Mathematisches Modellieren im Unterricht - klett.ch · muss ich das auch zusammenrechnen. I: ......

Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF

Mathematisches Modellieren

im Unterricht

Katja Maaß

Pädagogische Hochschule Freiburg

Institut für Mathematische Bildung Freiburg

Winterthur, den 24.11.12

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Struktur

• Warum Realitätsbezüge?

• Modellierungsprozess

• Welche Aufgaben?

• Und im Unterricht?

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Warum Realitätsbezüge?

Annika fährt mit ihren Eltern in den Urlaub. Das Urlaubsziel, die Nordsee, ist 640 km entfernt. Pro Stunde schaffen sie ungefähr 80 km. Wie lange brauchen sie, um ihr Urlaubsziel zu erreichen?

Annika fährt mit ihren Eltern in den Urlaub. Leider gibt es einen Stau, das Auto steckt fest. Im Radio wird durchgesagt, dass der Stau 20 km lang ist. Wie viele Menschen stecken wohl in diesem Stau, fragt sich Lina.

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Marko: Ich rechne trotzdem mal los, weil das Thema ist ja egal, man muss nur wissen , wie das Ganze geht. Also, wenn der für was anderes gespart hätte, und ich hätte das gar nicht gewusst, wär‘s auch egal gewesen. Weil, das brauche ich ja gar nicht.



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I: Fällt dir gar nichts ein, wo du Mathe sonst noch brauchst? S: Doch wenn ich zum Kiosk geh und mir was hole, muss ich das auch zusammenrechnen. I: Und noch was anderes, als wie beim Einkaufen? S: Ja beim Einkaufen halt muss ich auch gucken wie viel Geld ich zurückbekomme. (Schüler Klasse 4)

I: Und kannst du denn das was du in Mathe lernst auch in der Freizeit oder im Alltag benutzen? S: Nein, eigentlich nicht. Halt bei den Hausaufgaben. (Schüler Klasse 3)



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Was bedeutet die Aussage „Im Berufsverkehr sitzen durchschnittlich 1,2

Personen im PKW“?



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• eine bessere Umwelterschließung

• Höheres Interesse für Mathematik

• Erwerb von Problemlösestrategien

• Verbessertes Verständnis von Mathematik (z.B.

Operationsverständnis,…)

• Den Nutzen von Mathematik für das Leben/Beruf

erkennen

• Mathematik zum Lösen von komplexen Problemen

aus der Realität verwenden können und dadurch

Wozu braucht man Mathematik?


Wozu braucht man Mathematik? • Basis vieler Wissenschaften

• Grundlage für viele Dinge des Alltags.

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Natu

rwis

senschaft

en

NW

Wir

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issenschaften

WiWi

Psycholo

gie

Psycho

Technik

TECH

Geschäftsangele

gen

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GELD

Gra

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GRAPHIK GP

S

GPS

Flu

gsic

heru

ng

FLUG

Landkart

en

KARTEN


Wozu braucht man Mathematik?

Bedeutung von

Mathematik

Technisierung

Mathematik weniger sichtbar

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Relevanz-

paradoxon


Wie wird Mathematik auf die Realität

angewendet?

Mathematik Realität

nicht exakt

oft unkalkulierbar

komplex

selten in Formeln erfassbar

abstrakt

logisch

sehr exakt

formal

eindeutig

Wie passt die „exakte Mathematik“ auf die Realität?

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Struktur





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Modellierungsprozess

Modelle dienen einem Zweck:

• vorhersagen

• erklären

• beschreiben

• vorschreiben

Grundlage: Modell, das mathematisch erfasst werden kann.

Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur

gewisse einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt.

deskriptiv

normativ

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Problem Realität

Modell

Lösung Realität

?


Stau Annika möchte mit ihren Eltern in die Sommerferien fahren. Doch leider geht es nicht vorwärts. Stau! Seit Stunden stehen sie auf der Autobahn fest, im Radio hört Annika, dass der Stau 20 km lang ist. Annika ist durstig, doch endlich kommt jemand vom Roten Kreuz und bringt Wasser. Wie viele Menschen müssen in so einem Stau eigentlich versorgt werden?

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Reales

Problem

Mathematische

Lösung

Situationsmodell

Mathematisches

Modell

verstehen

Vereinfachen

Mathe-

matisieren

mathematisch

arbeiten

validieren Realität

Mathematik

Interpretierte

Lösung

interpretieren = 30.000

Genauigkeit?

Modell

angemessen?

