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© WLV / Waldviertler Lehrmittelverlag Bildungsstandards – 6. Schulstufe/Roman Wielander

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Bildungsstandardsfür

die 6. Schulstufe

Arbeiten mit Figuren und

Körpern

Band 1

Arbeiten mit Variablen und

funktionalen Abhängigkeiten

Arbeiten mit Z

ahlen

und Maßen

Arbeiten mit s

tatistisch

en

Kenngrößen

und Darstellu

ngen

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Bildungsstandards für die 6. Schulstufe

Vorwort

Bildungsstandards sind ein Teilsystem der Steuerung von Bildungsprozessen, die in

Österreich in letzter Zeit in der Bildungspolitik an Bedeutung gewonnen haben.

Anlässlich verschiedener Bildungsstudien, z.B. PISA-Studie, die gezeigt haben, dass

das allgemeinbildende Bildungssystem international eine eher mittelmäßige

Stellung einnimmt, wurden seitens des Unterrichtsministeriums bundesweit

einheitliche Bildungsstandards entwickelt und verbindlich gemacht.

Das Erreichen von Standards kann in verschiedenen Formen, mit verschiedenen

Instrumenten und zu verschiedenen Zwecken erhoben werden. Sie dienen zur

Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die

vorliegenden Standards beschreiben die einzelnen Kompetenzen, die SchülerInnen

bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln sollen. Sie sollen ihnen nachhaltig über

die Schule hinaus zur Verfügung stehen.

Band 1 (Mathematik) und Band 2 (Deutsch) sollen den LehrerInnen der 6. Schul-

stufe als Hilfestellung dienen.

Überprüfungsblätter im Anhang dienen einerseits LehrerInnen und Eltern zur

Kontrolle, andererseits können SchülerInnen jedes einzelne Aufgabengebiet selbst

überprüfen und so feststellen, wo sie Defizite haben.

Mein besonderer Dank gilt dem Verleger Erwin Schwarzinger, der es mir

ermöglichte, über den „Waldviertler Lehrmittelverlag“ die Arbeitsbände zu

veröffentlichen.

Impressum:

Titel: Bildungsstandards für die 6. Schulstufe (Band 1 – Mathematik)

Autor und Lektorat: Roman Wielander, Eichengasse 590/1/4, A-3034 Maria Anzbach, Tel. +43 (0)

650/8412945; e-mail: [email protected], Produktion: Waldviertler Lehrmittelverlag, A-3910

Zwettl, Syrafeld 20, www.lernen.at; Grafiken: Roman Wielander; Satz und Layout: Roman

Wielander; Verlag: Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20,

Tel.+ Fax +43/(0)2735/2598, e-mail: [email protected], www.lernen.at; Urheber- und

Leistungsschutzrechte: Roman Wielander © bei Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger; 2.

Auflage 2017, Die Verwertung der Texte und Bilder, auch auszugsweise, ist ohne Zustimmung des

Verlages urheberrechtswidrig und strafbar. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übersetzungen,

Mikroverfilmungen und für die Verarbeitung mit elektronischen Systemen. Die Vervielfältigung der

Arbeitsblätter ist nur für den Schulgebrauch an e i n e r Schule gestattet. Jede weitere

Verwendung sowie Vervielfältigung, insbesondere durch Printmedien und audiovisuelle Medien, sind

auf Grund des Urheberrechtes verboten und bedürfen der ausdrücklichen Zustimmung des Autors

und des Verlages. Alle Rechte vorbehalten. Für Veröffentlichung: Quellenangabe.

mailto:[email protected]

http://www.lernen.at/

http://www.lernen.at/

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Inhaltsverzeichnis Bildungsstandards – Mathematik

6. Schulstufe

Thema Seite

Vorwort 2

Inhaltsverzeichnis 3-4

Einleitung – Standards Mathematik – Allgemein 5-8

Erläuterung mathematischer Kompetenzen 9

Lehrstoff – Allgemein 6. Schulstufe 10-11

Kompetenzbereich 1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen 12

ÜB 1 – Grundrechnungsarten 13-17

ÜB 2 – Teilbarkeitsregeln 18-22

ÜB 3 – Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 23-27

ÜB 4 – Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 28-32

ÜB 5 – Textaufgaben-Teilbarkeit 33-37

ÜB 6 – Brüche 1 38-42

ÜB 7 – Brüche 2 43-47

ÜB 8 – Brüche 3 48-52

ÜB 9 – Prozentrechnungen 53-57

ÜB 10 – Promillerechnungen 58-62

ÜB 11 – Textaufgaben – Prozentrechnung 63-67

ÜB 12 – Textaufgaben – Promillerechnung 68-72

Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und

funktionalen Abhängigkeiten 73

ÜB 1 – Gleichungen 74-78

ÜB 2 – Textaufgaben 1 – Gleichungen 79-83

ÜB 3 – Textaufgaben 2 – Gleichungen 84-88

ÜB 4 – Ungleichungen 89-93

ÜB 5 – Textaufgaben – Ungleichungen 94-98

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Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und

