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Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften IWirtschaftsmathematik I

Anne Leucht

Otto-Friedrich-Universitat BambergWintersemester 2019/20

Anne Leucht Wima I WS 2019/20 1 / 64

Ablauf

Welche Studierende sitzen hier:

BA betriebswirtschaftliche Studiengange

BA Informatik-Studiengange

BA volkswirtschaftliche Studiengange

→ je nach Studienordnung: Vorlesung (2 SWS) [+ Ubung (1 SWS)]

praktiziertes 3-stufiges System:

Vorlesung (4 SWS, halbes Semester)↓

Ubung (2 SWS, halbes Semester)↓

Tutorium (2 SWS, halbes Semester)


Ablauf

Vorlesungen: 14.10 - 27.11.2019, F21/01.57

montags, 08 - 10 Uhr

mittwochs, 12 - 14 Uhr

Dozent: Anne LeuchtI Sprechstunde:

F in Vorlesungszeit donnerstags, 10:30-11:30 Uhr, F21/00.73! Voranmeldung per E-Mail erforderlich

I E-Mail: [email protected]

Ubungen: 19.10. - 06.12.2019, F21/01.57

freitags, 08 - 10 Uhr

Dozent: Guy-Niklas BrunotteI Sprechstunde:

F in Vorlesungszeit montags, 9:45 - 11:00 Uhr, F21/00.72! Voranmeldung per E-Mail erforderlich

I E-Mail: [email protected]


Ablauf

Tutorien: 21.10.2019 - 06.12.2019

Gruppe 1: Mo. 12 - 14 Uhr, F21/03.83, Shuhuan Wang

Gruppe 2: Di. 08 - 10 Uhr, FG1/00.08, Daniel Reich

Gruppe 3: Fr. 12 - 14 Uhr, WE5/00.022, Ferenc Kleedorfer

Gruppe 4: Do. 12 - 14 Uhr, F21/03.84, Lena Seibel

Gruppe 5: Di. 18 - 20 Uhr, FG1/00.08, Yannick-Christiaan Klokman

Gruppe 6: Mi. 10 - 12 Uhr, F21/03.81, Leoni Pflaum

! Anmeldung uber Flexnow notig (noch bis 25.10.2019 moglich)


Veranstaltungsbegleitendes MaterialVC-Kurs: Wirtschaftsmathematik I

Vorlesungsfolien (kapitelweise sukzessive bereitgestellt)

Aufgaben fur Ubungen

Hausaufgaben fur Tutorien und zum eigenen zusatzlichen Uben

! Ergebnisse (ohne Rechenweg) fur Hausaufgaben werden spater zurVerfugung gestellt

spater: Hinweise zur Klausur, Probeklausur

Selbsteinschreibung notig

! Einschreibeschlussel:


Veranstaltungsbegleitendes MaterialLiteratur

Lehrbucher

Jensen, U. (1998), Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg(Munchen)

Jensen, U. (2010), Wozu Mathe in den Wirtschaftswissenschaften?, Vieweg+ Teubner (Wiesbaden)

Merz, M. und Wuthrich, M. (2013), Mathematik furWirtschaftswissenschaftler, Vahlen (Munchen)

Schwarze J. (1981), Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler, Band 1-3,Neue Wirtschaftsbriefe, Herne (Berlin)

Sydsaeter K., Hammond, P. (2004), Mathematik furWirtschaftswissenschaftler, Pearson Studium (Munchen)

Ruhrlander, M. (2016), Bruckenkurs Mathematik, Pearson (Munchen)


Veranstaltungsbegleitendes MaterialLiteratur

Ubungsaufgaben/Klausurvorbereitung

Jensen, U. (2001), Klausursammlung zur Mathematik furWirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg (Munchen)

Merz, M. (2013), Ubungsbuch zur Mathematik furWirtschaftswissenschaftler, Vahlen (Munchen)

Opitz, O. (1989), Mathematik, Oldenbourg (Munchen, Wien)

Boker, F. (2010), Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler: DasUbungsbuch, 3. Auflage, Pearson (Munchen)


Prufung

Klausur

Dauer: 60 Minuten

Datum: noch nicht bekannt

weitere Informationen spater im VC-Kurs


Inhalt

WIRTSCHAFTSMATHEMATIK

SOMMERGRIPPE


InhaltWirtschaftsmathematik: Braucht man das oder kann das weg?

