MathML Seminar XML-Technologien Von Primo Cirrincione.

MathMLMathML

Seminar XML-TechnologienSeminar XML-Technologien

Von Primo Cirrincione

12.6.2002 Seminar XML-Technologien: MathML

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Was ist MathML?Was ist MathML?

• MathML = Mathematical Markup Language

• MathML ist eine auf XML basierende Auszeichnungssprache für mathematische Ausdrücke.

• Was HTML für Text-Information ist, soll MathML für mathematische Ausdrücke sein.


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Geschichte von MathML (1)Geschichte von MathML (1)

• 1994 - Es wurde ein Vorschlag für HTML Math im HTML 3.0 working draft eingefügt.

• Mai 1996 - Nach einem Meeting der digital Library Initiative wurde ein Ausschuss für HTML Math Editorial Review gegründent.

• März 1997 - Dieser Ausschuss wurde zum W3C Math Working Group neu zusammengesetzt.

• April 1998 - W3C veröffentlicht MathML 1.0 als Recommendation.


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Geschichte von MathML (2)Geschichte von MathML (2)• Juli 1999 - Das Math Working Group veröffentlicht MathML 1.01 als

überarbeitete Version der vorherigen Recommendation.

• Februar 2001 - Die W3C Recommendation von MathML 2.0 wurde veröffentlicht.

• An der Entwicklung von MathML sind auch folgende Firmen beteiligt:

– Waterloo (Maple)

– Wolfram Research (Mathematica)

– IBM

– Microsoft

– uvm.

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Alternativen zu MathMLAlternativen zu MathML• Man lässt sich von Mathematik-Programmen (z.B. Maple

oder Mathematica) Bilder der Ausdrücke generieren und fügt diese in ein HTML-Dokument ein.

• Man versucht die Ausdrücke mit HTML zu schreibenZum Beispiel:

-b ± Sqrt(b2 - 4ac)-b ± Sqrt(b2 - 4ac) x = -------------------x = ------------------- 2a2a

 <pre> <pre>

-b ± Sqrt(b2 - 4ac) -b ± Sqrt(b2 - 4ac) x= ------------------- x= -------------------

2a 2a </pre> </pre>


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NachteileNachteile

• Mit HTML hat man Probleme um „spezielle“ mathematische Ausdrücke darzustellen (z.B. Integrale, Summen, usw.).

• Die mathematische Bedeutung geht verloren.• Wenn die Formeln als Bilder abgespeichert sind,

geht jegliche Dynamik verloren.• Bilder können nicht als Input für Programme

benützt werden, die symbolisch Rechnen können.• Bilder brauchen mehr Speicher -> Der Aufbau einer

Internetseite ist langsamer.


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Lösung: MathMLLösung: MathML

• MathML erlaubt sowohl äussere Struktur eines Ausdrucks als auch dessen Semantik zu kodieren.

• Durch die Attribute von MathML-Elemente kann man den Layout der Ausdrücke festlegen.

• Man könnte MathML als Input für Mathematik-Programme verwenden.

• Man kann MathML in andere Formate umwandeln, z.B. LaTeX.

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Aufbau von MathMLAufbau von MathML• Jedes MathML Dokument beginnt mit <math> und endet

mit dem schliessenden </math> und es ist wie ein XML Dokument aufgebaut.

• Es gibt zwei Unterschiedliche Arten ein mathematischer Ausdruck in MathML zu kodieren: Presentation oder Content Markup.

• Presentation Markup ermöglicht es einen Ausdruck über das Aussehen zu kodieren.

• Content Markup ermöglicht es einen Ausdruck über die Semantik zu kodieren.

• Man kann beide Markup Varianten auch mischen bzw. parallel benützen.


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Idee von MathML: Idee von MathML: Expression TreesExpression Trees

• Die Idee ist es die Baumstruktur eines mathematischen Ausdrucks zu nutzen.

• Man kann mathematische Symbole nur auf wenige Arten in einem Ausdruck anordnen. Z.B.:– In einer Reihe.

– In eine Matrix.

– Als Index.

