Modellierung WS 2014/15 Wahrscheinlichkeits-Modelle und ... · Paul begr uˇt Lisa. Uwe trinkt ein...

Modellierung

Wahrscheinlichkeits-Modelle und stochastische Prozesse

“Modellierung” WS 2014/15

Wahrscheinlichkeits-Modelleund stochastische Prozesse

(mit Folien von Prof. H. Schutze)

Prof. Norbert Fuhr

1 / 63

Modellierung


Wahrscheinlichkeits-Modelle


Zufalls-Experiment

Ein Zufalls-Experiment ist ein Vorgang, der ein genauabzugrenzendes Ergebnis besitzt, das vom Zufall beeinflusst ist.

Beispiele:

Wurfel

Regnet es morgen in Duisburg?

Klickt der Benutzer auf das erste Antwortdokument vonGoogle?

Wie lange schaut der Benutzer auf das angezeigte Dokument?

2 / 63

Modellierung



Aspekte von Zufallsexperimenten

Uns interessierende Aspekte von Zufallsexperimenten:

1 Die moglichen Ergebnisse (Beobachtungen)1,. . . ,6, ja/nein

2 Die moglichen FragestellungenGerade Zahl? Weniger als 10s?

3 die zugehorigen WahrscheinlichkeitenP(gerade) = 0, 5

3 / 63

Modellierung



Der Merkmalsraum Ω

Merkmalsraum Ω

Ein Merkmalsraum Ω (Stichprobenraum, Grundmenge,Grundgesamtheit) ist eine nicht-leere Menge mit Elementen ω ∈ Ω.

Ω gibt die moglichen Ausgange (Ergebnisse) desZufalls-Experiments an

Wir betrachten hier nur den Fall, dass der Merkmalsraum endlichoder zumindest abzahlbar ist.

Beispiele fur Merkmalsraume

Wurfel: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6Regen: Ω = ja,neinZeit: Ω = 1, 2, . . . , 300(Betrachte angefangene Sekunden, bei mehr als 300s machtder Benutzer Pause)

4 / 63

Modellierung



Ereignisse und ihre Verknupfung

Ereignisse, Ereignis-System

Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω.

”Das Ereignis A tritt ein“, falls ein Merkmal ω mit ω ∈ A

beobachtet wird.

Die Menge aller betrachteten Ereignisse nennen wir dasEreignis-System A

Beispiele fur Ereignisse:

Wurfel: Gerade Augenzahl: A = 2, 4, 6Zeit: Benutzer schaut max. 5s auf das DokumentA = 1, 2, 3, 4, 5

5 / 63

Modellierung



Spezielle Ereignisse

A = ∅ : A ist ein unmogliches Ereignis, weil ω ∈ ∅ nie eintritt

A = Ω : Das Ereignis Ω tritt immer ein

A = ω fur ω ∈ Ω: ω nennt man ein Elementarereignis

Beachte den Unterschied zwischen dem Merkmal ω (Element vonΩ) und dem Ereignis ω (Teilmenge von Ω)

6 / 63

Modellierung



Zusammengesetzte Ereignisse

Zusammengesetzte Ereignisse

Haufig betrachtet man zusammengesetzte Ereignisse, die alsMengenoperationen von anderen Ereignissen ausgedruckt werdenkonnen

Beispiele fur zusammengesetzte Ereignisse:

Wurfelzahl > 3 oder gerade AugenzahlA = 4, 5, 6, B = 2, 4, 6 A ∪ B = 2, 4, 5, 6Benutzer schaut mindestens 2s und hochstens 5s auf dasDokumentA = 2, 3 . . . , 300, B = 1, 2, 3, 4, 5 A ∩ B = 2, 3, 4, 5

