Melnikov-Methode und Übergang zu chaotischem Verhalten...

Melnikov-Methode und Übergang zu chaotischemVerhalten beim Euler-Kreisel in Cardanischer Aufhängung

Alexander Erlich

1. Gutachter: Prof. Dr. P. Richter 2. Gutachter: Prof. Dr. G. Czycholl

26. August 2010

Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 1 / 15

Gliederung

1 Analyse des ungestörten SystemsGestörte und ungestörte BewegungZiel der ArbeitBifurkationsdiagramm und Separatrix

2 Quanti�zierung des Chaosstabile und unstabile MannigfaltigkeitenDistanzmaÿ

3 Melnikov-Methodenäherungsweise DistanzmessungVeranschaulichungen der Mannigfaltigkeiten

Ziel der Arbeit

normierte Trägheitsmomente: α, β , γ Rahmen-Ein�uss: ρ

Normierung: α +β + γ = 1

Euler-Kreisel ohne Rahmen: stets integrabel

Euler-Kreisel mit Rahmen: integrabel wenn Symmetrie α = β

Störung der Symmetrie: β = α (1+ ε) ε : Störparameter

Ziel der Arbeit

Untersuchung des Übergangs ins Chaos bei Variation von ρ , ε


Bifurkationsdiagramm

System von Grenzen im Raum der Erhaltungsgröÿen h, pϕ , pψ

B

C

D

X

Y

−1.0 −0.5pϕ

0.5

pψ

0.5 1.0

0.8

A

−0.8

−0.5

α = 0.255 ρ = 0.4


Bifurkationsdiagramm und Separatrix

Separatrix:

Trajektorie, die von Potentialmaximum ausgeht und wieder dorthinzurückkehrt

separiert (im Phasenraum) oszillierende von rotierender Bewegung

0.5

pϑ

−π −π2

π2 π

ϑ0

α = 0.255 ρ = 0.4 h = 0.5

B

C

D

X

Y

pϕ

0.5

pψ

0.5 1.0

0.8

A


stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

Quanti�zierung des Chaos: Fläche zwischen Wu und Ws

A = 0.142

A = 0.280

−π −π2 0

−π −π2

−π π

−π π

ϑ

Wu

Ws

pϑ

ϑ

ϑ

ϑ

0.5

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.5

0.30.20.1

0.10.20.3

pϑ

d(ϑ) d(ϑ)

ε = 0.5 α = 0.255 ρ = 0.4 h = 0.5

Bif.-Diag.: A Bif.-Diag.: B

0

homokline Bifurkation

Gabelung zwischen einem und drei Schnittpunkten vonWu und Ws (bei −π < ϑ < π)

0.5

pϑ

ϑ

Bif.-Diag.: lϕ = 0.35 ε = 0.5 α = 0.255 h = 0.5 ε = 0.5 ρ = 0.5

−π −π2

π2

π0

0.2

0.4

0.6

ϑ−π −π2

π2

π0

pϑpϕ

pψ


Distanzmaÿ: diskrete Daten

H = F + ε G =p2

ϑ

2α+

p2ψ

2γ+

(pϕ −pψ cosϑ

)22(ρ +α sin2ϑ

) + ε G

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

ρ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

ρ

εε

A B


Distanzmaÿ: Contourplot

H = F + ε G =p2

ϑ

2α+

p2ψ

2γ+

(pϕ −pψ cosϑ

)22(ρ +α sin2ϑ

) + ε G

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ρ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ρ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ρ

ε ε0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

A B


Melnikov-MethodeStörungstheoretische Methode für näherungsweise Distanzmessung zwischen Wu und Ws

Ws

Wu

pϑ

ϑ

t0

d(t0)

genähertes Distanzmaÿ:

d (t0, ε) = εM (t0)

‖∇q0 (−t0)‖ +O(ε2)

Melnikov-Funktion

M (t) =∫

∞

−∞

{F (q0 (t− t0)) ,

G (q0 (t− t0))}dt

Separatrix: q0 (t) = (ϑ (t) , pϑ (t))T

Hamilton-Funktion: H = F + ε G

Mannigfaltigkeiten in 3D; numerische Distanzmessung

pϑ

ϑ

t

pϑ

ϑ

tWs

Wu

0.5

pϑ

−π −π2

π2 π0


Zusammenfassung

chaotisches Verhalten:Distanzmaÿ zw. Wu und Ws

homokline Bifurkationen nahe C

Erkenntnis: Erhöhung von ρ

führt zu weniger Chaos

Distanzmessung im Sinne vonMelnikov: rein numerisch

Ausblick / weitere Möglichkeiten

�halb-analytische�Melnikov-Analyse:Geschwindigkeitsvorteil?

Rolle der homoklinenBifurkationen?

ϑ

pϑpϑ

ϑ

A B

ρ→

↑ε

ρ→

↑ε

pϕ

pψ


Verwendete Literatur I

J. Guckenheimer and P. Holmes.Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector

�elds.Copernicus, 1990.

P.H. Richter and K. Finke.Cardan-mounted Euler and Lagrange tops I: bifurcations of invariantsets.noch nicht publiziert, 2010.

S. Wiggins.Chaotic transport in dynamical systems.Springer, 1992.

ungestörtes System (ε = 0)kinetische Energie (α 6= β ), Hamilton-Funktion (α = β )

kinetische Energie (α 6= β ), (q, q̇)-Raum

T =1

2α

(ϕ̇ sinϑ sinψ + ϑ̇ cosψ

)2+1

2β

(ϕ̇ sinϑ cosψ− ϑ̇ sinψ

)2+1

2γ (ϕ̇ cosϑ + ψ̇)2 +

1

2ρϕ̇

2

Hamilton-Funktion (α = β ), (q, p)-Raum

H =p2

ϑ

2α+

p2ψ

2γ+

(pϕ −pψ cosϑ

)22(ρ +α sin2ϑ

)

Bifurkationsdiagramm: alle Punkte für Animationen

B

−1.0 −0.5pϕ

0.5

pψ

0.5 1.0

0.8

A

−0.8

−0.5

α = 0.255 ρ = 0.4

L3

L1

L2

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