerken wir, dass fur L > 0

1− 1(|x| ≤ L)1(|y| ≤ L) = 1(|x| > L) + 1(|x| ≤ L)1(|y| > L) ≤ 1(|x| > L) + 1(|y| > L) .(II.70)

Deshalb ist ∣∣∣∣ ∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dx

)dy −

∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dx

)dy

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ ∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

[1− 1(|x| ≤ L)1(|y| ≤ L)

]F (x, y) dx

)dy

∣∣∣∣≤(∫ L

−∞f(x) dx+

∫ ∞L

f(x) dx

)(∫ ∞−∞

g(y) dy

)+

(∫ ∞−∞

f(x) dx

)(∫ L

−∞g(y) dy +

∫ ∞L

g(y) dy

). (II.71)

Fugen wir eine entsprechende Abschatzung fur die andere Integrationsreihenfolge großzugighinzu, erhalten wir∣∣∣∣ ∫ ∞

−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dx

)dy −

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dy

)dx

∣∣∣∣≤∣∣∣∣ ∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dx

)dy −

∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dy

)dx

∣∣∣∣ (II.72)

+ 2

(∫ L

−∞[f(x) + g(x)] dx+

∫ ∞L

[f(x) + g(x)] dx

)(∫ ∞−∞

[f(x) + g(x)] dx

).

Ist nun ε > 0 vorgegeben, so konnen wir wegen der Integrabilitat von f und g durch einegenugend große Wahl von L ∈ N erzwingen, dass∣∣∣∣ ∫ ∞

−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dx

)dy −

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dy

)dx

∣∣∣∣≤∣∣∣∣ ∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dx

)dy −

∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dy

)dx

∣∣∣∣ +ε

2. (II.73)

Von nun an ist L ∈ N fest gewahlt. Da [−L,L]2 ⊆ R2 kompakt ist, ist F auf [−L,L]2 sogargleichmaßig stetig, d.h. fur ein genugend großes N ∈ N gilt

∀x, x′, y, y′ ∈ [−L,L] : max|x− x′|, |y − y′|

≤ 1

N⇒ |F (x, y)− F (x′, y′)| ≤ ε

4L2.

(II.74)

Wir beobachten, dass∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dx

)dy (II.75)

=NL−1∑k=−NL

∫ 1/(2N)

−1/(2N)

( NL−1∑`=−NL

∫ 1/(2N)

−1/(2N)

F(

1N

(k + 12) + s , 1

N(`+ 1

2) + t

)ds

)dt ,

31

ENTW


II.1. ERGANZUNGEN KAPITEL II. FOURIERTRANSFORMATION

und mit (II.74) folgt∣∣∣∣ ∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dx

)dy − 1

N2

NL−1∑k=−NL

NL−1∑`=−NL

F(

1N

(k + 12) , 1

N(`+ 1

2))∣∣∣∣

≤NL−1∑k=−NL

∫ 1/(2N)

−1/(2N)

( NL−1∑`=−NL

(II.76)

∫ 1/(2N)

−1/(2N)

∣∣∣F( 1N

(k + 12) + s , 1

N(`+ 1

2) + t

)− F

(1N

(k + 12) , 1

N(`+ 1

2))∣∣∣ ds) dt

≤ 1

N2

ε

4L2

NL−1∑k,`=−NL

≤ ε

4. (II.77)

Wir konnen also das Integral in (II.75) durch eine endliche Summe bis auf einen beliebig kleinenFehler approximieren. Dies geht auch fur die andere Integrationsreihenfolge: genauso wie in(II.76) erhalt man∣∣∣∣ ∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dy

)dx − 1

N2

NL−1∑`=−NL

NL−1∑k=−NL

F(

1N

(k + 12) , 1

N(`+ 1

2))∣∣∣∣ ≤ ε

4. (II.78)

Da es sich in (II.76) und (II.78) jeweils um endliche Summen handelt, kann die Summations-reihenfolge (im Gegensatz zur Integrationsreihenfolge i. Allg.) vertauscht werden,

NL−1∑k=−NL

( NL−1∑`=−NL

A(k, `)

)=

NL−1∑`=−NL

( NL−1∑k=−NL

A(k, `)

)=

NL−1∑k,`=−NL

A(k, `) . (II.79)

Daher ist ∣∣∣∣ ∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dx

)dy −

∫ L

−L

(∫ L

−LF (x, y) dy

)dx

∣∣∣∣ ≤ ε

2. (II.80)

Setzen wir dies in (II.73) ein, so folgt dass∣∣∣∣ ∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dx

)dy −

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

F (x, y) dy

)dx

∣∣∣∣ ≤ ε , (II.81)

und die Behauptung ergibt sich im Limes ε→ 0.

32

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER

Kapitel III

Differentiation von Funktionenmehrerer Veranderlicher

III.1 Partielle und stetige Differenzierbarkeit

Definition III.1. Seien M ∈ N, U ⊆ RM offen, x ∈ U , F : U → R und j ∈ ZM1 .

(i) Die Funktion F heißt bei x ∈ U partiell nach xj differenzierbar

:⇔ ∂F (x)

∂xj:= lim

t→0

F (x+ tej)− F (x)

t

existiert, (III.1)

wobei ej = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0)T ∈ RM der j. kanonische Basisvektor ist. In diesem Fall

heißt ∂F (x)∂xj

=: ∂xjF (x) partielle Ableitung von F nach xj bei x.

(ii) Die Funktion F heißt bei x ∈ U partiell differenzierbar

:⇔ ∀j ∈ ZM1 : F ist bei x partiell nach xj differenzierbar. (III.2)

In diesem Fall heißt der reelle Vektor

∇F (x) :=

∂F (x)∂x1

∂F (x)∂x2

...∂F (x)∂xM

∈ RM (III.3)

der partiellen Ableitungen Gradient von F bei x.

33

ENTW


III.1. PARTIELLE UND STETIGE DIFFERENZIERBARKEIT


(iii) Die Funktion F heißt auf U partiell differenzierbar

:⇔ ∀x ∈ U : F ist bei x partiell differenzierbar. (III.4)


• Da U eine offene Menge ist, ist x ∈ U ein innerer Punkt, und es gibt r > 0, sodassBeukl(x, r) ⊆ U . Diese Eigenschaft sichert, dass F (x+ tej) und damit der Differenzenquo-tient in (III.1) fur t ∈ (−r, r) uberhaupt definiert ist. Dies unterstreicht die Bedeutungdes topologischen Begriffs der offenen Menge.

• Die partielle Ableitung einer Funktion F nach einer Variablen xj bedeutet konkret, dassman F (x1, x2, . . . , xj−1, xj, xj+1, . . . , xM) nach xj differenziert und alle anderen Variablen,x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xM , als Parameter betrachtet.

• Wir betrachten U = R3 und F (x) := x1 x22 + 10x5

3 x2, wobei x = (x1, x2, x3)T . Dann sind

∂F (x)

∂x1

= x22,

∂F (x)

∂x2

= 2x1 x2 + 10x53,

∂F (x)

∂x3

= 50x43 x2, (III.5)

die partiellen Ableitungen, und der Gradient von F bei x ist

∇F (x) :=

x22

2x1 x2 + 10x53

50x43 x2

∈ R3. (III.6)

• Wir betrachten U = R2 und F (x) := sin(x21 − x2

2), wobei x = (x1, x2)T . Dann sind

∂F (x)

∂x1

= 2x1 cos(x21 − x2

2),∂F (x)

∂x2

= −2x2 cos(x21 − x2

2), (III.7)

die partiellen Ableitungen, und der Gradient von F bei x ist

∇F (x) :=

(2x1 cos(x2

1 − x22)

−2x2 cos(x21 − x2

2)

)∈ R2. (III.8)

Definition III.2. Seien M,N ∈ N, U ⊆ RM offen, V ⊆ RN offen und F = (F1, F2, . . . , FN) :U → V .

(i) F ist bei x ∈ U partiell differenzierbar

:⇔ ∀i ∈ ZN1 : Fi ist bei x partiell differenzierbar. (III.9)

(ii) F ist auf U partiell differenzierbar

:⇔ ∀x ∈ U : F ist bei x partiell differenzierbar. (III.10)

In diesem Fall heißt die reelle N ×M -Matrix

JF (x) :=

∂F1(x)∂x1

. . . ∂F1(x)∂xM

......

∂FN (x)∂x1

. . . ∂FN (x)∂xM

∈ MN×M(R) (III.11)

der partiellen Ableitungen Jacobimatrix von F bei x.

34

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER III.1. PARTIELLE UND STETIGE DIFFERENZIERBARKEIT


• Wir betrachten U = R+ × (−π, π) 3 (r, ϕ) und

F (r, ϕ) :=

(F1(r, ϕ)F2(r, ϕ)

):=

(r cos(ϕ)r sin(ϕ)

). (III.12)

Dann ist

JF (x) =

(∂F1(r,ϕ)

∂r∂F1(r,ϕ)∂ϕ

∂F2(r,ϕ)∂r

∂F2(r,ϕ)∂ϕ

)=

(cos(ϕ) −r sin(ϕ)

sin(ϕ) r cos(ϕ)

). (III.13)

Definition III.3. Seien M,N ∈ N, U ⊆ RM , V ⊆ RN offene Teilmengen und F : U → V .

(i) F heißt stetig differenzierbar auf U :⇔

F ist partiell differenzierbar auf U und ∀i ∈ ZN1 , j ∈ ZM1 :∂Fi∂xj

ist stetig auf U .

(III.14)

Die Klasse der auf U stetig differenzierbaren Funktionen mit Werten in V bezeichnet manmit

C1(U ;V ) :=F : U → V

∣∣ F ist stetig differenzierbar auf U. (III.15)

(ii) Sei k ∈ N. F heißt k-mal stetig differenzierbar auf U :⇔

F ist stetig differenzierbar auf U und

∀j1 ∈ ZM1 :∂F

∂xj1ist stetig differenzierbar auf U und (III.16)

∀j1, j2 ∈ ZM1 :∂

∂xj2

( ∂F∂xj1

)ist stetig differenzierbar auf U und

...

∀j1, . . . , jk−1 ∈ ZM1 :∂

∂xjk−1

(· · · ∂

∂xj2

( ∂F∂xj1

))ist stetig differenzierbar auf U.

In diesem Fall bezeichnet

∂kF (x)

∂xjk ∂xjk−1· · · ∂xj1

:=∂

∂xjk

[∂

∂xjk−1

(· · ·( ∂

∂xj1F))]

(x) (III.17)

die k. partielle Ableitung von F nach xj1 , . . . ,xjk . Die Klasse der auf U k-mal stetigdifferenzierbaren Funktionen mit Werten in V bezeichnet man mit

Ck(U ;V ) :=F : U → V

∣∣ F ist k-mal stetig differenzierbar auf U. (III.18)

35

ENTW


III.1. PARTIELLE UND STETIGE DIFFERENZIERBARKEIT


(iii) Die Klasse der unendlich oft (stetig) differenzierbaren oder auch glatten Funktio-nen auf U mit Werten in V wird mit

C∞(U ;V ) :=∞⋂k=1

Ck(U ;V ) (III.19)

bezeichnet, und

C∞0 (RM ;V ) :=F ∈ C∞(RM ;V )

∣∣ supp(F ) ist kompakt

(III.20)

=F ∈ C∞(RM ;V )

∣∣ ∃R <∞ ∀~x ∈ RM , |~x| ≥ R : F (~x) = 0

sind die unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Trager,wobei Trager supp(F) von F die Menge supp(F ) := x ∈ RM | F (x) 6= 0 bezeichnet,auf der F nicht verschwindet.


• Wir betrachten abermals U = R3, N = 1, V = R und F (x) := x1 x22 + 10x5

3 x2, wobeix = (x1, x2, x3)T . Dann sind

∂F (x)

∂x2

= 2x1 x2 + 10x53,

∂2F (x)

∂x1 ∂x2

= 2x2,∂2F (x)

∂x1 ∂x1 ∂x2

= 0, (III.21)

∂F (x)

∂x1

= x22,

∂2F (x)

∂x2 ∂x1

= 2x2,∂2F (x)

∂x1 ∂x2 ∂x1

= 0. (III.22)

Der folgende Satz zeigt, dass stetige Differenzierbarkeit die Vertauschbarkeit der partiellenAbleitungen garantiert.

Satz III.4. Seien M,k ∈ N, k ≥ 2, U ⊆ RM und V ⊆ R offene Teilmengen und F ∈ Ck(U ;V ).Seien weiterhin j1, j2, . . . , jk ∈ ZM1 und sei π ∈ Sk eine Permutation von k Elementen. Danngilt fur jedes x ∈ U dass

∂kF (x)

∂xj1 ∂xj2 · · · ∂xjk=

∂kF (x)

∂xjπ(1) ∂xjπ(2) . . . ∂xjπ(k). (III.23)

Beweis. Wir zeigen (III.23) zunachst fur k = 2. Seien dazu F ∈ C2(U ;V ) sowie α, β ∈ ZM1 mitα < β. Dann ist

∂2F (x)

∂xα∂xβ= lim

t→0

1

t

(∂F

∂xβ(x+ teα)− ∂F

∂xβ(x)

)= lim

t→0lims→0

1

s t

[F (x+ teα + seβ)− F (x+ teα)− F (x+ seβ) + F (x)

]= lim

t→0lims→0G(t, s), (III.24)

wobei

G(t, s) :=1

s t

[F (x+ teα + seβ)− F (x+ seβ)− F (x+ teα) + F (x)

], (III.25)

36

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER III.1. PARTIELLE UND STETIGE DIFFERENZIERBARKEIT

fur festes x ∈ U . Wir definieren weiterhin, fur festes s 6= 0,

G(t) := F (x+ teα + seβ)− F (x+ teα), (III.26)

so dass,

G(t, s) =1

s t

[G(t)− G(0)

]=

1

s

dG(θt t)

dt

=1

s

[∂F

∂xα(x+ θtteα + seβ)− ∂F

∂xα(x+ θtteα)

]=

∂2F

∂xβ∂xα(x+ θtteα + θs seβ), (III.27)

nach zweimaliger Anwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung, wobei θt, θs ∈(0, 1). Gleichung (III.27) zeigt, dass G(t, s) stetig fortsetzbar in (t, s) bei (0, 0) ist, also gleich-zeitig in t→ 0 und s→ 0 und unabhangig von der Reihenfolge der Limiten, da F ∈ C2(U ;V ).Also ist

∂2F (x)

∂xα∂xβ= lim

t→0lims→0G(t, s) = lim

(t,s)→(0,0)G(t, s) =

∂2F (x)

∂xβ∂xα. (III.28)

Seien nun k ≥ 3, F ∈ Ck(U ;V ) und 1 ≤ ` ≤ k − 1. Dann ist

F :=∂k−`−1F

∂xj`+2xj`+3

. . . xjk∈ C`+1(U ;V ) ⊆ C2(U ;V ), (III.29)

und damit gilt nach (III.28)

∂2F

∂xj`xj`+1

=∂2F

∂xj`+1xj`

. (III.30)

Setzen wir F ein, so erhalten wir

∂kF

∂xj1 . . . ∂xj`∂xj`+1. . . ∂xjk

=∂kF

∂xj1 . . . ∂xj`+1∂xj` . . . ∂xjk

, (III.31)

also die Gultigkeit von (III.23) im Fall, dass π eine Transposition ist. Da sich jede Permu-tation als Komposition von Transpositionen schreiben lasst, folgt somit (III.23) auch fur denallgemeinen Fall π ∈ SK .


• Fur k = 2 und α, β ∈ 1, . . . ,M behauptet (III.23), dass

∂2F (x)

∂xα∂xβ=

∂2F (x)

∂xβ∂xα. (III.32)

• Seien M = k = 2 und f(x1, x2) = x31 x2 + 5x1 x

62. Dann sind

∂f

∂x1

(x1, x2) = 3x21 x2 + 5x6

2,∂f

∂x2

(x1, x2) = x31 + 30x1 x

52, (III.33)

∂2f

∂x2∂x1

(x1, x2) = 3x21 + 30x5

2 =∂2f(x1, x2)

∂x1∂x2

. (III.34)

37

ENTW


III.2. BESCHRANKTE LINEARE OPERATOREN


III.2 Beschrankte lineare Operatoren

Definition III.5. Seien (X, ‖ ·‖X) und (Y, ‖ ·‖Y ) zwei normierte K-Vektorraume. Wir bezeich-nen mit

B(X;Y ) :=A : X → Y

∣∣ A linear, ‖A‖B(X;Y ) <∞

(III.35)

den Raum der beschrankten linearen Operatoren (von X nach Y), wobei

‖A‖B(X;Y ) := supx∈X\0

‖Ax‖Y‖x‖X

= sup

x∈X,‖x‖X=1

‖Ax‖Y

(III.36)

die Operatornorm von A ist.


• Seien (X, ‖ · ‖X), (Y, ‖ · ‖Y ) und (Z, ‖ · ‖Z) drei Banachraume und x ∈ X, A ∈ B(X;Y )sowie B ∈ B(Y ;Z). Aus der Definition (III.36) der Operatornorm folgt sofort, dass

‖Ax‖Y ≤ ‖A‖B(X;Y ) · ‖x‖X , (III.37)

‖BA‖B(X;Z) ≤ ‖B‖B(Y ;Z) · ‖A‖B(X;Y ). (III.38)

• Sind (X, ‖·‖X) ein normierter Raum und (Y, ‖·‖Y ) ein Banachraum, so ist auch(B(X;Y ), ‖·

‖B(X;Y )

)ein Banachraum.

• Sind (X, ‖ · ‖X) und (Y, ‖ · ‖Y ) zwei Banachraume uber K und A : X → Y linear, so giltfolgende Aquivalenz:

‖A‖B(X;Y ) < ∞

⇔A : X → Y ist stetig

. (III.39)

• Seien M,N ∈ N und X = KM , Y = KN . Wir wahlen auf X und Y jeweils die unitarebzw. euklidsche Norm

‖x‖X :=√|x1|2 + . . .+ |xM |2 , ‖y‖Y :=

√|y1|2 + . . .+ |yN |2 , (III.40)

wobei x = (x1, . . . , xM)T ∈ KM und y = (y1, . . . , yN)T ∈ KN . Sei nun A : KM → KN einelineare Abbildung mit der Matrixdarstellung (Ak,`)k∈ZN1 ,`∈ZM1 ∈MN×M(K) bezuglich der

Standardbasen in KM und KN . Fur x = (x1, . . . , xM)T ∈ KM erhalten wir dann aus derCauchy-Schwarz-Ungleichung

‖Ax‖2Y =

N∑k=1

|(Ax)k|2 =N∑k=1

∣∣∣∣ M∑`=1

Ak,` x`

∣∣∣∣2 ≤ N∑k=1

( M∑`=1

|Ak,`|2) ( M∑

`=1

|x`|2)

=

( N∑k=1

M∑`=1

|Ak,`|2)‖x‖X . (III.41)

Also ist

‖A‖B(X;Y ) = supx∈X\0

‖Ax‖Y‖x‖X

≤( N∑

k=1

M∑`=1

|Ak,`|2)1/2

. (III.42)

38

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER III.3. TOTALE DIFFERENZIERBARKEIT

• Insbesondere ist jede lineare Abbildung von KM nach KN ein beschrankter linearer Ope-rator,

B(KM ;KN

)= L

(KM ;KN

), (III.43)

und zwar unabhangig von der auf KM und KN definierten Norm.

III.3 Totale Differenzierbarkeit

Definition III.6. Seien (X, ‖ · ‖X), (Y, ‖ · ‖Y ) zwei Banachraume, U ⊆ X und V ⊆ Y zweinichtleere offene Teilmengen und x ∈ U .

(i) Eine Abbildung F : U → V heißt total differenzierbar bei x.

:⇔ ∃ A ∈ B(X;Y ) : limz→0

‖F (x+ z)− F (x)− Az‖Y

‖z‖X

= 0. (III.44)

In diesem Fall heißt

F ′(x) := dF (x) := A (III.45)

totale Ableitung von F bei x.

(ii) Die Abbildung F : U → V heißt total differenzierbar auf U

:⇔ ∀x ∈ U : F ist differenzierbar bei x. (III.46)

In diesem Fall ist F ′ : U → B(X;Y ).


• Fur (X, ‖ · ‖X) = (Y, ‖ · ‖Y ) = (R, | · |) sind die linearen Abbildungen von R nach R reelle1×1-Matrizen, also reelle Zahlen, B(R;R) ∼= R. Nach Definition III.6 ist f : R→ R somitgenau dann total differenzierbar bei x ∈ R, wenn es eine Zahl f ′(x) ∈ R gibt, sodass

limz→0

|f(x+ z)− f(x)− f ′(x) · z|

|z|

=

∣∣∣∣ limz→0

f(x+ z)− f(x)

z

− f ′(x)

∣∣∣∣ = 0.

(III.47)

Dies ist aber offensichtlich gleichwertig mit der Existenz von

f ′(x) := limz→0

f(x+ z)− f(x)

z

∈ R. (III.48)

Fur X = Y = R fallt also totale Differenzierbarkeit mit dem ublichen Begriff der Diffe-renzierbarkeit einer reellen Funktion einer reellen Variablen zusammen.

39

ENTW


III.3. TOTALE DIFFERENZIERBARKEIT


• Weiterhin bemerken wir, dass die Ableitung einer total differenzierbaren Funktion ein-deutig ist. Gilt namlich (III.44) sowohl fur A ∈ B(X;Y ) als auch fur A ∈ B(X;Y ), so

setzen wir B := A− A. Sind nun z ∈ X \ 0 und t > 0, so beobachten wir, dass

‖Bz‖Y‖z‖X

=‖B(tz)‖Y‖tz‖X

= limt→0

‖B(tz)‖Y‖tz‖X

, (III.49)

da der zweite Ausdruck gar nicht von t abhangt. Somit ist aber

‖B(z)‖Y‖z‖X

= limt→0

‖(A− A)(tz)‖Y

‖tz‖X

(III.50)

≤ limt→0

‖F (x+ tz)− F (x)− A(tz)‖Y‖tz‖X

+ lim

t→0

‖F (x+ tz)− F (x)− A(tz)‖Y‖tz‖X

= 0

also ist ‖Bz‖Y = 0, fur alle z ∈ X, was Bz = 0 und daher B = A− A = 0 impliziert.

• Wir stellen fest, dass die totale Differenzierbarkeit (III.44) von F : U → V bei x ∈ Uauch aquivalent durch

∃F ′(x) ∈ B(X;Y ), δ > 0, rx : B(0, δ)→ Y ∀z ∈ B(0, δ) : (III.51)

F (x+ z)− F (x) = F ′(x)z + rx(z) ‖z‖X , limz→0‖rx(z)‖Y = 0,

dargestellt werden kann.

Lemma III.7. Sind U ⊆ X, V ⊆ Y offene Teilmengen zweier Banachraume (X, ‖ · ‖X),(Y, ‖ · ‖Y ) und F : U → V total differenzierbar bei x ∈ U , so ist F auch stetig in x ∈ U .

Satz III.8 (Kettenregel). Seien U ⊆ X, V ⊆ Y und W ⊆ Z offene Teilmengen dreier Ba-nachraume (X, ‖ · ‖X), (Y, ‖ · ‖Y ), (Z, ‖ · ‖Z), und seien G : U → V total differenzierbar beix ∈ U und F : V → W total differenzierbar bei y := G(x) ∈ V . Dann ist auch F G : U → Wtotal differenzierbar bei x, und es gilt

(F G)′ (x) = F ′[G(x)] G′(x). (III.52)

Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen der partiellen und der totalen Differenzierbarkeiteiner Funktion her. Der folgende Satz zeigt, dass diese Begriffe zusammenfallen, wenn manzusatzlich die Stetigkeit der Ableitung fordert.

Satz III.9. Seien M,N ∈ N, U ⊆ RM , V ⊆ RN beide offen und nichtleer und F : U → V .Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

F ist total differenzierbar auf U und F ′ : U → B(RM ;Rn) ist stetig in U. (III.53)

⇔ F ∈ C1(U ;V ), d.h. F ist stetig differenzierbar auf U. (III.54)

40

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER III.3. TOTALE DIFFERENZIERBARKEIT

Gilt (III.53) oder (III.54), so ist

∀x ∈ U : F ′(x) = JF (x), (III.55)

d.h. die Ableitung F ′(x) von F ist gegeben durch die Matrix (∂xjFi)i∈ZN1 ,j∈ZM1 der partiellenAbleitungen, der Jacobimatrix JF (x) von F bei x.


• Satz III.9 zeigt, dass totale und partielle Differenzierbarkeit zusammenfallen, sofern dieAbleitungen stetig sind.

• Im Allgemeinen ist jedoch partielle Differenzierbarkeit der schwachere Begriff, und es gibtFunktionen, die partiell, aber nicht total differenzierbar in einem zu betrachtenen Punktx ∈ U sind. Es gilt also nur

F ist total differenzierbar in x ∈ U ⇒ F ist partiell differenzierbar in x ∈ U, (III.56)

aber nicht notwendig die Umkehrung.

Satz III.9 zeigt auch, dass stetige Differenzierbarkeit auch im allgemeinen Kontext das richtigeKonzept ist, und wir definieren:

Definition III.10. Seien (X, ‖ · ‖X) und (Y, ‖ · ‖Y ) zwei Banachraume uber K und U ⊆ X undV ⊆ Y zwei nichtleere, offene Teilmengen. Die Menge der stetig auf U differenzierbarenFunktionen mit Werten in V ist definiert als

C1(U ;V ) :=F : U → V

∣∣∣ F ist total differenzierbar auf U und F ′ ∈ C[U ;B(X;Y )].

(III.57)

41

ENTW


III.4. ERGANZUNGEN


III.4 Erganzungen

III.4.1 Eigenschaften der Operatornorm

Seien (X, ‖ · ‖X), (Y, ‖ · ‖Y ) und (Z, ‖ · ‖Z) drei Banachraume und x ∈ X, A ∈ B(X;Y ) sowieB ∈ B(Y ;Z). Wir zeigen folgenden Eigenschaften:

‖Ax‖Y ≤ ‖A‖B(X;Y ) · ‖x‖X , (III.58)

‖BA‖B(X;Z) ≤ ‖B‖B(Y ;Z) · ‖A‖B(X;Y ). (III.59)

Um (III.58) zu zeigen, schatzen wir fur x 6= 0 wie folgt ab,

‖Ax‖Y =‖Ax‖Y‖x‖X

· ‖x‖X ≤ supx ′ 6=0

‖Ax ′‖Y‖x ′‖X

· ‖x‖X

= ‖A‖B(X;Y ) · ‖x‖X . (III.60)

Weiterhin gilt fur x ∈ X \ 0 mit Bx 6= 0, dass

‖ABx‖Z‖x‖X

=‖A(Bx)‖Z‖Bx‖Y

· ‖Bx‖Y‖x‖X

≤ supy∈Y \0

‖Ay‖Z‖y‖Y

· supx∈X\0

‖Bx‖Y‖x‖X

= ‖A‖B(Y ;Z) · ‖B‖B(X;Y ), (III.61)

was naturlich auch fur Bx = 0 richtig ist und somit (III.59) impliziert.

III.4.2 Aquivalenz von Stetigkeit und Beschrankheitlinearer Operatoren

Wir zeigen, dass fur zwei Banachraume (X, ‖ · ‖X) und (Y, ‖ · ‖Y ) und einen linearen OperatorA : X → Y folgende Eigenschaften gleichwertig sind:

‖A‖B(X;Y ) < ∞

⇔A : X → Y ist stetig

. (III.62)

“⇒”: Wir kurzen ‖A‖B(X;Y ) mit a := ‖A‖B(X;Y ) ab. Wegen

‖Ax− Ay‖Y = ‖A(x− y)‖Y ≤ a · ‖x− y‖X (III.63)

ist

A(BX(x, r)

)⊆ BY (Ax, ar), (III.64)

fur alle x ∈ X und r > 0. Fur ε > 0 ist mit δ := ε a−1 also

∀x ∈ X : A(BX(x, δ)

)⊆ BY (Ax, ε). (III.65)

“⇐”: Das Urbild der offenen Kugel BY (0, 1) :=y ∈ Y

∣∣ ‖y‖ < 1

um 0 in Y ist wegen derStetigkeit von A und A(0X) = 0Y eine offene Umgebung U ⊆ X von 0 ∈ U . Also gibt es einr > 0, so dass BX(0, r) ⊆ U = A−1

[BY (1, 0)

]. D.h.

A[BX(0, r)

]⊆ BY (0, 1) ⇔ ∀ x ∈ X, ‖x‖X < r : ‖Ax‖Y < 1. (III.66)

42

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER III.4. ERGANZUNGEN

Ist nun x ∈ X \ 0, so setzen wir

x :=r

2‖x‖Xx (III.67)


‖x‖X =r

2‖x‖X· ‖x‖X =

r

2< r, (III.68)

also x ∈ BX(0, r). Somit ist ‖Ax‖Y < 1 gemaß (III.66). Aus der Linearitat von A erhalten wirschließlich

‖Ax‖Y‖x‖X

=

(r

2‖x‖X

)· ‖Ax‖Y(

r2‖x‖X

)· ‖x‖X

=‖Ax‖‖x‖X

≤ 2

r, (III.69)

und somit

‖A‖B(X;Y ) ≤2

r< ∞. (III.70)

III.4.3 Beweis der Kettenregel

Wir setzen (III.51) sukzessiv ein und erhalten

(F G)(x+ z)− (F G)(x)

= F ′[G(x)](G(x+ z)−G(x)

)+ rF,G(x)[G(x+ z)−G(x)] · ‖G(x+ z)−G(x)‖Y

=(F ′[G(x)] G′(x)

)(z) + F ′[G(x)]

(rG,x(z)

)· ‖z‖X +

rF,G(x)[G(x+ z)−G(x)] · ‖G(x+ z)−G(x)‖Y

=(F ′[G(x)] G′(x)

)(z) + rFG,x(z)‖z‖X , (III.71)

mit

rFG,x(z) := F ′[G(x)](rG,x(z)

)+ rF,G(x)[G(x+ z)−G(x)]

‖G(x+ z)−G(x)‖Y‖z‖X

, (III.72)

und es gilt zu zeigen, dass

limz→0‖rFG(x, z)‖Z = 0. (III.73)

Da F ′(G(x)) ∈ B(Y, Z), konnen wir (III.51) anwenden und erhalten

limz→0

∥∥F ′[G(x)](rG,x(z)

)∥∥Z≤ ‖F ′(G(x))‖B(Y ;Z) · lim

z→0‖rG(x, z)‖Y = 0, (III.74)

wobei wir die Differenzierbarkeit von G bei x ausnutzen. Abermals wegen der Differenzierbarkeitvon G bei x gilt

lim supz→0

‖G(x+ z)−G(x)‖Y‖z‖X

= ‖G′(x)‖B(X;Y ). (III.75)

Nach Lemma III.7 ist G stetig bei x, und es gilt limz→0G(x+ z)−G(x) = 0. Daher ist

limz→0

rF,G(x)[G(x+ z)−G(x)] = 0, (III.76)

und (III.74)–(III.76) ergeben (III.52).

43

ENTW


III.4. ERGANZUNGEN


III.4.4 Totale und partielle stetige Differenzierbarkeitsind gleichwertig

In diesem Abschnitt beweisen wir Satz III.9, dem gemaß totale und partielle Ableitungen zu-sammenfallen, wenn sie jeweils stetig sind.

Beweis. Wir beweisen zunachst (III.54) ⇒ (III.53), und zwar fur den Spezialfall N = 1. Wir

schreiben x =∑M

j=1 xjej, z =∑M

j=1 zjej und wm =∑m

j=1 zjej, fur alle 0 ≤ m ≤ M , wobei

ei ∈ RM die kanonischen Basivektoren sind sowie ∂mF (x) := ∂F (x)∂xm

, und beachten, dass wM = zund w0 = 0. Damit ist∣∣∣∣F (x+ z)− F (x)−

M∑m=1

∂mF (x) zm

∣∣∣∣=

∣∣∣∣F (x+ wM)− F (x+ wM−1)

+F (x+ wM−1)− F (x+ wM−2)

+ . . .+

F (x+ w1)− F (x+ w0)

−

M∑m=1

∂mF (x) zm

∣∣∣∣≤∣∣∣∣ M∑m=1

F (x+ wm)− F (x+ wm−1)− ∂mF (x) zm

∣∣∣∣≤

M∑m=1

∣∣F (x+ wm−1 + zmem)− F (x+ wm−1)− ∂mF (x) zm∣∣ (III.77)

Weiterhin sind alle ∂mF auf einer offenen Umgebung U 3 x stetig, und daher sichert einegenugend kleine Wahl von δ > 0, dass

∀1 ≤ m ≤M : ∂mF ist stetig auf x+Kδ, (III.78)

wobei Kδ := [−δ, δ]M . Fur 1 ≤ m ≤ M und z ∈ Kδ impliziert der Mittelwertsatz der Differen-tialrechnung die Existenz einer Zahl 0 < ϑm < 1, so dass

F (x+ wm−1 + zmem)− F (x+ wm−1) = ∂mF (x+ wm−1 + ϑmzmem) · zm, (III.79)

und wegen wm−1 + ϑmzmem ∈ Kδ erhalten wir daraus∣∣F (x+ wm−1 + zmem)− F (x+ wm−1)− ∂mF (x) zm∣∣ ≤ Q(δ) |zm|, (III.80)

wobei

Q(δ) := max1≤m≤M

maxy∈Kδ

∣∣∂mF (x+ y)− ∂mF (x)∣∣ → 0, (III.81)

fur δ → 0, wegen der Stetigkeit von ∂mF auf U ⊃ x+Kδ. Setzen wir (III.81) in (III.77) ein, soerhalten wir

1

‖z‖

∣∣∣∣F (x+ z)− F (x)−M∑m=1

∂mF (x) zm

∣∣∣∣ ≤ Q(δ)

‖z‖

( M∑m=1

|zm|)≤√M Q(δ)

‖z‖

( M∑m=1

|zm|2)1/2

=√M Q(δ) → 0, (III.82)

44

ENTW


KAPITEL III. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONENMEHRERER VERANDERLICHER III.4. ERGANZUNGEN

fur δ → 0. Dies beweist die totale Differenzierbarkeit von F bei x und F ′(x) = JF (x) fur N = 1.Letztere Gleichung ergibt auch die Stetigkeit von x 7→ F ′(x), da x 7→ JF (x) nach (III.54) stetigist.Um (III.54) ⇒ (III.53) fur N ≥ 1 zu beweisen, wenden wir (III.82) auf alle KomponentenF1, F2, . . . , FN an und erhalten

∀1 ≤ n ≤ N : limz→0

1

‖z‖

∣∣∣∣Fn(x+ z)− Fn(x)−M∑m=1

∂mFn(x) zm

∣∣∣∣ = 0. (III.83)

Damit erhalten wir aber

limz→0

1

‖z‖RM

∥∥∥∥Fn(x+ z)− Fn(x)−M∑m=1

∂mFn(x) zm

∥∥∥∥RN

(III.84)

= limz→0

1

‖z‖RM

[ N∑n=1

(Fn(x+ z)− Fn(x)−

M∑m=1

∂mFn(x) zm

)2]1/2

= 0.

Dies beweist fur N ≥ 1 die totale Differenzierbarkeit von F bei x, F ′(x) = JF (x) und dieStetigkeit von F ′ wie fur N = 1.Um (III.53) ⇒ (III.54) zu beweisen, wahlen wir j ∈ ZM1 und setzen z := tej, sodass

0 = limz→0

‖F (x+ z)− F (x)− F ′(x) · z‖RN

‖z‖RM

= lim

t→0

1

t

∥∥F (x+ tej)− F (x)− tF ′(x)ej∥∥. (III.85)

Daher muss auch, fur jedes i ∈ ZN1

0 = limt→0

1

t

[Fi(x+ tej)− Fi(x)− (F ′(x))i,j · t

]= lim

t→0

Fi(x+ tej)− Fi(x)

t

− (F ′(x))i,j (III.86)

gelten. Also ist F partiell differenzierbar auf U , die Jacobimatrix JF = F ′ ist gegeben durchdie Ableitung von F , die gemaß (III.53) stetig von x abhangt.

45

ENTW


KAPITEL IV. RICHTUNGSABLEITUNGUND EXTREMA

Kapitel IV

Richtungsableitungund Extrema

In der Vorlesung uber Differentiation einer reellen Funktion f einer reellen Veranderlichenhaben wir notwendige und hinreichende Bedingungen fur die Existenz von Extrema, Minimaund Maxima gefunden: An einer solchen Stelle gilt notwendig f ′ = 0, und f ′′ > 0 bzw. f ′′ < 0sind hinreichend dafur, dass diese Stelle ein Minimum bzw. Maximum ist. Ziel dieses Abschnittsist die Formulierung eines entsprechenden Kriteriums fur reelle Funktionen mehrerer reellerVeranderlicher.

IV.1 Der Satz von Taylor in mehreren Veranderlichen

Dazu verallgemeinern wir als erstes den Satz von Taylor auf mehrere Variablen.

Satz IV.1 (Taylor). Seien M ∈ N, k ∈ N0 und U ⊂ RM eine offene Teilmenge. Seien weiterhinx0 ∈ U und z ∈ RM , so dass

S :=x0 + tz

∣∣ 0 ≤ t ≤ 1⊆ U, (IV.1)

und sei F ∈ Ck+1(U ;R). Dann gilt

F (x0 + z) =k∑p=0

1

p!

M∑j1,j2,...jp=1

∂pF (x0)

∂xj1 . . . ∂xjp· zj1 · zj2 · · · zjp (IV.2)

+M∑

j1,...,jk+1=1

(∫ 1

0

(1− s)k

k!

∂k+1F (x0 + sz)

∂xj1 . . . ∂xjk+1

ds

)· zj1 · zj2 · · · zjk+1

,

wobei z = (z1, . . . , zM)T =∑M

j=1 zjej.

46

ENTW


KAPITEL IV. RICHTUNGSABLEITUNGUND EXTREMA IV.1. DER SATZ VON TAYLOR IN MEHREREN VERANDERLICHEN

Beweis. Wir definieren

f(t) := F (x0 + tz). (IV.3)

Da U offen ist und x0 + tz | 0 ≤ t ≤ 1 enthalt, ist fur genugend kleine η > 0 auch S :=x0 + tz | t ∈ Iη ⊆ U , wobei Iη := (−η, 1 + η). Durch Anwendung der Kettenregel, Satz III.8,auf f := F G, wobei

G : Iη → U, t 7→ x0 + tz, (IV.4)

erhalt man nun leicht, dass

f ∈ Ck+1(Iη;R). (IV.5)

Die Kettenregel sichert namlich, dass mit F ∈ C1(U ;R) und G ∈ C1(Iη;U) auch f ∈ C1(Iη;U)mit

f ′(s) = F ′(x0 + sz) ·G′(s)

=

(∂F (x0 + sz)

∂x1

, . . . ,∂F (x0 + sz)

∂xM

)·

∂G1(s)∂s...

∂GM (s)∂s

=

(∂F (x0 + sz)

∂x1

, . . . ,∂F (x0 + sz)

∂xM

)·

z1...zM

=

M∑j1=1

∂F (x0 + sz)

∂xj1· zj1 . (IV.6)

Setzen wir nun

F1(x) :=M∑j1=1

∂F (x)

∂xj1zj1 , (IV.7)

so ist F1 ∈ Ck(U ;R) und

f ′(s) = (F1 G) (s). (IV.8)

Abermals erhalten wir dann aus der Kettenregel, dass f ′ ∈ C1(Iη;R) mit

f ′′(s) = (f ′(s))′

= F ′1(x0 + sz) ·G′(s)

=M∑j2=1

∂F1(x0 + sz)

∂xj2· zj2 =

M∑j1,j2=1

∂2F (x0 + sz)

∂xj1 ∂xj2· zj1 zj2 , (IV.9)

wobei wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen gemaß Satz III.4 verwenden.

47

ENTW


IV.1. DER SATZ VON TAYLOR IN MEHREREN VERANDERLICHEN


Nach (k + 1)-maliger Anwendung dieses Arguments erhalten wir dann, dass f ∈ Ck+1(Iη;R)-wie in (IV.5) behauptet- und dass

f (p)(s) =M∑

j1,j2,...,jp=1

∂pF (x0 + sz)

∂xj1 ∂xj1 . . . ∂xjpzj1 · zj2 · · · zjp , (IV.10)

fur alle p = 0, 1, . . . , k+ 1. Nun wenden wir den Satz von Taylor auf f an und erhalten, fur allet ∈ Iη,

f(t) =K∑p=0

tp

p!f (p)(0) +

∫ t

0

(t− s)k

k!f (k+1)(s) ds, (IV.11)

und insbesondere fur t = 1 ∈ Iη ergibt sich

F (x0 + z) = f(1) =K∑p=0

f (p)(0)

p!+

∫ 1

0

(1− s)k

k!fk+1(s) ds

=K∑p=0

1

p!

K∑j1,...,jp=1

∂pF (x0)

∂xj1 . . . ∂xjpzj1 · · · zjp (IV.12)

+1

k!

M∑j1,...,jk+1=1

(∫ 1

0

(1− s)k ∂k+1F (x0 + sz)

∂xj1 . . . ∂xk+1

ds

)· zj1 · · · zjk+1

.

Satz IV.1 besitzt folgende alternative Formulierung:

Korollar IV.2. Seien M ∈ N, k ∈ N0 und U ⊆ RM eine offene Teilmenge. Seien x0 ∈ U undz ∈ RM , so dass

S := x0 + tz | 0 ≤ t ≤ 1 ⊆ U, (IV.13)

und sei F ∈ Ck+1(U ;R). Dann gilt

F (x0 + z) =k∑p=0

p∑p1,...,pM=0

p1+...+pM=k+1

(∂pF (x0)

∂xp11 . . . ∂xpMM

)·(zp11 . . . zpMMp1! . . . pM !

)(IV.14)

+k+1∑

p1,...,pM=0p1+...+pM=k+1

(∫ 1

0

(k + 1)(1− s)k(∂k+1F (x0 + sz)

∂xp11 . . . ∂xpMM

)ds

)·(zp11 . . . zpMMp1! . . . pM !

).

Bemerkungen und Beispiele. Fur M = 2, U := R2 und F (x1, x2) := cos(x1) + cos(x2)ist offensichtlich F ∈ C∞(R2;R). Der Graph von F ahnelt einem Eierkarton. Wir wenden nunSatz IV.1 fur k = 2 an und erhalten mit

∂F

∂x1

= − sinx1,∂F

∂x2

= − sinx2, (IV.15)

∂2F

∂x21

= − cosx1,∂2F

∂x1∂x2

=∂2F

∂x2∂x1

= 0,∂2F

∂x22

= − cosx2, (IV.16)

48

ENTW



IV.2. GRADIENT, RICHTUNGSABLEITUNG

UND HESSESCHE MATRIX

dass

F (x+ z) = cos(x1) + cos(x2)− z1 · sin(x1)− z2 · sin(x2)

− 1

2z2

1 · cos(x1)− 1

2z2

2 · cos(x2) +R3 · ‖z‖3eukl, (IV.17)

wobei

R3 =2∑

j1,...,j3=1

(∫ 1

0

(1− s)2

2!

∂3F (x+ sz)

∂xj1∂xj2∂xj3ds

)·(zj1 · zj2 · zj3‖z‖3

eukl

)(IV.18)

und deshalb

|R3| ≤∫ 1

0

(1− s)2

2

(∂3F (x+ sz)

∂x31

+∂3F (x+ sz)

∂x32

)ds

=

∫ 1

0

(1− s)2

2

sin(x1 + sz1) + sin(x2 + sz2)

ds,

=

∫ 1

0

1

21 + 1(1− s)2 ds =

1

3. (IV.19)

gilt.

IV.2 Gradient, Richtungsableitung

und Hessesche Matrix

Definition IV.3. Seien M ∈ N, U ⊆ RM eine nichtleere offene Teilmenge und x ∈ U .

(i) Fur F ∈ C1(U ;R) bezeichnen wir den Spaltenvektor

∇F (x) :=(F ′(x)

)T=

∂F (x)∂x1...

∂F (x)∂xM

(IV.20)

als Gradient von F bei x und

〈∇F (x)|z〉eukl =M∑j=1

∂F (x)

∂xj· zj (IV.21)

heißt Richtungsableitung von F bei x in Richtung z, wobei 〈x|y〉eukl :=∑M

j=1 xjyjdas euklidsche Skalarprodukt auf RM bezeichnet.

(ii) Fur F ∈ C2(U ;R) heißt Hess F (x) ∈MM×M(R),(Hess F (x)

)i,j≡(F ′′(x)

)ij

:=∂2F (x)

∂xi∂xj(IV.22)

Hessesche Matrix von F bei x.

49

ENTW


IV.2. GRADIENT, RICHTUNGSABLEITUNG

UND HESSESCHE MATRIX



• Wir betrachten nun einen Vektor z = (z1, . . . , zM) ∈ RM der Lange 1, d.h. z21 + z2

2 + . . .+z2M = 1, und bilden fur F ∈ C1(U ;R), U ⊆ RM offen und x ∈ U ,

limt→0

F (x+ tz)− F (x)

t

=

M∑j=1

∂F

∂xj(x) · zj = 〈∇F (x)|z〉. (IV.23)

Es gilt also

F (x+ tz) = F (x) + t[〈∇F (x)|z〉+ r(t)

], (IV.24)

mit limt→0 r(t) = 0. Die Richtungsableitung gibt also an, wie stark F an der Stelle x inRichtung z wachst.

• Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir weiter, dass∣∣〈∇F (x)|z〉∣∣ ≤ ‖∇F (x)‖ · ‖z‖ = ‖∇F (x)‖. (IV.25)

Andererseits hat aber ‖∇F (x)‖−1 · ∇F (x), fur ∇F (x) 6= 0, die Lange 1, und es gilt⟨∇F (x)

∣∣∣∣ ∇F (x)

‖∇F (x)‖

⟩=‖∇F (x)‖2

‖∇F (x)‖= ‖∇F (x)‖. (IV.26)

Also ist

‖∇F (x)‖ = max〈∇F (x)|z〉

∣∣∣ z ∈ RM , ‖z‖ = 1, (IV.27)

und somit ist die Richtungsableitung maximal, wenn z parallel zum Gradienten gewahltwird. Anders ausgedruckt, liegt der Gradient einer Funktion bei x in Richtung des großt-moglichen Anstiegs von F .

• Außerdem steht der Gradient von F bei x senkrecht zur zu x gehorigen Niveaumenge. Istnamlich α ∈ C∞((a, b);NE) eine Kurve in

NE =x ∈ U

∣∣ F (x) = E

= F−1(E), (IV.28)

so folgt sofort, dass

0 =d

ds(E) =

d

ds

[(F α)(s)

]=

M∑j=1

∂F (x)

∂xj· dαj(s)

ds=

⟨∇F (x)

∣∣∣∣ dα(s)

ds

⟩.

(IV.29)

50

ENTW



IV.3. KRITISCHE PUNKTE UND

EXTREMALWERTE BEI MEHREREN VERANDERLICHEN

IV.3 Kritische Punkte und

Extremalwerte bei mehreren Veranderlichen

Definition IV.4. Seien (M,ρ) ein metrischer Raum, U ⊆ X eine nichtleere Teilmenge undF : U → R. Dann heißt

x0 ∈ U lokales

MinimumMaximum

von F

:⇔ ∃ δ > 0 ∀x ∈ Bρ(x0, δ) ∩ U :

F (x) ≥ F (x0)

F (x) ≤ F (x0)

. (IV.30)

Definition IV.5. Seien X ein Banachraum, U ⊆ X eine offene Teilmenge und F ∈ C1(U ;R).Ein Punkt x0 ∈ U heißt kritisch (oder extremal)

:⇔ F ′(x0) = 0. (IV.31)

Bemerkungen und Beispiele. Im Fall, dass X = RM , bedeutet (IV.31)

x0 ∈ U ist kritisch ⇔ ∇F (x0) = 0. (IV.32)

Satz IV.6. Seien X ein Banachraum, U ⊆ X eine offene Teilmenge und F ∈ C1(U ;R). Danngelten

(i)(x0 ∈ U ist lokales Minimum von F

)=⇒

(F ′(x0) = 0

). (IV.33)

(ii)(x0 ∈ U ist lokales Maximum von F

)=⇒

(F ′(x0) = 0

). (IV.34)

Beweis. Wir zeigen nur (i), (ii) ist analog. Seien also x0 ∈ U ein lokales Minimum von F undδ > 0 wie in (IV.30). Da U ⊆ X offen ist, gibt es ein δ′ > 0, sodass Bρ(x0, δ

′) ⊆ U . Nach(IV.30) gilt also, mit δ′′ := minδ, δ′ > 0, dass

∀z ∈ Bρ(x0, δ′′) : F (x0 + z)− F (x0) ≥ 0. (IV.35)

Fur z ∈ X mit ‖z‖ = 1 und t ∈ (0, δ′′) ist ±tz ∈ Bρ(x0, δ′′) und deshalb

±F ′(x0) z =1

tF ′(x0)(±tz) = lim

t0

F (x0 ± tz)− F (x0)

t

≥ 0. (IV.36)

Fur alle z ∈ X mit ‖z‖ = 1 muss daher F ′(x0)z = 0 gelten. Ist nun w ∈ X \ 0, so setzen wirzw := ‖w‖−1w und beobachten, dass ‖zw‖ = 1. Deshalb gilt

∀w ∈ X \ 0 : F ′(x0)w = ‖w‖(F ′(x0) zw

)= 0, (IV.37)

was fur w = 0 trivial richtig ist.

51

ENTW





Korollar IV.7. Seien M ∈ N, U ⊆ RM eine nichtleere offene Teilmenge und F ∈ C1(U ;R).Dann gelten

(i)(x0 ∈ U ist lokales Minimum von F

)=⇒

(∇F (x0) = 0

). (IV.38)

(ii)(x0 ∈ U ist lokales Maximum von F

)=⇒

(∇F (x0) = 0

). (IV.39)

Bemerkungen und Beispiele. Wir kommen nun auf das Beispiel (IV.15)–(IV.19)

F : R2 → R, (x1, x2) 7→ F (x1, x2) = cos(x1) + cos(x2) (IV.40)

zuruck. Die Menge E der Extremalpunkte von F ist gegeben durch

E :=

x = (x1, x2) ∈ R2

∣∣∣∣ ∇F (x) =

(− sin(x1)

− sin(x2)

)= 0

= πZ× πZ. (IV.41)

Dabei sind etwa (0, 0) ∈ E ein lokales Maximum und (π, π) ∈ E ein lokales Minimum, jedochsind z.B. (0, π), (π, 0) ∈ E weder lokale Minima noch lokale Maxima, sondern Sattelpunkte.

Wie in der Kurvendiskussion fur reelle Funktionen einer reellen Veranderlichen, lassen sichhinreichende Bedingungen fur die Existenz eines lokalen Maximums oder Minimums durch diezweiten (oder hoheren) Ableitungen formulieren.Sei F ∈ C2(U ;R), wobei U ⊆ RM eine offene Teilmenge ist. Dann ist nach Satz III.4

∀x ∈ U, i, j ∈ NM1 :

(F ′′(x)

)i,j

=∂2F (x)

∂xi∂xj=

∂2F (x)

∂xj∂xi=(F ′′(x)

)j,i∈ R, (IV.42)

d.h. die Hessesche Matrix von F ist reell und symmetrisch und somit selbstadjungiert.

Lemma IV.8 (Minimax-Prinzip). Seien M ∈ N und A = AT ∈ MM×M(R) eine reelle,selbstadjungierte Matrix mit Eigenwerten λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λM . Dann gilt

λ1 = min

〈x|Ax〉〈x|x〉

∣∣∣∣ x ∈ RM \ 0≤ max

〈x|Ax〉〈x|x〉

∣∣∣∣ x ∈ RM \ 0

= λM . (IV.43)

Definition IV.9. Seien M ∈ N und A = AT ∈MM×M(R) eine selbstadjungierte Matrix mitEigenwerten λ1, . . . , λM ∈ R.

A heißt positiv definit :⇔ ∀α ∈ ZM1 : λα > 0; (IV.44)

A heißt positiv semidefinit :⇔ ∀α ∈ ZM1 : λα ≥ 0; (IV.45)

A heißt negativ definit :⇔ ∀α ∈ ZM1 : λα < 0; (IV.46)

A heißt negativ semidefinit :⇔ ∀α ∈ ZM1 : λα ≤ 0; (IV.47)

A heißt indefinit :⇔ ∃α, β ∈ ZM1 : λα > 0, λβ < 0. (IV.48)

Satz IV.10. Seien M ∈ N, U ⊆ RM eine offene und nichtleere Teilmenge, F ∈ C2(U ;R) undx0 ∈ U ein Extremalpunkt, ∇F (x0) = 0. Dann gelten:

52

ENTW





(i) Ist die Hessesche Matrix F ′′(x0) von F bei x0 positiv definit, so ist x0 ein lokales Minimum.

(ii) Ist die Hessesche Matrix F ′′(x0) von F bei x0 negativ definit, so ist x0 ein lokales Maxi-mum.

Beweis. Wir beweisen nur (i), der Beweis fur (ii) ist analog. Zunachst bemerken wir, dassdie positive Definitheit von F ′′(x0) und die Stetigkeit von F ′′ in U impliziert, dass auch F ′′(x)positiv definit ist, falls ‖x−x0‖ genugend klein ist. Sind 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λM die Eigenwertevon F ′′(x0) und z ∈ RM , so gilt namlich nach Lemma IV.8

〈z| F ′′(x) z〉 = 〈z| F ′′(x0) z〉+ 〈z| [F ′′(x)− F ′′(x0)] z〉≥ λ1‖z‖2 − ‖z‖ ·

∥∥[F ′′(x)− F ′′(x0)] z∥∥

≥λ1 − ‖F ′′(x)− F ′′(x0)‖B(RM ;RM )

· ‖z‖2. (IV.49)

Wahlen wir nun δ > 0 so klein, dass ‖F ′′(x)− F ′′(x0)‖ ≤ λ1/2, fur x ∈ Bδ(x0), so folgt dann

∀x ∈ B(x0, δ) ∀z ∈ RM : 〈z| F ′′(x) z〉 ≥ λ1

2‖z‖2. (IV.50)

Nun wenden wir den Satz IV.1 von Taylor mit k = 1 auf F fur x0 und z ∈ B(0, δ) an underhalten

F (x0 + z)− F (x0) = 〈∇F (x0)|z〉︸︷︷︸= 0

+M∑i,j=1

∫ 1

0

(1− s) zi zj(∂2F (x0 + sz)

∂xi∂xj

)ds

=

∫ 1

0

(1− s)⟨z∣∣∣ F ′′(x0 + sz) z

⟩︸︷︷︸

≥λ1‖z‖2/2

ds ≥ λ1

4‖z‖2 > 0, (IV.51)

da x0 + sz | 0 ≤ s ≤ 1 ⊆ Bδ(x0).


• Wir bemerken, dass aus (IV.51) ersichtlich ist, dass das Minimum bei x0 auch nicht ent-artet ist, d.h. dass F (x0 + z) > F (x0) fur alle z ∈ B(x0, δ) \ 0 gilt.

• Betrachten wir abermals F (x1, x2) = cos(x1) + cos(x2) auf R2 mit kritischen Punkten

E = (n1π, n2π) | n1, n2 ∈ Z. (IV.52)

Mit

∂2F

∂x21

= − cos(x1),∂2F

∂x1∂x2

=∂2F

∂x2∂x1

= 0,∂2F

∂x22

= − cos(x2) (IV.53)

ist dann

F ′′(x1, x2) =

(− cos(x1) 0

0 − cos(x2)

). (IV.54)

53

ENTW





Nun ist

− cos(nπ) =

−1, falls n ∈ 2Z,

+1, falls n ∈ 2Z+ 1.(IV.55)

Also zerfallt E = πZ× πZ in disjunkte Teilmengen,

E = (2πZ× 2πZ) ∪ (2πZ× 2πZ+ π) ∪

(2πZ+ π × 2πZ) ∪ (2πZ+ π × 2πZ+ π), (IV.56)

und

F ′′ ist

positiv definit auf (2πZ+ π × 2πZ+ π),negativ definit auf (2πZ× 2πZ),indefinit auf (2πZ× 2πZ+ π) ∪ (2πZ+ π × 2πZ).

(IV.57)

Entsprechend sind

– (0, 0) ∈ (2πZ× 2πZ) ein lokales Maximum, da F ′′(0, 0) negativ definit ist,

– (π, π) ∈ (2πZ + π × 2πZ + π) ein lokales Minimum, da F ′′(π, π) positiv definit istund

– (0, π), (π, 0) ∈ (2πZ + π × 2πZ) ∪ (2πZ × 2πZ + π) sind Sattelpunkte, da F ′′(0, π)und F ′′(π, 0) indefinit sind.

• Tatsachlich kann man im Fall, dass x0 ein kritischer Punkt mit indefiniter HesseschenMatrix F ′′(x0) zeigen, dass die Eigenvektoren ϕα zu negativen Eigenwerten die Rich-tungen angeben, in denen F lokal maximal ist. Genauso geben die Eigenvektoren ϕαzu positiven Eigenwerten die Richtungen an, in denen F lokal minimal ist.

Wegen dieser geometrischen Interpretation bezeichnet man die durch die EigenvektorenHesseschen Matrix F ′′(x0) definierten Raumrichtungen als Hauptachsen und die orthogo-nale Matrix U , die die Hessesche Matrix diagonalisiert, als Hauptachsentransformation.

• Sind U = R2 und F (x1, x2) := x21 − x4

2, so ist

∂F

∂x1

= 2x1,∂F

∂x2

= −4x32 ⇒ E = (0, 0), (IV.58)

∂2F (x)

∂x21

= 2,∂2F (x)

∂x1 ∂x2

=∂2F (x)

∂x2 ∂x1

= 0,∂2F (x)

∂x22

= −12x22. (IV.59)

Somit ist

F ′′(0, 0) =

(2 00 0

)(IV.60)

positiv semidefinit. Der Punkt x = (0, 0) ist aber kein lokales Minimum. Wir sehen andiesem Beispiel, dass sich Satz IV.10 nicht auf kritische Punkte mit positiv semidefiniterHesseschen Matrix verallgemeinern lasst.

54

ENTW





Definition IV.11. Seien M ∈ N, U ⊆ RM eine offene und nichtleere Teilmenge und F ∈C2(U ;R). Ein Punkt x0 ∈ U heißt Sattelpunkt

:⇔ x0 ist extremal, ∇F (x0) = 0, und (IV.61)

∃δ > 0, z± ∈ RM ∀t ∈ (−δ, δ), t 6= 0 : F (x0 + tz−) < F (x0) < F (x0 + tz+).

Bemerkungen und Beispiele.Ist x0 ein Extremalpunkt von F mit indefiniter Hesseschen Matrix F ′′(x0), so ist x0 auch einSattelpunkt von F .

55

ENTW


IV.4. ERGANZUNGEN


IV.4 Erganzungen

IV.4.1 Beweis von Korollar IV.2

Korollar IV.2 folgt unmittelbar aus Satz IV.1 und der Identitat

1

p!

M∑j1,...,jp=1

∂pF (x)

∂xj1 . . . ∂xjp=

p∑p1,...,pM=0p1+...+pM=p

1

p1! . . . pM !· ∂pF (x)

∂xp11 . . . ∂xpMM, (IV.62)

die wir nun fur alle x ∈ U und p ∈ 0, 1, . . . , k+1 durch Induktion in p zeigen wollen. Offenbarsind beide Seiten in (IV.62) gleich F (x), fur p = 0. Gilt nun (IV.62) fur p ∈ 0, 1, . . . , k, soerhalten wir

1

p!

M∑j1,...,jp+1=1

∂p+1F (x)

∂xj1 . . . ∂xjp∂xjp+1

=M∑

jp+1=1

∂

∂xjp+1

[1

p!

m∑j1,...,jp=1

∂pF (x)

∂xj1 . . . ∂xjp

]

=M∑j=1

∂

∂xj

[ p∑p1,...,pM=0p1+...+pM=p

1

p1! . . . pM !· ∂pF (x)

∂xp11 . . . ∂xpjj . . . ∂x

pMM

]

=M∑j=1

[ p∑p1,...,pM=0p1+...+pM=p

1

p1! . . . pM !· ∂p+1F (x)

∂xp11 . . . ∂xpj+1j . . . ∂xpMM

]

pj :=pj+1=

M∑j=1

[ p∑p1,...,pj ,...,pM=0

p1+...+pj+...+pM=p+1

1 [pj ≥ 1]

p1! . . . (pj − 1)! . . . pM !

∂p+1F (x)

∂xp11 . . . ∂xpjj . . . ∂x

pMM

]

pj :=pj=

M∑j=1

[ p∑p1,...,pM=0

p1+...+pM=p+1

pjp1! . . . pj! . . . pM !

· ∂p+1F (x)

∂xp11 . . . ∂xpjj . . . ∂x

pMM

], (IV.63)

wobei wir

1 [pj ≥ 1]

(pj − 1)!=1 [pj ≥ 1]

(pj − 1)!=

pjpj!

(IV.64)

verwendet haben. Nun vertauschen wir die Summationen und erhalten (IV.62) fur p+ 1:

1

p+ 1

M∑j=1

[ K+1∑p1,...,pM=0

p1+...+pM=p+1

pjp1! . . . pM !

∂p+1F (x)

∂xp11 . . . ∂xpMM

](IV.65)

=K+1∑

p1,...,pM=0p1+...+pM=p+1

1

p+ 1

[ M∑j=1

pj

]︸︷︷︸

= 1

1

p1! . . . pM !· ∂p+1F (x)

∂xp11 . . . ∂xpMM.

Nach Induktion gilt damit (IV.62) fur alle p ∈ 0, 1, . . . , k + 1.

56

ENTW


KAPITEL IV. RICHTUNGSABLEITUNGUND EXTREMA IV.4. ERGANZUNGEN

IV.4.2 Das Minimax-Prinzip fur Matrizen (Lemma IV.8)

Zum Beweis von Lemma IV.8 verwenden wir im Folgenden eine Variante des Spektralsatzes furselbstadjungierte Matrizen, der in der linearen Algebra bewiesen wird. Wir beschranken unshier auf den Fall reeller, symmetrischer Matrizen.

Satz IV.12 (Spektralsatz). Seien M ∈ N und A ∈ MM×M(R) eine reelle, selbstadjungierteMatrix, Ai,j = Aj,i ∈ R, ∀i, j ∈ 1, . . . ,M. Dann sind alle Eigenwerte λ1, λ2, . . . , λM ∈ Rreell, und es gibt eine ONB ϕαα=1,...,M ⊆ RM aus zugehorigen Eigenvektoren von A, so dass

∀α = 1, . . .M : Aϕα = λαϕα. (IV.66)

Explizit gilt mit ϕα =∑M

i=1 ϕα(i)ei sogar

∀i, j = 1, . . . ,M : Ai,j =M∑α=1

λα ϕα(i) ϕα(j). (IV.67)


• Wir bemerken, dass die Eigenwerte λ1, . . . , λM von A durchaus nicht alle paarweise ver-schieden sein mussen.

• Weiterhin bemerken wir, dass die Transformationsmatrix U , die die kanonische Basise1, . . . , eM mit Uei = ϕi auf die ONB ϕ1, . . . , ϕM aus Eigenvektoren von A abbildet,orthogonal ist, U ∈ O(M), d.h. UUT = UTU = 1. Wegen

Uij = ϕj(i), (UT )k` = ϕk(`), (IV.68)

folgt daraus, dass

M∑α=1

ϕα(i) ϕα(`) = (UUT )i` = (1)i,` = δi,`, (IV.69)

M∑j=1

ϕα(j) ϕβ(j) = (UTU)αβ = (1)αβ = δα,β. (IV.70)

Wir kommen nun zum Beweis des Minimax-Prinzips (IV.43). Aus (IV.67) erhalten wir, mitx =

∑Mi=1 xiei,

〈x| Ax〉 =M∑i,j=1

xiAi,j xj =M∑α=1

M∑i,j=1

λα xi ϕα(i)ϕα(j)xj (IV.71)

=M∑α=1

λα

( M∑i=1

xiϕα(i))2

︸︷︷︸≥ 0

≤ λM

M∑α=1

( M∑i=1

xiϕα(i))2

= λM

M∑i,j=1

xi

( M∑α=1

ϕα(i)ϕα(j))

︸︷︷︸= δi,j

xj = λM

M∑i=1

x2i = λM ‖x‖2.

57

ENTW


IV.4. ERGANZUNGEN


Genauso beweist man 〈x| Ax〉 ≥ λ1‖x‖2. Somit gilt

λ1 ≤ min

〈x|Ax〉〈x|x〉

∣∣∣∣ x ∈ RM \ 0≤ max

〈x|Ax〉〈x|x〉

∣∣∣∣ x ∈ RM \ 0≤ λM . (IV.72)

Die in (IV.43) behaupteten Gleichungen folgen nun durch Einsetzen speziell von x := ϕ1 bzw.x := ϕM .

58

ENTW


KAPITEL V. UMKEHRFUNKTIONEN UNDIMPLIZITE FUNKTIONEN

Kapitel V

Umkehrfunktionen undImplizite Funktionen

V.1 Umkehrfunktionen und

lokale Invertibilitat

In Kapitel III haben wir gezeigt, dass totale und partielle Differenzierbarkeit zusammen fallen,sofern die Ableitungen stetig sind, was uns in Definition III.10 auf folgende Verallgemeinerungdes Begriffs des stetigen Differenzierbarkeit gefuhrt hat:

C1(U ;V ) :=F : U → V

∣∣∣ F ist total differenzierbar auf U und F ′ ∈ C[U ;B(X;Y )].

(V.1)

Zur Vorbereitung des Satzes uber die Umkehrfunktion benotigen wir eine Verallgemeinerungdes Mittelwertsatzes der Differentialrechnung.

Lemma V.1. Seien (X, ‖ · ‖X) und (Y, ‖ · ‖Y zwei K-Banachraume, U ⊆ X eine offene Teil-menge und x, x′ ∈ U so, dass

S :=

(1− α)x+ αx′∣∣ 0 ≤ α ≤ 1

⊆ U. (V.2)

Sei weiterhin F ∈ C1(U ;Y ) stetig differenzierbar auf U und

M := maxz∈S‖F ′(z)‖B(X;Y ) < ∞. (V.3)

Dann gilt

‖F (x)− F (x′)‖Y ≤ M ‖x− x′‖X . (V.4)

59

ENTW


V.1. UMKEHRFUNKTIONEN UND

LOKALE INVERTIBILITAT



• Wir bemerken, dass sich (V.4) im Allgemeinen nicht dahingehend verscharfen lasst, dassF (x)−F (x′) = F ′((1−α)x+αx′) · (x−x′), fur ein geeignetes α ∈ (0, 1) gilt. Insofern hatder Mittelwertsatz der Differentialrechnung kein mehrdimensionales Analogon. Bereitsfur X = R2 und Y = R2 lassen sich leicht Gegenbeispiele konstruieren.

• Fur X = RM und Y = R folgt Lemma V.1 leicht aus dem Satz von Taylor, namlich

|F (x)− F (x′)| =

∣∣∣∣ ∫ 1

0

⟨∇F

((1− α)x+ αx′

) ∣∣∣ x′ − x⟩eukl

dα

∣∣∣∣≤∫ 1

0

∥∥∥∇F((1− α)x+ αx′)∥∥∥

eukl

∥∥x′ − x∥∥eukl

dα

≤ max0≤s≤1

∥∥∇F((1− s)x+ sx′)∥∥

eukl

(∫ 1

0

dα

) ∥∥x′ − x∥∥eukl

= M ‖x− x′‖eukl. (V.5)

Satz V.2 (Lokale Invertibilitat). Seien (X, ‖·‖) ein Banachraum uber K, U ⊆ X eine nichtlee-re, offene Teilmenge, x0 ∈ U und F ∈ C1(U ;X). Sei weiterhin A := F ′(x0) ∈ B(X) invertierbar

mit (beschrankter) Inverse A−1 ∈ B(X). Dann gibt es eine offene Teilmenge U ⊆ U mit U 3 x0

so, dass folgende Aussagen gelten:

(i) V := F (U) ⊆ X ist offen und y0 := F (x0) ∈ V .

(ii) Die Restriktion F ∈ C1(U ; V ) von F auf U ist eine Bijektion mit stetig differenzierbarer

inverser Funktion F−1 ∈ C1(V ; U).

(iii) Fur alle y ∈ V gilt (F−1

)′(y) =

(F ′[F−1(y)]

)−1. (V.6)

Beweis. Wir schreiben im Folgenden B(X) := B(X;X) und ‖ · ‖op := ‖ · ‖B(X). Wegen F ∈C1(U ;X) ist F ′ ∈ C[U ;B(X)] stetig. Daher konnen wir ein δ > 0 so finden, dass

∀x ∈ B(x0, 2δ) : ‖F ′(x)− A‖op = ‖F ′(x)− F (x0)‖op ≤1

2‖A−1‖op

. (V.7)

Wir setzen nun η := δ/(2‖A−1‖op) und betrachten fur y ∈ B(y0, η) die Abbildung φy ∈C1(U ;X),

φy(x) := x+ A−1[y − F (x)], φ′y(x) := 1X + A−1 F ′(x). (V.8)

Fur x ∈ B(x0, δ) ist dann nach Lemma V.1

‖φy(x)− x0‖X ≤ ‖φy(x)− φy(x0)‖X + ‖φy(x0)− x0‖X (V.9)

≤ supz∈B(x0,2δ)

‖φ′y(z)‖op ‖x− x0‖X + ‖A−1(y − F (x0))‖X

≤ supz∈B(x0,2δ)

‖φ′y(z)‖op ‖x− x0‖X + ‖A−1‖op ‖y − y0‖X .

60

ENTW





Nun ist ‖y − y0‖ < η = δ2‖A−1‖op und, fur alle z ∈ B(x0, 2δ),

‖φ′y(z)‖op =∥∥1− A−1 · F ′(z)

∥∥op

=∥∥A−1(A− F ′(z))

∥∥op

≤ ‖A−1‖op · ‖F ′(z)− A‖op ≤1

2. (V.10)

Setzen wir dies in (V.9) ein, so erhalten wir

∀x ∈ B(x0, δ) : ‖φy(x)− x0‖X ≤1

2δ +

1

2δ = δ, (V.11)

also bildet φy die abgeschlossene Kugel B(x0, δ) in sich ab,

∀y ∈ B(y0, η) : φy : B(x0, δ) → B(x0, δ). (V.12)

Außerdem ist φy auf B(x0, δ) eine Kontraktion, denn fur alle x, x′ ∈ B(x0, δ) gilt

‖φy(x)− φy(x′)‖X ≤ supz∈B(x0,2δ)

‖φ′y(z)‖B(x) ‖x− x′‖X ≤1

2‖x− x′‖X , (V.13)

gemaß (V.10). Nach dem Banachschen Fixpunktsatz, Satz I.11, hat deshalb φy, fur jedes y ∈B(y0, η), einen eindeutigen Fixpunkt xy ∈ B(x0, δ), so dass

xy = φy(xy) = xy + A−1 · [y − F (xy)], (V.14)

was gleichwertig ist zu

y = F (xy). (V.15)

Zu (i): Setzen wir nun

V := B(y0, η), U := F−1(V ), (V.16)

so folgt, dass V 3 y0 offen ist und U 3 x0. Außerdem impliziert die Stetigkeit von F , dass mitV auch U = F−1(V ) offen ist.

Zu (ii): Die Eindeutigkeit der Losung der Glg. (V.15) zeigt, dass F : U → V eine Bijektion mit

Umkehrfunktion G := F−1 : V → U ist.

Als Nachstes zeigen wir, dass F ′(x) ∈ B(X) invertibel ist mit beschrankter Inverse (F ′(x))−1 ∈B(X), fur alle x ∈ B(x0, 2δ). Dazu fixieren wir x ∈ B(x0, 2δ) und definieren Q := F ′(x) ∈ B(X)und, fur N ∈ N,

RN :=N∑n=0

A−1[(A−Q)A−1

]n. (V.17)

61

ENTW





Wegen x ∈ B(x0, 2δ) ist ‖A−Q‖op ‖A−1‖op ≤ 12, nach (V.7). Fur M,N,N0 ∈ N mit M > N ≥

N0 folgt dann

‖RM −RN‖op =

∥∥∥∥ M∑n=N+1

A−1[(A−Q)A−1

]n ∥∥∥∥op

≤ ‖A−1‖op

M∑n=N+1

‖A−Q‖nB(X) · ‖A−1‖nB(X) ≤ ‖A−1‖op

M∑n=N+1

1

2n

≤ ‖A−1‖op

∞∑n=N0+1

2−n =‖A−1‖op

2N0−→ 0, (V.18)

fur N0 → ∞. Also ist (RN)∞N=1 eine Cauchy-Folge im Banachraum B(X) und wegen dessenVollstandigkeit also auch konvergent,

R := limN→∞

RN =∞∑n=0

A−1[(A−Q)A−1

]n. (V.19)

Außerdem erhalten wir wie in (V.18), dass

‖R‖op ≤ ‖A−1‖op ·∞∑n=0

1

2n= 2 ‖A−1‖op. (V.20)

Schließlich ist

QR =∞∑n=0

QA−1[(A−Q)A−1

]n(V.21)

=∞∑n=0

− (A−Q)A−1

[(A−Q)A−1

]n+ AA−1

[(A−Q)A−1

]n

=∞∑n=0

[(A−Q)A−1

]n − [(A−Q)A−1]n+1

=[(A−Q)A−1

]0= 1,

und genauso folgt RQ = 1, also

R = Q−1 =(F ′(x)

)−1. (V.22)

Seien jetzt y, y+ z ∈ V und x := G(y), x+w := G(y+ z) ∈ U ⊆ BX(x0, 2δ). Wir setzen wiederQ := F ′(x) = F ′[G(y)] und R := Q−1 und beobachten, dass

w = (x+ w)− x = G(y + z)−G(y), (V.23)

z = (y + z)− y = F (x+ w)− F (x). (V.24)

62

ENTW





Damit ist

G(y + z)−G(y)−Rz = w −R[F (x+ w)− F (x)

]= −R

[F (x+ w)− F (x)−Qw

]. (V.25)

Aus der Kontraktionseigenschaft (V.13) erhalten wir außerdem, dass∥∥∥w − A−1(F (x+ w)− F (x)

)∥∥∥X

=∥∥∥(x+ w) + A−1

(y − F (x+ w)

)−x+ A−1

(y − F (x)

)∥∥∥X

=∥∥φy(x+ w)− φy(x)

∥∥X≤ 1

2

∥∥(x+ w)− x∥∥X

=1

2‖w‖X , (V.26)

was, mit F (x+ w)− F (x) = y + z − y = z,

1

2‖w‖X ≥ ‖w‖X −

∥∥A−1[F (y + w)− F (x)]∥∥X

= ‖w‖X −∥∥A−1z

∥∥X

(V.27)

und somit

‖w‖X ≤ 2∥∥A−1z

∥∥X≤ 2

∥∥A−1∥∥

op· ‖z‖X (V.28)

impliziert. Insbesondere konvergiert w → 0, falls z → 0, und G ist stetig in y. Außerdem folgtdurch Einsetzen in (V.25), dass

limz→0

‖G(y + z)−G(y)−Rz‖X

‖z‖X

= lim

z→0

‖RF (x+ w)− F (x)−Qw‖X

‖z‖X

≤ 2 ‖A−1‖op ‖R‖op lim

w→0

‖F (x+ w)− F (x)−Qw‖X

‖w‖X

= 0, (V.29)

also ist G differenzierbar bei y ∈ V und G′(y) = R.

Zu (iii): Fur y ∈ V definieren wir R(y) :=(F ′[G(y)]

)−1 ∈ B(X) und beobachten, dass

‖R(y + z)−R(y)‖op =∥∥∥R(y + z) F ′[G(y)]R(y)︸︷︷︸

=1

−R(y + z)F ′[G(y + z)]︸︷︷︸=1

R(y)∥∥∥

op

=∥∥∥R(y + z)

F ′[G(y + z)]− F ′[G(y)]

R(y)

∥∥∥op

≤ 4∥∥A−1

∥∥2

op

∥∥∥F ′[G(y + z)]− F ′[G(y)]∥∥∥

op, (V.30)

unter Ausnutzung von (V.25). Da F ′ : U → B(X) stetig in G(y) ∈ U und G stetig in y sind,ist auch F ′ G stetig in y, und wir erhalten

limz→0‖R(y + z)−R(y)‖op ≤ 4

∥∥A−1∥∥2

oplimz→0

∥∥∥F ′[G(y + z)]− F ′[G(y)]

∥∥∥op

= 0. (V.31)

Also ist R = (F−1)′ stetig in y ∈ V .

63

ENTW


V.2. LOKALE AUFLOSBARKEIT


Bemerkungen und Beispiele.• Aussagen (ii) und (iii) in Satz V.2 lassen sich zu F−1 ∈ Ck(V ; U) verallgemeinern, fallsF ∈ Ck(U ;X) und k ∈ N.

Korollar V.3 (Lokale Invertibilitat auf RM). Seien M ∈ N, U ⊆ RM offen, F ∈ C1(U ;RM)und x0 ∈ U so, dass

det[JF (x0)

]6= 0. (V.32)

Dann gibt es eine offene Teilmenge U ⊆ U mit U 3 x0 so, dass folgende Aussagen gelten:

(i) V := F (U) ⊆ X ist offen und y0 := F (x0) ∈ V .

(ii) Die Restriktion F ∈ C1(U ; V ) von F auf U ist eine Bijektion mit stetig differenzierbarer

inverser Funktion G := F−1 ∈ C1(V ; U), d.h. G F = 1U und F G = 1V .

(iii) Fur alle y ∈ V gilt

JG(y) =(JF [G(y)]

)−1. (V.33)

V.2 Lokale Auflosbarkeit

Als Nachstes werden wir Satz V.2 uber die lokale Umkehrbarkeit von Funktionen benutzen, umzu zeigen, dass unter gewissen Bedingungen eine Gleichung

F (x, y) = 0 (V.34)

lokal nach y aufgelost werden kann, d.h. es gibt eine Funktion h so dass(F (x, y) = 0

)⇔

(y = h(x)

). (V.35)

Zur Motivation betrachten wir erst einmal das Beispiel einer linearen Abbildung. Seien M,N ∈N und A ∈ B(RM+N ;RN) eine (M+N)×N -Matrix (genauer: Matrixdarstelllung einer linearenAbbildung bzgl. der Standardbasen). Schreiben wir RM+N = RM × RN und bezeichnen seineElemente mit (x, y) ∈ RM+N , wobei x ∈ RM und y ∈ RN sind, und schreiben wir weiterhinA = (Ax, Ay), wobei Ax ∈ B(RM ;RN) und Ay ∈ B(RN ;RN), mit

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 . . . a1,M

......

aN,1 . . . aN,M

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,M+1 . . . a1,M+N

......

aN,M+1 . . . aN,M+N

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

Ax Ay

(V.36)

so lasst sich A(x, y) schreiben als

A(x, y) = Ax x + Ay y. (V.37)

64

ENTW


KAPITEL V. UMKEHRFUNKTIONEN UNDIMPLIZITE FUNKTIONEN V.2. LOKALE AUFLOSBARKEIT

Ist nun Ay invertibel, also detAy 6= 0, beobachten wir folgende Aquivalenz:

(A(x, y) = 0

)⇔

(Ax x+ Ay y = 0

)⇔

(y =

[− A−1

y Ax]x). (V.38)

Wir sehen also, dass die Gleichung A(x, y) = 0 implizit eine Funktion h : RM → RN definiert,namlich h = −A−1

y Ax ∈ B(RM ;RN), so dass

(A(x, y) = 0

)⇔

(y = h(x)

). (V.39)

Dieses lasst sich fur differenzierbare Funktionen verallgemeinern, wie der folgende Satz verdeut-licht.

Satz V.4 (Satz uber implizite Funktionen). Seien M,N ∈ N, U ⊆ RM+N eine offene Teilmen-ge, F ∈ C1(U ;RN) und (x0, y0) ∈ U so, dass F (x0, y0) = 0 und dass Ay ∈MN×N(R) invertibelist, wobei

∀i, j ∈ ZN1 : (Ay)i,j :=∂Fi(x0, y0)

∂yj. (V.40)

Dann gibt es zwei offene Teilmengen U ⊆ U und W ⊆ RM , mit U 3 (x0, y0) und W 3 x0,sowie eine Abbildung h ∈ C1(W ;RN), so dass

(i) ∀x ∈ W :(x, h(x)

)∈ U , (V.41)

(ii) ∀(x, y) ∈ (W ×RN) ∩ U :(F (x, y) = 0

)⇔(y = h(x)

). (V.42)

(iii) h(x0) = y0, (V.43)

(iv) h′(x0) = −A−1y Ax, (V.44)

wobei (Ax)i,j =(∂xjFi(x0)

)i∈ZN1 ,j∈ZM1

∈MN×M(R).

Beweis. Wir lassen einige Details aus, die in den Erganzungen zu diesem Kapitel nachgelesenwerden konnen. Wir definieren F ∈ C1(U ;RM+N) durch

F (x, y) :=(x, F (x, y)

)(V.45)

65

ENTW


V.2. LOKALE AUFLOSBARKEIT



F ′ =

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xM

∂F1

∂y1· · · ∂F1

∂yN...

......

...∂FM∂x1

· · · ∂FM∂xM

∂FM∂y1

· · · ∂FM∂yN

∂FM+1

∂x1· · · ∂FM+1

∂xM

∂FM+1

∂y1· · · ∂FM+1

∂yN...

......

...∂FM+N

∂x1· · · ∂FM+N

∂xM

∂FM+N

∂y1· · · ∂FM+N

∂yN

(V.46)

=

1 01

. . . 00 1

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xM

∂F1

∂y1· · · ∂F1

∂yN...

......

...∂FN∂x1

· · · ∂FN∂xM

∂FN∂y1

· · · ∂FN∂yN

.

Nach dem Kastchensatz fur Determinanten gilt dann

det[F ′(x0, y0)] = det

1

∣∣∣ 0

Ax

∣∣∣ Ay

= detAy 6= 0, (V.47)

da Ay invertibel ist. Somit ist auch F ′(x0, y0) invertibel, und nach dem Satz V.2 uber dieUmkehrfunktion gibt es Umgebungen

(x0, y0) ∈ U ⊆ U,(x0, F (x0, y0)

)=(x0, 0

)∈ V ⊆ RM+N , (V.48)

so dass F : U → V invertibel ist, mit inverser Funktion G := F−1 : V → U , G ∈ C1(V ; U) und

G′(x0, 0) = (F ′(x0, y0))−1. Nun ist(1 0Ax Ay

)·(

1 0−A−1

y Ax A−1y

)=

(1 0

−A−1y Ax A−1

y

)·(1 0Ax Ay

)=

(1 00 1

)(V.49)

d.h.

G′(x0, 0) =

(1 0

−A−1y Ax A−1

y

). (V.50)

Wir definieren nun eine Funktion h : W → RN auf W = BRM (x0, δ) 3 x durch(x, h(x)

):= G(x, 0). (V.51)

66

ENTW



V.3. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

UND LAGRANGESCHE MULTIPLIKATOREN

Fur x ∈ W ist dann

(x, 0) = F[G(x, 0)

]= F

[x, h(x)

]=(x, F [x, h(x)]

), (V.52)

also F(x, h(x)

)= 0 und

∀x ∈ W, y ∈ RN :(y = h(x)

)⇒

(F (x, y) = 0

). (V.53)

Weiterhin ist fur x ∈ W und y ∈ RN , mit (x, y) ∈ U und F (x, y) = 0,

(x, y) = G(F (x, y)

)= G

(x, F (x, y)

)= G(x, 0) =

(x, h(x)

), (V.54)

also

∀x ∈ W, y ∈ RN , (x, y) ∈ U :(F (x, y) = 0

)⇒(y = h(x)

). (V.55)

Somit gilt (V.42) und, falls (x, y) = (x0, y0) gesetzt wird, auch (V.43).

Schließlich ist hi(x) = Gi+M(x, 0) auf W und daher

∂hi(x0)

∂xj=

∂GM+i(x0, 0)

∂xj=(G′(x0, 0)

)M+i,j

=(−A−1

y Ax)i,j. (V.56)

also (V.44).

V.3 Extrema mit Nebenbedingungen

und Lagrangesche Multiplikatoren

In diesem Abschnitt lernen wir eine schone und in der Praxis sehr nutzliche Anwendung desSatzes V.4 uber implizite Funktionen kennen: Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatorenzur Berechnung von Minima (oder Maxima, wir behandeln der Einfachheit halber nur Minima)von Funktionen mehrerer Variablen mit Nebenbedingungen. Dazu betrachten wir zunachst einmotivierendes Beispiel:Sei F : R2 → R gegeben durch

∀x, y ∈ R : F (x, y) := (x− a)2 + (y − b)2, (V.57)

wobei a, b > 0. Offensichtlich ist der Graph von F ein Paraboloid um (a, b), und (a, b) ist auchdas globale und einzige lokale Minimum von F :

F (a, b) = 0, F (x, y) ≥ 0, (V.58)

denn F ∈ C∞(R2,R),

∇F (x, y) =

(2(x− a)2(y − b)

)= 0 ⇔ (x, y) = (a, b), (V.59)

67

ENTW





und

F ′′(x, y) =

(2 00 2

)ist positiv definit. (V.60)

Wir stellen also fest, dass

F (a, b) = 0 = minF (x, y)

∣∣ (x, y) ∈ R2. (V.61)

Wir wollen nun ein etwas modifiziertes Minimierungsproblem behandeln, bei dem F nicht uberR2, sondern nur uber einer Teilmenge G ⊆ R2 minimiert werden soll. Beispielsweise konnte Gdie Gerade y = αx+ β darstellen, also

G =

(x, αx+ β)∣∣ x ∈ R =

(x, y) ∈ R2

∣∣ G(x, y) = 0, (V.62)

wobei die Nebenbedingung G = 0 gegeben ist durch

G(x, y) := αx+ β − y. (V.63)

Gesucht sind nun FG, xG, yG ∈ R, so dass

FG := F (xG, yG) = minF (x, y) | (x, y) ∈ G

. (V.64)

Wenn es mehrere Losungen fur xG, yG gibt, suchen wir naturlich alle solche Losungen. Beachte,dass bei einem Minimum xG, yG nicht notwendig ∇F (xG, yG) = 0 gelten muss, denn G ⊆ R2

ist nicht offen, und (xG, yG) ∈ G ist kein innerer Punkt.Das Problem (V.64) lasst sich jedoch leicht explizit losen: Wir losen die NebenbedingungG(x, y) = 0 nach y auf und setzen das Ergebnis in F ein,

minF (x, y)

∣∣ (x, y) ∈ G

= minF (x, αx+ β)

∣∣ x ∈ R= min

fα,β(x)

∣∣ x ∈ R, (V.65)

wobei fα,β ∈ C∞(R;R) definiert ist durch

fα,β(x) = F (x, αx+ β) = (x− a)2 + (αx+ β − b)2

= x2 − 2ax+ a2 + α2x2 + 2αx(β − b) + (β − b)2

= (1 + α2)x2 + 2 [αβ − αb− a] x+ a2 + (β − b)2. (V.66)

Zur Bestimmung des Minimums x∗ ∈ R von fα,β, d.h. fα,β(x∗) = minfα,β(x)

∣∣ x ∈ R, konnenwir in Gegensatz zu (V.64) jetzt aber die notwendige Bedingung f ′α,β(x∗) = 0 verwenden, dennx∗ ∈ R ist ein I.P. (und außerdem ist limx→±∞fα,β(x) =∞). Dazu berechnen wir

f ′α,β(x) = 2(1 + α2)x+ 2(αβ − αb− a), f ′′α,β(x) = 2(1 + α2) > 0, (V.67)

und somit sind

xG =a+ αb− αβ

1 + α2, yG = αxG + β =

αa+ α2b+ β

1 + α2, (V.68)

68

ENTW





FG = fα,β(xG)

=1

1 + α2

(a+ αb− αβ

)2 − 2(a+ αb− αβ

)2+ (1 + α2)

(a2 + (β − b)2

)=

1

1 + α2

−(a+ αb− αβ

)2+ (1 + α2)

(a2 + β2 + b2 − 2bβ

). (V.69)

Wie wir sehen, sind die Rechnungen schon fur dieses einfache Beispiel ziemlich umfangreich.Außerdem hangt alles an der expliziten, globalen Auflosbarkeit von F (x, y) = 0⇔ y = αx+ β.Im Allgemeinen sind mehrere, komplizierte Nebenbedingungen gleichzeitig zu berucksichtigen,die nicht explizit auflosbar sind. Fur diesen Fall hat Lagrange eine elegante Methode entwickelt.

Definition V.5. Seien M,N ∈ N, M > N , und U ⊆ RM eine nichtleere offene Teilmenge.Eine Abbildung G ∈ C1(U ;RN) heißt Nebenbedingung

:⇔ V := G(U) 3 0 ist offen, ∀x ∈ U : dim Ran[G′(x)

]= N, (V.70)

⇔ V := G(U) 3 0 ist offen, ∀x ∈ U :

∃ 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jN ≤M : det[(G′(x)i,j`

)i,`=1,...,N

]6= 0. (V.71)

Satz V.6. Seien M,N ∈ N, M > N , U ⊆ RM eine nichtleere offene Teilmenge und F ∈C1(U ;R). Sei G ∈ C1(U ;RN) eine Nebenbedingung und

G :=x ∈ U | G(x) = 0

⊆ U. (V.72)

Ist x0 ∈ G ein lokales Minimum der Restriktion von F auf G, d.h.

∃δ > 0 ∀x ∈ B(x0, δ) ∩ G : F (x) ≥ F (x0), (V.73)

so existiert ein λ = (λ1, . . . , λN) ∈ RN , so dass

∇F (x0) +⟨λ∣∣∇G(x0)

⟩= 0, (V.74)

d.h.

∀j ∈ ZM1 :∂F (x0)

∂xj+

N∑i=1

λi∂Gi(x0)

∂xj= 0. (V.75)

Die Zahlen λ1, . . . , λN ∈ R bezeichnet man als Lagrangesche Multiplikatoren.

Beweis. Nach Voraussetzung (V.71) gibt es 1 ≤ j1 < j2, · · · < jN ≤M , so dass die Matrix∂G1(x0)∂xj1

· · · ∂G1(x0)∂xjN

......

∂GN (x0)∂xj1

· · · ∂GN (x0)∂xjN

(V.76)

invertibel ist. Nach geeigneter Umbenennung der Variablen x1, . . . , xM konnen wir o.B.d.A.annehmen, dass

j1 = M −N + 1, j2 = M −N + 2, . . . , jN = M −N +N = M. (V.77)

69

ENTW





Schreiben wir nun x = (w, z)T , wobei

w = (x1, . . . , xM−N)T , z = (xM−N+1, . . . , xM)T , (V.78)

x0 = (w0, z0) und entsprechend auch

G′(x0) = (Aw, Az), (V.79)

mit

Aw :=

∂G1(x0)∂w1

· · · ∂G1(x0)∂wM−N

......

∂GN (x0)∂w1

· · · ∂GN (x0)∂wM−N

, Az :=

∂G1(x0)∂z1

· · · ∂G1(x0)∂zN

......

∂GN (x0)∂z1

· · · ∂GN (x0)∂zN

, (V.80)

so ist nach (V.76) die Matrix Az invertibel. Nach dem Satz V.4 uber die implizite Funktion istdeshalb die Gleichung G(x) = 0 lokal bei x0 nach z auflosbar, d.h. es gibt eine offene Mengew0 ∈ W ⊆ RM−N und eine Funktion h ∈ C1(W ;RN), so dass h(w0) = z0,

∀ (w, z) ∈ (W ×RN) ∩ U :(G(w, z) = 0

)⇔

(z = h(w)

). (V.81)

Außerdem ist

h′(w0) = −A−1z Aw. (V.82)

Wir zeigen nun, dass w0 ein lokales Minimum der Funktion F ∈ C1(W ;R),

F (w) := F [w, h(w)] (V.83)

ist. Dazu wahlen wir δ′ > 0 so klein, dass B(w0, 3δ′) ⊆ W ist und setzen

µ := max‖h′(w)‖B(RM−N ;RN )

∣∣∣ w ∈ B(w0, 2δ′)< ∞, (V.84)

als Maximum einer stetigen Funktion auf einer kompakten Kugel. Fur w ∈ B(w0, δ′) ist dann,

nach dem Satz von Taylor mit k = 0,∥∥∥(w, h(w))− x0

∥∥∥2

RM= ‖w − w0‖2

RM−N + ‖h(w)− z0‖2RN

= ‖w − w0‖2RM−N + ‖h(w)− h(w0)‖2

RN

= ‖w − w0‖2RM−N +

∥∥∥∥∫ 1

0

h′(w0 + s(w − w0)

)[w − w0] ds

∥∥∥∥2

RN

≤ (1 + µ2) ‖w − w0‖2RM−N . (V.85)

Setzen wir nun δ′′ := 12(1 + µ2)−1/2 ·minδ, δ′ > 0, so gilt

∀w ∈ B(w0, δ′′) :

∥∥∥(w, h(w))− x0

∥∥∥RM≤ (1 + µ2)1/2 ‖w − w0‖ < δ, (V.86)

70

ENTW





also (w, h(w)) ∈ B(w0, δ). Mit (V.73) und (V.81) erhalten wir damit also, fur jedes w ∈B(w0, δ

′′),

F (w) = F [w, h(w)] ≥ F (x0) = F [w0, h(w0)] = F (w0), (V.87)

und w0 ∈ W ist ein lokales Minimum von F , wie behauptet.

Nach Satz IV.6 ist damit w0 ∈ W ein kritischer Punkt, F ′(w0) = 0, d.h. fur alle k ∈ ZM−N1 gilt

0 =∂F (w0)

∂wk=

∂

∂wk

(F [w, h(w)]

)∣∣∣∣w=w0

=∂F [w0, h(w0)]

∂wk+

N∑j=1

∂F [w0, h(w0)]

∂zi· ∂hi(w0)

∂wk

=∂F (x0)

∂wk−

N∑i,j=1

∂F (x0)

∂zi· (A−1

z )i,j (Aw)j,k

=∂F (x0)

∂wk−

N∑j=1

N∑i=1

∂F (x0)

∂zi(A−1

z )i,j

∂Gj(x0)

∂wk. (V.88)

Setzen wir nun, fur j ∈ ZN1 ,

λj :=N∑i=1

∂F (x0)

∂zi· (A−1

z )i,j (V.89)

so folgt unmittelbar

∀ k ∈ ZM−N1 :∂F (x0)

∂wk−

N∑j=1

λj∂Gj(x0)

∂wk= 0. (V.90)

Multiplizieren wir (V.89) mit (Az)i,` =∂Gj(x0)

∂z`und summieren uber j ∈ ZN1 , so erhalten wir,

fur alle ` ∈ ZN1 ,

0 =N∑j=1

N∑i=1

∂F (x0)

∂zi(A−1

z )i,j − λj

(Az)i,`

=N∑i=1

∂F (x0)

∂zi

N∑j=1

(A−1z )i,j (Az)j,`

︸︷︷︸

= δi,`

−N∑j=1

λj(Az)i,`

=∂F (x0)

∂z`−

N∑j=1

λj∂Gj(x0)

∂z`. (V.91)

71

ENTW





Fugen wir (V.90) und (V.91) mit (w1, . . . , wM−N) = (x1, . . . , xM−N) und(z1, . . . , zN) = (xM−N+1, . . . , xM) zusammen, so erhalten wir (V.75),

∀k = 1, . . . ,M :∂F (x0)

∂xk−

N∑j=1

λj∂Gj(x0)

∂xk= 0. (V.92)

Bemerkungen und Beispiele.Zur Illustration betrachten wir noch ein Beispiel. Wie im motivierenden Beispiel ist F ∈C∞(R2;R) gegeben durch

F (x, y) := (x− a)2 + (y − b)2, (V.93)

allerdings wollen wir jetzt F unter der Nebenbedingung G(x, y) = 0 minimieren, wobei

G(x, y) := x2 + y2 − 1. (V.94)

Es sind also M = 2, N = 1 und(∂G(x, y)

∂x,∂G(x, y)

∂y

)=(∇G(x, y)

)T=(2x , 2y

). (V.95)

Beachte, dass zwar ∇G(0, 0) = (0, 0) und dim[R · ∇G(0, 0)] = 0 die Forderung dim[R ·∇G(0, 0)] = 1(= N) verletzt, dass dies aber außerhalb der Menge G = G−1(0) = (x, y) ∈R2 | x2 + y2 = 1 geschieht. Fur (x, y) ∈ G ist ∇G(x, y) 6= 0 und dim[R · ∇G(0, 0)] = 1, d.h. Gerfullt (V.70) und ist eine zulassige Nebenbedingung.Mit ~x0 = (x0, y0),

∂F (~x0)

∂x+ λ

∂G(~x0)

∂x= 2

((x0 − a) + λx0

)= 0, (V.96)

∂F (~x0)

∂y+ λ

∂G(~x0)

∂y= 2

((y0 − b) + λy0

)= 0. (V.97)

Somit ist λ 6= −1, und es gilt

x0 =a

1 + λ, y0 =

b

1 + λ. (V.98)

Durch Einsetzen in die Nebenbedingungen erhalten wir dann

0 = G(x0, y0) =( a

1 + λ

)2

+( b

1 + λ

)2

− 1

⇔(1 + λ)2 = a2 + b2

⇔λ± = ±√a2 + b2 − 1. (V.99)

72

ENTW





Daher sind

(x±0 , y±0 ) = ±

( a√a2 + b2

,b√

a2 + b2

)(V.100)

die beiden Moglichkeiten fur das gesuchte Minimum. Wegen

F (x−0 , y−0 ) =

( a√a2 + b2

+ a)2

+( b√

a2 + b2+ b)2

=( 1√

a2 + b2+ 1)2

(a2 + b2) >( 1√

a2 + b2− 1)2

(a2 + b2)

= F (x+0 , y

+0 ), (V.101)

ist somit

(x+0 , y

+0 ) =

1√a2 + b2

(a, b) (V.102)

die Losung des Minimierungsproblems (V.93)-(V.94).

73

ENTW


V.4. ERGANZUNGEN


V.4 Erganzungen

V.4.1 Beweis von Lemma V.1

Wir definieren drei Folgen

(`n)∞n=1, (mn)∞n=1, (rn)∞n=1, (links, mitte, rechts) (V.103)

in S durch folgende Rekursion. Wir setzen

`1 := x, m1 :=1

2(x+ x′), r1 := x′. (V.104)

Fur n ∈ N setzen wir dann

`n+1 := `n, mn+1 :=1

2(`n +mn), rn+1 := mn, (V.105)

• × • •`n+1 = `n mn+1 rn+1 = mn rn

falls ∥∥F (`n)− F (mn)∥∥Y≥∥∥F (mn)− F (rn)

∥∥Y, (V.106)

und

`n+1 := mn, mn+1 :=1

2(mn + rn) , rn+1 := rn, (V.107)

• • × •`n `n+1 = mn mn+1 rn+1 = rn

falls

‖F (`n)− F (mn)‖Y < ‖F (mn)− F (rn)‖Y . (V.108)

Somit gelten stets:

‖`n −mn‖X = ‖mn − rn‖X =1

2‖`n − rn‖X = 2−n ‖x− x′‖X (V.109)

und

‖F (`n+1)− F (rn+1)‖Y = max‖F (`n)− F (mn)‖Y , ‖F (mn)− F (rn)‖Y

. (V.110)

Schreiben wir weiter

`n = (1− α(`)n )x+ α(`)

n x′, mn = (1− α(m)

n )x+ α(m)n x′, rn = (1− α(r)

n )x+ α(r)n x′, (V.111)

74

ENTW


KAPITEL V. UMKEHRFUNKTIONEN UNDIMPLIZITE FUNKTIONEN V.4. ERGANZUNGEN

fur eindeutige Folgen(α

(`)n

)∞n=1

,(α

(m)n

)∞n=1

,(α

(r)n

)∞n=1

in [0, 1], so folgt, dass

α(`)n ≤ α

(`)n+1 ≤ α

(m)n+1 ≤ α

(r)n+1 ≤ α(r)

n . (V.112)

Damit sind(α

(`)n

)∞n=1

und (α(r)n )∞n=1 monoton und beschrankt, also konvergent. Wegen

0 ≤ α(r)n − α(`)

n =‖rn − `n‖X‖x− x′‖X

= 2−n (V.113)

gilt dann sogar, dass alle drei Folgen gegen dieselbe Zahl konvergieren,

α∗ := limn→∞

α(`)n = lim

n→∞α(m)n = lim

n→∞α(r)n . (V.114)

Definieren wir

x∗ := (1− α∗)x+ α∗ x′ ∈ S (V.115)

so folgt damit

x∗ = limn→∞

`n = limn→∞

mn = limn→∞

rn. (V.116)

Wir beobachten nun, dass fur n ∈ N

‖F (`n)− F (rn)‖Y‖`n − rn‖X

=‖F (`n)− F (mn) + F (mn)− F (rn)‖Y

2 ‖`n+1 − rn+1‖X

≤ 1

2 ‖`n+1 − rn+1‖X‖F (`n)− F (mn)‖Y + ‖F (mn)− F (rn)‖Y

≤ 1

‖`n+1 − rn+1‖Xmax

‖F (`n)− F (mn)‖Y , ‖F (mn)− F (rn)‖Y

=‖F (`n+1)− F (rn+1)‖Y‖`n+1 − rn+1‖X

, (V.117)

wobei wir 12

(a+ b) ≤ maxa, b, fur a, b ≥ 0, benutzt haben. Damit erhalten wir, dass

‖F (x)− F (x′)‖Y‖x− x′‖X

=‖F (`1)− F (r1)‖Y‖`1 − r1‖X

≤ lim supn→∞

‖F (`n)− F (rn)‖Y‖`n − rn‖X

≤ lim sup

n→∞

1

‖`n − rn‖X

∥∥∥[F (`n)− F (x∗)− F ′(x∗) · (`n − x∗)]

−[F (rn)− F (x∗)− F ′(x∗) · (rn − x∗)

]+ F ′(x∗) · (`n − rn)

∥∥∥Y

≤ lim sup

n→∞

‖F (`n)− F (x∗)− F ′(x∗) · (`n − x∗)‖Y

‖`n − x∗‖X

+ lim sup

n→∞

‖F (rn)− F (x∗)− F ′(x∗) · (rn − x∗)‖Y

‖rn − x∗‖X

+ ‖F ′(x∗)‖B(X;Y )

= ‖F ′(x∗)‖B(X;Y ) ≤ M. (V.118)

75

ENTW


V.4. ERGANZUNGEN


V.4.2 Detaillierter Beweis des Satzes V.4uber implizite Funktionen

Beweis. Wir definieren F ∈ C1(U ;RM+N) durch

F (x, y) :=(x, F (x, y)

)(V.119)


F ′ =

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xM

∂F1

∂y1· · · ∂F1

∂yN...

......

...∂FM∂x1

· · · ∂FM∂xM

∂FM∂y1

· · · ∂FM∂yN

∂FM+1

∂x1· · · ∂FM+1

∂xM

∂FM+1

∂y1· · · ∂FM+1

∂yN...

......

...∂FM+N

∂x1· · · ∂FM+N

∂xM

∂FM+N

∂y1· · · ∂FM+N

∂yN

(V.120)

=

1 01

. . . 00 1

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xM

∂F1

∂y1· · · ∂F1

∂yN...

......

...∂FN∂x1

· · · ∂FN∂xM

∂FN∂y1

· · · ∂FN∂yN

.

Nach dem Kastchensatz fur Determinanten gilt dann

det[F ′(x0, y0)] = det

1

∣∣∣ 0

Ax

∣∣∣ Ay

= detAy 6= 0, (V.121)

da Ay invertibel ist. Somit ist auch F ′(x0, y0) invertibel, und nach dem Satz V.2 uber dieUmkehrfunktion gibt es Umgebungen

(x0, y0) ∈ U ⊆ U,(x0, F (x0, y0)︸︷︷︸

= 0

)∈ V ⊆ RM+N , (V.122)

so dass F : U → V invertibel ist, mit inverser Funktion G := F−1 : V → U , G ∈ C1(V ; U) und

G′(x0, 0) = (F ′(x0, y0))−1. Nun ist(1 0Ax Ay

)·(

1 0−A−1

y Ax A−1y

)=

(1 0

−A−1y Ax A−1

y

)·(1 0Ax Ay

)=

(1 00 1

)(V.123)

76

ENTW


KAPITEL V. UMKEHRFUNKTIONEN UNDIMPLIZITE FUNKTIONEN V.4. ERGANZUNGEN

d.h.

G′(x0, 0) =

(1 0

−A−1y Ax A−1

y

). (V.124)

Da V offen ist, gibt es ein δ > 0, so dass

BRM+N

[(x0, 0), δ

]=

(x, f) ∈ RM+N∣∣∣ ‖(x, f)− (x0, 0)‖RM+N < δ

⊆ V . (V.125)

Wegen

‖(x, 0)− (x0, 0)‖RM+N = ‖x− x0‖RM (V.126)

ist

BRM (x0, δ)× 0 ⊆ BRM+N

[(x0, 0), δ

]⊆ V . (V.127)

Daher definiert die Restriktion von G auf

W × 0 := BRM (x0, δ)× 0 (V.128)

eine Funktion h : W → RN durch (x, h(x)

):= G(x, 0). (V.129)

Offensichtlich ist dann, fur alle x ∈ W ,(x, h(x)

)= G(x, 0) ∈ G

(W × 0

)⊆ G(V ) = U , (V.130)

da (V.41) gilt. Weiterhin ist, fur x ∈ W ,

(x, 0) = F[G(x, 0)

]= F

[x, h(x)

]=(x, F [x, h(x)]

), (V.131)

also F(x, h(x)

)= 0 und

∀x ∈ W, y ∈ RN :(y = h(x)

)⇒

(F (x, y) = 0

). (V.132)

Weiterhin ist fur x ∈ W und y ∈ RN , mit (x, y) ∈ U und F (x, y) = 0,

(x, y) = G(F (x, y)

)= G

(x, F (x, y)

)= G(x, 0) =

(x, h(x)

), (V.133)

also

∀x ∈ W, y ∈ RN , (x, y) ∈ U :(F (x, y) = 0

)⇒(y = h(x)

). (V.134)

Somit gilt (V.42) und, falls (x, y) = (x0, y0) gesetzt wird, auch (V.43).Schließlich berechnen wir h′ auf W ,

limt→0

1

t

[hi(x+ tej)− hi(x)

]= lim

t→0

1

t

[GM+i(x+ tej, 0)− GM+i(x, 0)

]

=∂GM+i(x, 0)

∂xj. (V.135)

77

ENTW


V.4. ERGANZUNGEN


Also ist h ∈ C1(W ;RN) und

∂hi(x)

∂xj=

∂GM+i(x, 0)

∂xj, (V.136)

fur i ∈ NN1 und j ∈ NM

1 . Speziell fur x = x0 folgt dann aus (V.124), dass

∂hi(x0)

∂xj=

∂GM+i(x0, 0)

∂xj=(G′(x0, 0)

)M+i,j

=(−A−1

y Ax)i,j. (V.137)

also (V.44).

78

ENTW


KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE

Kapitel VI

Maßtheoretische Grundbegriffe

VI.1 Ringe und Figuren

Definition VI.1. Sei Ω eine Menge und P(Ω) := A : A ⊆ Ω ihre Potenzmenge. EinMengensystem R ⊆ P(Ω) heißt Ring :⇔

∅ ∈ R, (VI.1)

A,B ∈ R ⇒ A \B ∈ R, (VI.2)

A,B ∈ R ⇒ A ∪B ∈ R. (VI.3)

Wir bemerken, dass aus (VI.2) mit A,B ∈ R auch

A ∩B =ω ∈ A

∣∣ω ∈ B =ω ∈ A

∣∣ ω /∈ (A \B)

= A \ (A \B) ∈ R. (VI.4)

Damit folgt, dass ein Ring mit endlich vielen Mengen auch deren Vereinigung und Durchschnittenthalt,

A1, A2, . . . , An ∈ R ⇒n⋃j=1

Aj ,n⋂j=1

Aj ∈ R. (VI.5)


• Die leere Menge bildet einen Ring, R = ∅.

• Ebenso erhalt man einen Ring, wenn man noch die volle Menge hinzufugt, R′ = ∅,Ω.

• Naturlich ist die Potenzmenge P(Ω) selbst ein Ring.

79

ENTW


VI.1. RINGE UND FIGUREN KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE

• Fur das nachste Beispiel definieren wir eine Halbordnung”≤“ auf Rd, die fur a =

(a1, . . . , ad)T , b = (b1, . . . , bd)

T ∈ Rd gegeben ist durch

a ≤ b :⇔ a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, . . . , ad ≤ bd. (VI.6)

Definition VI.2. Sei Ω = Rd und d ≥ 1. Fur a = (a1, . . . , ad)T , b = (b1, . . . , bd)

T ∈ Rd mita ≤ b heißt

[a , b) := [a1, b1)× [a2, b2)× · · · × [ad, bd) (VI.7)

(nach rechts halboffener) Quader. Die Menge aller Quader bezeichnen wir mit Qd. Die Verei-nigung endlich vieler Quader sammeln wir im System der Figuren,

Fd :=q1 ∪ · · · ∪ qN

∣∣ q1, q2, . . . , qN ∈ Qd, N <∞. (VI.8)

Lemma VI.3. Fd ist ein Ring.

Mit einer Partition analog zur Konstruktion der Quader qξ in (VI.33) kann man zeigen, dasssich jede Figur als endliche Vereinigung disjunkter Quader schreiben lasst.

Lemma VI.4.

Fd =q1 ∪ · · · ∪ qN

∣∣ q1, q2, . . . , qN ∈ Qd, N <∞, ∀ i < j : qi ∩ qj = ∅, (VI.9)

Beweis. Ubungsaufgabe.

Wir kommen nun zum Begriff des (Raum-)Inhalts.

Definition VI.5. Sei R ⊆ P(Ω) ein Ring. Eine Abbildung µ : R→ R+0 heißt Inhalt (auf R)

:⇔

(i) µ(∅) = 0.

(ii) Sind A1, A2, . . . , AN ∈ R paarweise disjunkt, so ist µ additiv,

µ( N⋃i=1

Ai

)=

N∑i=1

µ(Ai). (VI.10)


• Im Allgemeinen bezeichnet man Abbildungen µ : R → [0,∞] = R+0 ∪ ∞, die (i) und

(ii) erfullen, als Inhalte. Ein Inhalt, bei dem µ(A) < ∞ fur alle A ∈ R gilt, bezeichnetman dann als endlich. Wir betrachten hier nur endliche Inhalte, deshalb ignorieren wir indieser Vorlesung den Unterschied, aber in den Erganzungen wird zwischen Inhalten undendlichen Inhalten unterschieden.

• Inhalte besitzen stets eine naturliche Monotonieeigenschaft: Sind A,B ∈ R Elementeeines Rings mit B ⊆ A, so ist auch A \ B ∈ R, und A = B ∪ (A \ B) ist eine disjunkteZerlegung von A. Aus der Additivitat folgt damit µ(A) = µ(B) + µ(A \B) ≥ µ(B). Alsogilt fur A,B ∈ R:

B ⊆ A⇒

µ(B) ≤ µ(A)

. (VI.11)

80

ENTW


KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE VI.2. SIGMA-ALGEBREN UND MASSE

• Das wichtigste Beispiel fur Definition VI.5 in unserem Zusammenhang ist das ubliche,d−dimensionale Volumen: Fur a, b ∈ Rd, mit a ≤ b, ist [a, b) ∈ Qd ein Quader mitVolumen

µd(

[a, b))

:=d∏

ν=1

(bν − aν). (VI.12)

Sind weiterhin q1, q2, . . . , qN ∈ Qd paarweise disjunkte Quader, so setzen wir

µd

( N⋃i=1

qi

)=

N∑i=1

µd(qi). (VI.13)

Nach Lemma VI.4 ist jede Figur darstellbar als eine endliche Vereinigung disjunkterQuader, und insofern lasst sich jeder Figur durch (VI.13) ein Volumen zuordnen.

Lemma VI.6. µd ist ein Inhalt auf Fd.

Beweis. Der einzige nichttriviale Punkt an dieser Aussage ist die Wohldefiniertheit des durch(VI.12)-(VI.13) definierten Inhalts µd. Die Zerlegung einer Figur f ∈ Fd in disjunkte Quader istnamlich nicht eindeutig, und man muss zeigen, dass der durch (VI.13) gegebene Inhalt µd(f)von der gewahlten Zerlegung unabhangig ist. Dies findet man in den Erganzungen.

VI.2 Sigma-Algebren und Maße

Wir beginnen diesen Abschnitt mit der Einfuhrung der Begriffe der ∅-Stetigkeit und der σ-Endlichkeit von Inhalten.

Definition VI.7. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring und µ : R→ R+0 ein Inhalt auf R.

(i) Der Inhalt µ heißt ∅-stetig :⇔

∀ (An)∞n=1 ∈ RN, An ∅ : limn→∞

µ(An) = 0. (VI.14)

Dabei bedeutet An ∅, dass An ⊇ An+1 und⋂∞n=1An = ∅.

(ii) Der Inhalt µ heißt σ-endlich :⇔

∃ (An)∞n=1 ∈ RN : An Ω. (VI.15)

Dabei bedeutet An Ω, dass An ⊆ An+1 und⋃∞n=1An = Ω.

Satz VI.8. µd ist ein ∅-stetiger und σ-endlicher Inhalt auf Fd.

Die entscheidende Einsicht, die den Grundbaustein der Maßtheorie darstellt, ist, dass der Begriffdes Mengenrings (hier: die Figuren F1) nicht flexibel genug ist und durch den der σ-Algebraersetzt werden muss.

81

ENTW


VI.2. SIGMA-ALGEBREN UND MASSE KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE

Definition VI.9. Sei Ω eine Menge und P(Ω) := A : A ⊆ Ω ihre Potenzmenge. EinMengensystem A ⊆ P(Ω) heißt σ-Algebra (uber Ω) :⇔

Ω ∈ A, (VI.16)

A ∈ A ⇒ Ac := Ω \ A ∈ A, (VI.17)

(An)∞n=1 ⊆ A ⇒∞⋃n=1

An ∈ A. (VI.18)


• Wir bemerken, dass A = ∅,Ω die kleinstmogliche und A = P(Ω) die großtmoglicheσ-Algebra uber Ω sind. Der Ausganspunkt der Maßtheorie ist jedoch die Erkenntnis, dassfur Ω = Rd der Ring der Figuren Fd zu klein und die Potenzmenge P(Ω) zu groß sind.

• Weiterhin bemerken wir, dass jede σ-Algebra A auch ein Ring ist.

Lemma VI.10. Jeder (endliche, abzahlbare oder auch uberabzahlbare) Durchschnitt von σ-Algebren ist wieder eine σ-Algebra.

Beweis. Der Beweis erfolgt durch Nachprufen der Eigenschaften (VI.16)–(VI.18).

Ist nun E ⊆ P(Ω) ein System von Teilmengen von Ω, so setzen wir

A(E) :=⋂

A ⊆ P(Ω)∣∣∣ E ⊆ A , A ist eine σ-Algebra

. (VI.19)

Nach Lemma VI.10 ist A(E) wieder eine σ-Algebra, und nach Konstruktion ist sie die kleinsteσ-Algebra, die E enthalt.

Definition VI.11.

(i) Zu E ⊆ P(Ω) heißt A(E) die von E erzeugte σ-Algebra.

(ii) Fur Ω = Rd heißt die von den Quadern Qd bzw. den Figuren Fd erzeugte σ-Algebra dieσ-Algebra der Borelmengen,

Bd := A(Qd) = A(Fd). (VI.20)

Wir bemerken, dass, wenn A bereits eine σ-Algebra ist, die von A erzeugte σ-Algebra mit Aubereinstimmt. Insbesondere ist

A(A(E)

)= A(E), (VI.21)

fur jedes E ⊆ P(Ω).

Satz VI.12. Seien Od ⊆ P(Rd) die offenen, Cd ⊆ P(Rd) die abgeschlossenen und Kd ⊆P(Rd) die kompakten Mengen in Rd. Die von ihnen erzeugten σ-Algebren stimmen alle mitden Borelmengen uberein,

Bd = A(Od) = A(Cd) = A(Kd). (VI.22)

82

ENTW


KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE VI.2. SIGMA-ALGEBREN UND MASSE

Definition VI.13. Sei Ω eine Menge und A ⊆ P(Ω) eine σ-Algebra. Eine Abbildung µ : A→[0,∞] heißt Maß (auf A):⇔

(i) µ(∅) = 0.

(ii) Die Abbildung µ ist σ-additiv, d. h., ist (An)∞n=1 eine Folge paarweise disjunkter Mengenin A, so gilt

µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

µ(An). (VI.23)

Gibt es außerdem eine Folge (An)∞n=1 in A mit µ(An) < ∞, fur alle n ∈ N, und An Ω,d.h. An ⊆ An+1 und

⋃∞n=1 An = Ω, so heißt das Maß µ σ-endlich.

Ein Maß ist also ein Pramaß auf einer σ-Algebra. Wir kommen nun zum Hauptresultat diesesKapitels.

Satz VI.14. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring und µ : R → R+0 ein σ-endliches

Pramaß auf R. Dann besitzt µ eine eindeutige Fortsetzung zu einem σ-endlichen Maß µ :A(R)→ [0,∞], d.h. µ(A) = µ(A), fur alle A ∈ R.

Korollar VI.15. Das auf den Figuren Fd definierte Pramaß µd hat eine eindeutige Fortset-zung zu einem σ-endlichen Maß auf Bd, das Lebesgue-Borel-Maß, das wir abermals mit µdbezeichnen.

Definition VI.16. Sind Ω eine Menge und A ⊆ P(Ω) eine σ-Algebra, so bezeichnet man dasPaar (Ω,A) als Messraum oder messbaren Raum, und die Mengen in A heißen messbar.Ist weiterhin µ : A→ [0,∞] ein Maß, so bezeichnet man das Tripel (Ω,A, µ) als Maßraum.

Insbesondere ist nach Korollar VI.15 das Tripel (Rd,Bd, µd) ein Maßraum.

Wir bemerken noch, dass sich das sogenannte Lebesgue-Maß vom Lebesgue-Borel-Maß in einemwichtigen Punkt unterscheidet: Ist A ∈ Bd eine messbare Menge mit Maß Null, µd(A) = 0, sogilt wegen der Monotonie des (in den Erganzungen eingefuhrten) außeren Maßes auch µ∗d(A

′) =0, fur jede Teilmenge A′ ⊆ A. Trotzdem muss A′ nicht notwendig messbar sein, und obwohl 0ein naturlicher Kandidat fur µd(A

′) ist, ware dann µd(A′) nicht definiert. Die Beseitigung dieses

Nachteils fuhrt auf das Lebesgue-Maß. Wir verzichten aber hier darauf, da es die Einfuhrungneuer Begriffe erforderlich macht. Vielmehr ignorieren wir im Folgenden diesen Unterschied undsprechen vom Lebesgue-Maß, obwohl wir stets das Lebesgue-Borel-Maß meinen.

83

ENTW


VI.3. ERGANZUNGEN KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE

VI.3 Erganzungen

VI.3.1 Ringe und Figuren

Definition VI.17. Sei Ω eine Menge und P(Ω) := A : A ⊆ Ω ihre Potenzmenge. EinMengensystem R ⊆ P(Ω) heißt Ring :⇔

∅ ∈ R, (VI.24)

A,B ∈ R ⇒ A \B ∈ R, (VI.25)

A,B ∈ R ⇒ A ∪B ∈ R. (VI.26)

Wir bemerken, dass aus (VI.25) mit A,B ∈ R auch

A ∩B =ω ∈ A

∣∣ω ∈ B =ω ∈ A

∣∣ ω /∈ (A \B)

= A \ (A \B) ∈ R. (VI.27)

Damit folgt, dass ein Ring mit endlich vielen Mengen auch deren Vereinigung und Durchschnittenthalt,

A1, A2, . . . , An ∈ R ⇒n⋃j=1

Aj ,n⋂j=1

Aj ∈ R. (VI.28)


• Die leere Menge bildet einen Ring, R = ∅.

• Ebenso erhalt man einen Ring, wenn man noch die volle Menge hinzufugt, R′ = ∅,Ω.

• Naturlich ist die Potenzmenge P(Ω) selbst ein Ring.

• Fur das nachste Beispiel erinnern wir an die Halbordnung ≤ auf Rd, die fur a, b ∈ Rd

gegeben ist durch

a ≤ b :⇔ a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, . . . , ad ≤ bd. (VI.29)

Definition VI.18. Sei Ω = Rd und d ≥ 1. Fur a, b ∈ Rd mit a ≤ b heißt

[a , b) := [a1, b1)× [a2, b2)× · · · × [ad, bd) (VI.30)

(nach rechts halboffener) Quader. Die Menge aller Quader bezeichnen wir mit Qd. Die Verei-nigung endlich vieler Quader sammeln wir im System der Figuren,

Fd :=q1 ∪ · · · ∪ qN

∣∣ q1, q2, . . . , qN ∈ Qd, N <∞. (VI.31)

Lemma VI.19. Fd ist ein Ring.

84

ENTW


KAPITEL VI. MASSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE VI.3. ERGANZUNGEN

Beweis. Offensichtlich gelten (VI.24) und (VI.26) trivialerweise, und die einzig nachzuweisendeEigenschaft ist (VI.25).Dazu zeigen wir zunachst, dass die Differenz zweier Quader eine Figur ist. Seien a, b, a′, b′ ∈ Rd

mit a ≤ b und a′ ≤ b′. Wir zeigen, dass [a, b) \ [a′, b′) ∈ Fd. Dazu ordnen wir die Koordinaten

aν , bν , a′ν , b′ν nach der Große, d. h., fur alle ν = 1, 2, . . . , d, definieren wir −∞ < x

(1)ν < . . . <

x(kν)ν < ∞, durch x(1)

ν , . . . , x(4)ν = aν , bν , a′ν , b′ν, wobei 1 ≤ kν ≤ 4, je nachdem, wie viele

Koordinaten doppelt auftreten. Anschließend setzen wir

K := 1, . . . , k1 − 1 × 1, . . . , k2 − 1 × · · · × 1, . . . , kd − 1 (VI.32)

und, fur ξ := (ξ1, . . . , ξd) ∈ K,

qξ := [x(ξ1)1 , x

(ξ1+1)1 )× [x

(ξ2)2 , x

(ξ2+1)2 )× · · · × [x

(ξd)1 , x

(ξd+1)1 ). (VI.33)

Fur ξ 6= ξ′ gilt offensichtlich qξ ∩ qξ′ = ∅. Außerdem sind

[a, b) =⋃

ξ∈K: qξ∩[a,b) 6=∅

qξ, [a′, b′) =⋃

ξ∈K: qξ∩[a′,b′)6=∅

qξ, (VI.34)

und insbesondere ist die Differenz der Quader [a, b) und [a′, b′) eine Figur,

[a, b) \ [a′, b′) =⋃

ξ∈K: qξ∩([a,b)\[a′,b′))6=∅

qξ ∈ Fd. (VI.35)

Seien nun f ∈ Fd eine Figur und q1, . . . , qM ∈ Qd so, dass f =⋃Mi=1 qi.

Sei weiterhin q ∈ Qd. Nach (VI.35) und (VI.26) ist dann

f \ q =( M⋃i=1

qi

)\ q =

M⋃i=1

(qi \ q

)∈ Fd, (VI.36)

d.h., die Differenz einer Figur und eines Quaders ist eine Figur. Sind nun f ∈ Fd eine Figurund q1, . . . , qN ∈ Qd so, dass f =

⋃Nj=1 qj, dann ist nach (VI.36) auch

f \ f = f \( N⋃j=1

qj

)=(· · · (f \ q1) \ q2

)\ · · · \ qN ∈ Fd. (VI.37)

Mit einer Partition analog zur Konstruktion der Quader qξ in (VI.33) kann man zeigen, dasssich jede Figur als endliche Vereinigung disjunkter Quader schreiben lasst.

Lemma VI.20.

Fd =q1 ∪ · · · ∪ qN

∣∣ q1, q2, . . . , qN ∈ Qd, N <∞, ∀ i < j : qi ∩ qj = ∅, (VI.38)

Beweis. Ubungsaufgabe.

Wir kommen nun zum Begriff des (Raum-)Inhalts.

85

ENTW



Definition VI.21. Sei R ⊆ P(Ω) ein Ring. Eine Abbildung µ : R→ R+0 heißt Inhalt

(auf R) :⇔

(i) µ(∅) = 0.

(ii) Sind A1, A2, . . . , AN ∈ R paarweise disjunkt, so ist µ additiv,

µ( N⋃i=1

Ai

)=

N∑i=1

µ(Ai). (VI.39)

Das wichtigste Beispiel fur Definition VI.21 in unserem Zusammenhang ist das ubliche, d−dimen-sionale Volumen: Fur a, b ∈ Rd, mit a ≤ b, ist [a, b) ∈ Qd ein Quader mit Volumen

µd(

[a, b))

:=d∏

ν=1

(bν − aν). (VI.40)

Sind weiterhin q1, q2, . . . , qN ∈ Qd paarweise disjunkte Quader, so setzen wir

µd

( N⋃i=1

qi

)=

N∑i=1

µd(qi). (VI.41)

Nach Lemma VI.20 ist jede Figur darstellbar in eine endliche Vereinigung disjunkter Quader,und insofern lasst sich jeder Figur durch (VI.41) ein Volumen zuordnen.

Lemma VI.22. µd ist ein Inhalt auf Fd.

Beweis. Definition VI.21(i) und (ii) gelten trivialerweise, falls die Wohldefiniertheit von µd :Fd → [0,∞] gesichert ist. Dazu ist zu bemerken, dass die Zerlegung einer Figur in disjunkteQuader keineswegs eindeutig ist. Sind q1, . . . , qM ∈ Qd und q1, . . . , qN ∈ Qd jeweils paarweisedisjunkt, ergeben aber in der Vereinigung dieselbe Menge,

M⋃i=1

qi =N⋃j=1

qj, (VI.42)

so bleibt zu zeigen, dass auch die zugeordneten Volumina gleich sind,

M∑i=1

µd(qi) = µd

( M⋃i=1

qi

)= µd

( N⋃j=1

qj

)=

N∑j=1

µd(qj). (VI.43)

Dafur bemerken wir, dass qij := qi∩ qj ∈ Qd eine Familie disjunkter Quader definiert, und dass

qi =N⋃j=1

qij und qj =M⋃i=1

qij (VI.44)

86

ENTW



fur alle i = 1, . . . ,M und alle j = 1, . . . , N gilt. Also ist

M∑i=1

µd(qi) =M∑i=1

µd

( N⋃j=1

qij

)=

M∑i=1

N∑j=1

µd(qij)

=N∑j=1

µd

( M⋃i=1

qij

)=

N∑j=1

µd(qj), (VI.45)

und µd ist auf den Figuren wohldefiniert.

VI.3.2 Pramaße

Definition VI.23. Seien Ω eine Menge und R ⊆ P(Ω) ein Ring. Eine Abbildung µ : R →[0,∞] heißt Pramaß (auf R) :⇔

(i) µ(∅) = 0.

(ii) Die Abbildung µ ist σ-additiv, d.h., ist (An)∞n=1 ∈ RN eine Folge paarweise disjunkterMengen in R, so dass auch ihre Vereinigung in R liegt,

⋃∞n=1An ∈ R, so gilt

µ( ∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

µ(An). (VI.46)

Gibt es außerdem eine Folge (An)∞n=1 in R mit µ(An) < ∞, fur alle n ∈ N, und An Ω,d.h. An ⊆ An+1 und

⋃∞n=1 An = Ω, so heißt das Pramaß µ σ-endlich.

Wir sehen, dass jedes Pramaß auf R auch einen Inhalt auf R definiert. Der folgende Satz gibteine notwendige Bedingung fur die Umkehrung.

Lemma VI.24. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring und µ : R→ R+0 ein Inhalt. Dann

gilt folgende Aquivalenz:

µ ist ein Pramaß auf R (VI.47)

⇔ µ ist ∅-stetig (VI.48)

:⇔ ∀(An)∞n=1 ∈ RN, An ∅ : limn→∞

µ(An) = 0,

wobei An ∅ bedeutet, dass An ⊇ An+1 und⋂∞n=1 An = ∅.

Beweis.(i): Sei (Bn)∞n=1 eine Folge in R mit Bn ∅, d.h. Bn ⊇ Bn+1 und

⋂∞n=1Bn = ∅. Bilden wir

An := Bn \Bn+1, so ist (An)∞n=1 eine Folge paarweise disjunkter Mengen in R, und B1 lasst sichals disjunkte Vereinigung fur alle N ∈ N wie folgt darstellen,

B1 =N⋃n=1

An ∪ BN+1 =∞⋃n=1

An. (VI.49)

87

ENTW



Weil µ ein Pramaß ist, folgt daraus, dass

µ(B1) = µ( N⋃n=1

An

)+ µ(BN+1) =

N∑n=1

µ(An) + µ(BN+1) und (VI.50)

µ(B1) = µ( ∞⋃n=1

An

)+ µ(BN+1) =

∞∑n=1

µ(An). (VI.51)

Insbesondere ist die Reihe∑∞

n=1 µ(An) konvergent, und deshalb muss

µ(BN+1) =∞∑

n=N+1

µ(An) → 0 (VI.52)

konvergieren, fur N →∞.(ii): Sei (An)∞n=1 eine Folge paarweise disjunkter Mengen in R, so dass auch A :=

⋃∞n=1 An ∈

R. Setzen wir BN :=⋃Nn=1 An und BN :=

⋃∞n=N+1 An, so sind BN und BN disjunkt und

A = BN ∪ BN . Offensichtlich sind BN ∈ R und somit auch BN = A \ BN ∈ R. Da µ einendlicher Inhalt ist, sind

µ(A) , µ(BN) , µ(BN) < ∞ (VI.53)

endlich, und die Disjunktheit von BN und BN impliziert, dass µ(A) = µ(BN) + µ(BN) bzw.

∀ N ∈ N : µ(BN) = µ(A) − µ(BN). (VI.54)

Außerdem impliziert die Disjunktheit der Mengen An, dass BN ∅, fur N → ∞, denn zujedem x ∈ A gibt es genau ein n(x) ∈ N, so dass x ∈ An(x), und somit ist x /∈ BN , fur alleN > n(x). Aus der ∅-Stetigkeit und (VI.54) folgt deshalb

0 = limN→∞

µ(BN) = limN→∞

µ(A \ BN) (VI.55)

= µ(A) − limN→∞

µ(BN) = µ(A) − limN→∞

µ( N⋃n=1

An

)

= µ(A) − limN→∞

N∑n=1

µ(An) = µ(A) −∞∑n=1

µ(An),

was gerade die σ-Additivitat ergibt.

In dem nun folgenden Satz verwenden wir noch folgende elementare Identitat,

Lemma VI.25. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring, µ : R → [0,∞] ein Inhalt undA,B ∈ R. Dann gilt

µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B). (VI.56)

88

ENTW



Beweis. Wir beobachten, dass in

A ∪B = A ∪ (B \ A) und B = (A ∩B) ∪ (B \ A) (VI.57)

auf den rechten Seiten jeweils zwei disjunkte Mengen vereinigt sind. Aus der Additivitat desInhalts folgt damit

µ(A ∪B) − µ(A) = µ(B \ A) = µ(B) − µ(A ∩B), (VI.58)

woraus sich sofort Glg. (VI.56) ergibt.

Satz VI.26. µd ist ein Pramaß auf Fd.

Beweis. Da wir in Lemma VI.22 bereits gezeigt haben, dass µd einen (offensichtlich endlichen)Inhalt auf Fd definiert, bleibt nach Lemma VI.24 nur die ∅-Stetigkeit von µd zu zeigen. Sei dazu(An)∞n=1 eine monoton fallende Folge in Fd, d.h. An ⊇ An+1. Es reicht zu zeigen, dass

δ := limn→∞

µd(An) = infn∈N

µd(An) > 0, (VI.59)

die Aussage

∞⋂n=1

An 6= ∅ (VI.60)

impliziert, wobei wir o. B. d. A. δ ≤ 1 annehmen konnen. Wir fixieren nun n ∈ N und wahlennichtleere, disjunkte Quader q(1), . . . , q(L) in Qd so, dass

An =L⋃`=1

q(`), (VI.61)

wobei q(`) = x(`) +[−ε(`) , ε(`)), fur geeignete x(`) ∈ Rd und ε(`) ∈ (R+)d. Anschließend definierenwir etwas kleinere Quader

q(`) := x(`) +

(1− δ 2−n−1−`

1 + µd(q(`))

)1/d [− ε(`) , ε(`)

)∈ Qd (VI.62)

und setzen

Bn :=L⋃`=1

q(`). (VI.63)

Wir beobachten, dass der Abschluss von Bn kompakt ist und dass

Bn =L⋃`=1

q(`) ⊆ An. (VI.64)

89

ENTW



Weiterhin beobachten wir, dass

µd(An) − µd(Bn) =L∑`=1

µd(q

(`)) −(

1− δ 2−n−1−`

1 + µd(q(`))

)µd(q

(`))

=L∑`=1

δ 2−n−1−`(

µd(q(`))

1 + µd(q(`))

)

≤L∑`=1

δ 2−n−1−` ≤ δ 2−n−1. (VI.65)

Im nachsten Schritt definieren wir mit Hilfe der Mengen Bn ∈ Fd eine weitere Folge (CN)∞N=1

von Figuren in Fd durch

CN :=N⋂n=1

Bn = CN−1 ∩BN . (VI.66)

Daraus ergibt sich mit (VI.56), dass

µd(CN) = µd(CN−1 ∩BN) = µd(CN−1) + µd(BN) − µd(CN−1 ∪BN). (VI.67)

Nun ist CN−1 ⊆ BN−1 ⊆ AN−1 und auch BN ⊆ AN ⊆ AN−1, also CN−1 ∪ BN ⊆ AN−1. Setzenwir dies und (VI.65) in (VI.67) ein, so erhalten wir

µd(CN) ≥ µd(CN−1) + µd(BN) − µd(AN−1)

≥ µd(CN−1) + µd(AN) − µd(AN−1) − δ 2−N−1, (VI.68)

woraus wir schließen, dass

µd(CN)−µd(AN) (VI.69)

≥ µd(CN−1) − µd(AN−1) − δ 2−(N−1)−2

≥ µd(CN−2) − µd(AN−2) − δ(2−(N−1)−2 + 2−(N−2)−2

)· · · ≥ µd(C1) − µd(A1) − δ

N−1∑`=1

2−2−`

= µd(B1) − µd(A1) − δ

N−1∑`=1

2−2−`

≥ − δ

∞∑`=0

2−2−` = − δ 2−1,

da C1 = B1. Wegen µd(AN) ≥ δ impliziert dies, dass

∀ N ∈ N : µd(CN) ≥ δ

2> 0. (VI.70)

90

ENTW



was wiederum zur Folge hat, dass CN 6= ∅, fur alle N ∈ N.Schließlich stellen wir fest, dass (CN)∞N=1 eine monotone Folge nichtleerer, kompakter Mengenist, CN ⊇ CN+1 6= ∅, was nach dem Satz von Heine-Borel impliziert, dass auch der Durchschnittaller CN nichtleer ist. Mit Cn ⊆ Bn ⊆ An folgt also

∞⋂n=1

An ⊇∞⋂n=1

Bn ⊇∞⋂n=1

Cn 6= ∅. (VI.71)

VI.3.3 σ-Algebren

Die entscheidende Einsicht, die den Grundbaustein der Maßtheorie darstellt, ist, dass der Begriffdes Mengenrings (hier: die Figuren F1) nicht flexibel genug ist und durch den der σ-Algebraersetzt werden muss.

Definition VI.27. Sei Ω eine Menge und P(Ω) := A : A ⊆ Ω ihre Potenzmenge. EinMengensystem A ⊆ P(Ω) heißt σ-Algebra (uber Ω) :⇔

Ω ∈ A, (VI.72)

A ∈ A ⇒ Ac := Ω \ A ∈ A, (VI.73)

(An)∞n=1 ⊆ A ⇒∞⋃n=1

An ∈ A. (VI.74)


• Wir bemerken, dass A = ∅,Ω die kleinstmogliche und A = P(Ω) die großtmoglicheσ-Algebra uber Ω sind. Der Ausganspunkt der Maßtheorie ist jedoch die Erkenntnis, dassfur Ω = Rd der Ring der Figuren Fd zu klein und die Potenzmenge P(Ω) zu groß sind.

• Weiterhin bemerken wir, dass jede σ-Algebra A auch ein Ring ist. Denn mit Ω ∈ A istauch ∅ = Ωc ∈ A; fur A,B ∈ A setzen wir A1 := A, A2 := B und An := ∅, fur alle n ≥ 2.Dann ist (An)∞n=1 eine Folge in A, und deshalb ist auch A ∪ B =

⋃∞n=1 ∈ A. Schließlich

sind mit A,B ∈ A auch Ac, Bc ∈ A. Dann ist auch Ac ∪B ∈ A und somit auch

A \B = A ∩Bc =[Ac ∪B

]c ∈ A. (VI.75)

Lemma VI.28. Jeder (endliche, abzahlbare oder auch uberabzahlbare) Durchschnitt von σ-Algebren ist wieder eine σ-Algebra.

Beweis. Der Beweis erfolgt durch Nachprufen der Eigenschaften (VI.72)–(VI.74).

Ist nun E ⊆ P(Ω) ein System von Teilmengen von Ω, so setzen wir

A(E) :=⋂

A ⊆ P(Ω)∣∣∣ E ⊆ A , A ist eine σ-Algebra

. (VI.76)

Nach Lemma VI.28 ist A(E) wieder eine σ-Algebra, und nach Konstruktion ist sie die kleinsteσ-Algebra, die E enthalt.

91

ENTW



Definition VI.29.

(i) Zu E ⊆ P(Ω) heißt A(E) die von E erzeugte σ-Algebra.

(ii) Fur Ω = Rd heißt die von den Quadern Qd bzw. den Figuren Fd erzeugte σ-Algebra dieσ-Algebra der Borelmengen,

Bd := A(Qd) = A(Fd). (VI.77)

Wir bemerken, dass, wenn A bereits eine σ-Algebra ist, die von A erzeugte σ-Algebra mit Aubereinstimmt. Insbesondere ist

A(A(E)

)= A(E), (VI.78)

fur jedes E ⊆ P(Ω).

Satz VI.30. Seien Od ⊆ P(Rd) die offenen, Cd ⊆ P(Rd) die abgeschlossenen und Kd ⊆P(Rd) die kompakten Mengen in Rd. Die von ihnen erzeugten σ-Algebren stimmen alle mitden Borelmengen uberein,

Bd = A(Od) = A(Cd) = A(Kd). (VI.79)

Beweis. In Rd ist eine Menge genau dann kompakt, wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist;das ist die Aussage des Satzes von Heine-Borel. Also ist Kd ⊆ Cd, und deshalb auch A(Kd) ⊆A(Cd). Sind umgekehrt A ∈ Cd eine abgeschlossene Menge und Br ∈ Kd die abgeschlosseneKugel in Rd um den Ursprung und mit Radius r ∈ R+, so sind auch An := A ∩ Bn ∈ Kd, furalle n ∈ N, und

A =∞⋃n=1

An ∈ A(Kd). (VI.80)

Also ist Cd ⊆ A(Kd), und somit gilt nach (VI.78))

A(Kd) ⊆ A(Cd) ⊆ A(A(Kd)

)⊆ A(Kd). (VI.81)

Also ist A(Kd) = A(Cd).Ist A ∈ Cd abgeschlossen, so ist Ac ∈ Od offen. Weil A(Od) mit Ac auch dessen KomplementA enthalt, folgt also, dass Cd ⊆ A(Od), was nach (VI.78) wiederum A(Cd) ⊆ A(Od) nach sichzieht. Dasselbe Argument liefert aber auch A(Od) ⊆ A(Cd), und somit erhalten wir

A(Kd) = A(Cd) = A(Od). (VI.82)

Wir zeigen nun noch, dass Bd = A(Od). Seien dazu a, b ∈ Rd mit a < b, d.h. a1 < b1, . . . , ad <bd. Zu n ∈ N definieren wir

An :=

(a1 +

b1 − a1

2n, b1

)× · · · ×

(ad +

bd − ad2n

, bd

). (VI.83)

92

ENTW



Dann ist An ∈ Od, fur alle n ∈ N, und

[a , b) =∞⋃n=1

An ∈ A(Od). (VI.84)

Also ist Qd ⊆ A(Od), woraus abermals mit (VI.78) auch A(Qd) ⊆ A(Od) folgt.

Um die umgekehrte Inklusion A(Od) ⊆ A(Qd) zu beweisen, betrachten wir eine offene MengeA ∈ Od. Da jeder Punkt x ∈ A ein innerer Punkt ist, gibt es ein r(x) > 0, so dass Br(x)(x) ⊆ A.Wir wahlen nun ρ(x) ∈ Q+ so, dass (2d)−1r(x) < ρ(x) < d−1r(x) und dann einen Punkty(x) ∈ Qd, mit ‖y(x)−x‖ < (4d)−1r(x). Definieren wir nun noch ε(x) ∈ Qd durch εν(x) := ρ(x),fur alle ν = 1, . . . , d, so beobachten wir dass |xν − yν(x)| < εν(x) und somit dass

x ∈[y(x)− ε(x) , y(x) + ε(x)

)⊆ Br(x)(x) ⊆ A (VI.85)

Insbesondere ist

A =⋃x∈A

x ⊆⋃x∈A

[y(x)− ε(x) , y(x) + ε(x)

)⊆ A, (VI.86)

also

A =⋃x∈A

[y(x)− ε(x) , y(x) + ε(x)

). (VI.87)

Die Vereinigung auf der rechten Seite in (VI.87) ist abzahlbar, denn die Menge der Quader[y(x)−ε(x) , y(x)+ε(x)) ∈ Qd ist mit y(x), ε(x) ∈ Qd abzahlbar. Es folgt also, dassOd ⊆ A(Qd)und somit auch A(Od) ⊆ A(Qd) = Bd.

VI.3.4 Das außere Maß

Wir fuhren nun den auf Caratheodory zuruckgehenden Begriff des außeren Maßes ein.

Definition VI.31. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring und µ : R→ R+0 ein Pramaß auf

R. Fur Q ∈ P(Ω) sei

U(Q) :=

(An)∞n=1 ⊆ R

∣∣∣∣ Q ⊆ ∞⋃n=1

An

, (VI.88)

wobei (An)∞n=1 ⊆ R eine Folge in R bezeichne. Das außere Maß (bezuglich µ) ist die Abbildungµ∗ : P(Ω)→ [0,∞], die durch µ∗(Q) :=∞, falls U(Q) = ∅, und

µ∗(Q) := inf ∞∑n=1

µ(An)∣∣∣ (An)∞n=1 ∈ U(Q)

, (VI.89)

falls U(Q) 6= ∅, definiert ist.

93

ENTW



Lemma VI.32. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring und µ : R→ [0,∞] ein Pramaß aufR. Das zugehorige außere Maß besitzt folgende Eigenschaften:

µ∗ ≥ 0, µ∗(∅) = 0, (VI.90)

Q1 ⊆ Q2 ⇒ µ∗(Q1) ≤ µ∗(Q2), (VI.91)

µ∗( ∞⋃n=1

Qn

)≤

∞∑n=1

µ∗(Qn). (VI.92)

Ist A ∈ R, so gelten weiterhin noch

∀ Q ∈ P(Ω) : µ∗(Q) = µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A), (VI.93)

µ∗(A) = µ(A). (VI.94)

Beweis.Glg. (VI.90): Die Nichtnegativitat von µ∗ ist offensichtlich. Mit An := ∅ ist (An)∞n=1 ∈ U(∅) unddeshalb 0 ≤ µ∗(∅) ≤ 0.

Glg. (VI.91): Mit Q1 ⊆ Q2 ist U(Q1) ⊇ U(Q2) und daher µ∗(Q1) ≤ µ∗(Q2).

Glg. (VI.92): Seien (Qn)∞n=1 eine Folge in P(Ω) und Q :=⋃∞n=1Qn. Sei weiterhin ε > 0. Wir

konnen fur alle n ∈ N annehmen, dass U(Qn) 6= ∅, denn anderenfalls ist die rechte Seite in(VI.92) unendlich, und (VI.92) ist somit gultig. Nach Definition von µ∗ gibt dann es zu jedemQn ∈ P(Ω) eine Folge (An,m)∞m=1 ∈ U(Qn), so dass

∀n ∈ N : µ∗(Qn) ≥∞∑m=1

µ(An,m) − ε 2−n. (VI.95)

Da Qn ⊆⋃∞m=1 An,m, ist auch Q ⊆

⋃∞m,n=1 An,m, d.h., die (abzahlbare) Doppelfolge uberdeckt

Q also (An,m)∞m,n=1 ∈ U(Q). Somit ist

µ∗(Q) ≤∞∑

m,n=1

µ(An,m) ≤∞∑n=1

µ∗(Qn) + ε2−n

= ε+

∞∑n=1

µ∗(Qn). (VI.96)

Da ε > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, impliziert dies (VI.92).

Glg. (VI.93): Seien Q ∈ P(Ω) und A ∈ R. Setzen wir Q1 := Q ∩ A, Q2 := Q \ A undQ3 := Q4 := · · · := ∅, so folgt aus (VI.90) und (VI.92), dass

µ∗(Q) ≤ µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A). (VI.97)

Es verbleibt also die umgekehrte Ungleichung zu zeigen. Dazu konnen wir wieder U(Q) 6= ∅annehmen, denn anderenfalls gilt µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A) ≤ ∞ = µ∗(Q) trivialerweise. Ist also(An)∞n=1 ∈ U(Q), dann beobachten wir zunachst, dass µ(An) = µ(An ∩ A) + µ(An \ A), weil µein Inhalt ist. Addieren wir diese Gleichungen, so erhalten wir

∞∑n=1

µ(An ∩ A) +∞∑n=1

µ(An \ A) =∞∑n=1

µ(An). (VI.98)

94

ENTW



Außerdem sind (An ∩ A)∞n=1 ∈ U(Q ∩ A) und (An \ A)∞n=1 ∈ U(Q \ A), daher sind

µ∗(Q ∩ A) ≤∞∑n=1

µ(An ∩ A) und µ∗(Q \ A) ≤∞∑n=1

µ(An \ A), (VI.99)

woraus mit (VI.98)

µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A) ≤∞∑n=1

µ(An) (VI.100)

fur alle (An)∞n=1 ∈ U(Q) folgt. Also gilt auch

µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A) ≤ inf(An)∞n=1∈U(Q)

∞∑n=1

µ(An)

= µ∗(Q). (VI.101)

Glg. (VI.94): Mit A1 := A und A2 := A3 := · · · := ∅ ist (An)∞n=1 ∈ U(A), und deshalb ist

µ∗(A) ≤ µ(A). (VI.102)

Um die umgekehrte Ungleichung zu beweisen, verwenden wir, dass µ auf R ein Pramaß undsomit ∅-stetig ist. Wir wissen bereits, dass U(A) 3 (A, ∅, ∅, . . .) nicht leer ist. Seien also(An)∞n=1 ∈ U(A) beliebig und ε > 0. Wir setzen BN := A \

(⋃Nn=1An

)∈ R und beobach-

ten, dass

µ(A) = µ(A ∩

N⋃n=1

An

)+ µ(BN) ≤

N∑n=1

µ(An) + µ(BN). (VI.103)

Mit N →∞ ergibt dies insbesondere

µ(A) ≤∞∑n=1

µ(An) + lim supN→∞

µ(BN). (VI.104)

Nun bemerken wir, dass BN ∅, da A ⊆⋃∞n=1An. Weil µ ∅-stetig ist, folgt damit, dass

lim supN→∞ µ(BN) = limN→∞ µ(BN) = 0, und wir haben

µ(A) ≤∞∑n=1

µ(An), (VI.105)

fur alle (An)∞n=1 ∈ U(A), was µ(A) ≤ µ∗(A) nach sich zieht.

Satz VI.33 (Caratheodory). Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring, µ : R → [0,∞] einPramaß auf R und µ∗ : P(Ω)→ [0,∞] das zugehorige außere Maß. Dann ist

A∗ :=A ∈ P(Ω)

∣∣∣ ∀ Q ∈ P(Ω) : µ∗(Q) = µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A)

(VI.106)

eine σ-Algebra, die R umfasst, also

R ⊆ A(R) ⊆ A∗ ⊆ P(Ω). (VI.107)

95

ENTW



Beweis. Es ist nur zu zeigen, dass A∗ eine σ-Algebra ist, denn nach (VI.93) ist R ⊆ A∗.Weiterhin ist trivialerweise Ω ∈ A∗, und auch die Implikation A ∈ A∗ ⇒ Ac ∈ A∗ gilt trivial,wenn wir Q \ A = Q ∩ Ac beachten. Es ist also nur nachzuweisen, dass A∗ unter abzahlbarenVereinigungen abgeschlossen ist. Dazu betrachten wir zunachst A,B ∈ A∗. Dann ist

µ∗(Q) = µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q ∩ Ac) (VI.108)

= µ∗(Q ∩ A ∩B) + µ∗(Q ∩ Ac ∩B)

+ µ∗(Q ∩ A ∩Bc) + µ∗(Q ∩ Ac ∩Bc)

= µ∗(Q ∩ A ∩B) + µ∗(Q ∩ Ac ∩B)

+ µ∗(Q ∩ A ∩Bc) + µ∗(Q ∩ [A ∪B]c).

Ersetzen wir in diese Identitat Q durch Q ∩ [A ∪ B], so fallt der letzte Term heraus, und dieanderen drei bleiben unverandert,

µ∗(Q ∩ [A ∪B]) = µ∗(Q ∩ [A ∪B] ∩ A ∩B) + µ∗(Q ∩ [A ∪B] ∩ Ac ∩B)

+ µ∗(Q ∩ [A ∪B] ∩ A ∩Bc) (VI.109)

= µ∗(Q ∩ A ∩B) + µ∗(Q ∩ Ac ∩B) + µ∗(Q ∩ A ∩Bc).

Ersetzen wir die ersten 3 Terme auf der rechten Seite von (VI.108) durch die linke Seite von(VI.109), so erhalten wir

µ∗(Q) = µ∗(Q ∩ [A ∪B]) + µ∗(Q ∩ [A ∪B]c), (VI.110)

also A ∪ B ∈ A∗. Sind nun A1, A2 ∈ A∗ disjunkt, so sind A1 ∩ A2 = ∅, A1 ∩ Ac2 = A1 undAc1 ∩ A2 = A2, und aus (VI.109) folgt dann außerdem, dass

µ∗(Q ∩ [A1 ∪ A2]) = µ∗(Q ∩ A1) + µ∗(Q ∩ A2). (VI.111)

Durch Induktion ubertragen sich (VI.110) und (VI.111) sofort auf endlich viele Mengen:Ist (An)∞n=1 ⊆ A∗ eine Folge paarweise disjunkter Mengen und

BN :=N⋃n=1

An sowie A :=∞⋃n=1

An, (VI.112)

so folgt, dass BN ∈ A∗ und

µ∗(Q ∩BN) =N∑n=1

µ∗(Q ∩ An). (VI.113)

Wegen BN ⊆ A ist Q \BN ⊇ Q \A und daher µ∗(Q \BN) ≥ µ∗(Q \A), was mit (VI.113) undBN ∈ A∗ zusammen

µ∗(Q) = µ∗(Q ∩BN) + µ∗(Q \BN) ≥N∑n=1

µ∗(Q ∩ An) + µ∗(Q \ A) (VI.114)

96

ENTW



ergibt. Im Limes N →∞ erhalten wir daraus

µ∗(Q) ≥∞∑n=1

µ∗(Q ∩ An) + µ∗(Q \ A) (VI.115)

≥ µ∗(Q ∩ A) + µ∗(Q \ A) ≥ µ∗(Q),

wobei wir zusatzlich (VI.92) verwenden. Also muss tatsachlich Gleichheit uberall in (VI.115)gelten, und es folgt, dass A ∈ A∗.

VI.3.5 Maße

Definition VI.34. Sei Ω eine Menge und A ⊆ P(Ω) eine σ-Algebra. Eine Abbildung µ : A→[0,∞] heißt Maß (auf A):⇔

(i) µ(∅) = 0.

(ii) Die Abbildung µ ist σ-additiv, d. h., ist (An)∞n=1 eine Folge paarweise disjunkter Mengenin A, so gilt

µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

µ(An). (VI.116)

Gibt es außerdem eine Folge (An)∞n=1 in A mit µ(An) < ∞, fur alle n ∈ N, und An Ω,d.h. An ⊆ An+1 und

⋃∞n=1 An = Ω, so heißt das Maß µ σ-endlich.

Ein Maß ist also ein Pramaß auf einer σ-Algebra. Wir kommen nun zum Hauptresultat diesesKapitels.

Satz VI.35. Seien Ω eine Menge, R ⊆ P(Ω) ein Ring und µ : R → R+0 ein Pramaß auf R.

Dann definiert die Restriktion des außeren Maßes µ∗ : P(Ω) → [0,∞] eine Fortsetzung von µzu einem Maß µ := µ∗

∣∣A(R)

: A(R)→ [0,∞], so dass also µ∣∣R

= µ. Ist das Pramaß µ σ-endlich,

so ist µ die einzige Fortsetzung von µ zu einem Maß auf A(R).

Beweis. Wie bereits in (VI.90) bemerkt, gilt µ∗(∅) = 0. Um zu zeigen, dass die Restriktionvon µ∗ auf A(R) ein Maß definiert, brauchen wir also nur die σ-Additivitat von µ∗ auf A(R)nachzuweisen. Dazu beobachten wir, dass A(R) ⊆ A∗, nach Satz VI.33. Die σ-Additivitat vonµ∗ erhalten wir aus (VI.115) sogar auf A∗, indem wir Q := A setzen,

µ∗(A) =∞∑n=1

µ∗(A ∩ An) + µ∗(A \ A) =∞∑n=1

µ∗(An). (VI.117)

Zum Beweis der Eindeutigkeit der Fortsetzung von µ wurden wir noch die Begriffe der Dynkin-Systeme bzw. der monotonen Klassen benotigen. Aus Zeitmangel verzichten wir auf diese Kon-struktion und verweisen den interessierten Leser auf die Bucher von Bauer1 und von Lieb undLoss2.

1Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzuge der Maßtheorie, 3. Auflage, de Gruyter 1978.2Analysis, AMS Publications, 1997

97

ENTW



Korollar VI.36. Das auf den Figuren Fd definierte Pramaß µd hat eine eindeutige Fortset-zung zu einem σ-endlichen Maß auf Bd, das Lebesgue-Borel-Maß, das wir abermals mit µdbezeichnen.

Wir bemerken, dass jedes Maß µ aufRd auch den Wert µ(Rd) festlegen muss, daRd nach (VI.72)Element einer jeden σ-Algebra uber Rd ist. Fur das Lebesgue-Borel-Maß muss µd(R

d) = ∞sein, da µd(R

d) ≥ µd([−L,L]d

)= 2dLd, fur jedes L > 0.

Damit ist klar, dass die Zulassigkeit des Wertes “∞” fur Maße µ : A→ [0,∞] = R+0 = R+

0 ∪∞eine unabdingbare Forderung ist.

Definition VI.37. Sind Ω eine Menge und A ⊆ P(Ω) eine σ-Algebra, so bezeichnet man dasPaar (Ω,A) als Messraum oder messbaren Raum, und die Mengen in A heißen messbar.Ist weiterhin µ : A→ [0,∞] ein Maß, so bezeichnet man das Tripel (Ω,A, µ) als Maßraum.

Insbesondere ist nach Korollar VI.36 das Tripel (Rd,Bd, µd) ein Maßraum.

Wir bemerken noch, dass sich das sogenannte Lebesgue-Maß vom Lebesgue-Borel-Maß in einemwichtigen Punkt unterscheidet: Ist A ∈ Bd eine messbare Menge mit Maß Null, µd(A) = 0,so gilt wegen der Monotonie des außeren Maßes auch µ∗d(A

′) = 0, fur jede Teilmenge A′ ⊆ A.Trotzdem muss A′ nicht notwendig messbar sein, und obwohl 0 ein naturlicher Kandidat furµd(A

′) ist, ware dann µd(A′) nicht definiert. Diesen Nachteil kann man noch beseitigen, indem

man zu den Borelmengen noch die Mengen in A∗ mit ausserem Maß Null hinzufugt. Genauergesagt definieren wir die Nullmengen durch

Nd :=A ∈ A∗(Fd)

∣∣∣ µ∗d(A) = 0

(VI.118)

und anschließend die σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen durch

Ld := A(Bd ∪Nd). (VI.119)

Da Ld ⊆ A∗(Fd), kann man sich leicht uberzeugen, dass das Lebesgue-Borel-Maß auf Bd ineindeutiger Weise zum Lebesgue-Maß auf Ld fortgesetzt werden kann. Wir ignorieren imFolgenden diesen Unterschied und sprechen vom Lebesgue-Maß, obwohl wir stets das Lebesgue-Borel-Maß meinen.

Schließlich stellt sich die Frage, ob A∗ ⊆ P(Ω) eine echte Teilmenge darstellt. Die Antwortauf diese Frage hangt von Ω, dem Ring R und dem darauf definierten Inhalt µ ab. Ist etwa Ωabzahlbar, und enthalt R die Elemente von Ω als einelementige Mengen, so ist sofort A(R) =P(Ω) und somit auch A∗ = P(Ω). Fur den Ring Fd der Figuren mit Pramaß µd gilt allerdings

A∗(Fd) 6= P(Rd). (VI.120)

Die Konstruktion von Mengen in P(Rd) \ A∗(Fd) ist allerdings anspruchsvoll, unintuitiv undfuhrt auf alle moglichen (scheinbar) paradoxe Sachverhalte. Eine interessante Diskussion dieserMengen findet man bei Oxtoby3.

3Maß und Kategorie Springer-Verlag, 1982.

98

ENTW



Satz VI.38. Das Lebesgue-Maß µd : Bd → [0,∞] besitzt die Eigenschaften der außerenRegularitat und der inneren Regularitat, d.h. fur jedes A ∈ Bd gilt

µd(A) = infµd(U)

∣∣ U ⊇ A, U ist offen

(VI.121)

= supµd(C)

∣∣ C ⊆ A, C ist kompakt. (VI.122)

Beweis. Wir zeigen nur (VI.121)), bemerken aber zuvor, dass Rd ⊇ A offen und ∅ ⊆ A abge-schlossen sind. Fur µd(A) =∞ gilt (VI.121) trivialerweise, sei also µd(A) <∞. Da µd = µ∗|Ld ,wobei µ∗ das zum Ring Fd der Figuren gehorige außere Maß notiert, gibt es gemaß (VI.106) zujedem ε > 0 eine Folge (An)∞n=1 in Fd, so dass

A ⊆∞⋃n=1

An und µd(A) ≥( ∞∑

n=1

µd(An)

)− ε. (VI.123)

Jedes An ist aber die Vereinigung endlich vieler halboffener und paarweise disjunkter Quader.Daher gibt es Folgen (ak)

∞k=1, (bk)

∞k=1 in Rd, mit ak < bk, so dass

A ⊆∞⋃k=1

[ak, bk) und µd(A) ≥( ∞∑

k=1

µd([ak, bk)

))− ε. (VI.124)

Wahlen wir nun ck < ak so, dass

µd((ck, bk)

)≤ µd

([ak, bk]

)+ ε · 2−k, (VI.125)

so ist

U :=∞⋃k=1

(ck, bk) ⊇∞⋃k=1

[ak, bk) ⊇ A (VI.126)

offen und

µd(A) ≥( ∞∑

k=1

µd((ck, bk)

)− ε · 2−k

)− ε

=

( ∞∑k=1

µd((ck, bk)

))− 2ε ≥ µd(U)− 2ε. (VI.127)

Da ε > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, folgt daraus (VI.121).

99

ENTW


KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE

Kapitel VII

Integration uber Maße

VII.1 Messbare Funktionen und

Definition des Integrals

Wir beginnen dieses Kapitel mit dem Begriff der Messbarkeit, genauer der reellen Messbarkeit.Dazu fugen wir zu den reellen Zahlen noch die Werte “−∞” und “∞” hinzu, denn wir habenschon im vorigen Kapitel gesehen, dass Maße den Wert “∞” annehmen konnen, etwa µd(R

d) =∞. Wir setzen also R := [−∞,∞] := R ∪ −∞,∞ und B1 := A

(R).

Definition VII.1. Sei (Ω,A) ein Messraum. Eine Funktion f : Ω → R heißt reell-messbar:⇔

∀ A ∈ B1 : f−1(A) ∈ A. (VII.1)

Die reell-Messbarkeit einer Funktion lasst sich auf ein einfacheres Kriterium zuruckfuhren: esreicht, in (VII.1) fur A halboffene Quader einzusetzen. Es gilt sogar folgende Aussage.

Lemma VII.2. Sei (Ω,A) ein Messraum. Eine Funktion f : Ω → R ist genau dann reell-messbar, wenn ihre Niveaumengen A(f, λ) := f−1

((λ,∞]

)=ω ∈ Ω

∣∣ f(ω) > λ∈ A fur

alle λ ∈ R in A liegen.

Das folgende Lemma besagt, dass die Menge der reell-messbaren Funktionen unter abzahlba-ren Supremums- und Infimumsbildungen, sowie Bildungen des Limes Superior und des LimesInferior abgeschlossen ist.

Lemma VII.3. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine Folge reell-messbarer Funktio-

nen. Dann sind supk fk, infk fk, lim supk fk, lim infk fk, und, falls fur alle ω ∈ Ω existent, auchlimk fk reell-messbar.

100

ENTW


KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSEVII.1. MESSBARE FUNKTIONEN UND

DEFINITION DES INTEGRALS

Die Klasse der reell-messbaren Funktionen ist genugend groß um alle erdenklichen Beispiele mit-einzuschließen - auch die meisten “pathologischen” Beispiele, wie etwa die Dirichlet-Funktion.In der Tat ist die Konstruktion konkreter nicht-messbarer Funktionen genauso schwierig wieetwa die Konstruktion von Mengen in P(Rd) \ A∗(Fd).Wir definieren nun das Integral fur nichtnegative Funktionen eines Maßraums.

Definition VII.4. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und f : Ω → [0,∞] eine nichtnegative, reell-messbare Funktion. Fur λ > 0 definieren wir die Niveaumengen von f durch

A(f, λ) := f−1((λ,∞]

)=ω ∈ Ω

∣∣ f(ω) > λ. (VII.2)

Nach Definition VII.1 ist A(f, λ) ∈ A, und

Ff (λ) := µ(A(f, λ)

)= µ

[f−1((λ,∞]

)](VII.3)

definiert eine Abbildung Ff : R+ → [0,∞].

Offensichtlich ist Ff stets eine monoton fallende Funktion, denn fur λ < λ′ ist (λ,∞] ⊇ (λ′,∞],daher auch

A(f, λ) = f−1((λ,∞]

)⊇ f−1

((λ′,∞]

)= A(f, λ′), (VII.4)

und somit

Ff (λ) = µ(A(f, λ)

)≥ µ

(A(f, λ′)

)= Ff (λ

′). (VII.5)

Das nun folgende Lemma besagt, dass monoton fallende Funktionen R+ → R+0 stets Riemann-

integrabel sind.

Lemma VII.5. Ist F : R+ → R+0 monoton fallend, so ist F auf [a, b] Riemann-integrierbar,

fur alle 0 < a < b <∞. Ist daruber hinaus

IF := sup0<a<b<∞

∫ b

a

F (x) dx < ∞, (VII.6)

so ist F auch auf R+ Riemann-integrierbar, und∫∞

0F (x) dx = IF .

Nach Lemma VII.5 ist dann F (f, ·) auf [a, b] Riemann-integrabel, falls 0 < a < b < ∞ sogewahlt sind, dass F (f, a) <∞.

Definition VII.6. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum.

(i) Eine reell-messbare Funktion f : Ω → [0,∞] heißt (µ-)integrabel, falls F (f, ·) auf R+

Riemann-integrabel ist. In diesem Fall heißt∫Ω

f(ω) dµ(ω) :=

∫ ∞0

Ff (λ) dλ (VII.7)

Integral von f .

101

ENTW


VII.1. MESSBARE FUNKTIONEN UND

DEFINITION DES INTEGRALS KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE

(ii) Eine reell-messbare Funktion f : Ω→ R heißt (µ-)integrabel, falls f+ := maxf, 0 undf− := max−f, 0 jeweils µ-integrabel sind. Das Integral von f ist dann definiert durch∫

Ω

f(ω) dµ(ω) :=

∫Ω

f+(ω) dµ(ω) −∫

Ω

f−(ω) dµ(ω). (VII.8)

(iii) Eine komplexe Funktion f : Ω → C heißt messbar, falls Ref und Imf jeweilsreell-messbar sind. Sind daruber hinaus Ref und Imf jeweils µ-integrabel, so ist f(µ-)integrabel, und ihr Integral ist definiert durch∫

Ω

f(ω) dµ(ω) :=

∫Ω

Ref(ω) dµ(ω) + i

∫Ω

Imf(ω) dµ(ω). (VII.9)


• Sind M ∈ A eine messbare Menge eines Maßraums (Ω,A, µ) und

1M(ω) ≡ 1[ω ∈M ] :=

1 falls ω ∈M,0 falls ω 6∈M,

(VII.10)

so ist, fur η > 0,

A(1M , η) =ω ∈ Ω

∣∣ 1M(ω) > η

=

∅, falls η ≥ 1,

M, falls 0 < η < 1.(VII.11)

Somit erhalten wir

F1M (η) = µ(M) · 1[0 < η ≤ 1] (VII.12)

und ∫Ω

1M [ω] dµ(ω) = µ(M). (VII.13)

• Insbesondere folgt aus (VII.13), mit M := ω ∈ Ω | f(ω) > λ, wobei λ > 0 und fmessbar sind, dass∫

Ω

1[f(ω) > λ] dµ(ω) = µ(f(ω) > λ

)= Ff (λ). (VII.14)

• Zur Rechtfertigung von (VII.7) dient folgende formale “Herleitung”, die eine nutzlicheMerkhilfe (aber auch nicht mehr als das) darstellt:∫ ∞

0

Ff (λ) dλ =

∫ ∞0

(∫Ω

1[f(ω) > λ] dµ(ω)

)dλ

=

∫Ω

(∫ ∞0

1[f(ω) > λ] dλ

)dµ(ω)

=

∫Ω

(∫ f(ω)

0

dλ

)dµ(ω) =

∫Ω

f(ω) dµ(ω). (VII.15)

(Problematisch ist in (VII.15) die Vertauschung der Integrationen, d.h. die zweite Glei-chung.)

102

ENTW


KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE VII.2. EIGENSCHAFTEN DES INTEGRALS

VII.2 Eigenschaften des Integrals

Um die Eigenschaften des Integrals zu formulieren, definieren wir den Begriff fast uberall.

Definition VII.7. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum. Eine Eigenschaft E : Ω → wahr, falsch giltµ-fast uberall :⇔

E−1(falsch

)∈ A und µ

[E−1(falsch

)]= 0, (VII.16)

d.h., die Menge, auf der E nicht gilt, hat Maß Null.

Satz VII.8. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum.

(i) Ist f : Ω → C eine messbare Funktion, dann ist auch |f | : Ω → R+0 reell-messbar. f ist

genau dann µ-integrabel, wenn |f | µ-integrabel ist.

(ii) Sind f, g : Ω → C µ-integrabel und α ∈ C, so ist auch f + αg : Ω → C µ-integrabel, undes gilt ∫

Ω

(f + αg

)(ω) dµ(ω) =

∫Ω

f(ω) dµ(ω) + α

∫Ω

g(ω) dµ(ω). (VII.17)

Der nun folgende Satz zeigt, dass das Lebesgue-Integral auf R wirklich eine Fortsetzung desRiemann-Integrals ist.

Satz VII.9. Ist f ∈ R(R;R+0 ) eine nichtnegative Riemann-integrable Funktion, so ist f auch

reell-messbar und Lebesgue-integrabel, und es gilt∫ ∞−∞

f(x) dx︸︷︷︸Riemann−Integral

=

∫R

f(x) dµ1(x)︸︷︷︸Lebesgue−Integral

. (VII.18)

Um zu sehen, dass es Lebesgue-integrable Funktionen gibt, die nicht Riemann-integrabel sind,also dass das Lebesgue-Integral eine echte Fortsetzung des Riemann-Integrals ist, stellen wirals Nachstes die Konvergenzsatze vor.

VII.3 Die Konvergenzsatze

Der große Vorteil der Definition VII.6 des Integrals liegt in der Gultigkeit der Konvergenzsatzefur Integrale, die in der Analysis von uberaus großer Bedeutung sind1. Der erste Konvergenzsatzist der Satz uber monotone Konvergenz.

Satz VII.10 (Monotone Konvergenz). Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine monoton

steigende Folge nichtnegativer, µ-integrabler Funktionen, d.h., fk : Ω→ [0,∞], fk ≤ fk+1, und

1Lieb und Loss schreiben in Analysis (AMS Publications, 1997): “...convergence theorems for integrals, whoseimportance can hardly be overrated.”

103

ENTW


VII.3. DIE KONVERGENZSATZE KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE

∫Ωfk(ω) dµ(ω) < ∞, fur alle k ∈ N. Dann ist f := limk fk = supk fk reell-messbar und genau

dann µ-integrabel, wenn

limk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω) < ∞, (VII.19)

und in diesem Fall gilt ∫Ω

f(ω) dµ(ω) = limk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω). (VII.20)

Der Beweis des Satzes VII.10 uber monotone Konvergenz ist mit unserer Definition des Integralserstaunlich einfach und beruht im Wesentlichen auf Lemma VII.14, das eine elementare Aussageuber Riemann-Integrale ist. Lemma VII.14 und sein Beweis findet man in den Erganzungen.Der zweite Konvergenzsatz, Fatous Lemma, baut auf dem Satz uber monotone Konvergenz auf.

Lemma VII.11 (Fatous Lemma). Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine Folge nicht-

negativer, µ-integrabler Funktionen, d.h., fk : Ω → [0,∞] und∫

Ωfk(ω) dµ(ω) < ∞, fur alle

k ∈ N. Ist daruber hinaus lim infk→∞∫

Ωfk(ω) dµ(ω) <∞, so ist f := lim infk fk reell-messbar,

µ-integrabel, und es gilt

lim infk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω) ≥∫

Ω


Wir kommen nun zu einem der wichtigsten Satze der Analysis uberhaupt, dem Satz uber ma-jorisierte Konvergenz 2.

Satz VII.12 (Majorisierte Konvergenz). Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine punkt-

weise, µ-fast uberall konvergente Folge komplexer, µ-integrabler Funktionen, die durch eine µ-integrable Funktion g : Ω → [0,∞] majorisiert wird, d.h. fk : Ω → C, f(ω) := limk fk(ω) ∈ C,µ-fast uberall, |fk| ≤ g, fur alle k ∈ N, und

∫Ωg(ω) dµ(ω) < ∞. Dann ist f µ-integrabel, und

es gilt ∫Ω


∫Ω



• Der Beweis des Satzes VII.12 uber majorisierte Konvergenz beruht auf dem Satz VII.10uber monotone Konvergenz und Fatous Lemma, Lemma VII.11.

• Die Monotonievoraussetzungen im Satz VII.10 uber monotone Konvergenz sind stark undin vielen Anwendungen nicht erfullt. Dafur ist aber auch die Aussage stark, namlich eineAquivalenz und nicht nur eine Implikation: Mit fk f ist die Grenzfunktion f genaudann integrabel, wenn supk

∫fk dµ <∞.

