Numerische Strömungssimulation

Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen

Numerische Simulation von Strömungsvorgängen

B. Binninger

S. Farazi, D. Goeb

Institut für Technische Verbrennung

Templergraben 64

2

• Bitte eigenen Laptop mitbringen

• Anwesenheitspflichtige Veranstaltung, Zweiergruppen möglich

• Betreuung, Kontakt:

o Bernd Binninger, Dominik Goeb, S. Farazi

o E-Mail: B.binninger@itv.rwth-aachen.de; d.goeb@itv.rwth-aachen.de

o Sprechstunden nach Absprache (R, 215, R209.1)

Organisatorisches (kont.)

3

• Prüfung, Prüfungsleistungen:

o Praktikumsbericht

• Abzugegen etwa eine Woche vor dem Termin der mündlichen Prüfung an

b.binninger@itv.rwth-aachen.de

o Mündliche Prüfung

• Spätester Gruppentermin 06.10.2017

• Frühere Gruppentermine nach Absprache möglich

Organisatorisches (kont.)

Numerische Strömungssimulation

Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen

Numerische Simulation von Strömungsvorgängen

B. Binninger

Institut für Technische Verbrennung

Templergraben 64

1. Teil

1.2-0 Zusammenfassung 1. Teil

Praktikumsaufgabe „Potentialströmung“

• Lösung der Potentialgleichung und Stromfunktionsgleichung für eine stationäre,

wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung in einem Kanal

Die Praktikumsaufgabe besteht aus zwei Teilaufgaben

• Teil 1.1: Lösung der Laplace-Gleichungen für rechteckiges Integrationsgebiet

• Teil 1.2: Lösung der Laplace-Gleichungen für krummlinig berandetes

Integrationsgebiet

Nutzanwendung des Teiles 1.2

• Konstruktion eines strukturierten numerischen Gitters aus krummlinigen

orthogonalen Koordinaten

Simulation von Strömungsvorgängen

Mathematische Formulierung des Problems und

mathematische Modellbildung

Partielle Differentialgleichung

Diskretisierung

System von algebraischen Gleichungen

Gleichungslöser

Näherung der exakten Lösung des Problems

Selten direkt, meist iterativ

Oft ein System part.D‘gln

Finite Elemente oder

Differenzen oder finite Volumen

1.1-1

Wir werden diese Schritte hier wiederholt anwenden, um spezielle Aufgaben aus

dem Bereich der Strömungsmechanik zu bearbeiten.

Modellierung

Voraussetzung:

Das strömende Fluid kann als Kontinuum angesehen werden kann.

Wir abstrahieren also von der granularen Struktur der Materie und

behaupten, dass die Grenzübergänge

sinnvoll gebildet werden können:

1.1-2

1.1-3

Beispiel: Der Grenzwert existiert und heißt Dichte r:

Diese Definition der Dichte r kann nur dann sinnvoll sein, wenn das im Grenzwert

betrachtete Volumen groß gegen die Abmessungen der Atome oder Moleküle des Fluids

bleibt.

Andererseits muss das Grenzvolumen klein sein gegenüber den makroskopisch

interessierenden Längen des Strömungsproblems.

Beispielsweise Strömungen hochverdünnter Gase können daher mit dem Kontinuumsansatz

nicht zufriedenstellend beschrieben werden. Solche Problemstellungen treten beim

Wiedereintritt von Raumfahrzeugen in die Erdatmosphäre oder in Vakuumapparaturen auf.

In solchen Fällen werden als mathematisches Modell die Boltzmann-Gleichungen betrachtet.

1.1-3

Bemerkung:

Die Voraussetzung des Kontinuums ist unter Umständen auch bei nichtverdünnten Gasen

nicht für alle Strömungsgrößen erfüllt.

Zum Beispiel ändern sich Strömungsgrößen in Verdichtungsstößen in Fluiden mit geringer

Reibung nahezu sprunghaft (die Dicke der Stoßzone beträgt lediglich mehrere freie

Weglängen).