funktionalen Abhängigkeiten

ÜB 6 – Alltagsgeschichten 1 99-103

ÜB 7 – Alltagsgeschichten 2 104-108

Kompetenzbereich 3: Arbeiten mit Figuren und Körpern 109

ÜB 1 – Winkel 110-114

ÜB 2 – Symmetrie 115-119

ÜB 3 – Dreiecke 1 120-124

ÜB 4 – Dreiecke 2 125-129

ÜB 5 – Zusammengesetzte Flächen 130-134

ÜB 6 – Parallelogramm und Raute 135-139

ÜB 7 – Trapez und Deltoid 140-144

ÜB 8 – Vielecke 145-149

ÜB 9 – Prismen 1 150-154

ÜB 10 – Prismen 2 155-159

Kompetenzbereich 4: Arbeiten mit statistischen

Kenngrößen und Darstellungen 160

ÜB 1 – Körpergewicht 161-166

ÜB 2 – Halbmarathon 167-173

ÜB 3 – Bücherei 174-178

ÜB 4 – Test 179-181

ÜB 5 – Gehweg 182-184

ÜB 6 – Aus dem Leben 185-187

ÜB 7 – Temperatur 188-190

ÜB 8 – Freigegenstände 191-195

ÜB 9 – Müllentsorgung 196-200

Anhang: Überprüfungsblätter 201-203

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Standards Mathematik – Allgemein 1

Einleitung

Die mathematischen Kompetenzen

Sie beschreiben jene Bereiche (drei an der Zahl), die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln und längerfristig verfügbar haben sollten.

1. Handlungsbereiche

Für die mathematischen Standards wurden die folgenden vier

Tätigkeitsbereiche erarbeitet und festgehalten:

H1 Darstellen, Modellbilden

Darstellen bedeutet, dass Sachverhalte mathematisch anders repräsentiert werden sollen.

Das Modellbilden erfordert zusätzlich, mathematische Beziehungen zu erkennen und diese dann darzustellen. Hier

sollen Annahmen getroffen oder Vereinfachungen vorgenommen werden.

Beispiele: einen gegebenen Sachverhalt in eine andere

Darstellungsform übertragen (tabellarisch, grafisch,…) Zeichnungen einfacher geometrischer Figuren

anfertigen (mit Lineal oder als Freihandskizze) mathematische Zusammenhänge bestätigen und

darstellen

geeignete mathematische Mittel (Begriffe, Modelle, Darstellungsformen) und Lösungswege auswählen

aus bekannten Modellen neue Modelle entwickeln (modulare Arbeiten)

alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache der Mathematik übersetzen

H2 Rechnen, Operieren

Rechnen meint einerseits die Durchführung von Rechen-operationen mit konkreten Zahlen, andererseits die

Umformung symbolisch dargestellter Sachverhalte. Unter dem Begriff „Operieren“ versteht man die Planung

sowie die korrekte und sinnvolle Durchführung von Rechen-

oder Konstruktionsabläufen. Dazu gehören auch geometrische Konstruktionen und das Arbeiten mit Tabellen

und Grafiken. Beispiele:

elementare Rechenoperationen durchführen, Potenzieren, Wurzelziehen

Maßeinheiten umrechnen in Formeln Zahlen einsetzen, Werte berechnen

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H2 Rechnen,

Operieren Beispiele:

Gleichungen und Ungleichungen lösen Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden,

Näherungswerte bestimmen mit und in Tabellen oder Grafiken rechnen

geometrische Konstruktionen durchführen

H3 Interpretieren Aus mathematischen Darstellungen sollen Fakten,

Zusammenhänge oder Sachverhalte erkannt und

dargestellt werden. Weiters sollen die Beziehungen und Sachverhalte gedeutet werden können.

Beispiele: aus Tabellen und Grafiken Werte ablesen und

deuten tabellarisch, grafisch oder symbolische

Zusammenhänge beschreiben und deuten Zusammenhänge und Strukturen in Termen und

Formeln erkennen und deuten Rechenergebnisse in Kontexten deuten

tabellarische, grafische oder auch symbolische Rechendarstellungen angemessen deuten

H4 Argumentieren,

Begründen

Beim Argumentieren werden mathematische Aspekte auf

eine bestimmte Sichtweise, die für oder gegen etwas sprechen, untersucht. Dies erfordert eine genaue

Verwendung von Regeln und Eigenschaften. Das Begründen verlangt bestimmte Schlussfolgerungen

und Entscheidungen bei mathematischen Beispielen. Beispiele:

Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen

Begriffs oder eines Lösungsweges sprechen Vermutungen formulieren und begründen

Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder beweisen

richtige oder falsche mathematische

Argumentationen bzw. Begründungen erkennen begründen, warum eine Argumentation oder

Begründung zutreffend bzw. unzutreffend ist

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2. Inhaltsbereiche

Sie wurden unter der Berücksichtigung des derzeitigen Lehrplanes ausgewählt und zu folgenden vier Bereichen zusammengefasst:

I1 Zahlen und

Maße

Verschiedene Zahlen und Maße sollen praxisnahe

Anwendung finden. Lehrstoff:

natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen,

Potenzschreibweise, Wurzeln Rechenoperationen, Rechengesetze und –regeln

Anteile, Prozente, Zinsen Maßeinheiten – für Längen, Flächen, Volumina,

Massen, Zeiten und zusammengesetzte Größen

I2 Variable, funktionale

Abhängigkeiten

Variable, Terme und (Un-)Gleichungen, funktionale Abhängigkeiten sollen unterschiedlich dargestellt werden.

Lehrstoff: Variable und Terme

einfache Gleichungen (auch Formeln) und Ungleichungen

lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen tabellarische, grafische und symbolische

Darstellung funktionaler Zusammenhänge lineare Funktionen

direkte und indirekte Proportionalität

I3 Geometrische Figuren und

Körper

Das Erlernen grundlegender geometrischer Begriffe, einfacher Figuren und Körper und deren Eigenschaften

und Darstellung (Zeichnung, Konstruktion) steht im Vordergrund.

Lehrstoff: Punkt, Gerade, Ebene, Strecke, Winkel, Parallele,

Normale Symmetrie, Ähnlichkeit

Dreiecke, Vierecke, Kreis Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder,

Kegel, Kugel Satz des Pythagoras

Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und

Volumsformeln

I4 Statistische

Darstellungen und

Kenngrößen

Statistische Daten sollen tabellarisch und grafisch

dargestellt werden können. Lehrstoff:

tabellarische Darstellung statistischer Daten

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I4 Statistische Darstellungen

und Kenngrößen

Lehrstoff: Stab-, Kreis-, Streifen-, Linien-, Streudiagramm,

Piktogramm absolute und relative Häufigkeiten

arithmetisches Mittel, Median, Quartile Spannweite, Interquartilabstand

3. Komplexitätsbereiche

Mathematische Problemstellungen können einerseits lediglich die direkte Anwendung eines Begriffes erfordern (leicht), andererseits eine Kombination und Vernetzung mehrerer mathematischer Begriffe verlangen (schwierig). Die Anforderungen der Rechnungen umfassen drei Bereiche:

K1 Einsetzen von

Grundkenntnissen u. –fertigkeiten

(= GERINGE

KOMPLEXITÄT)

Darunter versteht man die Wiedergabe oder direkte

Anwendung von grundlegenden mathematischen Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.

Mathematisches Wissen und Können ist direkt aus dem Text erkenn- und anwendbar. Aus diesem Grund

erfordern die mathematischen Fertigkeiten bzw. Kenntnisse eine geringe Komplexität.

K2 Herstellen von Verbindungen

(= MITTLERE

KOMPLEXITÄT)

Wenn mathematische Sachverhalte und deren Problemlösungen komplexer sind, müssen

Verbindungen (Begriffe, Sätze, Verfahren, Darstellungsformen) aus verschiedenen

mathematischen Gebieten hergestellt werden.

K3 Einsetzen von

Reflexionswissen, Reflektieren

(= HÖHERE

KOMPLEXITÄT)

Hier ist das Nachdenken über Zusammenhänge

erforderlich, die nicht unmittelbar aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt ablesbar

sind. Dazu gehören z.B. Lösungswege und Alternativen,

Vor- und Nachteile von Darstellungsformen, Grenzen von Modellen, Nachdenken über Interpretationen und

Begründungen.

All diese Beispiele sollen durch Dokumentationen von Lösungswegen sichtbar gemacht werden.

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- 9 -

Komplexität

mathematischer Inhalt

mathematische

Handlung

Kompetenz (H2, I1, K3)

Erläuterung mathematischer Kompetenzen

Mathematische Kompetenzen (Modelldarstellung)

Sie beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten (= Handlungen), auf

mathematische Inhalte und auf die Art der Komplexität (Grad der Vernetzung zu anderen Bereichen)

Beispiel: Eine Kompetenz ist die Fähigkeit zur Erklärung (Handlungsbereich = H) von

mathematischen Darstellungen des Sachverhaltes (Inhaltsbereich = I), wobei mehrere Fakten und

Zusammenhänge in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich = K)

Handlungsbereich – H

Inhaltsbereich – I

Komplexitätsbereich – K

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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 1

Lehrstoff 6. Schulstufe (= 2. Klasse)

1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen

Die Schüler sollen …

- das Arbeiten mit positiven rationalen Zahlen festigen und vertiefen, um

vielfältige und komplexere Probleme in Sachsituationen bearbeiten zu können.