• Der Satz VII.12 uber majorisierte Konvergenz setzt im Gegensatz dazu nur die punktweiseKonvergenz f = limk fk der Funktionenfolge (fk)

∞k=1 und die Existenz einer integrablen

Majorante g voraus - eine Monotonie der Funktionenfolge wie in Satz VII.10 ist nichtnotwendig. Allerdings kann man etwa aus einer erfolglosen Suche nach einer integrablenMajoranten nicht schließen, dass die Grenzfunktion nicht integrabel ist.

2engl.: dominated convergence

104

ENTW


KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE VII.3. DIE KONVERGENZSATZE

• Wir betrachten die Dirichlet-Funktion f∞ : R→ R,

f∞(x) := 1Q(x) :=

1 falls x ∈ Q,0 falls x ∈ R \Q, (VII.23)

von der wir schon wissen, dass sie nicht Riemann-integrabel ist. Wir nehmen nun an, dass(qn)∞n=1 ∈ QN eine Abzahlung der rationalen Zahlen ist, d.h. q1, q2, q3, . . . = Q. Wirdefinieren fn : R→ R fur n ∈ N durch

fn(x) :=

1 falls x ∈ q1, q2, q3, . . . qn,0 falls x ∈ R \ q1, q2, q3, . . . qn,

(VII.24)

und beobachten, dass fn f∞ punktweise monoton gegen f∞ konvergiert, genauer dass

∀x ∈ R : fn(x) ≤ fn+1(x) → f∞(x), n→∞. (VII.25)

• Fur y ∈ R und n ∈ N ist [y, y + 1n) ∈ Q1 ein halboffenes Intervall (eindimensio-

naler Quader), und damit ist y =⋂∞n=1[y, y + 1

n) ∈ A[Q1] = B1. Also sind auch

q1, q2, . . . , qn =⋂nk=1qk ∈ B1 und R \ q1, q2, . . . , qn ∈ B1. Daher sind alle Niveau-

mengen von fn Borelmengen, und fn und auch f∞ = limn→∞ fn sind reell-messbar.

• Fur n ∈ N ist fn eine stuckweise stetige Funktion mit endlich vielen Sprungstellen beiq1, q2, . . . , qn und daher Riemann-integrabel, fn ∈ R(R). (Auch daraus folgt die Messbar-keit von fn nach Nehmen wir o.B.d.A. an, dass alle qi verschieden sind, so gibt es einePermutation π ∈ Sn, sodass qπ(1) < qπ(2) < . . . < qπ(n), und wir erhalten∫

R

fn(x) dµ1(x) =

∫ ∞−∞

fn(x) dx

=

∫ qπ(1)

−∞fn(x) dx +

∫ qπ(2)

qπ(1)

fn(x) dx + . . . +

∫ qπ(n)

qπ(n−1)

fn(x) dx +

∫ ∞qπ(n)

fn(x) dx

= 0 + 0 + . . .+ 0 + 0 = 0, (VII.26)

da fn nur bei qi von Null verschieden ist. Nach Satz VII.10 uber monotone Konvergenzist demnach auch f∞ = limn→∞ fn Lebesgue-integrabel, und es gilt∫

R

f∞(x) dµ1(x) = limn→∞

∫R

fn(x) dµ1(x) = limn→∞0 = 0. (VII.27)

• Wir illustrieren die Anwendung von Satz VII.12 uber majorisierte Konvergenz. Dazunehmen wir an, dass f : R→ C eine µ1-integrable Funktion ist, d.h. dass f messbar und|f | : R→ R+

0 µ1-integrabel ist (s. Satz VII.8). Außerdem soll auch x 7→ x f(x) integrabelsein. Wir erinnern an die Fouriertransformierte f := F [f ] : R→ C von f , die gegeben istdurch

∀ξ ∈ R : f(ξ) :=

∫R

e−iξx f(x)dµ1(x)

(2π)1/2. (VII.28)

105

ENTW


VII.3. DIE KONVERGENZSATZE KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE

Dabei verwenden wir, dass x 7→ e−iξx f(x) als Produkt der messbaren Funktionen x 7→e−iξx und x 7→ f(x) selbst messbar und wegen |e−iξx f(x)| = |f(x)| auch integrabel ist.

Ziel ist nun der Nachweis der Differenzierbarkeit und die Berechnung der Ableitung f ′

von f . Wir erwarten, dass

f ′(ξ) =d

dξ

∫e−iξx f(x)

dµ1(x)

(2π)1/2=

∫d

dξ

(e−iξx

)f(x)

dµ1(x)

(2π)1/2

= − i∫e−iξx x f(x)

dµ1(x)

(2π)1/2, (VII.29)

da auch x 7→ x ·f(x) integrabel ist. Die Rechnung (VII.29) ist jedoch rein formal und keinBeweis, da sowohl das Integral wir auch die Ableitung Operationen sind, die Grenzprozesseinvolvieren, deren Vertauschbarkeit (“Ableitung unters Integral ziehen”) unklar ist undfur jeden Einzelfall uberpruft werden muss.

In Erwartung des Ergebnisses (VII.29) fixieren wir ξ ∈ R und berechnen wir fur h 6= 0

Rξ(h) :=f ′(ξ + h)− f ′(ξ)

h+ i

∫e−iξx x f(x)

dµ1(x)

(2π)1/2

=

∫ (e−i(ξ+h)x − e−iξx

h+ i e−iξx x

)f(x)

dµ1(x)

(2π)1/2(VII.30)

=

∫e−iξx

(e−ihx − 1 + ihx

h

)f(x)

dµ1(x)

(2π)1/2=

∫fh(x)

dµ1(x)

(2π)1/2,

wobei (fur festes ξ ∈ R)

fh(x) := e−iξx(e−ihx − 1 + ihx

h

)f(x). (VII.31)

Nun sind nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechung∣∣∣∣Re

(e−ihx − 1 + ihx

h

)∣∣∣∣ =1

|h|∣∣ cos(hx)− 1

∣∣ =1

|h|

∣∣∣∣ ∫ hx

0

sin(t) dt

∣∣∣∣≤ 1

|h|

∫ |hx|0

mint , 1 dt ≤ min

|hx|2

2, |x|

(VII.32)

und∣∣∣∣Im(e−ihx − 1 + ihx

h

)∣∣∣∣ =1

|h|∣∣hx− sin(hx)

∣∣ =1

|h|

∣∣∣∣ ∫ hx

0

[1− cos(t)] dt

∣∣∣∣≤ 1

|h|

∫ |hx|0

min12t2 , 1 dt = min

|h2x|3

6, |x|

. (VII.33)

Damit konvergiert fh → 0 punktweise, fur h→ 0, da fur festes x ∈ R

limh→0|fh(x)| ≤ lim

h→0

|h| |x|2

(1 + |hx|

)|f(x)|

= 0. (VII.34)

106

ENTW


KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE VII.3. DIE KONVERGENZSATZE

Außerdem ist g(x) := 2|x| |f(x)| eine integrable Majorante an fh(x), denn nach (VII.32)-(VII.33) ist

|fh(x)| =

∣∣∣∣e−ihx − 1 + ihx

h

∣∣∣∣ |f(x)| ≤ 2 |x| |f(x)|. (VII.35)

Nach dem Satz VII.12 uber majorisierte Konvergenz erhalten wir also

limh→0

Rξ(h) = limh→0

∫fh(x)

dµ1(x)

(2π)1/2=

∫ limh→0

fh(x) dµ1(x)

(2π)1/2= 0 (VII.36)

und damit die behauptete Gleichung (VII.29), die abgekurzt besagt, dass

d

dξ

(F [f ]

)= F

[− ix f

]. (VII.37)

107

ENTW


VII.4. ERGANZUNGEN KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE

VII.4 Erganzungen

VII.4.1 Riemann-Integrabilitat monotoner Funktionen

Zu Beginn dieses Kapitels beweisen wir zwei wichtige Lemmata uber das Riemann-Integralmonotoner Funktionen auf R+. Dazu rufen wir in Erinnerung, dass, fur a, b ∈ R mit a < b, dieMenge der Partitionen des Intervalls (a, b) gegeben ist durch

P [a, b] :=∞⋃N=1

(x0, x1, x2, . . . , xN)

∣∣∣ a =: x0 < x1 < · · · < xN−1 < xN := b. (VII.38)

Fur eine beschrankte Funktion F : [a, b]→ R und P = (xn)Nn=0 ∈ P [a, b] sind dann

I[F, P ] :=N∑n=1

(xn − xn−1) supxn−1≤x≤xn

F (x)

, (VII.39)

I[F, P ] :=N∑n=1

(xn − xn−1) infxn−1≤x≤xn

F (x)

, (VII.40)

und Obersumme und Untersumme berechnen sich aus∫ b

a

F := infP∈P[a,b]

I[F, P ] und

∫ b

a

F := supP∈P[a,b]

I[F, P ]. (VII.41)

Stimmen Ober- und Untersumme uberein, so heißt die beschrankte Funktion F : [a, b] → R

Riemann-integrierbar, F ∈ R[a, b], und die Obersumme heißt das Integral von F ,∫ b

a

F (x) dx :=

∫ b

a

F =

∫ b

a

F. (VII.42)

Das uneigentliche Integral, fur a = −∞, b =∞ oder unbeschranktes F , ist durch einen geeig-neten Grenzprozess definiert.

Wir wollen hier die spezielle Situation studieren, dass F : R+ → R+0 monoton fallend ist. Dann

ist die Einschrankung von F auf [a, b] beschrankt, fur alle 0 < a < b <∞.

Lemma VII.13. Ist F : R+ → R+0 monoton fallend, so ist F auf [a, b] Riemann-integrierbar,

fur alle 0 < a < b <∞. Ist daruber hinaus

IF := sup0<a<b<∞

∫ b

a

F (x) dx < ∞, (VII.43)

so ist F auch auf [0,∞) Riemann-integrierbar, und∫∞

0F (x) dx = IF .

Beweis. Seien 0 < a < b <∞, dann ist F : [a, b]→ [0, F (a)] beschrankt. Fur N ∈ N, x0 := a,xN := b und P = (xn)N−1

n=1 ∈ P [a, b] sind

supxn−1≤x≤xn

F (x)

= F (xn−1) und inf

xn−1≤x≤xn

F (x)

= F (xn) (VII.44)

108

ENTW


KAPITEL VII. INTEGRATION UBER MASSE VII.4. ERGANZUNGEN

Wahlen wir speziell xn := a+ nN

(b− a), fur n = 0, 1, . . . , N , so folgt damit, dass

0 ≤∫ b

a

F −∫ b

a

F ≤ I[F, P ] − I[F, P ] (VII.45)

=b− aN

(N∑n=1

F (xn−1) −N∑n=1

F (xn)

)=

(b− a) [F (a)− F (b)]

N→ 0,

fur N →∞. Somit ist F auf [a, b] Riemann-integrabel. Da F ≥ 0, gilt außerdem

∀ 0 < a′ ≤ a < b ≤ b′ :

∫ b

a

F (x) dx ≤∫ b′

a′F (x) dx. (VII.46)

Daher ist die Folge (Ik,`)∞k,`=1, wobei

Ik,` :=

∫ `

1/k

F (x) dx, (VII.47)

monoton wachsend in k und `, und es gilt

IF = limk→∞

lim`→∞

Ik,` = lim`→∞

limk→∞

Ik,`. (VII.48)

Das nachste Lemma zeigt, dass fur monotone Funktionen nicht nur die Riemann-Integrabilitatleicht zu zeigen ist, sondern dass auch die Vertauschung des Integrals mit dem Grenzwert furmonotone Folgen monotoner Funktionen unproblematisch ist.

Lemma VII.14. Sei (Fk)∞k=1 eine monoton wachsende, punktweise konvergente Folge nicht-

negativer, monoton fallender, Riemann-integrierbarer Funktionen auf R+, deren Integrale kon-vergieren, d.h. Fk : R+ → R+

0 besitze folgende Eigenschaften:

∀ 0 < x < x′ <∞ : Fk(x) ≥ Fk(x′) ≥ 0, (VII.49)

∀ x ∈ R+ : Fk(x) ≤ Fk+1(x) ≤ F (x) := limk→∞

Fk(x) <∞. (VII.50)

Dann gelten

(i) Die Funktion F := limk→∞ Fk : R+ → R+0 ist genau dann Riemann-integrierbar auf R+,

wenn

limk→∞

∫ ∞0

Fk(x) dx < ∞. (VII.51)

(ii) Gilt (VII.51), so stimmen auch die Integrale uberein,∫ ∞0

F (x) dx =

∫ ∞0

(limk→∞

Fk(x))dx = lim

k→∞

∫ ∞0

Fk(x) dx. (VII.52)

109

ENTW



Beweis. Zunachst stellen wir fest, dass mit Fk auch F monoton fallend ist. Sind namlich 0 <x < x′ <∞, so ist Fk(x) ≥ Fk(x

′), und deshalb gilt

F (x) = limk→∞

Fk(x) ≥ limk→∞

Fk(x′) = F (x′). (VII.53)

Daher ist F : [a, b] → [0, F (a)], fur 0 < a < b < ∞, beschrankt, monoton fallend und nachLemma VII.13 auch Riemann-integrabel. Wahlen wir wieder N ∈ N, x0 := a, xN := b und diePartition P = (xn)N−1

n=1 ∈ P [a, b] mit xn := a + nN

(b − a), fur n = 0, 1, . . . , N , so folgt, fur allek ∈ N, dass

0 ≤∫ b

a

F −∫ b

a

Fk ≤ I[F, P ] − I[Fk, P ]

=b− aN

N∑n=1

F (xn−1) − Fk(xn)

(VII.54)

=b− aN

(N∑n=1

F (xn−1) − F (xn)

+

N∑n=1

F (xn) − Fk(xn)

)

≤ (b− a) [F (a)− F (b)]

N+ (b− a) max

1≤n≤N

F (xn) − Fk(xn)

.

Ist nun ε > 0, dann wahlen wir erst N ∈ N so groß, dass

(b− a) [F (a)− F (b)]

N≤ ε

2, (VII.55)

und anschließend wahlen wir k0 ∈ N so groß, dass

∀ k ≥ k0 : (b− a) max1≤n≤N

F (xn) − Fk(xn)

≤ ε

2. (VII.56)

Zu jedem ε > 0 gibt es also ein k0 ∈ N, so dass

∀ k ≥ k0 : 0 ≤∫ b

a

F −∫ b

a

Fk ≤ ε. (VII.57)

Da Fk ≤ F auf [a, b], folgt aus (VII.57) insbesondere, dass F auf [a, b] Riemann-integrabel istund dass ∫ b

a

F (x) dx = limk→∞

∫ b

a

Fk(x) dx, (VII.58)

fur alle 0 < a < b <∞.Existiert nun limk→∞

∫∞0Fk(x) dx <∞, so folgt aus (VII.58), dass∫ b

a

F (x) dx ≤ limk→∞

∫ ∞0

Fk(x) dx, (VII.59)

110

ENTW



fur alle 0 < a < b <∞, also∫ ∞0

F (x) dx = sup0<a<b<∞

∫ b

a

F (x) dx ≤ limk→∞

∫ ∞0

Fk(x) dx < ∞, (VII.60)

und F ist auf R+ Riemann-integrabel. Ist umgekehrt F ist auf R+ Riemann-integrabel, so folgtsofort aus Fk F , dass

limk→∞

∫ ∞0

Fk(x) dx ≤∫ ∞

0

F (x) dx < ∞ (VII.61)

und limk→∞∫∞

0Fk(x) dx <∞. Aus (VII.60)-(VII.61) ergibt sich unmittelbar die Aquivalenz (i)

und die Identitat (ii).

VII.4.2 Messbare Funktionen

Nach diesen vorbereitenden Lemmata uber Riemann-Integrale monotoner Funktionen kommenwir nun zur Definition des Messbarkeitsbegriffs.

Definition VII.15. Seien (Ω,A) und (Ω′,A′) zwei Messraume. Eine Abbildung f : Ω → Ω′

heißt messbar :⇔

∀ A′ ∈ A′ : f−1(A′) ∈ A. (VII.62)

Ist speziell (Ω′,A′) = (R,B1), wobei wir vereinbaren, dass R := R ∪ −∞,∞ und B1 :=A(B1 ∪

−∞, ∞

), so heißt eine messbare Abbildung Ω→ R reell-messbar.

Wir werden in dieser Vorlesung nur reell-messbare Funktionen behandeln, es wird also stets(Ω′,A′) = (R,B1) sein. Das folgende, wichtige Lemma besagt, dass die Menge der reell-messbaren Funktionen unter abzahlbaren Supremums- und Infimumsbildung, sowie den LimesSuperior und Limes Inferior abgeschlossen ist.

Lemma VII.16. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine Folge reell-messbarer Funktio-

nen. Dann sind supk fk, infk fk, lim supk fk, lim infk fk, und, falls fur alle ω ∈ Ω existent, auchlimk fk reell-messbar.

Beweis. Wir beweisen nur exemplarisch, dass f := supk fk reell-messbar ist, und dazu schreibenwir f−1(A) = ω ∈ Ω|f(ω) ∈ A =: f(ω) ∈ A u. s. w. Fur b ∈ R ist

f−1(

[−∞, b))

=

supkfk(ω) < b

=

∞⋂k=1

fk(ω) < b

. (VII.63)

Da fk reell-messbar ist, ist fk(ω) < b ∈ A. Weil A unter Differenzbildung und abzahlbarerDurchschnittsbildung abgeschlossen ist, ist also auch f−1

([−∞, b)

)∈ A. Somit ist auch

f−1(

[a, b))

= f−1(

[−∞, b))\ f−1

([−∞, a)

)∈ A, (VII.64)

111

ENTW



fur alle a < b. Ebenso ist

f−1(∞

)= f−1

([0,∞]

)\∞⋃n=1

f−1(

[0, n))∈ A, (VII.65)

und analog f−1(−∞) ∈ A. Wir definieren nun

C1 :=A ∈ P(R)

∣∣∣ f−1(A) ∈ A, (VII.66)

und erhalten also aus (VII.64) und (VII.65), dass

Q1 ∪∞ , −∞

⊆ C1. (VII.67)

Weiterhin beobachten wir, dass C1 eine σ-Algebra ist, weil dies auf A zutrifft und das Urbild f−1

mit mengentheoretischen Operationen vertauscht. Da die halboffenen Intervalle Q1 zusammenmit ∞ und −∞ die σ-Algebra B1 erzeugen, folgt also B1 ⊆ C1.

Die Klasse der reell-messbaren Funktionen ist genugend groß um alle erdenklichen Beispiele mit-einzuschließen – auch die meisten “pathologischen” Beispiele, wie etwa die Dirichlet-Funktion.In der Tat ist die Konstruktion konkreter nicht-messbarer Funktionen genauso schwierig wieetwa die Konstruktion von Mengen in P(Rd) \ A∗(Fd).Wir wollen nun das Integral fur nichtnegative Funktionen eines Maßraums definieren.

Definition VII.17. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und f : Ω → [0,∞] eine reell-messbareFunktion. Fur λ > 0 definieren wir die Niveaumengen von f durch

A(f, λ) := f−1((λ,∞]

)=ω ∈ Ω

∣∣ f(ω) > λ. (VII.68)

Nach Definition VII.15 ist A(f, λ) ∈ A, und

F (f, λ) := µ(A(f, λ)

)= µ

[f−1((λ,∞]

)](VII.69)

definiert eine Abbildung F (f, · ) : R+ → [0,∞].

Offensichtlich ist F (f, λ) stets eine in λ monoton fallende Funktion, denn fur λ < λ′ ist (λ,∞] ⊇(λ′,∞], daher auch

A(f, λ) = f−1((λ,∞]

)⊇ f−1

((λ′,∞]

)= A(f, λ′), (VII.70)

und somit

F (f, λ) = µ(A(f, λ)

)≥ µ

(A(f, λ)

)= F (f, λ′). (VII.71)

Nach Lemma VII.13 ist dann F (f, ·) auf [a, b] Riemann-integrabel, falls 0 < a < b < ∞ sogewahlt sind, dass F (f, a) <∞.

Definition VII.18. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum.

112

ENTW



(i) Eine reell-messbare Funktion f : Ω → [0,∞] heißt (µ-)integrabel, falls F (f, ·) auf R+

Riemann-integrabel ist. In diesem Fall heißt∫Ω

f(ω) dµ(ω) :=

∫ ∞0

F (f, λ) dλ (VII.72)

Integral von f .

(ii) Eine reell-messbare Funktion f : Ω→ R heißt (µ-)integrabel, falls f+ := maxf, 0 undf− := max−f, 0 jeweils µ-integrabel sind. Das Integral von f ist dann definiert durch∫

Ω

f(ω) dµ(ω) :=

∫Ω

f+(ω) dµ(ω) −∫

Ω

f−(ω) dµ(ω). (VII.73)

(iii) Eine komplexe Funktion f : Ω → C heißt messbar, falls Ref und Imf jeweilsreell-messbar sind. Sind daruber hinaus Ref und Imf jeweils µ-integrabel, so ist f(µ-)integrabel, und ihr Integral ist definiert durch∫

Ω

f(ω) dµ(ω) :=

∫Ω

Ref(ω) dµ(ω) + i

∫Ω

Imf(ω) dµ(ω). (VII.74)


• Sind M ∈ A eine messbare Menge eines Maßraums (Ω,A, µ) und

1M(ω) ≡ 1[ω ∈M ] :=

1 falls ω ∈M,0 falls ω 6∈M,

(VII.75)

so ist, fur η > 0,

A(1M , λ) =ω ∈ Ω

∣∣ 1M(ω) > η

=

∅, falls η > 1,

M, falls 0 < η ≤ 1.(VII.76)

Somit erhalten wir

F (1M , λ) = µ(M) · 1[0 < η ≤ 1] (VII.77)

und ∫Ω

1M [ω] dµ(ω) = µ(M). (VII.78)

• Insbesondere folgt aus (VII.78), mit M := ω ∈ Ω | f(ω) > λ, wobei λ > 0 und fmessbar sind, dass∫

Ω

1[f(ω) > λ] dµ(ω) = µ(f(ω) > λ

)= F (f, λ). (VII.79)

113

ENTW



• Zur Rechtfertigung von (VII.72) dient folgende formale “Herleitung”, die eine nutzlicheMerkhilfe (aber auch nicht mehr als das) darstellt:∫ ∞

0

F (f, λ) dλ =

∫ ∞0

(∫Ω

1[f(ω) > λ] dµ(ω)

)dλ

=

∫Ω

(∫ ∞0

1[f(ω) > λ] dλ

)dµ(ω)

=

∫Ω

(∫ f(ω)

0

dλ

)dµ(ω) =

∫Ω


(Problematisch ist in (VII.80) die Vertauschung der Integrationen, d.h. die zweite Glei-chung.)

VII.4.3 Die Konvergenzsatze

Der große Vorteil der Definition VII.18 liegt aber in der Muhelosigkeit, mit der wir mit ihrer Hilfedie Konvergenzsatze beweisen konnen. Das ist der Gegenstand der folgenden Untersuchungen.Dafur definieren wir noch zuvor den Begriff “fast uberall”.

Definition VII.19. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum. Eine Eigenschaft E : Ω→ w, f (w = wahr,f = falsch) gilt µ-fast uberall :⇔

E−1(f) ∈ A und µ(E−1(f)

)= 0, (VII.81)

d.h., die Menge, auf der E nicht gilt, hat Maß Null.

Wir kommen zum ersten Konvergenzsatz.

Satz VII.20 (Monotone Konvergenz). Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine monoton

steigende Folge nichtnegativer, µ-integrabler Funktionen, d.h., fk : Ω→ [0,∞], fk ≤ fk+1, und∫Ωfk(ω) dµ(ω) < ∞, fur alle k ∈ N. Dann ist f := limk fk = supk fk reell-messbar und genau

dann µ-integrabel, wenn

limk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω) < ∞, (VII.82)

und in diesem Fall gilt ∫Ω


∫Ω


Beweis. Die Reell-Messbarkeit von f haben wir bereits in Lemma VII.16 bewiesen. Sei nunλ > 0. Aus der Monotonie von (fk)

∞k=1 folgt sofort, dass fk > λ ⊆ fk+1 > λ ⊆ f > λ.

Sei andererseits ω ∈ f > λ, was gleichwertig ist mit supk fk(ω) > λ. Dann gibt es aber eink0 ≡ k0(ω) ∈ N, so dass fk0(ω) > λ, und damit ω ∈ fk0 > λ. Also ist

∞⋃k=1

fk > λ ⊆ f > λ ⊆∞⋃k=1

fk > λ, (VII.84)

114

ENTW



und es muss tatsachlich Gleichheit uberall in (VII.84) gelten. Schreiben wir nun

Bk := fk > λ \k−1⋃j=1

fj > λ, (VII.85)

so ist (Bk)∞k=1 eine Folge paarweise disjunkter Mengen in A, und es gilt

F (fk, λ) = µ(fk > λ

)= µ

( k⋃j=1

Bj

), (VII.86)

F (f, λ) = µ(f > λ

)= µ

( ∞⋃j=1

Bj

). (VII.87)

Somit folgt aus der σ-Additivitat von µ, dass

Fk(λ) := F (fk, λ) =k∑j=1

µ(Bj) ∞∑j=1

µ(Bj) = F (f, λ) =: F (λ), (VII.88)

fur k →∞. Damit ist (Fk)∞k=1 eine monoton steigende Folge nichtnegativer, monoton fallender

Funktionen auf R+ mit punktweisen Limes F = limk Fk. Im Fall, dass F <∞ auf R+, folgt nundie Behauptung direkt aus Lemma VII.14. Gibt es umgekehrt ein λ0 > 0, so dass F (λ0) =∞,so sind beide Seiten der behaupteten Gleichung (VII.83)) unendlich, und die Behauptung gilttrivialerweise.

Lemma VII.21 (Lemma von Fatou). Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine Folge

nichtnegativer, µ-integrabler Funktionen, d.h., fk : Ω → [0,∞] und∫

Ωfk(ω) dµ(ω) < ∞, fur

alle k ∈ N. Ist daruber hinaus lim infk→∞∫

Ωfk(ω) dµ(ω) < ∞, so ist f := lim infk fk reell-

messbar, µ-integrabel, und es gilt

lim infk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω) ≥∫

Ω


Beweis. Definieren wir fk(ω) := infj≥k fj(ω), so ist (fk)∞k=1 eine monoton steigende Folge

reell-messbarer Funktionen mit limk→∞ fk(ω) = lim infk→∞ fk(ω) = f(ω). Außerdem ist fkµ-integrabel, da fk ≤ fk. Nach Satz VII.20 der monotonen Konvergenz gilt deshalb∫

Ω


∫Ω

fk(ω) dµ(ω) = lim infk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω)

≤ lim infk→∞

∫Ω

fk(ω) dµ(ω), (VII.90)

wobei letztere Ungleichung abermals aus fk ≤ fk folgt.

Wir kommen nun zu einem der wichtigsten Satze der Analysis, dem Satz uber majorisierteKonvergenz3.

3engl.: dominated convergence

115

ENTW



Satz VII.22 (Majorisierte Konvergenz). Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (fk)∞k=1 eine punkt-

weise, µ-fast uberall konvergente Folge komplexer, µ-integrabler Funktionen, die durch eine µ-integrable Funktion g : Ω → [0,∞] majorisiert wird, d.h. fk : Ω → C, f(ω) := limk fk(ω) ∈ C,µ-fast uberall, |fk| ≤ g, fur alle k ∈ N, und

∫Ωg(ω) dµ(ω) < ∞. Dann ist f µ-integrabel, und

es gilt ∫Ω


∫Ω


Beweis. Es reicht, die Behauptung fur nichtnegative fk zu zeigen, denn wir konnen stets fk =(Refk)+− (Refk)− + i(Imfk)+− i(Imfk)− zerlegen, wobei jeder der vier Terme auf der rechtenSeite aus einer nichtnegativen Funktion resultiert.Sei also fk nichtnegativ, konvergent, fk → f , µ-fast uberall, und majorisiert durch g, d. h.fk ≤ g. Die Nullmenge, auf der fk nicht konvergiert, beeinflusst das Integral nicht, und wirkonnen das Lemma von Fatou auf (fk)

∞k=1 und f = limk fk = lim infk fk anwenden. Damit ist

f integrabel, und wir erhalten∫Ω

f(ω) dµ(ω) ≤ lim infk→∞

∫Ω


Anschließend konnen wir das Lemma von Fatou auf (g − fk)∞k=1 und g − f = limk(g − fk) =lim infk(g − fk) anwenden, da g − fk dieselben Voraussetzungen wie fk erfullt. Beachten wirnoch die Linearitat (VII.99) des Integrals (fur deren Beweis wir zwar den Satz VII.20 uber diemonotone Konvergenz brauchen, aber nicht die hier zu beweisende majorisierte Konvergenz),so erhalten wir∫

Ω

f(ω) dµ(ω) =

∫Ω

g(ω) dµ(ω) −∫

Ω

g(ω)− f(ω)

dµ(ω)

≥∫

Ω

g(ω) dµ(ω) − lim infk→∞

∫Ω

g(ω)− fk(ω)

dµ(ω)

= lim supk→∞

∫Ω


Somit mussen lim infk→∞∫

Ωfk(ω) dµ(ω) und lim supk→∞

∫Ωfk(ω) dµ(ω) mit

∫Ωf(ω) dµ(ω) uber-

einstimmen. Dies impliziert aber die Konvergenz von∫

Ωfk(ω) dµ(ω) gegen

∫Ωf(ω) dµ(ω).

VII.4.4 Eigenschaften des Integrals

Es gibt verschiedene Wege zur Einfuhrung des Integrals∫

Ωf(ω) dµ(ω) einer reel-messbaren

Funktion f : Ω→ R, der hier vorgestellte folgt Lieb und Loss4. Ein anderer Weg zum Integralfuhrt uber Treppenfunktionen, d.h. Funktionen, die auf Ω nur endlich viele Werte annehmen.Das folgende Lemma zeigt, dass sich in der Tat jede (nichtnegative) messbare Funktion als(monotoner) Limes von Treppenfunktionen darstellen lasst.

Lemma VII.23. Seien (Ω,A) ein messbarer Raum und f : Ω→ [0,∞] reell-messbar. Dann gibtes eine Folge (fL)∞L=1 reell-messbarer Funktionen fL : Ω→ R+

0 mit den folgenden Eigenschaften:

4Analysis, AMS Publications, 1997.

116

ENTW



(i) Zu jedem L ∈ N gibt es nichtnegative Zahlen α(1)L , α

(2)L , . . . , α

(22L)L ∈ R+

0 und paarweise

disjunkte Mengen A(1)L , A

(2)L , . . . , A

(22L)L ∈ A, so dass

fL = α(1)L 1

A(1)L

+ α(2)L 1

A(2)L

+ . . . + α(22L)L 1

A(22L)L

. (VII.94)

Funktionen dieser Form heißen Treppenfunktionen.

(ii) Fur alle ω ∈ Ω gilt fL(ω) ≤ fL+1(ω) f(ω), im Limes L→∞.

Beweis. Fur L ∈ N setzen wir

fL(ω) :=

22L∑`=1

(`− 1

2L

)· 1[`− 1

2L≤ f(ω) <

`

2L

]+ 2L · 1[f(ω) ≥ 2L

]. (VII.95)

Dann ist fL offensichtlich eine Treppenfunktion und es gilt fL ≤ f .Seien ω ∈ Ω so, dass f(ω) <∞ und k ∈ N und τ ∈ 0, 1 so, dass 2−L−1(2k− τ − 1) ≤ f(ω) <2−L−1(2k − τ). Dann ist f(ω) < 2−Lk und somit

fL(ω) ≤ k − 1

2L≤

k − 12(1 + τ)

2L=

2k − τ − 1

2L+1= fL+1(ω). (VII.96)

Da offensichtlich fL(ω) = 2L ≤ 2L+1 = fL+1(ω) gilt, falls f(ω) =∞, folgt, dass

fL ≤ fL+1. (VII.97)

Ist f(ω) = ∞, so ist fL(ω) = 2L ∞, fur L → ∞. Ist hingegen f(ω) < ∞, so gilt furL > log2[f(ω)], dass

fL(ω) ≤ f(ω) < fL(ω) + 2−L, (VII.98)

und somit gilt auch in diesem Fall fL(ω) f(ω).

Satz VII.24. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum.

(i) Ist f : Ω → C eine messbare Funktion, dann ist auch |f | : Ω → R+0 reell-messbar. f ist

genau dann µ-integrabel, wenn |f | µ-integrabel ist.

(ii) Sind f, g : Ω → C µ-integrabel und α ∈ C, so ist auch f + αg : Ω → C µ-integrabel, undes gilt ∫

Ω

(f + αg

)(ω) dµ(ω) =

∫Ω

f(ω) dµ(ω) + α

∫Ω

g(ω) dµ(ω). (VII.99)

Beweis. Wir beweisen nur (ii) und auch dies nur fur α = 1 und fur f, g : Ω → R+0 . Dazu

beweisen wir (ii) zunachst fur zwei Treppenfunktionen

f :=M∑i=1

αi1Ai , g :=N∑j=1

βj1Bj , (VII.100)

117

ENTW



mit α1, . . . , αM , β1, . . . , βN ∈ R+ und A1, . . . , AM , B1, . . . , BN ∈ A mit µ(Ai), µ(Bj) <∞ undAk ∩ A` = Bk ∩B` = ∅, fur k 6= `. Setzen wir

∀ i ∈ NM1 , j ∈ NN

1 : αi,j := αi, βi,j := βj (VII.101)

und Cij := Ai ∩Bj, so sind auch die Mengen Cij ∈ A paarweise disjunkt, und es gelten

f =M∑i=1

N∑j=1

αi,j1Cij , g =M∑i=1

N∑j=1

βi,j1Cij , (VII.102)

und

f + g =M∑i=1

N∑j=1

(αi,j + βi,j

)1Cij . (VII.103)

Beachte nun, dass

µ(ω ∈ Ω | f(ω) > λ

)= µ

(ω ∈ Ω

∣∣∣ ∑i,j

αi,j1Cij(ω) > λ)

=M∑i=1

N∑j=1

1[αi,j > λ

]· µ(Cij). (VII.104)

Also ist ∫Ω

f(ω) dµ =

∫ ∞0

M∑i=1

N∑j=1

µ(Cij)1[αi,j > λ] dλ

=M∑i=1

N∑j=1

µ(Cij)

(∫ αi,j

0

dλ

)=

M∑i=1

N∑j=1

αi,j · µ(Cij). (VII.105)

Genauso folgen

∫Ω

g(ω) dµ(ω) =M∑i=1

N∑j=1

βi,j µ(Cij), (VII.106)

∫Ω

(f + g

)(ω) dµ(ω) =

M∑i=1

N∑j=1

(αi,j + βi,j

)µ(Cij), (VII.107)

und daher auch ∫Ω

(f + g

)(ω) dµ(ω) =

∫Ω

f(ω) dµ(ω) +

∫Ω

g(ω) dµ(ω). (VII.108)

118

ENTW



Sind nun f, g : Ω → R+0 beliebige, µ-integrable Funktionen, so gibt es gemaß Lemma VII.23

Folgen (fL)∞L=1 und (gL)∞L=1 von Treppenfunktionen mit fL f und gL g, µ-fast uberall.Nach dem Satz uber monotone Konvergenz und mit (VII.108) folgt somit, dass∫

Ω

(f + g)(ω) dµ(ω) = limL→∞

∫Ω

(fL + gL)(ω) dµ(ω)

= lim

L→∞

∫Ω

fL(ω) dµ(ω) +

∫Ω

gL(ω) dµ(ω)

=

∫Ω

f(ω) dµ(ω) +

∫Ω

g(ω) dµ(ω). (VII.109)

Der nun folgende Satz zeigt, dass das Lebesgue-Integral auf R wirklich eine Verallgemeinerungdes Riemann-Integrals ist.

Satz VII.25. Ist f ∈ R(R;R+0 ) eine nichtnegative Riemann-integrable Funktion, so gibt es

eine reell-messbare und Lebesgue-integrable Funktion f : R→ R+0 , die µ1-fast uberall mit f auf

R ubereinstimmt und fur die gilt, dass∫ ∞−∞

f(x) dx︸︷︷︸Riemann−Integral

=

∫R

f(x) dµ1(x)︸︷︷︸Lebesgue−Integral

. (VII.110)

Beweis. Wir beweisen Satz VII.25 nur fur den Fall, dass supp(f) ⊆ (a, b), fur geeignete −∞ <

a < b <∞ gilt, d.h. dass f ∈ R[a, b]. Dann gibt es zu jedem k ∈ N eine Partition Pk ∈ P [a, b]von (a, b), so dass

I(f, Pk

)− I(f, Pk

)≤ 1

k. (VII.111)

Setzen wir Pk := P1 ∪ P2 ∪ · · · ∪ Pk, so gilt

I(f, Pk)− I(f, Pk) ≤1

kund Pk ⊆ Pk+1, (VII.112)

fur jedes k ∈ N. Wir schreiben nun Pk =: x0 = a < x1 < · · · < xL < xL+1 = b und bildennun zwei Funktionenfolgen auf [a, b) durch

fk :=L∑`=1

α` 1Q` , fk :=L∑`=1

β` 1Q` , (VII.113)

α` := minx`−1≤x≤x`

f(x), β` := maxx`−1≤x≤x`

f(x), Q` := [x`−1, x`).

119

ENTW



Offensichtlich sind fk und fk Treppenfunktionen, fur die nach (VII.105) Lebesgue-Integral undRiemann-Integral ubereinstimmen; genauer gelten sogar∫

R

fk(x) dµ1(x) =L∑`=1

α` µ1(Q`) =L∑`=1

α` (x` − x`−1) = I(f, Pk

), (VII.114)

∫R

fk(x) dµ1(x) =L∑`=1

β` µ1(Q`) =L∑`=1

β` (x` − x`−1) = I(f, Pk

). (VII.115)

Weiterhin sind

f(x) := limk→∞

fk(x) = sup

kfk(x) ≤ f(x), (VII.116)

f(x) := limk→∞

fk(x) = infkfk(x) ≥ f(x), (VII.117)

fur alle x ∈ [a, b). Nach Lemma VII.16 sind f und f auf R reell-messbar, und der Satz ubermonotone Konvergenz sowie (VII.111) und (VII.114) implizieren, dass∫

R

f(x) dµ1(x) = limk→∞

∫R

fk(x) dµ1(x)

= lim

k→∞I(f, Pk

)=

∫ b

a

f(x) dx, (VII.118)

∫R

f(x) dµ1(x) = limk→∞

∫R

fk(x) dµ1(x)

= lim

k→∞I(f, Pk

)=

∫ b

a

f(x) dx. (VII.119)

Insbesondere ist ∫R

f(x)− f(x)

dµ1(x) = 0, (VII.120)

was wegen f − f ≥ 0 auch f = f fast uberall nach sich zieht. Da f ≤ f ≤ f , gilt somit auchf = f fast uberall.

120

ENTW


KAPITEL VIII. PRODUKTMASSE, FUBINIUND DIE TRANSFORMATIONSFORMEL

Kapitel VIII

Produktmaße, Fubiniund die Transformationsformel

VIII.1 Produktmaße und der Satz von Fubini

Definition VIII.1. Seien (Ω1,A1) und (Ω2,A2) zwei Messraume.

(i) (Ω1 × Ω2)-Quader sind die Elemente des Mengensystems

Q1,2 :=A1 × A2

∣∣ A1 ∈ A1, A2 ∈ A2

⊆ P(Ω1 × Ω2), (VIII.1)

(ii) Die von den Ω1×Ω2-Quadern erzeugte σ-Algebra in Ω1×Ω2 heißt Produkt-σ-Algebra,

A1 ⊗ A2 := A(Q1,2). (VIII.2)

Lemma VIII.2. Sind (Ω1,A1) und (Ω2,A2) zwei Messraume, f : Ω1 × Ω2 → [0,∞] bezuglichA1 ⊗ A2 reell-messbar und x1 ∈ Ω1, x2 ∈ Ω2, so sind auch

fx21 : Ω1 → [0,∞], ω1 7→ f(ω1, x2), (VIII.3)

fx12 : Ω2 → [0,∞], ω2 7→ f(x1, ω2), (VIII.4)

bezuglich A1 bzw. A2 reell-messbar.

Satz VIII.3. Seien (Ω1,A1, µ1) und (Ω2,A2, µ2) zwei σ-endliche Maßraume. Dann gibt es einσ-endliches Maß µ1 ⊗ µ2 : A1 ⊗ A2 → [0,∞], das die Eigenschaft

∀A1 ∈ A1, A2 ∈ A2 : (µ1 ⊗ µ2)[A1 × A2] = µ1[A1] · µ2[A2] (VIII.5)

besitzt und durch sie eindeutig bestimmt ist. Das Maß µ1⊗µ2 bezeichnet man als Produktmaß.

121

ENTW


VIII.1. PRODUKTMASSE UND DER SATZ VON FUBINI


Satz VIII.4. Seien (Ω1,A1, µ1) und (Ω2,A2, µ2) zwei σ-endliche Maßraume und f : Ω1×Ω2 →[0,∞] eine reell-messbare Funktion bzgl. (Ω1 × Ω2,A1 ⊗ A2). Dann ist∫

Ω1×Ω2

f(ω1, ω2) d(µ1 ⊗ µ2)[ω1, ω2] < ∞ (VIII.6)

⇔∫

Ω1

(∫Ω2

f(ω1, ω2) dµ2(ω2)

)dµ1(ω1) < ∞

⇔∫

Ω2

(∫Ω1

f(ω1, ω2) dµ1(ω1)

)dµ2(ω2) < ∞,

und in diesem Fall gilt∫Ω1×Ω2

f(ω1, ω2) d(µ1 ⊗ µ2)(ω1, ω2) =

∫Ω1

(∫Ω2

f(ω1, ω2) dµ2(ω2)

)dµ1(ω1)

=

∫Ω2

(∫Ω1

f(ω1, ω2) dµ1(ω1)

)dµ2(ω2). (VIII.7)

Durch vollstandige Induktion lasst sich Satz VIII.3 leicht auf das Produkt endlich vieler σ-endlicher Maße verallgemeinern. Wir formulieren dabei nur den Spezialfall des Lebesgue-Borel-Maßes auf R bzw. auf Rd. Dazu zuvor folgende Definition.

Definition VIII.5. Wir schreiben im Folgenden

dµ1(x) =: dx, dµd(x) =: ddx, (VIII.8)

fur das Lebesgue-Maß, und wir definieren

Lp(Ω, dµ) :=f : Ω→ C

∣∣∣ f ist messbar und |f |p ist µ-integrabel, (VIII.9)

wobei 1 ≤ p <∞ und (Ω,A, µ) ein Maßraum sind. Insbesondere ist L1(Ω,A, µ) die Menge derµ-integrablen, komplexwertigen Funktionen.

Satz VIII.6. Seien d ∈ N und f : Rd → C eine Bd = B1 ⊗ B1 ⊗ · · · ⊗ B1-messbare Funktion.Sei µd : Bd → R+

0 das Lebesgue-Borel-Maß.

(i) f ist µd-integrabel genau dann, wenn es eine Permutation κ ∈ Sd gibt, so dass∫R

· · ·(∫

R

(∫R

∣∣∣f(x1, . . . , xd)∣∣∣ dxκ(1)

)dxκ(2)

)· · · dxκ(d) <∞. (VIII.10)

(ii) Gilt (VIII.10), so ist∫Rdf(x) ddx =

∫R

· · ·(∫

R

(∫R

f(x1, . . . , xd

)dxπ(1)

)dxπ(2)

)· · · dxπ(d), (VIII.11)

fur jede Permutation π ∈ Sd.

122

ENTW


KAPITEL VIII. PRODUKTMASSE, FUBINIUND DIE TRANSFORMATIONSFORMEL VIII.2. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL

Wir beenden das Kapitel mit einem Satz, der zeigt, dass Lebesgue-integrable Funktionen aufRd zwar im Allgemeinen nicht differenzierbar sein mussen, sie sich aber durch glatte Funktionenbeliebig gut approximieren lassen. Dazu erinnern wir an das Faltungsprodukt. Fur komplex-wertige Lebesgue-integrable Funktionen f, g ∈ L1(Rd, µd) definieren wir das f ∗ g ∈ L1(Rd, µd)durch

(f ∗ g)(x) :=

∫Rdf(y) g(x− y) ddy . (VIII.12)

Dass mit f und g auch f ∗ g Lebesgue-integrabel ist, folgt aus dem Satz VIII.6 von Fubini,denn ∫

Rd|(f ∗ g)(x)| ddx =

∫Rd

∣∣∣∣ ∫Rdf(y)g(x− y) ddy

∣∣∣∣ ddx≤∫Rd

(∫Rd|f(y)| |g(x− y)| ddy

)ddx

=

∫Rd|f(y)| ·

(∫Rd|g(x− y)| ddx

)ddy (VIII.13)

=

(∫Rd|f(y)| ddy

)·(∫

Rd|g(x)| ddx

)< ∞.

Satz VIII.7. Sei g ∈ C∞(Rd;R+0 ) mit

∫Rdg(x)ddx = 1. Setze gε ∈ C∞(Rd;R+

0 ), gε(x) :=ε−d g(x/ε), fur ε > 0. Fur f ∈ L1(Rd; ddx) definiere fε ∈ L1(Rd; ddx) durch

fε := f ∗ gε. (VIII.14)

Dann sind ∫Rd|fε(x)| ddx ≤

∫Rd|f(x)| ddx, (VIII.15)

limε→0

∫Rd|f(x)− fε(x)| ddx

= 0, (VIII.16)

fε ∈ C∞(Rd) und∂kfε

∂xn1∂xn2 · · · ∂xnk= f ∗ ∂kgε

∂xn1 · · · ∂xnk, (VIII.17)

fur alle k ∈ N und n1, n2, . . . , nk ∈ 1, . . . , d.

VIII.2 Die Transformationsformel

In diesem Abschnitt untersuchen wir das Verhalten von Integralen in Rd unter Koordinaten-transformationen. Um diesen Begriff zu definieren, erinnern wir zunachst an den Satz uberUmkehrfunktionen, der besagt, dass eine Abbildung φ ∈ C1(U, V ) lokal um y0 = φ(x0) ∈ V

123

ENTW


VIII.2. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL


invertierbar ist, falls die Jacobideterminante von φ bei x0 nicht verschwindet, det[Jφ(x0)] 6= 0.Damit φ eine Koordinatentransformation ist, fordert man zusatzlich globale Invertierbarkeit.Zur prazisen Definition benotigen wir noch zusammenhangende Mengen. Eine offene MengeU ⊆ Rd heißt (weg-)zusammenhangend, falls es zu je zwei Punkten x, y ∈ U einen Weg inU von x nach y gibt, d.h. falls es eine stetige Abbildung γ ∈ C

([0, 1];U

)gibt, sodass γ(0) = x

und γ(1) = y.

Definition VIII.8. Seien U, V ⊆ Rd offen und zusammenhangend. Eine Abbildung φ ∈C1(U ;V ) heißt Koordinatentransformation :⇐⇒

(i) Fur alle x ∈ U ist det[Jφ(x)] 6= 0, wobei Jφ(x) = (∂φi(x)/∂xj)di,j=1 die Jacobimatrix von

φ ist.

(ii) φ ist auf V invertierbar, d.h. es existiert eine Abbildung φ−1 ∈ C1(V, U), so dass φ−1φ =1U und φ φ−1 = 1V .

Hauptresultat dieses Kapitels ist die folgende Transformationsformel.

Satz VIII.9. Seien U, V ⊆ Rd offen und zusammenhangend und φ ∈ C1(U ;V ) eine Koor-dinatentransformation. Ist f ∈ L1(V, ddy), so ist | det[Jφ(x)] | · (f φ) ∈ L1(U, ddx), und esgilt ∫

V

f(y) ddy =

∫U

f [φ(x)]∣∣ det[Jφ(x)]

∣∣ ddx. (VIII.18)


• Ist d = 1, so reduziert sich (VIII.18) zur bekannten Transformationsformel, die aus demHauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt:Seien U, V ⊆ R Intervalle und φ ∈ C1(U, V ) mit det[Jφ(x)] = φ′(x) 6= 0, fur alle x ∈ U .Weil φ′ stetig auf U ist, gilt φ′ > 0 auf U oder es gilt φ′ < 0 auf U . Damit ist φ jedoch alsstreng monotone Funktion auch auf U invertierbar. Etwa fur φ′ > 0 auf U = (a, b) undV =

(φ(a), φ(b)

), mit a < b, ist dann∫ φ(b)

φ(a)

f(y) dy =

∫ b

a

f [φ(x)]dφ

dxdx. (VIII.19)

• Formel (VIII.19) ist auch eine gute Merkhilfe fur (VIII.18), wenn man dφdx

mit | det[Jφ]|identifiziert; Formel (VIII.19) resultiert dann durch ”Erweitern mit dx”: dy = dy

dxdx =

φ′dx.

• Fur d ≥ 1 folgt aus der Stetigkeit von det[Jφ] auf der offenen und zusammenhangendenMenge U ⊆ Rd, dass entweder

∀ x ∈ U : det[Jφ(x)] > 0

oder∀ x ∈ U : det[Jφ(x)] < 0

(VIII.20)

gilt.

124

ENTW


KAPITEL VIII. PRODUKTMASSE, FUBINIUND DIE TRANSFORMATIONSFORMEL VIII.2. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL

• Fur d = 2 ist mit U := R+ × (−π, π), V := R2 \ (λ, 0)T | λ ∈ R+0 durch

φ

[(rα

)]:=

(r · cosαr · sinα

)(VIII.21)

die Transformation φ ∈ C1(U ;V ) auf Polarkoordinaten definiert. Dabei sind

φ−1

[(x1

x2

)]=

( √x2

1 + x22

x2|x2| arccos

[x1 · (x2

1 + x22)−1/2

]) , (VIII.22)

Jφ =

(∂φ1∂r

∂φ1∂α

∂φ2∂r

∂φ2∂α

)=

(cosα −r · sinαsinα r · cosα

)(VIII.23)

und deshalb

det[Jφ](r, α) = r. (VIII.24)

• Mit Polarkoordinaten lasst sich das Integral der Normalverteilung berechnen:∫R2

e−(x21+x22) d2x =

∫V

e−(x21+x22) d2x =

∫U

e−r2

r dr dα = 2π

∫ ∞0

r e−r2

dr

=(2π

2

) ∫ ∞0

( ddr

[e−r

2])dr = π. (VIII.25)

Also ist ∫ ∞−∞

e−x2

dx =

(∫R2

e−x21 e−x

22 dx1 dx2

)1/2

=√π . (VIII.26)

• Fur d = 3 ist mit U := R+ × (0, π)× (0, 2π), und V := R3 \ (R+0 × 0 ×R) durch

φ

rϑα

:=

r · sinϑ · cosαr · sinϑ · sinα

r · cosϑ

(VIII.27)

die Transformation φ ∈ C1(U ;V ) auf Kugelkoordinaten definiert. Dabei sind

Jφ(r, ϑ, α) =

∂φ1∂r

∂φ1∂ϑ

∂φ1∂α

∂φ2∂r

∂φ2∂ϑ

∂φ2∂α

∂φ3∂r

∂φ3∂ϑ

∂φ3∂α

(VIII.28)

=

sinϑ · cosα r · cosϑ · cosα −r · sinϑ · sinαsinϑ · sinα r · cosϑ · sinα r · sinϑ · cosα

cosϑ −r · sinϑ 0

,

125

ENTW


VIII.2. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL


und daraus folgt

det[Jφ(r, ϑ, α] = r2 · sinϑ · cos2 ϑ · cos2 α + r2 · sin3 ϑ · sin2 α

+ r2 · sinϑ · cos2 ϑ · sin2 α + r2 · sin3 ϑ cos2 α (VIII.29)

= r2 · sinϑ (cos2 ϑ+ sin2 ϑ) (cos2 α + sin2 α) = r2 · sinϑ.

• Mit Hilfe der Kugelkoordinaten und der Transformationsformel berechnen wir das Volu-men der Kugel B(0, R) ⊆ R3. Die Transformationsformel ergibt zunachst∫

B(0,R)

d3x =

∫R3

1B(0,R)(x) d3x =

∫V

1[x2 ≤ R2

]d3x (VIII.30)

=

∫U

1[φ1(r, ϑ, α)2 + φ2(r, ϑ, α)2 + φ2(r, ϑ, α)2 ≤ R2

]·∣∣ det[Jφ(r, ϑ, α)]

∣∣ dr dϑ dα.Durch Einsetzen von (VIII.27) erhalten wir φ1(r, ϑ, α)2 + φ2(r, ϑ, α)2 + φ2(r, ϑ, α)2 = r2,und mit (VIII.27) folgt∫

B(0,R)

d3x =

∫ ∞0

∫ π

0

∫ 2π

0

1[r ≤ R

]r2 sinϑ dα dϑ dr

=

(∫ R

0

r2 dr

)·(∫ π

0

sinϑ dϑ

)·(∫ 2π

0

dα

)=R3

3·[− cos(α)

]π0· 2π =

4π

3R3. (VIII.31)

126

ENTW


KAPITEL VIII. PRODUKTMASSE, FUBINIUND DIE TRANSFORMATIONSFORMEL VIII.3. ERGANZUNGEN

VIII.3 Erganzungen

VIII.3.1 Produkt-σ-Algebren

Definition VIII.10. Seien (Ω1,A1) und (Ω2,A2) zwei Messraume.

(i) (Ω1 × Ω2)-Quader sind die Elemente des Mengensystems

Q1,2 :=A1 × A2

∣∣ A1 ∈ A1, A2 ∈ A2

⊆ P(Ω1 × Ω2), (VIII.32)

(ii) Die von den Ω1×Ω2-Quadern erzeugte σ-Algebra in Ω1×Ω2 heißt Produkt-σ-Algebra,

A1 ⊗ A2 := A(Q1,2). (VIII.33)

(iii) Fur x1 ∈ Ω1 und x2 ∈ Ω2 sind die kanonischen Projektionen

P x21 : P(Ω1 × Ω2) → P(Ω1), (VIII.34)

P x12 : P(Ω1 × Ω2) → P(Ω2), (VIII.35)

durch

P x21 (A) :=

x ∈ Ω1

∣∣ (x, x2) ∈ A, (VIII.36)

P x12 (A) :=

y ∈ Ω2

∣∣ (x1, y) ∈ A

(VIII.37)

definiert.

Wir bemerken, dass die Abbildungen P x21 und P x1

2 wegen P x21 (A1×Ω2) = A1 und P x1

2 (Ω1×A2) =A2 surjektiv sind. Das nachste Lemma zeigt, dass die Einschrankungen von P x2

1 und P x12 auf

A1 ⊗ A2 auf A1 bzw. A2 abbilden (und naturlich wieder Surjektionen sind).

Lemma VIII.11. Sind (Ω1,A1) und (Ω2,A2) zwei Messraume und x1 ∈ Ω1, x2 ∈ Ω2, so gilt

P x21 : A1 ⊗ A2 → A1, (VIII.38)

P x12 : A1 ⊗ A2 → A2. (VIII.39)

Beweis. Wir zeigen nur (VIII.38), fixieren dazu x2 ∈ Ω2, bezeichnen P = P x21 und betrachten

das Urbild

P−1(A1) :=A ⊆ Ω1 ⊗ Ω2

∣∣ P (A) ∈ A1

. (VIII.40)

Dann ist P−1(A1) eine σ-Algebra, denn

Ω1 × Ω2 = P−1(Ω1) ∈ P−1(A1), (VIII.41)

P−1(Ac) =[P−1(A)

]c, (VIII.42)

P−1

( ∞⋃n=1

An

)=

∞⋃n=1

P−1(An). (VIII.43)

127

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


(Tatsachlich ist das Urbild einer σ-Algebra unter jeder Abbildung stets selbst eine σ-Algebra,also auch P−1(A1).) Außerdem ist, mit A1 ∈ A1 und A2 ∈ A2,

P (A1 × A2) =

A1, falls y ∈ A2,

∅, falls y /∈ A2

∈ A1. (VIII.44)

Daher ist Q1,2 ⊆ P−1(A1), und somit gilt

A1 ⊗ A2 = A[Q1,2] ⊆ A[P−1(A1)

]= P−1(A1). (VIII.45)

Korollar VIII.12. Sind (Ω1,A1) und (Ω2,A2) zwei Messraume, f : Ω1×Ω2 → [0,∞] bezuglichA1 ⊗ A2 reell-messbar und x1 ∈ Ω1, x2 ∈ Ω2, so sind auch

fx21 : Ω1 → [0,∞], ω1 7→ f(ω1, x2), (VIII.46)

fx12 : Ω2 → [0,∞], ω2 7→ f(x1, ω2), (VIII.47)

bezuglich A1 bzw. A2 reell-messbar.

Beweis. Wir zeigen nur (VIII.46) und fixieren dazu x2 =: y ∈ Ω2 und B ∈ B1 mit B ⊆ [0,∞].Dann ist das Urbild von B unter der Abbildung f y1 gegeben durch

(f y1 )−1[B] =ω1 ∈ Ω1

∣∣ f(ω1, y) ∈ B

(VIII.48)

=ω1 ∈ Ω1

∣∣ (ω1, y) ∈ f−1[B]

= P y1

(f−1[B]

).

Mit B ∈ B1 und der Messbarkeit von f sind f−1[B] ∈ A1 ⊗ A2 und nach Lemma VIII.11 auch(f y1 )−1[B] = P y

1

(f−1[B]

)∈ A1.

VIII.3.2 Das Produkt zweier Maße

Satz VIII.13. Seien (Ω1,A1, µ1) und (Ω2,A2, µ2) zwei σ-endliche Maßraume. Fur A ∈ A1⊗A2

seien

m1(ω1) := µ2

[P ω1

2 (A)]

und m2(ω2) := µ1

[P ω2

1 (A)]. (VIII.49)

(i) Dann sind m1 : Ω1 → [0,∞] und m2 : Ω2 → [0,∞] reell-messbar, und es gilt∫Ω1

m1(ω1) dµ1(ω1) =

∫Ω2

m2(ω2) dµ2(ω2). (VIII.50)

(ii) µ1 ⊗ µ2 : A1 ⊗ A2 → [0,∞], definiert durch

(µ1 ⊗ µ2)[A] :=

∫Ω1

m1(ω1) dµ1(ω1), (VIII.51)

ist ein σ-endliches Maß auf A1 ⊗ A2.

128

ENTW



Beweis. Nach Lemma VIII.11 sind m1 und m2 reell-messbar.

(a) Wir zeigen, dass durch (VIII.51) ein Maß auf A1 ⊗ A2 definiert wird. Offensichtlich ist(µ1 ⊗ µ2)(∅) = 0. Sei nun (A(n))∞n=1 eine Folge paarweise disjunkter Mengen in A1 ⊗ A2. Dannist(P ω1

2 (A(n)))∞n=1

eine Folge paarweise disjunkter Mengen in A2, fur jedes ω1 ∈ Ω1. Wir setzennun

m(n)1 (ω1) := µ2

[P ω1

2

(A(n)

)], (VIII.52)

M1(ω1) := µ2

[P ω1

2 (A)], wobei A :=

∞⋃n=1

A(n). (VIII.53)

Weil µ2 σ-additiv ist, gilt

M1(ω1) = µ2

[P ω1

2

( ∞⋃n=1

A(n)

)]= µ2

[ ∞⋃n=1

P ω12

(A(n)

)]

=∞∑n=1

µ2

[P ω1

2

(A(n)

)]=

∞∑n=1

m(n)1 (ω1), (VIII.54)

und monotone Konvergenz impliziert

(µ1 ⊗ µ2)[A] =

∫Ω1

M1(ω1) dµ(ω1) =∞∑n=1

∫Ω1

m(n)1 (ω1) dµ1(ω1) =

∞∑n=1

(µ1 ⊗ µ2)[A(n)

].

(VIII.55)

Also ist µ1 ⊗ µ2 auch σ-additiv und somit ein Maß.

(b) Wir bemerken, dass fur A1 ∈ A1, A2 ∈ A2

µ2 [P ω12 (A1 × A2)] = 1A1(ω1) · µ2[A2], (VIII.56)

gemaß (VIII.44). Also ist

(µ1 ⊗ µ2)(A1 × A2) =

(∫Ω1

1A1(ω1) dµ(ω1)

)· µ2[A2] = µ1[A1] · µ2[A2]. (VIII.57)

(c) Wir zeigen, dass µ1 ⊗ µ2 σ-endlich ist. Weil µi σ-endlich ist, fur i = 1, 2, gibt es Folgen(A

(k)i

)∞k=1∈ (Ai)

N, mit µi(A

(k)i

)<∞ und A

(k)i ⊆ A

(k+1)i , fur alle k ∈ N, so dass Ωi =

⋃∞k=1 A

(k)i .

Also ist(A

(k)1 ×A

(k)2

)∞k=1∈ (A1⊗A2)N mit (µ1⊗µ2)

[A

(k)1 ×A

(k)2

]= µ1[A

(k)1 ] ·µ2[A

(k)2 ] <∞ und

A(k)1 × A

(k)2 ⊆ A

(k+1)1 × A(k+1)

2 fur alle k ∈ N, so dass Ω1 × Ω2 =⋃∞k=1A

(k)1 × A

(k)2 .

(d) Genau wie in (a), (b) und (c) zeigt man, dass(µ1 ⊗ µ2

)[A] :=

∫Ω2

m2(ω2) dµ2(ω2), mit m2(ω2) := µ1

[P ω2

1 (A)], (VIII.58)

ein σ-endliches Maß auf A1 ⊗ A2 definiert und dass(µ1 ⊗ µ2

)[A1 × A2] = µ1[A1] · µ2[A2] (VIII.59)

129

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


fur A1 ∈ A1 und A2 ∈ A2 gilt.

(e) Sei

F1,2 :=

q1 ∪ · · · ∪ qN

∣∣∣∣ qj ∈ Q1,2, ∀ i < j : qi ∩ qj = ∅

(VIII.60)

das System aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten (Ω1×Ω2)-Quadern. Dann istF1,2 ein Ring - analog zum Ring der Figuren Fd (endliche Vereinigungen halboffener Quader).

Weil µ1 ⊗ µ2 und µ1 ⊗ µ2 σ-additiv - und somit insbesondere endlich additiv - sind, gilt furA =

⋃Nj=1A

(j)1 × A

(j)2 ∈ F1,2, mit A

(j)1 × A

(j)2 ∈ Q1,2 paarweise disjunkt, dass

(µ1 ⊗ µ2)[A] =N∑j=1

µ1

[A

(j)1

]µ2

[A

(j)2

]=(µ1 ⊗ µ2

)[A]. (VIII.61)

Also sind µ1 ⊗ µ2 und µ1 ⊗ µ2 zwei σ-endliche Maße auf A1 ⊗ A2 = A(F1,2), die auf dem RingF1,2 ubereinstimmen. Nach Satz VI.35 gilt deshalb

µ1 ⊗ µ2 = µ1 ⊗ µ2. (VIII.62)

Satz VIII.14. Seien (Ω1,A1, µ1) und (Ω2,A2, µ2) zwei σ-endliche Maßraume und f : Ω1×Ω2 →[0,∞] eine reell-messbare Funktion bzgl. (Ω1 × Ω2,A1 ⊗ A2). Dann ist∫

Ω1×Ω2

f(ω1, ω2) d(µ1 ⊗ µ2)[ω1, ω2] < ∞ (VIII.63)

⇔∫

Ω1

(∫Ω2

f(ω1, ω2) dµ2(ω2)

)dµ1(ω1) < ∞

⇔∫

Ω2

(∫Ω1

f(ω1, ω2) dµ1(ω1)

)dµ2(ω2) < ∞,

und in diesem Fall gilt∫Ω1×Ω2

f(ω1, ω2) d(µ1 ⊗ µ2)(ω1, ω2) =

∫Ω1

(∫Ω2

f(ω1, ω2) dµ2(ω2)

)dµ1(ω1)

=

∫Ω2

(∫Ω1

f(ω1, ω2) dµ1(ω1)

)dµ2(ω2). (VIII.64)

Beweis. Wir verwenden die Notationen von Korollar VIII.12 und Satz VIII.13. Sei A ∈ A1⊗A2.Dann ist fur festes y ∈ Ω2 die Abbildung (1A)y1 : ω1 7→ 1A[ω1, y] reell-messbar. Weiterhin ist

ω1 ∈ Ω1

∣∣ 1A[ω1, y] > λ

=ω1 ∈ Ω1

∣∣ (ω1, y) ∈ A

= P y1 (A), (VIII.65)

fur 0 < λ ≤ 1, und fur λ > 1 ist die linke Seite von (VIII.65) leer. Damit ist auch∫Ω1

1A[ω1, y] dµ1(ω1) =

∫ 1

0

µ1

[ω1 ∈ Ω1

∣∣ 1A[ω1, y] > λ]

dλ

= µ1

[P y

1 (A)]

= m2(y). (VIII.66)

130

ENTW



Also ist∫Ω2

(∫Ω1

1A[ω1, ω2] dµ1(ω1)

)dµ2(ω2) =

∫Ω1

m2(ω1) dµ2(ω2) = (µ1 ⊗ µ2)[A]. (VIII.67)

Genauso folgt ∫Ω1

(∫Ω2

1A[ω1, ω2] dµ2(ω2)

)dµ1(ω1) = (µ1 ⊗ µ2)[A], (VIII.68)

und wir erhalten damit (VIII.63) und (VIII.64) fur f = 1A, d.h.∫Ω1×Ω2

1A(ω1, ω2) d(µ1 ⊗ µ2)[ω1, ω2] (VIII.69)

=

∫Ω1

(∫Ω2

1A(ω1, ω2) dµ2(ω2)

)dµ1(ω1)

=

∫Ω2

(∫Ω1

1A(ω1, ω2) dµ1(ω1)

)dµ2(ω2),

mit dem Verstandnis, dass mit einem auch die jeweils beiden anderen Terme unendlich sind.

Als Nachstes betrachten wir eine Treppenfunktion f =∑L

`=1 α` 1A` , wobei α` > 0 undA` ∈ A1⊗A2 paarweise disjunkt sind. Letzteres impliziert, dass auch P y

1 [A`] ∈ A1 ebenso wie P x2 [A`] ∈ A2

fur feste y ∈ Ω2 bzw. x ∈ Ω2 paarweise disjunkt sind. Daher ubertragt sich (VIII.69) auf f ,und (VIII.63) und (VIII.64) gelten fur jede Treppenfunktion.

Schließlich gibt es fur jede reell-messbare Funktion f : Ω1×Ω2 → [0,∞] eine monoton wachsendeFolge (fn)∞n=1 von Treppenfunktionen, die punktweise gegen f konvergiert, fn f (mit demVerstandnis, dass limn→∞ fn(ω1, ω2) = ∞, falls f(ω1, ω2) = ∞). Der Satz uber monotoneKonvergenz liefert dann die Behauptung im allgemeinen Fall.

Durch vollstandige Induktion lasst sich Satz VIII.13 leicht auf das Produkt endlich vieler σ-endlicher Maße verallgemeinern.

Satz VIII.15. Seien (Ωi,Ai, µi) σ-endliche Maßraume, fur i ∈ NN1 . Ist π ∈ Sn eine Permuta-

tion, so definieren wir

Vπ : Ω1 × Ω2 × · · · × ΩN → Ωπ(1) × Ωπ(2) × · · · × Ωπ(N),(ω1, ω2, . . . , ωN

)7→(ωπ(1), ωπ(2), . . . , ωπ(N)

). (VIII.70)

Es gilt(· · ·((µ1 ⊗ µ2

)⊗ µ3

)⊗ · · ·

)⊗ µN =

(((µπ(1) ⊗ µπ(2)

)⊗ µπ(3)

)⊗ · · · ⊗ µπ(N)

) Vπ.(VIII.71)

Dieser Satz berechtigt uns zu folgender Definition.

131

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


Definition VIII.16. Seien (Ωi,Ai, µi) σ-endliche Maßraume, fur i ∈ NN1 . Dann wird, mit

A1 ⊗ A2 ⊗ · · · ⊗ AN :=(· · ·((

A1 ⊗ A2

)⊗ A3

)⊗ · · · ⊗ AN

)= A

(A1 × A2 × · · · × AN

∣∣ Ai ∈ Ai

)(VIII.72)

und

µ1 ⊗ µ2 ⊗ · · · ⊗ µN :=(· · ·((µ1 ⊗ µ2

)⊗ µ3

)⊗ · · · ⊗ µN

), (VIII.73)

(Ω1 × · · · × ΩN ,A1 ⊗ · · · ⊗ AN , µ1 ⊗ · · · ⊗ µN) zu einem σ-endlichen Maßraum. A1 ⊗ · · · ⊗ AN

und µ1 ⊗ · · · ⊗ µN bezeichnet man als Produkt-σ-Algebra bzw. Produktmaß.

Satz VIII.17 (Fubini). Seien (Ωi,Ai, µi) σ-endliche Maßraume, fur i ∈ NN1 , und f : Ω1 ×

Ω2 × · · · × ΩN → C eine messbare Funktion bzgl. (Ω1 × . . .× ΩN , A1 ⊗ . . .⊗ AN).

(i) f ist µ1⊗· · ·⊗µN -integrabel genau dann, wenn es eine Permutation κ ∈ SN gibt, so dass∫Ωκ(N)

· · ·

(∫Ωκ(2)

(∫Ωκ(1)

∣∣∣f(ω1, . . . , ωN)∣∣∣ dµκ(1)

(ωκ(1)

))dµκ(2)

(ωκ(2)

))

· · · dµκ(N)

(ωκ(N)

)< ∞ (VIII.74)

(ii) Gilt (VIII.74), so stimmt das µ1⊗· · ·⊗µN -Integral von f mit der linken Seite in (VIII.74)uberein, und es gilt sogar∫

Ω1×···×ΩN

f(ω1, . . . , ωN

)d(µ1 ⊗ · · · ⊗ µN

)(ω1, . . . , ωN

)=

∫Ωπ(N)

· · ·

(∫Ωπ(2)

(∫Ωπ(1)

f(ω1, . . . , ωN

)dµπ(1)

(ωπ(1)

))dµπ(2)

(ωπ(2)

))

· · · dµπ(N)

(ωπ(N)

)(VIII.75)

fur jede Permutation π ∈ SN .

Beweis. Induktion in N und Anwendung von Satz VIII.14

Definition VIII.18. Wir schreiben nun im Folgenden

dµ1(x) =: dx, dµd(x) =: ddx, (VIII.76)

fur das Lebesgue-Maß, und wir definieren

Lp(Ω, dµ) :=

f : Ω→ C

∣∣∣∣ f ist A-messbar und |f |p ist µ-integrabel

, (VIII.77)

wobei 1 ≤ p <∞ und (Ω,A, µ) ein Maßraum sind. Insbesondere ist L1(Ω,A, µ) die Menge derµ-integrablen, komplexwertigen Funktionen.

132

ENTW



Korollar VIII.19. Seien d ∈ N und f : Rd → C eine Bd = B1 ⊗ B1 ⊗ · · · ⊗ B1-messbareFunktion. Sei µd : Bd → R+

0 das Lebesgue-Borel-Maß.

(i) f ist µd-integrabel genau dann, wenn es eine Permutation κ ∈ Sd gibt, so dass∫R

· · ·(∫

R

(∫R

∣∣∣f(x1, . . . , xd)∣∣∣ dxκ(1)

)dxκ(2)

)· · · dxκ(d) <∞. (VIII.78)

(ii) Gilt (VIII.78), so ist∫Rdf(x) ddx =

∫R

· · ·(∫

R

(∫R

f(x1, . . . , xd

)dxπ(1)

)dxπ(2)

)· · · dxπ(d), (VIII.79)

fur jede Permutation π ∈ Sd.

VIII.3.3 Faltung und Regularisierung

Fur komplexwertige, messbare Funktionen f, g : Rd → C definieren wir das Faltungsproduktf ∗ g : Rd → C von f und g durch

(f ∗ g)(x) :=

∫Rdf(y) g(x− y) ddy, (VIII.80)

sofern die rechte Seite fast uberall endlich ist. Welche genauen Bedingungen man an f und gstellen mochte, hangt stark vom Kontext ab. Sind z.B. f und g µ-integrabel, so ist f ∗ g fastuberall endlich und selbst µ-integrabel, denn nach Satz VIII.6 von Fubini gilt∫

Rd|(f ∗ g)(x)| ddx =

∫Rd

∣∣∣∣ ∫Rdf(y)g(x− y) ddy

∣∣∣∣ ddx≤∫Rd

(∫Rd|f(y)| |g(x− y)| ddy

)ddx

=

∫Rd|f(y)| ·

(∫Rd|g(x− y)| ddx

)ddy (VIII.81)

=

(∫Rd|f(y)| ddy

)·(∫

Rd|g(x)| ddx

)< ∞.

Satz VIII.20. Sei g ∈ C∞(Rd;R+0 ) mit

∫Rdg(x)ddx = 1. Setze gε ∈ C∞(Rd;R+

0 ), gε(x) :=ε−d g(x/ε), fur ε > 0. Fur f ∈ L1(Rd; ddx) definiere fε ∈ L1(Rd; ddx) durch

fε := f ∗ gε. (VIII.82)

Dann sind ∫Rd|fε(x)| ddx ≤

∫Rd|f(x)| ddx, (VIII.83)

133

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


limε→0

∫Rd|f(x)− fε(x)| ddx

= 0, (VIII.84)

fε ∈ C∞(Rd) und∂kfε

∂xn1∂xn2 · · · ∂xnk= f ∗ ∂kgε

∂xn1 · · · ∂xnk, (VIII.85)

fur alle k ∈ N und n1, n2, . . . , nk ∈ 1, . . . , d.

Beweis. Zunachst bemerken wir, dass fur jede messbare Funktion h ≥ 0x ∈ Rd

∣∣∣ gε(x)h(x) > λ

=x ∈ Rd

∣∣∣ ε−dg(x/ε)h(x) > λ

=y ∈ Rd

∣∣∣ g(y)h(εy) > εdλ

(VIII.86)

gilt. Also ist

µ(gεh > λ

)= εd µ

(y | g(y)g(εy) > εdλ

). (VIII.87)

Daher gilt fur jede messbare Funktion h ≥ 0, dass∫gε(y)h(y) ddy = εd

∫ ∞0

µ(y | g(y)h(εy) > εdλ

)dλ (VIII.88)

=

∫ ∞0

µ(y | g(y)h(εy) > λ

)dλ =

∫g(y)h(εy) ddy.

Insbesondere ist ∫gε(y) ddy =

∫g(y) ddy = 1, (VIII.89)

und wir erhalten (VIII.83) aus (VIII.81),∫|fε(x)| ddx ≤

(∫gε(y) ddy

)(∫|f(x)| ddx

)=

∫|f(x)| ddx. (VIII.90)

Wir zeigen (VIII.84) nur fur nichtnegative f : Rd → R+0 . Der allgemeine Fall f : Rd → C folgt

daraus durch Zerlegung in Real- und Imaginarteil und anschließend jeweils in deren positiveund negative Anteile. Mit (VIII.88) erhalten wir zunachst∫

|f(x)− fε(x)| ddx =

∫ ∣∣∣∣ ∫ gε(y)(f(x)− f(x− y)

)ddy

∣∣∣∣ ddx≤∫gε(y)

(∫|f(x)− f(x− y)| ddx

)ddy

=

∫g(y)M(εy) ddy, (VIII.91)

134

ENTW



wobei

M(y) :=

∫|f(x)− f(x− y)| ddx (VIII.92)

=

∫Rd

(maxf(x), f(x− y) −minf(x), f(x− y)

)ddx

=

∫Rd×R+

1[

maxf(x), f(x− y) > λ > minf(x), f(x− y)]ddx dλ.

Wir definieren nun

A(y) :=

(x, λ) ∈ Rd ×R+∣∣ f(x− y) > λ

(VIII.93)

und

B(y) :=

(x, λ) ∈ Rd ×R+∣∣∣ maxf(x), f(x− y) > λ > minf(x), f(x− y)

=

(x, λ) ∈ Rd ×R+∣∣∣ f(x) > λ > f(x− y)

∪

(x, λ) ∈ Rd ×R+∣∣∣ f(x− y) > λ > f(x)

(VIII.94)

=[A(0) ∩ A(y)c

]∪[A(y) ∩ A(0)c

]=[A(0) ∪ A(y)

]∩[A(0)c ∪ A(y)c

]=[A(0) ∪ A(y)

]∩[A(0) ∩ A(y)

]c=[A(0) ∪ A(y)

]\[A(0) ∩ A(y)

].

Damit wird

1B(y) = 1A(0)∪A(y) − 1A(0)∩A(y) = 1A(0) + 1A(y) − 2 · 1A(0)∩A(y)

= 1A(0) + 1A(y) − 2 · 1A(0) · 1A(y). (VIII.95)

Also ist

M(y) = (µd ⊗ µ1)[B(y)]

= (µd ⊗ µ1)[A(0)] + (µd ⊗ µ1)[A(y)]− 2(µd ⊗ µ1)[A(0) ∩ A(y)]

= 2

(µd ⊗ µ1)[A(0)] − (µd ⊗ µ1)[A(0) ∩ A(y)]. (VIII.96)

Sei nun δ > 0 vorgegeben. Wegen der außeren Regularitat (VI.121) des Lebesgue-Maßes gibtes eine offene Menge U ⊇ A(0), so dass

(µd ⊗ µ1)[U ] ≤ (µd ⊗ µ1)[A(0)] + δ. (VIII.97)

Setzen wir entsprechend U(y) := (y, 0) + U , so gilt auch U(y) ⊇ A(y) und

(µd ⊗ µ1)[U(y)] ≤ (µd ⊗ µ1)[A(y)] + δ. (VIII.98)

135

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


Also ist

(µd ⊗ µ1)[A(0) ∩ A(y)] ≥ (µd ⊗ µ1)[A(0) ∩ U(y)] − δ (VIII.99)

=

(∫1A(0)(x, λ) · 1U(y)(x, λ) ddx dλ

)− δ.

Da U offen ist, gilt

∀ (x, λ) ∈ Rd ×R+ : limy→0

1U(y)(x, λ) = limy→0

1U(x− y, λ) = 1U(x, λ). (VIII.100)

Also ist nach dem Satz der majorisierten Konvergenz

lim infy→0

(µd ⊗ µ1)[A(0) ∩ A(y)]

≥ lim infy→0

(∫1A(0) 1U(y) d

dx dλ

)− δ =

(∫1A(0) 1U d

dx dλ

)− δ

=

(∫1A(0)d

dx dλ

)− δ = (µd ⊗ µ1)[A(0)] − δ. (VIII.101)

Da δ > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, folgt damit, dass

limy→0

M(y) = 0. (VIII.102)

Damit folgt jedoch - abermalig mit dem Satz der majorisierten Konvergenz - dass

limε→0

∫|f(x)− fε(x)| ddx

= lim

ε→0

∫g(y)M(εy) ddy

= 0. (VIII.103)

Der Beweis von (VIII.85) ist trivial.

VIII.3.4 Beweis der Transformationsformel

Wir wenden uns als nachstes dem Beweis von Satz VIII.9 zu. Zunachst beweisen wir dazu

Lemma VIII.21. Sei A = A∗ = AT > 0 eine reelle, symmetrische, positiv definite d × d-Matrix, A ∈Md×d(R). Dann ist∫

Rdexp

[− 〈x|Ax〉

]ddx = (det[A])−1/2 ·

(∫ ∞−∞

e−x2

dx

)d. (VIII.104)

Beweis. Wir bemerken zu Beginn dass Ai,j = Aj,i und Ai,i > 0, da A = A∗ > 0 und Ai,j ∈ R.Wir beweisen das Lemma durch Induktion in d. Fur d = 1 ist A eine Zahl, A11 > 0, unddet[A] = A11 > 0. Damit ist∫ ∞

−∞e−〈x|Ax〉 dx =

∫ ∞−∞

e−(√A11 x)2 dx =

1√A11

·∫ ∞−∞

e−x2

dx, (VIII.105)

136

ENTW



und (VIII.104) gilt fur d = 1. Sei nun d ≥ 2 und gelte (VIII.104) fur d− 1. Dann ist

〈x|Ax〉 =d∑

i,j=1

xiAi,j xj = Ad,d x2d + 2xd

d−1∑j=1

Ad,j xj +d−1∑i,j=1

Ai,j xi xj

= Ad,d

(xd +

d−1∑j=1

Ad,jAd,d

xj

)2

+d−1∑i,j=1

Qi,j xi xj, (VIII.106)

wobei Qi,j := Ai,j − Ai,dAd,jAd,d

eine reelle und symmetrische (d − 1) × (d − 1)-Matrix ist. Durch

die lineare Variablensubstitution

yd :=√Ad,d

(xd +

d−1∑j=1

Ad,jAd,d

xj

)(VIII.107)

sowie z1 := x1, . . . , zd−1 := xd−1 wird dann

〈x|Ax〉 = y2d + 〈z|Qz〉, (VIII.108)

und Q = A yd=0> 0 ist insbesondere positive definit. Außerdem erhalten wir dann∫Rde−〈x|Ax〉 ddx =

∫Rde−〈z|Qz〉

1√Ad,d

(∫ ∞−∞

e−y2d dyd

)dd

=1√Ad,d

·(

det[Q])−1/2 ·

(∫ ∞−∞

e−x2

dx

)d, (VIII.109)

nach Induktion. Beachte nun, dass

A =

A1,1 · · · A1,d−1

∣∣∣ A1,d

......

∣∣∣ ...

Ad−1,1 · · · Ad−1,d−1

∣∣∣ Ad−1,d

Ad,1 · · · Ad,d−1

∣∣∣ Ad,d

. (VIII.110)

Der Wert der Determinante von A andert sich nicht, wenn wir zur j. Spalte, fur j = 1, . . . , d−1,ein Vielfaches der d. Spalte hinzu addieren. Daher ist

det[A] = det

A1,1 − A1,dAd,1

Ad,d· · · A1,d−1 − A1,dAd,d−1

Ad,d

∣∣∣ A1,d

......

∣∣∣ ...

Ad−1,1 − Ad−1,dAd,1Ad,d

· · · Ad−1,d−1 − Ad−1,dAd,d−1

Ad,d

∣∣∣ Ad−1,d

0 · · · 0∣∣∣ Ad,d

= Ad,d · det[Q], (VIII.111)

nach dem Kastchensatz, und (VIII.109) und (VIII.111) ergeben die Behauptung.

137

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


Lemma VIII.22. Seien U, V ⊆ Rd offen, U konvex, x0 ∈ U und φ ∈ C1(U ;V ) eine Koordi-natentransformation mit der Eigenschaft, dass

∀ x ∈ U :∥∥∥Jφ(x) ·

(Jφ(x0)

)−1 − 1

∥∥∥ <1

2. (VIII.112)

Dann gilt (VIII.18), d.h. ist f ∈ L1(V, ddy;R+0 ), so ist

∣∣ det[Jφ]∣∣ · f φ ∈ L1(U, ddx;R+

0 ) und∫V

f(y) ddy =

∫U


∣∣ ddx. (VIII.113)

Beweis. Zunachst bemerken wir, dass

Jφ(x)− Jφ(x0) =[Jφ(x) ·

(Jφ(x0)

)−1 − 1]Jφ(x0). (VIII.114)

Fur x ∈ U und z ∈ Rd ist nach (VIII.112) also

‖Jφ(x)z − Jφ(x0)z‖ ≤∥∥∥Jφ(x) ·

(Jφ(x0)

)−1 − 1

∥∥∥ · ‖Jφ(x0)z‖ ≤ 1

2‖Jφ(x0)z‖. (VIII.115)

Mit der Dreiecksungleichung folgt daraus sofort

∀ x ∈ U, z ∈ Rd :1

2‖Jφ(x0)z‖ ≤ ‖Jφ(x)z‖ ≤ 2 ‖Jφ(x0)z‖. (VIII.116)

Daher unterscheiden sich die Eigenwerte von Jφ(x) und Jφ(x0) im Betrag hochstens um einenFaktor 2, und es gilt

∀ x ∈ U :1

2d∣∣ det[Jφ(x0)]

∣∣ ≤ ∣∣∣ det [Jφ(x)]∣∣∣ ≤ 2d

∣∣ det[Jφ(x0)]∣∣. (VIII.117)

Daher ist mit f ∈ L1(V, ddy) auch∣∣ det[Jφ]

∣∣ · (f φ) ∈ L1(U, ddx).

Als Nachstes definieren wir zwei Funktionen f , g : Rd → R+0 durch

f(y) := f(y) ·∣∣∣ det

[Jφ(φ−1(y)

)]∣∣∣ · 1V [y], (VIII.118)

g(x) :=e−x

2

Md, M :=

∫ ∞−∞

e−t2

dt, (VIII.119)

sowie zwei Funktionen F, Fε : Rd ×Rd → R+0 durch

F (y, z) := f(y) · g[Jφ(φ−1(y)

)· z], (VIII.120)

Fε(y, z) := f(y) · g[

1

ε

∫ ε

0

Jφ(sz + φ−1(y)

)· z ds

]· 1U

[εz + φ−1(y)

], (VIII.121)

wobei 1U[εz + φ−1(y)

]und die Konvexitat von U sichern, dass mit φ−1(y) und εz + φ−1(y)

auch sz + φ−1(y) fur jedes s ∈ [0, 1] in U liegt.

138

ENTW



Dann ist F integrabel, und es gilt nach Lemma VIII.21∫Rd×Rd

F (y, z) ddy ddz

=

∫V

f(y) ·∣∣∣ det

[Jφ(φ−1(y)

)]∣∣∣ · (∫Rdg[Jφ(φ−1(y)

)· z]ddz

)ddy

=

∫V

f(y) ddy. (VIII.122)

Wegen (VIII.115) ist∥∥∥∥1

ε

∫ ε

0

Jφ(sz + φ−1(y)

)· z ds

∥∥∥∥ (VIII.123)

=

∥∥∥∥Jφ(x0)z +1

ε

∫ ε

0

[Jφ(sz + φ−1(y)

)− Jφ(x0)

]z ds

∥∥∥∥ ≥ 1

2‖Jφ(x0)z‖ ,

fur alle y, z ∈ V ×Rd mit εz + φ−1(y) ∈ U . Daher ist auch Fε integrabel, und

G(y, z) := f(y) · g[1

2Jφ(x0) z

](VIII.124)

ist eine integrable Majorante. Weiterhin beobachten wir, dass F (y, z) = limε→0 Fε(y, z) punkt-weise konvergiert, und deshalb ist∫

V

f(y) ddy =

∫Rd×Rd

F (y, z) ddy ddz = limε→0

∫Rd×Rd

Fε(y, z) ddy ddz

, (VIII.125)

nach dem Satz uber majorisierte Konvergenz. Fur ε > 0 beobachten wir nun, dass nach Taylor

1

ε

∫ ε

0

Jφ(sz + φ−1(y)

)· z ds =

1

ε

[φ(εz + φ−1(y)

)− φ(φ−1(y)

)]=

1

ε

[φ(εz + φ−1(y)

)− y

], (VIII.126)

fur alle y, z mit εz + φ−1(y) ∈ U , wobei wir abermals die Konvexitat von U verwenden.

Wir fuhren nun die neue Variable

x := εz + φ−1(y) (VIII.127)

ein, die - fur festes y - aus z durch eine Verschiebung und Skalierung hervorgeht. Damit wird∫Rd×Rd

Fε(y, z) ddy ddz =

∫Rdf(y)

(∫U

ε−dg[1

ε

(φ(x)− y

)]ddx

)ddy. (VIII.128)

139

ENTW


VIII.3. ERGANZUNGEN


Satz VIII.20 liefert nun das gewunschte Ergebnis:

limε→0

∫Rd×Rd

Fε(y, z) ddy ddz

= lim

ε→0

∫Rd×Rd

f(y) · 1

εdg[1

ε

(φ(x)− y

)]1U [x] ddx ddy

=

∫U

f(φ(x)

)ddx =

∫U

f(φ(x)

) ∣∣∣ det[Jφ(x)

]∣∣∣ ddx. (VIII.129)

Beweis. (Satz VIII.9) Wir beweisen Satz VIII.9 nur fur f ≥ 0 nichtnegativ. Weiterhin be-merken wir, dass es reicht,∫

φ(K)

f(y) ddy =

∫K


∣∣ ddx (VIII.130)

fur jedes Kompaktum K ⊆ U zu zeigen, denn wegen der monotonen Konvergenz und Kj Ugilt dann auch∫

V

F (y) ddy = limj→∞

∫φ(Kj)

f(y) ddy

= lim

j→∞

∫Kj


∣∣ ddx=

∫U


∣∣ ddx, (VIII.131)

wobei

Kj := [−j, j]d ∩x ∈ U

∣∣ dist(x, U c) ≥ j−1. (VIII.132)

Um (VIII.130) zu zeigen, bemerken wir, dass es fur jeden Punkt x0 ∈ U einen Radius r(x0) > 0gibt, sodass B(x0, r(x0)) ⊆ U und

∀x ∈ B(x0, r(x0)

):

∥∥∥Jφ(x) ·(Jφ(x0)

)−1 − 1

∥∥∥ <1

2, (VIII.133)

gelten, da Jφ stetig in U ist. Somit istB(x0, r(x0)

) ∣∣ x0 ∈ K

eine offene Uberdeckung von K,die wegen der Kompaktheit von K eine endliche Teiluberdeckung B1, . . . , BN enthalt, wobeiBn := B

(xn, r(xn)

). Mit

B1 := K ∩B1,

B2 := K ∩B2 ∩Bc1,

B3 := K ∩B3 ∩Bc1 ∩Bc

2, (VIII.134)

. . .

BN := K ∩BN ∩Bc1 ∩ · · · ∩Bc

N−1

140

ENTW



sind dann B1, . . . , BN paarweise disjunkt und K = B1 ∪ · · · ∪ BN . Nach Lemma VIII.22 istschließlich∫

φ(K)

f(y) ddy =N∑n=1

∫φ(Bn)

f(y) ddy =N∑n=1

∫φ(Bn)

1φ(Bn)[y] f(y) ddy

=N∑n=1

∫Bn

1Bn [x] f [φ(x)]∣∣ det[Jφ(x)]

∣∣ ddx (VIII.135)

=N∑n=1

∫Bn


∣∣ ddx =

∫K


∣∣ ddx.

141

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN

Kapitel IX

Mannigfaltigkeiten

IX.1 Topologische Raume, Homoomorphismen

und Mannigfaltigkeiten

Definition IX.1. Sei M eine Menge. Ein Teilsystem T ⊆ P(M) ihrer Potenzmenge heißtTopologie :⇔

(i) ∅,M ∈ T, (IX.1)

(ii) U ⊆ T ⇒⋃U∈U

U ∈ T, (IX.2)

(iii) U1, U2, . . . , UN ∈ T ⇒N⋂n=1

Un ∈ T. (IX.3)

In diesem Fall heißt (M,T) (oder auch nur M) topologischer Raum, und die Elemente vonT bezeichnet man als offene Mengen.


• Eine weniger abstrakte Form von (ii) in Definition IX.1 ist wie folgt: Ist J 6= ∅ einenichtleere Indexmenge und Ujj∈J ⊆ T eine Familie offener Mengen, so ist auch ihreVereinigung

⋃j∈J Uj ∈ T offen.

• Fur jede Menge M ist (M,P(M)) stets ein topologischer Raum.

• Jeder metrische Raum (X, ρ) ist ein topologischer Raum bezuglich der ublichen metrischenTopologie; die offenen Mengen sind die Teilmengen U von X, die nur innere Punkteenthalten, d.h. zu jedem p ∈ U gibt es ein r > 0, sodass auch Bρ(p, ρ) = y ∈ X|ρ(y, p) <r ⊆ U .

142

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITENIX.1. TOPOLOGISCHE RAUME, HOMOOMORPHISMEN

UND MANNIGFALTIGKEITEN

• Ist d ∈ N, so ist also insbesondere Rd ein topologischer Raum bezuglich der euklidschenTopologie, die von der euklidschen Metrikρeukl(p, y) =

√(p1 − y1)2 + . . .+ (pd − yd)2 induziert wird.

• Sind d ∈ N und M ⊆ Rd, so bildet das System

T :=M ∩ U

∣∣ U ⊆ Rd, U offen⊆ P(M) (IX.4)

der relativ zu M offenen Mengen eine Topologie, und (M,T) wird zum topologischenRaum.

Definition IX.2. Seien (M,TM) und (N,TN) zwei topologische Raume. Eine Abbildung f :M → N heißt stetig :⇔

∀V ∈ TN : f−1(V ) ∈ TM . (IX.5)

Ist f außerdem eine Bijektion M → N mit stetiger Inversen f−1 : N → M , so heißen fHomoomorphismus, und M und N zueinander homoomorph.

Definition IX.3. Sei (M,T) ein topologischer Raum.

(i) Eine offene Menge A ∈ T heißt zusammenhangend :⇔

∀B,C ∈ T, B ∪ C = A, B ∩ C = ∅ :(B = A ∧ C = ∅

)∨(B = ∅ ∧ C = A

).

(IX.6)

Eine zusammenhangende offene Menge bezeichnen wir als Gebiet.

(ii) Eine offene Menge A ∈ T heißt wegzusammenhangend :⇔

∀p, q ∈ A ∃γ ∈ C([0, 1];M

): γ(0) = p, γ(1) = q, γ

([0, 1]

)⊆ A. (IX.7)

Definition IX.4. Seien (M,T) ein zusammenhangender topologischer Raum.

(i) Sind U ∈ T, V ⊆ Rm ein Gebiet und ϕ : U → V ein Homoomorphismus, so bezeichnetman das Paar φ := (U,ϕ) als Karte von M und m =: m(φ) ∈ N als Dimension vonV.

(ii) Zwei Karten φ1 = (U1, ϕ1), φ2 = (U2, ϕ2) von M heißen vertraglich, falls entwederU12 := U1 ∩ U2 = ∅ oder U12 6= ∅ und m(φ1) = m(φ2) und

ϕ2 ϕ−11 ∈ C∞

(ϕ1(U12);ϕ2(U12)

)und ϕ1 ϕ−1

2 ∈ C∞(ϕ2(U12);ϕ1(U12)

)(IX.8)

gelten.

(iii) Eine Familie A = φi | i ∈ I von Karten φi = (Ui, ϕi) von M heißt Atlas von M, fallsM ⊆

⋃i∈I Ui und φ und φ fur alle φ, φ ∈ A vertraglich sind.

(iv) Zwei Atlanten A, A von M heißen vertraglich, falls φ und φ fur alle φ ∈ A und φ ∈ Avertraglich sind.

143

ENTW


IX.2. PARAMETRISIERUNGEN UND

EINGEBETTETE MANNIGFALTIGKEITEN KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN


• Wir bemerken, dass in metrischen Raumen offene Mengen genau dann zusammenhangendsind, wenn sie wegzusammenhangend sind. In allen uns in dieser Vorlesung interessieren-den Fallen brauchen wir also zwischen diesen Begriffen nicht zu unterscheiden.

• Weiterhin bemerken wir, dass m := m(φ) ∈ N fur alle Karten eines Atlas’ A und alleKarten von mit A vertraglichen Atlanten denselben Wert annimmt und somit konstantist.

Lemma IX.5. Seien (M,T) ein topologischer Raum und m ∈ N die Dimension der Bildbe-reiche der Karten von M . Die Vertraglichkeit von Atlanten von M ist eine Aquivalenzrelation(s. Satz IX.16).

Beweis. Reflexivitat und Symmetrie sind trivial. Nur bei der Transitivitat gibt es etwas zubeweisen. Seien A1, A2 und A3 drei Atlanten von M , wobei A1 und A2 einerseits und A2 undA3 andererseits vertraglich sind. Seien weiterhin φ1 = (U1, ϕ1) ∈ A1 und φ3 = (U3, ϕ3) ∈ A3

zwei Karten und p ∈ U1 ∩ U3. Weil A2 ein Atlas ist, gibt es eine Karte φ2 = (U2, ϕ2) ∈ A2

mit p ∈ U2. Somit ist U123 := U1 ∩ U2 ∩ U3 eine offene Menge in M , die p enthalt. Fur allex ∈ ϕ1(U123) gilt dann (

ϕ3 ϕ−11

)(x) =

(ϕ3 ϕ−1

2

)(ϕ2 ϕ−1

1

)(x). (IX.9)

Nach Voraussetzung sind aber ϕ3ϕ−12 und ϕ2ϕ−1

1 und deshalb auch ϕ3ϕ−11 glatt [s. Def. III.3 (iii)].

Genauso folgt die Glattheit von ϕ1 ϕ−13 . Also sind auch φ1 und φ3 vertraglich.

Definition IX.6. Seien (M,T) ein topologischer Raum, m ∈ N die Dimension der Bildbereicheder Karten von M und A ein Atlas von M . Die Aquivalenzklasse der mit A vertraglichenAtlanten bezeichnen wir als (differenzierbare) Mannigfaltigkeit der Dimension m undschreiben dafur (M,A) (oder auch nur kurz M).

IX.2 Parametrisierungen und

eingebettete Mannigfaltigkeiten

Definition IX.7. Seien d ∈ N und M ⊆ Rd. Betrachte M als topologischen Raum bzgl. derrelativen Topologie (s. Glg. (IX.4)).

(i) Sei φ = (U,ϕ) eine Karte von M mit V = ϕ(U) ⊆ Rm. Die Umkehrabbildung ψ := ϕ−1 :V → U heißt Parametrisierung von U :⇔

ψ ∈ C∞(V ;U) und ∀x ∈ V : dim RanJψ(x) = m, (IX.10)

wobei (Jψ)i,α := ∂ψi∂xα

die Jacobimatrix von ψ notiert.

(ii) Ist (M,A) eine Mannigfaltigkeit der Dimension m, so dass jede Karte in A die Inverseeiner Parametrisierung ist, so heißt (M,A) eingebettet (in Rd) oder parametrisierteHyperflache.

144

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITENIX.2. PARAMETRISIERUNGEN UND

EINGEBETTETE MANNIGFALTIGKEITEN


• Glg. (IX.10) impliziert, dass m ≤ d gilt.

• Dass eine (a priori abstrakte) Mannigfaltigkeit M inRd eingebettet ist, deuten wir zukunf-tig durch M ⊆ Rd an und lassen das Wort

”eingebettet“ weg.

• Seien m ≤ d, V ⊆ Rm offen und ψ ∈ C∞(V ;Rd) injektiv und mit dim RanJψ = m auf V .Dann ist U := ψ(V ) ⊆ Rd mit Atlas (U, ψ−1) eine eingebettete differenzierbare Man-nigfaltigkeit der Dimension m oder auch eine parametrisierte Hyperflache der Dimensionm.

• Seien

S1 :=p = (p1, p2)T ∈ R2

∣∣ ‖p‖2eukl = p2

1 + p22 = 1

, (IX.11)

U := S1 \ (0, 1)T und

ϕ(p) :=2p1

1− p2

(IX.12)

die stereografische Projektion. Dann ist φ = (U,ϕ) eine Karte von S1 mit ϕ(U) = R.

• Fur |x| ≥ 2 zum Beispiel sind

ψ(x) := ϕ−1(x) =

(4x

x2 + 4, x2 − 4

x2 + 4

), Jψ(x) =

(dψ1(x)

dx,dψ2(x)

dx

),

dψ1(x)

dx=−4(x2 − 4)

(x2 + 4)2,

dψ2(x)

dx= 2x− 8x

(x2 + 4)2. (IX.13)

Fur x2 6= 4 ist dψ1(x)dx6= 0, und fur x = ±2 ist dψ2(x)

dx= ±15

46= 0. Also ist dim RanJψ(x) = 1,

fur alle x ∈ R mit |x| ≥ 2. Analog zeigt man dieselbe Aussage fur |x| < 2.

• Sind U := S1 ∩ (R+)2 und ϕ(p) := arccos(

p1√p21+p22

), so ist φ := (U , ϕ) auch eine Karte

von S1 mit V := ϕ(U) = (0, π/2).

• φ und φ sind vertraglich. Es ist namlich U ∩ U = U , und z.B. ist ϕ−1 : (0, π/2) → U

gegeben durch ϕ−1(α) =(

cos(α), sin(α))T

, also ist(ϕ ϕ−1

)(α) =

2 cos(α)

1− sin(α)⇒ ϕ ϕ−1 ∈ C∞

((0, π/2); (2,∞)

), (IX.14)

wobei ϕ(U) = (2,∞).


• Der Graph einer Funktion f : G → R, G ⊆ Rd−1, ist in naturlicher Weise eine inRd eingebettete Mannigfaltigkeit der Dimension d − 1. Seien G ⊆ Rd−1 ein Gebiet undf ∈ C∞(G;R). Definieren wir ψ : G→ Rd durch

ψ(x1, . . . , xd−1) :=(x1, . . . , xd−1, f(x1, . . . , xd−1)

), (IX.15)

145

ENTW


IX.2. PARAMETRISIERUNGEN UND

EINGEBETTETE MANNIGFALTIGKEITEN KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN

so sind mit M := U := ψ(G) ⊆ Rd und ϕ := ψ−1 das Paar φ = (U,ϕ) eine Karte undφ ein Atlas von M . Offensichtlich ist ψ injektiv und

Jψ =

∂ψ1

∂x1· · · ∂ψ1

∂xd−1

......

∂ψd∂x1

· · · ∂ψd∂xd−1

=

1 0 · · · 00 1

......

. . ....

0 · · · 1

∂f∂x1

· · · ∂f∂xd−1

. (IX.16)

Aus

a1

10...0∂f∂x1

+ a2

01...0∂f∂x2

+ . . .+ ad−1

0...01∂f

∂xd−1

=

a1...

ad−1∑d−1i=1 ai

∂f∂xi

= 0 (IX.17)

folgt a1 = a2 = . . . = ad−1 = 0, also ist dim Ran Jψ = d− 1.

• Sei F ∈ C∞(Rd;Rd−m) mit F−1(0) 6= ∅ und dim RanJF (p) = d−m, fur alle p ∈ F−1(0).Sei weiterhin

M :=p ∈ Rd

∣∣ F (p) = 0

= F−1(0). (IX.18)

Nach dem Satz uber lokale Auflosbarkeit gibt es zu jedem Punkt p(0) ∈M eine Permuta-tion π ∈ Sd, so dass F (p) = 0 lokal um p(0) nach (pπ(1), . . . , pπ(m)) auflosbar ist. D.h. also,fur r > 0 genugend klein und p ∈ B(p(0), r) gibt es h ∈ C∞(Rm;Rd−m), so dass

p ∈M ⇔ F (p) = 0

⇔

pπ(m+1) = h1

(pπ(1), . . . , pπ(m)

),

...pπ(d) = hd−m

(pπ(1), . . . , pπ(m)

).

(IX.19)

Daher ist mit ϕ(p1, . . . , pd) :=(pπ(1), . . . , pπ(m)

)die Abbildung φp(0) =

(M ∩B(p(0), r), ϕ

)eine Karte von M . Weiterhin ist A :=

φp(0)

∣∣ p(0) ∈M

ein Atlas von M . In dieser Weise

definieren Niveaumengen F−1(0) in naturlicher Weise Mannigfaltigkeiten. Allerdings mussman die Frage, ob F−1(0) zusammenhangend ist, separat untersuchen.

• Definieren wir durch

Sd−1 :=p ∈ Rd

∣∣ p21 + . . .+ p2

d = 1

(IX.20)

die d−1-dimensionale Einheitssphare (Oberflache der d-dimensionalen Einheitskugel), sokonnen wir mit F : Rd → R, F (p) := p2 − 1 auch

Sd−1 = F−1(0) (IX.21)

146

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITENIX.3. TANGENTIALRAUM UND

GRAMSCHE DETERMINANTE

schreiben. Dann ist

JF (p) =

(∂F

∂p1

, . . . ,∂F

∂pd

)= 2 p 6= 0, (IX.22)

fur alle p ∈ Sd−1, fur die ja p2 = 1 gilt. Also ist Sd−1 eine (d− 1)-dimensionale Mannigfal-tigkeit.

• Definieren wir die stereografischen Projektionen

ϕ± : Sd−1 \ (0, . . . , 0,±1) =: U± → Rd−1, (IX.23)

ϕ±(p1, . . . , pd) :=2

1∓ pd· (p1, . . . , pd−1)T , (IX.24)

so sind φ± = (U±, ϕ±) Karten und φ+, φ− ein Atlas von Sd−1.

• Definieren wir Kugelkoordinaten auf S2 mit vertauschten Achsen, so ergeben die zugehori-gen Karten φ1 = (U1, ϕ1), φ2 = (U2, ϕ2) einen mit A = φ+, φ− vertraglichen Atlas

A = φ1, φ2.

• Seien v1, . . . , vm ∈ Rd linear unabhangig, y ∈ Rd und ψ : Rm → Rd,

ψ(x1, . . . , xm) := y +m∑i=1

xivi. (IX.25)

Dann sind Jψ = (v1, . . . , vm) ∈ Md×m(R) und somit dim RanJψ = m. Also ist ϕ := ψ−1

eine Kartenabbildung fur die Mannigfaltigkeit

M =y +

m∑i=1

xivi

∣∣∣ (x1, . . . , xm)T ∈ Rm. (IX.26)

IX.3 Tangentialraum und

Gramsche Determinante

Definition IX.8. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine m-dimensionale eingebetteteMannigfaltigkeit mit Atlas A = φi|i ∈ I. Seien p ∈M und φ = (U,ϕ) ∈ A so, dass p ∈ U .

(i) Die Tangentialvektoren v1(p, φ), . . . , vm(p, φ) ∈ Rd werden durch die partiellen Ablei-tungen von ϕ−1 definiert; setzen wir V := ϕ(U), x := ϕ(p) und ψ := ϕ−1, so sind

∀α ∈ Zm1 : vα(p, φ) :=(∂ψ1(x)

∂xα, . . . ,

∂ψd(x)

∂xα

)T. (IX.27)

(ii) Der Tangentialraum an M im Punkt p ∈M ist durch

Tp := spanv1(p, φ), . . . , vm(p, φ)

(IX.28)

gegeben.

147

ENTW


IX.3. TANGENTIALRAUM UND

GRAMSCHE DETERMINANTE KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN

(iii) Die Gramsche Matrix G(p, φ) := (Gα,β(p, φ))mα,β=1 ∈Mm×m(R) unddie Gramsche Determinante g(p, φ) von φ an p sind durch

∀α, β ∈ Zm1 : Gα,β(p, φ) :=⟨vα(p, φ)

∣∣vβ(p, φ)⟩

und g(p, φ) := det[G(p, φ)](IX.29)

definiert.


• Die Tangentialvektoren v1(p, φ), . . . , vm(p, φ) ∈ Rd sind linear unabhangig, denn wegenJψ = (v1(p, φ), . . . , vm(p, φ)) ist

dim Tp = dim Ran Jψ(x) = m. (IX.30)

• Speziell fur m = 1 ist v1(p, φ)/‖v1(p, φ)‖ eine von φ nur in der Orientierung abhangigeONB von Tp.

• Die Matrixelemente von Jψ(x) sind(Jψ(x)

)k,α

= (vα(p, φ))k, fur k ∈ Zd1 und α ∈Zm1 und ψ(x) = p. Insbesondere ist

(JTψ (x)Jψ(x)

)α,β

=∑d

k=1(vα(p, φ))k(vβ(p, φ))k =

〈vα(p, φ)|vβ(p, φ)〉. Es gilt also

G(p, φ) = JTψ (x) Jψ(x). (IX.31)

• Die Gramsche Matrix G(p, φ) = G(p, φ)∗ = G(p, φ)T ist reell, symmetrisch und somitauch selbstadjungiert.

• Außerdem ist G(p, φ) positiv definit. Ist namlich ψ = (ψ1, . . . , ψm)T ∈ Rm \ 0, so gilt

⟨ψ∣∣G(p, φ)ψ

⟩Rm

=m∑

α,β=1

ψα⟨vα(p, φ)

∣∣vβ(p, φ)⟩Rdψβ

=⟨ m∑α=1

ψα vα(p, φ)∣∣∣ m∑β=1

ψβ vβ(p, φ)⟩Rd

=∥∥∥ m∑α=1

ψα vα(p, φ)∥∥∥2

Rd> 0, (IX.32)

da die Tangentialvektoren linear unabhangig sind.

Lemma IX.9. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit,φ = (U,ϕ) und φ = (U , ϕ) zwei miteinander vertragliche Karten von M und p ∈ U ∩ U . Danngilt

∀α ∈ Zm1 : vα(p, φ) =m∑β=1

[JTϕϕ−1

(ϕ(p)

)]α,β

vα(p, φ), (IX.33)

wobei Jϕϕ−1 die Jacobimatrix der Bijektion ϕ ϕ−1 ∈ C∞(ϕ(U ∩ U); ϕ(U ∩ U) ist.

148

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITENIX.3. TANGENTIALRAUM UND

GRAMSCHE DETERMINANTE

Beweis. Seien G := ϕ(U ∩ U), G := ϕ(U ∩ U), u := ϕ(p), u := ϕ(p), ψ := ϕ−1 und ψ := ϕ−1.Es ist

ψ(u) = ψ (ϕ ϕ−1)(u), (IX.34)

und aus der Kettenregel folgt

∂ψj(u)

∂uα=

m∑β=1

∂ψj(u)

∂uβ

∣∣∣∣∣u=φ(u)

· ∂(ϕ ϕ−1)β(u)

∂uα, (IX.35)

fur alle α ∈ Zm1 .

Korollar IX.10. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit,dann ist der Tangentialraum Tp wohldefiniert, d.h. unabhangig von der zu Grunde gelegtenKarte.

Beweis. Aus Lemma IX.9 folgt sofort, dass

spanv1(p, φ), . . . , vm(p, φ)

⊆ span

v1(p, φ), . . . , vm(p, φ)

. (IX.36)

Genauso zeigt man die umgekehrte Inklusion.

Korollar IX.11. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit,φ = (U,ϕ) und φ = (U , ϕ) zwei miteinander vertragliche Karten von M und p ∈ U ∩ U . Danngilt

G(p, φ) = JTϕϕ−1

(ϕ(p)

)G(p, φ) Jϕϕ−1

(ϕ(p)

). (IX.37)

wobei Jϕϕ−1 die Jacobimatrix der Bijektion ϕ ϕ−1 ∈ C∞(ϕ(U ∩ U); ϕ(U ∩ U)

)ist.

Beweis. Sind Jα,β := ∂(ϕ ϕ−1)α(u)/∂uβ die Matrixelemente von Jϕϕ−1(u), mit u = ϕ(p), solautet (IX.33)

∀α ∈ Zm1 : vα(p, φ) =m∑α=1

Jα,α vα(p, φ). (IX.38)

Also ist

Gα,β(p, φ) =⟨vα(p, φ)

∣∣vβ(p, φ)⟩

=m∑

α,β=1

Jα,α⟨vα(p, φ)

∣∣vβ(p, φ)⟩Jβ,β

=m∑

α,β=1

JTα,α Gα,β(p, φ) Jβ,β, (IX.39)

woraus sich sofort (IX.37) ergibt.

149

ENTW


IX.4. INTEGRALE UBER

PARAMETRISIERTE HYPERFLACHEN KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN

IX.4 Integrale uber

parametrisierte Hyperflachen

Definition IX.12. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine eingebettete m-dimensionaleMannigfaltigkeit mit abzahlbarem Atlas A = φkKk=1, wobei K ∈ N oder K = ∞. Seien(U,ϕ) ∈ A, G := ϕ(U), und ψ := ϕ−1. Fur eine messbare Funktion f : U → C, fur die(f ψ)

√g(ψ(·), φ) ∈ L1(G, dmu) gilt, definieren wir das Integral von f uber U durch∫

U

f(y) dσ(y) :=

∫Gf [ψ(u)]

√g(ψ(u), φ) dmu. (IX.40)

Seien Uk ⊆ Uk messbar und so, dass M =⋃Kk=1 Uk und Ui ∩ Uj = ∅, fur i < j. Fur eine

(bzgl. des durch ϕ induzierten Bildmaßes Lebesgue-) messbare Funktion f : M → C setzen

wir fk(y) := f(y) · 1Uk(y). Gilt (fk ϕ−1k )√g(ϕ−1

k , φK) ∈ L1(ϕk(Uk), dmu), fur alle k ∈ ZK1 , so

definieren wir das Integral von f uber M durch∫M

f(y) dσ(y) :=K∑k=1

∫Uk

fk(y) dσ(y). (IX.41)

Nun gilt es, diesen Integralbegriff zu rechtfertigen, d.h. dessen Wohldefiniertheit nachzuweisen.

Satz IX.13. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit,φ = (U,ϕ), φ = (U , ϕ) zwei miteinander vertragliche Karten von M und U := U ∩ U 6= ∅.Seien G := ϕ(U), G := ϕ(U), ψ := ϕ−1 und ψ := ϕ−1. Fur jede messbare Funktion f : U → C

ist

(f ψ)√g(ψ(·), φ) ∈ L1(G, dmu) ⇔ (f ψ)

√g(ψ(·), φ) ∈ L1(G, dmu). (IX.42)

Ist f integrabel im Sinne von Glg. (IX.42), so gilt daruber hinaus auch∫Gf [ψ(u)]

√g(ψ(u), φ) dmu =

∫Gf [ψ(u)]

√g(ψ(u), φ) dmu. (IX.43)

Beweis. Sind p = ψ(u) = ψ(u) ∈ U und ψ := ϕ ϕ−1, so ist nach Korollar IX.11 G(p, φ) =Jψ(u)G(p, φ)JTψ (u) und deshalb auch

g(p, φ) = det[G(p, φ)

]= det

[Jψ(u)

]2det[G(p, φ)

]= det

[Jψ(u)

]2g(p, φ). (IX.44)

Damit ist Satz IX.13 eine direkte Konsequenz aus der Transformationsformel (VIII.18) furIntegrale,∫

Gf [ψ(u)]

√g(ψ(u), φ) dmu =

∫Gf [ψ(u)] ·

∣∣ det(Jψ−1(u)

)∣∣ ·√g(ψ(u), φ) dmu

=

∫Gf [ψ(u)] ·

∣∣ det(Jψ[ψ−1(u)]

)∣∣−1 ·√g(ψ(u), φ) dmu

=

∫Gf [ψ(u)]

√g(ψ(u), φ) dmu, (IX.45)

wobei wir verwenden, dass Jψ−1(u) =(Jψ[ψ−1(u)]

)−1.

150

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITENIX.4. INTEGRALE UBER

PARAMETRISIERTE HYPERFLACHEN

Der vorige Satz IX.13 sichert, dass das Integral (IX.41) einer Funktion auf einer zusammenhangen-den, m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ⊆ Rd unabhangig ist von dem zu Grunde liegendenAtlas A = φkKk=1 von M . Der folgende Satz, dessen Beweis wir nicht geben, sichert ande-rerseits, dass das Integral (IX.41) auch unseren anschaulich-geometrischen Vorstellungen ent-spricht.