Wir finden aber auch in diesem Fall eine differentielle mathematische Formulierung des

Problems, die nur stetige Strömungsgrößen enthält, wenn wir nur Erhaltungsgrößen,

betrachten und die Differentialgleichungen in Erhaltungsform formulieren

(vergl. auch die Ausführungen weiter hinter zum Finite-Volumen-Verfahren.)

Für die reibungsfreien Eulergleichungen führt dies auf die sogenannten

schwachen Lösungen.

1.1-4

Unter dieser Voraussetzung kann das Verhalten des Fluids vollständig

beschrieben werden, indem

der thermodynamische Zustand,

der Impuls und

die Energie an jedem Raumpunkt und zu jedem Zeitpunkt

angegeben werden.

Die Verteilungen dieser Größen in Raum und Zeit folgen den Prinzipien

• Massenerhaltung

• Impulserhaltung

• Energieerhaltung

1.1-5

Die Mathematische Formulierung dieser Erhaltungsgleichungen führt für ein

Kontinuum auf einen Satz

Partieller Differentialgleichungen

Zzgl. der Rand- und Anfangsbedingungen wird die Entwicklung einer Strömung

in Raum und Zeit damit vollständig beschrieben.

1.1-6

Zusätzliche vereinfachende Annahmen beeinflussen den Charakter und die

Komplexität des mathematischen Problems.

Näherung hier:

• inkompressible oder näherungsweise inkompressible Probleme

• zusätzliche Annahmen, um mathematisch besonders einfache Probleme

an den Anfang unserer Beispiele stellen zu können.

1. Aufgabe: inkompressible, reibungsfreie und wirbelfreie Strömungen

Herleitung der mathematischen Formulierung des Problems aus

Massen-, Impuls- und Energieerhaltung

1.1-7

Inkompressibilität:

Energiegleichung entkoppelt von Impulsgleichung und Kontinuitätsgleichung

Geschwindigkeits- und Druckfeld allein aus Masse- und Impulserhaltung!

Kontinuitäts- und Impulsgleichungen für inkompressible Newtonsche Fluide

Massenerhaltung oder Kontinuitätsgleichung (keine Quellen):

Impulsgleichung:

Gewichtskräfte,

Erdschwerefeld Druckkräfte

Reibungskräfte zeitliche Beschleunigung

räumliche Beschleunigung

1.1-8

Bemerkung und Schreibweisen:

• Der Operator der konvektiven Beschleunigung ist in der Schreibweise

nur für karthesische Koordinaten definiert.

Es gilt die Identität

deren rechte Seite für alle Koordinatensysteme gilt.

• Schwerebeschleunigung aus Potential U :

1.1-9

Mathematische Beschreibung von

Kontinuumsströmungen inkompressibler, Newtonscher Fluide konstanter Viskosität

+ Rand- und Anfangsbedingungen

1.1-10

Abgeleitete Gleichungen:

Wirbeltransportgleichung

Vorteil: Druck und Geschwindigkeitsfeld können unabhängig voneinander

berechnet werden.

Mit der numerischen Lösung dieser Gleichung werden wir uns hier nicht beschäftigen.

Wir werden diese Gleichung aber benutzen, um eine andere mathematische

Formulierung des Strömungsproblems abzuleiten

1.1-11

wirbelfreie, reibungsfreie Strömungen oder Potentialströmungen

Herleitung der Wirbeltransportgleichung:

Es gelingt den Druck aus der Gleichung zu eliminieren, wenn berücksichtigt wird,

dass folgende Identität gilt (Gradientenfelder sind wirbelfrei):

Wir wenden deshalb den Rotationsoperator auf die Impulsgleichung an und

definieren den Wirbelvektor

Es folgt die Wirbeltransportgleichung für ein inkompressibles Newtonsches Fluid

konstanter Zähigkeit:

1.1-12

Behauptung:

Beweis:

Mit dem Levi-Civitaschen Tensor eijk (auch Epsilon-Tensor) lässt sich für kartesische

Koordinaten mit der Einsteinschen Summenkonvention schreiben

Andererseits ist:

(Umbenennen stummer Indizes)

1.1-13

Spezielle Lösung für reibungsfreie Fluide (kinematische Zähigkeit n = 0):

Potentialströmungen

Das Geschwindigkeitsfeld besitzt eine Potentialfunktion f

Dann ist das Geschwindigkeitsfeld wirbelfrei.

