Numerische Lösung des Dirichlet-Problems für die Laplace-Gleichung durch Quasi-Interpolation
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Numerische L¨ osung des Dirichlet-Problems f ¨ ur die Laplace-Gleichung durch Quasi-Interpolation Frank M ¨ uller * Universit¨ at Kassel, Fachbereich Mathematik/Informatik 1 Einleitung Bei der Interpolation von Funktionen mit linearen Splines hat man ein System von Basisfunktionen, das eine Zerlegung der Eins auf einem beschr¨ ankten Intervall darstellt. Das Interpolationspolynom ist dann eine Linearkombination der Basis- funktionen. W¨ ahlt man statt einer exakten Zerlegung der Eins eine n¨ aherungsweise Zerlegung der Eins, so erh¨ alt man eine Quasi-Interpolation. Wir werden hier die L¨ osung eines klassischen Dirichlet-Problems f¨ ur den Laplace-Operator approximieren. Dazu gehen wir in drei Schritten vor. Zun¨ achst stellen wir die L¨ osung dar als Doppelschichtpotential mit einer noch unbekannten Dichte. Im ersten Schritt ersetzen wir die unbekannte Dichte durch die Quasiinterpolierende. Im zweiten Schritt approximieren wir den Integralkern, und im dritten Schritt bestimmen wir N¨ aherungswerte f¨ ur die Koeffizienten. 2 Quasi-Interpolation von Funktionen Seien N ∈ N und h =1/N . F¨ ur u ∈ C 2 ([-1, 1]) definieren wir die Quasiinterpolierende u h :[-1, 1] → R , u h (x) := 1 √ 2π N m=-N u(mh)e - 1 2 (xN-m) 2 und erhalten die Absch¨ atzung 1 -1 |u h (x) - u(x)| dx ≤ max{‖u‖ ∞ , ‖u ‖ ∞ , ‖u ‖ ∞ } (11 · 10 -9 +5h +2h 2 ). 3 Das Dirichlet-Problem Sei Ω ⊂ R 2 ein beschr¨ anktes einfach zusammenh¨ angendes Gebiet mit C 2 -Rand Γ. Weiter sei b ∈ C 2 (Γ). Wir betrachten das Dirichlet-Problem (DP) Δv =0 in Ω, v = b auf Γ. Aus der Potentialtheorie ist bekannt: Das DP besitzt eine eindeutige L¨ osung v. Diese kann im Inneren von Ω dargestellt werden durch das Doppelschichtpotential (Wϕ)(x) := - 1 2π Γ x - y |x - y| 2 · n(y) ϕ(y) ds(y). Dabei ist n(y) die nach außen zeigende Einheitsnormale im Punkt y ∈ Γ, und die Dichte ϕ ist die eindeutige L¨ osung der Integralgleichung 1 2 ϕ(x)+(Wϕ)(x)= b(x), x ∈ Γ. Ist γ :[-1, 1] → Γ eine Parametrisierung von Γ, so erhalten wir f ¨ ur das Doppelschichtpotential die Darstellung (Wϕ)(x)= - 1 2π 1 -1 x - γ (t) |x - γ (t)| 2 · n(γ (t)) ϕ(γ (t)) | ˙ γ(t)| dt. * e-mail: [email protected] PAMM · Proc. Appl. Math. Mech. 4, 708–709 (2004) / DOI 10.1002/pamm.200410335 © 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim © 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
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Numerische Losung des Dirichlet-Problems fur die Laplace-Gleichungdurch Quasi-Interpolation
Frank Muller ∗
Universitat Kassel, Fachbereich Mathematik/Informatik
1 Einleitung
Bei der Interpolation von Funktionen mit linearen Splines hat man ein System von Basisfunktionen, das eine Zerlegungder Eins auf einem beschrankten Intervall darstellt. Das Interpolationspolynom ist dann eine Linearkombination der Basis-funktionen. Wahlt man statt einer exakten Zerlegung der Eins eine naherungsweise Zerlegung der Eins, so erhalt man eineQuasi-Interpolation.
Wir werden hier die Losung eines klassischen Dirichlet-Problems fur den Laplace-Operator approximieren. Dazu gehen wirin drei Schritten vor. Zunachst stellen wir die Losung dar als Doppelschichtpotential mit einer noch unbekannten Dichte. Imersten Schritt ersetzen wir die unbekannte Dichte durch dieQuasiinterpolierende. Im zweiten Schritt approximieren wir denIntegralkern, und im dritten Schritt bestimmen wir Naherungswerte fur die Koeffizienten.
