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Mikro B - 4.2 Spiele in extensiver Form, vollständige Inform ation

Extensive Form Strategien Nash-GG Mischungen Teilspielpe rfektion Rückwärtsinduktion Beispiele

Mikroökonomik B4.2 Spiele in extensiver Form,

vollständige Information

Dennis L. Gärtner

21. Juni

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ÜbersichtAnnahmen:

◮ Dynamisches Spiel: Spieler treffen Entscheidungensequentiell.

◮ Vollständige Information: Präferenzen der Spieler überErgebnisse sind allgemein bekannt.

Konzepte:◮ Extensivform-Repräsentation eines Spiels◮ Strategien in Extensivformspielen◮ Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht◮ Rückwärtsinduktion

Anwendungen/Beispiele:◮ Stackelberg Duopol (‘Sequentielles Cournot’)◮ Bank Runs◮ Verhandlungsspiele◮ Zeitinkonsistene Präferenzen

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Literaturangaben

◮ Gibbons: Kapitel 2◮ Osborne (2004): Kapitel 5–7◮ Mas-Collel et al.: Kapitel 9◮ Kreps: Kapitel 12◮ Jehle & Reny (2001): Kapitel 7.2◮ Varian (2007): Kapitel 29.

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Ein Beispiel: Sequentieller GeschlechterkampfSie erinnern sich an den ‘Kampf der Geschlechter’ zwischenChris und Pat:

1,2

0,0

0,0

2,1Chris

Fight

Opera

PatFight Opera

Betrachten wir nun eine sequentielle Variante, in der sich zuerstChris und dann Pat entscheidet. Konkret:

◮ t = 1: Chris entscheidet, zum Boxkampf (‘fight’) oder in dieOper (‘opera’) zu gehen.

◮ t = 2: Pat beobachtet Chris’ Entscheidung (Chris postetdies per ‘Facebook Places’) und entscheidet danachselbst, zum Kampf oder in die Oper zu gehen.

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Dynamische Spiele: Die bevorstehendenHerausforderungen.

Wie können wir dynamische Spiele formalisieren?Wir werden die Extensivform einführen – im Wesentlichen ein‘Spielbaum’.

Was sind Strategien?Neue Strategieformen in dynamischen Spielen, da Spieler nunauf vorhergehende Aktionen anderer Spieler reagieren können(Strategien werden spielverlaufsabhängig ).

Gibt es neue Rationalitätskriterien?Spieler können ihre Entscheidung im Spielverlauf neuüberdenken. Dies führt uns zu einer Verfeinerung desNash-Gleichgewichts, der Teilspielperfektion , welchesicherstellt, dass Entscheidungen sequentiell rational sind.

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Extensive Form Strategien Nash-GG Mischungen Teilspielperfektion Rückw ärtsinduktion Beispiele

Die Extensive FormDie Extensivform eines Spiels ist im Wesentlichen ein‘Multi-Personen-Entscheidungsbaum’. Ein Beispiel:

02

31

−1−1

20

1

2 2L R

l r l r

Der Spielbaum repräsentiert die folgenden Ereignisse:

1. Spieler 1 wählt eine Aktion a1 ∈ {L,R}.2. Spieler 2 beobachtet a1 und wählt dann eine Aktion

a2 ∈ {l, r}3. Auszahlungen sind u1(a1,a2) und u2(a1,a2) wie in der

Grafik dargestellt (oberer Eintrag gehört Spieler 1).6 / 59



Weitere Beispiele. . .1

2 2

3 3 3 3

L R

L’ R’ L’ R’

L” R” L” R” L” R” L” R”

025

312

· · ·· · ·· · ·

207

1

2

1

L R

L’ R’

L” R”

12

04

03

50

Elemente:◮ Entscheidungsknoten : Welcher Spieler die Wahl hat.◮ Äste : Zur Wahl stehende Aktionen.◮ Anfangsknoten: Hier beginnt das Spiel. Alle anderen

Entscheidungsknoten haben eine bestimmte ‘Geschichte’ (Listevorhangehender Aktionen im Spielverlauf).

◮ Ergebnisknoten: Hier endet das Spiel & Auszahlungenerfolgen. Beachte: Zu jedem Ergebnisknoten gehört eineeindeutige Geschichte.

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Informationsmengen und imperfekte InformationSoweit alles Spiele mit perfekter Info: Jeder Spieler kennt anseinen Entscheidungsknoten die gesamte Geschichte desSpiels (also alle vorhergehenden Aktionen).

Wir benützen Informationsmengen um Situationen mitimperfekter Info darzustellen.

Genauer: Informationsmenge = Menge von Entscheidungs-knoten, zwischen welchen ein ziehender Spieler nichtunterscheiden kann.

Beispiel:Informationsmenge

−1−1

0−9

−90

−6−6

1

2 2L R

L’ R’ L’ R’Bei seiner Wahl zwischen L’ undR’ weiss Spieler 2 nicht, obSpieler 1 vor ihm L oder R ge-wählt hat.

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Ein etwas komplexeres Beispiel. . .