7 / 63

Modellierung



Verknupfung von Ereignissen

Verknupfung von Ereignissen

A oder B oder beide treten ein = ω ∈ A ∪ BA und B treten (beide) ein = ω ∈ A ∩ BA und B treten nie gleichzeitig ein = A ∩ B = ∅A tritt nicht ein = ω ∈ Ac ⇔ ω /∈ AA tritt ein, aber B tritt nicht ein = ω ∈ A\B = A ∩ Bc = ABc

mindestens ein Ai tritt ein = ω ∈⋃

i Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · ·alle Ai treten ein = ω ∈

⋂i Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · ·

Anmerkungen:

Statt A ∩ B = ∅ sagt man auch”A und B sind disjunkt“

Ac bezeichnet die Komplementarmenge zu A, also Ac = Ω\AAB ist eine in der Stochastik ubliche Kurznotation fur A ∩ B

8 / 63

Modellierung



σ-Algebra

Abgeschlossenes Mengensystem

Als σ-Algebra bezeichnet man ein Mengensystem A mitA ⊆ P(Ω), das die folgenden Bedingungen erfullt:

1 Ω ∈ A2 A ∈ A =⇒ Ac ∈ A3 A1,A2, . . . ∈ A =⇒

⋃n∈N An ∈ A

Wir nehmen an, dass jedes Ereignis-System A abgeschlossen ist.

Beispiel:Ω = 1, 2, 3, 4A = 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, ∅

9 / 63

Modellierung



Beschreibbarkeit

Beispiel:X Zufallsvariable fur Wurfelergebnis gerade/ungeradeG = gerade Augenzahl beim WurfelnG = ω ∈ Ω : X (ω) = geradeΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω′ = gerade, ungeradeA′ = gerade G = X ∈ A′

X ∈ A′ durch X beschreibbar

Ist X eine Abbildung Ω→ Ω′ und A′ ⊂ Ω′, dann definiert man

X ∈ A′ := ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A′

Eine Teilmenge von Ω der Form X ∈ A′ heißt durch Xbeschreibbar.

10 / 63

Modellierung



Zufallsvariable

Zufallsvariable (ZV)

Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Abbildung vom Merkmalsraum Ωmit Ereignissystem A in eine Bildmenge Ω′ mit Ereignissystem A′ .Gilt A 6= P(Ω) und ist A′ das Ereignissystem in Ω′, dann wird fureine ZV X : Ω→ Ω′ gefordert

X ∈ A′ ∈ A fur alle A′ ∈ A′

Anmerkungen

Fur Zufallsvariable verwendet man meist GroßbuchstabenX ,Y ,Z ,U,V ,W

Fur Ereignisse verwenden wir A,B,C , . . .

Beispiele:A = X > 3, B = X = 2 ∪ X = 4 ∪ X = 6

11 / 63

Modellierung



Gesetz der großen Zahlen

Empirisches Gesetz hn(A)→ P(A)

Wird ein Zufalls-Experiment n-mal unter gleichen Bedingungenwiederholt mit Beobachtungswerten x1, x2, . . . , xn, dann

”konvergieren“ die relativen Haufigkeiten

hn(A) :=1

n· (Anzahl der xi mit xi ∈ A)

fur n→∞ gegen einen Grenzwert.

12 / 63

Modellierung



Gesetz der großen ZahlenBeispiel: Wurfeln einer bestimmten Augenzahl

”Law-of-large-number“ von Jorg Groß - Eigenes Werk. Lizenziert unter Creative Commons Attribution-Share Alike

3.0-2.5-2.0-1.0 uber Wikimedia Commons

13 / 63

Modellierung



Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

1 P(A) ≥ 0

2 P(A) ≤ 1

3 P(Ω) = 1

4 P(∅) = 0

5 P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2)

6 P(A1 + · · ·+ An) = P(A1) + · · ·+ P(An)

7 P(A1 + A2 + · · · ) = P(A1) + P(A2) + · · ·

14 / 63

Modellierung



Wahrscheinlichkeits-Maß

Wahrscheinlichkeits-Maß P : A → REine Abbildung P : A → R, wobei A eine σ-Algebra uber Ω ist,heißt Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß) auf A, wenn diefolgenden drei Bedingungen erfullt sind:

(1) P(A) ≥ 0 fur alle A ∈ A (Nichtnegativitat)(2) P(Ω) = 1 (Normiertheit)(3) P(

∑∞i=1 Ai ) =

∑∞i=1 P(Ai ) (σ-Additivitat)

Anmerkung:

Die Schreibweise∑∞

i=1 Ai soll immer die Voraussetzung”Alle

Ai sind paarweise disjunkt “ implizit voraussetzen.

15 / 63

Modellierung



Schreibweise fur Ereignisse

Vereinfachte Schreibweise fur Ereignisse

P(X ∈ A′) := P(X ∈ A′)

Beispiele:Munze: P(X =Kopf)=P(X =Zahl) = 0, 5Wurfel: P(W = 6) = 1

6

16 / 63

Modellierung



Wahrscheinlichkeitsraum

Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)

Das Tripel aus Merkmalsraum Ω, Ereignissystem A undEreignis-Maß P nennt man Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum)oder Wahrscheinlichkeitsmodell (W-Modell)

17 / 63

Modellierung



Bernoulli-Experiment

Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit zwei moglichen Ausgangen heißtBernoulli-Experiment.Merkmalsraum: Ω = 0, 1Man bezeichnet ω = 1 als Erfolg und ω = 0 als MisserfolgΩ = 0, 1, A = P(Ω)P(1) = p P(0) = 1− p, 0 ≤ p ≤ 1p bezeichnet man als Parameter der Bernoulli-Verteilung

Beispiel:Munzwurf

18 / 63

Modellierung



Laplace-Experimen

Laplace-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit endlich vielen und gleichwertigenAusgangen heißt Laplace-Experiment.Ω = 1, 2, . . . ,N.Aus P(1) = P(2) = · · · = P(N) folgt P(1) = 1/N.

Fur beliebige Ereignisse A gilt wegen A =∑

ω∈Aω:

P(A) =|A||Ω|

=Anzahl der (fur A) gunstigen Falle

Anzahl der moglichen Falle

19 / 63

Modellierung



Beispiele fur Laplace-Experimente

Wurfel:

P(W = 6) = 1/6

P(W = gerade) = 3/6

Roulette:

P(X = 13) = 1/37

P(X = gerade) = 18/37

20 / 63

Modellierung



Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Elementare bedingte Wahrscheinlichkeit

Seien A, B Ereignisse in Ω und sei P(B) > 0.

Dann heißt P(A|B) =P(AB)

P(B)

die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B

Ferner gilt P(AB) = P(B) · P(A|B)

Beispiel: WurfelA = 2, 4, 6, B = 4, 5, 6

P(A|B) =P(AB)

P(B)=|4, 6|/6

|4, 5, 6|/6

21 / 63

Modellierung



Verkettungsregel

Verkettungsregel

Fur drei Ereignisse A, B, C gilt analog die Formel

P(ABC ) = P(A) · P(B|A) · P(C |AB)

Beispiel: RouletteA = Z gerade, B =Z > 24, C = Z schwarz

P(ABC ) = P(Z gerade) · P(Z> 24|Z gerade) ·P(Z schwarz|Z > 24, Z gerade)

22 / 63

Modellierung



Totale Wahrscheinlichkeit

Totale Wahrscheinlichkeit

Ist (Bi , i ∈ I ) eine abzahlbare Zerlegung von Ωd.h. es gilt Ω =

∑i∈I Bi , dann gilt

P(A) =∑i∈I

P(ABi ) =∑i∈I

P(Bi ) · P(A|Bi )

Beispiel: (Roulette)

P(X gerade) =36∑i=0

P(X = i ∩ X gerade)

=36∑i=0

P(X = i)P(X gerade|X = i)

=1

37· 18

23 / 63

Modellierung



Totale WahrscheinlichkeitBeispiel 2

Beispiel (Roulette)

P(X gerade) =3∑

i=1

P(X ∈ i .Dutzend ∩ X gerade)

=3∑

i=1

P(X ∈ i .Dutzend)P(X gerade|X ∈ i .Dutzend)

= 3 · 12

37· 1

2

24 / 63

Modellierung



Stochastische Unabhangigkei

Stochastische Unabhangigkeit

Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhangig wenn gilt

P(AB) = P(A) · P(B)

Beispiel: Zwei WurfelP(6er Pasch) = P(W1 = 6) · P(W2 = 6)

Stochastische Unabhangigkeit von n Ereignissen

Die Ereignisse A1,A2, . . . ,An heißen stochastisch unabhangig,wenn fur alle endlichen TeilmengenAi1 ,Ai2 , . . .Aik von diesenEreignissen die Produktformel gilt:

P(Ai1 ,Ai2 , . . .Aik ) = P(Ai1) · P(Ai2) · · ·P(Aik )

25 / 63

Modellierung



Beispiel: Statistische SprachmodelleDeutsche Wortschatz-Datenbank

26 / 63

Modellierung



Beispiel: Statistisches Sprachmodell

wi log2(P(W = wi )) wj log2(P(W = wj))

Dieser −5 Manche −9Text −9 Informatiker −13ist −2 sind −3einfach −6 Nerds −16

P(Dieser Text ist einfach) ==P(dieser)·P(Text)·P(ist)·P(einfach) = 2−5 ·2−9 ·2−2 ·2−6 = 2−22

P(Manche Informatiker sind Nerds) == 2−9 · 2−13 · 2−3 · 2−16 = 2−41

27 / 63

Modellierung


Modelle fur stochastische Prozesse


Stochastischer Prozess

Fur einen stochastischen Prozess benotigt man:

W-Modell (Ω,A,P)

Bildbereich Ω′

Zeitbereich T

Zufallsvariable Xt : Ω→ Ω′

gibt den Zustand zum Zeitpunkt t

Dann heißt Xt := (Xt , t ∈ T ) ein stochastischer Prozess.

Ω = auf,zu

28 / 63

Modellierung



Modellierung stochastischer Prozesse

29 / 63

Modellierung



Markov-Kopplung

Markov-Kopplung

Hangen bei einem mehrstufigen Versuch dieUbergangswahrscheinlichkeiten nicht von der vollen Vorgeschichteab, sondern nur vom letzten beobachteten Wert, so spricht manvon Markov-Kopplung.Die Folge der Beobachtungen bildet dann einen Markov-Prozess,im diskreten Fall auch Markov-Kette genannt.

30 / 63

Modellierung



Beispiel: Sprachmodell als Markov-Kopplung

Hans programmiert.Paul begrußt Lisa.Uwe trinkt ein kuhles Pils.Das schnelle Auto uberholt den schweren LKW.

Anmerkungen

Annahme einer Markov-Kopplung ist starke VereinfachungWeitere Aspekte von Syntax (+Semantik) unberucksichtigtDer grune Auto isst SpinatSolche Modelle eignen sich primar zur Analyse von Texten(und weniger zur Generierung) 31 / 63

Modellierung



Markov-Kette

Markov-Kette

Eine Markov-Kette ist ein stochastischer Prozess, speziell die Folgeder Beobachtungen X0,X1,X2, . . . in einem unendlichstufigenVersuch mit Markov-Kopplung und abzahlbarer Zustandsmenge I .Die Zustandsvariablen Xn : Ω→ I beschreiben also den Zustanddes Systems zu den Zeitpunkten n = 0, 1, 2, . . ..

32 / 63

Modellierung



Homogene Markov-Kette (HMK)

Homogene Markov-Kette

Eine Markov-Kette Xn heißt homogen, falls dieUbergangswahrscheinlichkeiten f n−1

n (i , j) = P(Xn = j |Xn−1 = i)fur alle Zeitpunkte gleich sind. In diesem Fall schreibt manpij := f n−1

n (i , j).

