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Mikroökonomik B1. Intertemporale Entscheidung

Dennis Gärtner

15. April 2014

Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung

Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion

Intertemporale Entscheidung

I Literaturangaben:I Varian (2011), Kapitel 10 und 11.

I Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.Konsumentscheidung über die Zusammensetzungverschiedener Güterbündel.

I Alternative Interpretation: Entscheidung überKonsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).

I Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen,Finanz- und Kreditmärkte, Makroökonomie.

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Notation

I Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.I Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es

könnte z.B. stellvertretend für einen Warenkorb stehen.I xt bezeichnet Anzahl an Einheiten des Gutes in Periode t .I Der Vektor x = (x1, x2, . . . , xT ) ist ein Konsumplan.I Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller

möglichen Konsumpläne, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibtdie Konsummöglichkeiten eines Konsumenten.

I Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschränkteund konvexe Teilmenge des RT

+ und enthalte 0.I Üblicherweise Einschränkungen beim tatsächlichen

Konsum z.B. durch begrenztes Budget⇒ Budgetmenge.

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BudgetmengeI Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur

solche Konsumpläne wählen, deren Gesamtpreis seinverfügbares Einkommen nicht übersteigen.

I Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t .I Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetäre

Einkommen eines Konsumenten in Periode t .I Formal heisst das, der Konsument kann nur solche

Konsumpläne x wählen, die in der Budgetmenge B liegen.B enthält alle xtpt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt tverfügbaren Einkommen sind.

I B wird davon abhängen, ob Einkommen in Periode t inandere Perioden übertragen werden kann.

I D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).

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Budgetmenge ohne Kapitalmarkt

I Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, Perioden-Einkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.

I Was ist die Budgetmenge B?I Alle Konsumpläne x , so dass die Kosten das Einkommen

in jeder Periode t nicht übersteigen:

B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,p2x2 ≤ m2, . . . ,pT xT ≤ mT}.

I Das Optimierungsproblem ist trivial:Falls mehr Konsum besser ist, fällt der optimaleKonsumplan mit dem verfügbaren Einkommen zusammen.

I Ist dieses Szenario realistisch?

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Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1 x1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

Anfangs-Einkommen m1und m2 bestimmen einenKonsumplan x1 = m1/p1und x2 = m2/p2, der inder Budgetmenge liegenmuss.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

Budgetmenge beiEinkommen m1 und m2ohne Zugang zumKapitalmarkt: x1 ≤ m1/p1und x2 ≤ m2/p2.

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Budgetmenge mit ‘Sparmarkt’I Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann

zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einerPeriode angelegt werden. Es gibt keine Kredite.

I Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht inPeriode t + 1 ein Betrag von (1 + r)y zur Verfügung.

I Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r derNetto-Zinssatz genannt.

I Was ist die Budgetmenge B?B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,

p2x2 ≤ m2 + (1 + r)(m1 − p1x1), . . . ,

pT xT ≤ mT +T−1∑t=1

(1 + r)T−t(mt − ptxt)}.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

-(1+r)p1/p

2

Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 übertragenwerden, aber nichtumgekehrt.

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Budgetmenge mit KapitalmarktI Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, in jeder Periode

kann zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer voneiner Periode angelegt oder ausgeliehen werden.

I Einkommen kann vorwärts und rückwärts durch die Zeitreisen.

I D.h., wir haben relative Preise für Periodeneinkommen undkönnen das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch inEinkommen in einer beliebigen Periode t ausdrücken.

I Z.B. in t = 1 Einkommen:

y = m1 +m2

1 + r+

m3

(1 + r)2 + . . .+mT

(1 + r)T−1 .

I y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) desEinkommensstroms m1,m2, . . . ,mT .

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Budgetmenge mit Kapitalmarkt

I Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in anderePerioden transferiert werden kann, ergibt sich dieBudgetmenge zu

B=

{x ∈X : p1x1 +

p2x2

1+r+ . . .+

pT xT

(1+r)T−1 ≤T∑

t=1

mt

(1+r)t−1

}.

I Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplansx darf den Barwert des verfügbaren Lebenseinkommensnicht übersteigen.

I Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gütern ineiner Periode, falls das Einkommen durch eineAnfangsausstattung an Gütern gegeben ist. Wie dort wirdhier das Einkommen endogenisiert.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

-(1+r)p1/p

2 Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 übertragenwerden, und umgekehrt.Budgetmenge bestimmtdurch

x1p1 +x2p2

1 + r≤ m1 +

m2

1 + r.

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Präferenzen über intertemporale KonsumpläneI Wie über Güterbündel hat ein Konsument auch

Präferenzen über intertemporale Allokation, alsoKonsumpläne.

I Übliche Annahme: die Präferenzen über Konsumpläneeines Konsumenten sind darstellbar durch eineNutzenfunktion U(x1, x2, . . . , xT ).

I Meist treffen wir folgende AnnahmenI konvexe Präferenzen: Für alle Konsumpläne x , x ′ ∈ X ist

die Bessermenge {x ′ ∈ X : U(x ′) ≥ U(x)} konvex,I monotone Präferenzen: in jeder Periode ist mehr Konsum

eines Gutes (schwach) besser als weniger.I Intuition: Kombination von zwei gleich guten

Konsumplänen wird gegenüber jedem der beidenKonsumpläne präferiert.

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Konvexe Präferenzen graphisch

x1

x2

x'

xU(tx+(1-t)x') > U(x) = U(x')

Indi!erenzkurve

Besser-Richtung

Jede positive Mischungder Konsumpläne xund x ′ liegt in derBessermenge von x .

‘Ausgewogene’Konsumpläne werdenpräferiert.

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Optimale intertemporale KonsumentscheidungI Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsument

seinen Nutzen über alle Konsumpläne in derBudgetmenge:

maxx∈X

U(x) s.d. x ∈ B.

I Unter monotonen Präferenzen und vollständigemKapitalmarkt ist das Optimierungsproblem

maxx∈X

U(x) s.d.T∑

t=1

ptxt

(1 + r)t−1 =T∑

t=1

mt

(1 + r)t−1 .

I Bezeichne die Lösung dieses Problems mit x∗.I Graphisch: x∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge und

Indifferenzkurve.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x1

*

m2

m1

x2

* x*

m

Bg

I

Optimaler Konsumplanx∗ ist Tangentialpunktvon Budgetgerade Bgund Indifferenzkurve I.

Wenn x∗1 > m1/p1, dannist der Konsument int = 1 Kreditnehmer.

(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)

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Optimale intertemporale Konsumentscheidung

I Form von U(x) = U(x1, . . . , xT )?I Übliche Annahme: Exponentielles Diskontieren

U(x) = u(x1) + δu(x2) + δ2u(x3) + . . .+ δT−1u(xT ).

I δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzenbewertet wird.

I δ misst Ungeduld eines Konsumenten: je höher δ, destowichtiger ist dem Konsumenten zukünftiger Konsum imVergleich zu gegenwärtigem Konsum.

I Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumentenist konsistent über die Zeit.

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Optimale intertemporale KonsumentscheidungI Optimierungsproblem mit zwei Perioden:

maxx1,x2

u(x1) + δu(x2) s.d. p1x1 +p2x2

1 + r= m1 +

m2

1 + r.

I Aus der Budgetgleichung folgt x2 = (1+r)(m1−p1x1)+m2p2

.I Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung

u′(x1) = (1 + r)p1

p2δ u′(x2) ⇔ u′(x1)

δ u′(x2)︸︷︷︸GRS12

=(1 + r)p1

p2.

I Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukünftigenKonsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheitgegenwärtigen Konsums zum Preis (1 + r)p1

p2.

I Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?

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Veränderung des Zinssatzes

I Was passiert bei Änderung des Zinssatzes 1 + r?I Die Kosten für Kreditaufnahme bzw. die Erträge aus

Ersparnissen verändern sich.I D.h. der Preis für zukünftigen Konsum verändert sich im

Vergleich zum Preis für gegenwärtigen Konsum.I Dadurch verändert sich die Budgetmenge:

I Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierteKonsumpläne hinzu, ersparte fallen weg.

I Bei einer Zinserhöhung fallen kreditfinanzierteKonsumpläne weg, ersparte kommen hinzu.

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Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

z

Ausgangssituation:Optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗

bei Einkommen m undZinssatz 1 + r1. K istKreditnehmer in t = 1.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

z

Zinssatz erhöht sich aufr2 > r1.

Neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.

x∗ ist nicht mehr in derBudgetmenge enthalten.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

Optimaler Konsumplanist nun x∗∗.

Zinserhöhung bewirktKonsumverlagerung vonPeriode 1 nach 2;

hier so stark, dass KKreditgeber wird.

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Veränderung des ZinssatzesI Eine Zinserhöhung bewirkt dass zukünftiger Konsum

billiger wird.I Im graphischen Beispiel ist die Änderung so stark, dass

der Konsument den gegenwärtigen Konsum einschränkt.I Muss der gegenwärtige Konsum immer sinken, wenn der

Zinssatz steigt?I Um diese Frage zu beantworten, können wir die

Slutsky-Gleichung benutzen.I Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass die

Nachfrage-Änderung nach einem Gut im eigenen Preissich in Substitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilenlässt.

I Der Substitutionseffekt ist der Preisänderungentgegengesetzt.

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Veränderung des ZinssatzesI Slutsky-Gleichung formal:

∂x∗1∂(1+r)︸︷︷︸

(?)

=p1

1 + r︸︷︷︸(+)

[∂xh

1∂p1︸︷︷︸(−)

+

(m1

p1− x∗1

)︸︷︷︸

(?)

∂x∗1∂m︸︷︷︸(+)

],

Nachfrageänderung = Substitutions- + Einkommenseffekt

I Einkommenseffekt: Änderung von 1 + r wirkt aufEinkommen m1 und Konsum x1, Nettoeffekt istentscheidend.

I Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:Substitutionseffekt ist negativ und ∂x∗

1∂m positiv.

I D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwärtigen Konsumverringern, Kreditgeber könnten ihn auch erhöhen.

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Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Ausgangssituation:optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗

bei Einkommen m undZins r1. Konsument istKreditgeber.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Zinserhöhung auf r2 > r1,neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Substitutionseffektxh

1 − x∗1 : Budget wird soangepasst, dass der alteNutzen gerade erreichtwird, ergibt xh

1 .

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Neuer optimaler Konsum-plan x∗∗ bei r2 ergibt Ein-kommenseffekt x∗∗1 − xh

1 .Gesamteffektx∗∗1 − x∗1 = SE + EE .

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Inflation

I Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .I D.h. Güterpreise können im Zeitablauf steigen (Inflation)

oder sinken (Deflation).I Die Inflationsrate π gibt die Preissteigerung zwischen zwei

Perioden an: pt+1 = pt(1 + π).I Für jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,

erhält man in t + 1pt

pt+1(1 + r) =

1 + r1 + π

≡ 1 + ρ

Einheiten des Gutes.I Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den

Nominalzinssatz.

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Inflation

I Der nominale Zinssatz r gibt den monetären Zinsertragan, während ρ den Zinsertrag in Güter-Einheiten angibt.

I Zusammenhang:

1 + r = (1 + ρ)(1 + π),

ρ =r − π1 + π

≈ r − π.

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Barwert

I Bewertung von zukünftigem Einkommen?I Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensströme

m = (m0, . . . ,mT ) und m′ = (m′0, . . . ,m′T ).

I Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, Zinssatz für einePeriode ist 1 + r und bleibt konstant über alle Perioden.

I Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wertbeider Zahlungsströme in einer vorgegebenen Periode t zuvergleichen.

I Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:

BW (m) = m0 +m1

1 + r+

m2

(1 + r)2 + . . .+mT

(1 + r)T .

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Barwert & Zukunftswert

I Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 0ist ein Zukunftswert:

ZWt(m)=(1+r)tm0+(1+r)t−1m1+. . .+(1+r)t−T mT .

I Falls BW (m) > BW (m′), dannI gilt dasselbe für alle Zukunftswerte ZWt(m) > ZWt(m′),

t = 1,2, . . . ,T , und

I wird jeder Konsument mit monotonen Präferenzen (d.h.mehr Konsum ist besser) m gegenüber m′ vorziehen.

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Addieren von Einkommensströmen

I Ihr ursprünglicher Einkommensstrom seim = (m0,m1, . . . ,mT ).

I Nun komme ein Strom (z.B. hinzugekaufte Anleihe) vonm′ = (m′0,m

′1, . . . ,m

′T ) hinzu.

I Wie hoch ist der Barwert des Netto-Stromes m + m′?

BW (m + m′) = (m0 + m′0) +m1 + m′1

1 + r+

m2 + m′2(1 + r)2 + · · ·

= BW (m) + BW (m′).

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Barwert einer ewigen Rente (Annuität)

I Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohenAuszahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft (Auszahlungjeweils am Periodenende).

I Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrommittels Barwertes bewerten und vergleichen?

I Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu

BW (m)=0 +m

1+r+

m(1+r)2 +

m(1+r)3 + . . .

=1

1+r

(m +

m1+r

+m

(1+r)2 + . . .

)=

m + BW (m)

1+r.

I Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =mr

.

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BeispielI Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zu

bekommen und dafür den Rest des Semesters (11Wochen) pro Woche 1 Euro zurückzuzahlen.

I Zahlungsstrom:m = (10,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1).

I Ist das ein gutes Geschäft?I Dispokredit hat Zinssatz von ca. 1% im Monat, also etwa

0,25% pro Woche.I Barwert:

BW (m) = 10−11∑

t=1

1(1,0025)t = −0,84.

I Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1,7% pro Woche.

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WertpapiernachfrageI Finanzinstrumente darstellbar als handelbare

Zahlungsströme der Art (m0,m1, . . . ,mT ).I Beispiele:

m0 m1 m2 . . . mT−1 mT

Raten-Kredit: ++ − − − − −

Anleihe: −− + + + + ++

I Falls Kapitalmarkt vollständig mit Zinssatz 1 + r , sindZahlungsströme anhand ihrer Barwerte vergleichbar.

I BW (m′′) > BW (m′)⇒ Budgetmenge unter m′′ enthältjene unter m′ strikt⇒ Jeder Konsument mit strengmonotonen Präferenzen zieht m′′ gegenüber m′ strikt vor.

I Man sagt: m′′ dominiert m′.

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ArbitrageI Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert

den eines anderen m′. Was folgt für dieWertpapiernachfrage?⇒ m′ wird nicht nachgefragt.

I Angenommen Konsumenten können Zahlungsströme auchverkaufen (man denke z.B. an Kredite).

I Was halten Sie von folgendem Plan: Zahlungsverprechenm′ abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.

I Barwert dieses Planes: BW (m)− BW (m′) > 0, egal obBW (m) positiv oder negativ.

I D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen undm′ anbieten, so oft wie möglich.

I Also können m und m′ nicht beide gehandelt werden.

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Arbitrage

I Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinierenverschiedener Zahlungsströme mit Sicherheit ein positiverBarwert erreichen lässt, nennt man dies eine Möglichkeitfür Arbitrage.

I Wir erwarten, dass für alle Wertpapiere, die tatsächlichgehandelt werden, keine solche Arbitragemöglichkeitexistiert (Arbitragefreiheit).

I Tatsächlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds fürArbitragefreiheit auf Kapitalmärkten.

I Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsströme,die gehandelt werden, müssen den gleichen Barwerthaben!

I Annahme dabei: keine Transaktionskosten.

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Diskussion

I Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahlzwischen Gütern “Konsum heute” und “Konsum morgen”.

I Gängige Annahme: Präferenzen der Form

U(x1, . . . , xT ) =T∑

t=0

δtu(xt).

I δ nennt man Diskontfaktor, kann als Geduld interpretiertwerden:

I δ < 1: zukünftiger Konsum wird niedriger bewertet alsheutiger,

I δ > 1: zukünftiger Konsum wird höher bewertet als heutiger.

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DiskussionI Wichtige Eigenschaft dieser Präferenzen: δ ist konstant

über die Zeit (exponentielles Diskontieren).I Vorteil: Optimale Konsumpläne sind konsistent.I Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:

GRS12 = − dx2

dx1

∣∣∣∣dU=0

=∂U(x1, . . . , xT )/∂x1

∂U(x1, . . . , xT )/∂x2=

u′(x1)

δu′(x2)

I Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:

GRS23 =δu′(x2)

δ2u′(x3)=

u′(x2)

δu′(x3)= GRS12.

I Optimierungsproblem sieht in jeder Periode “gleich” aus.I Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allen

Perioden gleich viel konsumiert (da GRSt ,t+1 = (1 + ρ)).

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Beispiel: Zeitinkonsistenz von PräferenzenI Sie können in einer der nächsten 3 Wochen ins Kino.I Wert der Filme xt (gemessen in Geldeinheiten der

jeweiligen Periode):

Film 1 Film 2 Film 3xt 3 8 24

I Wenn Sie diese Woche nicht ins Kino gehen, können Siesich nächste Woche nochmals zwischen Film 2 und 3entscheiden.

I Präferenzen 1 (‘exponentielles Diskontieren’):U(x) = x1 +

12x2 +

(12

)2x3 +

(12

)3x4 + · · ·

I Präferenzen 2 (‘hyperbolisches Diskontieren’):U(x) = x1 +

14x2 +

14x3 +

14x4 + · · ·

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Beispiel: Zeitinkonsistenz von PräferenzenI Präferenzen 1: U(x) = x1 +

12x2 +

(12

)2x3 +

(12

)3x4 + · · ·

xt U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2Film 1 3 3 –Film 2 8 4 8Film 3 24 6 12

I Präferenzen 2: U(x) = x1 +14x2 +

14x3 +

14x4 + · · ·

xt U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2Film 1 3 3 –Film 2 8 2 8Film 3 24 6 6

→ Präferenzen 2 sind zeitinkonsistent: Sie wollen dieseWoche lieber in Film 3 als 2, nächste Woche sehen Siedas anders!

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