Die Wirbeltransportgleichung ist mit

immer erfüllt.

1.1-14

Bestimmungsgleichung für das Potential aus Kontinuitätsgleichung

Mit geeigneten Randbedingungen liefert die Lösung der Potentialgleichung

das Geschwindigkeitsfeld:

Zum Beispiel in kartesischen Koordinaten:

*) Alternative Schreibweise: Df =0. In kartesischen Koordinaten und 2D:

*)

1.1-15

Bemerkung: Die Konstante „const“ gilt überall im Strömungsfeld, nicht nur entlang Stromlinien!

(instat. Bernoullische Gleichung)

Integriert (stationär):

Berechnung des Druckfeldes aus der Impulsgleichung:

1.1-16

Keine freie Oberflächen (stationär):*)

oder

Definition eines Druckbeiwertes:

*) falls keine freie Oberflächen auftreten hebt sich der hydrostatische Druck mit dem

Schwerepotential heraus, p meint dann nur den dynamischen Druckanteil.

1.1-17

Nebenbemerkung

Bestimmung des Druckfeldes aus dem Geschwindigkeitsfeld für wirbelbehaftete

Geschwindigkeitsfelder

Poissongleichung für den Druck

Wir bilden die Divergenz der Bewegungsgleichung

Bei bekanntem Geschwindigkeitsfeld und Randbedingungen ist diese Gleichung

prinzipiell lösbar.

1.1-18

Randbedingungen

Stationäre Strömungen keine Anfangsbedingungen nötig

Die Lösungsverteilung im Inneren eines Integrationsgebietes ist von Randwerten

abhängig.

Vorgabe der Funktionswerte (RB 1. Art) Dirichlet

Vorgabe der Gradienten (RB 2. Art) Neumann

Kombination aus beiden (RB 3. Art)

(Rand des I-Gebietes)

(Integrationsgebiet)

1.1-19

Wir nutzen die Wirbelfreiheit von Divergenzfeldern also folgende Vektoridentität:

Die Kontinuitätsgleichung

ist daher erfüllt, wenn die Geschwindigkeit durch ein Vektorpotential

ausgedrückt wird:

1.1-20 Alternative Formulierung

Als Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential kann bei bekannter

Wirbelverteilung die Definition des Wirbelvektors herangezogen werden:

Mit der Vektoridentität

folgt die Differentialgleichung zur Bestimmung des Vektorpotential:

1.1-21

Bei bekannter Wirbelverteilung ist dies eine Poisson-Gleichung.

Spezialfall zweidimensionale Potentialströmung in der x,y-Ebene:

Die Komponente des Vektorpotential, die von Null verschieden ist, wird

Stromfunktion genannt. Linien y = const sind Stromlinien.

Die Gleichung stimmt von der Schreibweise her mit der Potentialgleichung überein.

Man beachte aber den anderen Charakter des Laplace-Operator in den beiden

Formulierungen , da das Potential j ein Skalar ist, die skalare Stromfunktion y

dagegen die 3. Komponente eines Vektorpotentials darstellt.

1.1-22

Die Geschwindigkeitskomponenten errechnen sich aus der Stromfunktion in

kartesischen Koordinaten zu:

Die beiden mathematischen Modelle, Potential j versus Stromfunktion y,

zur Berechnung einer Potentialströmung unterscheiden sich in kartesischen

Koordinaten nur durch die Art der vorzugebenden Randbedingungen.

1.1-23

Damit ist die Modellbildung für die Potentialströmung im Wesentlichen

abgeschlossen.

Für eine numerische Lösung ist nun noch eine geeignete

Diskretisierung

vorzunehmen und anschließend eine

Implementierung in einem Computer-Code.

Jede Software ist fehlerträchtig.

Daher muss nach Möglichkeiten gesucht werden, die Software zu testen:

Programmtest

1.1-24

Möglichkeiten des Software-Tests

Prinzipiell:

Vergleich numerischer Ergebnisse mit bekannten Lösungen

Herausragend unter bekannten Lösungen sind analytische Lösungen der

Differentialgleichungen, sofern solche bekannt sind.