33 / 63

Modellierung



Beispiel zu homogener Markov-Kette

34 / 63

Modellierung



Ubergangsmatrix

Ubergangsmatrix

Die Matrix P := (pij , i , j ∈ I ) heißt Ubergangsmatrix (U-Matrix).Die Zeilensumme ist stets =1.

(pij) =

0, 7 0, 3 00, 2 0, 5 0, 30, 1 0, 4 0, 5

35 / 63

Modellierung



Ubergangsgraph

Ubergangsgraph

Ein Ubergangsgraph einer HMK besteht aus

Knoten: alle moglichen Zustanden des Graphen

gerichtete Kanten: mit positiver Wahrscheinlichkeit moglicheUbergange

an der Kante von i nach j wird jeweils der Wert pij notiert.

36 / 63

Modellierung



Beispiel zu Ubergangsgraph

37 / 63

Modellierung



Startpunkt

Zur Beschreibung des Ablaufs einer Markov-Kette benotigt manneben der U-Matrix noch

entweder einen festen Startpunkt i0 ∈ I

oder eine Startverteilung, namlich eine Z-DichteP(X0 = i), i ∈ I

Dann ist die Wahrscheinlichkeit fur jede endliche Zustandsfolgefestgelegt durch

P(X0 = i0, . . . ,Xn = in) = P(X0 = i0) · pi0i1 · · · pin−1in

P(X0 = 0,X1 = 1,X2 = 2,X3 = 1,X4 = 0) = 1 · p01 · p12 · p21 · p10

38 / 63

Modellierung



Pfad

Pfad der Markov-Kette

Ein einzelner Verlauf einer Markov-Kette fur eine festen Wert ω,also (X0(ω),X1(ω), . . .) heißt ein Pfad der Markov-Kette.

BeispielHans trinkt ein kuhles PilsPfad:Start – SNomen – Verb – OArtikel – OAdjektiv – ONomen – EndeP(Pfad) = 1 · 0, 5 · 1 · 0, 5 · 0, 3 · 1 · 1 = 0, 075

39 / 63

Modellierung



Rechenregeln fur eine MK

Rechenregeln fur eine MK

Fur ein homogene Markov-Kette mit U-Matrix (pij)i ,j∈I undStartverteilung P(X0 = i), i ∈ I ) gilt

P(X0 = i0, . . . ,Xn = in) = P(X0 = i0) · pi0i1 · · · pin−1in

P(Xn = j) =∑i∈I

P(Xn−1 = i) · pij bzw. ~pn = ~pn−1P

n-Schritt-Ubergangsmatrix

Fur eine HMK (Xn) ist die Matrix P(n) = (p(n)ij ) mit

(p(n)ij ) := P(Xm+n = j |Xm = i) unabhangig von m und heißt

n-Schritt-Ubergangsmatrix

40 / 63

Modellierung



Beispiel zur Berechnungder W-Verteilung im Folgezustand

P =

0, 7 0, 3 00, 2 0, 5 0, 30, 1 0, 4 0, 5

Sei ~pn−1 = (0,5, 0,3, 0,2)

~pn = ~pn−1P = (0,5, 0,3, 0,2) · P= (0,5 · 0,7 + 0,3 · 0,2 + 0,2 · 0,1, 0,5 · 0,3 + 0,3 · 0,5 + 0,2 · 0,4,

0,5 · 0 + 0,3 · 0,3 + 0,2 · 0,5)

= (0,35 + 0,06 + 0,02, 0,15 + 0,15 + 0,08, 0 + 0,09 + 0,1)

= (0,43, 0,38, 0,19)

41 / 63

Modellierung



irreduzibel

Zerlegung in Klassen, irreduzibel

Zustandsmenge I einer HMK wird in disjunkte Klassen zerlegt:zwei Zustande i und j gehoren zur selben Klasse, wenn

i = j oder

Zustand j ausgehend von i in endlich vielen Schritten mitpositiver Wahrscheinlichkeit erreicht werden kann (i j)und umgekehrt i von j aus erreichbar ist (j i).

