Neue Technologien im Mathematikunterricht

Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg

Spezialisierungschule für den Sek.U., Brixen

Neue Technologien (Applied Software im MU)Neue Technologien (Applied Software im MU)

[13.1.2007] Computer Algebra Systeme (CAS) – Allgemeine [13.1.2007] Computer Algebra Systeme (CAS) – Allgemeine Darstellung in Fuchs K.J. (2003): Darstellung in Fuchs K.J. (2003): Computer Algebra Systems in Computer Algebra Systems in Mathematics EducationMathematics Education ( ( http://www.fiz-karlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm031i.html ),),

[9.2.2007] Tabellenkalkulation (Spreadsheet)[9.2.2007] Tabellenkalkulation (Spreadsheet)

[10.2.2007] Dynamische Geometrie – Software (DGS) – [10.2.2007] Dynamische Geometrie – Software (DGS) – ( ( www.geogebra.at ) )

Zusammenschau und didaktische Bewertung (Neue Zusammenschau und didaktische Bewertung (Neue Herausforderungen, neue Ziele, Neue Methoden, …) Herausforderungen, neue Ziele, Neue Methoden, …)

0. Standortbestimmung

(a)(a) Was macht eine Was macht eine Tabellenkalkulationsprogramm?Tabellenkalkulationsprogramm?

(a)(a) Numerisches undNumerisches und

(b)(b) Graphisches WerkzeugGraphisches Werkzeug

(b)(b) Struktureller AufbauStruktureller Aufbau

Tabellenblatt ausTabellenblatt aus(a)(a) (typisierten) Zeilen (1, 2, …) und Spalten (A, B, …)(typisierten) Zeilen (1, 2, …) und Spalten (A, B, …)

(b)(b) und Funktionalen Bezügen und Funktionalen Bezügen

Tabellenkalkulation

(a)(a) Oberfläche und Volumen von einfachen Oberfläche und Volumen von einfachen eben- und krummflächigen Körperneben- und krummflächigen Körpern

((Untertitel: Arbeiten mit absoluten Untertitel: Arbeiten mit absoluten BEZÜGENBEZÜGEN))

BeispielBeispiel: O und V eines regelmäßigen geraden : O und V eines regelmäßigen geraden quadratischen Prismasquadratischen Prismas

O = 2 aO = 2 a22 + 4 a c bzw. V = a + 4 a c bzw. V = a22 c c

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(a) Cursor in Zelle A1 – Eintragen der Überschrift [Typ: Text – autom. – hier können wir – zunächst Spalte / Optimale Breite festlegen - über <re.Mk.> und <Zellen formatieren> gestaltend eingreifen ;-)]

(b) Eintragen der Größen Basiskante a und Höhe c in die Zellen A4 und A5 (mit einer Überschrift in A3)

etwa: (Cursor auf B4 bereit für die Eingabe des Wertes für die Basiskante)

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(c) Eintragen der Werte [Typ: Zahl – autom.] für Basiskante und Höhe (im Beispiel a = 5,3 (e) und c = 7,1 (e) )

(d) Eintragen der (ermittelten) Ausgaben Oberfläche und Volumen in A7 und A8

(e) Definieren der Oberflächen- und Volumensformel als Formel in B7 und B8 (absoluter Bezug zu den Werten in B4 und B5)

(in B7) =2*$B$4^2+4*$B$4*$B$5 und (in B8) =$B$4^2*$B$5

Didaktisches Prinzip: Experimentieren durch Variation der Eingabewerte (Erste Erkenntnisse über funktionale ‚Einflussnahme‘ einzelner Parameter auf den Output – z. B. Verdopplung von a, Verd. von c, …

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Übungseinheit: Implementierung der Volumsformel für den geraden Kreiszylinder mit anschließender Variation der Eingabewerte (Parameter) r und h

(b)(b) Formeln als FunktionenFormeln als Funktionen

((Untertitel: Arbeiten mit relativen Untertitel: Arbeiten mit relativen BEZÜGEN, Funktionale AbhängigkeitenBEZÜGEN, Funktionale Abhängigkeiten))

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(a) Erstellen der Werteliste für die Argumente [Typ: Liste – relatives Kopieren (mit fester Schrittweite]

Vorgangsweise: Eintragen der beiden Startwerte x0 = 0, x1 = 0,1 (autom. Schrittweite = 0,1; d. h. xn+1 = xn + 0,1)

(b) Generieren der Liste durch ‚Fassen des kleinen Quadrates und Herunterziehen‘. Sieht wie folgt aus:

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(c) Erstellen eines Funktionsgraphen mit dem Diagrammassistenten

(d) Allenfalls: Bearbeiten des Funktionsgraphen

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Übungseinheit: Wählen Sie eine beliebige Formel aus dem Mathematikunterricht, explizieren Sie diese als Funktion in einer Variable und plotten Sie den Graphen der Funktion!