(komplexe) okonomische Problemstellung

↓

Strukturierung, (vereinfachte) Modellbildung

↓

quantitative Analyse

↓

Ableitung einer (Handlungs-)Strategie


Inhalt

1 Grundlagen

2 Funktionen einer Variablen

3 Elementare Funktionen

4 Folgen, Reihen, Grenzwerte & Stetigkeit

5 Differentialrechnung fur Funktionen einer Variablen

6 Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Variablen

7 Optimierung


Inhalt

1 Grundlagen1.1 Griechisches Alphabet1.2 Aussagenlogik1.3 Mengenlehre1.4 Zahlbereiche1.5 Wichtige Rechenregeln auf R


1.1 Griechisches Alphabet

Alpha α A Ny ν NBeta β B Xi ξ Ξ

Gamma γ Γ Omikron o ODelta δ ∆ Pi π Π

Epsilon ε, ε E Rho ρ PZeta ζ Z Sigma σ ΣEta η E Tau τ T

Theta θ, ϑ Θ Ypsilon υ YIota ι I Phi φ, ϕ Φ

Kappa κ K Chi χ XLambda λ Λ Psi ψ Ψ

My µ M Omega ω Ω

→ wird sehr haufig in Mathematik genutzt



,,Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:redet man zu ihnen, so ubersetzen sie es in ihreSprache, und dann ist es alsobald ganz etwasanders.”


1.2 Aussagenlogik

Definition 1.1 (Aussage).

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.

Bemerkung:

Aussagen konnen nur die Werte ,,wahr” oder ,,falsch” besitzen, aberkeinen anderen Wert annehmen.(Prinzip des ausgeschlossenen Dritten)

Aussagen konnen nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.(Zweiseitigkeitsprinzip)


1.2 Aussagenlogik

Beispiel 1.1

A Dies ist mein erstes Studiensemester an der Universitat Bamberg.

B Alle Studierenden mogen Mathematik.

C Wie wird das Wetter morgen?

D Verbieten Sie Dieselfahrzeuge auf deutschen Straßen!


1.2 Aussagenlogik

Definition 1.2 (Logische Verknupfungen).

Die Negation einer Aussage A ist die Aussage, die genau dann wahrist, wenn A falsch ist.(kurz: nicht A, Notation: ¬A oder A)

Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist die Aussage, diegenau dann wahr ist, wenn beide Aussagen A und B wahr sind.(kurz: A und B, Notation: A ∧ B)

Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist die Aussage, die genaudann wahr ist, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.(kurz: A oder B, Notation: A ∨ B)


1.2 Aussagenlogik

Beispiel 1.2Fur die Aussagen A und B aus Beispiel 1.1 gelten:

¬A

¬B

!

E Anleger 1 halt VW-Aktien im Portfolio.

F Anleger 1 halt BMW-Aktien im Portfolio.

→ E ∧ F Anleger 1 halt VW- und BMW-Aktien im Portfolio.

→ E ∧ (¬F ) Anleger 1 halt VW-, aber keine BMW-Aktien im Portfolio.


1.2 AussagenlogikBeispiel 1.2 (Fortsetzung)

E Anleger 1 halt VW-Aktien im Portfolio

F Anleger 1 halt BMW-Aktien im Portfolio

E F ¬E ¬F E ∧ F E ∨ F (¬E ) ∧ (¬F ) ¬(E ∨ F )

Tabelle: Wahrheitstabelle

allgemein gilt: (¬A) ∨ (¬B) = ¬(A ∧ B)


1.2 Aussagenlogik

Definition 1.3 (Logische Folgerungen).

