ws0910 12 wellen MF - Fakultät für Physik · Dopplereffekt Resonanzboden. EP WS 2009/10...

EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler

12. Vorlesung

I Mechanik

7. Schwingungen

8. Wellentransversale und longitudinale Wellen, Phasengeschwindigkeit,DopplereffektSuperposition von Wellen

9. Schallwellen, Akustik

Versuche:Wellenwanne: ebene Wellen und Kugelwellen Dopplereffekt Resonanzboden


Bei klassischer Welle wird keine Materie aber lokale „Schwingung“ (Dichte-

schwankung, Moleküloszillation etc) des Mediums und somit Energie transportiert.

Versuch Wellenkette beim letzten Mal zeigte Ausbreitung der Schwingung von

Stäben, an einem (elastischen) Draht befestigt.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium (Kopplungsstärke,

Trägheit) ab. Die Schwingung kann pulsförmig oder periodisch (z.B.

sinusförmig) sein.

Longitudinale Welle (z.B. Schall): Transversale Welle (wie bei Versuch Wellenkette):

Ausbreitungsrichtung ��


Transversale und longitudinale Wellen

• Nehmen wir an, die Welle breitet sich z.B. in z-Richtung aus.Geschwindigkeit c �

• Die Bewegungsrichtung der lokalen Schwingungen, z.B. von Molekülen des Medium um ihre Ruhelage ( Amplitude A(z,t)) kann in z, x oder y –Richtung sein.

• Richtung der Amplituden in z oder –z: c →Longitudinale Welle A ↔(Beispiel Schallwellen )

Richtung = Polarisation in Richtung x oder y, senkrecht zu z:

Transversalwelle (Beispiel Licht, Welle auf Saite,.. c →A ↕


Wasserwellen besonders kompliziert:

Kombination beider Typen,

Kreisbahnen, deren Radien mit

der Tiefe abnehmen.

Ebene Wellen und Elementarwellen: Versuche Wasserwanne

•Wellenfronten (WF) = Flächen in 3 (Linien in 2) Dim-

ensionen, deren Punkte gleichphasig schwingen

•Ausbreitungsrichtung senkrecht zu WF

•Bei ebenen Wellen sind WF Ebenen

•Bei Elementarwellen sind WF Kugeloberflächen

•Huygens Prinzip:1) Jeder Punkt einer WF ist Ausgangspunkt einer

neuen Elementarwelle

2) Die Einhüllenden (Tangentenflächen) aller Elementar-

wellen bilden neue WF


Wellenausbreitung, graphische Darstellung: Entweder Momentaufnahme, feste Zeit t; oder fester Ort, Amplitude als Funktion der Zeit. Hier: Ebene Welle in z Richtung:

t

z

∆∆

z

∆z


Mathematische Darstellung einer in z-Richtung laufenden ebenen* , harmonischen** Welle:

λπ2

A (z,t) = A0 sin(ωt-kz), d.h. gleiche Phase für alle Punkte x,y der Ebene z

Kreisfrequenz ω wie bei Schwingung Neu : Wellenzahl (oder Wellenvektor) k =

Wellenlänge λ

z = const. , d.h. ∆z= 0 → Schwingung

t = const. , d.h. ∆t=0→ Schnappschuss

* eben: A hängt nur von einer Raum-Koordinate ab, z in unserem Beispiel** harmonisch: sin( ) oder cos( )


• Phase φ= ωt-kz (= das Argument der Sinus-oder Cosinusfunktion)Phasendifferenz ∆φ = φ2 –φ1 = ωt2-kz2 – (ωt1-kz1) = ω∆t-k∆z

• Periode T = ∆t für ∆φ =ω∆t-k∆z =2π mit ∆z=0 � ωT= 2π � ω= 2π/T • Wellenlänge λ= ∆z für ∆φ =ω∆t-k∆z =-2π mit ∆t=0 � kλ = 2π � k = 2π/λ• Phasengeschwindigkeit cph =Geschwindigkeit von Orten gleicher

Phase, d.h. insbesondere auch, Orte gleicher Amplitude

Aus ∆φ = ω∆t-k ∆z = 0 �� ω · ∆t = k · ∆z ��

λλλλ⋅⋅⋅⋅====λλλλππππ

ωωωω====ωωωω====

∆∆∆∆∆∆∆∆==== f

/2ktz

cph

cph = f·λ

Im Fall der Akustik ist cph die Schallgeschwindigkeit (cSchall)Im Fall der Optik ist cph die Lichtgeschwindigkeit (c)

Ausbreitungs - = Phasen- geschwindigkeit bei ebener Welle

Wichtige Beziehung zwischen c, f, λ


Superposition =Überlagerung = Interferenz von Wellen

Wellen überlagern sich ungestört, d.h. eine Welle läuft weiter, auch wenn

es Bereiche mit destruktiver Interferenz (lokaler Auslöschung) gibt.

Zwei ebene Wellen treffen sich. Wir betrachten Überlagerung an zwei benachbarten Orten P1, P2

Z ��

Z ��P1 ↑P2 ↑


Superposition von Wellen entgegengesetzter cph - stehende Wellen

Stationäres Wellenbild, wenn

•Gleiche Frequenz (sonst Schwebung)

•Feste Phasenbeziehung (Kohärenz)

entweder durch Reflexion wie bei

Versuch mit Wellenkette oder bei

„phasenstarren“ Quellen …

zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude

A(z,t) = A0 cos(ωt - kz) + A0 cos(ωt + kz )

= 2A0 cos (kz ) · cos (ωt )


Doppler-Effekt

Bewegt sich die Quelle auf den Empfänger zu, so nimmt dieser eine höhere Frequenz wahr (cph = vph im Bild)

Bewegte Quelle: Doppler-Effekt

Qph

ph0E vc

cff

−−−−====

Überschallgeschwindigkeit:-Bei vQ > vph = cph überholt die Quelle die von ihr ausgesandtenWellen.

- Es bildet sich eine kegelförmige Wellenfront aus (Mach-Kegel).- Sinus des Öffnungswinkels: cph/vQ (=Mach-Zahl)

‘aufeinander zu’:fE > f0

‘voneinander weg’:fE < f0

VERSUCH


Bemerkung zum DopplereffektHerleitung der Formel:Wie aus der Skizze hervorgeht, ist λE = λ0 – vQ · T

Da cph = λ0 · f = λ0/T, ist λE = λ0 (1- ) = λ0

Mit f0(E) = cph / λo(E) folgt fE = f0

Die Formel gilt auch für eine sich entfernende Quelle. Dann ist vQ eine negative Größe, d.h. im Nenner der Formel steht cph + |vQ| und fE istkleiner als f0.

Anwendungen des Dopplereffekts:• Messung der Blutgeschwindigkeit

(Ultraschall dopplerverschoben)• Radarkontrolle (gleiches Prinzip)• Rotverschiebung des Spektrums sich schnell entfernender Sterne

dient der Geschwindigkeitsermittlung

ph

Qph

c

vc −−−−

ph

Q

c

v

Qph

ph

vc

c

−−−−⋅⋅⋅⋅


Superposition von Wellen - stehende Wellen nach Reflexion(Siehe Versuch Wellenkette am 25.11.)Je nach Art der Reflexion kann eine

zusätzliche Phase auftreten:

•Freies, weiches Ende

-> kein Phasensprung

•Festes, hartes Ende

-> Phasensprung um ππππ(senkrechte Kraft)

Bei zwei festen Enden (schwingende Saite) ergeben sich aus den

Randbedingungen feste Schwingungsmoden (sonst Auslöschung),

Grundton (n=1) und Obertöne (n>1)

nL2=λ


9. Akustik, SchallwellenSchallwellen:wellenförmige Fortpflanzung von Druck- oder Dichteschwankungenin elastischen Medien wie Gasen,Flüssigkeiten, Festkörpern.

In Fluiden: longitudinal (Orientierung derBewegungsamplitude von Molekülenparallel zur Ausbreitungsrichtung)

In Festkörpern: transversal (Bewegungs-amplitude senkrecht zur Ausbreitungs-richtung), oder longitudinal wie beiFluiden.

Einteilung nach Frequenzen:

Infraschall : ν ν ν ν <= 16 HzHörbarer Schall: 16 Hz < νννν < 16 kHz Versuch Ultraschall : 16 kHz < ννννHyperschall : 10 MHz < νννν

P: DruckS: Auslenkung der

Moleküle ausRuhelage


l

Schall-Erzeugung:

Schallerzeugung durch stehende Wellen auf Festkörpern:

schwingende SaiteStimmgabelOrgelpfeifeLautsprechermembran

Beispiel 1: beidseitig eingespannteSaite

-> stehendes Wellenfeld beibestimmten Eigen- oderResonanzfrequenzen

,...3,2,1,2

== nnlλ

,..3,2,1,1 =⋅= nfnfn

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