1

2 2

3 3 3 3

L R

L’ R’ L’ R’

L” R” L” R” L” R” L” R”

Spieler 3 weiss bei sei-nem Zug lediglich, ob vorihm Spieler 1 R und Spie-ler 2 R’ gewählt haben –oder nicht.

Anmerkung: An beliebigen zwei Entscheidungsknoten in derselben Informationsmenge muss gelten:

◮ es zieht der selbe Spieler◮ der Spieler muss die selben Aktionen zur Verfügung haben

(sonst könnte er die Entscheidunsknotennotwendigerweise unterscheiden).

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Reminder:Perfekte vs. vollständige Information

◮ Perfekte Information (‘vollkommene Information’,‘Perfect Recall’): Der entscheidende Spieler kennt jeweilsdie gesamte Geschichte (vorhergehende Aktionen) desSpiels.

◮ Vollständige Information: Präferenzen jedes Spielersüber Ergebnisse des Spiels sind allgemein bekannt.

Beispiele: Auktionen (selbst wenn ich das Gebot einesanderen Spielers kenne, kenne ich nicht seinen Payoff,weil ich seine Wertschätzung für das Gut nicht kenne).

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Spiele mit simultanen Zügen können in extensiverForm dargestellt werden

Gefangenendilemma instrategischer Form

Gefangenendilemma inextensiver Form

−1,−1

−9, 0

0,−9

−6,−6P1

c

d

P2c d

−1−1

0−9

−90

−6−6

1

2 2c d

c d c d

Strategisch gesehen sind also folgende 2 Spiele äquivalent:◮ P1 und P2 entscheiden gleichzeitig◮ P2 entscheidet nach P1, aber ohne die Entscheidung von

P1 zu kennen.

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Definition der Extensiven Form

Informell gesprochen spezifiziert ein Spiel in extensiver Form:

(1) die Spieler im Spiel,

(2a) wann welcher Spieler zieht,

(2b) Liste der Aktionen, welche jedem Spieler bei seinen Zügenzur Auswahl stehen,

(2c) was welcher Spieler bei seinen Zügen weiss, sowie

(3) die Auszahlung jedes Spielers für jede Kombination vonAktionen.

Dies lässt sich wie folgt formalisieren:

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Definition der extensiven FormDefinition: Spiel in extensiver Form (mit vollst. Info)Ein Spiel in extensiver Form Γ = {N,A,X ,E , ι, I, u} besteht ausE1 Der Spielermenge N.E2 Aktionsmenge Ai , welche jedem Spieler i (an irgendeinem

Punkt des Spiels) zur Verfügung steht (mit A = ∪i∈N

Ai ).

E3 (Spiel-) Geschichten (‘Knoten’) X : Menge endlicher Folgenh = (a1, a2, . . . , ak ) mit as ∈ A, s = 1, . . . , k , für die gilt:

◮ der Anfangsknoten ∅ ∈ X ;◮ wenn {as}K

s=1 ∈ X , dann auch {as}Ls=1 ∈ X für L < K .

E4 Ergebnisgeschichten : MengeE = {h ∈ X |(h, a) /∈ X für alle a ∈ A}.

E5 Spielerfunktion ι : X \ E 7→ N gibt Index des Spielers an, deran Knoten h ∈ X am Zug ist.

E6 Informationsmengen I(h): bestehend aus Spielgeschichtenh ∈ X , zwischen denen ein Spieler nicht unterscheiden kann.

E7 Auszahlungsfunktionen ui : E 7→ R für jeden Spieler i ∈ N.13 / 59



Weitere Notation

◮ Ai(h) = {a ∈ Ai | (h,a) ∈ X}: Menge an Aktionen, welcheSpieler i nach Geschichte h zur Verfügung stehen.

◮ Xi = {h ∈ X \ E |ι(h) = i}: Menge an Knoten, an welchenSpieler i am Zug ist.

◮ Ii = {I(h)|ι(h) = i ,h ∈ X}: die Spieler i zugeordnetenInformationsmengen.

Bemerkung In sef mit perfekter Information sind alleInformationsmengen einelementig, also: I(h) = {h}, ∀h ∈ X .

Definition: Ein sef heisst endlich , wenn sowohl die Anzahl derSpielstufen als auch die Anzahl der Aktionen auf jederSpielstufe endlich sind.

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Ein Beispiel

02

31

−1−1

20

1

2 2L R

l r l r

◮ N = {1,2}◮ X = {∅,L,R, (Ll), (Lr), (Rl), (Rr)}◮ E = {(Ll), (Lr), (Rl), (Rr)}◮ ι(∅) = 1, ι(L) = ι(R) = 2◮ u1(Ll) = 0, u2(Ll) = 2, u1(Lr) = 3, u2(Lr) = 1,

u1(Rl) = −1,. . .15 / 59


Extensive Form Strategien Nash-GG Mischungen Teilspielperfektion Rückwärtsindukt ion Beispiele

Strategien

Eine erste informelle Definition

Eine Strategie in einem Spiel in extensiver Form ist ein voll-ständiger Aktionsplan: Er spezifiziert für den betreffendenSpieler an jedem Entscheidungsknoten (bzw. in spielen mitimperfekter Info: an jeder Informationsmenge) eine Entschei-dung.

