Modellierung und Schätzung von Variogrammen

Vortrag im Rahmen des Seminars Extrapolationsmethoden für zufällige Felder,

Universität Ulm

Matthias Bühlmaier

Inhalt

1. Motivation

2. Grundlagen

3. Isotrope Modelle

4. Anisotropie

5. Mathematische Eigenschaften

6. Schätzer

1. Motivation

mRD RDz : )(xzx

Maß für den Unterschied zweier Werte:

2* )(2

1 zz

xxh 2* ))()((2

1)( xzhxZh

Regionales Variogramm:

hDDxDhxDx

DxhxD h :

hDDh

R dxxzhxzDD

h 2))()((2

1)(

Variogramm einer Stichprobe (Sample Variogram):

)(

2))()(()(2

1)(

hN

xzxzhN

h

hxxxxhN :),()(

2. Grundlagen

(,F,P) Wahrscheinlichkeitsraum. Zufälliges Feld:

,:);(:)()( DssZDssZZ

Z(·) intrinsisch stationär :

(i)

(ii)

γ wird dann Variogramm genannt.

0))()(( 21 sZsZE Dss 21,

)(2))()(( 2121 sssZsZVar Dss 21,

Z(·) stationär zweiter Ordnung :

(i)

(ii)

C wird dann Covariogramm genannt.

)(sEZ Ds

)())(),(( 2121 ssCsZsZCov Dss 21,

Correlogramm:)0(

)()(

C

hCh

Eigenschaften:

1) Z(·) stationär zweiter Ordnung Z(·) intrinsisch stationär

2) (h)= (-h), (h)0, (0)=0

3) C(h)=C(-h), |C(h) |C(0)=Var(Z(s))

4) Z(·) stat. 2. Ordnung (h)=C(0)-C(h)

5) Z(·) intr. stat., beschränkt Covariogramm C: (h)=C(0)-C(h)

6)

7) ist eine bedingt negativ semidefinite Funktion

8) C ist eine positiv semidefinite Funktion

0)(

2 h

hh

Zu 7):

Zu 8):

nn n

xZVarxx00 0

0))(()(

n

n0

0 0:),...,(

nn n

xZVarxxC00 0

0))(()(

),...,( 0 n

3. Isotrope Modelle

RRf m : isotrop : mRhhfhf )()(

3.1 Spärisches Modell

Spärisches Covariogramm (r=|h|, a>0):

1

2

12

1,0 )1()(1)(

a

r

n

nn

an duuvarrg

)2

(2 1

2

nn

vn

n

n

Für n=1,2,3 erhalten wir in der normalisierten Form das Dreiecks-, Kreis- und Spärische Modell:

3.2 Exponential-Modell (a>0):

)exp()(a

rrC

a

rrrC a 1)(1)( ,01

2

2

,02 1arccos2

)(1)(a

r

a

r

a

rrrC a

3

3

,03 22

31)(1)(

a

r

a

rrrC a

3.3 Gaussches Modell

)exp()(2

2

a

rrC

3.4 Modell2

h

rr )(

4. Anisotropie

RRf m : anisotrop : (f isotrop)

4.1 Range und Sill

Siehe „fraktionale Brownsche Bewegung“ im Anhang.

4.2 Geometrische Anisotropie

Variogramm geometrisch anisotrop :

isotropesVariogramm , mm pos. def. Matrix Q mit0RRm :

)()( 0 Qhhh t

Vorgehensweise: Hauptachesentransformation und anschließende Reskalierung. Erhalten dann für eine Matrix A.

Bsp. (m=2): Hier ist A eine Drehungs- und Streckungsmatrix von der Form

)()( 0 Ahh

cossin

sincos),( 21

bbdiagA

4.3 Zonale Anisotropie:

Def.: Das Variogramm hat ein kleineres Sill in einer bestimmten Richtung oder in mehreren Richtungen.

Vorgehensweise (hier im ):

Zerlegung von γ in , wobei isotrop und geometrisch anisotrop.

2R

)()()( 21 hhh 1 2

4.4 Andere Anisotropien:

)(),()( duuhh u

5. Mathematische Eigenschaften

5.1 Stetigkeit

Z(·) stetig im zweiten Mittel : 0)()(lim 2

0

xZhxZE

h

Verhalten des Variogramms im Ursprung und Stetigkeitseigenschaften von Z(·):

(i) γ stetig im Ursprung Z(·) stetig im 2. Mittel

(ii) für bzw. existiert nicht

Z(·) ist nicht stetig im zweiten Mittel und verhält sich

hochgradig irregulär.

Dieses Verhalten im Ursprung wird Nugget Effekt genannt.

0)( ch 0h )(lim0

hh

Im Folgenden sei das Variogramm bis auf den Ursprung stetig.

Dann gilt:

Z(·) stetig im zweiten Mittel mit Variogramm γ 0)(

lim 2 h

hh

nR

01 1

N

i

N

jjiji xxG

5.2 Definitheit

G(h) in bedingt positiv definit :

N

ii

1

0: .nN

(iii) (außer γ(0)=0 natürlich)

unkorreliert (insbes. auch dann,

wenn klein). Z(·) wird dann oft als weißes Rauschen

bezeichnet.

