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erschienen in: Sprache – Kultur – Darstellungsformen. Methodenprobleme in der Philosophie

(hrsg. v. B. Kremberg/R. Totzke), Leipziger Universitätsverlag 2010, 13-33

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MATTHIAS WILLE

Methode ohne Reflexion.

Die Forschungspragmatik der Neo-Fregeaner

und Rechtfertigungsmöglichkeiten eines

analytischen Mittelbestandes

EINLEITUNG

Als zum Ausgang des 19. Jahrhunderts die Lobby von Kants „syntheti-

schem Apriori“ merklich zu schwinden begann, wurde auch die Glaubwür-

digkeit der Kronzeugen für diesen Geltungstyp (Mathematik und die (aprio-

rischen) Grundlagen der Naturwissenschaften) zusehends häufiger in Frage

gestellt. Doch die sich stetig entwickelnde Kritik an der (bereichsspezifi-

schen) Möglichkeit von apriorischen Erweiterungsurteilen wies auf ein an-

deres Defizit hin: wenn Sätze einer bestimmten Satzklasse keine syntheti-

schen Urteile a priori sind, was sind sie dann? Im Falle arithmetischer

Wahrheiten war es Gottlob Frege, der nicht nur eine vage Vorstellung da-

von hatte, von welcher Geltung sie sind, sondern der ein umfassendes Be-

gründungsprogramm im Detail ausarbeitete, mit dem gezeigt werden sollte,

dass zumindest alle arithmetischen Theoreme aus einer geeigneten Logik

zweiter Stufe folgen. Für Frege war dies jedoch nicht nur eine technische

Aufgabe, denn die Logisierung der Arithmetik diente ihrerseits der weitaus

tiefer gehenden erkenntnistheoretischen Frage, wie uns die Zahlen gegeben

sind.

Doch weder Freges Logizismus noch der zweite, wenngleich anders moti-

vierte, Versuch durch Russells Typentheorie war jener Erfolg beschieden,

der eine notwendige Gelingensbedingung für derartige Begründungspro-

gramme repräsentiert: die Herleitung der Peano-Dedekindschen Axiome für

die Arithmetik aus einem geeigneten formal-logischen System. Freges Sys-

tem war aufgrund seiner Inkonsistenz nicht geeignet und Russells Typen-

theorie eignete sich aufgrund des nicht-logischen Charakters einzelner Axi-

ome nicht, obgleich sich Russell redlich bemühte, seine zusätzlichen axio-

matischen Forderungen zu rechtfertigen. Trotz der – aus heutiger Sicht –

erfolglosen Zurückführungsversuche der Arithmetik auf eine geeignete Lo-

gik höherer Stufe, wuchs die Kritik an der Kantischen Erkenntnistheorie

und kulminierte fürs Erste in der logisch-empiristischen Doktrin, dass es

keine synthetischen Urteile a priori geben könne. Für die Mathematikphilo-

sophie war dies eine missliche Lage: das synthetische Apriori wurde als



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metaphysischer Unfall in das Kuriositätenkabinett der Philosophiegeschich-

te abgestellt, während die Versuche, die Arithmetik (und schließlich auch

die ganze Mathematik) als – im weitesten Sinne – analytisch zu erweisen,

scheiterten. Sieht man einmal von den wenig attraktiv scheinenden Versu-

chen ab, die mathematischen Wahrheiten als aposteriorische zu erweisen, so

war man im Begriff, die beiden einzig möglichen Deutungsoptionen aus

unterschiedlichen Gründen zu verlieren.

Obgleich die Fregeschen Gedanken zur Arithmetik längere Zeit im Verbor-

genen schlummerten und im Wesentlichen erst ab den 1960ern wieder mit

gebührender Aufmerksamkeit bedacht wurden, so blieben sie trotz ihres

historisch frühen Scheiterns und trotz der Verfechter von apriorischen Er-

weiterungsurteilen für viele der beste und aussichtsreichste Kandidat für ein

angemessenes Verständnis mathematischer Wahrheiten. Im „Detail“ be-

durfte es sicherlich der einen oder anderen Verbesserung, aber im Großen

und Ganzen schien Freges Ansatz schon den richtigen Weg zu weisen. Dies

war und ist im Besonderen die Auffassung von Crispin Wright und Bob

Hale, die seit nunmehr gut 25 Jahren ein Programm auf- und ausgearbeitet

haben, das sich explizit in Freges Tradition stellt mit dem ehrgeizigen Ziel,

jenes zu erreichen, was Frege verwehrt blieb. Unter ihrer Federführung

formulierte man entsprechend als erstes Etappenziel das Wunschresultat,

die Theoreme der Arithmetik als analytische Wahrheiten zu erweisen. Ob-

gleich ausnahmslos alle hierfür erforderlichen Beweisschritte regelkonform

und damit korrekt vollzogen wurden1 und am Ende der Beweisvollzüge je-

weils formale Pendants der Axiome der Arithmetik erster Stufe stehen, so

wird im Nachfolgenden dafür argumentiert, dass auch der neo-Fregeanische

Logizismus die gesteckten Ziele nicht erreicht hat. In der Methodologie der

Neo-Fregeaner wird eine zentrale Bedingung ignoriert oder nicht gesehen,

die Frege noch dazu veranlasste, sein wissenschaftliches Hauptwerk als ge-

scheitert zu beurteilen: korrekte Beweisvollzüge sind für ein erfolgreiches

Logizismusprojekt zwar eine notwendige, aber keineswegs eine hinreichen-

de Bedingung. Es bedarf zudem einer seriösen philosophischen Reflexion

auf die Methode und damit auf die investierten Beweismittel, um die forma-

len Werkzeuge in ihrer Verwendung rechtfertigen zu können. Der Neo-

Fregeanismus scheitert letztlich daran, dass er ein philosophisch nicht be-

gründbares formales System benutzt.

MINIMALBEDINGUNGEN FÜR DAS BEGRÜNDEN

Man formuliert sicherlich keine idiosynkratische Auffassung, wenn festge-

stellt wird, dass das Begründen von Thesen über die Angabe von stützenden

1 Eine detaillierte Aufbereitung in moderner Notation findet sich unter anderem in Edward N.

Zaltas Artikel „Frege’s Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic“.



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Aussagen erfolgt, die ihrerseits über eine Stützungsrelation mit der zu be-

gründenden Behauptung in Verbindung gebracht werden. Zusammen bildet

eine solche Sequenz von Aussagen ein Argument. Können alle stützenden

Aussagen mit Anspruch auf Geltung (Wahrheit im Falle von Behauptungs-

sätzen, Bewiesenheit im Falle von Formeln oder Gerechtfertigtheit im Falle

von Normen) vorgetragen werden und handelt es sich um eine zulässige

Stützungsrelation, so liegt ein gutes Argument vor. Selbstverständlich las-

sen sich diese argumentationstheoretischen Grundeinsichten noch beliebig

differenzieren. So sollte etwa umgehend festgehalten werden, dass weitere

Minimalbedingungen für eine erfolgreiche Begründungspraxis darin beste-

hen, dass keine Begründungszirkel durchlaufen werden (die Geltung min-

destens einer Prämisse setzt bereits die Geltung der zu stützenden These

voraus) oder man sich einer argumentativen Inkonsistenz schuldig macht.

Letzteres widerfährt einem in der Regel dann, wenn eine These gestützt

werden soll, deren Negation bereits als Sinnbedingung oder Präsupposition

in die gesamte Argumentation eingeht. Doch selbst wenn Zirkel und argu-

mentative Inkonsistenzen ausgeschlossen werden, so können weitere Prob-

leme den Begründungserfolg vereiteln. Besonders prominent ist der Fall,

wenn Einwände, die sich gegen die zu stützende These formulieren lassen,

gleichermaßen auf mindestens eine der Prämissen anwendbar sind, denn die

Begründung von Thesen erfolgt in aller Regel nicht ohne Motive, d.h. die

Begründung wird bereits im Lichte der Entgegnung oder Entkräftung von

faktischen oder potentiellen Einwänden vollzogen. Wer also eine These aus

bestimmten Gründen begründen möchte, der sollte sicherstellen, dass nach

Maßgabe eben dieser Gründe potentielle Einwände nicht auf die einzelnen

stützenden Thesen gelenkt werden können.2 Diese kursorischen Hinweise

stehen für das Nachfolgende im Hintergrund, denn es bleibt festzuhalten,

dass der Ausdruck „Begründung“ – trotz aller Schattierungen – einen an-

spruchsvollen normativen Begriff repräsentiert, d.h. wer etwas „zu begrün-

den“ beansprucht, der verpflichtet sich auf eine Vielzahl von Gelingensbe-

dingungen.

DER NEO-FREGEANISCHE LOGIZISMUS IN KURZFORM

Im Mittelpunkt des neo-Fregeanischen Logizismus für die Arithmetik steht

die These, dass die arithmetischen Theoreme bereits aufgrund der Bedeu-

tung der in ihnen verwendeten Ausdrücke wahr sind: die beweisbaren

arithmetischen Sätze sind analytisch wahr. Hierfür wird eine typenfreie Lo-

gik zweiter Stufe benutzt (eine Logik, die also das Quantifizieren über Prä-

2 Eine eingehendere Analyse dieser argumentationsstrategischen Minimalbedingungen findet sich

– allerdings mit Ausrichtung auf die beweistheoretische Begründungspraxis – in Wille, M., Be-

weis und Reflexion, S. 56-77.



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dikate erlaubt) und ergänzt um geeignete Definitionen für die Ausrücke

„natürliche Zahl“, „unmittelbarer Vorgänger“ und „Null“. Die zugrunde

liegende Sprache enthält als einzigen Ausdruck, der nicht bereits der Syntax

der typenfreien Logik zweiter Stufe angehört, die Konstante „#“ – den

termbildenden Operator der „octothorpe“-Funktion, die Begriffe als Argu-

mente auf Anzahlen als Funktionswerte abbildet. Im Mittelpunkt dieses

logico-semantischen Systems steht aber eine Definition per Abstraktion für

den Anzahlbegriff, die den Namen Hume’s Principle3 erhalten hat:

(HP) F G (#F=#G ↔ F≈G)

„Zwei Begriffe F, G besitzen genau dann dieselbe Anzahl, wenn F

und G gleichzahlig sind (d.h. sich die unter F und G fallenden Ge-

genstände eineindeutig zuordnen lassen).“

Das so charakterisierte System (die typenfreie Logik zweiter Stufe ergänzt

um die genannten semantischen Mittel) bezeichnet man als Frege Arithme-

tik4 (FA) und die entsprechende Metabehauptung, dass alle Peano-

Dedekindschen Axiome (oder doch zumindest formale Pendants) aus der

Frege Arithmetik hergeleitet werden können, als Frege’s Theorem5. Um

nun die zentrale These zu begründen, wird folgendes Argument formuliert:

P1 Wenn Frege’s Theorem wahr und die Frege Arithmetik analytisch

ist, dann ist auch die Arithmetik erster Stufe analytisch.

P2 Frege’s Theorem ist wahr.

P3 Die Frege Arithmetik ist analytisch.

K Die Arithmetik erster Stufe ist analytisch.

3 Dieser Name wurde von Boolos mit Bezugnahme auf §63 von Freges Grundlagen der Arithme-

tik eingeführt. Siehe Boolos, G., „Saving Frege from Contradiction“, S. 171. Ders., „The Con-

sistency of Frege’s Foundations of Arithmetic“, S. 186. Bei Charles Parsons („Frege’s Theory

of Number“, S. 183) besitzt es den Namen “principle (A)” und bei Crispin Wright (Frege’s

Conception of Numbers as Objects, S. 104) “N=”.

4 Auch diese Namensgebung geht auf Boolos zurück. Siehe Boolos, G., „The Consistency of

Frege’s Foundations of Arithmetic“, S. 184. 5 Es war wiederum Boolos, der diesen Namen wählte mit Bezugnahme auf die informellen Her-

leitungen in den §§63ff von Freges Grundlagen. Siehe Boolos, G., „The Standard of Equality of

Numbers“, S. 209. In diesem Zusammenhang wäre es allerdings wesentlich besser, sich umge-

hend auf Freges Grundgesetze zu beziehen, wo Frege’s Theorem in allen erforderlichen Details

formal begründet wird. Hingegen favorisiert Tennant („Review Essay on Bob Hale and Crispin

Wright“, S. 231) unter Berücksichtigung der konzisen Überlegungen von Parsons („Frege’s

Theory of Number“, S. 183 & S. 194) den Namen Frege-Parson’s Theorem”.



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Die dem Argument zugrunde liegende Stützungsrelation ist tadellos. Es

handelt sich bei ihr um einen aussagenlogisch gültigen Schluss, der sich

zudem dazu eignet, alle Prämissen zugleich mit Anspruch auf Geltung vor-

zutragen.6 Eine Kritik an dem Argument kann folglich nur über eine Kritik

an den Prämissen erfolgen. Wenig aussichtsreich ist hierbei das

Infragestellen der Geltung der ersten Prämisse, denn diese Konditionalaus-

sage behauptet ja weder, dass alle erforderlichen Beweise gelungen sind,

noch, dass alle hierfür herangezogenen Mittel einen rein analytischen Cha-

rakter besitzen. Vielmehr wird durch die erste Prämisse festgestellt, dass

Analytizität als Eigenschaft von Aussagen erblich ist, wenn lediglich mit

rein formal-logischen Mitteln abgeleitet wird. Dies scheint selbst eine ana-

lytische Wahrheit zu sein. Indes Kritik an der zweiten Prämisse zu üben,

würde darauf hinauslaufen, dass Fehler in den Beweisvollzügen unterstellt

werden, die mithin benannt werden müssten, um diese Kritik manifestieren

zu können. Derartige Fehler sind mir nicht bekannt und so richten wir unse-

re Aufmerksamkeit vor allem auf die dritte Prämisse und die durch sie zum

Ausdruck gebrachten Begründungsansprüche. Wir vollziehen dies jedoch

nicht aus dem Grund, weil es die Konklusion um jeden Preis zu kritisieren

gilt7, sondern weil erhebliche Bedenken gegen die Geltung von P3 bestehen,

die sich bei genauerer Betrachtung dessen zeigen, was es bedeutet, einen

Mittelbestand als analytisch zu erweisen.

HP IST KEIN DEFINITIONSPRINZIP

Freges System aus den Grundgesetzen eignete sich nicht für eine gelungene

Realisierung des Logizismusprogramms, da das Grundgesetz der Wertver-

läufe

(GGV) έf(ε)=άg(α x (f(x)=g(x))

„Der Wertverlauf der Funktion f ist identisch mit dem Wertverlauf

der Funktion g, genau dann wenn für alle Argumente f und g die-

selben Funktionswerte besitzen.“

6 Bekanntlich eignen sich nicht alle klassisch gültigen Schlüsse als Stützungsrelationen für gute

Argumente. Einfachster Fall: В, . 7 Diese Argumentationsstrategie zu verfolgen, würde die Inanspruchnahme eines wesentlich

dogmatischen Elements bedeuten: „Auf welches System S auch immer die Arithmetik erster

Stufe zurückgeführt werden kann, S kann nicht als logico-semantisches System anerkannt wer-

den.“ Gleichermaßen kann dem ein Logizist entgegnen: „Worauf auch immer die Arithmetik

erster Stufe zurückführbar ist, dieses System ist per definitionem als logico-semantisches aufzu-

fassen.“ Beide Verfahrensweisen hätten ersichtlich kaum einen Erkenntniswert.



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im Zusammenspiel mit einer typenfreien Logik zweiter Stufe zu Antinomien

führt. GGV selbst repräsentiert also keineswegs eine kontradiktorische Aus-

sage der Form , sondern letztere ist aus GGV erst unter Zuhilfenahme

einer typenfreien Logik zweiter Stufe herleitbar. Christian Thiel hat seit

mehr als 35 Jahren immer wieder auf diesen Punkt aufmerksam gemacht

und stets betont, dass die Rede vom „widerspruchsvollen Grundgesetz V“

zu kurz greift und eher die benannten Missverständnisse befördert.8 Die

Inkonsistenz von Freges System ist mithin nicht einzig nur GGV anzulas-

ten, sondern GGV plus der typenfreien Logik zweiter Stufe. Und insofern

Russells Typentheorie gerade aufgrund der Typengrammatik keine

Logisierung der Arithmetik erlaubt, verbleibt für Verfechter des Logizismus

erst einmal die Option, GGV fallenzulassen, aber gleichermaßen an der zu-

grundeliegenden Logik festzuhalten. Diese Möglichkeit wäre freilich wenig

attraktiv, wenn durch den Verzicht auf GGV so ziemlich alles wegbrechen

würde, was zur Herleitung der arithmetischen Axiome erforderlich wäre.

Tatsächlich wird GGV innerhalb der Grundgesetze aber lediglich ein einzi-

ges Mal substantiell benötigt: zum Beweis von HP. Im §53 (GGA I) leitet

Frege F G (F≈G #F=#G) her und im §69 (GGA I) schließlich F G

(#F=#G F≈G). Der neo-Fregeanische Ausweg, der bereits 1965 von Par-

sons erwogen wurde, besteht also darin, statt GGV HP zu verwenden. Und

insofern HP im Unterschied zu GGV prima facie konsistent zur typenfreien

Logik hinzugenommen werden kann, scheinen die dramatischen Probleme

Freges gebannt. Frege selbst nahm davon Abstand, statt GGV HP als

Grundgesetz zu verwenden. HP sollte sich zwar – wie in den besagten Pa-

ragraphen auch bewiesen wird – als gewünschtes Theorem einstellen, doch

bereits in den Grundlagen wies Frege mit Bezugnahme auf seine Ansprü-

che gegenüber Definitionen daraufhin, dass HP nicht die Kraft besitzt zu

entscheiden, welche Gegenstände als Anzahlen zu gelten haben. Nun lassen

sich zwar Freges Ansprüche gegenüber Definitionen, dass diese Unter-

scheidungskriterien für die Gegenstände mitführen müssten, die unter die

definierten Ausdrücke fallen, aus heutiger Sicht durchaus kritisch beurtei-

len, allerdings verbleibt immer noch die Frage, warum HP ein zulässiges

semantisches Mittel sein soll. Schließlich sollte nicht jeder beliebige Satz

durch schiere Willkür als analytisch beurteilt werden können und nicht jede

beliebige Regel aufgrund der freien Wahl der Kriterien als eine semantische

ausweisbar sein. Vielmehr bedarf es des Rekurses auf die je erforderlichen

definitionstheoretischen Grundlagen, um die Zulässigkeit von Aussagen als

8 So etwa: Thiel, Ch., „Gottlob Frege – Die Abstraktion“, S. 41f. Ders., „Zur Inkonsistenz der

Fregeschen Mengenlehre“, S. 136.



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Definitionen, Bedeutungspostulaten usw. erweisen zu können.9 Veran-

schaulichen wir uns dies an einem einfachen Beispiel. Wer etwa begründen

möchte, dass die Aussage

„Alle geraden Zahlen sind ganzzahlig durch Zwei teilbar.“

eine analytisch wahre ist, der hat zu zeigen, dass dieser Satz bereits auf-

grund der Bedeutung der verwendeten Ausdrücke wahr ist. Im vorliegenden

Fall besagt dies, dass wir uns im Besonderen auf die Semantik von „gerade

Zahl“ und „ganzzahlige Teilbarkeit (durch die Zahl Zwei)“ berufen müssen,

um die Begründung leisten zu können. Diese Bezugnahme auf die bedeu-

tungsgebenden Definitionen ist aber nur dann zulässig, wenn alle hierfür

erforderlichen semantischen Konventionen den zugrunde liegenden defini-

tionstheoretischen Erfordernissen genügen. Denn nur dann handelt es sich

um korrekte Definitionen und mithin um zulässige semantische Mittel. Die

Analytizität unseres Beispielsatzes erweisen wir üblicherweise unter Rück-

griff etwa auf die Definitionen:

(Defg) gerade(n) n/2

„Eine Zahl n heißt gerade, genau dann wenn n/2 Element der gan-

zen Zahlen ist.“

(Deft) m teilt ganzzahlig n n/m

„Eine Zahl m teilt ganzzahlig n, genau dann wenn n/m Element der

ganzen Zahlen ist.“

In der Tat kann man nun einfach zeigen, dass der Beispielsatz aufgrund von

(Defg) und (Deft) „gilt“. Ob es sich hierbei allerdings um eine analytische

Wahrheit handelt, hängt nun wesentlich von dem eher selten explizit ge-

machten Punkt ab, ob (Defg) und (Deft) ihrerseits alle Bedingungen für ex-

plizite Definitionen erfüllen. Um dies sicherzustellen beziehen wir uns auf

das Definitionsschema für explizite Definitionen

(DeD) I() I1, ..., In

definiendum() definiens

und haben zu zeigen, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:10

9 Selbstverständlich kann man diesen Rekurs wiederholt einfordern und dann über alternative

semantische Mittel und Definitionstheorien diskutieren oder den Analytizitätsbegriff selbst zum

Gegenstand der Debatte machen. Für uns reicht es im vorliegenden Falle jedoch vollkommen

aus, dass bei der Verwendung analytischer Mittel zumindest die Explikation der hierfür heran-

gezogenen semantischen Prinzipien möglich sein muss. 10

Nach Hartmann, D., On Inferring, S. 113.



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i) Das Definiendum muss logisch atomar sein. („gerade(+)“ ist lo-

gisch atomar.)11

ii) Alle im Definiens vorkommenden freien Variablen treten auch im

Definiendum auf. (Im Definiens tritt einzig „n“ als freie Variable

auf und kommt ebenfalls im Definiendum vor.)

iii) Jede im Definiendum vorkommende freie Variable tritt dort genau

einmal auf. („n“ kommt als einzige freie Variable des Definiendums

dort genau einmal vor.)

iv) Definitionen dürfen nicht kreativ sein. (Nimmt Bezug auf den gesam-

ten Sprachaufbau und bedarf hier keiner weiteren Klärung.)

v) Zirkuläre Definitionen sind unzulässig. (Nimmt ebenfalls Bezug auf

den gesamten Sprachaufbau und bedarf hier keiner weiteren Klä-

rung.)

Haben wir alle Kriterien – im Besonderen also i) bis iii) für das Definitions-

schema – als bestehend nachgewiesen, dann ist unsere Begründung des ana-

lytischen Charakters des Beispielsatzes abgeschlossen.

Im Falle von HP hat man eigentlich analog zu verfahren: man bezieht sich

auf das zugrunde liegende Definitionsprinzip und weist HP als korrekt ge-

bildete Instanz aus. „Eigentlich“ deshalb, weil die Neo-Fregeaner sich in

der Legitimierung von HP nicht auf ein Definitionsschema per Abstraktion

beziehen, sondern HP selbst als ein Abstraktionsprinzip und damit als ein

selbständiges semantisches Verfahren ausweisen. Dieser Kunstgriff kann

im Hinblick auf die Begründungsziele zwar verständlich gemacht werden,

allerdings ist er unzulässig und darüber hinaus sogar irreführend. Bevor wir

uns diesen Kunstgriff näher anschauen, sei aber erst einmal der korrekte

Begründungsweg skizziert.

HP repräsentiert eine zulässige Anzahldefinition per Abstraktion, weil HP

eine korrekt gebildete Instanz des Abstraktionsschemas

(ABS) в(s)=в(t) s≈t

„Genau dann, wenn die Konkreta s und t in der ≈-

Äquivalenzrelation stehen, repräsentieren sie dasselbe Abstraktum

в(s) (bzw. в(t)).“ (Beschränken wir uns also in der Rede über die

Konkreta s, t auf die ≈-invarianten Aussagen, dann machen wir

Aussagen über das Abstraktum в(s) (bzw. в(t)).)

ist. Damit dies gelingt, müssen im Besonderen folgende Bedingungen er-

füllt sein:12

11

Der Nachweis des Bestehens der Bedingungen für (Deft) erfolgt entsprechend (einziger Unter-

schied: zwei freie Variablen).



21

j) в muss ein termbildender Operator sein.

jj) в wird auf Ausdrücke s und t angewendet, die ihrerseits vom selben

logischen Typ sind. (Sonst könnte die ≈-Relation nicht angewendet

werden.)

jjj) Die Relation ≈ muss eine Äquivalenzrelation sein.

jjjj) Der so gebildete Term в(s) muss vom selben logischen Typ wie s

sein. (Das Abstraktum muss vom selben logischen Typ sein wie das

Konkretum.)

Das Bestehen der Bedingungen j) bis jjj) könnte innerhalb des neo-

Fregeanischen Programms begründet werden. Einzig die Realisiertheit der

vierten Bedingung lässt sich erst in einer Typengrammatik erweisen, was

bereits einen Hinweis darauf gibt, dass das Nichtbestehen dieser Bedingung

in einer typenfreien Sprache zu Problemen führen wird. Es ist eben diese

Bedingung, deren Nichtbestehen im Falle von GGV zu den besagten Wi-

dersprüchen führt.13

Der im Programm ausbleibende Rekurs auf ABS be-

sitzt also einen definitionstheoretischen Grund und einen – sich daraus er-

gebenden – strategischen. Der definitionstheoretische Grund besteht in der

Verlegenheit, dass sich die besagte Bedingung jjjj) für HP nicht zeigen

lässt, denn gemäß dem neo-Fregeanischen Programm gilt etwa (und derer

Beispiele gibt es beliebig viele) für den Begriff „ungerade natürliche Zahl

strikt kleiner als Sieben zu sein“ ( B), dass die Zahl Drei sowohl unter ihn

fällt als auch seine Anzahl repräsentiert. Typentheoretisch würde dies aller-

dings zu der syntaktisch nicht wohlgeformten und damit unzulässigen Aus-

sage „die Zahl 3(τ)

fällt unter den Begriff B(τ)

“ führen, weil aufgrund der

Bedingung jjjj) „Typ(B) = Typ(#B)“ und aufgrund der Identität „3(τ)

=

#B(τ)

“ gelten muss. Darüberhinaus müssen selbstverständlich alle definier-

ten Zahlen im Programm vom selben Typ sein. Und da als Definitionsme-

thode über die Schrittfolge (abgebildet in der linken Spalte) verfahren wird,

wird offensichtlich, dass Begriffe und ihre Anzahlen vom selben Typ sein

müssen, denn die gebundene Variable im Lambdaterm kann nicht über ver-

schiedene Typen laufen (dasselbe Szenario ist in einer Typengrammatik

nicht durchsetzbar – siehe rechte Spalte).

12

Nach Hartmann, D., On Inferring , S. 296ff, vor allem S. 302. 13

Durch die Bedingung jjjj) sollen im Besonderen unzulässige Begriffsbildungen ausgeschlossen

werden. Im Falle von HP betrifft dies etwa die Definition einer Anzahl n via einer

Äquivalenzklasse von Begriffen, wobei n unter einzelne dieser Begriffe fällt.



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Neo-Fregeanische Definitionsmethode Typengrammatische Alternative?

0 #[λx x≠x]

1 #[λx x0]

:

n+1 #[λx x0 x1 … xn]

:

0(τ)

#[λxτ x

τ≠x

τ]

(τ)

1((τ))

#[λx(τ)

x(τ)0

(τ)]

((τ))

2? #[λx

? x

(τ)0(τ)

x((τ))1

((τ))]

?

Würde man wegen dieser Einsicht indes auf jjjj) stillschweigend verzichten,

dann würde neben HP aber auch GGV eine korrekt gebildete Instanz von

ABS repräsentieren, d.h. wer HP als zulässig relativ zum modifizierten

ABS ausweist, der hat innerhalb seines Systems auch jede andere korrekt

gebildete ABS-Instanz als analytische Wahrheit anzuerkennen, was im Fall

von GGV aber zur besagten Antinomie und damit zur Inkonsistenz des Sys-

tems führen würde. Aus diesem einfachen strategischen Grund wird die

Zulässigkeitserklärung für HP von ABS abgekoppelt und HP selbst als Ab-

straktionsprinzip behandelt. Doch HP ist kein Definitionsprinzip, weil wir

von einem solchen die Angabe allgemeiner Anweisungen zur korrekten

Bildung von entsprechenden Definitionsinstanzen (also Definitionen für

ganz bestimmte Ausdrücke) erwarten, was im Falle eines Abstraktionsprin-

zips auf ein Set von Regeln hinausläuft, wie wir korrekt Abstraktoren (etwa

den Anzahlbegriff, den Begriff des Begriffs, den Begriff des Sachverhalts,

den Begriff der Bedeutung usw.) einführen können. Es bleibt zu betonen,

dass ein Definitionsschema überhaupt nur dann angemessen als „Definiti-

onsprinzip per Abstraktion“ charakterisiert werden sollte, wenn die Instan-

zen dieses Definitionsschemas die Definition für abstrakte Begriffe liefert.

Wird durch die Instanzen anderes geleistet (z.B. die Termdefinition für Ge-

genstände, die unter abstrakte Begriffe fallen), dann kann das korrespondie-

rende Schema auch kein Abstraktionsprinzip gewesen sein.

Doch weder liefern die Instanzen von HP Abstraktoren noch führt HP einen

genuin neuen Bedingungskatalog mit sich, wie korrekte Instanzen gebildet

werden können. Da HP bereits die Definition per Abstraktion für einen

ganz bestimmten Ausdruck repräsentiert (nämlich den Anzahlbegriff), kön-

nen die Instanzen von HP lediglich Abstrakta (Anzahlen) liefern, d.h. die

Instanzen von HP definieren abstrakte Gegenstände, die unter den

Abstraktor Anzahl fallen. Darüber hinaus wird mit der Formulierung von

HP keine einzige neue Anweisung formuliert, wie Instanzen korrekt zu bil-

den sind, da alle hierfür erforderlichen Bedingungen bereits durch die zu-

grunde liegende Logik erfasst sind: die Bedingungen für die Bildung kor-

rekter HP-Instanzen werden ausnahmslos durch HP-fremde Mittel festge-



23

legt. Im Besonderen benötigen wir für die Bildung von korrekten HP-

Instanzen die (in der typenfreien Logik zweiter Stufe verfügbare)

Allbeseitungsregel für Prädikate

( BP) [Т/T]

mit den Beseitigungsbedingungen, dass T ein elementarer Prädikatorterm

oder aber ein beliebig komplexer Lambdaausdruck passender Stellenzahl

sein muss. Damit erweist sich HP im selben Maße als ein Abstraktionsprin-

zip wie sich (Defg) als ein Definitionsschema erweist. Und wer wollte

schon (Defg) als Definitionsprinzip behandeln. Die im Neo-Fregeanismus

etablierte Rede von einem Abstraktionsprinzip erweist sich als eine Falsch-

etikettierung, die einen Allgemeinheitsanspruch suggeriert, der nicht einmal

im Ansatz gegeben ist. Ohne den Rekurs auf ABS bleibt letztlich ungeklärt,

was hier wie und mit welchem Anspruch eingeführt werden soll. Da diese

Falschetikettierung letztlich mit einem Verzicht auf eine Zulässigkeitserklä-

rung von HP als semantischem Werkzeug einhergeht, werden in der Frege

Arithmetik Mittel verwendet, deren gerechtfertigte Verwendung fraglich ist.

Dies hat unerwünschte Folgen, die als Symptome zum Ausdruck bringen,

dass die investierte Methode nicht kritisch genug reflektiert wurde.

INDIKATOREN FÜR DEN BEGRÜNDUNGSMISSSTAND

Der klassische und historisch prominente Indikator für einen Begrün-

dungsmissstand in der Bereitstellung formaler Systeme ist die Antinomie:

kann aus einem formalen System annahmefrei ein Widerspruch hergeleitet

werden, dann zeigt dies unmissverständlich an, dass in der Bereitstellung

der Beweismittel Fehler unterlaufen sind. Sofern nicht bereits auf der Ebene

der Axiome und Schlussregeln kontradiktorische Formeln in Erscheinung

treten, dann wird mit dem Auftreten einer Antinomie angezeigt, dass min-

destens zwei der investierten Mittel (Beweismittel, Mittel für die axiomati-

schen Bereitstellung des Systems – im Besonderen Mittel der Syntax) nicht

zugleich als zulässig erwiesen werden können. Dieser Begründungsmiss-

stand kann gegenwärtig (und hoffentlich auch künftig) für die Frege Arith-

metik (FA) nicht manifest gemacht werden. Allerdings erweist sich die FA

als äquikonsistent zu Z214

, d.h. aus der Widerspruchsfreiheit jenes Systems,

auf das begründungstheoretisch die Arithmetik erster Stufe zurückgeführt

werden soll, folgt die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik zweiter Stufe –

der klassischen Analysis. Allerdings entspringt hieraus ein Bedenken, das

14

Boolos, G./Heck, R., „Die Grundlagen der Arithmetik, §§82-83“, S. 317 und S. 334ff.



24

Zweifel am Begründungspotenzial des neo-Fregeanischen Logizismus auf-

kommen lassen: wenn die elementare Zahlenlehre auf einem geeigneten

formalen System – der FA – begründet werden soll, dann sollten die hierfür

erforderlichen Begründungsmittel ihrerseits nicht ungleich voraussetzungs-

reicher sein als jene, die es schließlich zu begründen gilt. Allerdings gibt es

zwischen der Peano-Arithmetik (= Z1) und Z2 (und damit der FA) unendlich

viele formale Systeme, die allesamt voraussetzungsreicher sind als Z1 und

voraussetzungsärmer als Z2. Und während die Widerspruchsfreiheit von Z1

immerhin aus jener der finiten Mathematik ergänzt um die transfinite In-

duktion bis ε0 folgt (einem überaus voraussetzungsarmen und konstruktiv

deutbaren System), wissen wir gegenwärtig über die Widerspruchsfreiheits-

frage, der überabzählbaren, nicht-konstruktiven und imprädikativen klassi-

schen Analysis vergleichsweise wenig. Jeder mögliche (epistemologische)

Kritikpunkt gegenüber der PA ist damit immer zugleich auch ein Einwand

gegen die FA. George Boolos hat diese Einsicht als epistemologischen

Einwand gegen die Zulässigkeit der FA formuliert:

Do we really know that some hotshot Russell of the 23rd Century

wont’t do for us what Russell did for Frege?15

Für ein Begründungsprogramm ist dies bereits ein schwerwiegendes Be-

denken, das sich im Hinblick auf die beweistheoretischen Eigenschaften der

FA auch nicht wegreden lässt. Allerdings zeigt sich der Begründungsmiss-

stand an anderen Stellen noch weitaus deutlicher.

Wenn mittels HP in einem typenfreien System eine zulässige Anzahldefini-

tion gelingt, dann beanspruchen alle HP-Konsequenzen Adäquatheit ge-

genüber den einschlägigen Verwendungsweisen des Anzahlbegriffs und

ausnahmslos alle korrekt gebildeten Instanzen liefern Anzahlen, d.h. allen

gleichzahligen Begriffen kommt dieselbe Mächtigkeit zu.16

Und dies be-

trifft eben nicht nur die endlichen Anzahlen (= natürliche Zahlen), sondern

eben auch die Anzahlen von Begriffen, deren Begriffsumfang unendlich ist

(wie zum Beispiel des Begriffs der natürlichen Zahl). Im vorliegenden Fall

interessieren wir uns also nicht für jene Instanzen, in denen die Definition

einzelner Anzahlen unser mathematisches Verständnis erfasst, sondern für

jene, in denen die Inadäquatheit offensichtlich wird. Kurzum: Um die Un-

zulässigkeit in der Komposition der FA-Mittel anzuzeigen, reicht es voll-

kommen aus, ein Gegenbeispiel anzugeben.

15

Boolos, G., „Is Hume’s Principle Analytic?“, S. 313. 16

Es sei angemerkt, dass mit dieser Feststellung eine definitionstheoretische Norm zum Ausdruck

gebracht wird, denn Realdefinitionen (wie hier im Fall der Anzahldefinition) führen immer

auch die Behauptung ihrer Angemessenheit mit.



25

Es war wiederum George Boolos17

, der mit der Konstruktion der Anti-Null

aufzeigte, dass „irgendetwas“ nicht in Ordnung war. Um die Existenz der

Anti-Null zu beweisen, eliminieren wir die beiden Allquantoren von HP,

indem wir gemäß ( BP) den Lambdaterm [λx x=x] an allen entsprechenden

Stellen einsetzen. Damit bekommen wir:

#[λx x=x]=#[λx x=x] ↔ [λx x=x]≈[λx x=x]

Aufgrund der Bijektivität der Identitätsfunktion, die in der FA definierbar

ist, bekommen wir die rechte Seite der Bisubjunktion vergleichsweise ein-

fach und können schließlich auf #[λx x=x]=#[λx x=x] schließen. Mit einer

nachfolgenden Existenzeinführung (für Terme) bekommen wir nunmehr

das FA-Theorem

(AZ) y y=#[λx x=x]

„Der Begriff „mit sich selbst identisch sein“ besitzt eine Anzahl.“

Während das FA-Theorem y y=#[λx x≠x] („Es gibt eine Anzahl, die dem

Begriff „mit sich selbst nicht identisch sein“ zukommt.“) die Existenz eines

abstrakten Gegenstandes zum Ausdruck bringt, den wir angemessen mit der

natürlichen Zahl Null identifizieren können (da kontradiktorische Eigen-

schaften nun einmal keinem Gegenstand zukommen), kommen tautologi-

sche Eigenschaften allen Gegenstände zu. Damit wird durch AZ die Exis-

tenz einer Anzahl des „alles umfassenden Begriffs“ behauptet: die Anti-

Null. Da durch die Frege Arithmetik im Besonderen auch Anzahlen über

unendliche Begriffsumfänge definierbar sein sollen, stellt sich die Frage,

was durch #[λx x=x] denotiert wird?

Crispin Wright hat gegen die Deduktion der Anti-Null (an der formal nichts

beanstandet werden kann) geltend gemacht18

, dass der Lambda-Term [λx

x=x] gar nicht zulässig in HP substituierbar ist, da [λx x=x] keinen sortalen

Begriff repräsentiert. Unter einem „sortalen Begriff“ versteht er hierbei sol-

che Ausdrücke, für deren Verwendung folgende beide Bedingungen festge-

legt sind:

x) ein Anwendungskriterium („Für einen Gegenstand kann entschieden

werden, ob er unter den Begriff fällt.“)

xx) ein Identitätskriterium („Für beliebige unter den Begriff fallende

Gegenstände c, d kann entschieden werden, ob c=d gilt.“)

17

Boolos, G., „Is Hume’s Principle Analytic?“, S. 313f. 18

Wright, C., „Is Hume’s Principle Analytic?“, S. 314f.



26

Zweifelsohne handelt es sich bei diesen beiden Kriterien um notwendige

Bedingungen dafür, dass ein Begriff als „sortaler“ bezeichnet werden kann.

So erfüllt zum Beispiel der Begriff „Mensch sein“ im Alltagsgebrauch die

geforderten Bedingungen, während der Begriff „nicht Mensch sein“ kein

sortaler ist, weil wir für ihn im Besonderen über kein Anwendungskriterium

verfügen.19

Fraglich ist jedoch, ob sie zusammen auch hinreichend sind und

– wesentlich einschlägiger – ob diese Bedingungen nach Maßgabe des neo-

Fregeanischen Programms überhaupt Verwendung finden dürfen, wenn es

um die Bildung von HP-Instanzen geht. Es sei betont, dass HP zur typen-

freien Logik zweiter Stufe hinzugenommen wird, ohne letztere zu modifi-

zieren, d.h. die Neo-Fregeaner tasten ( BP) selbst nicht an. Wer also die

Substitution von Prädikator- oder Lambdatermen für Begriffe unterbinden

möchte, die x) oder xx) nicht erfüllen, der muss bereits eine formale(!) Be-

schränkung in der zugrunde liegenden Sprache vornehmen. Innerhalb des

Neo-Fregeanismus wird dies aber mit externen Mitteln vollzogen, indem

jeweils bei der Substitution von Prädikator- oder Lambdatermen durch die

Urteilskraft des Beweisführenden entschieden werden muss, ob der jeweils

repräsentierte Begriff auch ein „sortaler“ ist. Jedenfalls wird diese kritische

Kompetenz durch keine Regel der FA erfasst und besitzt somit nicht das

erforderliche logico-semantische Backup:

The technical proposal must therefore be that HP is to be restricted to

predicates that (express concepts that) are both sortal and not indefi-

nitely extensible. But this, of course, raises the question whether there

is an effective method for determining, of any given predicate F,

whether F (expresses a concept that) is both sortal and not indefinitely

extensible. In the absence of any such effective method, the theory

will not have been axiomatized.20

Angenommen, dies könne gleichwohl geleistet werden.21

Dann ergibt sich

unmittelbar ein weitaus schwerwiegenderes – und im Zitat von Tennant

bereits angesprochenes – Problem, relativ zu dem „Anti-Zero“ sogar fast

harmlos wirken mag. Betrachten wir hierfür den Begriff „eine Menge sein“.

Dieser Begriff – obgleich kein lebensweltlicher, sondern ein mathemati-

scher – erfüllt einwandfrei die geforderten Bedingungen. Mit dem

Extensionalitätsaxiom z(zЌx zЌy) → x=y („Wenn zwei beliebige Men-

19

Fällt der Schrank in meinem Arbeitszimmer unter diesen Begriff oder bereits die beiden Türflü-

gel oder bereits die sechs Scharniere der Türflügel oder bereits die 24 Schrauben, die die Schar-

niere halten usw.? 20

Tennant, N., „Review Essay on Bob Hale and Crispin Wright“, S. 235f. 21

Bis zum heutigen Tage gibt es hierfür keinen kohärenten Vorschlag. Dass eine solche Be-

schränkung auf einem nicht-zirkulären Weg wahrscheinlich gar nicht beschritten werden kann,

wird in Wille (Die Mathematik und das synthetische Apriori, S. 190ff) erörtert.



27

gen x und y dieselben Elemente besitzen, dann sind sie identisch.“) verfü-

gen wir über ein Identitätskriterium und durch John von Neumann22

sind

wir im Besitz des Anwendungskriteriums „Menge(x) y xЌy“ („x ist ei-

ne Menge, genau dann wenn es eine Menge y gibt, der x als Element ange-

hört.“) bzw. „Menge(x) x|≠|V|“ („x ist eine Menge, genau dann wenn x

nicht gleichmächtig zum mengentheoretischen Universum V ist.“). Damit

darf der Begriff „eine Menge sein“ in HP substituiert werden und wir sto-

ßen auf das Resultat: z z=#[λx y xЌy]. Umgangssprachlich besagt dieses

Resultat, dass dem Begriff „eine Menge sein“ eine Anzahl zukommt. Da

aber – wie festgestellt – Adäquatheit gegenüber den einschlägigen Verwen-

dungsweisen beansprucht wird und schließlich auch eingelöst werden muss,

besagt dieses Resultat als eine Aussage über Mengen folgendes: Es gibt

einen abstrakten Gegenstand θ, der als Anzahl die Mächtigkeit des Terms

{x| y xЌy} misst. Da nach Maßgabe der Standardmengentheorien jede

wohldefinierte Menge dem mengentheoretischen Universum V angehören

und jeder Gegenstand aus V auch eine Menge sein sollte, so würde mit θ

auch die Mächtigkeit von V bestimmt werden. Man braucht diese Überle-

gungen („die Mächtigkeit einer Menge ist eine Kardinalzahl und Kardinal-

zahlen sind ihrerseits wiederum Mengen…“) nicht weiter

auszubuchstabieren, um anzudeuten, dass wir auf dem besten Wege sind,

um inkonsistente Ergebnisse der Form |V|ЌV oder |V|≠|V| herzuleiten. Bei

Strafe der Inkonsistenz der Frege Arithmetik darf es solche Ergebnisse

selbstverständlich nicht geben, also lesen wir das Ergebnis z z=#[λx y

xЌy] gemäß des Principle of Charity nicht so, dass durch #[λx y xЌy] eine

Mächtigkeit/Kardinalzahl und damit eine Menge benannt werden würde.

Dann verbleibt aber einzig der Ausweg, dass die Existenz von „irgendetwas

anderem“ behauptet wird, womit der Adäquatheitsanspruch der Anzahlde-

finition ein weiteres Mal vollständig unterlaufen wird.

Dieses Problem der noch zugelassenen, aber zu vermeidenden indefinit er-

weiterbaren Begriffe ist den Neo-Fregeanern selbstverständlich bekannt und

bedarf nach ihrer eigenen Auskunft einer Lösung.23

Besorgniserregend ist

dieses Problem deshalb, weil diese Begriffe zu genau jener Problemgruppe

von Ausdrücken gehören, die nach Zermelo, Fraenkel, Skolem und von

Neumann unzulässige Komprehensionsbedingungen repräsentieren. Doch

während in der Axiomatisierung der Mengentheorie durch die Setzung von

entsprechenden axiomatischen (Sperr)Klauseln als weiteren konstitutions-

22

von Neumann, J., „Eine Axiomatisierung der Mengenlehre“, S. 225. Ders., „Eine

Axiomatisierung der Mengenlehre“, S. 675. In beiden Arbeiten: Axiom IV.2. 23

Wright, C., „Is Hume’s Principle Analytic?“, S. 316. Hale, B./Wright, C., „Postscript: Eighteen

Problems“, S. 427f.



28

theoretischen Forderungen an die möglichen Gegenstandsbereiche die un-

mittelbare Gefahr hoffnungsvoll gebannt wird, steht für die FA nichts Ver-

gleichbares zur Verfügung, denn die – vornehmlich in das

Komprehensionsaxiomenschema – implementierte Bedingung, kann nicht

sinnvoll als semantische Wahrheit gedeutet werden.24

Somit sind indefinit

erweiterbare Begriffe für den Augenblick also gleichwohl zulässig substi-

tuierbar, weil Wright für die Charakterisierung sortaler Begriffe lediglich

die Bedingungen x) und xx) formuliert hat. Wirft man allerdings einen ein-

gehenderen Blick auf die Verwendungsbedingungen von sortalen Prädika-

ten, so kommt man zu der Einsicht, dass die Bedingungen x) und xx) zu-

sammen nicht hinreichend sind/sein sollten, womit die Hoffnung keimt,

dass mit einer genaueren Bestimmung des Ausdrucks „sortal“ auch indefinit

erweiterbare Begriffe nicht mehr zulässig substituierbar sind.

Sortale Begriffe treten nun nicht erst in der Arithmetik auf und entspre-

chend sollte die Semantik des Ausdrucks „sortal“ an den hierfür grundle-

genden sprachlichen und erkenntnistheoretischen Erfordernissen aufgewie-

sen werden. Ein aussichtsreicher Kandidat hierfür wird in Strawsons uni-

verseller Theorie der Gegenstandsidentifikation unterbreitet. Doch selbst

für diesen mit überaus allgemeinen Kategorien beschriebenen Ansatz wird

für die Charakterisierung von sortalen Begriffen – die in Anlehnung an Lo-

cke25

erfolgt – der Anzahlbegriff virulent, denn nur diejenigen Prädikate P

sollen sortale Begriffe repräsentieren, bezüglich derer die Frage „Wie viele

Ps gibt es/liegen vor?“ sinnvoll gestellt und im Prinzip auch beantwortet

werden kann:

A sortal universal supplies a principle for distinguishing and counting

individual particulars which it collects.26

[Kursivsetzung von mir]

Eine wesentliche Funktion sortaler Begriffe besteht also darin, dass mittels

ihrer Verwendung das “Gegebene” allererst als etwas Zählbares strukturiert

wird und damit das ungesättigte Frageschema „Wie viele …?“ in eine prä-

zise Frage überführen, indem sie den Untersuchungsgegenstand bestimmen.

Bereits Frege hat auf diesen Punkt explizit aufmerksam gemacht:

24

Ausführlich in Wille, M., Die Mathematik und das synthetische Apriori, S. 120-178, besonders

S. 161-178. 25

Locke (Essay, Book III, ch.3, §15): “But it being evident, that things are ranked under names

into sorts or species, only as they agree to certain abstract ideas, to which we have annexed

those names, the essence of each genus, or sort, comes to be nothing but the abstract idea,

which the general, or sortal […] name stands for.” 26

Strawson, P.F., Individuals, S. 168, vgl. auch S. 202f.



29

Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten: bestimme das

Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen Gegenstand sei-

ner Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkar-

ten in die Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl hiervon,

so weiß er nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen

Spiele oder etwa der Werteinheiten beim Skatspiele erfahren will.

Damit, daß ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Ge-

genstand seiner Untersuchung noch nicht vollständig gegeben; ich

muß ein Wort: Karte, Spiel, Werteinheit hinzufügen.27

Folgt man Strawsons – übrigens weithin akzeptierten – Vorschlag, dann

folgt aus der Sinnhaftigkeit der Frage „Wie viele Ps gibt es?“ sowohl ein

Anwendungs- als auch ein Identitätskriterium, denn wenn die Frage nach

der Anzahl der Ps sinnvoll ist, dann müssen die Ps grundsätzlich (in einem

arithmetischen oder mengentheoretischen Sinne) zählbar sein. Zählbarkeit

präsupponiert ihrerseits allerdings die Möglichkeit zu entscheiden, was

überhaupt als P zu gelten hat (= Anwendungskriterium) und unter welchen

Bedingungen ein potentiell zu erfassender Gegenstand bereits gezählt wur-

de (= Identitätskriterium). Mit diesem kohärenten Verständnis „sortaler Be-

griffe“ bleibt nicht nur die Anti-Null ausgeschlossen, sondern ausnahmslos

alle indefinit erweiterbaren Begriffe, weil „Zählen“ ein Erfolgsverb ist:28

etwas „zu zählen“ impliziert semantisch, dass nach Vollzug der Zählhand-

lung auch ein (korrektes oder fehlerhaftes) Zählergebnis vorliegt. Ein ’Zäh-

len’ ohne Ergebnis (wie im Falle der Bestimmungsversuche der

Mächtigkeiten von indefiniten Begriffen) ist kein Zählen. Allerdings ist die-

ser Vorschlag für das neo-Fregeanische Programm ebenfalls unzulässig,

weil er – abgesehen von der nicht vorhandenen formalen Implementierung

– zirkulär wäre:

Damit wir wissen, welche Prädikate P sortale Begriffe repräsentieren, müs-

sen wir die Frage „Wie viele Ps gibt es?“ verstehen können, d.h. wir

müssen wissen, was zu tun ist, um die Frage zu beantworten bzw. was zu

tun ist, um eine vorgegebene Antwort auf Ihre Richtigkeit hin zu prüfen.

Das Verstehen der Frage „Wie viele Ps gibt es?“ präsupponiert den erfolg-

reichen Gebrauch des Anzahlbegriffs, denn ohne Anzahlbegriff wissen

wir überhaupt nicht, was es bedeuten soll, wenn nach „Wie viele …?“

gefragt wird.

Da der Anzahlbegriff als Abstraktor durch HP definiert wird (definiert wer-

den soll), wissen wir um die Bedeutung des Ausdrucks „Anzahl“, wenn

wir wissen, wie HP gebraucht wird.

27

Frege, G., Die Grundlagen der Arithmetik, §22. 28

Siehe Ryle, G., The Concept of Mind, S. 150.



30

Um HP korrekt gebrauchen zu können, müssen wir im Besonderen über ein

Wissen um die zulässigen Substitutionsregeln für Prädikate verfügen.

Eine notwendige Bedingung für zulässige Substitutionsregeln liegt in ihrer

Beschränkung auf jene Prädikate, die sortale Begriffe repräsentieren.

Um also die zulässigen Prädikatsubstitutionsregeln für HP beherrschen zu

können, muss vorausgesetzt werden, dass man das Prädikat „sortaler Be-

griff“ in seiner Bedeutung kennt.

Gleich wie wir es anstellen, die Symptome für den Begründungsmissstand

bleiben bestehen. Entweder folgen wir Wrights Vorschlag zur Vermeidung

der Anti-Null, dann haben wir mittels einer inkohärenten Forderung den

„Teufel des alles umfassenden Begriffs“ mit dem „Beelzebub der indefinit

erweiterbaren Begriffe“ ausgetrieben. Oder aber wir folgen dem etablierten

Gebrauch des Ausdrucks „sortaler Begriff“, dann blocken wir die zuvor

genannte Begriffsklasse um den Preis, dass es sich wiederum um eine –

relativ zum Programm – inkohärente Forderung handelt, die zudem zirkulär

ist. Die Anzahldefinition via HP bleibt in einer typenfreien Logik inadä-

quat.

IST DIE FREGE ARITHMETIK ANALYTISCH?

Diese Frage ist gleichermaßen zentral wie zweideutig. Sie ist „zentral“, weil

je nach Antwort viel über den Erfolg des neo-Fregeanischen Logizismus

ausgesagt wird. Und sie ist „zweideutig“, weil im Falle einer negativen

Antwort noch zu klären ist, was es bedeutet, dass „die Frege Arithmetik

nicht analytisch ist“. Mit Boolos29

ist darin übereinzustimmen, dass die

Frege Arithmetik nicht analytisch ist. Doch während Boolos die von ihm

aufgezeigten – und auch hier benutzten – Einwände30

dazu gebraucht, HP

als „synthetischen Satz“ zu deklarieren (was immer dies bedeuten soll),

wird hier dafür argumentiert, dass die FA deshalb nicht analytisch ist, weil

die Begründung ihres analytischen Charakters faktisch und schließlich auch

grundsätzlich misslingt. Und dies ist unter Berücksichtigung der Erforder-

nisse im Rechtfertigungsgeschäft logico-semantischer Mittel nicht gleich-

bedeutend mit der von Boolos gegebenen Antwort, da es in der Bereitstel-

lung der FA-Mittel von vorneherein ausschließlich um die Erwägung logi-

scher und definitionstheoretischer Werkzeuge geht.

Da der analytische Mittelbestand zur Realisierung der neo-Fregeanischen

Ziele durch die Setzung der Frege Arithmetik allererst gestiftet wird, kann

zwar gegebenenfalls die Analytizität der Peano-Arithmetik unter Rückgriff

auf die Frege Arithmetik ausgewiesen werden, aber der analytische Charak-

29

Boolos, G., „Is Hume’s Principle Analytic?“. 30

Boolos, G., „Is Hume’s Principle Analytic?“, S. 305-314.



31

ter der FA-Mittel muss über einen anderen Weg erfolgen. Hierfür ist es na-

türlich nahe liegend, dass die zugrunde liegende typenfreie Logik zweiter

Stufe mit Mitteln aus der Philosophie der Logik als Logik gerechtfertigt

wird31

und dass alle darüber hinausgehenden semantischen Mittel der FA

mit entsprechenden Einsichten aus der Definitionstheorie und Semantik

legitimiert werden. Allerdings darf dieses Rechtfertigungsgeschäft für die

formal-analytischen Mittel (Logik) auf der einen Seite und die nicht-formal-

analytischen (die nicht-logischen semantischen Mittel) auf der anderen

nicht inkompatibel zweigleisig erfolgen, sondern muss ausgehend von ei-

nem einzigen kohärenten Begründungsmittelbestand geleistet werden. Ge-

lingt dies nicht, dann folgt daraus keineswegs, dass mindestens ein Mittel

„synthetisch“ ist, sondern dass der Anspruch, die Mittel sollen als analyti-

sche ausweisbar sein, nicht eingelöst werden kann.

Umfasse also Σ jene Mittel, die erforderlich sind, um die investierte Logik

als Logik zu rechtfertigen und Π jene Mittel, um die zudem erforderlichen

semantischen Mittel als zulässig zu erweisen. Ob die Frege Arithmetik als

ein System ausgewiesen werden kann, das einzig analytische Beweismittel

umfasst, hängt nun wesentlich davon ab, ob Σ plus Π ein zulässiger Be-

gründungsmittelbestand ist. Es zeigt sich, dass dies nicht der Fall ist, denn

gleich mit welcher Begründungslast man beginnt, nachfolgend bleibt der

andere Legitimationsbedarf offen. Wer – aus welchen Gründen auch immer

– eine Zulässigkeitserklärung für eine typenfreie Logik zweiter Stufe er-

bringt, der kann nachfolgend nicht mehr für die Zulässigkeit von HP als

einer Definition per Abstraktion argumentieren, denn letzteres setzt den

notwendigen Bezug auf ABS voraus, der bei Strafe der Inkonsistenz des

Systems nicht vorgenommen werden darf. Wir verbleiben mithin bei einem

System ohne Anzahldefinition. Oder aber wir beginnen mit einer ordentli-

chen Begründung von ABS als einem zulässigen und zudem überaus

zweckmäßigen Begriffsbildungsverfahren. Dann bleibt uns allerdings – aus

demselben Grund wie im ersten Fall – eine Zulässigkeitserklärung eines

typenfreien höherstufigen Systems verwehrt, da wir im Besonderen die Be-

dingung jjjj) sicherzustellen haben, die nachweislich in der typenfreien Lo-

gik zweiter Stufe verletzt ist. Die Frege Arithmetik lässt sich mithin nicht

als ein zulässiges logico-semantisches System erweisen. Damit ist das neo-

Fregeanische Hauptargument kein gutes Argument und die Wahrheit von

Frege’s Theorem kann lediglich als ein technisches Kunststück angesehen

31

Ob dies letztlich gelingt, ist freilich eine andere Frage. Allerdings zeigen etwa die Beiträge von

Quine (Philosophy of Logic, S. 66-70) und Boolos („On Second-Order Logic“, „To Be is to Be

a Value of a Variable“) zu diesem Punkt, dass unter anderen erkenntnistheoretische Mittel her-

angezogen werden, um für oder gegen die typenfreie Logik zweiter Stufe als Logik zu argu-

mentieren.



32

werden, dem die erforderliche philosophische Legitimation als einem aus-

sagekräftigen Resultat fehlt.

***

Zwar lassen sich ausnahmslos alle im Zusammenhang mit HP benannten

Probleme beheben, allerdings bedarf es hierzu – wie verschiedentlich schon

anklang – einer Typengrammatik.32

Und insofern eine Typentheorie aus

anderen als den genannten Gründen keine Logisierung der Arithmetik ge-

stattet, bleibt der Traum von einer analytisch wahren Mathematik weiterhin

unverwirklicht. Nun, man kann eben nicht alles haben…

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32

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