Satz IX.14. Seien m, d ∈ N, m ≤ d und M ⊆ Rd eine eingebettete m-dimensionale Mannig-faltigkeit mit Atlas abzahlbarem A = φkKk=1. Seien weiterhin

M(ε) := M + Bε(0) =p ∈ Rd

∣∣ dist(p , M) < ε

(IX.46)

die offene ε-Umgebung von M , wobei ε > 0. Ist f ∈ C0(M(1);C), so gilt∫M

f(y) dσ(y) = limε→0

1

Vd−m(ε)

∫M(ε)

f(p) ddp

, (IX.47)

wobei Vd−m(ε) :=∫|z|<ε d

d−mz das Volumen der d − m-dimensionalen Kugel vom Radius ε

bezeichnet.


• Ist in Satz IX.14 speziell m = d− 1, so ist∫M

f(y) dσ(y) = limε→0

1

2ε

∫M(ε)

f(p) ddp

. (IX.48)

• Mit f ≡ 1 auf Rd ist∫M

dσ(y) = limε→0

1

Vd−m(ε)

∫M(ε)

ddp

=: Volm(M) (IX.49)

das m-dimensionale Volumen von M .

• Sei fur a ∈ (0, 1) ein Kegelstumpf Ka ⊆ R3 gegeben durch

Ka =

1

2z cos(α)

12z sin(α)z

∣∣∣∣∣∣ 0 ≤ α < 2π, a < z < 1

. (IX.50)

Dann ist Ka bis auf eine Nullmenge (in R2) parametrisiert durch ψ : G → U ⊆ Ka, mitG := (a, 1)× (0, 2π) und

ψ(z, α) :=

12z cos(α)

12z sin(α)z

∈ U. (IX.51)

Die Karte fur U ist dann φ = (U, ψ−1). Die beiden Tangentialvektoren sind (mit x1 =: zund x2 =: α)

v1 =∂ψ(z, α)

∂z=

12

cos(α)12

sin(α)1

, v2 =∂ψ(z, α)

∂α=

− z2

sin(α)z2

cos(α)0

, (IX.52)

151

ENTW


IX.4. INTEGRALE UBER

PARAMETRISIERTE HYPERFLACHEN KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN

daher ‖v1‖2 = 54, ‖v2‖2 = z2

4, 〈v1|v2〉 = 0 und somit

G(ψ(z, α), φ

)=

(54

0

0 z2

4

), (IX.53)

d.h. √g(ψ(z, α), φ

)=

√54· z2

4− 0 . =

√5 z

4. (IX.54)

Also ist

Vol2(Ka) = Vol2(U)

=

∫ 1

a

(∫ 2π

0

1 ·√

5 z

4dα

)dz =

2π√

5

4

[z2

2

]1

a

=

√5 π

2

(1

2− a2

2

)=

√5π(1− a2

)4

. (IX.55)

Im Limes a → 0 erhalten wir die Mantelflache eines Kegels der Hohe h = 1 und RadiusR = 1

2,

lima→0

Vol2(Ka) =

√5π(1− a2

)4

= π R√R2 + h2 . (IX.56)

• Sei γ ∈ C∞([0, 1];Rd) ein glatter Weg von a = γ(0) nach b = γ(1) mit γ(t) 6= 0, fur allet ∈ (0, 1). Betrachten wir Γ := γ((0, 1)) ⊆ Rd als 1-dimensionale Mannigfaltigkeit mitAtlas φ = (Γ, γ−1), so ist g(γ(t), φ) = ‖γ(t)‖2 und deshalb nach (IX.40)∫

Γ

f(y) dσ(y) =

∫ 1

0

f [γ(t)]√g(γ(t), φ) dt =

∫ 1

0

f [γ(t)] ‖γ(t)‖ dt, (IX.57)

das Integral von f langs des Wegs Γ ⊆ Rd.

• Sei F : Rd → Rd ein Vektorfeld. Setzen wir speziell

f [y] :=

⟨F [y]

∣∣∣∣ γ[γ−1(y)]

‖γ[γ−1(y)]‖

⟩, (IX.58)

so ist f bis auf sein Vorzeichen von der Parametrisierung γ unabhangig, und in (IX.57)ergibt sich∫

Γ

F (y) · dσ(y) :=

∫Γ

f(y) dσ(y) =

∫ 1

0

⟨F [γ(t)]

∣∣∣ γ(t)⟩dt, (IX.59)

das Wegintegral von F langs Γ ⊆ Rd.

152

ENTW


KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN IX.5. ERGANZUNGEN

IX.5 Erganzungen

IX.5.1 Aquivalenzrelationen

Haufig lasst sich eine Menge in eine Familie disjunkter Teilmengen zerlegen, deren Elementejeweils ahnliche Eigenschaften haben.

Definition IX.15. Eine Relation R : A×A→ w, f auf einer Menge A, mit R(a, b) = w ⇔:a ∼ b heißt Aquivalenzrelation, falls folgende drei Eigenschaften gelten:

Reflexivitat ∀ a ∈ A : a ∼ a, (IX.60)

Symmetrie ∀ a, b ∈ A : a ∼ b⇔ b ∼ a, (IX.61)

Transitivitat ∀ a, b, c ∈ A : (a ∼ b ∧ b ∼ c)⇒ (a ∼ c). (IX.62)

Satz IX.16. Eine Aquivalenzrelation auf einer Menge A bewirkt eine Zerlegung von A in dis-junkte Teilmengen. Dabei sind zwei Elemente aus A genau dann aquivalent, wenn sie derselbenTeilmenge angehoren.

Beweis. Zu a ∈ A definieren wir

[a]∼ :=x ∈ A

∣∣ a ∼ x. (IX.63)

Wegen a ∈ [a]∼ ist [a]∼ nicht leer. Wir zeigen nun fur a, b ∈ A, dass

entweder [a]∼ ∩ [b]∼ = ∅ (IX.64)

oder [a]∼ = [b]∼ (IX.65)

gilt. (Wegen [a]∼ 6= ∅ konnen (IX.64) und (IX.65) nicht gleichzeitig gelten.)Sei [a]∼∩ [b]∼ 6= ∅. Dann gibt es also ein gemeinsames Element c ∈ [a]∼ , c ∈ [b]∼ . Damit geltena ∼ c und c ∼ b, also auch a ∼ b. Ist nun x ∈ [a]∼ , dann gilt x ∼ a und mit a ∼ b auch x ∼ b,also x ∈ [b]∼. Es folgt, dass [a]∼ ⊆ [b]∼. Genauso erhalt man [b]∼ ⊆ [a]∼, also [a]∼ = [b]∼. Damitist (IX.60)–(IX.62) gezeigt.Schreiben wir jetzt

A =⋃a∈A

[a]∼, (IX.66)

folgt die Aussage unmittelbar durch Zusammenfassen gleicher [a]∼.

Definition IX.17. Die Teilmengen [a]∼ heißen Aquivalenzklassen. Die Familie der Aquiva-lenzklassen bezeichnet man mit

A/ ∼ (sprich: ′′A modulo ∼ ′′). (IX.67)

Liegt a in einer Aquivalenzklasse, so heißt a Reprasentant der Klasse.

153

ENTW


IX.5. ERGANZUNGEN KAPITEL IX. MANNIGFALTIGKEITEN


A := Z, p ∈ N, (IX.68)

m ∼ n :⇔ ∃ k ∈ Z : m− n = kp. (IX.69)

=⇒ Z = [0]∼ ∪ [1]∼ ∪ . . . ∪ [p− 1]∼, (IX.70)

[j]∼ = kp+ j | k ∈ Z. (IX.71)

Z/ ∼ bezeichnet man auch mit Z/pZ oder Zp und [j]∼ =: [j] mod p.

Definition IX.18. Sei ∼ eine Aquivalenzrelation auf einer Menge A. Eine Teilmenge S ⊆ Aheißt ein vollstandiges Reprasentantensystem zu ∼, falls folgende zwei Eigenschaftengelten:

(i) Jedes Element aus A ist zu einem Element aus S aquivalent.

(ii) Die Elemente aus S sind paarweise nicht aquivalent.

Bemerkungen und Beispiele. Ist

A :=g ⊆ R2

∣∣ g ist eine Gerade, (IX.72)

g1 ∼ g2 :⇔ g1 und g2 sind parallel, (IX.73)

so ist

S =g ∈ A

∣∣ g ∩ 0 = 0

(IX.74)

ein vollstandiges Reprasentantensystem.

154

ENTW


KAPITEL X. GAUSSSCHER SATZ UNDSTOKESSCHER SATZ

Kapitel X

Gaußscher Satz undStokesscher Satz

X.1 Normalenvektoren und Orientierung

Wir betrachten in diesem Abschnitt eine eingebettete Mannigfaltigkeit M ⊆ Rd der Dimensionm = d − 1 mit Karte φ = (U,ϕ). Die Basis v1(p, φ), . . . , vd−1(p, φ) des TangentialraumesTp = spanv1(p, φ), . . . , vd−1(p, φ) wollen wir fur p ∈ U zu einer Basis von Rd erganzen.Offensichtlich ist

dimT⊥p = 1, (X.1)

und wir brauchen nur einen einzigen Vektor b(p, φ) ∈ Rd \ 0 zu bestimmen, so dass

∀α ∈ Zd−11 : 〈b(p, φ) | vα(p, φ)〉 = 0. (X.2)

Die folgende Definition gibt eine explizite Konstruktion von b(p, φ). Dazu verwenden wir hierund im Folgenden die Notation

∀α ∈ Zd−11 , j ∈ Zd1 : vjα(p, φ) :=

∂ψj(x)

∂xα

∣∣∣∣x=ϕ(p)

(X.3)

fur die j. Komponente des Tangentialvektors vα(p, φ).

Definition X.1. Seien d ∈ N und M ⊆ Rd eine eingebettete Mannigfaltigkeit der Dimensionm = d− 1 mit Karte φ = (U,ϕ) und zugehorigen Tangentialvektoren v1(p, φ), . . . , vd−1(p, φ)mit Komponenten vjα = ∂ψj(x)/∂xα, wobei ψ := ϕ−1 und p = ψ(x). Der zu φ am Punkt p

155

ENTW


X.1. NORMALENVEKTOREN UND ORIENTIERUNG


gehorige Normalenvektor b(p, φ) := (b1, . . . , bd)T ∈ Rd ist definiert durch

bj := (−1)d−1∑

π∈Sd:π(d)=j

(−1)π(∂ψπ(1)(x)

∂x1

)· · ·(∂ψπ(d−1)(x)

∂xd−1

)= (−1)d−1

∑π∈Sd:π(d)=j

(−1)π vπ(1)1 · · · vπ(d−1)

d−1 . (X.4)

Den entsprechenden normierten Vektor ~n(p, φ) := ‖b(p, φ)‖−1 b(p, φ) bezeichnet man als Nor-maleneinheitsvektor.

Bemerkungen und Beispiele.• Fur k ∈ Zd1 ist bk = (−1)d−1 det[J

(k)ψ ], wobei die d × d-Matrix J

(k)ψ = (v1, . . . , vd−1, ek) aus

der Jacobimatrix Jψ von ψ durch Anfugen des kanonischen Basisvektors ek als letzte Spaltehervorgeht,

bk = (−1)d−1 det(v1, . . . , vd−1, ek

)= det

(ek, v1, . . . , vd−1

). (X.5)

Das folgende Lemma zeigt, dass der in (X.4) definierte Normalenvektor die gewunschten Or-thogonalitatseigenschaften hat und außerdem noch richtig normiert ist

Lemma X.2. Seien d ∈ N und M ⊆ Rd eine eingebettete Mannigfaltigkeit der Dimensionm = d− 1 mit Karte φ = (U,ϕ), zugehorigen Tangentialvektoren v1(p, φ), . . . , vd−1(p, φ) undNormalenvektor b(p, φ) := (b1, . . . , bd)

T ∈ Rd. Dann gelten folgende Aussagen:

∀α ∈ Zd−11 : 〈b(p, φ) | vα(p, φ)〉 = 0, (X.6)

‖b(p, φ)‖ =√g(p, φ) , (X.7)

T⊥p = spanb(p, φ). (X.8)

Beweis. Zunachst bemerken wir, dass (X.8) trivial aus der Dimensionsformel, (X.6) und (X.7)resultiert, da letztere Gleichung auch insbesondere b(p, φ) 6= 0 impliziert. Den Beweis von (X.7)findet man im Abschnitt X.5.1. Zum Beweis von (X.6) wahlen wir α ∈ Zd−1

1 und berechnen

〈b|vα〉 =d∑j=1

vjα bj = (−1)d−1

d∑j=1

∑π∈Sd:π(d)=j

(−1)π vπ(1)1 · · · vπ(d−1)

d−1 · vπ(d)α

= (−1)d−1∑π∈Sd

(−1)π vπ(1)1 · · · vπ(α)

α · · · vπ(d−1)d−1 · vπ(d)

α

= (−1)d−1 det[v1, . . . , vα, . . . , vd−1, vα

]= 0, (X.9)

da zwei Spalten in der Determinante in der letzten Zeile in (IX.39) gleich sind.


• Seien d = 2 und m = 1, dann sind die Permutationen gegeben durchπ ∈ S2 | π(2) = 1

=

π1 :=

(1 22 1

), (−1)π1 = −1, (X.10)

π ∈ S2 | π(2) = 2

=

π1 :=

(1 21 2

), (−1)π1 = +1. (X.11)

156

ENTW


KAPITEL X. GAUSSSCHER SATZ UNDSTOKESSCHER SATZ X.1. NORMALENVEKTOREN UND ORIENTIERUNG

Daher ist

b(p, φ) =

(b1

b2

)= (−1)2−1

−∂ψ2(u1)∂u1

∂ψ1(u1)∂u1

=

∂ψ2(u1)∂u1

−∂ψ1(u1)∂u1

. (X.12)

• Seien d = 3 und m = 2, dann sind die Permutationen gegeben durchπ ∈ S3 | π(3) = 1

=

π1 =

(1 2 32 3 1

), π2 =

(1 2 33 2 1

),

(−1)π1 = 1 , (−1)π2 = −1; (X.13)

π ∈ S3 | π(3) = 2

=

π3 =

(1 2 33 1 2

), π4 =

(1 2 31 3 2

),

(−1)π3 = 1 , (−1)π4 = −1; (X.14)

π ∈ S3 | π(3) = 3

=

π5 =

(1 2 31 2 3

), π6 =

(1 2 32 1 3

),

(−1)π5 = 1 , (−1)π6 = −1. (X.15)

Wegen (−1)3−1 = 1 ist daher

b(p, φ) =

b1

b2

b3

=

∂ψ2

∂u1· ∂ψ3

∂u2− ∂ψ3

∂u1· ∂ψ2

∂u2∂ψ3

∂u1· ∂ψ1

∂u2− ∂ψ1

∂u1· ∂ψ3

∂u2∂ψ1

∂u1· ∂ψ2

∂u2− ∂ψ2

∂u1· ∂ψ1

∂u2

= v1(p, φ)× v2(p, φ), (X.16)

wobei das Vektorprodukt × : R3 ×R3 → R3 definiert ist durch

~a× b :=

a2 b3 − a3 b2

a3 b1 − a1 b3

a1 b2 − a2 b1

. (X.17)

• Der Normalenvektor b(p, φ) und der Normaleneinheitsvektor ~n(p, φ) sind absichtlich nichtmit beliebigem Vorzeichen definiert worden. Ist die betrachtete Flache Teil der Berandungeines Gebiets, so konnen diese Vektoren in das Gebiet hinein oder aus dem Gebiet herauszeigen.

• Diese Uberlegung fuhrt auf den Begriff der Orientierung einer Mannigfaltigkeit: Zweivertragliche Karten φ = (U,ϕ) und φ = (U , ϕ) einer Mannigfaltigkeit M (nicht notwen-dig eingebettet in Rd und auch nicht notwendig (d − 1)-dimensional) heißen orientie-

rungsaquivalent, φ∼φ, falls det[Jϕϕ−1 ] > 0 auf U ∩ U gilt.

• Orientierungsaquivalenz ist ebenfalls eine Aquivalenzrelation, wie man leicht nachpruft.

157

ENTW


X.2. MANNIGFALTIGKEITEN MIT RAND


• Sind M eine (d− 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit und zwei vertragliche Karten φ und φvon M orientierungsaquivalent, φ∼φ, so gilt n(p, φ) = n(p, φ).

• Ein Atlas A von M , dessen Karten alle paarweise orientierungsaquivalent sind, heißtorientiert.

• Nicht allem-dimensionalen Mannigfaltigkeiten besitzen einen orientierten Atlas; das Mobi-usband in R3 ist ein Beispiel dafur. Sind jedoch M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit,und existiert ein orientierter Atlas von M , so heißt M orientierbar.

• Fur eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit Γ, d.h. fur einen Weg, geben die beiden Orien-tierungsaquivalenzklassen anschaulich gerade die beiden Durchlaufrichtungen des Wegesan.

• Ist M ⊆ Rd eine eingebettete, orientierbare, (d − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit, sogibt es eine stetige Abbildung M → Sd−1, p 7→ np, wobei np := n(p, φ) fur eine geeigneteKarte φ aus einem (fest gewahlten) orientierten Atlas von M ist. Wichtig ist hierbei, dassdie Orientierung von np bei Kartenwechsel in diesem orientierten Atlas erhalten bleibt.

• Die letztere Implikation ist sogar eine Aquivalenz: Gibt es eine stetige (global definierte)Abbildung M → Sd−1, p 7→ np, so ist die eingebettete, (d − 1)-dimensionale Mannigfal-tigkeit M ⊆ Rd orientierbar.

• Der Wechsel eines rechthandigen in ein linkshandiges Koordinatensystem in R3 ist einePermutation π ∈ S3 der Koordinaten mit (−1)π = −1. Dazu betrachten wir R3 alsMannigfaltigkeit mit Atlanten (R3, id) und φ := (R3, ϕ), wobei id : (p1, p2, p3)T 7→(p1, p2, p3)T und φ : (p1, p2, p3)T → (pπ(1), pπ(2), pπ(3))

T . Dann ist det[Jφid−1 ] = −1 < 0,und φ wechselt die Orientierung von R3 (als Mannigfaltigkeit der Dimension 3).

X.2 Mannigfaltigkeiten mit Rand

Seien m ∈ N und

Hm := R+0 ×Rm−1 =

(x1, x2, . . . , xm)T ∈ Rm

∣∣∣ x1 ≥ 0

(X.18)

∂Hm := 0 ×Rm−1 =

(0, x2, . . . , xm)T ∈ Rm∣∣∣ x2, . . . , xm ∈ R

. (X.19)

Definition X.3. Seien d,m ∈ N, M ⊆ Rd eine eingebettete Mannigfaltigkeit der Dimensionm mit Atlas A = φi = (Ui, ϕi) | i ∈ I und ϕi(Ui) =: Vi ⊆ Rm, fur i ∈ I. Fur i ∈ I setzen wir

Ui := ϕ−1i

(Vi ∩Hm

), ϕi := ϕi

∣∣Ui, Vi := ϕi(Ui) = Vi ∩Hm, (X.20)

und

M :=⋃i∈I

Ui. (X.21)

(i) Die Familie A := φi = (Ui, ϕi) | i ∈ I bezeichnen wir als berandeten Atlas von M.

158

ENTW


KAPITEL X. GAUSSSCHER SATZ UNDSTOKESSCHER SATZ X.3. DER GAUSSSCHE SATZ

(ii) Seien B := ψj = (Wj, ψj) | j ∈ J ein anderer berandeter Atlas von M , wobei Wj =

ψ−1j (Zj ∩ Hm), ψj = ψj

∣∣Wj

, Zj := ψj(Wj) ⊆ Rm und B := ψj = (Wj, ψj) | j ∈ J ein

Atlas von M .

A und B heißen vertraglich

:⇔ A und B sind vertraglich. (X.22)

(iii) Die Vertraglichkeit (X.22) definiert eine Aquivalenzrelation auf der Familie aller beran-deter Atlanten von M . Eine zugehorige Aquivalenzklasse bezeichnen wir als Mannigfal-tigkeit mit Rand.

(iv) Die Menge

∂M :=⋃i∈I

ϕ−1i

(Vi ∩ ∂Hm

)⊆ Rd (X.23)

bezeichnen wir als Rand von M.

Lemma X.4. Seien d,m ∈ N und M eine eingebettete Mannigfaltigkeit der Dimension m ∈ Zd2mit Rand. Dann ist ∂M eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension m− 1.

Beweis. Sei A = φi = (Ui, ϕi) | i ∈ I ein berandeter Atlas von M . Setzen wir

Vi := Vi ∩ ∂Hm =

(x1, . . . , xm)T ∈ Vi∣∣∣ x1 = 0

, (X.24)

Ui := ϕ−1i (V ) =

p ∈ Ui

∣∣∣ (ϕi(p))1= 0, (X.25)

ϕi := ϕi∣∣Ui, (X.26)

so ist φi := (Ui, ϕi) eine Karte von ∂M , denn ϕ−1i (x) = ϕ−1

i (0, x), fur x ∈ Rm−1, und fur

p ∈ Ui ∩ Uj, (also p = ϕ−1i (0, x(i)) = ϕ−1

j (0, x(j)), fur geeignete x(i), x(j) ∈ Rm−1) gilt

ϕj ϕ−1i (x(i)) = ϕj

(ϕ−1i (0, x(i))

)= ϕj ϕ−1

i (0, x(i)), (X.27)

was Vertraglichkeit von φi und φj impliziert.

Lemma X.5. Sind d ∈ N, d ≥ 2, und M ⊆ Rd eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit mitRand, so ist ∂M orientierbar.

X.3 Der Gaußsche Satz

Definition X.6. Seien d ∈ N und M ⊆ Rd eine eingebettete, (d − 1)-dimensionale, zusam-menhangende, orientierbare Mannigfaltigkeit mit stetigen Normaleneinheitsvektorfeld M →Sd−1, p 7→ np. Seien weiterhin ε > 0, M(ε) := M +B(0, ε) ⊆ Rd und F ∈ C(M ;Rd) ein stetigesVektorfeld. Dann heißt ∫

M

〈F (y)|ny〉 dσ(y) (X.28)

Fluss des Feldes F durch M.

159

ENTW


X.3. DER GAUSSSCHE SATZ


Definition X.7. Sei G ⊆ Rd ein beschranktes Gebiet. Sein Rand ∂G = G \G heißt zulassig,falls esN ∈ N orientierte, eingebettete, (d−1)-dimensionale Mannigfaltigkeiten (M1,A1), . . . , (MN ,AN)so gibt, dass

∂G ⊆N⋃j=1

Mj. (X.29)

Zeigen daruber hinaus die Normalenvektoren von Mj aus G heraus, d. h. gilt fur p ∈ ∂G ∩Mj

und δ > 0 genugend klein, dass

δ np + p /∈ G und − δ np + p ∈ G, (X.30)

so heißt ∂G nach außen orientiert.


• Seien d = 3, vt ∈ C1(R3;R3) ein Geschwindigkeitsfeld und ρt ∈ C1(R3;R+0 ) die Teilchen-

dichte (Teilchen pro Volumen). Dann ist jt := ρt ·vt ∈ C1(R3;R3) die Teilchenstromdichte.Ist M eine 2-dimensionale parametrisierte Hyperflache, so ist

Jt :=

∫M

⟨jt(y)

∣∣ ny⟩ dσ(y) (X.31)

die durch M fließende Teilchenzahl pro Zeiteinheit.

• Seien a, b ∈ Rd, a < b und Q := (a1, b1) × · · · × (ad, bd) ein offener Quader in Rd. Dannist Q durch seine Deckelflachen

∂Q = Q(li)1 ∪Q

(re)1 ∪ . . . ∪Q(li)

d ∪Q(re)d (X.32)

begrenzt, wobei

Q(li)1 = a1 × [a2, b2]× · · · × [ad, bd],

Q(re)1 = b1 × [a2, b2]× · · · × [ad, bd],

... (X.33)

Q(li)d = [a1, b1]× · · · × [ad−1, bd−1]× ad,

Q(re)d = [a1, b1]× · · · × [ad−1, bd−1]× bd.

Wahlt man die kartesischen Koordinaten selbst zur Parametrisierung dieser Deckelflachengeeignet, so ist auf Q

(li)n das Normalenvektorfeld durch b = −en und auf Q

(re)n durch

b = +en gegeben.

• Ein weiterer Typ leicht zu beschreibender zulassiger Gebiete ist der des Polytops. Seiendazu a1, . . . , aN ∈ Rd und n1, . . . , nN ∈ Sd−1. Fur n ∈ ZN1 beschreibt die Menge

Gn :=p ∈ Rd

∣∣ 〈p− an|nn〉 < 0

(X.34)

160

ENTW



den Halbraum aller Punkte auf einer Seite der Hyperebene En, auf der nn senkrecht stehtund die an enthalt. Dabei weist nn aus diesem Halbraum heraus. Ein endlicher Schnitt

G = G1 ∩G2 ∩ · · · ∩GN (X.35)

solcher Halbraume bezeichnen wir als Polytop. Der Rand des Polytops ist gegeben durch

∂G = ∂G1 ∪ ∂G2 ∪ · · · ∪ ∂GN , (X.36)

wobei ∂Gn = En ∩G.

• Die Definition X.7 eines zulassigen Gebiets ist vom Beispiel des Polytops abstrahiert.Im Allgemeinen lasst sich der Rand eines Gebietes nicht so einfach als “Deformation”eines Polytops charakterisieren. Beispielsweise kann ein Gebiet auch Einschlusse (d = 3,Schweizer Kase) oder Locher (D = 2, 3) haben.

Definition X.8. Sei G ⊆ Rd ein Gebiet und g ∈ C1(G;Rd) ein stetig differenzierbares Vektor-feld. Wir definieren die Divergenz ∇ · g ∈ C(G;R) von g durch

∇ · g ≡ div(g) :=d∑j=1

∂gj∂pj

. (X.37)

Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des Gaußschen Satzes:∫∂G

⟨g(p)

∣∣np⟩ dσ(p) =

∫G

∇ · g(p) ddp. (X.38)

Dabei ist G ⊆ Rd ein Gebiet mit zulassigem, nach außen orientiertem Rand ∂G.Wir beweisen diesen Satz zunachst exemplarisch fur einen beliebigen Quader Q.

Lemma X.9. Seien a, b ∈ Rd, a < b, Q := (a1, b1) × · · · × (ad, bd) ein offener, nach außenorientierter Quader in Rd und Q(ε) := Q+B(0, ε) die offene ε-Umgebung von Q. Sei weiterhinε > 0 und g ∈ C1(Q(ε);Rd). Dann ist∫

∂Q

⟨g(p)

∣∣np⟩ dσ(p) =

∫Q

∇ · g(p) ddp. (X.39)

Beweis. Der Rand ∂Q von Q ist gemaß (X.33) durch die Deckelflachen Q(li)1 ∪ Q

(re)1 ∪ . . . ∪

Q(li)d ∪ Q

(re)d gegeben. Wahlt man die kartesischen Koordinaten selbst zur Parametrisierung

dieser Deckelflachen geeignet, so ist auf Q(li)n das Normalenvektorfeld durch b = −en und auf

Q(re)n durch b = +en gegeben. Also ist∫

∂Q

⟨g(p)

∣∣∣ np⟩ dσ(p) (X.40)

=m∑n=1

(∫Q

(li)n

⟨g(p)

∣∣∣(−en)⟩dd−1p +

∫Q

(re)n

⟨g(p)

∣∣∣ en⟩ dd−1p

)

=m∑n=1

(∫Q

(re)n

gn(p) dd−1p −∫Q

(li)n

gn(p) dd−1p

).

161

ENTW




Fur n = 1, beispielsweise, ist∫Q

(re)1

g1(p) dd−1p −∫Q

(li)1

g1(p) dd−1p (X.41)

=

∫[a2,b2]×...×[ad,bd]

g1(b1, p2, . . . , pd) − g1(a1, p2, . . . , pd)

dp2 · · · dpd

=

∫[a1,b1]×[a2,b2]×...×[ad,bd]

∂g1

∂p1

(p1, p2, . . . , pd) dp1 dp2 · · · dpd.

Entsprechende Gleichungen gelten fur n = 2, . . . , d. Summieren wir die Ergebnisse auf, soerhalten wir (X.39).

Als nachste Vorbereitung beweisen wir den Gaußschen Satz fur ein beliebiges Polytop G.

Lemma X.10. Seien N ∈ N, a1, . . . , aN ∈ Rd und n1, . . . , nN ∈ Sd−1. Seien damit Gn :=p ∈

Rd∣∣〈p− an|nn〉 < 0

, fur n ∈ ZN1 , und G = G1 ∩ · · · ∩GN sowie G(ε) := G+B(0, ε) die offene

ε-Umgebung von G. Ist g ∈ C1(G(ε);Rd) von beschranktem Trager, d.h. fur einen genugendgroßen Quader Q verschwindet g auf Qc, so ist∫

∂G

⟨g(p)

∣∣np⟩ dσ(p) =

∫G

∇ · g(p) ddp. (X.42)

Beweis. Wir definieren f ∈ C∞(R) durch

f(λ) :=1

1 + eλ. (X.43)

Beachte, dass

limδ→0

f(λ/δ) =

0, falls λ > 0,12, falls λ = 0,

1, falls λ < 0,

(X.44)

und dass

f ′(λ) =−eλ

(1 + eλ)2=

−2

[cosh(λ/2)]2,

∫ ∞−∞

f ′(λ) dλ = −1; (X.45)

letzteres nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Fur δ > 0, n ∈ ZN1 undp ∈ Rd setzen wir nun

Fδ,n(p) := f(δ−1〈p− an|nn〉

), Fδ(p) := Fδ,1(p) · Fδ,2(p) · · ·Fδ,N(p), (X.46)

und beobachten, dass wegen (X.44)

limδ→0

Fδ,n := 1Gn +1

2· 1En , (X.47)

162

ENTW



und daher mit majorisierter Konvergenz∫G

∇ · g(p) ddp =

∫G∩Q∇ · g(p) ddp =

∫Q

(limδ→0

Fδ(p))∇ · g(p) ddp

= limδ→0

∫Q

Fδ(p) ∇ · g(p) ddp. (X.48)

Nun wenden wir Lemma X.9 auf das Vektorfeld Fδ ·g und den Quader Q an. Da Fδ ·g außerhalbvon Q und auf ∂Q verschwindet, gibt (X.39), dass

0 =

∫∂Q

⟨Fδ · g(p)

∣∣np⟩ dσ(p) =

∫Q

∇ ·(Fδ · g

)(p) ddp

=

∫Q

⟨∇Fδ(p)

∣∣g(p)⟩ddp +

∫Q

Fδ(p)(∇ · g

)(p) ddp. (X.49)

Somit ist ∫G

∇ · g(p) ddp = − limδ→0

∫ ⟨∇Fδ(p)

∣∣g(p)⟩ddp. (X.50)

Aus der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir

∇Fδ(p) =N∑n=1

∇Fδ,n(p)∏ν 6=n

Fδ,ν(p) =N∑n=1

nnδf ′(δ−1〈p− an|nn〉

) ∏ν 6=n

Fδ,ν(p) (X.51)

und somit∫ ⟨∇Fδ(p)

∣∣g(p)⟩ddp =

N∑n=1

1

δ

∫f ′(δ−1〈p− an|nn〉

) ∏ν 6=n

Fδ,ν(p) 〈nn|g(p)〉 ddp. (X.52)

Im n. Integral verschieben wir durch p 7→ y := p− an nun den Ursprung in den Punkt an unddrehen y 7→ z := RT

ny das Koordinatensystem mit Hilfe einer Drehmatrix Rn ∈ SO(d) so, dassRTnnn = e1 und insbesondere

〈p− an|nn〉 = 〈y|nn〉 = 〈Rnz|nn〉 = 〈z|RTnnn〉 = 〈z|e1〉 = z1. (X.53)

Setzen wir nun

gδ,n(z) :=∏ν 6=n

Fδ,ν(an +Rnz) 〈nn|g(an +Rnz)〉 (X.54)

und beachten, dass

limδ→0

gδ,n(z) =

∏ν 6=n

(1Gn +

1

21En

)〈nn|g(an +Rnz)〉, (X.55)

163

ENTW




so folgt abermals mit majorisierter Konvergenz, dass

limδ→0

∫ ⟨∇Fδ(p)

∣∣g(p)⟩ddp =

N∑n=1

limδ→0

∫f ′(z1/δ)

δgδ,n(z1, z2, . . . , zd) dz1 dz2 · · · dzd

=N∑n=1

limδ→0

∫f ′(z1) gδ,n(δz1, z2, . . . , zd) dz1 dz2 · · · dzd (X.56)

=N∑n=1

(∫f ′(z1) dz1

) (∫∂Hd−1∩Rn(Gn−an)

〈nn|g(an +Rnz)〉 dz2 · · · dzd),

wobei Gn := G1 ∩ . . . ∩ Gn−1 ∩ Gn+1 ∩ GN . Daher erhalten wir nach Rucktransformationz 7→ p := an +Rnz, dass∫

G

∇ · g(p) ddp =N∑n=1

∫En∩Gn

〈nn|g(p)〉 dσ(p) =

∫∂G

〈nn|g(p)〉 dσ(p). (X.57)

Wir kommen nun zum Gaußschen Satz:

Satz X.11 (Gaußscher Satz). Sei G ⊆ Rd ein beschranktes Gebiet, so dass ∂G eine zulassige,nach außen orientierte parametrisierte Hyperflache der Dimension d − 1 ist. Sei ε > 0 undg ∈ C1(G(ε);Rd). Dann ist ∫

∂G

⟨g(p)

∣∣np⟩ dσ(p) =

∫G∇ · g(p) ddp. (X.58)

Beweis. Den Beweis des Gaußschen Satzes fuhren wir hier nicht, sondern skizzieren nur dieBeweisschritte:

• Zunachst wahlen wir zu ε > 0 endlich viele Punkte p1, . . . pL ∈ ∂G so, dass es zu jedemPunkt p ∈ ∂G ein ` ∈ ZL1 gibt, mit ‖p− p`‖ ≤ ε. Nun approximieren wir ∂G durch kleineHyperebenenstucke, die durch die Punkte p1, . . . , pL aufgespannt werden.

• Das Gebiet G ersetzen wir durch das innere, den Normalenvektoren abgewandte GebietGε, das durch diese Hyperebenenstucke ∂Gε eingeschlossen wird. Im Limes ε → 0 kannman in (X.58) G durch Gε und ∂G durch ∂Gε ersetzen.

• Das Gebiet Gε zerlegen wir nun durch geeignete Schnitte in endlich viele paarweise dis-junkte konvexe Polytope P

(1)ε , . . . , P

(K)ε , d.h. Gε = P

(1)ε ∪ · · · ∪ P (K)

ε und P(i)ε ∩ P (j)

ε = ∅,fur i 6= j.

• Auf jedes dieser Polytope wenden wir Lemma X.10 an und beachten, dass sich die In-tegrale

∫∂P

(i)ε

⟨g(p)

∣∣np⟩ dσ(p) fur gemeinsame Randflachen benachbarter Polytope geradewegheben.

• So erhalten wir in Summe die Behauptung fur das Gebiet Gε und im Limes ε → 0 auchfur G.

164

ENTW


KAPITEL X. GAUSSSCHER SATZ UNDSTOKESSCHER SATZ X.4. STOKESSCHER SATZ IN R2 UND R3

X.4 Stokesscher Satz in R2 und R3

Fur die Formulierung des Stokeschen Satzes brauchen wir eine Verscharfung des Begriffs einerzusammenhangenden Menge.

Definition X.12. Ein topologischer Raum (M,T) heißt einfach zusammenhangend, fallssich jeder geschlossene Weg η ∈ C

([0, 1];M

)in M , η0 = η1, stetig zu einem Punkt zusammenzie-

hen lasst, d.h. es existiert eine Schar(γ(α)

)α∈[0,1]

geschlossener Wege γ(·)(·) ∈ C

([0, 1]× [0, 1];M

),

sodass

∀t ∈ [0, 1] : γ(0)t = η0, (X.59)

∀α ∈ [0, 1] : γ(α)0 = γ

(α)1 = η0, (X.60)

∀t ∈ [0, 1] : γ(1)t = ηt. (X.61)

Satz X.13 (Stokesscher Satz in R2). Seien G ⊆ R2 ein beschranktes, zulassiges, einfach zu-sammenhangendes Gebiet mit Rand ∂G ⊆ R2 und ε > 0 sowie G(ε) := G + B(0, ε). Seieng ∈ C1

(G(ε);R2

)ein Feld und

∇∧ g(p) := rot g(p) :=∂g2

∂p1

− ∂g1

∂p2

. (X.62)

Dann ist ∫G

∇∧ g(p) d2p =

∫∂G

g(p) · dσ(p). (X.63)

Beweis. Wir definieren fur g(p) =(g1(p), g2(p)

)Tf(p) :=

(g2(p)−g1(p)

). (X.64)

Dann ist f ∈ C1(G(ε);R2

)und außerdem ist

∇ · f =∂f1

∂p1

+∂f2

∂p2

=∂g2

∂p1

− ∂g1

∂p2

= ∇∧ g. (X.65)

Weiterhin ist ∂G orientiert, und zwar mit unserer Konvention gegen den Uhrzeigersinn. Daruberhinaus nehmen wir an, dass γ ∈ C1

([0, 1];R2

)eine geschlossene, doppelpunktsfreie Parametri-

sierung von ∂G ist, d.h. γ(0) = γ(1) ∈ ∂G, γ injektiv und γ([0, 1]

)= ∂G. (Hier geht ein, dass

G einfach zusammenhangend ist und keine “Locher” in G weitere Komponenten des Randesvon G erzeugen.) Fur t ∈ [0, 1] ist dann

bγ(t) =

(γ2(t)

−γ1(t)

). (X.66)

165

ENTW


X.4. STOKESSCHER SATZ IN R2 UND R3


Wenden wir nun den Gaußschen Satz auf f an, so erhalten wir∫G

∇∧ g(p) d2p =

∫G

∇ · f(p) d2p =

∫∂G

⟨f(p)

∣∣np⟩ dσ(p) =

∫ 1

0

⟨f [γ(t)]

∣∣∣bγ(t)

⟩dt

=

∫ 1

0

g2[γ(t)]γ2(t) + g1[γ(t)]γ1(t)

dt =

∫ 1

0

⟨g[γ(t)]

∣∣∣γ(t)⟩dt

=

∫∂G

g(p) · dσ(p) (X.67)


• In R2 ist ∇ ∧ g kein Vektor, sondern eine Zahl. Den Zusammenhang zwischen ∇ ∧ g furg : R2 → R2 und ∇ ∧ g fur g : R3 → R3 kann man eigentlich nur mit Differentialfor-men verstehen. Als Differentialform ist ∇ ∧ g namlich eine 2-Form, unabhangig von derDimension D.

• Der Satz von Stokes in R2 ist also eine einfache Folgerung aus dem Satz von Gauß in R2.

• Die Annahme im Beweis, dass es mit γ ∈ C1([0, 1];R2

)eine geschlossene, doppelpunkts-

freie Parametrisierung von ∂G gibt, fußt auf der Annahme, dassG einfach zusammenhangendist und keine “Locher” in G weitere Komponenten des Randes von G erzeugen.

Fur die erste Anwendung des Stokesschen Satzes in der Physik erinnern wir nochmals an dieDefinition eines konservativen Kraftfeldes

Definition X.14. Ein Vektorfeld g ∈ C1(R2;R2) heißt konservativ

:⇔ ∀γ ∈ C1([0; 1],R2

), γ(0) = γ(1), ‖γ‖ > 0 :

∫γ([0,1])

g(p) · dσ(p) = 0. (X.68)

Insbesondere sind Potentialfelder, also Vektorfelder, die sich als Gradient g = ∇φ einer reellwer-tigen Funktion φ schreiben lassen, konservativ. Wir wollen nun zeigen, dass diese Eigenschaftaquivalent zur Wirbelfreiheit ∇∧ g = 0 des Vektorfeldes g ist.

Satz X.15. Sei g ∈ C1(R2;R2). Folgende Aussagen sind aquivalent:

g ist konservativ (X.69)

⇔ ∃φ ∈ C2(R2;R) : g = ∇φ (X.70)

⇔ g ist wirbelfrei, d.h. ∀p ∈ R2 : ∇∧ g(p) = 0. (X.71)

Beweis.(X.70) ⇒ (X.69): Ist γ ∈ C1

([0; 1],R2

), mit γ(0) = γ(1), ‖γ‖ > 0 und Γ := γ([0, 1]) ein

geschlossener Weg, so ist∫Γ

g(p) · dσ(p) =

∫ 1

0

⟨g[γ(t)]

∣∣∣γ(t)⟩dt =

∫ 1

0

⟨∇φ[γ(t)]

∣∣∣γ(t)⟩dt

=

∫ 1

0

(d

dt

[φ[γ(t)]

])dt = φ[γ(1)]− φ[γ(0)] = 0. (X.72)

166

ENTW



und g ist konservativ.

(X.69) ⇒ (X.71): Sei p ∈ R2 irgendein vorgegebener Punkt und G := B(p, δ) die Kugel um pvom Radius δ > 0. Nach dem Stokesschen Satz gilt

0 =

∫∂G

g(y) · dσ(y) =

∫G

∇∧ g(y) d2y, (X.73)

da g konservativ ist. Nun ist g ∈ C1, und ∇∧ g ist somit stetig in p, daher gilt

∇∧ g(p) = limδ→0

1

π δ2

∫G

∇∧ g(y) d2y

= 0. (X.74)

Da p ∈ R2 beliebig war, ist somit g wirbelfrei.

(X.71) ⇒ (X.70): Sei g wirbelfrei, dann gilt also fur j, k ∈ 1, 2:

∂gk(p)

∂pj=

∂gj(p)

∂pk. (X.75)

Wir wahlen z ∈ R2 beliebig, aber fest, und setzen (unter der Vorgabe, dass φ(z) = 0 sein soll)

φ(p) :=

∫ 1

0

⟨g(z + t(p− z)

)∣∣∣(p− z)⟩dt. (X.76)

Nun berechnen wir ∇φ(p) (mit d = 2),

∂φ(p)

∂pk=

∫ 1

0

d∑j=1

∂

∂pk

⟨g(z + t(p− z)

)∣∣∣(p− z)⟩

dt

=

∫ 1

0

(d∑j=1

⟨∂gj(z + t(p− z))

∂pk

∣∣∣t(pj − zj)⟩ + gk(z + t(p− z)

))dt

=

∫ 1

0

(td

dt

[∂gk(z + t(p− z)

)]+ gk

(z + t(p− z)

))dt (X.77)

=

∫ 1

0

(d

dt

[t gk(z + t(p− z)

)])dt =

[t gk(z + t(p− z)

)]1

0= gk(p).

Also ist ∇φ = g. Da g ∈ C1, ist auch φ ∈ C2.


• Ist G ⊆ R2 ein nicht notwendig einfach zusammenhangendes Gebiet, g ∈ C1(G;R3

)wirbelfrei (d.h. ∇∧ g(p) = 0, fur alle p ∈ G), so ist g auch nicht notwendig konservativ.

167

ENTW


X.4. STOKESSCHER SATZ IN R2 UND R3


• Dies illustrieren wir an folgendem Beispiel: SindG := R2\0 und g(p) :=(−p2|p|−1, p1|p|−1

),

fur p ∈ G. Dann ist, fur alle p ∈ G,

∇∧ g(p) =∂g2

∂p1

− ∂g1

∂p2

=∂

∂p1

(p1√p2

1 + p22

)+

∂

∂p2

(p2√p2

1 + p22

)

=1√

p21 + p2

2

− p21√

p21 + p2

2

3 +1√

p21 + p2

2

− p22√

p21 + p2

2

3 = 0. (X.78)

Der Rand ∂D von D := z : 0 < |z| < 1 wird parametrisiert durch γ ∈ C∞([0, 2π];G

),

γt :=

(cos(t)sin(t)

), γt :=

(− sin(t)cos(t)

), (X.79)

und dem Punkt 0, d.h. ∂D = γ([0, 2π]

)∪ 0. Der Punkt 0 liefert aber keinen Beitrag zu

den Integralen, deshalb ist∫∂D

g(p) · d1σ(p) =

∫ 2π

t=0

⟨g(γt)

∣∣ γt⟩ dt =

∫ 2π

t=0

⟨(− sin(t)cos(t)

) ∣∣∣∣ (− sin(t)cos(t)

)⟩dt

=

∫ 2π

t=0

1 dt = 2π 6= 0 =

∫D\0

∇∧ g(p) d2p. (X.80)

• Als Nachstes erinnern wir an die Definition der Rotation eines Vektorfeldes im d = 2Dimensionen:

∀g ∈ C1(R2;R2

): ∇∧ g(p) := ∂1g2(p)− ∂2g1(p) :=

∂g2(p)

∂p1

− ∂g1(p)

∂p2

. (X.81)

Es ist also ∇∧ g ∈ C0(R2;R).

• Im Gegensatz dazu ist in drei Dimensionen die Rotation von g wie folgt definiert:

∀g ∈ C1(R3;R3) : ∇∧ g(p) :=

∂2g3 − ∂3g2

∂3g1 − ∂1g3

∂1g2 − ∂2g1

. (X.82)

Es ist dann also ∇∧ g ∈ C0(R3;R3). Wir bemerken hier, dass auch fur d = 3 gilt:

g wirbelfrei :⇔ ∇∧ g ≡ 0 ⇔ ∀i, j :∂gi∂pj

≡ ∂gj∂pi

. (X.83)

Wir konnen nun auch die Folgerung uber konservative Kraftfelder auf den 3-dimensionalen Fallubertragen:

Satz X.16. Seien G ⊆ R3 ein einfach zusammenhangendes Gebiet und g ∈ C1(G;R3) einstetig differenzierbares Vektorfeld auf G. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

g ist konservativ; (X.84)

⇔ ∃φ ∈ C2(R3;R) : g = ∇φ; (X.85)

⇔ g ist wirbelfrei. (X.86)

168

ENTW



Beweis. Analog zu Satz X.15.

Auch die Verallgemeinerung des Stokesschen Satzes inR2 auf 2-dimensionale, inR3 eingebetteteMannigfaltigkeiten M ⊆ R3 gilt nur unter der Annahme, dass M einfach zusammenhangend ist.Weniger wichtig ist hingegen, dass der Rand ∂M selbst eine Mannigfaltigkeit ist; der StokesscheSatz in R3 lasst sich auch auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern, die sich selbst oder derenRand sich aus endlich vielen C2-Stucken zusammensetzt.

Satz X.17 (Stokesscher Satz im R3). Sind M ⊆ R3 eine beschrankte, eingebettete, ein-fach zusammenhangende, orientierte 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M und g ∈C1(R3;R3) ein stetig differenzierbares Vektorfeld, so ist∫

M

⟨∇∧ g(p)

∣∣np⟩ d2σ(p) =

∫∂M

g(p) · d1σ(p). (X.87)

169

ENTW


X.5. ERGANZUNGEN


X.5 Erganzungen

X.5.1 Norm des Normalenvektors und Gramsche Determinante

Beweis von (X.7) Wir bemerken zunachst, dass

gψ(u) = det[G(ψ, u)] =∑

σ∈Sd−1

(−1)σ〈vσ(1)|v1〉 · · · 〈vσ(d−1)|vd−1〉 (X.88)

=d∑

j1,...,jd−1=1

∑σ∈Sd−1

(−1)σ vj1σ(1) vj11 · · · v

jd−1

σ(d−1) vjd−1

d−1 .

Tatsachlich tragen nur Terme zur letzten Summe in (X.88) bei, fur die alle j1, . . . , jd−1 paarweiseverschieden sind. Ist namlich z. B. j1 = j2 =: k, so ist

X :=∑

σ∈Sd−1

(−1)σ vj1σ(1) vj11 vj2σ(2) v

j22 vj3σ(3) v

j33 · · · v

jd−1

σ(d−1) vjd−1

d−1

=∑

σ∈Sd−1

(−1)σ vkσ(1) vk1 v

kσ(2) v

k2 v

j3σ(3) v

j33 · · · v

jd−1

σ(d−1) vjd−1

d−1

=∑

σ∈Sd−1

(−1)σ vkσ(2) vk1 v

kσ(1) v

k2 v

j3σ(3) v

j33 · · · v

jd−1

σ(d−1) vjd−1

d−1

=∑

σ∈Sd−1

(−1)σ vkστ(1) vk1 v

kστ(2) v

k2 v

j3στ(3) v

j33 · · · v

jd−1

στ(d−1) vjd−1

d−1

= −∑

σ∈Sd−1

(−1)στ vkστ(1) vk1 v

kστ(2) v

k2 v

j3στ(3) v

j33 · · · v

jd−1

στ(d−1) vjd−1

d−1

= −X = 0, (X.89)

wobei τ : (1, 2, 3, . . . , d− 1) 7→ (2, 1, 3, . . . , d− 1) die Transposition der ersten beiden Elementenotiert. Wir konnen die Summation in (X.88) also auf die d− 1-Tupel (j1, . . . , jd−1) restringie-ren, die eine d − 1-elementige Teilmenge von Zd1 sind. Sind aber j1, . . . , jd−1 festgelegt, dannist auch das ubrigbleibende Element in Zd1 \ j1, . . . , jd−1 determiniert. Wir konnen daherdie Summation uber j1, . . . , jd−1 als Summation uber alle Permutationen in Sd auffassen underhalten

g(p, φ) =∑π∈Sd

∑σ∈Sd−1

(−1)σvπ(1)σ(1) v

π(1)1 · · · vπ(d−1)

σ(d−1) vπ(d−1)d−1 (X.90)

=d∑j=1

∑π,σ∈Sd

π(d)=j,σ(d)=d

(−1)σ vπ(1)σ(1) v

π(1)1 · · · vπ(d−1)

σ(d−1) vπ(d−1)d−1 .

170

ENTW


KAPITEL X. GAUSSSCHER SATZ UNDSTOKESSCHER SATZ X.5. ERGANZUNGEN

Mit der Variablensubstitution κ := π σ−1 und unter Beachtung, dass damit (−1)σ = (−1)π ·(−1)κ gilt, ergibt sich schließlich

g(p, φ) =d∑j=1

∑π,σ∈Sd

π(d)=κ(d)=j

(−1)π · (−1)κ vπ(1)1 v

κ(1)1 · · · vπ(d−1)

d−1 vκ(d−1)d−1

=d∑j=1

bj bj =⟨b(p, φ)

∣∣ b(p, φ)⟩

(X.91)

und somit (X.7).

X.5.2 Beweis des Stokesschen Satzes in R3

Lemma X.18. Wir definieren das total antisymmetrische Symbol ε : Z31 ×Z3

1 ×Z31 → Z

durch

εi,j,k :=

1 falls i, j, k = 1, 2, 3und (1, 2, 3) 7→ (i, j, k) eine gerade Permutation ist,

−1 falls i, j, k = 1, 2, 3und (1, 2, 3) 7→ (i, j, k) eine ungerade Permutation ist,

0 falls i = j oder j = k oder i = k gilt.

(X.92)

Dann gelten

∀A = (ai,j)3i,j=1 ∈M3×3(R) :

3∑i,j,k=1

εi,j,k a1,i a2,j a3,k , (X.93)

∀i, j, `,m ∈ Z31 :

3∑k=1

εi,j,k ε`,m,k =(1− δi,j

) (δi,` δj,m − δi,m δj,`

). (X.94)

Beweis. Glg. (X.93) folgt trivial aus dem Leibnizschen Entwicklungssatz.(X.94): Dazu beobachten wir, dass εi,j,k ε`,m,k 6= 0 bedingt, dass i 6= j, ` 6= m und i, j =

Z31 \ k = `,m gelten. Also gibt es zwei Falle:

• Sind i = ` und j = m, so ist εi,j,k ε`,m,k = ε2i,j,k = 1. Die Summation uber i liefert diesenBeitrag genau einmal, namlich wenn k ∈ Z3

1 \ i, j.

• Sind i = m und j = `, so ist εi,j,k ε`,m,k = −1. Auch liefert die Summation uber k diesenBeitrag genau einmal, namlich wenn k ∈ Z3

1 \ i, j.

Beweis von Satz X.17: Wir nehmen vereinfachend an, dass M durch eine einzige Parametri-sierung ψ ∈ C2(G;R3) gegeben ist, wobei G ⊆ R2 offen und einfach zusammenangend ist undM = ψ(G), also dass φ = (M,ψ−1) ein Atlas von M ist. Wir schreiben vα(x) := vα

(ψ(x), φ

).

171

ENTW


X.5. ERGANZUNGEN


Wir definieren f ∈ C1(G;R2) durch

f(x) :=

(⟨g[ψ(x)]

∣∣v1(x)⟩⟨

g[ψ(x)]∣∣v2(x)

⟩) , (X.95)

also, fur x ∈ G und α ∈ Z21,

fα(x) :=3∑i=1

gi[ψ(x)]∂ψi(x)

∂xα, (X.96)


∇∧ f(x) =∂f2(x)

∂x1

− ∂f1(x)

∂x2

=3∑i=1

∂

∂x1

(gi[ψ(x)]

∂ψi(x)

∂x2

)−

3∑i=1

∂

∂x2

(gi[ψ(x)]

∂ψi(x)

∂x1

)

=3∑

i,j=1

[ ∂

∂x1

(gi[ψ(x)]

)] ∂ψi(x)

∂x2

−[ ∂

∂x2

(gi[ψ(x)]

)] ∂ψi(x)

∂x1

=3∑

i,j=1

(∂gi[ψ(x)]

∂xj

) (∂ψi(x)

∂x2

∂ψj(x)

∂x1

− ∂ψi(x)

∂x1

∂ψj(x)

∂x2

)

=3∑

i,j=1

(∂igj[ψ(x)]− ∂jgi[ψ(x)]

)vi1(x) vj2(x). (X.97)

Fur x = ψ(x) ∈ M , x = (x1, x2)T ∈ G sind dann andererseits der Normalenvektor b(p, φ) =(b1, b2, b3)T ∈ R3 und die Rotation von g gegeben durch

bk(p, φ) =3∑

i,j=1

εi,j,k vi1(x) vj2(x), (X.98)

(∇∧ g)k(p) =3∑

`,m=1

ε`,m,k ∂`gm(p). (X.99)

172

ENTW


KAPITEL X. GAUSSSCHER SATZ UNDSTOKESSCHER SATZ X.5. ERGANZUNGEN

Nach (X.94) ist dann also

⟨∇∧ g(p)

∣∣b(p, φ)〉 =3∑

i,j=1

3∑`,m=1

( 3∑k=1

εi,j,k ε`,m,k

)∂`gm(p) vi1(x) vj2(x)

=3∑

i,j=1

3∑`,m=1

(1− δi,j

) (δi,` δj,m − δi,m δj,`

)∂`gm(p) vi1(x) vj2(x)

=3∑

i,j=1

(1− δi,j

) (∂igj(p)− ∂jgi(p)

)vi1(x) vj2(x) (X.100)

=3∑

i,j=1

(∂igj(p)− ∂jgi(p)

)vi1(x) vj2(x) = ∇∧ f(x).

Damit erhalten wir zusammen mit dem Satz X.13 von Stokes in R2, dass∫M

⟨∇∧ g(p)

∣∣np⟩ d2σ(p) =

∫G

⟨∇∧ g[ψ(x)]

∣∣b(ψ(x), φ)⟩d2x =

∫G

∇∧ f(x) d2x

=

∫∂G

f(x) · d1σ(x) =

∫ 1

0

⟨f [γ(t)]

∣∣γ(t)⟩dt, (X.101)

wobei γ ∈ C1([0, 1];R2

)mit γ

([0, 1]

)= ∂G eine geeignete Parametrisierung des Randes ∂G

von G ist. Nun ist aber

⟨f [γ(t)]

∣∣γ(t)⟩

=2∑

α=1

fα[γ(t)] γα(t) =3∑i=1

gi(ψ[γ(t)]

) 2∑α=1

∂ψi[γ(t)]

∂xαγα(t)

=

⟨g([ψ γ](t)

) ∣∣∣∣ ddt([ψ γ](t))⟩

, (X.102)

und ψ γ ∈ C1([0, 1];R3

)mit [ψ γ]

([0, 1]

)= ∂M ist eine zulassige Parametrisierung des

Randes ∂M von M . Daher ist∫ 1

0

⟨f [γ(t)]

∣∣γ(t)⟩dt =

∫ 1

0

⟨g([ψ γ](t)

) ∣∣∣∣ ddt([ψ γ](t))⟩

dt =

∫∂M

g(p) · d1σ(p). (X.103)

173

ENTW


KAPITEL XI. GEWOHNLICHEDIFFERENZIALGLEICHUNGEN

Kapitel XI

GewohnlicheDifferenzialgleichungen

XI.1 Definitionen von Differenzialgleichungen

und Losungen

Definition XI.1.

(i) Sei D ⊆ Rd+1 ein Gebiet (d.h. D ist offen und einfach zusammenhangend) und F : D →R. Die Gleichung

F[t, x(t),

dx(t)

dt, . . . ,

dnx(t)

dtn

]= 0 (XI.1)

nennen wir implizite Differenzialgleichung n. Ordnung.

(ii) Ist F von der Form dnx(t)dtn− f

(t, x(t), dx(t)

dt, . . . , d

n−1x(t)dtn−1

), so heißt

dnx(t)

dtn= f

[t, x(t),

dx(t)

dt, . . . ,

dn−1x(t)

dtn−1

](XI.2)

explizite Differenzialgleichung (ODE) n. Ordnung.

(iii) Ist x : (a, b)→ R eine k-mal differenzierbare Funktion, fur die(t, x(t), dx(t)

dt, . . . , d

nx(t)dtn

)∣∣∣ t ∈ (a, b)

⊆ D, (XI.3)

und die (XI.1) erfullt, so nennen wir x Losung der Differenzialgleichung (XI.2).