30.000 Personen auf der Autobahn

3 Personen/Auto

PKW-Länge: 4 m

Abstand: 1 m



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Reales

Problem

Mathematische

Lösung

Realmodell

Mathematisches

Modell

vereinfachen

mathematisieren

mathematisch

arbeiten

validieren

Realität

Mathematik

Interpretierte

Lösung

interpretieren


Zähneputzen

Nach dem Zähneputzen ist auf einem

Backenzahn ein Bakterium übrig

geblieben.

Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass

die Anzahl der Bakterien nach eine

Stunde verdoppelt wird.

Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder

4 Stunden vorhanden? Stelle eine

Funktionsgleichung auf.


Zähneputzen

• Zahnärzte empfehlen, die Zähne mindestens morgens und abends zu putzen, am besten jedoch nach jeder Mahlzeit, da sich mit jeder Speise Bakterien auf den Zähnen absetzen, die sich anschließend vermehren.

• Welche Konsequenzen hat es, wann man nach einer Mahlzeit 6, 12, 24, 48 Stunden die Zähne nicht putzt? Entwickle ein geeignetes mathematisches Modell, das zeigt, wie schnell sich Bakterien vermehren und somit zu Zahnproblemen führen können.

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Struktur




– Umfassende Aufgaben

– Aufgaben zum Einführen


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Ein wunderschöner

mathematischer Morgen • Schüler sollen eigene Fragen zum typischen Morgen sammeln:

– "Wie viel Zahnbürsten verbrauche ich in meinem Leben?",

– "Wie viel Liter und was trinke ich / die Klasse / die Schule

jeden Morgen zum Frühstück?".

• Partnerarbeit

– Informationen beschaffen

– Fragen beantworten

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Ein wunderschöner

mathematischer Morgen • Poster erstellen

• Gallery walk

• Klasse 6-10

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Ein wunderschöner

mathematischer Morgen • Reflexion und Bewertung der Poster

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Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz

Erst vor kurzem, am 25. April 2006, hat die spanische Opposition dem Kongress 4.000.000

Unterschriften gegen ein neues Gesetz vorgelegt, das von der Regierung unterstützt wurde.

Alle Zeitungen in Spanien veröffentlichten Fotos der großen Kisten und

der 10 Kleinlastwagen, die für den Transport der Unterschriften zum Kongress nötig waren.

Kann das stimmen?

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Unterschriften

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Und wie finden die Schüler das?

• Schülermeinungen

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../../Pro_PRIMAS/WP5_Dissemination/Events/Presseevent_FG_120706/03_Fragen an Presse/Film 3 Interview.mp4


Hinführen zum Modellieren

• Es gibt viele Arten von Aufgaben, die

geeignet sind, um Schüler in das

Modellieren einzuführen.

– Teilschritte im Modellieren üben

– Aufbau von Größenvorstellungen

– Aufgaben nicht zu offen wählen

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Hannah‘s Fahrt zur Großmutter Die Zugfahrt von Stuttgart nach Ulm dauert 1

Stunde und 15 Minuten und kostet für sie als

Jugendliche hin und zurück 16 €. rwachsene

müssten dafür 32 € zahlen.

Um zum Hauptbahnhof in Stuttgart zu

kommen, nimmt Hannah die S-Bahn. Hier

findet sie im Internet folgende Preise:

• Einzelfahrschein: 2 €,

• Fahrschein für Hin- und Rückfahrt: 3 €

• Tageskarte: 5 €.

Auch in Ulm muss Hannah noch einmal ein

Stück mit dem Bus fahren. Hier gibt es nur

Einzelfahrscheine für 1 € und Tageskarten

für 3 €.

Wie hoch sind die Fahrtkosten für

Hannah?

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Wassertropfen

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Aus: Schweizer

Zahlenbuch 5, Klett und

Balmer Verlag Zug


Wetter

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Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug


Eisdiele In Leos Wohnort Grübelfingen gibt es vier Eisdielen.

Leo steht – wie so oft in diesem Sommer mal wieder

vor seiner Lieblingseisdiele, dem Eiscafe Sorrento.

Eine Kugel Eis kostet 1,20 €.

Er fragt sich, für wie viel Geld der Besitzer wohl

an einem heißen Sommersonntag Eis verkauft.

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Leo geht wie folgt vor:

Er fragt am nächsten Tag seine drei besten Freunde, wie viel Kugeln Eis sie

am Sonntag gekauft haben und erhält folgende Antworten:

Markus: 3 Kugeln, Peter: 5 Kugeln Uli: 4 Kugeln

Als Durchschnitt errechnet Leo (3+4+5): 3 = 4 Kugeln pro Tag. Er

multipliziert das Ergebnis mit der Anzahl der Einwohner von Grübelfingen

(30 000) und teilt, da es vier Eisdielen gibt, das Ergebnis durch 4. Pro Tag

werden in der Eisdiele Sorrento also 30000 Kugeln verkauft.

Einnahmen: 30000 *1,20 € = 36000 €

Was meinst du dazu? Wie würdest du vorgehen?


Flugzeuge

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Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug


Aufgaben – woher?

• Schulbuchaufgaben

• „Mathematische Brille“ aufsetzen

• Aus der Literatur

– Bücher zum Modellieren

– Istron-Reihe (www.franzbecker.de)

– www.stratum-projekt.de

(Modellierungseinheiten, Kl. 6,

Hauptschule)

– www.offeneAufgaben.de 42

http://www.franzbecker.de/

http://www.stratum-projekt.de/




www.offeneAufgaben.de

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www.offeneAufgaben.de

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Struktur





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Und im Unterricht?

• Unterrichtsmethoden wählen, die den

Schülern Freiraum lassen: Z. B.

– Einstieg im Plenum – Brainstorming

– Erarbeitung in Gruppen

– Schüler präsentieren ihre Lösung

– Reflexion

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Und im Unterricht?

• Grundsätzlich – die Methode allein

macht es nicht

– Gruppenarbeit ist nicht per se gut

• Es kommt auf die Haltung der

Lehrperson an.

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Und im Unterricht?

• Die Schüler können

das nicht.

• Hoffentlich finden die

Schüler die richtige

Lösung.

• Ich muss alle Fehler

vor der Präsentation

verbessern.

• Was kann ich tun, um

den Schülern zu

helfen?

• Ich bin gespannt

darauf, welche

Lösungswege die

Schüler finden…

• Aus Fehlern kann

man lernen.

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Wie kann ich den Schülern

helfen? • Aufgabenauswahl

• Metakenntnisse über den


• Prinzip der minimalen Hilfe

• Kompetenzen gezielt fördern

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Metakenntnisse über das

Modellieren

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Metakognition im Unterricht

• Wissen über Modellierungsprozesse, Strategien

• Reflexion

• Unterschiedliche Vorgehensweisen diskutieren.

• Eigenen Selbstüberwachung fördern

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Prinzip der minimalen Hilfe

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Motivation

Fragen, Rückmeldung

Strategische Hilfe

Inhaltliche Hilfe

Weniger ist mehr!








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Kompetenzen gezielt fördern

• Beispiel: Wie können Schüler lernen, ihre

Ergebnisse auf einem Plakat zu

präsentieren?

• Klarheit über Unterrichtsziele

– Heute geht es darum ein Plakat zu zeichnen

– Danach: Vergleich der Plakte

– Methoden als Hilfe – Post-its: Jeder wird genötigt,

etwas zu notieren.

– Diskussion / Fazit

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Und im Unterrichtalltag?

• Die Schüler wollen das nicht.

• Ich habe im Unterricht dazu

keine Zeit.

• Die Eltern wollen das nicht.

• Modellieren kann man nicht

abprüfen.

• Ich habe schlechte Erfahrung

damit gemacht, deshalb lasse

ich es.

• Nicht jedes Thema kann allen

gefallen.

• Beim Modellieren lernt man

viel Mathematik.

• Wie kann ich die Eltern richtig

informieren?

• Wie kann ich modellieren

prüfen?

• Ich lasse mir Zeit und probiere

immer mal wieder was. Es ist

klar, dass nicht alles gleich

klappt.

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Drei Zugänge im Schulalltag

• Größere Aufgaben zwischen 2 Einheiten

• Immer mal wieder kleinere

Realitätsbezüge/offene Aufgaben in den

Einheiten

• Einheiten überwiegend offen /

realitätsbezogen gestalten


Schreibe auf, was du deiner Meinung nach

durch die realitätsbezogenen Aufgaben gelernt

hast.

„Sehr viel: 1. Mathe kommt überall vor. 2.

Mathe kann Spaß machen. 3. Jeder Mensch

braucht Mathe. 4. Welchen Handy-Anbieter ich

nehme. 5. …Lauter wichtige Dinge eben.“


Materialien

• www.offeneAufgaben.de

• www.stratum-projekt.de

• Istron-Reihe: Materialien für einen realitätsbezogenen

Unterricht, Band 0 – 14, Verlag Franzbecker

• Maaß (2007): Mathematisches Modellieren. Cornelsen

Scriptor

• Greefrath, Gilbert (2006): Modellieren lernen. Aulis-Verlag

• Leuders, Timo, Maaß, Katja (2007): Und man braucht sie doch! Nützlichkeit von Mathematik erfahrbar machen, Praxis der Mathematik in der Schule, Februar 2007.

• Leuders, Timo, Maaß, Katja (2005): Modellieren bildet…, Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 3.

• Greefrath, Gilbert (2010): Didaktik des Sachrechnens

•

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http://www.offeneaufgaben.de/


Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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