Mechanik II

Dynamik

Bernd Binninger

Aachen im Fruhjahr 2017

Institut fur Technische Verbrennung

RWTH Aachen

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamik des Massenpunktes 11.1 Kinematik des Punktes oder Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Ort eines Punktes P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Geschwindigkeit eines Punktes P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2.1 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Zusammenfassung zur Geschwindigkeit v von Massenpunkten . . . . . . . 51.1.4 Beschleunigung eines Punktes P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4.1 Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag . . . . . 81.1.4.2 Allgemeine Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Zusammenfassung zur Beschleunigung a von Massenpunkten . . . . . . . 121.1.6 Geschwindigkeit und Ort eines Punktes bei gegebener Beschleunigung . . 131.1.7 Wechsel unabhangiger Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.8 Kinematik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.8.1 Reine Translation der Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.8.2 Translatorisch und rotatorisch bewegte Bezugssysteme . . . . . . 251.1.8.3 Zusammenfassung zur Darstellung der Kinematik bei relativ be-

wegten Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2 Kinetik des Massenpunktes - die Newtonschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2.1 Newtonsche Bewegungsgesetze: Zusammenfassung und Folgerungen . . . . 361.2.2 Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2.3 Grundaufgaben der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2.4 Losbarkeit der Newtonschen Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . 381.2.5 Integrale der Newtonschen Bewegungsgleichung und Erhaltungssatze . . . 45

1.2.5.1 Arbeitssatz, Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.2.5.2 Arbeit spezieller Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.5.2.1 Konservative Krafte und Potential . . . . . . . . . . . . 461.2.5.2.2 Zusammenfassung fur konservative Krafte . . . . . . . 491.2.5.2.3 Die Gewichtskraft, eine konservative Kraft . . . . . . . 491.2.5.2.4 Die Arbeit einer ideal-elastischen Feder, Potential der

Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.2.5.2.5 Die Reibkraft, eine nichtkonservative Kraft . . . . . . . 511.2.5.2.6 Zwangs- oder Fuhrungskrafte . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.2.5.3 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.2.5.4 Beispiele zum Arbeits-, Energie- und Energieerhaltungssatz . . . 551.2.5.5 Leistung einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.2.5.6 Der Impulssatz und der Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . 651.2.5.7 Drehimpuls, Drehimpulssatz und Drehimpulserhaltungssatz . . . 701.2.5.8 Stoß- und Streuprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.2.5.8.1 Anwendungen des plastischen Stoßes: Schmieden undNageln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.2.5.8.2 Zusammenfassung zu Stoßprozessen . . . . . . . . . . . 821.2.5.9 Ideal-elastische Streuung und ideal-elastischer Stoß . . . . . . . . 831.2.5.10 Impuls- und Energieerhaltung bei Zerfallsprozessen . . . . . . . 85

1.2.6 Zusammenfassung zur Newtonschen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . 861.3 Kinetik des Massenpunktes - die Lagrangeschen Gleichungen . . . . . . . . . . . 87

1.3.1 Herleitung der Lagrangeschen Gleichungen mit dem Prinzip von d’Alembert 891.3.2 Herleitung der Lagrangeschen Gleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip 911.3.3 Abschließende Bemerkungen zur Lagrangeschen Mechanik . . . . . . . . . 95

2 Dynamik des starren Korpers 992.1 Kinematik des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.1.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung von Punkten eines starren Korpers . 992.1.1.1 Zusammenfassung der Losungsschritte zur Kinematik starrer Korper

fur zweidimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.2 Kinetik des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2.1 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.2.2 Potentielle und kinetische Energie des starren Korpers . . . . . . . . . . . 112

2.2.2.1 Potentielle Energie in konstantem Schwerefeld . . . . . . . . . . 1122.2.2.2 Kinetische Energie des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . 113

2.2.2.2.1 Rotation des starren Korpers um eine im Raum kon-stant ausgerichtete, korperfeste Achse . . . . . . . . . . 117

2.2.2.2.2 Zusammenfassung zur kinetischen Energie des starrenKorpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.2.2.3 Massentragheitsmomente einfacher ebener Korper . . . . . . . . 1252.2.3 Drehimpuls des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.3.1 Zusammenfassung zum Drehimpuls oder Drall . . . . . . . . . . 1382.2.3.2 Zusammenfassung zum Drehimpuls- oder Drallsatz . . . . . . . . 139

3 Schwingungsvorgange 1453.1 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.1.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.1.2 Feder-Masse-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.2 Freie gedampfte Schwingung mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.3 Erzwungene gedampfte Schwingung mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . 1543.4 Freie ungedampfte Schwingung mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . 160

A Vektoren iA.1 Symbolische und grafische Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . iA.2 Darstellung von Vektoren in kartesischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . iiA.3 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiA.4 Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivA.5 Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

A.5.1 Skalares oder inneres Produkt von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . ivA.5.2 Vektor-, Kreuz- oder außeres Produkt dreidimensionaler Vektoren . . . . vA.5.3 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viA.5.4 Dyadisches oder tensorielles Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viA.5.5 Indexschreibweise und Tensorkalkul in kartesischen Koordinaten . . . . . vii

A.6 Analysis und Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiA.6.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiA.6.2 Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiA.6.3 Die Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvA.6.4 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviA.6.5 Vollstandiges, exaktes oder totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . xvii

B Literaturempfehlungen xviiiB.1 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviiiB.2 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviiiB.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii