Übungen zur Einführung in die Physik I WS 2006/07 Lösungen zu den "Zusatzaufgaben zum Wiederholen und Knobeln" ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Aufgabe : Stille Nacht Lockerer Schnee absorbiert Schall – diffuse Oberfläche und „poröses Inneres“ führen zur Schalldämpfung.

2. Aufgabe: Weihnachtsglöckchen Für ein Glöckchen gilt:

L1 = 10 logI1

I0

!

"#$

%&db = 50 dB

Für beide zusammen gilt:

L1+2 = 10 ! log2 ! I1

I0

"

#$%

&'dB = 10 ! log2+log

I1

I0

"

#$%

&'dB

L1+2 = 10 ! log2+10 ! logI1

I0

"

#$%

&'dB= 3+50( )db=53dB

3. Aufgabe: Dichte des Glühweins Auf dem Mond funktioniert das Aräometer, da Gewichtskraft des Aräometers und der verdrängten Flüssigkeit proportional zum Ortsfaktor sind. Die Schwimmbedingung bleibt erfüllt. In der (echten) Schwerelosigkeit funktioniert es nicht.

4. Aufgabe: Stein über Bord Der Wasserspiegel sinkt, da der untergegangene Stein nur sein Volumen, der im Boot „mit schwimmende“ aber das Volumen von Wasser seines Gewichts verdrängt.

5. Aufgabe: Gurtmuffel Wir betrachten hier nur den "Überzeugungstäter". Für den "Vergesslichen" gibt es keine physikalische sondern nur eine fiskalische Argumentation, die für Abhilfe der Vergesslichkeit sorgen könnte. Unter der vereinfachenden Annahme konstanter Beschleunigung beim Aufprall (Abbremsen) gilt

für den Betrag der mittleren Beschleunigung: a =v2

2s. Dabei ist v der Betrag der Geschwindigkeit

vor dem Aufprall und s der Bremsweg (Knautschzone). Nachdem sich das Auto um s = 0,20 m verkürzt hat, kommt es also zum Stehen. Die Änderung des Geschwindigkeitsbetrags, auf den es hier ankommt, beträgt 30 km/h oder 8,33 m/s. Es ergibt sich damit ein Beschleunigungsbetrag von 173,5 m/s2, etwa das 17fache der Erdbeschleunigung. Könnte der Fahrer die entsprechende Kraft mit den Armen aufbringen, überträfe er alle bestehenden Gewichtheberrekorde um ein Vielfaches. Seine Chancen, den Aufprall unbeschadet zu Überstehen sind also praktisch gleich Null.

6. Aufgabe - Experiment: Reagenzglasflöte Im Röhrchen der Länge l baut sich eine stehende Welle auf mit Knoten am Boden und Bauch an der

Öffnung. Für die Grundwelle gilt : l =!

4 oder mit der Schallgeschwindigkeit c: f =

c

!=

c

4 " l.

7. Aufgabe - Experiment: Zauberstock Je nach Abstand der Handkanten (Zeigefinger) vom Schwerpunkt des Stabes (Besens) sind die Auflagekräfte verschieden und damit auch die Reibungskräfte. Deshalb gleitet der Stab abwechselnd über den einen dann wieder den anderen Auflagepunkt. Die Auflagepunkte nähern sich an und wandern beide Richtung Schwerpunkt. Wiederholt man den Versuch, wobei eine Auflagestelle z.B. angefeuchtet oder mit Tesa überklebt ist, so unterscheiden sich die Reibungskoeffizienten an den beiden Auflagestellen wesentlich und die Verschiebungen laufen "deutlich verschieden" ab. Trotzdem laufen beide Auflagepunkte wieder auf den Schwerpunkt zu. (Lit. zum Thema Reibung: http://www.nano-world.org/frictionmodule/content/)

8. Aufgabe: Das ist eine Wucht Auswuchten ist unbedingt nötig, allerdings hilft nur das dynamische Auswuchten wirklich. Bei statischer Unwucht liegt der Schwerpunkt des Rades außerhalb der Drehachse, das Rad befindet sich gegenüber der Drehachse nicht im indifferenten Gleichgewicht. Dynamische Unwucht kann auch dann noch auftreten, wenn statisch alles in Ordnung ist, etwa, wenn Materialungleichheiten zwischen Vorder- und Rückseite des Reifens bestehen, die sich im Mittel ausgleichen. Dies führt dann dazu, dass das Rad auf der Achse beim Fahren Ansätze zu Kreiselbewegungen um seine Hauptträgheitsachse zeigt. Physikalisch gesprochen bedeutet dynamische Unwicht also: Die Drehachse des Rades stimmt nicht mit einer Hauptträgheitsachse überein. Beim statischen Wuchten reicht also immer ein richtig angebrachtes Gewicht, beim dynamischen Wuchten sind evtl. zwei nötig.