- mit Brüchen rechnen, damit die Rechenregeln im Hinblick auf die Algebra sicher beherrscht werden.

- diese Rechenregeln für das Bruchrechnen begründen können. - Bruchdarstellungen in Dezimaldarstellungen überführen und umgekehrt

anwenden können. - wichtige Teilbarkeitsregeln kennen und anwenden können.

- mit Prozenten in vielfältigen Zusammenhängen rechnen. - Maße verwenden und Umwandlungen durchführen können.

2. Arbeiten mit Variablen und funktionalen

Abhängigkeiten


- Gleichungen und Formeln insbesondere auch in Sachsituationen aufstellen

können. - unter Verwendung von Umkehroperationen einfache lineare Gleichungen mit

einer Unbekannten lösen und Formeln umformen.

- Formeln interpretieren.

3. Arbeiten mit Figuren und Körpern


- Dreiecke, Vierecke und regelmäßige Vielecke untersuchen, wesentliche Eigenschaften feststellen.

- die Figuren skizzieren und konstruieren können. - erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder überhaupt nicht in

Konstruktionen umgesetzt werden können. - kongruente Figuren herstellen und diese Kongruenz begründen können.

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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 2

3. Arbeiten mit Figuren und Körpern – Fortsetzung

Die Schüler sollen … - Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen und für die

Konstruktion anwenden können. - Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch Zerlegen oder

Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen. - Volumina von Prismen berechnen, möglichst in Anwendungsaufgaben.

4. Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und

Darstellungen


- charakteristische Kennzeichen von indirekten und direkten Proportionalitäten an Beispielen angeben können.

- einfache Fragestellungen dazu formulieren, sie graphisch darstellen und lösen können.

- relative Häufigkeiten ermitteln können. - entsprechende graphische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch

betrachten können. - Manipulationsmöglichkeiten erkennen.

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- 12 -

Arbeitsaufgaben

zum

Kompetenzbereich

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Übungsbeispiel 1

Titel: Grundrechnungsarten

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Ganze Zahlen – Verbindung von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2

1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen I1 I1

2. Darstellen und Modellbilden,

Operieren und Rechnen

H2 H1/H2

3. Grundkenntnisse und –

fertigkeiten; Herstellen von Verbindungen

K1 K1/K2

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1: Aufgabe 2:

15 Minuten

5 Minuten 10 Minuten

Komplexitätsstufen: Aufgabe 1: a, b und c) niedriger; d) mittel; e) höher

Aufgabe 2:

a und c) mittel; b) niedriger; d) höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber

Besondere

Bemerkungen:

Der Taschenrechner ist bei beiden Aufgaben

nicht erlaubt.

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 1

Aufgabe 1:

a) Wie lautet das Ergebnis folgender Addition? Kreuze an!

5,37 + 45,02 + 17,71

Ο 70,5 Ο 65,3

Ο 68,1 Ο 69,2

b) Wie lautet das Ergebnis folgender Subtraktion? Kreuze an!

458,31 – 277,23

Ο 108,08

Ο 180,08 Ο 181,08

Ο 118,08

c) Das Ergebnis folgender Multiplikation lautet … Kreuze an!

82 ∙ 5 ∙ 4 =

Ο 1 540

Ο 1 640 Ο 1 740

Ο 1 840

d) Rechne folgende Divisionen im Kopf und kreuze das jeweilige richtige

Ergebnis an!

43,1 : 0,1 17 : 0,001 0,35 : 100

Ο 4 310 Ο 43 100

Ο 431 Ο 431 000

Ο 17 000 Ο 1 700

Ο 170 000 Ο 170

Ο 35 Ο 0,035

Ο 3,5 Ο 0,0035

e) Wie lautet das Ergebnis folgender Rechnungen? Kreuze an!

3,5 – 2,5 : 0,5 + 4 (1,7 + 2,3) ∙ 6 – 12,5 (4,5 – 2,8) : (3,1 – 2,9)

Ο 2

Ο 2,5

Ο 3 Ο 3,5

Ο 10,5

Ο 11

Ο 11,5 Ο 12,5

Ο 8,5

Ο 9,5

Ο 10,5 Ο 11,5

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- 15 -

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 2

Aufgabe 2:

a) Wie lautet das Verteilungsgesetz der Multiplikation?

O (a ∙ b) ∙ c = (a + c) + (b + c) O (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

O (a + b) : c = a : c + b : c

O (a – b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

b) Eine Klasse fährt mit 38 Kindern auf Projektwoche. Für die Autobusfahrt

werden 592,80 € bezahlt. Wie hoch sind die Fahrtkosten für ein Kind?

