Ph 16/07 G_Online-Ergänzung

MNU Journal − Ausgabe 1.2017 − ISSN 0025-5866 − © Verlag Klaus Seeberger, Neuss − 1 −

Schulpraxis

Eingestrahlte Sonnenenergieauf eine DachschrägeVon den theoretischen Grundlagen zum Modellexperiment

TRAN NGOC CHAT − SIMON F. KRAUS

Online-Ergänzung

S. I + II

S. I S. II

PHYSIK

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Schulpraxis Eingestrahlte Sonnenenergie auf eine Dachschräge

Online Ergänzung zum Artikel

Eingestrahlte Sonnenenergie auf eine Dachschräge

2. Theoretische Grundlagen der eingestrahlten Energie

Um die Ausrichtung einer beliebigen Dachfläche zu beschreiben, genügen die beiden Drehwinkel und (Abb. 1). Der Drehwinkel bezeichnet den Drehwinkel um die horizontale Achse , um die Stellung des beobachteten Dachs bezüglich der Horizontalen anzugeben. Der vertikale Drehwinkel kennzeichnet den Drehwinkel um die vertikale Achse . Damit gibt die Stellung der Achse bezüglich an.

Die Bestrahlungsstärke B auf der Erdoberfläche wird ermittelt nach

Dabei wird mit die Solarkonstante bezeichnet. An dieser Stelle soll der Einfluss der Atmosphäre aus Gründen der Vereinfachung unberücksichtigt bleiben. Daher beträgt

.

Abb. 1: Beschreibung der Dachstellung (blau) durch den horizontalen Drehwinkel und den vertikale Drehwinkel .

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Die Winkel und bezeichnen jeweils den Winkel zwischen dem Lot des Daches bzw. dem Zenitwinkel der Sonne und dem einfallenden Sonnenstrahl. Die beiden Winkel lassen sich berechnen durch:

Dabei ist der Breitengrad der betrachteten Fläche, die Winkelgeschwindigkeit der Erde, der Zeitpunkt des astronomischen Mittags

, wenn die Sonne an der höchsten Position bzw. am Himmelsmeridian beobachtet wird. Die Abweichung zwischen dem astronomischen und dem alltagssprachlichen Mittagszeitpunkt muss hier nicht berücksichtig werden, da sich dadurch lediglich eine Verschiebung der Dämmerungszeitpunkte jedoch keine Änderung der eingestrahlten Energie ergibt. ist der Winkel zwischen den zum Erdmittelpunkt gerichteten Sonnenstrahlen und der Erdachse. Er kann bestimmt werden durch

Darin ist die Summe der Tage (hier von der Wintersonnenwende am 22.12. aus gezählt) bis zum betrachteten Datum.

Die theoretische solare Energieeinstrahlung E (pro Tag und m2 einer betrachteten Dachschräge) wird berechnet nach

Dabei ist die eingestrahlte Sonnenenergie in einer Stunde auf eine Fläche von senkrecht zur einfallenden Strahlung. Mit wird die Sonnenscheindauer (in Stunden

anzugeben) auf der Dachschräge bezeichnet. Anhand der Lösung des Systems von Ungleichungen kann bestimmt werden.

Die in Formel (4) enthaltenen Parameter a, b und c werden bestimmt nach

Auf ihre Herleitung soll an dieser Stelle verzichtet werden. Für den interessierten Leser findet sich diese in (Tran, 2015, S. 44-48).

ist damit eine Funktion mit vier Variablen: dem Datum n, dem Breitengrad und den beiden Drehwinkeln und . Die Funktion lässt sich darum nicht allgemein, sondern nur für konkrete Fälle grafisch darstellen. Als Beispiel wählen wir Siegen mit dem Breitengrad

und eine Dachschräge mit . Für diesen Fall ist eine Funktion mit nur noch zwei Variablen: dem Datum und dem horizontalen Drehwinkel . Diese Abhängigkeit kann grafisch dargestellt werden. Für Abb. 2 wurde ein solches Diagramm mit der Software

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Matlab erstellt (die Quellcodes sind am Ende der Ergänzung wiedergegeben). Die hier gezeigten Grafiken sind dabei mit ausreichender Genauigkeit für den gesamten deutschsprachigen Raum gültig.

Anhand der Grafik lässt sich ablesen, dass bei einer Dachneigung um 10° im Sommer die größtmögliche Energieeinstrahlung empfangen wird. Gleichzeitig fällt bei dieser Neigung der Ertrag recht stark ab. Größere Neigungen erreichen dagegen nicht die theoretischen Maximalwerte, dafür bleibt die Ausbeute über weite Teile des Jahres hinweg auf einem recht konstanten Niveau (Abb.2).

Abb. 2.: Verlauf der Energieeinstrahlung auf dem Dach in Abhängigkeit des Datums undhorizontalen Drehwinkels ( ) des Daches.

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Als weiteres Beispiel legen wir für Siegen ( ) als Datum den 14.8. fest. Dann ist eine Funktion mit Variablen und . Auch diese Abhängigkeit lässt sich visualisieren (Abb. 3). Gut zu erkennen sind hier die Symmetrien, wie sie sich etwa bei der gleichzeitigen Ausstattung eines typischen Satteldaches mit Solarzellen ergeben würden.

Abb. 3: Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Energieeinstrahlung und den Drehwinkelnund der Dachschräge, am 14.8., in Siegen ( ).

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5. Quantitative Ergebnisse des Experiments

5.2. Alternative Methode: Messung mit einer Kamera

Dieses Verfahren basiert auf der Anwendung einer der grundlegenden Eigenschaft digitaler Kameras, nämlich der Messung und Speicherung der Leuchtdichte eines Gegenstandes (die Leistung der Lichtstrahlen pro Raumwinkel pro der Oberfläche des betrachteten Gegenstands). Der Wert der Leuchtdichte wird durch den Analog-Digital-Umsetzer der Kamera in einen Helligkeitswert H (von 0 bis 255) umgerechnet. H kann direkt auf dem Kameramonitor oder mit kostenfreier Software für Computer (z.B. Picasa) oder auch für Smartphones (z.B. Free Histogramm für Android) ausgelesen werden. Daher lässt sich anstelle einer aufwendigen Messung der Leuchtdichte L des Gegenstands sein Helligkeitswert H aus der Bilddatei ermitteln.

Auf die betrachtete Dachschräge wird zunächst wiederum weißes Papier geklebt. Weil die Leuchtdichte L proportional zur Bestrahlungsstärke B ist, besteht ebenso ein Zusammenhang zwischen dem Helligkeitswert H und der Bestrahlungsstärke B. Zur Anwendung des Verfahrens wird zunächst der Zusammenhang zwischen der Bestrahlungsstärke B und dem Helligkeitswert H näherungsweise ermittelt, also die Fit-Funktion gesucht. Danach führt man den Versuch durch und fotografiert das Dach bei der gewünschten Stellung, um den Helligkeitswert H zu bestimmen. Anhand der bekannten Funktion kann man nun die eingestrahlte Leistung bei der gewählten Ausrichtung des Dachs berechnen.

Zur Bestimmung der Funktion baut man zunächst den Versuch wie in Abb. 8 ohne Voltmeter und Widerstand auf. Die Solarzelle (die mit weißem Papier bedeckt ist) wird schräg unter einem Winkel gegen den Lichtstrahl angeordnet. Der Winkel wird wie im vorherigen Versuch (Abschnitt 5.1) zwischen 0° und 90° variiert. Dann fotografiert man das Papier bei jedem eingestellten Winkel und liest den Helligkeitswert H ab. Es kommt nun wiederum die lineare Interpolation zur Anwendung. Man erhält die genäherte Funktion

.

Anhand der gewonnenen Fit-Funktion kann man die Bestrahlungsstärke für eine beliebige Stellung der Dachschräge berechnen, indem man dort nur die Helligkeitswert H der Aufnahme des Dachs abliest. Es ist zu beachten, dass die Bilder wieder mit den gleichen Kameraeinstellungen gemacht werden müssen. Das bedeutet, dass vor der Aufnahme die Kamera die entsprechenden Parameter (ISO-Wert, Blendenzahl und Belichtungszeit) fest eingestellt werden müssen.

Der Aufbau des Versuchs und die entstandenen Bilder werden jeweils auf der Abb. 6 und Abb. 7 dargestellt. Tab. 1 zeigt die gemessenen Werte für die Dachschräge mit und

für den 14.8.

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Auch die hier experimentell gewonnenen Ergebnisse liegen relativ nah an den theoretischen Berechnungen (Abb. 11).

