(Mathematisch) Argumentieren kann man lernen. Aber wie?

Projekt LEMAMOP:Lerngelegenheiten fürMathematisches Argumentieren, Modellieren und Problemlösen

Tag der Mathematik in Graz, 6.2.2020

Prof. Dr. Regina BruderFB MathematikTechnische Universität Darmstadtwww.math-learning.com

Gilt das immer?

Gliederung

1. Argumentieren im Alltag, Beweisen in der Mathematik und Argumentationskompetenz im MU –worum geht es dabei?

2. Phänomene und Probleme beim Beweisen im MU3. Entwicklung einer Argumentationskultur im MU4. Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?5. Was heisst es mathematisches Argumentieren zu

erlernen? - Grundwissen über Argumentieren (Materialien Projekt LEMAMOP)- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

6. Argumentationsanlässe und –formate im MU

Argumentieren im Alltag erfolgt oft anders als in der MathematikAlltag:„Ich hoffe, er ist pünktlich.“ „Bisher war er immer pünktlich!“ „Dann bin ich beruhigt.“

„Euler hat mit dieser Formel Primzahlen berechnet: n² + n + 17“„Ich hoffe, die Formel stimmt!“„Bisher hat es bei allen n, die ich ausprobiert habe, immer geklappt!“

Alltag:„Ich konnte meine Hausaufgaben nicht machen weil...“„Ich brauche mehr Taschengeld, weil...“

Welche Argumente wirken besonders überzeugend? Welche sind originell?

Mathematik: Welche Argumente sind zugelassen, welche sind geeignet?

Mathematik: Welche Voraussetzungen müssen gelten? Welche Schlussweisen sind erlaubt?

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Argumentationsfiguren im Alltag mit Parallelen zur Mathematik

„Der Deckel geht nicht auf“. „Doch.“

„Wie denn?“„Ganz einfach – ich zeigs dir!“ Orientierung am Beispiel mit

Potenzial zur Verallgemeinerung(Induktion)

„Nie mache ich etwas richtig, immer ist irgendwas falsch!“

„Stimmt ja gar nicht. Du hast heute deine Socken in die Waschmaschine gepackt. Das war super!“

Unzulässige Verallgemeinerung –widerlegbar durch ein Gegenbeispiel

„Geht das immer so?“

Reale Kommunikation ist sehr komplex.4

In der Welt der Mathematik: Beweisen

Unter einem Beweis einer Aussage A versteht man eine (endliche) Kette von Umformungen, die mit Hilfe gültiger Schlussregeln vorgenommen werden und die von wahren oder als wahr angenommenen Aussagen ausgehenund zu der Aussage A führen.

Elschenbroich (2002): Ein Beweis auf Schulniveau ist eine nicht durch rationale Argumentation zu erschütternde Antwort auf die Frage nach dem Warum.

Funktionen des Beweisens in der Mathematik:- Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen Wissens (demonstrative Funktion)

- Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen(explorative Funktion)

Beweisen in der Lebenswelt: Überzeugen, Sicherheit gewinnen, Rechtsprechung

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Ziele für den Mathematikunterricht (Bildungsstandards)

D: Die Kompetenz „Mathematisch Argumentieren“ beinhaltet das Verbinden mathematischer Aussagen zu logischen Argumentationsketten, aber auch das Verstehen und kritische Bewerten verschiedener Formen mathematischer Argumentationen.

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A: Handlungsbereich H4: „Argumentieren, Begründen“ (8.Schulstufe) SuS können mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen

angeben, die für oder gegen die Verwendung bestimmter math. Begriffe, Zusammenhänge oder Verfahrens sprechen – auch verknüpft. SuS können zutreffende und unzutreffende mathematische Argumente

bzw. Begründungen erkennen sowie begründen, warum eine Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist.

Vorschlag: Argumentieren im MU meint...