A.:

c) Am Sportplatz soll ein Weg von insgesamt 96 m Länge mit 50 x 50 cm großen Platten ausgelegt werden.

Wie viele Platten werden benötigt, wenn je drei Platten nebeneinander

liegen?

A.:

d) Beim Fleischhauer kostet 1,45 kg Rindfleisch 20,59 €. Im Supermarkt

bezahlt man für 0,9 kg Rindfleisch 13,32 €. Wo kauft man günstiger?

A.:

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- 16 -

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 1 – Lösung

Aufgabe 1:

a) Wie lautet das Ergebnis folgender Addition? Kreuze an!

5,37 + 45,02 + 17,71

Ο 70,5 Ο 65,3

Ο 68,1 Ο 69,2

b) Wie lautet das Ergebnis folgender Subtraktion? Kreuze an!

458,31 – 277,23

Ο 108,08

Ο 180,08 Ο 181,08

Ο 118,08

c) Das Ergebnis folgender Multiplikation lautet … Kreuze an!

82 ∙ 5 ∙ 4 =

Ο 1 540

Ο 1 640 Ο 1 740

Ο 1 840

d) Rechne folgende Divisionen im Kopf und kreuze das jeweilige richtige

Ergebnis an!

43,1 : 0,1 17 : 0,001 0,35 : 100

Ο 4 310 Ο 43 100

Ο 431 Ο 431 000

Ο 17 000 Ο 1 700

Ο 170 000 Ο 170

Ο 35 Ο 0,035

Ο 3,5 Ο 0,0035

e) Wie lautet das Ergebnis folgender Rechnungen? Kreuze an!

3,5 – 2,5 : 0,5 + 4 (1,7 + 2,3) ∙ 6 – 12,5 (4,5 – 2,8) : (3,1 – 2,9)

Ο 2

Ο 2,5

Ο 3 Ο 3,5

Ο 10,5

Ο 11

Ο 11,5 Ο 12,5

Ο 8,5

Ο 9,5

Ο 10,5 Ο 11,5

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 2- Lösung

Aufgabe 2:

a) Wie lautet das Verteilungsgesetz der Multiplikation?

O (a ∙ b) ∙ c = (a + c) + (b + c) O (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

O (a + b) : c = a : c + b : c

O (a – b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

b) Eine Klasse fährt mit 38 Kindern auf Projektwoche. Für die Autobusfahrt

werden 592,80 € bezahlt. Wie hoch sind die Fahrtkosten für ein Kind?

592,80 : 38 = 15,60 €

212 228

000R

A.: Die Fahrtkosten für ein Kind betragen 15,60 Euro.

c) Am Sportplatz soll ein Weg von insgesamt 96 m Länge mit 50 x 50 cm großen Platten ausgelegt werden.

Wie viele Platten werden benötigt, wenn je drei Platten nebeneinander

liegen?

96 m = 9 600 cm

9600 : 50 = 192 Platten 460

100

00R

192 ∙ 3 = 576 Platten

A.: Es werden 576 Platten benötigt.

d) Beim Fleischhauer kostet 1,45 kg Rindfleisch 20,59 €. Im Supermarkt

bezahlt man für 0,9 kg Rindfleisch 13,32 €. Wo kauft man günstiger?

20,59 : 1,45 =

2059 : 145 = 14,2 0609

290

00R

13,32 : 0,9

1332 : 90 = 14,8 0432

0720

00R

A.: Beim Fleischhauer kauft man günstiger.

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Übungsbeispiel 2

Titel: Teilbarkeitsregeln

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Teilbarkeit von natürlichen Zahlen

Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2

1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen I1 I1


Operieren und Rechnen

H1/H2 H1/H2

3. Grundkenntnisse und – fertigkeiten;

Herstellen von Verbindungen

K1/K2 K1/K2

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit: Aufgabe 1:

Aufgabe 2:


10 Minuten

Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

a, b und c) mittel; d und e) niedriger

Aufgabe 2: a) niedriger; b und c) mittel; d) höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber

Besondere

Bemerkungen:

Der Taschenrechner ist bei beiden Aufgaben

nicht erlaubt.

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- 19 -

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 1

Aufgabe 1:

a) Welche Zahlen zwischen 20 und 40 sind durch 3 teilbar? Kreuze die richtige Lösung an!

Ο 21, 25, 27, 29, 34, 38 und 39

Ο 21, 24, 27, 30, 33, 36 und 39 Ο 22, 25, 27, 33, 36 und 38

Ο 24, 27, 30, 33, 35 und 39

b) Welche Zahlen zwischen 50 und 80 sind ein Vielfaches von 9?

Ο 51, 60, 69, 72 und 79 Ο 54, 63, 71 und 76

Ο 54, 63 und 72

Ο 52, 61, 70 und 79

c) Welche Zahlen zwischen 70 und 100 haben 7 als Teiler?

Ο 77, 84, 91 und 98

Ο 71, 78, 85, 92 und 99 Ο 75, 82, 89 und 96

Ο 73, 80, 87 und 93

d) Kreuze alle Primzahlen an, die zwischen 10 und 30 liegen!

Ο 11, 15, 17, 21, 25, 27 und 29

Ο 11, 13, 17, 19, 23 und 29 Ο 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 und 28

Ο 13, 15, 18, 21, 24, 27 und 29

e) Kreuze alle richtigen Aussagen an!

Ο Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und

durch sich selbst teilbar ist.

Ο Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Einerziffer 1, 3, 6 und 9 ist.

Ο Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer 0 oder 5 ist.

Ο Eine Zahl ist durch 4 bzw. 25 teilbar, wenn die aus der Zehner- und Einerziffer

gebildete Zahl durch 10 teilbar ist.

Ο Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3

bzw. 9 teilbar ist.

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- 20 -

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 2

Aufgabe 2:

a) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 3 │ 67□2

O 0

O 1

O 2

O 3

O 4

O 5

O 6

O 7

O 8

O 9

Die Zahlen lauten:

b) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 4 │ 2813□

O 0

O 1

O 2

O 3

O 4

O 5

O 6

O 7

O 8

O 9

Die Zahlen lauten:

c) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden

können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 9 │ 471□1

O 0 O 1

O 2 O 3

O 4 O 5

O 6 O 7

O 8 O 9

Die Zahl lautet:

d) Kreuze die leeren Felder an, wenn die links stehende Zahl durch die oben stehende Zahl teilbar ist!

2 3 4 5 6 7 9 10 15 25 100

204

744

2 250

8 022

34 700

514 845

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 1 – Lösung

Aufgabe 1:

a) Welche Zahlen zwischen 20 und 40 sind durch 3 teilbar? Kreuze die richtige Lösung an!

Ο 21, 25, 27, 29, 34, 38 und 39

Ο 21, 24, 27, 30, 33, 36 und 39 Ο 22, 25, 27, 33, 36 und 38

Ο 24, 27, 30, 33, 35 und 39

b) Welche Zahlen zwischen 50 und 80 sind ein Vielfaches von 9?

Ο 51, 60, 69, 72 und 79 Ο 54, 63, 71 und 76

Ο 54, 63 und 72

Ο 52, 61, 70 und 79

c) Welche Zahlen zwischen 70 und 100 haben 7 als Teiler?

Ο 77, 84, 91 und 98

Ο 71, 78, 85, 92 und 99 Ο 75, 82, 89 und 96

Ο 73, 80, 87 und 93

d) Kreuze alle Primzahlen an, die zwischen 10 und 30 liegen!

Ο 11, 15, 17, 21, 25, 27 und 29

Ο 11, 13, 17, 19, 23 und 29 Ο 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 und 28

Ο 13, 15, 18, 21, 24, 27 und 29

e) Kreuze alle richtigen Aussagen an!

Ο Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und

durch sich selbst teilbar ist.

Ο Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Einerziffer 1, 3, 6 und 9 ist.

Ο Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer 0 oder 5 ist.

Ο Eine Zahl ist durch 4 bzw. 25 teilbar, wenn die aus der Zehner- und Einerziffer

gebildete Zahl durch 10 teilbar ist.

Ο Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3

bzw. 9 teilbar ist.

Muster

seite


- 22 -

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 2 – Lösung

Aufgabe 2:

a) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 3 │ 67□2

O 0

O 1

O 2

O 3

O 4

O 5

O 6

O 7

O 8

O 9

Die Zahlen lauten: 6 702, 6 732, 6 762 und 6 792

b) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 4 │ 2813□

O 0

O 1

O 2

O 3

O 4

O 5

O 6

O 7

O 8

O 9

Die Zahlen lauten: 28 130, 28 131, 28 133, 28 134, 28 135, 28 137, 28 138 und 28 139

c) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden

können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 9 │ 471□1

O 0 O 1

O 2 O 3

O 4 O 5

O 6 O 7

O 8 O 9

Die Zahl lautet: 47 151

d) Kreuze die leeren Felder an, wenn die links stehende Zahl durch die oben stehende Zahl teilbar ist!

2 3 4 5 6 7 9 10 15 25 100

204 X X X X

744 X X X X

2 250 X X X X X X X X

8 022 X X X X

34 700 X X X X X X

514 845 X X X X

Muster

seite


- 160 -

Arbeitsaufgaben

zum

Kompetenzbereich

Muster

seite


- 161 -

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 1

Titel: Körpergewicht

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Aufgabenstellung

1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen

I4


Operieren und Rechnen, Interpretieren und Dokumentieren

H1/H2/H3

3. Grundkenntnisse und - fertigkeiten

Herstellen von Verbindungen, Einsetzen von Reflexionswissen

K1/K2/K3


Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Aufgabe 3:


15 Minuten

15 Minuten


mittel

Aufgabe 2: niedriger

Aufgabe 3:

höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Zirkel,

Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)

Besondere

Bemerkungen:

Begabte SchülerInnen können das Beispiel

mithilfe des Computers lösen.

