Mess- und Regelungstechnik · Die dort gefundene Struktur ist also auch für die Automatisierung...

Skript zur Vorlesung

Mess- und Regelungstechnik

Prof. Dr.-Ing. Christoph Ament

Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik

Stand: Juni 2017

Gliederung und Literatur Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 0-1

Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

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Gliederung

1 Einführung: Worum soll es gehen? ............................................................... 1-1 1.1 Die Grundaufgabe ..................................................................................... 1-1 1.2 Sichtweisen .............................................................................................. 1-4 1.3 Entwurfsverfahren .................................................................................... 1-7

Teil A: Dynamische Systeme

2 Beschreibung durch das Blockschaltbild ...................................................... 2-1 2.1 Beispiele zum Aufstellen des Blockschaltbildes ............................................. 2-1 2.2 Häufig verwendete Übertragungsglieder ...................................................... 2-4 2.3 Nichtlineare Glieder und Linearisierung ....................................................... 2-5 2.4 Numerische Simulation auf Basis des Blockschaltbildes (Simulink) ................. 2-6

3 Beschreibung im Zeitbereich ........................................................................ 3-1 3.1 Differentialgleichungen .............................................................................. 3-1 3.2 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianter Systeme .............................. 3-3

4 Beschreibung im Bildbereich ........................................................................ 4-1 4.1 Laplace-Transformation ............................................................................. 4-1 4.2 Lösung von Differentialgleichungen ............................................................ 4-7 4.3 Übertragungsfunktion ............................................................................... 4-8 4.4 Exkurs: Signale im Bildbereich ................................................................. 4-10

5 Beschreibung durch den Frequenzgang ....................................................... 5-1 5.1 Definition ................................................................................................. 5-1 5.2 Ortskurve ................................................................................................ 5-2 5.4 Bode-Diagramm ....................................................................................... 5-4

6 Analyse von Systemeigenschaften ............................................................... 6-7 6.1 Definition der Stabilität.............................................................................. 6-7 6.2 Stabilitätsbedingungen .............................................................................. 6-8 6.3 Pol-Nullstellen-Plan ................................................................................... 6-8 6.4 Stabilitätskriterium nach Hurwitz .............................................................. 6-13 6.5 Stabilitätskriterium nach Nyquist .............................................................. 6-14

Teil B: Messsysteme

7 Sensoren ...................................................................................................... 7-1 7.1 Grundlagen des Messens ........................................................................... 7-1 7.2 Messprinzipien mit Sensorbeispielen ........................................................... 7-5



8 Signalwandlung ............................................................................................ 8-1 8.1 Filterung mittels Operationsverstärker ........................................................ 8-1 8.2 Analog-Digital-Umsetzer ............................................................................ 8-4

9 Messfehler und deren Korrektur ................................................................... 9-1 9.1 Grundlagen zu Messfehlern ........................................................................ 9-1 9.2 Zufällige Messfehler .................................................................................. 9-2 9.3 Statische Messfehler ................................................................................. 9-3 9.4 Dynamische Messfehler ............................................................................. 9-6

Teil C: Regelungssysteme

10 Aufbau von Regelungssystemen ............................................................. 10-1 10.1 Struktur einer Regelung .......................................................................... 10-1 10.2 Struktur einer Steuerung ......................................................................... 10-2 10.3 Zwei-Freiheitsgrade-Struktur ................................................................... 10-3 10.4 Führungs- und Störverhalten ................................................................... 10-4 10.5 Zusammenfassung der Entwurfsziele ........................................................ 10-6

11 Entwurf des Reglers ................................................................................ 11-1 11.1 Struktur des PID-Reglers ......................................................................... 11-1 11.2 Empirische Einstellregeln nach Ziegler und Nichols ..................................... 11-2 11.3 Reglerentwurf auf Basis des Bode-Diagramms ........................................... 11-4 11.4 Algebraischer Reglerentwurf durch Polvorgabe ........................................... 11-9

12 Entwurf der Steuerungseinrichtung ........................................................ 12-1 12.1 Trajektorienplanung ................................................................................ 12-1 12.2 Vorsteuerung ......................................................................................... 12-1 12.3 Störgrößenaufschaltung .......................................................................... 12-2

13 Kaskadenregelung .................................................................................. 13-1

14 Realisierung von Regelungen ................................................................. 14-1 14.1 Analoge Reglerrealisierung ...................................................................... 14-1 14.2 Digitale Reglerrealisierung ....................................................................... 14-2 14.3 Automatische Code-Generierung .............................................................. 14-3

15 Aktoren ................................................................................................... 15-1 15.1 Digital-Analog-Umsetzer .......................................................................... 15-1 15.2 Leistungsverstärkung .............................................................................. 15-3 15.3 Aktorprinzipien ....................................................................................... 15-4

Anhang

A Häufige Übertragungsglieder .......................................................................... 1



Literatur

• Föllinger, O: Regelungstechnik: Einführung in die Methoden und ihre Anwendung, 12. Auflage, VDE Verlag, 2016 (49,90 €)

• Föllinger, O: Laplace-, Fourier- und z-Transformation, 10. Auflage, VDE Verlag, 2011 (29,95 €)

• Lunze, J.: Regelungstechnik 1 – Systemtheorietische Grundlagen, Analyse und Entwurf ein-schleifiger Regelungen, Springer, 10. Auflage, 2014 (39,99 €)

• Lunze, J.: Regelungstechnik 2 – Mehrgrößensysteme. Digitale Regelung, Springer, 8. Auflage, 2014 (49,99 €)

• Lunze, J.: Automatisierungstechnik – Methoden für die Überwachung und Steuerung kontinu-ierlicher und ereignisdiskreter Systeme, Springer, überarbeitete Auflage, 2012 (59,95 €)

• Unbehauen, H.: Band 1: Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher Regelsysteme, Fuzzy-Regelsysteme, Vieweg, 15. Auflage, 2008 (42,99 €)

• Unbehauen, H.: Band 2: Zustandsregelung, digitale und nichtlineare Regelsysteme, Vieweg, 9. Auflage, 2007 (42,99 €)

• Puente León, F., Kiencke, U.: Messtechnik – Systemtheorie für Ingenieure und Informatiker, 9. Auflage, Springer Vieweg, 2012 (39,95 €)

• Goodwin, G.C., Greabe, S.F., Salgado, M.E.: Control System Design, Addison Wesley, 2000

• Nise, N. S.: Control Systems Engineering, Wiley Text Books; 6th edition, 2011

1. Einführung Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-1


1 Einführung: Worum soll es gehen?

1.1 Die Grundaufgabe

Zuerst soll die Struktur der Grundaufgabe aus einem Beispiel heraus entwickelt werden:

Bsp. 1-1: Vorlaufbehälter

Der Füllstand im nebenstehend gezeig-ten Tank soll immer auf einer konstan-ten Sollhöhe gehalten werden – auch wenn immer wieder in unregelmäßigen Abständen Flüssigkeit entnommen wird. Dies könnte ein Vorlaufbehälter in einem verfahrenstechnischen Prozess sein, es könnte aber auch einfach der Wasserbe-hälter eines WC sein.

Wie könnte diese Aufgabe automatisch gelöst werden?

Dazu müsste zunächst der Füllstand erfasst werden. Ein Füllstandsmesser auf Basis eines Schwimmers könnte diese Aufgabe übernehmen (siehe nachstehendes Bild). Weiterhin muss eine Möglichkeit geschaffen werden, auf den Tank geeignet einzuwirken, d.h. Flüssigkeit nachfüllen zu können. Für die Dosierung könnte ein Ventil in den Zulauf eingebaut werden. Schließlich muss eine geeignete Verbindung zwischen Füllstandsmessung und Ventil geschaf-fen werden, die z.B. dann das Ventil öffnet, wenn der gemessene Füllstand unter den Soll-wert fällt. Dies könnte durch den im Bild schematisch dargestellten Hebel erreicht werden.

Typisch ist in diesem Beispiel auch, dass das physikalische System, also der Tank, einer Störung unterliegt: Hier wird in nicht absehbarer Weise Flüssigkeit entnommen – was die Korrektur erst notwendig macht!



Das Zusammenspiel der Komponenten des Beispiels lässt sich verallgemeinern:

Komponente in Bsp. 1-1

Allgemeine Bezeichnung

Allgemeine Aufgabe

Tank Strecke Physikalisches System, dessen dynamisches Verhalten korrigiert werden soll.

Füllstandsmesser Sensor (Messeinrichtung)

Erfassung von physikalischen Größen der Strecke

Ventil Aktor (Stelleinrichtung)

Eingriff in die Strecke, um Korrekturen umzusetzen

Hebel Controller Bestimmung des geeigneten Eingriffs in die Strecke (auf Basis der gemessenen Größen und bekannter Sollgrö-ßen, im Rahmen der Möglichkeiten des Aktors).

Regelkreis

Im Zusammenspiel dieser Komponenten entsteht ein Regelkreis:

Diese Darstellung wird auch als Blockschaltbild bezeichnet. Die Pfeile beschreiben die Wirk-richtung der Signale zwischen den als Blöcken dargestellten Komponenten.

Im Regelkreis werden folgende Signale eingeführt:

Größe Aufgabe

Stellgröße u Signal, mit dem der Controller auf die Strecke einwirken kann (Eingang der erweiterten Strecke)

Messgröße y Signal, mit dem der aktuelle Zustand der Strecke erfasst werden kann (Ausgang der erweiterten Strecke)

Führungsgröße w Über dieses Signal wird dem Controller ggf. von außen mitgeteilt, in welchem Zustand sich die Strecke befinden soll (auch Referenz- oder Sollgröße)

Störung z Äußere Störung, die auf die Strecke einwirkt. Diese kann naturgemäß nicht beeinflusst werden und ist häufig unbekannt.



Für den Entwurf des Controllers (vgl. Abschnitt 1.2) werden Sensor und Aktor oft gedanklich der Strecke zugeordnet. Im Sinne der Klarheit soll dies als erweiterte Strecke bezeichnet werden (vgl. auch obiges Blockschaltbild).

Man kann den Sensor und Aktor auch als Schnittstellen zwischen der „physikalischen Welt“ – mit dem physikalischen System der Strecke – und der „cyber Welt“ – hier im Controller zusammengefasst – verstehen. Für ersteres wird man die Werkzeuge eines Ingenieurs, für letzteres die eines Informatikers benötigen. Der Ingenieur-Informatiker verbindet also beide Welten!

Wir werden uns in Teil C der Vorlesung mit Regelungssystemen und deren Entwurf genauer beschäftigen.

Steuerung

Es müssen nicht in jedem Fall alle Komponenten des Regelkreises eingesetzt werden. Wird auf die Schnittstelle der Sensoren ver-zichtet, erhält man die Struktur einer Steuerung (siehe Bild). Auf-grund der fehlenden Rückkopp-lung der Strecke kann die Steue-rung ggf. nicht auf Störungen der Strecke reagieren.

Messsystem

Wird andererseits auf die Schnitt-stelle der Aktoren verzichtet, ergibt sich ein reines Messsys-tem. Die bisherige Funktion des Controllers geht in eine Sensor-signalverarbeitung über. Das System kann zum reinen Messen, zum Speichern („Loggen“) von Messdaten bzw. zum Monitoring oder zur Diagnose der Strecke verwendet werden.

Im Teil C der Vorlesung werden wir Messsysteme genauer be-trachten.



1.2 Sichtweisen

Die Sicht der Automatisierungstechnik

Bisher wurde noch nicht diskutiert, ob der „Controller“ durch ein technisches System oder durch einen Mensch realisiert werden soll. Hier hat die Automatisierungstechnik eine klare Zielsetzung:

Definition: „Die Automatisierungstechnik ist ein fachübergreifendes Teilgebiet der Technik und eine Ingenieurwissenschaft, die alle Maßnahmen behandelt, Maschinen oder Anlagen zu automatisieren, also selbständig und ohne Mitwirkung von Menschen betreiben zu können.“ [Wikipedia]

Der Begriff leitet sich also vom Ziel ab: Es soll der selbständige Betrieb eines Prozesses erreicht werden. Eine häufige Motivation dazu ist es, die Arbeitskraft eines Menschen erset-zen zu wollen, um z.B. die damit verbundenen Kosten zu reduzieren. Je nach Anwendung können aber auch andere Gründe im Vordergrund stehen: Der Schutz des Menschen in ge-fährlichen oder gesundheitsschädlichen Umgebungen oder die Verbesserung von Qualität, Energieeffizienz oder Ausbringung eines Produktionsprozesses.

Im vorstehenden Beispiel 1-1 wurde mit der selbständigen Befüllung eines Vorlaufbehälters eine Automatisierung dieses Prozesses erreicht. Die dort gefundene Struktur ist also auch für die Automatisierung von Prozessen geeignet. Häufig wird diese Struktur mehrfach ineinander geschachtelt: Auf diese Weise entstehen mehrere Ebenen der Automatisierung (auch Automatisierungspyramide). Das Bild eine Au-tomatisierung mit drei Ebenen:

Typisch ist, dass die Stellgröße ui+1 der Führungsgröße wi der jeweils darunterliegenden Ebene entspricht. Dadurch entsteht eine Hierarchie, in der die unteren, prozessnahen Ebe-nen eine höhere Dynamik besitzen und operative Aufgaben übernehmen, während die obe-ren, prozessfernen Ebenen langsamer reagieren und strategische Aufgaben verfolgen. Man kann den Ebenen Funktionen zuordnen und erhält so z.B. die im Bild rechts gezeigte Auto-matisierungspyramide.

Die Methoden der Automatisierungstechnik umfassen die Mess- und Regelungstechnik wie auch die Produktionsinformatik (einschließlich Kommunikation, Echtzeitfähigkeit), Mensch-Maschine-Schnittstellen oder die Sicherheit.



Gegenstand dieser Vorlesung sind die beiden folgenden Gebiete:

Definition: Die Regelungstechnik ist eine Wissenschaft, die sich mit der gezielten, selbsttä-tigen Beeinflussung dynamischer Systeme befasst.

Definition: „Die Messtechnik befasst sich mit Geräten und Methoden zur Bestimmung (Mes-sung) physikalischer Größen wie beispielsweise Länge, Masse, Kraft, Druck, elektrische Stromstärke, Temperatur oder Zeit. Wichtige Teilgebiete der Messtechnik sind die Entwick-lung von Messsystemen und Messmethoden sowie die Erfassung, Modellierung und Reduk-tion (Korrektur) von Messabweichungen und unerwünschten Einflüssen. Dazu gehört auch die Justierung und Kalibrierung von Messgeräten sowie die korrekte Reduktion der Messun-gen auf einheitliche Bedingungen.“ [Wikipedia]

Die Sicht der Informatik

Aus Sicht der Informatik steht das informationsverarbeitende System des Controllers im Zentrum der Betrachtung. Eine wichtige Anforderung ist die Signalverarbeitung in Echtzeit mit beherrschbaren Verzugszeiten (auch: Latenzen oder Totzeiten). Kann der Controller nicht schnell genug reagieren, wird die Funktion gefährdet und das Gesamtsystem kann beispielsweise instabil werden.

Klassische Prozessleitsysteme sind zentral realisiert und basieren meist auf einem Mikropro-zessor. Messsignale müssen vom Prozess bzw. Stellsignale in den Prozess kommuniziert werden. Dazu können Feldbus-Systeme verwendet werden, die ebenfalls entsprechende An-forderungen hinsichtlich der Echtzeit erfüllen müssen.

Demgegenüber verlagern eingebettete Systeme die Signalverarbeitung näher an die Senso-rik und Aktorik des Prozesses. Diese basieren i.d.R. auf Mikrocontrollern, die es heute er-möglichen, auch komplexe Algorithmen für geringe Kosten umzusetzen und so z.B. im PKW oder in Smartphones zur Verfügung zu stellen.

Definition: „Der Ausdruck eingebettetes System bezeichnet einen elektronischen Rechner oder auch Computer, der in einen technischen Kontext eingebunden (eingebettet) ist. Dabei übernimmt der Rechner entweder Überwachungs-, Steuerungs- oder Regelfunktionen oder ist für eine Form der Daten- bzw. Signalverarbeitung zuständig, beispielsweise beim Ver- bzw. Entschlüsseln, Codieren bzw. Decodieren oder Filtern.“ [Wikipedia]

Eine Weiterentwicklung sind cyber-physikalische Syteme, die durch Vernetzung z.B. von ein-gebetteten Systemen entstehen. Es kann so eine weniger hierarchische Automatisierungs-struktur entstehen, in die auch Instanzen der Betriebs- oder Unternehmsebene eingebunden werden können.

Definition: „Ein cyber-physisches System bezeichnet den Verbund informatischer, soft-waretechnischer Komponenten mit mechanischen und elektronischen Teilen, die über eine Dateninfrastruktur, wie z. B. das Internet, kommunizieren. Ein cyber-physisches System ist durch seinen hohen Grad an Komplexität gekennzeichnet. Die Ausbildung von cyber-physi-schen Systemen entsteht aus der Vernetzung eingebetteter Systeme durch drahtgebundene oder drahtlose Kommunikationsnetze.“ [Wikipedia]



Die Sicht der Kybernetik

Die Kybernetik stellt die Strecke in den Mittelpunkt der Betrachtung. Sie zielt darauf ab, eine generalisierte Beschreibung (ein Modell) der Strecke zu finden, um auf dieser Basis allge-meine Entwurfsverfahren für den Controller zu finden – unabhängig davon von welcher Natur die Strecke ist.

Definition: „Kybernetik – die allgemeine, formale Wissenschaft von der Struktur, den Rela-tionen und dem Verhalten dynamischer, insbesondere komplexer Systeme, die gewisse all-gemeine Eigenschaften und Verhaltensweisen realer Systeme aus den verschiedensten Be-reichen der Wirklichkeit widerspiegeln. [...] Die allgemeine Kybernetik gewinnt wesentliche Erkenntnisse aus realen Systemen, abstrahiert daraus gewisse Modelle (kybernetische Sys-teme), die dann theoretisch und unabhängig von irgendwelchen Anwendungen untersucht werden, und gibt die neu gewonnenen Einsichten als Verbesserung an die Anwendungen zurück.“ [Brockhaus]

Zum Begriff: „Kybernetik ist nach ihrem Begründer Norbert Wiener (* 26. November 1894 in Columbia, Missouri; † 18. März 1964 in Stockholm) die Wissenschaft der Steuerung und Regelung von Maschinen, lebenden Organismen und sozialen Organisationen und wurde auch mit der Formel ‚die Kunst des Steuerns‘ beschrieben.

Der Begriff als solcher wurde Mitte des 20. Jahrhunderts nach dem Vorbild des englischen cybernetics (‚Regelungstechni-ken‘) in die deutsche Sprache übernommen. Der englische Begriff wiederum ist ein Kunstwort, gebildet aus dem sub-stantivierten griechischen Adjektiv κυβερνητικός ‚steuermännisch‘, welches sich aus den ent-sprechenden Subjektiven κυβερνήτης ‚Steuermann‘ und κυβέρνησις ‚Leitung‘, ‚Herrschaft‘ ableitet.“ [Wikipedia]

Originalzitat:

„Wie gesagt, bedeutet Kybernetik etymologisch die Lehre von Informationsübertragung und Kontrolle bei Maschinen wie bei lebendigen Wesen. Bei Maschinen kommen viele kyberneti-sche Fragen vor, besonders bei den sehr komplizierten Systemen, die in den letzten Zeiten bei der Raketentechnik benützt wurden. Bei lebendigen Wesen, sind kybernetische Betrach-tungen unentbehrlich, nicht nur für das Studium der bewussten Tätigkeit bei Tieren und Menschen, sondern auch für das Verständnis von jenen homöostatischen Vorgängen, die diejenigen Gleichgewichte erhalten, die für das Leben unentbehrlich sind. Ähnliche Gleich-gewichtsprobleme kommen häufig bei volkswirtschaftlichen und soziologischen Problemen vor. Mit der Zeit werden diejenigen Einflüsse hinzugenommen, die von der Kybernetik kom-men, sich widersetzt mit den denjenigen, die aus anderen Gebieten der Systemtheorie [stammen.]“



1.3 Entwurfsverfahren

Nachdem die Struktur eines zur Automatisierung von Prozessen geeigneten Regelkreises im letzten Abschnitt definiert wurde, bleibt die wesentliche Frage zu klären, wie der Controller entworfen werden kann. Es lassen sich zwei Vorgehensweisen unterscheiden:

• Erfahrungsbasierter Entwurf: Gibt auf Basis von Erfahrungen (oder Handlungswissen) vor, wie die Strecke in welcher Situation anzusteuern ist. Dieses wird direkt als Con-troller implementiert. Ein solcher Controller kann auch durch Test und Verbesserung (empirisch) weiterentwickelt werden. Dieses Vorgehen kann bei einfachen und unge-fährlichen Systemen sowie geringen Anforderungen effizient sein, wird darüber hin-aus aber versagen.

• Modellbasierter Entwurf: Dem Gedanken der Kybernetik folgend wird zunächst ein Modell der Strecke entwickelt. Dann werden Methoden zum Entwurf des Controllers angewendet, die einen auf die Strecke zugeschnittenen Controller bestimmen. Dieses Verfahren ist bei komplexeren Strecken bzw. höheren Anforderungen geeignet.

Das nachfolgende Bild stellt die Vorgehensweise beim modellbasierten Entwurf dar, die auch als Rapid Control Prototyping bezeichnet werden kann. Als Modell entsteht dabei eine „Kopie“ des realen Systems. Diese Kopie erlaubt eine (ungefährliche) Analyse und Simulation der Strecke sowie des Gesamtsystems. Für die Rückwandlung zum realen System stehen heute Methoden der automatischen Code-Generierung zur Verfügung.



Zusammenfassung der Schritte 1 bis 6:

Schritt 1 – Als Abbild der realen Strecke entsteht ein Streckenmodell. Dieser oft langwierige Prozess der Modellbildung eröffnet die nachfolgenden Möglichkeiten eines modellbasierten Entwurfs des Controllers.

Schritt 2 – Die Analyse der Strecke zeigt z.B. ob die Strecke stabil oder schwingungsfähig ist. Der nachfolgende Entwurf kann darauf abgestimmt werden.

Schritt 3 – Entwurfsmethoden werden angewendet, um einen Controller zu entwerfen.

Schritt 4 – In der Simulation kann das Zusammenspiel von Strecke und Controller getestet werden; bei Defiziten kann der Entwurf in Schritt 2 modifiziert werden.

Schritt 5 – Der entworfene Controller muss jetzt in ein reales System transformiert werden. Eine Methode dazu ist die automatische Code-Generierung: Dabei wird das Controller-Modell automatisch in ausführbaren Code für den Ziel-Controller übersetzt. Vor der Übersetzung wird das Streckenmodell durch die Schnittstellen (Ein- und Ausgänge) zur Strecke ersetzt.

Schritt 6 – Test des realen Gesamtsystems.

2. Beschreibung durch das Blockschaltbild Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-1


Teil A: Dynamische Systeme

2 Beschreibung durch das Blockschaltbild

2.1 Beispiele zum Aufstellen des Blockschaltbildes

Beispiel 2-1: Füllen eines Behälters

Eingangsgröße: q(t) Zufluss (Volumen/Zeit)

Ausgangsgröße: h(t) Füllstandshöhe

Parameter: A Querschnittsfläche

Darstellung im Blockschaltbild:

Beispiel 2-2: Erweiterung des Behälters um einen Ablauf

Vereinfachende (!) Annahme:

)()( thKtqab ⋅=

mit Parameter K als Proportionalitätsfaktor


q(t)

h(t)

1/A

q h

q(t)

h(t)

qab(t)

1/A

hq

Kqab



Beispiel 2-3: RC-Glied

Eingangsgröße: ue(t)

Ausgangsgröße: ua(t)

Parameter: R Widerstand

C Kapazität


Beispiel 2-4: Erweiterung des Behälters um einen Schwimmer

Eingangsgröße: q(t)

Ausgangsgröße: y(t)

Parameter: A Querschnittsfläche Tank

a Querschnittsfläche Schwimmer

m Masse Schwimmer

ρ Dichte Wasser


ue(t) ua(t)

R

uR(t) C

uaue

1

1R C

ua

uR

q(t)

h(t)

qab(t)

y(t)

1/A

hq

Kqab

1 1a ρ g

my y y

...



Beispiel 2-5: Zuleitung

Eingangsgröße: Ta Temperatur der Flüssigkeit am Anfang

Ausgangsgröße: Te Temperatur der Flüssigkeit am Ende

Parameter: q Volumenfluss

L, a Länge und Querschnitt des Rohres


Beispiel 2-6: Pendel

Eingangsgröße: keine

Ausgangsgröße: ϕ Winkel

Parameter: L Pendellänge

m Pendelmasse

g Erdbeschleunigung


q = konstant

Ta

Te

Ta Te

L aq

1 1

ϕ ϕ ϕ...

sin ϕgL sin ϕgL



2.2 Häufig verwendete Übertragungsglieder

Die Glieder 1) bis 7) der folgenden Übersicht werden im Anschluss einzeln vorgestellt.

Elementare, lineare Übertragungsglieder

1)

Proportionalglied

(P-Glied)

)()( tuKty ⋅=

2)

Integrierglied

(I-Glied) ∫⋅=t

duKty0

)()( ττ

3)

Differenzierglied

(D-Glied) )()( tu

dtdKty ⋅=

4)

Summierglied

(S-Glied)

)()()( 21 tututy ±±=

5)

Totzeitglied

(Tt-Glied)

)()( tTtuKty −⋅=

Zusammengesetzte, lineare Übertragungsglieder

6)

Verzögerungsglied 1. Ordnung

(PT1-Glied)

)()()( tuKtytyT ⋅=+

7)

Verzögerungsglied 2. Ordnung

(PT2-Glied)

)()()(2)(2 tuKtytydTtyT ⋅=++

Nichtlineare Übertragungsglieder

8)

Kennlinienglied

(KL-Glied)

( ))()( tuFty =

9)

Multiplizierglied

(M-Glied)

)()()( 21 tutuKty ⋅⋅=

K

u y

K

u y

K

u y

u1

u2

( )( )

y

K

u y

Tt

K T

u y

KdT

u y

F(u)u y

Ku1 y

u2



Zusammenfassung: Blockschaltbilder • beschreiben Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge (Eingangs-Ausgangs-Beziehun-

gen) in einer allgemeinen Form,

• sind unabhängig von der physikalischen Domäne des betrachteten Systems,

• sind insbesondere bei komplexen Systemen übersichtlicher als die Darstellung durch Gleichungen,

• lassen schrittweise aufbauen und verifizieren und

• sind u. a. die Basis für numerische Simulationen (siehe Abschnitt 1.4).

2.3 Nichtlineare Glieder und Linearisierung

Arbeitspunkt

Technische Anlagen und überhaupt dynamische Systeme sollen häufig in einem stationären Zustand betrieben werden, bei dem die Ausgangsgrößen des Systems auf ihrem Sollwert sind. Diesen gewünschten Betriebszustand bezeichnet man gewöhnlich als Arbeitspunkt.

Der Arbeitspunkt ist somit ein spezieller stationärer Zustand, bei dem die Ausgangsgrößen ihre Sollwerte annehmen. [aus: Föllinger, Regelungstechnik]

Linearisierung im Arbeitspunkt

Jede zeitveränderliche Größe x(t) des Systems kann ersetzt werden durch ihren entspre-chenden Arbeitspunkt x0 zuzüglich einer Abweichung ∆x(t) von diesem Arbeitspunkt:

)()( 0 txxtx ∆+=

Arbeitet das System in der Nähe des gewünschten Betriebszustandes, kann erwartet werden, dass die Abweichung ∆x(t) vom Arbeitspunkt klein ist.

Wird das System im Arbeitspunkt linearisiert, sind die Abweichungen zwischen dem nichtli-nearen und dem linearen Modell in der Umgebung des Arbeitspunktes klein.

Linearisierung eines Kennliniengliedes

Gegeben ist eine nichtlineare Kennlinie:

( ))()( tuFty =

Übergang zu Abweichungen vom Arbeitspunkt:

( ))()( 00 tuuFtyy ∆+=∆+

Entwicklung in eine Taylorreihe bis zum linearen Glied:

( ) )Termehöhere()()()(0

00 +∆⋅∂

∂+=∆+ tu

uuufuFtyy

Mit ( )00 uFy = und unter Vernachlässigung höherer Terme gilt also:

)()()(0

tuuu

ufty ∆⋅∂

∂=∆


F(u)u y Linearisierung

∂F(u)∂u

∆u ∆y

u0



2.4 Numerische Simulation auf Basis des Blockschaltbildes (Simulink)

Hintergrund: Matlab und Simulink

• Matlab (von „Matrix Laboratory“) ist eine Interpreter-Programmiersprache, die spe-ziell für numerische Algorithmen entwickelt wurde.

• Insbesondere sind alle Variablen als Matrizen vordefiniert und die Befehle auf die Verarbeitung von Matrizen bzw. Vektoren ausgelegt, so dass auch sehr große Da-tenfelder bzw. -listen schnell bearbeitet werden können.

• Für spezielle Aufgabenstellungen (Regelungstechnik, Signal- oder Bildverarbei-tung, ...) kann der Befehlsumfang durch entsprechende Toolboxen erweitert wer-den.

• Eine solche Toolbox ist auch „Simulink“, welche die graphische Modellierung dyna-mischer Systeme als Blockschaltbild erlaubt. Diese Modelle können dann numerisch simuliert und analysiert werden.

Start

• Zunächst „matlab“ starten. Nachdem der Prompt „>>“ des Matlab-Interpreters er-schienen ist, startet man Simulink mit dem Befehl „simulink“.

• Es erscheint das nachfolgend gezeigte Fenster mit der Bibliothek der in Simulink vordefinierten Übertragungsblöcke.



Modellierung

• Es muss zuerst ein neues Arbeitsblatt geöffnet werden (z. B. mit dem Icon „weißes Blatt“ im oben gezeigten Fenster)

• Nun können Blöcke aus dem Bibliotheks-Fenster per Maus auf das Arbeitsblatt ge-schoben werden. Die Ein- und Ausgänge der Blöcke können dort per Maus verbun-den werden.

• Doppelklicken Sie einen Block, um seine Parameter zu definieren oder die Anzeige eines „Scope“ zu öffnen.

• Um einen vorhandenen Block auf dem Arbeitsblatt zu duplizieren, klicken Sie ihn mit der rechten Maustaste an und positionieren das Duplikat entsprechend.

• Verwenden Sie ebenfalls die rechte Maustaste, um von einer vorhandenen Signal-verbindung einen neuen Abzweig zu erstellen!

Simulation

• Sie starten die numerische Simulation mit dem „Play“-Button (schwarzes Dreieck) im Kopf des Arbeitsblattes (siehe Bild).

• Im Menü „Simulation“, Untermenü „Configuration Parameter …“ können Sie die Pa-rameter der numerischen Simulation festlegen, z. B.

o Start- und Endzeitpunkt,

o Integrationsverfahren,

o Fehlermaße, welche die Güte der numerischen Simulation festlegen

3. Beschreibung im Zeitbereich Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-1


3 Beschreibung im Zeitbereich

3.1 Differentialgleichungen

Aufstellen der Differentialgleichungen:

Die Darstellung eines Systems durch sein Blockschaltbild (siehe Kapitel 2) oder durch seine Differentialgleichungen ist gleichwertig.

Der erste Schritt ist immer die Modellbildung, in dem die Systembeschreibung aus den phy-sikalischen Gleichungen abgeleitet wird. Je nach physikalischer Domäne stehen unterschied-liche physikalische Gesetze zur Verfügung, z.B.:

• Mechanische Systeme: Newtonsche Bewegungsgleichung

• Elektrische Systeme: Strom-Spannungsbeziehungen elektrischer Bauteilen, Kirchhoffsche Knoten- und Spannungsregeln

• Systeme aus der Verfahrenstechnik oder Biologie: Bilanzgleichungen für Stoff-massen oder -volumen

Bei der Modellbildung wird man immer nur einen Ausschnitt des Gesamtsystems in verein-fachender Weise erfassen. Diese Reduktion ist zwangsläufig subjektiv und orientiert sich an der Zielstellung: Möchte ich beispielsweise eine Temperaturregelung entwerfen, konzentriere ich mich bereits bei der Modellbildung nur auf thermische Eigenschaften des Systems.

Liegt bereits ein Blockschaltbild vor, kann dieses in die (gleichwertige) Darstellung durch seine Differentialgleichungen umgewandelt werden. Dazu

• werden bei komplexen Blockschaltbildern am besten Hilfsgrößen eingeführt (z.B. für die Ausgänge von Summiergliedern),

• wird das Blockschaltbild entgegen der Signalflussrichtung durchlaufen und die Funktionsbeziehungen der Blöcke ausgewertet.

Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:

Gegeben ist die DGL in der Form

)()()()()()( )(1001

)( tubtubtubtyatyatya mm

nn +++=+++

mit 0≠na und IRba ii ∈, .

1. Schritt: Lösung der homogenen DGL

0)()()( 01)( =+++ tyatyatya n

n

Bestimme aus der zugehörigen charakteristischen Gleichung

001 =+++ asasa nn

die Lösungen (Wurzeln) nss ,,1 .

Der allgemeine Lösungsansatz ist

∑=

=n

kkkh tyCty

1)()(

mit folgendem Ansatz für yk(t):



Fall 1: die Wurzel sk ist von allen anderen Wurzeln verschieden:

tsk

kety =)(

Fall 2: die Wurzel sk tritt ρ-fach auf:

tsii

ketty ⋅= −1)( mit i=1, 2, ..., ρ

Spezialfall 3: System mit der Ordnung n = 2 (mit 111 ωδ js += , 222 ωδ js −= ):

a) reell, verschieden ( 211 ,0 δδω ≠= ): tety 1)(1δ= , tety 2)(2

δ=

b) reell, gleich ( 211 ,0 δδω == ): tety 1)(1δ= , tetty 1)(2

δ⋅=

c) konjugiert komplex ( 021 ≠= ωω ): tety t11 cos)( 1 ωδ ⋅= , tety t

12 sin)( 2 ωδ ⋅=

mit IRCC ∈21,

2. Schritt: Bestimmung einer partikulären Lösung für die inhomogene DGL

Fall 1: Der Eingang u(t) ist ein Polynom in t: pptututuutu ++++= 2

210)(

• Ansatz für die partikuläre Lösung: ppp tqtqtqqty ++++= 2

210)(

• In die inhomogene DGL einsetzen (ableiten!)

• Koeffizienten qi bestimmen

Fall 2: Der Eingang u(t) ist nicht in spezieller Form gegeben: „Variation der Konstanten“

• Ansatz für die partikuläre Lösung: ∑=

=n

kkkp tytCty

1)()()(

• In die inhomogene DGL einsetzen (ableiten!)

• Funktionen Ck(t) daraus bestimmen

3. Schritt: Allgemeine Lösung der DGL

Homogene und partikuläre Lösung werden superponiert:

)()()( tytyty ph +=

4. Schritt: Lösung des Anfangswertproblems

Die n Konstanten Ck werden aus den n gegebenen Anfangsbedingungen

00

)0()0()0( yyCyyn

kkkp ∑

=

=+=

00

)0()0()0( yyCyyn

kkkp ∑

=

=+=

00

)0()0()0( yyCyyn

kkkp ∑

=

=+=

...

bestimmt.



3.2 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianter Systeme

Gewichtsfunktion und Faltung:

Das Übertragungsverhalten eines Systems beschreibt die Übertragung eines Signals u(t) am Systemeingang auf den Systemausgang y(t) bei verschwindenden Anfangsbedingungen.

Bei linearen und zeitinvarianten Systemen (s. Abschnitt 2.2.2) kann die Verknüpfung von u(t) und y(t) durch das Faltungsintegral charakterisiert werden:

∫ ⋅−=t

dutgty0

)()()( τττ

Darin ist g(t) die Gewichtsfunktion, die das Übertragungsverhalten des Systems in eindeuti-ger und vollständiger Weise quantifiziert. Durch die Substitution ττ −=′ t lässt sich das Faltungsintegral auch in der folgenden Form schreiben:

∫ ′′−⋅′=t

dtugty0

)()()( τττ

Die Gewichtsfunktion gibt also an, mit welchem Gewicht g(τ) der Wert der Eingangsfunktion u vom zurückliegenden Zeitpunkt (t-τ) in den Wert der Ausgangsfunktion y zum aktuellen Zeitpunkt t eingeht.

Abkürzend kann das Faltungsintegral auch als

)()()( tutgty ∗=

geschrieben werden; man sagt „g(t) gefaltet mit u(t)“. Wie oben beschrieben ist diese Ope-ration kommutativ:

)()()()( tgtututg ∗=∗

g(t)u y



Voraussetzungen an das System:

• Jedes lineare und zeitinvariante dynamische System wird durch seine Gewichts-funktion g(t) vollständig beschrieben.

• Damit ein System technisch realisierbar ist, muss es kausal sein.

• Linearität – Für lineare Systeme gelten die beiden folgenden Prinzipien:

1. Superpositionsprinzip:

[ ] )()()()()()()()( 2121 tutgtutgtututgty ∗+∗=+∗=

Das bedeutet, dass die Wirkung aus der Summe zweier Ursachen der Überlage-rung der separaten Wirkungen der beiden Einzelursachen entspricht. Zur Analyse komplexer linearer Systeme können also separate Wirkungen be-stimmt werden, die anschließend zu einer Gesamtwirkung addiert werden.

2. Verstärkungsprinzip:

[ ] [ ])()()()()( tutgtutgty ∗=∗= αα

Dieses Prinzip lässt sich leicht experimentell überprüfen: Wird z.B. die Amplitude des Eingangssignals verdoppelt, so muss sich daraufhin die Amplitude des Aus-gangssignals ebenfalls verdoppeln, wenn es sich um ein lineares System handelt.

Ein lineares System kann durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden.

• Zeitinvarianz – Das System ist invariant gegenüber Zeitverschiebungen. D.h. sein Systemverhalten hängt nicht vom absoluten Zeitpunkt ab.

Um die Zeitinvarianz eines Systems zu nachzuweisen, ist zu zeigen, dass aus

)()()( tutgty ∗= der Zusammenhang )()()( ττ −∗=− tutgty für eine beliebige Zeit-

verschiebung τ folgt.

Ein zeitinvariantes System wird durch eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben.

• Kausalität – Der Ausgang y(t0) eines kausalen Systems hängt nur vom Verlauf der Eingangsgröße u(t) für Zeiten t ≤ t0 ab.

Für die Gewichtsfunktion kausaler Systeme gilt: 0)( =tg für 0<t .



Sprungantwort:

An den Systemeingang u(t) wird ein Einheitssprung σ(t) angelegt:

≥<

==0für 10für 0

)()(tt

ttu σ

Die dann am Ausgang y(t) des Systems gemessene „Antwort“ ist die Sprungantwort h(t). Mit Hilfe des Faltungsintegrals gilt:

∫∫ ==

−⋅=tt

dgdtgth00

)(1

)()()( ττττστ

Die Sprungantwort ist also das zeitliche Integral der Gewichtsfunktion. Das System ist durch seine Sprungantwort vollständig charakterisiert.

Impulsantwort:

Am Systemeingang u(t) wird nun ein Einheitsimpuls δ(t) angelegt. Dieser kann formal als zeitliche Differentiation des Einheitssprungs definiert werden:

)()( tdtdt σδ = Daraus folgt: ∫=

t

dt0

)()( ττδσ

Damit dieser integrale Zusammenhang gilt, muss der Einheitsimpuls im Zeitpunkt τ = 0 eine Fläche von 1 auf unendlich kleiner Zeitbasis besitzen. Dies kann als Grenzwert definiert aber nicht technisch realisiert werden.

Die Antwort des Systems am Ausgang y(t) ist dann die Impulsantwort. Für die Auswertung der Faltung

)()()(0

tgdtgt

=−⋅∫ ττδτ

wird die so genannte Ausblend-Eigenschaft des Einheitsimpulses (s. nachfolgende Rechen-regel 5a) genutzt.

Die Gewichtsfunktion g(t) kann also als Impulsantwort interpretiert werden!



Rechenregeln für die δ - und σ -Funktion:

1. Addition

)()()()( tbatbta δδδ +=+

mit a, b: Konstanten

2. Multiplikation

a) )()0()()( tfttf δδ =

mit )(tf stetig in 0=t

b) )()()()( 000 tttftttf −=− δδ

mit )(tf stetig in 0tt =

c) ( )

)()()()(

)()0()()(

ttfttf

tfttfdtd

δδ

δδ

+=

=

3. Differentiation

)()( ttdtd δσ =

4. Integration

a) ∫∞−

=t

td )()( σττδ

b) ∫ <<

=−2

1sonst 0für 1

)( 21t

t

tttdt ττδ

5. Faltung

a) )()()()()(

)()()()()(

tftftttf

tfdtfdtf

=∗=∗

=−=− ∫∫∞

∞−

∞

∞−δδ

τττδττδτ

b) ∫∞

=∗=∗0

)()()()()( ττστσ dftfttf

c) )()()( 00 ttftttf −=−∗δ

d) ∫ <<

=−2

1sonst 0

für )()()( 21

t

t

ttttfdtf ττδτ

4. Beschreibung im Bildbereich Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-1


4 Beschreibung im Bildbereich

4.1 Laplace-Transformation

Lösung einer DGL mit Hilfe der Laplace-Transformation:

• Die Lösung einer algebraischen Gleichung (Schritt 2) ist einfacher als die Lösung ei-ner DGL.

• Allerdings sind eine Laplace-Transformation (Schritt 1) und eine Laplace-Rücktrans-formation (Schritt 3) erforderlich.

• Dieser „Umweg“ wird durch tabellierte Korrespondenzen attraktiv (siehe Seiten 3-2 bis 3-4).

• Im Allgemeinen ist die Rücktransformation am aufwändigsten, da die Lösung Y(s) aufgespalten und in Teilen rücktransformiert werden muss.

Definition:

Die Laplace-Transformation wandelt die Zeitfunktion f(t) in eine Bildfunktion F(s) um. Die Transformation ist durch das uneigentliche Laplace-Integral

∫∞

−

−

=0

)()( dtetfsF st

definiert. Darin ist t die Integrationsvariable und s eine komplexe Variable. Das Ergebnis des Integrals hängt daher nur von s ab. Die untere Integrationsgrenze ist wird als „0–“ bezeich-net, um zu verdeutlichen, dass es sich um einen linksseitigen Grenzwert in 0 handelt, der Funktionswerte in t = 0 mit erfasst, falls z.B. f(t) = δ(t) gilt.

DGL in y(t) mitAnfangsbedingungen

Zeitbereich(Variable t)

Bildbereich(Variable s)

Ergebnis: y(t)

Algebraische Gln.in s für Y(s) Ergebnis: Y(s)

Laplace-TrafoY(s) = L y(t)

Lösung einerDGL

Lösung einer algebr. Gln.

Laplace-Rücktrafoy(t) = L-1 Y(s)

1

2

3



Konvergenz:

Man kann die Frage stellen, für welche Werte s das Integral konvergiert und die Laplace-Transformation also existiert. Dazu die Laplace-Transformation der e-Funktion als Beispiel:

Für tetf α=)( mit beliebigem, komplexem α gilt nach Definition

αα

ααα

−=

−−

===∞

−−∞

−−∞

−

−−−∫∫ s

es

dtedteesF tstsstt 1)(

1)(0

)(

0

)(

0

(vgl. S.4-5, Korr. 6).

sofern Re(s – α) > 0 bzw. Re s > Re α ist.

Dieser Konvergenzbereich ist nebenstehend graphisch dar-gestellt.

Allgemein kann gezeigt werden, dass das Laplace-Integral absolut konvergent in einer rechten Halbebene der s-Ebene ist:

+∞<= ∫∞

−

−0

)()( dtetfsF st

Der Konvergenzbereich kann im Grenzfall die gesamte s-Ebene umfassen (z.B. für 2

)( tetf −=

) oder der Bereich kann leer sein (z.B. für 2

)( tetf += ).

Die Bildfunktion F(s) ist eine holomorphe Funktion (synonym: analytische oder reguläre Funktion), d.h. sie ist in jedem Punkt komplex differenzierbar und kann in eine Potenzreihe entwickelt werden.

Kausale Systeme:

Der Integrationsbereich des Laplace-Integrals schließt keine negativen Zeiten t < 0 ein. Ist die Zeitfunktion f(t) beispielsweise eine Gewichtsfunktion eines dynamischen Systems, wird deutlich, dass nur kausale Systeme durch die Laplace-Transformation abgebildet werden können.

Diese Beschränkung entfällt im Prinzip bei der zweiseitigen Laplace-Transformation

∫∞

∞−

−= dtetfsF st)()( ,

allerdings erkauft man sich das um den Preis, dass sich der Konvergenzbereich auf einen Streifen in der komplexen s-Ebene reduziert (s. Tabelle unten).

s-Ebeneα



Stabile Systeme:

Betrachtet man statt der gesamten s-Ebene nur die imaginäre Achse mit s = jω, kann man die Frage stellen, welche Voraussetzungen die Zeitfunktion f(t) besitzen muss, um in diesem Bereich absolute Konvergenz zu erreichen. Es muss gelten:

+∞<=== ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

− dttfdtetfdtetfsF tjtj )()()()( ωω

Diese Forderung ist für stabile Systeme erfüllt (s. S. 5-2). D.h. für stabile Systeme ist die Konvergenz auf der imaginären Achse gegeben.

In diesem Fall existiert das Fourier-Integral als Sonderfall des Laplace-Integrals mit s = jω oder s = j2πf:

∫∞

∞−

−= dtetfF tjωω )()( oder: ∫∞

∞−

−= dtetffF ftj π2)()(

Die Schreibweise in f ist im Bereich der Signalverarbeitung üblich und daher mit aufgeführt.

Vergleich von Laplace- und Fourier-Transformation:

Die Fourier-Transformation wird in der Signalverarbeitung verwendet, um nichtkausale Sys-teme behandeln zu können (Vorauss. Stabilität), während die Laplace-Transformation ge-eignet ist, instabile Systeme der Regelungstechnik zu beschreiben (Vorauss. Kausalität).

System instabil System stabil

Systemnichtkausal

Systemkausal

s-Ebene

Nur zweiseitige Laplace-Transf. möglich(aber kleiner Konvergenzbereich)

s-Ebene

Zweiseitige Laplace-Transf. oderFourier-Transf. möglich

Signalverarbeitung

s-Ebene s-Ebene

Einseitige Laplace-Transf. möglichRegelungstechnik

Einseitige Laplace-Transf. oderFourier-Transf. möglich



Rechenregeln der Laplace-Transformation:

Bezeichnung Originalfunktion f(t) für t ≥ 0

Bildfunktion F(s)

1. Linearität (Superposition)

±± )()( 2211 tfctfc

mit Konstanten ,, 21 cc ±± )()( 2211 sFcsFc

2. Ähnlichkeit )(atf mit 0>a

asF

a1

3. Verschiebung im Zeitbereich )()( atatf −− σ mit 0>a )(sFe sa−

4. Verschiebung im Bildbereich

)(tfe ta− mit a beliebig, komplex )( asF +

5. Differentiation im Zeitbereich dt

tdf )( )0()( fsFs −

2

2 )(dt

tfd )0()0()(2 ffssFs −−

k

k

dttfd )(

)0()0(

)0()()1()2(

1

−−

−

−−

−−kk

kk

ffs

fssFs

6. Differentiation im Bildbereich

)(tft ⋅− ds

sdF )(

)()1( tft kk ⋅⋅− k

k

dssFd )(

7. Integration im Zeitbereich ∫

t

df0

)( ττ )(1 sFs

⋅

8. Integration im Bildbereich t

tf )( ∫

∞

s

dF ωω)(

9. Faltung im Zeitbereich ∫ −=∗ τττ dftftftf )()()()( 2121 )()( 21 sFsF ⋅

10. Faltung im Bildbereich )()( 21 tftf ⋅ ∫

∞+

∞−

−jc

jc

dFsFj

ωωωπ

)()(21

21



Bezeichnung Originalfunktion f(t) für t ≥ 0 und Bildfunktion F(s)

11. Anfangswert )(lim)(lim0

sFstfst

⋅=∞→→

12. Endwert )(lim)(lim0

sFstfst

⋅=→∞→

13. Parsevalsche Gleichung ∫∫

∞

∞−

∞

= ωωπ

djFtf 2

0

2 )(21)(

Korrespondenzen der Laplace-Transformation: (nach Unbehauen, Regelungstechnik 1)

Nr. Zeitfunktion f(t) für 0≥t Für t < 0 gilt f(t) = 0. Dies kann durch Multiplikation mit dem Einheitssprung zusammengefasst werden: )()( ttf σ⋅

Laplace-Transformierte F(s)

1 )(tδ

(Einheitsimpuls) 1

2 1 (ergibt Einheitssprung) s

1

3 t 21s

4 2t 32s

5 !n

tn 1

1+ns

6 ate− as +

1

7 atet − ( )21as +

8 atet −2 ( )32as +

9 atn et − ( ) 1!

++ nasn

10 ate−−1 ( )assa+

11 ( )atea

at +−− 112

( )ass +21

12 ( ) ateat −−1 ( )2ass

+



Nr. Zeitfunktion f(t) für 0≥t Für t < 0 gilt f(t) = 0. Dies kann durch Multiplikation mit dem Einheitssprung zusammengefasst werden: )()( ttf σ⋅

Laplace-Transformierte F(s)

13 t0sinω 2

02

0

ω

ω

+s

14 t0cosω 2

02 ω+s

s

15 te at

0sinω− ( ) 20

20

ω

ω

++ as

16 te at

0cosω− ( ) 20

2 ω++

+

asas

17

atf

a1 )(asF für a > 0

18 )(tfeat )( asF −

19 atatatf

<≥>−

für00für)( )(sFe as−

20 )(tft−

dssdF )(

21 ( ) )(tft n− n

n

dssFd )(

22 )()( 21 tftf ∫

∞+

∞−

−jc

jcdppsFpF

j)()(

21

21π



4.2 Lösung von Differentialgleichungen

Laplace-Rücktransformation

Gegeben ist die folgende Funktion im Bildbereich: sTesNsZsG t−

⋅=)()()(

Vorgehensweise zur Rücktransformation:

• Totzeit Tt zunächst unberücksichtigt lassen.

• Falls Grad Z(s) ≥ Grad N(s) :

Polynomdivision mit dem Rest R(s) führt auf: )()()(

)()( *

sNsRsZ

sNsZ

+=

Rücktransformation von )(* sZ mittels Korr. 1: )(11 tL δ=−

• Faktorisierung des Nenners N(s) (ggf. mit Hilfe der Polynomdivision)

• Ansatz zur Partialbruchzerlegung:

a) einfacher Pol: as

c+

b) ρ-facher Pol: ( ) ( )ρ

ρ

as

c

asc

asc

+++

++

+

221

c) konjugiert komplexer Pol: βα ++

+

sscsc

221

• Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ci der Partialbruchzerlegung:

o entweder: Koeffizientenvergleich für s0, s1, s2, …

o oder: spezielle Werte für s einsetzen (insbesondere die Pole)

• Rücktransformation:

a) nach Korr. 6: ateas

L −− =

+11 für t ≥ 0

b) nach Korr. 7: ( )

atnn

etasnL −⋅

+− =

+ 11 ! für t ≥ 0

c) Quadratische Ergänzung des Nenners und dann

nach Korr. 13: )sin()(

020

201 te

asL at ω

ω

ω⋅=

++−− für t ≥ 0

sowie nach Korr. 14: )cos()(

020

21 te

asasL at ω

ω⋅=

++

+ −− für t ≥ 0

• Einzeltransformationen zu g(t) superponieren.

• Ggf. Berücksichtigung der Totzeit nach Verschiebungsregel (3):

)()()(1tt

t TtTtgsGsTeL −⋅−=

⋅

−− σ



4.3 Übertragungsfunktion

Analog zur Definition im Zeitbereich beschreibt das Übertragungsverhalten eines Systems auch im Bildbereich die Übertragung eines Signals U(s) am Systemeingang auf den Sys-temausgang Y(s) bei verschwindenden Anfangsbedingungen.

Bei linearen und zeitinvarianten Systemen kann der Ausgang Y(s) aus der Multiplikation des Eingangs U(s) mit einer Übertragungsfunktion G(s) bestimmt werden:

)()()( sUsGsY ⋅=

Die Übertragungsfunktion G(s) beschreibt daher das Übertragungsverhalten eines Systems im Bildbereich eindeutig und vollständig.

Der Vergleich mit der Darstellung des Übertragungsverhaltens im Zeitbereich mit Hilfe des Faltungsintegrals (s. Abschnitt 2.2) zeigt, dass die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion g(t) ist:

)()( tgLsG =

Rationale Übertragungsfunktionen

Lineare, zeitinvariante Übertragungsglieder ohne Totzeit werden durch die rationale Über-tragungsfunktion

nn

mm

sasaasbsbb

sG+++

+++=

10

10)(

mit reellen Konstanten ai und bi beschrieben.

• Die Nullstellen des Nenners werden als Pole der Übertragungsfunktion bezeichnet.

• Von einem realen System spricht man, falls m <n gilt.

• Lässt sich im Nenner ρs ausklammern (gilt also 010 ==== ρaaa ), handelt

es sich um ein ρ-fach integrierendes System.

• Ein System mit einer Totzeit Tt > 0 wird durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben:

sTesasaasbsbb

sG tn

n

mm −

⋅+++

+++=

10

10)(

G(s)U(s) Y(s)



Übertragungsfunktionen von Grundschaltungen:

1. Serienschaltung

G1(s) G2(s)U(s) Y1(s) Y2(s)

G(s)

UGY ⋅= 11 , 122 YGY ⋅=

UGGY ⋅⋅= 212

)()()( 21 sGsGsG ⋅=

2. Parallelschaltung

G1(s)

U(s)

Y1(s)

Y2(s)G2(s)

Y(s)+

+

G(s)

UGY ⋅= 11 , UGY ⋅= 22

UGUGYYY 2121 +=+=

UGG ⋅+=

)( 21

)()()( 21 sGsGsG +=

3. Rückkopplung

G1(s)U(s) Y1(s)

G2(s)

Y(s)

(+)

U1(s)

Y2(s)

G(s)

UGY ⋅= 11 , 122 YGY ⋅= , 1YY =

21 YUU ±=

)( 1211 YGUGY ±⋅= , UGYGGY 11211 =⋅⋅

)(

)()()(1

)()(21

1 sU

sGsGsG

sGsY

=



4. Verlegen von Blöcken

G(s)

U1(s)Y(s)

U2(s)

G(s)U1(s)

Y(s)

U2(s)G(s)

2121 )( GUGUUUGY +=+⋅=

G(s)U1(s)

Y(s)

U2(s)

U1(s)

Y(s)

U2(s)G-1(s)

G(s)

G(s)

U(s)

Y(s)

U(s)

G(s) U(s)U(s)

G-1(s)

Y(s)

4.4 Exkurs: Signale im Bildbereich

Im Bildbereich können auch abschnittsweise definierte Signalverläufe dargestellt werden, die nicht stetig oder differenzierbar sein müssen.

Beispiel 4-2: Abschnittsweise definierter Signalverlauf

Mit wachsender Zeit t lässt sich aus dem Diagramm ablesen:

)3()3()2()2()1()( −−+−⋅−−−= ttttttu σσσ

Mit Hilfe der Verschiebungsregel (Regel 3) sowie mit den Korrespondenzen 2 und 3 erhält man im Bildbereich eine geschlossene Darstellung:

sss es

es

es

sU 32

22

111)( −−− +−=

t0

u(t)

1 2 3 4

1

5. Beschreibung durch den Frequenzgang Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-1


5 Beschreibung durch den Frequenzgang

5.1 Definition

Ein lineares, zeitinvariantes System wird durch ein harmonisches Signal angeregt. In kom-plexer Schreibweise lautet das Eingangssignal

tjeutu ω⋅= 0)(

mit der komplexen Amplitude u0 und der Kreisfrequenz ω.

Ist das System zusätzlich stabil (s. Kapitel 5), so ist das Ausgangssignal nach dem Abklingen der Wirkungen der Anfangsbedingungen ebenfalls ein harmonisches Signal:

))(()()( 0ωϕωω +⋅⋅= tjeuAty

Das Verhältnis A(ω) der Amplituden zwischen Aus- und Eingang sowie die Phasendifferenz ϕ(ω) zwischen Aus- und Eingang definieren den Frequenzgang:

)()()( ωϕωω eAjG ⋅=

Bei harmonischer Anregung u(t) gilt also für den Systemausgang:

)()()( tujGty ⋅= ω

Diese Betrachtung wurde ausschließlich im Zeitbereich durchgeführt. Es kann gezeigt werden (s. Vorlesung!), dass der Frequenzgang stabiler Systeme aus der Übertragungsfunktion im Bildbereich bestimmt werden kann:

ωω jssGjG == )()(

Beispiel 5-1: Harmonische Anregung eines Feder-Masse-Schwingers

Die vertikale Position u(t) des Aufhängepunktes eines Fe-der-Masse-Schwingers wird bewegt, um das System anzu-regen.

Die Anregung u(t) ist ein harmonisches Signal.

Die vertikale Position der Masse y(t) wird gemessen.

u(t)

y(t)



Messungen:

ω = 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 2,0 10,0

T = ωπ2 = 31,42 15,71 10,47 7,85 6,28 5,24 4,49 3,14 0,63

A(ω) ≈

φ(ω) ≈

A(ω)dB ≈

5.2 Ortskurve

Die Ortskurve ist der Kurvenzug, der vom Frequenzgang G(jω) in der komplexen Ebene ge-schrieben wird, wenn die Anregungsfrequenz ω im Bereich ∞≤≤ ω0 variiert wird.

Beispiel 5-1 (Fortsetzung): Ortskurve

j Im

Re1 2



Anfang und Ende der Ortskurve für rationale Frequenzgänge:

Gegeben ist der Frequenzgang eines dynamischen Systems

tTje

jajaajbjbb

jGn

n

mm ω

ωωωω

ω−

⋅+++

+++=

)()()()(

)(10

10

mit nm < (reales System) und 00 ≠b .

Anfang der Ortskurve

• Falls 00 ≠a :

Die Ortskurve beginnt auf der reellen Achse beim Wert 0

0

ab

K = .

• Falls 0110 ==== −ρaaa : Das System ist ρ-fach integrierend.

Die Ortskurve beginnt im Unendlichen mit dem Phasenwinkel 2πρ ⋅− .

Ende der Ortskurve

• Falls 0=tT : System ohne Totzeit

Die Ortskurve läuft im Winkel 2

)( π⋅−− mn in den Ursprung.

• Falls 0>tT :

Das Totzeitglied führt zu einer mit der Frequenz ω linear wachsenden negativen Phasendrehung. Daher kann kein Eintrittswinkel berechnet werden und die Ortskurve läuft spiralför-mig in den Ursprung ein.

Verlauf der Ortskurve

• Bei reinen Verzögerungsgliedern ( 0=m ) ist der Amplituden- und Phasenverlauf mo-noton fallend. Das bedeutet für die Ortskurve, dass sie im Uhrzeigersinn um den Ursprung läuft und mit wachsender Frequenz ω immer näher an den Ursprung herankommt.



5.4 Bode-Diagramm

Definition

Das Bode-Diagramm ist eine graphische Darstellung des Frequenzgangs G(jω) getrennt nach

• Amplitudenverlauf A(ω) und

• Phasenverlauf ϕ(ω)

über der Kreisfrequenz ω. Die Kreisfrequenz ω wird logarithmisch aufgetragen. Die Amplitude wird ebenfalls logarithmisch in Dezibel (dB) dargestellt:

)(log20)( ωω AAdB ⋅=

Bode-Diagramme häufig verwendeter Übertragungsglieder

Die Bode-Diagramme häufig verwendeter Übertragungsglieder sind in Kapitel 1 (Seiten 1-5 bis 1-11) dargestellt. Für alle Glieder bis auf das Totzeit-Glied kann ein asymptotischer Amplituden- und Phasenverlauf angegeben werden, der ein schnelles, überschlägiges Zeich-nen der Bode-Diagramme ermöglicht.

Rechenregeln

Serienschaltung:

Für die Reihenschaltung von n Übertragungsgliedern mit )()()( 1 ωωω jGjGjG n⋅⋅= können

der Amplituden- und Phasenverläufe addiert werden:

)()()( ,1, ωωω ndBdBdB AAA ++= , )()()( 1 ωϕωϕωϕ n++=

Inversion:

Das Bode-Diagramm eines inversen Übertragungsgliedes mit )()( 11 ωω jGjG −= erhält man aus

der Spiegelung des Amplituden- und Phasenverlaufs an der 0db bzw. 0°-Linie:

)()( 1, ωω dBdB AA −= , )()( 1 ωϕωϕ −=

Beispiel 5-1 (Fortsetzung): Bode-Diagramm

Beispiel 5-3: Konstruktion des Bode-Diagramms

Gegeben ist folgendes System:

mit ωω jjG 21)(1 += und )2,01)(101(

10)(2 ωωω

jjjG

++=

Zeichnen Sie die asymptotischen Amplituden- und Phasenverläufe.

G1(s)u

G2(s)y



φ (ω)

A(ω)dB

+20

0

–20

–40

–60

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 0,01 0,1 1 10 100

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 0,01 0,1 1 10 100



A(ω)dB

+20

0

–20

–40

–60

φ (ω)

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 0,01 0,1 1 10 100

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 0,01 0,1 1 10 100

6. Analyse von Systemeigenschaften Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-7


6 Analyse von Systemeigenschaften

6.1 Definition der Stabilität

Beispiel 6-1: Stabilitätseigenschaften eines Pendels

Im Bild wird ein Pendel der Länge L mit einer punktförmigen Masse m in zwei ver-schiedenen Winkelpositionen dargestellt.

Die (nichtlineare) Differentialgleichung des Pendels mit einer geschwindigkeits-proportionalen Dämpfung d lautet:

0)(sin)()( =++ tLgtdt ϕϕϕ

Das System soll für die folgenden 3 speziellen Fälle hinsichtlich seiner Stabilität untersucht werden:

System 1 – Linearisierung im unteren Arbeitspunkt 00 =ϕ :

0)()()( =++ tLgtdt ϕϕϕ

System 2 – Ungedämpftes Pendel (d = 0), linearisiert im unteren Arbeitspunkt:

0)()( =+ tLgt ϕϕ

System 3 – Linearisierung im oberen Arbeitspunkt πϕ =0 :

0)()()( =−+ tLgtdt ϕϕϕ



6.2 Stabilitätsbedingungen

6.3 Pol-Nullstellen-Plan

Im Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) werden die Pole (Symbol: „x“) und Nullstellen (Symbol: „o“) einer rationalen Übertragungsfunktion graphisch in der komplexen Ebene dargestellt. Daraus lassen sich die wesentlichen dynamischen Eigenschaften (wie Stabilität oder Schwin-gungsfähigkeit) direkt ablesen.

Polkonfiguration und Zeitverhalten PN-Bild Zeitverhalten

(homogenes System nach Anfangsauslenkung)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Pole auf reeller Achse

Resk<0

asymptotisch stabil

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Stabilitätsdefinition Stabilitätsbedingung

im Zeitbereich (Gewichtsfunktion)

im Bildbereich (für rationale

Übertragungsglieder)

(asympto-tisch) stabil

Der Ausgang des nicht an-geregten Systems klingt nach einer beliebigen An-fangsauslenkung asympto-tisch auf Null ab:

0)(lim =∞→

tyt

Die Gewichtsfunktion klingt asymptotisch auf Null ab:

0)(lim =∞→

tgt

Falls alle Pole der Über-tragungsfunktion G(s) in der linken komplexen Ebene liegen.

grenzstabil Der Ausgang des nicht an-geregten Systems bleibt nach einer beliebigen An-fangsauslenkung für wach-sende Zeiten t in endlichen Grenzen:

∞<≤∞→

Ctyt

)(lim

Die Gewichtsfunktion bleibt für wachsende Zeiten t in endlichen Grenzen:

∞<≤∞→

Ctgt

)(lim

Falls alle Pole der Über-tragungsfunktion G(s) in der linken komplexen Ebene oder auf der ima-ginären Achse liegen, wobei die Pole auf der imaginären Achse alle einfach sind.

instabil Der Ausgang des nicht an-geregten Systems strebt nach einer beliebigen An-fangsauslenkung mit wach-sender Zeit t gegen Unend-lich:

∞→∞→

)(lim tyt

Die Gewichtsfunktion strebt mit wachsender Zeit t gegen Unendlich:

∞→∞→

)(lim tgt

Falls mindestens ein Pol der Übertragungsfunk-tion G(s) in der rechten komplexen Ebene liegt oder ein mehrfacher Pol auf der imaginären Achse vorhanden ist.

Im

Re t

y(t)



-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ein Pol mit

Resk>0

instabil

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ein Pol mit

Resk=0

grenzstabil

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5

konj. komplexes Polpaar

asymptotisch stabil


grenzstabil


instabil

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15-30

-20

-10

0

10

20

30

Im

Re

Im

Re

Im

Re

Re

Im

Re

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

Im



Beispiel 6-2: Feder-Masse-Dämpfer-System

Das dynamische Verhalten des Feder-Masse-Dämpfer-Systems in nebenstehendem Bild soll analysiert werden.

Eingangsgröße ist die vertikale Position u(t) der Aufhängung; als Ausgangsgröße y(t) wird die ver-tikale Position der Masse m0 definiert.

Die Modellbildung ist auf Basis der Bewegungs-gleichungen für m1

( ) ( ))()()()()( 121111 txtyctxtuctxm −+−=

und für m0

( ) ( ))()()()()( 2120 tytxdtytxctym −+−=

sowie mittels der Kräftebilanz im Punkt P

( ) ( ))()()()(0 220 txtydtxtuc −+−=

möglich.

Im zugehörigen Simulink-Blockschaltbild werden drei Subsysteme und deren Wechselwir-kung deutlich:

Für die Parameter 121010 ====== dcccmm lautet die zugehörige Übertragungsfunk-

tion:

133413)(2345

3

+++++

++=

ssssssssG

Masse m1 und Federn c1, c2

Massem0

Dämpfer d und Feder c0

(nach Lunze: Regelungstechnik 1)



Zugehöriger PN-Plan (Matlab-Funktion pzmap):

Sprungantwort h(t) des Systems (Matlab-Funktion Step):



Systemantwort auf die aufklingende, harmonische Anregung )sin()( tetu t ωδ=

(mit δ = 0,16109267731304, ω = 1,75438095978372, mittels Matlab-Funktion lsim):



6.4 Stabilitätskriterium nach Hurwitz

(nach A. Hurwitz, 1895)

Für das System mit der rationalen Übertragungsfunktion (ohne Totzeit)

nn

mm

sasaasbsbb

sG+++

+++=

10

10)(

soll geprüft werden, ob es (asymptotisch) stabil ist.

Haben Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion keine gemeinsamen Nullstellen, kann die Stabilitätsuntersuchung auf Basis der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms

nnsasaasp +++= 10)(

durchgeführt werden. Zur Eindeutigkeit wird 00 >a vorausgesetzt (gegebenenfalls mit „–

1“ multiplizieren!).

Notwendige Bedingung:

Ist das System (asymptotisch) stabil, so müssen alle Koeffizienten ai des charakteristischen Polynoms vorhanden und positiv sein:

0>ia für ni ,...,1=

Sobald dies für ein ai nicht erfüllt ist, kann das System also auch nicht stabil sein!

Hinreichende Bedingungen:

Das System ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn zusätzlich zur notwendigen Bedin-gung die nachfolgend aufgeführten hinreichenden Bedingungen erfüllt sind:

n = Hinreichende Bedingungen

2 – keine weiteren Bedingungen –

3 03021 >− aaaa

4 ( ) 023041321 >−− aaaaaaa

5 05243 >− aaaa und

( ) ( ) ( ) 02504152433021 >−−−− aaaaaaaaaaaa



Eine allgemeine Formulierung der hinreichenden Bedingungen für Systeme beliebiger Ord-nung n liefert das folgende Hurwitz-Schema.

(Für Systeme der Ordnung 5≤n sind die Bedingungen äquivalent zu den vorstehenden.)

Aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung wird die folgende Determinante mit n Zeilen und n Spalten gebildet:

20

31

420

531

6420

7531

0000

00

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Hn =

Man bildet daraus zusätzlich alle „linken oberen“ Unterdeterminanten, also:

11 aH = , 20

312 aa

aaH = ,

31

420

531

3

0 aaaaaaaa

H = , usw.

Das System (mit 00 >a ) ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn alle Determinanten

positiv sind:

01 >H , 02 >H , 03 >H , ... , 0>nH

6.5 Stabilitätskriterium nach Nyquist

Mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums wird das Stabilitätsverhalten von rückgekoppelten Systemen untersucht, die folgende Form haben:

Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ist G0(s), sie kann auch eine Totzeit beinhal-ten. Die Stabilitätsaussage wird für den geschlossenen Kreis (rückgekoppeltes System) ge-troffen!

Idee

Aus dem Blockschaltbild erhält man als Übertragungsfunktion:

)(1)(

)()(

0

0

sGsG

sUsY

+=

G0(s)yu



Damit das rückgekoppelte System stabil ist, müssen die Pole si dieser Übertragungsfunktion in der negativen Halbebene liegen – das sind die Lösungen aus 1+ G0(si) =0. D.h. sie liegen immer links der Stabilitätsgrenze (mit steigendem ω).

Diese Orientierung muss bei einer Abbildung mit G0(s) erhalten bleiben: Die Pole des rück-gekoppelten Systems werden mit G0(si) alle in –1 abgebildet, und die Stabilitätsgrenze jω entspricht mit G0(jω) der Ortskurve zu G0. Folglich muss der „kritische Punkt“ –1 wiederum links der Orktskurve liegen.

Für den Beweis muss die Abbildung der komplexen Funktion G0(s) genau diskutiert werden!

Nyquistkriterium in Ortskurvendarstellung

Ist die Übertragungsfunktion des offenen Kreises G0(s) stabil und besitzt die Ortskurve keine „zu komplizierte“ Gestalt, dann ist der geschlossene Kreis genau dann stabil, wenn die Orts-kurve den kritischen Punkt –1 links liegen lässt.

Beispiele [aus: Unbehauen, Regelungstechnik I]:

stabil

instabil

stabil

stabil

stabil

instabil

instabil

instabil



Nyquistkriterium im Bode-Diagramm

Folgende Zusammenhänge bilden die Ortskurve in das Bode-Diagramm ab:

• Der Einheitskreis in der Ortskurve (A(ω) = 1) entspricht der 0dB-Linie im Amplitu-denverlauf des Bode-Diagramms.

• Die negative reelle Achse in der Ortskurve (ϕ(ω) = –180°) entspricht der –180°-Linie im Phasenverlauf des Bode-Diagramms.

• Der kritische Punkt –1 in der Ortskurvendarstellung entspricht also einer der Amplitude AdB = 0 dB und der Phase ϕ = –180° im Bode-Diagramm.

Im einfachen (und durchaus häufigen) Fall, dass die Ortskurve den Einheitskreis nur einmal schneidet, lässt sich das Nyquistkriterium leicht auf die Darstellung im Bode-Diagramm an-wenden:

Die Frequenz, bei der die Ortskurve den Einheitskreis schneidet wird als Durchtrittsfrequenz ωD bezeichnet. Dies entspricht dem Schnitt des Amplitudenverlaufs mit der 0dB-Linie im Bode-Diagramm. Das System ist genau dann stabil, wenn die Phase in diesem Punkt gilt:

ϕ(ωD) > –180°

Im stabilen Fall wird im Punkt der Durchtrittsfrequenz die Phasendifferenz zu –180° als Pha-senreserve ϕR bezeichnet:

ϕR = ϕ(ωD) – (–180°)

Stabiler Fall Instabiler Fall

ωD

0dB

0°

-180°

ϕ(ω)

ω

G(jω)

Einheitskreis

-1

ω = ωD

ϕ(ωD)ϕR

ϕ(ωD)ϕR

ωD

0dB

0°

-180°

ϕ(ω)

ω

G(jω)

Einheitskreis

-1

ω = ωD

ϕ(ωD)

ϕ(ωD)

7. Sensoren Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 7-1


Teil B: Messsysteme

7 Sensoren

7.1 Grundlagen des Messens

In diesem Abschnitt werden wesentliche Begriffe der Messtechnik eingeführt. Einige Defini-tionen wurden von Wikipedia übernommen.

Messung

Eine Messung ist das Ausführen von geplanten Tätigkeiten zu einer quantitativen Aussage über eine Messgröße durch Vergleich mit einer Einheit. Dabei ist die Messgröße jene physi-kalische Größe, der die Messung gilt. Die Bezeichnungen für die Messtechnik werden für Deutschland in der DIN-Norm DIN 1319 definiert.

Man spricht übrigens von Messung und nicht von Vermessung; letzteres ist ein Synonym für die Geodäsie.

Die „Wissenschaft vom Messen und ihre Anwendung“ wird als Metrologie bezeichnet.

Messmittel, -einrichtung und -gerät

Ein Messmittel ist gemäß der Norm DIN 1319-2 ein Messgerät, eine Messeinrichtung, ein Normal, ein Hilfsmittel oder Referenzmaterial, das bzw. die zur Ausführung einer Aufgabe in der Messtechnik notwendig ist. Geräte zum Zählen (z. B. in der digitalen Messtechnik), zur Kalibrierung, Justierung oder Prüfung sind ebenfalls Messmittel. Zu den Hilfsmitteln zählen auch begleitende Dokumente oder Programme. Die Qualität der Messmittel wird durch re-gelmäßige Messmittelüberwachung sichergestellt. Messmittel für Prüfungen werden auch als Prüfmittel bezeichnet.

Eine Messeinrichtung ist in den „Grundlagen der Messtechnik“ in DIN 1319 als „Gesamtheit aller Messgeräte und zusätzlicher Einrichtungen zur Erzielung eines Messergebnisses“ defi-niert.

Messgeräte dienen zur Bestimmung geometrischer oder physikalischer Größen.

Eichung und Kalibration

Eichung ist die vom Gesetzgeber vorgeschriebene Prüfung eines Messgerätes auf Einhaltung der zugrundeliegenden eichrechtlichen Vorschriften, insbesondere der Eichfehlergrenzen nach dem Mess- und Eichgesetz. In Deutschland ist die Eichung nach dem Eichgesetz eine hoheitliche Aufgabe. Mit einem Eichzeichen wird die voraussichtliche Einhaltung für die Gül-tigkeitsdauer der Eichung bestätigt. Eichungen werden in der Bundesrepublik Deutschland von den Landeseichämtern und staatlich anerkannten Prüfstellen unter fachlicher Aufsicht durch die Physikalisch-Technische Bundesanstalt durchgeführt. Eine Eichung ist eine gesetz-lich vorgeschriebene und auf nationale Standards verweisende Kalibrierung mit einer ent-sprechenden Kennzeichnung des geeichten Objekts.

Oft wird der Begriff Eichung falsch für Kalibrierung verwendet. Die Prüfung von Messgeräten, bei welcher das Verfahren die gesetzlichen Vorgaben formal nicht erfüllt, oder für die es keine Eichpflicht nach dem Eichgesetz gibt, ist dann eine Kalibrierung, wenn ansonsten ein zuverlässig reproduzierbarer Vergleich mit einem geeigneten Normal durchgeführt wird.



Messen metrischer Größen

Eine metrische Größe zu messen heißt, ihre Ausprägung quantitativ zu erfassen. Dafür wird die Messgröße mit einer zuvor vereinbarten Maßeinheit – dem Normal (engl. measurement standard) – verglichen:

Messgröße = Zahlenwert · Maßeinheit

Der Zahlenwert der Messgröße gibt dabei an, wie oft in der Messgröße die Maßeinheit ent-halten ist. [aus: Puente León, Messtechnik]

Metrisches Einheitensystem

Ein metrisches Einheitensystem, kurz metrisches System, ist ein Einheitensystem mit dem Meter als Basiseinheit für die Länge einer Strecke.

Das erste metrische Einheitensystem wurde 1793 in Frankreich im Zuge der französischen Revolution eingeführt und wird heute in fast allen Ländern verwendet. Es löste auf den Men-schen bezogene Maße (z.B. „Elle“ oder „Fuß“) und regionale Maße (z.B. „Bremer Elle“) ab. Damit wurde eine einfache und internationale Vergleichbarkeit erreicht.

Im Unterscheid zu anderen Einheitensystemen werden im metrischen Einheitensystem sehr große oder sehr kleine Werte strikt als dezimale Vielfache oder dezimale Bruchteile angege-ben. Dazu dient ein System von Vorsätzen für Maßeinheiten:

Vorsätze Vorsatz Zeichen Faktor Vorsatz Zeichen Faktor

Dezi d 10–1 Deka da 101

Zenti c 10–2 Hekto h 102

Milli m 10–3 Kilo k 103

Mikro µ 10–6 Mega M 106

Nano n 10–9 Giga G 109

Piko p 10–12 Tera T 1012

Femto f 10–15 Peta P 1015

Atto a 10–18 Exa E 1018

Zepto z 10–21 Zetta Z 1021

Yokto y 10–24 Yotta Y 1024

Heute ist das Internationale Einheitensystem oder SI (Système international d’unités) das am weitesten verbreitete Einheitensystem für physikalische Größen. Es beruht auf den nach-folgend definierten sieben Basiseinheiten.



SI-Basiseinheiten Basiseinheit Definition [aus: Puente León, Messtechnik]

Meter Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in einem Intervall von (1/299 792 458) Sekunden durchläuft. Die Meterdefinition weist der Lichtge-schwindigkeit c0 einen festen Wert zu. Diese Fundamentalkonstante kann somit nicht mehr gemessen werden, sie ist jetzt exakt vorgegeben. Hieraus folgt, dass die Längeneinheit von der Zeiteinheit Sekunde abhängt.

Kilogramm Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des internatio-nalen Kilogrammprototyps.

Sekunde Die Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.

Ampere Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von ei-nem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern mit je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2 · 10−7 Newton hervorrufen würde.

Kelvin Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. Tem-peraturdifferenzen dürfen auch in Grad Celsius, mit dem Einheitenzeichen °C, angegeben werden.

Mol Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und kön-nen Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

Candela Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungs-quelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussen-det und deren Strahlungsstärke in dieser Richtung 1/683 Watt durch Steradiant beträgt.

Die drei Basiseinheiten Kilogramm, Sekunde und Kelvin sind unabhängig von anderen Ba-siseinheiten definiert, während die Definitionen der übrigen Basiseinheiten Abhängigkeiten von anderen Basiseinheiten aufweisen:

• Meter von Sekunde • Mol von Kilogramm • Ampere sowie Candela von Meter, Kilogramm und Sekunde

Heute wird nur noch die Einheit Kilogramm anhand eines Prototyps definiert. Alle anderen Einheiten werden über unveränderliche Naturkonstanten festgelegt

Abgeleitete Einheiten

Alle anderen Einheiten lassen sich daraus durch Multiplikationen und Divisionen kohärent (ohne Proportionalitätsfaktoren) ableiten und werden daher als abgeleitete Einheiten be-zeichnet.



Direkte und indirekte Messung

Bei einer direkten Messung kann das Messergebnis unmittelbar am Messmittel abgelesen werden. Das ist z.B. bei der Längenmessung mit einem Maßband der Fall, aber auch beim Messen einer Masse mit einer Balkenwaage im direkten Vergleich zu Gewichtssteinen.

Bei einer indirekten Messung das Resultat erst nach Zwischenstufen vor. Dabei werden zu-nächst Zwischengrößen ermittelt, die schließlich in die eigentlich gesuchte Messgröße ge-wandelt werden. Es entsteht eine Messkette. Eine Masse kann beispielsweise mit Hilfe einer Federwaage bestimmt werden. Dann wird zunächst die Auslenkung der Feder gemessen, bei bekannter Federkonstante auf die Gewichtskraft geschlossen und bei bekannter Erdbe-schleunigung auf die entsprechende Masse berechnet.

Fertigungs- und Prozessmesstechnik

In der Fertigungs- oder Produktionstechnik werden Messungen durchgeführt, um aktuelle Informationen über den Zustand der Strecke zu erhalten. In der Regel werden indirekte Messungen verwendet, um die Strecke durch einen Sensor zu erfassen und das Ergebnis nach einer Sensorsignalverarbeitung nutzen zu können.

Das Blockschaltbild aus Abschnitt 1.1 ist um mögliche Aufgaben der gemessenen Größen ergänzt:

Zu unterscheiden ist, ob die Messung zeitgleich während der Fertigung durchgeführt werden kann (in-line oder in-prozess) oder ob sie erst nach Abschluss eines Fertigungsschrittes z.B. in einem separaten Messraum oder Labor möglich ist (post-prozess).

Wird die Messung für eine Regelung benötigt, spielt auch die Rechtzeitigkeit der Messung eine wesentliche Rolle (Echtzeitfähigkeit und geringe Totzeiten von Sensor und Signalverar-beitung).



7.2 Messprinzipien mit Sensorbeispielen

Kinematische Größen

Beschreiben die Eigenschaften einer Bewegung. Die Bewegung kann translatorisch oder ro-tatorisch sein.

Durch zeitliche Differentiation können Wege in Geschwindigkeiten bzw. Geschwindigkeiten in Beschleunigungen umgerechnet werden. Aber: durch die Differentiation wird Messrau-schen verstärkt!

Der umgekehrte ist durch zeitliche Integration möglich. Aber: Der Anfangswert (Integrati-onskonstante) ist unbekannt; praktisch entsteht dadurch unter Umständen eine Drift.

Längen

Dehnungsmess- streifen (DMS)

Wird auf Oberflächen von Bauteilen aufgeklebt und erfasst dort dehnende oder stauchende Längenänderungen. Es werden kleine Änderungen z.B. für eine Kraftmessung erfasst. Typische Struktur eines metallischen Folien-DMS mit mäanderförmigem Widerstandsdraht.

Eine Längung vermindert den Querschnitt und erhöht die Länge des Drahtes. Beides erhöht den elektrischen Widerstand, der meist in einer Brückenschal-tung gemessen wird.

Potentiometer (tranlatorisch)

Zwischen den Endpunkten eines linearen Schiebepotentiometers wird eine elektrische Spannung angelegt, so dass ein kontinuierlicher Spannungsteiler entsteht. Der Schieber greift die Spannung an der aktuellen Position ab.

Das Potentiometer ist mit Reibung behaftet und erlaubt eine wenig präzise aber kostengünstige Positionsmessung.

Kapazitive Abstandssensoren

Die Kapazität eines Kondensators ändert sich mit einem Abstand, da

• der Abstand zwischen den Elektroden geändert wird, • ein Dielektrikum eingebracht wird, • die wirksame Plattenfläche sich ändert.

Induktive Abstandssensoren

Abstandsabhängige Induktivität einer Spule.

Pneumatische Abstandssensoren

Kleine Abstände (z.B. der Durchmesser einer Bohrung) können pneumatisch bestimmt werden: Ein Messdorn mit einer Öffnung, über die Luft ausströmt wird in die Bohrung eingeführt. Bei konstantem Druck ist der Volumenstrom der Luft ein Maß für den Bohrungsdurchmesser.

Inkrementell Wegmessung

Zählendes Messverfahren, ein Encoder zählt Striche eines Maßstabs. Dies kann optisch aber auch magnetisch geschehen.

Optische Interferometrie

Ein zählendes, berührungsloses Messverfahren: Mit Hilfe eines Interferome-ters werden die Perioden einer stehenden Lichtwelle gezählt. Das Verfahren ist prinzipiell sehr präzise, für die Lichtwelle (z.B. 632 nm für Rot) kann dar-über hinaus die Phasenlage bestimmt werden.

Akustische Laufzeitmessung

Entfernungen können über die Laufzeit eines akustischen Signals bestimmt werden (auch mit Ultraschall). Schallgeschwindigkeit hängt stark von Tem-peratur und z.B. Luftdruck ab. Unterwasser geeignet.

Laufzeitmessung mit elektromagnetischen Wellen

Auch elektromagnetische Wellen können zur Laufzeitmessung verwendet werden. Satelliten-Navigationssysteme arbeiten nach diesem Prinzip. Ge-nauigkeit nicht unter 10 cm.



Optische Triangulation

Ein (Laser-)strahl erzeugt auf die Oberfläche der Referenz einen Punkt, der von einer Sensor unter einem anderen Winkel beobachtet wird. Die Lage des Punktes ist ein Maß für den Abstand.

Dies kann nicht nur für einen Punkt, sondern auch für eine Linie oder eine Fläche (strukturiertes Licht, Streifenprojektion) durchgeführt werden.

Optische Speckle-Messung

Speckle-Muster entstehen durch die Beleuchtung rauer Oberflächen. Relative Verschiebungen können durch die Korrelation zweier Speckle-Bilder erfasst werden (Prinzip einer optischen Maus).

Optische Kamera

Eine optische Kamera mit entsprechender Bildauswertungssoftware kann zur Bestimmung von Abständen verwendet werden und stellt einen preiswerten berührungslosen Sensor da.

Odometrie

Bei Fahrzeugen kann der zurückgelegte Weg über die Drehung der Räder (näherungsweise) bestimmt werden.

Winkel

Potentiometer (rotatorisch)

Sehr einfache, reibbehaftete Winkelmessung.

(Auch weitere translatorische Prinzipien sind übertragbar!)

Neigungssensor Erfasst den (oder die) Winkel zum Vektor der Erdbeschleunigungen. Wird durch Intertialsensor (s.u.) realisiert.

Geschwindigkeiten

Anemometer Zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit von Gasen und Flüssigkeiten.

Winkelgeschwindigkeiten

Tachogenerator Die induzierte Ankerspannung eines (Gleichstrom-)Generators ist proportio-nal zur Drehzahl.

(Winkel-)Beschleunigungen

Inertialsensor Beschleunigungen werden durch die Kraftwirkung auf eine bekannte Porben-masse bestimmt. Diese Masse wird federnd gelagert und die Auslenkung bestimmt. Als Mikrosysteme verfügbar.

Messung von Kräften, Momenten und Massen Messung von Kräften und Momenten

Dehnungsmessstrei-fen (DMS)

Die Wirkung von Kräften oder Momenten werden meist über die Längenän-derung eines elastischen Bauteils bestimmt. Dazu muss die Elastizität (oder Federkonstante) bekannt sein. DMS werden auf die Bauteiloberfläche ge-klebt (Prinzip s.o.).

Piezo Piezo-Kristalle können als Aktor oder Sensor verwendet werden. Eine äußere Kraft führt zu einer Verformung des Sensors, dies führt zu einer Änderung der Polarisation im inneren (Piezo-Effekt) und einer elektrischen Spannung.



Messung von Massen

Balkenwaage Die unbekannte Masse wird durch kalibrierte Wägestücke (Gewichtsnor-male) aufgewogen. Auch industrielle Wägezellen (s. Bild) arbeiten nach die-sem Prinzip. Anstelle der Wägestücke kann auch eine elektrisch erzeugte kompensatorische Kraft verwendet werden.

Federwaage Bestimmung einer Masse durch die Kraftwirkung im Schwerefeld der Erde.

Messung thermodynamischer Größen Messung von Drücken

Drucksensor mit Membran

Wegänderung der Membran wird gemessen.

Messung von Temperaturen

Temperaturabhängi-ger Widerstand (z.B. PT 100)

Platin-Messwiderstände sind Temperatur-Sensoren, die als Messeffekt die Abhängigkeit des elektrischen Widerstands von der Temperatur bei Platin anwenden. Sie sind ausgelegt zum Einbau in industrielle Widerstandsther-mometer oder in eine integrierte Schaltung. Sie haben weite Verbreitung gefunden und sind in der EN 60751 genormt. Durch ihre geringen Grenzab-weichungen sind sie in aller Regel austauschbar ohne Neukalibrierung. [Wi-kipedia]

PT100-Sensoren haben einen Widerstand von 100 Ω bei 0°C.

Thermoelement Ein Thermoelement ist ein Paar metallischer Leiter aus unterschiedlichem Material, die an einem Ende verbunden sind und aufgrund des thermoelektri-schen Effektes zur Temperaturmessung geeignet sind.

Messung elektrischer Größen Messung von Spannung

Spannung z.B. Mittels Drehspulmessgerät, Oszilloskop, A-D-Umsetzer

Strom Spannung an stromdurchflossenem Shunt-Widerstand.

Impedanz Verhältnis von Spannung zu Strom, gemessen für ein elektrisches Bauteil. Bei harmonischer Anregung (Wechselspannung) ggf. in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz.

Elektrisches Feld Kraftwirkung auf eine Probeladung.

Magnetisches Feld Wird ein Hall-Sensor von einem Strom durchflossen und in ein senkrecht dazu verlaufendes Magnetfeld gebracht, liefert er eine Ausgangsspannung, die proportional zum Produkt aus magnetischer Feldstärke und Strom ist (Hall-Effekt). [Wikipedia]

8. Signalwandlung Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 8-1


8 Signalwandlung

8.1 Filterung mittels Operationsverstärker

Operationsverstärker (OPs) sind elektronische Verstärkerschaltungen, die als integrierte Bauteile zur Verfügung stehen (s. Bild). Durch geeignete Beschaltung können damit zahlrei-che Aufgaben der Signalanpassung oder -filterung gelöst werden.

Der OP wird mit einer symmetrischen Spannung versorgt, z.B. uS+ = +15 V und uS– = –15 V. Die Spannungsdifferenz an den Eingängen wird mit dem Faktor K verstärkt und als Aus-gangsspannung uA zur Verfügung gestellt:

( )−+ −= uuKuA

Übliches Schaltsymbol:

Zur Berechnung geht man vom idealen OP mit folgenden Eigenschaften aus:

• Die Spannungsverstärkung des OP ist unendlich groß: ∞→K • Entsprechend liegen die Eingänge auf gleichem Potential: u– = u+ • Die Eingänge „+“ und „–“ sind hochohmig, so dass kein Strom in die Eingänge fließt. • Üblicher Weise wird die Spannungsversorgung uS+ und uS– nicht dargestellt.

Komparator

Der Sonderfall eines unbeschalteten OPs stellt einen Komparator dar: Ist die an „+“ anlie-gende Eingangsspannung größer als die an „–“ anliegende Spannung, wird uA = uS+ ausge-geben, sonst uA = uS–.

Eine zusätzliche Mitkopplung über R2 führt eine Schalthysterese beim Komparator ein:



Nicht-invertierender Verstärker

Eingangsspannung uE liegt an Eingang „+“ an; Gegenkopplung über R2:

Es gilt:

EA uRRu

+=

1

21

Ein Sonderfall tritt für ∞→1R auf: Dann erhält man die Verstärkung 1 und uA = uE. Dieser

Spannungsfolger oder Impedanzwandler dient zur Verstärkung der Ströme (niederohmige Last am Ausgang, hochohmiger Eingang).

Invertierender Verstärker und Addierer

Eingangsspannung uE liegt über einen Spannungsteiler am Eingang „–“ an; Gegenkopplung über R2:

Es gilt:

EA uRRu

1

2−=

Der invertierende Verstärker lässt sich um weitere Eingänge ergänzen, die dann summiert werden. Z.B. für 3 Eingänge:

Es gilt:

++−=

13

3

12

2

11

12 R

uRu

RuRu eee

A



Tiefpass (PT1-Glied)

Führt man einen Kondensator C (als Speicherelement) parallel in die Rückführung ein, lässt sich ein Tiefpass realisieren:

Es gilt im Bildbereich:

)(1

1)(21

2 sUsCRR

RsU EA +−=

Wird auf R2 verzichtet ( ∞→2R ), erhält man einen Integrator mit:

)(1)(1

sUsCR

sU EA −=

Hochpass (PD1-Glied)

Führt man einen Kondensator C seriell in den Eingang ein, erhält man einen Hochpass:

Es gilt im Bildbereich:

)(1

)(1

1

1

2 sUsCR

sCRRRsU EA +

−=

Wird auf R1 kurz geschlossen (R1 = 0), erhält man einen Differenzierglied mit:

)()( 2 sUsCRsU EA −=



8.2 Analog-Digital-Umsetzer

Die „physikalische Welt“ einschließlich der Sensoren lässt sich meist am besten analog be-schreiben: Die Messgrößen werden durch zeitkontinuierliche und wertekontinuierliche Werte beschrieben.

Der Controller wird heute meist auf einem digitalen Rechner implementiert: Dieser arbeitet zeitdiskret, und die Messwerte werden in einem geeigneten Zahlenformat quantisiert darge-stellt.

An der Schnittstelle ist also ein Analog-Digital-Umsetzer (ADU) erforderlich, der prinzipiell zwei Funktionen besitzt:

Zeitliche Diskretisierung

Durch Abtastung wird aus dem zeitkontinuierlichen Signal y(t) eine Zeitreihe (Folge) von Werten y(k) gewonnen. Darin ist k = 0, 1, 2, … ein Zähler über die Abtastungen. In der Regel wird eine äquidistante Abtastung angestrebt

)()( Tktyky ==

mit der konstanten Abtastzeit T. Die Abtastung sollte schnell genug erfolgen, um den zeitli-chen Verlauf von y(t) abbilden zu können. Bei einer Unter-Abtastung gehen Informationen verloren.

Bei Messung einer langsam veränderlichen Größe z.B. in einem Klärwerk kann eine Abtast-zeit T im Bereich von Minuten ausreichend sein, bei mechatronischen System wird typischer Weise 1 ms verwendet, bei Mikrosystemen oder einem elektrischen Umrichter sind ggf. we-nige µs erforderlich.

Anmerkung: Von der Abtastzeit ist ggf. eine Verzugszeit (Totzeit, Latenz) der Wandlung zu unterscheiden!

Quantisierung

Durch die Quantisierung entsteht ein stufenförmiges Signal )(ky . Die Differenz zum origi-

nalen Signal y(t) entspricht dem Quantisierungsfehler. Nachfolgendes Bild zeigt die Quanti-sierung auf ganzzahlige Werte (schwarz) nach der Abtastung des Signals (rot).



Maßgeblich ist die Zahl der Quantisierungsstufen. Einfache Mikrocontroller bieten 8-bit-Wandler (256 Stufen), häufig werden 16-bit-Wandler (65 536 Stufen) und für anspruchsvolle Aufgaben 24-bit-Wandler (16 777 216 Stufen) verwendet.

Anmerkung: Die Zahl der Bits macht keine Aussage über die tatsächliche Genauigkeit. Prinzip bedingt oder durch Störungen können niederwertige Bits nicht zuverlässig sein.

Nachfolgend sollen einige Prinzipien zur Digital-Analog-Umsetzung vorgestellt werden:

Parallele Wandler

Die analoge Eingangsspannung uE wird parallel mit mehreren Referenzspannungen verglichen. Die Referenzspannungen können in äquidistanten Spannungsschritten durch einen Spannungsteiler zur Verfügung gestellt werden (s. Bild). Für den Vergleich werden Komparatoren verwendet.

Ermöglicht eine schnelle Wandlung. Das Prinzip ist aber auf-wendig, da für n Quantisierungsstufen n–1 Komparatoren benötigt werden.

Serielle Wandler

Die analoge Eingangsspannung uE wird mit dem Ausgang uref eines Digital-Analog-Umsetzers vergleichen. Zum Vergleich dient wiederum ein Komparator. Auf Basis des Vergleichsergeb-nisses sorgt eine Steuerung dafür, dass der digitale Zahlenwert nachgeführt wird. Es entsteht eine rückgekoppelte Struktur:



Zu Nachführung kann im einfachsten Fall ein Zähler verwendet werden (Nachlauf-Umsetzer). Etwas schneller arbeitet die Steuerung nach dem Wägeprinzip: Es werden Zahlenwerte ( = Wägestücke) in gestuften Größen z.B. 20, 21, 22, 23, … so ausgewählt, dass eine best-mögliche Übereinstimmung zwischen uE und uref gefunden wird.

Serielle Wandler sind weniger aufwendig, arbeiten aber langsamer.

Wandler mit Zeitbasis

Grundidee ist, dass die Eingangsspannung uE in ein Zeitintervall gewandelt wird. Zeiten las-sen prinzipiell präzise messen und dann in einen Zahlenwert umwandeln.

Die Umwandlung von uE in ein Zeitintervall kann über das Laden eines Kondensators oder über den Vergleich mit einem Sägezahn-Signal (s. Bild) erfolgen. Mit Hilfe eines Taktes und eines Zählers wird die Länge des Intervalls in den Zahlenwert umgewandelt.

Delta-Sigma-Wandler

Das Eingangssignal uE wird mit dem Ausgang eines 1-bit Digital-Analog-Umsetzers verglei-chen (der entweder die untere oder die obere Grenze des Wertebereichs ausgibt). Diese Differenz wird auf einen Integrator gegeben und anschließend durch einen Komparator in einen binären Bitstrom gewandelt. Dieser (hochfrequente) Bitstrom entspricht im zeitlichen Mittel dem digitalisierten Eingangssignal. Ein nachgeschaltetes digitales Filter erzeugt eine entsprechende (niederfrequente) digitale Zahldarstellung.

9. Messfehler und deren Korrektur Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-1


9 Messfehler und deren Korrektur

9.1 Grundlagen zu Messfehlern

Die Genauigkeit eines Messgerätes ist kein klar definierter Begriff, sondern beschreibt als Oberbegriff den Grad der Übereinstimmung zwischen dem angezeigten und dem wahren Messwert. Er setzt sich zusammen aus:

• Präzision: Unter gleichen Bedingungen werden gleiche Messwerte erreicht (geringe Streuung)

• Richtigkeit: Der Messwert entspricht (im Mittel) dem wahren oder richtigen Wert

Nachfolgend sind Kombinationen unterschiedlicher Präzision und Richtigkeit an einem zwei-dimensionalen Beispiel dargestellt:

Fehler

Der Fehler quantifiziert die Abweichung zwischen gemessenem Wert ym und wahrem Wert y. Man unterscheidet den absoluten Fehler

yye m −=

und den relativen Fehler

yyy

e mr

−= .

Vom Hersteller eines Messgerätes wird der maximale Fehler unter Normalbedingungen an-gegeben. Diese spezifizieren die Bedingungen, unter denen die Messung durchzuführen ist (z.B. Messbereich, Temperaturbereich).



Fehlerursachen

Es kann unterschieden werden, ob die Fehlerursachen bekannt oder unbekannt sind:

• Systematische Fehler: Die Ursache des Fehlers ist bekannt. Mit entsprechendem Auf-wand ist damit prinzipiell eine Kompensation des Fehlers möglich.

• Zufällige Fehler: Die Ursache des Fehlers ist nicht bekannt, daher zeigt das Messer-gebnis eine „zufällige“ Streuung.

Diese Unterteilung ist insofern willkürlich, als mit erhöhtem Aufwand die Ursachen für zufäl-lige Fehler gefunden werden könnten und sie dann zu systematischen Fehlern würden.

Folgende Fehler können entlang der Messkette auftreten [aus: Puente León, Messtechnik]:

• Innere Störgrößen: Störgrößen treten im Messgerät selbst auf, z.B. verändern sich Parameter durch Alterung oder Verschleiß, thermische Drift durch Erwärmung des Gerätes, physikalisch bedingtes (z.B. thermisches) Rauschen von internen Signalen

• Äußere Störgrößen: Störung des Messgerätes durch äußere Einflüsse. Dies könnte eine äußere Wärmestrahlung sein oder elektromagnetische Felder (z.B. ein Netz-brummen von 50 Hz).

• Fehler durch Rückwirkung: Die Messeinrichtung benötigt für den Messvorgang eine Leistung, die dem Prozess entzogen wird. Dadurch verursacht der Messvorgang eine Störung des eigentlichen Prozesses. Ziel ist es daher, die benötigte Leistung mög-lichst gering zu halten.

• Fehler durch Modellvereinfachungen: Wird die Messung im Kontext eines Modells interpretiert, können Modellvereinfachungen (Linearisierung, reduzierte Ordnung) zu Abweichungen führen.

• Dynamische Fehler: Abweichungen durch das Zeitverhalten des Messsystems. Im einfachsten Fall muss z.B. abgewartet werden, bis sich ein stationärer Endwert ein-gestellt hat.

• Beobachtungsfehler: Fehler beim Ablesen oder Bedienen des Messgerätes durch den Nutzer.

9.2 Zufällige Messfehler

Zufällige Messfehler können insbesondere durch innere und äußere Störgrößen hervorgeru-fen werden und reduzieren die Präzision einer Messung.

Korrektur: Mittelwertbildung

Die Messung wird unter gleichen Versuchsbedingungen wiederholt. Anschließend wird der Mittelwert über die m durchgeführten Messungen gebildet. Dieser hat eine geringere Streu-ung (und damit eine bessere Präzision) als die Einzelmessung:

∑=

=m

iim y

my

1

1



Stochastische Interpretation

Die Störgröße und dadurch auch die Messgröße yi werden als stochastische Variable aufge-fasst. Deren exakter Wert ist nicht bekannt, eine Verteilungsfunktion definiert die Wahr-scheinlichkeit, mit der ein spezieller Wert eingenommen wird.

Durch die Messung wird eine Stichprobe mit m Elementen gewonnen. Der Stichprobenmit-

telwert my ist eine Näherung des wahren, aber unbekannten Mittelwertes µ. Ebenso ist die

Stichprobenvarianz

( )∑=

−⋅−

=m

imim yy

mS

1

22

11

eine Näherung der wahren, aber unbekannten Varianz σ2. Entsprechend sind Sm bzw. σ die zugehörigen Standardabweichungen. Es steht somit zusätzlich ein Maß für die Streuung bzw. für die Präzision des Prozesses zu Verfügung.

Die Schätzung auf Basis der Stichprobe heißt erwartungstreu, falls gilt:

µ=myE und 22 σ=mSE

Der zentraler Grenzwertsatz der Stochastik sagt: Die Summe aus m stochastisch unabhän-gigen, beliebig, aber identisch verteilten Zufallsvariablen ist für m → ∞ eine normalverteilte Zufallsvariable.

Die Verteilungsfunktion normalverteilter stochastischer Variablen ist durch die Werte von µ und σ eindeutig definiert.

Dies im Grenzübergang m → ∞ auch auf den oben durch Summation berechneten Stichpro-

benmittelwert my übertragbar. Der Stichprobenmittelwert ist in diesem Fall normalverteilt,

und für die Varianz bzw. die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes gilt:

m

y m

22 σσ = bzw. σσ ⋅=

mym

1

Soll also beispielsweise die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes um den Faktor 10 reduziert werden, muss die Zahl der Messungen m um Faktor 100 erhöht werden.

9.3 Statische Messfehler

Eine Sensorkennlinie ist innerhalb des Messbereichs [ua ue] durch y=f(u) definiert. Die Emp-findlichkeit im Punkt u0 ist die Steigung dieser Kennlinie:

0u

)(f)( 0u

uuS∂

∂=

Eine ideale Sensorkennlinie y=f(u) weist innerhalb des Messbereichs [ua ue] lineares Verhal-ten auf. Für die Empfindlichkeit gilt dann im gesamten Messbereich:

ae

ae

uuyy

S−−

= mit )(f aa uy = und )(f ee uy =



Folgende statische Messfehler können auftreten:

• Statt der idealen linearen Kennlinie besitzt der Sensor eine nichtlineare Kennlinie. Dadurch entsteht eine Abweichung (Differenz zwischen roter und blauer Kennlinie im Bild) und die Empfindlichkeit weicht lokal ab.

• Es können Hysterese-Effekte auftreten, d.h. er Verlauf der Kennlinie unterscheidet sich abhängig davon, in welcher Richtung (wachsendes oder fallendes u) sie durch-laufen wird. Im Bild ist dies blau gestrichelt dargestellt.

• Durch eine innere oder äußere Störung oder eine Rückwirkung kann der Verlauf der Kennlinie verändert werden. Im Bild ist die Verschiebung der nichtlinearen Kennlinie (blau) um einen konstanten Wert („Offset“) als grüne Kennlinie dargestellt.

Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: inverse Sensorkennlinie

Prinzipiell kann ein Kennlinienverlauf f(u) durch ihre Inverse f–1(y) kompensiert werden. Dazu muss die Kennlinie eindeutig und nicht zu „flach“ oder zu „steil“ sein. Die Inverse kann als Kalibrierkurve in der dem Sensor nachgeordneten Signalverarbeitung abgelegt werden.

Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: Optimierung des Messbereichs

Nimmt man die Kennlinie des Sensors auf, lässt sich zunächst analysieren, in welchem Be-reich die Kennlinie ein ausreichend lineares verhalten aufweist. Ist dies groß genug, kann der Sensor so abgestimmt werden, dass er nur in diesem Bereich betrieben wird.

Ein Beispiel dazu ist die Herabsetzung des Messereichs durch einen proportionalen Vorfaktor S0 < 1. Damit das Gesamtübertragungsverhalten wieder stimmt wird am Sensorausgang mit S1 = S0–1 korrigiert:



Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: Differenzmethode

Der Messeffekt ∆u wirkt zum einen positiv auf einen Sensor und zum anderen negativ auf zweiten, bauglei-chen Sensor. Von beiden Sensorausgängen wird die Differenz gebildet (s. Blockschaltbild). Dadurch kann ein nichtlineares Verhalten der Einzelsensoren kom-pensiert werden.

Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: Rückkopplung

Eine nichtlineare Kennlinie kann über ein lineares Übertragungsglied rückgekoppelt werden:

Entsprechend dem Blockschaltbild gilt für das Übertragungsverhalten des Gesamtsystems:

uvSK

vSKy

)(1)(

0

0

+=

Wird die Verstärkung K0 sehr groß gewählt, gilt K0 S(v) >> 1 und damit im Grenzübergang u = y.

Voraussetzung für dieses Konzept ist allerdings, dass die Messeinrichtung eine Kompensation des Messgröße u ermöglicht!

Korrektur einer Störung

Die beiden letztgenannten Methoden können auch zur Reduktion von Störeinflüssen verwen-det werden.

• Differenzmethode: Wirkt die Störung gleichsinnig auf beide Sensoren, so ist dies eine sehr effiziente Methode, die Wirkung der Störung zu kompensieren.

• Rückkopplung: Dadurch kann die Wirkung einer Störung reduziert werden. Es hängt allerdings davon ab, wo die Störung wirkt (siehe auch Abschnitt 10.4).

Ist darüber hinaus die Störung explizit messbar, kann sie separat erfasst und anschließend (numerisch) direkt kompensiert werden. Im Kontext von Steuerungen wird dies auch später in Abschnitt 12.3 betrachtet.



Korrektur von Rückwirkungen

Um die Rückwirkung eines Messeingriffs auf den Prozess und die damit verbundenen Fehler zu reduzieren, muss die Leistungsentnahme zur Messung verringert werden. Dies kann z.B. durch einen Messverstärker erfolgen.

Beispiel: Messung eines elektrischen Stroms

Soll beispielsweise ein elektrischer Strom gemessen werden, wird ein ohmscher (Shunt-)Wi-derstand zusätzlich in den Stromkreis eingebracht. Es wird die Spannung an diesem Wider-stand gemessen, die proportional zum gesuchten Strom ist. Allerdings reduziert der Shunt-Widerstand den ursprünglichen Stromfluss (=Rückwirkung). Ein Messverstärker z.B. auf Ba-sis einer OP-Schaltung könnte sehr kleine Spannungen auflösen, so dass ein sehr kleiner Shunt-Widerstand mit entsprechend geringer Rückwirkung verwendet werden kann.

9.4 Dynamische Messfehler

Häufig ist stellt der Sensor für sich ein dynamisches System dar. Im linearen und zeitinvari-anten Fall kann die Sensordynamik durch eine Übertragungsfunktion GM(s) beschrieben wer-den. Ein idealer Sensor besitzt keine Dynamik

1)( =sGM ,

ein realer wird eine (unerwünschte) Sensordynamik besitzen, die z.B. zu einer Verzögerung oder zu einem Schwingen des Messsignals führt. Als Faustregel gilt, dass die Sensordynamik um Faktor 10 („eine Größenordnung“) schneller als die Dynamik der Strecke sein sollte. Dann kann der Einfluss der Sensordynamik in Bezug auf die Strecke vernachlässigt werden.

Auch äußere oder innere Störungen können zu dynamischen Messfehlern führen. Als Modell kann man annehmen, dass das gemessene Signal aus der Überlagerung eines idealen (un-bekannten Signals y0(t) und einer Störung z(t) entsteht:

)()()( 0 tztyty +=

Für z(t) kann der Frequenzgang Z(jω) bestimmt werden. Man kann auf dieser Basis z.B. niederfrequente und hochfrequente Störungen unter-scheiden.

Beispiel: Intertialsensor

Um eine Beschleunigung messen zu können, wird die Kraftwirkung auf eine bekannte Probemasse bestimmt. In einem Mikrosystem (siehe Bild) wird die Probe-masse an einer Feder (mit bekannter Federkonstante) gelagert und die Federauslenkung durch einen kapazi-tiven Wegaufnehmer gemessen.

Das gemessene Signal y(t) hat z.B. folgenden Verlauf:



Korrektur: Optimierung der Sensordynamik

Als erste Korrekturmaßnahme sollte geprüft werden, ob z.B. durch eine konstruktive Ände-rung des Sensors seine Dynamik verbessert werden kann. So führen z.B. geringere Massen zu einer schnelleren Dynamik, oder eine Dämpfung kann eingeführt werden, um Schwingun-gen schneller abklingen zu lassen.

Beispiel: Intertialsensor (Fortsetzung)

Im Fall des Inertialsensors erkennt man eine starke Schwingungsneigung. Durch eine Erhö-hung der Dämpfung um Faktor 5 erreicht man das im Bild gezeigte aperiodische Verhalten des Sensors.



Korrektur: Inverse Sensordynamik

Sind die Möglichkeiten zur Optimierung der Sensordynamik ausgeschöpft, kann im Rahmen der nachfolgenden Signalwandlung eine Korrektur mit Hilfe einer in Reihe geschalteten Kor-rekturdynamik GK(s) erfolgen. Um insgesamt eine ideale Sensordynamik zu erreichen muss gelten:

)(1)(1)()(

sGsGsGsG

MKKM =⇒=⋅

Die Korrekturdynamik entspricht also der inversen Sensordynamik. Zu beachten, dass GK(s) häufig differenzierendes Verhalten aufweist und daher auch eine mögliche Störung z stark verstärkt. Besitzt der Sensor Totzeit-Verhalten, ist die Korrekturdynamik nicht kausal und damit nicht realisierbar.

Korrektur: Filterung zur Unterdrückung von Störungen

Hochfrequente Störungen (Rauschen) können durch einen Tiefpass (z.B. PT1-Glied) als Kor-rekturdynamik reduziert werden. Analog können niederfrequente Störungen durch einen Hochpass (z.B. PD1-Glied) herausgefiltert werden.

Beispiel: Intertialsensor (Fortsetzung)

Das Messsignal des optimierten Inertialsensors wird mit einem PT1-Glied mit der Übertra-gungsfunktion

ms1,T11)( =

+= K

KK T

ssG

korrigiert. Das Bild zeigt den Signalverlauf mit reduziertem Rauschen, allerdings ist das Sig-nal dadurch leicht verzögert (z.B. Anstieg direkt nach t = 0 ms).

10. Dynamische Korrektur Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 10-1


Teil C: Regelungssysteme

10 Aufbau von Regelungssystemen Wie kann das dynamische Verhalten eines gegebenen Systems gezielt beeinflusst werden? Dazu muss eine dynamische Korrektur entworfen werden, deren Ziel es z.B. ist, ein instabiles System zu stabilisiert oder ein zu langsames Systemverhalten zu beschleunigen.

Im Folgenden werden geeignete Strukturen zur dynamischen Korrektur eingeführt (Ab-schnitte 10.1 bis 10.3), um dafür Entwurfsziele formulieren zu können (Abschnitte 10.4 und 10.5), die in den folgenden Kapiteln 11, 12 und 13 benötigt werden.

10.1 Struktur einer Regelung Beispiel 10-1: Wohnraumheizung

Nebenstehend ist das Wirk-schaltbild einer Wohnraum-heizung dargestellt.

Der Heizungsthermostat regelt den Warmwasser-Zufluss in den Heizkörper in einem Zimmer. Durch die temperaturproportionale Ausdehnung einer Bimetall-feder und durch ein Handrad wird über eine Wippe die Ventilstellung vorgegeben. Aufgabenstellung:

a) Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieser Wohnraumheizung. Verwenden Sie dazu die Begriffe „Handrad des Thermostaten“, „Bimetallfeder“, „Wippe“, „Ventil und Heizkör-per“, „Wohnraum“ und „Fenster“.

b) Bezeichnen Sie die Blöcke mit den passenden regelungstechnischen Begriffen.

c) Bezeichnen Sie die Signale mit den passenden regelungstechnischen Begriffen und ihren physikalischen Größen (z.B. Strom, Druck, usw.).

Der Standard-Regelkreises

Das vorstehende Beispiel führt auf die Struktur des Standard-Regelkreises, welcher im nach-folgenden Blockschaltbild dargestellt ist. Diese Struktur stellt eine Detaillierung des bereits aus Abschnitt 1.1 bekannten Regelkreises dar.

zu

aufkalt

warmHandrad

Fenster

Bimetallfeder

Ventil

Heizung

Wand



Regelung

Begriffsdefinition nach DIN IEC 60050-351:

„Vorgang, bei dem fortlaufend eine variable Größe, die Regelgröße erfasst, mit einer anderen variablen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Füh-rungsgröße beeinflusst wird. Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsab-lauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst be-einflusst.“

In dieser Struktur ist es prinzipiell möglich, ein Angleichen von Regel- und Führungsgröße zu erreichen und darüber hinaus den Folgen von Störungen oder unbekanntem Streckenver-halten entgegenzuwirken. Damit ist sie für eine dynamische Korrektur gut geeignet. Aller-dings kann der Regler nur reagieren: Es muss erst eine Regeldifferenz auftreten, damit der Regler aktiv wird.

10.2 Struktur einer Steuerung

Verzichtet man im Vergleich zur Regelung auf die Rückführung der Regelgröße, gelangt man zu einer einfacheren Struktur, der offenen Wirkungskette. Dies zeigt das nachstehende Blockschaltbild in schwarzer Farbe:

An die Stelle des Reglers ist jetzt die Steuereinrichtung getreten. Im Englischen werden Regler und Steuereinrichtung gleichermaßen als Controller bezeichnet, und man kann zur Unterscheidung in feedback controller bzw. feed forward controller unterscheiden.

In blauer Farbe wurde im Blockschaltbild zusätzlich ein Sensor für die Störung z ergänzt, so dass die messbare Störung z* auch an die Steuerungseinrichtung gegeben werden kann. Somit ist es der Steuereinrichtung auch prinzipiell möglich, messbare Störungen zu kompen-sieren.



Offenbar ist es in dieser Struktur nicht möglich, auf Störungen oder unbekanntes Strecken-verhalten zu reagieren, da die Ausgangsgröße y nicht erfasst wird. Kennt man aber die Stre-cke in ihrem dynamischen Verhalten genau, kann die Steuerungseinrichtung gezielte Vorga-ben für die Stellgröße u machen. Die Struktur der Steuerung ist somit für eine direkte und schnelle dynamische Korrektur geeignet.

10.3 Zwei-Freiheitsgrade-Struktur

Die beiden letzten Abschnitte haben gezeigt, dass Regelung und Steuerung jeweils Vor- und Nachteile haben. Je nach Aufgabenstellung kann die Kombination beider Ansätze zur dyna-mischen Korrektur sinnvoll sein. Dies ist in folgendem Blockschaltbild dargestellt und wird als Zwei-Freiheitsgrade-Struktur bezeichnet.

Regelung und Steuerung sind darin überlagert. Um eine Abstimmung zwischen Steuerein-richtung und Regler erreichen zu können, gibt die Steuereinrichtung eine Referenzgröße w* an den Soll-Istwert-Vergleich der Regelung weiter.

Beispiel 10-1: Wohnraumheizung (Fortsetzung)

Aufgabenstellung:

d) Was könnte im Beispiel der Wohnraumheizung eine messbare Störung darstellen? Die Regelung wird zu einer 2-Freiheitsgrade-Struktur erweitert. Welche Aufgabe kann die Steuereinrichtung übernehmen?



10.4 Führungs- und Störverhalten

Betrachtet man die Blockschaltbil-der von Regelung, Steuerung und 2-Freiheitsgrade-Struktur in den vorstehenden Abschnitten, so ist al-len gemein, dass sie mit der Füh-rungsgröße w und der Störung z zwei Eingänge besitzen, die auf den Ausgang der Regelgröße y wirken.

Die Wirkung der Führungsgröße w auf die Regelgröße y soll als Führungsverhalten GW(s), die Wirkung der Störung z auf die Regelgröße y soll als Störverhalten GZ(s) bezeichnet. Welches Führungs- bzw. Störverhalten soll von der dynamischen Korrektur eingestellt werden? Dies wird nachfolgend analysiert.

Führungsverhalten

Die Regelgröße y(t) soll der Führungsgröße w(t) möglichst gut folgen! Für ein ideales Füh-rungsverhalten müsste

1)( =sGW

gelten. Gilt zumindest für eine konstante Führungsgröße w

wtyt

=∞→

)(lim ,

wird das Gesamtsystem als stationär genau bezeichnet.

Zur Betrachtung des Führungsverhaltens wird eine verschwindende Störung z(t) = 0 ange-nommen. Für die Struktur der Regelung gilt

und die Führungsübertragungsfunktion ist

)(1)(

)()()(

0

0

sGsG

sWsYsGW +

== mit )()()( SR0 sGsGsG = .

Darin ist G0(s) die Übertragungsfunktion des offenen Kreises.

Für die Steuerung gilt entsprechend

und die Führungsübertragungsfunktion ist

)()()( SV sGsGsGW = .



Störverhalten

Die Störung z(t) soll möglichst keine Wirkung auf die Regelgröße y(t) haben! Für ein ideales Störverhalten müsste daher

0)( =sGZ

gelten. Auch das wird häufig nicht realisierbar sein, so dass man auch hier abgeschwächt fordern kann, dass die Regelung stationär genau arbeitet und zumindest bei einer konstanten Störung z und für ∞→t keine bleibende Wirkung der Störung auf die Regelgröße y erfolgen sollte.

Eine dynamische Korrektur, die so entworfen wurde, dass eine Störung nur geringe Wirkung auf die Regelgröße hat, wird allgemein als robust bezeichnet.

Zur Ermittlung des Störverhaltens kann angenommen werden, dass die Führungsgröße ver-schwindet: w(t) = 0. Für die Regelung wird der Fall von zwei additiven Störungen z1(t) und z2(t) betrachtet:

Die Störübertragungsfunktionen des geregelten Systems sind

)(1)(

)()()(

011 sG

sGsZsYsG S

Z +== mit )()()(0 sGsGsG SR=

bzw.

)(11

)()()(

022 sGsZ

sYsGZ +== mit )()()( SR0 sGsGsG = .

Wird die Steuerkette in analoger Weise von zwei additiven Störungen überlagert

so gilt

)()()()( S

11 sG

sZsYsGZ ==

bzw.

1)()()(

22 ==

sZsYsGZ .

Man erkennt, dass sowohl in der Regelung als auch in der Steuerung die Störübertragungs-funktionen nicht unmittelbar verschwinden. Während man aber bei der Regelung durch die Gestaltung von GR(s) Einfluss nehmen kann, sind die Störübertragungsfunktionen im Fall der Steuerung unabhängig von GR(s).



10.5 Zusammenfassung der Entwurfsziele

Die Forderungen für das dynamische Verhalten einer Korrektur lassen sich in den folgenden Punkten zusammenfassen [vgl. Föllinger, Regelungstechnik]:

Grundforderungen sind:

(I) Das Gesamtsystem muss stabil sein.

(II) Das Gesamtsystem muss stationär genau arbeiten, d.h.

a. die Regelgröße entspricht der Führungsgröße im eingeschwungenen Zustand (Führungsverhalten, Abschnitt 10.4) und

b. eine Störung führt zu keiner bleibenden Regelabweichung (Störverhalten, Ab-schnitt 10.4).

Erweiterte dynamische Forderungen sind:

(III) Das Gesamtsystem muss genügend gedämpft sein, d.h. es soll nicht zu stark schwin-gen.

(IV) Das Gesamtsystem muss eine gute Dynamik besitzen, d.h. es soll nicht zu langsam reagieren.

Die letzte Forderung ergibt sich mit Blick auf eine praktische Umsetzung:

(V) Die dynamische Korrektur muss realisierbar sein, d.h. insbesondere:

a. Das Übertragungsverhalten muss kausal sein (z.B. keine „negative Totzeit“),

b. Das Übertragungsverhalten sollte nicht stark differenzierend sein (verstärkt Rauschanteile eines Signals).

c. Die ausgegebene Stellgröße sollte den erlaubten Wertebereich nicht über-schreiten (Stellgrößenbegrenzung).

Die Erfüllung der Forderungen stellt häufig einen Zielkonflikt dar. Durch die Wahl eines ge-eigneten Reglers bzw. einer geeigneten Steuereinrichtung muss ein Kompromiss gefunden werden.

11. Reglerentwurf Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-1


11 Entwurf des Reglers Aufbauend auf die in Abschnitt 10.1 eingeführte Struktur einer Regelung sollen Verfahren zum Entwurf des Reglers GR(s) eingeführt werden.

11.1 Struktur des PID-Reglers

Parallelschaltung eines proportionalen, integrierenden und differenzierenden Regelgliedes führt zur Struktur des PID-Reglers:

Übertragungsfunktion

ssTsT

TK

ssTTsT

TK

sTsT

KsGI

RDII

I

RD

IRR

)1()1(111)( 212 ++

=++

=

++=

mit DI TTTT ⋅=⋅ 21 , ITTT =+ 21 und der Zuordnung 21 TT > .

Das System besitzt differenzierendes Verhalten. Um den Regler besser realisieren zu können (Forderung V), ist die Erweiterung des (idealen) PID-Reglers um eine Nennerzeitkonstante zum realen PID-Regler sinnvoll:

)1()1()1(

)( 21

sTssTsT

TK

sGNI

RR +

++=

Bode-Diagramm

P-Regler: Je größer die Regeldifferenz, desto größer die Stellgröße.

I-Regler: Lang andauernde Regeldifferen-zen werden integriert, so dass die Stellgröße mit der Zeit anwächst (→ stationär genaues Führungsverhalten).

D-Regler: Sobald die Regeldifferenz sich ändert, wird eine Stellgröße erzeugt (→ schnelle Reaktion).



11.2 Empirische Einstellregeln nach Ziegler und Nichols

Voraussetzung: Die empirischen Einstellregeln nach Ziegler und Nichols sind für Strecken mit rein aperiodischem Verzögerungsverhalten geeignet, die sich durch Verzögerungsverhal-ten evtl. in Kombination mit einer Totzeit näherungsweise modellieren lassen:

stTSS e

sTKsG −

+≈

1)(

Solche Strecken finden sich beispielsweise in verfahrenstechnischen Prozessen (z.B. thermi-sche Vorgänge).

Methode 1: Streckenidentifikation durch Betrieb im grenzstabilen Bereich

Die über einen P-Regler rückgekoppelte Strecke wird im grenzstabilen Bereich betrieben. Aus diesem Experiment heraus werden die Reglerparameter bestimmt, ohne dass ein expli-zites Streckenmodell vorliegt. Man geht wie folgt vor:

1. Die Strecke wird zunächst mit einem reinen P-Regler betrieben.

2. Die Verstärkung KR dieses P-Reglers wird solange vergrößert, bis der geschlossene Regelkreis Dauerschwingungen ausführt. Die dabei eingestellte Reglerverstärkung wird mit KRkrit bezeichnet.

3. Die Periodendauer Tkrit der Dauerschwingung wird gemessen.

4. Man bestimmt aus KRkrit und Tkrit mit Hilfe nachstehender Tabelle die Reglerparameter.

Reglertyp Reglerparameter

KR TI TD

P-Regler RR KsG =)(

0,5 KRkrit – –

PI-Regler

+=

sTKsG

IRR

11)( 0,45 KRkrit 0,85 Tkrit –

PID-Regler

++= sT

sTKsG

DI

RR11)(

0,6 KRkrit 0,5 Tkrit 0,12 Tkrit

Allerdings kann der experimentelle Betrieb der Strecke gefährlich oder unmöglich sein. Dann ist die folgende Methode zu bevorzugen.

Methode 2: Streckenidentifikation durch Sprungantwort

Es wird die Sprungantwort der Strecke aufgezeichnet. Im Vergleich zur nachstehend darge-stellten Sprungantwort der idealen Strecke

stTSS e

sTK

sG −

+=

1)(

werden die Streckenparameter KS, T, Tt abgelesen.



Nachstehende Tabelle zeigt empirisch gefundene Reglereinstellwerte, die zu einem schnellen und mäßig überschwingendem Einschwingverhalten des geschlossenen Regelkreises führen (Lunze, Regelungstechnik 1).

Reglertyp Reglerparameter

KR TI TD

P-Regler RR

KsG =)( tS T

TK1 – –

PI-Regler

+=

sTKsG

IRR

11)( tS TT

K9,0 tT33,3 –

PID-Regler

++= sT

sTKsG

DI

RR11)( tS T

TK

2,1 tT2 tT5,0

Beispiel 11-1: Entwurf eines PI-Reglers nach Ziegler und Nichols

Für eine Strecke besitzt die folgende Übertragungsfunktion und Sprungantwort:

( )311)(+

=s

sGS

Bestimmen Sie Reglerparameter eines PI-Reglers nach Ziegler und Nichols mit den Methoden 1 und 2.



11.3 Reglerentwurf auf Basis des Bode-Diagramms

Im offenen Kreis wird die zu entwerfende Reglerübertragungsfunktion GR(s) in Reihe zur bekannten Streckenübertragungsfunktion GS(s) eingeführt. Das Bode-Diagramm des Reglers (z.B. siehe Seite 11-1, unten) wird dem der Strecke superponiert, so dass man das Bode-Diagramm des offenen Kreises erhält. Ziel ist es daher, einen Regler so zu entwerfen, dass die Forderungen an den Regelkreis (Abschnitt 10.5) im Ganzen erfüllt werden:

• Um stationäre Genauigkeit zu erreichen, muss erforderlichen falls zunächst ein I-Anteil im Regler eingeführt werden (Forderung II)

• Erfüllen des Nyquist-Kriteriums (Forderung I)

• Zusätzlich Einstellen einer Phasenreserve (Forderung III)

• Eine möglichst hohe Durchtrittsfrequenz ωD (Forderung IV)

Die entsprechende Vorgehensweise lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Ist die zu regelnde Strecke GS(s)stabil?

Besitzt die zu regelnde Strecke GS(s)einen I-Anteil?

ja

nein alternativer Regerentwurf! z.B. durch die Wurzelortskurve oder durch Polvorgabe

kein I-Anteil im Regler GR(s)notwendig, z.B. P-, PD-Regler

I-Anteil durch Regler GR(s)ergänzen, z.B. PI-, PID-Regler

ja nein

Hohe dynamische Anforderungen andas geregelte System?

kein D-Anteil notwendig,z.B. P-, PI-Regler

D-Anteil im Regler GR(s) sinnvoll, z.B. PD-, PID-Regler

nein ja

Zeitkonstanten des Reglers so wählen, dass Durchtrittsfrequenz ωD möglichst hoch liegt,

z.B. durch Kompensation der größten Streckenzeitkonstanten

Reglerverstärkung so einstellen, dass die gewünschte Phasenreserve ϕR = 30°...70° eingehalten wird

Des

ign

der

Reg

lers

trukt

ur

Des

ign

der

Reg

lerp

aram

eter



φ (ω)

A(ω)dB

+20

0

–20

–40

–60

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 0,01 0,1 1 10 100

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 0,01 0,1 1 10 100



Beispiel 11-2: Reglerentwurf auf Basis des Bode-Diagramms

Entwerfen Sie für eine Strecke mit der Übertragungsfunktion

( ) ( ) ( )ssssG

21511011,0)(S +++

=

einen geeigneten Regler als realen PD- oder PID-Regler mit Hilfe des Bode-Diagramms, der eine Phasenreserve von 50° einstellt.

Beispiel 11-3: Regelung einer Maschinenachse

Eine fremderregte Gleichstrommaschine bewegt über einen Spindelvortrieb den Schlitten einer Maschinenachse an, siehe Bild:

Es soll eine Regelung entwickelt werden, welche den Schlitten in eine gewünschte Position fährt. Dazu muss zuerst das dynamische Modell des Systems aus den physikalischen Geset-zen gewonnen werden.

Modellbildung

• Mittels der Kirchhoffschen Maschenregel lässt sich die Spannung Ua(t) im Ankerkreis der Gleichstrommaschine als Funktion des Stroms Ia(t) bestimmen:

)()()()( tedt

tdILtIRtU aa

aaaa ++=

Darin ist Ra = 20 Ω der Widerstand und La = 200 mH die Induktivität des Ankerkrei-ses1.

• Dreht sich der Antrieb, wird die Spannung ea(t) induziert:

)()( tctea ωφ=

Für das Produkt aus Maschinenkonstante und Hauptfluss der Fremderregung gilt c φ = 15 Nm/A = 15 Vs.

• Bei der verlustfreien Maschine ist dies auch der Proportionalitätsfaktor zwischen An-kerstrom und mechanischem Antriebsmoment:

)()( tIctM aa φ=

1 Entsprechend der DC-Maschine IC 410 der Firma ABB (Nennwerte: UN = 400 V, IN = 3 A, PN = 1 kW) (gerundete Werte).

Ua

Ra La

ea

Ia

φ

JMrω, Ma

ElektrischesTeilsystem

MechanischesTeilsystem

Spindel Schlitten

y



• Dem Antriebsmoment steht ein Reibmoment gegenüber, das proportional zur Win-kelgeschwindigkeit angenommen wird:

)()( tKtM mr ω=

• Die Momentenbilanz ist

)()()( tMtMdt

tdJ ra −=ω

mit dem Trägheitsmoment J = 10 kg m2.

• Mit der Steigung Ks = 0,005 m/rad der Spindel gilt schließlich für die Position des Schlittens:

∫=t

s dKty0

)()( ττω

Blockschaltbild (in Simulink)

Alle Größen werden auf SI-Basiseinheiten normiert. Die Modellparameter werden wie folgt definiert:

Ra = 20.0; % Ankerwiderstand in Ohm La = 200.0e-3; % Ankerinduktivität in Henry cPhi = 15.0; % (Maschinenkonstante * Hauptfluss) in Nm/A = s V J = 10.0; % eff. Trägheitsmoment von Motor & Spindel in kg m^2 Km = 2.0; % Reibkraftkoeffizient in Nm s Ks = 0.005; % Steigung (einschl. Getriebeübersetzung) in m/rad

Für dieses System soll nun ein Regler auf Basis des Bode-Diagramms mit einer Phasenre-serve von 45° entworfen werden:

• Aus den vorstehenden Gleichungen oder aus dem Blockschaltbild lässt sich folgende Übertragungsfunktion bestimmen:



ssssGS 5,1322,100

0375,0)( 23 ++=

• Das System ist einfach integrierend (Faktor s kann im Nenner ausmultipliziert wer-den). Daher ist kein I-Anteil im Regler erforderlich.

• Für die Regelung der Maschinenachse ist eine gute Dynamik sinnvoll, wir wählen da-her einen PD-Regler:

( )sTKsG RRR += 1)(

• Durch die Zählerzeitkonstante des PD-Reglers kann die größte Streckenzeitkonstante kompensiert werden. Faktorisierung des Nenners von GS(s) ergibt:

( ) ( ) ( ) ( )sssssssGS 7463,010101.01

108308,234,186,98

0375,0)(4

++⋅

=++

=−

• Für den offenen Kreis gilt mit TR = 0,7463 dann

( )ssKsGsGsG R

SRO 0101.01108308,2)()()(

4

+⋅

==−

.

• Für )(sGO ist nun das Bode-Diagramm zu zeichnen. Dazu muss KR beliebig, aber

fest gewählt werden. Häufig wählt man KR = 1, hier ist KR = 104 zur Darstellung besser geeignet:

Im Phasenverlauf ist abzulesen, dass für die Durchtrittsfrequenz ωD = 98,9 gelten muss. Im Amplitudenverlauf liest man AdB(ωD) = –30,86 dB ab. Damit ωD wirklich zur Durchtrittsfrequenz wird, muss die Amplitude um KR = +30,86 dB = 34,9 angehoben werden. Damit ist der PD-Regler vollständig bestimmt:

( )ssGR 7463,011034,9)( 4 +⋅=



11.4 Algebraischer Reglerentwurf durch Polvorgabe Idee Wie in Kapitel 6 bereits analy-siert wurde, bestimmt die Lage der Pole eines Systems nicht nur seine Stabilität, sondern auch seine wesentlichen dyna-mischen Eigenschaften. Wo sollten also die Pole des über den Regler geschlossenen Re-gelkreises idealer Weise lie-gen?

Möchte man die Forderungen an den Regelkreis (Abschnitt 10.5) erfüllen, erhält man per Ausschluss nebenstehenden Sektor.

Gesucht ist also eine Regler-Übertragungsfunktion GR(s), die in Reihe mit der Strecke GS(s) den offenen Kreis bildet GO(s) und die Pole des geschlossenen Kreises GW(s) auf gewünschte Positionen innerhalb des Sektors legt. Dieses Entwurfsverfahren wird als Polvorgabe bezeich-net.

Entwurf

Auf Basis der Polvorgabe ist jetzt die Berechnung des Reglers zu formulieren und zu lösen. Die Übertragungsfunktionen von Strecke und Regler sind teilerfremde, gebrochen rationale Polynome:

Strecke: 01

01

)()()(

asasabsbsb

sAsBsG

nn

nn

S++

++==

Regler: 01

01

)()()(

cscscdsdsd

sCsDsG

R

R

nn

nn

R++

++==

Das charakteristische Polynom p(s) des geregelten Systems lautet:

)()()()()( sDsBsCsAsp +=

Es hat die Ordnung n+nR. Die Pole von p(s) sollen jetzt einer Vorgabe pR(s) entsprechen. Die Pole dieses charakteristischen Polynoms werden innerhalb eines gewünschten Sektors (s. oben) vorgegeben:

01,2,1, )()()()(!

)( pspspssssssspsp RRR

nnnnnnRRRR ++=−−−== +

++

Aus dieser Bedingung werden die Koeffizienten in D(s) und C(s) für den gesuchten Regler zu bestimmen.

Unter welchen Voraussetzungen kann auf diese Weise ein Regler gefunden werden? Setzt man voraus, dass die Strecke ein reales System mit bn = 0 ist und dass der Regler die Ordnung nR = n – 1 besitzt, so sind in D(s) und C(s) jeweils n Koeffizienten zu bestimmen.



Das Polynom p(s) besitzt dann die Ordnung n+nR = 2n – 1. Führt man einen Koeffizienten-vergleich durch, stehen (mit dem absoluten Glied) 2n Gleichungen für 2n Unbekannte zur Verfügung.

Mit Hilfe der Sylvestermatrix M kann das Ergebnis als Lösung des folgenden linearen Glei-chungssystems bestimmt werden:

=

⋅

−

−

−

−−

0

12

0

1

0

1

00

1010

01

00

00

p

p

d

dc

c

M

ba

bbaabbaa

ba n

n

n

nn

nn

nn

Wenngleich der so gefundene Regler die für den geschlossenen Kreis vorgegebenen Pole einstellt, neigt der Regler je nach Polvorgabe zu starkem Überschwingen und zu großen Stellgrößen. In diesem Fall sollten die (stabilen) Pole der ungeregelten Strecke nicht zu stark verschoben werden oder z. T. direkt in die Vorgabe übernommen werden.

12. Entwurf der Steuerungseinrichtung Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 12-1


12 Entwurf der Steuerungseinrichtung Im Sinne der in Abschnitt 10.3 vorgestellten Zwei-Freiheitsgrade-Struktur soll nachfolgend der Entwurf der Steuerungseinrichtung diskutiert werden.

12.1 Trajektorienplanung

Bei einer raschen (z. B. sprungförmigen) Änderung der Führungsgröße w(t) ist es dem ge-regelten System nicht möglich, die Ausgangsgröße y(t) unmittelbar folgen zu lassen. Dadurch entstehen zeitweise sehr große Werte der Stellgröße u(t), die häufig nicht realisiert werden können.

Abhilfe schafft eine vorgeschaltete Trajektorienplanung, die eine physikalisch realisierbare Trajektorie für die Führungsgröße w*(t) vom aktuellen zu einem neuen Sollwert generiert:

12.2 Vorsteuerung

Eine Regelung reagiert nur, wenn die Regelabweichung von Null verschieden ist. Dadurch entsteht während der Bewegung der Führungsgröße w*(t) entlang der Trajektorie eine Re-gelabweichung, die auch als Schleppfehler bezeichnet wird. Kennt man die Strecke GS(s), kann diese Abweichung durch eine Vorsteuerung GV(s) kompensiert werden, so dass der Regler im idealen (störungsfreien) Fall nicht eingreifen muss (uR = 0):



Eine ideale Vorsteuerung wird durch

)(1)(

SV sG

sG =

erreicht. Allerdings ist die Inverse der Streckenübertragungsfunktion nicht immer realisier-bar. Die für Forderung V diskutierten Bedingungen müssen eingehalten werden. Daher kann z.B. eine Streckentotzeit nicht durch eine realisierbare Vorsteuerung kompensiert werden.

Häufig besitzt GV(s) differenzierendes Verhalten, so dass insbesondere Forderung Vb verletzt wird. Hier gibt es aber eine Lösung: Das Signal w* am Eingang der Vorsteuerung wird nicht gemessen, sondern von der Trajektorienplanung synthetisiert. Man kann die Trajektorien-planung daher erweitern, dass sie ebenfalls die Ableitungen der Führungsgröße ),(),( twtw

zur Verfügung stellt (siehe vorstehendes Blockschaltbild).

Weiterhin muss sichergestellt werden, dass die Vorsteuerung GV(s) ein stabiles Übertra-gungsverhalten besitzt.

Eine Realisierungsalternative, die ohne Streckeninverse auskommt, ist im nachfolgenden Blockschaltbild gezeigt:

In der Steuereinrichtung wird der geschlossene Regelkreis mit einer „Kopie“ der Strecke GS(s) simuliert. Der darin verwendete Regler G*R(s) wird gegenüber GR(s) dahingehend mo-difiziert, dass er nur realisierbare Stellgrößen ausgibt (z.B. durch langsamere Dynamik oder eine Begrenzung seiner Stellgröße). Stellgröße und Regelgröße dieses simulierten Regelkrei-ses werden als uS bzw. w* ausgegeben.

12.3 Störgrößenaufschaltung

Nicht messbare Störungen auf die Strecke können nicht gezielt kompensiert, sondern nur ausgeregelt werden. Sie führen zu Abweichungen der Regelgröße y und dadurch zu einer Reaktion des Reglers GR(s), der zur Korrektur die Stellgröße uR ausgibt.

Eine messbare Störgröße z kann außerhalb der Reglerrückführung gezielt kompensiert wer-den. Eine Einrichtung zur Störkompensation GZ(s) erzeugt eine Stellgröße uZ, welche die Wirkung der Störgröße z kompensiert. Dieses Vorgehen verbessert das Störverhalten und führt im Idealfall dazu, dass keine Abweichung der Regelgröße y auftritt.

Nachfolgendes Blockschaltbild zeigt die Störgrößenaufschaltung als Funktion der Steuerein-richtung:



Für die ideale Störkompensation gilt

)(1)(

S1Z sG

sG −= .

Auch hier müssen die Bedingungen der Forderung V für die Realisierbarkeit eingehalten werden.

Beispiel 12-4: Kompensation eines Störmoments

13. Kaskadenregelung Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 13-1


13 Kaskadenregelung Bisher wurden nur Strukturen mit einem Controller (einschließlich einem Regler und einer Steuereinrichtung) entworfen. Eine Erweiterung erhält man, in mehrere dieser Strukturen ineinander verschachtelt. Dies wird als Kaskadenregelung bezeichnet.

Nachfolgendes Blockschaltbild zeigt das Prinzip am Beispiel zweier ineinander verschachtel-ter Standardregelkreise (nach Abschnitt 10.1):

Innerhalb der gestrichelten Linie erkennt man den inneren Regelkreis als Standard-Regel-kreis. Denkt man sich dieses System in der gestrichelten Linie und GS2(s) zur Strecke des äußeren Regelkreises zusammengefasst, besitzt auch der die Struktur des Standard-Regel-kreises. Entsprechend geht man beim Entwurf von innen nach außen vor:

Reglerentwurf

1. Entwurf des inneren Reglers in „üblicher“ Vorgehensweise. Wesentlich ist hierbei eine gute Dynamik, während das Führungsverhalten nicht wesentlich ist.

2. Zusammenfassen der inneren geregelten Schleife zu einem Block.

3. Entwurf des äußeren Reglers in „üblicher“ Vorgehensweise. Jetzt ist das Führungs-verhalten ist wesentlich, ggf. kann z.B. ein I-Anteil eingeführt werden, um eine blei-bende Regelabweichung zu vermeiden.

Diskussion

• Voraussetzung für eine Kaskadenregelung ist, dass eine zusätzliche Messgröße (=Hilfsregelgröße) zur Verfügung steht.

• Man kann sukzessive die Dynamik des inneren und dann die des äußeren Regelkrei-ses verbessern. (für Forderung IV)

• Störungen, die innen angreifen, können dort weitgehend ausgeregelt werden. (für Forderung II)

• Die Stellgröße des äu-ßeren Reglers ent-spricht der Führungs-größe des inneren Reg-lers. Dies lässt sich auch im Sinne einer Hierarchie interpretie-ren (siehe Bild). Strecke (Prozess)

(innerer) Regler 1

(äußerer) Regler 2

u

w1 = u1

wy

y1

gutesFührungsverhalten

hoheDynamik

14. Realisierung von Regelungen Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 14-1


14 Realisierung von Regelungen Nach dem Entwurf der Regelung bzw. Steuerungseinrichtung und dem Test des Gesamtsys-tems in der Simulation (Schritte 3 und 4 im Bild aus Abschnitt 1.3) folgt als nächster Schritt 5 die Reglerrealisierung.

14.1 Analoge Reglerrealisierung PI-Regler

ssTKsG R

RR+

=1)( ,

CRKCRT

VRUR

1, ==

PD-Regler

( )sTKsG RRR += 1)( , V

URVR R

RKCRT == ,

Idealer PID-Regler

( ) ( )s

sTsTKsG RRRR

21 11)( ++=

UURUV

RVVR CRTCR

KCRT === 21 ,1,

Realer PID-Regler

( ) ( )( )sTs

sTsTKsGN

RRRR +

++=

111)( 21

U

RU

RU

RV

N

RCTR

RRKC

RTC

TT

RR 1

212

22

1

2 ,11,,1 =+

==−=

[aus: Föllinger, Regelungstechnik]



14.2 Digitale Reglerrealisierung

Nachfolgend ist der digitale Standardregelkreis dargestellt:

Zur Wahl einer geeigneten Abtastzeit T [nach Lunze, Regelungstechnik 2]:

Die Abtastzeit T ist so klein wie nötig zu wählen damit …

Die Abtastzeit T ist so groß wie möglich zu wählen damit …

… das Abtasttheorem eingehalten wird, also ωT > 2 ωmax .

Für gutes Führungsverhalten und schnelle Störunterdrückung gilt sogar

maxmax 206 ωωω ≈T .

… der Realisierungsaufwand möglichst klein gehalten werden kann.

Es können langsamere A/D- und D/A-Wandler verwendet werden und die benö-tigte Rechenleistung sinkt.

… das zeitdiskrete System dieselben rege-lungstechnischen Eigenschaften besitzt wie das zeitkontinuierliche System.

Um den kontinuierlichen Regler ohne we-sentliche Änderungen als zeitdiskreten Reg-ler verwenden zu können, muss

ωT > 20 ωmax gelten.

… numerische Fehler vermieden werden.

Unterscheiden sich zwei aufeinander fol-gende Abtastschritte zu wenig, können z.B. bei ungünstiger Zahldarstellung zu Null gerundet werden, was zu einem feh-lerhaften Regleralgorithmus führt.

A/D

D/ARegler-algorithmus

Halte-glied

Ab-taster

(erweiterte)Strecke

u(k) u(k) u(t) y(t)w(k) ^

y(k) y(k)^

tT 2T 3T0

yi

tT 2T 3T0

yi

tT 2T 3T0

ui

tT 2T 3T0

ui

^

z.B. Digitalrechner mit A/D-Karteoder Mikrocontroller

(T: Abtastzeit)



Zur Umwandlung eines zeitkontinuierlichen in einen zeitdiskreten Regler

Der Regler wird zunächst im Zeitkontinuierlichen entworfen und muss nun vor der Ausfüh-rung zeitlich diskretisiert werden. Liegt die Regler-Übertragungsfunktion GR(s) vor, kann da-rin formal ersetzt werden:

Tzs 1

ˆ−

= (Rechteck-Intergration) oder: 112

ˆ+−

=zz

Ts (Trapez-Intergration)

Darin ist sTez = ein Verzögerungsoperator, der ein Signal um eine Abtastperiode T verzö-gert. Aus der neuen Übertragungsfunktion in z kann im Zeitbereich eine Differenzenglei-chung zwischen Reglerein- und -ausgang bestimmt werden. Diese wird nach dem zeitlich letzten Wert des Reglerausgangs aufgelöst, um eine Rekursion zu erhalten, die als Schleife implementiert werden kann.

14.3 Automatische Code-Generierung

Bei der automatischen Code-Generierung wird der in der Simulation entworfene und getes-tete Controller automatisch in ausführbaren Code umgewandelt, der dann auf der Zielplatt-form direkt gestartet werden kann, um die reale Strecke zu steuern und zu regeln.

Die Code-Generierung erfolgt meist in Teilschritten. Als Zwischenschritt wird vom Code-Ge-nerator C-Code erzeugt, der dann von einem maschinenspezifischen Compiler in ausführba-ren Code übersetzt wird.

[aus: Abel, Rapid Control Prototyping]

Aus Simulink heraus ist der Simulationsmodus von “Normal” auf “External” (Menü im Kopf des Simulink-Blockschaltbildes) umzuschalten. Das Zielsystem ist bei den Einstellungen („Configuration Parameters“) festzulegen. Es werden verschiedene Zielsysteme unterstützt, für die zum Teil Erweiterungen (Tollboxen) erforderlich sind, z.B.:

• (Industrie-)PC mit geeigneten AD- und DA-Karten • Rapid-Control-Systeme der Firma dSpace • Mikrocontroller-Systeme wie Arduino oder Raspberry PI



Vorteile einer automatischen Code-Generierung:

• Die Implementierung des Controllers erfolgt in einer prozessorunabhängigen, über-sichtlichen Form (z.B. als Blockschaltbild oder Zustandsautomat).

• Die automatische Code-Generierung spart Zeit (=kürzere Entwicklungszyklen) und erhöht die Zuverlässigkeit des Codes

• Die Simulation ermöglicht einen kostengünstigen und ungefährlichen Test.

• Der Entwurf ist prinzipiell auf andere Plattformen portierbar.

Der Gesamtprozess eines modellbasierten Entwurfs des Controllers mit automatischer Code-Generierung wird auch als Rapid Control Prototyping bezeichnet.

15. Aktoren Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 15-1


15 Aktoren Die Stellgröße u am Ausgang des Reglers oder der Steuerung muss auf die Strecke einwirken können (vgl. Abschnitt 1.1). Der Aktor ermöglicht dies, indem er folgende Aufgaben über-nimmt:

1. Digital-Analog-Umsetzung: Wird die Stellgröße durch einen Digitalrechner bestimmt, muss sie schließlich in eine analoge Größe umgesetzt werden. Dies ist Aufgabe eines Digital-Analog-Umsetzers (siehe Abschnitt 15.1), der im digitalen Regelkreis das Ge-genstück zum Analog-Digital-Umsetzer im Sensor (Abschnitt 8.2) bildet.

2. Leistungsverstärkung: Für eine hinreichende Wirkung auf die Strecke muss eine aus-reichende Leistung bereitgestellt werden. Der Regler bzw. der nachgeschaltete Digi-tal-Analog-Umsetzer liefert ein analoges Ausgangssignal z.B. im Spannungsbereich von 0 … 10 V, das nur mit einem geringen Strom belastet werden kann. Für den Anschluss eines Verbrauchers (wie z.B. ein elektrischer Antrieb oder eine elektrische Heizung) muss evtl. eine Leistungsverstärkung ergänzt werden, um einen größeren Strom oder eine höhere Spannung bereitstellen zu können (siehe Abschnitt 15.2).

3. Umsetzung der Stellgröße in die erforderliche physikalische Größe: Für die Ansteue-rung eines mechanischen Systems muss z.B. eine Kraft oder ein Moment erzeugt werden, für ein thermisches System muss eine Wärmemenge bereitgestellt werden. Abschnitt 15.3 gibt eine Übersicht über häufig verwendete Aktorprinzipien.

In der praktischen Umsetzung können die drei beschriebenen Aufgaben miteinander verkop-pelt gelöst werden.

Es ist manchmal eine Frage der Auffassung, ob eine Komponente – wie z.B. ein elektrischer Antrieb – Teil des Aktors oder Teil der Strecke ist.

15.1 Digital-Analog-Umsetzer

Der Digital-Analog-Umsetzer (DAU) besitzt analog zum ADU in Abschnitt 8.2 prinzipiell zwei Funktionen, die hier nun durch das digitale Signal vorgegeben werden:

Halteglied

Das digitale Signal stellt eine zeitdiskrete Wertefolge u(k) dar. Diese muss in ein zeitkonti-nuierliches Signal u(t) umgesetzt werden. Dazu ist ein Halteglied erforderlich, welches das analoge Ausgangssignal während des Zeitschrittes k so lange konstant hält, bis ein neuer Wert im folgenden Zeitschritt k+1 zur Verfügung steht. Das analoge Signal u(t) am Ausgang hat daher die Gestalt einer Treppenfunktion.

Quantisierung

Der DAU wird durch die Zahl n seiner Quantisierungsstufen charakterisiert. Sie ist auf die digitale Zahldarstellung von u(k) abzustimmen. Typisch sind 8-bit-Wandler (256 Stufen) bei Mikrocontrollern oder 16-bit-Wandler (65 536 Stufen) bei D/A-Wandlerkarten.

Im Regelkreis kommt die Digital-Analog-Umsetzung der Stellgröße u im Vergleich zur Ana-log-Digital-Umsetzung der Messgröße y in der Regel mit einer gröberen Quantisierung aus. Denn die Anforderungen für den Regelkreis werden meist für die Mess- oder Regelgröße y



formuliert, während die Stellgröße u weniger relevant ist und z.B. ein Oszillieren des nieder-wertigsten Bits in Kauf genommen werden kann.

Nachfolgend werden ausgewählte Prinzipien zu Analog-Digital-Umsetzung vorgestellt:

Paralleler Wandler

Durch Spannungsteiler oder Widerstandsnetzwerke können konstante Spannungen erzeugt werden. Diese werden durch Schalter abgegriffen und bilden den analogen Spannungsaus-gang. Dabei werden die Schalter durch den digitalen Eingang gesteuert.

Ein einfaches Prinzip mit einem Spannungsteiler ist nachstehend links gezeigt. Das Bild rechts zeigt eine Variante mit einem R2R-Netzwerk [Wikipedia], das mehrere Schalter mit unterschiedlicher Gewichtung zulässt

Umsetzer dieser Bauart sind relativ aufwendig, aber schnell.

Wandler mit Zeitbasis

Eine Zeitperiode T wird in n Zeitscheiben geteilt, wobei n die Zahl der Quantisierungsstufen ist. Am Beginn jeder Periode wird über die Zeitspanne TE hinweg die Versorgungsspannung uS ausgegeben, danach wird für die verbleibende Zeit der Periode T der Wert 0 ausgegeben. Die Zeitspanne TE wird entsprechend des digitalen Eingangs eingestellt. Man spricht von Pulsweitemodulation (PWM).

Ein nachgeschalteter Tiefpass mittelt über die Periode hinweg und gibt als analoge Ausgangs-spannung

SE

A uTTu =



aus. Dieser Umsetzer kann auch für hohe Auflösungen relativ einfach realisiert werden, und die meisten Umsetzer in Mikrocontrollern arbeiten nach diesem Prinzip. Durch die Tiefpass-filterung ist er langsamer als ein paralleler Wandler, seine Dynamik wird durch die Perioden-dauer T bestimmt.

Delta-Sigma-Wandler

Delta-Sigma-Wandler können auch als DAU eingesetzt werden. Der Aufbau ist dabei prinzi-piell derselbe wie beim ADU in Abschnitt 8.2. Auch hier wird ein (hochfrequenter) Bitstrom generiert, der im zeitlichen Mittel dem Eingangssignal entspricht. Allerdings ist jetzt der Ge-nerator des Bitstroms (im Bild links) digital und das nachfolgende Filter (im Bild rechts) analog realisiert.

An Stelle des Integrators tritt hier eine Summation, die aus einem Speicherglied (mit dem Verzögerungsoperator z–1) und einer Rückkopplung des Ausgangs realisiert wird. Der nach-folgende digitale Komparator gibt bei einem positiven Eingangswert eine „0“, andernfalls eine „1“ als Bitstrom aus. Der Digital-Digital-Umsetzer erzeugt je nach „0“ oder „1“ den unteren bzw. den oberen Wert des Wertebereichs des digitalen Eingangs.

Ähnlich wie beim zuvor beschriebenen Wandler auf Zeitbasis mittelt der nachgeschaltete Tiefpass den Bitstrom, um den analogen Ausgang uA zu erzeugen.

15.2 Leistungsverstärkung

Als analoger Verstärker, der das analoge Ausgangssignal uA eines ADU für einen nachge-schalteten Verbraucher verstärkt, eignet sich ein Spannungsfolger oder Impedanzwandler, wie er bereits in Abschnitt 8.1 unter der Überschrift „nicht-invertierende Verstärker“ vorge-stellt wurde.

Sein großer Nachteil ist die entstehende Verlustleistung. Wir betrachten einen Verstärker, der einem ohmschen Verbraucher mit Widerstand RV eine Spannung uV zur Verfügung stellen soll, die gleich der vom Umsetzer vorgegebenen positiven Spannung uA ≥ 0 sein soll, siehe Bild links:



Der Strom im Verbraucher ist

V

V

RuI =

und für die Verlustleistung im Verstärker gilt:

( )VSV

V uuRuUIP −==

Das ist eine quadratische Gleichung in uV. Für eine Versorgungsspannung uS = 12 V und einen Verbrecher mit RV = 10 Ω ist die Verlustleistung P im obigen Bild (rechts) dargestellt. Man erkennt, dass die Verlustleistung P an den Rändern des Arbeitsbereichs von uV, also für 0 V und 12 V, gegen Null geht, während sie bei einer mittleren Spannung von uV = uS/2 = 6 V maximal wird.

Die Alternative ist ein binärer Verstärker des PWM-Signals oder des Bitstroms: In der Regel hat die Stelleinrichtung Eigenschaften eines Verzögerungsgliedes. Daher kann man in diesem Fall auf einen separaten Tiefpass (im Blockschaltbild des Wandler auf Zeitbasis sowie des Sigma-Delta-Wandlers jeweils rechts) verzichten, das binäre Signal des Wandlers direkt ver-stärken und auf die Stelleinrichtung geben. Dadurch müssen nur die Ränder des Arbeitsbe-reichs von uV verstärkt werden. Das ist – wie gerade beim analogen Verstärker diskutiert – bei geringen Leistungsverlusten möglich.

Die Frequenz des binären Signals muss oberhalb der Eckfrequenz der Stelleinrichtung liegen, um Oszillationen und dadurch auch starke Beanspruchungen der Stelleinrichtung zu vermei-den. Nachteilig ist dennoch, dass diese Frequenz häufig hörbar ist und dass Oberschwingun-gen in die Strecke eingebracht werden können.

15.3 Aktorprinzipien

Häufig aktuiert die Stellgröße ein mechanisches System. Dazu benötigt man einen Aktor, der eine Kraft (translatorisch) oder ein Moment (rotatorisch) erzeugt. Nachstehende Tabelle gibt einen Überblick.

Moment (rotatorisch)

Um in einem Aktor Momente zu erzeugen, wird man in der Regel elektrische Maschinen einsetzen, die nach dem elektrodynamischen Prinzip (Lorentz-Kraft) arbeiten und grundsätzlich einen guten Wirkungsgrad besitzen. Je nach Art der Maschine ist ein auf die Maschine abgestimmter Stromrichter zur Ansteuerung erforderlich, der auch die Aufgabe der Leistungsverstärkung (Abschnitt 15.2) über-nimmt. Nachfolgend sind wichtige Maschinen aufgeführt.

Gleichstrommaschine Im ruhenden Stator wird ein konstantes Magnetfeld erzeugt (durch Perma-nentmagnete oder elektrische Spulen mit konstantem Strom). Darin dreht sich der Rotor, dessen elektrische Spulen in Abhängigkeit des aktuellen Ro-torwinkels geschaltet (kommutiert) werden. Die Gleichstrommaschine ist einfacher Aktor für kleinere Momente, eine mechanische Kommutierung un-terliegt einem Verschleiß.

Drehstrom- asynchronmaschine

Die Spulen des ruhenden Stators werden durch einen dreiphasigen Dreh-strom angeregt. Dadurch entsteht ein magnetisches Drehfeld im Inneren des Stators. Bringt man im einfachsten Fall eine leitende Welle oder einen Rotor



mit kurgeschlossenen Spulen (Kurzschlussläufer) ein, werden durch das magnetische Drehfeld Ströme induziert und der Rotor wird beschleunigt.

Drehstrom- synchronmaschine

Auch hier werden die Spulen des ruhenden Stators durch einen dreiphasigen Drehstrom angeregt. Doch besitzt der Rotor ein konstantes magnetisches Feld und dreht sich synchron zur Anregung des Drehstroms. Diese Maschi-nen werden vornehmlich zur Energiewandlung in elektrischen Netzen ver-wendet, als Aktor benötigen sie einen Stromrichter.

Schrittmotor Sind vom Prinzip her Synchronmotoren, deren Statorfeld nicht durch einen dreiphasigen Drehstrom, sondern durch externe Schaltung (Kommutierung) gesteuert wird. Sie werden häufig für Stellaufgaben in kompakter Bauform eingesetzt.

Kraft (translatorisch)

Linearmotor Ein Linearmotor (nach dem elektrodynamische Prinzip) lässt sich aus den rotatorischen Antrieben ableiten, in dem man den Stator „aufklappt“, so dass eine lineare Achse entsteht. Der Rotor wird dann zum Läufer. Häufig werden Linearantriebe auf Basis der Synchron- oder Asynchronmaschine verwendet.

Pneumatischer oder hydraulischer Zylinder

Beim pneumatischen Zylinder erzeugt von außen angelegte Druckluft einen erhöhten Kammerdruck im Inneren, der eine Kraft auf einen Stempel er-zeugt und diesen somit bewegt. Man unterscheidet einfachwirkende bzw. doppeltwirkende Zylinder.

Hydraulische Zylinder verwenden Hydrauliköl anstelle der Druckluft und kön-nen so höhere Kräfte erzeugen.

Elektrostatischer Aktor

Zwischen zwei Kondensatorplatten unterschiedlicher Spannung wirkt eine Kraft. Auf Basis dieses elektrostatischen Prinzips können einfache Aktoren mit geringen Kräften z.B. in Mikrosystemen realisiert werden.

Piezo-Aktor Ein Piezo-Element besteht aus Piezokristallen, die ihre Ausdehnung ändern, wenn eine elektrische Spannung angelegt wird. Dadurch können hohe Kräfte bei kleinen Wegänderungen erzeugt werden. Dieser Piezo-Effekt kann auch in umgekehrter Wirkrichtung als Kraftsensor genutzt werden (siehe Ab-schnitt 7.2).

Unter Umständen wird die Kraft oder das Moment innerhalb des Aktors weiter umgewandelt, z.B. wandelt ein Spindelantrieb eine rotatorische in eine translatorische Bewegung, treibt eine Asynchronmaschine eine Pumpe oder ein Piezo-Steller steuert ein Pneumatikventil.

Darüber hinaus gibt es nicht-mechanische Aktoren. Beispiele sind:

• Thermisch: elektrische Widerstandsheizung • Optisch: LED • Akustisch: Lautsprecher

A. Häufige Übertragungsglieder Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-1


Anhang

A Häufige Übertragungsglieder

1) Proportionalglied (P-Glied)

Funktionalbeziehung:

)()( tuKty =

Übertragungsfunktion:

KsG =)(

Symbol:

Simulink:

zu finden in der Bibliothek: Simulink\Math\Gain Eigenschaften: Verstärkung K als „Gain“

Beschreibung:

• Proportionale Verstärkung des Eimgangssignals

• Übertragungsglied besitzt kein „Gedächtnis“

• Elementares, lineares, zeitin-variantes Übertragungsglied

Sprungantwort:

)()( tKth σ=

Ortskurve:

Bode-Diagramm:

mit KK log20db =

K

u yt

K

0

h(t)

K

G(jω)

KdB

0°

A(ω)dB

ϕ(ω)

ω



2) Integrierglied (I-Glied)


∫=

=t

duKty0

)()(τ

ττ


sKsG =)(

Symbol:

Simulink (für K=1):

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Integrator Eigenschaften: “Initial Condition“: ein zusätzlicher, additiver An-fangswert für t = 0

Beschreibung:

• Das Eingangssignal wird über die Zeit hinweg aufintegriert.

• Das Ausgangssignal verändert sich nur dann nicht, falls das Eingangssignal Null ist.


Sprungantwort:

)()( ttKth σ⋅⋅=

Ortskurve:

Bode-Diagramm:

K

u y

t10

h(t)

K

Steigung K

G(jω)

-20dB/Dek.

K

0dB

0°

-90°

A(ω)dB

ϕ(ω)

ω



3) Differenzierglied (D-Glied)


)()( tuKty =


sKsG =)(

Symbol:


Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Derivative

Beschreibung:

• Das Eingangssignal wird zeit-lich differenziert.

• Das D-Glied verstärkt Signale hoher Frequenz stark (siehe Bode-Diagramm), daher ver-stärkt es in unerwünschter Weise auch Rauschen am Ein-gang. Seine Realisierung ist daher problematisch.


Sprungantwort:

)()( tKth δ⋅=

Ortskurve:

Bode-Diagramm:

K

u yt0

h(t)

K

G(jω)

+20dB/Dek.

1/K

0dB

90°

0°

A(ω)dB

ϕ(ω)

ω



4) Summierglied (S-Glied)


±±±= )()()( 21 tututy


±±±= )()()( 21 sUsUsG

Symbol:

Simulink:

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Math\Sum Eigenschaften: unter „List of Sign“ können die Vorzeichen (+/–) definiert werden.

Beschreibung:

• Die Eingangssignale werden unter Berücksichtigung der Vorzei-chen summiert.

• Elementares, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

u1

u2

( )( )

y



5) Totzeitglied (Tt-Glied)


)()( tTtuKty −=


tTseKsG −=)(

Symbol:


Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Transport Delay Eigenschaften: Totzeit als „Time Delay“, zusätzlich ist die Größe des Pufferspeichers vordefiniert, der die Funktionswerte während der Totzeit sichert.

Beschreibung:

• Das Totzeitglied gibt das Eingangs-signal unverändert, aber um die Totzeit Tt verzögert wieder aus.

• Elementares, lineares, zeitinvari-antes Übertragungsglied

Sprungantwort:

)()( tTtKth −⋅= σ

Ortskurve:

Bode-Diagramm für K=1:

Für den Phasenverlauf kann keine Asymptote an-gegeben werden, es müssen Stützstellen be-stimmt werden:

°⋅⋅−=

πωωϕ 180)( tT

K

u yt0

h(t)KK

Tt

G(jω)

K

ω = 0

ω0=1/Tt

0dB

0°

-90°

A(ω)dB

ϕ(ω)

ω

-57°



6) Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)


)()()( tuKtytyT =+


sTKsG

+=

1)(

Symbol:

Simulink:

Zu finden in der Bibliothek: Simu-link\Continuous\Transfer Fcn Eigenschaften: [K] als „Numera-tor“ und [T 1] als „Denominator“

Beschreibung:

• Das Ausgangssignal y folgt dem Eingang u verzögert. Je größer die Zeitkonstante T, desto langsamer ist das Sys-tem. Nach dem Einschwingen gilt uKy ⋅= .

• Lineares, zeitinvariantes Glied

• Lässt sich aus elementaren Gliedern zusammensetzen:

Sprungantwort:

( ) )(1)( / teKth Tt σ⋅−= −

Ortskurve:


K T

u y

K/T

yu

1/K

t

K

T 2T 3T0

h(t)

0,63K0,95K

K

G(jω)

-20dB/Dek.

ω0=1/T

0dB

0°

-90°

-66°/Dek.

-45°

-3dBA(ω)dB

ϕ(ω)

ω



7) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)


)()()(2)(2 tuKtytydTtyT =++


12)(

22 ++=

sdTsTKsG

Symbol:

Simulink:

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Transfer Fcn Eigenschaften: [K] als „Numerator“ und [T^2 2*d*T 1] als „Denominator“

Beschreibung:

• Schwingungsfähiges Verzögerungs-glied. Nach dem Einschwingen gilt

uKy ⋅= .

• Lineares, zeitinvariantes Glied

• Lässt sich aus elementaren Gliedern zusammensetzen:

Sprungantwort:

a) ungedämpfter Fall (d = 0): )()cos1()( 0 ttKth σω ⋅−=

b) periodischer Fall ( 10 << d ):

)()]sin(cos1[)( ttteKth t σωωδωδ ⋅+−= −

c) aperiodischer Grenzfall (d = 1):

)()]1(1[)( 00 tteKth t σωω ⋅+−= −

d) aperiodischer Fall (d > 1):

)(]sinh(cosh1[)( ttteKth t σωωδωδ ⋅+−= −

mit: T/10 =ω , 0ωδ d= ,

20 1 d−= ωω , 12

0 −= dωω

Ortskurve:


KdT

u y

K/Ty

2d/K

1/Tu

1/K

K

G(jω)

ω0=1/T

0dB

0°

A(ω)dB

ϕ(ω)

ω

-40dB/Dek.

A(ω0)dB = -20 log 2d

-90° Tangente mit (-132°/d)/Dek.

-180°

Mess- und Regelungstechnik · Die dort gefundene Struktur ist also auch für die Automatisierung...

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