...jegliche Aktivitäten des Suchens, Auswählens, Verwendens und des Beurteilens von Argumenten und deren Verknüpfung in vielfältigen inner-und außermathematischen Zusammenhängen. (ml 168, 2011)

Unterscheidung:

Mathematisches Argumentieren setzt stets eine definierte Argumentationsbasis voraus und ist an bestimmte Schlussweisen gebunden.Ziel ist das Erzeugen und Sichern von Wissen – weniger ein adressatengerechter Informationsaustausch.

Kommunizieren ist eine Ereignisabfolge wechselseitiger Äußerungen und Interpretationen (Euler, 1994).

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Wo lässt sich besonders gut mathematisches Argumentieren lernen und üben?- Geometrie der Ebene und des Raumes- Zahlentheorie, Arithmetik

Gliederung

1. Argumentieren im Alltag, Beweisen in der Mathematik und Argumentationskompetenz im MU –worum geht es dabei?

2. Phänomene und Probleme beim Beweisen im MU

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Bericht einer Lehrkraft:Jaschke, T.(2009): Bewusstes Argumentieren. In: ml 155, Friedrich Verlag, S.50

„Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in dein Heft. Konstruiere dann über jeder Dreiecksseite ein Quadrat und bestimme deren Flächeninhalte. Was fällt auf?“Die Ungenauigkeiten erklären die SuS plausibel mit Mess-, Zeichen- und Ablesefehlern. Ich notiere an der Tafel: „Wir vermuten, im rechtwinkligen Dreieck gilt:… “.

Mithilfe zweier großer Quadrate aus Tonpapier erarbeite ich anschließend gemeinsam mit der Klasse den klassischen „Anschauungsbeweis“ für die Richtigkeit des Satzes von Pythagoras.

Als wir fertig sind, meldet sich ein Schüler und sagt: „So viel Aufwand Herr Jaschke, das hätten wir ihnen doch auch so geglaubt...“

(a+b)² = 4· (½ · a·b) + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

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Phänomene und Probleme beim Beweisen in der Schule

Fehlende Einsicht in die Beweisnotwendigkeit (…das sieht man doch…)Wird mathematischen Argumenten (z.B.Termumformungen) geglaubt?

Wann sind Schüler/innen überzeugt?Beispiel: Seil um die Erdkugel – um 1m verlängert konzentrisch –

passt eine Katze darunter durch ?

• Ist das überhaupt ein „richtiger“ mathematischer Beweis?

Sind das „richtige“ Beweise?

Enaktive Erkundung zum Satz des Pythagoras: Abwiegen der Kathetenquadrate im Vergleich zum Hypotenusenquadrat (Experiment im Mathematikum in Gießen)

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Bruners „EIS-Modell“ auch beim „Beweisen“ in der Schule:

Enaktive Erkundung zum Satz des Pythagoras: Abwiegen der Kathetenquadrate im Vergleich zum Hypotenusenquadrat (Experiment im Mathematikum in Gießen - physikalische Argumentation)

Ikonisch:

Symbolisch:Anwendung von Ähnlichkeitssätzen

Scherungsbeweise, Puzzle...Versch. math. Darstellungsformen werden genutzt.

Symbolische Ebene …

Für das rechtwinklige Dreieck ABC gilt:

Dreieck AHC ist ähnlich zu Dreieck CHB und weiter:

a² + b² = cp + cq = c (p+q) = cc = c²=> a² + b² = c²

Aufsummieren liefert:

Die Idee der Flächenverwandlung geht verloren!

Moderate Forderungen an Beweisdarstellungen in der Schule

Beweisschema als Strukturierungshilfe – oder Beweisbäume/Lösungsgraphen

6 teilt (n³+11n) für nat. n>0Feststellung Begründung

n³+11n = n³+ (12n – n) sinnvolle Zerlegung, um „Symmetrien“ zu erzeugen bzw. Bekanntes;nur noch zu zeigen, dass n³-n durch 6 teilbar, da 12n durch 6 teilbar ist

n³-n = n (n²-1)

= n (n+1) (n-1) Zerlegung mit 3.binomischer Formel

6 teilt (n+1) n (n-1) weil das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen immer durch 2 und durch 3 teilbar ist

Ergebnisse einer PISA-Vorstudie:

x x+3 4x

Phänomene und Probleme beim Beweisen in der Schule

Fehlende Einsicht in die Beweisnotwendigkeit (…das sieht man doch…)Wird mathematischen Argumenten (z.B.Termumformungen) geglaubt?

Wann sind Schüler/innen überzeugt?Beispiel: Seil um die Erdkugel – um 1m verlängert konzentrisch –

passt eine Katze darunter durch ?

• Ist das überhaupt ein „richtiger“ mathematischer Beweis?

• Moderate Erwartungen an Beweisdarstellungen

Unsicherheiten: Haben Beispiele Beweiskraft? Es fehlt an Fachsprache.

Kaum Kenntnisse über das mathematische Argumentieren – welche Argumentedürfen verwendet werden und wie sind die Spielregeln? (Argumentationskultur)

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Gliederung

1. Argumentieren im Alltag, Beweisen in der Mathematik und Argumentationskompetenz im MU –worum geht es dabei?

2. Phänomene und Probleme beim Beweisen im MU3. Entwicklung einer Argumentationskultur im MU

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Entwicklung einer Argumentationskultur im MU

Was ist eine gute Begründung?Die Lernenden entwickeln eigene Vorstellungen:

Verändere in der Zahlenmauer immer nur einen einzigen Grundstein. Als Deckstein soll 102 herauskommen. Gibt es verschiedene Lösungen?

Quelle: Torsten Linnemann, Basel

Lernumgebung Zahlenmauern II

a) Verändern Sie einen der vier Grundsteine so, dass der Deckstein 52 ist. Welche Möglichkeiten gibt es?

b) Reflexion: Wie sind Sie bei der Bearbeitung vorgegangen? Welche Beispiele haben Sie gebildet, welche Erkenntnisse sind Ihnen gekommen?

55 5 51010 10

202040

Quelle: Torsten Linnemann, Basel

a) Wählen Sie ein Quadrat mit vier Zahlen in der Hundertertafel. Bilden Sie die Summe der Diagonalen (im Beispiel im Bild wäre das 16+27 und 17+26). Führen Sie das für mehrere Beispiele durch. Was stellen Sie fest? Begründen Sie Ihre Vermutung so, dass jemand aus dem Kurs Ihre Begründung gut verstehen kann.

b) Bilden Sie nun die Produkte der Diagonalen (im Beispiel also 16 • 27 und 17 • 26).Führen Sie auch hier mehrere Beispiele aus. Was stellen Sie fest? Begründen Sie Ihre Vermutung wiederum so, dass jemand aus dem Kurs Ihre Begründung gut verstehen kann.

Argumentationsanlässe und fachsprachliche Kommunikation: Zusammenhänge in der Hundertertafel

Quelle: Torsten Linnemann, Basel

• Gute Einbindung von Text, Formeln, Skizzen, Beispielen

• Mathematischer Beweis, Formeln

• Text auf das Wesentliche beschränken

• Alles begründen

• Verständliche, richtige Fachsprache

• Beispiele und Gegenbeispiele verwenden

Kriterien für „gute Erklärungen“ aus Sicht von Schülerinnen und Schülern:

Quelle: Torsten Linnemann, Basel

Gliederung

1. Argumentieren im Alltag, Beweisen in der Mathematik und Argumentationskompetenz im MU –worum geht es dabei?

2. Phänomene und Probleme beim Beweisen im MU3. Entwicklung einer Argumentationskultur im MU4. Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?

4.Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?

Argumentationsbasen in der Mathematik:

Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma, Bestimmtes Integral...

Zusammenhänge (geprüft!): Satzgruppe des Pythagoras, Teilbarkeitssätze

Verfahren (unter den erforderlichen Anwendungsbedingungen): Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Flächeninhaltsberechnung von

Trapezen, Konstruktionsvorschrift für eine Tangente an einen Kreis...

Annahmen beim Mathematisieren (Voraussetzungen annehmen, um math. Verfahren oder Sätze anwenden zu können)

4.Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?

Logische Schlussregeln:Schluss aus einer Universalaussage (Abtrennungsregel):

Beispiel: Wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist, ist sie auch durch 4 teilbar:24 ist durch 8 teilbar.24 ist auch durch 4 teilbar.

Allgemein für zwei Aussagen A und B: Es gilt der Satz: Aus A folgt B.Es gilt A.Dann gilt auch B.

Grundtypen von Begründungen im MU

1. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Begriffes

2. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Verfahrens

3. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Satzes

(verwenden i.d.R. Schluss aus Universalaussage)

4. Begründen über den Schluss der Kontraposition5. Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines

Gegenbeispiels

Begründung durch Identifizieren eines Objektes oder einer Relation

Es gilt die Aussagenverknüpfung (Äquivalenz):Ein Zug ist eine Regionalbahn, genau dann, wenn er an jedem Bahnhof hält.

Aussage wahr: Der Zug X ist eine Regionalbahn!Folgerung: Der Zug X hält an jedem Bahnhof,

den er passiert.

und umgekehrt

Begründung durch Realisieren eines Verfahrens

Zu prüfende Aussage: Der Sportler Z steht unter Dopingverdacht.

Begründung: Die korrekte Anwendung eines geprüften Nachweisverfahrens für Doping hatte bei Z ein pos. Ergebnis.

Gültig als Def.: Ein Sportler steht unter Dopingverdacht, wenn die korrekte Anwendung eines geprüften Nachweisverfahrens für Doping ein pos. Ergebnis hatte.

Kontraposition für Negation

Begründung durch Realisieren eines Verfahrens

Aussage: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung: 5x+3y = 22

8x-4y = 0

Begründung: Die Anwendung des Additionsverfahrens ist möglich und führt zur Lösung x= 2 und y=4

Alternative: Die Interpretation der beiden Gleichungen als lineare Funktionen zeigt, dass die beiden Geraden weder identisch noch parallel sind.

Welche Aussagenverknüpfung steht jeweils „dahinter“?

Es gibt verschiedene Arten von Aussagen: Existenz- und Allaussagen.

Gliederung

1. Argumentieren im Alltag, Beweisen in der Mathematik und Argumentationskompetenz im MU –worum geht es dabei?

2. Phänomene und Probleme beim Beweisen im MU3. Entwicklung einer Argumentationskultur im MU4. Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?5. Was heisst es mathematisches Argumentieren zu

erlernen? - Grundwissen über Argumentieren (Materialien Projekt LEMAMOP)- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

Grundwissen über ArgumentierenNamen für die Aussagearten und Begründungstypen ab Kl.1 (5.Schulstufe)

-Allaussagen begründen – durch Rückgriff auf Vorwissen

-Allaussagen wiederlegen – mit Gegenbeispiel

-Existenzaussagen belegen – durch Angabe eines Beispiels

Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.

Es gibt Dreiecke mit genau einer Symmetrieachse.

Jede natürliche Zahl ist durch 2 teilbar.

Kompetenzfacetten beim Argumentierenlernen:Theoretisches Modell und UmsetzungIntuitive Phase:Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fachinhaltlich korrekte Argumentationen (Lehrervorbild)

Bewusste Phase:I Begründungen nach den

Grundtypen identifizieren und ausführen

II Mathematische Argumentations-ketten verstehen, nachvollziehen und wiedergeben

III Mathematische Argumentationen prüfen und vervollständigen

LEMAMOP: Argumentieren-Training (4h)

1. Argumente vereinbarenArgumente im Einsatz

2./3. Argumentationstraining(Stufen I – IV differenzierend)

4. Trainingsrückblick

IV Eigen-ständig mehr-schrittige Argumen-tations-ketten aufbauen

Schülerperspektive:

Argumentieren – was ist erlaubt?Beim mathematischen Argumentierendarfst du:• auf Vorwissen zurückgreifen, also• auf eine Definition Bezug nehmen• einen Satz oder gültigen Zusammenhang nutzen• ein Verfahren anwenden (z.B. etwas ausrechnen)

• ein Beispiel angeben (bei Existenzaussagen wie zum Beispiel „Es gibt ein …“)• ein Gegenbeispiel angeben (beim Widerlegen von All-Aussagen wie etwa „Jedes …“ oder „Für alle …gilt …“).

Zulässige Argumente sind also mathematische Begriffe, Sätze und Verfahren.Diese musst du beim Begründen erkennen und anwenden können.

Die zulässigen Argumente ergeben dann auch die zulässigenBegründungstypen.

Beispiel aus dem Trainingsrückblick für Kl.1

Gliederung

1. Argumentieren im Alltag, Beweisen in der Mathematik und Argumentationskompetenz im MU –worum geht es dabei?

2. Phänomene und Probleme beim Beweisen im MU3. Entwicklung einer Argumentationskultur im MU4. Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?5. Was heisst es mathematisches Argumentieren zu

erlernen? - Grundwissen über Argumentieren (Materialien Projekt LEMAMOP)- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

6. Argumentationsanlässe und –formate im MU

6. Argumentationsanlässe im MU in allen Unterrichtssituationen

- Mathematische Zusammenhänge entdecken, Gewinnen einer Vermutung

- Sonderfälle finden - Annahmen machen beim Modellieren (begründen)- Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen- Vorgehensweisen vergleichen

(Explorative Funktion des Argumentierens)

- Eine gewonnene Vermutung bestätigen (beweisen)- Eine Argumentationskette nachvollziehen (Zweispaltenbeweis)

für eine Kommunikation- Fehler finden, Widersprüche aufdecken

(Demonstrative Funktion des Argumentierens)

Mathematik treiben: Forschungsaufträge

„Neue“ Teilbarkeitsregeln erfinden (für die 12, 15, 20, 50...)Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck?Warum gibt es nur 5 Platonische Körper?

Ist das eine Mogelpackung?

Welche Größe hat der Schuh?

Umsetzung in heterogenen Lerngruppen:Schrittweises Hinführen an Verallgemeinerungen durch „Blütenaufgaben“ (Lernstile beachten!)

„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.1) - als Lern- und Testaufgabe geeignet

Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke direine Zahl. Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganzenun mit 4 und ziehe 36 ab.“

Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachteZahl benennen kann.

a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?

b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.

Welche Zahl hatte er sich gedacht?

c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte

Zahl berechnen?

Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.

Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden?Aufklären – warum ist das so? Kann das sein?

Die Einparkformel nachvollziehen (Abstand 0 zum Nachbarauto realistisch?)

Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster?

Zahlentricks aufklären: „Multipliziere die Zahl Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5 ! Multipliziere die Summe mit 5! Nenne mir das Ergebnis!“

Wenn man von diesem Ergebnis die letzte Ziffer weg streicht und von der so erhaltenen Zahl 2 subtrahiert, erhält man das Alter der Person.

Fehler aufklären: a = ba2 = ab

a2 + a2 - 2ab = ab + a2 - 2ab2(a2 - ab) = a2 – ab

2 = 1

Einen Leserbrief schreiben

DGS als Hilfsmittel zum Gewinnen von Vermutungen

A

B0

P

The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle?

Fernsehshow früher (Ungarn 1979):

- Mit einem halben Bierdeckel an der Tischecke ausprobieren

- Mit geogebra eine Ortslinie erzeugen – Vermutungen?

- Mit „Vorwissen“ argumentieren: A

B0

P

Vielen Dank für Ihr Interesse!

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