Jeder Zustand i ∈ I gehort zu genau einer Klasse k . Eine HMKheißt irreduzibel, falls alle Zustande zur selben Klasse gehoren

Einfaches Beispiel einer reduziblen HMK: (1− α α

0 1

)42 / 63

Modellierung



aperiodisch

Periode, aperiodisch

Klasse K heißt periodisch mit Periode d , wenn es d (≥ 2)disjunkte Teilmengen in K gibt, die der Reihe nach in dSchritten durchlaufen werden.

Eine HMK heißt aperiodisch, wenn es keine periodische Klassegibt.

Einfaches Beispiel einer periodischen HMK: (0 11 0

)

43 / 63

Modellierung



Gleichgewicht

Markov-Kette im Gleichgewicht

Eine homogene Markov-Kette (Xn) ist im Gleichgewicht, wenn furalle Zustande i ∈ I die Wahrscheinlichkeiten P(Xn=i) unabhangigvom Zeitpunkt n sind.Man setzt dann πi := P(Xn=i) bzw. ~π := ~pn und bezeichnet dieZ-Dichte ~π = (πi , i ∈ I ) als Gleichgewichtsverteilung (GGV) derHMK (Xn)

44 / 63

Modellierung



Berechnung der Gleichgewichtsverteilung (GGV)

Berechnung der Gleichgewichtsverteilung

Die HMK (X0,X1, . . .) mit U-Matrix (pij , i , j ∈ I ) sei imGleichgewicht, d.h. es gelte P(Xn = i) = πi bzw. ~pn = ~π fur allen = 0, 1, 2 . . . und i ∈ I . Wegen

P(Xn = j) =∑

i∈I P(Xn−1 = i) · pij

gelten dann fur alle Werte πi , i ∈ I die folgenden beidenGleichgewichtsbedingungen:

πj =∑i∈I

πipij fur alle j ∈ I bzw. ~π = ~πP

πj ≥ 0 fur alle j ∈ I und∑j∈I

πj = 1

45 / 63

Modellierung



Berechnung der GleichgewichtsverteilungBeispiel

(pij) =

0, 7 0, 3 00, 2 0, 5 0, 30, 1 0, 4 0, 5

Gleichgewichtsbedingungen

π0 = 0, 7π0 + 0, 2π1 +0, 1π2

π1 = 0, 3π0 + 0, 5π1 +0, 4π2

π2 = 0, 3π1 +0, 5π2

und π0 + π1 + π2 = 1

π0 =13

37≈ 0, 35 π1 =

15

37≈ 0, 41 π2 =

9

37≈ 0, 24

46 / 63

Modellierung



Eigenvektor der Ubergangsmatrix

Definition Eigenvektor einer Matrix

Betrachtet man die durch die Matrix A definierte Abbildung, so istein Eigenvektor ein Vektor dessen Richtung durch diese Abbildungnicht verandert wird, d.h. es gilt

λ~πT = A~πT mit λ ∈ R (Rechtseigenvektor) und analog

λ~π = ~πA mit λ ∈ R (Linkseigenvektor).

Fur den Vektor der GGV gilt:

~π = ~πP mit∑j∈I

πj = 1

π ist daher ein Linkseigenvektor der U-Matrix P47 / 63

Modellierung



Grenzwertsatz fur homogene Markov-Ketten

Grenzwertsatz fur homogene Markov-Ketten

Ist die HMK(Xn) mit U-Matrix (pij , i , j ∈ I ) irreduzibel undaperiodisch, dann konvergiert (fur alle i ∈ I ) P(Xn = i) unabhangigvon der Startverteilung gegen einen Wert πi mit 0 ≤ πi ≤ 1.Dabei sind

a) entweder alle πi = 0, und es gibt keine GGV zu (pij),

b) oder es sind alle πi > 0, und (πi , i ∈ I ) ist die einzige GGV zu(pij),

Fall a) kommt nur bei unendlicher Zustandmenge vor.