• Mathematische Ausdrücke sind oft nur Ineinanderschachtelungen einfacherer Ausdrücke.

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Presentation Markup: Layout BoxPresentation Markup: Layout Box

• Presentation Markup hat 27 Elemente mit ca. 50 Attributen.

• Presentation Markup basiert auf der Idee der Layout Box: Jedes Element ist eine Layout Box.– Die einfachsten Layout Boxes enthalten Zeichen, Zahlen oder

Entitäten.

– Kompliziertere Boxes ordnen ihre „child Boxes“ gemäss einem Algorithmus an.

– Z.B. gibt es ein Element <mfrac> welches seine zwei Kinder-Elemente als Bruch darstellt.

• Man könnte sagen, dass jedes Element eine Art „intelligentes Template“ ist, welches seine Kinder auf eine gewisse Art darstellt.

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Presentation Markup: TokensPresentation Markup: Tokens• Die einfachsten Elemente im Presentation Markup

sind die Tokens.• Das sind die einzigen Elemente die direkt Daten

enthalten (entweder Zahlen, Buchstaben oder Entitäten), also die eigentlichen Blätter im Baum.

• <mi> .. </mi>Weist darauf hin, dass sein Inhalt als Variable angezeigt werden soll. Wichtige Attribute sind fontweight, fontstyle, etc..

• <mn> .. </mn>Weist darauf hin, dass sein Inhalt als Zahl angezeigt werden soll. Hat dieselben Attribute wie <mi>.

• <mo> .. </mo>Weist darauf hin, dass sein Inhalt als Operator angezeigt werden soll. Attribute sind lspace, rspace, stretchy, movablelimits

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Presentation Markup: Layout SchemataPresentation Markup: Layout Schemata• <mrow> Kind(1)..Kind(n) </mrow>

Das üblichste Layout Schema. Es zeigt seine Kinder in einer Reihe entlang einer Horizontalen Basislinie an.

• <mfenced> Kind(1)..Kind(n) </mfenced>Erfüllt gleiche Aufgabe wie <mrow> und schliesst zusätzlich seine Kinder in Klammern ein.

• <mfrac> Zähler Nenner </mfrac>Zeigt einen Bruch an. Wenn man das Attribut linethickness auf 0 setzt, kann <mfrac> dazu benutzen Binomialausdrücke anzeigen zu lassen.

• <msqrt> Kind(1)..Kind(n) </msqrt>Zeigt seine Kinder unter einem Wurzel-Zeichen an.

• <mroot> Basis Index </mroot>Benötigt man um Wurzeln höherer Ordnung anzeigen zu lassen.

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Erstes Beispiel:<math>

<mfrac><mn>3</mn><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo></mrow>

</mfrac></math>

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Presentation Markup: IndicesPresentation Markup: Indices• <msub> Basis tiefgestellter-Index </msub>

<msup> Basis hochgestellter-Index </msup>Erstes Kind wird als Basis angezeigt und zweites Kind als tiefgestellter bzw. hochgestellter Index

• <msubsup> Basis tiefg.-Index hochg.-Index </msubsup>Ermöglicht es sowohl einen tiefgestellten Index als auch einen hochgestellten zu setzen

• <munder> Basis Zeichen </munder><mover> Basis Zeichen </mover>Das Zeichen wird über der Basis bzw. unter der Basis angezeigt. Benutzt man z.B. um ein Tilde oder ein Strich über eine Variable zu schreiben.

• <munderover> Basis Zeichen Zeichen </munderover>Erlaubt es einem Zeichen sowohl über die Basis als auch darunter zu schreiben. Findet Anwendung bei Summen oder Integralen (z.B. die Grenzen über und unter dem Integralzeichen).