174

ENTW



XI.2. EXPLIZIT LOSBARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

ERSTER ORDNUNG

Bemerkungen und Beispiele.Die Theorie der gewohnlichen Differenzialgleichungen untersucht die Losbarkeit und ggf. dieLosungen expliziter Differenzialgleichungen des Typs (XI.2). Genauer fragen wir:

• Welche Bedingungen sind (z.B. an f) zu stellen, damit (XI.2) eine Losung besitzt (Existenz)?

• Welche zusatzlichen Bedingungen sichern dann die Eindeutigkeit dieser Losung?

• Welche Eigenschaften besitzt die Losung;

– Konnen wir die Losung explizit angeben?

– Was ist das Verhalten der Losung bei Singularitaten?

– Was ist das Verhalten der Losung x(t) fur t→∞?

• Gibt es Verallgemeinerungen von (XI.2) zu

– vektorwertigen Funktionen x(t)?

– Funktionen mehrerer Veranderlicher? (Diese Frage fuhrt auf partielle Differenzial-gleichungen, die nicht Gegenstand dieser Vorlesung sind.)

XI.2 Explizit losbare Differenzialgleichungen

erster Ordnung

Bevor wir die allgemeine Theorie zur Existenz und Eindeutigkeit von Losungen gewohnlicherDifferenzialgleichungen entwickeln, bestimmen wir die Losungen einiger Differenzialgleichungs-typen explizit. Dies verschafft uns auch einen Eindruck uber die zu erwartenden Grenzen derzu beweisenden Aussagen.

XI.2.1 Richtungsfelder und Linienelemente

Wir betrachten ein Gebiet D ⊆ R2 und f ∈ C(D,R). Zur Losung der gewohnlichen Differen-zialgleichung (ODE)

x(t) :=dx

dt(t) = f

[t, x(t)

](XI.4)

geben wir eine graphische Methode an. Dazu zeichnen wir an jeden Punkt (t, x) ∈ D einen(Tangenten-)Vektor v(t, x) ∈ R2 der Lange 1 und mit Steigung f(t, x), d.h.

v(t, x) :=1√

1 + f(t, x)2

(1

f [t, x]

). (XI.5)

Das so erhaltene Tripel(t, x, v(t, x)

)bezeichnen wir als Linienelement und die Abbildung D 3

(t, x) 7→ v(t, x) ∈ R2 als Vektorfeld oder Richtungsfeld. Nun erhalten wir Losungskurvenx(·) durch Verbinden der Richtungsvektoren.

175

ENTW



ERSTER ORDNUNG


Aus diesem Verfahren ist sofort ersichtlich, dass die Losungen von ODE (XI.4) nicht eindeutigsind. Fugt man jedoch einen Anfangswert x(t0) = x0 hinzu,

∀t > t0 : x(t) = f [t, x(t)], x(t0) = x0, (XI.6)

dann ist die Losung dieses Anfangswertproblems (AWP, IVP) eindeutig.

XI.2.2 Rechte Seite ist unabhangig von x

Seien I = (a, b) ein Intervall mit a < b und f ∈ C(I,R). Die ODE

x(t) = f [t] (XI.7)

ist trivial durch Integration losbar. Integrieren wir (XI.7) nach t, so erhalten wir

x(t)− x(t0) =

∫ t

t0

x(s) ds =

∫ t

t0

f(s) ds, (XI.8)

fur alle t, t0 ∈ I, wobei wir fur α > β hier und im Weiteren die Konvention∫ β

α

g(s) ds := −∫ α

β

g(s) ds (XI.9)

verwenden. Also ist

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s) ds, (XI.10)

wobei x0 ∈ R frei gewahlt und z. B. durch eine Anfangsbedingung bestimmt werden kann.

Bemerkungen und Beispiele.• In (XI.10) und auch in der weiteren Vorlesung integrieren wir immer stetige Funktionen.Deshalb fallen Lebesgue-Integral und Riemann-Integral zusammen, und wir konnen alle auftre-tenden Integrale als Riemann-Integrale auffassen.

XI.2.3 Rechte Seite ist unabhangig von t

Seien abermals I = (a, b) ein Intervall mit a < b und f ∈ C(R,R+) eine positive Funktion.Ahnlich wie (XI.7) konnen wir

x = f [x(t)] (XI.11)

durch Integration trivial losen. Dazu beobachten wir, dass jede Losung x : I → J := x(I)invertibel ist, da x = f [x] > 0. Bezeichnen wir mit T : J → I die zugehorige Umkehrfunktion,d.h. T x = 1I und x T = 1J , so erhalten wir fur jedes y ∈ J

dT (y)

dy=

1

x[T (y)]=

1

f(x[T (y)]

) =1

f [y]. (XI.12)

Diese ODE ist jedoch vom Typ (XI.7), und daher ist

T (y) = t0 +

∫ y

y0

dy

f(y). (XI.13)

Die gesuchte Losung x erhalten wir nun durch Bilden der Umkehrfunktion x = T−1. Diese kanni.A. nicht durch elementare Funktionen ausgedruckt werden.

176

ENTW




ERSTER ORDNUNG


• Seien I = R+ und f(x) := λx, mit λ > 0. Fur y, y0, t0 > 0 und erhalten wir

T (y) = t0 +

∫ y

y0

dy

λ y= t0 +

1

λln( yy0

). (XI.14)

Zur Berechnung der Umkehrfunktion setzen wir jetzt T (y) =: t und losen (XI.14) nach yauf,

x(t) = y0 exp[λ (t− t0)

]= x0 exp[λ t], (XI.15)

wobei wir die frei wahlbaren Konstanten y0 und t0 durch x0 = y0 e−λt0 zusammenfassen.

• Eine nutzliche Merkregel fur diese Losungsmethode istdx

dt= f [x]

”⇔ “

dx

f [x]= dt

”⇔ “

∫ x

x0

dx

f(x)= t(x)− t(x0)

. (XI.16)

• Sei nun I = R und f(x) =√|x| (wobei wir ausnahmsweise f(x) = 0 zulassen).

- Wir betrachten zunachst positive Losungen x > 0. Aus (XI.13) erhalten wir mity0 := 0, dass

T (y) = t2 +

∫ y

0

dx√|x|

= t2 + 2√y, (XI.17)

und Auflosen nach y mit t := T (y) liefert die Losung

x(t) = 14(t− t2)2 (XI.18)

der ODE x =√|x|, wobei t2 ∈ R eine frei wahlbare Konstante ist.

- Nun beobachten wir dass mit x auch x(t) := −x(−t) eine Losung dieser ODE ist.Mit dieser Substitution erhalten wir eine weitere Familie von Losungen

x(t) = −14

(t− t1)2, (XI.19)

wobei auch t1 ∈ R frei wahlbar ist.

- Schließlich ist auch x(t) ≡ 0, t ∈ R eine Losung dieser ODE, und wir erhalten ausdiesen drei Losungen durch abschnittweise Definition eine zweiparametrige Scharvon Losungen der ODE x =

√|x|, namlich

xt1,t2(t) :=

−1

4(t− t1)2 falls t ≤ t1,

0 falls t1 ≤ t ≤ ts,14(t− t2)2 falls t2 ≤ t.

(XI.20)

Man pruft leicht nach, dass fur jedes Paar −∞ < t1 < t2 <∞ die Funktion xt1,t2 ∈C1(R) eine stetig differenzierbare Losung der ODE x =

√|x| ist.

- Wahlen wir nun beispielsweise einmal t1 := 0, t2 := 1 und ein anderesmal t1 := 0,t2 := 2, so sind x0,1 und x0,2 zwei auf R− identische Losungen, die sich jedoch auf(1,∞) unterscheiden.

Aus diesem Beispiel lernen wir, dass Losungen von ODE auch dann nicht notwendigeindeutig sind, wenn f ∈ C(J) und ein Anfangswert spezifiziert wird.

177

ENTW



ERSTER ORDNUNG


XI.2.4 Trennung der Veranderlichen

Seien I = (a, b) und J = (c, d), mit a < b und c < d zwei Intervalle und f ∈ C(I;R),g ∈ C(J ;R). Wir betrachten die ODE

x(t) = f [t] · g[x]. (XI.21)

Satz XI.2. Seien a < t0 < b, I = (a, b) und f ∈ C(I;R). Seien weiterhin c < x0 < d,J = (c, d) und g ∈ C(J ;R), mit g(x0) 6= 0 (also g > 0 auf J oder g < 0 auf J). Dann gibtes eine offene Umgebung U ⊆ I von t0 ∈ U und eine eindeutige Losung x ∈ C1(U ; J) derODE (XI.21), die den Anfangswert x(t0) = x0 ∈ J annimmt. Diese Losung erhalt man durchAuflosen der Gleichung ∫ x(t)

x0

dx

g(x)=

∫ t

t0

f(s) ds (XI.22)

nach x(t).

Beweis. Nach Voraussetzung gilt entweder g > 0 auf J oder g < 0 auf J . Wir betrachten nurden Fall g > 0, der andere Fall wird analog behandelt. Fur x ∈ J definieren wir

G(x) :=

∫ x

x0

dx

g(x). (XI.23)

Dabei beachten wir, dass fur x ≥ x0 die stetige Funktion g auf dem Kompaktum [x0, x] ⊂ Jihr positives Minimum miny∈[x0,x]g(y) > 0 annimmt. Deshalb ist 1/g auf [x0, x] beschrankt,stetig und somit integrabel. Dasselbe gilt naturlich auch fur x < x0. Offenbar ist G ∈ C1(J ;R+)und streng monoton steigend,

∀x ∈ J : G′(x) =1

g(x)> 0. (XI.24)

Daher besitzt G : J → G(J) eine inverse Funktion H : G(J)→ J ,

G H = 1G(J), H G = 1J . (XI.25)

Weiterhin ist G(J) offen und enthalt 0 = G(x0). Letzteres impliziert, dass H(0) = x0. Außerdemgilt nach der Kettenregel

H ′(z) =1

G′[H(z)]=

11

g[H(z)]

= g[H(z)], (XI.26)

fur alle z ∈ G(J). Jetzt setzen wir

x(t) := H

(∫ t

t0

f(s) ds

), (XI.27)

fur t ∈ U ⊆ I in einer Umgebung U 3 t0 von t0, die so klein gewahlt ist, dass

∀t ∈ U :

∫ t

t0

f(s) ds ∈ G(J). (XI.28)

178

ENTW




ERSTER ORDNUNG

Die Existenz dieser Umgebung U ist durch 0 ∈ G(J) und die Stetigkeit von f garantiert. DaH ∈ C1[G(J);R], ist auch x ∈ C1(U ;R), und eine Anwendung der Kettenregel sowie (XI.27)liefern

x(t) = H ′(∫ t

t0

f(s) ds

)· f(t) = g

[H

(∫ t

t0

f(s) ds

)]· f(t) = g

[x(t)

]· f(t). (XI.29)

Somit ist x ∈ C1(U ; J) eine Losung der ODE (XI.21) und genugt der Anfangbedingung

x(t0) = H(0) = x0. (XI.30)

Sei nun x ∈ C1(U ; J) eine weitere Losung von (XI.21) mit x(t0) = x0. Fur t ∈ U betrachtenwir

R(t) := G[x(t)] − G[x(t)]. (XI.31)

Offensichtlich ist R(t0) = G(x0)−G(x0) = 0, und wir beobachten dass

R(t) =1

g[x(t)]· dx(t)

dt− 1

g[x(t)]· dx(t)

dt= f(t)− f(t) = 0, (XI.32)

fur alle t ∈ U . Also ist R ≡ 0 auf U , d.h.

∀t ∈ U : G[x(t)] = G[x(t)]. (XI.33)

Da G auf J invertibel ist, impliziert dies x = x auf U .


• Eine nutzliche Merkregel fur die Methode der Trennung der Veranderlichen istdx

dt= f [t] · g[x]

”⇔ “

dx

g[x]= f [t] dt

”⇔ “

∫ x

x0

dx

g[x]=

∫ t

t0

f(s) ds

. (XI.34)

• Satz XI.2 besagt, dass unter der Voraussetzung dass die rechte Seite f [t, x] der ODEx(t) = f [t, x(t)] das Produkt einer Funktion von t und einer Funktion von x ist und einAnfangswert x(t0) = x0 vorgegeben ist, diese ODE eine eindeutige Losung besitzt. Ausdiesem Grund bezeichnet man fur T > t0 die ODE

∀t ∈ (t0, T ) :dx(t)

dt= f

[t, x(t)

], x(t0) = x0, (XI.35)

als (Cauchysches) Anfangswertproblem (AWP).

Eine etwas sorgfaltigere Wahl von U fuhrt auf die folgende starkere Version von Satz XI.2, diewir ohne Beweis vorstellen.

Satz XI.3. Seien a < t0 < b, I = (a, b) und f ∈ C(I;R). Seien weiterhin c < x0 < d,J = (c, d) und g ∈ C(J ;R \ 0). Definiere I∗ ⊆ I als das großte offene Teilintervall, das t0enthalt und

∀t ∈ I∗ :

∫ t

t0

f(t) dt ∈ G(J) (XI.36)

erfullt, wobei G ∈ C1(J ;R) durch (XI.23) gegeben ist. Dann gibt es eine eindeutige Losungx ∈ C1(I∗; J) des AWP

∀t ∈ I∗ : x(t) = g[x(t)] · f(t), x(t0) = x0, (XI.37)

die man durch Auflosen von (XI.22) erhalt.

179

ENTW



ERSTER ORDNUNG


XI.2.5 Lineare ODE erster Ordnung

Definition XI.4. Seien I = (a, b), a < b, ein Intervall und g, h ∈ C(I;R). Die ODE

∀t ∈ I : x(t) + g(t)x(t) = h(t) (XI.38)

heißt (inhomogene) lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung. Die entsprechende Glei-chung fur h ≡ 0,

∀t ∈ I : x(t) + g(t)x(t) = 0 (XI.39)

heißt (homogene) lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung.

Wir betrachten zunachst die homogene lineare ODE (XI.39), die offenbar vom Typ (XI.21) istund mit Trennung der Veranderlichen gelost werden kann. Aus (XI.22) erhalten wir dann

∀t ∈ I : x(t) = x0 · exp

[−∫ t

t0

g(s) ds

], (XI.40)

fur frei wahlbare Konstanten t0 ∈ I und x0 ∈ R. Dies ist die allgemeine Form der Losung, d.h.fur jede Losung von ODE (XI.39) gibt es t0 ∈ I und x0 ∈ R, sodass diese Losung durch (XI.40)gegeben ist. Diese Eindeutigkeit ergibt sich aus Satz XI.3 - wir konnen sie aber auch direktnachprufen indem wir annehmen, z ∈ C1(I;R) sei eine Losung der homogenen linearen ODEz′ + gz = 0 und dann M ∈ C1(I;R) durch

M(t) := z(t) · exp

[ ∫ t

t0

g(s) ds

](XI.41)

definieren. Dann ist

dM(t)

dt=

dz(t)

dt· exp

[ ∫ t

t0

g(s) ds

]+ z(t) g(t) · exp

[ ∫ t

t0

g(s) ds

]= 0 (XI.42)

auf I. Mit anderen Worten: M ≡M(t0) = z(t0) ist eine Konstante und daher ist

∀t ∈ I : z(t) =1

M· exp

[ ∫ t

t0

g(s) ds

]. (XI.43)

Also sind alle Losungen von ODE (XI.39) von der Form (XI.40), d.h. bis auf den Normierungs-faktor x0, der durch den Anfangswert x0 = x(t0) bestimmt wird, ist die Losung von (XI.39)eindeutig. Die Losung x ≡ 0, die sich durch die Wahl x0 = 0 ergibt, nennen wir die trivialeLosung von (XI.39).Die inhomogene lineare ODE (XI.38) wird mit einer Methode gelost, die auf Lagrange zuruck-geht und als Variation der Konstanten bekannt ist. Fur x+ gx = h machen wir den Ansatz

x(t) := z(t) · xhom(t), (XI.44)

wobei

xhom(t) := exp

[−∫ t

t0

g(s) ds

](XI.45)

180

ENTW




ERSTER ORDNUNG

eine nichttriviale Losung der homogenen ODE ist, xhom + gxhom = 0. Wir setzen (XI.44) inODE (XI.38) ein und erhalten

h(t) = x(t) + g(t)x(t) = z(t)xhom(t) + z(t)[xhom(t) + g(t)xhom(t)

]= z(t)xhom(t), (XI.46)

also

z(t) =h(t)

xhom(t), (XI.47)

und schließlich

z(t) = z0 +

∫ t

t0

h(s) ds

xhom(s). (XI.48)

Mit der Definition

G(t) :=

∫ t

t0

g(s) ds, (XI.49)

erhalten wir damit folgenden Satz.

Satz XI.5. Seien I = (a, b), a < b, g, h ∈ C(I;R) und t0 ∈ I. Die eindeutige Losung x ∈C1(I;R) des linearen AWP

∀t ∈ I : x(t) + g(t)x(t) = h(t), x(t0) = x0 (XI.50)

ist gegeben durch

x(t) = x0 e−G(t) + e−G(t)

∫ t

t0

h(s) eG(s) ds. (XI.51)

Beweis. Dass (XI.51) das AWP (XI.50) lost und stetig differenzierbar ist, lasst sich leicht nach-rechnen. Um zu sehen, dass (XI.51) die einzige Losung von AWP (XI.50) ist, nehmen wir an,es gabe eine weitere Losung x ∈ C1(I;R) von (XI.50). Dann definieren wir y ∈ C1(I;R) durchy(t) := x(t)− x(t) und beobachten, dass wegen y(t0) = 0 und

y(t) + g(t) y(t) =dx(t)

dt− dx(t)

dt+ g(t)x(t) − g(t) x(t) = h(t)− h(t) = 0, (XI.52)

fur alle t ∈ I, die Funktion y eine Losung der homogenen linearen ODE (XI.39) mit y(t0) = 0ist. Dieses AWP wird aber auch von der trivialen Losung gelost, und wegen der Eindeutigkeitdieser Losung folgt, dass y ≡ 0, d.h. x ≡ x auf I ist.

181

ENTW


XI.3. ERGANZUNGEN


XI.3 Erganzungen

XI.3.1 Differenzialgleichungen, die auf “Trennung derVeranderlichen” zuruckgefuhrt werden konnen

(i) Wir betrachten die ODE

x(t) = f[at+ bx(t) + c

], (XI.53)

wobei a, b, c ∈ R Konstanten mit b 6= 0 sind. Mit der Substitution u(t) := at + bx(t) + c, furx(t), kann (XI.54) auf die ODE (XI.8) zuruckgefuhrt werden.

(ii) Die Homogene Differenzialgleichung

x(t) = f

[x(t)

t

], (XI.54)

wird durch die Substitution u(t) := x(t)t

auf ODE (XI.21) zuruckgefuhrt.

(iii) Die ODE

x(t) = F

[at+ bx(t) + c

dt+ ex(t) + f

](XI.55)

kann unter der Annahme, dass c, f 6= 0 und

det

(a bd e

)= ae− bd 6= 0 (XI.56)

durch die Ersetzung der Variablen t durch s := t− t0 und die Substitution z(s) := x(s+ t0)−x0

durch eine geeignete Wahl von t0 und x0 auf die ODE

dz(s)

ds= F

[a+ b z(s)

s

d+ e z(s)s

], (XI.57)

gebracht werden, also eine homogene Differenzialgleichung, s. (XI.54).

182

ENTW


KAPITEL XII. LIPSCHITZ-BEDINGUNGEN,EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT

Kapitel XII

Lipschitz-Bedingungen,Existenz und Eindeutigkeit

XII.1 Banachraume und Lipschitz-Stetigkeit

Wir erinnern an ein paar funktionalanalytische Grundbegriffe aus Kapitel I.

• Ein normierter Vektorraum(X, ‖ · ‖X

)uber K ist ein K-Vektorraum X, auf dem eine

Norm ‖ · ‖X : X → R+0 definiert ist, die die in Definition I.13 festgelegten Eingenschaften

erfullt.

• Ein Banachraum uber K ist ein vollstandiger normierter K-Vektorraum(X, ‖ · ‖X

), d.h.

jede Cauchy-Folge in X ist auch konvergent.

• Wichtige Beispiele fur Banachraume sind(Rd, ‖·‖eukl

)bzw.

(Cd, ‖·‖unit

). Diese sind sogar

Hilbertraume, und ihre Normen sind durch das euklidsche bzw. das unitare Skalarproduktdefiniert.

• Ist (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum uber K, so ist auch der Vektorraum

B(X) :=A : X → X

∣∣∣ A ist linear, ‖A‖B(X) <∞

(XII.1)

der beschrankten linearen Operatoren auf X mit der Operatornorm

‖A‖B(X) := supx∈X\0

‖Ax‖X‖x‖X

(XII.2)

ein Banachraum.

183

ENTW


XII.1. BANACHRAUME UND LIPSCHITZ-STETIGKEIT


• Fur X := Cd und ‖x‖X :=√〈x|x〉 ist

B(X) = Md×d(C) (XII.3)

der Vektorraum der komplexen d × d-Matrizen. Fur eine solche d × d-Matrix A ∈ B(X)ist die Operatornorm

‖A‖B(X) = maxλ∈σ(A)

|λ|

= max|λ1|, |λ2|, . . . , |λd|

(XII.4)

durch den Betrag des betragsgroßten Eigenwerts gegeben, wie man leicht aus dem Minimax-Prinzip, Lemma IV.8, fur A∗A erhalt.

Fur unsere Untersuchungen von Differenzialgleichungen spielen die folgenden Banachraume einebesondere Rolle.

Lemma XII.1. Seien(X, ‖ · ‖X

)ein Banachraum uber K und ρ ∈ C(R+

0 ;R+). Dann istder K-Vektorraum C(R+

0 ;X) der stetigen Funktionen R+0 → X, t 7→ x(t), ein Banachraum(

C(R+0 ;X), ‖ · ‖ρ

)bezuglich der Norm

‖x‖ρ := supt≥0

ρ(t) ‖x(t)‖X

. (XII.5)

Den Beweis von Lemma XII.1 findet man in Abschnitt XII.3.1.Ein weiterer wichtiger Begriff ist der der Lipschitz-Stetigkeit, der uns schon in Definition I.9 inForm der Kontraktionseigenschaft begegnet ist.

Definition XII.2. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum und ∅ 6= Ω ⊆ R × X eine nichtleereTeilmenge von R×X. Eine Abbildung f : Ω→ X heißt global Lipschitz-stetig (auf Ω) :⇔

∃M <∞ ∀(t, x), (t, x) ∈ Ω : ‖f(t, x)− f(t, x)‖X ≤ M ‖x− x‖X . (XII.6)

In diesem Fall heißt M globale Lipschitz-Konstante fur f .

Wir erinnern daran, dass der Banachsche Fixpunktsatz I.11 die Existenz und Eindeutigkeiteines Fixpunkts x∗ = T (x∗) einer Kontraktion T auf einem vollstandigen metrischen Raum(M,ρ) zum Inhalt hatte. Wir formulieren nun den Banachschen Fixpunktsatz nochmal fur denSpezialfall einer abgeschlossenen Teilmenge D ⊆ X eines Banachraums

(X, ‖ ·‖X

). Dabei ist X

mit der Metrik auch ρX(x, y) = ‖x−y‖X ein vollstandiger metrischer Raum(X, ρX

). Weiterhin

ist auch D ⊆ X als Teilmenge dieses metrischen Raums selbst ein metrischer Raum(D, ρX

),

dessen Vollstandigkeit schließlich durch die Abgeschlossenheit von D ⊆ X garantiert wird.

Satz XII.3 (Banachscher Fixpunktsatz). Seien (X, ‖·‖) ein Banachraum und ∅ 6= D = D ⊆ Xeine nichtleere, abgeschlossene Teilmenge. Sei weiterhin T : D → D eine Kontraktion aufD, d.h. T sei Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante echt kleiner als Eins,

‖T‖D < 1. (XII.7)

Dann hat T einen eindeutigen Fixpunkt x∗ ∈ D, d.h. die Fixpunktgleichung

x = T (x) (XII.8)

besitzt eine eindeutige Losung x∗ ∈ D. Außerdem gilt

∀ x0 ∈ D, n ∈ N : ‖x∗ − T n(x0)‖ ≤ ‖T (x0)− x0‖1− ‖T‖D

‖T‖nD. (XII.9)

184

ENTW



XII.2. GLOBALE EXISTENZ FUR

DIFFERENZIALGLEICHUNGEN AUF BANACHRAUMEN

XII.2 Globale Existenz fur

Differenzialgleichungen auf Banachraumen

In Analogie zum Begriff des AWP fur reellwertige Funktionen fuhren wir nun ein allgemeinesAnfangswertproblem auf Banachraumen ein. Dazu erinnern wir zuerst nochmal an die Definitionder totalen Ableitung einer Funktion χ : U → X, wobei U ⊆ T eine offene Teilmenge einesBanachraums

(T, ‖ · ‖T

)mit Werten in einem anderen Banachraum

(X, ‖ · ‖X

): Die Abbildung

χ heißt total differenzierbar auf U , falls es zu jedem t0 ∈ U eine beschrankte lineare Abbildungχ′[t0] ∈ B[T ;X] gibt, sodass

limt→t0

‖χ(t)− χ(t0)− χ′[t0] (t− t0)‖X

‖t− t0‖T

= 0. (XII.10)

Ist speziell T = R, so konnen wir B[R;X] mit X identifizieren, und die totale Differenzierbarkeitvon χ ist offensichtlich gleichwertig mit der Existenz des (Norm-)Limes

limt→t0

χ(t)− χ(t0)

t− t0

= χ′[t0] ∈ X. (XII.11)

Ist χ′ : U → X daruber hinaus stetig auf U , so nennen wir χ stetig differenzierbar, χ ∈C1(U ;X).Dies ist der gleiche Ableitungsbegriff wie in Analysis 1, mit dem einzigen Unterschied, dassdie Funktion χ nicht reellwertig, sondern banachraumwertig ist. Als Nachstes stellt sich dieFrage, ob sich auch der Integralbegriff auf banachraumwertige Funktionen erweitern lasst. DieseFrage hat sehr aufwandige Antworten, sofern man an die Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals denkt. Auch die Konstruktion des Riemann-Integrals mit Ober- und Untersummenlasst sich offensichtlich nur fur reelle Funktionen durchfuhren. Glucklicherweise gibt es jedocheine einfache Konstruktion des Integrals fur stetige Funktionen:

Lemma XII.4. Seien (X, ‖ · ‖) ein Banachraum uber K, I = [a, b], mit a < b und x ∈ C(I;X)eine stetige Abbildung.

(i) Dann existiert ∫ b

a

x(t) dt := limN→∞

b− aN

N∑n=1

x(N−nNa+ n

Nb). (XII.12)

In diesem Fall nennen wir (XII.12) Integral von x uber I.

(ii) Notiert Pε[a, b] die Menge der Partitionen P = t1, t2, . . . , tL ⊆ (a, b) mit t` < t`+1 ≤t` + ε und t0 := a, tL+1 = b, so gilt

limε→0

sup

P∈Pε[a,b]

∥∥∥∥∫ b

a

x(t) dt −L∑`=0

(t`+1 − t`)x(

12(t`+1 + t`)

)∥∥∥∥

= 0. (XII.13)

(iii) Es gilt die Abschatzung ∥∥∥∥∫ b

a

x(t) dt

∥∥∥∥ ≤ ∫ b

a

‖x(t)‖ dt. (XII.14)

185

ENTW





(iv) Ist x ∈ C(I;X), so ist(t 7→

∫ tax(s) ds

)∈ C1(I;X), und der Hauptsatz der Differenzial-

und Integralrechnung gilt,

∀t ∈ I :d

dt

(∫ t

a

x(s) ds

)= x(t). (XII.15)

Der Beweis von Lemma XII.4 ist nicht schwer und sei dem Leser uberlassen.

Definition XII.5. Seien (X, ‖ · ‖) ein Banachraum uber K und I = [a, b], mit a < b. Seiweiterhin f ∈ C(I ×X;X) eine stetige Abbildung.

(i) Eine Gleichung der Form

∀t ∈ I : x(t) = f [t, x(t)], x(t0) = x0, (XII.16)

heißt Anfangswertproblem (AWP). Eine Abbildung x ∈ C1(I;X), die (XII.16) erfullt,heißt Losung dieses Anfangswertproblems.

(ii) Die Gleichung

∀t ∈ I : x(t) = x0 +

∫ t

t0

f [s, x(s)] ds (XII.17)

heißt Integralgleichung (zum AWP (XII.16)). Eine Abbildung x ∈ C(I;X), die(XII.17) erfullt, heißt Losung dieser Integralgleichung.

Wie fur reellwertige Funktionen ist das AWP (XII.16) zur zugehorigen Integralgleichung (XII.17)im folgendem Sinne aquivalent, da diese Aquivalenz nur auf dem Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung beruht.

• Ist x ∈ C1(I;X) eine Losung des AWP (XII.16), so lost x auch die zugehorige Integral-gleichung (XII.17).

• Ist umgekehrt x ∈ C(I;X) eine Losung der Integralgleichung (XII.17), so ist x sogarstetig differenzierbar auf I und lost das zugehorige AWP (XII.16).

Wir formulieren nun ein allgemeines Resultat, das fur die spateren Kapitel und meistens auchin der Praxis alle wichtigen Falle behandelt. Dabei nehmen wir hier wie im Folgenden o.B.d.A.t0 = 0 an.

Satz XII.6 (Globale Existenz und Eindeutigkeit). Seien (X, ‖ · ‖X) ein Bachachraum uberK, x0 ∈ X und f ∈ C(R+

0 × X;X) global Lipschitz-stetig auf R × X mit globaler Lipschitz-

Konstanten M < ∞. Weiterhin sei t 7→ f [t, x0] exponentiell beschrankt, d.h. es gebe ein M <

∞, sodass C := supt>0

∥∥e−Mtf [t, x0]∥∥ <∞. Dann hat das Anfangswertproblem

∀t > 0 : x(t) = f [t, x(t)], x(0) = x0, (XII.18)

eine eindeutige Losung x ∈ C1(R+0 ;X), und zu jedem α > maxM, M > 0 gibt es eine

Konstante Cα <∞, sodass

∀t ≥ 0 : ‖x(t)− x0‖X ≤ Cα t eαt. (XII.19)

186

ENTW





Beweis. Es genugt zu zeigen, dass die zum AWP (XII.18) gehorige Integralgleichung

∀t ≥ 0 : x(t) = x0 +

∫ t

0

f [s, x(s)] ds (XII.20)

eine eindeutige Losung x ∈ C(R+0 ;X) besitzt. Wir konstruieren diese Losung mit einer Picard-

Iteration und berufen uns fur deren Konvergenz auf den Banachschen Fixpunktsatz. Fur einspater festzulegendes α > 0 definieren wir dazu den Banachraum Y := C(R+

0 ;X) der stetigenX-wertigen Funktionen auf R+

0 mit Norm

∀x ∈ Y : ‖x‖α := supt≥0

e−αt ‖x(t)‖X

. (XII.21)

Dass(Y, ‖ · ‖α

)ein Banachraum ist, wird durch Lemma XII.1 garantiert.

Wir definieren F : C(R+0 ;X)→ C(R+

0 ;X) durch

∀t ≥ 0 :(F [x]

)(t) := x0 +

∫ t

0

f [s, x(s)] ds (XII.22)

und beobachten, dass die Integralgleichung (XII.20) aquivalent zur Fixpunktgleichung

x = F [x] (XII.23)

ist. Ist α ≥ M , so beobachten wir, dass

e−αt∥∥F [x0](t)− x0

∥∥X≤ e−αt

∫ t

0

∥∥f [s, x0]∥∥Xds ≤ C e−αt

∫ t

0

eMs ds

=C

M

(e−(α−M)t − e−αt

)≤ C

M, (XII.24)

fur jedes t ≥ 0, wobei wir C = supt>0

∥∥e−Mtf [t, x0]∥∥ benutzen. Fassen wir x0 als Element von

Y auf, namlich als konstante Funktion x0(t) = x0, fur alle t ≥ 0, so sind ‖x0‖α = ‖x0‖X unddaher ∥∥F [x0]

∥∥α≤ ‖x0‖α +

∥∥F [x0]− x0

∥∥α≤ ‖x0‖α +

C

M< ∞. (XII.25)

Somit sind x0, F [x0] ∈ Y .Sind nun x, x ∈ Y , so beobachten wir weiterhin, dass

e−αt∥∥F [x](t)− F [x](t)

∥∥X≤∫ t

0

e−αt∥∥f [s, x(s)]− f [s, x(s)]

∥∥Xds

≤ M

∫ t

0

e−α(t−s) e−αs ∥∥x(s)− x(s)∥∥X

ds

≤ M ‖x− x‖α∫ t

0

e−α(t−s) ds

= M ‖x− x‖α1− e−αt

α≤ M

α‖x− x‖α (XII.26)

187

ENTW





Bilden wir das Supremum uber t ≥ 0, so folgt daraus, dass∥∥F [x]− F [x]∥∥α≤ M

α‖x− x‖α. (XII.27)

Insbesondere folgt daraus und aus der Dreiecksungleichung fur α > M und x ∈ Y , dass∥∥F [x]∥∥α≤∥∥F [x0]

∥∥α

+∥∥F [x]− F [x0]

∥∥α≤∥∥F [x0]

∥∥α

+M

α‖x− x0‖α < ∞ (XII.28)

und somit auch F [x] ∈ Y liegt, dass also F : Y → Y den Banachraum Y in sich abbildet.Weiterhin folgt fur α > M aus (XII.27), dass F auf Y eine Kontraktion ist, die nach demBanachschen Fixpunktsatz XII.3 einen eindeutigen Fixpunkt x∗ ∈ Y besitzt, der die gesuchteLosung darstellt.Diese Losung und Fixpunkt genugt gemaß (XII.27) und (XII.25) weiterhin folgender Schranke,

‖x∗ − x0‖α =∥∥F [x∗]− x0

∥∥α≤∥∥F [x∗]− F [x0]

∥∥α

+∥∥F [x0]− x0

∥∥α

≤ M

α‖x∗ − x0‖α +

C

M, (XII.29)

aus der wir durch Auflosen nach ‖x∗ − x0‖α

‖x∗ − x0‖α ≤(

1− M

α

)−1C

M=

α C

M(α−M)(XII.30)

und mit max0≤s≤1

eαs

= eα auch

max0≤s≤1

∥∥f [s, x∗(s)]∥∥X≤ max

0≤s≤1

∥∥f [s, x0]∥∥X

+ max0≤s≤1

∥∥f [s, x∗(s)]− f [s, x0]∥∥X

≤ max0≤s≤1

∥∥f [s, x0]∥∥X

+M max0≤s≤1

‖x∗(s)− x0‖X

≤ eα C +eαM α C

M(α−M)(XII.31)

gewinnen. Daher sind schließlich fur t > 1

‖x∗(t)− x0‖X ≤ ‖x∗(t)− x0‖α eαt ≤α C

M(α−M)t eαt, (XII.32)

und fur t ≤ 1 wegen (XII.31)

‖x∗(t)− x0‖X ≤ e−αt∫ t

0

∥∥f [s, x∗(s)]∥∥Xds ≤

(eα C +

eαM α C

M(α−M)

)t eαt, (XII.33)

was auch (XII.19) beweist.

188

ENTW






• Wir bemerken, dass die Konvergenz einer Folge bezuglich der Normen ‖·‖α und ‖·‖α nichtgleichwertig ist, wenn α 6= α. Daran sieht man sehr schon, dass die unendliche Dimensiondes Vektorraums Y die Flexibilitat zur Wahl der richtigen Norm (parametrisiert durchα) mit sich bringt.

• Wir bemerken, dass der Beweis von Satz XII.8 konstruktiv ist, da er nicht nur die Existenzund Eindeutigkeit der Losung x∗ ∈ C1(I; J) sichert, sondern auch eine iterative Prozedurzur Konstruktion dieser Losung liefert - die Picard-Iteration:

x(0)(t) = x0, (XII.34)

x(1)(t) = [F (x(0))](t) = x0 +

∫ t

0

f [s, x0] ds, (XII.35)

...

x(n+1)(t) = [F (x(n))](t) = x0 +

∫ t

0

f [s, x(n)(s)] ds. (XII.36)

und mit Korollar I.12 und q := Mα< 1 erhalten wir noch die Normabschatzung

‖x∗ − x(n)‖α ≤qn

1− q‖x(1) − x(0)‖α. (XII.37)

• Wir untersuchen das mathematische Pendel, das durch die Differenzialgleichung ϕ(t) =−a ·sin(ϕ), fur t > 0, und dem Anfangswinkel ϕ(0) = 0 sowie der Anfangswinkelgeschwin-digkeit ϕ(0) = ω0 > 0 gegeben ist, wobei a = g/` > 0 der Pendelparameter ist.

Um Satz XII.6 anzuwenden, wahlen wir X := R2 und setzen x(t) :=(ϕ(t), ω(t)

)T ∈ X,wobei ω := ϕ. Damit wird das mathematische Pendel zum AWP

∀t > 0 : x(t) =

(ϕ(t)ω(t)

)= f [x(t)] :=

(ω(t)

−a sin[ϕ(t)]

), x(0) = x0 =

(0ω0

).

(XII.38)

Wir beobachten, dass f [x0] = (ω0, 0)T , und wir erhalten fur x(1) aus der Picard-Iteration

x(1)(t) = x0 +

∫ t

0

f [x0] =

(0ω0

)+

∫ t

0

(ω0

0

)ds =

(ω0 tω0

). (XII.39)

Damit sind

f [x(1)(s)] =

(ω0

−a sin[ω0 s]

), (XII.40)

x(2)(t) = x0 +

∫ t

0

f [x(1)(s)] ds =

(0ω0

)+

∫ t

0

(ω0

−a sin[ω0 s]

)ds

=

(ω0t

ω0 − aω0

[1− cos(ω0t)]

)(XII.41)

189

ENTW





und

x(3)(t) = x0 +

∫ t

0

f [x(2)(s)] ds =

(0ω0

)+

∫ t

0

(ω0 − a

ω0[1− cos(ω0s)]

−a sin[ω0s]

)ds

=

([ω0 − a

ω0]t+ a

ω20

sin(ω0t)

ω0 − aω0

[1− cos(ω0t)]

)(XII.42)

Um herauszuarbeiten, dass die Iteration kompliziert wird, berechnen wir schließlich noch

x(4)(t) = x0 +

∫ t

0

f [x(3)(s)] ds,

=

(0ω0

)+

∫ t

0

(ω0 − a

ω0[1− cos(ω0s)]

−a sin[[ω0 − a

ω0]s+ a

ω20

sin(ω0s)]) ds, (XII.43)

was nicht mehr explizit in Termen elementarer Funktionen berechenbar ist, da der Inte-grand aus Kompositionen trigonometrischer Funktionen besteht.

190

ENTW


KAPITEL XII. LIPSCHITZ-BEDINGUNGEN,EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT XII.3. ERGANZUNGEN

XII.3 Erganzungen

XII.3.1 Beweis von Lemma XII.1

Beweis. Es ist leicht einzusehen, dass(C(R+

0 ;X) , ‖ · ‖ρ)

ein normierter Raum ist; nur dieVollstandigkeit ist nicht vollig offensichtlich. Seien also (xn)∞n=1 ∈ C(R+

0 ;X)N eine Cauchy-Folge und t ≥ 0. Dann ist auch (xn(t))∞n=1 ∈ X eine Cauchy-Folge, die im Banachraum Xkonvergiert, und wir definieren x∗ : R+

0 → X durch x∗(t) := limn→∞ xn(t) als punktweisenLimes.Als Cauchy-Folge ist (xn)∞n=1 auch beschrankt, d.h.

supn∈N‖xn‖ρ = sup

t≥0supn∈N

ρ(t) ‖xn(t)‖X

=: R < ∞. (XII.44)

(Beachte, dass wegen supt≥0 supn∈N f(t, n) = supn∈N supt≥0 f(t, n) = sup(t,n)∈R+0 ×N

f(t, n) Su-

prema “vertauschen”.) Damit ist jedoch

ρ(t) ‖x∗(t)‖X = limn→∞

ρ(t) ‖xn(t)‖X

≤ R, (XII.45)

fur alle t ≥ 0, und somit ‖x∗‖ρ ≤ R <∞.Sei nun ε > 0 und n0 ∈ N so groß, dass fur alle m > n ≥ n0

‖xm − xn‖ρ ≤ ε. (XII.46)

Fur jedes t ≥ 0, folgt dann dass

ρ(t) ‖x∗(t)− xn(t)‖X = limm→∞

ρ(t) ‖xm(t)− xn(t)‖X

≤ ε, (XII.47)

d.h. ‖x∗ − xn‖ρ ≤ ε, fur alle n ≥ n0, und somit

limn→∞

‖x∗ − xn‖ρ = 0. (XII.48)

Da ρ stetig und [0, T ] kompakt sind, gibt es zu jedem T > 0 ein 0 < mT ≤ MT < ∞, sodassmT ≤ ρ(t) ≤MT , fur alle t ∈ [0, T ]. Aus (XII.47) erhalten wir fur alle s, t ∈ [0, T ], dass

‖x∗(s)− x∗(t)‖X ≤ ‖x∗(s)− xn0(s)‖X + ‖xn0(s)− xn0(t)‖X + ‖xn0(t)− x∗(t)‖X

≤ ρ(s)

mT

‖x∗(s)− xn0(s)‖X + ‖xn0(s)− xn0(t)‖X +ρ(t)

mT

‖xn0(t)− x∗(t)‖X

≤ 2 ε

mT

+ ‖xn0(s)− xn0(t)‖X . (XII.49)

Da xn0 ∈ C(R+0 ;X), gibt es ein δ > 0, sodass fur s ∈ (t− δ, t+ δ) auch ‖xn0(s)− xn0(t)‖X ≤ ε.

Es folgt fur jedes t0 ≥ 0,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) : ‖x∗(s)− x∗(t)‖X ≤2 +mT

mT

ε, (XII.50)

also ist auch x∗ ∈ C(R+0 ;X).

191

ENTW


XII.3. ERGANZUNGEN


XII.3.2 Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Ziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, dass auch schon die im Vergleich zur globalen Lipschitz-Stetigkeit schwachere Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit ausreicht um zu sichern, dassein AWP eine eindeutige Losung dort besitzt, wo man es uberhaupt erwarten kann, namlichbis an den Rand des Definitionsgebiets. Solche Losungen nennt man auch maximale Losungeneiner Differenzialgleichung.Zunachst definieren wir den Begriff der lokalen Lipschitz-Stetigkeit.

Definition XII.7. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum und ∅ 6= Ω ⊆ R × X eine nichtleereTeilmenge von R×X. Eine Abbildung f : Ω→ X heißt lokal Lipschitz-stetig (auf Ω) :⇔

∀(t, x) ∈ Ω ∃Mt,x, rt,x ∈ R+

∀ (t, x1), (t, x2) ∈ Ω, max|t− t| , ‖x1 − x‖X , ‖x2 − x‖X

≤ rt,x :

‖f(t, x1)− f(t, x2)‖X ≤ Mt,x ‖x1 − x2‖X . (XII.51)

In diesem Fall heißt die Familie (Mt,x)(t,x)∈Ω lokale Lipschitz-Konstante fur f .

Lemma XII.8. Seien t0, x0 ∈ R, a, b > 0, I = [t0 − a, t0 + a], J = [x0 − b, x0 + b] undf ∈ C(I × J ;R) global Lipschitz-stetig auf I × J mit globaler Lipschitz-Konstanten M < ∞.Seien weiterhin

M := max|f(t, x)|

∣∣ (t, x) ∈ I × J< ∞ (XII.52)

0 < a < mina,

1

M,b

M

, (XII.53)

I :=[t0 − a, t0 + a

]. (XII.54)

Dann hat das Anfangswertproblem

∀ t ∈ I : x(t) = f [t, x(t)], x(t0) = x0, (XII.55)

eine eindeutige Losung x ∈ C1(I; J).

Beweis. Sei X := C(I;R) der Banachraum der stetigen reellen Funktionen auf I mit Norm

‖x‖X := supt∈I |x(t)| und D ⊆ X die Teilmenge D := C(I , J). Dann ist D abgeschlossen undnichtleer, da die konstante Funktion

∀ t ∈ I : x(0)(t) = x0 (XII.56)

in D 3 x(0) enthalten ist. Als Nachstes definieren wir einen (nichtlinearen) IntegraloperatorT : X → X durch

[T (x)

](t) := x0 +

∫ t

t0

f [s, x(s)] ds. (XII.57)

192

ENTW



Offensichtlich ist T (x) stetig in t ∈ I, und wegen a ≤ b/M und |f | ≤ M ist

∣∣[T (x)](t)− x0

∣∣ ≤ M

∣∣∣∣ ∫ t

t0

ds

∣∣∣∣ ≤ M a ≤ b. (XII.58)

Also gilt mit D := C(I , J) ⊆ X, dass D abgeschlossen ist und dass

T : D → D. (XII.59)

Weiterhin ist fur alle x, x ∈ D

∥∥T (x)− T (x)∥∥X

= supt∈I

∣∣∣∣ ∫ t

t0

f [s, x(s)]− f [s, x(s)]

ds

∣∣∣∣≤ sup

t∈I

M

∫ t

t0

|x(s)− x(s)| ds≤ M a ‖x− x‖X . (XII.60)

Also ist

‖T‖D ≤ M a < 1. (XII.61)

Also ist T eine Kontraktion auf D und der Banachsche Fixpunktsatz XII.3 impliziert, dass dieFixpunktgleichung x = T (x) eine eindeutige Losung x∗ ∈ D besitzt. Die Fixpunktgleichung furT lautet jedoch

x∗(t) = x0 +

∫ t

t0

f [s, x0(s)] ds, (XII.62)

fur alle t ∈ I, was gerade die zum AWP (XII.55) gehorige Integralgleichung ist.

Satz XII.9. Seien Ω ⊆ R2 eine konvexe, offene Menge, die r0 := (t0, x0) ∈ Ω enthalt undf ∈ C(Ω;R) lokal Lipschitz-stetig auf Ω. Dann hat das Anfangswertproblem

∀(t, x(t)

)∈ Ω : x(t) = f [t, x(t)], x(t0) = x0 (XII.63)

eine eindeutige und maximale Losung in Ω, d.h. es existieren ein offenes Intervall I 3 t0 undeine eindeutige Losung x ∈ C1(I), sodass

∀t ∈ I : x(t) = f [t, x(t)], x(t0) = x0, (XII.64)(t, x(t)

) ∣∣∣ t ∈ I ⊆ Ω, (XII.65)

und dass fur jede konvexe, kompakte Teilmenge K ⊆ Ω

dist[(

t, x(t)) ∣∣∣ t ∈ I+

, Ω \K

]= dist

[(t, x(t)

) ∣∣∣ t ∈ I−, Ω \K]

= 0, (XII.66)

wobei I+ := I ∩ [t0,∞) und I− := I ∩ (−∞, t0].

193

ENTW


XII.3. ERGANZUNGEN


Beweis. Sei K ⊆ Ω eine konvexe, kompakte Teilmenge, von der wir o.B.d.A. annehmen, dasssie (t0, x0) als inneren Punkt enthalt.1. Schritt: globale Lipschitz-Stetigkeit von f auf K: Die Stetigkeit von f und Kompaktheit vonK implizieren, dass

MK := supr∈K

∣∣f(r)∣∣ < ∞. (XII.67)

Wir wahlen nun (t, x) ∈ K. Da f lokal Lipschitz-stetig ist, existieren rt,x,Mt,x ∈ R+, sodass

∀ (t, x) ∈ B[(t, x), rt,x] ∩ Ω :∣∣f(t, x)− f(t, x)∣∣ ≤ Mt,x |x− x|. (XII.68)

Da die Familie

B :=B[(t, x), rt,x]

∣∣ (t, x) ∈ K

(XII.69)

eine offene Uberdeckung der kompakten Menge K ist, enthalt sie auch eine endliche Teiluber-deckung. D.h. es gibt (t1, x1), . . . , (tN , xN) ∈ K, sodass mit Bk := B[(tk, xk), rtk,xk ] auch

K ⊆ B1 ∪B2 ∪ · · · ∪BN . (XII.70)

Wir definieren weiterhin

MK := maxMt1,x1 , . . . ,MtN ,xN

. (XII.71)

Sind nun (t, y), (t, y) ∈ K, so enthalt K wegen seiner Konvexitat auch das Geradensegment,das diese beiden Punkte verbindet,

L :=(t, y(α)

) ∣∣∣ 0 ≤ α ≤ 1⊆ K, (XII.72)

wobei y(α) := (1−α)y+αy. Wegen der Uberdeckungseigenschaft (XII.70) gibt es k1, . . . , kL+1 ∈NN

1 und 0 =: α0 < α1 < · · · < αL < αL+1 := 1, sodass L ⊆ Bk1 ∪ · · · ∪BkL+1und genauer

∀` ∈ NL0 ∀α` ≤ α ≤ α`+1 :

(t, y(α)

)∈ B`. (XII.73)

Insbesondere sind dann(t, y)∈ Bk1 ,

(t, y(α1)

)∈ Bk1 ∩Bk2 ,

(t, y(α2)

)∈ Bk2 ∩Bk3 , (XII.74)

. . .(t, y(αL)

)∈ BkL ∩BkL+1

,(t, y)∈ BkL+1

,

und wir erhalten aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von f , dass∣∣f [t, y]− f [t, y]∣∣ ≤ ∣∣f [t, y]− f [t, y(α1)]

∣∣ +∣∣f [t, y(α1)]− f [t, y(α2)]

∣∣+ . . . +

∣∣f [t, y(αL)]− f [t, y]∣∣

≤ MK

(|y − y(α1)| + |y(α1)− y(α2)| + . . . + |y(αL)− y|

)= MK |y − y|

α1 + (α2 − α1) + . . .+ (1− αL)

= MK |y − y|. (XII.75)

194

ENTW



Somit ist f auf K global Lipschitz-stetig, mit Lipschitz-Konstante MK <∞.2. Schritt: Konstruktion der Losung. Fur (t, x) ∈ K und 0 < ε ≤ 1/MK definieren wir

a(t, x) := sups > 0

∣∣∣(t− s , t+ s)×(x− (MK + 1)s , x+ (MK + 1)s

)⊆ K

, (XII.76)

a(t, x) :=1

2min

a(t, x) , 2ε

, (XII.77)

I(t, x) :=(t− a(t, x) , t+ a(t, x)

), (XII.78)

J(t, x) :=(x− a(t, x) , x+ a(t, x)

), (XII.79)

und beobachten,dass I(t, x)× J(t, x) ⊆ K und dass a(t0, x0) > 0, da (t0, x0) ein innerer Punktvon K ist.Nach Lemma XII.8 besitzt das AWP (XII.63) eine eindeutige Losung x(0) ∈ C1[I(t0, x0); J(t0, x0)]mit x(0)(t0) = x0, und wir definieren

t1 := t0 +a(t0, x0)

2, x1 := x(0)(t1). (XII.80)

Abermals nach Lemma XII.8 besitzt das AWP x(t) = f [t, x(t)] eine eindeutige Losung x(1) ∈C1[I(t1, x1); J(t1, x1)] mit x(1)(t1) = x1, und wir definieren

t2 := t1 +a(t1, x1)

2, x2 := x(1)(t2). (XII.81)

U.s.w. Fuhren wir dieses Verfahren fort (wobei wir tν−1 := tν − 12a(tν , xν) fur ν ≤ 0 setzen),

erhalten wir eine Folge von Punkten((tν , xν)

)∞ν=−∞ ∈ KZ, mit tν < tν+1, und dazugehorige

Losungen x(ν) ∈ C1(Iν ; Jν) der AWP

∀ t ∈ Iν : x(ν)(t) = f[t, x(ν)(t)

], x(ν)(tν) = xν , (XII.82)

wobei ν ∈ Z, Iν := I(tν , xν) und Jν := J(tν , xν). Die Intervalle Iν sind so gewahlt, dass sie sichuberschneiden, da tν ∈ Iν ∩ Iν+1.Aus der Eindeutigkeit der Losungen, die Lemma XII.8 garantiert, folgt nun auch dass x(ν) =x(ν+1) auf Iν ∩ Iν+1. Definieren wir das Intervall I :=

⋃∞ν=−∞ Iν und eine Abbildung x : I → R

durch

∀ν ∈ Z, t ∈ Iν : x(t) := x(ν)(t), (XII.83)

so ist x ∈ C1(I;R) also die eindeutige Losung des AWP

∀ t ∈ I : x(t) = f[t, x(t)

], x(t0) = x0. (XII.84)

3. Schritt: Maximalitat der Losung x ∈ C1(I;R). Es bleibt zu zeigen, dass (XII.66) erfullt ist.Dazu bemerken wir, dass tν+1−tν = ε/2, fur ν ∈ N0, solange a(tν , xν) ≥ ε. Also ist a(tν , xν) < εfur alle n ≥ n0, sofern n0 ∈ N die Bedingung

n0ε

2≥ dist

[(t0, x0) , Ω \K

](XII.85)

195

ENTW


XII.3. ERGANZUNGEN


erfullt. Somit ist jedoch

dist[(

t, x(t)) ∣∣∣ t ∈ I, Ω \K

]≤(MK + 1

)ε, (XII.86)

und da ε > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, folgt (XII.66) fur I+; Aussage (XII.66) furI− zeigt man analog.


• Es ist instruktiv das folgende Beispiel zu diskutieren. Sei Ω := R2. Wir betrachten

x(t) = −x(t)2, x(0) = −1, (XII.87)

Offensichtlich ist f(t, x) = −x2 lokal Lipschitz-stetig, und aus Satz XII.9 folgt die Existenzund Eindeutigkeit einer globalen Losung auf R2. Man rechnet leicht nach, dass x(t) =(t− 1)−1 eine Losung ist, die aber nur auf (−∞, 1) definiert ist. Da es keine Losung vomAWP (XII.87) gibt, die auf [1,∞) definiert ist, erhalten wir scheinbar einen Widerspruchzur globalen Existenz. Man beachte jedoch, dass Satz XII.9 nicht behauptet, die Losungexistiere auf I = R. Vielmehr sagt Satz XII.9, dass die Losungskurve

(t, x(t)

)fortgesetzt

werden kann, solange sie nicht an die Grenze von Ω stoßt - was in diesem Fall bedeutet,dass limt1 x(t) = −∞.

Aus dieser Uberlegung heraus stellt sich die naturliche Frage, unter welchen Bedingungen dieExistenz und Eindeutigkeit fur alle t ∈ R gesichert werden kann. Eine solche hinreichendeBedingung ist die uniforme Beschranktheit von f .

Korollar XII.10. Seien (t0, x0) ∈ R2 und f ∈ C(R2;R) eine lokal Lipschitz-stetige Funktion,

die uniform beschrankt ist, d.h. sup(t,x)∈R2 |f(t, x)| =: M < ∞. Dann besitzt das Anfangswert-problem

∀ t ∈ R : x(t) = f [t, x(t)], x(t0) = x0 (XII.88)

eine eindeutige globale Losung x ∈ C1(R).

Beweis. Korollar XII.10 folgt aus Satz XII.9 außer in einem Punkt: Es ist zu zeigen, dass|x(t)| <∞, fur alle t ∈ R. Aber dies folgt trivial aus der uniformen Beschranktheit von f , da

|x(t)| ≤ |x0| +

∣∣∣∣ ∫ t

t0

f [s, x(s)] ds

∣∣∣∣ ≤ |x0| + M |t− t0| < ∞. (XII.89)

Schließlich geben wir noch ein leicht nachprufbares Kriterium an, das die lokale Lipschitz-Stetigkeit von f in den meisten Anwendungsfallen sichern kann.

Lemma XII.11. Seien Ω ⊆ R2 offen und nichtleer. Ist f ∈ C1(Ω;R) stetig differenzierbar, soist f auch lokal Lipschitz-stetig.

196

ENTW



Beweis. Seien (t, x) ∈ Ω. Da Ω offen ist, gibt es ein rt,x > 0, sodass

Kt,x := [t− rt,x, t+ rt,x]× [x− rt,x, x+ rt,x] ⊆ Ω. (XII.90)

Fur (t, x1), (t, x2) ∈ Kt,x beobachten wir dann, dass

|f(t, x1)− f(t, x2)| ≤ Mt,x · |x1 − x2|, (XII.91)

wobei

Mt,x := max∣∣(∂xf)(t, x)

∣∣ ∣∣∣ (t, x) ∈ Kt,x

< ∞, (XII.92)

das Maximum der stetigen Funktion |∂xf | auf der kompakten Menge Kt,x ist.

197

ENTW


KAPITEL XIII. LINEAREDIFFERENZIALGLEICHUNGEN

Kapitel XIII

LineareDifferenzialgleichungen

XIII.1 Operatornorm und

Matrixexponentialfunktion

In diesem Kapitel studieren wir lineare AWP auf Banachraumen. Dazu erinnern wir zunachstdaran, dass ein linearer Operator A : X → X auf einem Banachraum (X, ‖ · ‖X) beschranktist, falls die Operatornorm

‖A‖op := ‖A‖B(X) = sup0 6=x∈X

‖Ax‖X‖x‖X

< ∞ (XIII.1)

endlich ist. Weiterhin ist ‖Ax‖X ≤ ‖A‖op ‖x‖X , was wegen ‖ABx‖X ≤ ‖A‖op‖Bx‖X ≤‖A‖op‖B‖op‖x‖X

‖AB‖op ≤ ‖A‖op ‖B‖op, (XIII.2)

nach sich zieht.

Definition XIII.1. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum uber K und A ∈ B(X). Eine LosungU ∈ C1

(R+

0 ;B(X))

des AWP

∀t > 0 : U(t) = AU(t), U(0) = 1X , (XIII.3)

heißt Fundamentallosung von U = AU.

Lemma XIII.2. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum und A ∈ B(X). Dann besitzt die ODEU = AU eine eindeutige Fundamentallosung U ∈ C1

(R;B(X)

).

198

ENTW



XIII.1. OPERATORNORM UND

MATRIXEXPONENTIALFUNKTION

Beweis. Wir wenden Satz XII.6 auf das AWP (XIII.3) an, wobei der Banachraum B(X) istund f [t, U ] := AU sowie U0 := 1X sind. Wir beobachten die folgenden Abschatzungen,∥∥f [t, U0]

∥∥op

= ‖AU0‖op = ‖A‖op ≤ C eMt (XIII.4)

mit C := ‖A‖op <∞ und M := 0, und weiterhin∥∥f [t, U1]− f [t, U2]∥∥

op= ‖A(U1 − U2)‖op ≤ ‖A‖op ‖U1 − U2‖op ≤ M ‖U1 − U2‖op,

(XIII.5)

mit M := ‖A‖op <∞, wobei wir (XIII.2) benutzen. Satz XII.6 impliziert nun die Behauptungfur t ≥ 0. Fur t ≤ 0 ist das Argument analog.

Nachdem Existenz und Eindeutigkeit der Fundamentallosung U ∈ C1(R+0 ;x) des

AWP (XIII.3) gesichert sind, wollen wir nun mit Hilfe der Matrixexponentialfunktion dieseFundamentallosung konstruieren.

Definition XIII.3. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum und A ∈ B(X) ein beschrankter linearerOperator auf X. Wir definieren die Matrixexponentialfunktion durch

exp[A] :=∞∑n=0

1

n!An. (XIII.6)

Satz XIII.4. Seien (X, ‖·‖X) ein Banachraum und A ∈ B(X). Dann gelten folgende Aussagen.

(i) Die die Matrixexponentialfunktion exp[A] definierende Reihe ist konvergent bezuglich derOperatornorm, und fur alle t ≥ 0 gilt∥∥ exp[t A]

∥∥op≤ exp

(t ‖A‖op

). (XIII.7)

(ii) Die Fundamentallosung der ODE U = AU ist gegeben durch U ∈ C∞(R+

0 ;B(X)),

∀t ≥ 0 : U(t) = exp[tA]. (XIII.8)

(iii) Sei φ0 ∈ X. Dann ist φ ∈ C∞(R;X), φ(t) := exp[tA]φ0 die eindeutige Losung des AWP

∀t > 0 : φ(t) = Aφ(t), φ(0) = φ0. (XIII.9)

Beweis.(i): Offensichtlich reicht es, die Aussage fur t = 1 zu beweisen. Wir setzen expN [A] :=

∑Nn=0

1n!An,

fur alle N ∈ N. Offenbar ist expN [A] ∈ B(H), da expN [A] ein Polynom in A ist. Fur M > Nerhalten wir mit Hilfe von ‖AB‖op ≤ ‖A‖op ‖B‖op die Abschatzung

∥∥ expM [A]− expN [A]∥∥

op=

∥∥∥∥ M∑n=N+1

1

n!An∥∥∥∥

op

≤∞∑

n=N+1

‖An‖op

n!≤

∞∑n=N+1

‖A‖nop

n!

=∞∑k=1

‖A‖N+kop

(N + k)!=‖A‖Nop

N !

∞∑k=1

N ! k!

(N + k)!︸︷︷︸≤1

1

k!‖A‖kop ≤

‖A‖Nop

N !e‖A‖op → 0,

(XIII.10)

199

ENTW


XIII.1. OPERATORNORM UND

MATRIXEXPONENTIALFUNKTION


falls N →∞. Also ist(

expN [A])∞N=1∈ B(X)N eine Cauchy-Folge, die wegen der Vollstandigkeit

von B(X) auch konvergiert. Somit existiert exp[A] = limN→∞ expN [A] ∈ B(X) und

∥∥ exp[A]∥∥

op=

∥∥∥∥ ∞∑n=0

1

n!An∥∥∥∥

op

≤∞∑n=0

‖A‖nop

n!= e‖A‖op . (XIII.11)

(ii): Wir zeigen zuerst, dass t 7→ exp[tA] auf R+ differenzierbar ist und dass

d

dt

(exp[tA]

)= A · exp[tA] = exp[tA] · A (XIII.12)

gilt. Sei dazu δ > 0. Dann ist

exp[(t+ δ)A]− exp[tA] =∞∑n=0

1

n!

[(t+ δ)n − tn

]An (XIII.13)

und deshalb

∆δ :=exp[(t+ δ)A]− exp[tA]

δ− A · exp[tA]

=∞∑n=1

1

(n+ 1)!

((t+ δ)n+1 − tn+1

δ

)− 1

n!tnAn+1, (XIII.14)

wobei wir ausnutzen, dass sich fur n = 0 die Terme zwischen den geschweiften Klammern geradewegheben. Nun ist fur n ≥ 1

(t+ δ)n+1 =n+1∑k=0

(n+ 1

k

)tn+1−k δk = tn+1 + (n+ 1) δ tn +

n+1∑k=2

(n+ 1

k

)tn+1−k δk

(XIII.15)

und daher ∣∣∣∣ 1

(n+ 1)!

((t+ δ)n+1 − tn+1

δ

)− 1

n!tn∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ n+1∑k=2

tn+1−k δk−1

k! (n+ 1− k)!

∣∣∣∣≤ δ

n−1∑k=0

|t|n−1−k δk

k! (n− 1− k)!=

δ

(n− 1)!

(|t|+ δ

)n−1. (XIII.16)

Damit erhalten wir∥∥∆δ

∥∥op≤

∞∑n=1

δ

(n− 1)!

(|t|+ δ

)n−1 ‖A‖n+1op = δ‖A‖2

op · e(|t|+δ)‖A‖op . (XIII.17)

Also ist

limδ→0

∆δ = 0, (XIII.18)

200

ENTW



XIII.2. SYSTEME LINEARER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN

und wir erhalten (XIII.12). Weiterhin folgt aus (XIII.12), dass t 7→ exp[tA] aufR+ sogar beliebigoft differenzierbar ist und dass

dk

dtk(

exp[tA])

= Ak · exp[tA] = exp[tA] · Ak. (XIII.19)

Schließlich gilt offensichtlich auch exp[0] = 1X .(iii): Wie im Beweis von Lemma XIII.2 folgt auch fur AWP (XIII.9) die Existenz und Eindeu-

tigkeit der Losung φ ∈ C1(R+0 ;X) unmittelbar aus Satz XII.6.

Ist nun φ(t) := exp[tA]φ0, so ist φ(0) = exp[0]φ0 = φ0 und

˙φ(t) =d

dt

(exp[tA]φ0

)= A exp[tA]φ0 = Aφ(t), (XIII.20)

fur alle t ∈ R+. In der Tat sieht man genauso, dass sogar φ ∈ C∞(R+0 ;X), und φ ist eine

Losung des AWP (XIII.9). Die Eindeutigkeit der Losung impliziert nun φ = φ.

XIII.2 Systeme linearer Differenzialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten

Als Nachstes losen wir das System

∀t > 0 :

x1(t) = a1,1 x1(t) + . . .+ a1,d xd(t), x1(0) = x0,1,

......

xd(t) = ad,1 x1(t) + . . .+ ad,d xd(t), xd(0) = x0,d,

(XIII.21)

von Differenzialgleichungen, wobei ai,j ∈ C komplexe, von t unabhangige Zahlen sind. Wir

schreiben das System (XIII.21) in eine vektorwertiges AWP um, indem wirX := Cd mit unitarerNorm wahlen, sodass B(X) = Md×d(C) mit den komplexen d× d-Matrizen identifiziert werdenkann und setzen

x(t) :=(x1(t), . . . , xd(t)

)T, x0 :=

(x0,1, . . . , x0,d

)T, (XIII.22)

und

A :=

a1,1 . . . a1,d...

...ad,1 . . . ad,d

∈ Md×d(C). (XIII.23)

Damit ist das System (XIII.21) gleichwertig mit dem AWP

∀t ∈ R : x(t) = Ax(t), x(0) = x0. (XIII.24)

Mit Hilfe von Satz XIII.4 (iii) folgt unmittelbar das nachste Lemma.

Lemma XIII.5. Das System (XIII.21) bzw. das AWP (XIII.24) haben eine eindeutige Losungx ∈ C∞(R+

0 ;Cd), gegeben durch

∀t ∈ R+0 : x(t) = exp[tA] x0. (XIII.25)

201

ENTW





Lemma XIII.5 reduziert die Bestimmung der Losung von AWP (XIII.24) auf die Berechnungder Fundamentallosung exp[tA] ∈ Md×d(C). Die Matrixexponentialfunktion exp[A] lasst sichaus A unter Verwendung der Jordanschen Normalform berechnen.

Lemma XIII.6. Seien d ∈ N und A ∈ Md×d(C) eine komplexe d × d-Matrix. Dann gibtes eine invertible Matrix C ∈ Md×d(C), sodass CAC−1 eine Blockmatrixform annimmt, dieJordansche Normalform,

C AC−1 =

Q1

Q2

. . .

Qν

, (XIII.26)

wobei Qj = λj 1+ T ,

T =

0 1

0 1 0. . . . . .

. . . 10 0

, Qj =

λj 1

λj 1 0. . . . . .

. . . 10 λj

∈ Mdj×dj(C), (XIII.27)

1 ≤ dj ≤ d,∑ν

j=1 dj = d, und λ1, λ2, . . . , λν = σ(A) sind die (nicht notwendig verschiedenen)Eigenwerte von A, d.h. die Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ 7→ det[A− λ1].

Beweis. Siehe VL Lineare Algebra 2.

Lemma XIII.6 ist der wesentliche Baustein zum Beweis des folgenden Satzes.

Satz XIII.7. Seien d ∈ N und A,C ∈ Md×d(C), mit det(C) 6= 0, so, dass CAC−1 dieJordansche Normalform (XIII.26) annimmt. Dann ist exp[tA] = C−1MC, wobei

M =

R1

R2

. . .

Rν

, (XIII.28)

und

Rj = etλjdj−1∑µ=0

tµ

µ!T µ = etλj

1 t 12!t2 . . . 1

(dj−1)!tdj−1

0 1 t . . . 1(dj−2)!

tdj−2

. . ....

. . .

0 1

. (XIII.29)

202

ENTW





Beweis. Zunachst stellen wir fest, dass M die Blockmatrixform (XIII.28) annimmt, da

M = C exp[tA]C−1 =∞∑n=0

1

n!tnCAnC−1 =

∞∑n=0

tn

n!(CAC−1)n, (XIII.30)

und (CAC−1)n die Blocke Qj invariant lasst. In der Tat folgt aus (XIII.30), dass

M =

exp[tQ1]

exp[tQ2]. . .

exp[tQν ]

, (XIII.31)

und es verbleibt zu zeigen, dass exp[tQj] = Rj gilt, wobei Rj in (XIII.29) defniert ist. Dazubeobachten wir, dass ‖T‖op = 1 und dass

T =

0 1 0

0 1. . . . . .

. . . 10 0

, T 2 =

0 0 1 0

0 0 1

0 0. . . 1

. . . . . . 0

0. . . 0

(XIII.32)

. . . T dj−1 =

0 . . . 0 1

0 0...

0 0

und T dj = 0 (XIII.33)

gelten. Offenbar vertauschen 1 und T und daher ist

exp [tQj] = exp [tλj1 + tT ] = exp [tλj1] exp [tT ]

= etλj ·∞∑µ=0

tµT µ

µ!= etλj ·

dj−1∑µ=0

tµT µ

µ!= Rj. (XIII.34)


• Zur Illustration studieren wir eine lineare ODE n. Ordnung, d.h. fur alle t ∈ R,

x(n)(t) = b1 x(t) + b2 x(t) + . . . + bn x(n−1)(t), (XIII.35)

mit Anfangsbedingung

x(t0) = x0,1, x(t0) = x0,2, . . . , x(n−1)(t0) = x0,n. (XIII.36)

203

ENTW


XIII.3. ZEITABHANGIGE LINEARE

DIFFERENZIALGLEICHUNGEN


Wir transformieren ODE (XIII.35)-(XIII.36) in ein lineares System durch

x(t) :=(x(t), x(t), . . . , x(n−1)(t)

)∈ Rn, (XIII.37)

sodass

x1(t) = x(t) = x2(t), (XIII.38)

......

xn−1(t) = x(n−1)(t) = xn(t), (XIII.39)

xn(t) = x(n)(t) = b1x1(t) + . . . + bnxn(t). (XIII.40)

Mit anderen Worten, die ODE (XIII.35)-(XIII.36) ist aquivalent zum AWP

∀ t ∈ R : x(t) = Ax(t), x(0) = x0, (XIII.41)

wobei

A =

0 1 0

0 1...

. . . . . .

0 · · · · · · 0 1b1 b2 · · · bn−1 bn

. (XIII.42)

Wir haben damit eine lineare Differenzialgleichung n. Ordnung in ein System von n li-nearen Differnzialgleichungen 1. Ordnung uberfuhrt. Die genaue Berechnung der Losungfindet man in den Erganzungen.

XIII.3 Zeitabhangige lineare

Differenzialgleichungen

In diesem Abschnitt untersuchen wir lineare operatorwertige Anfangswertprobleme, bei denendie rechte Seite aber explizit von der Zeit abhangt.

Definition XIII.8. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum und A ∈ C(R+

0 ;B(X))

stetig in t. EineLosung U ∈ C1

(R+

0 ;B(X))

des AWP

∀t > 0 : U(t) = A(t)U(t), U(0) = 1X , (XIII.43)

heißt Fundamentallosung von U(t) = A(t)U(t).

Bevor wir zur Konstruktion von Fundamentallosungen kommen, rufen wir in Erinnerung, dassauch fur operatorwertige differenzierbare Funktionen U, V ∈ C1

(R+

0 ;B(X))

und vektorwertigedifferenzierbare Funktionen x ∈ C1

(R+

0 ;X)

auf R+ die Produktregeln

d

dt

(U(t)V (t)

)=dU(t)

dtV (t) + U(t)

dV (t)

dt, (XIII.44)

d

dt

(U(t)x(t)

)=dU(t)

dtx(t) + U(t)

dx(t)

dt, (XIII.45)

204

ENTW





gelten, wie man leicht aus dem Grenzubergang vom Differenzen- zum Differenzialquotientenerhalt.

Satz XIII.9. Seien (X, ‖·‖X) ein Banachraum uber K und A ∈ C1(R+

0 ;B(X)). Dann existiert

eine eindeutige Fundamentallosung U ∈ C1(R+

0 ;B(X))

des AWP U(t) = A(t)U(t), U(0) = 1.Diese Fundamentallosung ist glatt in t und ist durch die norm-konvergente Dyson-Reihe

U(t) =∞∑n=0

∫ t

0

dt1

∫ t1

0

dt2 . . .

∫ tn−1

0

dtn A(t1)A(t2) · · · A(tn) (XIII.46)

gegeben. Fur alle t ≥ 0 genugt sie der Normabschatzung

‖U(t)‖op ≤ exp

[ ∫ |t|0

‖A(s)‖op ds

]. (XIII.47)

Beweis. Zunachst beweisen wir, dass die durch (XIII.46) definierte Dysonreihe fur U(t) kon-vergiert und der Abschatzung (XIII.47) genugt. Dazu definieren wir Q0(t) := 1 und

Qn(t) :=

∫ t

0

ds A(s)Qn−1(s) =

∫ t

0

dt1

∫ t1

0

dt2 · · ·∫ tn−1

0

dtn A(t1)A(t2) · · · A(tn),

(XIII.48)

fur n ∈ N, sodass

U(t) =∞∑n=0

Qn(t). (XIII.49)

Wir behaupten nun, dass fur alle n ∈ N0

‖Qn(t)‖op ≤1

n!

(∫ t

0

‖A(s)‖op ds

)n(XIII.50)

gilt. In der Tat bedeutet dies ‖Q0(t)‖op ≤ 1, was mit Q0(t) = 1 trivial richtig ist. Gilt weiterhin(XIII.50) fur k ∈ N0, so erhalten wir aus dem Hauptsatz, dass

‖Qk+1(t)‖op ≤∫ t

0

ds ‖A(s)‖op ‖Qk(s)‖op ≤∫ t

0

‖A(s)‖op

k!

(∫ s

0

‖A(r)‖op dr

)kds

=

∫ t

0

d

ds

[1

(k + 1)!

(∫ s

0

‖A(r)‖op dr

)k+1]ds

=1

(k + 1)!

(∫ t

0

‖A(s)‖op ds

)k+1

, (XIII.51)

und durch Induktion folgt, dass die behauptete Abschatzung (XIII.50) fur alle n ∈ N0 richtigist.1 Dies impliziert die Konvergenz der Dyson-Reihe fur U(t) und die Abschatzung

‖U(t)‖op ≤∞∑n=0

1

n!

(∫ t

0

‖A(s)‖op ds

)n= exp

(∫ t

0

‖A(s)‖op ds

). (XIII.52)

1Ich danke meinem geschatzen Kollegen Rainer Lowen fur die Vereinfachung dieses Arguments.

205

ENTW





Beachte weiterhin, dass fur δ ∈ (0, 1]

U(t+ δ)− U(t) =∞∑n=1

Qn(t+ δ)−Qn(t) =∞∑n=0

∫ t+δ

t

A(s)Qn(s) ds (XIII.53)

und daher

U(t+ δ)− U(t)

δ− A(t)U(t) =

∞∑n=1

1

δ

∫ t+δ

t

ds A(s)(Qn(s)−Qn(t)

)=

∞∑n=0

1

δ

∫ t+δ

t

ds

∫ s

t

dr A(s)A(r)Qn(r) (XIII.54)

Also ist∥∥∥∥U(t+ δ)− U(t)

δ− A(t)U(t)

∥∥∥∥op

≤ δ maxt≤s≤t+1

‖A(s)‖2

op

∞∑n=0

1

n!

(∫ t+1

0

‖A(s)‖op ds

)n= δ max

t≤s≤t+1

‖A(s)‖2

op

exp

(∫ t

0

‖A(s)‖op ds

). (XIII.55)

Dies beweist, dass U ∈ C1(R+

0 ;B(X))

und dass

U(t) =∞∑n=0

Qn(t) =∞∑n=0

A(t)Qn−1(t) = A(t)U(t). (XIII.56)

Offensichtlich gilt auch U(0) = 1, und U ∈ C1(R+

0 ;B(X))

ist eine Fundamentallosung.Um die Eindeutigkeit der Losung zu zeigen, definieren wir den Banachraum Y := C

(R+

0 ;B(X))

mit Norm

‖V ‖Y := supt≥0

e−2ρ(0,t) ‖V (t)‖op

, (XIII.57)

wobei wir fur 0 ≤ s ≤ t <∞

ρ(s, t) :=

∫ t

s

‖A(τ)‖op dτ (XIII.58)

setzen. Eine Operatorfamilie V ∈ C1(R+

0 ;B(X))

ist genau dann eine Fundamentallosung, wennsie fur alle t ∈ R+ die Integralgleichung

V (t) = 1 +

∫ t

0

A(s)V (s) ds (XIII.59)

erfullt. Mit W (t) := V (t)− U(t) gilt also

∀t > 0 : W (t) =

∫ t

0

A(s)W (s) ds (XIII.60)

206

ENTW





und wegen ρ(0, t) = ρ(0, s) + ρ(s, t) auch

e−2ρ(0,t) ‖W (t)‖op ≤ sup0≤s≤t

e−2ρ(0,s) ‖W (s)‖op

∫ t

0

e−2ρ(s,t) ‖A(s)‖op ds. (XIII.61)

Wegen

∂

∂se−2ρ(s,t) =

∂

∂s

(exp

[− 2

∫ t

s

‖A(τ)‖op dτ

])= 2‖A(s)‖op e

−ρ(s,t) (XIII.62)

ist∫ t

0

e−2ρ(s,t) ‖A(s)‖op ds =1

2

∫ t

0

(∂

∂se−2ρ(s,t)

)ds =

1

2

(e−2ρ(t,t) − e−2ρ(0,t)

)≤ 1

2. (XIII.63)

Setzen wir dies in (XIII.61) ein, so erhalten wir

‖W‖Y ≤1

2‖W‖Y (XIII.64)

und somit W = 0 in Y , d.h. V (t) = U(t), fur alle t ≥ 0. Die Glattheit von U folgt leicht ausder Darstellung (XIII.46) durch die Dyson-Reihe.

Korollar XIII.10. Seien (X, ‖·‖X) ein Banachraum, A ∈ C(R+

0 ;B(X))

und U ∈ C∞(R+

0 ;B(X))

die Fundamentallosung des AWP U(t) = A(t)U(t), U(0) = 1. Dann ist U(t) fur jedes t ∈ Rinvertibel, und die Inverse U−1 ∈ C∞

(R+

0 ;B(X))

ist die durch

U−1(t) =∞∑n=0

(−1)n∫ t

0

dt1

∫ t1

0

dt2 . . .

∫ tn−1

0

dtn A(tn)A(tn−1) · · · A(t1) (XIII.65)

gegebene Fundamentallosung des AWP

∀t > 0 : Z(t) = −Z(t)A(t), Z(0) = 1X . (XIII.66)

Beweis. Zunachst zeigen wir, dass U(t) fur alle t > 0 invertibel ist, d.h. wir zeigen, dass

S :=t ∈ R+

0

∣∣ U(t) ist invertibel

= R+0 . (XIII.67)

Seien dazu T > 1 und M := sup0≤t≤2T ‖A(t)‖op < ∞. Wir beobachten, dass 0 ∈ S wegenU(0) = 1. Ist nun t ∈ S ∩ [0, T ], so definieren wir V (τ) := U(t + τ)U−1(t), fur alle τ ∈ [0, T ].Offensichtlich gilt V (0) = 1 und

V (τ) = U(t+ τ)U−1(t) = A(t+ τ)U(t+ τ)U−1(t) = A(t+ τ)V (τ), (XIII.68)

und als Fundamentallosung des AWP ∂τV (τ) = A(t+τ)V (τ) ist V (τ) nach Satz XIII.9 gegebendurch

V (τ) =∞∑n=0

∫ τ

0

dτ1 · · ·∫ τn−1

0

dτn A(t+ τ1) · · · A(t+ τn). (XIII.69)

207

ENTW





Wie in (XIII.49)–(XIII.52) erhalten wir daraus, dass

∥∥V (τ)− 1∥∥

op≤

∞∑n=1

1

n!

(∫ τ

0

‖A(t+ s)‖op ds

)n= exp

[ ∫ τ

0

‖A(t+ s)‖op ds

]− 1

≤ eMτ − 1 ≤ 1

2, (XIII.70)

fur alle τ ∈ [0, T ], sodass τ ≤ 14M

, da e1/4 ≤ 32. Dann ist V (τ) invertibel, denn mit B := 1−V (τ)

ist wegen ‖B‖op ≤ 12

die Neumann-Reihe

V −1(τ) =[1−B

]−1=

∞∑n=0

Bn (XIII.71)

norm-konvergent. Somit ist auch U(t+ τ) invertibel, denn

U−1(t+ τ) =[V (τ)U(t)

]−1= U−1(t)V −1(τ). (XIII.72)

Es folgt, dass mit t ∈ S ∩ [0, T ] auch[t , t+ 1

4M

]∩ [0, T ] ⊆ S ∩ [0, T ], (XIII.73)

und daher

S ∩ [0, T ] = [0, T ]. (XIII.74)

Da T > 1 beliebig gewahlt war, bedeutet dies, dass S = R+0 , d.h. dass U(t) invertibel ist, fur

alle t ≥ 0.Als Nachstes beweist man wie in Satz XIII.9, dass

Z(t) :=∞∑n=0

(−1)n∫ t

0

dt1

∫ t1

0

dt2 . . .

∫ tn−1

0

dtn A(tn)A(tn−1) · · · A(t1) (XIII.75)

die eindeutige Losung des AWP (XIII.66) ist. Setzen wir W (t) := Z(t)U(t), fur t ≥ 0, so giltW (0) = 1 und

W (t) := Z(t)U(t) + Z(t) U(t) = −Z(t)A(t)U(t) + Z(t)A(t)U(t) = 0, (XIII.76)

und aus der Eindeutigkeit der Losung folgt, dass

∀t ≥ 0 : Z(t)U(t) = W (t) = 1. (XIII.77)

Damit ist Z(t) das Linksinverse von U(t). Weil jedoch U(t) invertibel ist, existiert auch einRechtsinverses von U(t) und dieses stimmt mit dem Linksinversen Z(t) uberein, d.h. es giltauch

∀t ≥ 0 : U(t)Z(t) = 1. (XIII.78)

208

ENTW





Eine direkte Anwendung der Fundamentallosung liegt in der Losung der inhomogenen, zeitabhangi-gen linearen Differenzialgleichung

∀t > 0 : x(t) = A(t)x(t) + b(t), x(0) = x0. (XIII.79)

Korollar XIII.11. Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum, A ∈ C(R+

0 ;B(X)), b ∈ C(R+

0 ;X) und

U ∈ C∞(R+

0 ;B(X))

die Fundamentallosung des AWP U(t) = A(t)U(t), U(0) = 1. Dann hatdas AWP (XIII.79) eine eindeutige Losung x ∈ C1(R+

0 ;X), die durch

x(t) = U(t)x0 + U(t)

∫ t

0

U(s)−1 b(s) ds (XIII.80)

gegeben ist.

209

ENTW


XIII.4. ERGANZUNGEN


XIII.4 Erganzungen

XIII.4.1 Ruckfuhrung von ODE n. Ordnungauf Systeme 1. Ordnung

Wie schon beschrieben, ist die lineare ODE (XIII.35)-(XIII.36) n. Ordnung aquivalent zumAWP

∀t > 0 : x(t) = Ax(t), x(0) = x0, (XIII.81)

wobei

A =

0 1 0

0 1...

. . . . . .

0 · · · · · · 0 1b1 b2 · · · bn−1 bn

. (XIII.82)

Zur Berechnung der Eigenwerte von A bestimmen wir die Nullstellen des charakteristischenPolynoms det [A− λ],

P (λ) := det[A− λ]

= (−1)n+1 b1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0−λ 1

−λ 1. . . . . .

0 −λ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ (−1)n+2 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 00 1

−λ . . .. . . . . .

0 −λ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ (−1)n+3 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 1 00 −λ

0 1

−λ . . .

0. . . . . .

−λ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ . . . + (−1)2n (bn − λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 1−λ 1

. . . . . .. . . 1−λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (XIII.83)

210

ENTW


KAPITEL XIII. LINEAREDIFFERENZIALGLEICHUNGEN XIII.4. ERGANZUNGEN

also

P (λ) =n∑j=1

(−1)n+jbj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 1 0

−λ . . .. . . 1

0 −λ1 0−λ 1

. . . . . .

−λ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ (−1)2n(−λ)n

︸︷︷︸=(−λ)j−1

︸︷︷︸=1n−j=1

= (−1)nλn −

n∑j=1

bjλj−1

. (XIII.84)

Mit dieser Berechnung erhalten wir den folgenden Satz

Satz XIII.12. Seien λ1, λ2, . . . , λk ∈ C die Nullstellen von P (λ) = det[A − λ] mit Multipli-zitaten m1, m2, . . ., mk ∈ 1, 2, . . . , n,

∑kα=1 mα = n, d.h.

P (λ) = (λ− λ1)m1 (λ− λ2)m2 · · · (λ− λk)mk . (XIII.85)

Dann ist die Losung der ODE (XIII.35)-(XIII.36) gegeben durch

x(t) =k∑

α=1

k∑q=1

cα,q tq eλαt, (XIII.86)

wobei die Koeffizienten (cα,q) α=1,...,k,q=1,...,nα

⊆ C eindeutig durch die Koeffizienten b1, b2, . . . , bn und

die Anfangsbedingungen x(t0) = x0,1, x′(t0) = x0,2, . . . x(n−1)(t0) = x0,n.

Beweis. Gemaß Lemma XIII.5 und den Gleichungen (XIII.35)-(XIII.42) ist die eindeutigeLosung der ODE (XIII.35)-(XIII.36) gegeben durch die erste Komponente des Vektors etAx0,

x(t) =(x(t)

)1

=(

exp [tA]x0

)1. (XIII.87)

Wir verwenden nun Lemma XIII.6 und Satz XIII.7, nach denen eine invertible Matrix C =(di,j)1≤i,j≤n ∈ Cn existiert, sodass

exp [tA] = C−1M(t)C, (XIII.88)

wobei M(t) = ⊕νj=1Rj(t), mit ν ≥ k und

Rj(t) = etλα(j)

1 t t2/2! . . . tdj−1/(dj − 1)!

0 1 t . . . tdj−2/(dj − 2)!. . .

.... . .

0 1

. (XIII.89)

211

ENTW


XIII.4. ERGANZUNGEN


Hier sind dj ≤ mα(j), und λα(j) ist der α(j). Eigenwert von A mit Multiplizitat mα(j). (Beachte,dass die Große dj der Jordanblocke moglicherweise kleiner sind als die zugehorigen Multipli-zitaten mα(j)). Notieren wir weiterhin C−1 = (ei,j)1≤i,j≤n ∈Mn×n(C) und d := d1 + . . .+ dj, soerhalten wir

x(t) =n∑

i,j,k=1

e1,iMi,j(t) dj,k x0,k (XIII.90)

=n∑k=1

ν∑j=1

∑µj−1+1≤q≤q′≤µj

e1,q dq′,k x0,ktq′−q

(q′ − q)!etλα(j) ,

woraus sich die Behauptung leicht ergibt.

XIII.4.2 Inhomogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Schließlich betrachten wir inhomogene AWP der Form

∀t > 0 : x(t) = Ax(t) + b, x(0) = x0 (XIII.91)

auf einem Banachraum X.

Satz XIII.13. Seien(X, ‖ · ‖X

)ein Banachraum und A ∈ B(X) ein beschrankter, linearer

Operator auf X. Zu t ∈ R definieren wir einen weiteren beschrankten, linearen Operator FA(t) ∈B(X) auf X durch die normkonvergente Reihe

FA(t) :=∞∑n=0

tn+1

(n+ 1)!An. (XIII.92)

Dann hat das AWP (XIII.91) eine eindeutige, durch

x(t) = exp[tA]x0 + FA(t) b. (XIII.93)

gegebene Losung.

Beweis. Wie schon vorher erhalten wir aus der Lipschitz-Stetigkeit der rechten Seite sofort dieExistenz und Eindeutigkeit der Losung des AWP (XIII.91) mit Hilfe von Satz XII.6.Um die Konstruktion der Losung zu verstehen, nehmen wir fur den Moment an, dassA invertibelist und setzen

z(t) := x(t) + A−1b, z0 := x0 + A−1b. (XIII.94)

Dann ist

z(t) = x(t) = Ax(t) + b = A(x(t) + A−1b

)= Az(t), (XIII.95)

und

z(0) = x(0) + A−1b = x0 + A−1b = z0. (XIII.96)

212

ENTW


KAPITEL XIII. LINEAREDIFFERENZIALGLEICHUNGEN XIII.4. ERGANZUNGEN

Nach Satz XIII.4 (iii) ist dennach z(t) = exp[tA]z0 und deshalb

x(t) = z(t) − A−1b = exp[tA] z0 − A−1b

= exp[tA]x0 + A−1(

exp[tA]− 1)b, (XIII.97)

was (XIII.93) beweist, falls A is invertibel ist, da

A−1(

exp[tA]− 1)

= A−1

∞∑k=1

tk

k!Ak =

∞∑n=0

tn+1

(n+ 1)!An = FA(t). (XIII.98)

Im Allgemeinen stellen wir fest, dass R 3 t 7→ FA(t) ∈ B(X) stetig differenzierbar ist und

FA(t) =∞∑n=0

tn

n!An = exp[tA] = 1 + A

∞∑n=0

tn+1

(n+ 1)!An = 1 + AFA(t) (XIII.99)

gilt. Mit

x(t) := etA x0 + Ft(A) b (XIII.100)

sind also x(0) = x0 und

x(t) = AetA x0 + etA b = A(etAx0 + Ft(A)b

)+ b = Ax(t) + b. (XIII.101)

213

ENTW


KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE

Kapitel XIV

Stabilitatsanalyse

In diesem Kapitel studieren wir das asymptotische Verhalten von Losungen von Anfangswert-problemen fur große Zeiten t 1.Seien (X, ‖ · ‖X) ein Banachraum und x ∈ C1(R+

0 ;X) eine Losung des AWP

∀ t > 0 : x(t) = f(t, x(t)), x(0) = x0, (XIV.1)

wobei f ∈ C(Sα;X), fur ein gewisses α > 0, und

Sα :=

(t, z) ∈ R+0 ×X

∣∣∣ ‖z − x(t)‖X < α. (XIV.2)

Definition XIV.1. Eine Losung x ∈ C1(R+0 ;X) des AWP (XIV.1) heißt

(i) stabil :⇔

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ C1(R+0 ;X), z(t) = f(t, z(t)), ‖z(0)− x0‖X ≤ δ :

supt≥0

∥∥z(t)− y(t)∥∥X≤ ε. (XIV.3)

(ii) instabil :⇔ x ist nicht stabil.

(iii) asymptotisch stabil :⇔

∃δ > 0 ∀z ∈ C1(R+0 ;X), z(t) = f(t, z(t)), ‖z(0)− x0‖X ≤ δ :

limt→∞

∥∥z(t)− y(t)∥∥X

= 0. (XIV.4)

Uns wird in dieser Vorlesung vor allem asymptotische Stabilitat interessieren.

214

ENTW


KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE XIV.1. STABILITAT LINEARER SYSTEME

XIV.1 Stabilitat linearer Systeme

In diesem und dem nachsten Abschnitt nehmen wir an, dass das AWP (XIV.1) von der Formx(t) = Ax(t) ist, wobei A ∈ Md×d(C) = B(X) eine komplexe d × d-Matrix ist. D.h., wirstudieren die lineare Differenzialgleichung

∀ t ∈ R+0 : x(t) = Ax(t), x(0) = x0. (XIV.5)

Wir erinnern daran, dass A gemaß Lemma XIII.6 nach Konjugation mit einer geeigneten in-vertiblen Matrix C ∈ B(X) die Jordansche Normalform annimmt,

CAC−1 =

Q+ 0 00 Q0 00 0 Q−

︸︷︷︸

d=d++d0+d−

d+

d0

d−

(XIV.6)

wobei, fur β = +, 0,−,

Qβ = Bβ + Tβ ∈ Mdβ×dβ(C) (XIV.7)

und

Bβ =

λ(β)1

. . . 0. . .

0. . .

λ(β)dβ

, Tβ =

0 δ

(β)1. . . . . . 0

. . . . . .

0. . . δ

(β)dβ

0

. (XIV.8)

Dabei sind δ(β)j ∈ 0, 1 Null oder Eins, d++d0+d− = d und λ

(β)j ∈ C die Eigenwerte von A, also

die Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ 7→ det(λ − A). (Beachte, dass entsprechend

der Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle moglicherweise λ(α)j = λ

(α)k auch fur j 6= k gelten kann.)

Diese Nullstellen ordnen wir nach ihrem Realteil,

Reλ(+)1 , . . . ,Reλ(+)

d+ > 0, (XIV.9)

Reλ(0)1 = · · · = Reλ(0)

d0 = 0, (XIV.10)

Reλ(−)1 , . . . ,Reλ(−)

d− < 0. (XIV.11)

Wir definieren

γ+ := min

Re(λ(+)1 ), . . . ,Re(λ

(+)d+

)> 0, (XIV.12)

γ− := min− Re(λ

(−)1 ), . . . ,−Re(λ

(−)d−

)> 0, (XIV.13)

215

ENTW


XIV.1. STABILITAT LINEARER SYSTEME KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE

vorausgesetzt, dass d+ ≥ 1 bzw. d− ≥ 1. Dem entsprechend schreiben wir

B :=

B+ 0 00 B0 00 0 B−

, T :=

T+ 0 00 T0 00 0 T−

. (XIV.14)

Wir fuhren außerdem noch fur τ ≥ 1 die Diagonalmatrix

Mτ :=

1

τ 0τ 2

0. . .

τ d−1

, (XIV.15)

ein und beobachten, dass

M−1τ =

1

τ−1 0τ−2

0. . .

τ 1−d

. (XIV.16)

Wegen τ ≥ 1 sind

‖Mτ‖op = τ d−1, ‖M−1τ ‖op = 1, (XIV.17)

und

‖T‖op, ‖Tα‖op ≤ 1. (XIV.18)

Außerdem pruft man leicht nach, dass

Mτ BM−1τ = B und Mτ T M

−1τ =

1

τT (XIV.19)

gelten.Wir substituieren nun x(t) ∈ Cd durch z(t) ∈ Cd mit Hilfe einer linearen und invertiblenTransformation,

z(t) := Mτ C x(t). (XIV.20)

Damit ist das AWP (XIV.5) gleichwertig mit dem AWP z(0) = z0 := MτCx0,

z(t) = Mτ C x(t) = Mτ C Ax(t) = Mτ

(C AC−1

)M−1

τ

(Mτ C x(t)

)=(Mτ (B + T )M−1

τ

)z(t) =

(B + 1

τT)z(t). (XIV.21)

Schließlich definieren wir

P+ :=

1 0 00 0 00 0 0

, P0 :=

0 0 00 1 00 0 0

, P− :=

0 0 00 0 00 0 1

, (XIV.22)

216

ENTW


KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE XIV.1. STABILITAT LINEARER SYSTEME

und

X+ := RanP+, X0 := RanP0, X− := RanP−, (XIV.23)

so dass

d+ = dimX+, d0 = dimX0, d− = dimX−. (XIV.24)

Satz XIV.2. Seien x ∈ C∞(R+0 ;X) die Losung des AWP (XIV.5) x(t) = Ax(t), x(0) = x0 ∈ X

und weiterhin c0 := ‖C‖op ‖C−1‖op, wobei C die Konjugationsmatrix aus (XIV.6) ist.

(i) Sind d+ = d0 = 0, so gilt

‖x(t)‖X ≤ c0 td−1 e−γ−t ‖x0‖X (XIV.25)

fur alle x0 ∈ X und t ≥ 1/γ−.

(ii) Ist d0 ≥ 1, so gibt es ein x0 ∈ C−1X0, sodass

‖x(t)‖X = ‖x0‖X , (XIV.26)

fur alle t ≥ 0.

(iii) Ist d+ ≥ 1, so gilt

‖x(t)‖X ≥1

3 c0 td−1eγ+t ‖x0‖X (XIV.27)

fur alle x0 ∈ C−1X+ und t ≥ 1.

Wir bemerken, dass c0 ≥ 1 ist, da die Submultiplikativitat der Operatornorm 1 = ‖1‖op =‖CC−1‖op ≤ ‖C‖op ‖C−1‖op nach sich zieht.

Beweis. (ii): Dies gilt trivial, wir konnen z.B. τ = 1 und

z0 := (0, 0, . . . , 0︸︷︷︸X+

| 1, 0, . . . , 0︸︷︷︸X0

| 0, . . . , 0)T︸︷︷︸X−

(XIV.28)

wahlen. Dann ist z0 ein Eigenvektor von B + T zum Eigenwert λ(0)1 und somit ist z(t) =

exp[λ(0)1 t]z0. Mit x0 := C−1z0 ∈ C−1X0 ist dann

‖x(t)‖X =∥∥C−1 z(t)

∥∥X

=∣∣eλ(0)1 t

∣∣ ∥∥C−1 z0

∥∥X

=∣∣eλ(0)1 t

∣∣ ‖x0‖X = ‖x0‖X , (XIV.29)

da λ(0)1 t ∈ iR rein imaginar ist.

(i): Aus d+ = d0 = 0 folgt d− = d ≥ 1, d.h. alle Eigenwerte von A haben einen strikt negativen

Realteil. Weiterhin sind dann X− = X, B− = B und T− = T . Wir setzen a0 = ‖z0‖2X und fur

t ≥ 0

a(t) := ‖z(t)‖2X = 〈z(t) | z(t)〉, (XIV.30)

217

ENTW


XIV.1. STABILITAT LINEARER SYSTEME KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE

wobei wir fur x = (xk)dk=1, y = (yk)

dk=1 ∈ Cd an die Definition 〈x|y〉 =

∑dν=1 xkyk des unitaren

Skalarprodukts auf Cd erinnern. Dann ist a(0) = a0 und

a(t) = 〈z(t) | z(t)〉 + 〈z(t) | z(t)〉

=⟨(B + 1

τT)z(t)

∣∣∣ z(t)⟩

+⟨z(t)

∣∣∣ (B + 1τT)z(t)

⟩=⟨z(t)

∣∣∣ [B +B∗ + 1τ(T + T ∗)

]z(t)

⟩. (XIV.31)

Nun ist aber

B +B∗ = 2ReB =

2Reλ(−)1 0

. . .

0 2Reλ(−)d

≤ −2 γ− · 1, (XIV.32)

wobei letztere Abschatzung im Sinne der quadratischen Formen gemeint ist, d.h. es gilt

∀x ∈ Cd :⟨x∣∣ (B +B∗)x

⟩≤ −2 γ− 〈x |x〉 ≤ −2 γ− ‖x‖2

X . (XIV.33)

Außerdem ist

‖T + T ∗‖op ≤ ‖T‖op + ‖T ∗‖op = 2 ‖T‖op ≤ 2, (XIV.34)

und wir erhalten, dass

a(t) ≤ −2(γ− − 1

τ

)〈z(t) | z(t)〉 = −2

(γ− − 1

τ

)a(t), (XIV.35)

sofern τ−1 ≤ γ−. Daraus folgt sofort

a(t) ≤ a0 exp[− 2(γ− − 1

τ

)t]

(XIV.36)

fur alle t ≥ 0. Somit erhalten wir

‖x(t)‖X =∥∥C−1M−1

τ z(t)∥∥X≤∥∥C−1

∥∥op

∥∥M−1τ

∥∥ope−t(γ−−1/τ) ‖z0‖X

≤∥∥C−1

∥∥op

∥∥C∥∥op

∥∥M−1τ

∥∥op

∥∥Mτ

∥∥ope−t(γ−−1/τ) ‖x0‖X

≤∥∥C−1

∥∥op

∥∥C∥∥opτ d−1 e−t(γ−−1/τ) ‖x0‖X . (XIV.37)

Wir wahlen nun den Parameter τ gleich t, was wegen der Annahme t ≥ 1/γ− zulassig ist.Daraus ergibt sich dann die behauptete Abschatzung,

‖x(t)‖X ≤ c0 td−1 e−tγ− ‖x0‖X . (XIV.38)

(iii): Seien d+ ≥ 1 und x0 ∈ C−1X+, d.h. Cx0 ∈ X+. Weil X+ durch Mτ invariant gelassenwird, ist z0 := MτCx0 ∈ MτX+ ⊆ X+. Weiterhin bemerken wir, dass mit z0 ∈ X+ auchz(t) ∈ X+, fur alle t ≥ 0 gilt, da X+ auch durch B+ 1

τT invariant gelassen wird (Blockmatrix),

218

ENTW


KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE XIV.2. KLEINE NICHTLINEARE STORUNGEN

(B+ 1τT )X+ ⊆ X+. Somit ist z(t) = P+z(t), fur alle t ≥ 0. Wir setzen wieder a(t) := ‖z(t)‖2

X

und erhalten mit

P+ (B +B∗)P+ ≥ 2γ+ P+ (XIV.39)

P+ (T + T ∗)P+ ≥ − ‖T + T ∗‖op P+ ≥ −2P+, (XIV.40)

dass

a(t) =⟨z(t)

∣∣∣ [B +B∗ + 1τ(T + T ∗)

]z(t)

⟩=⟨z(t)

∣∣∣ P+

[B +B∗ + 1

τ(T + T ∗)

]P+ z(t)

⟩≥ 2

(γ+ − 1

τ

)〈z(t) |P+ z(t)〉 = 2

(γ+ − 1

τ

)a(t), (XIV.41)

woraus wie im Beweis von (i) folgt, dass

a(t) ≥ a0 e2t(γ+−1/τ). (XIV.42)

Mit x0 = C−1M−1τ z0 und x(t) = C−1M−1

τ z(t) beobachten wir noch, dass

‖z(t)‖X = ‖Mτ C x(t)‖X ≤ ‖Mτ‖op ‖C‖op ‖x(t)‖X , (XIV.43)

‖x0‖X = ‖C−1M−1τ z0‖X ≤ ‖C−1‖op ‖M−1

τ ‖op ‖z0‖X . (XIV.44)

Damit ist dann also

‖x(t)‖X ≥‖z(t)‖X

‖C‖op ‖Mτ‖op

≥ et(γ+−1/τ) ‖z0‖X‖C‖op ‖Mτ‖op

≥ et(γ+−1/τ) ‖x0‖X‖C‖op ‖C−1‖op ‖Mτ‖op ‖M−1

τ ‖op

≥ et(γ+−1/τ) ‖x0‖Xc0 τ d−1

≥ etγ+ ‖x0‖X3c0 τ d−1

, (XIV.45)

wobei wir im letzten Schritt e1/τ ≤ e ≤ 3 verwenden. Die Behauptung erhalten wir nun wiederdurch die Wahl τ := t ≥ 1.

Korollar XIV.3. Die eindeutige Losung x ≡ 0 des AWP x(t) = ax(t) mit Anfangswert x(0) =0 ist

(i) asymptotisch stabil, falls d+ = d0 = 0,

(ii) instabil, falls d+ ≥ 1,

XIV.2 Kleine nichtlineare Storungen

In diesem Abschnitt studieren wir die Stabilitatseigenschaften des Systems

∀t > 0 : x(t) = Ax(t) + g[t, x(t)], x(0) = x0, (XIV.46)

219

ENTW


XIV.2. KLEINE NICHTLINEARE STORUNGEN KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE

wobei x ∈ C1(R+0 , X), X = Cd, A ∈Md×d(C), x0 ∈ X, wie zuvor, und außerdem g ∈ C(R+

0 ×X;X) eine in x = 0 superlineare Abbildung ist. Genauer gesagt nehmen wir an, dass g[t, x] furkleine x schneller als linear gegen Null geht, genauer dass

limx→0

supt∈R+

0

∥∥g[t, x]∥∥X

‖x‖X

= 0, (XIV.47)

und wir werden sehen, dass genau diese Eigenschaft die Vernachlassigbarkeit von g fur dieStabilitat von Losungen sichert.Glg. (XIV.47) ist gleichwertig mit der Existenz einer Funktion r : R+

0 → R+0 , sodass

limδ→0

r(δ) = 0, (XIV.48)

und

∀x ∈ X, ‖x‖X ≤ δ : supt∈R+

0

‖g[t, x]‖X

≤ r(δ) ‖x‖X . (XIV.49)

Insbesondere ist g[t, 0] = 0, fur alle t ≥ 0, und x ≡ 0 ist eine Losung des AWP (XIV.46).Wie im vorigen Abschnitt substituieren wir in AWP (XIV.46) die Funktion x(t) wieder durch

z(t) := Mτ C x(t), (XIV.50)

wobei Mτ und C genau wie in (XIV.15) bzw. (XIV.6) definiert sind. Damit wird AWP (XIV.46)zu

∀t > 0 : z(t) =(B + 1

τT)z(t) + f [t, z(t)], z(0) = z0, (XIV.51)

wobei

f [t, z] :=(Mτ C g

)[t, C−1M−1

τ z], z0 := Mτ C x0. (XIV.52)

Beachte, dass fur δ > 0 und ‖z‖X ≤ δ,

‖f(t, z)‖X ≤ ‖Mτ‖op ‖C‖op

∥∥g[t, C−1M−1τ z]

∥∥X≤ ‖Mτ‖op ‖C‖op r(δ)

∥∥C−1M−1τ z∥∥X

≤ ‖C‖op ‖C−1‖op ‖Mτ‖op ‖M−1τ ‖op r(δ) ‖z‖X ≤ c0 τ

d−1 r(δ) ‖z‖X , (XIV.53)

nach (XIV.49), mit c0 := ‖C‖op‖C−1‖op und da ‖Mτ‖op‖M−1τ ‖op ≤ τ d−1.

Satz XIV.4. Seien X = Cd, A ∈ Md×d(C) und erfulle g ∈ C(R+0 × X;X) die Bedin-

gung (XIV.47). Haben alle Eigenwerte von A strikt negativen Realteil, d+ = d0 = 0, so istdie Losung x ≡ 0 des AWP

∀t > 0 : x(t) = Ax(t) + g[t, x(t)], x(0) = x0 ∈ X (XIV.54)

asymptotisch stabil.

220

ENTW



Beweis. Da d+ = d0 = 0, ist X− = X und B + B∗ ≤ −γ− · 1 < 0, als quadratische Form. Wirwahlen τ := max

1, 4

γ−

, c0 := ‖C‖op‖C−1‖op und anschließend δ > 0 so klein, dass

r(δ) ≤ γ−4 c0 τ d−1

. (XIV.55)

Fur z0 ∈ X mit ‖z0‖X ≤ δ setzen wir wie auch schon zuvor a(t) := ‖z(t)‖2X und a0 := ‖z0‖2

X .Dann ist

a(t) =⟨z(t)

∣∣∣ [B +B∗ + 1τ(T + T ∗)

]z(t)

⟩+ 2Re

⟨z(t)

∣∣∣ f [t, z(t)]⟩

≤ − 2(γ− − 1

τ

)‖z(t)‖2

X + 2‖z(t)‖X∥∥f [t, z(t)]

∥∥X

≤ − 2

(3

4γ− − c0 τ

d−1 r(δ)

)‖z(t)‖2

X

≤ γ− ‖z(t)‖2X = γ− · a(t) < 0, (XIV.56)

falls ‖z(t)‖X ≤ δ. Glg. (XIV.56) besagt jedoch, dass ‖z(t)‖X =√a(t) monoton fallend ist, und

deshalb gilt in der Tat

∀t > 0 : ‖z(t)‖X ≤ ‖z0‖X ≤ δ (XIV.57)

und somit auch (XIV.56), fur alle t > 0. Aus (XIV.56) erhalten wir wieder, dass

a(t) ≤ a0 e−tγ− , (XIV.58)

also die asymptotische Stabilitat.

Satz XIV.5. Seien X = Cd, A ∈ Md×d(C) und erfulle g ∈ C(R+0 × X;X) die Bedin-

gung (XIV.47). Besitzt A (mindestens) einen Eigenwert mit strikt positivem Realteil, d+ ≥ 1,so ist die Losung x ≡ 0 des AWP

∀t > 0 : x(t) = Ax(t) + g[t, x(t)], x(0) = x0 ∈ X (XIV.59)

instabil.

Beweis. Wir nehmen an, die Losung x ≡ 0 des AWP (XIV.59) ware stabil und fuhren dies zumWiderspruch.Gemaß der orthogonalen Zerlegung 1 = P+ + P⊥+ , mit P⊥+ = P0 + P−, schreiben wir

∀ z ∈ X : z+ := P+ z, z− := P⊥+ z. (XIV.60)

Wir wahlen nun z0 := P+z0, mit ‖P+z0‖X ≤ δ/4, und schreiben

a+(t) := ‖z+(t)‖2X = 〈z(t)|P+z(t)〉, (XIV.61)

a−(t) := ‖z−(t)‖2X = 〈z(t)|P⊥+ z(t)〉. (XIV.62)

Beachte, dass

‖z(0)‖2X = a+(0) ≤ δ2

4. (XIV.63)

221

ENTW


XIV.2. KLEINE NICHTLINEARE STORUNGEN KAPITEL XIV. STABILITATSANALYSE

Sei nun

t0 := supt ≥ 0

∣∣∣ 0 ≤ a−(t) ≤ a+(t) ≤ 12δ2> 0. (XIV.64)

Da P+ mit B +B∗ + 1τ(T + T ∗) kommutiert, gilt

a+(t) =⟨z(t)

∣∣P+ z(t)⟩

+⟨P+ z(t)

∣∣ z(t)⟩

=⟨z(t)

∣∣∣ P+

[B +B∗ + 1

τ(T + T ∗)

]P+ z(t)

⟩+ 2Re

⟨z+(t)

∣∣∣ f [t, z(t)]⟩

≥ 2(γ+ − 1

τ

)a+(t) − 2 ‖z+(t)‖X c0 τ

d−1 r(δ) ‖z(t)‖X

≥ 2(γ+ − 1

τ

)a+(t) − 2 c0 τ

d−1 r(δ)√a+(t)[a+(t) + a−(t)] , (XIV.65)

und analog erhalten wir

a−(t) ≤ 2

τa−(t) + 2 c0 τ

d−1 r(δ)√a+(t)[a+(t) + a−(t)] . (XIV.66)

fur alle t ∈ (0, t0), da ‖z(t)‖2X = a+(t) + a−(t) ≤ 2a+(t) ≤ δ2. Außerdem sind fur alle t ∈ (0, t0)

wegen a+(t) ≥ a−(t)

a+(t) ≥ 2

(γ+ −

1

τ−√

2c0 τd−1 r(δ)

)a+(t), (XIV.67)

a−(t) ≤ 2

(1

τ+√

2c0 τd−1 r(δ)

)a+(t). (XIV.68)

Insbesondere, falls

γ+ −1

τ−√

2c0 τd−1 r(δ) ≥ 1

τ+√

2c0 τd−1 r(δ) (XIV.69)

gilt, erhalten wir aus (XIV.67) und (XIV.68), dass

a+(t) ≥ a−(t). (XIV.70)

Daraus folgt das monotone Wachstum sowohl von a+ − a− als auch von a+ auf (0, t0), d.h.t0 > 0 ist durch

a+(t0) = 12δ2 (XIV.71)

determiniert. Wie zuvor wahlen wir nun τ := max

1, 8γ+

und anschließend δ > 0 so klein,

dass

r(δ) ≤ γ+

8 c0 τ d−1(XIV.72)

und somit auch (XIV.69) erfullt sind,

γ+ −2

τ− 2√

2 c0 τd−1 r(δ) ≥

(1− 1

4−√

24

)γ+ > 0. (XIV.73)

222

ENTW



Setzen wir diese Wahl von τ und δ in (XIV.67) ein, so erhalten wir außerdem

a+(t) ≥ γ+a+(t), (XIV.74)

woraus

12δ2 = a+(t0) ≥ exp[t0 γ+] ‖P+ z0‖2

X (XIV.75)

folgt. Fur ‖P+z0‖X > 0 ist also

t0 ≤2

γ+

ln

(δ

‖P+ z0‖X

)< ∞. (XIV.76)

Sind nun 0 < ε <√

2 ‖C−1‖op ‖M−1τ ‖op δ und η > 0, so wahlen wir z0 = P+z0 ∈ X+ mit

0 < ‖z0‖X < η/(‖C−1‖op ‖M−1

τ ‖op

)und beobachten, dass

0 < ‖x0‖X ≤ ‖C−1‖op ‖M−1τ ‖op ‖z0‖X < η, (XIV.77)

fur x0 := C−1M−1τ z0 gilt. Weiterhin ist

‖x(t0)‖X ≥‖z(t0)‖X

‖C−1‖op ‖M−1τ ‖op

≥ δ√2 ‖C−1‖op ‖M−1

τ ‖op

> ε, (XIV.78)

egal wie klein wir η > 0 auch wahlen. Daher ist x ≡ 0 nicht stabil.

Die typische Anwendung der Satze XIV.4 und XIV.5 liegt in der Linearisierung von AWPder Form

∀t ≥ 0 : x = F [t, x(t)], x(0) = x0. (XIV.79)

Dazu nehmen wir an, wir hatten bereits eine Losung y ∈ C1(R+0 ;X) zum Anfangswert y(0) = y0

bestimmt und fragen nach der Empfindlichkeit des Losungsverhaltens, wenn wir diesen An-fangswert um einen Vektor z0 mit kleiner Norm ‖z0‖X 1 verschieben. Bezeichnen wir mity + z ∈ C1(R+

0 ;X) die Losung von AWP (XIV.79) zum Anfangswert y(0) + z(0) = y0 + z0

(deren Existenz wir hier voraussetzen), so erhalten wir fur alle t > 0 durch Differenziation

z(t) =d

dt

(z(t) + y(t)

)− d

dt

(y(t)

)= F

[t, z(t) + y(t)

]− F

[t, y(t)

]= JF

[t, y(t)

]z(t) + g

[t, z(t)

], (XIV.80)

wobei g die Differenz zwischen der Ableitung JF (Jacobimatrix von F ) mal z(t) und der Dif-ferenz F [t, y(t) + z(t)]− F [t, y(t)] bezeichnet und wegen der totalen Differenzierbarkeit von Fauch

lim‖z‖X→0

‖g(t, z)‖X‖z‖X

= 0 (XIV.81)

erfullt. Ist nun die Zeitabhangigkeit von JF [t, y(t)] vernachlassigbar, dann befinden wir uns imAnwendungsbereich der Satze XIV.4 und XIV.5.Falls die Zeitabhangigkeit von JF [t, y(t)] nicht vernachlassigt werden kann, so ist die Differen-zialgleichung z(t) = JF

[t, y(t)

]z(t) jedoch immerhin linear und kann mit Hilfe der Resultate

aus Abschnitt XIII.3 explizit analysiert werden, was oft auf kompliziertere, aber immer nochhandhabbare Versionen der Satze XIV.4 und XIV.5 fur explizit zeitabhangige A ≡ A(t) fuhrt.

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