Wir suchen deshalb hier nach solchen analytischen Lösungen der

zwei dimensionalen Laplace-Gleichung.

1.1-25

Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung

Wir betrachten eine stetig differenzierbare komplexe Funktion f (z):

Für jede solche Funktion gilt, dass die Laplace-Gleichung

identisch erfüllt ist!

1.1-26

Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)

Zerlegen der Funktion f (z) in Real- und Imaginärteil:

Dann gilt

sowie

1.1-27

Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)

Erstes Beipiel:

Äquipotentiallinien und Stromlinien sind eine Schar senkrecht aufeinander stehender

Geraden Parallelströmung.

1.1-28

Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)

Zweites Beipiel:

Die Stromlinien sind Hyperbeln symetrisch zum Nullpunkt des Koordinatensystems.

Staupunktströmung mit Staupunkt im Ursprung

1.1-29

Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)

Drittes Beipiel:

1.1-30

Liste von Beispielen für stationäre zwei-dimensionale Potentialströmungen

Parallelströmung:

Ebene Staupunktströmung:

Quelle:

Potentialwirbel:

Dipol:

Es gilt wegen der Linearität der Differentialgleichungen das Superpositionsprinzip!

Beispiel Halbkörper: Superposition aus Parallelströmung und Quelle

1.1-31

Differenzformulierung auf geordneten, strukturierten Gittern

Integrationsgebiet (2D, rechteckig):

Schrittweiten:

1.1-32

Diskretisierung der Potentialgleichung

- Approximation von Ableitungen durch Differenzenformulierung

Approximation erster und zweiter Ableitung:

Der Laplace-Operator ist elliptisch, Einflussbereich symmetrisch im Raum

zentrale Differenzen sind dem angepasst

1.1-33

1.1-34

Bei äquidistantem Gitter lassen sich erste Ableitungen durch zentrale Differenzen

wie folgt ausgedrücken:

Für zweite Ableitungen ergibt sich:

Entsprechendes gilt für die Ableitungen nach der y-Richtung.

Algebraisches Gleichungssystem

- Die Differenzenapproximation der Laplace-Gleichung führt auf ein

algebraisches Gleichungssystem mit einer dünn besetzten Matrix

- Kern ist die algebraische Funktion

1.1-35

Direktes Lösungsverfahren :

- Gaußscher Algorithmus

Im Prinzip möglich, aber sehr aufwendig.

Außerdem empfindlich gegen Rundungsfehler:

Anwendung scheidet aus! Iterative Lösungsverfahren gewünscht.

Einfache iterative Lösungsverfahren für das algebraische Gleichungssystem

Im Vergleich mit direkten Lösungsverfahren geringer Aufwand und

unempfindlich gegen Rundungsfehler.

• Iterationsverfahren in Gesamtschritten (Jacobi) (expl.)

1.1-36

wobei der obere Index n den Iterationsschritt nummeriert.

• Iterationsverfahren in Einzelschritten (Gauß-Seidel) (expl.)

Bei diesem Verfahren werden aktualisierte Werte der gesuchten Funktion bereits

mitberücksichtigt, während ein Iterationsschritt ausgeführt wird.

Für einen Durchlaufsinn des i,j-Feldes, i vor j und kleine i vor großen i, bedeutet dies

folgende Abhängigkeit:

Übungsaufgabe:

Veranschaulichen Sie sich die Algorithmen an Hand des Differenzensterns der diskretisierten Laplace-

Gleichung. Wie sieht das Gauß-Seidel-Verfahren aus, wenn zunächst die j-Richtung abgearbeitet wird?

1.1-37

• Iterationsverfahren in Einzelschritten entlang Linien (Thomas) (expl.)

Ein einfaches implizites iteratives Lösungsverfahren ist der Thomas-Algorithmus.

Hierbei wird entlang einer gesamten Linie gelöst. Verlaufen die Linien in i-Richtung ergibt

sich folgende tridiagonale Matrix-Struktur:

1.1-38

wobei die rechte Seite wie beim Jacobi- oder beim Gauß-Seidel-Verfahren behandelt

werden kann.

Zur Symmetrisierung des Rechenablaufs werden die Linien bei jedem Iterationsschritt oft

alternierend gewechselt.