Die Fläche unter der blauen Kurve ist die solare Energieeinstrahlung der betrachteten Dachschräge. Sie lässt sich mit Gleichung (5) berechnen: . Die Fläche unter den roten Punkten ist die experimentell ermittelte Einstrahlung der untersuchten

Uhrzeit B ( )09:30 31,86 18 0,046 10:00 72,81 17 0,154 11:00 150,17 14 0,391 12:00 190,09 11 0,621 13:00 208,19 8 0,785 14:00 218,36 5 0,908 15:00 222,81 2 0,988 16:00 222,73 3 0,984 17:00 219,37 5 0,928 18:00 212,83 7 0,829 19:00 198,32 10 0,685 19:12 192,25 11 0,637

Tab. 1: Gemessenen Werte der Helligkeitswert H der Aufnahmen des Dachs und die interpolierten Werte der eingestrahlten Leistung.

Abb. 4: Experimentell ermittelte Messpunkte (rot) und theoretische Kurve (blau) für die Messung mit der Kamera

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Dachschräge. Sie entspricht wieder der Summe trapezförmiger Flächen: . Die abgeleitete relative Abweichung beträgt .

Die Abweichungen bei diesem Messverfahren sind tendenziell größer als bei der Messung mit der Solarzelle. Den Kamerasensor erreicht auch bei weitgehender Abdunkelung nicht nur Licht des untersuchten Gegenstands, sondern ebenso Streulicht der Umgebung. Der Effekt der Vignettierung des Kameraobjektivs bewirkt zusätzlich eine ungleichmäßige Verteilung der Helligkeit auf dem Sensor. Dies führt zu einer Abnahme der Helligkeit vom Zentrum hin zu den Ecken. Darüber hinaus wird die Abweichung von Reflexionen an den Linsen des Objektivs vergrößert. Dieses Verfahren ist jedoch mit wenig Aufwand umzusetzen und nah an der Lebenswelt der Lernenden, da geeignete Kameras weit verbreitet und der Umgang mit ihnen dementsprechend vertraut ist. Das Verfahren stellt damit auch eine Möglichkeit dar, mittlerweile alltägliche Technik wie Handys, Tablets oder Laptops in den Physikunterricht zu integrieren.

5. Matlab Quellcode zum Erstellen der Grafiken

Die oben dargestellten Grafiken (Abb. 3,4 und 11) lassen sich anhand der genannten Gleichungen beispielsweise mit dem Programm Matlab erstellen. Nachfolgend wird der nötige Quellcode wiedergegeben.

5.1 Quellcode zur Grafik 1 – Energieeinstrahlung in Abhängigkeit des Datums und des horizontalen Drehwinkels

Teil A: E-Dach.m

% Berechnung der Energie auf die Dachschräge an einem Tag, Einheit der Energie E0 = Ps*3600s (J); Solarkonstante Ps = 1360(W/m2) % ntag: Datum ab dem 22.12. % phi: Breitengrad % alphaV,alphaH s. Beschreibung im Artikel

function sum = E_Dach(ntag,phi,alphaV,alphaH) phi=phi*pi/180;alphaV=alphaV*pi/180;alphaH=alphaH*pi/180;Tag=24;Jahr=365;t1=round(Tag*3600);% Summe der Sekunden eines Tages epsilon=23.4392794;

epsilon=pi*epsilon/180;S=0;Ssum=0;m=30; % Schrittweite für die Integration (in Sekunden)

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delta=ntag*2*pi/Jahr;alpha=acos(sin(epsilon)*cos(delta));

a=sin(alpha)*(sin(phi)*sin(alphaH)*cos(alphaV)+cos(phi)*cos(alphaH));b=sin(alpha)*sin(alphaH)*sin(alphaV);c=cos(alpha)*(cos(phi)*(-1)*sin(alphaH)*cos(alphaV)+sin(phi)*cos(alphaH));

for j=0:m:t1; beta=-pi+2*pi*j/t1; costeta=sin(alpha)*cos(phi)*cos(beta)-cos(alpha)*sin(phi);% costeta: Siehe Beschreibung im Artikel costetaD=a*cos(beta)+b*sin(beta)-c;% costetaD: Siehe Beschreibung im Artikel if (costeta>0)&(costetaD>0) S=m*costetaD; else S=0; end Ssum=Ssum+S;

end sum=Ssum/3600; % Eo; Eo Siehe ganz oben end

Teil B: ED_n_aH.m

% 3D Graphik zur Sonnenenergie auf eine Dachschräge und alphaH va Datum.% Zur Bezeichnung von alphaH siehe Beschreibung im Artikel % Einheit der Sonnenenergie Eo = Ps*1h (J), mit die Solarkonstante Ps = 1360(W/m2)

clear all phi=51;% Breitengrad, beliebig anpassbar alphaV=0;% siehe Beschreibung im Artikel