Es seien A und B Aussagen.

Die Implikation A⇒ B (kurz: aus A folgt B) ist die Aussage, diegenau dann wahr ist, wenn

I entweder A falsch istI oder A wahr ist und B wahr ist.

Die Aussage A heißt dann hinreichende Bedingung fur B undB heißt notwendige Bedingung fur A.

Die Aquivalenz von A und B ist die Aussage, die genau dann wahrist, wenn sowohl A als auch B wahr sind oder aber sowohl A als auchB falsch sind.(kurz: A genau dann, wenn B, Notation: A⇔ B)


1.2 Aussagenlogik

Beispiel 1.3

A Hanna hat die Note 2.0 in der Prufung Wirtschaftsmathematik.

B Hanna hat die Prufung Wirtschaftsmathematik I bestanden.

→ A⇒ B, aber es gilt nicht B ⇒ A

jedoch: (¬B)⇒ (¬A)

! es gilt sogar allgemein, dass die Aussagen A⇒ B und (¬B)⇒ (¬A)aquivalent sind (vgl. Ubung - Nachweis mittels Wahrheitstabelle)

→ hieraus resultiert gangiges Beweisprinzip ,,indirekter Beweis”:mochte man A⇒ B nachweisen, kann man stattdessen auch(¬B)⇒ (¬A) zeigen


1.2 AussagenlogikPrinzip der Kontraposition (indirekter Beweis)

Satz 1.1 (Prinzip der Kontraposition).

Die Aussage A =⇒ B ist aquivalent zu ¬B =⇒ ¬A.

Beispiel 1.4Man zeige: −x2 + 5x − 4 > 0 =⇒ x > 0.


1.2 Aussagenlogik

A B A⇒ B B ⇒ A A⇔ B (B ⇒ A) ∧ (A⇒ B)

Tabelle: Wahrheitstabelle fur Implikation und Aquivalenz


1.2 Aussagenlogik

Satz 1.2.

Die Aussagen

(A⇒ B) ∧ (B ⇒ A) und A⇔ B

sind aquivalent.

Weitere wichtige Relationen:

Negation der Negation: A = ¬(¬A)

Transitivitat: (A⇒ B) ∧ (B ⇒ C ) ⇒ (A⇒ B)



A

B

C


1.3 Mengenlehre

Definition 1.4 (Mengen).

(i) Die Zusammenfassung unterscheidbarer Elemente heißt Menge.

(ii) Die Menge, die keine Elemente enthalt, heißt leere Menge(Notation: ∅).

Notation:

fur endliche Mengen mit wenigen Elementen: M = x1, x2, . . . , xN→ z.B. Menge aller moglichen Ausgange beim Wurfelwurf

Menge aller x , die die Eigenschaft E erfullen:

M = x | x erfullt E oder M = x : x erfullt E

→ Einwohner der Stadt Bamberg


1.3 Mengenlehre

Definition 1.5 (Mengenbeziehungen).

(i) Zwei Mengen M1 und M2 heißen gleich, wenn jedes Element aus M1

auch Element aus M2 ist und umgekehrt. (Notation M1 = M2)

(ii) Ist jedes Element der Menge M1 in der Menge M2 enthalten,so heißt M1 Teilmenge von M2. (Notation: M1 ⊆ M2)

(iii) Ist jedes Element der Menge M1 in der Menge M2 enthalten undenthalt M2 weitere Elemente, die nicht in M1 liegen, so heißt M1

echte Teilmenge von M2. (Notation:M1 ⊂ M2 oder M1 ( M2)

Beispiel 1.4

2, 4, 6 ist echte Teilmenge der geraden Zahlen

! Ist M1 Teilmenge, aber nicht echte Teilmenge von M2, so giltM1 = M2.


1.3 Mengenlehreweitere Notation

x ∈ M: x liegt in der Menge M

x /∈ M: x liegt nicht in der Menge M

Quantoren:∀ fur alle

∃ es existiert (mindestens) ein

∃! es existiert genau ein

Beispiel 1.5M = 1, 2, 3 → folgende Aussagen sind wahr:

ungerade Zahlen in M

gerade Zahl in M

x ∈ M: x ≤ 3


1.3 Mengenlehre

Definition 1.6 (Mengenbeziehungen).

