Messung des Chirps bei direkt modulierten Halbleiterlasern · Optische Nachrichtentechnik Praktikum...

Technische Universitat BerlinInstitut fur Hochfrequenztechnik/PhotonikOptische Nachrichtentechnik Praktikum

Laborskipt zum Versuch:

Messung des Chirps bei direkt moduliertenHalbleiterlasern

Erstellt von:Dipl. Ing. Adrian Juarez

Patrick Seiler

1. November 2011

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 3

2. Aufgaben 4

3. Theorie 53.1. Verstandnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2. Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Bestimmung des Linewidth Enhancement Factors 134.1. Methodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1. Nullstellenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Aufbau und Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A. Modulationsverfahren 20

Literaturverzeichnis 28

2

1. Einleitung

Die optischen Technologien haben heutzutage einen erheblichen Anteil an der Erschließungneuer wissenschaftlicher Gebiete und finden in einem Großteil der Lebensbereiche des Men-schen Anwendung. So hat die stetig zunehmende Datenmenge der modernen Kommunikationdie optische Nachrichtentechnik nahezu unabdingbar gemacht; Kommunikationssysteme aufBasis von Glasfaserkabeln vernetzen bereits Großteile der Welt.

Die Glasfaser als physikalisches Ubertragungsmedium ist trotz der im Verlauf der letzten Jahrestark angestiegenen Ubertragungsraten dennoch langst nicht ausgereizt. Durch die Entwick-lung breitbandiger optischer Verstarker rucken Signalverluste bei der Optimierung optischerNachrichtenubertragungssysteme weitgehend in den Hintergrund, der Schwerpunkt verlagertsich hin zu verbesserten Modulationsverfahren und insbesondere der Erarbeitung neuer Er-kenntnisse uber reichweiten- bzw. bandbreitenbeschrankende Effekte wie etwa die Dispersionund ihre Kompensation.

Neben der Dispersion als ”Flaschenhals“ dieser Entwicklung hat sich vor allem der bei derdirekten Modulation von Halbleiterlasern auftretende Chirp als problematisch erwiesen, wel-cher den Effekt einer zusatzlich zur Intensitatsmodulation auftretenden Frequenzmodulationbeschreibt. Die Folge dieser unerwunschten Frequenzmodulation ist eine Verbreiterung desSignalspektrums und folglich eine Verringerung der Ubertragungsrate bzw. maximal moglichenUbertragungsstrecke. Um dieses Problem zu umgehen, kann ein externer Modulator genutztwerden, welcher zumeist einen deutlich geringeren Chirp aufweist. Aufgrund der hohen Kostendieser Bauelemente werden jedoch in weiten Teilen der industriellen Anwendung wie auch inden meisten großeren Kommunikationsnetzen (als Beispiel seien hier Metropolitan Area Net-works genannt) nach wie vor direkt modulierte Laser eingesetzt.

Um geeignete Kompensationsverfahren fur mit einem Chirp belastete Signale einer direkt mo-dulierten Laserquelle zu finden und die Auswirkungen korrekt abschatzen zu konnen, bestehtein Interesse an der Messung des charakteristischen Chirp-Parameters α, dem sogenanntenLinewidth Enhancement Factor. Mit dem Verstandnis und der Bestimmung dieses Parametersbeschaftigt sich dieser Laborversuch. Der Versuchsumdruck folgt dabei der Quelle [7].

3

2. Aufgaben

• Fur die Bearbeitung dieses Laborversuchs sind grundlegende Kenntnisse zum heterody-nen Empfanger und zur Amplituden- sowie Frequenzmodulation notwendig. WiederholenSie die entsprechenden Zusammenhange bzw. machen Sie sich damit vertraut.Fur die Grundlagen zum Heterodynempfanger sei hier auf den Versuchsumdruck zur Op-tischen Ubertragungsstrecke hingewiesen. Ein kurzer Uberblick zu den genannten Modu-lationsverfahren findet sich im Anhang.

• Erklaren Sie, wie es zu einer Anderung der Pulsbreite durch Chirp kommen kann!

• Nehmen Sie mindestens drei Messreihen (entsprechend drei verschiedenen Vorstromen)mithilfe der Nullstellenmethode auf. Schatzen Sie den Linewidth Enhancement Factor αmit einer geeigneten Methode sinnvoll ab.(Ideal: Fuhren Sie ein Curve Fitting durch, um α in guter Naherung bestimmen zu konnen.Hierfur eignet sich beispielsweise die Curve Fitting-Toolbox von Matlab, bei entsprechen-der Kenntnis auch Excel oder Octave. Hilfestellungen fur Excel und Octave finden sich imLiteraturverzeichnis.)

4

3. Theorie

Im Folgenden werden uber eine Vielzahl Zwischenschritte zwei Gleichungen hergeleitet, diewesentlich fur das Verstandnis des dieses Laborversuchs zugrundeliegenden Themas sind.Der erste Zusammenhang stellt dabei eine Verknupfung der Intensitatsmodulation eines La-sers zu einer zusatzlich auftretenden Frequenzmodulation her und soll dem Verstandnis deseigentlichen Chirp-Effekts dienen. Er stellt zudem die Uberleitung zu der Auswirkung im Zeit-bereich und Frequenzbereich dar.Der zweite Zusammenhang stellt ausgehend von dieser Basis einen messtechnisch greifbarenAusdruck dar, anhand dessen der Chirp-Parameter α bestimmt werden kann. Auf eine Herlei-tung der zweiten Gleichung wird an dieser Stelle verzichtet.

Die in diesem Abschnitt getatigten Erlauterungen folgen dabei den Quellen [6] und [5].

3.1. Verstandnis

Fur die Bilanzgleichung fur die Photonen gilt mit Berucksichtigung der sponanten Emission undnichtlinearer Effekte

dS

dt= S(rst −

1

τph− κsτph

S) + rsp, (3.1)

wobei S die momentan im aktiven Medium befindliche Photonenanzahl, rst die effektive Rateder stimulierten Emission und τph die mittlere Lebensdauer eines Photons im Resonator be-schreibt. rsp steht hierbei fur die effektive Rate der spontanen Emission und κs berucksichtigteinen Verstarkungsverlust und wird mit nichtlinearen optischen Effekten bei hohen Photonen-anzahlen bzw. optischen Leistungen assoziiert. Fur einen stationaren Laserbetrieb und allesich im Laserresonator auspragenden longitudinalen Moden muss die Phasenbedingung erfulltsein:

β′L = mπ = const. (3.2)

Dabei steht β′ ≈ k0n′ fur den Realteil der komplexen Phasenkonstante, L fur die Resona-

torlange und m als naturliche Zahl fur die longitudinale Ordnung des jeweiligen Lasermodes.k0 stellt die Wellenzahl dar und der komplexe Brechungsindex ist uber n = n′ − jn′′ gegeben.Der Realteil <(n) = n′ stellt dabei die Brechzahl dar, sie charakterisiert das Medium uber die

5

Versuch zum Thema Chirp Dipl. Ing. Adrian Juarez und Patrick Seiler

Ausbreitungskonstante β hinsichtlich der Ausbreitungsgeschwindigkeit und stellt somit auchden Bezug zur Dispersion her. Der Imaginarteil =(n) = n′′ berucksichtigt uber die Dampfungs-konstante α Verluste durch Absorption oder Streuung1. Es folgt

β′ =ωn′

c, (3.3)

wobei ω = k0c fur die optische Emissionskreisfrequenz der zugehorigen Welle und c fur dieAusbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum steht. Fur Gl. 3.2 folgt wegen Gl. 3.3 somit auch

ωn′ = const. (3.4)

Durch Bildung des totalen Differentials von Gl. 3.4

d(ωn′) =δ(ωn′)

δω∆ω +

δ(ωn′)

δn′∆n′ (3.5)

und unter Ausnutzung des Gruppenindexes N = d(ωn(ω))dω = n(ω) + ω d(n(ω))

dω erkennt man, dasseine Anderung der Brechzahl n′ um ∆n′ auch eine Anderung der optischen Emissionskreisfre-quenz ω um ∆ω nach sich zieht:

∆ωN + ω∆n′ = 0 (3.6)

Diese Frequenzanderung kann auch als eine Anderung der optischen Phase uber der Zeitdargestellt werden:

dϕ

dt= ∆ω (3.7)

Es folgt somit aus Gl. 3.6:dϕ

dt= − ω

N∆n′ (3.8)

Nun mussen mehrere Zusammenhange berucksichtigt werden:Zum einen zieht eine Anderung des Realteils ∆n′ der Brechzahl auch eine Anderung ∆n′′ desImaginarteils der Brechzahl nach sich, da diese uber den bereits erwahnten Chirp-Parame-ter oder auch Linewidth Enhancement Factor

α =

dn′

dn

dn′′

dn

=∆n′

∆n′′(3.9)

und die Ladungstragerdichte n miteinander verknupft sind.Der Imaginarteil der Brechzahl wiederum steht in einem direkten Zusammenhang mit der

1Diese Betrachtung ist analog zur Ausbreitungskonstante γ = α + jβ, wie sie aus der Hochfrequenztechnikbekannt ist, wobei hier α = k0n

′′ und β = k0n′ gilt.

Kapitel 3. Theorie 6


Verstarkung gst = −2k0n′′, woruber sich mit k0 = ω

c dann

n′′ = −gstc2ω

(3.10)

ergibt.Diese Verstarkung ist mit der Rate der stimulierten Emission rst verknupft, so dass

gst = rstN

c(3.11)

gilt.Durch Einsetzen der Gleichungen 3.9, 3.10 und 3.11 in Gl. 3.6 folgt:

dϕ

dt= − ω

N∆n′ = − ω

Nα∆n′′ = − ω

Nα(−∆gstc

2ω) = − ω

Nα(−

Nc ∆rstc

2ω) (3.12)

Da sich ohne Berucksichtigung des nichtlinearen Teils und der spontanen Emission in Gl. 3.1nur dann eine Anderung der Photonenzahl ergibt, wenn rst einen von 1

τphabweichenden Wert

annimmt, kann die Anderung ∆rst als Abweichung von der Nettorate der stimulierten Emissionrst = 1

τph+ ∆rst betrachtet werden. Uber diesen Zusammenhang ergibt sich

dϕ

dt= − ω

Nα(−

Nc ∆rstc

2ω) =

α

2∆rst =

α

2(rst −

1

τph) (3.13)

und unter Ausnutzung von Gl. 3.1 mit P als optischer Leistung folgt fur die Frequenzabweichungschlußendlich2:

∆ω =dϕ

dt=α

2[1

S

dS

dt+κsτph

S − rspS

] ∝ α

2P

dP

dt(3.14)

Fazit:Wird ein Laser uber den Strom direkt moduliert, so entspricht dies einer Modulation der La-dungstragerdichte im aktiven Medium des Laserresonators. Mit einer Veranderung dieser La-dungstragerdichte geht auch eine Veranderung der Anzahl der (generierten) Photonen entspre-chend der Bilanzgleichung und folglich der emittierten optischen Leistung einher. In diesem Fallliegt eine Inensitatsmodulation vor; bei Signalgroßen wurde man hier von einer klassischen Am-plitudenmodulation sprechen.Gleichung 3.14 sagt nun aus, dass zusatzlich zu der zeitlichen Veranderung der Ausgangs-leistung durch die Modulation auch eine Variation der Emissionsfrequenz des Lasers vorliegt,

2In der Literatur wird der erste und mit der zeitlichen Anderung der Photonenanzahl zusammenhangende Termauch als transienter Chirp bezeichnet, wohingegen die verbleibenden Terme auch adiabatischer Chirp ge-nannt werden. Letzterer zieht eine Frequenzverschiebung proportional zur Augenblicksleistung nach sich, wel-che uber κs mit der nichtlinearen Verstarkung verknupft ist. Da der adiabatische Chirp fur die Aufgabenstellungdieses Laborversuchs jedoch nicht weiter von Belang ist, wird nicht naher auf ihn eingegangen.



da ∆ω(t) ∝ dPdt . Die Variation der Ladungstrager im aktiven Medium zieht eine Veranderung

der Verstarkung und damit uber die Brechzahl auch der Emissionsfrequenz nach sich. DerProportionalitatsfaktor dieses Zusammenhangs ist uber den Chirp-Parameter α gegeben, derfur Halbleiterlaser wie bereits angesprochen typischerweise Werte von α = 3...6 annimmt. ∆ω

kann dabei direkt als Anderung der Momentankreisfrequenz ωc im Sinne einer Frequenzmodu-lation verstanden werden, mit

ω(t) = ωc + ∆ω(t) (3.15)

(vgl. Gl. A.6 in Abschnitt A.). Nimmt man fur die Intensitat in Gl. 3.14 nun beispielsweise einengaußformigen Puls an, so erscheint eine steigende Leistungsflanke (dPdt > 0) mit α > 0 blau-verschoben, da ein positives ∆ω eine Erhohung der Momentankreisfrequenz ω(t) nach sichzieht (vgl. im Folgenden Abb. 3.1). Eine fallende Leistungsflanke bewirkt eine Verringerungder Momentankreisfrequenz, entsprechend einer Rotverschiebung im Spektrum. Durchlauft ein

t0

t

P/P0

1

0

∆ω∆ω P

0

1/e

Abbildung 3.1.: Frequenzverschiebung aufgrund des Chirps (fur α > 0 bei β2 < 0)

so ”gechirpter“ Puls nun eine Faser, so bewirkt die Dispersion eine unterschiedliche Ausbrei-tung der einzelnen Frequenzkomponenten3; die blauverschobene Flanke besitzt eine niedri-gere Ausbreitungsgeschwindigkeit als ihr rotverschobenes Gegenstuck. Als Folge daraus wirddie fallende Flanke gegenuber der steigenden zeitlich beschleunigt und die steigende Flanke

3Ausgehend von einer negativen Dispersion der Gruppengeschwindigkeit β2 ≈ −20 (ps)2

kmfur eine Standard-

Singlemode-Faser bei λ = 1, 55µm.



gegenuber der fallenden zeitlich verzogert, der Puls wird mit zunehmender Faserlange ”aus-einandergezogen“. Eine Kompensation ist fur negative α leicht ersichtlich, da dann die Fre-quenzverschiebungen der Flanken vertauscht werden: Bei dispersiver Faser lasst sich ein α

so wahlen, dass diese Verschiebungen uber der Zeit ineinanderlaufen, was ∆ω = 0 fur diesenZeitpunkt bzw. die so festgelegte Faserlange bewirkt und somit eine Dispersionskompensationnach sich zieht.

z=0 z=LD

α=1

α=-1

t0

1.12∙t0

t1=√2∙t

0

1.58∙t0

t1=2.24∙t

0t0

t0

√2-1∙t0

t1=t

0

z=LD/2

1/e

1/e

1/e

t1=3.61∙t

0

α=0

t1=5∙t

0

t1=2.24∙t

0

t1=2.24∙t

0

t1=3.16∙t

0

t1=3.61∙t

0

z=2∙LD

z=3∙LD

Abbildung 3.2.: Einfluss des Chirp-Effekts bei Ausbreitung eines Pulses in einer Glasfaser

Um diesen Gedankengang mathematisch zu untermauern, kann die Auswirkung des Chirps imZeit- und Frequenzbereich betrachtet werden. Fur die Auswirkungen im Zeitbereich sei auf [6],UB/5f. verwiesen.

Um die parasitare Frequenzmodulation und die damit verbundene spektrale Verbreiterung imFrequenzbereich etwas greifbarer zu machen, sei auf die Carsonregel zur Abschatzung desBandbreitebedarfs einer FM hingewiesen (nach [8], Gl. 7.80):

BK ≈ 2B(1 + p)

Dabei steht p fur den Modulationsindex

p =∆ωmax

2πB=

∆fmaxB

, (3.16)



welcher die relative Frequenzabweichung als Verhaltnis von Frequenzhub ∆fmax zur Band-breite B des Modulationssignals angibt und als ein Maß fur die Intensitat der Frequenzmodu-lation verstanden werden kann (vgl. hierzu auch A). Mit zunehmendem Modulationsgrad p derFM nimmt der Bandbreitebedarf BK ausgehend von der Bandbreite B des Nachrichtensignalsebenfalls zu: Eine lediglich mit einem Eintonsignal intensitatsmodulierte Ausgangsleistung derModulationsfrequenz fm = 2 GHz weist einen Bandbreitebedarf von BK,AM = 2B = 4 GHz

auf. Bei einer parasitaren Frequenzmodulation mit p = 2, 44 folgt gemaß der Carsonregel einBandbreitebedarf BK,FM = 13, 6 GHz, was erheblich uber BK,AM liegt und die Auswirkungendes Chirps nach der Darstellung im Zeitbereich nun auch im Frequenzbereich verdeutlicht. Fureinen umfassenden Eindruck der Bandbreitenvergroßerung sei auf Abb. 4.1 in Abschnitt 4.1hingewiesen.

3.2. Messung

Um den Chirp-Parameter korrekt charakterisieren zu konnen, ist man an einem messtechnischgreifbaren Ausdruck des zuvor diskutierten Zusammenhangs interessiert. Zur bessere Uber-sicht ist nochmals Gl. 3.14 dargestellt:

∆ω =dϕ

dt=α

2[1

S

dS

dt+κsτph

S − rspS

] (3.17)

Unter Beachtung der Kettenregel folgt zudem:

∆ω =dϕ

dt=α

2[d(lnS)

dt+κsτph

S − rspS

] (3.18)

Da in der vorausgegangenen Herleitung bereits festgestellt wurde, dass ein direkt modulierterHalbleiterlaser Anteile einer Intensitats- und Frequenzmodulation aufweisen wird, erscheint essinnvoll, diese beiden Merkmale in einen direkten Zusammenhang zu bringen, um ihren Ein-fluss abschatzen zu konnen. Dies soll im Folgenden getan werden: Sofern eine uber einenStrom der Modulationskreisfrequenz ωm realisierte Kleinsignalmodulation der Photonenanzahlvorliegt, kann diese intuitiv abgeschatzt werden uber

S = S0 +Re∆S exp (jωmt), (3.19)

mit S0 als Photonenanzahl fur den Strom im gewahlten Arbeitspunkt uber dem Schwellstromund |∆S| << S0 als dem Betrag der Veranderung der Photonenanzahl durch die Modulation.

4Dieser Wert kann im Rahmen des Versuchs relativ einfach erreicht werden, wie sich im Laufe der Arbeit nochzeigen wird.



In diesem Fall kann die zugehorige Frequenzmodulation aufgefasst werden als

ω = ω0 +Re∆ω exp (jωmt), (3.20)

wobei hier ω0 die Emissionskreisfrequenz im Arbeitspunkt und ∆ω den Betrag ihrer Verande-rung beschreibt. Mit Gl. 3.18 folgt:

∆ω

∆S=

α

2S0(jωm +

κsτph

S0 +rspS0

) (3.21)

Hierfur wurde Gleichung 3.18 eingesetzt; man beachte an dieser Stelle den Logarithmus ausGl. 3.18, der nach Vereinfachung in eine Potenzreihe entwickelt wurde und zu dem Term jωm

fuhrt. Die letzten beiden Terme kann man mit der Nettorate der spontanen Emission nsp =

rspτph als eine Kreisfrequenz ωg = κsτphS0 +

nsp

τphS0deuten:

∆ω

∆S=

α

2S0(jωm + ωg) (3.22)

Fur geringe Modulationsfrequenzen ist die durch den Chirp entstehende FM proportional zureigentlichen Intensitatsmodulation. Diese Proportionalitat wird uber die Grenzfrequenz ωg be-schrieben.Um das Verhaltnis der beiden Modulationen zueinander greifbar zu machen, werden die Mo-dulationsindizes, welche im Wesentlichen den Grad oder auch die Intensitat der jeweiligenModulationen charakterisieren, in Relation gesetzt. Der AM-Modulationsgrad ergibt sich dabeizu m = |∆SS0

| und der FM-Modulationsindex uber p = |∆ωωm| (vgl. Gl. 3.16 bzw. Abschnitt A). Es

folgt:p

m= |∆ω

ωm| · | S0

∆S| = |∆ω

∆S| · S0

ωm=

α

2S0

√ω2m + ω2

g

S0

ωm(3.23)

Nach Kurzung, einer beidseitigen Multiplikation mit 2 und der Ausnutzung von ωm =√ω2m

ergibt sich schlußendlich:

2p

m= α

√1 + (

fgfm

)2 (3.24)

Fazit:Die uber die beiden vorausgegangenen Abschnitte hinweg getatigten Annahmen und Zusam-menhange haben mit Gleichung 3.24 eine Form angenommen, die es ermoglicht, den Parame-ter α fur große Modulationsfrequenzen fm >> fg messtechnisch aus den Modulationsindizesp und m zu bestimmen:

2p

m= α (3.25)



Der Chirp-Parameter ist dabei nicht von einem eingestellten Vorstrom und nur von der Modula-tion abhangig.Typische Werte des Chirp-Parameters eines Halbleiterlasers liegen im Bereich von α = 3...6,wobei sich die Grenzfrequenz im Bereich fg = 1...5 GHz bewegt.Um einen ungefahren Eindruck von dem zu erwartenden Funktionsverlauf zu erhalten, wird deruber Gl. 3.24 gegebene Zusammenhang fur verschiedene Kombinationen von α und fg uberder Frequenz geplottet, vgl. Abb. 3.3. Gut erkennbar ist hierbei die Annahme eines nahezukonstanten Funktionswertes entsprechend 2p

m = α fur steigende Modulationsfrequenzen.

0 0.5 1 1.5 2

x 109

0

20

40

60

80

100

120

140

160

fm [Hz]

2p

m

Funktionsverlauf

α=2, fg=3 GHz

α=3, fg=3 GHz

α=5, fg=3 GHz

α=3, fg=4 GHz

α=3, fg=5 GHz

Abbildung 3.3.: Funktionsverlauf von Gl. 3.24 fur verschiedene Kombinationen von α, fg


4. Bestimmung des Linewidth EnhancementFactors

Das Ziel der im Folgenden dargestellten Messaufbauten und Methoden ist es, den LinewidthEnhancement Factor α experimentell zu bestimmen. Da er in einem direkten Zusammenhangmit dem AM-Modulationsgrad m und dem FM-Modulationsindex p steht (vgl. Gl. 3.24)

2p

m= α

√1 + (

fgfm

)2 ,

mussen diese beiden Parameter messtechnisch bestimmt werden. Der AM-Modulationsgradm kann dabei direkt aus dem Amplitudenverhaltnis im Zeitbereich mithilfe eines Oszilloskopsermittelt werden (vgl. Abschnitt A). Da sich die Bestimmung des FM-Modulationsindexes p alsetwas schwieriger gestaltet und im Zeitbereich nur schwerlich moglich ist, wird dieser Parame-ter im Frequenzbereich gemessen (vgl. Abschnitt 4.1).

Neben einer optoelektrischen Wandlung zur Darstellung des Signals bzw. der Amplitudenmo-dulation im Zeitbereich muss folglich auch das Spektrum angezeigt werden konnen. Da keinhochauflosender optischer Spektrumanalysator zur Verfugung steht, wird auf eine elektrischeVariante ausgewichen.Aufgrund der begrenzten Bandbreite von zum einen der Photodiode zur Wandlung als auch deselektrischen Spektrumanalysators ergibt sich die Notwendigkeit einer Herabmischung des Si-gnals. Hierfur wird ein Heterodynempfanger genutzt, welcher zudem gleichzeitig die Wandlungrealisiert.

4.1. Methodik

Im Folgenden wird eine mogliche Messmethode zur Bestimmung des FM-Modulationsindexesdargestellt, die sich aus Voruberlegungen ergibt und im Rahmen der Messung Anwendung fin-det.

Die Frequenzmodulation ergibt sich dabei uber eine Fourier-Reihenentwicklung, so dass fur

13


das Spektrum eines um die Tragerkreisfrequenz ωc mit ωu modulierten Signals um(t) folgt:

Um(jω) = π∞∑

k=−∞Jk(p)[δ(ω − ωc − kωu) + δ(ω + ωc + kωu)] (4.1)

Die Koeffizienten Jk(p) entsprechen dabei den Besselfunktionen erster Gattung der Ordnungk, wobei p der bereits in Gl. 3.16 definierte Modulationsindex ist. Beispiele fur das Spektrumeiner FM in Abhangigkeit vom Modulationsindex sind in Abb. 4.1 dargestellt. Fur grundlegendeErlauterungen zur Frequenzmodulation wird auf Abschnitt A verwiesen.

ω0 ωc

p=0.2

ω0 ωc

p=1|Um(jω)|

ω0 ωc

p=2

ω0 ωc

p=2.4

ω0 ωc

p=3

ω0 ωc

p=4

ωuω

u

ωuω

u

ωuω

u

ωuω

uωuω

u

ωuω

u

|Um(jω)|

|Um(jω)||U

m(jω)|

|Um(jω)| |U

m(jω)|

Abbildung 4.1.: Spektrum der FM in Abhangigkeit vom Modulationsindex p

4.1.1. Nullstellenmethode

Dieses Messverfahren zielt darauf ab, den Modulationsindex p einer Frequenzmodulation fest-zustellen, indem die erste Nullstelle der zur Tragerfrequenz gehorigen Besselfunktion gefun-den wird. Der Modulationsindex wird dabei so lange von Null aufsteigend variiert, bis bei derTragerfrequenz im Spektrum eine Nullstelle auftritt1. Da die einzelnen Frequenzkomponentenmit den jeweiligen Besselfunktionen gewichtet sind (vgl. Gl. 4.1 respektive Abschnitt A), wird

1Eine solche Variation des Modulationsindexes kann uber eine Erhohung des Modulationsstroms bzw. der Modu-lationsleistung bewirkt werden, wie sich in Abschnitt 4.2 noch zeigen wird.

Kapitel 4. Bestimmung des Linewidth Enhancement Factors 14


das Tragerband im nicht-trivialen Fall genau dann Null, wenn J0(p) = 0 wird. Fur den Fall derersten Nullstelle von J0 betragt der FM-Modulationsindex dann genau p = 2, 4 (vgl. Abb. 4.2).

ω/ωT-1

Amplitude

0 +ωm

+3ωm

-ωm

-3ωm

J1

J1 J

2J2

J3

J3

J4

J4J

0

p=2,4

p

Abbildung 4.2.: Prinzip der Nullstellenmethode

Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass sie vollkommen unabhangig vom Betrag der ein-zelnen Spektrallinien ist. Zudem ist aus der Messtechnik bekannt, dass Nulldurchgange stetsgenauer als Werte ungleich Null detektiert werden konnen, weshalb von diesem Messverfahreneine hohe Genauigkeit, Stabilitat gegen Storungen und Reproduzierbarkeit zu erwarten ist.

4.2. Aufbau und Vorgehen

Die beiden Teilaufbauten des heterodynen Aufbaus sind fur einen ersten Uberblick in Abb. 4.3dargestellt. Die gesamte Messung wird der Ubersichtlichkeit halber in drei Schritte gegliedert.



3dB

PD

iph

(t)

LD

f-einstellbarer Laser

ωs

ω0

ElektrischerSpektrumanalysator

LD

ωz

Digitaloszilloskop

uamplitude

umean

I0

I±1

I±2

Abbildung 4.3.: Schema des heterodynen Aufbaus

1. Messung des FM-Modulationsindexes p:

Die Laserdiode wird uber den Strom um einen festen Arbeitspunkt herum in der Leistung mo-duliert, die Ausgangsleistung wird im Leistungsdichtespektrum entsprechend Kapitel 3 Teileeiner AM und FM aufweisen. Uber einen Mischer in Form eines heterodynen Empfangers (vgl.Anhang in [3]) wird das Signal mithilfe eines weiteren Lasers heruntergemischt. Die Photodiodewandelt die optische Leistung in einen Photostrom um. Das so gewonnene elektrische Signalwird einem elektrischen Spektrumanalysator zugefuhrt, welcher das Leistungsdichtespektrum(mit den jeweiligen Spektrallinien I) darstellt. Aus diesem kann nun mittels der in Abschnitt 4.1vorgestellten Methoden der FM-Modulationsindex p bestimmt werden.

Die von der Photodiode aufgenommene elektrische Leistung ist proportional zu dem von ihrausgegebenen Photostrom (vgl. [6], PH/3):

iph = EpPopt (4.2)

Die Modulation und damit auch die gesuchte Information, die ursprunglich in der optischen Leis-tung enthalten war, wird also auf den von der Photodiode ausgebenenen Strom proportionalumgesetzt. Da die Modulationsfrequenz nur um einen in Relation zur optischen Tragerfrequenzaußerst geringen Wert abweicht, wird an dieser Stelle davon ausgegangen, dass die Verande-rung der Empfindlichkeit uber der Wellenlange zu vernachlassigen ist und sowohl der Tragerals auch die Seitenbander mit annahernd derselben Empfindlichkeit umgesetzt werden. DieseNaherung sollte einen zu vernachlassigen Fehler aufweisen, vgl. Abb. 4 in [6], PH/3. Hinter der



Photodiode und folglich am Spektrumanalysator stellt sich somit eine elektrische Leistung

Pel = u · iph = i2phR (4.3)

ein, mit R = 50 Ω. Fur die vom elektrischen Spektrumanalysator dargestellte Leistung gilt folg-lich:

Pel ∝ i2ph (4.4)

Die gesuchte Information uber die Modulation ist somit im Strom enthalten. Dies hat auf dieNullstellenmethode keinerlei Auswirkung, da hier nur diejenige Modulationsleistung gesuchtund notiert wird, bei der die Tragerfrequenz Null wird.

Diese Messung wird fur verschiedene Frequenzen im Bereich von 100 MHz bis 1350 MHzwiederholt, wobei die zu jeder Frequenz eingestellte Modulationsleistung des Signalgenera-tors notiert wird. Um eine sinnvolle Anzahl Messwerte zu erhalten wird dabei bis 1000 MHz in50 MHz-Schritten und dann in 25 MHz-Schritten gemessen. Die Verringerung der Schrittwei-te bei hoheren Frequenzen wird damit begrundet, dass so eine starkere Gewichtung diesesBereichs im Sinne des noch folgenden Curve Fittings vorgenommen wird. Da dieser Frequenz-bereich maßgeblich fur die Abflachung der Kurve und die Bestimmung des Chirp-Parametersist, erscheint dies sinnvoll.

2. Messung des AM-Modulationsgrads m:

Nach der Bestimmung des FM-Modulationsindexes p wird der Mischlaser ausgeschaltet unddas elektrische Ausgangssignal der Photodiode auf das Digitaloszilloskop gegeben. Da die op-tische Eingangsleistung der Photodiode sich proportional auf den Strom abbildet (iph = EpPopt)und der Strom in der Kennlinie der Photodiode zudem in einem linearen Zusammmenhang mitder Spannung steht, ist die vom Digitaloszilloskop angezeigte Spannung proportional zur opti-schen Leistung:

Popt ∝ iph ∝ u (4.5)

Daher bildet sich die Modulation und somit auch die gesuchte Information, die ursprunglichin der optischen Leistung enthalten war, proportional auf die angezeigte Spannung ab. DerModulationsgrad m kann somit direkt aus dem Amplitudenverhaltnis bestimmt werden (vgl.Abschnitt A):

m =Pa2

Pm∝

iph,a2

iph,m∝

ua2

um, (4.6)

wobei um die zum Trager zugehorige, angezeigte Gleichspannung mit aufmodulierter Wech-selspannung der Amplitude ua darstellt. Der hochfrequente Trager wird von der Photodiode als



Gleichspannung wahrgenommen, da ihre Bandbreite bei etwa 8 GHz liegt.