Übungsaufgabe:

Leiten Sie den Löser für die tridiagonale Matrix her und programmieren Sie diesen! Welchen

grundsätzlichen Vorteil bietet der Thomas-Algorithmus gegenüber den expliziten Verfahren?

Überrelaxation oder Unterrelaxation

Um die Konvergenz der genannten Verfahren zu beschleunigen, kann eine sogenannte

Überrelaxation (Overrelaxation) durchgeführt werden.

Dabei wird die Veränderung des Funktionswertes mit einem Faktor größer eins

multipliziert und dadurch der Iterationsfortschritt beschleunigt.

Die Theorie sagt für lineare Laplacesche Differentialgleichungen und für das Gauß-Seidel-

Verfahren einen maximal möglichen Überrelaxationsparameter von b < 2 voraus.

Werte b < 1 verringern den Iterationsfortschritt. Diese Unterrelaxation kommt dann ins

Spiel, wenn die Stabilität des Lösungsverfahrens durch ortsabhängige Koeffizienten oder

Nichtlinearitäten eingeschränkt ist.

1.1-39

Rechenablauf

Eine Anfangsbelegung, Iterationsstart, im Inneren des Integrationsgebietes und auf

dem Rand wird vorgeben.

Randbedingungen werden dem Problem entsprechend anfänglich gesetzt

und während des Iterationsfortschritts festgehalten oder falls notwendig angepasst.

Gesamtschrittverfahren:

Ausschließlich Werte der n–1-ten Iteration werden zur Berechnung der nächsten

Lösungsbelegung, n-ter Iterationsschritt, herangezogen Jacobi.

Einzelschrittverfahren und Einzelschritt-Linienverfahren:

Bereits verbesserte Werte werden mit berücksichtigt Gauß-Seidel bzw.

Thomas-Algorithmus.

1.1-40

1.1-42 Erste Teilaufgabe zum Praktikumsbeispiel „Potentialströmung“

Berechnung einer zweidimensionalen stationären, wirbel- und reibungsfreien

Strömung auf einem rechteckigen Integrationsgebiet durch numerische

Lösung der Potentialgleichung mit einem iterativen Gleichungslöser.

a) Formulieren Sie die Differenzengleichung des Problems!

b) Wählen Sie ein Testproblem: Strömung, Integrationsgebiet und geeignete

Randbedingungen!

c) Formulieren Sie ein algebraisches Gleichungssystem für eine numerische Lösung der

Potentialgleichung oder Stromfunktionsgleichung!

d) Lösen Sie das Gleichungssystem mit einem oder mehreren einfachen Lösungsalgorithmen!

e) Berechnen Sie das Geschwindigkeitsfeld!

f) Berechnen Sie das Druckfeld!

1.1-43

Programmieraufgaben

1) Routine für Eingabedaten

Steuerdaten zu Integrationsgebiet, Anzahl der Stützstellen, Schrittweite, ...

2) Routine für Startbelegung

(z.B. exakte Lösung eines Testproblems)

2) Routine für Randbedingungen

3) Routine für den Lösungsalgorithmus

4) Routine für die Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten

5) Routine für die Berechnung des Druckbeiwertes

6) Routine für die Ausgabe

7) Routine für die Fehleranalyse (z.B. Vergleich mit exakter Lösung)

Differenzformulierung auf geordneten, strukturierten Gittern

Integrationsgebiet (2D, rechteckig):

Schrittweiten:

1.1-44

Beispiele für Potentialströmungen

Parallelströmung:

Ebene Staupunktströmung:

Quelle:

Potentialwirbel:

Dipol:

Es gilt wegen der Linearität der Differentialgleichungen das Superpositionsprinzip!

Beispiel Halbkörper: Superposition aus Parallelströmung und Quelle

1.1-45

Druckbeiwert:

1.1-46

Zusammenfassung 1. Teilaufgabe des Teiles 1 des Praktikums

Praktikumsaufgabe „Potentialströmung“ auf kartesischem Gitter

• Lösung der Potentialgleichung für eine stationäre,

wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung

• Lösung der Stromfunktionsgleichung für eine stationäre,

wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung