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Sehr oft wird von den Anwendern die Frage gestellt, wieman Zahnradgeometrien mit Pro/ENGINEER modelliert.Von besonderem Interesse sind in diesem ZusammenhangEvolventenverzahnungen. Dieser Beitrag von RolandRaytchev beschäftigt sich mit der Problematik der Evol-ventenverzahnung und stellt einige der möglichen Vor-gehensweisen vor.

Die meisten Schwierigkeiten entstehen bei dem Versuch, diemathematischen Formeln abzuleiten und dann diese For-meln entsprechend geometrisch umzusetzen. Ein Beispielhierfür ist die Anwendung der Evolventenfunktion für dieErzeugung der Zahnflanken. Oft sind die erzeugten Modellegeometrisch richtig, aber sehr umständlich zu handeln, weilsie zu viele Konstruktionselemente enthalten. Oder sie sindnur sehr eingeschränkt parametrisiert, denn nur wenigeParameterkonfigurationen erzeugen eine regenerierbareGeometrie. Dabei ist Pro/ENGINEER mit seinem vollparame-trischen Ansatz geradezu ein ideales CAD-System für dieAusführung solcher Aufgaben.

Beziehungen und Parameter

Als erstes werden einige Parameter und Beziehungen defi-niert. Daraus werden die entsprechenden Bemaßungenabgeleitet. Die Formeln sind aus Gründen der Vereinfachungnur für Geradverzahnungen ohne Profilverschiebungen auf-gestellt, können aber später erweitert werden.

Parameter: MODUL als Real Parameter und ANZAHL_ZAEHNE alsInteger.

Beziehungen:

EVOLVENTEN_ERZEUGUNGS_WINKEL =45KOPFSPIEL=0.167*MODULTEILKREIS_TEILUNG = MODUL*PI/*EingriffswinkelALPHA_EINGRIFF = 20TEILKREIS_DURCHM = MODUL*ANZAHL_ZAEHNEFUSSKREIS_DURCHM = TEILKREIS_DURCHM - 2*(MODUL+KOPFSPIEL)KOPFKREIS_DURCHM= MODUL*( ANZAHL_ZAEHNE+2)GRUNDKREIS_DURCHM = TEILKREIS_DURCHM*cos(ALPHA_EINGRIFF)WINKEL__HALFTE_ZAHN = 360*( TEILKREIS_TEILUNG/4)/(PI*TEILKREIS_DURCHM )

Erzeugung der Bezugskurven

Die Kurven für den Grundkreis, Fußkreis, Teilkreisdurchmes-ser und Kopfkreisdurchmesser werden wie im Bild 1 erzeugt:

Folgende Beziehungen werden hinzugefügt:

D0=GRUNDKREIS_DURCHMD1=FUSSKREIS_DURCHMD2=KOPFKREIS_DURCHMD3 =TEILKREIS_DURCHM

Hier sind D0 bis D3 die speziell für diesen Anwendungsfallgültigen Bemaßungsnamen. Die bis hierher durchgeführtenSchritte werden von allen weiteren Modellierungsoptionenverwendet und auch vorausgesetzt.

Die vereinfachte Modellierung

Das Ziel ist ein Zahnrad mit möglichst wenigen KEs zuerzeugen. Dafür wird ein Graph als Bezugsprofil verwendet.Die Geometrie der Verzahnung wird im Graph abgebildet.Dabei wird nur ein Bezugszahn im Graph erzeugt und dannmit Hilfe der floor() Funktion gemustert. Es wird nur einegrobe Vereinfachung der Geometrie erzeugt, und zwar aus-gehend von dem Bezugsprofil für die Zahnraderzeugung –Trapezprofil mit 30° Flankenwinkel.

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Menschen hinter Funktionen:

Roland Raytchev, 1965 in

Varna geboren, gehört seit dem

1. November 1998 als Technical

Support Engineer zum PTC-

Team. Er ist zuständig für die

Themenbereiche Pro/ENGINEER

Modellierung, Zeichnungs-

erstellung und Installation.

Darüber hinaus ist er kompe-

tenter Ansprechpartner für

Fragen über Pro/TOOLKIT,

Intralink Toolkit, J-Link und

Web.Link. Roland Raytchev

absolvierte nach Gymnasium

und Abitur den Grundwehr-

dienst und ließ sich anschlie-

ßend zum Rundfunktechniker

ausbilden. Auf diese Basis

setzte er ein Studium an der

Technischen Universität

Dresden auf, der er nach

erfolgreichem Abschluss noch

drei Jahre als wissenschaft-

licher Mitarbeiter am Institut

für Werkzeugmaschinen und

Fluidtechnik diente, ehe es ihn

in die Industrie zog.

Modellierung von Zahn-rädern mit Pro/ENGINEER

Roland Raytchev (35)Bild 1

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Bild 2: Erzeugung des 2D Graph „Bezugsprofil“.

Hinzufügen von weiteren Beziehungen speziell für diesenGraph:

HALBE_TEILUNG = TEILUNG/2TIEFE_ZAHN = ZAHN_TIEFEZAHN_HOEHE=(KOPFKREIS_DURCHMESSER -TEILKREIS_DURCHMESSER)/2EINGRIFF1= EINGRIFFSWINKELEINGRIFF2= EINGRIFFSWINKEL

Erzeugen von KE „Fläche“: Ziehen mit variablen Schnitten,Drehrichtung wie in Bild 3 dargestellt.

Hier ist die Leitkurve irgendeine Kreiskurve coaxial zu demMittelpunkt, z.B. FUSSKREIS oder Grundkreisdurchmesser.Die Ebene für die Normalrichtung ist die Ebene, in der dieFläche liegt. Damit die Fläche diese Gestalt (Bild 3) annimmt,sollten folgende Skizzierbeziehungen definiert werden:

delta = (trajpar*ZAEHNE_ZAHL -floor(trajpar*ZAEHNE_ZAHL))*TEILUNGsd4= evalgraph(„Bezugsprofil“,delta)+TEILKREIS_DURCHMESSER/2 -D13/2

Hier ist D13 die Durchmesserbemaßung der Leitkurve. Vondieser Fläche kann jetzt ohne Probleme ein Körper erstellt

werden, beispielsweise durch Aufdicken oder durch dieBenutzung der Berandung in Profilkörpern.

Diese Methode kann in dieser Form verwendet werden, wenndie exakte Geometrie der Evolvente nicht unbedingt vonentscheidender Bedeutung ist, z.B. Räder aus Gummi, dadurch die Verformung (Dämpfung) die exakte Evolventen-funktion wenig Sinn macht.

Die Methode kann aber weiter präzisiert werden, indem manden Graph exakter konstruiert. So kann der Graph als Splineoder Konischer Bogen konstruiert werden. Spezielle Punktewerden dabei unter Beachtung folgender geometrischerBedingungen bemaßt:

• Zahndicke am Kopfkreis (siehe unten Zahndicke Funktion).• Zahndicke am Grundkreis plus Tangentialität zum Ein-

griffswinkel (am Grundkreis soll der Spline/KonischeBogen mit der Vertikalen den Eingriffswinkel bilden).

Der Konische Bogen ist dabei zu empfehlen, da durch dieÄnderung am Krümmungsradius die Ergebnisse weiter an-gepasst werden können, so dass schließlich eine Evolventemit 99-prozentiger Übereinstimmung erzielt werden kann.

Die „Standard“-Modellierung

Diese Methode wird als „Standard“ bezeichnet, weil dieserAnsatz am häufigsten verwendet wird.

1. Erzeugen von einem Solid Körper aus der Kopfkreiskurve(“Nutze Kante“)

2. Folie erzeugen:“Zahn_bezug“ mit Standardfolien Typ DATUM, “Evolventen“ mit Standardfolien Typ Kurve.

3. Erzeugen einer Achse (hier A_1) durch den Schnitt derStandardebenen DTM1 und DTM2.

4. Erzeugen der EBENE DTM4 durch die Achse (3.) und mitWinkel zur Standardebene DTM1 (z.B. 20°).

5. Erzeugen der Achse (hier A_2) zwischen den zwei EbenenDTM 3 und Ebene DTM4 (4.).

6. Erzeugen des KoordinatenssystemsEVOLVENT mit Z-Achse durch dieAchse A_1 (3.) und X-Achse durchdie Achse A_2 ( 5.).

7. Erzeugen der zweiten Ebene DTM5durch die Z-Achse und im Winkelzu der Ebene DTM4 (4.)=>Winkelmaß = d6.

8. Erzeugen der Evolventenkurve =>Kurve erzeugen. MathematischeGleichung verwenden. Wählen Siedas Koordinatensystem “EVOLVENT“,Zylinder Koordinaten.P

Bild 2

Bild 3

Bild 4

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9. FORMEL eingeben:z=0involvent_winkel = t*EVOLVENTEN_ERZEUGUNSWINKELtheta = tan(involvent_winkel)*180/PI - involvent_winkelr= (GRUNDKREIS_DURCHM /2) / cos (involvent_winkel)

10. Spiegeln der Evolventenkurve: #Konstr Element,#Kopieren, #Spiegeln, #Abhängig und Selektieren EbeneDTM5 (7.).

11. Skizzieren des Hinterschnittes am Zahnfuß. Die Form desHinterschnittes ist fallspezifisch, z.B. eine Rundung. Hierwurde das Profil einfach abgeschrägt => mit Skizzen-beziehung sd35=sd23*0.8.

12. Erzeugen des Ma-terialschnittes unterder Verwendung derKurve, erzeugt in (11.),siehe Bild 5:

13. Erzeugen einer lo-kalen Gruppe, begin-nend von der Ebene in8. und alle Konstruk-tionselemente bis zumEnde umfassend. Mus-tern der Lokalgruppeüber die Bemaßung“d3“.

14. Hinzufügen der folgenden Beziehungen:

- D6=WINKEL__HALFTE_ZAHN- D87=WINKEL__HALFTE_ZAHN*4- P88=ANZAHL_ZAEHNE

15. Die beiden Folien“Zahn_bezug” und“Evolventen” könnenjetzt ausgeblendet wer-den. Auf Bild 6 wirddas fertige Zahnraddargestellt:

WeitererModellierungsansatz

Die Modellierungsme-thode über die „Zahn-

dicke-Funktion“ liefert eine effizientere geometrischeLösung als die Standardmethode. Hierfür benötigen wir dieFunktion der Zahndicke in Abhängigkeit von dem Abstandzum Zentrum des Zahnrades. Das folgende mathematischeModell können wir aufstellen:

alpha = acos(radius_grundkreis/RY)env_eingriff = tan(ALPHA_EINGRIFF) – ALPHA_EINGRIFF*PI/180 /*oben ist ein konstanter Ausdruckenv_alpha = tan(alpha) -alpha*PI/180ZD(RY) = 2*RY*(dicke_teilkreis/(2*radius_teilkreis)+env_eingriff-env_alpha)

Hier ist der Eingangsparameter RY Abstand zum Zentrumund ZD ist die Zahndicke. Standardmäßig ist derEingriff_Winkel = 20°. Aus Gründen der Einfachheit wurdehier auch nur der Fall gerader Verzahnung ohne Profil-verschiebungen berücksichtigt.

1. Als erstes werden die Beziehungen (siehe „Beziehungenund Parameter“) erweitert:dicke_teilkreis = modul*PI/2radius_teilkreis=TEILKREIS_DURCHMESSER/2radius_grundkreis = GRUNDKREIS_DURCHMESSER/2env_eingriff = tan(EINGRIFFSWINKEL) -EINGRIFFSWINKEL*PI/180

2. Erzeugen eines Volumenkörpers aus der Fußkreiskurve(“Nutze Kante”).

3. Folie erzeugen:“Zahn_bezug” mit Standardfolientyp DATUM.

4. Erzeugen der EBENE DTM1 durch den Zylinder(Volumenkörper in 2.) und mit Winkel zu derStandardebene RIGHT (zum Beispiel 30°), siehe Bild 7:

5. Erzeugen eines neuen KE :Körper:Ziehen mit variablenSchnitten und variabler Drehrichtung. Als Normal-richtung wurde die planare Fläche des Fußkreiszylindersverwendet. Die Leitkurve wurde entlang der Zahnhöhedefiniert (Richtung wachsender Radius). Sie wurde einwenig länger als die Zahnhöhe definiert, beginnt also,bevor der Grundkreisradius erreicht wurde (siehe Bild 8):

Bild 5

Bild 6

Bild 7

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6. Für die Steuerung der Zahndicke entlang der Leitkurvewurden im Skizziermodus folgende Beziehungendefiniert:

RY = D38+trajpar*(KOPFKREIS_DURCHMESSER/2-D38)if RY < radius_grundkreisRY = radius_grundkreisendifalpha = acos(radius_grundkreis/RY)env_alpha = tan(alpha) -alpha*PI/180sd9 = 2*RY*(dicke_teilkreis/(2*radius_teilkreis)+env_eingriff-env_alpha)

Hier ist D38 der Abstand zwischen dem Zentrum desZahnrades und dem Start der Leitkurve. Die Größe vonD38 spielt kaum eine Rolle, solange sie kleiner als derKopfkreisdurchmesser ist. Sd9 ist die Bemaßung für dieZahndicke.