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Beispiele zu Indices (1):Beispiele zu Indices (1):<<mrow>mrow>

<msup><msup>

<msub><msub>

<mi>x</mi><mi>x</mi>

<mn>1</mn><mn>1</mn>

</msub></msub>

<mi>α</mi><mi>α</mi>

</msup></msup> <mo>+</mo><mo>+</mo><msubsup><msubsup>

<mi>x</mi><mi>x</mi><mn>1</mn> <mn>1</mn> <mi>α</mi><mi>α</mi>

</msubsup></msubsup></mrow></mrow>

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Beispiele zu Indices (2):Beispiele zu Indices (2):

<mrow> <mstyle displaystyle='true'> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>&infty;</mi> </munderover> </mstyle>

<msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi></msup></mrow>

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Presentation Markup: TabellenPresentation Markup: Tabellen

Tabellen in MathML sind ähnlich zu den Tabellen in HTML aufgebaut. Sie haben aber noch einige zusätzliche Attribute um das Verhalten des Layouts besser zu kontrollieren.

• <mtable> Reihe(1)..Reihe(n) </mtable>wobei Reihe(i) <mtr> Elemente (math table row) sind.

• <mtr> Zelle(1)..Zelle(n) </mtr>wobei Zelle(i) <mtd> Elemente (Datenzellen) sind.

• <mtd> Kind(1)..Kind(n) </mtd>

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Beispiel: MatrixBeispiel: Matrix

<mrow><mrow> <mi>A</mi><mi>A</mi> <mo>=</mo><mo>=</mo> <mfenced open='['; close=']'><mfenced open='['; close=']'> <mtable><mtable> <mtr><mtr> <mtd><mi>x</mi></mtd><mtd><mi>x</mi></mtd> <mtd><mi>y</mi></mtd><mtd><mi>y</mi></mtd> </mtr></mtr>

<mtr><mtr> <mtd><mi>z</mi></mtd><mtd><mi>z</mi></mtd> <mtd><mi>w</mi></mtd><mtd><mi>w</mi></mtd>

</mtr></mtr> </mtable></mtable> </mfenced></mfenced></mrow></mrow>

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Presentation Markup: VererbungPresentation Markup: Vererbung• Attribute können entweder explizit in den MathML-

Tags gesetzt werden oder von der Umgebung ererbt werden.

• Jedes MathML-Element hat eine Umgebung welches einen Default-Wert für die Attribute festlegt. Die Idee ist, dass die Attribute der Umgebung, die für Schriftart, Hintergrund, etc. zuständig sind, durch den Browser initialisiert werden.

• Attribute die in einem Element gesetzt werden, wirken sich nur auf dieses aus.

• Um gewisse Attribute für mehrere Elemente gleichzeitig zu setzen, benutzt man das Element <mstyle>.

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Beispiel zu <mstyle>Beispiel zu <mstyle>

<<mrow>mrow> <mi>f</mi><mi>f</mi> <mfenced><mfenced> <mstyle color=‘#ff0000’><mstyle color=‘#ff0000’> <mrow><mrow> <mi>x</mi><mi>x</mi> <mo>+</mo><mo>+</mo> <mi>y</mi><mi>y</mi> </mrow> </mrow> </mstyle></mstyle> </mfenced></mfenced> </mrow></mrow>

f(f(x + yx + y))


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Content Markup: Prefix-NotationContent Markup: Prefix-Notation

• In Content Markup werden die Ausdrücke in Prefix-Notation geschrieben.

• Der Vorteil ist, dass Klammern überflüssig werden, da die Reihenfolge der Operationen durch die Notation eindeutig ist.

Zum Beispiel: (x+y)/2 wird zu / + x y 2

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Content Markup: Tokens und fundamentale Content Markup: Tokens und fundamentale ElementeElemente

• <ci>..</ci> Ist das analoge Element zu <mi>. Hat ein Attribut type, welches den Typ des angezeigten Objekts festlegt (z.B. vector, array, etc.).• <cn>..</cn>Ist das analoge Element zu <mn>. Hat auch ein Attribute type (z.B. real, integer, rational, complex-cartesian, complex-polar, constant) und ein Attribut base um das Zahlsystem festzulegen.

• <apply> Operator Argument(1)..Argument(n) </apply>Ist ein fundamentales Element des Content Markup um Operationen auszudrücken.

• <reln> Typ Argument(1) Argument(2) </reln>Ist das Analogon zu <apply> um Relationen auszudrücken.

• Es gibt kein <co> Element! Operatoren sind „leere Elemente“ oder werden durch das <fn> Element definiert.