9. Aufgabe: Dopplereffekt Dopplereffekt als Wellenphänomen bedeutet allgemein, dass bei bewegtem Sender und/oder bewegtem Empfänger eine Frequenzverschiebung vom Empfänger registriert wird. Beim akustischen Dopplereffekt besteht ein grundsätzlicher Unterschied, je nachdem, ob sich der Sender oder der Empfänger bewegt. Bewegt sich der Sender auf den Empfänger zu, so kann die ausgesandte Wellenlänge beliebig klein werden und sogar gegen Null gehen (Sender bewegt sich mit Schallgeschwindigkeit). Die vom Empfänger registrierte Frequenz wird (rein theoretisch) beliebig groß bis hin zum Überschallknall. Bewegt sich dagegen der Empfänger auf den Sender zu, so steigt die registrierte Frequenz zwar auch aber nur bis zum doppelten Wert, wenn er sich mit Schallgeschwindigkeit bewegt. Quantitativ gilt für die empfangene Frequenz bei bewegtem Sender

fE= f

S!1

1 !vS

c

und bei

bewegtem Empfänger fE

= fS! 1 ±

vE

c

"

#

$

% .

Sind die Geschwindigkeiten v von Sender bzw. Empfänger klein gegenüber der Schall-

geschwindigkeit c, also vS

c und

vE

c klein gegen 1, so gilt die Näherung

fE

= fS!1

1 !v

c

" fS! 1 ±

v

c

#

$

%

&

(siehe Taylorentwicklung

1

1 ! x! 1± x für x << 1)

Lit.: Tipler, Physik, Aufg. 24 zu 14.9 (in der ganz neuen Auflage leider nicht mehr enthalten, deshalb hier der Text:

„24. In dieser Aufgabe wird eine Analogie zum Doppler-Effekt betrachtet. Ein Förderband bewege sich mit der Geschwindigkeit v = 300 m/min. Ein überaus fleißiger Bäcker lege 20 Kekse pro Minute auf das Band. Die Kekse werden am anderen Ende des Bandes von einem Krümelmonster verspeist. a) Welchen Abstand A haben die Kekse voneinander, und mit welcher Frequenz f kann sie das Monster verspeisen, wenn Bäcker und Krümelmonster an ihrem Ort bleiben? b) Der Bäcker bewege sich mit der Geschwindigkeit 30 m/min auf das unbewegliche Monster zu, wobei er seine Produktionsgeschwindigkeit von 20 Keksen pro Minute beibehält. Bestimmen Sie nun den Abstand zwischen den Keksen und die Frequenz, mit der sie verspeist werden können. c) Wiederholen Sie Ihre Berechnungen für den unbeweglichen Bäcker und das sich mit 30 m/min auf ihn zu bewegende Monster.“)

10. Aufgabe: Fouriertransformation Beim Sinusdauerton enthält das Frequenzspektrum genau die Frequenz des Sinustons, sonst keine weiteren Anteile. Das Frequenzspektrum eines kurzen "Pulses" enthält sehr viele unterschiedliche Frequenzen mit verschiedenen Intensitäten. Das Spektrum wird umso breiter je kürzer der Impuls ist.

11. Aufgabe: Noch schneller kippender Stab Gegeben seien der Stab (Masse m, Länge h) und die am Stab befestigte, punktförmige Zusatzmasse (Masse m, Position l gemessen vom Auflagepunkt aus). Das System hat dann bezüglich des Auflagepunktes (Drehpunktes) das Trägheitsmoment J =

1

3mh

2

+ml2 .

Über den Energieansatz erhält man die Winkelgeschwindigkeit beim Aufschlag ! 2= 3g "

h+ 2l

h2+ 3l

2 .

Ohne wirksame Zusatzmasse (l = 0) gilt ! 2

=3g

h (vgl. Aufgabe vom Übungsblatt). Dies gilt aber

auch für l =2

3h , wie man durch Gleichsetzen nachweisen kann.

Die Auftreffgeschwindigkeit erreicht ein Maximum für l = h !7

12"1

2

#

$

% &

'

( ) 0, 264h .

