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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 17.

Kreiselbewegung, Tensor der Trägheitsmomente

I. Drehimpuls bei einer Drehung um eine

beliebige Achse

cosx

siny

2

12x

mb

2

12y

ma

tanb

a .

2

cos12

x x x

mbL

2

sin12

y y y

maL

2 21

2 2

sintan tan

cos

a a b a

b b a b

.

Der Vektor des Drehimpulses dreht sich um die

Achse.

II. Zeitliche Änderung eines rotierenden

Vektors.

Wenn ein Vektor A sich mit der Winkelge-

schwindigkeit dreht, so gilt A A .

Beispiele:

(a) Geschwindigkeit v r r

(b) Beschleunigung a v v r

(c) Änderung des Drehimpulses L L

III. Die in der Achse bei einer Rotation wir-

kenden Kräfte.

Nach dem Drehimpulssatz

gilt L L M .

Ändert sich der Drehimpuls,

so muss ein Kraftmoment

wirken! Die Änderung des

Drehimpulses zeigt in die

Tafel. In den Lagern

muss somit ein Kräftepaar

wirken, wie im Bild 1 gezeigt. Woher stammt

dieses Kraftmoment? Betrachten wir die Platte

im rotierenden Bezugssystem. Durch die Zent-

rifugalkräfte entsteht ein Kraftmoment in der

gezeigten Richtung. Die Reaktionskräfte in den

Lagern wirken in die entgegensetzte Richtung.

Was geschieht, wenn die Achse nicht festgehal-

ten wird?

IV. Symmetrischer Kreisel

Definition: x y z . Zum Beispiel:

A. Reguläre Präzession (Nutation) eines sym-

metrischen Kreisels.

1 1 1L

2 2 2 0L

3 3 3L

Winkelgeschwindig-

keit der Drehung um

die Symmetrieachse:

33

3 3

cosL L

1 Pr

1

sinsin

L

Daraus Pr

1

L

. Die Kreisachse beschreibt

einen Kreiskegel um die Richtung L .

V. Präzession unter der Einwirkung eines

Kraftmomentes

Wenn wir die Kreiselachse gleichmäßig um die

vertikale Achse drehen, wie ändert sich der

Drehimpuls?

L L M

VI. Spielkreisel

a

b

L F

F

x

y

L

1x

3x

F

-F L in die

Tafel gerich-

tet

Wenn die Kräfte in vertikaler Ebene wirken, so

bewegt sich die Achse in der horizontalen Ebene

Pr L

mg

h

2

Pr sin sinL L mgl

Pr

mgl mgl

L

Astronomisches Beispiel: Präzession der Erde

Periode der astronomischen Präzession

25800 Jahre.

VII. Präzession und Nutation

VIII. Satz vom gleichsinnigen Parallelismus

der Drehachsen (Foucault)

.

Sonne

Nut Pr äz

Die Kreiselachse versucht sich gleichsinnig

parallel mit der Achse der Zwangsdrehung

zu stellen.