Zahlen und Größen • Beitrag 41 Offene Aufgaben im Mathematikunterricht 1 von 28I

26 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2015

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Die größte Buddha-Statue der Welt steht in der Mitte Thailands. Doch wie groß ist sie wirklich? Und welche Fakten können Bildern noch entnommen werden?

Offene Aufgaben im Mathematikunterricht auf drei Niveaus – wiederholen, üben und vertiefen

Nach Ideen von Reinhard Sinterhauf, Köditz und Stephanie Schöning, Böblingen

Illustriert von Liliane Oser, Hamburg

Klasse 9/10

Dauer 4–6 Stunden (am besten Doppelstunden)

Inhalt mathematisierbare Probleme aus dem Alltag lösen; Bildern Informationen entnehmen; Grundrechenarten; Dreisatz; Winkelberechnungen; Volumen-berechnungen; angemessener Umgang mit Längen, Strecken, Gewichten sowie Dichten

Kompetenzen mathematisch argumentieren (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3)

Ihr Plus Aufgabenstellungen im Karteikartenformat für die Freiarbeit und Vertre-tungsstunden

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Offene Aufgaben im Mathematikunterricht Zahlen und Größen • Beitrag 41 I2 von 28

26 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2015

Didaktisch-methodische Hinweise

Offene Aufgaben lassen sich keinem bestimmten Lösungsschema zuordnen. Es gibt keine vor-geschriebene Formel, die im Unterricht besprochen wird. Stattdessen müssen die Lernenden in ihrem mathematischen „Werkzeugkasten“ nach der richtigen Vorgehensweise suchen. Der Ausgangspunkt offener Aufgaben ist in der Regel eine problemhaltige Alltagssituation. Ergeb-nisse werden nicht nur durch reines Rechnen, sondern auch durch sinnvolles Schätzen und sorgfältiges Überschlagen ermittelt.

Herkömmliche Mathematikaufgaben bestehen normalerweise aus dem Automatisieren von Rechentechniken und dem Einüben von Lösungsalgorithmen. Eine veränderte Aufgabenkultur auf der Grundlage offener Aufgabenstellungen verdeutlicht die Alltagsrelevanz von Mathema-tik und stärkt die Problemlösefähigkeit Ihrer Schülerinnen und Schüler.

Die verschiedenen Herangehensweisen an offene Aufgaben

Jede offene Aufgabe kann auf verschiedenen Wegen gelöst werden und hat selten eine allge-mein gültige Lösung. Daraus ergibt sich die Notwendigkeit von Begründungen. Zudem müssen die Bearbeitung der Aufgabe und die Lösung dokumentiert und für andere verständlich präsen-tiert werden. Auf diese Weise wird die Problemlösefähigkeit gezielt gefördert. Ihren Schülerin-nen und Schülern stehen dabei drei unterschiedliche Herangehensweisen zur Verfügung:

Anzahlen schätzen – die Raster-Methode (M 3)

Bei dieser Aufgabe werden die Lernenden aufgefordert, eine Anzahl in einem Bild zu schät-zen, ohne alle Elemente einzeln abzuzählen. Dazu ist es hilfreich, das Bild in Abschnitte zu teilen und nur die Anzahl der Elemente in einem Abschnitt zu zählen oder zu schätzen. Durch Multiplikation kann so auf die Anzahl an Elementen in allen Bildteilen geschlossen werden.

Größen schätzen – Gewichte, Strecken, Volumen und Winkel (M 5)

Hier arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit einem Foto, einer Landkarte oder anderen realen Gegenständen, deren Gewicht, Länge, Volumen usw. geschätzt werden soll. Dazu werden etwa Strecken oder Körper direkt im Bild eingezeichnet und das eigene Alltagswis-sen zum Vergleichen genutzt. Diese Aufgaben können handlungsorientiert gelöst werden.

