Mechanische Wellen, Akustik, Ultraschall

Péter MarótiProfessor für Biophysik, Universität von Szeged, Ungarn.

Lehrbücher: Biophysik für Mediziner (Herausgeber S. Damjanovich, J. Fidy und J. Szöllősi) Medicina, Budapest, 2008.Adam G., Läuger P., Stark G. Physikalische Chemie und Biophysik, Springer-Verlag, Berlin 1988.Fercher A.F. Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1992.Haas U. Physik für Pharmazeuten und Mediziner; Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbH. Suttgart 2002.Jerrentrup A. Physik für Mediziner, Original-Prüfungsfragen mit Kommentar, Schwarze Reihe, 19. Auflage, Thieme Verlag Stuttgart 2009.Maróti P., Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress, Szeged 1998 (Ungarisch)P. Maróti, L. Berkes, F. Tölgyesi: Biophysics Problems. A Textbook with Answers. Akadémiai Kiadó, Budapest 1998 (Englisch).

Definitionen: der Bewegungszustand des schwingenden Körpers verbreitet sich im elastischen Medium im Raum und nach der Zeit.

Wellen können sich nur in Medien bilden und ausbreiten wo die schwingungsfähigen Teilchen miteinander gekoppelt sind. Schwingt eines der Teilchen, so wird es zum Erregungszentrum sich ausbreitender Wellenzüge. In einer Welle wird Schwingungsenergie übertragen.

Schwingen die Teilchen quer zur Ausbreitungsrichtung der Welle, so heiβt sie Quer- oder Transversalwelle. In ihr wechseln Wellenberge und Wellentäler.

Mechanische Welle, Schallwelle

Schwingen die Teilchen in der Ausbreitungsrichtung der Welle, so heißt sie Längs- oder Longitudinalwelle. In ihr wechseln Verdichtungen und Verdünnungen.

Verdichtung

Verdünnung

Wellenberg

Wellental

Kenngrößen der WellenWellenberg und –tal bzw. Verdichtung und Verdünnung ergeben zusammen eine Wellenlänge. Unter der Wellenlänge (λ) versteht man den kürzesten Abstand zweier Teilchen in gleicher Schwingungsphase.Entsprechend ihrer Ausbreitungsrichtung unterscheidet man - lineare Wellen, - Flächenwellen und - Raumwellen.Unter dem Wellenstrahl versteht man die Ausbreitungsrichtung der Welle. Senkrecht zu ihr verläuft die Wellenfront.

Ver

dich

tung

Ver

dünn

ung

Druck

Ziehen

WellenlängeSchwingungsdauer

OrtZeit

Amplitude

Longitudinalwelle

Transversalwelle

Ausbreitung einer harmonischen Auslenkung

Ungestörter Stab

Momentaufnahmedes Stabs während der Schall-ausbreitung

Momentan-zustand des Stabs (t ist fix).

Momentan-aufnahme der Verteilung der Spannung (Druck) entlang des Stabs.

Das Spektrum der mechanischen Welle (Schallspektrum)

Infra

scha

ll

Men

schl

iche

s S

prec

hen,

Hör

en, G

esan

g

Obe

re

Hör

gren

ze d

er

Kat

ze

Fled

erm

aus

Med

izin

isch

er

Ulra

scha

ll

Ultraschall

Gleichung der linearen (harmonischen) Welle Kinematik von Schallwellen

)sin(),0( tAtxy )/(sin),( cxtAtxy

Winkel der Phase: )/( cxt

Wel

lenl

änge

: (λ)

Schallgeschwindigkeit: c Lineare Frequenz: f

c

fcTc 2

2/2sin),( x

TtAtxy

2

Wellenzahl:

Sch

win

gung

sper

iode

: T

xtAtxy sin),(

Kre

isfre

quen

z: ω

Wel

lenz

ahl

Anf

angs

phas

e: φ

Anf

angs

phas

e: φDie Gleichung

ist periodisch sowohl im Raum wie auch in Zeit.

Wesen des SchallsMan unterscheidet in Akustik: Ton, Klang, Geräusch und Knall.

- Der Ton: ist eine reine Sinusschwingung (Grundschall).

- Der Klang ist die Überlagerung mehrerer Töne (Oberschwingungen, siehe Fourier-Analyse).

- Das Geräusch ist eine unregelmäβige (aperiodische) Schwingung.

- Der Knall ist ein kurzzeitiger und starker Schalleindruck.

Schwingung Schalleindruck

Amplitude Lautstärke

Frequenz Tonhöhe

Schwingungsform Klangfarbe

Schallreflexion und Schallbrechung

Luft Wasser Haut

c (m/s) 345 1480 1950Akustische

Dichte, Brechzahl

groß klein sehr klein

GrenzwinkelαGrenze

(Grad)

13,5

49,4

Konstsinsin

212

1 ncc

refl

Der Grenzwinkel der Totalreflexion (β = 90o): sin αGrenze = c1/c2.

sin αhatár = c1/c2.

β = 90o

Reflexionsgesetz

Beide Strahlen und das Lot liegen in einer Ebene.

Lot

refl

Brechungsgesetz

Grenze

Die Brechzahl n21 ist gleich dem Verhältnis der Schallgeschwindig-keiten in zwei Medien.

Speziellfall: senkrechter Einfall2

12

12

ZZZZ

R

wo Z = ρ·c ist die Schallimpedanz („akustischer Widerstand”) des Mediums: das Produkt der mechanischen Dichte (ρ) und der Schallgeschwindigkeit (c).

Je größer der Unterschied in den akustischen Impedanzen zweier aneinander grenzender Stoffe ist, desto größer ist die Intensität der reflektierten Welle.

212

124ZZZZT

Beispiel: Ultraschall ist vom Luft (Z = 0,43·103 kg·m-2·s-1) zu weichen Geweben (Z = 1,6·106 kg·m-2·s-1) senkrecht gerichtet. Der Reflexionskoeffizient ist R = 0,9994, d.h. der Transmissionskoeffizient ist bloß T = 1- R = 0,06% . Wenn wir aber einen Stoff (Z = 1,5·106 kg·m-2·s-1) zwischen dem Ultraschall Transducer und dem Gewebe verwenden, der akustische Kopplung macht, dann der Reflexionskoeffizient wird viel kleiner: R = 0,001, d.h. T = 0,999. Der Verlust beträgt 3 Größenordnung, wenn kein akustische Kopplung verwendet wird!

Akustische Impedanzen einiger Gewebearten

(nach P.N.T. Wells, 1977)

Stoff Akustische Impedanz, Z (kg·m-2·s-1)

Knochen 3,75 bis 7,38·106

Muskel 1,65 bis 1,74 ·106

Leber 1,64 bis 1,68 ·106

Hirn 1,55 bis 1,66 ·106

Fett 1,35 ·106

Blut 1,62 ·106

Wasser 1,52 ·106

Cornea 1,54 ·106

Kammerwasser 1,53 ·106

Augenlinse 1,75 ·106

Glaskörper 1,53 ·106

Sklera 1,81 ·106

Lunge 0,26 ·106

Luft 430

Energie der harmonischen Wellen

2222

Zeit212/1

AV

AmV

Ew

Der zeitliche Mittelwert der Energiedichte der harmonischen Welle ist:

Die Strahlungsleistung aus einer Fläche q beträgt:

cqwP

Die Intensität (Leistungsdichte) der Welle ist

cp

cAccwqPI

2max2

max22

21v

21

21

Beispiel. Die Intensität und Frequenz des Ultraschalls betragen 100 mW/cm2 bzw. 3 MHz. Im Wasser (Dichte 103 kg/m3, Schallgeschwindigkeit 1480 m/s) sind die Amplitude A = 2 nm, das Maximum der Geschwindigkeit vmax = 3,7 cm/s, das Maximum der Beschleunigung amax = 7·104 g (!) und das Maximum des Druckes pmax = 0,5 bar.

(Ein kleines Volumen ΔV mit Masse Δm des Mediums macht harmonische Schwingung mit Amplitude A und Kreisfrequenz ω.)

Objektive Schallintensität Schallquelle P (W)

normales Gespräch 10-5

Ruf (Schrei) 10-3

Klavier (Maximum) 0,1

Hupe (Auto) 5

großer Lautsprächer 102

Luftschutzsirene 103

1

2lg10PP

n gemeßt in Dezibel (dB)

Wenn man zwei Intensitäten (P1 und P2) miteinander vergleicht:

Hörschall, Schallintensitätspegel, die Dezibel Skala

010log

II

L

Was der Mensch als (subjektive) Lautstärke empfindet, ist bei festgehaltener Frequenz von der Schallintensität anhängig. Die kleinste von vielen Menschen noch wahrnehmbare Schallintensität beträgt bei einer Frequenz von

f = 1 kHz etwa I0 = 1·10-12 W·m-2

Dieser Wert heißt daher untere Hörschwelle.

Schallintensitäten um 1 W/m2 hingegen werden bereits als schmerzhaft empfunden. Das Ohr beherrscht also gut 12 Zehnerpotenzen der Schallintensitäten.

Weber-Fechnersches Gesetz: die Lautstärkeempfindung erfolgt etwa proportional zum Logarithmus der Schallintensität. Aus diesem Grunde benutzt man in der Akustik zur Beschreibung der Schallstärke einer Schallwelle anstelle der Schallintensität I eine logarithmische Größe, den Schall(intensität)pegel L

Meist wird der 10-fache Betrag von L benutzt:

(Dezibel)dB1log100

10

L

IIL

Subjektive Lautstärke, die Phon Skala

Da die Empfindlichkeit des Ohres stark frequenzabhängig ist, wird ein und dieselbe Schallintensität I bzw. ein und derselbe Schallpegel L bei verschiedenen Frequenzen unterschiedlich laut empfunden.

Beispielweise muß der Schallpegel für einen gerade noch hörbaren Signalton bei einer Frequenz von 125 Hz um 20 dB höher liegen, als bei 2 kHz. Dem trägt die physiologische Größe „Lautstärkepegel” mit der Einheit 1 Phon Rechnung.

Diese Größe ist so festgelegt, daß ihre Zahlenwerte bei der Schallfrequenz 1 kHz gleich den Zahlenwerten des Schallpegels L (in dB gemessen) sind. Für andere Frequenzen entnimmt man die zu einem gemessenen Schallpegel L gehörende Lautstärke einem international vereinbarten Isophonendiagramm.

Isophonendiagramm: Kurven gleicher LautstärkepegelL (phon) = L1 kHz (dB)

Subjektive Lautstärke einiger Schallquellen

Schallquelle Lautstärkepegel (Phon)

Hörschwelle 0

feine, leise Gelispel des Baumblattes 10

Gesäusel 20

Geräusch (Lärm) einer stillen Straße 30

normale Rede 50

Ruf 80

Gebrüll eines Löwen in der Nahe 120

Schmerzschwelle 130

(Phon)lg100IIL L (Phon) = L1 kHz (dB)

Abschwächung der Schallintensität längst der Ausbreitung

Punktförmige Schallquelle: die Wellenfronten sind konzentrische Kugel, wenn das Medium homogen und isotrop ist.

24 rP

qPI

Erzeugung + Interferenz der Wellen

I : Intensität (Leistungsdichte) des Schalls

P: Strahlungsleistung

r : Radius,

Abstand von der Strahlungsquelle

f (MHz) N (cm) α (Grad)

1 1,6 12,3

2 3,2 6,1

5 7,9 2,5

Kreisförmige Ultraschallquelle (Transducer): der Durchmesser ist D, die Frequenz ist f. Verteilung der Intensität nach Richtung.

N = f·D2/(4c)

sin α = 1,22·c/(f·D)

Beispiel. Die Schallgeschwindigkeit ist c = 1580 m/s in weichem Gewebe und der Diameter des Transducers ist D = 1 cm!

nahe ferne Zone

Fresnel Zone Fraunhofer Zone

Inte

rfere

nz v

on

Wel

lenf

ront

en d

er

punk

tförm

igen

Wel

lenq

uelle

n

Achse der Strahlung

Die Veränderung der Intensität in Richtung senkrecht zur Achse der Strahlung

Transducer

Wellenstrahl

nahe Zone

ferne Zone

Wie kann man das Strahlungsfeld des Ultraschalls umstalten (fokusieren)? Mit Akustik: durch Spiegel und Linsen

Mit Elektronik: durch Regelung der Phase

Ultraschall Wellen

Sammelfläche

Zerstreuungsfläche

Ultraschall Wellen

Sammellinse

Zerstreuungslinse

Intensitätsabnahme von Ultraschall

Die Intensität einer Schallwelle nimmt entlang der Ausbreitungsstrecke aus verschiedenen Gründen ab:

-Wegen der Strahlgeometrie, falls die Wellen divergent laufen (im Falle die Strahlen konvergieren, nimmt die Schallintensität zu).

-Durch Reflexion an den Grenzflächen zweier Medien.

-Durch Beugung.

-Durch Streuung. Kleine Objekte werden von der Schallwelle zum Schwingen angeregt und strahlen Schall in verschiedene Richtungen ab.

-Durch Absorption.

-Durch Konversion der Wellenform. Z.B. Umwandlung einer Longitudinalwelle in eine Transversalwelle. Dadurch wird der ersteren Welleart Energie entzogen. Der Prozeß kommt bei Reflexion an Grenzflächen in allen festen und zähen Stoffen vor und hat in der Medizin große Bedeutung, weil Schall-Transversalwellen für das durchschallte Gewebe von besonderer Schädlichkeit sind.

Intensitätsabnahme von Ultraschall durch Streuung und Absorptions: Beer’sches Gesetz

xxIxIxxII d)()()d(d

xxII d)()(d

xxII d)(d

))(exp()( 0 xIxI

))(exp(0 dII

Die Intensitätsabnahme ist bei beider Prozessen umso größer, je größer die jeweils vorliegende Intensität I(x) im Schallbündel ist. Die infinitesimale Verluste dI sind in homogenen Stoffen proportional zu der vom Schall durchlaufenen infinitesimalen Strecke dx. Somit die Abnahme der Schallintensität durch Streuung:

durch Absorption

insgesamt

Diese Gleichung läßt sich integrieren

Die Schallintensität bei Austritt

Der Absorptionskoeffizient τ und der Streukoeffizient σ sind stoffspezifisch und ihre Einheit ist m-1.

Der Absorptionskoeffizient τ ist etwa proportional zur Schallfrequenz f: τ ~ f (τ + σ) heißt der Abschwächungs- oder Extinktionskoeffizient.

Extinktionskoeffizient τ + σ und Absorptionskoeffizient τ verschiedener

menschlicher Gewebearten bei der Schallfrequenz f = 1 MHz

τ + σ (cm-1) τ (cm-1)Wasser 0,0005 0,0005Blut 0,03Leber 0,17 0,05Hirn 0,18 0,06Muskel 0,3 0,07Fettgewebe 0,1Sehen 0,8 0,22Augenlinse 0,5Knochen, massiv 3 1Lungengewebe 7

nach P.N.T Wells 1977 und A.R. Williams 1983

SchallgeschwindigkeitEine mechanische Verschiebung an einem festen Körper breitet sich durch die Bindungskräfte zwischen den Molekülen aus.

Eine Kraft F wirkt mit konstanter Gröβe während eines Zeitintervals Δt auf das eine Stabende. Diese mechanische Verschiebung erfaβt die Stablänge clong·Δt, wobei clong die longitudinale Schall-geschwindigkeit ist. Das Stabende verschiebt sich hierbei um die „Auslenkung” (aus der Ruheposition) u.

Hammer

Hammer

elastischer Stab

elastischer Stab

clong

Wie hängt die Schallgeschwindigkeit von den Eigenschaften des Mediums?

Die Schallgeschwindigkeit hängt nur von den Eigenschaften der verschiedenen Stoffe, nicht aber von der Frequenz des Schalls ab.In festen Stoffen können auch Longitudinalwellen und auch Transversalwellen fortpflanzen.

)1(21

)21)(1(1

translong

EcEc

21)1(2

trans

long

cc

dann gilt lldd

//

Weil für viele Stoffe μ ≈ 1/3 ist, deswegen clong ≈ 2·ctrans. Im allgemeinen, μ ≤ ½, und deswegen die Geschwindigkeit der Longitudinalwellen ist größer als die Geschwindigkeit der Transversalwellen in dem selben festen Körper. Beispiel: Man kann das Epizentrum des Erdbebens von der Zeitdifferenz des Ankommens der zwei Wellenarten bestimmen.

Wenn c ist die Schallgeschwindigkeit in einem isotropen festen Körper vom großen Ausmaß, E ist die Elastizitäts(Young)modul, ρ ist die Dichte und μ ist die Poisson-Zahl:

Wie hängt die Schallgeschwindigkeit von den Eigenschaften des Mediums?

Feste Stange von unendlicher Länge: die Geschwindigkeit der Longitudinalwelle beträgt:

Ec long

In Flüssigkeiten

Kc

In Gasen RTcpc

Gasenidealenbei

K ist das Kompressionsmodul der Flüssigkeit:

VVpK/

wo κ = cp/cV ist das Verhältnis der spezifischen Wärme bei konstantem Druck (cp) bzw. Volumen (cV), R ist die universale Gaskonstante und T ist die absolute Temperatur des Gases (Laplace’sche Ausdruck, 1816). Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen hängt nur von der Temperatur, nicht aber vom Druck des Gases ab.Wenn es sich um die Geschwindigkeiten der Longitudinalwellen handelt,

E (im festen Körper) entspricht K (in Flüssigkeiten) bzw. κ·p (in Gasen)

E ist das Young Modul des Körpers

Schall-geschwindigkeiten für longitudinale

Wellen

Dopplereffekta) Bewegter Empfänger und ruhender Sender.

Wenn der Empfänger mit einer Geschwindigkeit vE nach dem ruhenden Sender (Quelle) sich nähert, dann erhält nicht nur f0 Zahl der Schwingungen innerhalb eine (1) Sekunde, aber noch auch weitere Zahle von Schwingungen die auf die Strecke der Annäherung (vE) aus der λ0 = c/f0 Wellenläge fallen: vE/λ0 = f0·vE/c. Die beobachtete Frequenz beträgt

cff E0

v1

Beispiel: wenn der Empfänger zum ruhenden Sender mit einer Geschwindigkeit vE = ½ c sich nähert, dann die Frequenz des beobachteten Schalls verdoppelt sich, d.h. der Empfänger wird den Schall mit einer Oktave höher hören.

wo das + Vorzeichen betrifft den annähernde Empfänger und das – Vorzeichen den entfernenden Empfänger.

E

Dopplereffektb) Bewegter Sender und ruhender Empfänger. Der Sender strahlt die erste Phase der Schwingung bei Zeitpunkt t = 0 und die letzte Phase nach der Schwingungsdauer T0. Bei diesem Moment ist der Sender aber mit einer Strecke vs·T0 näher zum Empfänger. Deswegen verkürzt sich die Wellenlänge vor dem Empfänger mit einer Länge von vs·T0 , d.h. die neue Wellenlänge beträgt λ0 - vs·T0. Weil die verkürzte Wellen mit der selben Geschwindigkeit c im Medium fahren, die beobachtete Frequenz wird f = c/(λ0 - vs·T0). Die Frequenz beträgt bei Annäherung (-) bzw. Entfernung (+) des Senders

c

ffs

0v1

Der Empfänger steht und hört eine Frequenz f

Sender

s

DopplereffektDer vereinigte Ausdruck:

c

cffs

E

0 v1

v1

Wenn die SE Entfernung während der Bewegung sich nicht ändert (d.h. der Sender und der Empfänger bewegen sich parallel), dann kein Dopplereffekt ist beobachtet.

Der optische Dopplereffekt (Rotverschiebung)

Der Dopplereffekt bei Schall unterscheidet sich von demselben Phänomen bei Licht dadurch, daß die Schallausbreitung an einen den Schall leitenden Stoff gebunden ist. Das hat zur Folge, daß die Größe des Dopplereffekts bei Schall von der Relativbewegung von Quelle bzw. Empfänger bezüglich des Schalleiters abhängt, bei Licht jedoch ist der Dopplereffekt nur von der Relativgeschwindigkeit von Quelle zu Empfänger abhängig.

cffc

c

cff v1dann ,vwennv-1

v1020

E

Sender (S)

Vorzeichen

Empfänger (E)

S

E

vs

Doppler-Velozimeter zur Messung der Fließgeschwindigkeit in Blutgefäßen

c

ff cosv1' 0

ca

ffcosv1

1'

c

cffff

cosv1

cosv

2 00

Die Dopplerverschiebung:Wenn die Geschwindigkeit der Erythrozyten viel kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit im Blut (v << c), dann

vcos2 0 c

ff Sendekristall

Empfangskristall Körperoberfläche

Blutgefäβ

Erythrozyten des Bluts

Diese Gleichung wird in der klinischen Literatur oft als „Dopplergleichung” bezeichnet.

Für α = 90o wird Δf = 0 und das Verfahren versagt.

Frequenz-Optimum zur Bestimmung der Fließgeschwindigkeit von Blut

Die Dopplerverschiebung ist proportional mit der Frequenz von Ultrashall, d.h. je größer ist die Frequenz, desto genauer ist die Bestimmung der Geschwindigkeit:

ff 1const

Die Intensität des Ultraschallechos von der Tiefe d wird vom I0 (Einfalls-intensität) zu I nach dem Beer’schen Gesetz abnehmen:

)2exp(const 03 dII Die Summe der Verlustkoeffizienten (α) verändert sich proportional mit der Frequenz in weichen Geweben im diagnostischen Frequenzbereich (2-20 MHz):

f 2constDie Frequenz wird „Optimum” genennt, wenn das Produkt I·Δf erreicht das Maximum. Die erforderliche (aber nicht genügende) Bedingung ist das Verschwinden der ersten Ableitung des Produktes I·Δf nach der Frequenz f : d(I·Δf )/df = 0. Aus dieser Gleichung bekommen wir:

2opt const2

1

d

f

Frequenz-Optimum zur Bestimmung der Fließgeschwindigkeit von Blut

df

mmMHz90opt

Blutgefäβen nahe zur Körperoberfläche

Blutgefäβen tief im Körper

Praktischer Ausdruck:

Erzeugung von Ultraschall durch umgekehrte (inverse) Piezoelektrizität

Wenn die Dicke des piezoelektrischen Schwingkristalls ist λ/2 gewählt, dann wird die Grundschwingung mit Resonanz erregt. Im Kristall entstehen stehende Wellen mit Wellenlängen des Bruchteils von λ/2: 1/n· λ/2, wo n = 1,2,3,...

drücken

drücken ziehen

ziehen

Medizinische Anwendungen von Ultraschall

Ausdehnung: ZIx /2

Relative Dehnung:E

ZIx

22

Beschleunigung::ZIx 22

Schalldruck: ZIxE 22

Maximum Werte bei 1 MHz Frequenz im Wasser

I =10 mW/cm2

DIAGNOSTIKI = 3 W/cm2

THERAPIEStoßwelle

2 nm 35 nm Diese Stoßwellen bestehen praktisch aus einer Halbwelle, deswegen die Ausdrücke die für harmonische Welle gültig sind, kann man mit bestimmten Beschränkungen (streng genommen nicht) benutzen.

8,4·10-6 1,47·10-6

2·103 m/s2 3,5·104 m/s2

2·104 Pa 3,5·105 Pa 40 MPa (!)

Aufgaben 1) Berechnen Sie die Schallintensität, die ein Lautsprecher, der mit 30 W

Schalleistung betrieben wird, im Abstand von 1 m erzeugt. Dieser Lautsprecher strahle den Schall in der Raumwinkel 2π ab.

2) Berechnen Sie die Auslenkungsamplitude einer Schallwelle in Wasser (Dichte 1 g/cm3, Schallgeschwindigkeit 1480 m/s) für I = 1 W/cm2 bei f = 1 MHz.

3) Berechnen Sie die Wellenlänge von Hörschall in Luft an der oberen Hörschallgrenze.

4) Ein Moped erzeuge im Abstand von 10 m einen Schallpegel von 100 dB. Wie groß ist der Schallpegel dieses Mopeds in einer Entfernung von 40 m?

5) In welcher Entfernung von einem 30 W Lautsprecher (Abstrahlung in 2π Steradian) können Sie sicher sein, selbst bei Dauerbeschallung keine Gehörschäden zu erleiden?

6) Ein Kompressor erzeugt in einem bestimmten Abstand eine Schallintensität von 60 dB. Wie groß ist der Schallpegel von zwei solchen Kompressoren im gleichen Abstand?

Aufgaben

7) Wie groß ist der Reflexionskoeffizient des Ultraschalls an der Grenzfläche Muskel (Z = 1,7·106 kg·m-2·s-1) zu Knochen (Z = 6·106 kg·m-2·s-1)?

8) Ein Schallgeber (f = 1 MHz) der Breite D = 1 cm erzeugt in Wasser ein Schallbündel. Berechnen Sie die Breite dieses Schallbündels nach einer Strecke von 4 cm.

9) Berechnen Sie den Brechungswinkel für eine Schallwelle, die unter dem Einfallswinkel von 12o auf die Grenzfläche zwischen Luft ( cL = 343 m/s) und Muskel (cM = 1590 m/s) trifft.