Achten Sie dabei auf den Definitionsbereich z. B.

Implementierung als Funktion x(p,-3)

=-B2/2+Wurzel(B2^2+3)

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

(c)(c) Das Lösen einer Quadratischen Gleichung Das Lösen einer Quadratischen Gleichung in Normalform in Normalform ((Untertitel: Bedingte VerzweigungUntertitel: Bedingte Verzweigung))

Implementierungssequenz(a) Cursor in Zelle A1 – Wir geben die Koeffizienten p und q an.(b) Das Lösungsverfahren hängt vom Wert der Diskriminante ab:

(1) Diskriminante > 0 -> 2 Lösungen(2) Diskriminante = 0 -> 1 Lösung(3) Diskriminante < 0 -> Keine reelle Lösung

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(b) Eingabe der Fallunterscheidungen aus (a.1) – (a.3) mit Hilfe der Wenn – Funktion

=WENN((-B1/2)^2-B2>0;

VERKETTEN(TEXT(-B1/2+WURZEL((-B1/2)^2-B2);"0,00");" / ";TEXT(-B1/2-WURZEL((-B1/2)^2-B2);"0,00"));

WENN(B1^2-B2=0;-B1/2;"keine reelle Lösung"))

[Seitenblick auf die Informatik: Die Bedeutung graphischer Repräsentation durch ein {PROGRAPH} – data – flow – Diagramm]

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Übungseinheit: Folgende Entscheidungen sollen ebenfalls als Algorithmus beschrieben werden:

(a) Überprüfe im Zahlenpaar (a, b), welche Komponente die größere ist!

(c ) Das Aussieben von Zahlen mittels der REST – Funktion, z. B. Streiche all jene Zahlen heraus, die durch 5 teilbar sind.

(d) Überlege Dir ein wiederholtes Sieben im Primzahlsieb des Erathostenes

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

(d)(d) Auswerten von Daten: Beschreibenden Statistik Auswerten von Daten: Beschreibenden Statistik

((Untertitel: Listen / PseudozufallszahlenUntertitel: Listen / Pseudozufallszahlen))

Implementierungssequenz

(a) Würfelwurf: Wir simulieren der 40-maligen Wurf eines Würfels mit Hilfe von Pseudozufallszahlen

(b) Zur Implementierung verwenden wir zunächst die Funktion ZUFALLSZAHL. Sie erzeugt Zufallszahlen zwischen 0 und 1

(c) Mit Hilfe der Funktion GANZZAHL(ZUFALLZAHL()*(b-a)+a) erhalten wir ganzzahlige Zufallszahlen zwischen a und b.

z. B. Würfel - =GANZZAHL(ZUFALLSZAHL()*6+1)

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz Schreiten wir anschließend an das Auswerten unseres Wurfs

[Zwischenschritt Einfrieren der Werte: Da mit jeder neuen Manipulation auf dem Rechenblatt die Zufallsliste stets neu berechnet wird, FRIEREN wir die Werte mit Kopieren und Inhalte einfügen … als Werte in einer neuen Spalte ein.]

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(e) Klassenbildung (Anzahl der 1-er, 2-er, .. 6-er) – Dazu verwenden wir die Funktion HÄUFIGKEIT (Achtung: Liste -> Auswertung mit <STRG><SHIFT><RET>)

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Implementierungssequenz

(f) Graphische Darstellung mit Hilfe eines Staffelbildes / Prozentkreises / weitere angemessene Darstellungsform

12

34

56

R1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

Tabellenkalkulation – Beispiele aus dem MU

Übungseinheit:

(1) EXCEL bietet eine Vielzahl von statistischen Funktionen (Mittelwerte, Varianz, …)

(2) Simulieren Sie einen Münzwurf und(1) Berechnen sie den Median, die 1. und 2. Quartile, das

Minimum, das Maximum

(2) Betrachten Sie zwei voneinander unabhängige Serien von Münzwürfen. Was kann man hinsichtlich der Mittelwerte unter Einbeziehung der Augensummen vermuten?

(3) Die Gerade und die eingepasste Gerade: (1) Zeichnen Sie die Gerade durch P[0,0] und Q[1,5]

(2) Zeichnen Sie eingepasste Gerade durch P[0,0], Q[1,5] und R[4,-2]

0

1

2

3

4

5

6

0 1

y = -0,9231x + 2,5385

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5