Muster

seite


- 162 -

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 1

Aufgabenstellung:

Bei einer ärztlichen Untersuchung wurden in der 3b-Klasse folgende Körpergewichte (m) in kg gemessen:

37,2 – 48,1 – 35,0 – 24,3 – 51,5 – 26,9 – 53,4 – 48,5 – 29,6 – 41,7 – 33,3 – 46,0 – 29,2 – 54,7 – 50,2 – 50,7 – 30,9 – 46,4 – 37,2 – 26,5 – 35,8 – 55,6 – 56,1 – 34,3 – 49,0

1) Teile in „Gewichtsklassen“ ein (Zahlenwerte in kg)!

K1: m ≤ 25,0

K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0

K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0

K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0

K5: 55,1 ≤ m

Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!

„Gewichts-klasse“

„Gewicht“ in m Zahlenwert in kg

absolute Häufigkeit

relative Häufigkeit

prozentuelle Häufigkeit

K1: m ≤ 25,0

K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0

K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0

K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0

K5: 55,1 ≤ m

Gesamt

Muster

seite


- 163 -

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 2

2) Veranschauliche die prozentuellen Häufigkeiten mithilfe eines Streifenschaubildes (Streifenbreite: 1 cm, 10 % 2 cm)!

K1 K2 K3 K4 K5

Prozentuelle Häufigkeit

Grafische D.

Streifenschaubild

x-Achse - Gewichtsklasse

y-Achse – %

Muster

seite


- 164 -

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 1 – Lösung

Aufgabenstellung:

Bei einer ärztlichen Untersuchung wurden in der 3b-Klasse folgende Körpergewichte (m) in kg gemessen:

37,2 – 48,1 – 35,0 – 24,3 – 51,5 – 26,9 – 53,4 – 48,5 – 29,6 – 41,7 – 33,3 – 46,0 – 29,2 – 54,7 – 50,2 – 50,7 – 30,9 – 46,4 – 37,2 – 26,5 – 35,8 – 55,6 – 56,1 – 34,3 – 49,0

1) Teile in „Gewichtsklassen“ ein (Zahlenwerte in kg)!

K1: m ≤ 25,0

K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0

K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0

K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0

K5: 55,1 ≤ m

Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!

„Gewichts-

klasse“

„Gewicht“ in m

Zahlenwert in kg

absolute

Häufigkeit

relative

Häufigkeit

prozentuelle

Häufigkeit

K1: m ≤ 25,0 1 04,025

1 4 %

K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0 8 32,025

8 32 %

K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0 4 16,025

4 16 %

K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0 10 40,025

10 40 %

K5: 55,1 ≤ m 2 08,025

2 8 %

Gesamt 25 00,125

25 100 %

Muster

seite


- 165 -

K1

5

25

20

15

10

Gewichtsklasse

30

35

prozentuelle Häufigkeit

40

4

8

40

16

32

K2 K3 K4 K5


2) Veranschauliche die prozentuellen Häufigkeiten mithilfe eines Streifenschaubildes (Streifenbreite: 1 cm, 10 % 2 cm)!

K1 K2 K3 K4 K5

Prozentuelle Häufigkeit 4 % 32 % 16 % 40 % 8 %

Grafische D. 8 mm 64 mm 32 mm 80 mm 16 mm

Streifenschaubild

x-Achse - Gewichtsklasse

y-Achse – %

Muster

seite


- 166 -

Pro

zen

tuell

e H

äu

figkeit

K1

4%

K2

32

%

K5

8%

K4

40

%

K3

16

%

K1K2

K3K4

K5


3) Veranschaulichung mithilfe des Computers

Kreisdiagramm mithilfe des Computers (mögliche Lösung) Zu beachten: Überschrift und Legende dürfen nicht fehlen.

Beim Kreisdiagramm sollten die Gewichtsklassen und die Prozente

eingetragen sein.

Muster

seite


- 167 -

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 2

Titel: Halbmarathon

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Aufgabenstellung

1. Statistische Darstellungen und Kenngrößen

I4

2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,

Interpretieren und Dokumentieren

H1/H2/H3

3. Grundkenntnisse und - fertigkeiten

Herstellen von Verbindungen, Einsetzen von Reflexionswissen

K1/K2/K3


Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Aufgabe 3:


10 Minuten

15 Minuten


mittel Aufgabe 2:

mittel

Aufgabe 3: höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Zirkel,

Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)

Besondere

Bemerkungen:

Begabte SchülerInnen können das Beispiel

mithilfe des Computers lösen.