Das Unbekannte erforschen – Fermi-Aufgabe (M 7)

Es handelt sich um Aufgaben, bei denen keine Werte oder Bilder zum direkten Abschätzen vorgegeben sind. Die Herausforderung besteht für die Lernenden darin, dass sie weder di-rekte Erfahrungswerte aus einem ähnlichen Problem haben noch die nötigen Daten zur Ver-fügung stehen, mit denen sie direkt eine Berechnung anstellen können. Andererseits kennen sie die Zusammenhänge im Umfeld des Problems und nutzen diese zur Lösung der Aufgabe.

Das sollten Ihre Schüler bereits können

Grundsätzlich lässt sich keine allgemeine rechnerische Vorgehensweise bei der Bearbeitung offener Aufgabenstellungen festlegen, da Vermutungen und Rechenwege stark vom Vorwis-sen der Lerngruppe abhängig sind. Generell i nden die folgenden mathematischen Inhalte Anwendung: Grundrechenarten, Dreisatz, Strahlensätze, Winkelberechnungen, Volumenbe-rechnungen und ein angemessener Umgang mit Längen, Strecken, Gewichten sowie Dichten.

So funktioniert die Übungseinheit

Die gesamte Übungseinheit ist im Karteikartenformat angelegt und in drei Niveaus differen-ziert. Dabei werden pro Aufgabe andere mathematische Inhalte vermittelt. Ab dem êê-Niveau bereiten sie auch auf den Mittleren Schulabschluss vor.

Die Schülerinnen und Schüler können die Aufgaben in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit mit anschließender Diskussion im Plenum bearbeiten. Als sogenannte Aufgabe der Woche wird

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Zahlen und Größen • Beitrag 41 Offene Aufgaben im Mathematikunterricht 3 von 28I

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eine bestimmte Aufgabe von der Lehrkraft am Montag ausgeteilt oder im Klassenzimmer plat-ziert. Am Freitag werden die einzelnen Lösungsvorschläge im Plenum vorgestellt und disku-tiert. Die Karteikarten eignen sich ebenso für den Einsatz im Rahmen einer Wochenplanarbeit, während der Freiarbeitszeit oder in Vertretungsstunden.

In Material M 1 schreiben die Lernenden eine Anleitung für offene Aufgaben und bearbeiten anschließend eine offene Aufgabe. Mit dieser testen, korrigieren und verinnerlichen sie ihre Anleitung. Die allgemeinen Tippkarten M 2 geben Ratschläge zum Lösen der offenen Aufga-ben. Die Arbeitsaufträge in M 3 mit den Tippkarten M 4 fordern von den Lernenden eine ganz andere Strategie: Sie müssen herausinden, dass sie große Mengen mithilfe eines Rasters relativ schnell und genau abschätzen können. In Material M 5 mit den Tippkarten M 6 schätzen die Jugendlichen gezielt auf der Grundlage ihres individuellen Alltagswissens Längen, Winkel und Strecken aus Bildern ab. In M 7 mit M 8 werden zwei Fermi-Aufgaben ohne Bildbezug gelöst.

Mit dem Zusatzmaterial M 10 auf CD 26 lernen Ihre Schülerinnen und Schüler, verschiedene Strategien zum Lösen offener Aufgabenstellungen anzuwenden.

Diese Kompetenzen trainieren Ihre Schüler

Ein Schwerpunkt liegt auf dem Lösen mathematischer Probleme (K2) und dem mathemati-schen Modellieren (K3), denn die Lernenden wählen geeignete Hilfsmittel, Strategien und Mo-delle, um die Aufgaben zu lösen. Dabei argumentieren sie mathematisch (K1): Strategien und Lösungswege werden in der Gruppe diskutiert, beschrieben und letztlich begründet.

Auf einen Blick

Stunde 1 Die Herangehensweise an offene Aufgaben wiederholen

M 1 (Ab) So geht’s! – Mit offenen Aufgaben umgehen

Stunde 3–6 Offene Aufgaben – ein Karteikasten für Freiarbeit und Vertretungsstunden

M 2 (Tx) Allgemeine Tippkarten zu offenen Aufgaben

M 3 (Ab) Offene Aufgaben: Anzahlen schätzen (ê– êêê)

M 4 (Tx) Tipps zu: Anzahlen schätzen

M 5 (Ab) Offene Aufgaben: Größen schätzen (ê– êêê)

M 6 (Tx) Tipps zu: Größen schätzen

M 7 (Ab) Offene Aufgaben: Die Fermi-Aufgabe (ê(ê) und êê(ê))

M 8 (Tx) Tipps zu: Fermi-Aufgaben

M 9 (Bv) Bastelvorlage für den Tipp-Schieber

Legende der Abkürzungen

Ab: Arbeitsblatt; Bv: Bastelvorlage; Tx: Text

M 10, M 11 Vermischte offene Aufgaben, Hinweise, Tippkarten und Beispiellösung

Minimalplan

Sie haben für eine ausführliche Behandlung des Themas keine Zeit? Dann nutzen Sie zur Einführung oder Wiederholung offener Aufgaben M 1 und M 2. Oder verwenden Sie die Materialien mit den Tippkarten einzeln, um immer wieder offene Aufgabenstellungen im Unterricht zu bearbeiten. Durch die verschiedenen Themengebiete können die Materialien lexibel in Ihren Unterricht einließen und auch als einfaches Arbeitsblatt ausgeteilt werden.

Die Lösungen zu den Materialien inden Sie ab Seite 21.

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Offene Aufgaben im Mathematikunterricht Zahlen und Größen • Beitrag 41 I4 von 28

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Tipp

Tipp

M 1 So geht’s! – Mit offenen Aufgaben umgehen

Für manche Aufgaben gibt es keine Formel, die du im Mathematikbuch nachschlagen kannst. Aufgaben, bei denen keine Werte vorgegeben und unterschiedliche Lösungswege möglich sind, nennt man offene Aufgaben.

Aufgabe 1

Überlegt euch eine Anleitung für offene Aufgaben. Beachtet den Text oben im Kasten. Teilt eure Anleitung in fünf Schritte ein und beschreibt kurz, was ihr in jedem Schritt zu tun habt.

Aufgabe 2

Löst die Beispiel-Aufgabe in der Sprechblase mithilfe eurer Anleitung für offene Aufgaben. Falls ihr etwas in der Anleitung vergessen habt, korrigiert sie.

So könnten die Schlagwörter zu eurer Anleitung lauten. Schreibt zu jedem Schritt, was damit gemeint ist.

- Aufgabe 1

Anleitung für offene Aufgaben

1. Schritt: Frage

2. Schritt: Ergebnis schätzen

3. Schritt: Zusätzliches Wissen

4. Schritt: Rechnung

5. Schritt: Antwort

Zum 3. Schritt: - Aufgabe 2

Wie groß ist euer Klassenraum? Messt den Raum aus oder schätzt ihn ab!

Wie groß ist ein Basketball?

Messt die Länge und Breite des Basketballs, indem ihr ihn zwischen zwei Bü-cher klemmt. So könnt ihr die quadratische Bodenl äche messen, die ein Ball einnimmt.

Zum 4. Schritt:

Wie oft passt der Ball in den Raum?

Nähert den Ball mit einem Quadrat an. Wie oft passt das Quadrat auf den Boden des Klas-senzimmers?

Mein Beispiel:

Stell dir vor, du willst den ganzen Boden des Klassen-zimmers mit Basketbällen auslegen.

Wie viele Bälle brauchst du?

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Offene Aufgaben im Mathematikunterricht Zahlen und Größen • Beitrag 41 I8 von 28

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M 3 Offene Aufgaben: Anzahlen schätzen ê

Hier siehst du die Sankt Paulus Bucht in Lindos. Dies ist eine Stadt auf der griechischen Insel Rhodos.

Ab in den Urlaub! ê

Kim und Simon stehen auf der Anhöhe vor ihrem Hotel. Von dort sehen sie die Paulus Bucht von Rhodos ganz im Norden der Insel.

Kim: Meinst du, wir bekommen noch einen gemütlichen Platz am Strand?

Simon: Also ich würde schon gern auf einer Liege liegen!

Kim: Da inden wir sicher noch eine! Das sind doch über 500 Liegen hier!

Aufgabe 1: Wie viele Liegen befinden sich unter den Schirmen am Strand?

Aufgabe 2: Stimmt Kims Aussage?

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Ein gemeinsamer Urlaub auf Rhodos in Griechenland

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Zahlen und Größen • Beitrag 41 Offene Aufgaben im Mathematikunterricht 9 von 28I

26 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2015

Offene Aufgaben: Anzahlen schätzen êê

In diesem Stadion, dem Maracanã Stadion in Brasilien, hat Deutschland 2014 die Weltmeis-terschaft gegen Argentinien gewonnen. Dazu wurde die Arena umgebaut und für Zuschau-er überdacht.

Eine Weltmeisterschaft erleben êê

Paul konnte live beim Finale der Fußball-WM dabei sein. Nach dem eigenen Fußballtraining unterhält er sich mit Chuan, seinem besten Kumpel.

Aufgabe: Beantworte Chuans Frage!

Stimmt Pauls Aussage?

Paul: Das war einfach gigantisch! Die ganzen Leute haben gegrölt und mitgeiebert!

Chuan: Wie viele Menschen waren denn im Stadion?

Paul: Ich hab nicht alle gezählt, aber es waren bestimmt 150 000. Schau doch mal, wie voll es ist!

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Einmal bei der WM dabei sein. Ein

Traum wird wahr!

In der Verlängerung schoss Mario Götze (links) das

Siegtor zum 1:0 gegen Argentinien.

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Zahlen und Größen • Beitrag 41 Offene Aufgaben im Mathematikunterricht 15 von 28I

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Tipp

Tipp

Tipp

M 6Tipps zu: Größen schätzen

Der goldene Buddha Eine Reise durch Mittelerde

Dies ist eine Aufgabe zum Schätzen von Grö-

ßen. Lies dir die Tippkarte dazu durch!

Dies ist eine Aufgabe zum Schätzen von Grö-

ßen. Lies dir die Tippkarte dazu durch!

Als Vergleichsgröße bietet sich ein

Baum oder eine Palme an.

Aufgabe 1: Nähere den Weg mit geraden Li-

nien an. Achte auf den Maßstab!

Annahme: Eine mittelgroße Palme ist etwa

15 m hoch.

Aufgabe 2: Du benötigst eine Fähre, um das

Wasser zu überqueren.

Dies ist ein Beispiel für Hilfslinien:

Miss die Strecken und stelle eine Verhältnis-

gleichung auf:

Baum Original : Baum gemessen = ???

Annahme 1: Die Fähre führt von Wellington

nach Picton.

Annahme 2: Mit deinem Fahrrad fährst du

im Schnitt 15 km/h.

Teile den Tag ein!

Zum Beispiel fährst du immer 4 h am Stück

und legst danach eine Pause ein.

Die Tempelruine Chichén Itzá

Dies ist eine Aufgabe zum Schätzen von Grö-

ßen. Lies dir die Tippkarte dazu durch!

Annahme: Ein Baum ist etwa 10 m hoch.

Zeichne direkt in das Foto und fer-

tige dir eine Extraskizze zur Pyra-

mide an.

Welche Kanten darfst du im Foto messen?

Dies ist ein Beispiel für eine Hilfs-

skizze:

A, B und C sind

die Eckpunkte

der Seitenläche

der Pyramide

auf dem Foto.

Nutze die Winkelsätze für den Winkel  α.

Nutze den Satz des Pythagoras für die Stre-

cken.

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