Mechanik II / Vorlesung 5 / Prof - · PDF file1 Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof....
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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 17.
Kreiselbewegung, Tensor der Trägheitsmomente
I. Drehimpuls bei einer Drehung um eine
beliebige Achse
cosx
siny
2
12x
mb
2
12y
ma
tanb
a .
2
cos12
x x x
mbL
2
sin12
y y y
maL
2 21
2 2
sintan tan
cos
a a b a
b b a b
.
Der Vektor des Drehimpulses dreht sich um die
Achse.
II. Zeitliche Änderung eines rotierenden
Vektors.
Wenn ein Vektor A sich mit der Winkelge-
schwindigkeit dreht, so gilt A A .
Beispiele:
(a) Geschwindigkeit v r r
(b) Beschleunigung a v v r
(c) Änderung des Drehimpulses L L
III. Die in der Achse bei einer Rotation wir-
kenden Kräfte.
Nach dem Drehimpulssatz
gilt L L M .
Ändert sich der Drehimpuls,
so muss ein Kraftmoment
wirken! Die Änderung des
Drehimpulses zeigt in die
Tafel. In den Lagern
muss somit ein Kräftepaar
wirken, wie im Bild 1 gezeigt. Woher stammt
dieses Kraftmoment? Betrachten wir die Platte
im rotierenden Bezugssystem. Durch die Zent-
rifugalkräfte entsteht ein Kraftmoment in der
gezeigten Richtung. Die Reaktionskräfte in den
Lagern wirken in die entgegensetzte Richtung.
Was geschieht, wenn die Achse nicht festgehal-
ten wird?
IV. Symmetrischer Kreisel
Definition: x y z . Zum Beispiel:
A. Reguläre Präzession (Nutation) eines sym-
metrischen Kreisels.
1 1 1L
2 2 2 0L
3 3 3L
Winkelgeschwindig-
keit der Drehung um
die Symmetrieachse:
33
3 3
cosL L
1 Pr
1
sinsin
L
Daraus Pr
1
L
. Die Kreisachse beschreibt
einen Kreiskegel um die Richtung L .
V. Präzession unter der Einwirkung eines
Kraftmomentes
Wenn wir die Kreiselachse gleichmäßig um die
vertikale Achse drehen, wie ändert sich der
Drehimpuls?
L L M
VI. Spielkreisel
a
b
L F
F
x
y
L
1x
3x
F
-F L in die
Tafel gerich-
tet
Wenn die Kräfte in vertikaler Ebene wirken, so
bewegt sich die Achse in der horizontalen Ebene
Pr L
mg
h
2
Pr sin sinL L mgl
Pr
mgl mgl
L
Astronomisches Beispiel: Präzession der Erde
Periode der astronomischen Präzession
25800 Jahre.
VII. Präzession und Nutation
VIII. Satz vom gleichsinnigen Parallelismus
der Drehachsen (Foucault)
.
Sonne
Nut Pr äz
Die Kreiselachse versucht sich gleichsinnig
parallel mit der Achse der Zwangsdrehung
zu stellen.