Muster

seite


- 168 -

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 1

Aufgabenstellung:

Der Start für den Halbmarathon in Melk erfolgte um 11:00. Für die 30 Teilnehmer wurden folgende Ankunftszeiten gestoppt und in die Teilnehmerliste eingetragen: 12:55, 13:04, 12:41, 12:59, 13:25, 13:12, 13:08, 12:36, 12:48, 13:11, 12:44, 13:09, 13:30, 13:22, 13:01, 12:57, 12:45, 13:13, 12:46, 12:37, 13:33, 12:42, 13:07, 13:28, 12:50, 13:20, 13:29, 13:43, 13:03, 13:17, (30 Teilnehmer)

Teile in „Leistungsklassen“ ein (t … Laufzeit)!

K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min

K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min

K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min

K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min

K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min

1) Ergänze in der Tabelle die Häufigkeiten!

Leistungs-klasse

Laufzeit t

Strichliste Häufigkeit

K1 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min

K2 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min

K3 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min

K4 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min

K5 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min

Muster

seite


- 169 -


2) Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!

„Leistungs

-klasse“

Laufzeit

t

Ankunftszeit

T

abs. rel. proz.

Häufigkeit

K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min 12:30 ≤ T ≤ 12:44

K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min 12:45 ≤ T ≤ 12:59

K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min 13:00 ≤ T ≤ 13:14

K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min 13:15 ≤ T ≤ 13:29

K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min 13:30 ≤ T ≤ 13:44

Gesamt

3) Veranschauliche die absoluten Häufigkeiten mithilfe eines Kreisdiagramms (r = 5 cm)!

Zu beachten: Winkel der einzelnen Kreissektoren im Kreisdiagramm 30 Teilnehmer 360°

1 Teilnehmer 360° : 30 = 12°

K1 K2 K3 K4 K5

absolute Häufigkeit

Grafische D. in Grad

Muster

seite


- 170 -


3) Fortsetzung - Kreisdiagramm

Muster

seite


- 171 -

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 1 – Lösung

Aufgabenstellung:

Der Start für den Halbmarathon in Melk erfolgte um 11:00. Für die 30 Teilnehmer wurden folgende Ankunftszeiten gestoppt und in die Teilnehmerliste eingetragen: 12:55, 13:04, 12:41, 12:59, 13:25, 13:12, 13:08, 12:36, 12:48, 13:11, 12:44, 13:09, 13:30, 13:22, 13:01, 12:57, 12:45, 13:13, 12:46, 12:37, 13:33, 12:42, 13:07, 13:28, 12:50, 13:20, 13:29, 13:43, 13:03, 13:17, (30 Teilnehmer)

Teile in „Leistungsklassen“ ein (t … Laufzeit)!

K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min

K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min

K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min

K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min

K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min

1) Ergänze in der Tabelle die Häufigkeiten!

Leistungs-klasse

Laufzeit t

Strichliste Häufigkeit

K1 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min IIII 5

K2 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min IIII II 7

K3 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min IIII IIII 9

K4 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min IIII I 6

K5 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min III 3

Muster

seite


- 172 -

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 2 – Lösung

2) Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!

„Leistungs

-klasse“

Laufzeit

t

Ankunftszeit

T

abs. rel. proz.

Häufigkeit

K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min 12:30 ≤ T ≤ 12:44 5 30

5 17 %

K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min 12:45 ≤ T ≤ 12:59 7 30

7 23 %

K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min 13:00 ≤ T ≤ 13:14 9 30

9 30 %

K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min 13:15 ≤ T ≤ 13:29 6 30

6 20 %

K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min 13:30 ≤ T ≤ 13:44 3 30

3 10 %

Gesamt

30 30

30 100 %

3) Veranschauliche die absoluten Häufigkeiten mithilfe eines Kreisdiagramms (r = 5 cm)!

Zu beachten: Winkel der einzelnen Kreissektoren im Kreisdiagramm 30 Teilnehmer 360°

1 Teilnehmer 360° : 30 = 12°

K1 K2 K3 K4 K5

absolute Häufigkeit 5 7 9 6 3

Grafische D. in Grad 60° 84° 108° 72° 36°

Muster

seite


- 173 -

Prozentuelle Häufigkeit

K3

30%

K4

20%

K5

10%

K2

23%

K1

17%

K1 K2 K3 K4 K5

Absolute Häufigkeit

K3

9

K4

6

K5

3

K2

7

K1

5

K1 K2 K3 K4 K5

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbm. – AB 3 – Lösung

3) Fortsetzung - Kreisdiagramm

(mögliche Lösung) Kreisdiagramm mithilfe des Computers (mögliche Lösung)

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