1

Versuch: Passive und aktive Analogfilter

EinleitungFilter finden vielfältige Anwendungen in der Nachrichtentechnik, sowie in fast allenanderen signalverarbeitenden Aufgabenfeldern. Ihre Anwendungsgebiete reichen vomeinfachen Tiefpassfilter zur Bandbegrenzung, über selektive Filter zur Kanaltrennung,bis hin zum Verbessern von Signal-Stör-Verhältnissen durch signalangepasste Filter.

Die ersten Filter wurden ausschließlich aus passiven Elementen (Widerstände,Kondensatoren und Spulen) aufgebaut und gehen auf K.W. Wagner und G.A. Camp-bell in Jahr 1915 zurück, sowie auf Arbeiten von Butterworth in den dreißiger Jahren.Weitere wesentliche Beiträge lieferten W. Cauer und A.W. Bode. Diese Pioniere desFilterentwurfs sind heute immer noch namensgebend für die gängigen Analogfilter.

Mit der Entwicklung der Halbleiterelektronik gewinnen die aktiven Filter immergrößere Bedeutung, da sie viele Nachteile der passiven Filter beseitigen. Heutewerden überwiegend aktive Filter eingesetzt. Passive Filter finden jedoch Anwendungin speziellen Bereichen wie der Hochfrequenztechnik (schlechte Hochfrequenzeigen-schaften der aktiven Bauelemente) oder in Sonderanwendungen wie Lautsprecher-weichen. Das Verhalten von Analogfiltern lässt sich im Zeitbereich durch Differen-zialgleichungen und im Frequenzbereich durch gebrochen rationale Funktionenbeschreiben. Auch mittels digitaler Signalverarbeitung lassen sich Filter realisieren.Digitalfilter werden durch Differenzengleichungen beschrieben und beispielsweisemit Signalprozessoren realisiert.

Der erste Teil des Versuchs befasst sich mit Design und Aufbau von passiven Filtern.Aktive Filter werden im zweiten Teil des Versuchs behandelt. Digitalfilter sindGegenstand eines Versuch des nachrichtentechnischen Vertiefungslabors.

Zur Bearbeitung einiger Aufgaben des Versuchs wird das Programm MATLABbenötigt. MATLAB ist eine Abkürzung von „MATrix LABoratory“. Hersteller ist dieFirma MathWorks. Das Programm bietet umfangreiche Funktionen zur Akquisition,Verarbeitung und Darstellung von Daten. Seine große Bedeutung erlangt es vor allemdurch eine integrierte, einfach zu erlernende Programmiersprache und umfangreicheBibliotheken zu vielen technischen Problemstellungen. Im Rahmen des Versuchs sollauch der Umgang mit MATLAB erlernt werden. Ein Tutorial steht unterhttp://nt.eit.uni-kl.de/lehre/nt_lab.html zur Verfügung.

2

1 Passive frequenzselektive Filter

Bei Filterschaltungen unterscheidet man einen Durchlassbereich (DB) und einenSperrbereich (SB). Wechselspannungen und -ströme, deren Frequenzen in den DBdes Filters fallen, sollen durch das Filter möglichst wenig gedämpft werden. Im SBsoll das Filter eine große Dämpfung haben. Je nach Lage des DB lassen sich die Filterin vier Gruppen einteilen. Zur Gruppe der Tiefpassfilter gehören solche, die niedereFrequenzen passieren lassen und höherer Frequenzen sperren. Hochpassfilter zeigenein inverses Verhalten, d.h. hohe Frequenzen können das Filter kaum gedämpftpassieren, niedrige Frequenzen werden dagegen stark gedämpft. Wird ein DB zuhöheren und niedrigeren Frequenzen von einem SB abgelöst, spricht man von einemBandpassfilter. Die letzte Gruppe sind Bandsperren. Sie haben ein inversesVerhalten zum Bandpass und sperren aus dem Gesamtspektrum ein bestimmtesFrequenzband.

Neben der Einteilung der Filter in Tiefpässe, Hochpässe, Bandpässe und Bandsperren,werden die Filter weiterhin nach der Dämpfungscharakterstik unterschieden. Es istnicht möglich, Filter zu realisieren, deren DB sprunghaft in den SB übergeht, wie diesfür den idealen Tiefpass der Fall ist. Die Impulsantwort des idealen Filters wäreunendlich lang. Der Übergang zwischen DB und SB hat daher immer einen kontinu-ierlichen Verlauf. Die realisierbaren Approximationen des idealen Filters sind dieBessel-, Butterworth-, Tschebyscheff- und Cauer-Filter. Die Bilder 1 bis 3 zeigenderen typische Dämpfungs- und Gruppenlaufzeitcharakteristik.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

20

40

60

80

100

0 0.5 1 1.5 2 2.50

20

40

60

80

100

0 0.5 1 1.5 2 2.50

20

40

60

80

100

0 0.5 1 1.5 2 2.50

20

40

60

80

100

DB SB

idealer Tiefpass Butterworth Tiefpass

Tschebyscheff Tiefpass Cauer Tiefpass

Bild 1 Charakteristische Dämpfungsverläufe der Standard-Tiefpassapproximationen über dernormierten Frequenz Ω

3

Bild 2 Betragsfrequenzgang der Bild 3 Gruppenlaufzeit der

Standard- Tiepfassapproximationen Standard- Tiepfassapproximationen

Die Dämpfungsverläufe sind über der normierten Frequenz

DD f

f==Ωωω

( 1.1)

dargestellt. Die Frequenz fD bezeichnet die Grenze zwischen DB und SB.

Das Butterworth- oder auch Potenzfilter besitzt einen Frequenzgang, der über einlängeres Stück horizontal verläuft und dann erst kurz vor der Grenzfrequenz abknickt.Man spricht von einem maximal flachen Frequenzgang.

Das Bessel-Fter besitzt einen ähnlichen Dämpfungsverlauf wie das Butterworth-Flteraber mit deutlich schlechterer Selektivität. Der Vorteil des Bessel-Filters liegt imPhasengang. Die Phasenverschiebung ( )fφ zwischen Eingangs- und Ausgangs-spannung ist im DB eine lineare Funktion der Frequenz, was zu einer konstantenGruppenlaufzeit

( )f

fg d

d

2

1 φπ

τ −= ( 1.2)

führt. Man bezeichnet Bessel-Filter deshalb auch als „maximum flat delay filter“.

Alle anderen Filtertypen weisen eine mehr oder weniger starke Gruppenlaufzeit-verzerrung auf. Allgemein kann man sagen, dass eine bessere Selektivität mit einerstärker verzerrten Gruppenlaufzeit erkauft wird (s. Bild 3).

Mit gleichem Bauteileaufwand lassen sich auch Filter mit ausgeprägterer Selektivitätrealisieren, die sogenannten Tschebyscheff-Filter. Allerdings muss man eine Wellig-keit des Dämpfungsverlaufs im DB akzeptieren. Die Dämpfungen von Tschebyscheff-und Butterworth-Filter verlaufen für Frequenzen gff >> parallel mit einem

konstanten Dämpfungsunterschied, der mit größerem Filtergrad anwächst.

Cauer-Filter erzeugen die steilsten Filterflanken, weshalb sich mit ihnen ein minimalschmales Übergangsband erreichen lässt. Neben der Welligkeit im Durchlassband

4

treten hierbei auch Dämpfungsminima im Sperrbereich auf. Die Anzahl an passivenBauteilen ist etwas größer als bei den anderen Filtertypen. Cauer-Filter werden auchals elliptische Filter bezeichnet.

Wegen des sehr günstigen Übertragungsverhaltens der Tschebyscheff- und Cauer-Filter (geringe Durchlassdämpfung, hohe Sperrdämpfung, steile Flanke) sind diesweit verbreitete Filtertypen für frequenzselektive Filter. Jedoch ist zur Berechnungdieser Filter ein hoher mathematischer Aufwand erforderlich [1]. Man hatte daherdiese Filter frequenz- und widerstandsnormiert in Katalogen zusammengestellt.

Heutige Filterentwurfsprogramme vermeiden die Benutzung eines Filterkatalogs. Diegrundsätzlichen Entwurfsschritte sind jedoch vergleichbar, laufen aber für den Benut-zer oft nicht erkennbar ab. Um einen besseren Einblick in den Entwurfprozess zuerlangen wird in diesem Versuch ein Filterkatalog benutzt [2].

1.1 Analogfilterentwurf mittels Filterkatalog [2]

Die Tabelleneingangsdaten eines Filters sind

1) Art des Filters (Hochpass, Tiefpass, Bandpass, Bandsperre)2) Maximale Durchlassdämpfung aDmax

3) Minimale Sperrdämpfung aSmin

4) Grenzfrequenz fD (Überschreiten von aDmax)

5) Sperrfrequenz fS (Unterschreiten von aSmin)

6) Abschlusswiderstände R1 und R2

Zur Verdeutlichung der Tabelleneingangsdaten sind in Bild 4 Dämpfungen sowieEckfrequenzen in einem Toleranzschema für Tiefpässe dargestellt. Das Toleranz-schema gibt nicht vor, wie die Dämpfungskurve innerhalb der Toleranzschlauchesauszusehen hat. Der eigentlich Verlauf kann wie beim Butterworth-Filter monotonsein oder wie beim Cauer-Filter Minima und Maxima aufweisen.

Bild 4 Toleranzschema Dämpfungsverlauf eines Tiefpass FilterΩS1

0 fSfD

aD

aS

Ωf

5

In Bild 5 ist die Beschaltung eine Filters, mit den Abschlusswiderständen R1 und R2dargestellt.

Bild 5 Filter mit Beschaltung

Die unter Punkt 2) und 3) angegebenen Dämpfungen sind Betriebsdämpfungen aB undwie folgt definiert

1

2

2

0 lgdB102

lgdB20R

R

U

UaB ⋅+⋅= . ( 1.3)

Die Spannungsquelle U0 in Bild 5 mit dem Innenwiderstand R1 kann dann die maxi-male Leistung an den Vierpol abgeben, wenn Anpassung vorliegt, d.h. wenn die Ein-gangsimpedanz ZE der Filterschaltung die Größe von R1 hat. Ist dies nicht der Fall, sovergrößert sich die Betriebsdämpfung aB dieses Filters.

Tschebyscheff- und Cauer-Filter ändern im DB ihre Eingangsimpedanz frequenz-abhängig derart, dass Welligkeiten der Durchlassdämpfung auftreten. Man definiertden Reflexionsfaktor zu

( ) ( )( ) 1

1’RfZ

RfZfp

E

E

+−= . ( 1.4)

Sein maximaler Betrag |p| in [%] ergibt sich zu

( )( ) 1

1 %100max

RfZ

RfZp

E

E

ff D +⋅−

=<

. ( 1.5)

Im Filterkatalog sind die Filter mit einer vierstelligen Zahl und zwei weiteren Buch-staben bezeichnet, z.B. C0625b. Die letzten beiden Ziffern der Filterbezeichnunggeben den Reflexionsfaktor in % an. Aus dem Reflexionsfaktor ist unmittelbar dieDurchgangsdämpfung in Dezibel ableitbar:

dB1lg202

paD −−= . ( 1.6)

Uo

R1

U2Filter R2

6

Die ersten beiden Ziffern der Filterbezeichnung im Filterkatalog geben den Grad ndes Filters an. Der Grad n ist ein Maß für den Aufwand, also die Anzahl der notwen-digen Bauelemente. Bei Filtern mit geradem Grad n unterscheiden sich der Ein-gangswiderstand ZE und der Ausgangswiderstand ZA voneinander. Daher sind beidiesen Filtern R1 und R2 verschieden. Diese Filter sind im Filterkatalog mit b bezeich-net. Durch eine andere Berechnung und Vergrößerung von fS kann man erreichen,dass ZE und ZA gleiche Werte annehmen. Auch diese Filter sind im Katalog aufge-führt und mit c bezeichnet.

Im Filterkatalog findet man ein Diagramm zur Aufwandsabschätzung bei Cauer-Filtern. Aus den Tabelleneingangsdaten ermittelt man die normierte Sperrfrequenz

D

SS f

f=Ω ( 1.7)

sowie as + a(p). Hierbei ist a(p) eine Größe, die sich in Abhängigkeit vom Reflexions-faktor |p| aus der Tabelle im Diagramm zur Aufwandsabschätzung ergibt. Hat man ΩS

und aS+a(p) ermittelt, geht man mit diesen Daten ins Diagramm zur Aufwands-abschätzung und findet oberhalb des Schnittpunktes ΩS mit aS+a(p) eine Kurve, dieden Grad n des gesuchten Filters angibt.

Ergibt sich z.B. der Grad 4b, und kann man ungleiche Abschlusswiderstände nichtvertreten, so wählt man den nächst höheren Grad. Die sich dadurch ergebende„Reserve“ kann genutzt werden, um ΩS oder aD zu verkleinern oder um aS zu vergrö-ßern. Mit der Wahl des Grades n liegt auch die Zahl der Bauelemente fest. Ein ent-sprechendes Diagramm zur Aufwandsabschätzung für Tschebyscheff-Filter findetman ebenfalls im Filterkatalog.

Der Katalog enthält die widerstands- und frequenznormierten Werte für die Bauele-mente von Cauer- und Tschebyscheff-Filtern. Diese Größen kann man in solche fürHochpass, Bandpass und Bandsperre umrechnen. Bild 6 zeigt das Umrechnungs-schema für die Umrechnung in einen Hochpass. Die Umrechnung in die noch verblei-benden Filtertypen findet man in [1] und [2].

TP HP

’c ’’ 1

cl =

’l ’’ 1

lc =

Ω(TP))(

)(

1

TPHP Ω

=Ω

ΩD(TP) 1)()( =Ω=Ω TPDHPd

Bild 6 Umrechnung eines Tiefpasses in einen Hochpass

7

1.2 Umwandlung normierter Größen in physikalische Größen

Hat man die normierten Größen dem Katalog entnommen bzw. auf Hochpass, Band-pass oder Bandsperre umgerechnet, so ist die Umwandlung dieser Größen in physika-lische Größen erforderlich.

Mit der Vorgabe für R1 und fD ergibt sich für Hoch- und Tiefpässe

die BezugsinduktivitätD

B f

RL

⋅=

π21

( 1.8a)

Und die Bezugskapazität12

1

RfC

DB ⋅⋅=

π. ( 1.8a)

Daraus berechnen sich die Bauelemente zu

212 rRR ⋅= , ( 1.9a)

υυ lLL B ⋅= , ( 1.9a)

υυ cCC B ⋅= . ( 1.9a)

Im Labor stehen eine begrenzte Anzahl an Induktivitäten zur Verfügung. Es ist daherLB so zu bestimmen, dass eine passende Induktivität eingesetzt werden kann. LB kannverändert werden, indem man entweder den Impedanzpegel (R1 und R2) oder dieGrenzfrequenz fD verändert.

Näheres zum Normierung findet man auch in Abschnitt 2.1.1.

8

1.3 Versuchsdurchführung

1.3.1 Vorbereitende AufgabenDie folgenden Aufgaben müssen vor Versuchsbeginn bearbeitet werden!

Es sind die Filter aus den Versuchsaufgaben (Abschnitt 1.3.3) mit Hilfe des Filter-kataloges [2] zu entwerfen. Anschließend muss R so angepasst werden, dass man dieInduktivitätswerte mit vorhandenen Spulen (siehe Abschnitt 1.3.2) oder mit Kombi-nationen aus maximal zwei hintereinander geschalteten Spulen annähernd erreicht.Man gehe von einer spulensparenden Schaltung aus.

1.3.2 Messgeräte und Hilfsmittel zur Versuchsdurchführung

1 Kapazitäts-/Induktivitätsmessbrücke1 Netzwerkanalysator (Rhode&Schwarz)2 Dekadenwiderstände1 Lötkolben1 Filterkatalog

Sortiment handelsüblicher Kondensatorendiverse Festinduktivitäten(1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 40, 60, 80, 100 mH)

9

1.3.3 Versuchsaufgaben

Aufgabe 1Es ist mit Hilfe des Filterkatalogs ein Cauer-Tiefpass mit den folgenden Eigenschaf-ten zu projektieren:

Durchlassfrequenz fd ........ kHz

Reflexionsfaktor im Durchlassbereich P ........ %

Sperrfrequenz fs ........ kHz

Betriebsdämpfung im Sperrbereich as ........ dB

Eingangseitiger Abschlusswiderstand R1 ........ Ω

Ausgangseitiger Abschlusswiderstand R2 ........ Ω

Die bei der Bestimmung des Grad n entstehende „Reserve“ soll benutzt werden

zur Erweiterung des Durchlassbereichszur Verkleinerung von fS

zur Vergrößerung von aS

zur Verkleinerung des Reflexionsfaktors

a)Die ermittelten Kapazitäten sind mit Hilfe einer Kapazitätsmessbrücke zusammen-zustellen und auf Steckbrettchen aufzulöten. Man beachte das Temperaturverhaltender Kondensatoren.Die Filterschaltung ist aufzubauen und mit den Widerständen R1 und R2 gemäß Bild 5zu beschalten. Die Innenwiderstände des Netzwerkanalysators (50 Ω) sind entspre-chend zu berücksichtigen.

b)Man bestimme den Frequenzgang des Filters mit dem Netzwerkanalysator. Dergefundenen Frequenzgang ist abzuspeichern und in MATLAB mit dem theoretischenFrequenzgang zu vergleichen. Zur Berechnung des theoretischen Frequenzgangs stehtein MATLAB Programm zur Verfügung.Beide Filterkurven sind in einem Diagramm darzustellen und Abweichungen zu erklä-ren. Das Diagramm und eine Detailansicht des Durchlassbandes ist zu drucken. Inbeide Diagramme soll das Toleranzschema des Entwurfs eingezeichnet werden. Istdas Toleranzschema erfüllt?

c)Der Netzwerkanalysator kann die Übertragungsfunktion auch in der komplexenEbene darstellen. Mit der Markerfunktion des Netzwerkanalysators ist fd zu kenn-zeichnen. Die Darstellung in der komplexe Ebene ist zu drucken und zu interpretieren.Beschriften und kommentieren Sie die ausgezeichneten Punkte f = 0, fD, ∝.

10

Aufgabe 2Es sind der Frequenzgang und der Verlauf der Gruppenlaufzeit des Filters in Aufgabe1 mit den entsprechenden Butterworth- und Tschebyscheff-Filtern gleichen Grades zuvergleichen.

a)Die Filter sind analog zu Aufgabe 1 aufzubauen und die komplexen Messwerte derÜbertragungsfunktion aufzuzeichnen.Auswertung der aufgezeichneten Meßwerte (nach Versuchsdurchführung):Unter MATLAB sollen die komplexen Messwerte eingelesen und daraus Betrag,Phase und Gruppenlaufzeit der Filter bestimmt werden. Es ist ein Diagramm mit denBeträgen und ein zweites Diagramm mit den Gruppenlaufzeiten der drei realisiertenApproximationen zu erstellen. Zeichnen Sie das dem Entwurf zugrundeliegende Tole-ranzschema in den Betragsgang ein. Warum wird das Toleranzschema für die Butter-worth- und Tschebyscheff-Approximation nicht erfüllt?Erstellen Sie vom Betragsgang außerdem eine Detailansicht des Durchlassbandes.

b)Mit dem Netzwerkanalysator sind die Übertragungsfunktionen in der komplexenEbene zu drucken. Erläutern Sie die Unterschiede zum Cauer-Filter.

Aufgabe 3Es ist mit Hilfe des Filterkatalogs ein Hochpassfilter mit den folgenden Daten zuentwerfen:

Durchlassfrequenz fd ........ kHz

Reflexionsfaktor im Durchlassbereich P ........ %

Sperrfrequenz fs ........ kHz

Betriebsdämpfung im Sperrbereich as ........ dB

Eingangseitiger Abschlusswiderstand R1 ........ Ω

Ausgangseitiger Abschlusswiderstand R2 zu bestimmen Ω

Die bei der Bestimmung von Grad n entstehende „Reserve“ soll benutzt werden

zur Erweiterung des Durchlassbereichszur Vergrößerung von fS

zur Vergrößerung von aS

zur Verkleinerung des Reflexionsfaktors

Mit Hilfe des Netzwerkanalysators ist der Frequenzgang zu bestimmen und auszu-drucken.

11

2 Aktive FilterSeit der Verfügbarkeit von Operationsverstärkern dominieren aktive Filter. Sie besit-zen gegenüber der passiven Variante vielfältigen Vorteile.

Besonders im niederfrequenten Bereich ist die Verwendung von Induktivitäten stetsproblematisch (groß, schwer, teuer, geringe Güte). Bei aktiven Filter kann man sichauf Kondensatoren und Widerständen beschränken. Schaltungen werden kompakter,billiger und einfacher zu implementieren.

Beim passiven Filter muss man Quell- und Lastimpedanzen im Entwurfsprozessberücksichtigen. Dies macht einerseits den Entwurfsprozess komplexer und anderer-seits führt es zu Problemen, wenn sich diese Impedanzen ändern. Aktive Filter kannman unabhängig von diesen Umgebungsparametern entwerfen. Damit ist aber auchdie Kaskadierung von aktiven Filtern problemlos möglich. So kann man beispiels-weise Filter höherer Ordnung oder Filter mit Bandpassverhalten auf recht einfacheWeise realisieren.

Nachteile des aktiven Filters sind im Wesentlichen die zusätzlich benötigte Span-nungsversorgung und die schlechteren Rauscheigenschaften. Vor allem bei kleinenSignalpegeln fällt das Eigenrauschen des Operationsverstärkers ins Gewicht, währendpassive Schaltungen auch bei kleinsten Signalpegeln gute Eigenschaften bieten.

In diesem Teil des Versuchs sollen aktive Schaltungen aufgebaut und deren Eigen-schaften untersucht werden. Es gibt eine Vielzahl an Schaltungsmöglichkeiten füraktive Filter. In diesem Versuch wird das von Sallen und Key schon 1955 vorge-schlagene aktive Netzwerk verwendet.

2.1 Grundlagen der Netzwerke zweiter OrdnungDie Übertragungsfunktion von Netzwerken zweiter Ordnung kann allgemein in der s-Ebene mit ωσ js += dargestellt werden als

( ) ( ) ( )( ) ( )21

0201

012

012

pp ssss

ssssK

bsbs

asasKsH

−⋅−−⋅−

⋅=++++

⋅= . (2.1)

Das Netzwerk kann damit entweder durch die Parameter a1, a0, b1, b0 oder durch dieNullstellen s01, s02 und Pole sp1, sp2 beschrieben werden. Die Konstante K hat nurEinfluss auf die Gesamtverstärkung des Netzwerkes und ist frequenzunabhängig.Beide Beschreibungsformen aus Gleichung (2.1) lassen sich ineinander umrechnen,wobei in Gleichung (2.2) nur die Parameter des Zählerpolynoms angegeben sind.Entsprechendes gilt für das Nennerpolynom.

.22 0

2

112,01

02010

02011

aaa

s

ssa

ssa

−

±−=

⋅=−−=

(2.2)

12

Aus Gleichung (2.2) ergibt sich, dass die Null- bzw. Polstellen komplexe Werteannehmen, wenn a1

2 < 4a0 bzw. b12 < 4b0 gilt. Die Lage der Null- und Polstellen in

der komplexen Ebene (σ+jω) errechnet sich zu:

,2

,2

2

100

10

−=−=

aa

a ωσ (2.3a)

.2

,2

2

10

1

−=−=

bb

bpp ωσ (2.3b)

Darüber hinaus definiert man noch die Null- bzw. Polstellenbeträge

022

02

02

00 ,

bs

aws

ppp =+=

=+=

ωσ

σ(2.4)

sowie die Gütefaktoren

1

0

1

0

0

00

2

,2

b

bsQ

a

asQ

p

p

p =−

=

=−

=

σ

σ(2.5)

und Dämpfungsfaktoren

.1

,1

00

pp Q

d

Qd

=

=

(2.6)

2.1.1 NormierungIn der Netzwerktheorie werden die Netzwerke mit normierten Netzwerkfunktionenbeschreiben, weil dadurch die Netzwerke übersichtlicher dargestellt werden können.Hierbei werden die Bauelemente auf einen reellen Normwiderstand Rn und auf einereelle Normfrequenz nn fjs π2= bezogen. Mit dem Normwiderstand und der Norm-

frequenz werden aus den nichtnormierten Größen Rx (Widerstand) und fjs ωσ +=(Frequenz) die normierten Größen:

13

.’

,

n

n

xx

s

ss

R

Rr

=

=(2.7)

Damit erhält man dann wieder die normierte Kapazität cx und die normierte Indukti-vität lx zu:

n

xx C

Cc = mit

nnn Rs

C⋅

= 1, (2.8a)

n

xx L

Ll = mit

n

nn s

RL = . (2.8b)

Beispiel einer Normierung:

Bild 7 Schaltung zum Normierungsbeispiel

Die Übertragungsfunktion H(s) der Schaltung in Bild 7 ergibt sich zu:

2

1 1 1 2

( ) 1( )

( ) (1 / )

U sH s

U s sR C R R= =

+ +. (2.10)

Mit Gl. (2.7) und Gl. (2.8a) kann man Gl. (2.10) normieren und erhält die normierteWirkungsfunktion H(s’)

1 1 1 11 1

2 2

1 1( ’)

’ 1 ’ 1n n

nn n n

H sR r R rC rs s s r cR r R s r

= = + ⋅ ⋅ + + +

.(2.11)

Wählt man einen Normierungswiderstand Rn = 10kΩ und eine Normfrequenz sn =2πfn = 10kHz, so ist die Normkapazität nach Gl. (2.8a) cn = 10nF. Man erhält für r1 =1, r2 = 10 und für c1 = 2,2. Für die normierte Übertragungsfunktion aus Gl. (2.11)folgt:

1 1 1( ’)

’ 2.2 1.1 1.1 2 ’ 1H s

s s= = ⋅

⋅ + +.

R2C1

R1

U2U1

R1 = 10kΩR2 = 100kΩC1 = 22nF

14

Es handelt sich also um einen Tiefpass erster Ordnung mit einer reellen Polstelle beis’ = s/sn = -0,5. Der Polstellenbetrag |s’p| =ω’p ist die normierte Eckfrequenz ω’p desTiefpasses und ergibt nach der Entnormierung:

Hz.7962/

kHz,5kHz10’

==

=⋅==

πω

ω

p

pp

f

ss

Die Gleichspannungsverstärkung der Schaltung ist K=1/1,1=0,909.

2.1.2 Übertragungsfunktion für einen Tiefpass 2-ter OrdnungDie Übertragungsfunktion eines Tiefpasses 2-ter Ordnung wird durch ein Nenner-polynom zweiter Ordnung beschrieben:

22

2

012

1)(

ppp

p

TP

sssds

sK

bsbsKsH

++=

++= . (2.12)

Durch Anwenden der Gl. (2.4), (2.5) und (2.6) wurde Gl. (2.12) so umgeformt, dassdie Koeffizienten b0 und b1 durch den Polbetrag |sp| ersetzt werden konnten.

Nimmt man in Gl. (2.12) den Polbetrag |sp| auch als Normfrequenz sn’, so vereinfachtsich die Darstellung und die Pole liegen auf dem Einheitskreis in der komplexenEbene:

1’’

1)’(

2 ++=

sdsKsH

pTP . (2.13)

Es ist interessant, dass die Tiefpasscharakteristik nur von dem Faktor dp bestimmtwird. Bei Butterworth-Filtern wird der Polbetrag |sp|, der in unserem Fall auch gleich-zeitig Normfrequenz sn = ωn ist, als Grenzfrequenz definiert. Aus Gl. (2.12) erkennt

man, dass bei dieser Frequenz p

pTP d

KsjH =|)|( wird.

Für die wichtigsten Tiefpassapproximationen ergeben sich folgende Faktoren dp:

Bessel dp=1,72

Butterworth dp= 2Tschebyscheff dp=0,77 (3dB Welligkeit)

Zur Verdeutlichung der Abhängigkeit der Funktion HTP aus Gleichung (2.13) vomParameter dp ist in Bild 8 der Betrag von HTP für die obigen drei Fälle dargestellt. DasBild enthält außerdem die dazugehörigen Impulsantworten. Man beachte, dass dasÜberschwingen der Impulsantwort mit steigender Selektivität zunimmt.

15

Bild 8 Betrag und Impulsantwort von HTP aus Gleichung (2.13) für dp=1.72, dp=1.414 unddp=0.77

2.1.3 Übertragungsfunktion für einen Hochpass 2-ter OrdnungEs gilt:

22

2

012

2

)(ppp

HP

sssds

sK

bsbs

sKsH

++=

++= . (2.14)

Durch Einsetzen der Normfrequenz sn = |sp| erhält man:

1’’

’)’(

2

2

++=

sds

sKsH

pHP . (2.15)

Ebenso wie bei der Tiefpassfunktion wird

pp

HP QKd

KsH ⋅==)’( . (2.16)

Die Filtereigenschaften werden ebenfalls nur durch die Polgüte bzw. den Dämpfungs-faktor Qp bestimmt. Dabei ergeben sich die gleichen Werte wie bei TP-Filtern für dieeinzelnen Approximationen.

16

2.1.4 Übertragungsfunktionen für einen Bandpass 2-ter OrdnungEs gilt:

2201

20

||)(

ppp

pBP

sssds

ssK

bsbs

sbKsH

++=

++= (2.17)

und normiert

1’’

’)’(

2 ++=

sds

sKsH

pBP . (2.18)

Die Bandpassfunktion hat im Gegensatz zur Tiefpass- und Hochpassfunktion exaktihr Maximum bei der Frequenz sn = |sp|. Dieses Maximum hat die Höhe

pp

BP QKd

KsH ⋅==)’( . (2.19)

Bei den Grenzfrequenzen ω1’ und ω2’ ist die Funktion um den Faktor 2

1 abgesun-

ken. Da die Bandpassfunktion einen geometrisch-symmetrischen Verlauf hat, gilt:

1’’ 21 =⋅ωω mit ns

ωω =’ ,

ps=⋅ 21ωω ,(2.20)

p

p

ds

=− 12 ωω

. (2.21)

17

2.2 Realisierung durch Sallen-Key-Filter

In Bild 9 ist die allgemeine Struktur des Sallen-Key-Filters angegeben.

Bild 9 Allgemeines Sallen-Key-Filter

Der Verstärker ist beispielsweise ein Operationsverstärker in Elektrometer-Schaltung.Die Widerstände zur Einstellung der Verstärkung sind in Bild 9 und in den folgendenSchaltungen nicht dargestellt. Im Versuchsaufbau wird ein auf drei Stellen genaueinstellbarer Verstärker eingesetzt. Es sind dabei nur Verstärkungen >1 einstellbar.

2.2.1 Sallen-Key-TiefpassDie Schaltungselemente Y1b und Y4a entfallen und die übrigen Zweipole werdendurch Bauelemente gemäß Bild 10 ersetzt.

Bild 10 Sallen-Key-Tiefpass

Die Tiefpassfunktion nach Bild 10 lautet:

UaUey1a

y2

y1b

y3

y4a

y4b

+V

UaUe C1

R2

C3

R4

+V

18

[ ] ,)1(

)(

11)1(

11

)(

212

2

422

3

4

1

2

131

2

42

nn

n

sVsss

sVsH

RRR

VC

R

C

R

CsCCs

RRV

sH

+−++⋅+⋅

=

⋅+

−+++

⋅⋅=

− ααβ(2.22)

3142

1

CCRRsn = ,

21

43

RC

RC=α ,

23

41

RC

RC=β . (2.23)

Führt man bei Gleichung (2.22) einen Koeffizientenvergleich mit (2.12) durch, soergeben sich folgende Zusammenhänge:

VK = , np ss = , )1(1 1 V

Qd

pp −++== − ααβ . (2.24)

Für den Filterentwurf sind die Größen Grenzfrequenz |sp|, Polgüte Qp sowie dieDurchlassbereichsverstärkung K vorgegebenzur Verfügung. Die Verstärkung imDurchlassbereich kann aber durch Nachschalten eines Verstärkers auf nahezu belie-bige Werte gebracht werden, so dass diese Größe nicht als Entwurfsanforderung fürdas Filter herangezogen werden sollte. Es bestehen nun mehrere Möglichkeiten, umdie Filterparameter K, sn, α und β nach Gleichung (2.24) zu bestimmen [3]. In diesemVersuch sollen die Kapazitäten und Widerstände gleich groß sein. Damit ergibt sich:

pdV −= 3 , 1== βα , 42 RR = , 31 CC = . (2.25)

2.2.2 Sallen-Key-HochpassEine Hochpassschaltung entsteht, wenn man in der Schaltung nach Bild 10 die Wider-stände mit den Kondensatoren vertauscht, d.h. man führt eine RC-CR-Transformationdurch. Danach werden die normierten RC-Bauelemente eines Tiefpasses in dienormierten Elemente eines Hochpasses umgewandelt.

xx r

c1= ,

yy c

r1= . (2.26)

Es entsteht eine Hochpassfunktion:

19

[ ] ,)1(

)(

11)1()(

22

2

313

2

1

4

1

242

2

422

nn sVsss

sVsH

RRR

VC

R

C

R

CsCCs

VCCssH

+−++⋅+⋅=

⋅+

−+++

=

ααβ(2.27)

3142

1

CCRRsn = ,

12

34

RC

RC=α ,

14

32

RC

RC=β . (2.28)

Der Zusammenhang zwischen Gleichung (2.14) und (2.27) lautet:

VK = , np ss = , )1(1 1 V

Qd

pp −++== −ααβ . (2.29)

Ebenso wie beim Tiefpassfilter gibt es mehrere Möglichkeiten des Entwurfs. AusGründen der Einfachheit beschränkt man sich hier wieder auf:

pdV −= 3 , 1== βα , 31 RR = , 42 CC = . (2.30)

2.2.3 Bandpassfilter

Will man die allgemeine Schaltung aus Bild 9 für einen Bandpass verwenden, somuss man die Leitwerte durch RC-Bauelemente gemäß Bild 11 ersetzen.

Bild 11 Sallen-Key-Bandpass 2. Ordnung

Die Schaltung nach Bild 11 hat folgendes Übertragungsverhalten:

UaUeR1

C2

R3

C4

R4

+V

20

[ ] ,)1(

)(

1)1()(

212

1

43

43

13

2

1

4

4

2

1

242

2

4

2

nn

n

sVVsss

VsssH

RR

RR

RR

VC

R

C

R

C

R

CsCCs

r

CsV

sH

++−++⋅+⋅

=

+

⋅+

−++++=

−

−

γααβγα

(2.31)

43

43421

1

RR

RRCCR

sn

+

= , 12

43

434

RC

RR

RRC

+=α ,

14

43

432

RC

RR

RRC

+=β ,

43

43

4

1

RR

RR

R +=γ .

(2.28)

Ein Koeffizientenvergleich der Gleichungen (2.16) und (2.31) ergibt die Zusammen-hänge:

1−= γαVK , np ss = , ( )[ ]γααβ −−++== − 111 1 V

Qd

pp . (2.32)

Ebenfalls aus Gründen des einfachen Laboraufbaus sollen hier beim Entwurf alleWiderstände und alle Kondensatoren gleich groß sein. Diese Vorgehensweise recht-fertigt nicht den Schluss, dass dieser Filterentwurf für alle Anwendungsfälle dasOptimum darstellt.

Man erhält die Netzwerkparameter:

24 pdV −= , 2

1== βα , 431 RRR == , 42 CC = , 2

1=γ . (2.33)

21

2.3 Versuchsdurchführung

2.3.1 Geräte1 Netzwerkanalysator1 OpAmp - Labormodelle2 Festkapazitäten (10nF)3 Dekadenwiderstände

2.3.2 Vorbereitende AufgabenDie folgenden Aufgaben müssen vor Versuchsbeginn bearbeitet werden!

Man entwerfe entsprechend folgender Tabelle Tiefpass-, Hochpass- und Bandpaß-filter nach Sallen-Key. Alle Filter sollen eine Grenzfrequenz |sp| von kHz12 ⋅πaufweisen. Alle verwendeten Kapazitäten sollen einen Wert von 10nF besitzen. Dieerrechneten Werte für V und R sind in folgende Tabelle einzutragen.

Filtertyp Approximation V R C

Bessel

ButterworthTP

Tschebyscheff

10nF

Bessel

ButterworthHP

Tschebyscheff

10nF

Bessel

ButterworthBP

Tschebyscheff

10nF

2.3.3 Versuchsaufgaben

Aufgabe 1Die in der Vorbereitung entworfenen Filter sind aufzubauen. Mit dem Netzwerk-analysator sind die Frequenzgänge darzustellen und deren komplexe Werte abzuspei-chern.

22

Auswertung unter MATLAB (nach Versuch):1) Für die Tiefpassfilter sind jeweils Betragsfrequenzgang, Phase, Gruppenlauf-

zeit und Sprungantwort aus den abgespeicherten Werten der Übertragungs-funktion zu berechnen. Die für beide Filterapproximationen entstehendenVerläufe sind jeweils in ein Diagramm zu drucken (alle Phasenverläufe in einDiagramm, alle Gruppenlaufzeiten in ein Diagramm...).

2) Für die Hochpass- und Bandpassfilter sind jeweils die beiden Betrags-frequenzgänge zu berechnen und in ein Diagramm zu drucken.

Aufgabe 2a)Man beschalte das Tschebyscheff-TP-Filter ausgangseitig mit einem zusätzlichenWiderstand von 10 kΩ und beobachte die Auswirkung auf die Frequenzkennlinie.Welchen Vorteil aktiver Filter kann man gegenüber passiven aus diesem Ergebnisableiten?

b)Bei den verwendeten Sallen-Key-Filtern kann man einfach durch Verändern desWiderstand R die Grenzfrequenz verschieben. Bei dem Tschebyscheff-TP-Filter ist Rzu variieren und das Verschieben der Grenzfrequenz zu beobachten.Wie müsste man bei dem passiven Entwurfsverfahren vorgehen, um die Grenz-frequenz zu verändern?

c)Von dem Tschebyscheff-TP-, -HP- und –BP-Filter sind Ausdrucke der komplexenEbene zu erstellen. Welche Schlüsse kann man aus diesem Diagramm über Frequenz-verhalten, Nennergrad und Zählergrad ziehen?

d)Mit Hilfe eines Funktionsgenerators ist die Sprungantwort des Tschebyscheff-TP-Filters zu bestimmen. Welche Auswirkung hat das Erhöhen der Verstärkung auf dieFiltercharakteristik, die Sprungantwort und die Stabilitätseigenschaft des Filters?

3 Literaturhinweise

[1] W. Rupprecht NetzwerksyntheseSpringer-Verlag

[2] R. Saal Handbuch zum Filterentwurf,AEG-Telefunken,L: elt1098

[3] N. Fliege Lineare Schaltungen mit OperationsverstärkernSpringer-Verlag

[4] Tietze, Schenk HalbleiterschaltungstechnikSpringer-Verlag

06.04