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StrategienBeispiel:

02

31

−1−1

20

1

2 2L R

l r l r

Spieler 1: 2 mögliche (reine)Strategien: spiele ‘L’ oder ‘R’.

Spieler 2: 4 mögliche Strate-gien: Wahl zwischen ‘l’ oder ‘r’an jedem der beiden Entschei-dungsknoten.

(Reine) Strategien für Spieler 2:◮ {L → l,R → l}: spiele immer ‘l’.◮ {L → r,R → r}: spiele immer ‘r’.◮ {L → l,R → r}: spiele ‘l’ falls P1 ‘L’ gespielt hat, sonst ‘r’.◮ {L → r,R → l}: spiele ‘r’ falls P1 ‘L’ gespielt hat, sonst ‘l’.

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Strategien

Stellen Sie sich eine Strategie als einen vollstän-digen Aktionsplan vor, welchen Sie jemand an-derem in die Hand drücken könnten, um das Spielfür Sie zu spielen – egal wie sich das Spiel entwi-ckelt.

!

Bemerkung: In statischen Spielen (bzw. Spielen instrategischer Form) sind Aktionen/Entscheidungen undStrategien dasselbe.

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Strategien

Definition: StrategieEine reine Strategie von Spieler i ∈ N in einem sef Γ ist eineFunktion ai : Xi 7→ Ai , die jeder möglichen Spielgeschichteh ∈ Xi nach der Spieler i am Zug ist (also ι(h) = i), eineAktion ai(h) ∈ Ai(h) zuordnet. Für h,h′ ∈ Xi , welche in derselben Informationsmenge liegen, muss gelten: ai(h) = ai(h′).Wir bezeichnen eine Strategie mit si und den Spieler i zurVerfügung stehenden Strategieraum mit Si .

Im Beispiel oben hätten wir:◮ Für Spieler 1: X1 = {∅} und A1 = {L,R}.◮ Für Spieler 1: X2 = {L,R}, A2 = {l, r} und S2 =

{{L →

l,R → l}, {L → r,R → r}, {L → l,R → r}, {L → r,R → l}}

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Extensive Form Strategien Nash-GG Mischungen Teilspielperfektion Rückwärtsinduktion Beis piele

Nash-Gleichgewicht in einem Spiel in Extensiver Form

Jetzt, wo wir definiert haben, was eine Strategie ist in einem sefist, können wir das Konzept des Nash-Gleichgewichtsanwenden:

Nash-Gleichgewicht

Ein Strategienprofil (s∗

1, . . . , s∗

n) ist ein Nash-Gleichgewichtfalls

ui(s∗

i , s∗

−i ) > ui(si , s∗

−i) für alle i = 1, . . . und alle si ∈ Si .

Beachte: Dies ist die selbe Definition wie für ssf! Das einzigkonzeptionell neue ist die Strategiedefinition für sef.

Suchen wir nun die Nash-Gleichgewichte im Granatenspiel. . .

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Zurück zum Kampf der GeschlechterExtensive Form

(1,2) (0,0) (0,0) (2,1)

Chris

Pat Patf o

f o f o

Strategische Form

1,2

0,0

0,0

2,1

1,2

2,1

0,0

0,0Chris

f

o

Pat

f → fo → f

f → oo → o

f → fo → o

f → oo → f

⇒ 3 Nash-Gleichgewichte21 / 59



Anmerkung: Reduzierte Strategische Form

Die Tabelle auf der vorhergehenden Folie ist ein Beispiel für dieUmwandlung eines sef in eine reduzierte strategischeForm (rsf) .

Das ‘reduziert’ bezieht sich auf die Entfernung derZeitdimension. Da eine rsf somit nicht mehr darstellt wer voroder nach wem zieht (nur noch: wer auf wen reagieren kann),wird i.A. eine rsf mit mehr als einer sef korrespondieren.

Beispiel: Die zwei möglichen Darstellungsarten desGefangenendilemmas als sef (P1 zieht zuerst bzw. P2 ziehtzuerst, wobei der jeweils andere Spieler den Zug nichtbeobachten kann) haben jeweils die selbe rsf.

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Extensive Form Strategien Nash-GG Mischungen Teilspielperfektion Rückwärtsinduktion Beispiele

Gemischte Strategien

Wie in statischen Spielen führen Konvexitätsüberlegungen zurEinführung von gemischten Strategien.

Definition: Gemischte StrategienEine gemischte Strategie σi für Spieler i ist eine Wahr-scheinlichkeitsverteilung über seiner Menge von reinen Stra-tegien Si .

Eine gemischte Strategie ist also konzeptionell eine Mischungüber vollständige, bedingte Pläne: eine reine Strategie wird fürdas gesamte Spiel zufällig vor dem Spielbeginn gewählt.