48 / 63

Modellierung



Unendlicher Zustandsmenge ohne GGVBeispiel: uberlastete Warteschlange

49 / 63

Modellierung



Alternative Methode zu Berechnung der GGVBasierend auf dem Grenzwertsatz

Ist die HMK(Xn) mit U-Matrix (pij , i , j ∈ I ) irreduzibel undaperiodisch, dann konvergiert (fur alle i ∈ I ) P(Xn = i) unabhangigvon der Startverteilung gegen einen Wert πi mit 0 ≤ πi ≤ 1.

Sei ~x der Vektor mit xi = P(Xn = i) fur alle i ∈ I

Beginne mit beliebiger Startverteilung ~x

Berechne Verteilung im nachsten Zustand als ~xP.

Nach zwei Schritten sind wir bei ~xP2.

Nach k Schritten sind wir bei ~xPk .

Algorithmus: multipliziere ~x mit steigenden Potenzen von P,bis Konvergenz erreicht ist

Ergebnis ist unabhangig vom Startvektor

50 / 63

Modellierung



Potenzmethode zur Berechnung der GGV

Verfahren mit steigenden Potenzen von P wirdPotenzmethode genannt (engl. power method)

Berechne die GGV der folgenden Markov-Kette:

51 / 63

Modellierung



Beispiel zur Berechnung der GGVStartvektor

~x = (0.25, 0.75)

x1 x2

Pt(d1) Pt(d2)

p11 = 0.25 p12 = 0.75p21 = 0.25 p22 = 0.75

t0 0.25 0.75 0.25 0.75t1 0.25 0.75 (Konvergenz)

Pt(d1) = Pt−1(d1) ∗ p11 + Pt−1(d2) ∗ p21

Pt(d2) = Pt−1(d1) ∗ p12 + Pt−1(d2) ∗ p22

GGV: ~π = (π1, π2) = (0.25, 0.75)

52 / 63

Modellierung



Beispiel zur Berechnung der GGVFester Startzustand

x1 x2

Pt(d1) Pt(d2)

p11 = 0.25 p12 = 0.75p21 = 0.25 p22 = 0.75

t0 1.00 0.00 0.25 0.75t1 0.25 0.75 0.25 0.75t2 0.25 0.75 (Konvergenz)

Pt(d1) = Pt−1(d1) ∗ p11 + Pt−1(d2) ∗ p21

Pt(d2) = Pt−1(d1) ∗ p12 + Pt−1(d2) ∗ p22

GGV: ~π = (π1, π2) = (0.25, 0.75)

53 / 63

Modellierung



Potenzmethode: Beispiel 2

Bestimme die GGV fur folgende Markov-Kette:

54 / 63

Modellierung



Berechnung der GGV: Potenzmethode

x1 x2

Pt(d1) Pt(d2)

p11 = 0.1 p12 = 0.9p21 = 0.3 p22 = 0.7

t0 0 1 0.3 0.7 = ~xPt1 0.3 0.7 0.24 0.76 = ~xP2

t2 0.24 0.76 0.252 0.748 = ~xP3

t3 0.252 0.748 0.2496 0.7504 = ~xP4

. . . . . .t∞ 0.25 0.75 0.25 0.75 = ~xP∞

GGV: ~π = (π1, π2) = (0.25, 0.75)