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Content Markup: Operatoren und RelationenContent Markup: Operatoren und Relationen• Es gibt ca. 50 „leere“ Operator Elemente für die

üblichsten Funktionen und Operatoren (z.B. <cos/> oder <plus/>).

• Es gibt ein Element um Funktionen bzw. Operatoren zu definieren: <fn> Operator </fn>

• Bemerkung: Wenn man eine Funktion f(x) definiert, sagt man nicht explizit, dass das x in Klammern dargestellt werden soll. Das muss der Browser „selber“ erkennen.

• Relationen werden von Operatoren unterschieden. Man definiert sie über das <reln> Element.

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Beispiel: Funktionen und RelationBeispiel: Funktionen und Relation

1. 1. (sin + cos)(x)(sin + cos)(x)<apply> <apply> <fn><fn> <mfenced> <mfenced> <apply><plus/> <apply><plus/>

<sin/><sin/><cos/><cos/>

</apply></apply> </mfenced></mfenced></fn></fn><ci>x</ci><ci>x</ci></apply></apply>

2. 2. g(y) g(y)

<apply><apply><fn><fn><ci>g</ci><ci>g</ci></fn></fn><ci>y</ci><ci>y</ci>

</apply></apply>

3.3. x=1 x=1

<reln><reln> <eq/><eq/><ci>x</ci><ci>x</ci><cn>1</cn><cn>1</cn>

</reln></reln>

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Content Markup: ContainersContent Markup: Containers• MathML benutzt sogenannte Container Elemente um

elemantare mathematische Objekte und Datentypen darzustellen.

• <set> <element1> <element2>...| <condition> </set>Konstruiert eine Menge dessen Elemente auf zwei Arten definiert werden: Entweder durch eine Liste von Tokens (in einem <bvar> Container) und Containers oder durch ein <condition> Element.

• <interval> Punkt1 Punkt2 </interval>Definiert ein Intervall, wobei die Punkte die Anfangs und Endpunkte sind. Durch das Attribut closure kann man Intervalltyp festlegen („open“, „open-closed“, etc.).

• <vector> <element1> <element2> ... </vector>Konstruiert ein Vektor (per Konvention ein Spaltenvektor).

• <matrix> <Reihe(1)> <Reihe(2)> ... </matrix><Reihe(i)> sind <matrixrow> Elemente, deren Kinder dann die Matrixeinträge sind.

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Beispiel: Menge und IntervallBeispiel: Menge und Intervall

<reln> <eq/><reln> <eq/> <set><set> <bvar> <ci>x</ci> </bvar><bvar> <ci>x</ci> </bvar> <condition><condition> <reln> <geq/><<reln> <geq/><ci>x</ci><cn>0</cn> ci>x</ci><cn>0</cn> </reln></reln> </condition></condition> </set></set>

<interval closure='closed-open'><interval closure='closed-open'> <cn>0</cn><cn>0</cn> <ci>&infty;</ci><ci>&infty;</ci> </interval></interval>

</reln></reln>

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Beispiel: Matrix und VektorBeispiel: Matrix und Vektor

<reln> <eq/> <reln> <eq/> <apply><times/> <apply><times/> <vector <vector type=“row”type=“row”> <cn>1 </cn> <cn>2 </cn> </vector> > <cn>1 </cn> <cn>2 </cn> </vector> <matrix><matrix> <matrixrow><matrixrow> <cn>0 </cn> <cn>1 </cn> <cn>0 </cn> <cn>1 </cn> </matrixrow></matrixrow> <matrixrow><matrixrow> <cn>1 </cn> <cn>0 </cn> <cn>1 </cn> <cn>0 </cn> </matrixrow></matrixrow> </matrix></matrix> </apply></apply> <apply> <transpose/> <apply> <transpose/> <vector> <cn>2 </cn> <cn>1 </cn> </vector> <vector> <cn>2 </cn> <cn>1 </cn> </vector> </apply> </apply>

</reln></reln>

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Paralleler und gemischter Markup:Paralleler und gemischter Markup:

• Es ist notwendig beide Markup Varianten gleichzeitig zu verwenden, um das Layout eines mathematischen Ausdrucks kontrollieren zu können, aber dabei die semantische Bedeutung nicht zu verlieren.

