Der Der FunktionsbegriffFunktionsbegriff

Wie sich dem Begriff der Wie sich dem Begriff der Funktion im Funktion im

Mathematikunterricht Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll nähern ?didaktisch sinnvoll nähern ?

Der FunktionsbegriffDer Funktionsbegriff Kurze EinleitungKurze Einleitung Die Veranschaulichung von Funktionen und Die Veranschaulichung von Funktionen und

Abbildungen nach Hans FreudenthalAbbildungen nach Hans Freudenthal Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus

StellmacherStellmacher Der Funktionsbegriff nach Arnold KirschDer Funktionsbegriff nach Arnold Kirsch

Im TaschenrechnerIm Taschenrechner DefinitionDefinition DarstellungsweisenDarstellungsweisen EigenschaftenEigenschaften

Vier Funktionen ?Vier Funktionen ?

f: f: mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x f: f: ++ mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x f: f: [-1,1] [-1,1] mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x f: f: ++ [-1,1] [-1,1] mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x

Hans Freudenthal Hans Freudenthal (1905 bis (1905 bis 1990)1990)

gefunden: http://www.fi.uu.nl/hf100/images/hansfreudenthal.jpg, am 10.11.2006

Beispiele für FunktionenBeispiele für Funktionen Preis als Funktion der Quantität einer WarePreis als Funktion der Quantität einer Ware Rabatt als Funktion des RechnungsbetragsRabatt als Funktion des Rechnungsbetrags Zinsen als Funktion der ZeitZinsen als Funktion der Zeit Zurückgelegter Weg als Funktion der ZeitZurückgelegter Weg als Funktion der Zeit Gewicht eines Stoffes als Funktion des Gewicht eines Stoffes als Funktion des

VolumensVolumens Lebensalter als Funktion der JahreszahlLebensalter als Funktion der Jahreszahl Temperatur als Funktion der ZeitTemperatur als Funktion der Zeit Beispiele theoretischer oder empirischer Beispiele theoretischer oder empirischer

Funktionen, nahe der erlebten RealitätFunktionen, nahe der erlebten Realität

Beispiele für FunktionenBeispiele für Funktionen

Volumen als Funktion der Volumen als Funktion der KantenlängeKantenlänge

auch: Sinus, Kosinus, Logarithmusauch: Sinus, Kosinus, Logarithmus Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit

in einem zylindrischen Glas steigt als in einem zylindrischen Glas steigt als Funktion der Flüssigkeitsmenge Funktion der Flüssigkeitsmenge

( ( Stellmacher: Graphenmethode am Stellmacher: Graphenmethode am Beispiel )Beispiel )

Die graphische Die graphische DarstellungDarstellung

Ein Beispiel: Die Ein Beispiel: Die VierergruppeVierergruppe

Abstrakt: Gruppe mit GruppentafelAbstrakt: Gruppe mit Gruppentafel

Konkreter: Permutationsgruppe von vier Konkreter: Permutationsgruppe von vier Symbolen: {1,2,3,4}Symbolen: {1,2,3,4}

e1=1e1=1 e2=2e2=2 e3=3e3=3 e4=4e4=4a1=2 a1=2 a2=1a2=1 a3=4a3=4 a4=5a4=5b1=3b1=3 b2=4b2=4 b3=1b3=1 b4=2b4=2c1=4c1=4 c2=3c2=3 c3=2c3=2 c4=1c4=1

ee aa bb cc

ee ee aa bb cc

aa aa ee cc bb

bb bb cc ee aa

cc cc bb aa ee

Die VierergruppeDie Vierergruppe

a: Die Schüler in A und B a: Die Schüler in A und B tauschen ihre Plätze, ebenso tauschen ihre Plätze, ebenso die in C und Ddie in C und D

b: Die Schüler in A und C b: Die Schüler in A und C tauschen ihre Plätze, ebenso tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und Ddie in B und D

c: Die Schüler in A und D c: Die Schüler in A und D tauschen ihre Plätze, ebenso tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und Cdie in B und C

