Merkmale des Umschlags laminar-turbulent in einer ... · mene Parallelitätim...

Merkmale des Umschlagslaminar-turbulent in einer

drallbehafteten Ringspaltströmung

Dissertationzur

Erlangung des GradesDoktor-Ingenieur

derFakultät für Maschinenbau

der Ruhr-Universität Bochum

von Arturo Gonzálezaus San Felipe, Chile

Bochum 2013

Dissertation eingereicht am: 16.09.2013Tag der mündlichen Prüfung: 29.11.2013Erster Referent: Jun.-Prof. Dr.- Ing. Jeanette HussongZweiter Referent: Prof. em. Dr. ès sc. techn. (EPFL) Horst StoffDritter Referent: Prof. Dr.-Ing. Venkatesa Vasanta Ram

i

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meines Stipendiatenaufenthaltes am ehemaligenLehrstuhl für Fluidenergiemaschinen der Ruhr Universität Bochum.

An erster Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei Herrn Prof. em. Dr. ès sc. techn.(EPFL) Horst Stoff, Lehrstuhlinhaber des ehemaligen Lehrstuhls für Fluidenergiema-schinen der Ruhr Universität Bochum, für die Möglichkeit zur Promotion, die konstanteUnterstützung sowie die hilfreichen fachlichen Vorschläge bei der Durchführung undFertigstellung meiner Arbeit bedanken.

Bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Venkatesa Vasanta Ram, Wissenschaftler des Lehrstuhls fürStrömungsmechanik der Ruhr Universität Bochum, bedanke ich mich für die konstruktivenfachlichen Diskussionen, sowie für die Übernahme des Korreferats. Die Zusammenarbeitmit einem ehemaligen Schlichting Schüler empfand ich als große Ehre.

Jun.-Prof. Dr.- Ing. Jeanette Hussong, Mitarbeiterin des Lehrstuhls für HydraulischeStrömungsmaschinen der Ruhr Universität Bochum, danke ich sehr für die kritischeDurchsicht sowie für die Übernahme als Referentin meiner Arbeit.

Mein Dank gilt auch Prof. Dr.-Ing. habil. Ronald Mailach und allen Mitarbeiterndes Lehrstuhls für Thermische Turbomaschinen der Ruhr Universität Bochum für die guteZusammenarbeit während meiner Zeit am Lehrstuhl.

Vielen Dank an Frau Ursula Beitz für die permanente bibliografische Hilfe und anJulia Kannenberg sowie Matthias Tuma für die schriftliche Korrektur der Arbeit.

Der „Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica de Chile (CONI-CYT)“ und dem Deutschen Akademischen Austauschdienst - DAAD sei großer Dank fürdie finanzielle Unterstützung ausgesprochen.

Mein besonderer Dank gilt meiner chilenischen und meiner deutschen Familie fürdie Kraft und die seelische Unterstützung während den schwierigen Phasen meiner Arbeit.

Dedicado a Meike y Emilia.

ii

Zusammenfassung

Aus der Fachliteratur ist bekannt, dass bei drallbehafteten Strömungen der Reynolds-Spannungstensor in turbulenten Strömungen eine starke Anisotropie zeigt. Dadurch er-schwert sich die numerische Simulation solcher Strömungen, vor allem, wenn die Vertei-lung der azimutalen Geschwindigkeitskomponente eine Festkörperrotation ist. Daher strebtdiese Arbeit die Erfassung wesentlicher Eigenschaften des Reynolds-Spannungstensorsunter dem Einfluss einer Geschwindigkeitsverteilung einer Festkörperrotation in der Um-fangsrichtung ohne die Anwendung von Turbulenzmodellen an. Dafür wurde die schwachnichtlineare Stabilitätstheorie nach Stewartson und Stuart [64] herangezogen, um denReynolds-Spannungstensor für eine drallbehaftete Ringspaltströmung als Produkt einesBetrags und einer Form herzuleiten. Um die Form zu bestimmen, reicht die lineare Stabi-litätstheorie aus, während der Betrag die Lösung einer nichtlinearen Differentialgleichung,nämlich die Ginzburg-Landau-Gleichung, erfordert. Die Bestimmung des Tensors wird ineinem fortgeschrittenen Stadium der Entstehung der Turbulenz ausgeführt. Bei der Geo-metrie handelt es sich um zwei konzentrische Zylinder, von denen der Außenzylinder ro-tiert und der Innenzylinder ruht. Überdies gibt es einen Druckgradient im Ringspalt, wel-cher zusammen mit dem Ziehen des Innenzylinders die axiale Geschwindigkeit antreibt.Die Form des Reynolds-Spannungstensors beschreibt die radiale Verteilung des Tensorsim Ringspalt. Die Strömung schlägt in diesem Fall aufgrund des Tollmien-Schlichting-Mechanismus von laminar nach turbulent um.Zunächst wird in einer drallbehafteten Ringspaltströmung aus der Impuls-Gleichung derDruck als Unbekannte durch 2-fache Wege bei Differentiation eliminiert, um zu den Orr-Sommerfeld und Squire-Gleichungen zu gelangen. Somit erfolgen die Orr-Sommerfeld undSquire- Gleichungen aus den Impuls-Gleichungen, aber sie sind nicht damit identisch. Siesind von unterschiedlicher Ordnung, die Orr-Sommerfeld-Gleichung von der 4. Ordnungund die Squire-Gleichung von der 3. Ordnung. Die Strömung wird in eine Grundströmungund eine Störung aufgespalten. Die Lösung für die Grundströmung ist bekannt. Für dievektorielle Geschwindigkeitsstörung, die als Unbekannte bleibt, wird eine Wellenform mitkleiner Amplitude angesetzt, und zwar von den (reellen) Wellenlängen 2π

λxund 2π

nφund

der (komplexen) Frequenz ω. Der Ansatz impliziert, dass die Störungen zeitlich nur nacheinem exponentiellen Gesetz der Anfachung oder Dämpfung verlaufen, denn andersartige(von exponentiellen abweichende) Gesetzmäßigkeiten sind mit der Impuls-Gleichung nichtverträglich. Mit einer kleinen wellenförmigen Störungsbewegung wird eine lineare Stabi-litätsanalyse durchgeführt. Die neutralen Stabilitätsflächen sowie die kritischen Wellen-und Strömungsparameter (Wellenlänge, Reynolds-, Rotations-, Translations-Zahl, Krüm-mungsparameter) werden berechnet und dargestellt. Sowohl die Wirkung der Rotation desAußenzylinders als auch das Ziehen des Innenzylinders zeigen sich als stabilisierend.In einem zweiten Schritt wird die schwach nichtlineare Theorie auf die Umschlagsanfäl-ligkeit der drallbehafteten Ringspalströmung erweitert. Dafür wird die Störungsbewegungals ein Wellenpaket betrachtet, das sich in der Nähe der durch die lineare Stabilitätstheo-rie bestimmten neutralen Stabilitätsfläche befindet. Da sich aus der klassischen linearenStabilitätstheorie für ein Wellenpaket ein exponentielles Amplituden-Wachstum mit derZeit sowie ein mit der Gruppengeschwindigkeit der Wellen bewegtes Koordinatensystemergeben, werden im Strömungsproblem zwei neue große Skalen eingeführt. Die Gestaltdes Wellenpakets berücksichtigt dann in seiner Amplitude sowohl die großen Skalen alsauch die kleinen Skalen. Die Lösung des Strömungsproblems wird hier durch die Anwen-dung der Mehrskalenmethoden erzeugt. Für die Handhabbarkeit der schwach nichtlinearenTheorie wurde das adjungierte Problem für die drallbehaftete Ringspaltsrömung hergelei-tet und aufgestellt. Die konjugiert-Komplexe der adjungierten Lösung wurde zweimal fürdie Einführung einer Lösbarkeitsbedingung verwendet. Zum Einen wurde die Gruppen-geschwindigkeit des Wellenpakets hergeleitet. Zum Zweiten wurde die Ginzburg-Landau-Gleichung, welche die Amplitudenmodulation des Wellenpakets in den neuen eingeführten

iii

Skalen bestimmt, für eine drallbehaftete Ringspaltströmung aufgestellt.Als wichtiges Ergebnis zeigt die Untersuchung, dass sich der Reynolds-Spannungstensorals ein Produkt zwischen einem Skalierungsfaktor und einem Profil herausstellt. Der Ska-lierungsfaktor erscheint als eine Funktion der langen Skalen und wird von der Ginzburg-Landau-Gleichung für die Energiezufuhr aus der Grundströmung in die Instabilität der ge-störten Strömung beschrieben, während das Profil von der Radialrichtung abhängt und sichaus der linearen Stabilitätstheorie ergibt. Der Vergleich für eine Kanalströmung zwischender in dieser Arbeit hergeleiteten Form des Reynolds-Spannungstensors und der von denDNS-Daten ist qualitativ vergleichbar.Mit der hergeleiteten Form des Reynolds-Spannungstensors werden analytisch zwei Ei-genschaften –die Anisotropie und die geometrische Ausrichtung– des genannten Tensorsfür die Entstehung der Turbulenz untersucht. Für die Analyse dieser zwei Eigenschaftenbraucht der Skalierungsfaktor nicht berücksichtigt zu werden, da dieser lediglich als eineVerkleinerung oder Vergrößerung der Reynolds-Spannungskomponenten wirkt.Aus der Anisotropie-Invariantenkarte nach Lumley folgt, dass für die Entstehung derTurbulenz einer drallbehafteten Ringspaltströmung die Anisotropie des hergeleitetenReynolds-Spannungstensors zwischen der Einkomponenten-Turbulenz und der isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz (entlang dem Zweikomponenten-Zustand) liegt. Bei Erhö-hung der Rotation des Außenzylinders neigt der Verlauf der Anisotropie an den Wändenvon der Einkomponenten-Turbulenz zur isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz.Die Ausrichtung zwischen den Hauptachsen des Spannungsdeviators (Anisotropietensorder Reynolds-Spannungen) und denen des Deformationstensors wird durch drei Winkelun-terschiede berechnet. Die Definition der Winkelunterschiede wird als eine Methode für dieÜberprüfung der Anwendbarkeit des Boussinesq-Ansatzes vorgeschlagen. Als Referenz-fall wird mit DNS-Daten für eine turbulente Kanalströmung gezeigt, dass die angenom-mene Parallelität im Boussinesq-Ansatz zwischen dem Anisotropietensor der Reynolds-Spannungen und dem Deformationstensor nicht existiert. Bei der Entstehung der Turbu-lenz können analytisch in dieser Arbeit die Form des Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen und die Form des Deformationstensors entlang der Spaltweite berechnet wer-den. Eine unregelmäßige Verteilung der drei Winkelunterschiede über die Spaltweite bringteine ständige Variation der Ausrichtung zwischen den Hauptachsen des Anisotropietensorsder Reynolds-Spannungen und denen des Deformationstensors zum Ausdruck, wenn derDrall des Außenzylinders zunimmt. Dies zeigt, dass es nicht möglich ist, ein Modell zuformulieren, das über einen breiten Parameterraum gültig ist. Die anhaltende Kritik ander unsachgemäßen Verwendung des Wirbelviskositätsprinzips von Boussinesq für drall-behaftete Strömungen erklärt sich somit vor allem an der Vernachlässigung des Winkel-unterschiedes zwischen den Eigenvektoren des Reynolds-Spannungstensors und denen desDeformationstensors.Die lineare Stabilitätstheorie wird oft kritisiert, da diese die Wirkung der Nichtlineari-täten nicht berücksichtigt. In der vorliegenden Arbeit wurde die durch die lineare Sta-bilitätstheorie erhaltene Information in dem Sinne bewahrt und genutzt, als dass sichdie Form des Reynolds-Spannungstensors als Produkt zwischen Lösungen der linea-ren Stabilitätstheorie ergibt. Die Verwendung der linearen Stabilitätstheorie zusammenmit der schwach nichtlinearen Theorie kann als ein Verfahren betrachtet werden,umein auf physikalische Gegebenheiten ruhendes Turbulenzmodell für die Bestimmung desReynolds-Spannungstensors aufzustellen. Der Skalierungsfaktor ist für die Untersuchungder Anisotropie-Eigenschaften und der geometrischen Ausrichtung nicht nötig, jedochist seine Berechnung erforderlich, wenn eine vollständige Bestimmung des Reynolds-Spannugstensors erhalten werden soll. Dies bringt mit sich, dass die aufgestellte Ginzburg-Landau-Gleichung gelöst werden muss. Das hier benutzte Vorgehen soll für die Entstehungder Turbulenz angewendet werden und bedingt die Existenz der neutralen Stabilitätsflächeder Grundströmung.

iv

Abstract

From literature it is known that the Reynolds stress tensor is anisotropic in swirling turbu-lent flows. This complicates the numerical simulation of such flows, especially when thedistribution of the azimuthal velocity is a solid body rotation. For this reason, the presentwork aims to determine the Reynolds stress tensor under the influence of a solid body rota-tion in the circumferential direction without the use of turbulence models. To achieve this,the shape of the Reynolds stress tensor is derived and determined from linear stability theo-ry for a swirling annular flow, since this theory supplies an analytic solution of the impulseequation, with which one builds the Reynolds stress tensor. The determination of the tensoris performed at the onset of turbulence. The geometry is an annulus with a rotating outercylinder while the inner cylinder is at rest. Moreover, a pressure gradient in the annulargap and an axial displacement of the inner cylinder drive the flow in the axial direction.Transition of this flow takes place by the Tollmien-Schlichting mechanism.In the present work the Orr-Sommerfeld and Squire equations are derived from the Navier-Stokes and continuity equation forming the governing equation system for the perturbationsin the swirling annulur flow. A linear stability analysis is performed under the effect of therotating outer cylinder and a translating inner cylinder. The neutral stability surfaces arecalculated and the critical wave number and the critical Reynolds numbers are presentedfor different swirling parameters of the outer cylinder and translational parameters of theinner cylinder. Both the rotation of the outer cylinder and the translation of the inner cylin-der have a stabilizing effect on the flow.The weakly non-linear theory is applied to the swirling annular flow to consider the effectsof nonlinearities on the perturbation. Unstable perturbations derived from the weakly non-linear theory form a wave packet, which is created in the vicinity of the neutral stabilitysurface. As the wave packet can grow exponentially with time and as its velocity equals thegroup velocity, two new large scales are introduced in the flow problem. In the formulationfor the wave packet both large and small scales of perturbation wave are considered. Thesolution of the present flow problem is found by applying the so called multiscale method.To handle the weak nonlinear theory, the adjoint problem was derived for the swirlingannular flow. The complex conjugate of the adjoint solution was used twice to impose asolvability condition. On one hand, the group velocity of the wave packet was derived; onthe other hand the Ginzburg-Landau equation was introduced for a swirling annular flow.This equation determines the amplitude modulation of the wave packet in new scales.An important result of the study is that the Reynolds stress tensor turns out to be a productof a magnitude and a shape. The magnitude appears to be a function of the large lengthscales and is described by the Ginzburg-Landau equation, while the shape of the Reynoldsstress tensor results from the linear stability theory. The shape of the Reynolds stress tensorthat has been derived in this research shows a good qualitative agreement with the DNS-data.Two properties, the anisotropy and the geometrical alignment of the Reynolds stress tensor,are investigated analytically from its derived shape. For the analysis of these two proper-ties, the magnitude is not taken into account, since it has no influence on the shape of theReynolds stress tensor.An anisotropy-invariant map is calculated for the derived Reynolds stress tensor. It showsthat the anisotropy lies between the one-component state of turbulence and the isotropictwo-component turbulence (along the two-component turbulence). By increasing the rota-tion of the outer cylinder the anisotropy in the near-wall region tends to move from theone-component turbulence to the isotropic two-component turbulence.All three alignment angles between the principle axes of the anisotropic Reynolds stresstensor and the mean strain tensor have been determined by means of the respective eigen-vectors. The definition of the alignment angles has been proposed as a method to evaluatethe applicability of the Boussinesq eddy viscosity assumption. To illustrate the nature of

the method, results of a DNS simulation for a turbulent channel flow are used to show theabsence of the suggested need for parallelism between the Reynolds stress and mean straintensor implemented in the Boussinesq approach proposed in the literature. In this workhas been derived the shape of the anisotropic Reynolds stress and the mean strain tensoron the onset of turbulence by an analytical study. When the angular velocity of the outercylinder is increased, a varying distribution of all three angles along the flow gap reveals aconstant variation between the Reynolds stress and the mean strain tensor eigendirections.This shows the complexity of the flow and it displays that it is almost impossible to formu-late a model which captures this mechanism over a large parameter space. It also explainsthe persistent criticism about the incorrect application of the principle of Boussinesq’s hy-pothesis for swirling flow.In the present work, the information obtained by the linear stability theory has been pre-served and used to determine the distribution of the Reynolds stress tensor in the radialposition, which was derived from a product of solutions given by linear stability theory.The combination of the linear and weakly non-linear stability theory may be regarded as amethod that allows determining the form of the Reynolds stress tensor without the usageof turbulence models. The corresponding magnitude is not necessary for the study of theanisotropy and geometry alignment of the Reynolds stress tensor. However, it is needed tocompletely determine the Reynolds stress tensor. It implies that the established Ginzburg-Landau equation must be solved. The approach used here is restricted to the onset of tur-bulence and requires the existence of a neutral stability surface of the basic flow.

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 11.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Stand der Forschung und kritische Bestandsaufnahme von drallbehafetten

Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Klassifizierung der drallbehafteten Strömungen . . . . . . . . . . . 41.2.2. Turbulente Eigenschaften in einer drallbehafteten Strömung mit

Festkörperrotationsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Turbulenzmodellierung von drallbehafteten Strömungen . . . . . . 101.2.4. Hydrodynamische Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Zielsetzung der vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. Methode und Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Herleitung der durch Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- undSquire-Gleichung für eine drallbehaftete Ringspaltströmung 272.1. Ausgangsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Geometrie und Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2. Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Elimination des Druckgradienten aus den Bewegungsgleichungen . . . . . 352.3.1. Orr-Sommerfeld-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2. Squire-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4. Die durch Nichtlinearitäten erweiterte Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1. Aufspaltung in Grundströmung und Störung . . . . . . . . . . . . . 382.4.2. Vereinfachungen der Gleichungen für kleine Spaltweiten . . . . . . 40

2.5. Die Störgleichungen in Matrixform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Lineare Stabilitätsanalyse einer drallbehafteten Ringspaltströmung 433.1. Das lineare Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Ergebnisse der linearen Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1. Validierungsberechnungen am Beispiel der klassischen Poiseuille-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2. Beispiel für die Anwendung der linearen Stabilitätstheorie . . . . . 463.2.3. Einfluss der Krümmung auf das Stabilitätsverhalten der drallbehaf-

teten Ringspaltströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.4. Einfluss der Translation des Innenzylinders auf das Stabilitätsver-

halten der drallbehafteten Ringspaltströmung . . . . . . . . . . . . 523.2.5. Einfluss der Rotation des Außenzylinders auf das Stabilitätsverhal-

ten der drallbehafteten Ringspaltströmung . . . . . . . . . . . . . . 543.2.6. Einfluss einer kombinierten Translationsbewegung des Innen und

Rotationsbewegung des Außenzylinders auf das Stabilitätsverhal-ten der drallbehafteten Ringspaltströmung . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3. Zusammenfassung des Kapitels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

viii Inhaltsverzeichnis

4. Anwendung der schwach-nichtlinearen Theorie auf die drallbehaftete Ring-spaltströmung 594.1. Die Struktur des Gleichungssystems Du = N . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Einführung von großen Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Definition des Wellenpakets u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4. Gleichungen für die Geschwindigtkeitsstörungen zu den Ordnungen

O(ε12

A), O(εA) und O(ε32

A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1. Die Lösungsform des führenden Terms O(ε12

A) . . . . . . . . . . . . 704.4.2. Die Lösungsform der Ordnung O(εA) . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.3. Die Lösungsform der Ordnung O(ε32

A) . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5. Zusammenfassung des Kapitels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Eigenschaften des durch die schwach nichtlineare Theorie bestimmtenReynolds-Spannungstensors 795.1. Reynolds-Spannungsverteilung für ein ausgewähltes Strömungsbeispiel . . 815.2. Interpretation des Reynolds-Spannungstensors bei Anwendung der Invari-

antentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.1. Anisotropiezustand des laminar-turbulenten Umschlags einer Ka-

nalströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.2. Die Form des Reynoldsspannungstensors und der Anisotropie-

zustand des laminar-turbulenten Umschlags einer drallbehaftetenRingspaltströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.3. Die Form des Reynoldsspannungstensors und der Anisotropie-zustand des laminar-turbulenten Umschlags einer drallbehaftetenRingspaltströmung mit gezogenen Innenzylinder . . . . . . . . . . 91

5.3. Herleitung der Ausrichtung zwischen den Eigenvektoren des Reynolds-Spannungsdeviators und denen des Deformationstensors . . . . . . . . . . 965.3.1. Definition und Bestimmung der Winkelunterschiede . . . . . . . . 965.3.2. Winkelunterschiede für die turbulente Kanalströmung . . . . . . . 985.3.3. Ergebnisse für die drallbehafteten Ringspaltströmung . . . . . . . . 104

5.4. Zusammenfassung des Kapitels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6. Zusammenfassung und Ausblick 1096.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2. Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Anhang 111

A. Formulierung der Grundströmung 113A.1. Der axiale Druckgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2. Der gezogene Innenzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.3. Der rotierende Außenzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

B. Herleitung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen 119B.1. Die Orr-Sommerfeld-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119B.2. Die Squire-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

C. Herleitung von höheren Ableitungen bei Einführung von ξx und T 123

D. Adjungiertes Problem 125

E. Bestimmung der Amplitudenstruktur für u2 129

Inhaltsverzeichnis ix

F. Bestimmung der Amplitudenstruktur für u(1)3 137

G. Die Anisotropie-Invariantenkarte 143G.1. Bestimmung der Anisotropie-Invariantenkarte . . . . . . . . . . . . . . . . 144

H. Geschwindigkeitsgradiententensor und seine Aufspaltung 149

I. Zusammenhang zwischen dem Haushalt der turbulenten kinetischen Energiein der drallbehafteten Ringspaltströmung und dem mehrskaligen Wellenan-satz für die Geschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25) 153

J. Quelltexte (Matlab) 161J.1. Programmname: EigwertEigfunk.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161J.2. Programmname: DCHEBVVR.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163J.3. Programmname: Matrizen.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163J.4. Programmname: Linearstabilflaeche.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167J.5. Programmname: ReynoldsSpannungstensor.m . . . . . . . . . . . . . . . . 169J.6. Programmname: InvKarteWinkelMessdaten.m . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Verzeichnis der Abkürzungen

Lateinische Symbole

p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck

exp . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktion

Uφ,wa . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit in Folge der Rotation des Außenzylinders [m/s]

νt . . . . . . . . . . . . . . . . . . turbulente Wirbelviskosität [m2/s]

νt . . . . . . . . . . . . . . . . . . turbulente Wirbelviskosität [m2/s]

H . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halbe Spalthöhe, Bezugslänge in radialer Richtung, H = Ra−Ri2

Ux,p = Uref . . . . . . . . Geschwindigkeit in Folge des Druckgradienten [m/s], Gl. A.12

Ux,wi . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit in Folge des gezogenen des Innenzylinders[m/s]

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitude der Störung

A† . . . . . . . . . . . . . . . . . Adjungierte Amplitude der Störung

FN . . . . . . . . . . . . . . . . . Spaltenvektor für die Bestimmung der GruppengeschwindigkeitGl. (E.23)

GN . . . . . . . . . . . . . . . . Spaltenvektor für die Bestimmung der GruppengeschwindigkeitGl. (E.23)

OOS ; OSq . . . . . . . . . . Matrixform für die räumliche Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw.Squire-Anteil in Gl. (F.6)

POSξ; PSqξ . . . . . . . . Matrixform für die räumliche Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw.Squire-Anteil in Gl. (F.2)

POST ; PSqT . . . . . . . Matrixform für die zeitlichen Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw.Squire-Anteil in Gl. (F.2)

QOS ; QSq . . . . . . . . . . Matrixform für die räumliche Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw.Squire-Anteil in Gl. (F.2)

ROS ; RSq . . . . . . . . . . Matrixform für die räumliche Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw.Squire-Anteil in Gl. (F.4)

Sij . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformationstensor

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spaltenvektor der Geschwindigkeitsstörung

u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenpaket. Führender (betragsmäßig größter) Term der asym-ptotischen Entwicklung für die Störung

w . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitudenform

xii Inhaltsverzeichnis

Wij . . . . . . . . . . . . . . . . Drehungstensor

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrixform des linearen Differentialoperators des Gleichungssy-stems Du = N

L , M . . . . . . . . . . . . . . Matrixform der linearen Differentialoperatoren des Eingen-wertproblems LA = iωMA, L = ortsabhängige-,M =zeitabhängige Terme

L † . . . . . . . . . . . . . . . . . Adjungierter Operator

N . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare Form des Differentialoperators

u′iu′j . . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Spannungstensors, Gl. (1.2)

vx,m . . . . . . . . . . . . . . . . gemittelte mittlere Geschwindigkeit [m/s]

aij . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Spannungsdeviator (Anisotropietensor der Reynolds-Spannungen)

aDij . . . . . . . . . . . . . . . . . Normierter Reynolds-Spannungsdeviator (normierter Anisotro-pietensor der Reynolds-Spannungen)

aDij . . . . . . . . . . . . . . . . . Normierter Reynolds-Spannungsdeviator (normierter Anisotro-pietensor der Reynolds-Spannungen)

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitudenmodulation

c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . Konjugiert Komplexe

ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imaginärteil der Ausbreitungsgeschwindigkeit

cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realteil der Ausbreitungsgeschwindigkeit

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durchmesser [m]

det . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante

IIa . . . . . . . . . . . . . . . . . zweite Invariante

IIIa . . . . . . . . . . . . . . . . dritte Invariante

K . . . . . . . . . . . . . . . . . . turbulente kinetische Energie, Gl. (1.2)

k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koeffizient der Ginzburg-Landau-Gleichung

l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koeffizient der Ginzburg-Landau-Gleichung

LHS . . . . . . . . . . . . . . . ‘Left-hand side’ (linke Seite der Gleichung)

N . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotationsrate = Ww

Ub, Abb. 1.2, Abb. 1.5, Abb. 1.6, Abb. 1.7, siehe

[27], [45]

nφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Azimutale Komponente des Wellenzahlenvektors

O . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehlerordnung der asymptotischen Entwicklung

PG . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck der Grundströmung

r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radialkoordinate

Ra . . . . . . . . . . . . . . . . . Radius des Außenzylinders

Inhaltsverzeichnis xiii

Ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radius des Innenzylinders

Re . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Zahl =ρHUref

µ

Rek . . . . . . . . . . . . . . . . Kritische Reynolds-Zahl an der Stabilitätsgrenze

RHS . . . . . . . . . . . . . . . ‘Right-hand side’ (rechte Seite der Gleichung)

Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drall-Kenngröße =Uφ,wa

Ux,p, Gl. (2.27)

T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Großer Zeitmaßstab = εAt, Gl. (4.7)

t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitmaßstab

Ub . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referenzgeschwindigkeit =Up2 , siehe [45]

Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maximaler Geschwindigkeitswert eines Poiseuille-Profiles, siehe[45]

ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitstörung in r-Richtung, Gl. (2.30)

ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitstörung in x-Richtung, Gl. (2.30)

uφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitstörung in φ-Richtung, Gl. (2.30)

v(r,φ,x) . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsvektor in Gl. (2.30)

VGφ . . . . . . . . . . . . . . . . Azimutale Geschwindigkeitskomponente der Grundströmung, Gl.(2.27)

VGx . . . . . . . . . . . . . . . . Axiale Geschwindigkeitskomponente der Grundströmung, Gl.(2.23)

W . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangentiale Geschwindigkeit, siehe [27]

Ww . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangentiale Geschwindigkeit des Rohres, siehe [27]

W τα , W τ

β , W τγ . . . . . . . Eigenwerte des Reynolds-Spannungsdeviators

WSα , WS

β , WSγ . . . . . . . Eigenwerte des Deformationstensors

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axialkoordinate

y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normierte Spaltkoordinate in radialer Richtung, Gl. (2.13)

Zw . . . . . . . . . . . . . . . . . Translantionsgeschwindigkeits-Kenngröße =Ux,wi

Ux,p, Gl. (2.23)

DNS . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte Numerische Simulation

HJ low RSM . . . . . . . . Hanjalic Jakirlic low-Reynolds-Zahl Reynolds-Spannungs-Modell, Abb. 1.6, Abb. 1.7, siehe [27]

LS low k-ε . . . . . . . . . . Launder Sharma low-Reynolds-Zahl k-ε-Modell, Abb. 1.6, siehe[27]

RANS . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen

RMS . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Stress-Modell

Ro . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotationszahl = ωdD2vx,m

, Gl. (1.1)

TSM . . . . . . . . . . . . . . . Tollmien-Schlichting-Mechanismus

xiv Inhaltsverzeichnis

Griechische Symbole

δεA . . . . . . . . . . . . . . . . . Abweichung der Strömungsparameter zu denen der neutralen Sta-bilitätsfläche

∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenz

δij . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kronecker-Delta

εA . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplituden-Kenngröße definiert als die zeitliche Wachstumrateωi eines Wellenpakets, Gl. (4.4)

εR . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krümmungskenngröße = 2HRa+Ri

, Gl. (2.9)

Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensor bezogen auf die Nichtlinearitäten

Ωa . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionsbehaftete Winkelgeschwindigkeit des Außenzylinders

Ωi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionsbehaftete Winkelgeschwindigkeit des Innenzylinders

λk . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kritische Wellenzahl an der Stabilitätsgrenze in Axialrichtung

λx . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axialkomponente des Wellenzahlenvektors

ατ , βτ , γτ . . . . . . . . . . . Hauptachsen des Reynolds-Spannungsdeviators

αs, βs, γs . . . . . . . . . . . Hauptachsen des Deformationstensors

µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität

ωd . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelgeschwindigkeit des Drallerzeugers, Gl. (1.1)

ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisfrequenz der Geschwindigkeitsstörung, Gl. (3.1)

ωi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imaginärteil der Kreisfrequenz

ωr . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realteil der Kreisfrequenz

φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umfangskoordinate

ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte

σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koeffizient der Ginzburg-Landau Gleichung

τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Spannungstensors = u′iu′j , Gl. (1.2)

Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phase

θ, κ, ζ . . . . . . . . . . . . . . Winkelunterschiede, Abb. 5.12

εijk . . . . . . . . . . . . . . . . Permutationsmatrix

~ω(w)k . . . . . . . . . . . . . . . . Wirbelstärke, Gl. (H.4)

ξx . . . . . . . . . . . . . . . . . . Großer Längenmaßstab = ε12

A

(x−

(∂ω∂λx

)N,r

t

), Gl.(4.7)

Hochgestellte Indizes

u1iu1j . . . . . . . . . . . . . . Gemittelte Komponente des Reynolds-Spannungstensors, Gl.(5.1)

∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . konjugiert komplex

Inhaltsverzeichnis xv

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodenfrei

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Periode

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doppelte Periode

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreifache Periode

T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transponierte Matrix

ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionsbehaftete Größe

Tiefgestellte Indizes .

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zur Ordnung ε12

A

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zur Ordnung εA

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zur Ordnung ε32

A

hom . . . . . . . . . . . . . . . . homogen

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richtungskomponente

inviscort . . . . . . . . . . . Reibungslos, Ort

invisczeit . . . . . . . . . . Reibungslos, Zeit

j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richtungskomponente

k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richtungskomponente

N . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Größe befindet sich auf der neutralen Stabilitätsfläche

OS . . . . . . . . . . . . . . . . . Orr-Sommerfeld-Gleichung

r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realteil

r, φ, x . . . . . . . . . . . . . . . Ortskoordinaten

Re . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Zahl

Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . bezogen auf die Rotation des Außenzylinders

Sq . . . . . . . . . . . . . . . . . . bezogen auf Squire-Gleichung

visc . . . . . . . . . . . . . . . . Reibungsbehaftet

wa . . . . . . . . . . . . . . . . . des Außenzylinders

wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . des Innenzylinders

Zw . . . . . . . . . . . . . . . . . bezogen auf Translation

1. Einleitung

1.1. Motivation

Der Einfluss des Dralles auf die Strömungsstruktur ist seit jeher ein Thema von Studi-en in der Strömungsmechanik. Die Wirkung des Dralles wird zum Beispiel genutzt, umdie Flamme in einer Brennkammer zu stabilisieren oder spielt zum Beispiel bei der In-nenkühlung von Turbinenschaufeln eine wesentliche Rolle. Aus diesem Grund ist in denletzten Jahrzehnten das Interesse an der Verbesserung numerischer Simulationen solcherStrömungen gestiegen. In der Simulation drallbehafteter Strömung wird in der Vergangen-heit, ausgehend von Maschinenbauanwendungen im Bereich der Labyrinthdichtungen inschnell drehenden Maschinen und Brennkammern von Gasturbinen, wiederholt Gebrauchvon klassischen Turbulenzmodellen ohne spezielle Anpassung für Fliehkrafteinfluss ge-macht [31], [32], [51]. Korrekturansatze für Stromlinienkrümmungseinfluss im Turbulenz-modell sind veröffentlicht, haben sich jedoch bisher nicht generell durchsetzen können [6],[52], [30].Derzeit existieren im Wesentlichen drei Methoden für die Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen bzw. für die Simulation von turbulenten Strömungen. Die Auswahl von die-sen hängt vom zu behandelnden Problem sowie den Zielen ab, die mit dem Verfahren er-reicht werden sollen. Die drei Methoden sind die Direkte Numerische Simulation (DNS),die Large Eddy Simulation (LES, im deutschen auch Grobstruktursimulation genannt) unddie Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS, im englischen für Reynolds-averaged Navier–Stokes equations).Bei der DNS werden alle Skalen im turbulenten Strömungsfeld aufgelöst, was einen extre-men Rechenaufwand erfordert und letztlich zur bekannten Reynolds-Zahl-Beschränkungführt [7]. Die LES-Technik ist ein sehr erfolgversprechender Ansatz, bei dem nur die groß-skaligen, energiereichen Anteile des Turbulenzspektrums durch ein numerisches Verfahrenaufgelöst werden, wobei der Einfluss der nicht aufgelösten turbulenten Feinstruktur auf dieGrobstruktur durch ein entsprechendes Modell berücksichtigt wird [7]. Jedoch soll nachPope [49] die Art und Weise des Strömungsproblems einer genauen Betrachtung unter-zogen werden, da sogar die Anwendung der LES-Technik nicht adäquat ist, wenn sichdie zu untersuchenden Strömungsvorgänge in der Feinstruktur befinden. In der Feinstruk-tur sind die Strömungsprozesse nicht numerisch aufgelöst sondern modelliert. Bei demRANS-Ansatz wird die turbulente Strömung in eine zeitlich gemittelte Strömung und ei-ne Schwankungsbewegung aufgespalten, deren zeitlicher Mittelwert nach der Definitiongleich null ist. Wird diese Aufspaltung in den Navier-Stokes-Gleichungen eingesetzt undeine zeitliche Mittelung durchgeführt, so ergeben sich die RANS-Gleichungen, bei denenein Zusatzglied, der sogenannte Reynolds-Spannungstensor, auftritt. Die Erscheinung die-ses Tensors bedeutet, dass das System der gemittelten Impulsgleichung mehr Unbekannteals Gleichungen hat und für seine Lösung ein Turbulenzmodell eingeführt werden muss[58].Für die Turbulenz-Modellierung sind DNS-Daten oder experimentelle Daten das Funda-ment schlechthin, denn sie liefern Einzelheiten der Schwankungsbewegung in den un-tersuchten Strömungen, mit denen die Turbulenzmodelle in den RANS-Gleichungen ka-libriert werden können. Nach Breuer [7] liefert der RANS-Ansatz für viele technischenStrömungsprobleme in Abhängigkeit vom angewandten Turbulenzmodell, zwar gute Er-gebnisse [61], aber bei vielen anderen, wo z.B. in der Strömung ein Drall an der Konvektion

2 Einleitung

beteiligt ist, ergibt sich keine befriedigende Vorhersage der Strömung (spätere Abbildun-gen 1.6 und 1.7 [27]). Die bisher aufgestellten Schließungsansätze sind somit nicht immerauf alle Strömungen übertragbar. Sogar wird das logarithmisches Wandgesetz, welches inwandnahen Strömungsbereichen eine universelle Gültigkeit unterstellt wird, bei der An-wesenheit eines Dralles in Frage gestellt, da die logarithmische Verteilung der gemitteltenGeschwindigkeit nicht gegeben ist [45].Die Simulation von drallbehafteten Strömungen mit dem RANS-Ansatz wird stark durchdie Anisotropie des Reynolds-Spannungstensors erschwert, wenn die Wirkung des Dral-les einsetzt. Zahlreiche experimentelle Studien haben gezeigt, dass die Anisotropie desReynolds-Spannungstensors ein herausragendes Merkmal der drallbehafteten Strömungenist [54], [63], [18]. Eine sich an einzelne experimentelle Messungen anpassende Ände-rung der Modellierung, um die Einflüsse von Anisotropie der drallbehafteten Strömung inBetracht zu ziehen, ist nicht wünschenswert, da sie sowohl eines physikalischen Grund-prinzipes als auch der Allgemeingültigkeit entbehrt, siehe z.B. Piquet [47].

Die Turbulenz-Modellierung hat zum Ziel, im klassischen Sinne, die Verteilungender Reynolds-gemittelten Geschwindigkeiten und Druck aus Lösungen der RANS-Gleichungen zu erhalten. Das Problem ist, dass man die Reynolds-Spannungen, die jaaus Produkten der Schwankungsbewegungen entstehen, nicht hinreichend genau kennt.Das Einsetzen eines Turbulenzmodells ist nötig, um die Kraftwirkung der Reynolds-Spannungen auf die Reynolds-gemittelten Strömungsgrößen darstellen zu können. Auf-grund der starken Anisotropie des Reynolds-Spannungstensors sind die Simulationen vondrallbehafteten Strömungen nicht immer als zufriedenstellend bezeichnet [27], [47], [7].Die Betrachtung eines alternativen Lösungsweges, um die Reynolds-Spannungen unterdem Einfluss eines Dralles zu bestimmen, ist die wichtigste Motivation dieser Arbeit. Hier-bei ist der Grundgedanke, dass die Komponenten des Reynolds-Spannungstensors nichtaus den RANS-Gleichungen sondern unmittelbar aus den nicht-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden. Dafür ist die von Stewartson und Stuart entwickelte Me-thode [64] – die Anwendung der linearen Stabilitätstheorie (LST) und der schwach nicht-linearen Theorie (SNLT) auf eine Kanalströmung– das mathematisch-physikalische Werk-zeug, mit dem der Reynolds-Spannungstensor ohne die Benutzung von Turbulenzmodellengeliefert werden kann.Mit Hilfe der LST kann für eine gegebene Geometrie der Mechanismus (Tollmien-Schlchting-Mechanismus, Rayleigh-Bénard-Konvektion, etc.) identifiziert werden, durchden die Turbulenz entstehen kann. Außerdem kann die LST die Strömungsparame-ter (Reynolds-Zahl, Prandtl-Zahl, etc.) liefern, bei denen die Strömung instabil wird –Erstellung der neutralen Stabilitätsfläche–. Darüber hinaus können durch die LST die Ver-teilung sowie die Geschwindigkeit berechnet werden, mit denen sich die Störung (Schwan-kungsbewegung) in der zu untersuchenden Geometrie entwickelt.Die LST ist oft kritisiert, da die Wirkung der Nichtlinearitäten in der Bewegungsgleichun-gen nicht berücksichtigt wird, jedoch haben Stewartson und Stuart durch ihre wissenschaft-liche Arbeit eine Vorgehensweise beigetragen, mit der wichtige Information der LST bei-behalten kann und dadurch die Komponenten der Reynolds-Spannungen berechnet werdenkönnen.In dieser Arbeit wird die Methode von Stewartson und Stuart auf eine drallbehaftete Kon-figuration angewendet, denn diese Theorie ist in der Lage, den Reynolds-Spannungstensorbei der Entstehung der Turbulenz ohne die Benutzung von bisher üblichen Turbulenzmo-dellen zu liefern.Im nächsten Kapiteln wird eine kritische Bestandsaufnahme des Verhalten sowie der Simu-lation von drallbehafteten Strömungen gemacht, um den wissenschaftlichen Kontext dar-zustellen, unter dem diese vorliegende Arbeit durchgeführt wird. Folgende Themen werdenanalysiert:

• Klassifizierung der drallbehafteten Strömungen. Hierbei werden die Strömungennach der Verteilungsform der Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung

Einleitung 3

sortiert.

• Turbulente Eigenschaften in einer drallbehafteten Strömung mit Festkörperrotations-verteilung. Hauptsächlich wird in diesem Abschnitt das Thema der Laminarisierungund die Anisotropie des Reynolds-Spanungstensors in drallbehafteten Strömungenbehandelt.

• Turbulenzmodellierung von drallbehafteten Strömungen. Die Diskussion in die-sem Abschnitt ist über das Ziel der Turbulenzmodellierung und um ihre spezifi-sche Anwendung auf drallbehafteten Strömungen. Durch zwei Beispiele wird ge-zeigt, dass die Turbulenzmodellierung nicht geeignet ist, wenn die Verteilungsformder Umfangsgeschwindigkeit eine Festkörperrotation ist. Darüber hinaus wird derBoussinesq-Ansatz in Bezug auf seine geometrische Annahme, bzw. die Ausrichtungzwischen dem Reynolds-Spannugstensor und dem Deformationstensor erläutert.

• Hydrodynamische Stabilitätstheorie. Hierbei wird die Anwendung der Vorgehens-weise von Stewartson und Stuart als eine Alternative für die Bestimmung desReynolds-Spannungstensors vorgestellt. Sowohl die lineare stabilitätstheorie alsauch die schwach nichtlineare Theorie sind präsentiert.

4 Einleitung

1.2. Stand der Forschung und kritischeBestandsaufnahme von drallbehafetten Strömungen

1.2.1. Klassifizierung der drallbehafteten Strömungen

Nach Steenbergen [63] ergeben sich in Abhängigkeit von der Drallerzeugung drei verschie-denen gemittelte Geschwindigkeitsverteilungen in der Umfangsrichtung für eine drallbe-haftete Strömungen:

r

Vφφφφ

(a) Potentialwirbelverteilung

r

Vφφφφ

(b) Festkörperrotation im Innern des Wirbel-kerns ohne Wandreibung

r

Vφφφφ

(c) Wandstrahl

Abbildung 1.1.: Globale Klassifizierung der Wirbel-Typen

• Bei einer Potentialwirbelverteilung ist die Form der Umfangsgeschwindigkeit durcheine hohe Wirbelstärke im Bereich der Drehachse charakterisiert. Außerhalb dieserRegion gibt es ein ringförmiges Gebiet, in dem Drehimpuls konstant ist, Vφ ∝ 1

r .Wobei Vφ und r die Umfangsgeschwindigkeit bzw. den Radius der Geometrie dar-tellen.

• Bei der Festkörperrotation (solid body) ist die Verteilung der Umfangsgeschwindig-keit um die Drehachse proportional zum Radius, d.h. Vφ ∝ r.

• Beim Wandstrahl (wall jet) ist die Maximalgeschwindigkeit im Wandbereich undnimmt mit dem Abstand zur Wand ab.

Die Klassifizierung im Bezug auf die Form der Geschwindigkeitsverteilung in Umfangs-richtung ist wichtig, denn diese bedingt die Verteilung der Schwankungbewegungen unddadurch die endgültige Verteilung der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors.

Einleitung 5

1.2.2. Turbulente Eigenschaften in einer drallbehafteten Strömungmit Festkörperrotationsverteilung

In diesem Abschnitt werden zwei wichtige Eigenschaften einer drallbehafteten turbulentenStrömung behandelt, wenn der Drall des Fluids um die Rohrachse zunimmt. Diese Eigen-schaften sind: die Laminarisierung der Strömung und die Anisotropie-Eigenschaften desReynolds-Spannungstensors.

Laminarisierung einer drallbehafteten Strömung

Für die Analyse dieser Eigenschaft sind drei Beispiele aus der Fachliteratur genommen. Dererste Fall ist eine von Rocklage-Marliani durchgeführte experimentelle Untersuchung [54],in der sowohl die gemittelte Geschwindigkeit als auch der Reynolds-Spannungstensorsbei einer mäßig hohen Reynolds-Zahl, Re = 2, 8 ∗ 105, gemessen wurden. Die anderenFälle sind eine von Orlandi und Fatica berechnete DNS-Simulation [45] und ein von Reichund Beer [55] durchgeführter Versuch, bei denen u.a. die gemittelte Geschwindigkeit zurVerfügung steht. Die Reynolds-Zahl ist nicht hoch und liegt in beiden Fällen bei 5000.Alle Beispiele stellen für die Umfangsgeschwindigkeit eine Festkörperrotationsverteilungdar.

Das Konzept der Laminarisierung der Strömung wird in der Arbeit von Rocklage-Marlianidurch folgende physikalische Gesetzmäßigkeit behauptet: Dort, wo eine Festkörperrotati-onsbewegung existiert, sind die Scherkomponenten des Reynolds-Spannungstensors fastgleich null. Das hat zur Folge, dass die Strömung in diesem Festkörperrotationsbereichlaminar ist, in dem Sinne, dass die Scherkomponenten des Reynolds-Spannungstensorskeine Wirkung auf das zeitgemittelte Geschwindigkeitsprofil haben. Dahingegen sind dienormalen Komponenten des Reynolds-Spannungstensors keineswegs zu vernachlässigen[54].

Die Laminarisierung der Strömung wird in der DNS-Simulation von Orlandi undFatica durch die Tatsache behauptet, dass die (axiale) Geschwindigkeitkomponente, diein der Strömungsrichtung liegt, die Verteilung einer laminaren Strömung annimmt, wennder Drall um die Drehachse zunimmt. In der Arbeit von Reich und Beer wird ebenfallsbehauptet, dass die Rotation aufgrund der radial ansteigenden Zentrifugalkräfte einenausgeprägten Einfluss auf die Unterdrückung der turbulenten Bewegung hat.

In Abbildung 1.2 ist das Verhalten der axialen Geschwindigkeitskomponente bei ei-nem rotierenden Rohr dargestellt, siehe [45]. In diesem Beispiel charakterisiert N dieDrallintensität und ist als das Verhältnis zwischen die maximale Geschwindigkeit inaxialer Richtung und der tangentialen Geschwindigkeit der Rohrwand definiert. y istder normierte Radius. y = 0 bis y = 1 stellen der Radius von der Wand bis zur Mittedes Rohres dar. vz = 1 − r2 ist das bekannte parabolische Profil einer laminarenRohrströmung und Ub = 0, 5Up, wobei Up der maximale Wert eines Poiseuille-Profiles ist.Wie aus Abbildung 1.2 ersichtlich ist, nimmt die axiale Geschwindigkeitskomponente dieVerteilungsform einer laminaren Rohrströmung an, wenn die Drallintensität N zunimmt.Orlandi und Fatica behaupten, dass dieses Verhalten auch qualitativ im Experiment vonReich und Beer [55] zu finden ist.

In der vorliegenden Arbeit wird eine Stabilitätsanalyse auf eine laminare drallbehaf-tete Strömung durchgeführt. Die Betrachtung einer laminaren Strömung hat anscheinendder Laminarisierung der Strömung bei steigendem Drall einen Sinn. Selbstverständlich isteine sehr kritische Bestandsaufnahme darüber erforderlich, auf welche Strömungsgrößenund wann die Gesetzmäßigkeiten aus laminarer Strömung anwendbar sind.

6 Einleitung

50 P. Orlandi and M. Fatica

y

2.0

1.5

1.0

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

©vzª

Ub

1–r2

Figure 2. Averaged streamwise velocity profiles scaled with the bulk velocity Ub: , N = 0.5;, N = 1.0; , N = 2.0; , N = 0; × , EUW. Closed symbols are from experiments by

Reich & Beer (1989) at Re = 5000: • , N = 0; , N = 0.5; N, N = 1; H, N = 2.

the profiles of 〈wθ〉 = 〈vθ〉UCL2/N + r in figure 4(b) show a slight dependence on N.In figure 4(b) the values by Kikuyama et al. (1983b) at Re = 10000 reported in thepaper by Hirai et al. (1988) are included. We took the data from Hirai et al.’s paperbecause these were given at each N separately. In the original paper by Kikuyamaet al. (1983b) it was difficult to read the data, and those at N = 0.5 were givenonly for a few radial locations. A very careful observation of the data at N = 0.5,however, shows that the symbols do not exactly coincide with those at N = 1. Thevalues of Reich & Beer (1989) were not included since these coincided exactly withthe theoretical curve 〈wθ〉/Vθ0 = r2. The present 〈wθ〉 profiles do not collapse ona single curve, as in Reich & Beer (1989); however, they are in a good agreementwith the Kikuyama et al. data. Also in the direct simulation at two close values ofN EBN found an imperfect collapse of the profiles. On the other hand, the EBNprofiles collapsed in the higher Reynolds number LES simulations at N = 0.71. Fromthese considerations, we could conjecture that the discrepancies with the experimentalresults of Reich & Beer (1989) could be due, once more, to the effects of the entrancecondition and not to Re, since in the experiments independence of Re was found. Wechecked that the lack of similarity in figure 4(b) did not depend on the insufficienttime integration to reach the steady state. Moreover, the averages were done withfields with Qθ =

∫qθdV constant. The independence of the radial resolution was also

investigated: simulations with 49 and 97 points in the radial directions produced thesame 〈wθ〉 profiles. The check that our 〈vθ〉 at the steady state satisfies the relationship

〈v′θv′r〉 −

1

Rer∂〈vθ〉/r

∂r= 0 (3.1)

Abbildung 1.2.: Axiale Geschwindigkeitsverteilung für ein rotierendes Rohr aus DNS-Daten von Orlandi und Fatica [45]: laminare Rohrströmung;

, N = 0, 5; N = 1; N = 2. GeschlosseneSymbole sind aus Experimenten von Reich und Beer [55] bei Re = 5000:• N = 0; N = 0, 5; N N = 1; H N = 2.

Anisotropie des Reynolds-Spannungstensors

Die Anisotropie-Eigenschaften des Reynolds-Spannungstensors kann durch die Invarian-ten des Reynolds-Spannungs-Anisotropie-Tensors untersucht werden, der im Anhang G in(G.1) als aij =

τijK −

23δij definiert ist. Da die Spur des Tensors aij gleich null ist, gibt es

nur zwei Invarianten (IIa, IIIa) von aij , die unabhängig voneinander sind und die Ani-sotropie des Reynolds-Spannungstensors beschreiben [48]. Die Invarianten IIa und IIIasind im Anhang G in (G.2) definiert. Aus der Auftragung der beiden Invarianten ergibt sichdie Anisotropie-Invariantenkarte oder das sogenannte Lumley-Dreieck. Innerhalb diesesDreieckes liegen alle physikalisch realisierbaren Turbulenzzustände [29]. Die Bedeutungund Interpretation des Lumley Dreieckes ist im Anhang G gegeben.

Die Anistropie-Inavrianten-Karte für das von Rocklage-Marliani durchgeführte Ex-periment kann man in der Arbeit von Örlü [43] finden, jedoch wurde diese nochmal in dervorliegenden Arbeit aus den experimentellen Daten von Örlü [43] berechnet. In der Arbeitvon Örlü [43] wurden Profilmessungen an einer rotationssymmetrischen, drallbehaftetenund turbulenten Strömung entlang der Strömungsrichtung durchgeführt. Es wurden fürjede Rotationszahl von Ro = 0, 75; Ro = 1, 4 und Ro = 1, 8 die Geschwindigkeiten undSchwankungskorrelationen an den Stellen x

D = 4; xD = 6, 5; x

D = 9; xD = 11, 5 und

xD = 14 bei einer Reynolds-Zahl von Re = 224000 gemessen.

Einleitung 7

Die Stärke des Dralles wird durch die Rotations-Zahl beschrieben:

Ro =ωdD

2vx,m(1.1)

wobei ωd für die Winkelgeschwindigkeit des Drallerzeugers, D für den Innendurchmesserdes Rohres und vx,m für die zeitlich über den Querschnitt gemittelte mittlere Geschwin-digkeit der Strömung steht. Eine schematische Darstellung der Versuchsanordnung ist inAbbildung 1.3 gegeben.

Drallerzeuger

Meßstrecke

(Simulationsbereich)

x = 4D

Strömungseintritt

x = 14D

D

x = 11,5D

x = 9Dx = 6,5D

Abbildung 1.3.: Geometrie des Versuchsstandes aus [54]

Es ist von Interesse der Effekt der Rotation auf die Anisotropie-Eigenschaften zu ana-lysieren. In Abbildung 1.4 ist die Anisotropie-Invarianten-Karte für die RotationszahlenRo = 0, 75 und Ro = 1, 8 gebaut. Die Invarianten IIa und IIIa sind entlang des Radiusund bei jeder axialen Station ( xD = 4 bis 14) berechnet und gegeneinander als IIa/IIIaaufgetragen.

8 Einleitung

Radialverteilung bei x=4D

0

0.3

-0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05IIIa

IIa

Radialverteilung bei x=6,5D

0

0.3

-0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05IIIa

IIa


0

0.3

-0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05IIIa

IIa

Radialverteilung bei x=11,5D

0

0.3

-0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05IIIa

IIa


0

0.3

-0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05IIIa

IIa

Abbildung 1.4.: Anisotropie-Invarianten-Karte bei verschiedenen axialen Position (4D;6,5D; 9D; 11,5D; 14D) für zwei Rotationszahlen. bezeichnet dieMessdaten bei Ro=0,75, 2 bei Ro=1,8 [43].

Einleitung 9

In Abbildung 1.4 kann man sehen, dass sich die Messdaten für Ro=0,75 bei abklingenderDrallkomponente in Axialrichtung, von einer zerstreuten Verteilung in der Mitte des Dia-gramms zu der 2-D Achsensymetrie-Linie bewegen, während sich der Verlauf der Messda-ten für Ro=1,8, bei abklingender Drallkomponente in Axialrichtung, von der 2-D Achsen-symetrie zur 2-D Linie bewegt, siehe [43].Zusammen mit den experimentellen Daten von Örlü kann man die Anisotropie-Invarianten-Karte für die DNS-Daten der drallbehateten turbulenten Rohrströmung von Orlandi undFatica in [29] finden. Diese ist in Abbildung 1.5 dargestellt.

Abbildung 1.5.: Anisotropie-Invarianten-Karte eines rotierenden Rohres aus [29]. Die In-varianten IIa und IIIa wurden mit den DNS-Daten von Orlandi und Fa-tica berechnet. N stellt die Drallintensität dar.

Abbildung 1.5 zeigt, dass bei schwachen Drallintensitäten die Anisotropie-Eigenschaftendes Reynolds-Spannungstensors eng dem üblichen Verhalten von wandnahen Strömun-gen folgen. Bei steigendem Drall verschieben sich diese von der rechten Grenze derAnisotropie-Invarianten-Karte in Richtung des linken Astes. [29].Die verschiedene Verläufe für die Anisotropie-Eigenschaften der drallbehafteten Strömun-gen in Abbildungen 1.4 und 1.5 können an verschiedenen Gründen liegen: Erstens sinddie drallbehafteten Konfigurationen ähnlich aber nicht gleich, während im Experiment vonRocklage-Marliani sich eine Wabenstruktur in einem Rohr dreht und die Strömung in axia-ler Richtung nicht vollentwickelt ist, handelt es sich in der Simulation von Orlandi undFatica um ein rotierendes Rohres und um eine vollentwickelte Strömung. Zweitens sinddie Reynolds-Zahlen der beiden Beispiele von der Größenordnung sehr unterschiedlich.Während im Versuch von Rocklage-Marliani die Reynolds-Zahl bei 2, 8 ∗ 105 liegt, ist die-se in der DNS-Simulation von Orlandi und Fatica gleich 5000.Der beiden Abbildungen kann man auch entnehmen, wie empfindlich die Anistropie-Eigenschaften des Reynolds-Spannungstensors ist, wenn sich sowohl die Stärke des Drallesals auch die Randbedingungen, wie zum Beispiel die Geometrie oder die Reynolds-Zahl,ändern. Dies spiegelt in gewisser Weise wider, wie schwierig die Kalibrierung von Turbu-lenzmodellen bei drallbehafteten Strömungen ist, da sich die Komponenten (und dadurchdie verbundene Anisotropie) des zu modellierenden Reynolds-Spannungstensors sehr leichtändern können.

10 Einleitung

1.2.3. Turbulenzmodellierung von drallbehafteten Strömungen

Seit Stokes und Navier unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhundertsdie Gleichungen für die Beschreibung des Verhaltens von Strömungen in Fluiden her-geleitet haben, versuchen Ingenieure, Physiker und Mathematiker das Turbulenzproblemzu lösen. Als Zwischenlösung hat die Ingenieurpraxis den Weg eingeschlagen, bei demdie Strömungsgrößen in einem gemittelten und in einem Schwankungsanteil aufgespaltenwerden. Durch das Einsetzen dieser Aufspaltung in die Navier-Stokes-Gleichungen (NS-Gleichungen) und anschließender Mittelwertbildung ergeben sich die Reynolds-gemitteltenNavier-Stokes-Gleichungen (RANS-Gleichungen). Hierbei tritt aufgrund der Nichtlinea-rität der NS-Gleichungen der sogenannte Reynolds-Spannugstensor als unbekannt auf.Dadurch haben die RANS-Gleichungen mehr Unbekannte als Gleichungen. Die Anwen-dung eines Schließungsansatzes ist notwendig, damit ein geschlossenes und lösbares Glei-chungssystem für die Bestimmung der gemittelten Größen zur Verfügung steht. Das Zieldes Schließungsansatzes besteht dann darin, die Kraftwirkung der Schwankungsanteile –Reynolds-Spannugstensor– auf die gemittelten Größen durch ein geeignetes Turbulenz-modell mathematisch zu erfassen. Das bedeutet, dass man nur eine befriedigende Lösungfür die gemittelten Anteile der Strömungsgrößen erhalten kann, wenn das Turbulenzmo-dell den Reynolds-Spannungstensor in seinen wesentlichen Zügen physikalisch sachge-recht beschreibt. Diese maßgebenden physikalischen Züge betreffen die Erfassung desReynolds-Spannungstensors sowohl in seinem Betrag als auch in der Form seines räum-lichen Verlaufs. Hierin liegt das Kernproblem bei der Turbulenz-Modellierung von drallbe-hafteten Strömungen. Infolge der Mechanismen der Strömungsinstabilität, die drallbehaf-teten Strömungen zu eigen sind, entstehen Geschwindigkeitskomponenten der Schwan-kungsbewegung, die anwachsen und die Komponenten des Reynolds-Spannungstensorsbilden, dessen markante Eigenschaften wesentlich von den entsprechenden in drallfreienStrömungen anders sind hinsichtlich sowohl des Betrages als auch des räumlichen Ver-laufs. Ein repräsentatives Beispiel dafür ist in Abbildung 1.5 gegeben. Die Verschiebungder Anisotropie-Eigenschaften im Lumley-Dreieck zwischen einer drallfreien und einerdrallbehafteten Rohrströmung spiegelt die starke Änderung an sowohl dem Betrag als auchdem räumlichen Verlauf der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors wider, wenndie Wirkung des Dralles in der Strömung eingesetzt wird.Korrekturen der für drallfreie Strömungen kalibrierten und bewährten Turbulenzmodel-

le haben sich für drallbehaftete Strömungen als nicht besonders zuverlässig erwiesen. Ineinem Versuch den Wirbelviskositätsansatz nach Boussinesq auf turbulente, drallbehaf-tete Rohrströmungen anzupassen, haben Kobayashi und Yoda [40] das k-ε-Modell mo-difiziert. Bei Anwendung von verschiedenen Wirbelviskositätskomponenten wurden dieKraftwirkungen der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors angepasst und damitgute Übereinstimmungen mit zur Verfügung stehenden Messungen erhalten. Jedoch kriti-siert Piquet [47] die Arbeit von Kobayashi und Yoda in dem Sinne, dass der Anwendbar-keitsbereich solcher Ad-hoc-Korrekturen sehr gering ist. Darüber hinaus sind nach PiquetsMeinung viele andere Ad-hoc-Modifikationen an dem k-ε-Modell vorgeschlagen worden,jedoch keine scheint in der Lage zu sein, befriedigende Ergebnisse für niedrige und hoheDrallintensitäten zu liefern [7], [27], [47], [62], [63]. Ferner konnten Test-Simulationenvon drallbehafteten Strömungen mit Reynolds-Spannungs-Modellen (RSM) keine Überle-genheit gegenüber Standartmodellen aufweisen [47]. Das RSM ist das empfehlenswerte-ste Modell, wenn die Strömung eine starke anisotrope Turbulenzverteilung aufweist, dennbeim RSM werden die einzelnen Komponenten des Reynolds-Spannungstensors direkt be-rechnet, ohne auf den Ansatz für die Wirbelviskosität zurückzugreifen. Es gibt Beispielefür die Anwendung des RSM auf drallbehaftete Strömungen in der Fachliteratur, bei de-nen die Ergebnisse eine gute Übereinstimmung mit Messdaten für die zeitgemittelte Ge-schwindigkeitsverteilungen zeigen, siehe [4] [28]. Andererseits zeigt Jakirlic [27] sowohlgute als auch nicht zufriedenstellende Ergebnisse für die Vorhersage drallbehafteter undrotierender turbulenter Strömungen. Eine umfassende Zusammenstellung von Arbeiten, in

Einleitung 11

denen RSM auf drallbehaftete Strömungen angewendet wurden, ist in Jakirlic et al. zu fin-den [27]. Als Beispiel berechnet Jakirlic eine Strömung innerhalb axial rotierender Rohre,deren Umfangsgeschwindigkeitsverteilung der Form einer Festkörperrotation (Abbildung1.1 b ) entspricht, und vergleicht die Ergebnisse mit DNS-Daten von Eggels [14]. Hierbeizeigt sich, dass insbesondere die tangentiale Geschwindigkeit in Abbildung 1.6 nicht imEinklang mit den dargestellten DNS Daten von Eggels ist:

Abbildung 1.6.: Vergleich zwischen DNS-Daten Eggels u.a.[14] und den mit verschie-denen Reynolds-Spannungs- und k-ε-Modellen gewonnenen Profilen derUmfangsgeschwindigkeit in einem um die Längsachse rotierenden Rohr.N undW stellen die Rotationsrate des Rohres bzw. die Umfangsgeschwin-digkeit dar [27].

Die nicht zufriedenstellende Übereinstimmung der Umfangsgeschwindigkeitsverteilung inAbbildung 1.6 erklärt sich nach Jakirlic dadurch, dass die Schubspannungskomponentendes Reynolds-Spannungstensors nicht sachgerecht simuliert sind. In Abbildung 1.7 (a) und(b) werden die berechneten Profile der Reynolds-Scherspannungskomponente u′ru′φ bzw.u′xu

′φ mit den DNS-Daten von Eggels u.a. verglichen. In Abbildung 1.7 (a) sind in den

Simulationsergebnissen mittels RSM deutliche Spitzen-Werte von u′ru′φ in Wandnähe zuerkennen welche in den Ergebnissen der DNS nicht wiedergegeben werden. Darüber hinausliefert in Abbildung 1.7 (b) das von Jakirlic benutzte RMS-Modell ein falsches Vorzeichenfür die Reynoldsschen Scherspannungskomponente u′xu′φ.

12 Einleitung

(a) vw stellt die radiale Verteilung der Reynolds-Spannungskomponente u′ru′φ dar,welche durch die mittlere Axialgeschwindigkeit normiert ist.

(b) uw stellt die radiale Verteilung der Reynolds-Spannungskomponente u′xu′φ dar,welche durch die mittlere Geschwindigkeit normiert ist.

Abbildung 1.7.: Vergleich zwischen DNS-Daten von Eggels u.a.[14] und aus demReynolds-Spannungs-Modell gewonnenen Profilen der Reynolds-Spannungskomponenten u′ru′φ und u′xu′φ.

Parallel zu den Ergebnissen von Jakirlic wurden in dieser Arbeit Strömungssimulationendurchgeführt, in denen zu Verfügung stehenden Messergebnisse einer drallbehafteten Rohr-strömung (Örlü [43]) mit Ergebnissen des kommerziellen Strömungslösers CFX von AN-SYS verglichen werden.

Ein wichtiger Punkt der Gegenüberstellung ist, dass bei der Simulation die expe-rimentellen Daten (Axial-, Radial- und Umfangsgeschwindigkeitsprofil und Reynolds-Spannungstensor) am Strömungseintritt (x=4D), siehe Abbildung 1.3, vorgegeben wurden.Damit wurde sichergestellt, dass die Modellierung unter den selben Eingangsbedingungenwie beim Versuch durchgeführt wurde.

Einleitung 13

Im Folgenden werden für den Vergleich mit der Simulation die Messdaten für Ro = 1, 4berücksichtigt. Das Umfangsgeschwindigkeisprofil wurde mit den Rechenmodellen vergli-chen. Die graphischen Ergebnisse sind für Ro = 1, 4 in den Abbildungen 1.8 und 1.9 zusehen.

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.05 0.05

Radius (m)

Um

fang

sges

chw

indi

gkei

t (m

/s)

K-e-Modell 4D Ro=1,4

Messdaten 4D Ro=1,4

K-e-Modell 14D Ro=1,4

Messdaten 14D Ro=1,4

Abbildung 1.8.: Vergleich zwischen den Messdaten [43] und den numerischen Ergeb-nissen mit einem Standart k-ε-Modell in CFX berechnet. Ro = 1, 4.x = [4D; 14D].

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Radius (m)

Um

fang

sges

chw

indi

gkei

t (m

/s)

RSM 4D Ro=1.4Messdaten 4D Ro=1.4RSM 14D Ro=1.4Messdaten 14D Ro=1.4

Abbildung 1.9.: Vergleich zwischen den Messdaten [43] und den numerischen Ergebnissenmit RSM in CFX berechnet. Ro = 1, 4. x = [4D; 14D].

Die Abbildungen 1.8 und 1.9 zeigen, dass beide Modelle keine besonders gute Überein-stimmung mit den Messdaten haben. Ähnliche Beobachtungen hat auch Jakirlic gemacht,der mittels Simulationen drallbehafteter Strömungen zeigen konnte, dass sowohl das k-ε-Modell als auch das RSM keine vernünftigen Simulationsergebnisse für die Umfangsge-

14 Einleitung

schwindigkeitskomponente erbringen können, wenn diese eine Festkörperrotationsvertei-lung darstellt [27].

Der Wirbelviskositätsansatz nach Boussinesq und die Ausrichtung derEigenvektoren

In der Turbulenzmodellierung wird sehr häufig der Wirbelviskositätsansatz nach Bous-sinesq angewandt. Dabei bedeutet, dass der Reynolds-Spannungstensor u′iu

′j durch den

symmetrischen Anteil des zeitgemittelten Geschwindigkeitsgradiententensors Sij =12

(∂Vj∂xi

+ ∂Vi∂xj

)und die zeitgemittelte kinetische Energie K = 1

2uiui ausgedrückt wird.u′i ist die turbulente Schwankungsbewegung und der obere Querstrich deutet eine zeitlichgemittelte Größe. Nach [47] lautet der Wirbelviskositätsansatz wie folgt:

u′iu′j =

2

3Kδij − 2νtSij (1.2)

wobei νt, Sij und δij die turbulente Wirbelviskosität, den Deformationstensor bzw. dasKronecker Symbol darstellen.Gleichung (1.2) kann umgeschrieben werden:

aDij = u′iu′j −

2K

3δij = −2νtSij (1.3)

wobei aDij der Reynolds-Anisotropietensor (Deviator) ist.Wenn die turbulente Wirbelviskosität als eine skalare Größe definiert ist, d.h. sie ist iso-trop und nimmt für alle Spannungskomponenten in alle Raumrichtungen die gleiche Grö-ße an, stellt Gleichung (1.3) eine einfache lineare Abängigkeit zwischen dem Reynolds-Anisotropietensor aDij und dem Deformationstensor Sij auf.Zur Fortsetzung der Idee einer physikalisch sachgerechten Modellierung der Kraftwirkungdes Reynolds-Spannungstensors kann für die lineare Beziehung in (1.3) folgendes Gedan-kenexperiment durchgeführt werden. Wenn die Tensoren aDij und Sij als Vektoren betrach-tet werden würden, sollten diese die gleiche Richtung haben. Die isotrope turbulente Wir-belviskosität wirkt in dieser Vorstellung lediglich als eine Verkleinerung oder Vergrößerungdes „Vektors “ und ändert seine Richtung nicht. Dieser geometrische Gedanke kann aufdie Beziehung zwischen den Tensoren in Gl. (1.3) „extrapoliert “ werden. Die Ausrichtungzwischen den Hauptachsen der Tensoren aDij und Sij kann berechnet werden, um herauszu-finden, ob die Hauptachsen die gleiche Richtung zeigen [48], [17]. In vorliegenden Arbeitwird die Ausrichtung zwischen den Eigenvektoren der Tensoren aDij und Sij berechnet, umdie geometrische Annahme des Wirbelviskositätsansatzes nach Boussinesq zu analysieren.

1.2.4. Hydrodynamische Stabilitätstheorie

Das Ziel der Turbulenz-Modellierung ist die Erfassung der Kraftwirkung der Reynolds-Spannungen auf die Reynolds-gemittelten Strömungsgrößen. Die Berechnungen fürdie zeitlich gemittelten Strömungsgrößen mit einem Turbulenzmodell sind dann zu-friedenstellend, wenn die im Tubulenzmodell angewandten Ansätze die wesentlichenEigenschaften der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors entsprechend ihrenphysikalischen Gegebenheiten in Betracht gezogen werden, nämlich bezüglich sowohldes Betrags als auch der räumlichen Verteilung. Sucht man nach den Gründen für dieunbefriedigende Erfassung des gemittelten Feldes der drallbehafteten Strömung mittelsder Turbulenzmodellierung, kann man folgende Tatsache identifizieren: Turbulenzmodellesind nicht in der Lage die wirklich vorhandene Anisotropie der Schwankungsbewegungzu erfassen, welche durch die unterschiedlichen Verteilungen der Komponenten desReynolds-Spannungstensors zum Ausdruck kommt (siehe Abbildung 1.7).

Einleitung 15

Mit der Maßgabe, dass der Übergang zur Turbulenz als ein Vorgang von aufeinanderfolgen-den Bifurkationen entsteht, wie zum Beispiel die Strömung zwischen einem rotierendeninneren und einem stationären koaxialen äußeren Zylinder (zirkulare Couette-Strömung)[25], kann man einen möglichen Lösungsweg für eine physikalisch sachgerechte Erfassungdes Reynolds-Spannungstensors finden, wenn die Reynolds-Spannungen unmittelbar ausden nicht-gemittelten Bewegungsgleichungen hergeleitet werden. Diese Betrachtungs-weise bedeutet die Anwendung der Methode von Stewartson und Stuart [64] als Werkzeugfür die Beschreibung (Betrag und räumliche Verteilung) der Schwankungsbewegung.Hierbei könnte man die Anisotropie-Eigenschaften des Reynolds-Spannungstensors einerdrallbehafteten Strömung ohne die Benutzung von Turbulenzmodellen bestimmen.Die hydrodynamische Stabilitätstheorie wird in der Strömungsmechanik für die Studie derEntstehung der Turbulenz angewandt. Entscheidende Bedeutung in diesem Zusammenhanggewinnt hier die Einsicht in die physikalischen Mechanismen, die für die Entstehung derTurbulenz verantwortlich sind. Diese sind z. B. thermische Ursachen (Rayleigh-Benard-Konvektion), Zentrifugalkräfte (Taylor-, Görtler- und Dean-Mechanismus), Corioliskraftoder viskose Effekte (Tollmien-Schlichting-Mechanismus).Die hydrodynamische Stabilitätstheorie umfasst die lineare und die schwach nichtlineareTheorie:Die lineare Stabilitätstheorie ermittelt, ob ein dynamisches System stabil oder instabilbleibt, wenn in seiner Lösung kleine Störungen hinzugefügt werden. Die Anwendung derlinearen Stabilitätstheorie besteht zuerst aus der Durchführung einer linearen Stabilitäts-analyse, bei der das Verhalten einer laminaren Strömung (Grundströmung) gegenüber derEinführung von wellenförmigen Störungen kleiner Amplitude in der Strömung erforschtwird. Behält die gestörte Grundströmung einerseits ihren ursprünglichen laminarenZustand, wird die Grundströmung als stabil bezeichnet. Wächst die Störung andererseitsund verursacht, dass die Grundströmung einen anderen Zustand erreicht, wird die Grund-strömung als instabil definiert.Die schwach nichtlineare Theorie versucht näherungsweise die Auswirkung der nichtli-nearen Terme der Navier-Stokes-Gleichungen (quadratische Glieder) zu berücksichtigen,welche in der linearen Stabilitätstheorie vernachlässigt sind. Der Einfluss der Nichtlineari-täten ist schwach in dem Sinne, dass die Nichtlinearitäten auf das Verhalten der Störung erstin der zweiten Größenordnung eines Gleichungssystems betrachtet werden. Die Grundlageder schwach nichtlinearen Theorie wurde im Jahr 1960 für eine Kanalströmung von Stuart[66] geschaffen. Elf Jahre später zeigten Stewartson und Stuart [64] die Vorgehensweisefür die Betrachtung der ersten nichtlinearen Korrektur in der Lösungsform der Amplitudeeines Wellenpaketes. In Anlehnung an diese Methode will man in dieser Arbeit für einedrallbehaftete Konfiguration die Dynamik der Schwankungsbewegung (Wellenpaket)beschreiben und dadurch für die Entstehung der Turbulenz den Reynolds-Spannungstensorbestimmen. Klassisch ist in der Fachliteratur die Anwendung der hydrodynamischenStabilitätstheorie auf eine Kanalströmung (auch Poiseuille-Strömung genannt) [12], [11],[57], [10], [59], [25], Taylor-Couette-Strömung [12], [11], [57] oder Bénard-Zellen [12],[11] zu finden.Beide Theorien werden in dieser Arbeit angewendet und seien daher im folgendengrundlegend erläutert:

Die lineare Stabilitätstheorie

Die lineare Stabilitätstheorie versucht den Übergang vom laminaren zum turbulenten Strö-mungsverhalten (auch Transition genannt) zu beschreiben. Die Theorie untersucht den zeit-lichen Ablauf einer Störung, welche in eine laminare Strömung eingeführt wurde. Klingendie Störungen mit der Zeit ab, wird die laminare Strömung als stabil bezeichnet, wach-sen sie zeitlich an, ist die laminare Strömung instabil und der laminare Zustand der Strö-

16 Einleitung

mung könnte turbulent werden. Durch die lineare Stabilitätsanalyse wird eine neutralstabileFläche bestimmt. Innerhalb dieser Fläche wird die Grundströmung instabil und könnte indie turbulente Strömungsform übergehen [57]. Die Grundgedanken der Stabilitätstheoriewurden zuerst vor mehr als hundert Jahren von O. Reynolds ausgesprochen. Durch dieDefinition einer dimensionlosen Größe, nämlich der Reynolds-Zahl, konnte O. Reynoldsmit seiner Versuchsanlage zeigen, dass eine laminare Rohrströmung ab einer bestimmtenReynolds-Zahl instabil wird. Erst etwa 1930 wurden von W. Tollmien und H. Schlichtingbefriedigende Ergebnisse über die Bestimmung einer kritischen Reynolds-Zahl erreicht.Erst etwa zehn Jahre später konnten H.L. Dryden und seine Mitarbeiter die Anwendungder Stabilitätstheorie durch gute Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment be-stätigt [58].Bei der Anwendung der linearen Stabilitätstheorie werden folgende wesentliche Schrittedurchgeführt:

• Zur Untersuchung des Stabilitätsverhaltens einer Strömung wird diese als Summeeiner laminaren Grundströmung und einer überlagerte Störbewegung dargestellt (all-gemeiner Störansatz). Die Grundströmung ist stationär und bekannt als eine Lösungder Navier-Stokes Gleichungen. Im Gegensatz dazu ist die Störungsbewegung dievon der Zeit abhängende unbekannte Größe, die auch aus den nicht gemittelten Be-wegungsgleichungen erhalten wird. Es wird vorausgesetzt, dass die Störungsgrößenklein gegenüber den Werten der Grundströmung sind.

• Bei Annahme kleiner Störungsbewegungen, d.h. quadratische Glieder der überla-gerten Störungsbewegung sind gegenüber den linearen Gliedern vernachlässigbar,kann aus den Navier-Stokes-Gleichungen und der Kontinuitätsgleichung eine linea-re Stördifferentialgleichung hergeleitet werden. Nach Elimination des Druckes undder Annahme eines Wellenansatzes für die Störungsbewegung wird eine gewöhnli-che Differentialgleichung vierter Ordnung hergeleitet. Dieser ist die sogenannte Orr-Sommerfeld-Gleichung, welche ein Eigenwertproblem darstellt [57].

• Die Stabilitätsanalyse wird durch eine zeitliche Betrachtungsweise durchgeführt.D.h. die räumlichen Wellenzahlen der Störwelle sind reell und die Frequenz einekomplexe Größe, deren Imaginärteil die zeitliche Anfachung oder Dämpfung derStörungsbewegung beschreibt.

• Bei der Stabilitätsanalyse geht es darum, das Eigenwertproblem (Orr-Sommerfeld-Gleichung) zu lösen. Das bedeutet, für eine vorgegebene Grundströmung sowie füreine vorgegebene Wellenzahl und Strömungsparameter, wie z.B. der Reynolds-Zahl,werden der Eigenwert (Frequenz) sowie die Eigenfunktion (Störamplitude) berech-net. Ist der Imaginärteil der Frequenz negativ, wird die Grundströmung als stabilbezeichnet. Andernfalls ist für eine positive Größe die Grundströmung instabil. Fürverschiedene Werte der Wellenzahl und Strömungsparameter wird die komplexe Fre-quenz berechnet. Die Ergebnisse werden in Form eines Stabilitätsdiagrammes ange-geben. In diesem Diagramm wird als Funktion von Wellenzahl und Strömungspa-rameter eine Indifferenz-Kurve dargestellt, welche den stabilen von den instabilenBereich trennt.

Wenn in der Orr-Sommerfeld-Gleichung die Reibungsglieder (Terme, die mit 1Re mul-

tipliziert sind) gegenüber den Trägheitsgliedern vernachlässigt werden, erhält man diereibungsfrei Störungsdifferentialgleichung oder die sogenannte Rayleigh-Gleichung [10].Aus der Fachliteratur ist bekannt [57], dass für Axialgeschwindigkeiten wie z.B. diePoiseuille-Strömung, bei der der Druckgradient die treibende Kraft ist, oder die Couette-Strömung zwischen zwei parallelen ebenen Wänden, stabil für die Rayleigh-Gleichungensind. Die Poiseuille-Strömung kann erst dann instabil gegenüber kleinen reibungsfreienStörungen sein, wenn das erste Rayleigh-Theorem erfüllt ist. Das heißt, es gibt einen Wen-depunkt im Geschwindigkeitsprofil. Die Couette-Strömung ist ebenfalls instabil, wenn dasFjørtoft-Theorem erfüllt ist (siehe [10], Seite 50).

Einleitung 17

Strömungen wie die Poiseuille-Strömung, welche bei Re → ∞ unter Vernachlässigungder Viskosität stabil bleiben, werden jedoch unter Berücksichtigung der Viskosität instabil.Einerseits fungiert die Viskosität bei relativ kleinen Reynolds-Zahlen als Strömungsdämp-fer, denn sie “zerstreut"die Energie der Störung schneller als die Reynolds-Spannung dieEnergie erzeugt. Andererseits wirkt die Zähigkeit bei moderaten, großen Reynolds-Zahlenals destabilisierend, da diese die Phase der Geschwindigkeitsstörungen in der kritischenSchicht verschiebt. Infolgedessen ist der Mittelwert des Produktes von zwei Geschwin-digkeitsstörungen (Reynolds-Spannung) über eine Wellenlänge um die kritische Schichtherum nicht gleich null. Das hat zur Folge, dass eine Energieübertragung zwischen derGrundströmung und der Störung stattfindet. Ist die Viskosität nicht in der Lage die von derReynolds-Spannung erzeugte Energieproduktion zu zerstreuen, kann die Strömung eineninstabilen Zustand erreichen [12]. Tollmien nennt dies den doppelten Effekt der Viskosität[11].Der Tollmien-Schlichting-Mechanismus (TSM), welcher die Instabilitäten in diesem Pro-blem verursacht, trägt den Namen der Wissenschaftler, welche bewiesen haben, dass beigewissen Grundströmungen ohne Wendepunkte, die nach dem Rayleigh-Kriterium stabilsind, instabile Störungen entstehen können und die Reibungseffekte unbedingt mit zu be-rücksichtigen sind.Ein klassischer Studienfall des TSM ist die Entstehung der Turbulenz in der Grenzschicht.Bei umströmten Körpern lassen sich z.B. in der Grenzschicht einer längs angeströmtenebenen Platte zwei hervorragende Bereiche erkennen. Die Strömung ist zunächst lami-nar und wird stromab turbulent. Die laminare Grenzschichtsströmung wird bei der kriti-schen Reynolds-Zahl von zweidimensionalen Tollmien-Schlichting-Wellen überlagert. Dasheißt, bei dieser Reynolds-Zahl wachsen die Störungswellen zeitlich an. Dieser Vorgangwird durch die primäre Stabilitätstheorie beschrieben. Weiter stromab überlagern sich auf-grund sekundärer Instabilitäten dreidimensionale Störungen, die eine charakteristische Λ-Wirbelbildung mit lokalen Scherschichten in der Grenzschicht zur Folge haben. Der Zer-fall der Λ-Wirbel verursacht Turbulenzflecken, die den Übergang zu einer vollturbulentenGrenzschichtströmung einleiten. Die während des Transitionsprozesses beobachteten Phä-nomene sind für Plattengrenzschicht und die ebene Kanalströmung ähnlich [58]. Durch denTSM wird der Umschlag in der Poiseuille-Strömung bei einer Reynolds-Zahl von ca. 5800ausgelöst. Die maßgebenden Störungen sind Wellen, die mit einer gewissen Geschwindig-keit in der Strömungsrichtung fortschreiten.

0

Übergang turbulentlaminar

1 2 43 5

U∞

U∞

Rek Ret

Abbildung 1.10.: Laminar-turbulenter Übergang in einer Grenzschicht [44]. 0 stabile, lami-nare Strömung; 1 instabile Tollmien-Schlichting-Wellen; 2 dreidimensio-nale Wellen. Λ-Wirbel; 3 Wirbelzerfall; 4 Bildung der Turbulenzflecken;5 turbulente Strömung.

18 Einleitung

Die schwach nichtlineare Theorie

Bei dieser Theorie wird die Entwicklung eines dynamischen Systems behandelt, wenndie als schwach bezeichneten Nichtlinearitäten im Gleichungssystem eine Rolle spielen.Schwache Nichtlinearitäten zeichnen sich dadurch aus, dass sie einen merkbare Abwei-chung zur linearen Lösung erzeugen, ohne den Grundcharakter der linearen Lösung zuzerstören. Die kleinen Störungen, die in der Strömung durch die lineare Theorie einge-führt wurden, können im instabilen Bereich des Stabilitätsdiagramms exponentiell wach-sen. Durch die schwach nichtlineare Theorie kann näherungsweise die Auswirkung derNichtlinearitäten auf die Grundströmung und die Fortpflanzung von schwach instabilenStörungen in Betracht gezogen werden. Die Störungsbewegung wird durch ein Wellenpa-ket dargestellt, welches Wellenzahlen hat, die sich in der Nähe der neutralen Stabilitäts-kurve befinden und sich aus verschiedenen überlagerten Teilwellen mit unterschiedlichenWellenzahlen und Frequenzen zusammen setzt. Das Wellenpaket bewegt sich mit einerGruppengeschwindigkeit, welche nicht den selben Betrag wie die Phasengeschwindigkeitder einzelnen Teilwellen hat. Seine Amplitude wächst mit der Zeit langsam an, wenn dasWellenpaket auf der Anfachungsseite in der Nähe der neutralen Stabilitätskurve definiertist. Unter langsam sollte man verstehen, dass die zeitlichen und räumlichen Skalen, die dieAmplitude des Wellenpakets beschreiben, langsamer und länger sind, als die, die die Wel-lenlängen und Frequenzen der Teilwellen charakterisieren.Das Ziel einer schwach nichtlinearen Stabilitätsanalyse besteht darin, eine Gleichung her-zuleiten, welche die langsame Evolution der Amplitude des Wellenpakets beschreibenkann. Bei der Analyse müssen die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Paketes sowie dieWechselwirkung zwischen den Störungen (Nichtlinearitäten) betrachtet werden.Im Jahr 1960 hat Stuart [66] für eine Kanalströmung monochromatische Wellen angenom-men. Das heißt, dass die Amplitude des Wellenpakets nur zeitlich wächst und von der Wel-lenzahl der instabilsten Mode abhing. Stewartson und Stuart [64] erweiterten für die zeitli-che Evolution der Amplitude des Wellenpakets eine Dispersionsbeziehung um die Wellen-zahl der instabilsten Mode. Eine Evolutionsgleichung für die Amplitude des Wellenpaketswurde für eine Kanalströmung hergeleitet. Die Grundströmung wurde als schwach insta-bil angenommen, d.h. die Reynolds-Zahl ist von einer Größe, welche sich ein wenig überder kritischen Reynolds-Zahl 5772 befindet. Die Herleitung der Evolutionsgleichung wur-de mit Hilfe der Mehrskalenmethoden [42], [38] durchgeführt. Dabei geht es darum, dassin der Orr-Sommerfeld-Gleichung die neuen langen Skalen eingeführt werden, damit daszeitliche Wachstum des Wellenpakets, die Betrachtung der Gruppengeschwindigkeit unddie Wirkung der Nichtlinearitäten in einer Gleichung aufgestellt sind. Daraus ergibt sich,dass die Evolutionsgleichung für die Amplitude des Wellenpakets die Ginzburg-Landau-Gleichung ist. Für die Aufstellung der Ginzburg-Landau-Gleichung ist es notwendig unteranderem, einen Reynolds-Spannugstensor herzuleiten, welcher eine direkte Wirkung aufdie Grundströmung hat [9].

Zur Wirkung des Dralles auf das Stabilitätsverhalten

Hinsichtlich der Betrachtung des Dralles in der hydrodynamischen Stabiltätstheorie gibtes anhand der zu untersuchenden Geometrie mehrere Möglichkeiten, um die Wirkung desDralles auf die Merkmale des laminar-turbulenten Umschlages zu analysieren. Die Stabi-lität von Scherströmungen können zum Beispiel durch die Rotation des Systems (Coriolis-Kraft) oder durch die Krümmung der Stromlinien beeinflusst werden. Die Störungsbewe-gungen sind in den drallbehafteten Geometrien von ganz anderem Charakter gegenüberTollmien-Schlichting-Wellen. Sie nehmen die Form von Rollzellen an, welche in der Strö-mungsrichtung ausgerichtet sind [59].Der Coriolis-Mechanismus kann in einer Scherströmung eine stabilisierende oder destabi-lisierende Wirkung haben, dies hängt von der Richtung des Drehvektors der Rotation des

Einleitung 19

Systems im Vergleich zu der Wirbelstärke der Grundströmung ab. Wenn die Wirbelstärkeder Grundströmung das selbe Vorzeichen des Drehvektors hat, wie in Bezug zu Abbildung1.11 (a) dargestellt ist, wird die Strömung stabil. Wenn im Gegensatz dazu beide Vektorendas entgegengesetzte Vorzeichnen haben, Abbildung 1.11 (b), wird die Strömung instabil(antizyklonische Rotation) [2].

Ω

Vx

(a)

Ω

Vx

(b)

Abbildung 1.11.: Überlagerung von Rotation in einem rotierenden System (rotierende Ka-nalströmung). (a) stabilisierende Rotation. (b) destabilisierende (antizy-klonische) Rotation.

Bei einer Kanalströmung mit einem rotierenden System, welches in der Spannweitenrich-tung dreht, übt die Coriolis-Beschleunigung eine senkrecht zur Wand gerichtete Kraft aus.Die Kanalströmung hat in der Strömungsrichtung ein parabolisches Geschwindigkeitspro-fil. Die Coriolis-Kraft wirkt in Abbildung 1.11 (a) als stabilisierend an der Wand, wo derDrehvektor und die Wirbelstärke der Grundströmung das selbe Vorzeichnen haben. DieGrundströmung wird instabil auf der anderen Wand in Abbildung 1.11 (b), da beide ge-nannten Vektoren umgekehrte Vorzeichen besitzen. Alfredsson und Persson [1] haben ge-zeigt, dass die Störung die Form von in Strömungsrichtung ausgerichteten Rollzellen an-nimmt und die lineare Stabilitästtheorie eine gute Übereinstimmung mit den Messdatenliefert. Die lineare Stabilitätstheorie bestimmt, dass für eine Kanalströmung die niedrigstekritische Reynodls-Zahl etwa 89 ist, wenn die Rotationszahl 0.5 beträgt. Diese kritischeReynolds-Zahl ist nahezu zwei Größenordnungen kleiner als die kritische Reynolds-Zahlfür den Fall ohne Rotation, wenn die Grundströmung aufgrund des TSM instabil wird [59].Die Zentrifugal-Kraft kann, ebenso wie die Coriolis-Kraft, eine stabilisierende oder desta-bilisierende Wirkung auf eine Scherströmung haben. Die Strömung kann sogar durch dieZentrifugal-Kraft, im Gegensatz zum TSM, unter reibungslosen Bedingungen instabil wer-den. Dies kann durch die Anwendung des Rayleigh-Kriteriums für rotierende Flüssigkeitenbewiesen werden, welches besagt, dass die Strömung einer nicht viskosen Flüssigkeit dannstabil ist, wenn für die Geschwindigkeit Vφ gilt:

d(rVφ)2

dr> 0 (1.4)

wobei r der Radius und Vφ die Azimutalgeschwindigkeit ist, siehe [12]. Das heißt, einrotierendes Fluid ist ausschließlich stabil, wenn der Betrag des Drehmoments |rVφ| mitwachsendem Radius zunimmt.Es gibt in der Fachliteratur drei bekannten Mechanismen, durch welche eine Strömung

20 Einleitung

aufgrund der Zentrifugal-Kraft instabil werden kann. Dies sind der Taylor-, Görtler- undDean-Mechanismus.

r

Vφ(r)

R

(a)

R

Vφ(r)r

(b)

Abbildung 1.12.: Anwendung des Rayleigh-Kriteriums für rotierende Strömungen. In (a)und (b) sind zwei instabile Fälle dargestellt [8].

Die Instabilität kann aufgrund eines Ungleichgewichts zwischen der Zentrifugalkraft(ρV 2

φ /r) und dem Druckgradienten entstehen. In der Couette-Strömung wird zum Beispieldas Stabilitätsproblem zwischen zwei koaxialen konzentrischen, relativ zueinander rotie-renden Zylindermantelflächen untersucht. Die Zylinder lassen sich unabhängig voneinan-der in Rotation versetzen. Beginnt sich der Innenzylinder bei ruhendem Außenzylinderzu drehen, kann in Abbildung (1.12) (a) ein Fluidring von der Position r1 zur Position r2

(r1 < r2) wandern. Aufgrund des Kelvin-Zirkulationstheorems ist die Geschwindigkeit desFluidringes in seiner neuen Position gleich (r1Vφ1/r2). Dann ist die Zentrifugal-Kraft desFluidringes gleich ρ(r1Vφ1/r2)2/r2. In einem stabilen Zustand existiert ein Gleichgewichtzwischen der Zentrifugal-Kraft und dem Druckgradient. Wenn (Vφ2r2)2 < (Vφ1r1)2, d.h.der Druckgradient ρV 2

φ2/r2 in der Position r2 ist kleiner als die Zentrifugal-Kraft des Flui-dringes ρ(r1Vφ1/r

32), wird dieses Gleichgewicht gestört[8],[11]. Nach Überschreiten einer

kritischen Kennzahl (Taylor-Zahl) treten Wirbel auf, durch welche die laminare Grund-strömung einen neuen stabilen Zustand (Taylor-Couette-Strömung gennant) mit toroidalgeschlossenen Taylor-Wirbeln erreicht. Dieser Wert der Taylor-Zahl kann als der erste Bi-furkationspunkt bezeichnet werden [11]. Wird nochmals die Rotation des Innenzylinderserhöht, kann eine zweite kritische Taylor-Zahl überschritten werden, ab welcher die Taylor-Couette-Strömung instabil wird. Dieser zweite Wert der Taylor-Zahl kann als ein zwei-ter Bifurkationspunkt dargestellt werden. Bei dieser zweiten Stabilitätsanalyse kann dieTaylor-Couette-Strömung einen neuen stabilen Zustand erreichen. Dieser Vorgang von auf-einanderfolgenden Bifurkationspunkten kann wiederholt werden, bis die laminare Grund-strömung einen turbulenten Zustand erreicht hat [25]. J. T. Stuart [66] widmete sich derForschung des Taylorproblems und erzielte große Fortschritte in der Herleitung und An-wendung der Verzweigungstheorie.Die Entstehung von Dean-Wirbeln in einem durchströmten gekrümmten Kanal mit ausge-bildetem Geschwindigkeitsprofil oder manchmal aufgrund der ähnlichen Wirbelstruktur inder Grenzschicht Görtler-Wirbel benannt, kann auch durch dieses Ungleichgewicht zwi-schen Zentrifugal-Kraft und Druckgradient geklärt werden. Die Figur (b) in Abbildung(1.12) stellt die Situation solcher Strömungen dar.In Abhängigkeit der technischen Anwendungen kann eine Kombination von Mechanismenauftreten. Bei einer Kreiselpumpe müssen z.B. für die Laufradströmung aus der Sicht eines

Einleitung 21

Beobachters im rotierenden System die Zentrifugal- und Coriolis-Kraft betrachtet werden.Matsson und Alfredsson [36] haben für die Kombination von Krümmungs- und Rotations-einflüssen (Dean- bzw. Coriolis-Mechanismus) die lineare Stabilitätstheorie angewendet.

22 Einleitung

1.3. Zielsetzung der vorliegenden Arbeit

Das Ziel der Turbulenz-Modellierung ist die Erfassung der Wirkung der Korrelation zwi-schen den verschiedenen Komponenten der kleinskaligen Schwankungsbewegung auf diegroßskalige Bewegung. Die Korrelation ist als Tensor der Reynolds-Spannungen auf-fassbar. Hierfür sind in den RANS-Gleichungen Schließungsansätze erforderlich. Das Pro-blem ist, dass die in den Turbulenzmodellen angewandten Schließungsansätze leider nichtimmer auf alle Strömungen übertragbar sind, da diese die Dynamik der Korrelation, dieaus verschiedenen Mechanismen entstehen kann, nicht physikalisch sachgerecht behandelt.Hierbei ist folgende Frage an die Schließungsansätze gestellt: Welche Strömungsparameterund / oder gegebenenfalls geometrische Parameter beeinflussen die kleinskalige Schwan-kungsbewegung? Und auf welche Weise?Die Anisotropie der Schwankungsbewegung in drallbehafteten Strömungen hat zur Folge,dass bereits der Begriff der Wirbelviskosität zur Erfassung der Wirkung der Reynolds-Spannungen auf das zeitlich gemittelte Strömungsfeld in Frage gestellt wird, ganz gleichwie diese Wirbelviskosität ermittelt wird, durch algebraische Gleichungen oder Differenti-algleichungen [47].Die Orr-Sommerfeld und Squire-Gleichungen stellen ein Gleichungssystem dar, das ausden nicht gemittelten Bewegungsgleichungen hergeleitet ist. Für dessen Lösung wird keinSchließungsansatz eingeführt, daher ist diese eine reine Antwort aus den Bewegungsglei-chungen.In Anbetracht der großen Schwierigkeiten bei der Ausarbeitung eines Turbulenzmodellesfür drallbehaftete Strömungen, die zum wesentlichen Teil darauf zurückzuführen sind, dassdie wesentlichen Eigenschaften der Schwankungsbewegung in dieser Strömung noch nichtphysikalisch sachgerecht erfasst worden sind, erscheint es sinnvoll, einen Forschungswegso abzustecken, dass die Wirkung des Dralles auf den Reynolds-Spannungstensor mittelsder physikalisch fundierten Bewegungsgleichungen vor der Reynolds-Mittelung möglichstanalytisch untersucht wird. Daher ist das Ziel dieser Arbeit, die lineare Stabilitätstheo-rie sowie gegebenenfalls die schwach nichtlineare Theorie nach Stewartson und Stuart[64] auf eine besonders hierfür ausgewählte Geometrie anzuwenden, um den Reynolds-Spannungstensor einer drallbehafteten Strömung zu bestimmen. Denn diese Theori-en können die Schwankungsbewegung als Lösung der Bewegungsgleichungen analy-tisch vor jeglicher Mittelung beschreiben. Somit kann die Wirkung der Korrelationenzwischen den verschiedenen Komponenten der kleinskaligen Schwankungsbewegung(Reynolds-Spannugstensor) auf die großskalige Bewegung erfasst werden, ohne die Be-nutzung von in der Literatur üblichen Turbulenzmodellen.Für die ausgewählte Geometrie gilt es zu beachten, dass bei vielen technischen Anwendun-gen, in denen die Strömung mit Drall behaftet ist, eine Starrkörperrotation – d.h. ein Kernmit Umfangsgeschwindigkeit proportional dem Radius– erkennbar ist. In diesem Kern istdie Winkelgeschwindigkeit konstant und der Betrag der Winkelgeschwindigkeit kann als“Stärke"des Kerns aufgefasst werden. Es ist auch ein “Durchmesser"dieses Kerns identifi-zierbar, welcher als charakteristisches Längenmaß des Kerns dienen kann. Darüber hinaus,wie bereits erwähnt, weist eine Strömung mit starkem Drall, in Bezug auf Gesetzmäßig-keiten mancher Strömungsgrößen,“laminare"Eigenschaften auf. Für einen experimentellenNachweis hierfür sei auf die Arbeit von Rocklage-Marliani [54] verwiesen, in der die drall-behaftete Strömung in einem Kreisrohr mit wohl kontrollierter Zuführung von Drall erzeugtund die Messdaten analysiert worden sind. Deshalb hat eine “laminare"Betrachtung derdrallbehafteten Strömung in der vorliegenden Arbeit, auch wenn diese bei hoher Reynolds-Zahl abläuft und daher unter “turbulent"eingeordnet wird, einen Sinn. In einem anderenFall zeigen DNS-Daten von Orlandi und Fatica [45], dass die axiale Geschwindigkeitskom-ponente eines rotierenden Rohres ein laminares Profil annimmt, wenn der Drall zunimmt.Eine Geometrie, in der die drallbehaftete Strömung sowohl theoretisch als auch experi-mentell verwirklicht werden kann, ist die Ringspaltströmung. Vom experimentellen Stand-

Einleitung 23

punkt ist die Rohrströmung leichter als die Ringspaltströmung realisierbar. Zur Analyseder Dynamik der Schwankungsbewegung (Anwendung der hydrodynamischen Stabilitäts-theorie), die zur Bildung der Reynolds-Spannungen führt, bietet die RingspaltströmungVorteile gegenüber der Rohrströmung. Der Grund hierfür liegt darin, dass die Dynamikder Schwankungsbewegung, die mit der Frage des Umschlags verbunden ist, bis heute inder Rohrströmung unbeantwortet geblieben ist. Demgegenüber ist diese Frage in der Ring-spaltströmung eher zugänglich, da diese Ähnlichkeiten mit der Kanalströmung aufweistund die Forschung hierüber weiter gediehen ist.Die Ringspaltströmung ist ein der Kanalströmung verwandter Fall, bei dem der Tollmien-Schlichting-Mechanismus die Instabilität der Strömung verursacht. In dieser Forschungs-arbeit wird der Einfluss der Festkörperrotation in Umfangsrichtung auf den TSM unter-sucht. Hierfür wir das Beispiel der Couette-Strömung zwischen zwei konzentrischen, ro-tierenden Zylindern untersucht. In der Strömungsgeometrie wird die axiale Grundströ-mung im Ringspalt durch einen konstanten axialen Druckgradienten und durch das Ziehendes Innenzylinders aufrechterhalten. Der instabile Zustand der Grundströmung wird durchden Tollmien-Schlichting-Mechanismus hervorgerufen. Die Festkörperrotationsverteilungin Umfangsrichtung wird durch die Drehung des Außenzylinders aufgebaut.Als Beitrag zur Simulation von drallbehafteten Strömungen können die an die Schließungs-ansätze gestellten Fragen durch die Anwendung der linearen Stabilitätstheorie und derschwach nichtlinearen Theorie bei der Entstehung der Turbulenz beantwortet werden, da ei-ne physikalisch sachgerechte Erfassung der Abhängigkeit der kleinskaligen Schwankungs-bewegung von den Strömungsparametern und den geometrischen Parametern mit diesenTheorien realisierbar ist. Von Interesse ist in dieser Arbeit wie die Erhöhung der Rotati-onsrate des Außenzylinders sich auf das Verhalten einer kleinskaligen Schwankungsbewe-gung auswirkt und wie sich daraus der Reynolds-Spannungstensor ergibt. Zur Bestimmungdes Reynolds-Spannungstensors einer turbulent umgeschlagenen drallbehafteten Strömungwird eine Vorgehensweise gewählt, die sich an die Methode von Stewartson und Stuart [64]anlehnt.

1.4. Methode und Vorgehensweise

Aufgrund der Erweiterung der Orr-Sommerfeld und Squire Gleichungen mit der von Ste-wartson und Stuart entwickelten Vorgehensweise auf drallbehaftete Rinspaltsrömungensind im Folgenden einige theoretische Schwerpunkte der vorliegenden Arbeit dargestellt:

• Im Kapitel 2 wird eine laminare Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für einedrallbehaftete Ringspaltströmung hergeleitet. Dabei werden die Geschwindigkeits-verteilungen sowohl in axialer Richtung als auch in Umfangsrichtung bestimmt. Dar-über hinaus müssen aus den Navier-Stokes-Gleichungen die Orr-Sommerfeld- undSquire-Gleichung [59] für die drallbehaftete Ringspalströmung erweitert werden.Bei ihrer Herleitung werden die Nichtlinearitäten der konvektiven Beschleunigungbeibehalten, da diese in der schwach nichtlinearen Theorie benötigt werden.

• Im Kapitel 3 werden bei der Anwendung der linearen Stabilitätstheorie die Nichtli-nearitäten für kleine Störungen vernachlässigt. In dieser Arbeit wird eine zeitlicheStabilitätsuntersuchung mit Hilfe der linearen Theorie durchgeführt. Dies bedeutet,dass die Frequenzen der Störungen als eine komplexe Zahl dargestellt werden, wäh-rend die Wellenzahlen λx und nφ reelle Größen sind. Wenn einerseits alle Ampli-tuden der wellenförmigen Störungen im Laufe der Zeit gedämpft werden, wird dieGrundströmung als stabil bezeichnet. Auf der anderen Seite reicht es aus, dass eineStörungsamplitude zeitlich wächst, dass die Grundströmung als instabil angesehenwird [10].Anders als bei der Kanalströmung ist der Grenzbereich zwischen dem stabilen unddem instabilen Gebiet in dieser Arbeit keine neutrale Stabilitätskurve, sondern eine

24 Einleitung

neutrale Stabilitätsfläche wie in Abbildung 1.13 schematisch dargestellt ist. Die Sta-bilitätsanalyse für die Ringspalströmung soll unter dem Einfluss von mehreren äu-ßeren Parametern durchgeführt werden. Die mathematische Herleitung und auch ei-ne konkrete Anwendung der linearen Stabilitätstheorie auf eine drallbehaftete Ring-spaltströmung folgt in Kapitel 3.

Re

λx

Rek

ωi = 0

Re

λxωi = 0

εRnφ

Sa

Zw

Abbildung 1.13.: Schematische Darstellung des Stabilitätsdiagramms für die ebene Ka-nalströmung (links) und die Ringspaltströmung (rechts) als Funktionder Reynoldszahl Re, dem Krümmungsparameter εR, dem Translations-Parameter Zw, dem Rotations-Parameter Sa, der Wellenzahl λx und derPeriodizität der Störung in Umfangsrichtung nφ.

• In Kapitel 4 wird für die Anwendung der schwach nichtlinearen Theorie dieStörungsbewegung als ein Wellenpaket u1 Gl. (4.17) betrachtet. Der Hinweis aufdie physikalische Bedeutung des Störansatzes für das Wellenpaket wird mit Hilfeder „Schwebung“erklärt:Der Ansatz instabiler, von laminar in Turbulenz umschlagende Strömung, be-dient sich in der vorliegenden Arbeit der physikalischen Vorstellung, wie siezum Verständnis exemplarisch von L. Prandtl [50] für Wellen auf einer freienruhenden Flüssigkeitsoberfläche in §15 des zweiten Lehrbuchabschnitts erläutertwird. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines sogenannten „Wellenbündels “,bestehend aus mindestens 2 Wellen, wird hier mit Gruppengeschwindigkeit be-zeichnet. Bei der einfachsten Wellenbewegung einzelner mitschwebender Teilchenan der Wellenoberfläche weiß man, dass die Teilchen annähernd kreisförmigeBewegung in der Welle beschreiben und sich mit der Fortschreitgeschwindigkeitc der Wellenberge mitbewegen und offenbar eine stationäre Strömung entsteht.Die Teilchenbewegung dreht auf dem Bahnkreis 2πr in der Umlaufzeit Tu.Im Bezugssystem dieser Strömungsgeschwindigkeit c wird auf dem Wellen-berg die Geschwindigkeit vw1 = c − 2πr

Tuund im Tal vw2 = c + 2πr

Tumit dem

Höhenunterschied h = 2r entstehen. Wegen gleichen Druckes in der Welle wird also

v2w2 − v2

w1 = 2gh = 4gr

Einleitung 25

gelten. Mit vw1 und vw2 eingesetzt ergibt sich auf der linken Seite 8πcrTu

. Damit wird

c =gTu2π

Zum Durchlauf einer Welle vergeht die Zeit Tu und es entsteht die Wellenlänge µ =cTu. Durch Ersetzen von Tu ergibt sich

c =

√gµ

2π

Im Gegensatz zu den Schallwellen ergibt sich also bei Wasserwellen eine starke Ab-hängigkeit der Wellengeschwindigkeit von der Wellenlänge. Die Ausbreitung vonden Wellen ist dispersiv. Dispersion heißt, dass Wellen mit unterschiedlichen Wel-lenlängen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten.Hängt die Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge µ ab, so ergibt sich für eineeinfache Sinuswelle die Auslenkung y = A sin(λx− ωt). Mit der Vergrößerung derDistanz x um 2π

λ , oder der Zeit von t um 2πω , bleibt µ = 2π

λ die Wellenlänge undTu = 2π

ω die Schwingungszeit. Für λx − ωt = const. ist x = const. + (ωλ )t. Dasheißt c = ω

λ .Nun werden zwei Wellen y11 und y12 überlagert. Die zweite Welle y12 hat dieselbeAmplitude A wie y11, aber mit etwas geändertem λ und ω.

y11 + y12 = 2A [sin(λ11x− ω11t) + sin(λ12x− ω12t)]

Unter Anwendung der Formel

sinα+ sinβ = 2 sin

(α+ β

2

)∗ cos

(α− β

2

)

entsteht umgeformt

y11 + y12 = 2A

[sin

(λ11 + λ12

2x− ω11 + ω12

2t

)

∗ cos

(λ11 − λ12

2x− ω11 − ω12

2t

)](1.5)

Die Multiplikation mit sin(...) stellt eine Welle aus dem Mittelwert von λ11 und λ12

sowie ω11 und ω12 dar, die Schwebung genannt wird. Der Faktor 2A cos(...), dersich bei kleinem λ11−λ12 und ω11−ω12 nur langsam ändert, kann als veränderlicheAmplitude angesprochen werden [50]. Dieses Merkmal des Wellenpakets wird imKapitel 4 durch das Einsetzen einer neuen räumlichen Skala berücksichtigt. DieWellengruppe ist da zu Ende, wo der Kosinus den Wert 0 durchläuft. Die Fortpflan-zungsgeschwindigkeit, die Gruppengeschwindigkeit cp, ist also

cp =ω11 − ω12

λ11 − λ12=dω

dλ

In der vorliegenden Arbeit werden auch für das Wellenpaket zwei Elementarwellenberücksichtigt. Das Wellenpaket befindet sich direkt in der Nähe der durch die linea-re Theorie bestimmten Stabilitätsfläche. Aus der Herleitung der Evolutionsgleichungfür die Amplitude des Wellenpakets – Ginzburg-Landau-Gleichung (4.48)– wird einAusdruck entnommen, welcher als ein Reynolds- Spannungstensor interpretiert wer-den kann. In Anlehnung an die Grundlagen der schwach nichtlinearen Theorie ist inGl. (5.2) ein Reynolds-Spannungstensor hergeleitet .

26 Einleitung

• Ein qualitativer Vergleich wird im Kapitel 5.1 für die radiale Verteilung des be-rechneten Reynolds-Spannugstensors mit Messdaten und DNS-Daten einer Kanal-strömung durchgeführt. Darüber hinaus werden die Verteilungen der Komponentendes Reynolds-Spannungstensors einer drallbehafteten Ringspaltströmung bestimmtund bei Anwendung der Invariantentheorie der Anisotropiezustand des laminar-turbulenten Umschlags untersucht (Kapitel 5.2). Bei einer weiteren Charakterisie-rung der Eigenschaften des hergeleiteten Reynolds-Spannungstensors werden dieWinkelunterschiede zwischen den Hauptachsen des Spannungsdeviators (Anisotro-pietensor der Reynolds-Spannungen) und denen des Deformationstensors definiertund berechnet, um die Eignung der Anwendung des Boussinesq-Ansatzes auf drall-behafteten Strömungen zu untersuchen (Kapitel 5.3).

• Die in Kapitel 3 bis 5 dargestellten Ergebnisse wurden mit Matlab berechnet, Abbil-dung 1.8 und 1.9 mit ANSYS-CFX.

2. Herleitung der durchNichtlinearitäten erweitertenOrr-Sommerfeld- undSquire-Gleichung für einedrallbehaftete Ringspaltströmung

Im Folgenden werden die allgemein gültigen, nichtlinearen Gleichungen für kleine Störun-gen bezüglich einer bekannten laminaren Strömungslösung hergeleitet und für das Problemder drallbehafteten Ringspaltströmung aufbereitet. Dies sind die durch Nichtlinearitäten er-weiterten Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen, welche in ihrer linearen und schwachnichtlinearen Form im Kapitel 3 bzw. Kapitel 4 angewandt werden. Zum Erstellen der Stör-gleichungen werden folgende Schritte unternommen:

2.1 Entdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen. Ziel ist es zu erkennen,welche Größen (wie z.B die Reynolds-Zahl oder die Spaltweite) klein oder großsind und unter Umständen vernachlässigt werden können.

2.2 Vereinfachen der Grundströmung für den Fall der Ringspaltströmung. In einem zy-lindrischen Koordinatensystem, das auf die Mitte der Spaltweite bezogen ist, wirdeine Laminarströmung als eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen definiert. Eswird angenommen, dass die Spaltweite sehr klein im Vergleich zu den Radien derbeiden Zylinder ist. Der Außenzylinder kann rotieren und der Innenzylinder kanngezogen werden, um die Form der Geschwindigkeitsverteilung in Axialrichtung än-dern zu können.

2.3 Da keine Randbedingung für eine Druckstörung bekannt ist, wird in den Navier-Stokes-Gleichungen der Druckgradient eliminiert. Hier werden die Schritte für dieElimination des Druckgradienten gezeigt.

2.4 Durch die Elimination des Druckgradienten sind die vollständigen Orr-Sommerfeld-und Squire-Gleichungen hergeleitet. Während im Kapitel 4 die Nichtlinearitäten be-handelt werden, sind diese im Kapitel 3 für die lineare Stabilitätsanalyse zunächstvernachlässigt.

2.5 Eine Stabilitätsanalyse wird für die Ringspaltströmung durchgeführt und ausgerech-net. Hier geht es darum, bei welchen Strömungsparametern die eingebrachten klei-nen Störungen im Laufe der Zeit wachsen könnten. Auf diese Weise kann man dieneutrale Stabilitätsfläche bestimmen und schließlich darstellen.

2.1. Ausgangsgleichungen

Zur Herleitung der durch die Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen für eine drallbehaftete Ringspaltströmung ist es notwendig, mit dem Ansatzder Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten zu beginnen [57].

28Herleitung der durch Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- und

Squire-Gleichung für eine drallbehaftete Ringspaltströmung

r-Impulsgleichung in radialer Richtung

ρ

(∂vr

∂t+ vx

∂vr∂x

+ vr∂vr∂r

+vφr

∂vr∂φ−v2φ

r

)=

−∂p∂r

+ µ

(∂2vr∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vr∂r

)+

1

r2

∂2vr∂φ2

− 2

r2

∂vφ∂φ− vrr2

), (2.1)

φ-Impulsgleichung in Umfangsrichtung

ρ

(∂vφ

∂t+ vx

∂vφ∂x

+ vr∂vφ∂r

+vφr

∂vφ∂φ

+vrvφr

)=

−1

r

∂p

∂φ+ µ

(∂2vφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vφ∂r

)+

1

r2

∂2vφ∂φ2

+2

r2

∂vr∂φ− vφr2

), (2.2)

x-Impulsgleichung in Axialrichtung

ρ

(∂vx

∂t+ vx

∂vx∂x

+ vr∂vx∂r

+vφr

∂vx∂φ

)=

−∂p∂x

+ µ

(∂2vx∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vx∂r

)+

1

r2

∂2vx∂φ2

), (2.3)

Kontinuitätsgleichung

∂vx∂x

+1

r

∂

∂r(rvr) +

1

r

∂vφ∂φ

= 0. (2.4)

Das “Dach” auf den Größen bedeutet, dass diese dimensionsbehaftet sind.Die Impuls- und Kontinuitätsgleichung werden durch die folgenden Bezugsgrößen entdi-mensioniert:

x =x

H, r =

r

H, vx =

vx

Uref,

vr =vr

Uref, vφ =

vφ

Urefp =

p

ρU2ref

(2.5)

wobei H und Uref Bezugsgrößen für die Länge und Geschwindigkeit sind. Die Bezugs-länge H und die Referenzgeschwindigkeit Uref stellen die halbe Spalthöhe der Geometriebzw. die Maximalgeschwindigkeit einer Kanalströmung (siehe Gleichung A.12) dar.Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung und (2.5) können in (2.1) - (2.4) die Termeumgeschrieben werden. Die Gleichungen lauten dann:r-Impulsgleichung

∂vr∂t

+∂(vxvr)

∂x+

1

r

∂(rvrvr)

∂r+

1

r

∂(vφvr)

∂φ−v2φ

r+∂p

∂r

− 1

Re

(∂2vr∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vr∂r

)+

1

r2

∂2vr∂φ2

− 2

r2

∂vφ∂φ− vrr2

)= 0, (2.6)

φ-Impulsgleichung

∂vφ∂t

+∂(vxvφ)

∂x+

1

r

∂(rvrvφ)

∂r+

1

r

∂(vφvφ)

∂φ+

1

r

∂p

∂φ

− 1

Re

(∂2vφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vφ∂r

)+

1

r2

∂2vφ∂φ2

+2

r2

∂vr∂φ− vφr2

)= 0, (2.7)

Herleitung der durch Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- undSquire-Gleichung für eine drallbehaftete Ringspaltströmung 29

x-Impulsgleichung

∂vx∂t

+∂(vxvx)

∂x+

1

r

∂(rvrvx)

∂r+

1

r

∂(vφvx)

∂φ+∂p

∂x

− 1

Re

(∂2vx∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vx∂r

)+

1

r2

∂2vx∂φ2

)= 0. (2.8)

Diese dimensionslosen Gleichungen dienen als Basis für die Herleitung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen. Die Reynolds-Zahl Re =

ρHUrefµ ist hier mit der

halben Spaltweite H und der maximalen Geschwindigkeit Uref gebildet.Im nächsten Abschnitt werden die Eigenschaften der Grundströmung und die Geometriedes Problems beschrieben sowie neue Strömungsparameter definiert.

2.2. Geometrie und Grundströmung

In dieser Studie wird die (drallbehaftete) Ringspaltströmung untersucht. Dies ist einklassisches Beispiel einer rotationsbehafteten Strömung, welche in unterschiedlichentechnischen Anwendungen wie z.B. in Brennkammern oder in Radiallagern vorkommt.Angesichts der Stabilitätsanalyse für eine Kanalströmung, bei der der Parameter zurBestimmung der Stabilitätskurve die Reynolds-Zahl ist, werden im Folgenden die Para-meter eingeführt, welche die Bestimmung der Stabilitätsfläche in einer drallbehaftetenRingspalströmung beeinflussen können. Die Parameter sind dimensionslos und sind wiefolgt gekennzeichnet:εR Krümmungskenngröße, Re Reynolds-Zahl, Zw Translationsgeschwindigkeits-Kenngröße und Sa Drehgeschwindigkeits-Kenngröße.Darüber hinaus ist die Kenntnis der Eigenschaften der Geometrie und der Grundströmungvon grundlegender Bedeutung, denn dadurch ist es möglich zu wissen, welcher Mechanis-mus (Tollmien-Schlichting- oder Taylor-Mechanismus) die Instabilitäten verursacht.

2.2.1. Geometrie

Gegenstand dieser Arbeit ist die rotationsbehaftete Strömung zwischen zwei konzentri-schen Kreiszylindern. Diese Geometrie wird auch als Ringspaltströmung bezeichnet. BeideZylinder haben definitionsgemäß die gleiche Achse und einen jeweils konstanten Radius.Der Radius des Außenzylinders wird mit Ra und der des Innenzylinders mit Ri bezeichnet.Die Spalthöhe (Ra − Ri) zwischen den Zylindern wird mit 2H gekennzeichnet, dement-sprechend ist Hdie halbe Spalthöhe. Es ist vorteilhaft bei der Formulierung des Problemsden Koordinatenursprung auf die Spaltmittelebene zu legen. Der erste definierte Parame-ter bezieht sich auf die Krümmung der oben beschriebenen Anordnung. Hierfür ist εR diehalbe Spalthöhe dividiert durch den mittleren Radius Rm:

εR =H

Rm=

2H

Ra + Ri=Ra − RiRa + Ri

(2.9)

wobei 0 < εR < 1 ist.



y

φφφφÛφφφφ,,,,wa y

x

y = 1

y = 0

y = -1riR

aR

mR

H2

aΩ

Ûx,p

Ûx,p

Abbildung 2.1.: Geometrische Anordnung und Koordinatensystem

2.2.2. Grundströmung

Die Grundströmung kann durch einen angebrachten axialen Druckgradienten, das Ziehendes Innenzylinders und die Rotation des Außenzylinders erzeugt werden. Eine wichtigeEigenschaft der Strömung ist, dass der Verlauf der Stromlinien im Ringspalt bei derkombinierten Bewegung schraubenförmig ist.Die Grundströmung ist eine Lösung der Bewegungsgleichungen (2.6, 2.7, 2.8). Es wirdangenommen, dass die Geschwindigkeit der Grundströmung voll ausgebildet ( ∂∂x = 0),stationär ( ∂∂t = 0) und rotationssymmetrisch ist ( ∂∂φ = 0). Der Grund für die Annahmeergibt sich aus der Zeit-unabhängigen konstanten Bewegung der Zylinder bzw. konstantenDruckgradienten. Das Problem wird in Zylinderkoordinaten formuliert. Die Geschwindig-keiten und der Druck für die Grundströmung werden mit Großbuchstaben beschrieben undmit dem Index G bezeichnet.Die Bewegungsgleichungen für die Grundströmung ergeben sich somit im Ringspalt aus(2.6 - 2.8) zu:

r-Impulsgleichung

−V 2Gφ

r+∂PG∂r

= 0 (2.10)

φ-Impulsgleichung

1

Re

[1

r

d

dr

(rdVGφdr

)− VGφ

r2

]= 0 (2.11)

x-Impulsgleichung

∂PG∂x− 1

Re

[1

r

d

dr

(rdVGxdr

)]= 0 (2.12)


Koordinatentransformation r → y

Da in dieser Arbeit für die Lösung der Differentialgleichungen die Spektralkollokations-methode angewendet wird, ist es erforderlich, den physikalischen Definitionsbereich derRadiuskoordinate von (Ri ≤ r ≤ Ra) auf den normierten Bereich (−1 ≤ y ≤ 1) abzubil-den, siehe Abbildung (2.1).Mittels der Transformationsbeziehung:

y = r − Rm,

welche durch H entdimensioniert wird:

y =r

H− Ra + Ri

2H

= r − 1

εR

ergibt sich die folgende Transformationsbeziehung zwischen r und y.

1

r=

εR1 + εRy

(2.13)

Für die Lösung der Grundströmung sowie für den Rest dieser Arbeit sind die obigen Dif-ferentialgleichungen in die Spaltkoordinate y umformuliert.

Die Axialgeschwindigkeit

Im Folgenden wird eine analytische Näherungslösung für die axiale Geschwindigkeits-verteilung der Grundströmung hergeleitet. Die axiale Geschwindigkeitskomponente wirddurch einen konstanten Druckgradienten und eine Translationsbewegung des Innenzylin-ders entlang der x-Achse erzeugt.In Anlehnung an Schlichting [57] ist die allgemeine Couette-Strömung mit nicht ver-schwindendem Druckgradienten eine Überlagerung der einfachen Couette-Strömung mitder Kanalströmung. Das heißt, dass sich die gesamte axiale Geschwindigkeitskomponenteder Grundströmung VGx aus zwei Termen zusammensetzt. Sie ist die Summe der aufgrunddes Druckgradienten aufrechterhaltenen Geschwindigkeit und der durch das Ziehen des In-nenzylinders erzeugten GeschwindigkeitDie Differentialgleichung, welche die Lösung für den konstanten Druckgradienten be-stimmt, ist von folgender Form:

∂PG∂x− 1

Re

[1

r

d

dr

(rdVGx,pdr

)]= 0

daraus folgt

d2VGx,pdr2

+1

r

dVGx,pdr

= Re∂PG∂x

(2.14)

wobei VGx,p die radiale Verteilung der axialen Geschwindigkeitskomponente darstellt, wel-che aufgrund des Druckgradienten entsteht. Wird die Gleichung (2.14) von der Radialko-ordinate r in die y-Koordinate übertragen, erhält man folgende Differentialgleichung:

d2VGx,pdy2

+εR

1 + εRy

dVGx,pdy

= Re∂PG∂x

(2.15)



Die Randbedingungen, welche das Strömungsproblem festlegen, sind die Folgenden:

y = 1⇒ VGx,p = 0

y = −1⇒ VGx,p = 0 (2.16)

Die Lösung dieser Differentialgleichung entsteht aus einer asymptotischen Entwicklungder Grundströmung, die um εR herum durchgeführt wird.

VGx,p =VGx,p

Ux,p=(1− y2

)(1− 1

3εRy

)+O

(ε2R)

(2.17)

wobei Ux,p = − H2

2µ∂PGx∂x die Referenzgeschwindigkeit bezüglich des Druckgradienten

bezeichnet. Die Gleichung (2.17) enthält die geläufige Lösung einer ebenen Kanalströ-mung mit parabolischer Geschwindigkeitsverteilung (siehe Gleichung (5,4) in Schlichting[57]). Dabei wird diese Lösung, da es sich um eine Ringspaltströmung handelt, durch einenKrümmungsparameter εR korrigiert. Für eine übersichtliche Herleitung der hier angewen-deten asymptotischen Entwicklung siehe Anhang A.1.Der andere Term der axialen Geschwindigkeitskomponente, der infolge der Translationsbe-wegung des Innenzylinders verursacht wird, lässt sich durch folgende Differentialgleichungbestimmten:

d2VGx,wdr2

+1

r

dVGx,wdr

= 0 (2.18)

wobei VGx,w die radiale Verteilung der axialen Geschwindigkeitskomponente bezeichnet,welche aufgrund des Ziehens des Innenzylinders entsteht. Wird die Transformation von rin y durchgeführt, erhält man folgende Differentialgleichung:

d2VGx,wdy2

+εR

1 + εRy

dVGx,wdy

= 0 (2.19)

Die Randbedingungen, welche das Strömungsproblem festlegen, sind die Folgenden:

y = 1⇒ VGx,wi = 0

y = −1⇒ VGx,wi =VGx,wi

Ux,wi= 1 (2.20)

wobei Ux,wi die Geschwindigkeit des gezogenen Innenzylinders bezeichnet.Aus einer asymptotischen Entwicklung um εR ergibt sich für die durch die Translations-bewegung des Innenzylinders induzierte Grundströmungskomponente (siehe Anhang A.2,Gl. A.34).

VGx,wi(y) =VGx,wi

Ux,wi=

1

2(1− y) + εR

1

4

(y2 − 1

)+O

(ε2R)

(2.21)

Ähnlich wie in (2.17) setzt sich die Lösung in (2.21) aus der linearen Geschwindigkeitsver-teilung (siehe Schlichting [57] Gleichung (5,5 a)), welche als einfache Scherströmung odereinfache Couette-Strömung bezeichnet wird und einer durch die Krümmung induziertenKorrektur zusammen.Durch eine lineare Kombination der (2.17) und (2.21) induzierten Geschwindigkeitskom-ponenten ergibt sich die Geschwindigkeitsverteilung in axialer Richtung.

VGx = Ux,pVGx,p + Ux,wiVGx,wi (2.22)


Die Gleichung (2.22) wird durch die Geschwindigkeit Ux,p entdimensioniert. Diese ist diemaximale Geschwindigkeit, die durch den Druckgradienten in axialer Richtung erreichtwird. Des weiteren ist sie die ausgewählte Bezugsgröße, mit der die Geschwindigkeitendimensionslos gemacht werden. (Uref = Ux,p).VGx ist eine asymptotische Näherungslösung, die für enge Spalte Gültigkeit hat. “EngerSpalt ” bedeutet, dass die Spaltweite relativ klein in Bezug auf die Radien ist (2H Ri).Das heißt, hier werden Terme ab O(ε2R) vernachlässigt.

VGx =VGx

Ux,p= VGx,p +

Ux,wi

Ux,pVGx,wi

=(1− y2

)(1− 1

3εRy

)+ Zw

[1

2(1− y) + εR

1

4

(y2 − 1

)]+O

(ε2R)

(2.23)

wobei Zw =Ux,wi

Ux,pals die Translationsgeschwindigkeits-Kenngröße definiert ist.

Die Lösung besteht aus einer von y abhängenden Formfunktion. Eine Lösung von (2.23)ist in den Abbildungen 2.3 und 2.2 für εR = 0, 1 und Zw = 0, 5 gezeigt. An dieser Stellesei darauf hingewiesen, dass sich das radiale Geschwindigkeitsprofil durch die Strömungs-parameter Zw und εR ändern kann.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

VGx

y

VGx,pVGx,wi

Abbildung 2.2.: Darstellung der einzelnen axialen Grundströmungskomponenten aufgrunddes Druckgradienten und der Translationsbewegung des Innenzylindersfür εR = 0, 1 und Zw = 0, 5.



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

VGx

y

VGx=VGx,p+VGx,wi

Abbildung 2.3.: Darstellung der vollständigen Geschwindigkeitskomponenten für εR =0, 1 und Zw = 0, 5 in axialer Zylinderrichtung.

Die azimutale Geschwindigkeitskomponente

Bei der Rotation des Außenzylinders entsteht eine Geschwindigkeitskomponente in Um-fangsrichtung. Diese wird, wie die axiale Komponente, durch Linearisierung folgender zu-gehöriger Differentialgleichung bestimmt:

1

Re

[1

r

d

dr

(rdVGφdr

)− VGφ

r2

]= 0

daraus folgt

d2VGφdr2

+d

dr

(VGφr

)= 0 (2.24)

wobei VGφ die radiale Verteilung der azimutalen Geschwindigkeitskomponente darstellt.Die Rotation des Außenzylinders wird mit Ωa bezeichnet. Die Randbedingungen, welchedas Strömungsproblem festlegen, sind die Folgenden:

y = 1⇒ VGφ =VGφ

Uφ,wa=

VGφ

RaΩa= 1

y = −1⇒ VGφ = 0 (2.25)

Wobei Uφ,wa und Ωa die Umfangsgeschwindigkeit bzw. die Winkelgeschwindigkeit fürr = Ra darstellen.Für die Lösung von (2.24) wird eine asymptotische Entwicklung angewendet, wie sie auchvon Schlichting hergeleitet wurde [57], siehe auch Anhang A.3, Gl. (A.45).

VGφ =VGφ

Uφ,wa=

1

2(1 + y) + εR

1

4

(1− y2

)+O

(ε2R)

(2.26)


Wird (2.26) durch Ux,p dimensionslos gemacht, erhält man folgende Lösung für die Um-fangsgeschwindigkeitskomponente der Grundströmung:

VGφ =VGφ

Ux,p=Uφ,wa

Ux,p

[1

2(1 + y) + εR

1

4

(1− y2

)]+O

(ε2R)

= Sa

[1

2(1 + y) + εR

1

4

(1− y2

)]+O

(ε2R)

(2.27)

wobei Sa die Kenngröße der Drehgeschwindigkeit bezeichnet. Eine mögliche Geschwin-digkeitsverteilung von (2.27) ist für einen rotierenden Außenzylinder in Abbildung 2.4 ge-zeigt. Auch hier sei darauf hingewiesen, dass das radiale Geschwindigkeitsprofil von denStrömungsparametern Sa und εR abhängt.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

VGphi

y

Abbildung 2.4.: Darstellung der Geschwindigkeitskomponente für εR = 0, 1 und Sa = 0, 7in azimutaler Zylinderrichtung.

Die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten sind unabhängig voneinander. Trotzdemkönnen beide Geschwindigkeitsprofile zusammen, Eigenschaften der Strömung, wie zumBeispiel das Stabilitätsverhalten oder die Form des Reynolds-Spannungstensors, stark be-einflussen. Dies wird in den nächsten Kapiteln näher betrachtet.

2.3. Elimination des Druckgradienten aus denBewegungsgleichungen

Die durch die Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen ent-stehen aus den Bewegungsgleichungen. Diese Stördifferentialgleichungen enthalten keineDruckstörungen als Unbekannte. Sie stellen ein geschlossenes Gleichungssystem mit dreiGleichungen und drei Störungsgeschwindigkeiten (ur, uφ, ux) dar.Im Folgenden werden stichpunktartig die Schritte aufgelistet, die notwendig sind, um dieOrr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen herleiten zu können.



2.3.1. Orr-Sommerfeld-Gleichung

1. Differentiation der x-Impulsgleichung (2.8) nach x; Differentiation der φ-Impulsgleichung (2.7) nach φ, gefolgt durch Multiplikation mit 1

r . Beide Ausdrückewerden addiert:

∂

∂x(x− Impulsgleichung) +

1

r

∂

∂φ(φ− Impulsgleichung)

2. Differentiation des oben hergeleiteten Ausdrucks nach r.

3. Zweimalige Differentiation der r-Impulsgleichung nach φ, gefolgt durch Multiplika-tion mit 1

r2 . Zweimalige Differentiation der r-Impulsgleichung nach x. Beide Diffe-rentiationen werden addiert und mit −1 multipliziert:

−(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(r − Impulsgleichung)

4. Differentiation der φ-Impulsgleichung nach φ, gefolgt durch Multiplikation mit 2r2 .

5. Wenn alle Schritte von 2 bis 4 zusammengefasst werden, lässt sich die Orr-Sommerfeld-Gleichung durch folgende Operation herleiten:

∂

∂r

(∂

∂x(x− Impulsgleichung) +

1

r

∂

∂φ(φ− Impulsgleichung)

)+

2

r2

∂

∂φ(φ− Impulsgleichung)−

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(r − Impulsgleichung)

Der Druck wird somit durch Differentiation und Subtraktion der Ausgangsgleichungen eli-miniert. Daraus ergibt sich die Bewegungsgleichung des Impulses ohne Druckgradient,


welche unter der Bezeichnung Orr-Sommerfeld-Gleichung bekannt ist:

∂

∂t

[− ∂

∂r

(1

r

∂

∂r(rvr)

)+

2

r2

∂vφ∂φ−(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)vr

]

+∂

∂r

[∂

∂x

(∂(vxvx)

∂x+

1

r

∂(rvrvx)

∂r+

1

r

∂(vφvx)

∂φ

)]

+∂

∂r

[1

r

∂

∂φ

(∂(vxvφ)

∂x+

1

r

∂(rvrvφ)

∂r+

1

r

∂(vφvφ)

∂φ

)]

+2

r2

∂

∂φ

[∂(vxvφ)

∂x+

1

r

∂(rvrvφ)

∂r+

1

r

∂(vφvφ)

∂φ

]

−(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)[∂(vxvr)

∂x+

1

r

∂(rvrvr)

∂r+

1

r

∂(vφvr)

∂φ−v2φ

r

]

− 1

Re

∂

∂r

[∂

∂x

(∂2vx∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vx∂r

)+

1

r2

∂2vx∂φ2

)]

− 1

Re

∂

∂r

[1

r

∂

∂φ

(∂2vφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vφ∂r

)+

1

r2

∂2vφ∂φ2

+2

r2

∂vr∂φ− vφr2

)]

− 1

Re

2

r2

∂

∂φ

[∂2vφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vφ∂r

)+

1

r2

∂2vφ∂φ2

+2

r2

∂vr∂φ− vφr2

]

+1

Re

(∂2

∂x2

)[∂2vr∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vr∂r

)+

1

r2

∂2vr∂φ2

− 2

r2

∂vφ∂φ− vrr2

]

+1

Re

(1

r2

∂2

∂φ2

)[∂2vr∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vr∂r

)+

1

r2

∂2vr∂φ2

− 2

r2

∂vφ∂φ− vrr2

]= 0 (2.28)

2.3.2. Squire-Gleichung

1. Differentiation der φ-Impulsgleichung (2.7) nach x.

2. Differentiation der x-Impulsgleichung (2.8) nach φ, gefolgt durch Multiplikation mit1r .

3. Elimination des Druckes durch Subtraktion der sich aus Schritt 1 und Schritt 2 ge-benden Gleichungen.

∂

∂x(φ− Impulsgleichung)− 1

r

∂

∂φ(x− Impulsgleichung)

Die resultierende erweiterte Squire-Gleichung lautet wie folgt:

∂

∂t

(∂vφ∂x− 1

r

∂vx∂φ

)+

∂

∂x

[∂(vxvφ)

∂x+

1

r

∂(rvrvφ)

∂r+

1

r

∂(vφvφ)

∂φ

]

−1

r

∂

∂φ

[∂(vxvx)

∂x+

1

r

∂(rvrvx)

∂r+

1

r

∂(vφvx)

∂φ

]

− 1

Re

∂

∂x

[∂2vφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vφ∂r

)+

1

r2

∂2vφ∂φ2

+2

r2

∂vr∂φ− vφr2

]

+1

Re

1

r

∂

∂φ

[∂2vx∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vx∂r

)+

1

r2

∂2vx∂φ2

]= 0 (2.29)



2.4. Die durch Nichtlinearitäten erweiterteOrr-Sommerfeld- und Squire-Gleichung

Um die durch Nichtlinearitäten erweiterte Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichung darstel-len zu können, müssen zwei weitere Schritte durchgeführt werden, die für die Herleitungder resultierenden Gleichung von Bedeutung sind.Erstens wird angenommen, dass sich die Strömung in eine laminare Grundströmung und ineine schwankende Geschwindigkeitsstörung, die um die Grundströmung herum schwingt,zerlegen lässt.Zweitens lassen sich die Gleichungen (2.28) und (2.29) auf Grund der geometrischen Be-dingungen vereinfachen.

2.4.1. Aufspaltung in Grundströmung und Störung

Sobald die Grundströmung definiert ist, stellt sich die Frage, ob sich dieser laminare Strö-mungszustand erhält, wenn kleine Störungen in die Strömung eingeführt werden.Wenn die Grundströmung gegenüber kleinen Störungen anfällig ist, kann die lineare Sta-bilitätstheorie die kritischen Strömungsparameter liefern, bei denen die Grundströmunggerade instabil wird, und der laminar-turbulente Umschlag entsteht.Die Geschwindigkeit wird also in eine Grundströmung und in eine Störung aufgespalten:

vr = 0 + ur

vφ = VGφ(y) + uφ

vx = VGx(y) + ux (2.30)

Wird nun der Geschwindigkeitsvektor v = (vr, vφ, vx) in die Gleichungen (2.28, 2.29)eingesetzt, lauten die Störungsgleichungen für die drallbehaftete Ringspaltströmungwie folgt:

Erweiterte Orr-Sommerfeld-Gleichung

Die Terme der durch die Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld Gleichung sinddreigeteilt. Auf der linken Seite befinden sich die linearen Glieder (LHSOS)invisc und(LHSOS)visc, welche die Terme ohne, bzw. mit dem Einfluss der Zähigkeit bezeichnen.Auf der rechten Seite sind die nichtlinearen Glieder (RHSOS) zu finden:

(LHSOS)invisc + (LHSOS)visc = (RHSOS) (2.31)

wobei (LHSOS)invisc die Ableitungen der lokalen, bzw. konvektiven Beschleunigungender entsprechenden Navier-Stokes-Gleichungen beinhaltet. Die Ableitungen (LHSOS)viscsind mit dem Parameter 1

Re multipliziert.Bei sehr kleinen Störungen kann die rechte Seite (RHSOS) gleich null gesetzt werden,dann geht (2.31) in die gewohnte Orr-Sommerfeld-Gleichung über, welche häufig in derLiteratur über Hydrodynamik zu finden ist [59]. Wird zusätzlich die Gleichung für großeReynolds-Zahlen betrachtet, kann der Anteil (LHSOS)visc vernachlässigt werden und(2.31) geht in die Rayleigh-Gleichung über.Somit beschreiben die Orr-Sommerfeld-Gleichung die Störgleichungen der reibungsbehaf-teten Strömung, während die Rayleigh-Gleichung das Stabilitätsverhalten der reibungslo-sen Strömung beschreibt.Die Nichtlinearitäten der Orr-Sommerfeld-Gleichung werden, ebenso wie die der Navier-Stokes Gleichung, von den konvektiven Termen der Impulsbilanz verursacht. Die Herlei-tung der nichtlinearen Terme ist im Anhang B zu finden.


Die linearen Terme der erweiterten Orr-Sommefeld-Gleichung lauten dann:

(LHSOS)invisc + (LHSOS)visc =

− ∂

∂t

(∂2ur∂x2

+∂2ur∂r2

+1

r2

∂2ur∂φ2

+1

r

∂ur∂r− 2

r2

∂uφ∂φ− urr2

)

+d2VGxdr2

∂ur∂x− 1

r

dVGxdr

∂ur∂x

−VGx(∂3ur∂x∂r2

+∂3ur∂x3

+1

r2

∂3ur∂x∂φ2

− 2

r2

∂2uφ∂x∂φ

− 1

r2

∂ur∂x

+1

r

∂2ur∂r∂x

)

+1

r

d2VGφdr2

∂ur∂φ

+1

r2

dVGφdr

∂ur∂φ

+VGφr

(− 1

r2

∂3ur∂φ3

− ∂3ur∂r2∂φ

− ∂3ur∂x2∂φ

+1

r

∂2ur∂r∂φ

)

+VGφr

(2

r2

∂ur∂φ

+ 2∂2uφ∂x2

+4

r2

∂2uφ∂φ2

)

+1

Re

(∂4ur∂x4

+∂4ur∂r4

+1

r4

∂4ur∂φ4

+ 2∂4ur∂x2∂r2

+2

r2

∂4ur∂x2∂φ2

+2

r2

∂4ur∂r2∂φ2

)

+1

Re

(2

r

∂3ur∂x2∂r

− 2

r3

∂3ur∂r∂φ2

+2

r

∂3ur∂r3

− 4

r2

∂3uφ∂x2∂φ

− 4

r4

∂3uφ∂φ3

− 4

r2

∂3uφ∂r2∂φ

)

+1

Re

(− 2

r2

∂2ur∂x2

− 2

r4

∂2ur∂φ2

+4

r3

∂2uφ∂r∂φ

− 3

r2

∂2uφ∂r2

)

+1

Re

(− 4

r4

∂uφ∂φ

+3

r2

∂ur∂r− 3

r4ur

)(2.32)

Erweiterte Squire-Gleichung

Die Squire-Gleichung lässt sich ebenfalls in drei Ausdrücke teilen. Auf der linken Seitebefinden sich die linearen Terme (LHSSq)invisc und (LHSSq)visc. Diese sind die Aus-drücke, die ohne, bzw. mit dem Parameter 1

Re multipliziert sind. Auf der rechten Seitebefindet sich der Anteil (RHSSq), welcher die nichtlinearen Terme darstellt.

(LHSSq)invisc + (LHSSq)visc = (RHSSq) (2.33)



Die Herleitung der nichtlinearen Terme ist im Anhang B zu finden.Die linearen Terme der erweiterten Squire-Gleichung lauten dann:

(LHSSq)invisc + (LHSSq)visc =

∂

∂t

(1

r

∂ux∂φ− ∂uφ

∂x

)+ VGx

(1

r

∂2ux∂x∂φ

− ∂2uφ∂x2

)+dVGxdr

1

r

∂ur∂φ

+VGφr

(1

r

∂2ux∂φ2

− ∂2uφ∂φ∂x

− ∂ur∂x

)− dVGφ

dr

∂ur∂x

− 1

Re

(1

r3

∂3ux∂φ3

+1

r

∂3ux∂x2∂φ

+1

r

∂3ux∂r2∂φ

− 1

r2

∂3uφ∂x∂φ2

− ∂3uφ∂x3

− ∂3uφ∂x∂r2

)

− 1

Re

(1

r2

∂2ux∂r∂φ

− 2

r2

∂2ur∂x∂φ

− 1

r

∂2uφ∂x∂r

+1

r2

∂uφ∂x

)(2.34)

2.4.2. Vereinfachungen der Gleichungen für kleine Spaltweiten

Die Bestimmungsgleichungen ((2.31) und (2.33)) sind für eine allgemeine Behandlungrecht kompliziert. Deshalb sollen sie an dieser Stelle zunächst vereinfacht werden. Ein Fallvon besonderem Interesse ist, wenn die Spaltweite, 2H , klein gegenüber dem mittlerenRadius, Ra+Ri

2 , ist. Das heißt, der Krümmungsparameter εR ist eine kleine Größe undkann vernachlässigt werden, wenn er in höherer Ordnung (ε2R, ε3R,...) auftritt.Zur Vereinfachung werden die Gleichungen in die auf den Spalt bezogenen Koordinatenumformuliert. Dies bedeutet, dass 1

r durch εR1+εRy

und ∂∂r durch ∂

∂y ersetzt wird.Des Weiteren werden in der asymptotischen Entwicklung der Grundströmung auch nurTerme zur Ordnung O(εR) verwendet (siehe Gleichungen (2.23) und (2.27)).Schließlich werden die Gleichungen für eine kleine Spaltweite, εR → 0, das heißt bis zurOrdnung O(εR), dargestellt.

Die Orr-Sommerfeld-Gleichung

− ∂

∂t

(∂2ur∂x2

+∂2ur∂y2

+ εR∂ur∂y

)+d2VGxdy2

∂ur∂x− εR

dVGxdy

∂ur∂x

−VGx(∂3ur∂x∂y2

+∂3ur∂x3

+ εR∂2ur∂y∂x

)

+εRd2VGφdy2

∂ur∂φ

+ εRVGφ

(− ∂3ur∂y2∂φ

− ∂3ur∂x2∂φ

+ 2∂2uφ∂x2

)

+1

ReH

(∂4ur∂x4

+∂4ur∂y4

+ 2∂4ur∂x2∂y2

)+

2εRReH

(∂3ur∂x2∂y

+∂3ur∂y3

)=

−∂3(uxux)

∂x2∂y− ∂3(urux)

∂x∂y2− εR

∂2(urux)

∂x∂y− εR

∂3(uφux)

∂x∂y∂φ

−εR∂3(uxuφ)

∂x∂y∂φ− εR

∂3(uruφ)

∂y2∂φ+∂3(uxur)

∂x3

+∂3(urur)

∂x2∂y+ εR

∂2(urur)

∂x2+ εR

∂3(uφur)

∂x2∂φ− εR

∂2uφuφ∂x2

(2.35)


Die Squire-Gleichung

∂

∂t

(εR∂ux∂φ− ∂uφ

∂x

)+ VGx

(εR∂2ux∂x∂φ

− ∂2uφ∂x2

)+ εR

dVGxdy

∂ur∂φ

+εRVGφ

(εR∂2ux∂φ2

− ∂2uφ∂φ∂x

− ∂ur∂x

)− dVGφ

dy

∂ur∂x

+1

ReH

(∂3uφ∂x3

+∂3uφ∂x∂y2

)− εRReH

(∂3ux∂x2∂φ

+∂3ux∂y2∂φ

− ∂2uφ∂x∂y

)=

−∂2(uxuφ)

∂x2− ∂2(uruφ)

∂x∂y− εR

∂(uruφ)

∂x− εR

∂2(uφuφ)

∂x∂φ

+εR∂2(uxux)

∂φ∂x+ εR

∂2(urux)

∂φ∂y(2.36)

Die Kontinuitätsgleichung

∂ux∂x

+∂ur∂y

+ εRur + εR∂uφ∂φ

= 0 (2.37)

2.5. Die Störgleichungen in Matrixform

Die Gleichungen (2.35), (2.36) und (2.37) werden als ein Gleichungssystem betrachtet undin der Matrixform Du = N formuliert. Der Matrix-Ansatz erleichtert die Betrachtung desProblems, sowie dessen numerische Berechnung, die mit dem Programm Matlab durchge-führt wird.Für die Behandlung des Gleichungssystems wird die lineare Seite und die entsprechendenAbleitungen in der Matrix D zusammengefasst:

D =

DOSr DOSφ DOSx

DSqr DSqφ DSqx

DCor DCoφ DCox.

(2.38)

Wobei jeder einzelne Teiloperator die folgende Form hat:

Orr-Sommerfeld-Gleichung

DOSr = − ∂

∂t

(∂

∂x2+

∂

∂y2+ εR

∂

∂y

)+

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)∂

∂x

− VGx(

∂3

∂x∂y2+

∂3

∂x3+ εR

∂2

∂y∂x

)+ εR

d2VGφdy2

∂

∂φ

+ εRVGφ

(− ∂3

∂y2∂φ− ∂3

∂x2∂φ

)+

1

Re

(∂4

∂x4+

∂4

∂y4+ 2

∂4

∂x2∂y2

)

+2εRRe

(∂3

∂x2∂y+

∂3

∂y3

)

DOSφ = 2εRVGφ∂2

∂x2

DOSx = 0

(2.39)



Squire-Gleichung

DSqr = εRdVGxdy

∂

∂φ+

(−εRVGφ −

dVGφdy

)∂

∂x

DSqφ = − ∂2

∂t∂x− VGx

∂2

∂x2− εRVGφ

∂2

∂φ∂x+

1

Re

(∂3

∂x3+

∂3

∂x∂y2

)+εRRe

∂2

∂x∂y

DSqx = εR∂2

∂t∂φ+ εRVGx

∂2

∂x∂φ− εRRe

(∂3

∂x2∂φ+

∂3

∂y2∂φ

)

(2.40)


DCor =∂

∂y+ εR

DCoφ = εR∂

∂φ

DCox =∂

∂x(2.41)

Die unbekannten Störungsgeschwindigkeiten in den Richtungen r, φ und x und die Nicht-linearitäten des Gleichungssystems lassen sich als einspaltige Matrizen niederschreiben:

u =

uruφux

, N =

NOS

NSq

NCo

(2.42)

Wobei u und N Spaltenvektoren sind.

Die Elemente der Koeffizientenmatrix N = (NOS ,NSq,NCo)T lauten dann wie

folgt:

NOS = −∂3(uxux)

∂x2∂y− ∂3(urux)

∂x∂y2− εR

∂2(urux)

∂x∂y− εR

∂3(uφux)

∂x∂y∂φ

− εR∂3(uxuφ)


∂3(uruφ)

∂y2∂φ+∂3(uxur)

∂x3+∂3(urur)

∂x2∂y

+ εR∂2(urur)

∂x2+ εR

∂3(uφur)

∂x2∂φ− εR

∂2uφuφ∂x2

NSq = −∂2(uxuφ)

∂x2− ∂2(uruφ)

∂x∂y− εR

∂(uruφ)

∂x− εR

∂2(uφuφ)

∂x∂φ

+ εR∂2(uxux)

∂φ∂x+ εR

∂2(urux)

∂φ∂y

NCo = 0 (2.43)

Nachdem das Gleichungssystem Du = N aufgestellt ist, kann dieses in einer linearisier-ten Form im Kapitel 3 bearbeitet werden. In diesem Fall sind die Störungen so klein, dassdie Wechselwirkung (Nichtlinearitäten) vernachlässigt werden. Wenn aber die Störungennicht mehr klein sind, kann die Wirkung der Nichtlinearitäten in einem bestimmten Be-reich des Stabilitätsdiagramms berücksichtigt werden. Dadurch ist die gesamte Herleitungdes Gleichungssystem Du = N notwendig. Dies ist im Kapitel 4 dargestellt.

3. Lineare Stabilitätsanalyse einerdrallbehafteten Ringspaltströmung

In diesem Kapitel wird die lineare Stabilitätstheorie für eine Ringspaltströmung hergeleitet,wobei das dynamische Gleichungssystem die Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungensind. Die Lösung ist eine laminare Strömung und die Störungen werden als wellenförmigmit kleiner Amplitude betrachtet. Die Frage, ob die laminare Strömung anfällig gegenüberkleinen Störungen ist, kann beantwortet werden sowie bei welchen Strömungsparameterndie Störungen wachsen oder abklingen.

3.1. Das lineare Eigenwertproblem

Bei einer linearen Stabilitätsanalyse werden die Geschwindigkeitsstörungen als kleine Grö-ßen betrachtet, das bedeutet, dass das Produkt zwischen den verschiedenen Geschwin-digkeitsstörungskomponenten sehr klein ist. Infolgedessen können die Nichtlinearitäten(RHSOS) und (RHSSQ) vernachlässigt werden.Nun ist das Strömungsproblem eine lineare, partielle Differentialgleichung, bei der die Lö-sung als eine Überlagerung von Elementarwellen anzusehen ist.Die Elementarwellen haben die folgende Gestalt:

u =

uruφux

=

Ar(y)Aφ(y)Ax(y)

expi (λxx+ nφφ− (ωr + iωi)t)+ c.c. (3.1)

=

Ar(r)(y) + iAr(i)(y)Aφ(r)(y) + iAφ(i)(y)Ax(r)(y) + iAx(i)(y)

expi (λxx+ nφφ− (ωr + iωi)t)+ c.c.

Wobei λx, nφ die Wellenzahlen in der Axial- bzw. Umfangsrichtung, ω = (ωr + iωi) dieFrequenz und (Ar,Aφ,Ax)T die Amplitudenform der Elementarwellen sind. Die Am-plitude ist eine komplexe Größe (Ar(r) + iAr(i),Aφ(r) + iAφ(i),Ax(r) + iAx(i))

T undin diesem Fall eine Funktion von y, da die Koeffizienten in den Orr-Sommerfeld-Squire-Gleichungen nur von y abhängen. Die Frequenz ω kann eine komplexe Größe sein, λx isteine reelle Größe und nφ bezeichnet die Wellenzahl in Umfangsrichtung und kann dahernur eine ganze Zahl sein. Die Geschwindigkeitsstörung ist eine reelle Größe, deshalb be-zeichnet c.c. den konjugiert komplexen Teil der Elementarwellen, damit u in (3.1) reellbleibt. Dieser Ansatz wird als Normalmodenansatz bezeichnet.Durch Einsetzen des Ausdrucks (3.1) in (2.35), (2.36) und (2.37), welches der Anwendungder Fourier-Transformation auf die Gleichungen (2.32) und (2.34) in der Umfangs- undAxialrichtung entspricht [59], ergibt sich ein gewöhnliches Differentialgleichungssystemals Funktion von y, das wiederum ein Eigenwertproblem darstellt. Wobei ω der Eigenwertund (Ar,Aφ,Ax)T die Eigenfunktionen sind.Dieser Satz von Gleichungen lässt sich in Matrixform wie folgt schreiben:

LA = iωMA (3.2)

44 Lineare Stabilitätsanalyse einer drallbehafteten Ringspaltströmung

Wobei L und M Matrixoperatoren sind:

L =

LOSr LOSφ LOSx

LSqr LSqφ LSqx

LCor LCoφ LCox

, (3.3)

M =

MOSr MOSφ MOSx

MSqr MSqφ MSqx

MCor MCoφ MCox

, (3.4)

und der Vektor der Eigenfunktionen A wie folgt definiert ist:

A = (Ar,Aφ,Ax)T (3.5)

Die Matrix-Element-Operatoren von L und M in (3.3) und (3.4) haben die folgende Form:

LOSr =

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)iλx

− VGx(iλx

d2

dy2− iλ3

x + εRiλxd

dy

)+ εR

d2VGφdy2

inφ

+ εRVGφ

(−inφ

d2

dy2+ inφλ

2

)+

1

Re

(λ4x +

d4

dy4− 2λ2

x

d2

dy2

)

+2εRRe

(−λ2

x

d

dy+

d3

dy3

)

LOSφ = −2εRVGφλ2x

LOSx = 0

LSqr = εRdVGxdy

inφ −(εRVGφ +

dVGφdy

)iλx

LSqφ = VGxλ2x + εRVGφλxnφ

+1

Re

(−iλ3

x + iλxd2

dy2

)+εRRe

iλxd

dy

LSqx = −εRVGxλxnφ −εRRe

(−iλ2

xnφ + id2

dy2nφ

)

LCor =d

dy+ εR

LCoφ = iεRnφ

LCox = iλx (3.6)

MOSr =

(λ2x −

d2

dy2− εR

d

dy

), MOSφ = 0, MOSx = 0

MSqr = 0, MSqφ = −iλx, MSqx = iεRnφ

MCor = 0, MCoφ = 0, MCox = 0 (3.7)

Lineare Stabilitätsanalyse einer drallbehafteten Ringspaltströmung 45

Nachdem das vorhandene Problem beschrieben ist und die Elementmatrizen aufgestelltsind, werden nun die notwendigen Randbedingungen eingeführt, die die Gleichungen er-füllen müssen.Aufgrund der Haftbedingung werden die Störschwankungen am Rand gleich null gesetzt.

y = ±1 : Ar = Aφ = Ax = 0 (3.8)

Eine zusätzliche Randbedingung ergibt sich durch das Einsetzen von (3.8) in die Kontinui-tätsgleichung:

y = ±1 :∂Ar

∂y= 0 (3.9)

An dieser Stelle sind einige Eigenschaften des Problems erwähnenswert, die relevant fürden weiteren Umgang der Herleitungen sind:

• In der Orr-Sommerfeld-Gleichung existiert eine kleine Größe 1Re welche mit der

höchsten Ableitung ( d4

dy4 ) multipliziert ist. Das stellt ein singulär gestörtes Problemdar, bei dem die Lage einer kritischen Schicht berechenbar ist. Die Auswirkungender Viskosität sind in der kritischen Schicht zu berücksichtigen.

• Das Eigenwertproblem stellt eine gewöhnliche Differentialgleichung für ω dar, dieals Dispersionsbeziehung bezeichnet wird. Die Dispersionsbeziehung ist die Be-trachtung der Frequenz ω als Funktion von den anderen Parametern des Problemsω = ω(λx, nφ, Re, Sa, Zw, εR). Dies lässt sich dem gewöhnlichen Differentialglei-chungssystem (3.2) entnehmen. Dafür werden nichttriviale Lösungen des Eigenwert-problems für ω gesucht.

• Das beschriebene Problem ist unter der zeitlichen Stabilitätstheorie einzuordnen. Dasbedeutet die Störung entwickelt sich nach (3.1) periodisch im Raum, wobei λ und nφreelle Größen sind. Die Welle schreitet für nφ = 0 mit der Phasengeschwindigkeit,cr = ωr

λx, fort, wobei der Index r für reell steht. Ihre Amplitude wächst, wenn die

Anfachungsrate größer null ist (ωi > 0) oder diese dämpft, wenn der Imaginärteilder Frequenz kleiner null ist (ωi < 0).

• Der Tollmien-Schlichting-Mechanismus löst in dieser Arbeit durch die Betrachtungder Viskosität den laminar-turbulenten Umschlag aus.

3.2. Ergebnisse der linearen Stabilitätstheorie

Um das Stabilitätsdiagramm erstellen zu können, werden der Eigenwert und die Eigenfunk-tion des Eigenwertproblems ( LA = iωMA) für eine gegebene Parametermenge (Re,Zw, Sa, λx, nφ) berechnet. Unter Anwendung der Spektral-Kollokationsmethode wurdeein Matlab-Programm geschrieben, mit dem das Eigenwertproblem gelöst wird.

3.2.1. Validierungsberechnungen am Beispiel der klassischenPoiseuille-Strömung

Die Validierung der in Matlab geschriebenen Programme zur Lösung des Eigenwertpro-blems, erfolgt durch den Vergleich der errechneten Phasengeschwindigkeit (cr = ωr

λx,

ci = ωiλx

) mit Berechnungen nach Schmid und Henningson [59] für die Kanalströmung.Die Ergebnisse sind in Tabelle 3.1 gezeigt.


Schmid-Henningson Eigene Berechnungcr ci cr ci

0,31210 -0,019798 0,31210 -0,0197990,42418 -0,076719 0,42418 -0,0767200,92078 -0,078047 0,92079 -0,0780470,92091 -0,078200 0,92092 -0,0782010,98418 -0,016311 0,98419 -0,0163110,95256 -0,047934 0,95257 -0,0479340,92094 -0,079556 0,92094 -0,0795570,88932 -0,11118 0,88932 -0,11118

Tabelle 3.1.: Vergleich der errechneten Phasengeschwindigkeiten mit Werten nach Schmid-Henningson [59] für die Kanalströmung bei Re = 2000 und λx = 1. DieParameter nφ, Sa, Zw, εR sind gleich null gesetzt.

Die obige Tabelle zeigt, dass das in Matlab ausgeführte Programm richtig geschrieben ist,denn die Ergebnisse stimmen mit den von Schmid und Henningson [59] gegebenen Wer-ten überein. Des Weiteren ergab sich aus den eigenen Berechnungen, dass die kritischeReynolds-Zahl Rek und die kritische Wellenzahl λxk für die Poiseuille-Strömung 5772bzw. 1,02 sind. Diese Werte entsprechen genau dem Wert der Parameter, die in der Fachli-teratur als kritisch definiert sind. Im Folgenden ist die berechnete neutrale Stabilitätskurvefür die Kanalströmung dargestellt. In diesem Fall sind die Strömungsparameter Sa, Zw unddie Wellenzahl nφ gleich null gesetzt. Der Krümmungsparameter εR liegt nahe null.

2000 4000 6000 8000 100000.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Re

λ x

ωi = 0

λxk

=1.02Re

k=5772

Abbildung 3.1.: Berechnetes Stabilitätsdiagramm für die ebene Poiseuille-Strömung. Be-rechnung der Abbildung siehe Anhang J.4

3.2.2. Beispiel für die Anwendung der linearen Stabilitätstheorie

Für die Durchführung einer linearen Stabilitätsanalyse sollen die Gleichungen (2.35),(2.36) und (2.37) gelöst werden. Die Geschwindigkeit ist in eine Grundströmung VGx,φund in eine Störung u aufgespalten. Während die Grundströmung eine bekannte Lösungder Navier-Stokes-Gleichungen ist, wird angenommen, dass sich die Störung als eine


periodische Schwankungsbewegung um den Grundströmungsbetrag darstellt und somit alsLösungsansatz ein Wellenansatz gewählt, siehe (3.1). Werden die Grundströmung und dieals klein angenommene Störung (die Nichtlinearitäten werden zunächst vernachlässigt) indie Orr-Sommerfeld-, Squire- und Kontinuitätsgleichung eingesetzt, ergibt sich in (3.2)das Eigenwertproblem LA = iωMA. Die Operatoren L und M enthalten sowohl dieStrömungsparameter (Re, Sa Zw) als auch die Wellenzahlen λx und nφ als gegebene Grö-ßen. Daher sind die Operatoren L und M bekannt. Für eine zeitliche Stabilitätsanalysesind die Wellenzahlen reelle Größen. Die Frequenz ω ist eine komplexe Größe, welchezusammen mit der Amplitude A die zu findenden Unbekannten des Eigenwertproblemssind. Die Spaltweite in der y-Richtung ist sehr klein im Vergleich zu der Strecke in derAxialrichtung. Daher wird die axiale Länge x als unendlich betrachtet und die Wellenzahlλx kann für eine zeitliche Stabilitätsanalyse reelle Größen annehmen. Im Gegenteil dazunimmt die Wellenzahl nφ ganze Zahlen an, da der Umfang des Zylinders endlich ist.Es ist bekannt aus der Fachliteratur [59], dass eine Kanalströmung infolge des Tollmien-Schlichting-Mechanismus instabil wird. Die kritische Wellen- und Reynolds-Zahl sindλx = 1, 02 bzw. Re = 5772, siehe Abbildung 3.1. Eine Kanalströmung oder Poiseuille-Strömung wird zwischen zwei Platten aufgrund eines Druckgradienten erzeugt. IhreLösung (Grundströmung) ist exakt und durch Gl. (2.17) gegeben, wenn εR gegen null geht.Will man jedoch die Wirkung der Krümmung berücksichtigen und sicherstellen, dass dieLösung für die Grundströmung immer noch exakt bleibt, kann man nach Van Dyke [70]eine asymptotische Entwicklung für die Lösung der Grundströmung durchführen. Diesbedeutet, dass in der Navier-Stokes-Gleichungen der Effekt einer schwachen Krümmungberücksichtigt wird und dadurch die Lösungsform (das Geschwindigkeitsprofil derGrundströmung) die Wirkung der Krümmung enthält, siehe Abbildung 3.2.

2H = 0,5[cm]

Di = 4,5 [cm]

Da = 5,5 [cm]

Geometrie für eine Kanalströmung

Schwach „Gekrümmte“ Kanalströmung

y

φ

x

Abbildung 3.2.: Beispielgeometrie mit konkret gewählten Abmaßen zur Veranschauli-chung der Ergebnisse einer Stabilitätsanalyse.

Für eine feste Geometrie sind in diesem Beispiel die Durchmesser Da und Di des Außen-zylinders bzw. des Innenzylinders gleich:

Da = 5, 5[cm] Di = 4, 5[cm], (3.10)


Die gewählte Flüssigkeit sei Wasser. Damit sind die Dichte ρ und die dynamische Viskositätµ der Größenordnung:

ρ ≈ 103[kg

m3] µ ≈ 10−3[

kg

ms] (3.11)

Die Reynolds-Zahl ist gleich:

Re =ρHUref

µ(3.12)

Wobei Uref die axiale Maximalgeschwindigkeit einer Kanalströmung ist. Im Anhang A.1ist die axiale Maximalgeschwindigkeit in (A.12) als Uref = − H

2

2µ∂PGx∂x definiert. Dadurch

ist die Reynolds-Zahl:

Re = − ρH3

2µ2

∂PGx∂x

(3.13)

Da bei der Stabilitätsanalyse die Reynolds-Zahl eine gegebene Größe ist und sich im Bei-spiel um Wasser und eine feste Geometrie handelt, können sowohl der Druckgradient aus(3.13) als auch die axiale Maximalgeschwindigkeit Uref aus (A.12) berechnet werden. ImFolgenden werden für das in der Abbildung 3.2 dargestellte Beispiel die Geschwindigkeits-referenz Uref berechnet sowie die Eigenschaften der Störung geschildert. Gegeben sind:

Re = 6000; λx = 1; nφ = 0; Zw = 0; Sa = 0 (3.14)

Aus der ausgewählten Durchmessern der Zylinder in (3.10) ergibt sich der Krümmungspa-rameter:

εR =Ra − RiRa + Ri

=Da − Di

Da + Di

= 0, 1

Darüber hinaus ist die halbe Spaltweite gleich:

H =Ra − Ri

2=Da − Di

4= 0, 25[cm]

Aus (3.13) ergeben sich für ∂PGx∂x :

∂PGx∂x

= −Re2µ2

ρH3=

6 ∗ 103 ∗ 2 ∗ (10−3)2

103 ∗ (2, 5 ∗ 10−3)3= −768[

kg

m2s2] (3.15)

Damit ist Uref :

Uref =(2, 5 ∗ 10−3)2 ∗ 768

2 ∗ 10−3= 2, 4[

m

s] (3.16)

Eine Änderung der Reynolds-Zahl Re bedeutet für eine feste Geometrie und die selbeFlüssigkeit, dass sich der Druckgradient verändert hat. Außerdem können für eine gegebe-ne Rotationszahl Sa = ΩaRa

Urefund eine gegebene Translationszahl Zw = Uwi

Urefdie Drehzahl


Ωa bzw. die Geschwindigkeit des gezogenen Innenzylinders berechnet werden.Für die Bestimmung der Eigenschaften der Störung werden alle in (3.14) dargestellte Pa-rameter als Eingabedaten im Eigenwertproblem LA = iωMA eingesetzt und mit demMatlab-Programm berechnet. Daraus können sowohl die Frequenz ω als auch die Ampli-tude A berechnet werden. Für die Frequenz ω ergibt sich folgende Verteilung:

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

Ar

y

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Aφ

y

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Ax

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

ωr

ωi

Angefachte Mode

Abbildung 3.3.: Orr-Sommerfeld-Squire-Spektrum einer Ringspaltströmung, für Re =6000; Zw = 0; Sa = 0; εR = 0, 1; λx = 1 und nφ = 0. Berechnungder Abbildung siehe Anhang J.1.

Die Abbildung 3.3 zeigt die übliche Verteilung der Frequenz, wenn die Orr-Sommerfeldund Squire-Gleichungen für eine Kanalströmung (εr → 0) nun in diesem Beispiel für eineRingspaltströmung gelöst werden. Es ist wichtig von der Abbildung 3.3 herauszufinden,welche von den dargestellten Moden einen positiven komplexen Anteil hat. Dadurch kanndie Störung für die in (3.14) gegebenen Parameter mit der Zeit wachsen und die Grundströ-mung instabil werden. Da es in dieser Arbeit um den Tollmien-Schlichting-Mechanismushandelt, gibt es nur eine einzige Mode in Abbildung 3.3, die einen positiven komplexen An-teil hat. Wenn in Abbildung 3.3 alle komplexen Anteile der Frequenz ωi unter null liegen,ist die Grundströmung als stabil definiert. Für andere Mechanismen können sich mehrereModen ergeben, die einen positiven komplexen Anteil haben, siehe [59]. Aus der Abbil-dung kann auch entnommen werden, dass die angefachte Mode einen reellen Anteil hat,welche die Phasengeschwindigkeit der Störung widerspiegelt.Aus Abbildung 3.3 ist zu entnehmen, dass der reelle Anteil der angefachten Mode ωr beietwa 0, 26 liegt. Die Phasengeschwindigkeit cr = ωr

λxbeträgt dann auch etwa 0, 26. Das

heißt die Störungswelle bewegt sich in der Strömung mit einer Phasengeschwindigkeit,welche etwa 26

100 der Referenzgeschwindigkeit Uref ist.Für alle Moden in Abbildung 3.3, d.h. für alle Eigenwerte ω existiert entlang der Spalt-weite eine entsprechende Verteilung für die Amplitude (Eigenfunktion) in alle drei Rich-tungen A = (Ar, Aφ, Ax)

T [59]. Es ist allerdings in dieser Arbeit nur die Betrachtungder einen angefachten Mode von Interesse, da die andere Moden letztendlich mit der Zeitgedämpft werden. Für diese angefachte Mode sind in Abbildung 3.4 die Amplitudenver-teilung in allen drei Richtungen bei zwei unterschiedlichen Wellenzahlen nφ dargestellt.Wenn im Eigenwertproblem die Störungen auch periodisch (nφ 6= 0) in Umfangsrichtungsind, können die Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen im Gleichungssystem mitein-ander verknüpft werden [59]. Daraus ergibt sich eine Lösung, bei der die drei Richtungender Störung miteinander verknüpft sind. Als Beispiel werden für die gegebene Geometrie


die Eigenfunktionen als Lösung des Orr-Sommerfeld-Squire-Gleichungssystems für zweiverschiedene Wellenzahlen (hier nφ = 0 und nφ = 1) dargestellt. Der Betrag der Amplitu-de soll als eine Größe betrachtet werden, die durch Uref entdimensioniert wurde.

−0.2 0 0.3−1

−0.5

0

0.5

1

Ar

y

−1 0 1−1

−0.5

0

0.5

1

Aφ

y

−0.5 0 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

Ax

y

(a) Komponenten der Amplitudenfunktionen einer Ringspaltströmung, mit Re = 6000,εR = 0, 1, λx = 1, nφ = 0, Zw = 0 und Sa = 0.

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

Ar

y

−0.2 0 0.2−1

−0.5

0

0.5

1

Aφ

y

−1 0 1−1

−0.5

0

0.5

1

Ax

y

(b) Komponenten der Amplitudenfunktionen einer Ringspaltströmung, mit Re = 6000,εR = 0, 1, λx = 1, nφ = 1, Zw = 0 und Sa = 0.

Abbildung 3.4.: Vergleich zwischen den Radial-, Azimutal- und Axialkomponenten derAmplitudenfunktionen für zwei verschiedene Wellenzahlen, nφ = 0 undnφ = 1. Die dünnen gestrichelten Linien stellen den Realteil bzw. Imagi-närteil der entsprechenden Amplitudenfunktion (Ar(r) + iAr(i),Aφ(r) +iAφ(i),Ax(r) + iAx(i))

T in Gl. (3.1) dar. Die dicken durchgezogenen Li-nien ist der Betrag der Amplitudenfunktion. Berechnung der Abbildungsiehe Anhang J.1.

In Abbildung 3.4 ist entsprechend der einzigen angefachten Mode in Abbildung3.3 die zugehörige Amplitudenverteilung (Eigenfunktion) der Störungswelle A =


(Ar,Aφ,Ax)T = (Ar(r)+iAr(i),Aφ(r)+iAφ(i),Ax(r)+iAx(i))T entlang der Spaltwei-

te dargestellt. Die radiale Verteilung der Geschwindigkeitsstörung ist von entscheidenderBedeutung in dieser Arbeit, denn diese Verteilung ist, wie in Kapitel 5 dargestellt wird, derBaustein für die Bestimmung der Reynolds-Spannungen.Wenn man die neutrale Stabilitätsfläche ermitellt, sucht man die Parameterkombination(Re, Zw, Sa, λx, nφ), bei der der komplexe Anteil der Frequenz ωi gleich null ist. Dasheißt, man untersucht, ab welcher Parameterkombination zumindest eine Mode wie in Ab-bildung 3.3 einen positiven komplexen Anteil hat. Diese Parameterkombination wird dannwie in ein so genanntes Stabilitätsdiagramm wie es in Abbildung 3.1 zu sehen ist, eingetra-gen. Um die Wirkung der Parameter auf das Stabilitätsdiagramm zu analysieren, wird imFolgenden die Parameterkombinationen gesucht, bei denen sich die neutrale Stabilitätsflä-che im Hyperraum ergibt.

3.2.3. Einfluss der Krümmung auf das Stabilitätsverhalten derdrallbehafteten Ringspaltströmung

Durch den Aufbau eines Stabilitätsdiagramms lässt sich der Einfluss der eingestelltenRandparameter auf das Stabilitätsverhalten zu untersuchen. Darüber hinaus kann man diekritischen Strömungsparameter bestimmen, über welche die Störungen die Grundströmungdestabilisieren können.Abbildung 3.5 zeigt das Stabilitätsdiagramm einer Ringspaltströmung mit unterschiedli-chem Krümmungsparameter εR für den Fall, dass die Translations-, Rotations- und nφ-Wellenzahl gleich null sind.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Re

λ x

εR=0

εR=0.1

εR=0.2

εR=0.3

Abbildung 3.5.: Neutrale Stabilitätsfläche für εR → 0; εR = 0, 1; εR = 0, 2; εR = 0, 3.Die Parameter Zw, Sa und nφ bleiben konstant und werden gleich nullgesetzt. Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.4

Aus Abbildung 3.5 wird ersichtlich, dass die Krümmung einen möglichen Umschlag hinzu höheren Reynolds-Zahlen verzögert und somit einen stabilisierenden Einfluss auf dasStabilitätsverhalten hat. Die Größen, die im Orr-Sommerfeld- Squire-Gleichungssystemmit εR multipliziert werden, verschieben zwar die neutral stabile Fläche, jedoch ist ihre


stabilisierende Wirkung klein im Vergleich zu der stabilisierenden Wirkung der Translati-onsparameter Zw, wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird.

3.2.4. Einfluss der Translation des Innenzylinders auf dasStabilitätsverhalten der drallbehafteten Ringspaltströmung

In diesem Abschnitt wird die Wirkung der Translationszahl Zw auf das Stabilitätsverhaltender Strömung verdeutlicht. Die Translationszahl ist gleich null, wenn der Innenzylindernicht gezogen wird und gleich eins, wenn die axiale Geschwindigkeit des Innenzylindersden gleichen Wert wie die Maximalgeschwindigkeit aufgrund des Druckgradienten hat,siehe Gleichung (2.23).Das Ziehen des Innenzylinders hat einen drastischen Einfluss auf die Radialsymmetrieder axialen Geschwindigkeitskomponente der Grundströmung. Um ausschließlich dieWirkung des Translationsparameters zu untersuchen wird sowohl für eine Kanalströmung(εR ≈ 0) als auch für eine Ringspaltströmung (εR = 0.1) die Wirkung der Rotation desAußenzylinders vernachlässigt. Abbildung 3.6 zeigt die neutrale Stabilitätsfläche einerKanalströmung für verschiedene Translationszahlen (Zw = 0; Zw = 0, 1; Zw = 0, 2;Zw = 0, 3; Zw = 0, 4; Zw = 0, 5; Zw = 0, 6) wobei Sa und nφ zu null gesetzt wurden:

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Re

λ x

Zw

=0 Zw

=0.1 Zw=0.2 Z

w=0.3 Z

w=0.4 Z

w=0.5 Z

w=0.6

Abbildung 3.6.: Einfluss der Translation des Innenzylinders auf das Stabilitätsdiagrammbei verschiedenen Translationszahlen für eine ebene Kanalströmung mitgezogener Wand (Zw 6= 0). Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.4.

Wie Abbildung in 3.6 entnommen werden kann, übt das Ziehen des Innenzylinders einenstarken, stabilisierenden Effekt auf das Stabilitätsverhalten aus. Dies kann den möglichenUmschlag von Re ≈ 5800 für Zw = 0 bis auf Re ≈ 23800 für Zw = 0, 6 verzögern. Dar-über hinaus nimmt die kritische Wellenzahl λxk ab. Bemerkenswert ist, dass die kritischeReynolds-Zahl bei Zw = 0, 2 größer ist, als selbige der benachbarten Translationszahlen.Des Weiteren zeigt das Diagramm, dass bei zunehmenden Translationszahlen die Band-


breite der Wellenzahlen, für die die Strömung sich instabil verhält, kleiner wird. Als Folgeder vorher beschriebenen Eigenschaft konnte keine neutrale Stabilätsfläche für Zw größergleich 0,7 und für die Re-Zahlen kleiner gleich 100.000 ermittelt werden. Ein ähnlichesStabilitätsdiagramm (in dieser Arbeit nicht dargestellt) ergibt sich aus der Stabilitätsana-lyse für eine Ringspaltstömung, wenn sowohl der Krümmungsparameter (εR = 0, 1) alsauch eine periodische Störung in Umfangrichtung (nφ = 1) berücksichtigt werden. Diekritischen Reynolds- und Wellenzahlen für den Einfluss der Translation des Innenzylindersauf das Stabilitätsdiagramm sind in Tabelle 3.2 zusammengefasst:

Sa Zw Rek λk nφ εR0 0 5772 1,02 0 ≈ 00 0,1 12800 0,8025 0 ≈ 00 0,2 17390 0,6565 0 ≈ 00 0,3 16360 0,5683 0 ≈ 00 0,4 16201 0,4777 0 ≈ 00 0,5 17855 0,3845 0 ≈ 00 0,6 23827 0,2712 0 ≈ 00 0 5953 1,0168 1 0,10 0,1 12577 0,7908 1 0,10 0,2 17540 0,6149 1 0,10 0,3 15648 0,5321 1 0,10 0,4 15235 0,4291 1 0,10 0,5 17841 0,3147 1 0,1

Tabelle 3.2.: Kritische Reynolds- und Wellenzahlen der in Abbildung 3.6 gezeigten Stabi-litätsflächen für eine Kanalströmung (εR ≈ 0) mit gezogener Wand und fürRingspalströmung (εR = 0, 1) mit gezogenem Innenzylinder.


3.2.5. Einfluss der Rotation des Außenzylinders auf dasStabilitätsverhalten der drallbehafteten Ringspaltströmung

In der folgenden Analyse wird die Wirkung der Rotation des Außenzylinders auf das Sta-bilitätsverhalten berücksichtigt. Der Krümmungsparameter, welcher die Radien der beidenZylinder verbindet, ist ungleich null. Die Analyse wird bei verschiedenen Rotations-Zahlenmit nφ = 0 durchgeführt.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

Re

λ x

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

Abbildung 3.7.: Darstellung des Stabilitätsdiagramms einer Ringspaltströmung für ver-schiedene Rotationszahlen (Sa = 0; Sa = 0; Sa = 0, 3; Sa = 0, 6;Sa = 1, 0). Neutrale Stabilitätsflache mit Zw = 0; εR = 0, 1 und nφ = 0.Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.4.

Die Abbildung in 3.7 zeigt eine starke Zunahme der kritischen Reynolds-Zahl mit wach-sender Rotationsgeschwindigkeit des Außenzylinders. Somit wirkt sich die Rotationsbewe-gung des Außenzylinders stabilisierend auf die Strömung aus. Darüber hinaus führt die Ein-beziehung der Wirkung der Rotation des Außenzylinders zu gekoppelten Störungslösun-gen [59]. Das Gleichungssystem in (3.2) liefert für gegebene Krümmungs- und Rotations-Parameter stets Lösungen in den drei Richtungen der Geometrie, wie in Abbildung 3.4 (b).Die kritische Reynolds- und Wellenzahlen für den Einfluss der Rotation des Außenzylin-ders sind in Tabelle 3.3 zusammengefasst:

Sa Zw Rek λk nφ εR0 0 5955 1,0166 0 0,1

0,3 0 6440 1,0116 0 0,10,6 0 8240 0,9986 0 0,11,0 0 16525 0,9561 0 0,1

Tabelle 3.3.: Kritische Reynolds- und Wellenzahlen einer drallbehafteten Ringspalströ-mung entnommen aus der Abbildungen 3.7.


3.2.6. Einfluss einer kombinierten Translationsbewegung des Innenund Rotationsbewegung des Außenzylinders auf dasStabilitätsverhalten der drallbehafteten Ringspaltströmung

Im folgenden wird das Zusammenwirken der Drallbewegung des Außenzylinders und derTranslationsbewegung des Innenzylinders auf das Stabilitätsverhalten der Strömung unter-sucht.In Abbildungen 3.8 und 3.9 sind zur Veranschaulichung einige ausgewählte Parameterkom-bination dargestellt.Abbildung 3.8 zeigt die Wirkung der Translationszahl auf das Stabilitätsverhalten der drall-behafteten Ringspalströmung für eine konstante Rotationszahl, Sa = 0, 5, bei wachsenderTranslationsgeschwindigkeit des Innenzylinders.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Re

λ x

Zw

= 0

Zw

= 0,1

Zw

= 0,25

Zw

= 0,5

Abbildung 3.8.: Darstellung des Stabilitätsdiagramms einer Ringspaltströmung (εR = 0, 1)bei einer festen Rotation des Außenzylinders (Sa = 0, 5) für verschiedeneTranslationszahlen. Mit nφ = 0 und Zw = 0; Zw = 0, 1; Zw = 0, 25;Zw = 0, 5. Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.4.

Abbildung 3.8 zeigt eine starke Zunahme der kritischen Reynolds-Zahl, wenn die Transla-tionszahl Zw wächst. Im Vergleich mit Abbildung 3.6 ist erkennbar, dass die stabilisierendeWirkung des Innenzylinders in Kombination mit rotierendem Außenzylinder stärker ist alsohne Rotation des Außenzylinders. Dies spiegelt sich ebenfalls beim Vergleich der Ergeb-nisse in Tabellen 3.4 und 3.2 wieder.

Sa Zw Rek λk nφ εR0,5 0 7435 1,0045 0 0,10,5 0,1 26880 0,6993 0 0,10,5 0,25 29400 0,5033 0 0,10,5 0,5 41351 0,2064 0 0,1

Tabelle 3.4.: Kritische Reynolds- und Wellenzahlen mit fester Rotationszahl Sa = 0, 5, beiverschiedenen Translationszahlen.


Die Abbildung in 3.9 zeigt die Wirkung des Dralles auf die Stabilitätsfläche, wenn für einegegebene Translationszahl der Drall des Außenzylinders zunimmt.

3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Re

λ x

Sa=0.25

Sa=0.3

Sa=0.35

Sa=0.37

Abbildung 3.9.: Darstellung des Stabilitätsdiagramms einer Ringspaltströmung (εR = 0, 1)mit gezogenen Innenzylinder (Zw = 0, 5) für verschiedene Rotationszah-len. Mit nφ = 1 und Sa = 0, 25; Sa = 0, 3; Sa = 0, 35; Sa = 0, 37.Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.4.

Dem Diagramm in 3.9 lässt sich entnehmen, dass die Rotation des Außenzylinders für einenicht radialsymmetrische Axialkomponente der Grundströmung (Zw = 0, 5), die Rotationdes Außenzylinders eine stabilisierende Wirkung hat. Ist die Störung nicht rotationssym-metrisch (nφ = 1), ergeben sich bei “schwachen” Rotations-Zahlen (Sa = 0.37) kritischeReynolds-zahlen, die bei etwa 100.000 liegen. Steigt die Rotationszahl weiter an, erschwertsich die Suche nach der Stabilitätsfläche, denn die Bandbreite der Wellenzahl λx verengtsich bei wachsender kritischer Reynolds-Zahl. Die kritischen Reynolds- und Wellenzahlenfür die in Abbildung 3.9 dargestellten Stabilitätsflächen, sind in folgende Tabelle zusam-mengefasst:

Sa Zw Rek λk nφ εR0,25 0,5 32598 0,34661 1 0,10,3 0,5 41835 0,33038 1 0,1

0,35 0,5 63828 0,29937 1 0,10,37 0,5 94714 0,2697 1 0,1

Tabelle 3.5.: Kritische Reynolds- und Wellenzahlen für eine drallbehaftete Ringspalströ-mung mit gezogene Innenzylinder.


3.3. Zusammenfassung des Kapitels

Zu Beginn werden die Bewegungsgleichungen durch die Maximalgeschwindigkeit derRingspaltströmung und die Spaltweite entdimensioniert. In einem zweiten Schritt wirdder Druckgradient aus den Bewegungsgleichungen eliminiert und die Strömung in eineGrundströmung und in eine periodische Geschwindigkeitsstörung zerlegt, wobei für dieGeschwindigkeitsstörung ein Wellenansatz vorausgesetzt wird. Hierfür wird in die Glei-chungen ein Wellenzahlvektor mit den Komponenten λx, nφ eingeführt. Hieraus ergebensich die durch die Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen,welche zusammen mit der Kontinuitätsgleichung ein Gleichungssystem der MatrixformDu = N bilden.Auf Basis dieses Gleichungssystems wird eine Stabilitätsanalyse durchgeführt. Bei der Sta-bilitätsanalyse wird die Geschwindigkeitsstörung als eine kleine Größe betrachtet, so dassdie Nichtlinearitäten vernachlässigt werden. Es ergibt sich ein klassisches Eigenwertpro-blem, mit dem die Stabilitätsflächen des Strömungsproblems berechnet werden können.Allerdings beinhaltet das Strömungsproblem sechs Parameter (Re, Sa, Zw, εR, λx, nφ),wodurch die Stabilitätsanalyse zu einem Stabilitätsdiagramm führt, dass sich eine Hyper-fläche in einem Raum von sechs Dimensionen darstellt. Die Kenntnis über die Form undLage der Schwelle, bei welcher der laminare Zustand seine Stabilität verliert, ist unerläs-slich, denn die schwach nichtlineare Theorie wird in der Umgebung der neutralen Stabi-litätsfläche angewendet. Im Folgenden sind die wesentlichen Ergebnisse, die sich aus derlinearen Stabilitätsanalyse für die drallbehaftete Ringspalströmung ableiten lassen, zusam-mengefasst:

• Ein wachsender Krümmungsparameter εR wirkt sich stabilisierend auf die Strömungaus. Dies gilt auch für kleine εR, wie sie hier für kleine Spaltweiten vorausgesetztwurden.

• Die Erhöhung des Translationsparameters Zw verursacht einen Bruch in der ra-dialen Symmetrie der axialen Geschwindigkeitskomponente. Die Translationsbewe-gung des Innenzylinders wirkt stabilisierend auf die Ringspaltströmung. Bei zuneh-menden Translationszahlen nimmt die kritische Reynolds-Zahl drastisch zu und diekritische Wellenzahl λxk sinkt. Außerdem verringert sich mit zunehmender Transla-tionszahl Zw die Bandbreite der angefachten Wellenzahlen λx. Dies bedeutet, dassdie Grundströmung mit steigenden Werten von Zw unanfälliger gegenüber kleineStörungen wird.

• Die Drehung des Außenzylinders erweist sich als stabilisierend auf die Strömung,das heißt, dass sich die Entstehung der Turbulenz verzögert, wenn die Rotationszahlzunimmt. Ein weiterer Effekt der Rotation ist die zwangsläufige Kopplung zwischender Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichung, welche dreidimensionale Lösungen fürdie Geschwindigkeitsstörung zur Folge hat.

• Die gemeinsame Wirkung der Rotation des Außenzylinders und des Ziehens desInnenzylinders ist ebenfalls stabilisierend. Wobei die Reynolds-Zahl Werte bis etwa100.000 erreichen kann.

4. Anwendung derschwach-nichtlinearen Theorie aufdie drallbehaftete Ringspaltströmung

Im vorigen Kapitel konnte durch die lineare Stabilitätstheorie die Stabiltätsfläche als Funk-tion von den verschiedenen Strömungsparameter bestimmt werden. Die lineare Stabilitäts-theorie ist in einer Weise formuliert, dass sie bestimmen kann, bei welchen Strömungspara-metern die Grundströmung stabil oder instabil gegen eingeführte Störungen ist. Die Störun-gen sind als unendlich klein zu betrachten. Infolgedessen wurden die Nichtlinearitäten ver-nachlässigt. Befinden sich die wellenförmigen Störungen im Anfachungsbereich, wächstdie Lösungsform der Störung (Ar, Aφ, Ax)

Texpωit expi (λxx+ nφφ− ωrt)+ c.c.,

exponentiell mit der Zeit, da ωi > 0 ist. Die linearisierten Gleichungen (3.2) sind im An-fachungsbereich ungültig und es stellt sich die Frage, ob die Nichtlinearitäten die Lösungdes Gleichungssystems (2.35, 2.36, 2.37) stabilisieren können [59]. Schwache Rückwir-kungen der Störung werden durch die schwach nichtlineare Theorie berücksichtigt undäußern sich in der Form einer Reynolds-Spannung. Die Nichtlinearitäten sind der Anteildes Gleichungssystems Du = N , der den Effekt einer Reynolds-Spannung durch dieWechselwirkung zwischen Störungen berücksichtigt, siehe Gleichung (2.43).Das Ziel dieses Kapitels ist es, in Anlehnung an die von Stewartson und Stuart entwickelteVorgehensweise [64] die schwach nichtlineare Theorie auf eine drallbehaftete Ringspalt-strömung anzuwenden. Mit dieser Theorie wird die Lösung für die Störung u unter Berück-sichtigung der Nichtlinearitäten gesucht, was wiederum die Herleitung eines Ausdruckesfür eine Reynolds-Spannung ohne die Anwendung von Turbulenzmodellen erlaubt.

4.1. Die Struktur des Gleichungssystems Du = N

Analog zur Behandlung des entsprechenden Problems in der ebenen Kanalströmung nachStewartson and Stuart [64] wird die Lösung des Gleichungssystems Du = N in der Formeiner asymptotischen Entwicklung gesucht. Um die Wirkung der Nichtlinearitäten N inBetracht zu ziehen, kann man zweckmäßig die Lösung der Geschwindigkeitsstörung u ineiner asymptotischen Entwicklung in Bezug auf eine kleine positive Größe εA aufschrei-ben. Die Lösung hat für das nichtlineare Problem die folgende Gestalt:

u = ε12

Au1 + εAu2 + ε32

Au3 +O(ε2A) (4.1)

Die Größe εA, die als klein in der Amplitude aufgefasst wird, kann auch als Maß für ei-ne kleine Energie in der Schwankungsbewegung betrachtet werden. Der Zusammenhangzwischen εA als Maß für die kleine Amplitude und als Maß für die kleine Energie in derSchwankungsbewegung wird ersichtlich, wenn man das Skalarprodukt u · u mit u nach(4.1) bildet.

u · u = εA (u1 · u1) + 2ε32

A (u1 · u2) +O(ε2A) (4.2)

Ein Vergleich der Ausdrucke in (4.1) und (4.2) zeigt, dass die Energie in der Störung dieGrößenordnung O(εA) beträgt, wenn die Amplitude der Störung von der Größenordnung

60Anwendung der schwach-nichtlinearen Theorie auf die drallbehaftete

Ringspaltströmung

O(εA) ist. Zahlenmäßig aufgefasst bedeutet dies: wenn die Energie in der Schwankungs-bewegung etwa 0, 1 der Grundströmung beträgt, ist die Amplitude der Störung von derGrößenordnung

√0, 1 ≈ 0, 32.

Wird die Geschwindigkeitsstörung u mit sich selbst multipliziert, kann aus der gegebenenStruktur von u, die sich durch ihre Partialsummen vervollständigt, der Tensor u ⊗ u be-reitgestellt werden. Ein Kreuzprodukt wird angewendet, da die Wechselwirkung zwischenden drei Komponenten des Vektors u betrachtet werden soll. Diese Multiplikation führtebenfalls zu einer asymptotischen Entwicklung, welche lautet:

u⊗ u = εA(u1 ⊗ u1) + ε32

A(u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1) +O(ε2A)

= εAΓ2 + ε32

AΓ3 +O(ε2A) (4.3)

Wobei Γ2 und Γ3 die Tensoren zu den entsprechenden Termen (u1 ⊗ u1) und (u1 ⊗ u2 +u2⊗u1) bezeichnen. Die Nichtlinearitäten N2 und N3 stellen dann in (2.43) die räumlicheAbleitungen von Γ2 bzw. Γ3 dar.In Anlehnung an die Theorie von Stewartson und Stuart [64] wird in dieser Arbeit derkleine Amplitudenparameter εA in (4.1) als der exponentiell nach Zeit mit der Rate ωiwachsende Störungsbetrag eines Wellenpakets interpretiert, welcher klein ist, wenn sichdas Wellenpaket in der Umgebung der neutralen Stabilitätsfläche befindet (siehe Stewartsonund Stuart [64] Kapitel 3 Seite 537).

εA = ciλxN = ωi (4.4)

Hierdurch wird ωi auch der Energie in der Störung zugeordnet.Das Wellenpaket ist der führende Term der asymptotischen Entwicklung u1 in (4.1). Nach[64] werden für die Beschreibung der Entwicklung des Wellenpakets u1, wie in Kapitel4.2 näher erläutert wird, die Funktionsform des Produkts einer von den langskaligen Varia-blen (ξxundT ) abhängende Größe und einer von den kurzskaligen Variablen (x, θ und t)abhängende Größe angesetzt. Die Verbindung zwischen den kleinen und langen Skalen istdurch den Amplituden Parameter εA gegeben. Die Betrachtung dieser neuen langen Skalenhat zur Folge, dass im linearen Operator D auch diese neuen Skalen berücksichtigt werdensollen. Daraus ergibt sich ebenfalls eine asymptotische Entwicklung für D :

D = D1 + ε12

AD2 + εAD3 +O(ε32

A) (4.5)

Wobei der führende Operator D1 nur Ableitungen nach den kleinskaligen Variablen ent-hält, während D2 und D3 Ableitungen sowohl nach den kleinen als auch nach den langenSkalen aufweisen.Wenn schließlich die asymptotischen Entwicklungen (4.1) und (4.5) im GleichungssystemDu = N eingesetzt und zu den entsprechenden Ordnungen von εA sortiert werden, erge-ben sich die folgenden Gleichungen:

D1u1 = 0; O(ε12

A)

D1u2 = −D2u1 + N2; O(εA)

D1u3 = −D3u1 −D2u2 + N3; O(ε32

A) (4.6)

Wobei N2 und N3 die Nichtlinearitäten bzw. die Wechselwirkung zwischen den Summan-den der Störung u wiedergeben.Die Einführung von neuen langen Skalen und die dazugehörige Herleitung der Operato-ren D1, D2, D3, die Definition von εA als Funktion der Strömungsparameter sowie dieStruktur der Lösungsform von u1, u2 und u3 werden in den nächsten Abschnitten erläu-tert. Vorläufig ist es wichtig darzustellen, dass für die Betrachtung der Nichtlinearitäten im

Anwendung der schwach-nichtlinearen Theorie auf die drallbehafteteRingspaltströmung 61

Gleichungssystem Du = N eine asymptotische Entwicklung durchgeführt wird. Von In-teresse ist es in dieser Arbeit die Bestimmung des Wellenpakets u1, welches vonnöten ist,wie auf der rechten Seite in (4.3) zu sehen ist, wenn man einen Ausdruck für den Reynolds-Spannungstensor herleiten möchte.

4.2. Einführung von großen Skalen

Im Unterschied zur linearen Stabilitätstheorie wird für die Störung nun keine einzelne Ele-mentarwelle berücksichtigt, sondern ein Wellenpaket betrachtet. Unter einem Wellenpaketsoll eine Überlagerung von der durch die lineare Stabilitätstheorie bestimmten Elementar-wellen verstanden werden. Wenn sich das Wellenpaket im angefachten Bereich des Sta-bilitätsdiagramms befindet, kann dieses mit der Zeit nur exponentiell wachsen, da seineWachstumsrate ωi > 0 ist. Des weiteren folgt aus dem linearen Problem, dass die Elemen-tarwellen dispersiv sind [59]. D.h. Elementarwellen mit unterschiedlichen Wellenlängenbewegen sich ungleich schnell. Wenn die Geschwindigkeitsstörung u1 als Überlagerungverschiedener Elementarwellen dargestellt wird, breitet sich diese nicht als eine feste Wel-le aus, sondern “ fächert sich auf”, da die Elementarwellen über eine eigene unterschiedli-che Fortpflanzungsgeschwindigkeit verfügen [20], [72]. Das Wellenpaket schreitet mit derGruppengeschwindigkeit fort, jedoch langsamer als die Phasengeschwindigkeit der ein-zelnen Elementarwellen, wie in Gl. (1.5) zu erkennen ist. Da diese beiden Eigenschaftendes Wellenpakets im Gleichungssystem in (4.6) betrachtet werden sollen, haben Stewarts-on und Stuart [64] neue lange Skalen im Strömungsproblem eingeführt, welche mit demAmplitudenparameter εA wie folgt zusammenhängen:

T = εAt ξx = ε12

A

(x−

(∂ω

∂λx

)

N,r

t

)(4.7)

wobei nach [64] T , ξx die zeitlichen und räumlichen zusätzlichen Variablen sind, um dieEntwicklung des Wellenpakets u1 zu erfassen.

(∂ω∂λx

)N,r

stellt die Gruppengeschwindig-

keit des Wellenpakets dar. Um bei dem vorhin in Kapitel 4.1 erwähnten Zahlbeispiel zubleiben, wird die Zeit mit einer Skala gemessen, die das 10-Fache beträgt. Für die Längeist diese gleich

√10 ≈ 3, 3.

Die Definition in (4.7) hat zur Folge, dass in den in (2.39, 2.40, 2.41) auftretenden parti-ellen Ableitungen nicht nur die Änderungen in den kleinen, sondern auch in den langenSkalen betrachtet werden sollen:

∂

∂x→ ∂

∂x+ ε

12

A

∂

∂ξx

∂

∂t→ ∂

∂t+ ε

12

A

(−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂

∂ξx

)+ εA

∂

∂T(4.8)

Wird die Einführung der neuen Skalen bei allen Ableitungen höherer Ordnung in (2.39,2.40, 2.41) durchgeführt, siehe Anhang C, ergibt sich nach Sortierung der Ordnungen vonεA die in (4.5) dargestellte asymptotische Entwicklung für D . Die Matrixform der Termefür die asymptotische Entwicklung in (4.5) besteht aus:

Dk =

DkOS r DkOS φ DkOS x

DkSq r DkSq φ DkSq x

DkCo r DkCo φ DkCo x

, (4.9)

wobei der Indices k = 1, 2, 3 die entsprechenden Operatoren in (4.5) bezeichnen. DieElemente der Matrixform in (4.9) nehmen bei den verschiedenen Ordnungen folgende


Ringspaltströmung

Form an:

Elemente des Differentialoperators D1

Wie bereits erwähnt, enthält D1 Ableitungen nach kurzskaligen Variablen.


D1OS r = − ∂

∂t

(∂

∂x2+

∂

∂y2+ εR

∂

∂y

)+

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)∂

∂x

− VGx(

∂3

∂x∂y2+

∂3

∂x3+ εR

∂2

∂y∂x

)+ εR

d2VGφdy2

∂

∂φ

+ εRVGφ

(− ∂3

∂y2∂φ− ∂3

∂x2∂φ

)+

1

Re

(∂4

∂x4+

∂4

∂y4+ 2

∂4

∂x2∂y2

)

+2εRRe

(∂3

∂x2∂y+

∂3

∂y3

)

D1OS φ = 2εRVGφ∂2

∂x2

D1OS x = 0

Squire-Gleichung

D1Sq r = εRdVGxdy

∂

∂φ+

(−εRVGφ −

dVGφdy

)∂

∂x

D1Sq φ = − ∂2

∂t∂x− VGx

∂2

∂x2− εRVGφ

∂2

∂φ∂x+

1

Re

(∂3

∂x3+

∂3

∂x∂y2

)+εRRe

∂2

∂x∂y

D1Sq x = εR∂2

∂t∂φ+ εRVGx

∂2

∂x∂φ− εRRe

(∂3

∂x2∂φ+

∂3

∂y2∂φ

)


D1Co r =∂

∂y+ εR

D1Co φ = εR∂

∂φ

D1Co x =∂

∂x(4.10)


Es sei bereits an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass der Differentialoperator D2,im Gegensatz zu D1, Ableitungen nach den kurzskaligen Variablen und nach denlangskaligen Variablen enthält.



D2OS r = −2∂3

∂t∂x∂ξx+

(∂ω

∂λx

)

N,r

(∂3

∂ξx∂x2+

∂3

∂ξx∂y2+ εR

∂2

∂ξx∂y

)

+

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)∂

∂ξx− VGx

(∂3

∂ξx∂y2+

3∂3

∂x2∂ξx

)

− VGxεR∂2

∂ξx∂y− 2εRVGφ

∂3

∂x∂ξ∂φ

+1

ReN

(4∂4

∂x3∂ξx+

4∂4

∂x∂ξx∂y2+ 4εR

∂3

∂x∂ξx∂y

)

D2OS φ = 4εRVGφ∂2

∂x∂ξx

D2OS x = 0

Squire-Gleichung

D2Sq r =

(−εRVGφ −

dVGφdy

)∂

∂ξx

D2Sq φ = −

(∂2

∂t∂ξx−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂2

∂ξx∂x

)− VGx2

∂2

∂x∂ξx

− εRVGφ∂2

∂ξx∂φ+

1

ReN

(3

∂3

∂x2∂ξx+

∂3

∂ξx∂y2+ εR

∂2

∂ξx∂y

)

D2Sq x = −εR(∂ω

∂λx

)

N,r

∂2

∂ξx∂φ+ εRVGx

∂2

∂ξx∂φ− εRReN

2∂3

∂x∂ξx∂φ


D2Co r = 0

D2Co φ = 0

D2Co x =∂

∂ξx(4.11)


Nach Stewartson und Stuart [64] sollen im Strömungsproblem auch die Strömungs-parameter Re, Sa, Tw asymptotisch entwickelt werden:

Re = ReN (1 + δReεA); Sa = SaN (1 + δSaεA); Zw = ZwN (1 + δZwεA) (4.12)

wobei δZwεA, δSaεA und δReεA die kleinen Abweichungen der Strömungsparameter zudenen der neutralen Stabilitätsfläche bezeichnen. Die Strömungsparameter sollen dann mit


Ringspaltströmung

(4.12) an jeder Stelle im Operator D , an der sie vorliegen, entwickelt werden:

VGx(y) =(1− y2

)(1 +

1

3εRy

)

+ ZwN (1 + δZwεA)

[1

2(1− y) + εR

1

4

(y2 − 1

)]

dVGxdy

= −2y + εR

(1

3− y2

)+ ZwN (1 + δZwεA)

[−1

2+εR2y

]

d2VGxdy2

= −2− 2εRy + ZwN (1 + δZwεA)εR2

VGφ(y) = SaN (1 + δSaεA)

[1

2(1 + y) + εR

1

4

(1− y2

)]

dVGφdy

= SaN (1 + δSaεA)

[1

2− εR

2y

]

d2VGφdy2

= −SaN (1 + δSaεA)εR2

1

ReN (1 + δReεA)=

1

ReN− δReεA

ReN(4.13)

Daraus ergibt sich, dass die Elemente des Differentialoperators D3 Ableitungen nach denlangen Skalen sowie Beiträge der asymptotischen Entwicklung für die Strömungsparameterenthalten:


D3OS r = −(

∂3

∂T∂x2+

∂3

∂T∂y2+ εR

∂2

∂T∂y

)

+ 2

(∂ω

∂λx

)

N,r

∂3

∂ξ2x∂x

− ∂3

∂t∂ξ2x

− 3VGx∂3

∂x∂ξ2x

− εRVGφ∂3

∂ξ2x∂φ

+1

ReN

(6

∂4

∂x2∂ξ2x

+ 2∂4

∂ξ2x∂y

2+ 2εR

∂3

∂ξ2x∂y

)

+

(ZwNδZwεR

2− εRZwNδZw

2

)∂

∂x

− ZwNδZw(

1

2(1− y) +

εR4

(y2 − 1

))( ∂3

∂x∂y2+

∂3

∂x3+ εR

∂2

∂y∂x

)

+ εRSaNδSa

(1

2(1 + y)

)(− ∂3

∂y2∂φ− ∂3

∂x2∂φ

)

− δReReN

(∂4

∂x4+

∂4

∂y4+ 2

∂4

∂x2∂y2

)− δRe2εR

ReN

(∂3

∂x2∂y+

∂3

∂y3

)

D3OS φ = εR2VGφ∂2

∂ξ2x

+ 2εRSaNδSa

(1

2(1 + y)

)∂2

∂x2

D3OS x = 0


Squire-Gleichung

D3Sq r = −εRZwNδZw1

2

∂

∂φ− εRSaNδSa

1

2(1 + y)

∂

∂x− SaNδSa

1

2(1− εRy)

∂

∂x

D3Sq φ =

(∂ω

∂λx

)

N,r

∂2

∂ξ2x

− ∂2

∂T∂x− VGx

∂2

∂ξ2x

+1

Re

(3

∂3

∂x∂ξ2x

)

− ZwNδZw(

1

2(1− y) +

εR4

(y2 − 1

)) ∂2

∂x2− εRSaNδSa

1

2(1 + y)

∂2

∂φ∂x

− δReRe

(∂3

∂x3+

∂3

∂x∂y2+ εR

∂2

∂x∂y

)

D3Sq x = εR∂2

∂T∂φ− εRReN

(∂3

∂ξ2x∂φ

)

+ εRZwNδZw1

2(1− y)

∂

∂x∂φ+εRδReReN

(∂3

∂x2∂φ+

∂3

∂y2∂φ

)


D3Co r = 0

D3Co φ = 0

D3Co x = 0 (4.14)

4.3. Definition des Wellenpakets u1

In der klassischen linearen Theorie wurde für gegebene feste Wellenzahlvektoren (λx, nφ)und Strömungsparameter eine Elementarwelle der Form A(y) expi (λxx+ nφφ− ωt)berechnet. Es handelt sich hierbei um einen Standardproduktansatz, welcher beispielsweisein Wasserwellen üblich ist. Um seine Bedeutung zu verdeutlichen, sei hier auf Prandtl[50] hingewiesen. Wenn man jedoch die Lösung für eine beliebige Störung erhalten will,muss man die Elementarwellen über die verschiedenen Wellenlänge und die komplexenFrequenzen aufsummieren, bzw. integrieren. Hierbei sind folgende Punkte zu beachten:

• Die Elementarwellen können verschiedene Phasengeschwindigkeiten und Abkling-bzw. Anfachungs-Raten haben. Diese sind durch die komplexe Frequenz ω = ωr +iωi erfasst. Die Phasengeschwindigkeit ist durch cr = ωr

λxgegeben, während die ab-

klingenden bzw. angefachten Störungen nach dem exponentiellen Gesetzt expωitbestimmt werden. Dieses exponentielle Gesetz ist eine Konsequenz der Linearisie-rung für kleine Störungen, denn die lineare Differentialgleichung hat in Bezug aufdie kurzskalige Zeitvariable nur konstante Koeffizienten. Die Beschreibung einer an-gefachten oder gedämpften Störung, die von dem exponentiellen Gesetz abweicht,ist mit den Gleichungen nicht verträglich.

• Die Phasengeschwindigkeiten von Wellen verschiedener Wellenlängen sind nichtfrei wählbar. Es besteht eine Verknüpfung zwischen der komplexen Frequenz ω undder Wellenlänge λx und nφ sowie auch der Strömungsparameter (Re, Sa und Zw).


Ringspaltströmung

Dies ist die sogenannte Dispersionsbeziehung ω = ω(λx, nφ, Sa, Zw).In dem vorliegenden Problem handelt es sich um dispersive Wellen. Diese sind ana-log zu Tiefwasserwellen durch unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten der Wel-len gekennzeichnet. Es sei hier angemerkt, dass die Flachwasserwellen analog zuden klassischen Schallwellen nicht dispersiv sind.

Die gesamte Lösung für eine beliebige Störung wird dann erhalten, wenn das ganze Wel-lenzahlspektrum betrachtet wird. Durch Superposition aller Elementarwellen lässt sich einekomplette Lösung für die Störungsgeschwindigkeit erfassen:

u1 =

∫ λx=∞

λx=−∞

∞∑

nφ=1

A(y) expi (λxx+ nφφ− ωt) dλ+ c.c. (4.15)

wobei ω = ω(λx, nφ, Sa, Zw) und A (y;λx, nφ, Sa, Zw) die Frequenz bzw. die Eigen-funktion bei jedem Wellenzahlvektor (λx, nφ) darstellen. Nach Craik, siehe [9] Seite 59,wird für die Frequenz ω der gegebenen Wellenzahlvektoren (λx, nφ) nur der Effekt derinstabilsten Mode, die am stärksten wächst, beibehalten, siehe Abbildung 3.3.Im Eigenwertproblem D1u1 = 0 treten im Operator D1 nur Ableitungen nach denkurzskaligen Variablen x und t auf, siehe (4.10). Daher ist das Verhalten für die Lö-sung u1 nur in den kurzskaligen Variablen beschrieben. Wenn nun die ElementarwellenA(y) expi (λxx+ nφφ− ωt) mit einer Konstanten B, welche mit den langskaligen Va-riablen ξx und T gebunden ist, multipliziert wird, können die Nichtlinearitäten, die ja nurbei großen Skalen auftreten, auf das Wellenpaket zurückwirken. Bei der Multiplikationwird die Erfüllung der Gleichung D1u1 = 0 nicht verletzt, da der Operator in dieser Ord-nung nur von den kurzskaligen Variablen abhängt.Die Überlagerung von den Elementarwellen B (ξx, T )A(y) expi (λxx+ nφφ− ωt)sieht dann als Wellenpaket wie folgt aus:

u1 =

∫ λx=∞

λx=−∞

∞∑

nφ=1

B (ξx, T )A(y) expi (λxx+ nφφ− ωt) dλ+ c.c. (4.16)

In der linearen Stabilitätstheorie findet keine Wechselwirkung zwischen Wellen unter-schiedlicher Wellenzahlen statt, da die Nichtlinearität vernachlässigt ist. Daher sind mög-liche Effekte von wachsenden nichtlinearen Störungsteilen nicht erfassbar. Wenn das Wel-lenpaket im instabilen Bereich des Stabilitätsdiagramms liegt, wächst dies nach einem ex-ponentiellen Gesetz mit der Zeit. Dadurch gewinnen die nichtlinearen Terme an Bedeutungund müssen im Gleichungssystem Du = N in Betracht gezogen werden. Stewartson undStuart haben diesen Grundgedanken in [64] angewandt, wenn die zeitliche Wachstumsra-te eines Wellenpakets klein ist. Ein schwach angefachtes Wellenpaket kann in der Näheder neutralen Stabilitätsfläche, wo die Wachstumsrate ωi des Wellenpakets klein ist, defi-niert werden. Daher wird das Wellenpaket u1 nicht als eine Superposition von Wellen allerWellenzahlen, sondern als eine Summe von nur zwei ausgewählten Wellen dargestellt. Dieerste Welle befindet sich auf der neutralen Stabilitätsfläche und wird durch den Wellenzahl-vektor (λxN , nφN ) gekennzeichnet. Die zweite Welle liegt in einem kleinen Abstand vonder ersten Welle auf der angefachten Seite der neutralen Stabilitätsfläche, wo seine Wachs-tumsrate ωi klein ist. Diese wird durch den Wellenzahlvektor (λx12, nφ12) gekennzeichnet.Die sich aus der Dispersionsbeziehung ergebenden (komplexen) Frequenzen dieser beidenWellen seien mit ωN bzw. ω12 bezeichnet. Das Wellenpaket u1 lässt sich dann wie folgtschreiben:

u1 = u11 exp i(ΘN )+ u∗11 exp −i(ΘN )

+ u12 exp i(Θ12)+ u∗12 exp −i(Θ∗12) (4.17)


mit

ΘN (x, φ, t) = λxNx+ nφNφ− ωN t

Θ12(x, φ, t) = λx12x+ nφ12φ− ω12t

Θ∗12(x, φ, t) = λx12x+ nφ12φ− ω∗12t (4.18)

Wobei u11 und u12 die Amplituden der neutralen bzw. angefachten Wellen sind.Es wird darauf hingewiesen, dass die Phase ΘN keine komplex-konjugierte Größe besitzt,da die Welle mit dieser Phase sich genau auf der neutralen Stabilitätsfläche befindet.

Der Amplitudenparameter εA

Ein wichtiger Punkt in der Arbeit von Stewartson und Stuart ist die Definition des Am-plitudenparameters εA und seine Verbindung mit dem komplexen Anteil der Frequenz desWellenpakets. Da das Wellenpaket in der Nähe der neutralen Stabilitätsfläche angewendetwird, kann die Dispersionsbeziehung für ω12 als eine Taylor-Entwicklung in der Umgebungder neutralen Stabilitätsfläche geschrieben werden. Diese ist eine Funktion des Wellenzahl-vektors und der Strömungsparameter ω(λx, nφ;Re,Zw, Sa), welche wie folgt darstellbarist:

ω12 ≈ ωN +

(∂ω

∂λx

)

N

(λx12 − λxN ) +

(∆ω

∆nφ

)

N

(nφ12 − nφN )

+

(∂ω

∂Re

)

N

(Re12 −ReN ) +

(∂ω

∂Zw

)

N

(Zw12 − ZwN )

+

(∂ω

∂Sa

)

N

(Sa12 − SaN ) + ... (4.19)

Wobei der Differenzenquotient,(

∆ω∆nφ

)N

, in (4.19) das diskrete Gegenstück der partiellenAbleitung von ω nach nφ darstellt, da nφ eine ganze Zahl ist.

Da die partiellen Ableitungen im Parameterraum komplexe Größen sind, kann die Fre-quenz ω12 in ihren Real- und Imaginärteil aufgeteilt werden:

ω12 ≈ ωN +

[(∂ω

∂λx

)

Nr

(λx12 − λxN ) +

(∆ω

∆nφ

)

Nr

(nφ12 − nφN )

+

(∂ω

∂Re

)

Nr

(Re12 −ReN ) +

(∂ω

∂Zw

)

Nr

(Zw12 − ZwN )

+

(∂ω

∂Sa

)

Nr

(Sa12 − SaN )

]+ i

[(∂ω

∂λx

)

Ni

(λx12 − λxN )

+

(∆ω

∆nφ

)

Ni

(nφ12 − nφN ) +

(∂ω

∂Re

)

Ni

(Re12 −ReN )

+

(∂ω

∂Zw

)

Ni

(Zw12 − ZwN ) +

(∂ω

∂Sa

)

Ni

(Sa12 − SaN )

](4.20)

Ein entscheidender Schritt ist, die Verknüpfung der Frequenz des Wellenpakets mit denStrömungsparametern, die auf der angefachten Seite des Stabilitätsdiagramms liegen. Hier-für wird der in (4.19) auftretende Unterschied in den Wellenzahlen, (λx12 − λxN ) und


Ringspaltströmung

(nφ12 − nφN ) selbst durch eine lineare Kombination der Differenz in Strömungsparame-tern wie folgt ausgedrückt:

λx12 − λxN = αλRe(Re12 −ReN ) + αλSa(Sa12 − SaN ) + αλZw(Zw12 − ZwN )

nφ12 − nφN = αnRe(Re12 −ReN ) + αnSa(Sa12 − SaN ) + αnZw(Zw12 − ZwN )(4.21)

In (4.21) sind die Größen αλRe, αλSa , αλZw , αnRe, αnSa , αnZw durchweg reell, da dielinken Seiten dieser Gleichungen ebenfalls reell sind. Ferner sind für das Ergebnis (nφ12−nφN ) nur ganzzahlige Werte zulässig.Nach dem Einsetzen von (4.21) in (4.20) zeigt sich, dass der Imaginärteil der Frequenzeine Funktion der Strömungsparameter ist. Ebenso wie die Herleitung von Stewartson undStuart steht auch in dieser Arbeit der Amplitudenparameter εA in Verbindung mit demImaginärteil der Frequenz des Wellenpakets. Das heißt der Amplitudenparameter, mit demdie asymptotische Entwicklung in (4.1) geschrieben ist, wird durch die inverse Zeitskalades Wellenpakets ω12i definiert.

εA = ω12i ≈[αλRe

(∂ω

∂λx

)

Ni

+ αnRe

(∆ω

∆nφ

)

Ni

+

(∂ω

∂Re

)

Ni

](Re12 −ReN )

+

[αλSa

(∂ω

∂λx

)

Ni

+ αnSa

(∆ω

∆nφ

)

Ni

+

(∂ω

∂Sa

)

Ni

](Sa12 − SaN )

+

[αλZw

(∂ω

∂λx

)

Ni

+ αnZw

(∆ω

∆nφ

)

Ni

+

(∂ω

∂Zw

)

Ni

](Zw12 − ZwN )

(4.22)

Aus dem obigen Ansatz ist zu entnehmen, dass der Amplitudenparameter εA von der ge-wichteten Summe der Abweichungen zwischen den tatsächlichen Strömungsparameternund den neutralen Strömungsparametern abhängt. Darüber hinaus zeigt sich, dass sich dasVorzeichen der Amplitudenparameter als eine Funktion der gewichteten Summe der parti-ellen Ableitungen der Dispersionsbeziehung nach den Wellen- und Strömungsparameternergibt. Daraus folgt, dass der Amplitudenparameter εA von der Topologie und von der Dif-ferenz der Strömungsparameter in der Umgebung der neutralen Stabilitätsfläche abhängt.Mit Hilfe des bestimmten Amplitudenparameters lässt sich der Standort vonu12 expi(Θ12) + c.c. ermitteln. Die sogenannte zweite Welle ist von der Welle, die aufder neutralen Stabilitätsfläche liegt, eine kleine Distanz entfernt. Dieser Abstand wird durchden Amplitudenparameter εA charakterisiert.Ferner ist an dieser Stelle ein signifikanter Unterschied zwischen dem linearen Problemund dem nichtlinearen Problem hervorzuheben. Während in der Lösung des linearen Pro-blems die Amplituden der periodischen Anteile - diese sind die Eigenfunktionen - als eineFunktion nur von der Variablen y sind, hängen jetzt u11 und u12 zusätzlich von der skalarenGröße B(ξx, T ) ab. Daraus folgt, dass das in der Umgebung der neutralen Stabilitätsflächedefinierte Wellenpaket nun wie folgt aussieht:

u1 = u11 exp i(ΘN )+ u∗11 exp −i(ΘN )

+ u12 exp i(Θ12)+ u∗12 exp −i(Θ∗12)

= BNAN exp i(ΘN )+B∗NA∗N exp −i(ΘN )

+ (BN + εAB12)(AN + εAA12) exp i(ΘN + εAδΘ)

+ (BN + εAB12)∗(AN + εAA12)∗ exp −i(ΘN + εAδΘ)∗ (4.23)


Wobei die Größen (εAB12), (εAA12) und (εAδΘ) im Ansatz (4.23) zum Ausdruck bringen,dass die Funktionen, die die zweite Welle darstellen, kleine Abweichungen von den ent-sprechenden Funktionen für die auf der neutralen Stabilitätsfläche liegende Welle sind.Schließlich wird für den weiteren Verlauf der Arbeit das Wellenpaket wie folgt umgeschrie-ben:

u1 = 2BNAN exp i(ΘN )+ 2B∗NA∗N exp −i(ΘN )

+ εA(B12AN +BNA12 +BNAN (iδΘ)) exp i(ΘN )

+ εA(B∗12A∗N +B∗NA∗12 +B∗NA∗N (−iδ∗Θ)) exp −i(ΘN ) (4.24)

Darüber hinaus werden im Rest dieser Arbeit vom Wellenpaket u1 nur die ersten zweiGlieder auf der rechten Seite in (4.24) beibehalten,

u1 = 2BNAN exp i(ΘN )+ 2B∗NA∗N exp −i(ΘN )+O(εA), (4.25)

da in der asymptotischen Entwicklung für u in (4.1) u1 mit ε12

A multipliziert ist. Dadurchspielen nur die ersten zwei Glieder in (4.24) wirklich eine Rolle zu jeder Gleichung imGleichungssystem (4.6).Der Zusammenhang zwischen dem Ansatz in (4.25) und den Größen (kinetische Energie,Geschwindigkeits–Druck–Korrelation und Tripelkorrelationen), die in der Turbulenzmo-dellierung vorkommen, wird im Anhang I erläutert.

4.4. Gleichungen für die Geschwindigtkeitsstörungen zuden Ordnungen O(ε

12

A), O(εA) und O(ε32

A)

Nach der Definition der Operatoren D1, D2, D3 in (4.10; 4.11; 4.14), und der Definitionder Lösungsstruktur für das Wellenpaket in (4.24) wird die Lösung für u1 im Glei-chungssystem (4.6) gesucht. Das bedeutet in dieser Arbeit, dass die radiale Verteilung derAmplitude des Wellenpakets AN (y) für die in der Umgebung der neutralen Stabilitätsflä-che liegenden gegebenen Wellenzahlen und Strömungsparameter berechnet wird und eineEvolutions-Gleichung für die langsame Entwicklung des anderen Anteils der AmplitudeB (ξx, T ) hergeleitet wird.Mit der Annahme, dass die Lösung für u in der Form einer asymptotischen Entwicklunggesucht und der Operator D in die neuen Skalen umformuliert wird, müssen die Lösungenfür u1, u2 und u3 getrennt und systematisch berechnet werden. Während für die führendeOrdnungO(ε

12

A) die Lösung u1 durch ein Eigenwertproblem geschildert wird und die FormAN (y) der Störamplitude ermittelt werden kann, werden im Gleichungssystem (4.6) füru2 und u3 inhomogene Differentialgleichungen dargestellt, in deren linker Seite sich derselbe Operator D1 befindet, der nicht invertierbar ist. Die Einführung von Lösbarkeitsbe-dingungen zur Ermittelung von u2 und u3 hat die Herleitung der Gruppengeschwindigkeitdes Wellenpakets u1 sowie die Herleitung der sogenannten Ginzburg-Landau-Gleichungzur Folge, welche die Amplitudenevolution B (ξx, T ) des Wellenpakets beschreiben kann.Im nächsten Abschnitt werden stufenweise im Gleichungssystem (4.6) zu jeder Ordnungdie Lösungen für u1, u2 und u3 berechnet, sowie gegebenenfalls die Lösbarkeitsbedin-gungen eingeführt, bis die Evolutions-Gleichung für die Amplitude des Wellenpakets u1

aufgestellt ist.


Ringspaltströmung

4.4.1. Die Lösungsform des führenden Terms O(ε12A)

Die Gleichung, die zu dieser Ordnung das Wellenpaket bestimmt, sieht wie folgt aus:

D1u1 = 0, (4.26)

wobei der Operator D1 und die Lösungsform für u1 in (4.10) bzw. in (4.25) zu finden sind.Die Gleichung in (4.26) ist ein klassisches Eigenwertproblem. Die Bedingung für nicht-triviale Lösungen von u1 ist, dass der Operator D1 nicht invertierbar ist. Der Ansatz in(4.25) stellt die Lösung für die Gleichung bereit. Für den führende Term u1 kann in dieserOrdnung die radiale Abhängigkeit der Amplitude des Wellenpakets AN berechnet wer-den. Diese stellt die Form bzw. die Verteilung des Wellenpakets in der Spaltweite für diegegebenen Wellenzahlen (λxN ; nφN ) und Strömungsparameter (ReN ; ZwN ; SaN ) dar. Je-doch bleibt die skalare Größe BN unbekannt. Die Aufgabe besteht also bei den nächstenOrdnungen O(εA), O(ε

32

A) in (4.6) in der Aufstellung der Bestimmungsgleichungen für dieKonstante BN , die von langskaligen Variablen abhängt. Für das Wellenpaket u1 soll eineÄnderung der Amplitudenform sowohl in der Axialrichtung als auch in der Zeit betrachtetwerden. Die Nichtlinearitäten beeinflussen diese Änderung (Evolution) der Amplitude inden neuen eingefügten langen Skalen.Im Hinblick auf die Bestimmung der skalaren Größe BN sollen die nächsten Gleichungenfür die höheren Ordnungen als Hilfsmittel betrachtet werden. Eine vollständige Lösungfür u2 und u3 ist nicht das Ziel der Herleitung dieser Ordnungen, vielmehr ist nur eineAussageform für BN darzustellen. Im Laufe der nächsten Abschnitte wird die vorherigeÄußerung deutlich werden.Um die ganze Form des führenden Terms u1 lösen zu können, ist eine systematische Vor-gehensweise anzuwenden. Bei der Ordnung O(εA) wird die Lösungsstruktur für u2 her-

geleitet. Wenn die Lösungsstruktur für u2 bekannt ist, wird diese bei der Ordnung O(ε32

A)zusammen mit der Lösungsstruktur von u1 benutzt, um die nichtlineare Evolutionsglei-chung für BN zu bestimmen.

4.4.2. Die Lösungsform der Ordnung O(εA)

Als Vorbereitung für die Lösung von u2 ist an dieser Stelle eine kurze Bestandsaufnah-me über die Herleitung einiger Struktureigenschaften der Nichtlinearitäten angebracht. DieNichtlinearitäten treten in der Gleichung dieser Ordnung (εA) auf, wie in (4.3) dargestelltist.Wie aus der Navier-Stokes-Gleichungen bekannt und auf die Orr-Sommerfeld- Squire-Gleichungen übertragbar ist, entstehen infolge der Schwankungsbewegung scheinbareSpannungen mit der Form uu (siehe Schlichting [57]). Diese Spannungen lassen sich alsTensor schreiben und werden als Reynolds-Spannungstensor bezeichnet. Im vorliegendenProblem ergibt sich ebenfalls ein Reynolds-Spannungstensor, wie in (4.3) ersichtlich ist.Aufgrund dessen ist es notwendig seine Struktur zu kennen, um zu wissen, wie seine Ent-wicklung in der Strömung die Amplitudemodulation für BN beeinflussen kann. Im folgen-den wird auf die Berechnung dieses Tensors eingegangen, wenn das Wellenpaket schwachangefacht ist und die nichtlinearen Terme auf der rechten Seite der Orr-Sommerfeld- undSquire-Gleichung eine Rolle im Gleichungssystem (4.6) spielen.

Behandlung der Nichlinearitäten zur Lösungsfindung von u2

Ein Teil der Lösungsstruktur für u2 zur Ordnung O(εA) in (4.6) entsteht aufgrund derauftretenden, nichtlinearen eigenen Wechselwirkungen des Wellenpakets u1, welche neuehöhere Harmonische im Problem erzeugen. Die Nichtlinearität ergibt sich aus der Multi-


plikation von u1 in (4.25) mit sich selbst. Anhand der folgenden Tabelle wird diese Multi-plikation durchgeführt, in der die erste Spalte und erste Zeile den Vektor u1 enthalten:

PPPPPPPP↓ u1

u1 → 2BNAN exp(iΘN ) 2B∗NA∗N exp(−iΘN )

2BNAN 4B2N [AN ⊗AN ] 4BNB

∗N [AN ⊗A∗N ]

exp(iΘN ) exp(i2ΘN ) exp(0)

2B∗NA∗N 4B∗NBN [A∗N ⊗AN ] 4B∗N2 [A∗N ⊗A∗N ]

exp(−iΘN ) exp(0) exp(−i2ΘN )

Tabelle 4.1.: Struktur des Tensors u1u1 zur Ordnung O(εA)

Aus der Tabelle 4.1 lässt sich nun die Struktur des Tensors u1u1 herleiten:

u1 ⊗ u1 = Γ(2)2 + Γ

(2∗)2 + Γ

(0)2 = 4B2

N [AN ⊗AN ] exp 2i(ΘN )

+ 4B∗N2 [A∗N ⊗A∗N ] exp −2i(Θ∗N )

+ 4BNB∗N [AN ⊗A∗N + A∗N ⊗AN ] (4.27)

Wobei Γ(2)2 , Γ

(2∗)2 und Γ

(0)2 die verschiedenen Phasenanteile (doppelte Periode und freie

Periode) des Tensors u1u1 darstellen. Die in der Klammer geschlossene hochgestellte Zahlbezeichnet die Periodizität des entsprechenden Terms.Als Spaltenvektor kann man u1 wie folgt schreiben:

u1 =[u1r u1φ u1x

]T(4.28)

Das heißt, dass jede Komponente des Vektors die folgende Form hat:

u1r = 2BNANr exp i(ΘN )+ c.c.

u1φ = 2BNANφ exp i(ΘN )+ c.c.

u1x = 2BNANx exp i(ΘN )+ c.c. (4.29)

Mit (4.28) lässt sich das Tensorprodukt wie folgt schreiben:

u1 ⊗ u1 =

u1ru1r u1ru1φ u1ru1x

u1φu1r u1φu1φ u1φu1x

u1xu1r u1xu1φ u1u1x

(4.30)

An dieser Stelle sei noch darauf hingewiesen, dass jede Komponente des Tensors eineSumme von vier nichtlinearen Termen ist. Als Beispiel wird die Tensorkomponente u1xu1φ

gezeigt:

u1xu1φ = Γ2xφ = Γ(2)2xφ + Γ

(2∗)2xφ + Γ

(0)2xφ

= 4BN2 [ANxANφ] exp 2i(ΘN )+ 4B∗N

2 [A∗NxA∗Nφ]

exp −2i(ΘN )

+ 4BNB∗N

[ANxA

∗Nφ + A∗NxANφ

](4.31)

Die anderen Komponenten des Tensors lassen sich mit dem entsprechenden Austausch derRichtungskomponenten berechnen.Da bereits erklärt wurde, dass das Produkt u1u1 mit der Entstehung der Reynolds-Spannungen zusammenhängt und auf der rechten Seite der Gleichungen höherer Ordnungauftritt, seien im folgenden einige Struktureigenschaften, die sich als bedeutend erweisenwerden, zusammengefasst:


Ringspaltströmung

• Das Tensorprodukt u1u1 ist eine Summe von Termen verschiedener Periodizität.Diese werden die Form der Lösung für u2 beeinflussen und sollen in Betracht gezo-gen werden.

• Zwei Anteile sind räumlich und zeitlich periodenfrei. Dies wird zur Folge haben,dass diese periodenfreien Anteile die Mittelung über eine räumliche Periode überle-ben werden. Daraus ergibt sich der Reynolds-Spannungstensor (siehe 5).

• Da in der Ordnung O(εA) die Nichtlinearitäten keinen Term mit der Periode ΘN

erzeugen, erwartet man eine Resonanz zwischen dem führenden Term u1 und denNichtlinearitäten in der Ordnung O(ε

32

A).

Herleitung der Lösungsstruktur für u2

Die Gleichung dieser Ordnung ist die Folgende:

D1u2 = −D2u1 + N2 (4.32)

Wie bereits erwähnt, lässt der Operator D1 keine Inverse zu. Aus diesem Grund istes notwendig eine Lösbarkeitsbedingung für die Lösungen der Gleichungen (4.32) zuverwenden. Die Einführung einer Lösbarkeitsbedingung ermöglicht die Existenz von u2

und somit auch die Entwicklung für u in (4.1).Nach einem ersten Blick auf die Gleichung in (4.32) wird angenommen, dass die Lösungs-truktur für u2 nach der rechten Seite von (4.32) eingerichtet wird. Diese besteht aus zweiTeilen, ein nichtlinearer Term N2, der Ableitungen von dem Tensorprodukt (4.27) nachden kleinen Skalen (t, x) darstellt und der Term D2u1, der Ableitungen von u1 sowohlnach der langen Skalen ξx als auch nach den kleinen Skalen (t, x) beinhaltet.Besonders beachtenswert ist in (4.27), dass u1u1 eine Summe von zwei Termen mitunterschiedlichen periodischen Eigenschaften darstellt: ein aperiodischer Anteil und einAnteil mit der doppelten Periode (2θN ). Basierend auf dieser Struktur lässt sich für N2 diegleiche Gestalt übernehmen, welche sich in der folgenden Summe wiederspiegelt:

N2 = N(2)

2 exp2i(ΘN )+ N(2∗)

2 exp−2i(ΘN )+ N(0)

2 , (4.33)

wobei die Exponenten die Periodizität der entsprechenden Anteile darstellen.Andererseits kann die Größe D2u1 in (4.32) mit einem Term der Periodizität ΘN zu derStruktur von u2 beitragen, da u1 in den kleinen Skalen nur von ΘN abhängt und dieAnwendung des Operators D2 auf u1 keine neue Periodizität hervorruft.Schließlich gibt die Struktur von N2 zusammen mit D2u1 den Anlass für eine Definitionvon u2:

u2 = u(1)2 expi(ΘN )+ u

(1)∗2 exp−i(ΘN )+ u

(2)2 exp2i(ΘN )

+ u(2)∗2 exp−2i(ΘN )+ u

(0)2 + u2hom (4.34)

Wobei u2hom die Lösung des entsprechenden homogenen Problems in Gl. (4.32) ist.Die Grundstruktur für die Lösung von u2 ist aufgestellt. Die Festlegung der Amplitudenu

(2)2 , u(0)

2 und u(1)2 wird schrittweise im Anhang E durchgeführt. Im Folgenden werden die

als relevant im Anhang E identifizierten Eigenschaften der Herleitung für die Amplituden-struktur von u2 dargestellt:

• Für die Bestimmung der Amplitudenstruktur u(2)2 wird das folgende Gleichungssy-

stem gelöst:D1

(u

(2)2 exp2i(ΘN )

)= N

(2)2 exp2i(ΘN ) (4.35)


Da die Periodizität in (4.35) 2ΘN ist, lässt sich die Linke Seite in (4.35) invertieren.Daraus ergibt sich, dass u(2)

2 folgende Gestalt annimmt:

u(2)2 = 4B2

Nw(2)2 ; u

(2)∗2 = 4B∗2N w

(2)∗2 (4.36)

Wobei die Amplitude w(2)2 und ihr inverses Gegenstück w

(2)∗2 sich aus der Invertie-

rung ergeben.Die Lösung für u(2)

2 ist für die endgültige Lösungsform von u1 von Nöten, da diese

bei der nächsten OrdnungO(ε32

A) in den Nichtlinearitäten einen Term mit PeriodizitätiΘN hervorrufen, wie im Tabelle 4.2 in 4.4.3 zu sehen ist.

• Aus der Anwendung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen auf u(0)2 ergibt

sich, dass u(0)2 gleich null ist. Daher wird für die Bestimmung der Amplitudenstruk-

tur von u(0)2 die ursprünglichen Bewegungsgleichungen, (2.8, 2.7, 2.6) benutzt. Die

Verwendung von den Navier-Stokes-Gleichungen führt auf die folgende Amplitu-denstruktur für u(0)

2 :

u(0)2 = 4BNB

∗Nw

(0)2 (4.37)

Wobei die Amplitude w(0)2 sich aufgrund der Invertierung in (E.17) herausstellt.

Die Amplitudenstruktur von u(0)2 ist ebenso wie von u

(2)2 notwendig für die endgülti-

ge Lösungsform von u1. u(0)2 erzeugt in Wechselwirkung mit u1 eine Nichtlinearität,

welche eine Periodizität von ΘN hat, siehe Tabelle 4.2 in 4.4.3.

• Für die Bestimmung von u(1)2 ist das Gleichungssystem

D1

(u

(1)2 expi(ΘN )+ c.c.

)= −D2 (2BNAN expi(ΘN )+ c.c.) (4.38)

nicht invertierbar, da die Periodizität der Lösung ΘN ist. Daher ist die Heranziehungeiner Lösbarkeitsbedingung notwendig. Mit dem Einsetzen der Lösbarkeitsbedin-gung kann in (4.38) die Gruppengeschwindigkeit

(∂ω∂λx

)N,r

für das Wellenpaket u1

bestimmt werden. Die Ermittlung der Gruppengeschwindigkeit erlaubt die Invertie-rung der linken Seite in (4.38). Daraus ergibt sich, dass die Amplitudenstruktur füru

(1)2 wie folgt aussieht:

u(1)2 =

∂2BN∂ξx

w(1)2 ; u

(1)∗2 =

∂2B∗N∂ξx

w(1)∗2 (4.39)

wobei die Amplitude w(1)2 sich aufgrund der Invertierung in (4.38) herausstellt.

Schließlich lässt sich u2 durch das Einsetzten von (4.36), (4.37), (4.39) und (4.34) festle-gen.

u2 =∂2BN∂ξx

w(1)2 expi(ΘN )+

∂2B∗N∂ξx

w(1)∗2 exp−i(ΘN )+ 4B2

Nw(2)2 exp2i(ΘN )

+ 4B∗2N w(2)∗2 exp−2i(ΘN )+ 4BNB

∗Nw

(0)2 + u2hom (4.40)

Die gesamte Lösungsform für u2 kann in Bezug auf die räumliche Verteilung in der radia-len Richtung bestimmt werden. Diese Eigenschaft wird durch die Funktion w gekennzeich-net. Jedoch bleibt der Betrag BN (ξx, T ) weiterhin unbekannt. Aus diesem Grund ist bei

der nächsten Ordnung O(ε32

A) die Herleitung einer neuen Gleichung erforderlich, die letzt-endlich den Betrag für BN (ξx, T ) wiedergeben kann. Anschließend wird beim nächstenAbschnitt die Evolutionsgleichung für die Amplitude BN hergeleitet.


Ringspaltströmung

4.4.3. Die Lösungsform der Ordnung O(ε32A)

Die Gleichung, die zur Ordnung O(ε32

A) gehört, lautet:

D1u3 = −D3u1 −D2u2 + N3 (4.41)

In (4.41) hat u1 eine Periodizität gleich ΘN . Damit alle Terme in (4.41) in Resonanz sindund ein Gewicht (eine Bedeutung) für die Herleitung der endgültigen Evolutionsgleichungfür die Amplitude BN (ξx, T ) haben, werden nur die Terme in (4.41) berücksichtigt, dieeine Periodizität ΘN aufweisen.

Der nichtlineare Term (u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1)

Ebenso wie bei der OrdnungO(εA) wird nun als Vorbereitung für die Bestimmung von N3

die Struktur der zur Ordnung O(ε32

A) gehörenden Nichtlinearität hergeleitet. Unter Berück-sichtigung von (4.3) ist die Struktur für die Nichtlinearität gleich (u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1).Da die Lösungsformen für u1 und u2 in (4.25) bzw. in (4.40) gegeben sind, werden diebeteiligten Geschwindigkeiten in einer Tabelle multipliziert. Die erste Zeile und die ersteSpalte der Tabelle enthalten die Störungsgeschwindigkeiten u1 bzw. u2.

PPPPPPPP↓ u2

u1 → 2BNAN exp(iΘN ) 2B∗NA∗N exp(−iΘN )

2∂BN∂ξxw

(1)2 4∂BN∂ξx

BN

[w

(1)2 ⊗AN

]4∂BN∂ξx

B∗N

[w

(1)2 ⊗A∗N

]

exp(iΘN ) exp(i2ΘN ) exp(0)

2∂B∗

N

∂ξxw

(1)∗2 4

∂B∗N

∂ξxBN

[w

(1)∗2 ⊗AN

]4∂B∗

N

∂ξxB∗N

[w

(1)∗2 ⊗A∗N

]

exp(−iΘN ) exp(0) exp(−i2ΘN )

4B2Nw

(2)2 8B3

N

[w

(2)2 ⊗AN

]8B2

NB∗N

[w

(2)2 ⊗A∗N

]

exp 2i(ΘN ) exp(i3ΘN ) exp(iΘN )

4B∗2N w(2)∗2 8B∗2N BN

[w

(2)∗2 ⊗AN

]8B∗N

3[w

(2)∗2 ⊗A∗N

]

exp(−2iΘN ) exp(−iΘN ) exp(−i3ΘN )

4BNB∗Nw

(0)2 8B∗NB

2N

[w

(0)2 ⊗AN

]8B∗2N BN

[w

(0)2 ⊗A∗N

]

exp(iΘN ) exp(−iΘN )

Tabelle 4.2.: Struktur des Tensors (u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1) zur Ordnung O(ε32

A)

Von Bedeutung ist in diesem Fall der Anteil der Nichtlinearität, der in der Tabelle (4.2) einePeriode ΘN enthält. Der Beitrag der Nichtlinearität in (4.41) sieht dann wie folgt aus:

(u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1)(1) = Γ(1)3 + Γ

(1∗)3

= 8B2NB∗N

[A∗N ⊗w

(2)2 + w

(2)2 ⊗A∗N

]exp(iΘN )

+ 8B∗2N BN

[AN ⊗w

(2)∗2 + w

(2)∗2 ⊗AN

]exp(−iΘN )

+ 8B∗NB2N

[AN ⊗w

(0)2 + w

(0)2 ⊗AN

]exp(iΘN )

+ 8B∗2N BN

[A∗N ⊗w

(0)2 + w

(0)2 ⊗A∗N

]exp(−iΘN )

(4.42)


Darüber hinaus istBNB∗N = |BN |2. Die obige Gleichung kann demnach auch geschriebenwerden als:

Γ(1)3 + Γ

(1∗)3 = 8 |BN |2BN

[A∗N ⊗w

(2)2 + w

(2)2 ⊗A∗N

+AN ⊗w(0)2 + w

(0)2 ⊗AN

]exp(iΘN )

+ 8 |BN |2BN[AN ⊗w

(2)∗2 + w

(2)∗2 ⊗AN

+A∗N ⊗w(0)2 + w

(0)2 ⊗A∗N

]exp(−iΘN ) (4.43)

Herleitung der Evolutionsgleichung für BN

Anhand der Struktur der Terme auf der rechten Seite in (4.41) lässt sich eine Lösungsformfür u3 annehmen. Daraus folgt, dass u3 vier verschiedene Phasenanteile enthält, nämlich0, ΘN , 2ΘN und 3ΘN .

u3 = u(0)3 + u

(1)3 exp(iΘN ) + u

(2)3 exp(2iΘN ) + u

(3)3 exp(3iΘN ) + c.c. (4.44)

Von Interesse ist allerdings die Phase ΘN , bei der eine Resonanz zwischen allen Termen in(4.41) stattfinden kann.Wenn in (4.41) nur die Terme mit Periodizität ΘN betrachtet werden, wird diese wie folgtdargestellt:

D1u(1)3 = −D3u1 −D2u

(1)2 + N

(1)3 (4.45)

Wobei der Exponent gleich eins die Periodizität ΘN darstellt.Bevor in (4.45) eine Lösbarkeitsbedingung eingesetzt wird, da der Operator D1 auf einenTerm mit Periodizität ΘN angewandt wird und dadurch sich die linke Seite nicht invertierenlässt, wird die Struktur der Terme für die rechten Seite in (4.45) dargestellt.

D3u(1)1 =

∂2BN∂T POST + ∂22BN

∂ξ2xPOSξ + 2BNQOS

∂2BN∂T PSqT + ∂22BN

∂ξ2xPSqξ + 2BNQSq

0

D2u(1)2 =

∂22BN∂ξ2x

ROS

∂22BN∂ξ2x

RSq

∂22BN∂ξ2x

RCo

N(1)

3 =

8 |BN |2BNOOS

8 |BN |2BNOSq

0

(4.46)

Die Herleitung und Bedeutung der einzelnen Elemente in (4.46) sind in Anhang F darge-stellt.Ein wichtiger Schritt für die Bestimmung von BN ist, die gesamte Struktur der Gleichun-gen der rechten Seite in (4.41) zu betrachten und diese zu nutzen, um die Evolutionsglei-chung für BN herleiten zu können. Nach der Gestalt der Terme in (4.46) kann die rechte


Ringspaltströmung

Seite des Gleichungssystems in (4.41) wie folgt geschrieben werden:

D1u(1)3 = −D3u1 −D2u

(1)2 + N

(1)3

=

−∂2BN∂T POST − ∂22BN

∂ξ2x(POSξ + ROS)− 2BNQOS + 8 |BN |2BNOOS

−∂2BN∂T PSqT − ∂22BN

∂ξ2x(PSqξ + RSq)− 2BNQSq + 8 |BN |2BNOSq

−∂22BN∂ξ2x

RCo

(4.47)

Die linke Seite in (4.47) verfügt über einen Operator, der nicht invertierbar ist. Damit dieLösung u

(1)3 existieren kann, muss also die rechte Seite in (4.47) eine Lösbarkeitsbedingung

erfüllen.Die Lösbarkeitsbedingung wird in (4.47) wie folgt eingesetzt:

• Skalarmultiplikation des konjugiert-komplexen der adjungierten Lösung A†∗ mit

beiden Seiten des Gleichungssystems in (4.47).

• Integration der Skalarmultiplikation zwischen −1 ≤ y ≥ 1

• Nach der Definition des adjungierten Problems kann, die daraus resultierende linkeSeite gleich null gesetzt werden.

Daraus ergibt sich, dass die Amplitude Modulation des führenden Terms u1 die Ginzburg-Landau-Gleichung ist.

∂BN∂T

= −σ∂2BN∂ξ2x

− kBN + 4l |BN |2BN (4.48)

wobei

σ =

∫ 1

−1

(A†r∗(POSξ + ROS) + A†φ

∗(PSqξ + RSq) + A†x

∗(RCo)

)dy

∫ 1

−1

(A†r∗(POST ) + A†φ

∗(PSqT )

)dy

k =

∫ 1

−1

(A†r∗(QOS) + A†φ

∗(QSq)

)dy

∫ 1

−1


∗(PSqT )

)dy

l =

∫ 1

−1

(A†r∗(OOS) + A†φ

∗(OSq)

)dy

∫ 1

−1


∗(PSqT )

)dy

(4.49)

Somit zeigt die Untersuchung, dass die langsame Modulation der Amplitude einer Störung,die als ein Wellenpaket betrachtet wird, durch die Nichtlinearitäten beeinflusst wird.Aus der Aufstellung der Lösbarkeitsbedingung resultiert eine nichtlineare Evolutionsglei-chung für die Amplitude BN , deren Koeffizienten von den Lösungen der linearen Stabili-tätstheorie abhängen. Dies ist die sogenannte komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung.Für die Bestimmung der Koeffizienten müssen die Lösungen des Ausgangsproblems unddes adjungierten Problems ausgewertet werden.


Obwohl die lineare Stabilitätstheorie eine Aussage über die Stabilitätscharakteristik derGrundströmung liefern kann, scheitert diese, da die als klein unterstellten Störungen im


instabilen Bereich des Stabilitätsdiagramms exponentiell wachsen können. Wenn die Stor-üngsamplitude nach einer Zeit eine gewisse Größe erreicht hat, ist der Einfluss der nicht-linearen Terme im Gleichungssystem Du = N so wichtig geworden, dass die Nichtli-nearitäten nicht weiter vernachlässigbar sind. Die schwach nichtlineare Theorie hat daherzum Ziel den linearen Ansatz zu erweitern, in dem Sinne, dass die Wirkung der Nichtlinea-ritäten (Reynolds-Spannungen) in der Lösungsform der Störungsamplitude berücksichtigtwird. Dies wird durch die asymptotische Entwicklung des Gleichungssystems Du = Ndurchgeführt. Das bedeutet, dass die Ableitungen des Operators D , die Parameter, sowiedie Geschwindigkeitsstörung u asymptotisch entwickelt werden müssen. Daraus resultiertein Gleichungssystem, das schrittweise für jede Größenordnung (ε

12

A, εA, ε32

A) gelöst wird.Das Ziel dieses Kapitels ist dann die Anwendung der schwach nichtlinearen Theorie aufdie drallbehaftete Ringspaltströmung. Das heißt, dass die in Kapitel 2 hergeleiteten Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen hier asymptotisch entwickelt werden.In Anlehnung an Stewartson und Stuart [64] wird in dieser Arbeit für die drallbehaftetenRingspaltströmung die Wachstumsrate ωNi mit einem kleinen Amplitudenparameter εAum die neutrale Stabilitätsfläche in Verbindung gebracht. Daraus ergibt sich, dass εA vonder gewichten Summe der Abweichungen zwischen den tatsächlichen Strömungsparame-tern und den neutralen Strömungsparametern abhängt. Darüber hinaus zeigt sich, dass sichdas Vorzeichen der Amplitudenparameter als eine Funktion der gewichteten Summe derpartiellen Ableitungen der Dispersionsbeziehung nach den Wellen- und Strömungspara-metern ergibt.Für die Berücksichtigung der Nichtlinearitäten wird ein schwach angefachtes Wellenpaketin der Umgebung der neutralen Stabilitätsfläche benutzt. Dies wird in dieser Arbeit als eineSumme von zwei Elementarwellen definiert. Eine liegt auf der neutralen Stabilitätsfläche.Die zweite Welle ist von der Welle, die auf der neutralen Stabilitätsfläche liegt, eine kleineDistanz entfernt. Diese Abweichung wird durch den Amplitudenparameter εA charakteri-siert. Das Wellenpaket ist dann wie folgt definiert: u1 = 2BN (τ, ξx)AN (y) exp[iΘN ] +c.c. . Da für das Wellenpaket das zeitliche Wachstum sowie seine Gruppengeschwindig-keit betrachtet werden, sind über εA die neue Skalen (τ und ξx) in das Strömungsproblemeingeführt. Die Lösungsform des Wellenpakets wird als ein Produkt zwischen einer FormAN exp(iΘN ) und einem Maßstab BN gesucht. Die Form hängt von den kleinen Skalenab und wird durch die lineare Stabilitätstheorie berechnet. Der Maßstab ist eine Funkti-on der langen Skalen und für seine Bestimmung muss die sogenannte Ginzburg-Landau-Gleichung aufgestellt werden. Dieses geschieht stufenweise für jede der drei Ordnungen(ε

12

A, εA, ε32

A):

• Die Amplitudenform AN (y) lässt sich mit der Gleichung der Ordung O(ε12

A) berech-nen. In dieser Ordnung kann lediglich die Form des Wellenpakets erhalten werden,denn der Operator D1, der nicht invertierbar ist, enthält nur Ableitungen nach denkleinen Skalen. Der Betrag des führenden Terms der asymptotischen Entwicklung,BN , bleibt in dieser Größenordnung unbestimmt. Für die Bestimmung der skalarenGrößeBN greift man auf die Gleichungen der OrdnungenO(εA) undO(ε

32

A) zurück.

• In der OrdnungO(εA) wird der Einfluss der Nichtlinearitäten berücksichtigt. Hierbeiist kennzeichnend, dass die Nichtlinearitäten in dieser Ordnung frei von Periodizitä-ten sind. Daraus ergeben sich zwei Dinge. Zum einen findet keine Resonanz zwi-schen dem führenden Term u1 und der Nichtlinearität N2 statt. Zum anderen kanndas Reynolds-Spannungs-Konzept in dem Sinne eingeführt werden, dass die Nicht-linearitäten mit der Grundströmung in Wechselwirkung stehen. Dieses Konzept wirdim Kapitel 5 als Startpunkt für die Definition des Reynolds-Spannungstensors ange-wandt. Die Gleichung für u(1)

2 lässt sich nicht lösen, da die rechte Seite ungleich nullist, und auf der linken Seite der nicht invertierbare Operator D1 steht. Die Einführungeiner Lösbarkeitsbedingung ist nötig. Für die Handhabbarkeit der schwach nichtli-nearen Theorie wird als Vorarbeit das adjungierte Problem hergeleitet und im An-


Ringspaltströmung

hang D aufgestellt. Das konjugiert-komplexe der adjungierten Lösung wird zweimalfür die Einführung einer Lösbarkeitsbedingung verwendet. Zum Einen wird der An-satz für die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets

(∂ω∂λx

)N,r

hergeleitet. Zum

Zweiten wird in der Ordnung O(ε32

A) die Gleichung, welche die Amplitudenmodula-tion des Wellenpakets bestimmt, aufgestellt.

• Erst in der Ordnung O(ε32

A) existiert eine Wechselwirkung zwischen den Nichtlinea-ritäten und den Ableitungen nach den großen Skalen. Hierbei sind nur Terme vonPeriodizität ΘN von Interesse. Auf der linken Seite der Gleichung dieser Ordnungsteht der Operator D1, der nicht invertierbar ist. Das fordert die Einführung einerLösbarkeitsbedingung in der Gleichung, die eine Bestimmung der skalaren GrößeBN ermöglicht. Aus der Aufstellung der Lösbarkeitsbedingung resultiert eine nicht-lineare Evolutionsgleichung für die Amplitude BN , deren Koeffizienten von den Lö-sungen der linearen Stabilitätstheorie abhängen. Dies ist die sogenannte komplexeGinzburg-Landau Gleichung.

5. Eigenschaften des durch die schwachnichtlineare Theorie bestimmtenReynolds-Spannungstensors

Aus der linearen Stabilitätsanalyse zeigt sich bei welchen Wellenzahlen die Elementarwel-len im instabilen Bereich des Stabilitätsdiagramms liegen und somit mit der Zeit wachsen.Durch einen exponentiellen Anwachs der Amplitude der Elementarwellen können die Stör-schwankungen schon sehr bald nicht mehr als klein angenommen werden. Dann verlierendie linearisierten Gleichungen an Gültigkeit und der Effekt der Nichtlinearitäten, die sichim Reynolds-Spannungstensor ausdrücken, soll betrachtet werden. Im vorangegangenenKapitel wurde ein Wellenpaket als Summe von zwei Elementarwellen dargestellt. Dabeiliegt eine auf der neutralen Stabilitätsfläche, die andere, in dem instabilen Bereich des Sta-biltästdiagramms mit geringem Abstand von der ersten Elemtarwelle entfernt. Das Wel-lenpaket bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit, die im Anhang E durch Gleichung(E.25) definiert ist. Mit der Definition des Wellenpakets durch u1 in (4.25) ist es möglichdie Reynolds-Spannungen herzuleiten, die aus der Wechselwirkung zwischen den Rich-tungskomponenten des Wellenpakets resultieren. Nach (4.27) ergibt sich folgender Aus-druck für die Nichtlinearität:

u1iu1j = 4B2N [ANiANj ] exp 2i(ΘN )

+ 4B∗N2 [A∗NiA∗Nj

]exp −2i(Θ∗N )

+ 4BNB∗N

[ANiA

∗Nj + A∗NiANj

]

wobei i und j die Richtungskomponenten des Wellenpakets bezeichnen.Die Komponenten des Reynolds-Spannungstensors sind als eine Mittelung über eine Wel-lenlänge definiert [11, 25, 67]. Das Wellenpaket ist periodisch in Axial- und Umfangsrich-tung. Daher wird die Mittelung über die Wellenlängen 2π

λx, 2πnφ

vorgenommen:

τij = u1iu1j

=λx2π

nφ2π

∫ 2πλx

0

∫ 2πnφ

0

u1iu1j dxdφ

= 4|BN |2[ANiA

∗Nj + A∗NiANj

](5.1)

80Eigenschaften des durch die schwach nichtlineare Theorie bestimmten

Reynolds-Spannungstensors

Der Reynolds-Spannungstensor sieht damit wie folgt aus:

τ =

u1ru1r u1ru1φ u1ru1x

u1φu1r u1φu1φ u1φu1x

u1xu1r u1xu1φ u1xu1x

= 4|BN |2·

2|ANr|2 (ANrA∗Nφ + A∗NrANφ) (ANrA

∗Nx + A∗NrANx)

(ANφA∗Nr + A∗NφANr) 2|ANφ|2 (ANφA

∗Nx + A∗NφANx)

(ANxA∗Nr + A∗NxANr) (ANxA

∗Nφ + A∗NxANφ) 2|ANx|2

(5.2)

Aus (5.2) ist ersichtlich, dass sich die Komponenten des Reynolds-Spannungstensorsjeweils aus einem Maßstab und einer Form zusammensetzen. Der Maßstab, 4|BN |2, isteine Funktion von den langen Skalen, während die Form, (ANiA

∗Nj +A∗NiANj) sich aus

den kleinen Skalen ergibt und von der Radialrichtung abhängt.Der Begriff und die Interpretation des Reynolds-Spannungstensors nach der schwachnichtlinearen Theorie kann mit dem Verfahren Large Eddy Simulation (LES) textcolor-blackin Zusammenhang gebracht werden.In der LES werden die großen Wirbelstrukturen explizit aufgelöst, während die kleinenStrukturen durch ein Modell (in ingenieurwissenschaftlicher Nomenklatur) oder eineParametrisierung (in geowissenschaftlicher Nomenklatur) abgebildet werden [16].Das einfachste Mittel zur Festlegung der großskaligen Strukturen ist über Filterung.Wenn die Navier-Stokes Gleichungen für die großskaligen Komponenten der Ge-schwindigkeit gefiltert werden, enthalten die resultierenden Gleichungen nichtlineareTerme, die die Wirkung der kleinen Skalen auf die großen Skalen darstellen. DieserFeinstruktur-Spannungstensor (subgrid-scale Reynolds stresses) muss modelliert oderparametrisiert werden. Die konventionellen Turbulenzmodelle in der LES greifen dasWirbelviskositätsprinzip von Boussinesq wie z.B. das Smagoringsky Modell auf. DiesesWirbelviskositätsmodell versucht die Wirkung des Feinstruktur-Spannungstensors durcheinen Maßstab und eine Form darzustellen. Das Wirbelviskositätsprinzip von Boussinesqwendet in diesem Fall die Wirbelviskosität als Maßstab und den symmetrischen Anteil desGeschwindigkeitsgradiententensors (Verformungsgeschwindigkeitstensor) als Form an.Im Gegensatz dazu liefert die Theorie von Stewartson und Stuart für die räumlichgemittelten (gefilterten) Gleichungen einen Term für den Reynolds-Spannungstensor,der den Einfluss der Nichtlinearitäten auf die Grundströmung ohne die Anwendungvon Turbulenzmodellen berücksichtigt. Der Maßstab BN ist durch eine nichtlineare,partielle Differentialgleichung gegeben, während die Form aus der linearen Stabilitäts-theorie resultiert. Die Beschreibung der Reynolds-Spannungen ist in diesem Fall aufdie Existenz des Stabilitätsdiagramms eingeschränkt. Es ist jedoch zu berücksichtigen,dass die Methode von Stewartson und Stuart die Wirkung der Reynolds-Spannungennur in der Umgebung der neutralen Stabilitäsfläche wiedergibt, da in diesem Bereichdas Wellenpaket definiert ist. Das Bedeutet, die Reynolds-Spannungen können bei derEntstehung der Turbulenz beschrieben werden. Dieses Prinzip wird hier auf den Fallder drallbehafteten Ringspaltströmung angewandt. Da die Eigenfunktionen der neutralenStabilitätsfläche, AN , aus der linearen Stabilitätstheorie bekannt sind, kann die Form desReynolds-Spannungstensors durch seine Radialverteilung analysiert werden. Der Betrag,4|BN |2, wird für die nächsten Analysen nicht in Betracht gezogen, denn dieser wirkt alseine Verkleinerung oder Vergrößerung der Komponenten des Reynolds-Spannungstensorsund beeinflusst die Form des Tensors nicht.

Eigenschaften des durch die schwach nichtlineare Theorie bestimmtenReynolds-Spannungstensors 81

5.1. Reynolds-Spannungsverteilung für ein ausgewähltesStrömungsbeispiel

Da die Struktur des Reynolds-Spannungstensors in (5.2) durch einen Betrag, BN ,und eine Form gegeben ist, kann die radiale Verteilung (Form) der Reynolds-Spannungskomponenten bei der Entstehung der Turbulenz bestimmt und qualitativ mit inder Fachliteratur zu findenden Daten verglichen werden. Dafür muss die AmplitudenformAN auf der neutralen Stabilitätsfläche berechnet werden. Es ist von Interesse zu untersu-chen, ob die durch lineare Stabilitätstheorie erhaltene Information (Amplitudenform) Hin-weise über die Verteilung der Reynolds-Spannungskomponenten wiedergeben kann. Andieser Stelle soll betont werden, dass die Gegenüberstellung als qualitativ angesehen wer-den muss, der in dieser Arbeit hergeleitete Ausdruck für den Reynolds-Spannungstensorgilt für die Entstehung des Transitionsprozess. Das bedeutet für die Form des Reynolds-Spannungstensors, dass zum Beispiel bei einer ebenen Platte weder die Bildung von Λ-Strukturen (sekundäre Stabilitätsanalyse, siehe [58] ) noch eine vollentwickelte, turbulenteStrömung abgebildet werden kann.Für die gegebene Geometrie des Strömungsproblems wird ein Vergleich für die Vertei-lung der Reynolds-Spannungskomponenten einer Kanalströmung mit folgenden Parame-tern durchgeführt: Re = 5773; λx = 1, 02; nφ = 0; εR → 0; Sa = 0; Zw = 0 sind.Die in der Fachliteratur veröffentlichen Werte der Reynolds-Spannungskomponenten sinddurch Saiki et al. gegeben [56]. In der Arbeit wurden die Unterschiede zwischen den Λ-Strukturen K-Typ und H-Typ (K nach P. Klebanoff und H nach Thorwald Herbert, siehe[58], [59]) in einer Kanalströmung durch eine direkte numerische Simulation untersucht.Im Bezug auf die räumliche Entwicklung der K-Typ-Störungen werden in [56] die Ver-teilungen der Reynolds-Spannungskomponenten in Abhängigkeit von der senkrecht zurWand gerichteten Ortskoordinate y bei verschieden axialen Stationen, x, bestimmt, wiein Abbildung 5.1 schematisch dargestellt. Die Strömung fließt von links nach rechts. DieLänge des Kanales wird durch die halbe Spalthöhe entdimensionert und beträgt 55. Entlangder axialen Richtung sind verschiedene Stationen durch A, x = 2, 61; B, x = 20, 49; C,x = 34, 24; D, x = 44, 55 und E, x = 54, 18 bezeichnet. Die Reynolds-Zahl ist 5000.

x

y

z

A B C D E

Abbildung 5.1.: Darstellung der Kanalströmung

In Abbildung 5.2 werden die Verteilungen des Reynolds-Spannungskomponenten von Sa-iki [56] und die in dieser Arbeit durch die lineare Stabilitätstheorie berechneten Ergeb-nissen qualitativ verglichen. Abbildungen 5.2 (a)-(d) zeigen die axiale bzw. die in der y-Richtung stehende Normalspannungskomponente des Reynolds-Spannungstensors. Abbil-dungen 5.2 (e)-(f) stellen die Schubspannungskomponente u1ru1x dar. Der quadratischerMittelwert w′rms in Spannweitenrichtung wird nicht verglichen, da die Lösung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen in dieser Arbeit für die gegebenen Strömungs- und



Wellenparameter einer Kanalströmung bei der Entstehung der Turbulenz zweidimensio-nal ist, siehe [59]. Für die Gegenüberstellung in Abbildung 5.2 soll nur die Kurve an dermit A markierten Stelle betrachtet werden, denn diese Kurve stellt in [56] die Reynolds-Spannungskomponente für die Entstehung der Turbulenz auf der ersten axialen Positiondar.


(a) Verteilung des axialen quadratischen Mittelwertes u′rms über der Spalthöhe y bei ver-schiedenen axialen Stationen in einer Kanalströmung [56].

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

y

2|A

Nx|2

−1 −0.5 0 0.5 1−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

y

AN

rA* N

x+A

* NrA

Nx

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

y

2|A

Nr|2

(b) Verteilung der Reynolds-Spannungskomponente u1xu1x entlang der Spaltweite, wel-che mit |ANx|2 berechnet wurde.

(c) Verteilung des in der y-Richtung stehenden quadratischen Mittelwertes v′rms über derSpalthöhe y bei verschiedenen axialen Stationen in einer Kanalströmung [56].

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

y

2|A

Nx|2

−1 −0.5 0 0.5 1−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

y

AN

rA* N

x+A

* NrA

Nx

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

y

2|A

Nr|2

(d) Verteilung der in der y-Richtung stehenden Reynolds-Spannungskomponente u1ru1r

entlang der Spalthöhe y, welche mit |ANr|2 berechnet wurde.



(e) Verteilung der Reynolds-Schubspannungskomponente u′v′ über der Spalthöhe y bei ver-schiedenen axialen Stationen in einer Kanalströmung [56].−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

1.5

2

y

2|A

Nx|2

−1 −0.5 0 0.5 1−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

y

AN

rA* N

x+A

* NrA

Nx

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

y

2|A

Nr|2

(f) Verteilung der Reynolds-Schubspannungskomponente u1ru1x entlang der Spalthöhey, welche mit (ANxA

∗Nr + A∗NxANr) berechnet wurde.

Abbildung 5.2.: Vergleich für die Komponenten des Reynolds-Spannungstensors zwischenvon Saiki u.a. [56] berechneten Daten und den in dieser Arbeit berechne-ten Ergebnissen. Nach [56] sind die Reynolds-Spannungskomponenten inden Abbildungen (a), (c) und (e) mit dem quadratischen maximalen Ge-schwindigkeitswert des Poiseuille-Profiles in Abbildung 5.1 entdimensio-niert. Ebenso sind die Reynolds-Spannungskomponenten in den Abbildun-gen mit U2

ref entdimensioniert. Berechnung der Abbildung siehe J.5.

Den Abbildungen 5.2 (a)-(f) kann man entnehmen, dass die Herleitung eines Ausdruckesfür die Verteilungen der Reynolds-Spannungskomponenten bei der Entstehung der Turbu-lenz mittels linearer Stabilitätstheorie möglich ist. Dies bedeutet, dass, obwohl der BetragBN des Reynolds-Spannungstensors nicht betrachtet wurde, kann die gelieferte Informati-on der Amplitude AN genutzt werden, um die Verteilung des Reynolds-Spannungstensorsentlang der Spaltweite zu beschreiben.

5.2. Interpretation des Reynolds-Spannungstensors beiAnwendung der Invariantentheorie

Die durch die schwach nichtlineare Theorie in (5.1) bestimmte Gleichung erlaubt die Be-rechnung des Reynolds-Spannungstensors und seiner Verteilung innerhalb der Spaltwei-te. Die Parametrisierung des Reynolds-Spannungstensors τij in Bezug auf die Skalar-Invarianten des Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen, der im Anhang G in (G.1)als aij =

τijK −

23δij definiert ist, ermöglicht eine analytische Quantifizierung der Aniso-

tropie des Reynolds-Spannungstensors bei der Entstehung der Turbulenz. Die Anisotropie-


Eigenschaften des Reynolds-Spannungstensors können durch die Berechnung der Invarian-ten IIa und IIIa vom Tensor aij in jedem Punkt entlang der Spaltweite y erhalten werden.Als Invarianten bezeichnet man die gebildeten Skalare (IIa, IIIa), die sich unter einer Ko-ordinatentransformation nicht ändern. Nach Jovanovic [29] werden IIa und IIIa wie folgtdefiniert:

IIa = aijaji (5.3a)

IIIa = aijajkaki (5.3b)

wobei in (5.3a) und (5.3b) die einsteinsche Summenkonvention angewendet wird. Wird IIaals Funktion von IIIa geplottet, ergibt sich die sogenannte Anisotropie-Invariantenkarte,wie sie in Abbildung 5.3 dargestellt ist. Die Definitionen und Herleitungen der Eckpunkteund Grenzlinien der Dreiecksfläche finden sich in Anhang G.Aus den Verteilungen der Reynolds-Spannungskomponenten in (5.1) werden nach der De-finitionsgleichung in (G.1) die Anisotropietensoren aij für drei verschiedene Strömungsbe-dingungen –Kanalströmung, drallbehaftete Ringspaltrömung und drallbehaftete Rigspalt-strömung mit gezogenen Innenzylinder– bei der Entstehung der Turbulenz bestimmt unddie zugehörigen Skalar-Invarianten IIa und IIIa nach (5.3b) berechnet. Die Anisotropie-Invariantenkarte wird dann für diese drei Beispiele bei Änderungen der Profile der Grund-strömung dargestellt. Turbulenz kann frühestens entstehen, wenn die kritischen Wellen-parameter der Strömung erreicht werden. Dies impliziert die Bestimmung der Form desReynolds-Spannungstensors nach (5.2) und die entsprechende Berechnung der InvariantenIIa und IIIa bei verschiedenen kritischen Reynolds-, Rotations- und Translations-Zahlen.

5.2.1. Anisotropiezustand des laminar-turbulenten Umschlags einerKanalströmung

Die Anistropie-Invariantenkarte ist für eine Kanalströmung (εR → 0) bei der Entstehungder Turbulenz ermittelt. D.h. für die in der Abbildung 5.2 dargestellten Verteilungen derReynolds-Spannungskomponenten sind die Invarianten IIa und IIIa durch (5.3b) berech-net. −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

y

IIIa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

cr

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

IIIa

IIa

Isotrope−Zweikomponenten−Turbulenz IIIa =−1/36

Einkomponenten−Turbulenz IIIa =2/9

Einkomponenten−Turbulenz

Isotrope−Zweikomponenten−Turbulenz

Zweikomponenten−Turbulenz

Abbildung 5.3.: Anisotropie-Invariantenkarte für die Entstehung der Turbulenz einer Ka-nalströmung. Mit Re = 5773, Sa = 0, Zw = 0, λx = 1, 02, nφ = 0,εR → 0. Berechnung der Abbildung siehe J.5.

Aus Abbildung 5.3 lässt sich feststellen, dass der Kurvenverlauf für die Entstehung derTurbulenz einer Kanalströmung entlang der Zweikomponenten-Turbulenz-Linie zwischen



der Einkomponenten- und der Isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz liegt. Da die Skalar-Invarianten, die auf einer Geraden liegen, durch den Radius y (Werte zwischen −1 und 1)berechnet werden, ist in Abbildung 5.4 IIIa über y aufgetragen, um die Art der Anisotropieals Funktion der Ringspaltposition darzustellen.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

y

IIIa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

cr

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

IIIa

IIa



Einkomponenten−Turbulenz

Isotrope−Zweikomponenten−Turbulenz

Zweikomponenten−Turbulenz

Abbildung 5.4.: Verlauf der Invariante IIIa für eine Kanalströmung entlang der Spaltweitey bei Entstehung der Turbulenz. Berechnung der Abbildung siehe J.5.

Aus Abbildung 5.4 kann man erkennen, dass sich an den Wänden eine Einkomponenten-Turbulenz ergibt. Dies bedeutet, dass der Anisotropiezustand in der kritischen Schicht,wo die Turbulenz entsteht, eine Einkomponenten-Turbulenz ist. Ein ähnliches Ergebniserhalten Ferziger und Peric [15] für andere Strömungsprobleme. Nach [15] wurde für eineglatte Kugel und für die Umströmung eines Tragflügels festgestellt, dass “der Übergangvon laminarer zu turbulenter Strömung –und damit der Eingang in die Invariantenkarteder turbulenten Strömung– durch den oberen Eckpunkt der Einkomponenten-Turbulenzstattfinden muss". Zur Kanalmitte verläuft der Anisotropiezustand von einer isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz bei etwa y = −0.45, y = 0.45 bis zur Einkomponenten-Turbulenz bei y = 0. Auf der Kanalmitte (y = 0) ist 2|ANr|2 in der Abbildung 5.2 dieeinzige Komponente des Reynolds-Spannungstesors, die ungleich null ist. Dies erklärt,warum sich für y=0 in Abbildung 5.4 ebenfalls eine Einkomponenten-Turbulenz ergibt.

5.2.2. Die Form des Reynoldsspannungstensors und derAnisotropiezustand des laminar-turbulenten Umschlags einerdrallbehafteten Ringspaltströmung

Mit der selben Vorgehensweise wie bei der Kanalströmung werden nun die InvariantenIIa und IIIa für eine drallbehaftete Ringspaltströmung bestimmt. Dafür werden zuerst dieVerteilung des Wellenpakets (ANr, A∗Nr; ANφ, A∗Nφ; ANx, A∗Nx) und der entsprechendeReynolds-Spannungstensor entlang der Spaltweite bei verschiedenen Rotationszahlen mitden kritischen Daten aus der Tabelle 3.3 berechnet und in Abbildungen 5.5, 5.6 dargestellt.


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

y

2|A

Nr|2

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

(a)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

2|A

Nx|2

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

(b)



−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

2|A

Nφ|2

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

(c)

Abbildung 5.5.: Form der Normalspannungskomponenten des Reynolds-Spannungstensorsentlang der Spaltweite bei verschiedenen Rotations-Zahlen (Sa = 0, Sa =0, 3, Sa = 0, 6, Sa = 1) mit Zw = 0 und nφ = 0. (a), (b) und (c) stellendie Verteilung der Normalspannungskomponenten u1ru1r, u1xu1x bzw.u1φu1φ dar. Berechnung der Abbildung siehe J.5.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.08

−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

y

AN

φA* N

r+A

* NφA

Nr

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

(a)


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

AN

xA* N

φ+A

* NxA

Nφ

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

(b)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

y

AN

xA* N

r+A

* NxA

Nr

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1

(c)

Abbildung 5.6.: Form der Schubspannungskomponenten des Reynolds-Spannungstensorsentlang der Spaltweite bei verschiedenen Rotations-Zahlen (Sa = 0, Sa =0, 3, Sa = 0, 6, Sa = 1) mit Zw = 0 und nφ = 0. (a), (b) und (c)stellen die Verteilung der Schubspannungskomponenten u1φu1r, u1xu1φ

bzw. u1ru1x dar. Berechnung der Abbildung siehe J.5.

Da Sa 6= 0 ist, sind die Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen in (3.6) gekoppelt,daraus ergibt sich, dass die drei Eigenfunktionen (ANr, ANφ, ANx) und dazugehörigenkonjugiert komplexen Anteile des Gleichungssystems in (3.2) ungleich null sind. Dadurchsind alle Komponenten des Reynolds-Spannungstensors in (5.2) ungleich null. Bezüglichder Wirkung des Dralles auf die Verteilung der Reynolds-Spannungskomponenten in der



Spaltweite, kann man aus Abbildung 5.5 (a) erkennen, dass bei Zunahme der Zentrifu-galkraft die Verteilung von u1ru1r entlang der Spaltweite deutlich sinkt. Eine kleine Ab-nahme ist für die Verteilungen von u1xu1x in Abbildung 5.5 (b) auf der Seite des In-nenzylinders (y = −1) zu erkennen. Auf der anderen Wand (y = 1) bleibt die Kompo-nente u1xu1x relativ konstant. Im Gegenteil dazu ist eine Zunahme für die Verteilungenvon u1φu1φ in 5.6 (c) vor allem an den Wänden sichtbar. Die Schubspannungskomponen-ten des Reynols-Spannungstensors, die mit der Koordinate φ in Abbildungen 5.6 (a) und5.6 (b) zusammenhängen, werden größer, wenn der Drall steigt. Abbildung 5.6 (c) zeigt,dass durch eine Zunahme der Zentrifugalkraft die Schubspannungen auf der Ebene x-ran den Wänden kleiner werden und zwischen y = −0, 8 und y = 0, 8 einen negativenWert annehmen. Darüber hinaus können die durch die lineare Stabilitätstheorie erhaltenenReynolds-Spannungskomponenten den Einfluss des Krümmungsparameters in dem Sinneerfasst werden, dass es keine Achsensymmetrie in der Spaltweite gibt und sich größererWerte der Verteilungen in der Nähe des Innenzylinder als des Außenzylinders ergeben.Mit den berechneten Reynolds-Spannungskomponenten stehen können der Tensor aijund die dazugehörigen Skalar-Invarianten IIIa, IIa berechnet werden. Da sich jedochfür alle Reynolds-Spannungstensoren bei allen Rotationszahlen die gleiche Anisotro-pie Invariantenkarte wie in Abbildung 5.3 ergibt, d.h. der Kurvenverlauf liegt auf derZweikomponenten-Turbulenz zwischen der Einkomponenten-Turbulenz und der isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz, wird in der Abbildung 5.7 nur die Invariante IIIa gegen yaufgetragen, um eine die Abhängigkeit zwischen Spaltposition und Anisotropiezustand zuermitteln.

−1 −0.5 0 0.5 1−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

y

IIIa

Sa = 0

Sa = 0,3

Sa = 0,6

Sa = 1



Abbildung 5.7.: Verlauf der Invariante IIIa für eine drallbehaftete Ringspaltströmung ent-lang der Spaltweite y bei verschiedenen Rotationszahlen. Berechnung derAbbildung siehe J.5.

Aus Abbildung 5.7 ist ersichtlich, dass zur Mitte der Spaltweite der Anisotropie-Zustandebenfalls zur isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz neigt. D.h. der Anisotropietensor,aij , hat zwei gleiche Eigenwerte, welche sich aus zwei gleichen Komponenten desReynolds-Spannungstensors ergeben, die dritte Komponente ist gleich null, wenn die Ach-sen des Koordinatensystems in Abbildungen 5.5 und 5.6 entlang der Hauptachsen desReynols-Spannungstensors gewählt werden würden. An den Wänden neigt der Aniso-


tropiezustand bei Erhöhung des Dralles ebenfalls zu der isotropen-Zweikomponenten-Turbulenz. Ein ähnliches Verhalten des Anisotropiezustands wird von Jovanovic [29] füreinen vollturbulenten Zustand der Strömung, behauptet. Jovanovic trägt die Reynolds-Spannungen für ein rotierendes Rohr in Form der Invarianten des Anisotropietensors in dieInvariantenkarte ein. Die Komponenten des Reynolds-Spannungstensors wurden aus DNS-Rechnungen von Orlandi und Fatica [45] für verschiedene Rotationsraten gewonnen. Nach[29] neigen die Anisotropie-Eigenschaften im wandnahen Bereich einer vollentwickeltenStrömung in einem rotierenden Rohr zum isotropen Zweikomponenten-Zustand, wenn derDrall des rotierenden Zylinders zunimmt.

5.2.3. Die Form des Reynoldsspannungstensors und derAnisotropiezustand des laminar-turbulenten Umschlags einerdrallbehafteten Ringspaltströmung mit gezogenenInnenzylinder

Es ist schließlich von Interesse die Wirkung einer Änderung der Verteilung der axialenKomponente der Grundströmung durch gezogenen Innenzylinder zusammen mit der Ro-tation des Außenzylinders auf die Verteilung des Reynolds-Spannungstensors sowie aufdie Anisotropie-Eigenschaften der Turbulenz zu analysieren. Dafür werden für eine fe-ste Rotationszahl, Sa = 0.5 und nφ = 0 bei verschiedenen Translationszahlen, Zw, dieVerteilungen der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors entlang der Spaltweite yberechnet und in Abbildungen 5.8 (a)-(c) und 5.9 (a)-(c) dargestellt. Die kritischen Wertesind in Tabelle 3.4.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

y

2|A

Nr|2

Zw = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5

(a)



−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

y2|

AN

r|2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

2|A

Nx|2

Zw = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5

(b)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

y

2|A

Nφ|2

Zw = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5

(c)

Abbildung 5.8.: Form der Normalspannungskomponenten des Reynolds-Spannungstensorsentlang der Spaltweite bei verschiedenen Translationszahlen (Za = 0,Za = 0, 1, Za = 0, 25, Za = 0, 5) sowie einer festen Rotationszahl,Sa = 0, 5 und nφ = 0. (a), (b) und (c) stellen die Verteilung der Normal-spannungskomponenten u1ru1r, u1xu1x bzw. u1φu1φ dar. Berechnungder Abbildung siehe J.5.


−1 −0.5 0 0.5 1−1

0

1

yAN

xA* N

φ+A* N

xAN

φ

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

y

AN

φA* N

r+A

* NφA

Nr

Zw = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5

(a)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

y

AN

xA* N

φ+A

* NxA

Nφ

Zw = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5

(b)



−1 −0.5 0 0.5 1−1

0

1

yAN

xA* N

φ+A* N

xAN

φ

−1 −0.5 0 0.5 1−0.05

0

0.05

yAN

φA* N

r+A* N

φAN

r

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

y

AN

xA* N

r+A

* NxA

Nr

Zw = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5

(c)

Abbildung 5.9.: Form der Schubspannungskomponenten des Reynolds-Spannungstensorsentlang der Spaltweite bei verschiedenen Translationszahlen (Za = 0,Za = 0, 1, Za = 0, 25, Za = 0, 5) sowie einer festen Rotationszahl,Sa = 0, 5 und nφ = 0. (a), (b) und (c) stellen die Verteilung der Schub-spannungskomponenten u1φu1r, u1xu1φ bzw. u1ru1x dar. Berechnungder Abbildung siehe J.5.

Abbildung 5.8 (a) zeigt, dass für wachsende Translations-Zahlen die radiale Normalspan-nungskomponente 2|ANr|2 über der gesamten Spaltweiten und die azimutale Normalspan-nungskomponente 2|ANφ|2 in Abbildung 5.8 (c) auf der Seite des Innenzylinders abneh-men. Obwohl es keinen symmetrischen Verlauf zwischen den beiden Wänden (y = −1 undy = 1) gibt, ergibt sich in Abbildung 5.8 (b) bei der axialen Normalspannungskomponen-te 2|ANx|2 auf beiden Seiten der Spaltweite eine ähnliche Verteilung. Im Gegensatz dazukann man aus Abbildung 5.9 entnehmen, dass das Ziehen des Innenzylinders und damit ei-ne Änderung der Krümmung der axialen Komponente der Grundströmung eine einseitigeVerkleinerung der Schubspannungskomponenten auf der Seite des Innenzylinders verur-sacht. Dies bestätigt die Behauptung von Hussong [26], dass das Ziehen des Innenzylindersdas Verschwinden der kritischen Schicht verursacht. Das heißt, wenn die kritische Schichtverschwindet, können die Schubspannungskomponenten nicht entstehen.Der Anisotropiezustand der in den Abbildungen 5.8 und 5.9 dargestellten Verteilungen derReynolds-Spannungskomponenten liegt auch hier auf der Linie der Zweikomponenten-Turbulenz für alle Translations-Zahlen. Allerdings erreicht der Anisotropiezustand keinereine Isotrope-Zweikomponenten-Turbulenz für Zw = 0, 5 wie in Abbildung 5.10 zu se-hen ist.


−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

IIIa

IIa

Zw = 0,5

Abbildung 5.10.: Anisotropie-Invariantenkarte für die Entstehung der Turbulenz einerdrallbehafteten Ringspaltströmung. Mit Re = 41351; Sa = 0, 5; Zw =0, 5; λx = 0, 2064; nφ = 0 und εR = 0, 1. Berechnung der Abbildungsiehe J.5.

Um den Einfluss des Ziehens des Innenzylinders auf den Verlauf des Anisotropiezustandszu verdeutlichen, wird nun in Abbildung 5.11 die Invariante IIIa gegen als Funktion derRingspaltenposition y für alle berechneten Translationszahlen dargestellt.

−1 −0.5 0 0.5 1−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

y

IIIa

Z

w = 0

Zw = 0,1

Zw = 0,25

Zw = 0,5



Abbildung 5.11.: Verlauf der Invariante IIIa entlang der Spaltweite mit konstanten Rota-tionszahl Sa = 0, 5 und bei verschiedenen Translationszahlen. Berech-nung der Abbildung siehe J.5.

Aus Abbildung 5.11 ist zu erkennen, dass die Zunahme der Translationszahl zu einerEinkomponenten-Turbulenz auf der Seite des Innenzylinders führt, während in der Mit-te der Spaltweite der Isotrope-Zweikomponenten-Turbulenz-Zustand nicht erreicht wird.Auf der Seite des Außenzylinders ändert sich die Anisotropie nicht, obwohl die Trans-



lationszahl wächst. Aus den Berechnungen kann man schließen, dass die Anisotropiedes Reynolds- Spannungstensors bei der Entstehung der Turbulenz immer entlang desZweikomponenten- Zustands liegt, obwohl sich die Verteilungen der Komponenten desReynolds-Spannungstensors entlang der Spaltweite bei verschiedenen Strömungsparama-tern –Rotations- und Translations-Zahlen– ändern, wie Abbildungen 5.5, 5.6, 5.8 und 5.9zeigen. Der Anisotropiezustand zeigt sich in Abbildungen 5.7 und 5.11 in Abhängigkeitvon der Radialposition und den Strömungsparametern zwischen der Einkomponenten-Turbulenz und der Isotrope-Zweikomponenten-Turbulenz.

5.3. Herleitung der Ausrichtung zwischen denEigenvektoren des Reynolds-Spannungsdeviators unddenen des Deformationstensors

Die Wirbelviskositätsmodelle basieren auf dem Wirbelviskositätsprinzip von Boussinesq[57]. Analog zu den Newtonschen Fluiden, bei denen ein linearer Zusammenhang zwi-schen dem viskosen Spannungstensor und dem Verformungsgeschwindigkeitstensor be-steht [57], [60], bringt die Boussinesq-Hypothese den anisotropen Anteil des Reynolds-Spannungstensors (Deviator) mit dem Deformationstensor in Verbindung:

aDij = τij −2K

3δij = −2νtSij (5.4)

wobei νt und Sij die turbulente Wirbelviskosität bzw. den Deformationstensor darstel-len. Gleichung (5.4) wurde schon in der Einleitung erwähnt und in Gl. (1.3) definiert. DerReynolds-Spannungsdeviator aDij in (5.4) unterscheidet sich von aij in (G.1) dadurch, dassaDij in (5.4) nicht durch die kinetische Energie normiert ist.Ein bedeutender Vorzug der vorliegenden Arbeit liegt darin, dass für gegebene Strömungs-parameter die Verteilung der Reynolds-Spannungskomponenten oder die Verteilung derKomponenten des Geschwindigkeitsgradiententensors entlang der Spaltweite analytischberechnet werden können. Ein Tensor 2. Stufe kann durch seine Hauptachsen charakte-risiert werden [48], damit lässt sich, wenn νt als eine skalare Größe betrachtet wird, dieAusrichtung zwischen dem Reynolds-Spannungsdeviator und dem Deformationstensor in(5.4) durch den Winkelunterschied zwischen den Hauptachsen (Eigenvektoren) dieser bei-den Tensoren entlang der Spaltweite bestimmen.Um die Vektorlage zwischen den Eigenvektoren des Reynolds-Spannungsdeviators und de-nen des Deformationstensors bestimmen zu können, werden im Kapitel 5.3.1 die Winkel-unterschiede zwischen den Hauptachsen von aDij und denen von Sij definiert. Mit Hilfe vonDNS-Daten wird dann als Beispiel die Winkelverdrehung für eine Kanalströmung berech-net. Mit der selben Vorgehensweise werden die Winkelunterschiede für eine drallbehafteteRingspaltströmung ermittelt und diskutiert. Darüber hinaus ist in Anhang H ein Überblicküber die Herleitung und Aufspaltung des Geschwindigkeitsgradiententensors in den Defor-mationstensor Sij und den Drehungstensor Wij gegeben.

5.3.1. Definition und Bestimmung der Winkelunterschiede

Die Boussinesq-Hypothese setzt voraus, dass in (5.4) der anisotrope Anteil des Reynolds-Spannungstensors und seine Parametrisierung (durch die turbulente Wirbelviskosität undden Deformationstensor) den gleichen Betrag und Richtung haben. Da in dieser Arbeitdie Verteilungen der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors sowie des Deforma-tionstensors entlang der Spaltweite analytisch berechenbar sind, kann untersucht werden,inwiefern die Tensoren aDij und Sij parallel liegen. Die Ausrichtung zwischen den zu aDijund Sij gehörenden Eigenvektoren kann unabhängig davon, ob der Betrag der turbulenten


Wirbelviskosität konstant bleibt, berechnet werden.Higgins, Parlange, Meneveau [22] haben die Ausrichtung zwischen den Eigenvektorendes Feinstrukturspannungstensors (engl, subgrid scale stress tensor) und denen der Scher-rate der Grobstruktur (engl, filtered strain rate) untersucht, um den Wirbelzähigkeitsan-satz (Smagorinsky-Modell) im Rahmen der Large eddy Simulation zu testen. In Anleh-nung an ihre Arbeit wird die Orientierung zwischen den Eigenvektoren des Reynolds-Spannungsdeviators und denen des Deformationstensors analysiert.Für Tensoren der zweiten Stufe wie in (5.4) können drei orthogonale Eigenvektoren unddrei Eigenwerte berechnet werden [48]. Für die verschiedenen Eigenwerte stehen die zuge-hörigen Eigenvektoren (Hauptachsen des Tensors) rechtwinklig aufeinander. Ist der Tensorsymmetrisch, sind die Eigenwerte reell [41]. Die relative Ausrichtung zwischen den bei-den Tensoren kann dann durch die Winkelunterschiede zwischen den orthogonalen Eigen-vektoren des Reynolds-Spannungsdeviators und denen des Deformationstensors berechnetwerden. Die drei Eigenwerte für den Deformationstensor seien mitWS

α ,WSβ ,WS

γ bezeich-net und so sortiert, dass WS

α > WSβ > WS

γ ist. Die entsprechenden Eigenvektoren seienmit αs, βs, γs bezeichnet. Für den Reynolds-Spannungsdeviator seien die entsprechendenEigenwerte bzw. die Eigenvektoren durch W τ

α , W τβ , W τ

γ (W τα > W τ

β > W τγ ) bzw. ατ , βτ ,

γτ definiert.Die Lage der Hauptachsen der beiden Tensoren (αs, βs, γs und ατ , βτ , γτ ) im Koordi-natensystem der Strömungsgeometrie hängt davon ab, welche Spannungskomponenten derTensoren aDij und Sij ungleich null sind und wie sich diese entlang einer bestimmten Rich-tung verteilen. Ein Beispiel hierfür ist in Abschnitt 5.3.2 gezeigt.Die Charakterisierung der Orientierung zwischen den Hauptachsen der beiden Tensorenbeginnt mit der Definition der Ausrichtung des Eigenvektors ατ in Bezug auf das Eigensy-stem αs, βs, γs. Dafür ist es notwendig zwei Winkel in Kugelkoordinaten zu definieren:

θ = cos−1 |αs · ατ ||αs||ατ |

, (5.5)

κ = cos−1 |βs · (ατ − (ατ · αs)αs) ||ατ − (ατ · αs)αs||βs|

, (5.6)

wobei (·) das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren darstellt. Wie in Abbildung (5.12)gezeigt wird, können die Eigenrichtungen des Reynolds-Spannungsdeviators βτ und γτauf der Ebene rotieren, die senkrecht zur Eigenachse ατ steht. Daher muss noch ein dritterWinkel eingeführt werden.

ββββs

ααααττττ

θθθθ γγγγs

ααααs

γγγγsp

γγγγττττ

ζζζζ

((((ββββs, γγγγs))))−−−−Ebene

((((ββββττττ, γγγγττττ))))−−−−Ebene

Projektion von γγγγs auf die ((((ββββττττ, γγγγττττ))))−−−−Ebene

κκκκ

Abbildung 5.12.: Darstellung der drei Winkel, die die relative Ausrichtung zwischen denEigenvektoren von zwei Tensoren (aDij ; Sij) charakterisieren.



Um die (βτ γτ )-Ebene zu befestigen, wird der Winkel ζ zwischen der γτ -Eigenachse undder Projektion γps herangezogen, wie in Abbildung 5.12 angedeutet. γps bezeichnet dieProjektion der Eigenachse γs des Deformationstensors auf die Ebene, die senkrecht zurEigenachse ατ steht (siehe [22] [68]).

ζ = cos−1 |γτ · (γs − (γs · ατ )ατ ) ||γτ ||γs − (γs · ατ )ατ |

(5.7)

Da die radiale Verteilungen der Hauptachsen des Reynolds-Spannungsdeviators und desDeformationstensors berechenbar sind, können die Verteilungen der drei Winkelunterschie-de (α, β, ζ) entlang der Spaltweite bestimmt werden.

5.3.2. Winkelunterschiede für die turbulente Kanalströmung

Um die Orientierung für einen bekannten Strömungsfall zu betrachten, sind im folgendenals erstes Beispiel die Winkelunterschiede für eine turbulente Kanalströmung aus den vonIwamoto, Suzuki und Kasagi et al. [37] bestimmten DNS Daten berechnet worden.Für eine vollentwickelte, turbulente Kanalströmung sind Sxx = ∂Vx

∂x = Syy =∂Vy∂y =

Szz = ∂Vz∂z = 0. Dadurch hat der Deformationstensor nach (H.3) folgende Gestalt:

Sij =

0 12∂Vx∂y 0

12∂Vx∂y 0 0

0 0 0

(5.8)

wobei Vx die mittlere Axialgeschwindigkeit darstellt und die y-Richtung senkrecht zurWand ist.In Abbildung 5.13 sind in Abhängigkeit des Wandabstandes über die halbe Kanalhö-he (0 < y < 1) alle Komponenten des Reynolds-Spannungstensors sowie das axialeGeschwindigkeitsprofil bei verschiedenen Reynolds-Zahlen (Re = 3329, Re = 4589,Re = 10039) dargestellt.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y

U(x)

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(a)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

y

u′u′+

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

v′v′+

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(c)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y

w′w

′+

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(d)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y

u′v′+

Re = 3320Re = 4586Re = 10039

(e)

Abbildung 5.13.: Darstellung der mittleren Axialgeschwindigkeit (a); Profil der normalenReynolds-Spannungskomponenten (b), (c), (d) und Profil der Reynolds-Schubspannungskomponente für ein turbulente Kanalströmung bei dreiverschiedenen Reynolds-Zahlen, Re = 3220, Re = 4586, Re = 10039.Die hier dargestellten DNS Daten sind entnommen aus Iwamoto, Suzukiund Kasagi et al. [37]

Mit den Verteilungen aus Abbildung 5.13 für die mittlere Axialgeschwindigkeit undden Reynolds-Spannungstensor können der Deformationstensor sowie der Reynolds-Spannungsdeviator und die entsprechenden Eigenvektoren für eine turbulente Kanalströ-mung bestimmt werden. Die Berechnung der Winkelunterschiede erfolgt anhand der Ei-genvektoren und sind in Abbildung 5.14 als Funktion des Wandabstandes über die halbeKanalhöhe geplotet worden.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

y

θ

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(a)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 189

89.2

89.4

89.6

89.8

90

90.2

90.4

90.6

90.8

91

y

κ

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

y

ζ

Re = 3220Re = 4586Re = 10039

(c)

Abbildung 5.14.: Die Winkelunterschiede θ, κ, ζ sind für eine Kanalströmung aus DNS-Daten [37] bei drei verschiedenen Reynolds-Zahlen (Re = 3329, Re =4589, Re = 10039) berechnet. Berechnung der Abbildung siehe AnhangJ.6.

Aus Abbildung 5.14 lässt sich erkennen, dass der Winkel θ in Abbildung 5.14 (a) der ein-zige Winkelunterschied ist, der sich über der Kanalhöhe ändert. Obwohl der Winkel ζ inAbbildung 5.14 (c) einen Sprung bei Re = 10039 und y > 0.9 hat, was eine abrup-te Drehung von 90 der Hauptachse γτ zur der Projektion γps in Abbildung 5.12 dar-stellt, bleiben die Winkelunterschiede κ und ζ in Abbildungen 5.14 (b) und 5.14 (c) beiRe = 3220 undRe = 4586 konstant. Das bedeutet, dass die (ατ , γτ )-Ebene des Reynolds-Spannungsdeviators und die (αS , γS)-Ebene des Deformationstensors parallel zueinander.



Darüber hinaus findet eine relative Bewegung zwischen den beiden genannten Ebenen statt,welche in Abbildung 5.14 (a) durch den Winkel θ entlang der y-Richtung zu sehen ist. DerWinkelunterschied θ beträgt zum Beispiel in Abbildung 5.14 (a) beiRe = 10039 zwischen45 und 25.Da bei dem Deformationstensor einer Kanalströmung in (5.8) nur die Spannungskom-ponente Sxy ungleich null ist, haben seine Hauptachsen (αs, γs) unabhängig von derReynolds-Zahl eine feste Orientierung entlang der y-Richtung, nämlich 3π

4 und π4 , siehe

[17] Seite 25 „Alignment of Eigenvectors “. Das heißt, die Hauptachsen des Reynolds-Spannungsdeviators ändern ihre Richtungen (ατ , βτ , γτ ) in Bezug auf das Koordinaten-system der Kanalströmung, da 4 Komponenten des Reynolds-Spannungstensors ungleichnull sind und entlang der y-Richtung unterschiedliche Werte annehmen, siehe in Abbildung5.13 (b), (c), (d) und (e). Der Abbildung 5.14 (a) ist auch zu entnehmen, dass die Lage derHauptachsen des Reynolds-Spannungsdeviators in der Kanalströmung eine Funktion vonder Reynolds-Zahl ist, denn die Änderung des Winkelunterschiedes θ steigt entlang dery-Richtung, wenn die Reynolds-Zahl zunimmt. In Abbildung 5.15 ist der Verlauf der Win-kelunterschiede schematisch dargestellt.

θθθθ = 25°- 45°

γγγγs

ααααs

ααααττττ

ββββs

γγγγττττββββττττ

κκκκ = 90°

γγγγps ζζζζ = 0°

x

π π π π /4

yπ π π π /4

Abbildung 5.15.: Geometrische Darstellung der Ausrichtung zwischen den Hauptachsendes Deformationstensors Sij (blau gestrichelte Linie) und denen desReynolds-Spannungsdeviators aDij (schwarze volle Linie). Für Re =10039 ändert sich zum Beispiel der Winkelunterschied θ entlang derSpaltweite zwischen 45 und 25.

Das angeführte Beispiel demonstriert, was in der Fachliteratur beschrieben ist: DieBoussinesq-Hypothese bezüglich der geometrischen Ausrichtung zwischen den TensorenaDij und Sij ist inkorrekt, denn die Hauptachsen des Deformationstensors, welcher denReynolds-Spannungsdeviator in einem Wirbelviskositätsmodell durch eine einfache Ska-lierung ersetzen soll, liegen nicht auf denen des Reynolds-Spannungsdeviators. Im folgen-den soll das Kriterium nach Schmitt [60] anhand des obigen Beispieles angeführt werden.In seiner Arbeit hat Schmitt die Annahme der gleichen Ausrichtung in (5.4) bewertet undsomit als ein Maß für die Anwendbarkeit des Wirbelviskositätsansatz zu interpretieren ist.Die direkte Proportionalität zwischen den Tensoren aDij und Sij kann nach Schmitt [60]durch ein Skalarprodukt zwischen den beiden Tensoren geprüft werden. Sind die TensorenaDij und Sij in der Matrixform Ad bzw. S geschrieben, sieht die Gleichung in (5.4) wie


folgt aus:

Ad = −2νtS (5.9)

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ~c und ~d ist :

~c · ~d = |~c||~d|cos(Φ) (5.10)

Wobei Φ der Winkel zwischen den Vektoren ~c und ~d ist. Nach [60] ist das Skalarproduktzwischen zwei Matrizen C und D wie folgt definiert:

C : D =CtD

= CijDij (5.11)

wobei der hochgestellte Index t für die transponierte Matrix steht und . die Spur darstellt.Die zugeordnete Matrixnorm ist ||C||2 = C : C. Für einen symmetrischen Tensor C ergibtsich dann C : D = CD und ||C||2 =

C2

. Da das Skalarprodukt zwischen zweiMatrizen und die entsprechende Matrixnorm definiert sind, wird der Indikator ρRS für dieMatrizen in (5.9) eingeführt:

ρRS =|AdS |||Ad||||S ||

(5.12)

wobei ρRS dem Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren in (5.10) entspricht. Damitliegt ρRS zwischen 1 und 0. Nach [60] ist die Boussinesq-Annahme dann gültig, wennρRS = 1 ist. Diese verliert ihre Gültigkeit, wenn der Faktor ρRS zu null geht. Der in (5.12)definierte Faktor hat für die DNS-Daten einer Kanalströmung in Abbildung 5.16 folgendeVerteilung bei den Reynolds-Zahlen Re = 3329, Re = 4589, Re = 10039.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

y

ρ RS

Re = 3329Re = 4589Re = 10039

Abbildung 5.16.: Verteilung des Faktors ρRS von der Wand (y = 0) bis zur Kanalmitteeiner Kanalströmung. ρRS wurde aus DNS-Daten von [37] für drei ver-schiedenen Reynolds-Zahlen (Re = 3329, Re = 4589, Re = 10039)berechnet. Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.6.

Aus Abbildung 5.16 kann man entnehmen, dass die Verteilung von ρRS eine Wiederspieg-lung des Winkelunterschiedes θ in Abbildung 5.14 (a) ist. Dies ist so, da sowohl der FaktorρRS als auch die in (5.5), (5.6) und (5.7) definierten Winkelunterschiede grundsätzlich dieselbe Information zur Verfügung stellen, nämlich eine Aussage darüber, wie in einem be-stimmten Ort der Strömung die Tensoren aDij und Sij zueinander liegen.

Die Definition der drei Winkelunterschiede (θ, κ und ζ) kann als ein Werkzeug zur Eva-luation der Anwendbarkeit von Wirbelviskositätsmodellen betrachtet werden. Ähnlich wie



der von Schmitt vorgeschlagene Koeffizient [60] kann die Definition der drei Winkelunter-schiede bestimmen, wie die Hauptachsen der beiden Tensoren liegen und dadurch inwie-weit das Wirbelviskositätsprinzip von Boussinesq benutzbar ist. Für die Bestimmung derWinkelunterschiede müssen der Deformationstensor und der Reynolds-Spannungstensorzur Verfügung stehen.

5.3.3. Ergebnisse für die drallbehafteten Ringspaltströmung

Der Fall der vollentwickelten, turbulenten Kanalströmung dient als Referenz für die fol-gende Auswertung. Mit der gleichen Vorgehensweise wird nun bei der Entstehung der Tur-bulenz die Auswirkung des Dralles auf die Ausrichtung der Hauptachsen untersucht. ImAnhang H befindet sich die Herleitung des Geschwindigkeitsgradiententensors und seineAufspaltung. Nach (H.10) sieht der Deformationstensor für eine drallbehaftete Ringspalt-strömung wie folgt aus:

Sij =

0 Srφ SrxSφr 0 0Sxr 0 0

=

0 12

(−εRVGφ +

∂VGφ∂y

)12∂VGx∂y

12

(−εRVGφ +

∂VGφ∂y

)0 0

12∂VGx∂y 0 0

(5.13)

Die Verteilungen der Reynolds-Spannungskomponenten wurden für die in der Tabelle 3.3im Kapitel 3.2.5 gegebenen kritische Werte einer drallbehafteten Ringspaltströmung be-rechnet und in Abbildungen 5.5 und 5.6 dargestellt. Für die selben kritischen Parameterkann auch der Deformationstensor nach (5.13) bestimmt werden. Aus den Eigenvektorendes Deformationstensors und Reynoldsspannungstensors sind die Ausrichtungen zwischenden Hauptachsen der beiden Tensoren mit (5.5), (5.6), (5.7) berechnet und in Abbildung5.17 dargestellt worden. Für die Analyse ist zu berücksichtigen, dass das axiale Geschwin-digkeitsprofil der Grundströmung bei verschiedenen Reynolds- und Rotationszahlen (sieheTabelle 3.3) unverändert bleibt, während die Steigung der azimutalen Geschwindigkeits-komponente wächst. Daraus folgt, dass der Einfluss der Zentrifugalkraft auf die Ausrich-tung progressiv zunimmt.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

y

θ

Sa = 0

Sa = 0,6

Sa = 1

(a)


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 130

40

50

60

70

80

90

y

κ

Sa = 0

Sa = 0,6

Sa = 1

(b)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

y

ζ

Sa = 0

Sa = 0,6

Sa = 1

(c)

Abbildung 5.17.: Verteilung der Ausrichtung entlang der Spaltweite zwischen denHauptachsen des Deformationstensors und denen des Reynolds-Spannungsdeviators für die in der Tabelle (3.3) aufgeführten Daten. Be-rechnung der Abbildung siehe Anhang J.5.

Aus Abbildung 5.17 ist zu sehen, dass der Winkelunterschied zwischen den beiden unter-suchten Tensoren sehr stark von der azimutalen Komponente der Grundströmung abhängt,da sich alle Winkelunterschiede stark ändern, wenn die Rotationszahl Sa wächst. Der Win-kelunterschied θ hat in Abbildung 5.17 (a) außer bei etwa y = −0.48 und y = 0.42 fasteinen konstanten Verlauf (45) bei Sa = 0. Wenn die Rotationszahl Sa steigt, ändert sichder Verlauf des Winkels θ vor allem an beiden Wänden, −1 < y < −0, 8; 1 < y < 0, 8. κund ζ haben in Abbildungen 5.17 (b) und 5.17 (c) für Sa = 0 einen konstanten Wert von90. Nimmt die Rotation des Außenzylinders zu, verschwindet dieser konstante Verlaufund die Verteilung dieser beiden Winkelunterschiede ist sehr irregulär entlang der Spalt-weite.



Die starke Änderung des Verlaufs der Winkelunterschiede im Vergleich zu dem Fallder turbulenten Kanalströmung gründet sich darauf, dass die Komponente Srφ in (5.13)ungleich null ist. Damit ändert sich die Orientierung der Eigenvektoren des Defor-mationstensors mit denen eines Deformationstensors ohne Rotationszahl. Ferner er-zeugt die Rotationszahl, wie schon erwähnt wurde, eine Kopplung zwischen den Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen in (3.6), was wiederum zur Folge hat, dass alleReynolds-Spannungskomponenten in (5.2) ungleich null sind. Damit hängt die Orientie-rung der Hauptachsen des Reynolds-Spannungsdeviators von den sechs Komponenten desReynolds-Spannungstensors (drei Normalspannungskomponenten + drei Schubspannungs-komponenten) ab und nicht nur von vier Komponenten (drei Normalspannungskomponen-ten + eine Schubspannungskomponente), wie der Fall der Kanalströmung ist.


Im Unterschied zu Large Eddy Simulationen, bei denen der Effekt des Feinstruktur-Spannungstensors (subgrid-scale Reynolds stresses) durch Turbulenzmodelle (z.B. dasSmagoringsky Modell) parametrisiert wird, liefert die Theorie von Stewartson und Stuarteinen Ausdruck für den Reynolds-Spannungstensor, der ohne die Anwendung von Turbu-lenzmodellen ermittelt werden kann. Nach einer räumlichen Mittelung (Filterung) stelltsich der Reynolds-Spannungstensor als ein Produkt zwischen einem Maßstab und einerForm heraus. Der Maßstab |BN |2 erscheint als eine Funktion der großen Skalen, währenddie Form ANiA

∗Nj+A∗NiANj von der Radialrichtung abhängt und aus der linearen Stabi-

litätstheorie erhalten wird. Ein qualitativer Vergleich mit DNS-Daten einer Kanalströmungbestätigt, dass die Form des Reynolds-Spannungstensors für die Entstehung der Turbulenzdurch die Lösung des linearen Stabilitätsproblems berechnet werden kann.Mit dieser Herleitung des Reynolds-Spannungstensors werden nun in einem letzten Schrittzwei Eigenschaften – die Anisotropie und die geometrische Ausrichtung – des Reynolds-Spannungstensors untersucht. Die Analyse widmet sich insbesondere dem Einfluss der Ro-tation des Außenzylinders auf den Verlauf dieser beiden Eigenschaften in radialer Rich-tung. Der Maßstab |BN |2 wirkt für die vorhandene Analyse lediglich als eine Verkleine-rung oder Vergrößerung der Komponenten des Reynolds-Spannungstensors.Der Anisotropiezustand des laminar-turbulenten Umschlags einer drallbehafteten Ring-spaltströmung wird für verschiedene Rotationszahlen untersucht. Die Hauptergebnisse derUntersuchung lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Die Berechnungen zeigen, dass bei der Entstehung der Turbulenz die Anisotropiesich durch einen Zweikomponenten-Zustand kennzeichnet, siehe Abbildung 5.3.

• Bei Erhöhung der Rotationszahl neigt die Anisotropie in der Invariantenkarte an denWänden zum isotropen Zweikomponenten-Zustand, siehe Abbildung 5.7. Ein ähnli-ches Verhalten ist bei anderen Geometrien in der Fachliteratur zu finden [29].

• Das Ziehen des Innenzylinders, das eine Änderung des axialen Geschwindig-keitsprofiles der Grundströmung hervorruft, hat zur Folge, dass die Reynolds-Schubspannungskomponenten vor allem auf der Seite des Innenzylinders kleinerwerden (Abbildung 5.9). Daraus ergibt sich auf der Seite des Innenzylinders eineEinkomponenten-Turbulenz, siehe Abbildung 5.11.

Der Geschwindigkeitsgradiententensor kann in einen Deformationstensor und einen Dre-hungstensor zerlegt werden. Die vorliegende Arbeit hat den Vorteil, dass sich diese Tenso-ren und die Form des Reynolds-Spannungstensors analytisch berechnen lassen.Durch die Definition von drei Winkelunterschieden kann die Ausrichtung zwischen denHauptachsen des Deformationstensors und denen des Reynolds-Spannungsdeviators ana-lytisch erhalten werden. Dadurch kann untersucht werden, inwieweit das Wirbelviskositäts-prinzip von Boussinesq, das in vielen Turbulenzmodellen benutzt wird, auf drallbehaftete


Strömungen anwendbar ist. Als Referenz wird die Ausrichtung zwischen den Hauptachsender beiden Tensoren für eine Kanalströmung mit DNS-Daten berechnet:

• Die Ergebnisse zeigen, dass für eine Kanalströmung die Hauptachsen des Defor-mationstensors zu denen des Reynolds-Spannungsdeviators entlang der Spaltweitezwischen 45 und 25 verdreht sind. Für drallbehaftete Strömungen hat die Rotati-onszahl generell einen merklichen Einfluss auf die Winkelunterschiede. Der Wert derWinkelunterschiede hängt ebenfalls vom radialen Wandabstand ab. Im Allgemeinenbringt die unregelmäßige Verteilung der drei Winkelunterschiede eine ständige Va-riation der Ausrichtung zwischen den Hauptachsen zum Ausdruck, wenn der Dralldes Außenzylinders zunimmt. Es konnte keine Tendenz identifiziert werden, wiesich die Orientierung zwischen den Hauptachsen der beiden Tensoren mit steigen-dem Drall ändert. Durch die Berechnung der drei Winkelunterschiede wird gezeigt,dass die Anwendung des Wirbelviskositätsprinzip von Boussinesq auf drallbehafteteStrömungen inkorrekt ist, denn die Ausrichtung zwischen den Hauptachsen des De-formationstensors und denen des Reynolds-Spannungsdeviators hat unregelmäßigeVerteilung entlang der Radialposition.

Die Definition der drei Winkelunterschiede kann zusammen mit der von Schmitt [60] vor-geschlagenen Methode als eine ergänzende Vorgehensweise für die Überprüfung der An-wendbarkeit des Boussinesq-Ansatzes auf turbulente Strömungen angesehen werden.Es sei darauf hingewiesen, dass sowohl der Aufbau der Anisotropie-Invariantenkarte alsauch die Bestimmung der Ausrichtung zwischen den beiden Tensoren nur durchgeführtwerden können, wenn die Stabilitätsfläche mit Hilfe der linearen Stabilitätstheorie bere-chenbar ist. Enthält das zu behandelnde Problem keine Stabilitätsflache (z.B. bei der Rohr-strömung), ist die in dieser Arbeit entwickelte Theorie nicht anwendbar.

6. Zusammenfassung und Ausblick

6.1. Zusammenfassung

Die Modellierung von drallbehafteten Strömungen, gilt in der Fachliteratur als schwierig.Dies liegt vor allem daran, dass die Reynolds-Spannungen anisotrop sind und sich nichtüber andere bekannte physikalische Größen der Strömung, wie es in Turbulenzmodellengetan wird, parametrisieren lassen. Die vorliegende Arbeit untersucht die Herleitung desReynolds-Spannungstensors unter dem Einfluss eines Dralles ohne die Anwendung vonTurbulenzmodellen. Hierzu werden methodisch zwei Theorien der Hydrodynamik ange-wendet und erweitert: die lineare Stabilitätstheorie und die schwach nichtlineare Stabili-tätstheorie.Das betrachtete physikalische Problem ist eine drallbehaftete Ringspaltströmung zwischenkonzentrischen Zylindern mit konstantem axialen Druckgradienten. Die Reynolds-ZahlRewird von diesem Druckgradienten bestimmt. Die Spaltweite ist durch den Krümmungspa-rameter εR bezeichnet. Der äußere Zylinder rotiert, charakterisiert durch die Rotations-zahl Sa, und gleichzeitig kann der innere Zylinder axial gezogen werden. Die Translationdes Innenzylinders wird durch Zw charakterisiert. Ziel dieser Konfiguration ist, dass sichschraubenförmige Stromlinien ergeben.Zunächst werden die durch Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld und Squire-Gleichung für eine drallbehaftete Ringspaltströmung im Kapitel 2 hergeleitet. Nach Ver-nachlässigung der Nichtlinearitäten wird im Kapitel 3 die lineare Stabilitätstheorie ein-gesetzt, um die neutralen Stabilitätsflächen zu bestimmen. Sowohl die Rotation des Au-ßenzylinders als auch das Ziehen des Innenzylinders zeigen sich als stabilisierend. Eineausführliche Zusammenfassung über die Anwendung der linearen Stabilitätstheorie befin-det sich im Kapitel 3.3.Im Kapitel 4 wird die schwach nichtlineare Theorie angewendet, um die Wirkung derNichtlinearitäten zu berücksichtigen. Die Störung wird als Wellenpaket von zwei Wel-len in der Nähe der neutralen Stabilitätsfläche betrachtet. Das Wellenpaket aus Störun-gen verschiedener phasenverschobener Wellen erzeugt eine Schwebung und bewegt sichmit der Gruppengeschwindigkeit. Seine Amplitude variiert langsam. Dies bringt mit sich,dass für die Behandlung des Strömungsproblems neue lange Skalen eingeführt werdenmüssen. Bei der Herleitung der Ginzburg-Landau-Gleichung, welche die Amplitudenent-wicklung des Wellenpakets beschreibt, ergibt sich ein Ausdruck, welcher als ein Reynolds-Spannungstensor interpretiert werden kann. Eine detaillierte Zusammenfassung über dieAnwendung der schwach nichtlinearen Theorie auf eine drallbehaftete Ringspalströmungist im Kapitel 4.5 gegeben, ohne quantitativen Vergleich für den Amplitudenbetrag.Schließlich wird im Kapitel 5 ein Ausdruck für den dimensionslosen Reynolds-Spannungstensor bestimmt. Als wichtiges Ergebnis zeigt die Untersuchung, dass sich derReynolds-Spannungstensor als ein Produkt zwischen einem Skalierungsfaktor BN undeiner Funktionsform herausstellt. Der Skalierungsfaktor erscheint als eine Funktion derlangen Skalen (ξx und T ) und wird von der Ginzburg-Landau-Gleichung beschrieben,während sich die Form in radialer Richtung als Produkt zwischen den Lösungen der li-nearen Stabilitätstheorie berechnen lässt. Nach der schwach nichtlinearen Theorie wer-den die aus der Stabilitätsanalyse erhaltenen kritischen Werte für die Bestimmung derForm des Reynolds-Spannungstensors eingesetzt. Zwischen den in dieser Arbeit berech-neten Verteilungen des Reynolds-Spannungstensors und denen von in der Fachliteratur

110 Zusammenfassung und Ausblick

veröffentlichen DNS-Daten ist eine gute qualitative Übereinstimmung gefunden worden.Darüber hinaus werden unter dem Einfluss des Dralles die Anisotropie und geometri-sche Ausrichtung des erhaltenen Reynolds-Spannugstensors analysiert. Für die Analy-se dieser zwei Eigenschaften ist der Skalierungsfaktor nicht berücksichtigt, da dieser le-diglich als eine Verkleinerung oder Vergrößerung der Reynolds-Spannungskomponentenwirkt. Bei der Entstehung der Turbulenz liegen die Anisotropie-Eigenschaften des her-geleiteten Reynolds-Spannungstensors für alle untersuchten Fällen mit und ohne Drallauf der Linie der Zweikomponenten-Turbulenz. Bei Erhöhung der Rotation des Außen-zylinders neigt der Verlauf der Anisotropie an den Wänden von einer Einkomponenten-Turbulenz zur isotropen Zweikomponenten-Turbulenz. Für die geometrische Ausrichtungdes Reynolds-Spannungstensors werden drei Winkelunterschiede definiert. Die Winkel-unterschiede zeigen die Orientierung zwischen den Hauptachsen des Anisotropietensorsder Reynolds-Spannungen mit denen des Deformationstensors. Dadurch kann die Gültig-keit des Boussinesq-Ansatzes anhand eines geometrischen Werkzeugs analysiert werden.Als Referenz werden die drei Winkelunterschiede mit DNS-Daten für eine Kanalströmungberechnet. Die Ergebnisse zeigen, dass die angenommene Parallelität zwischen dem Ani-sotropietensor der Reynolds-Spannungen und dem Deformatiostensor für eine Kanalströ-mung nicht existiert. Da in dieser Arbeit sowohl die Form des Deformationstensors als auchdie Form des Reynolds-Spannungstensors für die Entstehung der Turbulenz analytisch be-kannt sind, werden die Winkelunterschiede bei verschiedenen Rotationszahlen berechnet.Eine unregelmäßige Verteilung der drei Winkelunterschiede entlang der Spaltweite bringtin Abbildung 5.17 eine ständige Variation der Ausrichtung zwischen den Hauptachsen desAnisotropietensors der Reynolds-Spannungen zum Ausdruck, wenn der Drall des Außen-zylinders zunimmt.

6.2. Schlussfolgerung

Die in dieser Arbeit angewendete lineare Stabilitätstheorie wird oft kritisiert, da diese denEffekt der Nichtlinearitäten nicht berücksichtigt und die als klein angenommene Störungim instabilen Bereich des Stabilitätsdiagramms mit der Zeit exponentiell wachsen kann.Die lineare Stabilitätstheorie kann für größere Zeitskalen keine umfassende Informationüber die endgültige Struktur der gestörten Grundströmung liefern, wenn die neutralen Strö-mungsparameter überschritten werden.Jedoch wird in dieser Arbeit gezeigt, dass mit Hilfe der schwach nichtlinearen Theorieund dem Konzept des Wellenpakets die durch die lineare Stabilitätstheorie erhaltene In-formation genutzt werden kann, um die Komponenten des Reynolds-Spannungstensors zuberechnen. Diese Verteilung (Form) der Reynolds-Spannungskomponenten ergeben sichals Produkt zwischen Lösungen der linearen Stabilitätstheorie, während der Betrag BNder Reynolds-Spannungskomponenten die Lösung der Ginzburg-Landau-Gleichung ist.Die Verwendung der linearen Stabilitätstheorie zusammen mit der schwach nichtlinearenTheorie kann als ein Verfahren betrachtet werden, das für die Bestimmung des Reynolds-Spannungstensors nahe des Umschlages genutzt werden kann ohne auf herkömmliche Tur-bulenzmodelle zurückzugreifen.Die Anwendbarkeit des Verfahrens bedingt die Existenz der Stabilitätsfläche der Grund-strömung. Daher wurde die beschriebene Vorgehensweise auf den Fall einer drallbehafte-ten Ringspaltströmung angewendet, für die neutralen Stabilitätsflächen berechenbar sind.Für eine Rohrströmung ist die angewandte Vorgehensweise leider nicht benutzbar, da sichbei einer Rohströmung keine neutrale Stabilitätskurve ergibt. Die laminare Lösung für dieRohströmung ist immer stabil gegenüber kleinen Störungen [59]. Darüber hinaus bedingtu.a. die Geometrie des Strömungsproblems auch die beschriebene Methode, da eine exaktelaminare Lösung des Strömungsproblems, die gestört werden muss, nicht immer berechen-bar ist.

Zusammenfassung und Ausblick 111

Die in dieser Arbeit angewandte Methode kann praktisch eine analytische Antwort überdie Eigenschaften des Reynolds-Spannungstensors geben, wenn der schwierig zu simulie-rende Effekt eines Dralles auf Strömungsstruktur untersucht wird. Die Methode soll für dieBehandlung des laminar-turbulenten Umschlags als ein alternativer Weg zur traditionellenAnwendung von Turbulenzmodellen in Erwägung gezogen werden.

6.3. Ausblick

Wie im Rahmen dieser Arbeit mittels Stabilitätsanalyse gezeigt wurde, können diejeni-gen Bereiche der Strömungsparameter (Reynolds-Zahl, Rotationszahl und Translations-zahl) bestimmt werden, in denen die Grundströmung gegenüber Störungen instabil wird.Die Erweiterung mit der schwach nichtlinearen Theorie erlaubt die Bestimmung eines Aus-druckes für den Reynolds-Spannungstensor, der aus einem Produkt zwischen einem Maß-stab BN und einer Funktionsform besteht. Mit Hilfe der linearen Stabilitätstheorie wur-de in dieser Arbeit die Form des Reynolds-Spannungstensors berechnet. Die Ermittlungdes Maßstabs BN ist allerdings noch offen. Dies setzt die Lösung der Ginzburg-Landau-Gleichung voraus. Aus diesem Grund wäre ein möglicher weiterführender Schritt die kon-krete Berechnung der Koeffizienten der Ginzburg-Landau-Gleichung. Dadurch kann, jenach Vorzeichen der Koeffizienten, die Art der Verzweigungslösung bestimmt werden. Vor-aussetzung ist, dass die Lösung der Ginzburg-Landau-Gleichung eine endliche Amplitudevon B für große Zeiten ergibt. Dann können der Reynolds-Spannungstensor (Maßstab undForm) sowie der zweite stationäre Zustand der Grundströmung bestimmt werden.Die in dieser Arbeit benutzte Vorgehensweise ist nur bei Entstehung der Turbulenz an-wendbar, jedoch könnte die Methode auf andere Strömungssituationen übertragen werden.Das heißt, die Methode zur Bestimmung der Form des Reynolds-Spannungstensors könntezum Beispiel auf den Coriolis- oder Taylor-Mechanismus angewendet werden. Das bedeu-tet, dass die durch Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungenfür den jeweiligen Mechanismus hergeleitet werden müssen. Das prinzipielle Vorgehen istdabei identisch: nach Bestimmung der neutralen Stabilitätskurven lassen sich die Form undder Betrag des Reynolds-Spannungstensors für die genannten Mechanismen durch anwen-den der linearen und nichtlinearen Theorie berechnen.

A. Formulierung der Grundströmung

A.1. Der axiale Druckgradient

Hierfür vereinfachen sich die Differentialgleichungen (2.10) – (2.12) der Grundströmungauf die x–Impulsgleichung. Die Grundströmung wird durch einen aufgegebenen Druck-gradienten dPG

dx angetrieben. In azimutaler Koordinatenrichtung ist die GrundströmungVGφ = 0. Nach Gleichung (2.12) lautet die x–Impulsgleichung dimensionslos wie folgt:

∂PG∂x− 1

Re

[1

r

d

dr

(rdVGx,pdr

)]= 0

d2VGx,pdr2

+1

r

dVGx,pdr

=∂PG∂x

Re (A.1)

Für die Radialkoordinate wird folgende Transformation durchgeführt:

1

r=

εR1 + εRy

(A.2)

Dann lautet Gleichung (A.1):

d2VGx,pdy2

+εR

1 + εRy

dVGx,pdy

=∂PG∂x

Re (A.3)

Setzt man in Gl. (A.3) die Krümmungsparameter εR → 0 mit den RandbedingungenVGx,p = 0 für y = + − 1 ein, erhält man die geläufige Form der Differentialgleichungfür die Kanalströmung mit ebenen Wänden, siehe Schlichting [57] Seite 85:

d2VGx,pdy2

=∂PG∂x

Re (A.4)

Die Gleichung (A.4) besitzt als Lösung das parabolische, vollausgebildete Geschwindig-keitsprofil der laminaren Strömung der Form:

VGx,p = − c2

(1− y2

)(A.5)

Der Koeffizient c für die Kanalströmung hängt vom Druckgradienten ab:

c =∂PG∂x

Re (A.6)

Für die Ringspaltströmung ist es leicht zu verifizieren, dass die inhomogene Differential-gleichung (A.3) mit den Randbedingungen:

y = +1 : VGx,p = 0

y = −1 : VGx,p = 0 (A.7)

folgende Lösung besitzt (siehe Streeter [65], Seite 217):

VGx,p =c

4εR

(A ln (1− εR) + B ln (1 + εR) + 4 ln (1 + εRy)

ln (1− εR)− ln (1 + εR)

)(A.8)

114 Formulierung der Grundströmung

wobei für A und B gilt:

A = (−2 + 2y) +(−1 + y2

)εR

B = (−2− 2y) +(1− y2

)εR

Aus Gleichung (A.8) geht hervor, dass VGx proportional zu c ist. Im Folgenden wird ge-zeigt, dass die physikalisch sinnvolle Bezugsgröße für die Geschwindigkeit mit dem Druck-gradienten zu

∂PG∂x

H2

µ

gebildet wird.Die Größe c aus (A.6) lautet in dimensionsbehafteten Größen formuliert:

c = Re∂PG∂x

=ρHUref

µ

H

ρU2ref

∂PG∂x

=H2

µUref

∂PG∂x

(A.9)

Durch Einsetzen von (A.9) in (A.8) lässt sich VGx wie folgt schreiben:

VGx,p =VGx

Uref=

H2

µUref

∂PG∂x

1

4εR


ln (1− εR)− ln (1 + εR)

)

(A.10)

oder

VGx,p =VGx,pH2

µ∂PGx∂x

=1

4εR


ln (1− εR)− ln (1 + εR)

)(A.11)

Aus (A.10) und (A.11) ergibt sich somit

Ux,p = −H2

2µ

∂PGx∂x

= Uref (A.12)

als Referenzgeschwindigkeit. Sie ist die Maximalgeschwindigkeit der Ringspaltströmung.Sie wird zur Bildung der Reynolds-Zahl in Abschnitt 2.1 verwendet. Schlichting benutztdiese Referenzgeschwindigkeit zur Bildung der Reynolds-Zahl in einer Kanalströmung([57], Seite 85).Dann lautet Gleichung (A.11) wie folgt:

VGx,p =VGx,p

Uref=

VGx

− H2

2µ∂PGx∂x

=−1

2εR


ln (1− εR)− ln (1 + εR)

)

(A.13)

Wird der Parameter εR in einem Rechenprogramm nahe null gewählt, ergeben sich auf-grund des Nenners in Gl. (A.13) größere Abweichungen zu eigentlich erwarteten Ergeb-nissen. Aus diesem Grund wird im Folgenden eine konsequente Reihenentwicklung derLogarithmen in Gl. (A.13) durchgeführt, um den erwähnten Missstand zu vermeiden. Dieangesetzten Reihen lauten wie folgt:

ln(1 + εR) = εR −1

2ε2R +

1

3ε3R −

1

4ε4R +O(ε5R)

ln(1− εR) = −εR −1

2ε2R −

1

3ε3R −

1

4ε4R −O(ε5R)

ln(1 + εRy) = εRy −1

2ε2Ry

2 +1

3ε3Ry

3 − 1

4ε4Ry

4 +O(ε5R)

(A.14)

Formulierung der Grundströmung 115

Nach dem Einsetzen der Entwicklungen für die Logarithmen in Gl. (A.13) und anschlie-ßendem Ausmultiplizieren erhält man für die einzelnen Ordnungen von εR folgende Terme:

O(ε0R) :(1− y2

)

O(ε1R) : −y3

(1− y2

)

O(ε2R) :1

12

(1 + 2y2 − 3y4

)(A.15)

Hiermit lässt sich Gleichung (A.13) nun in der Form

VGx,p = VGx,p0 + εRVGx,p1 + ε2RVGx,p2 +O(ε3R) (A.16)

schreiben. Durch Einsetzen von (A.15) folgt:

VGx,p =(1− y2

)− εR

y

3

(1− y2

)+ ε2R

1

12

(1 + 2y2 − 3y4

)+O(ε3R) (A.17)

Die asymptotische Entwicklung der Grundströmung wird in dieser Arbeit bis zur OrdnungεR betrachtet. Dann lautet die axiale Grundströmungskomponente aufgrund des aufgepräg-ten Druckgradienten wie folgt:

VGx,p =VGx,p

Ux,p=

VGx,p

− H2

2µ∂PGx∂x

≈(1− y2

)(1− 1

3εRy

)(A.18)

In Gleichung (A.18) erkennt man, dass der führende Term die Lösung der vollentwickeltenlaminaren Kanalströmung ist. Diese wird durch den Einfluss der Krümmung korrigiert.

A.2. Der gezogene Innenzylinder

Um die Geschwindigkeitskomponente VGx,w zu bestimmen, die sich aufgrund eines axialgezogenen Innenzylinders ergibt, muss die Differentialgleichung, die dieses Problem be-schreibt, gelöst werden. Im Unterschied zur Gleichung (A.1) ist der Druckgradient ∂PG∂x indiesem Fall gleich null gesetzt.

d2VGx,wdr2

+1

r

dVGx,wdr

= 0 (A.19)

Die Differentialgleichung ist in den globalen Koordinaten r und x formuliert. In diesemKoordinatensystem ergeben sich die zugehörigen Randbedingungen aus der Haftbedingungan den Wänden:

Ra =1

εR+ 1 : VGx,w = 0

Ri =1

εR− 1 : VGx,w =

VGx,w

Ux,wi= 1 (A.20)

wobei Ux,wi die Geschwindigkeit ist, mit der der Innenzylinder gezogen wird.Für weitere Betrachtungen ist es zweckmäßig das Problem in den Spalt-bezogenen Koor-dinaten zu formulieren. Dafür wird eine Transformation der Differentialgleichung von derKoordinate r in die Koordinate y durchgeführt (siehe (A.2). Die Differentialgleichung sowie die Randbedingungen stellen sich dann in folgender Form dar:

d2VGx,wdy2

+εR

(1 + yεR)

dVGx,wdy

= 0 (A.21)


y = 1 : VGx,w = 0

y = −1 : VGx,w = 1 (A.22)

Für die Grundströmung wird eine asymptotische Entwicklung aufgestellt, Siehe Nayfeh[42]. Dabei gibt der erste Term die Strömungsgeschwindigkeit ohne Berücksichtigung derKrümmung wieder. Alle weiteren Terme sind Korrekturterme, die die Geschwindigkeits-änderungen durch die Transversalkrümmung berücksichtigen. Da die Krümmung des Zy-linderspaltes schwach ist, darf der Krümmungsparameter, wenn er in höherer Ordnungauftaucht (ε2R, ε

3R, ...), als vernachlässigbar klein angesehen werden. Deshalb braucht die

asymptotische Reihe auch nur bis zum zweiten Term entwickelt zu werden.

VGx,w = VGx,w0 + εRVGx,w1 +O(ε2R)

(A.23)

Die asymptotische Entwicklung der Grundströmungsgeschwindigkeit wird in die Differen-tialgleichung eingesetzt:

d2VGx,w0

dy2+ εR

d2VGx,w1

dy2+

εR(1 + εRy)

dVGx,w0

dy+

ε2R(1 + yεR)

dVGx,w1

dy= 0 (A.24)

Die Differentialgleichung vereinfacht sich zu:

d2VGx,w0

dy2+ εR

d2VGx,w1

dy2+

εR(1 + εRy)

dVGx,w0

dy= 0 (A.25)

Durch einen Koeffizientenvergleich lässt sich ein Gleichungssystem aufstellen, über dasdie Terme der asymptotischen Näherung der Geschwindigkeit sich ohne weitere Problemeermitteln lassen.

ε0R :d2VGx,w0

dy2= 0

ε1R :d2VGx,w1

dy2+dVGx,w0

dy= 0 (A.26)

Durch Aufintegrieren lassen sich die zwei Komponenten der asymptotischen Entwicklungermitteln.Für VGx,w0:

d2VGx,w0

dy2= 0

⇒ dVGx,w0

dy= C1

⇒ VGx,w0 = C1y + C2 (A.27)

Unter Berücksichtigung der Randbedingungen

VGx,w0(1) = 0 = C1 + C2

VGx,w0(−1) = 1 = −C1 + C2 (A.28)

ergeben sich die Konstanten C1 = − 12 und C2 = 1

2 , so dass VGx,w0 bestimmt wird zu:

VGx,w0 =1

2(1− y) (A.29)

VGx,w1 ergibt sich nun aus der zweiten Gleichung

d2VGx,w1

dy2− 1

2= 0 (A.30)

Formulierung der Grundströmung 117

ebenfalls durch Aufintegrieren. Das heißt:

dVGx,w1

dy=

1

2y + C3

⇒ VGx,w1 =1

4y2 + C3y + C4 (A.31)

Die Integrationskonstanten werden so ermittelt, dass die Randbedingungen erfüllt wer-den. Dabei ist zu berücksichtigen, das für Vxw1 als Korrekturterm für den Krümmungs-einfluss innerhalb der Strömung, andere Randbedingungen gelten als für Vxw0 des Grund-strömungsprofils ebener Wände. Die Korrektur soll an den Wänden zu Null werden, denndort gilt ausschließlich die Haftbedingung. Deshalb sind die IntegrationskonstantenC3 undC4 so zu ermitteln das folgende Randbedingungen für VGx,w1 erfüllt werden können:

y = 1 : VGx,w1 = 0 =1

4+ C3 + C4

y = −1 : VGx,w1 = 0 =1

4− C3 + C4 (A.32)

Daraus ergibt sich, dass C3 = 0 und C4 = − 14 sind und VGx,w1 wie folgt aussieht:.

VGx,w1 =1

4

(y2 − 1

)(A.33)

Die vollständige Näherung des Grundströmungsanteils aufgrund des gezogenen Innenzy-linders im Spalt ergibt sich somit zu:

VGx,w =VGx,w

Ux,wi=

1

2(1− y) + εR

1

4

(y2 − 1

)+O

(ε2R)

(A.34)

Die axiale Gesamtgeschwindigkeit der Grundströmung ist die Summe der einzelnen An-teile aus Druckgradient VGx,p und Translationsbewegung des Innenzylinders VGx,w. Diesekann dimensionsbehaftet wie folgt geschrieben werden:

VGx = VGx,p + VGx,w = Ux,pVGx,p + Ux,wiVGx,w (A.35)

Wird (A.35) durch die Referenzgeschwindigkeit Uref = Ux,p, siehe (A.12), entdimensio-niert, sieht die vollständige Geschwindigkeitskomponente in axialer Zylinderrichtung wiefolgt aus:

VGx =VGx

Ux,p≈(1− y2

)(1− 1

3εRy

)+ Zw

[1

2(1− y) + εR

1

4

(y2 − 1

)](A.36)

wobei Zw definiert ist als:

Zw =Ux,wi

Ux,p(A.37)

und im weiteren als Translationsgeschwindigkeits-Kennröße bezeichnet wird.

A.3. Der rotierende Außenzylinder

Die radiale Geschwindigkeitskomponente der Grundströmung entsteht aufgrund der Rota-tion des Außenzylinders. Die zu erfüllende dimensionsbehaftete Ausgangsdifferentialglei-chung lautet [57]:

d2VGϕdr2

+d

dr

(VGϕr

)= 0. (A.38)


Die zu erfüllenden Randbedingungen lauten:

r = Ra ⇒ Uφ,wa = RaΩa

r = Ri ⇒ Uφ,wi = RiΩa (A.39)

wobei Ωa und Ωi die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten des Außenzylinders bzw.des Innenzylinders sind.Nach Schlichting [57] lautet die Lösung von (A.38) wie folgt:

VGφ =1

R2a − R2

i

[r(

ΩaR2a − ΩiR

2i

)− R2

i R2a

r

(Ωa − Ωi

)](A.40)

Für den Fall, dass der Innenzylinder stillsteht und der Außenzylinder rotiert, ist die Win-kelgeschwindigkeit Ωi = 0. Dann erhält man für die Geschwindigkeitsverteilung:

VGφ =ΩaRa

R2a − R2

i

[rRa −

R2i Rar

]

⇒ VGφ =VGφ

ΩaRa=

VGφ

Uφ,wa=

1

R2a − R2

i

[rRa −

R2i Rar

]

=Ra

R2a −R2

i

[r − R2

i

r

](A.41)

wobei die dimensionsbehafteten Größen r, Ra und Ri durch H entdimensioniert wurden.Bei Anwendung der Koordinatentransformation r → y mit

r =1

εR+ y (A.42)

nehmen die Randbedingungen und die Grundströmungskomponente (A.41) folgende Forman:

Ra =1

εR+ 1

Ri =1

εR− 1

VG,φ =VG,φ

Uφ,wa=

1 + εR4

[1 + εRy

εR− (1− εR)

2

εR (1 + εRy)

](A.43)

Nach einigen Rechenschritten ergibt sich die Lösung (A.43) zu:

VGφ = Uφ,wa

[1

2(1 + y) +

εR4

(1− y2

)+O(ε2R)

]. (A.44)

Wird (A.44) durch Ux,p entidimensioniert, sieht die azimutale Geschwindigkeitskompo-nente der Grundströmung wie folgt aus:

VG,φ =VG,φ

Ux,p= Sa

[1

2(1 + y) +

εR4

(1− y2

)]+O(ε2R) (A.45)

wobei Sa =Uφ,wa

Ux,pdie Kenngröße der Drehgeschwindigkeit ist.

B. Herleitung der Orr-Sommerfeld- undSquire-Gleichungen

B.1. Die Orr-Sommerfeld-Gleichung

Im Folgenden sind die quadratischen Glieder der Gleichung abgeleitet. Die Geschwindig-keiten (vr, vφ, vx) sind als die Aufspaltung, Grundstromung + Storung eingeführt:

∂

∂r

(∂

∂x

(∂

∂x(vxvx)

))= 2

dVGxdr

∂2ux∂x2

+ 2VGx∂3ux∂r∂x2

+∂

∂r

(∂

∂x

(∂(uxux)

∂x

))

∂

∂r

(∂

∂x

(1

r

∂

∂r(rvrvx)

))=d2VGxdr2

∂ur∂x

+ 2dVGxdr

∂2ur∂r∂x

+ VGx∂3ur∂x∂r2

+VGxr

∂2ur∂x∂r

+d

dr

(VGxr

)∂ur∂x

+∂

∂r

(∂

∂x

(1

r

∂

∂r(rurux)

))

∂

∂r

(∂

∂x

(1

r

∂

∂φ(vφvx)

))=VGφr

∂3ux∂x∂r∂φ

+d

dr

(VGφr

)∂2ux∂x∂φ

+VGxr

∂3uφ∂x∂r∂φ

+d

dr

(VGxr

)∂2uφ∂x∂φ

+∂

∂r

(∂

∂x

(1

r

∂

∂φ(uφux)

))

∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(∂(vxvφ)

∂x

))=

d

dr

(VGxr

)∂2uφ∂φ∂x

+VGxr

∂3uφ∂r∂φ∂x

+d

dr

(VGφr

)∂2ux∂φ∂x

+VGφr

∂3ux∂r∂φ∂x

+∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(∂(uxuφ)

∂x

))

∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(1

r

∂(rvrvφ)

∂r

))=VGφr

∂3ur∂φ∂r2

+d

dr

(VGφr

)∂2ur∂φ∂r

+VGφr2

∂2ur∂φ∂r

+d

dr

(VGφr2

)∂ur∂φ

+∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(1

r

∂(ruruφ)

∂r

))

+d

dr

(1

r

dVGφdr

)∂ur∂φ

+1

r

dVGφdr

∂2ur∂r∂φ

∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(1

r

∂(vφvφ)

∂φ

))= 2

VGφr2

∂3uφ∂r∂φ2

+ 2d

dr

(VGφr2

)∂2uφ∂φ2

+∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(1

r

∂(uφuφ)

∂φ

))

(B.1)

120 Herleitung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen

2

r2

∂

∂φ

(∂(vxvφ)

∂x

)= 2

VGxr2

∂2uφ∂φ∂x

+ 2VGφr2

∂2ux∂φ∂x

+2

r2

∂

∂φ

(∂(uxuφ)

∂x

)

2

r2

∂

∂φ

(1

r

∂(rvrvφ)

∂r

)= 2

VGφr3

∂2(rur∂φ∂r

+2

r2

dVGφdr

∂ur∂φ

+2

r2

∂

∂φ

(1

r

∂(ruruφ)

∂r

)

2

r2

∂

∂φ

(1

r

∂(vφvφ)

∂φ

)= 4

VGφr3

∂2uφ∂φ2

+2

r2

∂

∂φ

(1

r

∂(uφuφ)

∂φ

)

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂(vxvr)

∂x+

1

r

∂(rvrvr)

∂r+

1

r

∂(vφvr)

∂φ−v2φ

r

)=

VGx

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂ur∂x

)+VGφr

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂ur∂φ

)

− 2VGφr

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)uφ+

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂(uxur)

∂x+

1

r

∂(rurur)

∂r+

1

r

∂(uφur)

∂φ−u2φ

r

)(B.2)

Herleitung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen 121

Aus den obigen Ableitungen zusammen mit den zeitabhängigen Termen bekommtman nach Aufsummierung die linearen Terme (LHSOS)invisc:

(LHSOS)invisc =

− ∂

∂t

(∂2ur∂x2

+∂2ur∂r2

+1

r2

∂2ur∂φ2

+1

r

∂ur∂r− 2

r2

∂uφ∂φ− urr2

)

2dVGxdr

∂2ux∂x2

+ 2VGx∂3ux∂r∂x2

+d2VGxdr2

∂ur∂x

+ 2dVGxdr

∂2ur∂r∂x

+ VGx∂3ur∂x∂r2

+

VGxr

∂2ur∂x∂r

+d

dr

(VGxr

)∂ur∂x

+VGφr

∂3ux∂x∂r∂φ

+

d

dr

(VGφr

)∂2ux∂x∂φ

+VGxr

∂3uφ∂x∂r∂φ

+d

dr

(VGxr

)∂2uφ∂x∂φ

+

d

dr

(VGxr2

)∂2uφ∂φ∂x

+VGxr2

∂3uφ∂r∂φ∂x

+d

dr

(VGφr2

)∂2ux∂φ∂x

+VGφr2

∂3ux∂r∂φ∂x

+

VGφr

∂3ur∂φ∂r2

+d

dr

(VGφr

)∂2ur∂φ∂r

+VGφr2

∂2ur∂φ∂r

+

d

dr

(VGφr2

)∂ur∂φ

+ 2VGφr2

∂3uφ∂r∂φ2

+ 2d

dr

(VGφr2

)∂2uφ∂φ2

+

2VGxr2

∂2uφ∂φ∂x

+ 2VGφr2

∂2ux∂φ∂x

+ 2VGφr3

∂2(rur∂φ∂r

+2

r2

dVGφdr

∂ur∂φ

+ 4VGφr3

∂2uφ∂φ2

+

VGx

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂ur∂x

)+VGφr

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂ur∂φ

)−

2VGφr

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)uφ (B.3)

Und die nichtlinearen Terme, die auf der rechten Seite geschrieben sind:

(RHSOS) =

− ∂

∂r

(∂

∂x

(∂(uxux)

∂x

))− ∂

∂r

(∂

∂x

(1

r

∂

∂r(rurux)

))

− ∂

∂r

(∂

∂x

(1

r

∂

∂φ(uφux)

))− ∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(∂(uxuφ)

∂x

))

− ∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(1

r

∂(ruruφ)

∂r

))− ∂

∂r

(1

r

∂

∂φ

(1

r

∂(uφuφ)

∂φ

))

− 2

r2

∂

∂φ

(∂(uxuφ)

∂x

)− 2

r2

∂

∂φ

(1

r

∂(ruruφ)

∂r

)− 2

r2

∂

∂φ

(1

r

∂(uφuφ)

∂φ

)+

(∂2

∂x2+

1

r2

∂2

∂φ2

)(∂(uxur)

∂x+

1

r

∂(rurur)

∂r+

1

r

∂(uφur)

∂φ−u2φ

r

)(B.4)

122 Herleitung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen

B.2. Die Squire-Gleichung

Im Folgenden sind die quadratischen Glieder der Gleichung abgeleitet. Die Geschwindig-keiten (vr, vφ, vx) sind als die Aufspaltung, Grundstromung + Storung eingeführt:

∂

∂x

(∂

∂x(vxvφ)

)= VGx

∂2uφ∂x2

+ VGφ∂2ux∂x2

+∂

∂x

(∂

∂x(uxuφ)

)

∂

∂x

(1

r

∂

∂r(rvrvφ)

)= VGφ

∂2ur∂x∂r

+dVGφdr

∂ur∂x

+VGφr

∂ur∂x

+∂

∂x

(1

r

∂

∂r(ruruφ)

)

∂

∂x

(1

r

∂

∂φ(vφvφ)

)= 2

VGφr

∂2uφ∂x∂φ

+∂

∂x

(1

r

∂

∂φ(uφuφ)

)

1

r

∂

∂φ

(∂

∂x(vxvx)

)= 2

VGxr

∂2ux∂φ∂x

+1

r

∂2

∂φ∂x(uxux)

1

r

∂

∂φ

(1

r

∂

∂r(rvrvx)

)=VGxr

∂2ur∂φ∂r

+1

r

dVGxdr

∂2ur∂φ∂r

+VGxr2

∂ur∂φ

+1

r

∂

∂φ

(1

r

∂

∂r(rurux)

)

1

r

∂

∂φ

(1

r

∂

∂φ(vφvx)

)=VGφr2

∂2ux∂φ2

+VGxr2

∂2uφ∂φ2

+1

r2

∂2

∂φ2(uφux) (B.5)

Aus den obigen Ableitungen zusammen mit den zeitabhängigen Termen bekommtman nach Aufsummierung die linearen Terme (LHSSQ)invisc:

(LHSSQ)invisc =

∂

∂t

(1

r

∂ux∂φ− ∂uφ

∂x

)

+VGx∂2uφ∂x2

+ VGφ∂2ux∂x2

+ VGφ∂2ur∂x∂r

+dVGφdr

∂ur∂x

+VGφr

∂ur∂x

+ 2VGφr

∂2uφ∂x∂r

+ 2VGxr

∂2ux∂φ∂x

+VGxr

∂2ur∂φ∂r

+

1

r

dVGxdr

∂2ur∂φ∂r

+VGxr2

∂ur∂φ

+VGφr2

∂2ux∂φ2

+VGxr2

∂2uφ∂φ2

(B.6)

Und die nichtlinearen Terme, die auf der rechten Seite geschrieben sind:

(RHSSQ) =

− ∂

∂x

(∂

∂x(uxuφ)

)− ∂

∂x

(1

r

∂

∂r(ruruφ)

)− ∂

∂x

(1

r

∂

∂φ(uφuφ)

)

+1

r

∂2

∂φ∂x(uxux) +

1

r

∂

∂φ

(1

r

∂

∂r(rurux)

)+

1

r2

∂2

∂φ2(uφux) (B.7)

C. Herleitung von höheren Ableitungenbei Einführung von ξx und T

Bei der Anwendung von (4.8) auf die verschiedenen Ableitungen im Operator D ergebensich die folgenden Entwicklungen:

∂2

∂x2→ ∂2

∂x2+ ε

12

A

(2

∂2

∂x∂ξx

)+ εA

(∂2

∂ξ2x

)+O(ε

32

A)

∂3

∂x3→ ∂3

∂x3+ ε

12

A

(3

∂3

∂x2∂ξx

)+ εA

(3

∂3

∂x∂ξ2x

)+O(ε

32

A)

∂3

∂x∂y2→ ∂3

∂x∂y2+ ε

12

A

(∂3

∂ξx∂y2

)+O(ε

32

A)

∂4

∂x4→ ∂4

∂x4+ ε

12

A

(4

∂4

∂x3∂ξx

)+ εA

(6

∂4

∂x2∂ξ2x

)+O(ε

32

A)

∂4

∂x2∂y2→ ∂4

∂x2∂y2+ ε

12

A

(2

∂4

∂x∂ξx∂y2

)+ εA

(∂4

∂ξ2x∂y

2

)+O(ε

32

A)

∂2

∂t∂x→ ∂2

∂t∂x+ ε

12

A

(∂2

∂t∂ξx−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂2

∂ξx∂x

)

+ εA

(−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂2

∂ξ2x

+∂2

∂T∂x

)+O(ε

32

A)

∂3

∂t∂x2→ ∂3

∂t∂x2+ ε

12

A

(2

∂3

∂t∂x∂ξx−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂3

∂ξx∂x2

)

+ εA

(∂3

∂T∂x2− 2

(∂ω

∂λx

)

N,r

∂3

∂ξ2x∂x

+∂3

∂t∂ξ2x

)+O(ε

32

A)

∂3

∂t∂y2→ ∂3

∂t∂y2+ ε

12

A

(−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂3

∂ξx∂y2

)+ εA

∂3

∂T∂y2+O(ε

32

A) (C.1)

D. Adjungiertes Problem

Für gewisse Operationen in den Gleichungen des Problems (Anwendung einer Lösbarkeits-bedingung im Kapitel 4) ist es notwendig eine Reihe von Funktionen zur Verfügung zu stel-len, die orthogonal zu den regulären Funktionen der Orr-Sommerfeld-Squire-Gleichungenliegen [24], [42], [64], [38]. Aus dem adjungierten Orr-Sommerfeld-Squire-Problem ergibtsich diese orthogonale Funktion. Jedoch ist in diesem Fall, wie auch in anderen Eigenwert-problemen für die Stabilität einer Scherströmung, die Matrix L nicht selbstadjungiert [59].Das heißt, das adjungierte Orr-Sommerfeld-Squire-Problem muss in dieser Arbeit aufge-stellt und gelöst werden, um die orthogonalen Funktionen zu erhalten.Die Verwendung linearer Eigenfunktionen in der durch Nichtlinearitäten erweiterten Orr-Sommerfeld-Squire-Gleichung erfordert die Kenntnisse der Eigenfunktionen des adjun-gierten Eigenwertproblems. Die Orthogonalitätsbeziehung zwischen den Eigenfunktionendes adjungierten Eigenwertproblems und des Ausgangsproblems eignet sich zur Lösungdes nichtlinearen Problems im Kapitel 4.Definitionsgemäß gilt für den adjungierten Operator L die folgende Beziehung (vergleiche[59] Seite 85):

∫ 1

−1

A†∗(LA) dy =

∫ 1

−1

A(L †A†)∗ dy (D.1)

Wird das obige linke Integral durch partielle Integration umgewandelt, um das rechte Inte-gral zu erlangen, ergibt sich daraus der adjugierte Operator L †.Die Definition (D.1) ist sinngemäß auf die verschiedenen Elemente in L übertragbar. DieTeiloperatoren von L † nach partieller Integration sehen dann wie folgt aus:

L †OSr = VGx

(iλx

d2

dy2− iλ3

x − εRiλxd

dy

)+ 2

dVGxdy

iλxd

dy

+ εRVGφ

(inφ

d2

dy2− inφλ2

x

)+ 2εR

dVGφdy

inφd

dy+ εR

dV 2Gφ

dy2inφ

+1

Re

(λ4x +

d4

dy4− 2λ2

x

d2

dy2

)+

2εRRe

(λ2x

d

dy− d3

dy3

)

L †OSφ = −2εRSa

(1 + y

2

)λ2x

L †OSx = 0

126 Adjungiertes Problem

L †Sqr = −εRdVGxdy

inφ + εRVGφiλx +dVGφdy

iλx

L †Sqφ = VGxλ2x + εRVGφλxnφ

+1

Re

(iλ3x − iλx

d2

dy2

)+εRRe

iλxd

dy

L †Sqx = −εRVGxλxnφ −εRRe

(iλ2xnφ − inφ

d2

dy2

)

L †Cor = − d

dy+ εR

L †Coφ = −iεRnφ

L †Cox = −iλx (D.2)

Der Ausgangspunkt für die Aufstellung des adjungierten Problems ist das System der Glei-chungen für (Ar,Aφ,Ax)T , (3.2 - 3.7), das hier zur Erleichterung der Lesbarkeit in Kom-ponentenschreibweise geschrieben ist:

−iω(λ2x −

d2

dy2− εR

d

dy

)Ar + LOSrAr + LOSφAφ + LOSxAx = 0

−iω (−iλxAφ + iεRnφAx) + LSqrAr + LSqφAφ + LSqxAx = 0

(LCorAr + LCoφAφ + LCoxAx) = 0 (D.3)

Der adjungierte Vektor ist mit A† = (A†r,A†φ,A

†x)T bezeichnet. Zur Herleitung des Glei-

chungssystems für A† bedarf es folgender Schritte:

• Die Orr-Sommerfeld-, Squire- und Kontinuitätsgleichungen werden in der Reihen-folge mit der Konjugiert-Komplexen des adjungierten Vektors (A†r,A

†φ,A

†x)∗ mul-

tipliziert und das Resultat aufsummiert wird. Dieser Schritt ist gleichbedeutend mitdem, ein Skalarprodukt zwischen dem Gleichungssystem (D.3) und dem Vektor A†

durchzuführen.

• Die aus dem vorigen Schritt resultierenden Gleichungen werden von den Grenzeny = −1 bis y = 1 integriert.

• Die Resultate aus den vorigen zwei Schritten werden aufsummiert.

• Die aus dem vorigen Schritt resultierende Summe wird umgeordnet nach Koeffizi-enten von Ar,Aφ,Ax.

Die Durchführung der ersten zwei Schritte führt die linke Seite von (D.3), die frei von ωist, zu folgendem Ausdruck:

∫ 1

−1

A†r∗

(LOSrAr + LOSφAφ + LOSxAx) dy

∫ 1

−1

A†φ∗

(LSqrAr + LSqφAφ + LSqxAx) dy

∫ 1

−1

A†x∗

(LCorAr + LCoφAφ + LCoxAx) dy (D.4)

Adjungiertes Problem 127

Die Verwendung der Beziehung zwischen den Ausgangs- und adjungierten Operatorennach Definition (D.1), führt dazu, dass der Ausdruck (D.4) dem folgenden gleich ist:

∫ 1

−1

Ar

(L †OSrA

†r + L †SqrA

†φ + L +

CorA†x

)∗dy +

∫ 1

−1

Aφ

(L †OSφA

†r + L +

SqφA†φ + L †CoφA

†x

)∗dy +

∫ 1

−1

Ax

(L †OSxA

†r + L †SqxA

†φ + L †CoxA

†x

)∗dy (D.5)

Die Anwendung der soeben beschriebenen drei Schritte auf die von ω abhängigen Termein (D.3), welche nur in den Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen enthalten sind, führtzu:

∫ 1

−1

Ar

((iω∗)(λ2

x −d2

dy2+ εR

d

dy)A†r

)∗dy

+

∫ 1

−1

Aφ

((iω∗)iλxA

†φ

)∗dy

+

∫ 1

−1

Ax

((iω∗)

(−iεRnφA†φ

))∗dy (D.6)

Der letzte Schritt besteht darin, die Ausdrücke in (D.5) und (D.6) zu summieren, das Er-gebnis nach Koeffizienten von Ar,Aφ,Ax umzuordnen und danach die Koeffizienten vonAr,Aφ,Ax gleich null zu setzen. Abschließend lautet das Ergebnis, geordnet in der Rei-henfolge der Koeffizienten Ar,Aφ,Ax, wie folgt:

(iω∗)

(λ2x −

d2

dy2+ εR

d

dy

)A†r + L †OSrA

†r + L †SqrA

†φ + L †CorA

†x = 0

(iω∗) (iλx)A†φ + L †OSφA†r + L †SqφA

†φ + L †CoφA

†x = 0

(iω∗) (−iεRnφ)A†φ + L †OSxA†r + L †SqxA

†φ + L †CoxA

†x = 0 (D.7)

Es sollte darauf hingewiesen werden, dass sich aus der partiellen Integration die selbenRandbedingungen für die adjungierten Eigenfunktionen ergeben haben wie bei demAusgangsproblem, das heißt:

y = ±1 : A†r = A†φ = A†x = 0

y = ±1 :∂A†r∂y

= 0 (D.8)

Das Gleichungssystem (D.7) stellt zusammen mit den Randbedingungen (D.8) das Eigen-wertproblem für den adjungierten Vektor (A†r,A

†φ,A

†x)T dar.

Als Bestätigung für den richtigen Aufbau des adjungierten Eigenwertproblems werden fürdie selbe Parametermenge die Eigenwerte des Ausgangs- und des adjungierten Problemsberechnet und dargestellt.

128 Adjungiertes Problem

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω r

ω i

Eigenwerte vom homogenen OperatorEigenwerte vom adjungierten Operator

Abbildung D.1.: Vergleich zwischen den Eigenwerten des adjungierten Problems (in Blau)und den Eigenwerten des Ausgangsproblems (in Rot).

Wie zu erwarten war, entsprechen die Eigenwerte des adjungierten Problems den komplexkonjugierten Werten der Eigenwerte des Ausgangsproblems.Dieses Ergebnis hat sich aus der Herleitung des adjungierten Problems ergeben und wurdemit Matlab berechnet.

E. Bestimmung derAmplitudenstruktur für u2

Die Lösungsform für u(2)2

Die Abhängigkeit des Geschwindigkeitsanteils u2 von y und von den langen Skalen wirdsichtbar, wenn der Anteil u(2)

2 exp2i(ΘN ) in (4.32) eingesetzt und ausgerechnet wird.

D1

(u

(2)2 exp2i(ΘN )

)= N

(2)2 exp2i(ΘN ) (E.1)

Nach der Substitution nimmt die obige Gleichung die folgende Form an:

(LHS)(2)2OSr (LHS)

(2)2OSφ (LHS)

(2)2OSx

(LHS)(2)2Sqr (LHS)

(2)2Sqφ (LHS)

(2)2Sqx

(LHS)(2)2Cor (LHS)

(2)2Coφ (LHS)

(2)2Cox

u

(2)2r

u(2)2φ

u(2)2x

=

(RHS)(2)2OS

(RHS)(2)2Sq

(RHS)(2)2Co

(E.2)

Wobei die Matrixelemente der Operatoren in (E.2) wie folgt aussehen:

Linke Seite

(LHS)(2)2OSr = 2ωN i

(−4λ2

x +∂2

∂y2+ εR

∂

∂y

)+d2VGxdy2

2iλx

− εRdVGxdy

2iλx − VGx(

2iλx∂2

∂y2− 8iλ3

x + εR2iλx∂

∂y

)

+ εRd2VGφdy2

2inφ + εRVGφ

(−2inφ

∂2

∂y2+ 8inφλ

2

)

+1

Re

(16λ4

x +∂4

∂y4− 8λ2

x

∂2

∂y2

)+

2εRRe

(−4λ2

x

∂

∂y+

∂3

∂y3

)

(LHS)(2)2OSφ = −8εRVGφλ

2x

(LHS)(2)2OSx = 0

130 Bestimmung der Amplitudenstruktur für u2

(LHS)(2)2Sqr = εR

dVGxdy

2inφ −(εRVGφ +

dVGφdy

)2iλx

(LHS)(2)2Sqφ = 4ωNλx + 4VGxλ

2x + 4εRVGφλxnφ

+1

Re

(−i8λ3

x + i2λx∂2

∂y2

)+εRRe

iλx∂

∂y

(LHS)(2)2Sqx = −4εRωNnφ − εRVGx4λxnφ

− εRRe

(−8iλ2

xnφ + i2∂2

∂y2nφ

)

(LHS)(2)2Cor =

∂

∂y+ εR

(LHS)(2)2Coφ = iεR2nφ

(LHS)(2)2Cox = i2λx (E.3)

Rechte Seite

(RHS)(2)2OS = 4B2

N

[4λ2

x

∂(ANxANx)

∂y− 2iλx

∂2(ANrANx)

∂y2− 2iλxεR

∂(ANrANx)

∂x∂y

+ 4λxnφεR∂(ANφANx)

∂y+ 4λxnφεR

∂(ANxANφ)

∂y

− 2inφεR∂2(ANrANφ)

∂y2− 8iλ3

x(ANxANr)− 4λ2x

∂(ANrANr)

∂y

− 4λ2xεR(ANrANr)− 8λ2

xnφiεR(ANφANr) + 4λ2xεR(ANφANφ)

]

(RHS)(2)2Sq = 4B2

N

[4λ2

x(ANxANφ)− 2iλx∂(ANrANφ)

∂y− 2iλxεR(ANrANφ)

+ 4λxnφεR(ANφANφ)− 4λxnφεR(ANxANx) + 2inφεR∂(ANrANx)

∂y

]

(RHS)(2)2Co = 0 (E.4)

Da die Phase der Wellenfunktion in (E.2) 2i(ΘN ) ist, lässt sich die linke Seite invertierenund dadurch ist das Gleichungssystem lösbar.Nach der Ausführung von der inversen Matrix ((LHS)

(2)2 )−1 auf das Gleichungssystem in

(E.2) wird u(2)2 erhalten. Diese Lösung stellt sich wie folgt dar:

u(2)2 = 4B2

Nw(2)2 ; u

(2)∗2 = 4B∗2N w

(2)∗2 (E.5)

Wobei die Amplitude w(2)2 und ihr inverses Gegenstück w

(2)∗2 sich aus der Invertierung

ergeben.

Bestimmung der Amplitudenstruktur für u2 131


Der periodenfreie Anteil u(0)2 folgt, entgegen der Erwartung, nicht aus den Orr-

Sommerfeld- und Squire-Gleichungen D1u(0)2 = N

(0)2 , sondern aus den ursprünglichen

Bewegungsgleichungen selbst. Zur Einsicht in diesen Sachverhalt möge die folgende kurzeErläuterung dienen.Die linke Seite der Orr-Sommerfeld-Gleichung, mit (LHS)

(0)2OS bezeichnet :

(LHS)(0)2OS =

1

Re

∂4u(0)2r

∂y4+

2εRRe

∂3u(0)2r

∂y3(E.6)

Die linke Seite der Squire-Gleichung, mit (LHS)(0)2Sq bezeichnet:

(LHS)(0)2Sq = 0 (E.7)

Die linke Seite der Kontinuitätsgleichung, mit (LHS)(0)2Co bezeichnet:

(LHS)(0)2Co =

∂u(0)2r

∂y+ εRu

(0)2r (E.8)

Der periodenfreie Teil auf der rechten Seite der Orr-Sommerfeld-Gleichung, mit(RHS)

(0)2OS bezeichnet, lautet wie folgt:

(RHS)(0)2OS = 4BNB

∗N

[−∂

3(2ANxA∗Nx)

∂x2∂y− ∂3(ANrA

∗Nx + A∗NrANx)

∂x∂y2

− εR∂2(ANrA

∗Nx + A∗NrANx)

∂x∂y− εR

∂3(ANφA∗Nx + A∗NφANx)

∂x∂y∂φ

− εR∂3(ANxA

∗Nφ + A∗NxANφ)


∂3(ANrA∗Nφ + A∗NrANφ)

∂y2∂φ

+∂3(ANxA

∗Nr + A∗NxANr)

∂x3+∂3(2ANrA

∗Nr)

∂x2∂y+ εR

∂2(2ANrA∗Nr)

∂x2

+εR∂3(ANφA

∗Nx + A∗NφANx)

∂x2∂φ− εR

∂2(2ANφA∗Nφ)

∂x2

](E.9)

Der periodenfreie Teil der rechten Seite der Squire-Gleichung, mit (RHS)(0)2Sq bezeichnet,

lautet wie folgt:

(RHS)(0)2Sq = 4BNB

∗N

[−∂2(ANxA

∗Nφ + A∗NxANφ)

∂x2−∂2(ANrA

∗Nφ + A∗NrANφ)

∂x∂y

− εR∂(ANrA

∗Nφ + A∗NrANφ)

∂x− εR

∂2(2ANφA∗Nφ)

∂x∂φ

+εR∂2(2ANxA

∗Nx)

∂φ∂x+ εR

∂2(ANrA∗Nx + A∗NrANx)

∂φ∂x

](E.10)


Der periodenfreie Teil der rechten Seite der Kontinuitätsgleichung, mit (RHS)(0)2Co be-

zeichnet, lautet wie folgt:

(RHS)(0)2Co = 0 (E.11)

Eine Prüfung dieser rechten Seiten zeigt, dass sie gleich null sind, weil darin die Grö-ße (BNB

∗N [AN ⊗A∗N + A∗N ⊗AN ]) nach der Variablen x, von der sie nicht abhängt,

abgeleitet wird. Schlussfolgernd lässt sich sagen, dass u(0)2 gleich null ist, jedoch ist die-

se Lösung nicht statthaft. Demzufolge soll die Lösungsform für u(0)2 nicht aus den Orr-

Sommerfeld und Squire Gleichungen, sondern aus den ursprünglichen Bewegungsglei-chungen ermittelt werden.Zu diesem Zweck werden in den ursprünglichen Bewegungsgleichungen, (2.8, 2.7, 2.6) derGeschwindigkeitsvektor (vx, vr, vφ)T = (VGx+ux, 0+ur, VGφ+uφ)T und die geometri-sche Vereinfachung 1

r = εR(1+εRy) eingesetzt. Überdies wird ein konstanter Druckgradient

angenommen, sodass der Massenstrom sich ändern kann [59].

r-Impulsgleichung:

∂ur∂t

+ VGx∂ur∂x

+ εRVGφ∂ur∂φ− 2εRVGφuφ

− 1

Re

(∂ur∂x2

+ εR∂ur∂y

+∂2ur∂y2

)=

−[∂(uxur)

∂x+ εR(urur) +

∂(urur)

∂y+ εR

∂(uφur)

∂φ− εR(uφuφ)

](E.12)

φ-Impulsgleichung:

∂uφ∂t

+ VGx∂uφ∂x

+ VGφ∂ux∂x

+ εRVGφur + urdVGφdy

+ VGφ∂ur∂y

+ 2εRVGφ∂uφ∂φ− 1

Re

(∂uφ∂x2

+ εR∂uφ∂y

+∂2uφ∂y2

)=

−[∂(uxuφ)

∂x+ εR(uruφ) +

∂(uruφ)

∂y+ εR

∂(uφuφ)

∂φ

](E.13)

x-Impulsgleichung:

∂ux∂t

+ 2VGx∂ux∂x

+ εRVGxur + urdVGxdy

+ VGx∂ur∂y

+ εR

(VGφ

∂ux∂φ

+ VGx∂uφ∂φ

)− 1

Re

(∂ux∂x2

+ εR∂ux∂y

+∂2ux∂y2

)=

−[∂(uxux)

∂x+ εR(urux) +

∂(urux)

∂y+ εR

∂(uφux)

∂φ

](E.14)

Die Verwendung des Ansatzes (4.1) in (E.12, E.13, E.14) ergibt ein Gleichungssystem, dasdie Lösungsform des periodenfreien Anteils u(0)

2 wiedergeben kann. Dieses Gleichungssy-


stem, in der Reihenfolge r-Impuls-, φ-Impuls-, x-Impulsgleichung, lautet wie folgt:

r)→ −2εRVGφu(0)2φ −

1

Re

(εR∂u

(0)2r

∂y+∂2u

(0)2r

∂y2

)=

−[εR(u1ru1r) +

∂(u1ru1r)

∂y− εR(u1φu1φ)

];

φ)→ εRVGφu(0)2r + u

(0)2r

dVGφdy

+ VGφ∂u

(0)2r

∂y− 1

Re

(εR∂u

(0)2φ

∂y+∂2u

(0)2φ

∂y2

)=

−[εR(u1ru1φ) +

∂(u1ru1φ)

∂y

];

x)→ εRVGxu(0)2r + u

(0)2r

dVGxdy

+ VGx∂u

(0)2r

∂y− 1

Re

(εR∂u

(0)2x

∂y+∂2u

(0)2x

∂y2

)=

−[εR(u1ru1x) +

∂(u1ru1x)

∂y

]; (E.15)

Unter Berücksichtigung der Tensorbeziehung für u1u1 nach (4.27), lassen sich die rech-ten Seiten des Gleichungssystems, bezeichnet in der Reihenfolge (RHS)

(0)2r , (RHS)

(0)2φ ,

(RHS)(0)2x , wie folgt schreiben:.

(RHS)(0)2r = −4BNB

∗N

[εR(2ANrA

∗Nr) +

d(2ANrA∗Nr)

dy− εR(2ANφA

∗Nφ)

]

(RHS)(0)2φ = −4BNB

∗N

[εR(ANrA

∗Nφ + A∗NrANφ) +

d(ANrA∗Nφ + A∗NrANφ)

dy

]

(RHS)(0)2x = −4BNB

∗N

[εR(ANrA

∗Nx + A∗NrANx) +

d(ANrA∗Nx + A∗NrANx)

dy

]

(E.16)

Die Gleichungen (E.15, E.16) können in einer kompakten Matrixform geschrieben werden:

(LHS)(0)2(r,φ,x)u

(0)2 = (RHS)

(0)2(r,φ,x) (E.17)

Wobei in den Spaltenvektoren u(0)2 und (RHS)

(0)2 die Elemente in (E.15, E.16) wie folgt

geordnet sind:

u(0)2 =

u

(0)2r

u(0)2φ

u(0)2x

; (RHS)

(0)2(r,φ,x) =

(RHS)(0)2r

(RHS)(0)2φ

(RHS)(0)2x

(E.18)

Die Matrix (LHS)(0)2(r,φ,x) folgt aus (E.15):

− 1ReH

(εR

ddy + d2

dy2

)−2εRVGφ 0

εRVGφ +dVGφdy + VGφ

ddy − 1

ReH

(εR

ddy + d2

dy2

)0

εRVGx + dVGxdy + VGx

ddy 0 − 1

ReH

(εR

ddy + d2

dy2

)

(E.19)


Die Lösungsform für u(0)2 ergibt sich durch die Ausführung von der inversen Matrix

((LHS)(0)2(r,φ,x))

−1 auf das Gleichungssystem in (E.17). Schließlich hat u(0)2 die folgen-

de Form:

u(0)2 = 4BNB

∗Nw

(0)2 (E.20)

Wobei die Amplitude w(0)2 sich aufgrund der Invertierung herausstellt.


Um mit der Bestimmung der Lösungsstruktur der einzelnen Elemente von u2 fortzufahren,lautet die Gleichung für u(1)

2 wie folgt:

D1

(u

(1)2 expi(ΘN )+ c.c.

)= −D2 (2BNAN expi(ΘN )+ c.c.) (E.21)

Bekannt ist aus dem linearen Problem, dass der Operator D1 sich nicht invertieren lässt,wenn die Phase der Lösung die Grundschwingung iΘN ist. Da dies für u(1)

2 der Fall ist, solldas Einsetzen einer Lösbarkeitsbedingung in (E.21) in Anspruch genommen werden. Esist nun an dieser Stelle die Herleitung des adjungierten Problems in (D) angebracht, denndie Anwendung der adjungierten Lösung in (E.21) liefert das mathematische Werkzeug,um die Existenz der Lösung für u(1)

2 zu sichern [24].

Vor dem Einsetzen der Lösbarkeitsbedingung wird die rechte Seite von (E.21),die als Spaltenvektor durch D2 (2BNAN expi(ΘN )) = (RHS)

(1)2 =(

(RHS)(1)2OS , (RHS)

(1)2Sq, (RHS)

(1)2Co

)Tbezeichnet ist, zweckmäßig bearbeitet:

(RHS)(1)2OS = −2

∂BN∂ξx

[(∂ω

∂λx

)

N,r

(−λ2

xANr +∂2ANr

∂y2+ εR

∂ANr

∂y

)− 2ωNλxANr

+

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)ANr − VGx

(∂2ANr

∂y2− 3λ2

xANr

)

− VGxεR∂ANr

∂y+ 2εRVGφλxnφANr

+1

Re

(−4λ3

xiANr + 4λxi∂2ANr

∂y2+ 4εRλxi

∂ANr

∂y

)

+4εRVGφλxiANφ]

(RHS)(1)2Sq = −2

∂BN∂ξx

[−εRVGφANr −

dVGφdy

ANr

+

(∂ω

∂λx

)

N,r

iλxANφ + iωNANφ − VGx2iλxANφ

− εRVGφinφANφ +1

Re

(−3λ2

xANφ +∂2ANφ

∂y2+ εR

∂ANφ

∂y

)

−εR(∂ω

∂λx

)

N,r

inφANx + εRVGxinφANx +εRRe

2λxnφANx

]

(RHS)(1)2Co = −2

∂BN∂ξx

ANx (E.22)


Aus der Gleichung (E.22) ist zu entnehmen, dass die rechte Seite in (E.21) die folgendeStruktur besitzt:

(RHS)(1)2 = −2

∂BN∂ξx

[FN +

(∂ω

∂λx

)

N,r

GN

](E.23)

Wobei die Spaltenvektoren (FN ,GN ), mit FN = (FNOS ,FNSq,FNCo)T und GN =

(GNOS ,GNSq,GNCo)T , wie folgt aussehen:

FNOS = −2ωNλxANr +

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)ANr

− VGx(∂2ANr

∂y2− 3λ2

xANr + εR∂ANr

∂y

)+ 2εRVGφλxnφANr

+1

Re

(−4λ3

xiANr + 4λxi∂2ANr

∂y2+ 4εRλxi

∂ANr

∂y

)

+ 4εRVGφλxiANφ

FNSq = −εRVGφANr −dVGφdy

ANr

+ iωNANφ − VGx2iλxANφ − εRVGφinφANφ

+1

Re

(−3λ2

xANφ +∂2ANφ

∂y2+ εR

∂ANφ

∂y

)

+ εRVGxinφANx +εRRe

2λxnφANx

FNCo = ANx

GNOS = −λ2xANr +

∂2ANr

∂y2+ εR

∂ANr

∂y

GNSq = iλxANφ − inφANx

GNCo = 0 (E.24)

Da die Struktur der rechten Seite definiert ist, wird nun in der Gleichung (E.21) eine Lös-berkeitsbedingung eingeführt. Dabei handelt es sich um die folgenden Schritte:

• Skalarmultiplikation des Vektors A†∗ (die konjugiert- Komplexe der adjungierten

Lösung) mit beiden Seiten der Gleichung (E.21), siehe (D.1).

• Integration der Skalarmultiplikation zwischen −1 ≤ y ≥ 1.

• Nach der Definition des adjungierten Problems kann man die resultierende linke Sei-te mit null gleichsetzen.

Mit Hilfe dieser Schritte kann ein Ausdruck für(∂ω∂λx

)N,r

hergeleitet werden. Dies

stellt sich als das Verhältnis zwischen den Integralen des Skalarproduktes der Vektoren(FN , GN ) mit dem Vektor A†∗ heraus. Der Ausdruck ist für die in der Nähe der neutralenStabilitätsfläche liegenden Größen ausgewertet.

(∂ω

∂λx

)

N,r

=

∫ 1

−1(A†

∗ · FN ) dy∫ 1

−1(A†

∗ ·GN ) dy(E.25)


Der Ausdruck(∂ω∂λx

)N,r

besitzt nun einen bestimmten Wert. Infolgedessen hat die rechte

Seite in (E.21) eine Richtung, die senkrecht zu der Richtung der Lösung für u1 liegt. DieExistenz für die Lösung u(1)

2 ist jetzt gesichert. Die linke Seite in (E.21) lässt sich invertie-ren und es kann eine Lösung für u(1)

2 bestimmt werden.Die Lösungsform für u(1)

2 lässt sich aus (E.23) entnehmen und wird wie folgt definiert:

u(1)2 =

∂2BN∂ξx

w(1)2 ; u

(1)∗2 =

∂2B∗N∂ξx

w(1)∗2 (E.26)

Wobei die Lösungsform u(1)∗2 der komplex-konjugierten Größe in (E.21) entspricht.

138 Bestimmung der Amplitudenstruktur für u(1)3

F. Bestimmung der Amplitudenstrukturfür u

(1)3

Zunächst wird der Anteil der Gleichung für die führende Geschwindigkeit u1 hergeleitet.Dann lautet für D3u1:

D3OSu1 = −∂2BN∂T

[−λ2

xANr +∂2ANr

∂y2+ εR

∂ANr

∂y

]

+∂22BN∂ξ2x

[2

(∂ω

∂λx

)

N

iλxANr + iωNANr

− 3VGxiλxANr − εRVGφinφANr

+1

ReN

(−6λ2

xANr + 2∂2ANr

∂y2+ 2εR

∂ANr

∂y

)+ εR2VGφANφ

]

+ 2BN

[(ZwNδZwεR

2− εRZwNδZw

2

)iλxANr

− ZwNδZw(

1

2(1− y) +

εR4

(y2 − 1

))(iλx

∂2ANr

∂y2− iλ3

xANr

+εRiλx∂ANr

∂y

)+ εRSaNδSa

(1

2(1 + y)

)(−inφ

∂2ANr

∂y2+ iλ2

xnφANr

)

− δReReN

(λ4x +

∂4ANr

∂y4− 2λ2

x

∂2ANr

∂y2

)

−δRe2εRReN

(−λ2

x

∂ANr

∂y+∂3ANr

∂y3

)− 2εRSaNδSa

(1

2(1 + y)

)λ2xANφ

]

D3Squ1 =∂BN∂T

[−iλxAφ + εRinφANx] +∂2BN∂ξ2x

[(∂ω

∂λx

)

N

ANφ − VGxANφ

+1

Re(3iλxANφ − εRinφANx)

]

+ 2BN

[−εRZwNδZw

1

2inφANr − εRSaNδSa

1

2(1 + y) iλxANr

− SaNδSa1

2(1− εRy) iλxANr + ZwNδZw

(1

2(1− y) +

εR4

(y2 − 1

))λ2xANφ

+ εRSaNδSa1

2(1 + y)nφλxANφ

− δReRe

(−iλ3

xANφ + iλx∂2ANφ

∂y2+ εRiλx

∂ANφ

∂y

)

−εRZwNδZw1

2(1− y)nφλxANx +

εRδReReN

(−iλ2

xnφANx + inφ∂2ANx

∂y2

)]

Bestimmung der Amplitudenstruktur für u(1)3 139

D3Cou1 = 0 (F.1)

Dies betrifft die Anwendung der Operatoren D3 auf den Geschwindigkeitsvektor u1. Nachder Struktur von Gleichung (F.1) werden für die Herleitung der Evolutionsgleichung vonBN , die Größen POST , POSξ, PSqT und PSqξ eingesetzt.

D3u1 =

∂2BN∂T POST + ∂22BN

∂ξ2xPOSξ + 2BNQOS

∂2BN∂T PSqT + ∂22BN

∂ξ2xPSqξ + 2BNQSq

0

(F.2)

Wobei POST und PSqT den von der zeitlichen Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw.Squire-Anteil multiplizierten Koeffizienten entsprechen, POSξ und PSqξ den von derräumlichen Ableitung im Orr-Sommerfeld- bzw. Squire-Anteil multiplizierten Koeffizi-enten entsprechen, QOS und QSq die Größen darstellen, welche jeweils in dem Orr-sommerfeld- bzw. Squire-Anteil die langskalige Amplitude BN in (F.1) multiplizieren.Des Weiteren folgt die Anwendung des Operators D2 auf die Störungsgeschwindigkeitu

(1)2 exp(iΘN ). Die Lösungsform für u(1)

2 ist in (E.26) zu finden.

In Anbetracht der drei Richtungen des Vektors u(1)2 =

∂2BN∂ξx

w(1)2r

∂2BN∂ξx

w(1)2φ

∂2BN∂ξx

w(1)2x

lautet für D2u(1)2 exp(iΘN ):

D2OSu(1)2 = −∂

22BN∂ξ2x

[(∂ω

∂λx

)

N

(−λ2

xw(1)2r +

∂2w(1)2r

∂y2+ εR

∂w(1)2r

∂y

)

− 2ωNλxw(1)2r +

(d2VGxdy2

− εRdVGxdy

)w

(1)2r − VGx

∂2w(1)2r

∂y2

+ VGx3λ2xw

(1)2r − VGxεR

∂w(1)2r

∂y+ 2εRVGφλxnφw

(1)2r

+1

ReN

(−4λ3

xiw(1)2r + 4λxi

∂2w(1)2r

∂y2+ 4εRλxi

∂w(1)2r

∂y

)

+4εRVGφλxiw(1)2φ

]

D2Squ(1)2 = −∂

22BN∂ξ2x

[−εRVGφw(1)

2r −dVGφdy

w(1)2r

+

(∂ω

∂λx

)

N

iλxw(1)2φ + iωNw

(1)2φ − VGx2iλxw

(1)2φ

− εRVGφinφw(1)2φ +

1

ReN

(−3λ2

xw(1)2φ +

∂2w(1)2φ

∂y2+ εR

∂w(1)2φ

∂y

)

−εR(∂ω

∂λx

)

N

inφw(1)2x + εRVGxinφw

(1)2x +

εRRe

2λxnφw(1)2x

]

D2Cou(1)2 = −∂

22BN∂ξ2x

w(1)2x (F.3)

140 Bestimmung der Amplitudenstruktur für u(1)3

Die Struktur des Gleichungssystems in (F.3) sei durch das Einfügen der Größen ROS , RSq

und RCo hervorzuheben.

D2u(1)2 =

∂22BN∂ξ2x

ROS

∂22BN∂ξ2x

RSq

∂22BN∂ξ2x

RCo

(F.4)

Wobei ROS , RSq und RCo die Größen darstellen, welche jeweils im Orr-Sommerfeld-,Squire bzw. im Kontinuitäts-Anteil die Ableitung ∂22BN

∂ξ2xin (F.3) multiplizieren.

Auch weiterhin ist der Term N3 von der rechten Seite in (4.41) herzuleiten. DerAnteil der Nichtlinearität mit Phase ΘN ist ein bedeutender Term dieser Größenordnung.Setzt man (4.43) in (2.43) ein, ergibt sich daraus der folgende Ansatz für N3:

N(1)

3OS = 8 |BN |2BN

[λ2x

∂(2A∗Nxw(2)2x + 2ANxw

(0)2x )

∂y

− iλx∂2(A∗Nrw

(2)2x + w

(2)2r A

∗Nx + ANrw

(0)2x + w

(0)2r ANx)

∂y2

− εRiλx∂(A∗Nrw

(2)2x + w

(2)2r A

∗Nx + ANrw

(0)2x + w

(0)2r ANx)

∂y

+ εRλxnφ∂(A∗Nφw

(2)2x + w

(2)2φA

∗Nx + ANφw

(0)2x + w

(0)2φANx)

∂y

+ εRλxnφ∂(A∗Nxw

(2)2φ + w

(2)2xA

∗Nφ + ANxw

(0)2φ + w

(0)2xANφ)

∂y

− εRinφ∂2(A∗Nrw

(2)2φ + w

(2)2r A

∗Nφ + ANrw

(0)2φ + w

(0)2r ANφ)

∂y2

− iλ3x(A∗Nxw

(2)2r + w

(2)2xA

∗Nr + ANxw

(0)2r + w

(0)2xANr)

− λ2x

∂(2A∗Nrw(2)2r + 2ANrw

(0)2r )

∂y− εRλ2

x(2A∗Nrw(2)2r + 2ANrw

(0)2r )

− εRiλ2xnφ(A∗Nφw

(2)2r + w

(2)2φA

∗Nr + ANφw

(0)2r + w

(0)2φANr)

+εRλ2x(2A∗Nφw

(2)2φ + 2ANφw

(0)2φ )]

N(1)

3Sq = 8 |BN |2BN[λ2x(A∗Nxw

(2)2φ + w

(2)2xA

∗Nφ + ANxw

(0)2φ + w

(0)2xANφ)

− iλx∂(A∗Nrw

(2)2φ + w

(2)2r A

∗Nφ + ANrw

(0)2φ + w

(0)2r ANφ)

∂y

− εRiλx(A∗Nrw(2)2φ + w

(2)2r A

∗Nφ + ANrw

(0)2φ + w

(0)2r ANφ)

+ εRλxnφ(2A∗Nφw(2)2φ + 2ANφw

(0)2φ )− εRnφλx(2A∗Nxw

(2)2x + 2ANxw

(0)2x )

+εRinφ∂(A∗Nrw

(2)2x + w

(2)2r A

∗Nx + ANrw

(0)2x + w

(0)2r ANx)

∂y

]

Bestimmung der Amplitudenstruktur für u(1)3 141

N(1)

3Co = 0 (F.5)

Die Struktur dieses Gleichungssystems ist leichter erkennbar, wenn die Größen OOS undOSq eingesetzt werden:

N(1)

3 =

8 |BN |2BNOOS

8 |BN |2BNOSq

0

(F.6)

Wobei OOS und OSq die Größen darstellen, die jeweils im Orr-Sommerfeld-, Squire bzw.im Kontinuitäts-Anteil die Ableitung (8 |BN |2BN ) in (F.5) multiplizieren.

G. Die Anisotropie-Invariantenkarte

Zur Charakterisierung der Anisotropie turbulenter Strömungen entwickelten Lumley undNewman [34] ein Verfahren, die sogenannte Invariantentheorie, mit dem die Turbulenzani-sotopie einer Strömung durch nur zwei Größen quantifiziert werden kann. Dafür wird dersymmetrische Tensor 2. Stufe

aij =τij2K− 1

3δij (G.1)

eingeführt. Wobei K = 12τii = 1

2 (u1ru1r + u1φu1φ + u1xu1x) und τij die kinetischeEnergie bzw. der Reynolds-Spannungstensor sind und δij das sog. Kronecker Symbol dar-stellt, welches wie folgt definiert ist:

δij =

1 falls i = j

0 falls i 6= j

Der Tensor in (G.1) wird auch Deviator genannt. Nach [29] werden für aij folgende Inva-rianten definiert:

IIa = aijaji

IIIa = aijajkaki (G.2)

Die drei Eigenwerte des Deviators in (G.1) seien mit W τα , W τ

β , W τγ bezeichnet. Wird der

Tensor in (G.1) bei Orientierung entlang seiner Hauptachsen geschrieben, sieht dieser wiefolgt aus:

aij =

W τα 0 0

0 W τβ 0

0 0 W τγ

(G.3)

Da die Spur des Tensors in (G.1) gleich null ist, ergibt sich für tensor in (G.3):

aij =

W τα 0 0

0 W τβ 0

0 0 −W τα −W τ

β

(G.4)

Mit dem Tensor in (G.4) nehmen die Invarianten in (G.2) folgende Gestalt an:

IIa = 2((W τ

α )2 + (W τβ )2 +W τ

αWτβ

)

IIIa = −3((W τ

α )2W τβ +W τ

α (W τβ )2)

(G.5)

Mit (G.5) wird gezeigt, dass die Anisotropie des Reynolds-Spannungstensors durch zweiGrößen, nämlich IIa und IIIa oderW τ

α undW τβ , charakterisiert werden kann. Werden die

beiden Invarianten IIa, IIIa gegeneinander aufgetragen, so ergibt sich die Anisotropie-Invariantenkarte.

144 Die Anisotropie-Invariantenkarte

G.1. Bestimmung der Anisotropie-Invariantenkarte

Lumley und Newman haben in der Anisotropie-Invariantenkarte die Grenzlinien definiert,in denen alle realisierbaren, turbulenten Zustände einer Strömung existieren können. DieGrenzlinien erzeugen ein Dreieck (Lumley triangle) und sind durch bestimmte turbulenteZustände definiert.Die drei Eigenwerte des Reynolds-Spannugstensors seien mit (e1)2, (e2)2, (e3)2 bezeich-net. Diese drei Eigenwerte sind immer positiv und entsprechen den normalen Reynolds-Spannungskomponenten, wenn die Achsen des Koordinatensystems (ne1 , ne2 , ne3 ) mitden Hauptachsen des Reynolds-Spannungstensors zusammenfallen. Die Eigenwerte vonaij sind dann mit e1, e2 und e3 durch folgende Beziehung verknüpft:

W τα =

(e1)2

(e1)2 + (e2)2 + (e3)2− 1

3

W τβ =

(e2)2

(e1)2 + (e2)2 + (e3)2− 1

3

W τγ = −

(W τα +W τ

β

)=

(e3)2

(e1)2 + (e2)2 + (e3)2− 1

3(G.6)

Die Grenzlinien der Anisotropie-Invariantenkarte können durch die Anwendung der in(G.6) (G.5) definierten Gleichungen für bestimmte turbulente Zustände einer Strömungberechnet werden.

Isotrope TurbulenzBei einer isotropen Turbulenz sind (e1)2 = (e2)2 = (e3)2 definiert. Daraus ergibt sich,dass W τ

α = W τβ = 0 sind. Dadurch sind die Invarianten in (G.5) IIa = IIIa = 0.

Achsensymmetrische-TurbulenzBei einer Achsensymmetrischen-Turbulenz sind zwei Eigenwerte des Reynolds-Spannungstensors gleich, z.B. (e2)2 = (e3)2. Damit sind die Eigenwerte W τ

β und W τγ in

(G.6) gleich und der Tensor in (G.4) sieht wie folgt aus:

aij =

W τα 0 0

0 − 12W

τα 0

0 0 − 12W

τα

(G.7)

Werden diese Eigenwerte in (G.5) eingesetzt, ergibt sich daraus, dass IIa = 32 (W τ

α )2 undIIIa = 3

4 (W τα )3 sind. Wird IIa als Funktion von IIIa dargestellt:

IIa =3

2

(4

3|IIIa|

)2/3

, (G.8)

wobei ein positives oder negatives Vorzeichen von IIIa eine achsensymetrische Expan-sion (rechter Ast in G.1) bzw. eine achsensymetrische Kontraktion (linker Ast in G.1)bezeichnen, siehe [29].Wenn W τ

α > 0 ist, bedeutet dies aus (G.6), dass (e2)2 und (e3)2 kleiner als (e1)2 sindund IIIa in (G.5) ein positives Vorzeichen hat. Dieser Fall wird als achsensymetrischeExpansion gennant, denn diese Art von Anisotropie kann sich bei einer Expansion auf derEbene (ne2 -ne3 ) und eine Verdichtung entlang der Achse ne1 ergeben. Nach [13] kanndie Turbulenz entlang der Achse ne1 als gequetscht und entlang der Achsen ne2 und ne3als gestreckt interpretiert werden. Bei Streckung der Wirbelstärke in Richtung ne2 undne3 wird die Komponente e1 der Turbulenz verstärkt. Im entgegengesetzten Fall, wennW τα < 0 ist, entspricht einer achsensymmetrischen Kontraktion auf der Ebene (ne2 -ne3 )

Die Anisotropie-Invariantenkarte 145

mit einer Streckung entlang der ne1 Achse.

Zweikomponenten-TurbulenzFür eine Zweikomponenten-Turbulenz wird angenommen, dass eine Komponente derHauptachsen des Reynolds-Spannungstensors -in diesem Fall die Komponente e3- gleichnull ist. Aus (G.6) ergibt sich folgender Tensor für aij in (G.4)

aij =

W τα 0 0

0 −W τα + 1

3 00 0 − 1

3

(G.9)

Die Invarianten in G.5 nehmen folgende Werte an:

IIa = 2(W τα )2 − 2

3W τα +

2

9, IIIa = (W τ

α )2 − 1

3W τα (G.10)

Wird IIa als Funktion von IIIa dargestellt:

IIa =2

9+ 2IIIa (G.11)

Der Eckpunkt, der die achsensymetrische Expansion mit der Zweikomponenten-Turbulenzauf der rechten Seite in Abbildung G.1 verbindet, wird als Einkomponenten-Turbulenzdefiniert und ergibt sich daraus, wenn zwei Komponenten der Hauptachsen des Reynolds-Spannungstensors gleich null sind. Werden z.B. e2 = e3 = 0 in (G.6) eingeführt, resultiertdaraus, dass aij wie folgt aussieht:

aij =

23 0 00 − 1

3 00 0 − 1

3

(G.12)

Damit sind IIa = 23 und IIIa = 2

9 .Wenn eine Komponente gleich null (e1 = 0) und die anderen zwei Komponenten derHauptachsen des Reynolds-Spannungstensors gleich sind (e2 = e3), werden auf der lin-ken Seite in Abbildung G.1 die achsensymetrische Kontraktion mit der Zweikomponenten-Turbulenz verbunden. Daraus ergibt sich für den Tensor aij :

aij =

− 1

3 0 00 1

6 00 0 1

6

(G.13)

Damit sind IIa = 16 und IIIa = − 1

36 .Da alle Eckpunkte und Grenzlinien des Dreiecks definiert sind, wird in Abbildung G.1 dieFläche der Anisotropie-Invarinatenkarte aus allen beschriebenen Grenzfällen gebaut:

146 Die Anisotropie-Invariantenkarte

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

IIIa

IIa

Achsensymmetrische−Turbulenz

Isotrope−Turbulenz

Einkomponenten−Turbulenz (2/9, 2/3)

Isotrope Zweikomponenten−Turbulenz

(−1/36, 1/6)II

a=3/2+(4/3 |III

a|)2/3

Zweikomponenten−Turbulenz II

a=2/9+III

a

Abbildung G.1.: Anisotropie Invariantenkarte von aij und die Grenzwerte von IIa undIIIa für verschiedene Zustände der Turbulenz. Alle realisierbaren, tur-bulenten Strömungen müssen innerhalb der Fläche der Anisotropie-Invariantenkarte existieren [29].

Als Beispiel und Validierung der in Matlab geschriebenen Programme zur Berechnungder Invarianten IIa und IIIa, wird für eine Kanalströmung mit DNS-Daten [37] dieAnisotropie-Invariantenkarte dargestellt.

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

IIIa

IIa

Re = 3220

y+ = 0

y+ = 8

y = 1

Die Anisotropie-Invariantenkarte 147

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

IIIa

IIa

Re = 4586

y+ = 0 y+ = 8

y = 1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

IIIa

IIa

Re = 10039

y+ = 0

y+ = 8

y = 1

Abbildung G.2.: Anisotropie-Invariantenkarte für eine Kanalströmung aus DNS-Daten von[37], bei drei verschiedenen Reynolds-Zahlen. Re = 3329, Re = 4589und Re = 10039. Berechnung der Abbildung siehe Anhang J.6.

Aus Abbildung G.2 kann man erkennen, dass sich die übliche Anisotropie-Invariantenkartefür eine Kanalströmung ergibt. Das bedeutet, dass von der Wand (y+ = 0) die viskose Un-terschicht (engl, viscous sublayer) einen Zweikomponenten-Zustand zeigt. Man erreichtein Maximum bei etwa y+ = 8, was eine Einkomponenten-Turbulenz darstellt. Anschlie-ßend verläuft die Kurve nah an der Achsensymmetrische-Turbulenz. In der Kanalmitteneigt sich die Anisotropie der Reynolds-Spannungen zur Isotrope-Turbulenz. Damit wirdbestätigt, dass das mit Matlab geschriebene Programm richtige Ergebnisse für die Darstel-lung der Anisotropie-Invariantenkarte liefert. Verläufe der Anisotropie-Eigengenschaftendes Reynolds-Spannungstesors für eine Kanalströmung befinden sich in [29] auf Seite 29.

H. Geschwindigkeitsgradiententensorund seine Aufspaltung

Für ein Geschwindigkeitsfeld ~v, in dem der Ortsvektor die Komponenten xj und der Ge-schwindigkeitsvektor die Komponenten vi haben, kann der Geschwindigkeitsgradienten-tensor ∂vi

∂xjin einen Deformationstensor Sij und einen Drehungstensor Wij zerlegt wer-

den.Als Beispiel ist die Zerlegung in kartesische Koordinaten dargestellt (Siehe [47]):

∂vi∂xj

= Sij + Wij ; (H.1)

Sij =1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)→ Deformationstensor;

Wij =1

2

(∂vi∂xj− ∂vj∂xi

)→ Drehungstensor; (H.2)

Ist Gleichung (H.1) in Matrix-Form dargestellt, ergibt sich für i, j = x, y, z folgenderAusdruck:

∂vi∂vj

=

∂vx∂x

∂vx∂y

∂vx∂z

∂vy∂x

∂vy∂y

∂vy∂z

∂vz∂x

∂vz∂y

∂vz∂z

=

∂vx∂x

12

(∂vx∂y +

∂vy∂x

)12

(∂vx∂z + ∂vz

∂x

)

12

(∂vy∂x + ∂vx

∂y

)∂vy∂y

12

(∂vy∂z + ∂vz

∂y

)

12

(∂vz∂x + ∂vx

∂z

)12

(∂vz∂y +

∂vy∂z

)∂vz∂z

+

0 12

(∂vx∂y −

∂vy∂x

)12

(∂vx∂z −

∂vz∂x

)

12

(∂vy∂x −

∂vx∂y

)0 1

2

(∂vy∂z −

∂vz∂y

)

12

(∂vz∂x −

∂vx∂z

)12

(∂vz∂y −

∂vy∂z

)0

(H.3)

wobei Sij und Wij den symmetrischen bzw. antimetrischen Teilen des Geschwindigkeits-gradiententensors entsprechen [47].Nach Piquet [47] lässt sich der Drehungstensor Wij wie folgt ausdrücken:

Wij = −εijk~ω(w)k (H.4)

wobei ~ω(w)k die Wirbelstärke und

εijk =

+1, für ijk = 123, 231, 312;

−1, für ijk = 321, 213, 132;

0, sonst.(H.5)

150 Geschwindigkeitsgradiententensor und seine Aufspaltung

eine Permutationsmatrix darstellen.Durch die Multiplikation der Permutationsmatrix mit der Winkelgeschwindigkeit lässt sichder antimetrische Teil, der Drehungstensor, wie folgt schreiben:

Wij =

0 −~ω(w)z ~ω

(w)y

~ω(w)z 0 −~ω(w)

x

−~ω(w)y ~ω

(w)x 0

Zylindrische Koordinaten

In Anlehnung an das Beispiel für kartesische Koordinaten und an die Arbeit von Örlü [43]kann der Geschwindigkeitsgradiententensor und seine Aufspaltung in zylindrische Koordi-naten hergeleitet werden.Nach Batchelor [5] hat der Deformationstensor für i, j = r, φ, x folgende Komponenten:

Sij =

Srr Srφ SrxSφr Sφφ SφxSxr Sxφ Sxx

=

∂vr∂r

12

(r ∂∂r (

vφr ) + 1

r∂vr∂φ

)12

(∂vr∂x + ∂vx

∂r

)

12

(r ∂∂r (

vφr ) + 1

r∂vr∂φ

)1r∂vφ∂φ + vr

r12

(1r∂vx∂φ +

∂vφ∂x

)

12

(∂vr∂x + ∂vx

∂r

)12

(1r∂vx∂φ +

∂vφ∂x

)∂vx∂x

(H.6)

Des Weiteren hat nach Schlichting und Gersten [58] der Winkelgeschwindigkeitsvektorfolgende Komponenten in Zylinderkoordinaten:

~ω(w)r =

1

2

(1

r

∂vx∂φ− ∂vφ

∂x

)

~ω(w)φ =

1

2

(∂vr∂x− ∂vx

∂r

)

~ω(w)x =

1

2r

(∂

∂r(rvφ)− ∂vr

∂φ

)(H.7)

Der Drehungstensor kann dann nach (H.4) wie folgt geschrieben werden:

Wij =

0 −~ω(w)x ~ω

(w)φ

~ω(w)x 0 −~ω(w)

r

−~ω(w)φ ~ω

(w)r 0

=

0 12r

(∂vr∂φ −

∂∂r (rvφ)

)12

(∂vr∂x −

∂vx∂r

)

12r

(∂∂r (rvφ)− ∂vr

∂φ

)0 1

2

(∂vφ∂x −

1r∂vx∂φ

)

12

(∂vx∂r −

∂vr∂x

)12

(1r∂vx∂φ −

∂vφ∂x

)0

(H.8)

Mit den durch (H.6) bzw. (H.8) gegebenen Tensoren Sij und Wij kann der Geschwindig-keitsgradiententensor in zylindrischen Koordinaten durch die Summe dieser beiden Tenso-

Geschwindigkeitsgradiententensor und seine Aufspaltung 151

ren berechnet werden:

∂vi∂xj

= Sij + Wij

=

∂vr∂r

1r∂vr∂φ −

vφr

∂vr∂x

∂vφ∂r

1r∂vφ∂φ + vr

r∂vφ∂x

∂vx∂r

1r∂vx∂φ

∂vx∂x

(H.9)

In der vorliegenden Arbeit sind die axiale und azimutale Komponente der Grundströmungin (2.23) bzw. in (2.26) definiert. Der Geschwindigkeitsgradientensor und seine Aufspal-tung lassen sich dann, nach (H.9), (H.6) und (H.8), für die Grundströmung, die voll ausge-bildet und rotationssymmetrisch ist, herleiteten:

∂VGi∂xj

=

0 εRVGφ 0∂VGφ∂y 0 0∂VGx∂y 0 0

= Sij + Wij

=

0 12

(−εRVGφ +

∂VGφ∂y

)12∂VGx∂y

12

(−εRVGφ +

∂VGφ∂y

)0 0

12∂VGx∂y 0 0

+

0 12

(−εRVGφ − ∂VGφ

∂y

)− 1

2∂VGx∂y

12

(εRVGφ +

∂VGφ∂y

)0 0

12∂VGx∂y 0 0

(H.10)

I. Zusammenhang zwischen demHaushalt der turbulenten kinetischenEnergie in der drallbehaftetenRingspaltströmung und demmehrskaligen Wellenansatz für dieGeschwindigkeitsschwankung nachGl. (4.25)

Die Energie-Gleichung der Störung ist wichtig, um den Zusammenhang zwischen denGrößen der häufig benutzten Turbulenzmodelle aufzuzeigen. Die Aufstellung der turbu-lenten kinetischen Energie-Gleichung beginnt mit der Herleitung der Störgleichung ausder Navier-Stokes-Gleichungen (NSG). In diesem Fall werden die NSG in (2.1), (2.2),(2.3) und die Kontinuitätsgleichung in (2.4) durch (2.5) entdimensioniert.

Impulsgleichung in radialer Richtung

∂vr∂t

+ vx∂vr∂x

+ vr∂vr∂r

+vφr

∂vr∂φ−v2φ

r=

−∂p∂r

+1

Re

(∂2vr∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vr∂r

)+

1

r2

∂2vr∂φ2

− 2

r2

∂vφ∂φ− vrr2

), (I.1)

Impulsgleichung in Umfangsrichtung

∂vφ∂t

+ vx∂vφ∂x

+ vr∂vφ∂r

+vφr

∂vφ∂φ

+vrvφr

=

−1

r

∂p

∂φ+

1

Re

(∂2vφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vφ∂r

)+

1

r2

∂2vφ∂φ2

+2

r2

∂vr∂φ− vφr2

), (I.2)

Impulsgleichung in Axialrichtung

∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vr∂vx∂r

+vφr

∂vx∂φ

=

−∂p∂x

+1

Re

(∂2vx∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂vx∂r

)+

1

r2

∂2vx∂φ2

), (I.3)


∂vx∂x

+1

r

∂

∂r(rvr) +

1

r

∂vφ∂φ

= 0. (I.4)

Sowohl die Grundströmung (0, VGφ, VGx)T als auch der gestörte Zustand (0 + ur, VGφ +uφ, VGx + ux)T befriedigen als Lösung die NSG in (I.1), (I.2), (I.3) und (I.4) . Werden

154

Zusammenhang zwischen dem Haushalt der turbulenten kinetischen Energie in derdrallbehafteten Ringspaltströmung und dem mehrskaligen Wellenansatz für die

Geschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25)die NSG für den gestörten Zustand und für die Grundströmung voneinander subtrahiert,ergeben sich die nichtlinearen Gleichungen für die Störung ohne jegliche Linearisierung.

NSG(0 + ur, VGφ + uφ, VGx + ux)−NSG(0, VGφ, VGx) (I.5)

Störungsgleichung in radialer Richtung

∂ur∂t

+ VGx∂ur∂x

+VGφr

∂ur∂φ− 2VGφuφ

r=

−∂p∂r−(ux∂ur∂x

+ ur∂ur∂r

+uφr

∂ur∂φ− uφuφ

r

)

+1

Re

(∂2ur∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂ur∂r

)+

1

r2

∂2ur∂φ2

− 2

r2

∂uφ∂φ− urr2

), (I.6)

Störungsgleichung in Umfangsrichtung

∂uφ∂t

+ VGx∂uφ∂x

+ urdVGφdr

+VGφr

∂uφ∂φ

+urVGφr

=

−1

r

∂p

∂φ−(ux∂uφ∂x

+ ur∂uφ∂y

+uφr

∂uφ∂φ

+uruφr

)

+1

Re

(∂2uφ∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂uφ∂r

)+

1

r2

∂2uφ∂φ2

+2

r2

∂ur∂φ− uφr2

), (I.7)

Störungsgleichung in Axialrichtung

∂ux∂t

+ VGx∂ux∂x

+ urdVGxdr

+VGφr

∂ux∂φ

= −∂p∂x−(ux∂ux∂x

+ ur∂ux∂r

+uφr

∂ux∂φ

)

+1

Re

(∂2ux∂x2

+1

r

∂

∂r

(r∂ux∂r

)+

1

r2

∂2ux∂φ2

)(I.8)

Die Gleichung für die kinetische Energie der Störung ergibt sich aus dem Skalarproduktzwischen dem Störgeschwindigkeitsvektor (ur, uφ, ux) und den Gleichungen in (I.6, I.7,I.8), siehe [59], [11]. Nach Neuordnung der Terme sieht die Gleichung für die kinetische

Zusammenhang zwischen dem Haushalt der turbulenten kinetischen Energie in derdrallbehafteten Ringspaltströmung und dem mehrskaligen Wellenansatz für dieGeschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25) 155Energie der Störung wie folgt aus:

ur∂ur∂t

+ uφ∂uφ∂t

+ ux∂ux∂t

+ VGx

(ur∂ur∂x

+ uφ∂uφ∂x

+ ux∂ux∂x

)

+VGφr

(ur∂ur∂φ

+ uφ∂uφ∂φ

+ ux∂ux∂φ

)− 2VGφuruφ

r+uφurVGφ

r

uφurdVGφdr

+ uφurdVGxdr

= −(ur∂p

∂r+uφr

∂p

∂φ+ ux

∂p

∂x

)

−[urux

∂ur∂x

+ uφux∂uφ∂x

+ uxux∂ux∂x

+ urur∂ur∂r

+ uφur∂uφ∂r

+ uxur∂ux∂r

+1

r

(uruφ

∂ur∂φ

+ uφuφ∂uφ∂φ

+ uxuφ∂ux∂φ

)− uruφuφ

r+uφuruφ

r

]

+1

Re

[ur∂2ur∂x2

+ uφ∂2uφ∂x2

+ ux∂2ux∂x2

+ ur1

r

∂

∂r

(r∂ur∂r

)+ uφ

1

r

∂

∂r

(r∂uφ∂r

)

+ux1

r

∂

∂r

(r∂ux∂r

)+urr2

∂2ur∂φ2

+uφr2

∂2uφ∂φ2

+uxr2

∂2ux∂φ2

−2urr2

∂uφ∂φ

+ uφ2

r2

∂ur∂φ− urur

r2− uφuφ

r2

](I.9)

Wird die Definition der kinetischen Energie K = 12q = 1

2

(u2r + u2

φ + u2x

)in (I.9) einge-

setzt, nimmt die Gl. in (I.9) folgende Form an:

∂K

∂t︸︷︷︸A

+VGx∂K

∂x+VGφr

∂K

∂φ− VGφuruφ

r︸︷︷︸B

+uφurdVGφdr

+ uφurdVGxdr︸︷︷︸

C

= −(∂uxp

∂x+

1

r

∂rurp

∂r+

1

r

∂uφp

∂φ

)

︸︷︷︸D

− 1

2

[∂uxq

∂x+

1

r

∂rurq

∂r+

1

r

∂uφq

∂φ

]

︸︷︷︸E

+1

Re

ur

∂2ur∂x2

+ uφ∂2uφ∂x2

+ ux∂2ux∂x2

+ ur1

r

∂

∂r

(r∂ur∂r

)+ uφ

1

r

∂

∂r

(r∂uφ∂r

)

︸︷︷︸F

+ux1

r

∂

∂r

(r∂ux∂r

)+urr2

∂2ur∂φ2

+uφr2

∂2uφ∂φ2

+uxr2

∂2ux∂φ2

︸︷︷︸F

− 2urr2

∂uφ∂φ

+ uφ2

r2

∂ur∂φ− urur

r2− uφuφ

r2

︸︷︷︸F

(I.10)

156


Geschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25)Die Gleichung in (I.10) stellt die Veränderung der kinetischen Energie der Störungdar. Die Glieder in (I.10) können physikalisch wie folgt interpretiert werden: A ist dieaugenblickliche zeitliche Änderungsrate der kinetischen Energie der Störung. B bedeutetder Transport der Energie der Störung mittels der Grundströmung. C stellt die Übertragungder Energie von der Grundströmung auf die Störung dar. D ist die Arbeit, die von derDruckstörung auf die Geschwindigkeitsstörung gemacht wird. E ist der Transport derkinetischen Energie der Störung mittels der Geschwindigkeitsstörung. Dies führt zurTripel-Korrelation. F stellt die viskose Dissipation der Energie dar [11].

Nach (4.29) ist das Wellenpaket u1 ein Spaltenvektor:

u1 =

u1r

u1φ

u1x

= 2BN

ANr

ANφ

ANx

exp i(ΘN )+ 2B∗N

A∗NrA∗NφA∗Nx

exp −i(ΘN )+O(εA)

(I.11)

Wird nun der Ansatz (I.11) in (I.10) angewandt, nehmen die Produkte in jedem einzelnenTerm eine neue Gestalt an. Für das Produkt zwischen zwei Störungen ist nach (4.3) derbetragsmäßig größte Term, der der Größenordnung εA:

u21r = εA

(4B2

NA2Nr exp 2i(ΘN )+ 8 |BN |2 |ANr|2

+4B∗2N A∗2Nr exp −2i(ΘN ))

+O(ε32

A)

u21φ = εA

(4B2

NA2Nφ

exp 2i(ΘN )+ 8 |BN |2 |ANφ|2

+4B∗2N A∗2Nφ exp −2i(ΘN ))

+O(ε32

A)

u21x = εA

(4B2

NA2Nx exp 2i(ΘN )+ 8 |BN |2 |ANx |

2

+4B∗2N A∗2Nx exp −2i(ΘN ))

+O(ε32

A) (I.12)

Nach (I.12) ergibt sich für die kinetische Energie K:

K =1

2q =

εA2

(u2

1r + u21φ + u2

1x

)+O(ε

32

A)

=εA2

[(A2Nr + A2

Nφ+ A2

Nx

)4B2

N exp 2i(ΘN )

+(|ANr|2 + |ANφ|2 + |ANx |

2)

8 |BN |2

+(A∗2Nr + A∗2Nφ + A∗2Nx

)4B∗2N exp −2i(ΘN )

]+O(ε

32

A) (I.13)

Zusammenhang zwischen dem Haushalt der turbulenten kinetischen Energie in derdrallbehafteten Ringspaltströmung und dem mehrskaligen Wellenansatz für dieGeschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25) 157Das Produkt uruφ hat folgende Form:

uruφ = εA(u1ru1φ) +O(ε32

A)

= εA

[4B2

NANrANφ exp 2i(ΘN )+ 4 |BN |2 ANrA∗Nφ

+ 4 |BN |2 A∗NrANφ

+ 4B∗2N A∗NrA∗Nφ

exp −2i(ΘN )]

+O(ε32

A) (I.14)

Die Struktur für die kinetische Energie K in (I.13) und das Produkt in (I.14) ergibt sich alseine Summe von Termen, die eine doppelte Periode (2iΘN ) und keine Periode haben. Dasheißt, dass bei einer Mittlung der Gleichung (I.11) über die Wellenlänge, wie in Gl. (5.1),nur die periodenfreien Anteile eine Bedeutung haben.Die Produkte uxp, urp und uφp bleiben hier offen aus folgenden Gründen: Die Produktebefinden sich in Gl. (I.10), da sie dort direkt aus den Bewegungsgleichungen hergeleitetwerden. Demgegenüber tritt in der Betrachtungsweise der vorliegenden Arbeit dieses Pro-dukt nicht auf, da aus den Bewegungsgleichungen die Druckstörung p eliminiert wird, umzu den Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen zu gelangen. Hiermit kann in dieser Ar-beit die Anwendung der Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichungen gerechtfertigt werden,da bei ihrer Herleitung der Druckterm als Unbekannte eliminiert wird.Die Größenordnung der Produkte (uxq, urq, uφq) ist ε

32

A. Das heißt, diese Tripel-Produktesind für εA → 0 kleiner als die Terme in (I.13 und (I.14) und sollen bei einer Gleichungeiner kleineren Skala betrachtet werden.

uxq =ε32

A

[ANx

(A2Nr + A2

Nφ+ A2

Nx

)8B3

N exp 3i(ΘN )

+ ANx

(|ANr|2 + |ANφ|2 + |ANx |

2)

16BN |BN |2 exp i(ΘN )

+ ANx

(A∗2Nr + A∗2Nφ + A∗2Nx

)8BNB

∗2N exp −i(ΘN )

+ A∗Nx

(A2Nr + A2

Nφ+ A2

Nx

)8B∗NB

2N exp i(ΘN )

+ A∗Nx

(|ANr|2 + |ANφ|2 + |ANx |

2)

16B∗N |BN |2

exp −i(ΘN )

+ A∗Nx

(A∗2Nr + A∗2Nφ + A∗2Nx

)8B∗3N exp −3i(ΘN )

]+O(ε2A) (I.15)

Die Terme urq und uφq haben die selbe Struktur wie in (I.15) und lassen sich mit dementsprechenden Austausch der Richtungskomponenten berechnen.Schließlich wird der Ansatz des Wellenpakets in den Gliedern von (I.10) eingesetzt, die mit1Re multipliziert sind.

ur∂2ur∂x2

= εA [2BNANr exp i(ΘN )

+2B∗NA∗Nr exp −i(ΘN )][2BNANr(−λ2

x) exp i(ΘN )

+2B∗NA∗Nr(λ2x) exp −i(ΘN )

]+O(ε

32

A)

= εA[4B2

NA2Nr(−λ2

x) exp i2(ΘN )

+4B∗2N A∗2Nr(λ2x) exp −i2(ΘN )

]+O(ε

32

A) (I.16)

Für die Terme uφ∂2uφ∂x2 und ux ∂

2ux∂x2 ergibt sich dieselbe Struktur wie in (I.16), allerdings

sollen die entsprechenden Richtungskomponenten ausgetauscht werden.

158


Geschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25)Es sei darauf hingewiesen, dass sowohl die Ausdrücke in Gl. (I.15) als auch in Gl. (I.16)eine periodische Struktur haben. Das heißt, dass diese Terme bei einer Mittlung über dieWellenlänge verschwinden.Als Vereinfachung wird für eine kleine Spaltweite die Koordinatentransformation r → yin (2.13) in Radialrichtung angewandt. Dies hat zur Folge, dass alle Terme in (I.10), diemit 1

r2 multipliziert sind, proportional zu O(ε2R) sind. Diese Terme werden als sehr kleinbetrachtet und daher nicht weiter in (I.10) berücksichtigt.

ur1

r

∂

∂r

(r∂ur∂r

)=urr

∂ur∂r

+ ur∂2ur∂r2

= εRur∂ur∂y

+ ur∂2ur∂y2

= εA

[εR

(4B2

NANr∂ANr

∂yexp i2(ΘN )+ 4 |BN |2 ANr

∂A∗Nr∂y

+4 |BN |2 A∗Nr∂ANr

∂y+ 4B∗2N A∗Nr

∂A∗Nr∂y

exp −i2(ΘN ))

+

(4B2

NANr∂2ANr

∂y2exp i2(ΘN )+ 4 |BN |2 ANr

∂2A∗Nr∂y2

+ 4 |BN |2 A∗Nr∂2ANr

∂y2

+4B∗2N A∗Nr∂2A∗Nr∂y2

exp −i2(ΘN ))]

+O(ε32

A) (I.17)

Für die Terme uφ1r∂∂r

(r∂uφ∂r

)und ux

1r∂∂r

(r ∂ux∂r

)resultiert die selbe Struktur wie

in (I.17).Nun wird die Gl. (I.10) genauso wie in (5.1) über die Wellenlängen 2π

λx, 2πnφ

räumlichgemittelt. Dies hat zur Folge, dass alle Terme in (I.10), die mit einer periodischen Funktion(z.B. exp i(ΘN )) multipliziert sind, verschwinden. Darüber hinaus werden bei Anwen-

dung der langen Skalen ( ξx und T ) die Ableitungen in (I.10) durch ∂∂x →

∂∂x + ε

12

A∂∂ξx

und ∂∂t →

∂∂t + ε

12

A

(−(∂ω∂λx

)N,r

∂∂ξx

)+ εA

∂∂T umformuliert.

Zusammenhang zwischen dem Haushalt der turbulenten kinetischen Energie in derdrallbehafteten Ringspaltströmung und dem mehrskaligen Wellenansatz für dieGeschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25) 159

∂K

∂t+ ε

12

A

(−(∂ω

∂λx

)

N,r

∂K

∂ξx

)+ εA

∂K

∂T+ VGx

(∂K

∂x+ ε

12

A

∂K

∂ξx

)+ εRVGφ

∂K

∂φ

−εRVGφuruφ + uφurdVGφdy

+ uφurdVGxdy

= −

((∂uxp

∂x+ ε

12

A

∂uxp

∂ξx

)+ εRurp

+∂urp

∂y+ εR

∂uφp

∂φ

)− 1

2

[(∂uxq

∂x+ ε

12

A

∂uxq

∂ξx

)+ εRurq +

∂urq

∂y+ εR

∂uφq

∂φ

]

+1

Re

[ur

(∂2ur∂x2

+ ε12

A

(2∂2ur∂x∂ξx

)+ εA

(∂2ur∂ξ2x

))

+uφ

(∂2uφ∂x2

+ ε12

A

(2∂2uφ∂x∂ξx

)+ εA

(∂2uφ∂ξ2x

))

+ux

(∂2ux∂x2

+ ε12

A

(2∂2ux∂x∂ξx

)+ εA

(∂2ux∂ξ2x

))

+εRur∂ur∂y

+ ur∂2ur∂y2

+ εRuφ∂uφ∂y

+ uφ∂2uφ∂y2

+ εRux∂ux∂y

+ ux∂2ux∂y2

]

(I.18)

Aus der Sortierung nach den Größenordnungen εA und ε32

A und der Anwendung des An-satzes für das Wellenpaket in (I.11) ergeben sich aus (I.18) folgende Gleichungen für diegemittelte Energie Gleichung der Störung.

Ordnung εA

1

2

(−εRVGφ +

dVGφdy

+dVGxdy

)4 |BN |2

(ANrA

∗Nφ

+ A∗NrANφ

)=

(∂uxp

∂x+ εRurp+

∂urp

∂y+ εR

∂uφp

∂φ

)

+1

Re

[εR4 |BN |2

(ANr

∂A∗Nr∂y

+ A∗Nr∂ANr

∂y

)+ 4 |BN |2

(ANr

∂2A∗Nr∂y2

+ A∗Nr∂2ANr

∂y2

)

+εR4 |BN |2(ANφ

∂A∗Nφ∂y

+ A∗Nφ∂ANφ∂y

)+ 4 |BN |2

(ANφ

∂2A∗Nφ∂y2

+ A∗Nφ∂2ANφ

∂y2

)

+εR4 |BN |2(ANx

∂A∗Nx∂y

+ A∗Nx∂ANx

∂y

)+ 4 |BN |2

(ANx

∂2A∗Nx∂y2

+A∗Nx∂2ANx

∂y2

)]

(I.19)

160


Geschwindigkeitsschwankung nach Gl. (4.25)Ordnung ε

32

A

8(|ANr|2 + |ANφ|2 + |ANx |

2) ∂(|BN |2)

∂ξx

(−(∂ω

∂λx

)

N,r

+ VGx

)=

+∂uxp

∂ξx+

1

Re

[4(|ANr|2 + |ANφ|2 + |ANx|2

)(iλx)

(B∗N

∂BN∂ξx

−BN∂B∗N∂ξx

)]

+O(ε2A)(I.20)

In Gl.(I.19) wird die Produktion der Energie in die von der Drückstörung auf die Ge-schwindigkeitsstörung gemachte Arbeit und die Dissipation aufgeteilt. In Gl. (I.20) wird

die kinetische Energie mit der Geschwindigkeit(−(∂ω∂λx

)N,r

+ VGx

)transportiert und

diese befindet sich im Gleichgewicht mit der Geschwindigkeits–Druck–Korrelation undder Dissipation.In den Gleichungen (I.19) und (I.20) treten Geschwindigkeits–Druck–Korrelationen im Zu-sammenhang mit der von den langskaligen Amplitudenfunktion BN auf. Aus (I.19) und(I.20) alleine ist keine Schlussfolgerung über die Änderung der Amplitudenfunktion mög-lich. Allerdings, fallsBN durch die Lösung der Ginzburg-Landau-Gleichung erhalten wird,sind die Gleichungen (I.19) und (I.20) im Stande, den Zusammenhang zwischen der Ge-schwindigkeits–Druck–Korrelation und BN zu erfassen.Als Zahlenbeispiel ist eine Änderung der AmplitudenfunktionBN nur über das

√10-Fache

der charakteristischen Länge H wahrnehmbar, wenn die Energie in der Schwankungsbe-wegung 1

10 der kinetischen Energie der Grundströmung ist.

J. Quelltexte (Matlab)

J.1. Programmname: EigwertEigfunk.m

% Dieses Programm berechnet die Eigenwerte Omega und die% Eigenfunktionen "A" des Eigenwertproblems% LA = Omega M A. Die Eigenwertsortierung wurde nach% Schmid’s Vorgehen durgeführt, "Stability and% Transition in Shear Flows", Seite 497-499.

clear, format short e

% Eingabe der ParameterNK = 128; %Anzahl der KollokationspunkteLA = 1; %Wellenzahl in AxialrichtungPHI = 1; %Wellenzahl in UmfangsrichtungRE = 6000; %Reynolds-ZahlEr = 0.1; %KrümmungsparameterTw = 0.0; %Translations-ZahlSa = 0; %Rotations-ZahlLambda=(LA^2+PHI^2)^0.5; %Norm des Wellenzahl-Vektors

for m = 0:1:NKYPOS(m+1) = cos (m*pi/NK);end

% Aufbau der Matrizen L und M[L,M]=Matrizen(NK,LA,RE,Er,Tw,Sa,PHI);

% Eigenwertsortierung nach Peter J. Schmid und Dan S.% Henningson, "Stability %and Transition in Shear% Flows", Seite 497-499.

[xs,es]=iord2(L,M);

ishift=1;imin=-1.5;

while imag(es(ishift))>1, ishift=ishift+1; end;

[n1,n2]=n9(es,imin);

cols=(ishift:n2);xu=xs(:,cols);eu=es(cols);ncols=length(cols);

162 Quelltexte (Matlab)

fprintf(’Number of modes used: %1.0f \n’,ncols);

% Darstellung der Eigenfunktionen "A" und des% Orr-Sommerfeld-Squire Spektrums.

subplot(2,3,1); plot(real(xu(1:NK+1,1)),YPOS,’-k’,...’LineWidth’,1.3)hold on;plot(imag(xu(1:NK+1,1)),YPOS,’-.k’,’LineWidth’,1.3)hold onplot(abs(xu(1:NK+1,1)),YPOS,’-k’,’LineWidth’,2)hold off%legend(’Realteil’,’Imaginärteil’)xlabel(’A_r’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,16)ylabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,16)%set(gca,’Position’, [0.18, 0.38, 0.17, 0.54],...%’FontSize’,14)

subplot(2,3,2); plot(real(xu(NK+2:2*NK+2,1)),YPOS,...’-k’,’LineWidth’,1.3)hold on;plot(imag(xu(NK+2:2*NK+2,1)),YPOS,’-.k’,’LineWidth’,1.3)hold onplot(abs(xu(NK+2:2*NK+2,1)),YPOS,’-k’,’LineWidth’,2)hold off%legend(’Realteil’,’Imaginärteil’)xlabel(’A_\phi’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,16)ylabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,16)%set(gca,’Position’, [0.46, 0.38, 0.17, 0.54],...%’FontSize’,14)

subplot(2,3,3); plot(real(xu(2*NK+3:3*NK+3,1)),YPOS,...’-k’,’LineWidth’,1.3)hold on;plot(imag(xu(2*NK+3:3*NK+3,1)),YPOS,’-.k’,’LineWidth’,1.3)hold onplot(abs(xu(2*NK+3:3*NK+3,1)),YPOS,’-k’,’LineWidth’,2)hold off%legend(’Realteil’,’Imaginärteil’)xlabel(’A_x’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,16)ylabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,16)%set(gca,’Position’, [0.71, 0.38, 0.17, 0.54],...%’FontSize’,14)

subplot(2,3,4);plot (real(eu)/Lambda,imag(eu)/Lambda,’bo’);%hold on%legend(’’)xlabel(’c_r’)ylabel(’c_i’)

Quelltexte (Matlab) 163

J.2. Programmname: DCHEBVVR.m

% Dieses Programm wurde von Prof. Vasanta Ram% (Ruhr-Universität) zur Verfügung gestelltfunction [Rueckgabe] = DCHEB(N)% ------------------------------------------------------% Programm zur Bildung der% Chebyshev-Differentationsmatrix% ------------------------------------------------------

% N. Bleier, 03.06.05, von VVR eine Änderung vorgenommen% im Aug/Sept 2006

% ------------------------------------------------------% Verteilung der Kollokationspunkte nach dem Cosinus-% Gesetz und Bestimmung der für die Berechnung der% Matrix DCHEB erforderlichen Hilfsgrößen \barc_m

for J = 0:1:N;YPOS(J+1) = cos(J * pi/N);c(J+1) = 1;endc(1) =2;c(N+1) =2;% ---------------------------------------------------

% Belegung der einzelnen Matrixelementefor k=1:N+1

for j=1:N+1if k==1 & j==1 % Belegung des ersten

% Diagonalelementes (1,1)D(1,1) = +(2 * N^2 + 1)/6;

elseif k==N+1 & j==N+1 % Belegung des letzen% Diagonalelementes (N,N)

D(N+1,N+1) = -(2 * N^2 + 1)/6;elseif k==j % Belegung der restlichen

% DiagonalelementeD(k,k) = - YPOS(k) / (2 * (1 - (YPOS(k))^2 ));

else % Belegung der übrigen ElementeD(k,j) = ( c(k) * (-1)^(k+j) )/( c(j)*...(YPOS(k)-YPOS(j)) );

endendend

Rueckgabe = D;

J.3. Programmname: Matrizen.m

% Mit diesem Programm werden für die eingegebenen% Parameter (N,LAMBDAX,RE,Er,Tw,Sa,ETAPHI) die Matrizen


% L (AMATRIX) und M (BMATRIX) aufgebaut.

function [AMATRIX,BMATRIX,VVGx1,VVGp1]=...Matrizen(N,LAMBDAX,RE,Er,Tw,Sa,ETAPHI)

D1 = DCHEBVVR(N);D2 = D1*D1;D3 = D2*D1;D4 = D3*D1;

% INPLUS1 ist die EinheitsmatrixINPLUS1 =eye(N+1,N+1);

% ZEROMATR ist die NullmatrixZEROMATR = zeros(N+1,N+1);

for m = 0:1:NYPOS(m+1) = cos (m*pi/N);end%%%%%Grundströmungenfor m= 0:1:N

%%%%%Einbau der Axialgeschwindigkeit

VVGx1(m+1) = Tw*(0.5*(1-YPOS(m+1))+Er/4*...((YPOS(m+1))^2-1))+(1-(YPOS(m+1))^2)*(1-Er/3*YPOS(m+1));

VD2VGx1(m+1)= Tw*Er/2+2*(Er*YPOS(m+1)-1);

VVGx0(m+1)=Tw*0.5*(1-YPOS(m+1))+(1-(YPOS(m+1))^2);

VD1VGx0(m+1)=-Tw/2-2*YPOS(m+1);

% Einbau der Umfangsgeschwindigkeit (der Außenzylinder% dreht sich)

VVGp1(m+1) = Sa*((1+YPOS(m+1))/2+ Er/4*(1-(YPOS(m+1))^2));

VD1VGp1(m+1) = Sa*0.5*(1-Er*YPOS(m+1));

VD2VGp1(m+1)=-Sa*Er/2;

VVGp0(m+1)=Sa/2*(1+YPOS(m+1));

VD2VGp0(m+1)=0;

end

VGx1 = zeros(N+1,N+1);D2VGx1 = zeros(N+1,N+1);VGx0=zeros(N+1,N+1);D1VGx0 = zeros(N+1,N+1);


VGp1 = zeros(N+1,N+1);D1VGp1 =zeros(N+1,N+1);D2VGp1 =zeros(N+1,N+1);VGp0 = zeros(N+1,N+1);D2VGp0 = zeros(N+1,N+1);

for m=1:1:N+1VGx1(m,m) = VVGx1(m);D2VGx1(m,m) = VD2VGx1(m);VGx0(m,m) = VVGx0(m);D1VGx0(m,m) = VD1VGx0(m);VGp1(m,m) = VVGp1(m);D1VGp1(m,m) = VD1VGp1(m);D2VGp1(m,m) = VD2VGp1(m);VGp0(m,m) = VVGp0(m);D2VGp0(m,m)=VD2VGp0(m);

end

L1= LAMBDAX;L2= LAMBDAX^2;L3= LAMBDAX^3;L4= LAMBDAX^4;

np= ETAPHI;np2= ETAPHI^2;np3= ETAPHI^3;np4= ETAPHI^4;

% AMATRIX und BMATRIX sind die Matrizen des% Eigenwertproblems, für die der von MATLAB% bereitgestellte Eigenwertlöser [V,D] = eig(A,B)% aufgerufen werden soll. AMATRIX ist frei vom% (gesuchten) Eigenwert. BMATRIX enthält den gesuchten% Eigenwert nur in der ersten Potenz.

AOSX = ZEROMATR;AOSR = 1/RE*(L4*INPLUS1+D4-2*L2*D2-2*Er*L2*D1+2*Er*D3)+...

i*(L1*D2VGx1-L1*Er*D1VGx0-L1*VGx1*D2+L3*VGx1-L1*Er*VGx0*D1-...Er*VGp0*np*D2+Er*VGp0*np*L2);%+iEr*np*D2VGp1(zu klein)

AOSP = -Er*VGp0*2*L2;

ASQX = -Er*VGx0*L1*np+...i*1/RE*(np*L2*Er*INPLUS1-np*Er*D2);

ASQR =0+...i*(np*Er*D1VGx0-L1*D1VGp1-Er*L1*VGp0);

ASQP = VGx1*L2+Er*VGp0*L1*np+...i*1/RE*(-L3*INPLUS1+L1*D2+L1*Er*D1);

AKOX= i*L1*INPLUS1;AKOR= D1+Er*INPLUS1;AKOP= i*np*Er*INPLUS1;


BOSX=ZEROMATR;BOSR= i*(L2*INPLUS1-D2-Er*D1);BOSP=ZEROMATR;

BSQX= -Er*np*INPLUS1;BSQR= ZEROMATR;BSQP= L1*INPLUS1;

BKOX= ZEROMATR;BKOR= ZEROMATR;BKOP= ZEROMATR;

% Einbau der Randbedingungen

AOSX(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);AOSX(2,:)= ZEROMATR(1,N+1);AOSX(N,:)= ZEROMATR(N,N+1);AOSX(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

AOSR(1,:)= INPLUS1(1,:);AOSR(2,:)= D1(1,:);AOSR(N,:)= D1(N+1,:);AOSR(N+1,:)= INPLUS1(N+1,:);

AOSP(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);AOSP(2,:)= ZEROMATR(1,N+1);AOSP(N,:)= ZEROMATR(N,N+1);AOSP(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

ASQX(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);ASQX(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);ASQR(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);ASQR(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);ASQP(1,:)= INPLUS1(1,:);ASQP(N+1,:)= INPLUS1(N+1,:);

AKOX(1,:)= INPLUS1(1,:);AKOX(N+1,:)= INPLUS1(N+1,:);AKOR(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);AKOR(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);AKOP(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);AKOP(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

BOSX(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);BOSX(2,:)= ZEROMATR(1,N+1);BOSX(N,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);BOSX(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

BOSR(1,:)= ZEROMATR(1,:);BOSR(2,:)= ZEROMATR(1,:);


BOSR(N,:)= ZEROMATR(N+1,:);BOSR(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,:);

BOSP(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);BOSP(2,:)= ZEROMATR(1,N+1);BOSP(N,:)= ZEROMATR(N,N+1);BOSP(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

BSQX(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);BSQX(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

BSQR(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);BSQR(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

BSQP(1,:)= ZEROMATR(1,:);BSQP(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,:);

BKOX(1,:)= ZEROMATR(1,:);BKOX(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,:);

BKOR(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);BKOR(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

BKOP(1,:)= ZEROMATR(1,N+1);BKOP(N+1,:)= ZEROMATR(N+1,N+1);

AMATRIX = [AOSR AOSP AOSXASQR ASQP ASQXAKOR AKOP AKOX];

BMATRIX = [BOSR BOSP BOSXBSQR BSQP BSQXBKOR BKOP BKOX];

J.4. Programmname: Linearstabilflaeche.m

% Dieses Programm sucht die Parameterintervalle aus,% mit denen die neutralen Stabilitätsflächen dargestellt% werden können.% Das Eigenwertproblem LA = Omega M A wird bei jedem% einzeln eingegebenen Parameter% (NK,LA0,RE0,Er0,Tw0,Sa0,PHI0) gelöst.

clear, format short eticr=1;


for u=1:1:4c = [0 0.3 0.6 1]; % Konstante Werte der Rotations-Zahl% (Translations-Zahl oder Krümmungsparameter), bei denen% die neutrale Stabilitäsfläche gesucht wird.Sa0 = c(u); % Tw0 oder Er0 sollen gleich c(u) sein,% wenn die Translation-Zahl bzw. der Krümmungsparameter% verschiedene konstante Werte annehmen und Sa0 nur% einen einzigen Wert hat.

for t=1:150% Intervall der Reynolds-Zahlb = linspace(5800,30000,150);RE0 = b(t);for s = 1:100 %’s’ muss gleich ’a’ sein

% Anzahl der KollokationspunkteNK = 128;% Intervall der Wellenzahl Lambda_xa = linspace(0.6,1.1,100);LA0 = a(s);Tw0 = 0.0; % Translations-ZahlPHI0= 1; % Wellenzahl in UmfangsrichtungEr0=0.1; % KrümmungsparameterLambda=(LA0^2+PHI0^2)^0.5;

for m = 0:1:NKYPOS(m+1) = cos (m*pi/NK);

end

% Aufbau der Matrizen L und M[L,M]=Matrizen(NK,LA0,RE0,Er0,Tw0,Sa0,PHI0);

% Eigenwertsortierung nach Peter J. Schmid und% Dan S. Henningson, "Stability and Transition in% Shear Flows", Seite 497-499.

[xs,es]=iord2(L,M); % iord2 befindet sich im Anhang% von "Stability and Transition in Shear Flows",% Seite 497-499.

ishift=1;imin=-1.5;

while imag(es(ishift))>1 , ishift=ishift+1; end;

[n1,n2]=n9(es,imin); % n9 befindet sich im Anhang von% "Stability and Transition in Shear Flows",% Seite 497-499.

cols=(ishift:n2);xu=xs(:,cols);eu=es(cols);eigwert= eu(1);TOSCH=xu(:,1);ncols=length(cols);


fprintf(’Number of modes used: %1.0f \n’,ncols);

lambda1(s,:)=[imag(es(ishift)) LA0];

endp=1;q=1;lambdaange=1;lambdagedaem=1;for n=1:1:s

if lambda1(n,1)>0lambdaange(p,:)=lambda1(n,2);p=p+1;

elselambdagedaem(q,:)=lambda1(n,2);q=q+1;

endend

if length(lambdagedaem)==sstr = [’For the Reynoldsnummer ’, num2str(RE0),...’the flow is stable’];

elsestabflaeche(r,:)=[max(lambdaange) min(lambdaange)...RE0 Sa0]; % Tw0 oder Er0 sollen Sa0 ersetzen,

% wenn die Translation-Zahl bzw. der Krümmungsparameter% verschiedene konstante Werte annehmen.

r=r+1str = [’For the Reynoldsnummer ’, num2str(RE0),...’the flow is unstable’];

endend

end

% Die neutralen Stabilitätsflächen können mit den Daten% der Matrix "stabflaeche" dargestellt werden.

J.5. Programmname: ReynoldsSpannungstensor.m

% Dieses Programm berechnet die Eigenwerte Omega und% Eigenfunktionen "A" des Eigenwertproblems LA = Omega M A.% Die Eigenwertsortierung wurde nach Schmid’s Vorgehen% durgeführt, "Stability and Transition in Shear Flows",% Seite 497-499.% Für die gegebenen Parameter (NK,LA,RE,Er,Tw,Sa,PHI) wird% die instabilste Mode ausgesucht und mit ihrer% entsprechenden Eigenfunktion folgendes berechnet:% 1-Form der Normalspannungskomponenten des Reynolds-% Spannungstensors


% 2-Form der Schubspannungskomponenten des Reynolds-% Spannungstensors% 3-Anisotropie-Invariantenkarte% 4-Invariante III_a gegen Radius% 5-Orr-Sommerfeld-Squire-Spektrum% 6-Winkelunterschiede zwischen den Hauptachsen des% Deformationstensors und denen des Anisotropietensors% der Reynolds-Spannungen.

clear, format long

NK = 128; % Anzahl der KollokationspunkteLA = 0.2064; %Wellenzahl in AxialrichtungPHI = 0; %Wellenzahl in UmfangsrichtungRE = 41351; %ReynoldszahlEr = 0.1; %KrümmungsparameterTw = 0.5; %TranslationsparameterSa = 0.5; %RotationsparameterLambda=(LA^2+PHI^2)^0.5; %Norm des Wellenzahl-Vektors

for m = 0:1:NKYPOS(m+1) = cos (m*pi/NK);end

% Aufbau der Matrizen L und M[L,M,VGx,VGp]=Matrizen(NK,LA,RE,Er,Tw,Sa,PHI);

% Eigenwertsortierung nach Peter J. Schmid und Dan S.% Henningson, "Stability and Transition in Shear Flows",% Seite 497-499.

[xs,es]=iord2(L,M); % iord2 befindet sich im Anhang von% "Stability and Transition in Shear Flows", Seite 497-499.

ishift=1;imin=-1.5;

while imag(es(ishift))>1, ishift=ishift+1; end;

[n1,n2]=n9(es,imin); % n9 befindet sich im Anhang von% "Stability and Transition in Shear Flows", Seite 497-499.

cols=(ishift:n2);xu=xs(:,cols);eu=es(cols);eigwert= eu(1);TOSCH=xu(:,1);ncols=length(cols);fprintf(’Number of modes used: %1.0f \n’,ncols);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Berechnung der Form des Reynolds-Spannungstensors,% siehe Gleichung (5.2)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% T1xx = ANX ANXcc + ANXcc ANX% T1xr = ANX ANRcc + ANXcc ANR% T1xp = ANX ANPcc + ANXcc ANP% T1rx = ANR ANXcc + ANRcc ANX% T1rr = ANR ANRcc + ANRcc ANR% T1rp = ANR ANPcc + ANRcc ANP% T1px = ANP ANXcc + ANPcc ANX% T1pr = ANP ANRcc + ANPcc ANR% T1pp = ANP ANPcc + ANPcc ANP

% T1=[T1xx T1xr T1xp% T1rx T1rr T1rp% T1px T1pr T1pp]

ANR=xu(1:NK+1,1);ANP=xu(NK+2:2*NK+2,1);ANX=xu(2*NK+3:3*NK+3,1);ANXcc=conj(ANX);ANPcc=conj(ANP);ANRcc=conj(ANR);% Berücksichtigt man die Eigenfunktionen (ANR, ANP, ANX)% an den Wänden (-1,1) für die Berechnung, werden Fehler% (Division durch null)angezeigt. Daher werden die Werte% an den Wänden nicht weiter betrachtet.

Anr=ANR(2:NK);Anp=ANP(2:NK);Anx=ANX(2:NK);Anxcc=conj(Anx);Anpcc=conj(Anp);Anrcc=conj(Anr);Rad=YPOS(2:NK);

% Anwendung einer Struktur für die Berechnung der Größen% entlang der Spaltweiteanal_med=struct( ’daten’, [], ’Tensor’, [], ’kinetEner’,...[],’AnistroTensor’, [], ’IIinvar’, [], ’IIIinvar’, [],...’IIDiag’, [],’IIIDiag’, [],’Eigvek_ord’, [],...’Eigwerte_ord’, [],’Position’,[]);

Jov_ReSpTen = anal_med;Deform_tens = anal_med;

for j=1:NK-1; % Berechnung der Größen entlang% der Spaltweite.

% Berechnung des Reynolds-SpannungstensorsT1xx(j,1) = 2*(abs(Anx(j)))^2; %ANXcc(j,1)+...ANXcc(j,1)*ANX(j,1);T1xp(j,1) = Anx(j)*Anpcc(j)+Anxcc(j)*Anp(j);T1xr(j,1) = Anx(j)*Anrcc(j)+Anxcc(j)*Anr(j);T1pp(j,1) = 2*(abs(Anp(j)))^2;%ANP(j,1)*ANPcc(j,1)+...ANPcc(j,1)*ANP(j,1);


T1pr(j,1) = Anp(j)*Anrcc(j)+Anpcc(j)*Anr(j);T1rr(j,1) = 2*(abs(Anr(j)))^2;%ANR(j,1)*ANRcc(j,1)+...ANRcc(j,1)*ANR(j,1);

tens = [T1rr(j,1),T1pr(j,1),T1xr(j,1)T1pr(j,1),T1pp(j,1),T1xp(j,1)T1xr(j,1),T1xp(j,1),T1xx(j,1)];

Jov_ReSpTen(j).Tensor = tens;% Kinetische Energie

Jov_ReSpTen(j).kinetEner=1/2*...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,1)+...Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,2)+Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,3));

% Anisotropietensor der Reynolds-SpannungenJov_ReSpTen(j).AnistroTensor=...[(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,1))/(2*...Jov_ReSpTen(j).kinetEner)-1/3,...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,2))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner),...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,3))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)...

(Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,1))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner),...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,2))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)-1/3,...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,3))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)...

(Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,1))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner),...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,2))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner),...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,3))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)-1/3];

% Berechnung der Invarianten IIIa und IIaJov_ReSpTen(j).IIinvar=...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1))^2+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2))^2+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3))^2+...2*((Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,2))^2+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,3))^2+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,3))^2);

Jov_ReSpTen(j).IIIinvar=...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1))^3+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2))^3+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3))^3+...6*(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,2)*...


Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,3)*...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,3))+...3*(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,2))^2*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1)+...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2))+...3*(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,3))^2*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1)+...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3))+3*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,3))^2*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2)+...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3));

JovII(j)=Jov_ReSpTen(j).IIinvar;JovIII(j)=Jov_ReSpTen(j).IIIinvar;

% Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren%(Hauptachsen) des Anisotropietensors der% Reynolds-Spannungen

[Rv,Re] = eig(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor);

%RETen(j).eigvek = v;%RETen(j).eigwerte = e;

Ra = diag(Re);[Reimag,Ris]= sort(-Ra);

Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord = Rv(:,Ris);Jov_ReSpTen(j).Eigwerte_ord = Ra(Ris);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Berechnung des Deformationstensors%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Sij=[Srr Srp Srx% Spr Spp Spx% Sxr Sxp Sxx]

% Sij=[0 1/2*(D1VGp-Er*VGp) 1/2*D1VGx% 1/2*(D1VGp-Er*VGp) 0 0% 1/2*D1VGx 0 0 ]

Srr(j,1) = 0;Srp(j,1) = 0.5*Sa*(0.5-Er/2*Rad(j)-Er/2*(1+Rad(j)));Srx(j,1) = 0.5*(Tw*(-1/2+Er/2*Rad(j))+Er/3-2*Rad(j)-Er*...(Rad(j))^2);Spp(j,1) = 0;Spx(j,1) = 0;Sxx(j,1) = 0;

Deform_tens(j).Tensor = [Srr(j,1),Srp(j,1),Srx(j,1)Srp(j,1),Spp(j,1),Spx(j,1)Srx(j,1),Spx(j,1),Sxx(j,1)];


% Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren% (Hauptachsen) des Deformationstensors

[Dv,De] = eig(Deform_tens(j).Tensor);Da = diag(De);

[Deimag,Dis]= sort(-Da);Deform_tens(j).Eigvek_ord = Dv(:,Dis);Deform_tens(j).Eigwerte_ord = Da(Dis);

% Winkelunterschiede zwischen den Hauptachsen des% Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen und denen% des Deformationstensors

%%%%Theta%%%%cos_theta(j) = abs ( Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1)’ *...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1) ) /( sqrt...(Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1)’*...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1) ) * sqrt...( Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)’*...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1) ) );

theta(j,1) = 180/pi * acos( cos_theta( j ) );

%%%%Kappa%%%%ka = Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)-...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)’*...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1)*...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1);

cos_kappa(j) = abs( Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,2)’ *...ka ) / ( sqrt( Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,2)’ *...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,2) ) * sqrt( ka’ * ka) );

kappa(j,1) = 180/pi * acos( cos_kappa( j ) );

%%%%Zeta%%%%za = Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,3) -...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,3)’*...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)*...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1);

cos_zeta(j) = abs( Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,3)’ *...za ) /( sqrt( Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,3)’ *...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,3) ) * sqrt( za’ * za) );

zeta(j,1) = 180/pi * acos( cos_zeta( j ) );end%%%%%%%%%%%%%%%P L O T%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Normalspannungskomponenten des Reynolds-% Spannungstensors


subplot(4,3,1); plot(Rad,T1rr,’dk’,’LineWidth’,1.4)hold on%legend(’S_a’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,15)ylabel(’2|A_Nr|^2’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,15)%set(gca,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[0 1],’XTick’,[0:0.2:1],’Position’,...% [0.2, 0.73, 0.6, 0.24], ’FontSize’,14)

subplot(4,3,2); plot(Rad,T1xx,’dk’,’LineWidth’,1.4)hold on%legend(’S_a’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’2|A_Nx|^2’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[0 1],’XTick’,[0:0.2:1],’Position’,...% [0.2, 0.41, 0.6, 0.24], ’FontSize’,14)

subplot(4,3,3); plot(Rad,T1pp,’dk’,’LineWidth’,1.4)hold on%legend(’S_a’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’2|A_N\phi|^2’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[0 1],’XTick’,[0:0.2:1],’Position’,...% [0.2, 0.08, 0.6, 0.24],’FontSize’,14)

% Schubspannungskomponenten des Reynolds-% Spannungstensors

subplot(4,3,4); plot(Rad,T1xp,’dk’,’LineWidth’,1.4)hold on%legend(’Z_w’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’A_NxA^*_N\phi+A^*_NxA_N\phi’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[-1 1],’XTick’,[-1:0.5:1],’Position’,...% [0.2, 0.08, 0.6, 0.24],’FontSize’,14)

subplot(4,3,5); plot(Rad,T1pr,’dk’,’LineWidth’,1.4)hold on%legend(’Z_w’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’A_N\phiA^*_Nr+A^*_N\phiA_Nr’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[-1 1],’XTick’,[-1:0.5:1],’Position’,...


% [0.2, 0.41, 0.6, 0.24],’FontSize’,14)

subplot(4,3,6); plot(Rad,T1xr,’dk’,’LineWidth’,1.4)hold on%legend(’Z_w’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’A_NxA^*_Nr+A^*_NxA_Nr’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[-1 1],’XTick’,[-1:0.5:1],’Position’,...% [0.2, 0.73, 0.6, 0.24],’FontSize’,14)

% Invariante III_a gegen die Position entlang der% Spaltweitesubplot(4,3,7);plot(Rad,JovIII,’dk’);hold onxlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’IIIa’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[-1 1],’YLim’,[-0.1 0.25],’Position’,...% [0.2, 0.73, 0.6, 0.24],’FontSize’,14)

% Orr-Sommerfeld-Squire-Spektrumsubplot(4,3,8);plot (real(eu)/Lambda,imag(eu)/Lambda,’dk’);%hold on%legend(’’)xlabel(’c_r’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’c_i’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[0 1],’Position’, [0.2, 0.41, 0.6, 0.24],...% ’FontSize’,14)

% Anisotropie-InvariantenkarteJx1=linspace(0,2/9,NK+1);

Jy1=3/2.*(Jx1.*4/3).^(2/3);Jx2=linspace(0,-1/36,NK+1);Jy2=3/2.*(-Jx2.*4/3).^(2/3);Jx3=linspace(-1/36,2/9,NK+1);Jy3=2/9.+Jx3.*2;subplot(4,3,9);plot(JovIII,JovII,’dk’,Jx1,Jy1,’k’,Jx2,Jy2,’k’,...Jx3,Jy3,’k’);hold onxlabel(’IIIa’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’IIa’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’XLim’,[-0.04 0.25],’Position’,...% [0.2, 0.08, 0.6, 0.24],’FontSize’,14)

% Winkelunterschiedesubplot(4,3,10)plot( Rad, theta, ’dk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’\theta’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)


%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(4,3,11)plot( Rad, kappa, ’dk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’\kappa’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(4,3,12)plot(Rad, zeta, ’dk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’\zeta’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

J.6. Programmname: InvKarteWinkelMessdaten.m

% Mit diesem Programm kann aus DNS- oder Experimental-% Daten Folgendes berechnet werden:% 1-Anisotropie-Invarianten-Karte der Reynolds-% Spannungen% 2-Winkelunterschiede zwischen den Hauptachsen des% Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen und denen% des Deformationstensors% Für die Berechnung der Größen ist die Eingabe einer% Datei mit folgender Information nötig:% 1-Dateiname: ’daten_Ten.txt’% 2-In der Datei sollen als Spalte die Komponenten des% Reynolds-Spannungstensors und des Deformationstensors% eingegeben werden:%% y uu uv uw vv vw ww Sxx Sxy Sxz Syy Syz Szz%% wobei y, (uu uv uw vv vw ww) und (Sxx Sxy Sxz% Syy Syz Szz) der Ort der Messung, die Komponenten des% Reynolds-Spannungstensors und die Komponenten des% Deformationstensors sind.

format longclear

load(’daten_Ten.txt’);

anal_med=struct( ’daten’, [], ’Tensor’, [], ’kinetEner’,...[],’AnistroTensor’, [], ’IIinvar’, [], ’IIIinvar’, [],...’IIDiag’, [],’IIIDiag’, [], ’Eigvek_ord’, [],...’Eigwerte_ord’, [],’Position’,[], ’Schub’,[]);


% Anzahl der MessungenN=length(daten_Ten);

Jov_ReSpTen = anal_med;Deform_tens = anal_med;

for j=1:N

%%%REYNOLDS-SPANNUNGSTENSOR%%%

Jov_ReSpTen(j).daten = daten_Ten(j,:);

Re_tens=[daten_Ten(j,2), daten_Ten(j,3), daten_Ten(j,4)daten_Ten(j,3), daten_Ten(j,5), daten_Ten(j,6)daten_Ten(j,4), daten_Ten(j,6), daten_Ten(j,7)];

% Aufbau des Reynolds-Spannungstensors für die% Messung j

Jov_ReSpTen(j).Tensor = Re_tens;

Schub(j,1) = Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,2);Norm_uu(j,1) = Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,1);Norm_vv(j,1) = Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,2);Norm_ww(j,1) = Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,3);

% Aufbau der kinetischen Energie für die Messung jJov_ReSpTen(j).kinetEner=1/2*...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,1)+Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,2)...+Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,3));

% Aufbau des Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen% für die Messung jJov_ReSpTen(j).AnistroTensor=...[(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,1))/(2*...Jov_ReSpTen(j).kinetEner)-1/3,...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,2))/(2*...Jov_ReSpTen(j).kinetEner),(Jov_ReSpTen(j).Tensor(1,3)).../(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)...

(Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,1))/...(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner),(Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,2...))/(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)-1/3,...(Jov_ReSpTen(j).Tensor(2,3))/(2*...Jov_ReSpTen(j).kinetEner)...

(Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,1))/(2*...Jov_ReSpTen(j).kinetEner),(Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,2)).../(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner),(Jov_ReSpTen(j).Tensor(3,3...))/(2*Jov_ReSpTen(j).kinetEner)-1/3];

% Aufbau der Invarianten IIIa und IIa für die Messung jJov_ReSpTen(j).IIinvar=(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1...))^2+(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2))^2+...


(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3))^2+2*((...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,2))^2+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,3))^2+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,3))^2);

Jov_ReSpTen(j).IIIinvar=...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1))^3+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2))^3+...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3))^3+...6*(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,2)*...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,3)*...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,3))+3*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,2))^2*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1)+...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2))+...

3*(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,3))^2*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(1,1)+...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3))+3*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,3))^2*...(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(2,2)+...Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor(3,3));

JovII(j)=Jov_ReSpTen(j).IIinvar;JovIII(j)=Jov_ReSpTen(j).IIIinvar;

% Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren des% Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen für% die Messung j

[Rv,Re] = eig(Jov_ReSpTen(j).AnistroTensor);

%RETen(j).eigvek = v;%RETen(j).eigwerte = e;

Ra = diag(Re);[Reimag,Ris]= sort(-Ra);

Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord = Rv(:,Ris);Jov_ReSpTen(j).Eigwerte_ord = Ra(Ris);

%%%DEFORMATIONSTENSOR%%%%Deform_tens(j).daten = daten_Ten(j,:);

Deftens=...[daten_Ten(j,8), daten_Ten(j,9), daten_Ten(j,10)daten_Ten(j,9), daten_Ten(j,11), daten_Ten(j,12)daten_Ten(j,11), daten_Ten(j,12), daten_Ten(j,13)];

% Aufbau des Deformationstensors für die Messung j

Deform_tens(j).Tensor = Deftens;


% Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren des% Deformationstensors

[Dv,De] = eig(Deform_tens(j).Tensor);Da = diag(De);

[Deimag,Dis]= sort(-Da);Deform_tens(j).Eigvek_ord = Dv(:,Dis);Deform_tens(j).Eigwerte_ord = Da(Dis);

% DATOS DEl RadioDeform_tens(j).Position = daten_Ten(j,1);

Radius(j)= Deform_tens(j).Position;

% Winkelunterschiede zwischen den Hauptachsen des% Anisotropietensors der Reynolds-Spannungen und denen% des Deformationstensors für die Messung j

% Thetacos_theta(j)=abs( Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1)’* ...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1) ) /...( sqrt( Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1)’*...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1) ) * sqrt...( Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)’*...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1) ) );

theta(j,1) = 180/pi * acos( cos_theta( j ) );

% Kappaka=Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)-...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)’*...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1)*...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,1);

cos_kappa(j)=abs(Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,2)’*ka)/...( sqrt( Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,2)’ * ...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,2) )* sqrt( ka’ * ka) );

kappa(j,1) = 180/pi * acos( cos_kappa( j ) );

% Zetaza=Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,3)-...Deform_tens(j).Eigvek_ord(:,3)’*...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1)*...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,1);

cos_zeta(j)=abs(Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,3)’*za)/...( sqrt( Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,3)’ * ...Jov_ReSpTen(j).Eigvek_ord(:,3) ) * sqrt( za’ * za) );

zeta(j,1) = 180/pi * acos( cos_zeta( j ) );

% Berechnung des Faktors Rho_RS, siehe Schmitt% F. G.: "About Boussinesq’s turbulent viscosity% hypothesis: historical remarks and a direct evaluation% of its validity"; Author manuscript, published in% “Comptes Rendus Mecanique 335, 9-10 (2007) 617-627".


Rho(j)= (abs(trace(Jov_ReSpTen(j).Tensor*...Deform_tens(j).Tensor)))/((sqrt(trace...(Jov_ReSpTen(j).Tensor*Jov_ReSpTen(j).Tensor)))*...(sqrt(trace(Deform_tens(j).Tensor*...Deform_tens(j).Tensor))));

end

%%%PLOT%%%%Jx1=linspace(0,2/9,500);Jy1=3/2.*(Jx1.*4/3).^(2/3);Jx2=linspace(0,-1/36,500);Jy2=3/2.*(-Jx2.*4/3).^(2/3);Jx3=linspace(-1/36,2/9,500);Jy3=2/9.+Jx3.*2;

clear asubplot(3,3,1)plot(Radius, theta, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’\theta’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(3,3,2)plot(Radius, kappa, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’\kappa’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(3,3,3)plot(Radius, zeta, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’\zeta’,’FontName’,’Times New Roman’,...’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(3,3,4);plot(JovIII,JovII,’sk’,Jx1,Jy1,’k’,Jx2,Jy2,’k’,Jx3,...Jy3,’k’)hold onxlabel(’IIIa’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’IIa’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)

subplot(3,3,5)plot(Radius,Rho,’sk’);hold on

subplot(3,3,6)


plot(Radius, Schub, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’$\overlineuv$’,’interpreter’,’latex’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(3,3,7)plot(Radius, Norm_uu, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’$\overlineuu$’,’interpreter’,’latex’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(3,3,8)plot(Radius, Norm_vv, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’$\overlinevv$’,’interpreter’,’latex’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

subplot(3,3,9)plot(Radius, Norm_ww, ’sk’)xlabel(’y’,’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)ylabel(’$\overlineww$’,’interpreter’,’latex’,...’FontName’,’Times New Roman’,’FontSize’,14)%set(gca,’FontSize’,14)hold on

Literaturverzeichnis

[1] Alfredsson P. Henrik, Persson H.: Instabilities in channel flow with system rotation; J.Fluid Mech. 202: 543-557, 1989.

[2] Alfredsson P. Henrik, Tillmark Nils: Instability, Transition and Turbulence in PlaneCouette Flow with System Rotation; IUTAM Symposium on Laminar-Turbulent Tran-sition and Finite Amplitude Solutions, Springer , 173-195, 2005.

[3] Ansys 2006: CFX-Benutzerhandbuch, 2006.

[4] Armfield, S.W., Fletcher C. A. J.: Comparison of k-ε and algebraic Reynolds stress mo-dels for swirling Diffuser flow; International Journal for Numerical Methods in Fluids,Vol. 9, 987-1009, 1989

[5] Batchelor G.K.: An Introduction to Fluid Dynamics; Cambridge UniversityPress,Cambridge, Great Britain, First published in 1967.

[6] Bradshaw, P.: The analogy between streamline curvature and buoyancy in turbulentshear flow; J. Fluid Mechanics 36: 177-191, 1969.

[7] Breuer, Michael: Direkte Numerische Simulation und Large-Eddy Simulation turbulen-ter Strömungen auf Hochleistungsrechern; Shaker Verlag, Aachen, 2002.

[8] Boiko Andrey V., Dovgal Alexander V., Grek Genrih R., Koslov Victor V.: Physics ofTransitional Shear Flows; Springer Science+Business, 2012.

[9] Craik A.D.: Wave Interactions and Fluid Flows; Cambridge UniversityPress,Cambridge, Great Britain, 1985.

[10] Criminale W.O., Jackson T.L., Joslin R.D.: Theory and Computation of Hydrodyna-mic Stability; Cambridge University Press,Cambridge, UK, 2003.

[11] Drazin P.G., Reid W.H.: Hydrodynamic Stability; Cambridge University Press, Cam-bridge, UK, 2004.

[12] Drazin P.G.: Introduction to Hydrodynamic Stability; Cambridge University Press,Cambridge, UK, 2002.

[13] Durbin P. A., Pettersson Reif B. A. Statistical Theory and Modeling for TurbulentFlows; John Wiley and Sons, 2011.

[14] Eggels, J.G.M., Boersma B.J., Nieuwstadt F.T.M.: Direct and large-eddy simulationsof turbulent flow in an axially rotating pipe.; Submitted to J.Fluid Mech., 1994.

[15] Ferziger Joel H., Peric Milovan: Numerische Strömungsmechanik; Springer-VerlagBerlin Heidelberg, 2008.

[16] Galperin Boris, Orszag Steven A.: Large Eddy Simulation of Complex Engineeringand Geophysical Flows; Cambridge University Press, Printed in the United States ofAmerica, 1993.

[17] Gatski Thomas B., Hussaini M. Yousuff, Lumley John L.:Simulation and Modelingof Turbulent Flows; Oxford University Press, New York, Oxford, 1996.

[18] Genç B. Z., Ertunç Ö, Jovanovic J., Delgado A.: LDA measurements of Reynoldsstresses in a swirling turbulent pipe flow; Advances in Turbulence XII, Springer Pro-ceedings in Physics, Volume 132, Part 9, 617-620, 2009.

[19] Greitzer E.M., Tan C.S., Graf M.B.: Internal Flow, Concepts and Applications; Cam-

184 Literaturverzeichnis

bridge University Press, Cambridge, UK, 2004.

[20] Heinz Herwig: Strömungsmechanik, Einführung in der Physik von technischen Strö-mungen; 1. Auflage 2008; Vieweg +Teuber Verlag.

[21] Henningson D.S., Schmid P.J.: Vector Eigenfunction-Expansions for Plane ChannelFlows, Stud. Appl. Math. 87: 15-43, 1992.

[22] Higgins Chad W., Parlange Marc B., Meneveau C.: Aligment Trends of velocity gradi-ents and Subgrid-scale fluxes in the turbulent atmospheric boundary layer; Boundary-Layer Meteorology 109: 59-83, 2003.

[23] Holmes M. H.: Introduction to Perturbation Methods; Springer-Verlag, New York,1995.

[24] Hinch E. J.: Perturbation Methods; Cambridge University Press, Cambridge, UK,2000.

[25] Huerre P., Rossi M.: Hydrodynamic Instabilities of Open Flows. In Godreche andMannville (Eds.) Hydrodynamic and Nonlinear Instabilties; Cambridge UniversityPress, Cambridge, UK, 1998.

[26] Hussong J.: Die kritische Schicht und der Einfluss der Nichtlinearitäten in der drall-behafteten Ringspaltströmung.; Diplomarbeit Nr. 204; Fakultät Maschinenbau, Institutfür Thermo- und Fluiddynamic Lehrstuhl für Strömungsmechanik, Ruhr UniversitätBochum.

[27] Jakirlic Suad: Reynolds-Spannungs-Modellierung komplexer turbulenter Strömun-gen; Herbert Utz Verlag Wissenschaft, München, 1997.

[28] Jawarneh Ali M., Vatistas Georgios H. Reynolds Stress Model in the Prediction ofConfined Turbulent Swirling Flows; Journal of Fluids Engineering, Vol. 128,1377-1382, 2006.

[29] Jovanovic Jovan: The Statistical Dynamics of Turbulence; Springer Verlag, BerlinHeidelberg New York, 2004.

[30] Hellsten, A.: Curvature Corrections for Algebraic Reynolds Stress Modeling: A Dis-cussion; AIAA Journal 40:1909-1911, No. 9, 2002.

[31] Hutchinson, P., u.a.: The calculation of furnace-flow properties and their experimentalverification; J. Heat Transf. 98: 273-283, 1976.

[32] Lilley, D.G.: Computing strongly swirling flows with a primitive pressure-velocitycode; AIAA J. 14: 749-756, 1976.

[33] Lumley J. L.: Computational modeling of turbulent flows; Adv Appl Mech. 18: 123-176, 1978. Jawarneh

[34] Lumley J. L., Newman G.R.: The return to isotropy of homogeneous turbulence; J.Fluid Mech. 82: 161-178, 1977.

[35] Maslowe S.A.: Critical Layers in Shear Flows; Department of Mathematics and Sta-tistics, McGill University, Montreal, Canada, April 2009.

[36] Matsson O. J. E., Alfredsson P. H.:Curvature and Rotation induced instabilities inchannel Flow. J. Fluid Mech. Vol. 210: 537-563.

[37] Kasagi Nobuhide, DNS database of turbulence and heat transfer. Verfügbar unterhttp://www.thtlab.t.u-tokyo.ac.jp/DNS/dns_database.html.

[38] Kevorkian J., Cole J.D.: Multiple Scale and Singular Perturbation Methods; Springer-Verlag, New York, 1996.

[39] Kitoh Osami: Experimental study of turbulent swirling flow in a straight pipe; J. FluidMech. Vol. 225: 445-479 , 1991.

[40] Kobayashi Toshio, Yoda Morio: Modified k-ε model for turbulent swirling flow in a

Literaturverzeichnis 185

straight pipe; JSME Int. J., Vol. 30 No. 259: 66-71, 1987.

[41] Kundu Pijush K., Cohen Ira M., Dowling David R: Fluid Mechanics; Elsevier, Am-sterdam [u.a.], 2012.

[42] Nayfeh Ali Hasan: Introduction to Pertubation Methods; Jhon Wiley & Sons, UnitedStates of America, 1981.

[43] Örlü R.: Analyse der Turbulenzeigenschaften aus Messungen in drallbehafteter Strö-mung in einem Rohr.; Diplomarbeit Nr. 199; Fakultät Maschinenbau, Institut fürThermo- und Fluiddynamic Lehrstuhl für Strömungsmechanik, Ruhr Universität Bo-chum, 2003.

[44] Oertel jr. Herbert, Böhle Martin, Reviol Thomas: Strömungsmechanik: Grundlagen- Grundgleichungen - Lösungsmethoden-Softwarebeispiele; Vieweg+Teubner Verlag;Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011.

[45] Orlandi P., Fatica M.: Direct simulations of a turbulent pipe rotating along the axis;J. Fluid Mech. Vol. 343: 43-72, 1997.

[46] Quadrio Maurizio, Luchini Paolo.: Direct numerical simulation of the turbulent flowin a pipe with annular cross section; European Journal of Mechanics B/Fluids 21: 413-427, 2002.

[47] Piquet Jean: Turbulent Flows: Models and Physics ; Springer-Verlag Berlin Heidel-berg New York, 2001.

[48] Pope S.B.: Turbulent Flows; Cambridge University Press, 2000.

[49] Pope, S.B.: Ten questions concerning large–eddy simulation of turbulent flows; NewJournal of Physics 6 (2004) 35

[50] Prandtl, L.: Führer durch die Strömungslehre; Vieweg, Braunschweig, 1949 (2. Ab-schnitt §15, Seiten 83-86).

[51] Rhode, D.L. ; Ko, S.H. ; Morrison, G.L.: Experimental and numerical assessment ofan advanced labyrinth seal; Tribology Transactions 37: 734-750, 1994.

[52] So, R.M.C.: Turbulent boundary layers with large streamline curvature effects,ZAMP 29: 54-74, 1978.

[53] Rocklage-Marliani G.: Dreidimensionale Laser-Doppler-Velozimetrie in turbulenter,drallbehafteter Rohrströmung; Fortschr.-Ber. VDI Reihe 8 Nr. 766. Düsseldorf: VDIVerlag 1999.

[54] Rocklage-Marliani G., Schmidts M., Vasanta Ram V.I.: Three-dimensional laser-Doppler velocimeter measurements in swirling turbulent pipe flow; Flow, Turbulenceand Combustion Vol. 70: 43-67, 2003.

[55] G. Reich, H. Beer:Fluid Flow and Heat Transfer in an Axially Rotating Pipe – I.Effect of Rotation on Turbulent Pipe Flow; Int. J. Heat Mass Transfer V. 32 No. 3, 551– 562, 1989.

[56] Saiki, E. M., Biringen, S., Danabasoglu, G., and Streett, C. L.Spatial simulation ofsecondary instability in channel flow: comparison of K- and H-type disturbances; J.Fluid Mech. 253: 485-507, 1993.

[57] Schlichting H.: Grenzschicht-Theorie; 8. Auflage; G. Braun Verlag, Karlsruhe,1982.

[58] Schlichting H., Gersten K.: Grenzschicht-Theorie; 10. Auflage; Springer-Verlag Ber-lin Heidelberg New York, 2006.

[59] Schmid Peter J., Henningson Dan S.: Stability and Transition in Shear Flows;Springer-Verlag, New York, 2001.

[60] Schmitt F. G.: About Boussinesq’s turbulent viscosity hypothesis: historical remarksand a direct evaluation of its validity; Author manuscript, published in “Comptes Ren-

186 Literaturverzeichnis

dus Mecanique 335, 9-10 (2007) 617-627".

[61] Sedlacek Libor: Mischvorgang in der Anpeisenut eines Radialgleitlagers; Dissertati-on Nr. 9013, Mitteilung Nr. 18 des Instituts der Grundlagen der Maschinenkonstrukti-on, ETH Zürich, 1990.

[62] Small D. M., Fitt A.D., Thew M.T.: The influence of swirl and turbulence anisotropyon CFD modelling for hydrocyclones; in D. Claxton, L. Svarovsky and M.T. Thew(Eds), Hydrocyclones ’96, MEP, London, 49-61, 1996.

[63] Steenbergen, W.: Turbulent pipe flow with swirl.; Eindhoven University of Technolo-gy, PhD Thesis, 1995.

[64] Stewartson K., Stuart, J. T.: A nonlinear instability theory for a wave system in planePoiseuille flow.; J. Fluid Mech. 48: 529-545, 1971.

[65] Streeter Victor L.: Fluid Mechanics; 4. Auflage; McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1966.

[66] Stuart J. T.: On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstableparallel flows Part 1. The basic behaviour in plane Poiseuille flow; J. Fluid Mech. 9:353-370, 1960.

[67] Swinney H. L., Gollub J. P.: Hydrodynamic instabilities and the transition to turbu-lence; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1981.

[68] Tao B., Katz J., Meneveau C.: Statistical geometry of subgrid-scale stresses determi-ned from holographic particle image velocimetry measurements; J. Fluid Mech.457:35-78, 2002 2002 Cambridge University Press

[69] Tennekes, H., Lumley J. L.: A First Course in Turbulence; MIT Press Cambridge,Massachusetts, and London, England, 1972.

[70] Van Dyke M.: Perturbation Methods in Fluid Mechanics; The Parabolic Press, Stan-ford, California, 1975.

[71] Watson J.: On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstableparallel flows Part 2. The development of a solution for plane Poiseuille flow and planeCouette Flow; J. Fluid Mech. 9: 371-389, 1960.

[72] Whitham, Gerald B.: Linear and nonlinear waves; John Wiley and Sons, New York,1974.

Lebenslauf

Persönliche DatenName Arturo Héctor González Araya

Geburtsdatum 01.04.1981Geburtsort San Felipe, Chile

Bildungsweg2008 - 2013 Promotion zum Thema: Merkmale des Umschlags laminar-

turbulent in einer drallbehafteten Ringspaltströmung, Ruhr-Universität Bochum, Fakultät für Maschinenbau, Lehrstuhl für thermischeTurbomaschinen. Stipendium des Deutschen Akademischen AustauschDienstes (DAAD).

2006 - 2007 Deutsch-Intensivkurs an der Ruhr-Universität Bochum.1999 - 2006 Ing. Civil Mecánico (Dipl.-Ing.), Studium mit Schwerpunkt Energie-

technik an der Technischen Universität Federico Santa María, Valparaíso,Chile, Fachrichtung Maschinenbau.

2004 - 2005 Austausch-Studienjahr an der Ruhr-Universität Bochum, FachrichtungMaschinenbau.

1987 - 1998 Gymnasium „Colegio Alonso de Ercilla“, San Felipe, Chile.

Berufserfahrung2008 - 2013 Wissenschaftlicher Mitarbeiter, Ruhr-Universität Bochum, Fakultät für

Maschinenbau, Lehrstuhl für thermische Turbomaschinen.2005 - 2006 Berufspraktikum und abschließende Diplomarbeit „Optimierung der Prä-

ventivwartung einer Schwefelsäureanlage für die Kupfergewinnung“ beider Firma „Anglo American Chile“, Kupfergießerei in Chagres, Chile.

Merkmale des Umschlags laminar-turbulent in einer ... · mene Parallelitätim...

Documents

Transcript of Merkmale des Umschlags laminar-turbulent in einer ... · mene Parallelitätim...