• Der mathematische Ausdruck soll möglichst „schön“ angezeigt werden, aber dabei muss der Inhalt für ein Programm noch immer verständlich bleiben.

• Das <semantics> Element erlaubt dies.

• Mit dem <annotation> bzw. <annotation-xml> Element (innerhalb von <semantics>) können noch zusätzliche Informationen gespeichert werden.

• Es ist auch möglich Presentation Markup im Content Markup zu verwenden und umgekehrt. Dies kann aber heikel sein. Man muss vieles beachten, damit der Code noch Sinn macht.

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Beispiel: semanticsBeispiel: semantics<semantics><semantics><mrow>

<msup> <mi>f</mi> <mi>′</mi> </msup><mfenced><mi>x</mi></mfenced>

</mrow>

<annotation-xml encoding="MathML-Content"><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><diff/> <apply><diff/>

<bvar> <bvar> <ci>x</ci> <ci>x</ci>

</bvar> </bvar> <apply><apply>

<fn> f </fn> <fn> f </fn> <ci> x </ci> <ci> x </ci>

</apply> </apply> </apply></apply>

</annotation-xml></annotation-xml> </semantics></semantics>


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Tools (1):Tools (1):• Da MathML von XML stammt, ist es mühsam MathML

„von Hand“ zu schreiben.

• Der WebEQ Equation Editor ist ein graphischer Editor, der es einem Erlaubt einen mathematischen Ausdruck sowohl in Content als auch Presentation Markup zu exportieren.


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Tools (2):Tools (2):

• WebEQ kann das MathML Dokument als Applet exportieren (natürlich auch als XML oder auch als Bild), so dass der mathematische Ausdruck in einem Applet generiert wird.

• Vorteil: Man braucht kein Browser der MathML unterstützt um den Ausdruck zu lesen.

Beispiel

• Eine weitere Möglichkeit um ein MathML Dokument zu erstellen ist es, mit einem Programm wie Maple (nur mit Version 7 möglich) oder Mathematica den Ausdruck zu schreiben und dann als MathML zu exportieren.

http://www.math-lab.unibas.ch/~cirrinci/MathML/MathMLVortrag.html


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Browser und Plug-insBrowser und Plug-ins

• Applets sind zwar Praktisch, da sie von jedem Browser unterstützt werden. Aber das ganze ist dafür ziemlich langsam und undynamisch.

• MathML wird noch nicht standardmässig von allen Browsern unterstützt.

• Es gibt aber Plug-ins für IE (ab Version 5.5), der sogenannte Mathplayer

Beispiel

• Browser die MathML Presentation Markup schon unterstützen:

– Netscape 7.0

– Mozilla

– Amaya

http://www.math-lab.unibas.ch/~cirrinci/MathML/MathMLVortrag.html


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Nützliche LinksNützliche Links

• www.w3.org/Math : Die W3C Math Working Group Homepage

• www.w3.org/Math/implementations.html: Informationen zu Software für MathML

• www.webeq.com/mathml/gitmml/: Ein gutes Tutorial für MathML

http://www.w3.org/Math

http://www.w3.org/Math/implementations.html




http://www.webeq.com/mathml/gitmml/










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Fazit:Fazit:• MathML ist ein gutes Beispiel dafür, wie man XML

sinnvoll anwenden kann.

• Da es auf XML basiert, ist es einfach möglich MathML in andere Formate (wie TeX z.B.) umzuwandeln.

• MathML hat natürlich auch den Nachteil von XML, das der Code schnell ziemlich gross wird und sich entsprechend schnell Fehler reinschleichen.

• Ein Nachteil ist auch, dass es leider nur wenig Freeware gibt, um MathML Dokumente zu erzeugen.

• Damit MathML sinnvoll eingesetzt werden kann, ist es notwendig, dass alle Browser MathML standardmässig unterstützen. Was wahrscheinlich bald der Fall sein wird.

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