BA

C D

Die VierergruppeDie Vierergruppe

a: Arthur gg. Bettina unda: Arthur gg. Bettina und

Charlotte gg. DavidCharlotte gg. David

b: Arthur gg. Charlotte undb: Arthur gg. Charlotte und

Bettina gg. DavidBettina gg. David

c: Arthur gg. David undc: Arthur gg. David und

Bettina gg. CharlotteBettina gg. Charlotte

BA

C D

Die VierergruppeDie VierergruppeDie VierergruppeDie Vierergruppe

Einerseits:Einerseits:

a: Formvertauschunga: Formvertauschung

b: Farbvertauschungb: Farbvertauschung

c: Form- und Farbvertauschungc: Form- und Farbvertauschung

Andererseits:Andererseits:

a: tausche oben und untena: tausche oben und unten

b: tausche links und rechtsb: tausche links und rechts

c: tausche sowohl oben und c: tausche sowohl oben und unten als auch links und unten als auch links und rechtsrechts

Was ist passiert ?Was ist passiert ?

VersetzungsregelVersetzungsregeloderoder

Verwandlungsregel Verwandlungsregel ? ?

Fehler in der Durchführung Fehler in der Durchführung an einem Beispielan einem Beispiel

i: Identitäti: Identität

a: Bettina gg. Charlottea: Bettina gg. Charlotte

b: Arthur gg. Charlotteb: Arthur gg. Charlotte

c: Arthur gg. Bettinac: Arthur gg. Bettina

r: Jeder gehe eins nach r: Jeder gehe eins nach rechtsrechts

l: Jeder gehe eins nach l: Jeder gehe eins nach linkslinks

A B

C

Fehler in der Durchführung Fehler in der Durchführung an einem Beispielan einem Beispiel

Prüfe Assoziativität:Prüfe Assoziativität:

b ( r a ) = lb ( r a ) = l

aberaber

( b r ) a = i( b r ) a = i

A B

C

Fehler in der Durchführung Fehler in der Durchführung an einem Beispielan einem Beispiel

i: Identitäti: Identität

a: Bettina gg. Charlottea: Bettina gg. Charlotte

b: Arthur gg. Charlotteb: Arthur gg. Charlotte

c: Arthur gg. Bettinac: Arthur gg. Bettina

r: Jeder gehe eins nach r: Jeder gehe eins nach rechtsrechts

l: Jeder gehe eins nach l: Jeder gehe eins nach linkslinks

A B

C

Zur UnterscheidungZur Unterscheidung

VersetzungenVersetzungen::

In einer Menge vonIn einer Menge von PlätzenPlätzen gibt die Regel f gibt die Regel f an, dass an, dass das Objekt in das Objekt in xx nach nach fxfx versetzt versetzt wird.wird.

Für f ist sind die Objekte Für f ist sind die Objekte auf den Plätzen auf den Plätzen unwesentlich. Was mit x unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt geschieht, hängt nicht nicht von seiner Art, nur von seiner Art, nur vom Platzvom Platz ab. ab.

((WoWo bin ich ?) bin ich ?)

VerwandlungenVerwandlungen::

In einer Menge vonIn einer Menge von ObjektenObjekten gibt die Regel gibt die Regel f an, dass f an, dass das Objekt das Objekt xx in in fxfx verwandelt verwandelt wird. wird.

Für f ist sind die Plätze Für f ist sind die Plätze der Objekte der Objekte unwesentlich. Was mit x unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt geschieht, hängt nicht nicht von seinem Platz, nur von seinem Platz, nur von seiner Artvon seiner Art ab. ab.

((Wer Wer oderoder was was bin ich ?) bin ich ?)

Die Herausbildung des Die Herausbildung des FunktionsbegriffesFunktionsbegriffes

natürlicherAbbildungsbegriff

Lehrer

Grundvorstellungenvon

Funktionen & AbbildungenDefinition von„Funktionen“

bilden heraus

beeinflusst und verändert

formalisiert & form

uliert

wirkt a

uf & nutzt fü

hrt zu

„verstehen“

Der beabsichtigte BogenDer beabsichtigte Bogen Die Grundvorstellungen der Schüler nutzenDie Grundvorstellungen der Schüler nutzen

ein natürlicher Abbildungsbegriffein natürlicher Abbildungsbegriff Maschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, RechenschieberMaschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, Rechenschieber graphische Darstellunggraphische Darstellung

einfach und anschaulich: Translationen in der Ebeneeinfach und anschaulich: Translationen in der Ebene schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem

anschaulichen Bild anschaulichen Bild ein Beispiel aus dem Unterricht: ein Beispiel aus dem Unterricht: das Spiel mit der Vierergruppedas Spiel mit der Vierergruppe Analyse und Bewertung Analyse und Bewertung Gegenüberstellung erarbeiten Gegenüberstellung erarbeiten

Funktionsdefinition / FunktionsdarbietungFunktionsdefinition / Funktionsdarbietung Definition als „Prozess des Definierens“, psychologische Definition als „Prozess des Definierens“, psychologische

Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ?geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ?

Zwei Wege zum Funktionsbegriff: „ein Gesetz, das …“ und Zwei Wege zum Funktionsbegriff: „ein Gesetz, das …“ und „eine Teilmenge von …“„eine Teilmenge von …“

Wie den Funktionsbegriff Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ?didaktisch bringen ?

Entlang des WegesEntlang des Weges der Verbalisierung der Verbalisierung („ein Gesetz, das ...“) („ein Gesetz, das ...“) intensionale Definitionintensionale Definition

Entlang des WegesEntlang des Weges der der Formalisierung („eine Teilmenge Formalisierung („eine Teilmenge von ...“) von ...“) extensionale Definitionextensionale Definition

Wie den Funktionsbegriff Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ?didaktisch bringen ?

Punkt 1:Punkt 1: Einfachheit und Anschaulichkeit Einfachheit und Anschaulichkeit der Struktur. Kann durch „Teilmenge“ der Struktur. Kann durch „Teilmenge“ und „Relation nur verdunkelt werden.und „Relation nur verdunkelt werden.

Punkt 2:Punkt 2: Zusammensetzen, Zusammensetzen, Hintereinanderausführen von Hintereinanderausführen von FunktionenFunktionen

Punkt 3:Punkt 3: Praktischer Nutzen des Praktischer Nutzen des Relationsbegriffes im Relationsbegriffes im MathematikunterrichtMathematikunterricht

Der Der Funktionsbegriff Funktionsbegriff

im Unterrichtim UnterrichtDer Funktionsbegriff und Der Funktionsbegriff und

seine Darstellungenseine Darstellungen

Einleitung mal etwas Einleitung mal etwas andersanders

Welche Vorstellung verbindet ihr mit Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Wort Kuchen?dem Wort Kuchen?

Welche Vorstellung verbindet ihr mit Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Begriff Auto?dem Begriff Auto?

Jeder hat zu einem gewissen Begriff Jeder hat zu einem gewissen Begriff seine individuelle Vorstellungseine individuelle Vorstellung

Einleitung mal etwas Einleitung mal etwas andersanders

Was verbindet ihr mit dem Begriff Was verbindet ihr mit dem Begriff Funktion?Funktion?

Wie wurde der Begriff Funktion in der Wie wurde der Begriff Funktion in der Schulzeit eingeführt?Schulzeit eingeführt?

Die Grundvorstellungen der Schüler Die Grundvorstellungen der Schüler werden durch die Art und Weise der werden durch die Art und Weise der Darstellung im Unterricht entscheidend Darstellung im Unterricht entscheidend mitgeprägt. mitgeprägt.

Eine Form der DefinitionEine Form der Definition

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B.Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B.

Ist in einer bestimmten Weise jedem Element ausIst in einer bestimmten Weise jedem Element aus

A genau ein (wohlbestimmtes) Element y aus BA genau ein (wohlbestimmtes) Element y aus B

zugeordnet, so nennt man diese Zuordnungzugeordnet, so nennt man diese Zuordnung

Funktion f mit Definitionsmenge Funktion f mit Definitionsmenge

(Definitionsbereich) A und Zielmenge B oder auch(Definitionsbereich) A und Zielmenge B oder auch

Abbildung f von der Menge A in die Menge B.Abbildung f von der Menge A in die Menge B.

nach A. Kirschnach A. Kirsch

Darstellungsweisen für Darstellungsweisen für FunktionenFunktionen

Verbale BeschreibungVerbale Beschreibung von von Definitionsbereich und ZuordnungDefinitionsbereich und Zuordnung

Beschreibung mittels Beschreibung mittels RechenausdrückenRechenausdrücken

Darstellung mittels Darstellung mittels PfeildiagrammPfeildiagramm Darstellung mittels Darstellung mittels WertetafelWertetafel Darstellung einer Funktion f : A Darstellung einer Funktion f : A

B alsB als Paarmenge Paarmenge

Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge

und Nachteileund Nachteile1.1. Das PfeildiagrammDas Pfeildiagramm

VorteileVorteile- Definition lässt sich leicht daran - Definition lässt sich leicht daran

erläutern und nachvollziehenerläutern und nachvollziehen - Zielmenge ist nicht gleich - Zielmenge ist nicht gleich Wertebereich leicht darstellbarWertebereich leicht darstellbar

NachteileNachteile - A und B müssen nicht disjunkt - A und B müssen nicht disjunkt

seinsein - Unendliche Mengen lassen sich- Unendliche Mengen lassen sich nur andeutungsweise darstellennur andeutungsweise darstellenzurückzurück

Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge

und Nachteileund Nachteile 2. Die Wertetabelle2. Die Wertetabelle

VorteileVorteile- Die Zuordnung lässt sich leicht - Die Zuordnung lässt sich leicht

erkennenerkennen- Definition lässt sich daran gut - Definition lässt sich daran gut zeigenzeigen

NachteileNachteile- unendlicher Definitionsbereich - unendlicher Definitionsbereich lässt lässt sich nur andeutungsweise sich nur andeutungsweise darstellendarstellen

zurückzurück

Schüler XSchüler X Gewicht von x Gewicht von x in Kgin Kg

MaxMax 3939

AndreaAndrea 3535

MartinMartin 4646

ChristianChristian 3939

BirteBirte 3030

UteUte 3434

Nana Nana 3636

PhilippPhilipp 3838

MoritzMoritz 4040

Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge

und Nachteileund Nachteile 3. Der Graph3. Der Graph

VorteileVorteile- Definition ist leicht überprüfbar- Definition ist leicht überprüfbar- sehr anschaulich und - sehr anschaulich und übersichtlichübersichtlich- Zusammenhänge sind gut - Zusammenhänge sind gut sichtbarsichtbar

NachteileNachteile- kann beim Schüler implizieren, - kann beim Schüler implizieren, dass dass

Funktionen immer so aussehenFunktionen immer so aussehen- Schüler wird auf Funktionen - Schüler wird auf Funktionen festgelegtfestgelegt

zurückzurück

Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge

und Nachteileund Nachteile 4. Mittels 4. Mittels

RechenausdruckRechenausdruck

VorteilVorteil

- Notwendigkeit für praktische Arbeit, z.B. - Notwendigkeit für praktische Arbeit, z.B. AbleitungenAbleitungen

NachteileNachteile

- nicht jede Funktion darstellbar- nicht jede Funktion darstellbar

Bsp.:Bsp.:f : mit

f(n) := die kleinste Primzahl p, p≥ n ist.

Bsp.Bsp.

f(x)=x²+x+1f(x)=x²+x+1 f(t)=√t +1 t≥0f(t)=√t +1 t≥0

Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge

und Nachteileund Nachteile 5. Verbale 5. Verbale

Beschreibung Beschreibung

- - macht sich gut zur Hinführung macht sich gut zur Hinführung zum zum

FunktionsbegriffFunktionsbegriff

- Mengen die man betrachtet - Mengen die man betrachtet müssenmüssen

keine Zahlmengen seinkeine Zahlmengen sein

- der Unterschied zwischen - der Unterschied zwischen einzelnen einzelnen

Funktionen wird hier sehr Funktionen wird hier sehr deutlichdeutlich

(Definitionsbereich, (Definitionsbereich, Wertebereich)Wertebereich)

Bsp:Bsp: Jedem Menschen

aus der Menge der Menschen wird seine Mutter zugeordnet.

Jedem Menschen wird sein Elternpaar zugeordnet

Mögliche Schreibweisen für Mögliche Schreibweisen für FunktionenFunktionen

1. f(x) = x² - 3x + 2

2. x x² - 3x + 2

3. (x) (x² - 3x + 2) nach Church

4. (x² - 3x + 2) nach Russel

5. |(x² - 3x + 2) nach Freudenthal

x

| 3 x 4

Eigenschaft Eigenschaft InjektivitätInjektivität

1. Rechenausdruck:1. Rechenausdruck: Jede Gleichung f(x)=y hat bei gegebenen y höchstens eine

Lösung.

2. 2. Pfeildiagramm:Pfeildiagramm: Niemals kommen zwei Pfeile an einem Punkt in B an

3. 3. GraphGraph wenn zwei Paare (Punkte) im zweiten Glied übereinstimmen,

so auch im ersten

4. 4. WertetabelleWertetabelle In der rechten Spalte kommen keine Werte doppelt vor außer

wenn in A doppelte Wertepaare auftreten

Eigenschaft Eigenschaft SurjektivitätSurjektivität

1. Rechenausdruck1. Rechenausdruck Für jedes y aus B hat die Gleichung f(x)=y mindestens eine

Lösung

2. Pfeildiagramm2. Pfeildiagramm In jedem Punkt von B kommt mindestens ein Pfeil an

3. Graph3. Graph Zu jedem y aus B gibt es mindestens ein Paar (Punkt)

dessen zweites Glied es ist.

4. Wertetabelle4. Wertetabelle Jedes Element aus B kommt in der Spalte der

Funktionswerte vor.

EigenschaftEigenschaft MonotonieMonotonie

1.1. GraphGraph

2. Pfeildiagramm2. Pfeildiagramm

Bsp: f(x)Bsp: f(x)[x] siehe [x] siehe TafelTafel

Verwendete QuellenVerwendete Quellen

Arnold KirschArnold Kirsch (1994): „Mathematik richtig (1994): „Mathematik richtig verstehen“, Kapitel 8, Aulis Verlagverstehen“, Kapitel 8, Aulis Verlag

Hans FreudenthalHans Freudenthal (1979): „Mathematik als (1979): „Mathematik als pädagogische Aufgabe“, Kapitel 15, Klett pädagogische Aufgabe“, Kapitel 15, Klett VerlagVerlag

Gerd von Harten u.aGerd von Harten u.a. (1986): . (1986): „Funktionsbegriff und funktionales Denken“, „Funktionsbegriff und funktionales Denken“, Kapitel 2 f, Aulis VerlagKapitel 2 f, Aulis Verlag

Werner Küstenmacher u.aWerner Küstenmacher u.a. (2003): „Mathe . (2003): „Mathe Macchiato“, Pearson StudiumMacchiato“, Pearson Studium