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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 7.

Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Stoß Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7

I. Mechanische Arbeit, Arbeitssatz

Betrachten wir einen Körper mit der Masse m,

der sich unter der Wirkung einer (im Allgemei-

nen zeit- oder ortsabhängigen) Kraft F bewegt.

Das zweite Newtonsche Gesetz für den Körper

lautet: dv

m Fdt

.

Indem wir diese Gleichung mit v

multiplizie-

ren, erhalten wir

dvm v F v

dt

(Skalarprodukt!) (1)

Die linke Seite der Gleichung kann in der Form

2

2 2

d vd v vdv m mm v

dt dt dt

dargestellt werden. Die rechte Seite schreiben

wir wie folgt um: dr

F v Fdt

.

Die Gleichung (1) nimmt die Form

2

2

md v F dr

an. Bestimmte Integration ergibt

2 2

1 1

2

2

v r

v r

md v F dr

oder

2

1

2 2

2 1

2 2

r

r

mv mvF dr

. (2)

Die Größe 2

2

mvK ist die kinetische Energie

des Körpers.

Das Integral 2

1

r

r

W F dr

nennt man die von

der Kraft F

auf dem Weg zwischen 1r und 2r

geleistete Arbeit.

Gleichung (2) sagt aus, dass Änderung der ki-

netischen Energie eines Objektes gleich der

durch die einwirkenden Kräfte geleisteten Ar-

beit ist.

2 1K K W . (Arbeitssatz)

II. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit ist als Integral 2

1

r

r

W F dr

definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

2

1

2 1

r

r

W F dr F r r F r

- Wann ist W=0? 0F oder 0r oder

90 .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die

Arbeit von B nach A.

-Die Arbeit ist eine additive Größe (Die Arbeit

mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist

gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräf-

te). Folgt aus der Definition.

III. Leistung

Betrachten wir die Bewegung innerhalb eines

infinitesimal kleinen Zeitintervalls dt , so kann

man den Arbeitssatz in der Differentialform

schreiben: dK dW .

Dividieren durch dt ergibt dK dW

dt dt . (3)

Die Größe /dW dt heißt Leistung der Kraft.

Gleichung (3) bedeutet, dass die zeitliche

Änderung der kinetischen Energie eines Ob-

jektes gleich der durch die einwirkenden

Kräfte aufgebrachten Leistung ist.

Einheiten:

[ Arbeit ] Newton Meter {Joule}

[ Leistung ] Joule pro Sekunde {Watt}

1 Kilowattstunde 310 3600 J = 63,6 10 Joule

IV. Potentielle Energie, Energieerhaltungs-

satz

Betrachten wir eine eindimensionale Bewe-

gung unter der Einwirkung einer Kraft ( )F x ,

die nur von der Koordinate abhängt.

Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

mv F x .

Multiplizieren mit v ergibt

dv dx

m v F xdt dt

oder mvdv F x dx

Bestimmte Integration ergibt

0

22

00

2 2

x

x

mvmvF x dx U x U x , (4)

wobei U x F x dx Stammfunktion zur

Funktion ( )F x ist (unbestimmtes Integral).

r

F

cosW F r

2

(4) kann wie folgt umgeschrieben werden:

22

00

2 2

mvmvU x U x . (5)

Die Größe ( )U x heißt potentielle Energie und

die Summe 2

2

mvE U x K U - volle

Energie des Systems.

Gleichung (5) besagt, dass die volle Energie

des Systems erhalten bleibt (Energieerhal-

tungssatz): E K U konst .

Der Energieerhaltungssatz in dieser Form gilt

nur dann, wenn die Kräfte nur von der Koordi-

nate abhängen (im Allgemeinen Fall gilt das

für konservative Kräfte, s. nächste Vorlesung).

Bemerkung: Aus der Definition der potentiel-

len Energie folgt, dass U

F xx

. Diese

Gleichung nennt man 1. Satz von Castigliano.

V. Beispiele

1. Potentielle Energie der Schwerekraft.

Die Schwerekraft ist gleich

F mg . Die Potentielle

Energie ist demnach

U mgdh mgh C .

C ist eine beliebige Konstante,

die z.B. gleich Null gesetzt

werden kann. Der Energieerhaltungssatz hat

die Form 2

2

mvmgh konst .

2. Potentielle Energie einer elastischen Feder.

Die Federkraft ist gleich F cx .

Die potentielle Energie demnach

2

2

xU cxdx c .

Energieerhaltungssatz: 2 2

2 2

mv xc konst .

3. Potentielle Energie der Gravitationskraft im

allgemeinen Fall.

2

MmF G

r .

2

Mm MmU G dr G

r r .

Energieerhaltungssatz: 2

2

mv MmE G konst

r .

Die auf dem geschlosse-

nen Weg geleistete Ar-

beit ist gleich

2 1 4 3 6 5 8 7

1 1 1 1 1 1 1 10W GMm

r r r r r r r r

Kräfte, deren Arbeit auf jedem geschlossenen

Weg Null ist, heißen konservativ.

VI. Ein Pendel

Zu bestimmen ist das Bewe-

gungsgesetz und die Stangen-

kraft für ein Pendel bestehend

aus einem leichten Stab und

einer Kugel, die man als ein

Massenpunkt betrachten kann.

Zum Zeitpunkt 0t wird es

aus der Ruhelage um den

Winkel 0 ausgelenkt und

freigelassen.

Lösung: Wir schreiben zunächst den Energie-

erhaltungssatz 22

00

2 2

mvmvmgh mgh .

Unter Berücksichtigung der geometrischen

Beziehung (1 cos )h l und 0 0v ergibt

sich 2

0(1 cos ) (1 cos )2

vgl gl

Daraus folgt

02 cos cosv gl .

Wir wollen das 2. Newtonsche

Gesetz in polarer Basis schrei-

ben. Die zirkularen und radialen

Komponenten der Beschleuni-

gung sind gleich

a l , 2

ra l

Für die zirkularen und radialen

Kraftkomponenten haben wir:

sinF mg cosr NF mg F

Das 2.N.G. ist dann: sinml mg ,

2

cos Nml mg F

Aus der zweiten Gleichung können wir die

Stangenkraft als Funktion des Winkels be-

rechnen:

2

0cos 3cos 2cosN

vF mg m mg

l .

Das Bewegungsgesetz bekommen wir aus der

Gleichung 0

d2 cos cos

dv l gl

t

durch Trennung der Variablen und Integration.

Ist ein Perpetuum mobile möglich?