7. Abrunden der Kanten zwischen der Fußkreiszylinder-mantelfläche und den Flächen der Zahnflanken – ein KE-> Rundung für die beiden Kanten.

8. Erzeugen einer lokalen Gruppe, beginnend von der EbeneDTM1 (in 4.) und alle Konstruktionselemente bis zumEnde umfassend. Mustern der lokalen Gruppe über dieWinkelbemaßung der Ebene DTM1, hier “d37“.

9. Hinzufügen von weiteren Beziehungen, um die Anzahlder Muster und deren Inkrement zu steuern:d44 = 360/ZAEHNE_ZAHL/* Inkrement Winkel. p45 = ZAEHNE_ZAHL/* Anzahl der Muster in dieser Richtung.

Man kann sehen (Bild 9), dass die Geometrie einfacher als dievorherige Modellierungsmethode ist. Auch ein Vergleich derRegenerierungszeiten ergibt eine etwa zwei- bis dreifachbessere Performance bei gleicher Geometrie.

Das hier vorgestellte Modellierungsverfahren wurde nur fürgerade (Null) Verzahnung konzipiert. Es ist aber ohne großenAufwand möglich, diese zu erweitern, um auch Schräg-verzahnungen mit Profilverschiebungen modellieren zukönnen.

Die Automatisierungsmöglichkeiten

Wenn die Geometrie des Zahnrades fertig ist, dann ist dieArbeit getan. Aufgrund des vollparametrischen Verhaltensvon Pro/ENGINEER ist es möglich, mit wenigen Parameter-änderungen eine komplette Erzeugnispalette abzudecken. Esist aber auch wichtig, die Schnittstelle zwischen Modell-entwickler und Modellanwender herzustellen. Der Modell-anwender braucht nicht die komplexe Geometrie zu kennen.Er benötigt lediglich nur einige Werte, um das gewünschteProdukt zu bekommen. Um das zu realisieren, bestehenfolgende - kurz angeschnittene - Möglichkeiten:

Nur die Parameter, mit denen der Anwender arbeiten soll,können in einem Layout deklariert werden – Layout-Tabelle.Die Eingabe kann weiterhin durch vereinfachte Darstel-lungen, 2D-Skizzen und Snapshots von Modellansichtenunterstützt werden.

Erzeugung von Pro/PROGRAM und deklarieren der für denAnwender relevanten Parameter als Inputparameter: Beijeder Modellregenerierung werden diese Parameter automa-tisch abgefragt, zum Beispiel:

INPUTMODUL NUMBER“MODUL für das Zahnrad eingeben“:ANZAHL_ZAEHNE NUMBER“Anzahl der Zähne eingeben“END INPUT

J-Link und Web.Link: Hier können die Parameter mit Hilfevon komfortablen Eingabemasken erfasst werden. Die Pro-grammierung von solchen Eingabemasken ist sehr arbeits-intensiv. In diesem Zusammenhang besteht aber die Mög-lichkeit, die Anwenderangaben zu überprüfen und Fehler beider Eingabe abzufangen, so dass ein korrektes Modellerzeugt wird. Erwähnenswert ist auch, dass J-Link auf Javabasiert. Deswegen kann man mit J-Link jede beliebig kom-plexe Berechnung programmieren bzw. aus anderen Pro-grammiersprachen (C, C++) portieren. So ist es möglich, dieZahnradberechnung und Zahnradmodellierung in einemPro/ENGINEER-Modell zu realisieren.^

Bild 8

Bild 9

Weitere Informationen

Die Informationen aus diesem Artikel können Sie unter

www.ptc.com/cs/gr_22/howto/agf5043/agf5043_g.htm

- Vorgeschlagene Verfahrensweise zur Erzeugung von

Evolventenverzahnungen (drei Methoden) - einsehen.

Hier können Sie auch die drei Beispielsmodelle

downloaden.