Verallgemeinerung: Gegeben seien der Stab (Masse m, Länge h) und die am Stab befestigte, punktförmige Zusatzmasse (Masse m´, Position l gemessen vom Auflagepunkt aus). Das System hat dann bezüglich des

Auflagepunktes (Drehpunktes) das Trägheitsmoment J =1

3mh

2

+ ! m l2 .

Über den Energieansatz erhält man die Winkelgeschwindigkeit beim Aufschlag ! 2= 3g "

h+ 2kl

h2+ 3kl

2

mit k =! m

m. Für die graphische Darstellung wurde g = 10 und h = 1 gewählt.

Ohne wirksame Zusatzmasse (l = 0 oder k = 0) gilt wieder ! 2

=3g

h . Dies gilt aber auch für

l =2

3h und damit unabhängig von k, wie man durch Gleichsetzen nachweisen kann (siehe

Graphen!). Die Auftreffgeschwindigkeit erreicht ein Maximum für l =

h

6k9 +12k ! 3( ) .

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

l

! 2

k = 20

k = 10

k = 5

k = 2

k = 0,5

k = 0

k = 1

12. Aufgabe: Kräfte und Energien beim vertikalen Federpendel im Schwerefeld

!Epot

!Espann

Dehnung s

Kraft F

FG

FFeder

Ruhelage s0

0

Fgesamt(= -Dy)

!Eges

0Auslenkung y

"+

Kräfte und potentielle Energien beim vertikalen FederpendelParameter des Systems: Masse m, Federkonstante D

Espa nn =1

2 Ds2

=1

2 D(s 0 " y)2

=1

2 Ds 0

2

" Ds0 y +1

2 Dy2 (1)

Ep ot = mg y + c1 (2)

Für die Ruhelage gilt (Kräftegleichgewicht) : mg = Ds0 (3)

Espann + Ep ot =1

2 Ds0

2

" Ds0 y +1

2 Dy2

+ mg y + c1 =

(3)

=1

2 Ds0

2

" Ds0 y +1

2 Dy2

+ Ds0 y + c1 =

= c2 +1

2 Dy2

+ c1 =

(c 1 = "c 2)

1

2 Dy2

s0

0

s

+

-

0

yDehnung s

Auslenkung y

Links:Ungedehnte Feder

Rechts:Feder-Massensystemin Ruhelage

13. Aufgabe: Molekülschwingungen - Erweiterung Unabhängig vom Massenverhältnis (m1 : m2) der beiden Atome des Moleküls gelten die Überlegungen der Aufg. 3, Übungsblatt 8 für das Kraftgesetz: Der Gleichgewichtsabstand (F = 0)

beträgt r0=b

a und die effektive Federkonstante bei kleinen Auslenkungen um den

Gleichgewichtsabstand berechnet sich als Betrag der Ableitung der F(r) - Funktion im

Gleichgewichtsabstand r0 zu Deff

=a4

b3 .

Zur Bestimmung der Periodendauer (bzw. Schwingungsfrequenz) des Moleküls mit ungleichen Massen bei kleinen Auslenkungen um die Gleichgewichtslage gibt es unterschiedliche Lösungswege: a) Aufstellung der Bewegungsgleichungen für die beiden Massen (unbedingt Skizzen zu Auslenkungen und Kräften machen und die Aufstellung der Gleichungen selbst nachvollziehen!!) :

m

1˙ ̇ x

1= !D

effx

1! x

2( )

m2˙ ̇ x

2= !D

effx

2! x

1( ) oder in Matrixschreibweise

˙ ̇ x 1

˙ ̇ x 2

!

" #

$

% & =

'D

eff

m1

Deff

m1

Deff

m2

'D

eff

m2

!

"

# #

$

%

& & (

x1

x2

!

" #

$

% &

Zur Lösung kann man dann ganz formal mathematisch vorgehen und die Frequenz berechnen. Mit dem Ansatz x

1= A

1! e

i"t; x

2= A

2! e

i"t erhält man das Gleichungssystem

!" 2 #x1

x2

$

% &

'

( ) =

!Deff

m1

Deff

m1

Deff

m2

!Deff

m2

$

%

& &

'

(

) ) #x1

x2

$

% &

'

( ) bzw.