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Verhaltensstrategien†

Definition: Verhaltensstrategien

Eine Verhaltensstrategie βi(h), h ∈ Xi für Spieler i spe-zifiziert eine (über Informationsmengen) unabhängige Wahr-scheinlichkeitsverteilung über Ai(h) für jede Informationsmen-ge von Spieler i .

Unterschied zu gemischten Strategien: Verhaltensstrategiengeben eine geschichtsabhängige Mischung für jede Geschichtean. D.h.: an jeder Informationsmenge wird eine Aktion zuälliggewählt.

Diese beiden Objekte sind verschieden, aber der Unterschiedspielt nur eine Rolle in Spielen mit imperfekter Erinnerung.Allgemeiner Intuition widersprechend sind allerdings gemischteStrategien das generellere Objekt. (Warum?)

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Allgemeine Mischungen†

Ein einzelner Spielausgang eines sef korrespondiert i.A. mitmehr als einem Strategienprofil (siehe ‘reduzierte strategischenForm’).

Definition: Ergebnisäquivalenz von StrategieprofilenEs folge jeder Spieler i ∈ N den Strategien si . Wir bezeich-nen die Ergebnisgeschichten mit o(s) ∈ E . Zwei Strategien-profile s und s′ heissen ergebnisäquivalent wenn ui(o(s)) =ui(o(s′)) für alle i ∈ N.

Satz (Kuhn 1953)Für jede gemischte Strategie eines Spielers in einem sef gibtes eine ergebnisäquivalente Verhaltensstrategie.

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Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien

Definition: Nash-Gleichgewicht (in gemischten Strat.)Ein Nash Gleichgewicht eines sef ist ein Strategienprofil σ∗,sodass für jeden Spieler i ∈ N und alle σi ∈ ∆(Si) gilt, dass

ui(o(σ∗)) ≥ ui(o(σi , σ

∗

−i)).

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Teilspielferfektion und unglaubwürdige DrohungenEin Nash-GG des Spiels zwischen Chris und Pat ist dasfolgende:

◮ Pat geht so oder so zum Boxkampf (egal wo Chris vor ihmhinging);

◮ Chris geht zum Boxkampf.

Dies ist ein Nash-GG weil die Strategie jedes Spielers optimalist gegeben die Strategie des anderen.

Allerdings: Etwas beunruhigend ist, dass Pat’s Strategy eineunglaubwürdige Drohung zu beinhalten scheint:

◮ Falls Chris doch in die Oper gehen würde – wäre es für ihndann wirklich optimal, zum Boxkampf zu gehen?

⇒ Dieser Gedanke führt zu einer Verfeinerung desNash-Gleichgewichts, um solche unglaubwürdigenDrohungen auszuschliessen.

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TeilspieleEin Teilspiel ist der verbleibende Teil eines Spiels ab einembeliebigen Entscheidungsknoten, sodass jeder Spieler weiss,dass er in dem betreffenden Teil des Spielbaums ist.

Beachte: Der letzte Zusatz ist nur für Spiele mit imperfekter Inforelevant.

Beispiele:Das ist ein Teilspiel

1

2 2L R

l r l r

Das ist kein Teilspiel

1

2 2L R

l r l r

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Teilspiele

Ein weiteres Beispiel: Identifizieren Sie alle Teilspiele desfolgenden Spiels

1

2 2

3 3 3 3

L R

L’ R’ L’ R’

L” R” L” R” L” R” L” R”

Spieler 3 weiss bei sei-nem Zug lediglich, ob vorihm Spieler 1 R und Spie-ler 2 R’ gewählt haben –oder nicht.

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TeilspieleDefinition: Teilspiel

Ein Teilspiel Γ(h) eines sef Γ besteht aus einem einzelnenKnoten h zusammen mit all seinen Folgeknoten in Γ. Ein Teil-spiel hat folgende Eigenschaften:

1. es beginnt in einer Singleton-Informationsmenge h,

2. es beinhaltet alle Folgeknoten von h (inkl Blätter),

3. es beinhaltet keine Knoten ausserhalb der Menge vonh’s Folgeknoten,

4. die zu jedem Knoten h zugehörige Informationsmengeist komplett im Teilspiel enthalten.

Bemerkung: Mit dieser Definition ist auch das gesamte Spielein Teilspiel von sich selbst. Zur Unterscheidung werden allerestlichen Teilspiele manchmal als ‘echte’ Teilspielebezeichnet.

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Teilspielperfektes Nash GleichgewichtDefinition (Selten 1965): Teilspielperfektes Nash-GGEin Nash-GG σ∗ eines sef Γ heisst teilspielperfekt (TSP-Nash-GG), wenn es ein Nash-GG in jedem Teilspiel Γ(h) vonΓ vorschreibt.

◮ Da das gesamte Spiel ein Teilspiel von sich selbst ist, sindalle Nash-GG eines Spieles mit nur einem Teilspiel auchTSP-Nash-GG.

◮ Wenn ein Spiel mehrere Teilspiele besitzt, dann ist dieMenge der TSP-Nash-GG eine Teilmenge der Nash-GGdieses Spieles. Deshalb sprechen wir von einem‘Verfeinerungskonzept.’

◮ Teilspielperfektion wird manchmal auch als ‘sequentielleRationalität’ bezeichnet.

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Teilspielperfektion im sequentiellenGeschlechterkampf

12

00

00

21

C

P Pf o

f o f o

Für Pat ist f → o bzw. o → f imjeweiligen Teilspiel nicht optimal

⇒ Teilspielperfektion eliminiert 2der 3 Nash-Gleichgewichte:

NGG 1 C: fP: {f→f,o→f}

NGG 2 C: oP: {f→ o,o→o}

NGG 3 C: oP: {f→f,o→o}

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RückwärtsinduktionEine praktikablere Art der Bestimmung teilspielperfekterNash-GG ist das ‘Rückwärts-Abarbeiten des Spielbaums’:Rückwärtsinduktion (Spiele mit perfekter Info):

1. Bestimmung der optimalen Aktionen in den kleinsten(‘letzten’) Teilspielen.

2. Ersetzen des jeweiligen Entscheidungsknotens mit demPayoff dieser optimalen Aktion.

3. Wiederhole Schritte 1. und 2. bis der Anfangsknotenerreicht ist.

12

00

00

21

C

P Pf o

f o f o

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Beispiel: Ein Markteintritts-SpielGeschichte: Eine Firma überlegt, in einen monopolisiertenMarkt einzutreten. Falls sie eintritt, kann der ansässigeMonopolist (‘Incumbent I’) den Eindringling entwederbekämpfen (‘fight’) oder nicht (‘accomodate’).

uE =uI =

02

−3−1

21

E

IOut In

fight acc

⇒ Im teispielperfekten Nash-GG tritt E ein und I bekämpftnicht (Bekämpfen würde den Eintritt unattraktiv machen –stellt jedoch eine unglaubwürdige Drohung dar).

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Erweiterung: Nach dem Eintritt kann auch E (gleichzeitig mit I)‘fight’ oder ‘accomodate’ wählen.

E

E

I I

Out In

f a

f a f a02

−3−1

−2−1

1−2

31

Das Teilspiel:

3, 1

−2,−1

1,−2

−3,−1E

acc

fight

Iacc fight

◮ Das einzige NGG des Teilspiels (beginnend an E’sEntscheidungsknoten) ist (‘acc’/‘acc’).

◮ Da dieses Gleichgewicht Firma E einen Payoff von 3bringt, wird sie im ersten Schritt eintreten.

⇒ Im einzigen teilspielperfekten Nash-GG des Spiels trittFirma E ein und beide Firmen spielen danach‘accomodate’.

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Rückwärtsinduktion: Anmerkungen

◮ Bei imperfekter Information beinhaltet Rückwärtsinduktiondas ‘Rückwärts-Abarbeiten’ des Spiels beginnend mit denkleinsten Teilspielen. . .

◮ Falls ein Teilspiel mehrere Nash-Gleichgewichte hat, somuss Rückwärtsinduktion ‘mit allen Varianten’durchgeführt werden.

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Ein Beispiel: Schoggistengeli-Verhandlungen◮ Zwei Schoggistengeli liegen auf dem Tisch.◮ Spieler 1: bietet eine Aufteilung

Notation: ‘(2,0)’ heisst: 2 Stengeli für P1, 0 Stengeli für P2.◮ Spieler 2: kann ‘ja’ oder ‘nein’ sagen – in letzterem Fall

bekommt niemand etwas.

1

2 2 2

(2, 0)(1, 1)

(0, 2)

j n j n j n

(2, 0) (0, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 0)

Dieses Spiel hat zwei teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte.37 / 59



Ein Rezept: 2-Stufen-Spiele mit perfekter InformationEine beliebte Klasse von Anwendungen hat fol-gende Spielstruktur (Gibbons Section 2.1.A):

1. Spieler 1 wählt eine Aktion a1 ∈ A1.2. Player 2 sieht a1 und wählt dann a2 ∈ A2.3. Payoffs sind u1(a1,a2) und u2(a1,a2)

Rückwärtsinduktion liefert die teilspielperfektenNash-GG wie folgt:1. Für bel. a1, finde P2’s beste Antwort

B2(a1) ∈ argmaxa2∈A2u2(a1,a2)

2. Finde a1, welches Folgendes löst:

a1 ∈ argmaxa1∈A1u1(a1,B2(a1))

(sofern B2(a1) eine Funktion ist).

P1

P2

u1(a1,a2)u2(a1,a2)

a1

a2

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Stackelberg Duopol (‘Sequentielles Cournot’)Zwei Firmen mit Grenzkosten c, Nachfrage P(Q) =a − Q. Firmen setzen ihre Mengen qi sequentiell :

1. Firma 1 (‘Leader ’) wählt q1.2. Firma 2 (‘Follower ’) sieht q1, wählt dann q2.

Lösung◮ Für beliebige q1 setzt Firma 2

q2 ∈ B2(q1) = argmaxq2π2(q1, q2)

= argmaxq2[P(q1 + q2)− c] · q2 = (a − q1)/2.

◮ Diese Reaktion antizipierend setzt Firma 1

q1 ∈ argmaxq1π1(q1,B2(q1))

= argmaxq1[P(q1,B(q1))− c] · q1 = (a − c)/2.

⇒ Gleichgewichtsmengen: q∗

1 = (a − c)/2,B2(q∗

1 ) = (a − c)/4.

F1

F2

π1(q1,q2)π2(q1,q2)

q1

q2

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Stackelberg Duopol: Graphische Analyse

a − c

12(a − c)14(a − c)

a − c12(a − c)

(q∗

1,B2(q∗

1))

B1(q2)

B2(q1)

q1

q2Firma 1 (‘Leader’) wählt nunihren bevorzugten Punktauf Firma 2’s bester AntwortB2(q1).

Der Leader fährt besser alsunter Cournot, der Followerschlechter (obwohl er ‘mehrweiss’!).

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Bank Runs◮ 2 Investoren i = 1,2 haben je einen Betrag D (‘Depot’) bei

einer Bank angelegt.◮ Die Bank investiert diese Beträge in ein Langzeitprojekt mit

Wert 2r ∈ (D,2D) in Periode t = 1 und 2R > 2D in t = 2.◮ Investoren entscheiden sich simultan in t = 1, ob sie ihr

Depot frühzeitig auflösen (‘w’ wie ‘withdraw’) oder nicht(‘ /w’), und nochmals in t = 2 falls in t = 1 keiner aufgelösthat.

◮ Falls in t = 1 beide auflösen, erhält jeder die Hälfte desmomentanen Werts 2r ; falls nur einer auflöst, erhält diesersein depot D zurück, der andere den Rest 2r − D; fallskeiner auflöst, geht das Spiel über in Periode t = 2.

◮ Falls in t = 2 beide oder keiner auflöst, erhält jeder dieHälfte des momentanen Werts 2R; falls nur einer auflöst,erhält dieser D, der andere 2R − D.

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Bank Runs

Der Spielbaum

1

2

2

w

/w

w

/w

/ww

(r , r )

(D,2r − D)

(2r − D,D)

1

2

2

w

/w

w

/w

/ww

(R,R)

(D,2R − D)

(R,R)

(2R − D,D)

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Bank Runs

Das Teilspiel in t = 2

R,R

2R − D,D

D,2R − D

R,RP1

w

/w

P2w /w

Im eindeutigen Nash-GG löst keiner auf (zur Erinnerung:R > D, und somit 2R − D > R). Aufzulösen wird sogar striktdominiert.

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Bank RunsDas Spiel in t = 1Wir reduzieren das gesamte Spiel zu einem Spiel mitsimultaten Zügen, indem wir den Gleichgewichtsgewinn desTeilspiels an jenem Ast des Spielbaums einsetzen, in welchemin t = 1 keiner auflöst:

r , r

2r − D,D

D,2r − D

R,R

w

/w

w /w 2 Nash-GG: (w,w)und ( /w, /w) (zurErinnerung:D < 2r < 2D).

⇒ Es gibt ein Koordinationsproblem in t = 1: Wenn ichdenke, dass der andere auflöst, ist es für mich optimal, dasselbe zu tun (ein ‘Bank Run’). Wenn ich denke, dass derandere nicht auflöst, ist es für mich ebenfalls optimal, nichtaufzulösen.

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Dynamische Verhandlungsspiele (‘Bargaining’)Die Situation1 Einheit Überschuss soll zwischen zwei Spielern aufgeteiltwerden:

◮ Verkäufer: besitzt das Gut, hat Wertschätzung 0.◮ Käufer: hat Wertschätzung 1 für das Gut.

Wenn Handel zu Preis p stattfindet, so hat Verkäufer Nutzen p,Käufer Nutzen 1 − p.

Die Klassische VorhersagePreisnehmerschaft & Markträumung: Wir werden auf der‘Kontraktkurve’ sein, d.h. Handel wird stattfinden zuirgendeinem p ∈ [0,1].

→ Frage : Können wir eine genauere Vorhersage treffen,indem wir die Verhandlung als Spiel modellieren?

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Modell 1: Das ‘Ultimatum-Spiel’Seller S macht ein Angebot p ∈ [0,1], welches Buyer Bannehmen oder ablehnen kann.

yes

no

pS B (p,1 − p)

(0,0)

Nash-GG: Beliebige p̃ ∈ [0,1] können als Nash-GG gestütztwerden, durch Buyer-Strategien der Form {‘yes’ iff p 6 p̃}.Aber: Teilspielperfekt ist nur p̃ = 1. Teilspielperfekte Strategienfür B sind:

◮ {‘yes’ iff p < 1} → kein Optimum für Seller.◮ {‘yes’ iff p 6 1} → Optimum für Seller: p = 1.

→ Seller wählt höchstes Angebot, das noch akzeptiert wird.Probleme:

◮ Entscheidend ist, wer das Angebot macht.◮ Endet das Spiel wirklich nach einer Ablehnung?

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Modell 2: Alternierende AngeboteNun kann B nach einer Ablehnung ein Angebot vorschlagen.

b b b

yes

no

pSyes

no

pB

S B B S

(pS ,1 − pS) (pB,1 − pB)

(0,0)

Von oben wissen wir: Gleichgewichtspayoffs im Teilspiel inwelchem B vorschlägt sind (0,1) (B bekommt den gesamtenÜberschüss). Das Spiel kann also wie folgt reduziert werden:

yes

no

pS

S B(0,1)

(pS ,1 − pS)

Also: B lehnt jedes Angebot pS > 0 ab, sodass imteilspielperfekten Nash-GG B den gesamten Überschussbekommt.

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Modell 3: Alternierende Angebote mit WartekostenModell wie oben, aber warten kostet . Dies kann sein, weilSpieler ungeduldig sind (Diskontfaktor δ < 1) oder weil derKuchen physisch schrumpft mit Rate δ.

b b b

yes

no

pSyes

no

pB

S B B S

(pS , 1 − pS) (δpB , δ(1 − pB))

(0, 0)

Gleichgewichtspayoffs im Teilspiel sind nun (0, δ). Dasreduzierte Spiel ist:

yes

no

pS

S B(0, δ)

(pS , 1 − pS)

B lehnt nun jedes Angebot pS > 1 − δ ab, sodass imGleichgewicht B einen Anteil δ bekommt (S einen Anteil 1 − δ).

⇒ S kann aufgrund der Wartekosten einen Teil desÜberschusses extrahieren.

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Model 4: Wiederholte Alternierende Angebote

Wiederholen wir obiges Spiel N Mal. In jeder Stufen = 1,2, . . . ,N ohne vorherige Übereinkunft wird folgendesTeilspiel Gn gespielt:

yes

no

pnS

S B

δ2n−2pnS

δ2n−2(1 − pnS)

B S

yes

no

pnB

δ2n−1pnB

δ2n−1(1 − pnB)

Gn+1

Gn

wobei in der letzten Runde (n = N) GN+1 den Endpayoff (0,0)repräsentiert.

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yes

no

pnS

S B

δ2n−2pnS

δ2n−2(1 − pnS)

B S

yes

no

pnB

δ2n−1pnB

δ2n−1(1 − pnB)

Gn+1

Gn

Bezeichne ui(Gn) Spieler i ’s Gleichgewichtspayoff in Gn, demTeilspiel beginnend in Runde n. Dann:

◮ GG-Auszahlungen im Teilspiel (des Teilspiels) welches mitAngebot pn

B beginnt:

S: uS(Gn+1), B: δ2n−1 − uS(Gn+1).

⇔(

pnB = uS(Gn+1)/δ

2n−1)

◮ GG-Auszahlungen im Teilspiel der n-ten Runde(beginnend mit Angebot pn

S):

uB(Gn) = δ2n−1 − uS(Gn+1)

uS(Gn) = δ2n−2 − [δ2n−1 − uS(Gn+1)] = (1 − δ)δ2n−2 + uS(Gn+1)50 / 59



Verwenden wir uS(Gn) = (1 − δ)δ2n−2 + uS(Gn+1) um vorwärtszu Iterieren, so erhalten wir:

uS(G1) = (1 − δ) + uS(G2)

= (1 − δ) + (1 − δ)δ2 + uS(G3)

= · · ·

= (1 − δ)[1 + δ2 + · · · + δ2N−2︸︷︷︸

=(1−δ2N)/(1−δ2)

]+ uS(GN+1)

︸︷︷︸

=0

= (1 − δ2N)/(1 + δ)

Im N-Mal wiederholten Alternierenden-Angebots-Spiel sindGleichgewichts-Payoffs

Seller: (1 − δ2N)/(1 + δ) Buyer: δ(1 + δ2N)/(1 + δ).

Bemerkungen:◮ Im Gleichgewicht findet Handel sofort statt (effizient!).◮ Für N → ∞ konvergieren Payoffs gegen 1/(1 + δ) für

Seller und δ/(1 + δ) für Buyer. 51 / 59



Spiele gegen das ‘Selbst’:Die Zeitkonsistenz von Präferenzen

Sie können an einem der nächsten 3 Samstage ins Kino gehen.

⇒ Jeden Samstag entscheiden Sie, ob Sie gehen oderwarten.

Modellieren wir dies als ein Spiel mit ‘zwei verschiedenenSelbst’, S1,S2, von denen jedes entscheidet, ob es ambetreffenden Samstag geht oder wartet.

S1 S2 S3

S1:S2:

U1(m1)U2(m1)

U1(m2)U2(m2)

U1(m3)U2(m3)

wait waitgo go go

Die ‘2 Selbst’ S1,S2 können verschiedene Präferenzen überErgebnisse m1,m2,m3 haben (mt heisst: Sie gehen in Woche tins Kino). 52 / 59



Genauer: Sei (v1, v2, v3) = (3,5,8) der (Intra-Wochen-)Nutzendes Films in Woche t .

Fall 1: Zeitkonsistente PräferenzenNehmen wir an ein Periode-t-Selbst gewichtet zukünftigenNutzen wie heutigen,

Ut(ut ,ut+1, . . .) = ut + ut+1 + · · · ,

wobei ut den Intra-Perioden-Nutzen in Periode t bezeichnet.S1 S2 S3

S1:S2:

30

55

88

wait waitgo go go

⇒ Präferenzen sind zeitkonsistent : S1 and S2 haben selbePräferenzen über Filme in Woche 2 vs. 3.

⇒ Rückwärtsinduktion liefert gleiches Ergebnis welches S1

selbst gewählt hätte (warten bis Film 3). 53 / 59



Fall 2: Zeitinkonsistente Präferenzen & Naive SpielerNehmen Sie nun an ein Periode-t-Selbst diskontiertzukünftigen Nutzen mit β = 1/2:

Ut = ut +12ut+1 +

12ut+2 + · · ·

S1 S2 S3

S1:S2:

30

2.55

44

wait waitgo go go

⇒ S1,S2 habenunterschiedlichePräferenzendarüber, den Film inWoche 2 oder 3 zusehen!

Annahme (für den Moment): S1 denkt (fälschlicherweise) S2

habe die selben Präferenzen. Was passiert?

◮ S1 wartet auf Film in Woche 3, aber S2 geht in Woche 2!

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Fall 3: Zeitinkonsistente Präferenzen & Clevere SpielerNehmen Sie nun an jedes ‘Selbst’ diskontiert zukünftigenNutzen wie oben, aber Spieler kennen ihrInkonsistenz-Problem. Was wird S1 tun? Lösen wir das Spielper Rückwärtsinduktion:

S1 S2 S3

S1:S2:

30

2.55

44

wait waitgo go go

◮ S1 geht in Film 1 obwohl es selbst lieber Film 3 sehenwürde.

Frage: Was wenn S1 sich auf Film 3 festlegen könnte (z.B.indem es schon in Woche 1 ein Ticket für Woche 3 besorgt)?

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Eine Anmerkung zur Zeitkonsistenz von PräferenzenUm obige Probleme der Zeit-Inkonsistenz zu verhindern, wird inder Literatur üblicherweise exponentielles (oder:‘geometrisches’) Diskontieren angenommen:

Ut = ut + δut+1 + δ2ut+1 + δ3ut+2 + · · · (δ < 1),

welches die nette Eigenschaft hat, dass sich relativeBewertungen künftiger Intra-Perioden-Nutzen nicht ändern.

Die Präferenzen im Beispiel oben gehören zur allgemeinerenKlasse des hyperbolischen Diskontierens, für welche gilt:

Ut = ut + βδut+1 + βδ2ut+1 + βδ3ut+2 + · · · (β, δ < 1).

Anm. : Falls dies Ihr Interesse an Phänomenen geweckt hat,welche zeitinkonsistente Präferenzen hervorrufen können, soschauen Sie zum Beispiel in Rabin (1998, AER), aus welchemdieses Beispiel stammt.

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Grenzen der TeilspielperfektionBetrachten Sie das folgende Spiel:

1

2

1

(100,100)

(120,80)

(1,100)

(0,0)

u

d

u

d

u

d

Gleichgewichts-Prognose ausRückwärtsinduktion liefert(100,100)-Ergebnis.Aber: Sind wir da wirklich sosicher?

Falls Spiel zu Knoten kommt, in welchem P2 zieht – wie kannP2 dann P1 noch für rational halten (und annehmen, dassletzterer ‘u’ wählt)?

Teilspielperfektion stellt sich Abweichungen als ‘puren Un-fall’ vor, welcher die Rationalitäts-Hypothese nicht tangiert →‘Temporary Insanity’.

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Das Hundertfüssler-Spiel (Rosenthal, 1981, JET)

· · ·1 2 1 1 2 1 2

11

03

22

· · ·· · ·

9898

97100

9999

98101

100100

c c c c c c c

s s s s s s s

Was ist das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht?

Beachte: Bei jedem Zug präferiert ein Spieler◮ stoppen (‘s’) falls der andere Spieler unmittelbar danach

stoppt, aber◮ fortfahren (‘continue’ – ‘c’) falls der andere Spieler danach

fortfährt

(egal was danach passiert).

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Das ‘Chainstore Paradox’Geschichte : Eine Firma I (‘Incumbent’) ist Monopolist auf Kunabhängigen Märkten k = 1, . . . ,K . Nacheinander sieht siesich auf jedem Markt einem potentiellen Eindringling Ek

(‘Entrant’) gegenüber, gegen welchen sie folgendes Spiel spielt(vergangene Aktionen können von allen beobachtet werden):

02 −3

−121

Ek

IOut In

fight acc

Was ist das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht?Frage : Nehmen Sie an Sie sind potentieller Eindringling #11,und Sie haben beobachtet wie Firma I jeden der 10 letztenEindringlinge bekämpft hat. Wie sollten Sie sich verhalten?

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