N=91;% Auflösung der Graphik für Datum im einem Jahr (max = 365 Datum) M=91;% Auflösung der Graphik für alphaH

for i=1:N; ntag6(i)=round(i*365/N); for j=1:M; alphaH(j)=-90+(j-1)*180/(M-1);% betrachten wir hier nur im Bereich -90° toi +90

Ssum(i,j)=E_Dach(ntag6(i),phi,alphaV,alphaH(j)); end Berechnung_Prozent=i*100/N end;

surf(alphaH,ntag6,Ssum)title('Verlauf der Sonnenenergie'); xlabel('alphaH');ylabel('ntag');

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zlabel('Energie');grid on

5.2 Quellcode zur Grafik 2 – Energieeinstrahlung in Abhängigkeit der Winkel aH und aV

Teil A: E_Dach.m

% Berechnung der Energie auf Dachschräge für einem Tag, Einheit der Energie ist Eo = Ps*3600s (J); Solarkonstante Ps = 1360(W/m2) % ntag: Datum ab dem 22.12 % phi: Breitengrad % alphaV,alphaH s. Beschreibung im Artikel

function sum = E_Dach(ntag,phi,alphaV,alphaH) phi=phi*pi/180;alphaV=alphaV*pi/180;alphaH=alphaH*pi/180;Tag=24;Jahr=365;t1=round(Tag*3600);% Summe der Sekunden eines Tages epsilon=23.4392794;

epsilon=pi*epsilon/180;S=0;Ssum=0;m=30; % Schrittweite für die Integration (in Sekunden)

delta=ntag*2*pi/Jahr;alpha=acos(sin(epsilon)*cos(delta));

a=sin(alpha)*(sin(phi)*sin(alphaH)*cos(alphaV)+cos(phi)*cos(alphaH));b=sin(alpha)*sin(alphaH)*sin(alphaV);c=cos(alpha)*(cos(phi)*(-1)*sin(alphaH)*cos(alphaV)+sin(phi)*cos(alphaH));

for j=0:m:t1; beta=-pi+2*pi*j/t1; costeta=sin(alpha)*cos(phi)*cos(beta)-cos(alpha)*sin(phi);% costeta: Siehe Beschreibung im Artikel costetaD=a*cos(beta)+b*sin(beta)-c;% costetaD: Siehe Beschreibung im Artikel if (costeta>0)&(costetaD>0) S=m*costetaD; else S=0; end Ssum=Ssum+S;

end sum=Ssum/3600; % Eo; Eo Siehe ganz oben end

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Teil B: ED_aV_aH.m

% 3D Graphik zwischen Sonnenenergie auf Dachschräge und alphaH va alpha V.% Bezeichnung von alphaH und alpha V siehe Beschreibung im Artikel % Einheit der Sonnenenergie ist Eo = Ps*1h (J), mit die Solarkonstante Ps = 1360(W/m2)

clear all phi=51;% Breitengrad, beliebig anpassbar ntag5=182,% Summe der Tage ab dem 22.12., beliebig anpassbar, Beispiel: für den 25.12. istntag5=3

N=180+1;% Die Auflösung der Graphik für alphaV M=90+1;%Die Auflösung der Graphik für alphaH

for i=1:N; alphaV(i)=-180+(i-1)*360/(N-1);; for j=1:M; alphaH(j)=-90+(j-1)*180/(M-1);% betrachtet wird der Bereich von -90 bis +90

Ssum(i,j)=E_Dach(ntag5,phi,alphaV(i),alphaH(j)); end Berechnung_Prozent=i*100/N end;

surf(alphaH,alphaV,Ssum)title('Verlauf der Sonnenenergie'); xlabel('alphaH');ylabel('alphaV');zlabel('Energie x Eo'); grid on

Autoren

Dr. TRAN NGOC CHATFaculty of Physics, Hanoi National University of Education (HNUE), 136 Xuan Thuy street, Cau Giay district, Hanoi, Vietnam E-Mail: chathnue@gmail.com

Dr. SIMON F. KRAUSDidaktik der Physik Universität Siegen Adolf-Reichwein-Straße 2 57068 Siegen E-Mail: kraus@physik.uni-siegen.de