! 2 "Deff

m1

Deff

m1

Deff

m2

! 2 "Deff

m2

#

$

% %

&

'

( ( )A1

A2

#

$ %

&

' ( = 0 , das eine Lösung hat, wenn

die Determinante der Matrix Null wird.

det

!2 "Deff

m1

Deff

m1

Deff

m2

!2 "Deff

m2

#

$

% %

&

'

( ( = ! 2 "Deff

m1

#

$ %

&

' ( ) !2 "

Deff

m2

#

$ %

&

' ( "

Deff( )

2

m1m2

Also !4 "! 2 #Deff

m1

+Deff

m2

$

% &

'

( ) = 0 bzw. !2 " !2 #

Deff

m1

+Deff

m2

$

% &

'

( )

$

% &

'

( ) = 0 mit der nichttrivialen Lösung

!2=

Deff

m1

+Deff

m2

"

# $

%

& ' bzw. !2

=Deff" m

1+m

2( )m1m2

=Deff

µ mit der reduzierten Masse µ.

b) Lösung durch Überlegung und Zerlegung des Vorgangs in zwei "einfache" Federpendel mit fester Aufhängung. Da der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null sein muss, folgt zwingend, dass die beiden Massen gegenphasig schwingen müssen. Die Lage des ruhenden Schwerpunkts hängt vom Massenverhältnis ab. Die beiden Massen schwingen also scheinbar an Teilfedern, die im Schwerpunkt befestigt sind. Annahme, die beiden Massen seien m1 = M und m2 = m mit M > m. Dann schwingt M an einer Teilfeder, deren Länge den Bruchteil m / (M + m) der Gesamtfeder ausmacht. Entsprechend hat diese Teilfeder die Federkonstante DM = Deff . (M + m) / m. Somit

erhält man für die Kreisfrequenz dieses einfachen Federpendels !2=DM

M=Deff" M + m( )M "m

=Deff

µ

wie oben.

Analog schwingt m an einer Teilfeder, deren Länge den Bruchteil M / (M + m) der Gesamtfeder ausmacht. Entsprechend hat diese Teilfeder die Federkonstante Dm = Deff . (M + m) / M. Somit

erhält man für die Kreisfrequenz dieses Federpendels ebenfalls !2=Dm

m=Deff" M +m( )m "M

=Deff

µ .

c) Aufstellung der Bewegungsgleichungen wie in a). Dann überlegt man sich (aktio - reaktio, bzw. Impulserhaltung, bzw. Lage des Schwerpunkts) dass folgende Beziehungen gelten müssen:

m

1˙ ̇ x

1= !m

2˙ ̇ x

2

m1

˙ x 1= !m

2˙ x

2

m1x

1= !m

2x

2

.

Mit der letzten Beziehung kann man die Bewegungsgleichungen entkoppeln und dann einfach lösen.

14. Aufgabe: Molekülschwingungen – große Auslenkungen Für große Auslenkungen muss man vom gegebenen Kraftgesetz ausgehen (keine Näherung!!):

F(r) = - a / r2 + b / r3. Der Einfachheit halber setzen wir a = b = 1. Weitere Annahme, die beiden Massen seien m1 = M und m2 = m mit M > m. Außerdem ist es zweckmäßig, auf ein Einkörperproblem zu reduzieren (siehe Anhang).

Mit der reduzierten Masse µ =m !M

M + m lautet die Bewegungsgleichung:

!!r =F r( )µ

=M + m

m !M! "

1

r2+1

r3

#$%

&'(

15. Aufgabe: Kippender Stab – numerische Lösung

a) Über Energien oder Drehmomente erhält man mit dem Trägheitsmoment des Stabs

JEnde

=1

3mh

2 die Bewegungsgleichung:

!!! = "3g

2hcos !( )

b) Num. Lösung

c) Vergleich mit der Fallzeit beim freien Fall liefert einen Winkel von 1 (im Bogenmaß !)

16. Aufgabe: Fallende Kette am Luftkissengleiter

a) Über den Kraftansatz (Newton 2) erhält man die Bewegungsgleichung. Die resultierende Kraft ist jeweils die Gewichtskraft der noch in der Luft befindlichen Kette, die beschleunigte Masse ist die Masse dieser Restkette und die Masse des Wagens.

Fres = mg !L " x

L

mbeschleunigt = M + m !L " x

L

a =Fres

mbeschleunigt

=mg !

L" x

L

M + m !L" x

L

=mg ! L " x( )

ML + m ! L " x( )

Vorsicht: Normaler Energieansatz funktioniert hier nicht!! Warum.

b) Die Lösung wurde in diesem Beispiel zur Abwechslung mal mit Excel programmiert. Dabei steht z.B. folgendes in Zelle „B5“.

=WENN((0,6-D5)>0;9,81*0,01*(0,6-D5)/(0,18*0,6+0,01*(0,6-D5));0)

Anhang zu Aufgabe 14: