Parametrisierte Kurven

CAS-Maple-Tagung Karlsruher Institut für Technologie (KIT) 23. Februar 2016

OStR Dr. Martin Renner 〈renner@mgg.karlsruhe.de〉 Markgrafen-Gymnasium, Gymnasiumstr. 1–3, 76227 Karlsruhe

Inhalt

¤  Grundlagen ¤  Ebene Koordinatensysteme

¤  Funktionen und ihre Darstellung

¤  Beispiel: Rollkurven ¤  Motivation: Der Spirograph

¤  Zykloide und Trochoiden

¤  Epizykloiden und Hypozykloiden

¤  Epitrochoiden und Hypotrochoiden

¤  Ausblick

¤  Quellen

Grundlagen

¤  Ebene Koordinatensysteme ¤  Die Lage jedes Punktes P einer Ebene kann mithilfe

beliebiger Koordinatensysteme beschrieben werden. Meistens werden verwendet:

¤  Kartesische Koordinaten P (x|y) mit Abszisse x, Ordinate y, Usprung (lat. origo) O (0|0)

René Descartes, lat. Renatus Cartesius (1596–1650) Anhang La géometrie zum Discours de la méthode, 1637

Grundlagen

¤  Ebene Koordinatensysteme ¤  Polarkoordinaten P (r⋅cos(ϕ)|r⋅sin(ϕ) )

mit Radius r, Polarwinkel (Azimut) ϕ, Pol O (0|0)

Grégoire de Saint-Vincent (1584–1667), Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647

Bonaventura Cavalieri (1598–1647), Geometria indivisibilibus,1635, 21653

Grundlagen

¤  Ebene Koordinatensysteme ¤  Kartesische Koordinaten:

P (x|y) = P (r⋅cos(ϕ)|r⋅sin(ϕ) )

¤  Polarkoordinaten: P (r, ϕ) mit r ≥ 0

r = x2 +y2

tan(ϕ)=yx⇔ϕ =

arctan(y x) für x > 0

arctan(y x)+2π für x < 0,y ≥ 0

arctan(y x)+ π für x < 0,y < 0

π 2 für x = 0,y > 0

3π 2 für x = 0,y < 0

#

$

%%%

&

%%%

Grundlagen

¤  Funktionen und ihre Darstellung ¤  Funktionen kann man auf unterschiedliche Weise angeben,

z. B. durch

¤  eine Wertetafel

¤  eine graphische Darstellung oder Kurve im Koordinatensystem

¤  einen analytischen Ausdruck (Formel) oder abschnittsweise durch verschiedene Formeln

Grundlagen

¤  Funktionen und ihre Darstellung ¤  Eine reelle Funktion und ihre zugehörige ebene Kurve kann

analytisch auf eine der folgenden Arten definiert werden.

¤  In kartesischen Koordinaten:

¤  Explizite Darstellung y = f(x)

Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises

mit –1 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0 y = 1– x2

Grundlagen

¤  Funktionen und ihre Darstellung ¤  In kartesischen Koordinaten:

¤  Implizite Darstellung f(x,y) = 0

Funktion, falls sich die Gleichung eindeutig nach y auflösen lässt

Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises x2 + y2 – 1 = 0 mit –1 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0

Grundlagen

¤  Funktionen und ihre Darstellung ¤  In kartesischen Koordinaten:

¤  Parameterdarstellung Die Werte von x und y werden als Funktion einer Hilfsvariablen t (Parameter) angegeben.

Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises x(t) = cos(t) und y(t) = sin(t) mit 0 ≤ t ≤ π

f :!x =

x(t)

y(t)

!

"##

$

%&&

Grundlagen

¤  Funktionen und ihre Darstellung ¤  In Polarkoordinaten r = f(ϕ)

Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises r(ϕ) = 1 mit 0 ≤ ϕ ≤ π

Beispiel: Rollkurven

¤  Motivation: Der Spirograph

Beispiel: Rollkurven

¤  Motivation: Der Spirograph ¤  Der Spirograph (griech. σπείρα = Spirale) ist ein geometri-

sches Spielzeug, mit dem man verschiedene Muster er-zeugen kann. Er besteht aus mehreren, meist runden Zahn-rädern, in denen sich in verschiedenen Abständen Löcher für die Spitze eines Schreibgeräts befinden, und einer innen-verzahnten Lochschablone, in der eines der Zahnräder an-gelegt wird.

¤  Erfinder: 1965 Denys Fisher (1918–2002)

¤  Vorläufer: 1933 Ernst Barthel (1890–1953) Barthelscher Transformationszirkel 1908 The Marvelous Wondergraph 1885 Bruno Abdank-Abakanowicz (1852–1900) Spirograph

¤  Gewinner des „Toy of the Year Award“ 1967, vergeben von der British Association of Toy Retailers

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Auf welcher Kurve läuft ein Punkt P auf dem Kreisrand, wenn

der Kreis nichtgleitend auf einer Geraden abrollt?

Beispiel: Rollkurven

¤  Definition: Eine Kurve, die von einem Peripheriepunkt des Kreises beschrieben wird, der auf einer Geraden abrollt, ohne zu gleiten, heißt gewöhnliche Zykloide (griech. κύκλος = Kreis, ειδής = ähnlich).

¤  Herleitung: ¤  Rollkurvenpunkt = Mittelpunkt + Kreispunkt

¤  Z :!xr(t)= r ⋅

t1

"

#$

%

&'+r ⋅

–cos(t – π2 )

sin(t – π2 )

"

#

$$

%

&

''= r ⋅ t

1

"

#$

%

&'+r ⋅

–sin(t)–cos(t)

"

#$$

%

&''

Beispiel: Rollkurven

¤  Gleichung (in Parameterform): ¤ 

mit Radius r des Kreises und Wälzwinkel t

¤ 

¤  Schaubild: ¤  Die Kurve ist periodisch mit der Periode 2πr (Basis der Zykloide)

Z :!xr(t)=

xr(t)

yr(t)

!

"

##

$

%

&&=

r ⋅(t – sin(t))

r ⋅(1– cos(t))

!

"##

$

%&&

Beispiel: Rollkurven

¤  Animation:

Beispiel: Rollkurven

¤  Bemerkung: ¤  Durch Spiegelung an der x-Achse entsteht die

Brachistochrone (griech. βράχιστος χρόνος kürzeste Zeit) oder Tauto- bzw. Isochrone (griech. ταὐτό, ἴσο = gleich)

¤  Die Brachistochrone ist eine reibungsfreie Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet.

¤  Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, da man von jedem Punkt der Kurve die gleiche Zeit benötigt, um zum Tiefpunkt zu gelangen.

¤  Johann Bernoulli (1667–1748), Abhandlungen über Variationsrechnung, 1696

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Wie verändert sich die Kurve, wenn der Punkt P nicht auf

dem Kreisrand, sondern innerhalb bzw. außerhalb des Kreises auf einem Radiusstrahl zu liegen kommt?

Beispiel: Rollkurven

¤  Definition: ¤  Verlängerte oder verkürzte Zykloiden, die von einem Punkt

beschrieben werden, der sich außerhalb oder innerhalb eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt, heißen Trochoiden (griech. τροχός = Rad).

¤  Gleichung (in Parameterform): ¤ 

¤  Der Abstand a > 1 bestimmt für die verlängerte bzw. 0 < a < 1 für die verkürzte Zykloide die Punktlage außerhalb bzw. innerhalb des Kreises auf dem Radiusstrahl.

T :!xr,a(t)=

xr,a(t)

yr,a(t)

!

"

##

$

%

&&=

r ⋅(t – a⋅ sin(t))

r ⋅(1– a⋅cos(t))

!

"##

$

%&&

Beispiel: Rollkurven

¤  Schaubild: ¤ 

¤  a = 2

¤  a = 1/2

Beispiel: Rollkurven

¤  Animation:

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Wie verändern sich die Kurven, wenn der Kreis, anstatt auf

einer Geraden, auf einem Kreis abrollt?

Beispiel: Rollkurven

¤  Definition: ¤  Eine Kurve, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises

beschrieben wird, wenn dieser ohne zu gleiten auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt, heißt Epizykloide (griech. ἐπί = auf), für R < r zur Unterscheidung auch Perizykloide (griech. περί = um … herum).

¤  Gleichung (in Parameterform): ¤ 

mit Radius R des feststehenden Kreises und Radius r des rollenden Kreises

EZ :!xR,r(t)=

xR,r(t)

yR,r(t)

!

"

##

$

%

&&=

(R+r)⋅cos(t)− r ⋅cos((Rr +1)⋅ t)

(R+r)⋅ sin(t)− r ⋅ sin((Rr +1)⋅ t)

!

"

##

$

%

&&

Beispiel: Rollkurven

¤  Schaubild:

Beispiel: Rollkurven

¤  Animation:

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Die Form der Kurve hängt vom Quotienten c = R/r ab.

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c = R/r ganzzahlig besteht die Kurve aus c, den

feststehenden Kreis umgebenden Kurvenzweigen

¤  Für c = 1, also R = r erhält man die Kardioide (griech. καρδίᾱ = Herz) oder Herzkurve

¤  Für c = 2, also R = 2r erhält man die Nephroide (griech. νεφρός = Niere) oder Nierenkurve

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c = R/r gebrochenrational überdecken sich die Zweige

gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück

¤  Für c = R/r irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich und der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück

¤  Bsp.: c = 3/2 bzw. c =

2

Beispiel: Rollkurven

¤  Definition: ¤  Eine Kurve, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises

beschrieben wird , wenn dieser ohne zu gleiten auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt, heißt Hypozykloide (griech. ὑπό = unter).

¤  Gleichung (in Parameterform): ¤ 

mit Radius R des feststehenden Kreises und Radius r des rollenden Kreises

HZ :!xR,r(t)=

xR,r(t)

yR,r(t)

!

"

##

$

%

&&=

(R− r)⋅cos(t)+ r ⋅cos((Rr −1)⋅ t)

(R− r)⋅ sin(t)− r ⋅ sin((Rr −1)⋅ t)

!

"

##

$

%

&&

Beispiel: Rollkurven

¤  Schaubild:

Beispiel: Rollkurven

¤  Animation:

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Die Form der Kurve hängt vom Quotienten c = R/r ab. Es ist

stets c > 1.

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c = R/r ganzzahlig besteht die Kurve aus c, den

feststehenden Kreis einbeschriebenen Kurvenzweigen

¤  Für c = 2, also R = 2r (Cardanische Kreise) entartet die Kurve in den Durchmesser des unbewegten Kreisess (geradlinige Hypozykloide)

Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570

¤  Für c = 3, also R = 3r entsteht die Deltoide (griech. Δ) oder Steiner-Kurve mit drei Zweigen

Jakob Steiner (1796–1863), Über eine besondere Curve dritter Klasse (und vierten Grades), 1856

¤  Für c = 4 entsteht die Astroide (griech. ἄστρον = Stern) oder Sternkurve mit vier Zweigen

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c = R/r gebrochenrational überdecken sich die Zweige

gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück

¤  Für c = R/r irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich und der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück

¤  Bsp.: c = 5/2 bzw. c =

2

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Wie verändert sich die Kurve, wenn der Punkt P nicht auf

dem Kreisrand, sondern innerhalb bzw. außerhalb des Kreises auf einem Radiusstrahl zu liegen kommt?

Beispiel: Rollkurven

¤  Definition: ¤  Verlängerte oder verkürzte Epi- und Hypozykloiden, die von

einem entweder außerhalb oder innerhalb eines Kreises befindlichen Punkt beschrieben werden, der sich auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis an einem anderen Kreis entweder außen oder innen abrollt, ohne dabei zu gleiten, heißen Epitrochoiden oder Hypotrochoiden.

¤  Gleichungen (in Parameterform) ¤ 

¤ 

ET :!xR,r,a(t)=

xR,r,a(t)

yR,r,a(t)

!

"

##

$

%

&&=

(R+r)⋅cos(t)−a⋅ r ⋅cos((Rr +1)⋅ t)

(R+r)⋅ sin(t)−a⋅ r ⋅ sin((Rr +1)⋅ t)

!

"

##

$

%

&&

HT :!xR,r,a(t)=

xR,r,a(t)

yR,r,a(t)

!

"

##

$

%

&&=

(R− r)⋅cos(t)+a⋅ r ⋅cos((Rr −1)⋅ t)

(R− r)⋅ sin(t)−a⋅ r ⋅ sin((Rr −1)⋅ t)

!

"

##

$

%

&&

Beispiel: Rollkurven

¤  Schaubild: ¤  Der Abstand a > 1 bestimmt für die verlängerte bzw. 0 < a < 1

für die verkürzte Epi- bzw. Hypozykloide die Punktlage außerhalb bzw. innerhalb des Kreises auf dem Radiusstrahl

¤ 

¤ 

Beispiel: Rollkurven

¤  Animation:

Beispiel: Rollkurven

¤  Animation:

Beispiel: Rollkurven

¤  Auftrag: ¤  Die Form der Kurve hängt vom Quotienten c = R/r ab.

Für Hypotrochoiden ist stets c > 1.

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Besonderheiten für c = R/r ganzzahlig

¤  Für c = 1, also R = r ergibt die Epitrochoide die Pascalsche Schnecke oder Limaçon (franz. Schnecke) als Konchoide des Kreises.

¤  a = 1/2, a = 1 bzw. a = 2

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Sie ist ein Spezialfall der gewöhnlichen Konchoide (griech. κόγχος = Muschel) oder Muschelkurve, die die Bewegung eines Punktes beschreibt, der von einem festen Punkt (Pol) aus gesehen zu einer gegebenen Kurve konstanten Abstand einhält. Ist die Kurve eine Gerade entsteht die Konchoide des Nikomedes, ist sie ein Kreis entsteht die Pascalsche Schnecke.

Étienne Pascal (1588–1651), 1637 Albrecht Dürer (1471–1528), Spinnenlinie in der Under-weysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, 1525

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c = 2, also R = 2r wird die Hypotrochoide zur Ellipse mit den

Halbachsen (1±a)r

¤  a = 2

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c gebrochenrational überdecken sich die Zweige

gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück.

¤  Epitrochoide Hypotrochoide c = 5/2, a = 3 c = 5/2, a = 1/3

Beispiel: Rollkurven

¤  Form der Kurve: ¤  Für c irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich und

der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück

¤  Epitrochoide Hypotrochoide c = , a = 3 c = , a = 1/3 2 2

Ausblick

¤  Untersuchung weiterer Kurven ¤  Durch Ansetzen der Parameterdarstellung in der Form

x(t) = r(t)⋅cos(t), y(t) = r(t)⋅sin(t) mit t als Winkel und r(t) als Radius in Polarkoordinaten erhält man eine Vielzahl von Kurven

¤  Es gilt dabei die Konvention „negative“ Radien in Gegenrichtung des Strahls mit Winkel t aufzutragen.

Ausblick

¤  Spiralen ¤  Archimedische Spirale ra(t) = a⋅t mit 0 ≤ t < ∞

¤  Hyperbolische Spirale ra(t) = a/t mit 1 < t < ∞

¤  Logarithmische Spirale ra,k(t) = a⋅exp(k⋅t)

Ausblick

¤  Schleifen ¤  Grundform rn(t) = cos(n⋅t)

¤  Verallgemeinerung: Zyklische harmonische Kurven rm,n,k(t) = cos(m/n⋅t) + k

Ausblick

¤  Schmetterlingskurve r(t) = exp(sin(t)) – 2⋅cos(4t) + sin(t/12)5

Ausblick

¤  Cassinische Kurve ¤  Spezialfall: Lemniskate (Achtkurve) ra(t) =

¤  Lissajous-Figuren ¤ 

¤  …

a⋅ 2 ⋅cos(2t)

L :!x(t)=

x(t)

y(t)

!

"##

$

%&&=

a1 ⋅ sin(b1t+c1)

a2 ⋅ sin(b2t+c2)

!

"

##

$

%

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Fragen?

¤  Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Quellen

¤  Il‘ja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. Thun; Frankfurt a. M.: Deutsch, 21995, S. 35-36 (Methoden zur Definition einer reellen Funktion), 83-87 (Kurven vierter Ordnung), 87-90 (Zykloiden), 91-92 (Spiralen), 193-194 (Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren).

¤  Gerhard Merziger; Thomas Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik. Springe: Binomi, 31995, S. 499 (Kurven in der Ebene).

¤  Wikipedia. Die freie Enzyklopädie. 〈http://de.wikipedia.org〉, Artikel: Astroide, Brachistochrone, Epizykloide, Harmonograph, Kardioide, Konchoide, Lissajous-Figur, Nephroide, Pascalsche Schnecke, Spirale, Spirograph (Spielzeug), Tautochrone, Zykloide