Die zuvor bei der Bestimmung des FM-Modulationsindexes notierte eingestellte Modulations-leistung zu jeder Frequenz wird nun abermals eingestellt um so den zugehorigen AM-Modula-tionsgrad zu ermitteln.Um die oben beschriebenen Großen zur Bestimmung des AM-Modulationsgrads bei jederVeranderung der Modulationsfrequenz messen zu konnen, ohne den Zeitbereich anpassenzu mussen, wird uber eine Funktion des Digitaloszilloskops uber mindestens 512 Einhullendeder angezeigten Spannung gemittelt und daraus sowohl die Amplitude als auch der Mittelwertbestimmt.

Abschließend soll noch darauf hingewiesen werden, dass der Mischlaser wie bereits angespro-chen unbedingt ausgeschaltet werden muss, da sich trotz der geringen zusatzlichen mittlerenLeistung sonst falsche Messwerte fur um ergeben wurden. Trotz dessen der Messaufbau durchdiese Maßnahme und auch das Umstecken vom Spektrumanalysator auf das Digitaloszillo-skop leicht verandert wird, ist hier bei ordnungsgemaßer Kopplung der Stecker kein Messfehleranzunehmen. Die zu messenden Großen werden durch diese leichte Veranderung des elektri-schen Aufbaus hinter dem Heterodynempfanger nicht beeinflusst.

3. Bestimmung des Linewidth Enhancement Factors α:

Da die Modulationsindizes nun bekannt sind, kann der Faktor α in Naherung bestimmt werden.Wie in Kapitel 3 naher erlautert, musste die Modulationsfrequenz fm fur eine genaue Bestim-mung deutlich großer als die Grenzfrequenz fg sein (vgl. Gl. 3.24):

2p

m= α

√1 + (

fgfm

)2

Da der verwendete Signalgenerator jedoch nicht in der Lage ist, entsprechend hohe Modula-tionsfrequenzen zu liefern, die gangige Werte fur fg (vgl. Kapitel 3; fg = 1...5 GHz) deutlichubersteigen, wird der Kurvenverlauf uber dem zur Verfugung stehenden Frequenzbereich wieoben beschrieben aufgenommen. Hierbei wird bevorzugt die Nullstellenmethode genutzt, davon ihr eine hohere Genauigkeit und Reliabilitat erwartet wird (vgl. Abschnitt 4.1). Der Chirp-Parameter α wird dann aus dem asymptotischen Verlauf der aufgenommenen Kurve genahert.

Diese Naherung kann mithilfe einer nichtlinearen Regression uber die vorhandenen Messwer-te vorgenommen werden, indem beispielsweise die Curve Fitting-Toolbox von Matlab genutztwird.



Um diese einzelne Schatzung zu verbessern, werden alle Messreihen jeweils fur verschiede-ne Vorstrome (im Bereich 25 mA bis 40 mA) aufgenommen. Da der Chirp-Parameter α nurin einem Bezug zur Modulation steht und somit unabhangig vom Vorstrom ist (vgl. Gl. 3.25),sind so mehrere unabhangige Messreihen aufnehmbar. Dieser Bereich fur die Vorstrome wirdausgewahlt, da hohere Strome als etwa 40 mA aufgrund der maximalen Empfangsleistung derPhotodiode trotz des 3 dB-Kopplers kaum moglich sind und niedrigere Strome als 25 mA nursehr wenige Messpunkte erlauben wurden, da bereits bei geringen Frequenzen durch Anwen-dung der Nullstellenmethode Ubermodulation auftreten wurde. Bei der Wahl der Strome undzunehmender Modulationsleistungen wird somit darauf geachtet, dass die Grenzwerte der imAufbau verwendeten Gerate nicht uberschritten werden.


A. Modulationsverfahren

Mithilfe der Modulation eines Lasers, der in diesem Fall ein Tragersignal zur Verfugung stellt,wird es moglich, Informationen auf diesen Trager aufzumodulieren und geeignet zu ubertragen.

Die in diesem Abschnitt getatigten Erlauterungen folgen dabei der Quelle [8].

Amplitudenmodulation

Im Folgenden wird die Amplitudenmodulation am Beispiel einer AM mit Trager naher erlautert.Bei einer solchen Modulation wird die Amplitude Ac eines Tragersignals c(t) = Ac cos (ωct) mitdem Nachrichtensignal u(t) moduliert und das so entstehende modulierte Signal um(t) mitsamtTragersignal ubertragen. Im Zeitbereich entspricht dies einer Multiplikation:

um(t) = [u(t) +Ac] cos (ωct) (A.1)

Das Spektrum dieses Signals stellt eine Verschiebung des Nachrichtenspektrums U(jω) umdie Tragerkreisfrequenz ωc dar:

Um(jω) = [U(jω) +Ac] ∗ [δ(ω − ωc) + δ(ω + ωc)]

= πAc[δ(ω − ωc) + δ(ω + ωc)] +1

2[Uj(ω − ωc) + Uj(ω + ωc)]

(A.2)

wobei ∗ hierbei der mathematischen Operation der Faltung entspricht. Der Zusammenhangim Zeit- als auch Frequenzbereich findet in Abb. A.1 eine qualitative Darstellung; der Einfach-heit und besseren Darstellung halber wurde hierbei fur u(t) ebenfalls von einem Eintonsignalausgegangen. Durch die Modulation entstehen im Spektrum symmetrisch zum Trager (vgl.Gl. A.2, linker Summand) sogenannte Seitenbander (vgl. Gl. A.2, rechter Summand), welcheim Wesentlichen das aus dem Ursprung heraufgemischte Nachrichtensignal darstellen (soferndie Tragerfrequenz großer als die Frequenz des Nachrichtensignals ist). Bei einer BandbreiteB1 fur das Nachrichtensignal kann der Bandbreitebedarf BK fur das modulierte Signal somit

1Hierbei und auch im Folgenden ist stets die 3 dB-Bandbreite gemeint.

20


u(t)

t=

c(t)

t

um(t)

t

U(jω)

ωB-B 0

C(jω)

ω0 ωc

-ωc

ω0 ωc

-ωc

2B 2B

=

Um(jω)

*

Abbildung A.1.: schematische Darstellung der AM im Zeit- (oben) und Frequenzbereich (unten)

intuitiv uber die doppelte Signalbandbreite abgeschatzt werden (vgl. Abb. A.1):

BK = 2B (A.3)

Um den Grad der Amplitudenmodulation zu charakterisieren, bedient man sich in der Regeldes Modulationsgrads

m =max|u(t)|

Ac, (A.4)

wobei der Trager fur m = 1 komplett ausmoduliert ist, wie man sich im Zeitbreich gut ver-deutlichen kann. Fur diesen Fall entsprache die Amplitude (peak-to-peak) des modulierendenNachrichtensignals genau der doppelten Amplitude des Tragersignals.Fur m > 1 liegt dabei eine sogenannte Ubermodulation vor; die Einhullende des moduliertenSignals ist dann nicht mehr proportional zum Nachrichtensignal.

Frequenzmodulation

Die Frequenzmodulation stellt eine Form der Winkelmodulation dar. Bei dieser Gruppe vonModulationsverfahren wird der Trager c(t) = cos (ϕc(t)) nicht wie bei der AM im Betrag, sondernim Argument durch das Nachrichtensignal u(t) varriert. Allgemein beschrieben werden kanndas so modulierte Signal um uber

um(t) = cos [ϕc(u(t))], (A.5)

Anhang A. Modulationsverfahren 21


wobei ϕc(t) auch als Momentanphase des modulierten Signals bezeichnet wird. Sie kann eben-so uber ihre Ableitung nach der Zeit, der sogenannten Momentankreisfrequenz ωc, beschriebenwerden:

ωc(t) =dϕc(t)

dt, (A.6)

wobei die Momentankreisfrequenz uber ωc(t) = ω0 + ∆ω(t) als eine zeitabhangige Anderungder eigentlichen Kreisfrequenz ω0 um ∆ω(t) betrachtet werden kann. Fur die Momentanphaseim Spezialfall eines frequenzmodulierten Signals gilt nun

ϕFM (t) ∝ ωct+

∫ t

−∞u(t)dτ (A.7)

und unter Ausnutzung von Gl. A.6 folgt sofort:

ωFM (t) ∝ ωc + u(t) (A.8)

Die Abweichung der Momentankreisfrequenz von der Mitten- bzw. Tragerfrequenz andert sichfolglich linear mit dem Nachrichtensignal. Man definiert nun einen Kreisfrequenzhub ∆ωmax,welcher die maximale Abweichung der Frequenz von der Mitten- bzw. Tragerfrequenz angibtund proportional zur Amplitude des Nachrichtensignals ist

∆ωmax ∝ max|u(t)|, (A.9)

oder einen Modulationsindexp =

∆ωmax2πB

=∆fmaxB

, (A.10)

welcher die relative Frequenzabweichung als Verhaltnis von Frequenzhub zur Bandbreite desNachrichtensignals angibt und als ein Maß fur die Intensitat der Frequenzmodulation verstan-den werden kann. In Abb. A.2 ist die Wirkungsweise der Frequenzmodulation qualitativ darge-stellt: In Abhangigkeit von der modulierenden Nachrichtensignalamplitude verandert sich dieMomentanfrequenz des modulierten Signals; fur große Werte verschiebt sie sich zu hohenFrequenzen hin, fur niedrige Werte verringert sie sich entsprechend. Die halbe Amplitude cha-rakterisiert dabei den Frequenzhub.

Die Abschatzung des Bandbreitebedarfs der Frequenzmodulation gestaltet sich komplizier-ter als im Falle der Amplitudenmodulation. Unter Annahme einer Eintonmodulation mit demNachrichtensignal u(t) = Au cos (ωut) ergibt sich wegen ϕFM (t) ∝ ωct +

∫ t−∞ u(t)dτ fur das

modulierte Signal

um(t) = cos [ωct+Auωu

sin (ωut)] = cos [ωct+ p sin (ωut)], (A.11)



wobei hier p = ∆ωmax2πB = max|u(t)|

2πB mit max|u(t)| = Au und 2πB = ωu ausgenutzt wurde.

c(t)

t

∆ωmax

∆ωmax

u(t)

t

ωc

ωmax

ωmin

um(t)

t

u(t)

Abbildung A.2.: schematische Darstellung der Frequenzmodulation im Zeitbereich

Fur Gl. A.11 ergibt sich nach Anwendung eines Additionstheorems2:

um(t) = cos (ωct) cos [p sin (ωut)]− sin (ωct) sin [p sin (ωut)] (A.12)

Unter Ausnutzung der Taylor-Reihenentwicklungen fur Sinus und Cosinus

sin (x) =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!=x

1!− x3

3!+x3

3!∓ ...

cos (x) =∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!=x0

0!− x2

2!+x4

4!∓ ...

(A.13)

2cos (x± y) = cos (x) cos (y)∓ sin (x) sin (y)



folgt beispielhaft fur das erste Summenglied der Sinusentwicklung und die ersten beiden Glie-der der Cosinusentwicklung

sin [p sin (ωut)] = p sin (ωut)− ...

cos [p sin (ωut)] = 1− 1

2p2 sin2 (ωut) + ...

(A.14)

und somit:

um(t) = cos (ωct) · cos [p sin (ωut)]− sin (ωct) · sin [p sin (ωut)]

= cos (ωct) · 1− sin (ωct) · p sin (ωut)− cos (ωct) ·1

2p2 sin2 (ωut) + ...

(A.15)

Nutzt man nun die Produkte der Winkelfunktionen, ergeben sich die einzelnen Terme zu3

sin (ωct) · p sin (ωut) =p

2[cos ([ωc − ωu]t)− cos ([ωc + ωu]t)] (A.16)

sowie4

cos (ωct) ·1

2p2 sin2 (ωut) =

p2

4cos (ωct)[1− cos (2ωut)]

=p2

4cos (ωct)−

p2

8[cos ([ωc − 2ωu]t) + cos ([ωc + 2ωu]t)],

(A.17)

so dass fur das modulierte Signal folgt:

um(t) =(1− p2

4) cos (ωct)

+p

2[cos ([ωc + ωu]t)− cos ([ωc − ωu]t)]

+p2

8[cos ([ωc + 2ωu]t) + cos ([ωc − 2ωu]t)] + ...

(A.18)

Offensichtlich entsteht durch die Modulation eine unendlich große Anzahl Seitenbander jeweilsim Abstand der Modulationsfrequenz zueinander. Man nimmt nun zusatzlich folgende Fallun-terscheidung vor:

Eine Schmalband-Frequenzmodulation liegt fur p << 1 vor, es gilt:

um(t) = cos (ωct) + [p

2cos ([ωc + ωu]t)− p

2cos ([ωc − ωu]t)] + ... (A.19)

3sin (x) sin (y) = 12[cos (x− y)− cos (x+ y)]

4sin2 (x) = 12[1− cos (2x)] und cos (x) cos (y) = 1

2[cos (x− y) + cos (x+ y)]



Da p << 1 gilt, kann diese Reihe bereits nach dem ersten Glied abgebrochen werden, da dieweiteren Terme mit zunehmendem Summenindex vernachlassigbar gering sind.Fur das Spektrum folgt daraus, dass sich eine Spektrallinie bei der Tragerfrequenz und auf- so-wie abwartsgemischt um die Frequenz des Nachrichtensignals dazu jeweils eine sehr geringeSpektrallinie ergibt. Die benotigte Kanalbandbreite BK betragt das doppelte der Signalband-breite B und entspricht damit der Kanalbandbreite einer Amplitudenmodulation: BK = 2B.

Eine Breitband-Frequenzmodulation liegt fur p > 1 vor, es wird dabei von einer Fourier-Reihenentwicklung ausgegangen:

um(t) =∞∑

k=−∞Ck cos ([ωc + kωu]t), (A.20)

mit Ck = Jk(p). Die Fourierkoeffizienten Ck entsprechen dabei den Besselfunktionen ersterGattung der Ordnung k, diese sind in Abb. A.3 dargestellt. Das Spektrum ergibt sich zu

Abbildung A.3.: Besselfunktionen erster Gattung

Um(jω) = π

∞∑k=−∞

Jk(p)[δ(ω − ωc − kωu) + δ(ω + ωc + kωu)], (A.21)

wobei k = 0 den Trager und k 6= 0 die Seitenbander beschreibt. Es ergeben sich folglich un-endlich viele Spektrallinien im Abstand der Modulationskreisfrequenz, wobei die Spektralliniennach ihrer Ordnung jeweils mit dem Wert der zugehorigen Besselfunktion an der Stelle p ge-wichtet sind.



Der Bandbreitebedarf einer solchen Breitband-Frequenzmodulation ergibt sich nach der soge-nannten Carsonregel:

BK ≈ 2B(1 + p) (A.22)

Der Modulationsindex p kann somit auch als Maß fur die spektrale Verbreiterung des eigent-lichen Spektrums verstanden werden. Beispiele fur Spektren einer FM verschiedener Modu-lationsindizes bei konstanter Signalfrequenz sind in Abb. A.4 dargestellt. Hervorzuheben isthierbei das Verschwinden des Tragers fur p = 2, 4, entsprechend der ersten Nullstelle der Bes-selfunktion nullter Ordnung (vgl. Gl. A.21 fur k=0). Mit zunehmendem Modulationsindex verteilt

ω0 ωc

p=0.2

ω0 ωc

p=1|Um(jω)|

ω0 ωc

p=2

ω0 ωc

p=2.4

ω0 ωc

p=3

ω0 ωc

p=4

ωuω

u

ωuω

u

ωuω

u

ωuω

uωuω

u

ωuω

u

|Um(jω)|

|Um(jω)||U

m(jω)|

|Um(jω)| |U

m(jω)|

Abbildung A.4.: Spektrum der FM in Abhangigkeit vom Modulationsindex p

sich die Information uber einen großeren Frequenzbereich. Die Frequenzmodulation ist damitstabiler gegenuber der Amplitudenmodulation, da sich Storungen der Amplitude nicht so starkbemerkbar machen und auch Storungen auf der eigentlichen Tragerfrequenz einen geringerenEinfluss auf die Ubertragung der Nachricht haben.

Anmerkung zum Gebrauch des Begriffs der Frequenzmodulation in der Literatur:Zusatzlich zur hier dargestellten Frequenzmodulation unterscheidet man noch ein weiteresWinkelmodulationsverfahren, die sogenannte Phasenmodulation. Bei dieser andert sich die



Momentanphase linear mit der Nachricht. Aufgrund des somit nur relativ geringen Unterschiedszur Frequenzmodulation5 und der Tatsache, dass eine Frequenzmodulation auch eine Pha-senanderung nach sich zieht, ist es somit auch nicht weiter verwunderlich, weshalb dieseBegriffe in der Literatur zum Thema Chirp (vgl. Kapitel 3) oftmals - wenn streng genommenauch falschlicherweise - in einem ahnlichen Zusammenhang oder sogar synonym gebrauchtwerden.

5Fur Eintonsignale sind die Darstellungen im Zeitbereich identisch und Frequenz- und Phasenmodulation nichtvoneinander unterscheidbar.


Literaturverzeichnis

[1] Octave Forum. Curve fit, Abruf: 1.11.2011.

[2] C. H. Henry. Theory of the linewidth of semiconductor lasers. IEEE Journal of QuantumElectronics, Vol QE-18:2, 1982.

[3] A. Juarez et al. Praktikumsunterlagen: Laborskript zum Versuch: Optische Ubertragungs-strecke. Technische Universitat Berlin, 2011.

[4] W. Lee. Curve fitting in microsoft excel, Abruf: 1.11.2011.

[5] K. Petermann. Laser Diode Modulation And Noise. Kluwer Academic, 1988.

[6] K. Petermann. Skript: Einfuhrung in die optische Nachrichtentechnik. Technische Univer-sitat Berlin, 2011.

[7] P. Seiler. Bachelorarbeit: Messung des Chirps bei direkt modulierten Halbleiterlasern.Technische Universitat Berlin, 2011.

[8] T. Sikora et al. Skript: Einfuhrung in die Nachrichtenubertragung. Technische UniversitatBerlin, 2010.

[9] A. Villafranca et al. Measurement of the linewidth enhancement factor in dfb lasers using ahigh-resolution optical spectrum analyzer. IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 17:11,2005.

[10] A. Villafranca et al. Precise characterization of the frequency chirp in directly modulateddfb lasers. 6th Spanish Conference on Electronic Devices, 2007.

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Messung des Chirps bei direkt modulierten Halbleiterlasern · Optische Nachrichtentechnik Praktikum...

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