Mechanik II / Vorlesung 25 / Prof. Popov Erzwungene Schwingungen mit zwei Freiheitsgraden (HSG 5.4.2)

I. Erzwungene ungedmpfte Schwingungen. Wir betrachten das skizzierte System:

Die Bewegungsgleichu1 1 1 1 2 2(m x k x k x x= +

2 2 2 2 1( )m x k x x F= +

1 21 1 2

1 1

(k kx x xm m

= +

22 2 1

2

( )k Fx x xm m

= +

Die allgemeine LsungDGL ist gleich der Sumsung der nicht homogenallgemeinen Lsung de

(a) Homogene GleichuSystemen kann man stazes ein Sinus- oder Kos

1 cosx X t= , 2 cx Y=Einsetzen in die Beweg

2 1 2

1 1

(k kX X Ym m

= +

2 20

2

( )kY Ym

= X

oder nach Umformung 21 2 2

1 1

k k kX Ym m

+

22 2

2 2

k kX Ym m

+

Bedingung fr die Lsb(charakteristische Gleic

21 2

1

2

2

k km

km

+

=

( )1 24 2

2 1

k kkm m

+

= +

Eigenfrequenzen:

( ) ( )1 22 21,2

2 1

12

k kkm m

+

= +

( )2

1 22 1

2 1 1

14

k kk km m m

+ +

2

2

km

. (4) 1x 2x

1 2

2 F(t)

1

ngen lauten 1)

t ( )

) 1x

2

( )t

dieser nicht homogme einer Partikulaen Gleichung und

r homogenen Gleic

ng. In ungedmpfttt des Exponentialainusansatz verwendos t . ungsgleichungen li

) X

0 (1) =

0= (2)

arkeit des Systemshung):

2

1

22

2

0

km

km

=

2 1

1 2

0km m

+ =2k

enen rl-der hung.

en nsat-en:

efert

(3)

Eigenformen bekommt man, indem man (3) in (1) oder (2) einsetzt. Das machen wir aber jetzt nicht. Die Determinante (3) kann man nach dem The-orem von Viet umformen (wird spter benutzt):

( ) ( )2 2 2 21 2 = . (5) (b) Partikularlsung der nicht homogenen Gleichung. Die uere Kraft sei 0( ) cosF t F t= . In ungedmpften Systemen werden die Lsun-gen in der gleichen Form wie die Krafterregung gesucht: 1 cosx X t= , 2 cosx Y t= . Einset-zen in die Bewegungsgleichungen liefert

21 2 2

1 1

0k k kX Ym m

+

=

(6)

22 2 00

2 2 2

k k FX Y fm m m

+ = =

(7)

Die Determinanten X und sind Y

2

1 20

2 120

2

0,

,X

km kf

mkfm

= =

,

21 2

21 1 20

120

2

, 0

,Y

k km k kf

mk fm

+ + = =

.

Somit

( ) ( )2 1

0 2 2 2 21 2

/X k mX f

= =

, (8)

( )( ) ( )

21 2 1

0 2 2 2 21 2

/Y k k mY f

+

= =

. (9)

X und Y werden gro bei 1 = und 2 = (zwei Resonanzen).

Numerisches Beispiel. Betrachten wir das uns bekannte System mit , 1 2 1m m= = 1 2 1k k= = . Die Eigenfrequenzen wurden in der vorigen

1

Vorlesung berechnet. Sie knnen auch mit (4) berechnet werden: 1 1.62 = , 2 0.62 =

)

.

( ) ( 21

0.62

(

2

)2

2 0.62

2

2 0.62 =

2 0.62= 2 1.62=

( 1 2k k= +

2 2t =

) 1m

Die Schwingungsamplituden (8) und (9) sind

0 2 21.62X f= (10)

( )0 2 22

1.62Y f= (11)

Aus den Gleichungen (10) und (11) kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen:

Beide Amplituden werden sowohl bei 1 1.62 = , als auch bei unendlich

(Resonanz).

Das Verhltnis der Amplituden ist 2/ 2Y X = .

1

1lim / 2Y X =

22lim / 2Y X = .

Das bedeutet, dass bei jeder der zwei Reso-nanzen genau die jeweilige Eigenform ange-regt wird. Methode zur experimentellen Untersuchung von Eigenformen.

Die Schwingungsamplitude X ist immer von Null verschieden. Die Schwingungsampli-tude Y dagegen wird Null bei . [Im all-gemeinen Fall ]. Das bedeu-tet, dass trotz der anregenden Kraft, die auf den zweiten Krper wirkt, bewegt er sich nicht! Das ist der sogenannte Tilgereffekt. Die entspre-chende Frequenz ist Tilgerfrequenz. Prakti-sche Anwendung zur Schwingungstilgung.

2 /t

Bestimmung der Tilgerfrequenz ohne L-sung des Gleichungssystems Die Tilgerfrequenz kann man sehr einfach bestimmen, wenn man bemerkt, dass sich der zweite Krper bei einer Erregung mit der Til-gerfrequenz nicht bewegen darf.

1 2

2

Unter diesen BedingunZweimassensystem aufzeigten EinmassenschwKrper schwingt und zw

( )2 1 2 /t k k m = + 1 .

II. Erzwungene Schwiriodischen, nicht sinus

1

1x

Y X

2 2cos sL R l R= +

( )

2 2 2

2 2

sin 1

11 / sin2

l R l

l R l

=

=

Da 2 1sin (1 cos22

=

2

2 2

cos4

cos s4 4

R RL R ll

R RR t ll l

= + +

+ +

Bewegungsgleichung

bei

m

4R

0( ) cosx t R t= +

1) Wenn 0( ) cosx t R =2 cosm x kx kR t + =

(2cos cos

1 /kR t Rxk m

= =

2) Wenn 2

0( ) cos4Rx t

l=

( )( )

2

20

/ 4 cos2

1 2 /

R l tx

=

.

3) Wenn 0( ) cosx t R =

( )( 2

20

cos1 / 1

RR tx

= +

L

R l Schubkubelgetriebe

gen reduziert sich das den in der Skizze ge-inger. Nur der erste ar mit der Frequenz

ngungen bei einer pe-frmigen Anregung.

m

2in .

( )2 22

2

/ sin

sin2

R l

Rll

) 2

sin 24

in 2

l

t

=

, wo-0( (x k x x t= ))2

sin 2 tl

.

t , dann ,

)20t

.

2 t , dann

2

sin 24Rt

lt+ , dann

)( )20/ 4 cos2

2 /

l t

.

2

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