Fur Mengen M1 und M2 heißt

(i) die Menge alle Elemente, die in M1 und/oder M2 enthalten sind,Vereinigung von M1 und M2

M1 ∪M2 = z | z ∈ M1 ∨ z ∈ M2.

(ii) die Menge aller Elemente, die in M1 und M2 liegen,Schnitt von M1 und M2

M1 ∩M2 = z | z ∈ M1 ∧ z ∈ M2.


1.3 Mengenlehre

Definition 1.6. (Mengenbeziehungen, Fortsetzung)

(iii) die Menge aller Elemente, die in M1, aber nicht in M2 liegen,Differenz von M1 und M2

M1\M2 = z | z ∈ M1 ∧ z /∈ M2 = z ∈ M1 | z /∈ M2.

(iv) und sofern M2 ⊆ M1, die Menge aller Elemente die in M1, aber nichtin M2 liegen, Komplement von M2 in M1

Mc2 = M1\M2.


1.3 Mengenlehre

Beispiel 1.6

M1 Menge der Studierenden, die im Sommersemester 2019 die KlausurWirtschaftsmathematik I bestanden haben.

M2 Menge der Studierenden, die im Sommersemester 2019 die KlausurWirtschaftsmathematik I mit Note 2,0 bestanden haben.

→

! aber wissen nicht, ob M1 ( M2

Mc2 in M1:

M2 ∩M1 = M2, da M2 ⊆ M1


1.3 MengenlehreBeispiel 1.7

M1 = 1, 2, 3, M2 = 3, 4, 5

M1 ∪M2 = M1 ∩M2 =

Definition 1.7.

Die Mengen M1 und M2 heißen disjunkt, wenn M1 ∩M2 = ∅.

Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Machtigkeit.(Notation: |M| oder #M)

Beispiel 1.8

M1 = 1, 2, 3 und M2 = 4, 5, 6 sind disjunkt

|M1| = und #M2 =


1.3 MengenlehreWeitere Notation:

kurz fur M1 ∩M2 ∩ · · · ∩Mn−1 ∩Mn:

n⋂i=1

Mi

analog fur M1 ∪M2 ∪ · · · ∪Mn−1 ∪Mn:

n⋃i=1

Mi

allgemeiner, fur eine beliebige Indexmenge I :⋃

i∈I Mi

z. B. fur Datenbank der Universitatsbibliothek:I I Matrikelnummern (MN) aller Studierenden, die Leihfrist uberzogen

haben

I Mi = Bucher mit abgelaufener Leihfrist des Studierenden mit MN i

I⋃

i∈I Mi =


1.3 Mengenlehre

Satz 1.3 (Rechenregeln).

Es seien M1, M2, . . . ,Mn Mengen, dann gelten:

Assoziativgesetze:

M1 ∪ (M2 ∪M3) = (M1 ∪M3) ∪M2 = M1 ∪M2 ∪M3

M1 ∩ (M2 ∩M3) = (M1 ∩M3) ∩M2 = M1 ∩M2 ∩M3

Distributivgesetze:

M1 ∪ (M2 ∩M3) = (M1 ∪M3) ∩ (M1 ∪M2)

M1 ∩ (M2 ∪M3) = (M1 ∩M3) ∪ (M1 ∩M2)

de Morgansche Regeln:

(M1 ∪M2)c = Mc1 ∩M

c2 (M1 ∩M2)c = Mc

1 ∪Mc2


1.3 Mengenlehre

Definition 1.8 (Kartesisches Produkt).

(i) Das kartesische Produkt M1 ×M2 zweier Mengen M1 und M2 istdie Menge aller Paare (x1, x2) mit x1 ∈ M1 und x2 ∈ M2:

M1 ×M2 = (x1, x2) | x1 ∈ M1 ∧ x2 ∈ M2.

(ii) Das kartesische Produkt ×ni=1Mi von n Mengen M1, . . . ,Mn ist die

Menge aller n-Tupel (x1, . . . , xn) mit x1 ∈ M1, . . . , xn ∈ Mn:

×ni=1Mi = M1 ×M2 × · · · ×Mn = (x1, . . . , xn) | x1 ∈ M1 ∧ · · · ∧ xn ∈ Mn.

Bemerkung:


1.3 MengenlehreBeispiel 1.9 (Online-Versandhandel)

Online-Versandhandel bietet T-Shirts fur Damen in den Großen34, 36, . . . , 42 an

T-Shirts in den Farben blau, gelb, pink und rot erhaltlich

→ Angebot lasst sich kompakt und formal als kartesisches Produktschreiben:

F := blau, gelb, pink, rot G := 34, 36, 38, 40, 42

F × G :=

(blau, 34), (blau, 36), (blau, 38), (blau, 40), (blau, 42)(gelb, 34), (gelb, 36), (gelb, 38), (gelb, 40), (gelb, 42)(pink, 34), (pink, 36), (pink, 38), (pink, 40), (pink, 42)(rot, 34), (rot, 36), (rot, 38), (rot, 40), (rot, 42)



,,Die Zahlen sind freie Schopfungen desmenschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel,um die Verschiedenheit der Dinge leichter undscharfer aufzufassen.” (1887)


1.4 Zahlbereiche

Definition 1.9 (Wichtige eindimensionale Zahlbereiche).

Menge der naturlichen Zahlen

N = 1, 2, 3, . . .

Menge der ganzen Zahlen

Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

Menge der rationalen Zahlen

Q =

z

n| z, n ∈ Z, n 6= 0

Menge der reellen Zahlen

R= Dezimalzahlen= an . . . a2a1 , b1b2b3 · · · | ai , bi ∈ 0, 1, 2, . . . , 9, ∀i ; n ∈ N


1.4 ZahlbereicheSkizze


1.4 Zahlbereiche

Bemerkung:

N0 = 0, 1, 2, . . .

R\Q heißt Menge der irrationalen Zahlen

N ist abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation, aber nichtbzgl. Subtraktion und Division

Q ist abgeschlossen bzgl. Addition (+), Subtraktion (-),Multiplikation (·) und Division(/) (aber nicht durch Null)

! aber z. B. x2 = 2 hat keine Losung x ∈ Q


1.4 Zahlbereiche

Definition 1.10 (Wichtige mehrdimensionale Zahlbereiche).

Als reelle Zahlenebene bezeichnen wir die Menge

R2 = (x , y) | x , y ∈ R.

Ihre Elemente heißen Paare.

Allgemeiner wird

Rn = (x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn ∈ R

reller n-dimensionaler Raum genannt.Seine Elemente heißen n-Tupel.


1.4 Zahlbereiche

Zur Definition weiterer Zahlbereiche (Intervalle):

→ Wiederholung von Ungleichungszeichen:Fur x , y ∈ R:

x < y bedeutet x ist (echt) kleiner als y ,

x ≤ y bedeutet x ist kleiner als oder gleich y

x > y bedeutet x ist (echt) großer als y

x ≥ y bedeutet x ist großer als oder gleich y


1.4 Zahlbereiche

Satz 1.4 (Rechenregeln fur Ungleichungen).

Fur x , y ∈ R gelten

folgende Aquivalenzen

x < y ⇐⇒ y > x bzw. x ≤ y ⇐⇒ y ≥ x ,

folgende Implikationen fur a ∈ R

x < y =⇒ x + a < y + a bzw. x ≤ y =⇒ x + a ≤ y + a,

folgende Implikationen fur a > 0

x < y =⇒ a · x < a · y bzw. x ≤ y =⇒ a · x ≤ a · y ,

folgende Implikationen fur a < 0

x < y =⇒ a · x > a · y bzw. x ≤ y =⇒ a · x ≥ a · y .


1.4 ZahlbereicheBeispiel 1.10

x = 3, y = 5, a = −1

Fur welche x 6= 4 gilt

2− x

4− x− 5 < 0 ?


1.4 Zahlbereiche

Definition 1.11 (Intervalle).

Fur a, b ∈ R mit a ≤ b heißt

[a, b] = x ∈ R | a ≤ x ≤ b abgeschlossenes Intervall,

(a, b) = x ∈ R | a < x < b offenes Intervall(alternative Notation: ]a, b[),

(a, b] = x ∈ R | a < x ≤ b und[a, b) = x ∈ R | a ≤ x < b halboffenes Intervall.

Beispiel 1.11 a = 3, b = 5


1.4 Zahlbereiche

Definition 1.12 (Unbeschrankte Intervalle).

Fur a, b ∈ R und ∞ als Notation fur unendlich werden folgende Mengenals unbeschrankte Intervalle bezeichnet:

(a,∞) = x ∈ R | x > a,

[a,∞) = x ∈ R | x ≥ a,

(−∞, b) = x ∈ R | x < b,

(−∞, b] = x ∈ R | x ≤ b.

Bemerkung:

∞ /∈ RR+ = [0,∞) (teilweise auch R+ = (0,∞))



0 · x = 0Punktrechnung vor Strichrechnung

Differenzen und Summen kurzen nur die Dummen


1.5 Wichtige Rechenregeln auf RDas Summenzeichen

Beispiel 1.12 (Pramien eines Versicherungsunternehmens)

Kd.nr. Pramie...

...11256 28311257 190011258 728

......

Tabelle: Auszug einerKundendatei Berufs-unfahigkeitsversicherung

? Pramiensumme der Berufsunfahigkeitssparteuber alle Kunden

→ ideal: kompakte Rechenvorschrift, die auchin Programmiersprache implementiertwerden kann

X Summenzeichen:

N∑i=1

Pi = P1 + P2 + · · ·+ PN



Definition 1.13 (Summenzeichen).

Es seien n ≤ N ∈ Z und ai ∈ R fur i = n, n + 1, . . . , N − 1, N. Dannbezeichnet das Summenzeichen

N∑i=n

ai = an + an+1 + · · ·+ aN−1 + aN ,

wobei i Summationsindex, n untere (Summatations-)Grenze und Nobere (Summations-)Grenze heißen.

Bemerkung:

Summenzeichen bietet sich insbes. an, wenn eine gewisse Struktur inden Summanden erkennbar

z.B. Summe der ersten N naturlichen Zahlen

1 + 2 + 3 + · · ·+ N =



Beispiel 1.13

Summe der ersten N geraden, naturlichen Zahlen(d.h. ohne Rest durch 2 teilbar)

N∑i=1

= = =

∑4i=1 3 = =

Satz 1.5 (Rechenregeln fur∑

).

Mit der Notation aus Definition 1.13 gelten:

(i)∑N

i=n c = (N − n + 1)c ,

(ii) Ausklammern:∑N

i=n c · ai = c∑N

i=n ai ,

(iii)∑N

i=n(ai + bi ) =∑N

i=n ai +∑N

i=n bi .



Beispiel 1.14 (Unternehmensumsatz)

Unternehmen: 20 Produkte, bestimmt monatl. Umsatz je Produkt

? Rechenvorschrift fur Ermittlung des Gesamtjahresumsatzes

ui ,j Umsatz des i-ten Produkts im j-ten Monat

Produkt\ Monat 1 2 · · · j · · · 12 Produktjahresumsatz

1 u1,1 u1,2

.

.

. u1,j

.

.

. u1,12

2 u2,1 u2,2

.

.

. u2,j

.

.

. u2,12

.

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i ui,1 ui,2

.

.

. ui,j

.

.

. ui,12...

.

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.

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.

.

.20 u20,1 u20,2 · · · u20,j · · · u20,12

Unternehmens-monatsumsatz



Definition 1.14 (Doppelsumme).

Es seien m ≤ M, n ≤ N ganze Zahlen. Dann heißt

N∑j=n

M∑i=m

ai ,j =M∑i=m

N∑j=n

ai ,j =N∑j=n

am,j +N∑j=n

am+1,j + · · ·+N∑j=n

aM,j

Doppelsumme.

Bemerkung:Genauso gilt

N∑j=n

M∑i=m

ai ,j =M∑

i=m

ai ,n +M∑

i=m

ai ,n+1 + · · ·+M∑

i=m

ai ,N .



Beispiel 1.15

4∑i=1

1∑j=−1

(i · j − 3j + 2i) =


1.5 Wichtige Rechenregeln auf RProdukte und Potenzen

Definition 1.15 (Ganzzahlige Potenzen).

(i) Fur a ∈ R und n ∈ N heißt

an = a · · · · · a︸︷︷︸n mal

n-te Potenz von a. Dabei wird a Basis und n Exponent genannt.

(ii) Potenzen mit negativem Exponenten werden fur a 6= 0 definiert durch

a−n =1

an.

(iii) Weiter wird definiert: a0 = 1 fur a ∈ R\0.

Bemerkung:

00 nicht definiert, haufig Konvention 00 = 1



Satz 1.6 (Rechenregeln).

Fur a ∈ R\0 und m, n ∈ Z gelten

am · an = am+n und (am)n = am·n.

Beispiel 1.16

(i) 720

719=

(ii) (a2)4b3a−1b5 =



Definition 1.16 (Produktzeichen, Fakultat).

(i) Es seien n ≤ N ∈ Z und ai ∈ R fur i = n, n + 1, . . . , N − 1, N. Dannbezeichnet das Produktzeichen

N∏i=n

ai = an · an+1 · · · · · aN−1 · aN ,

wobei i Multiplikationsindex, n untere (Multiplikations-)Grenzeund N obere (Multiplikations-)Grenze heißen.

(ii) Die Fakultat (!) weist einer naturlichen Zahl ein Produkt naturlicherZahlen in folgender Form zu:

n! =n∏i=1

i = , n ∈ N.



Beispiel 1.17

4∏i=2

3 =

(3∏

i=1

(5− i)

) 3∏j=1

(2 + j)

=

Bemerkung:

Konvention: 0!=1



Satz 1.7 (Rechenregeln fur Π).

Es seien n ≤ N ∈ Z und ai ∈ R fur i = n, n + 1, . . . , N − 1, N. Danngelten:

(i)∏N

i=n c = cN−n+1

(ii)∏N

i=n(ai · bi ) =(∏N

i=n ai

) (∏Nj=n bj

)(iii)

∏Ni=n c ai = cN−n+1 ·

∏Ni=n ai

Beispiel 1.18

3∏i=1

((5− i)(2 + i))



Definition 1.17.

Fur k , n ∈ N0 heißt(n

k

)=

n!

k! (n−k)! fur k ≤ n

0 fur k > n

Binomialkoeffizient (n uber k).



Beispiel 1.19(32

)( nn−j)

(n0

)(n1

)



→ somit Satz 1.8 bewiesen

Satz 1.8 (Rechenregeln fur Binomialkoeffizienten).

Fur k , n ∈ N0 gelten

(i)(n

0

)=(nn

)= 1,

(ii)(n

1

)=( nn−1

)= n,

(iii)(nj

)=( nn−j

).


1.5 Wichtige Rechenregeln auf RBinomischer Lehrsatz

Satz 1.9 (Binomischer Lehrsatz).

Fur x , y ∈ R und n ∈ N0 gilt

(x + y)n =n∑

k=0

(n

k

)xk yn−k .

Spezialfalle:

1. Binomische Formel

2. Binomische Formel


1.5 Wichtige Rechenregeln auf RBinomischer Lehrsatz

Beispiel 1.20Bestimmung der Losungsmenge folgender Ungleichung

−x2 + 6x + 9

x + 3> 7


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