Pt(d1) = Pt−1(d1) ∗ p11 + Pt−1(d2) ∗ p21

Pt(d2) = Pt−1(d1) ∗ p12 + Pt−1(d2) ∗ p22

55 / 63

Modellierung



Potenzmethode fur das Telefon-Beispiel

0, 7 0, 3 00, 2 0, 5 0, 30, 1 0, 4 0, 5

x0 x1 x2

~xP 1,00 0,00 0,00~xP2 0,70 0,30 0,00~xP3 0,55 0,36 0,09~xP4 0,47 0,38 0,15~xP5 0,42 0,39 0,19~xP6 0,39 0,40 0,21~xP7 0,37 0,40 0,23~xP8 0,36 0,40 0,23~xP9 0,36 0,40 0,24~xP10 0,36 0,40 0,24~xP11 0,35 0,40 0,24~xP12 0,35 0,41 0,24~xP13 0,35 0,41 0,24

56 / 63

Modellierung



Anwendung der GGV beim Web-Retrieval

PageRank

versucht, Web-Seiten gemaß ihrer Popularitat zu gewichten

Popularitat hangt ab von der Zitationshaufigkeit (eingehendeWeb-Links)

und von der Popularitat der referenzierenden Seiten

57 / 63

Modellierung



PageRankPageRank

d0 0.05d1 0.04d2 0.11d3 0.25d4 0.21d5 0.04d6 0.31

58 / 63

Modellierung



Begrundung der PageRank-Methode

Random Surfer

Grundlage von PageRank

klickt sich durch das Web, wobei er zufallig auf einen derausgehenden Links einer Seite klickt(Gleichverteilung uber die ausgehenden Links)

Teleportation: gibt es keine ausgehenden Links, geht er aufeine zufallige andere Web-Seite

Auch auf einer Seite mit ausgehende Links geht er mit 10%Wahrscheinlichkeit auf eine zufallige andere Seite

59 / 63

Modellierung



PageRankPageRank

d0 0.05d1 0.04d2 0.11d3 0.25d4 0.21d5 0.04d6 0.31

60 / 63

Modellierung



Ubergangsmatrix ohne Teleportation

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6

d0 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00d1 0.00 0.50 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00d2 0.33 0.00 0.33 0.33 0.00 0.00 0.00d3 0.00 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0.00d4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00d5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.50d6 0.00 0.00 0.00 0.33 0.33 0.00 0.33

61 / 63

Modellierung



Ubergangsmatrix mit Teleportation

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6

d0 0.02 0.02 0.88 0.02 0.02 0.02 0.02d1 0.02 0.45 0.45 0.02 0.02 0.02 0.02d2 0.31 0.02 0.31 0.31 0.02 0.02 0.02d3 0.02 0.02 0.02 0.45 0.45 0.02 0.02d4 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.88d5 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.45 0.45d6 0.02 0.02 0.02 0.31 0.31 0.02 0.31

62 / 63

Modellierung



Anwendung der Potenzmethode ~xPk

~x ~xP1 ~xP2 ~xP3 ~xP4 ~xP5 ~xP6 ~xP7 ~xP8 ~xP9 ~xP10 ~xP11 ~xP12 ~xP13

d0 0.14 0.06 0.09 0.07 0.07 0.06 0.06 0.06 0.06 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05d1 0.14 0.08 0.06 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04d2 0.14 0.25 0.18 0.17 0.15 0.14 0.13 0.12 0.12 0.12 0.12 0.11 0.11 0.11d3 0.14 0.16 0.23 0.24 0.24 0.24 0.24 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25d4 0.14 0.12 0.16 0.19 0.19 0.20 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21d5 0.14 0.08 0.06 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04d6 0.14 0.25 0.23 0.25 0.27 0.28 0.29 0.29 0.30 0.30 0.30 0.30 0.31 0.31

63 / 63

Modellierung WS 2014/15 Wahrscheinlichkeits-Modelle und ... · Paul begr uˇt Lisa. Uwe trinkt ein...

Documents

Transcript of Modellierung WS 2014/15 Wahrscheinlichkeits-Modelle und ... · Paul begr uˇt Lisa. Uwe trinkt ein...