2 Quasi-Interpolation von Funktionen
SeienN ∈ N undh = 1/N . Fur u ∈ C2([−1, 1]) definieren wir die Quasiinterpolierende
uh : [−1, 1] → R , uh(x) :=1√2π
N∑
m=−N
u(mh)e−12 (xN−m)2
und erhalten die Abschatzung
∫ 1
−1
|uh(x) − u(x)| dx ≤ max‖u‖∞, ‖u′‖∞, ‖u′′‖∞ (11 · 10−9 + 5h + 2h2).
3 Das Dirichlet-Problem
SeiΩ ⊂ R2 ein beschranktes einfach zusammenhangendes Gebiet mitC2-RandΓ. Weiter seib ∈ C2(Γ). Wir betrachten das
Dirichlet-Problem (DP)
∆v = 0 in Ω, v = b auf Γ.
Aus der Potentialtheorie ist bekannt: Das DP besitzt eine eindeutige Losungv. Diese kann im Inneren vonΩ dargestelltwerden durch das Doppelschichtpotential
(Wϕ)(x) := − 1
2π
∫
Γ
x − y
|x − y|2 · n(y) ϕ(y) ds(y).
Dabei istn(y) die nach außen zeigende Einheitsnormale im Punkty ∈ Γ, und die Dichteϕ ist die eindeutige Losung derIntegralgleichung
1
2ϕ(x) + (Wϕ)(x) = b(x), x ∈ Γ.
Ist γ : [−1, 1] → Γ eine Parametrisierung vonΓ, so erhalten wir fur das Doppelschichtpotential die Darstellung
(Wϕ)(x) = − 1
2π
∫ 1
−1
x − γ(t)
|x − γ(t)|2 · n(γ(t)) ϕ(γ(t)) |γ(t)| dt.
∗ e-mail:[email protected]
PAMM · Proc. Appl. Math. Mech. 4, 708–709 (2004) / DOI 10.1002/pamm.200410335
© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
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Setzen wir
u := ϕ γ und f(x, t) :=x − γ(t)
|x − γ(t)|2 · n(γ(t)) |γ(t)|,
so schreibt sich das Doppelschichtpotential einfach
(Wϕ)(x) = − 1
2π
∫ 1
−1
f(x, t) u(t) dt.
4 Das Approximationsverfahren
Wie bereits erwahnt, laßt sich die eindeutige Losungv des DP inΩ darstellen durch das Doppelschichtpotential, d.h. fur x ∈ Ωgilt
v(x) = (Wϕ)(x) = − 1
2π
∫ 1
−1
f(x, t) u(t) dt.
Wir werden im Folgendenv in drei Schritten approximieren, um eine approximative analytische Darstellung ohne Integral-ausdruck zu erhalten.
4.1 Schritt 1 (Approximation von u durch uh)
Dau ∈ C2([−1, 1]) ist, ersetzen wiru durch die Quasiinterpolierendeuh und erhalten
v(x) ≈ − 1
2π
∫ 1
−1
f(x, t) uh(t) dt = − 1
(2π)3/2
N∑
m=−N
u(mh)
∫ 1
−1
f(x, t) e−(t−mh)2
2h2 dt.
4.2 Schritt 2 (Approximation von f(x, t) durch f(x, mh))
Wir betrachten im Integral nurf(x, mh) stattf(x, t) und erhalten
v(x) ≈ − 1
(2π)3/2
N∑
m=−N
u(mh)
∫ 1
−1
f(x, mh) e−(t−mh)2
2h2 dt = − 1
4πN
N∑
m=−N
u(mh) f(x, mh) erf
(
m − N√2
,m + N√
2
)
.
4.3 Schritt 3 (Bestimmung von Naherungswertenum fur u(mh))
Da wir die Dichteϕ nicht kennen, kennen wir auch die Werteu(mh) nicht. Wir werden daher Naherungswerteum fur u(mh)bestimmen. Dazu verwenden wir die Randintegralgleichung.Fur xj := γ(tj) muss gelten
1
2u(tj) −
1
2π
∫ 1
−1
f(γ(tj), t) u(t) dt = b(γ(tj)).
Fordern wir an dieser Stelle Gleichheit, wenn wiru durchuh ersetzen, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem zurBestimmung von Naherungswertenum fur u(mh). Durch
vh(x) := − 1
4πN
N∑
m=−N
um f(x, mh) erf
(
m − N√2
,m + N√
2
)
haben wir dann eine approximative analytische Darstellungder Losungv des DP gegeben.
References
[1] T. Ivanov, V. Maz’ya, G. Schmidt, Boundary layer approximate approximations and cubature of potentials in domains,Preprint No.402, WIAS, Berlin 1998.
[2] V. Maz’ya, G. Schmidt, On approximate approximations using Gaussian kernels, IMA J. Num. Anal. 16 (1996), 13-29.
© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Section 24 709