0)( const

)(),( 21 sZsZ 21 ss

21 ss

C positiv definit C ist ein Covariogramm

γ bedingt negativ semidefinit γ ist ein Variogramm

Stabilitätseigenschaften:

(i) Covariogramm ,

ist ein Covariogramm.

(ii) C(h;t) Covariogramm tAR, μ pos. Maß auf A,

ist ein Covariogramm

(iii) Covariogramme Covariogramm

kC Nk )(lim hCRh kk

n

)(lim)( hChC kk

)();( dtthCh

)();()( dtthChC

21,CC 21 CC

5.3 Spektrale Darstellung

μ endliches Borel-Maß auf . Dann heißt Fourier-Transformierte von μ :

Dann gilt: gleichmäßig stetig und positiv definit.

Umgekehrt gilt (Satz von Bochner):

stetig, pos. definit endl. Borel-Maß μ mit f

Daraus folgt: Für stetige gilt:

C ist Variogramm und

F pos., beschränktes, symmetrisches Maß:

nR CRn:

)()(ˆ , dyex yxi

CRf n:

RRC n:

)(),2exp()( duFhuihC

)(duF

γ stetig und γ(0)=0. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:

(i) γ ist ein Variogramm

(ii) ist ein Covariogramm t>0

(iii) , wobei

Q(h) eine pos. definite quadrat. Form ,

χ pos. Symmetrisches Maß mit keinem Atom im Ursprung,

und

te

)()(||4

).2cos(1)(

22hQdu

u

huh

)(||41

122

duu

6. Schätzer

In diesem Abschnitt setzen wir voraus, daß Z(·) intrinsisch stationär ist.

6.1 Schätzer von Matheron

,)()(|)(|2

1)(ˆ

)(

2 hN

ji sZsZhN

h hsssshN jiji :),()(

Glättung des Schätzers, falls Daten unregelmäßig verteilt:

wobei T(h(l)) eine Toleranzregion in um h(l), l=1,...,k, und ave{·} ein gewichteter Durchschnitt über die Elemente in {·}.

Dieser Schätzer ist erwartungstreu und konsistent, jedoch nicht robust.

))((),(),(:))()(())((2 2 lhThhNjisZsZavelh ji nR nR

6.2 Schätzer von Cressie-Hawkins

|)(|494,0

457,0

)|()(||)(|

1

)(2

4

)(

2

1

hN

sZsZhN

hhN

ji

)(

)(),(:)|()(|

)(~2

4

2

1

hB

hNsssZsZmed

hjiji

B(h) ist eine Funktion, die den Bias korrigiert. Asymptotisch ist B(h)=0,457.

Diese Schätzer sind robust, aber nicht erwartungstreu.

Simulation i.d.R. ist als Schätzer vor vorzuziehen ~

Fraktionale Brownsche Bewegung und

Power-Modell hh )(

Anhang

Def.: Ein Zufallsvektor ist n-dimensional

normalverteilt mit Parametern , falls für

gilt:

Dann ist

die symmetrische, positiv semidefinite Kovarianzmatrix, und

X hat die Dichte

Bezeichnung:

),...,( 1 nXXX dRa ddRK

XtiEet ,:)(

tKtatit ,

2

1,exp)(

,, ,...,1,,...,1, djijijidjiji aaXEXXXCovK

axaxK

K

xf n ),(2

1exp

det2

1)( 1

2

XPKaN :),(

ii aEX di ,...,1

Def.: Sei X(·) ein stochastischer Prozeß.

X(·) wird Gauß-Prozess genannt, falls jeder Zufallsvektor

normalverteilt ist.

Def.: ist eine Brownsche Bewegung, falls X(·)

ein Gauß-Prozeß ist mit folgenden Eigenschaften:

EX(t)=0 und

Bem.: X(·) Brownsche Bewegung Var(X(t))=t

))(),...,(( 1 ktXtX

vuvuvuvXuXCov 2

1,min)(),(

0),( ttX

Def.: Ein stochastischer Prozeß heißt

fraktionale Brownsche Bewegung, falls X(·) ein

Gauß-Prozeß ist mit EX(t)=0 und

0:)( ttX

,2

1)(),(

vuvuvXuXCov 2,0

Satz: Für jede symmetrische positiv definite Funktion

existiert ein Gauß-Prozeß X(·)

auf einem W-Raum (Ω, F, P) mit

EX(t)=0 und

RRRC dd :

)(),(, vXuXCovvuC

Def.: X(t), heißt fraktionale Brownsche Bewegung

(in ), falls X(·) ein Gauß-Feld ist mit EX(t)=0 und

dRt

,2

1)(),(

vuvuvXuXCov

dR

ttXtXCovtXVar ))(),(())(( und

0)0( X f.s., da EX(0)=0 und Var(X(0))=0

Dann ist

,2,0 dRvu ,

Die Stationarität der Zuwächse rechtfertigt die Definition des Variogramms γ als

huXhuXEh 2)()(:)(2

Zuwächse von X(·) sind im allgemeinen nicht unabhängig wie bei

der Brownschen Bewegung, sondern nur stationär:

haben für je endlich viele und die gleiche

mehrdimensionale Verteilung.

)()(),...,()(),()( 13221 nn tXtXtXtXtXtX

)()(),...,()(),()( 13221 htXhtXhtXhtXhtXhtX nn

und

dn Rtt 11,...,

dRh