Physik A – VL40 (29.01.2013)Physik A VL40 (29.01.2013)

Wellenoptik I – Interferenz und Beugungp g g

• Strahlenoptik vs. Wellenoptik

• Interferenz

K hä◦ Kohärenz

◦ Zweistrahlinterferenz

◦ Interferometer als Messinstrumente◦ Interferometer als Messinstrumente

• Beugung

◦ Nahfeld und Fernfeld

◦ Fraunhofer-Beugung

1

Wellenoptik IStrahlenoptik vs WellenoptikStrahlenoptik vs. Wellenoptik• bisher: geometrische Optik: Licht kann als Strahl betrachtet werden◦ Strahl zeigt in Richtung der Ausbreitung der Wellenfrontg g g f◦ wird der Strahlbereich kleiner (Laser!) und kommt in den Bereich der Wellenlänge(0,5 Mikrometer!) ⇒ Wellenphänomene◦ Wellenphänomene bei allen Wellen: Wasserwellen◦ Wellenphänomene bei allen Wellen: Wasserwellen,

Lichtwellen, Schallwellen

W ll ä k i h d lö h i h I f◦ Wellen verstärken sich oder löschen sich aus: Interferenz

◦ Wellen gehen über Begrenzungen hinaus:

ÖBeugung an Öffnungen und an Hindernissen

2

Strahlenoptik vs Wellenoptik

Wellenoptik IStrahlenoptik vs. Wellenoptik• Kenngröße für Unterscheidung geometrische Optik / Wellenoptik:

Fresnel-Zahl F 2aFresnel Zahl F

Augustin Jean FresnelLaF⋅

=λ

2

λ

2a

Augustin Jean Fresnel(1788-1827)

Lλ

Lλ

a – charakteristische Größe der Blende (z.B. Radius)L – Entfernung des Schirmes zur Blende

◦ Fallunterscheidung:

F >> 1: Beugungseffekte vernachlässigbar → geometrische Optik(Lichtdurchtritt durch Blende ⇒ geometrischer Schatten)

F ≈ 1: Fresnel-Beugung

F << 1: Fraunhofer-BeugungBeugungseffekte

3

Strahlenoptik vs Wellenoptik

Wellenoptik I

• Wellenoptik und Huygens‘sches Prinzip:◦ jeder Punkt einer Wellenfront ist

Strahlenoptik vs. Wellenoptik

j fAusgangspunkt einer Kugelwelle

⇒ Beugungg g= Das Licht geht „um die Ecke“

4

→ Die verschiedenen Wellen überlagern sich, was zu Interferenzen führt

Interferenz

Wellenoptik I

• Beschreibung einer Welle:

Interferenz))(exp(),( 0 trkiAtrA ω−⋅⋅⋅=

rrr )sin(),( 0 trkAtrA ω−⋅⋅=rrr

Fü d A l d W ll l d S• Für die Amplituden zweier Wellen gilt das Superpositionsprinzip:

ϕ ϕ : Phasenverschiebungen der Wellen 1 und 2

))(exp())exp()exp(( 20,210,121 trkiiAiAAA ωϕϕ −⋅⋅⋅⋅+⋅=+rr

ϕ1, ϕ2: Phasenverschiebungen der Wellen 1 und 2

◦ Sonderfall φ1 = 0, Δφ = φ2-φ1 :

))(exp())exp(( 020121 trkiiAAAA ωϕ −⋅⋅⋅Δ⋅+=+rr

))(exp())exp(( 0,20,121 trkiiAAAA ωϕΔ+=+

• bei konstanter Phasenverschiebung Δφ gilt für A1 = A2:

V ä k I f i d20Δ AAA Verstärkung = Interferenzmaximum oder

Auslöschung = Interferenzminimum0:2:0

21

0,121

=+=Δ

=+=Δ

AAAAA

πϕ

ϕ

• ob Wellen sich auslöschen oder verstärken hängt von ihrem optischen Weg bzw dem• ob Wellen sich auslöschen oder verstärken, hängt von ihrem optischen Weg bzw. dem Gangunterschied Δx und damit der Phasendifferenz zwischen den Wellen ab:

Phasendifferenz xΔΔπϕ 2

5

Phasendifferenz xΔ=Δλ

ϕ

Interferenz

Wellenoptik IInterferenz

• Kohärenz: Wellen sind kohärent, wenn ihr Phasenunterschied zeitlich konstant ist⇒ konstruktive Interferenz oder destruktive Interferenz⇒ konstruktive Interferenz oder destruktive Interferenz

Wegunterschied ist Vielfaches von λWegunterschied ist λ/2

+12mλ⋅=Δ mx λ⋅+

=Δ2

12mx

◦ Interferenz tritt bei Licht nur bei kohärenten Wellen auf

z.B. von einem Laser

vs.

6

Interferenz

Wellenoptik I

◦ Licht ändert seine Wellenphase normalerweise sehr schnell: kohärentes Licht

Interferenz

• Kohärenz: Wellen sind kohärent, wenn ihr Phasenunterschied zeitlich konstant istp

nur bei Laser oder wenn weißes Licht speziell präpariert wird: - Filter und Blenden- Lichtbündel in zwei Teilbündel aufspalten und dann wieder überlagernf p g

Kohärentes Licht ist interferenzfähig: Kohärenz = Interferenzfähigkeit

7

Interferenz

Wellenoptik I

• bei Licht werden nicht die Amplituden, sondern die Intensitäten = Amplitudenquadrate detektiert: Auge, Photodetektoren sind quadratische Detektoren

Interferenz

⇒ „Interferenzterm“:

ϕΔ⋅++=+∝ cos2)( 2122

21

221 AAAAAAI

◦ Die Intensität wird maximal, wenn beide Phasen gleich sind, und minimal, wenn beide Phasen gerade entgegengesetzt sindfü l i h k F ld i d di I i ä 4 l ß b i k k i I f◦ für gleich starke Felder wird die Intensität - 4 mal so groß bei konstruktiver Interferenz

und - Null bei destruktiver Interferenz

42)0(: 22,121

22

2121 =++==Δ= AAAAAIAA ϕ

konstruktive Interferenz

02)( 2122

21 =−+==Δ AAAAI πϕ

8

destruktive Interferenz

Interferenz

Wellenoptik IInterferenz• Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz

◦ planparallele Schichten: Gangunterschied zwischen reflektierten Wellenplanparallele Schichten: Gangunterschied zwischen reflektierten Wellen◦ bei Reflexion am optisch dichteren Medium: Phasensprung von π oder Δx = λ/2

◦ durch den Phasensprung entstehtλkonstruktive Interferenz für λ⋅=Δ mx

λα ⋅=−⇒ mnd 22 sin2

◦ destruktive Interferenz für λ⋅+=Δ

212mx

λα ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−⇒

21sin2 22 mnd

2

ADBCABnx −+⋅=Δ )(

22 λ⎠⎝

vgl. VL382

sin2 22 λα +−=Δ⇒ ndx◦ Beispiele: Spiegel mit aufgedampfter Schicht,

Flüssigkeitsfilme, Seifenblasen,fü 0 2 λ

+Δ d

9

Federn/Flügel von Tieren für α = 0: (senkrechter Lichteinfall) 2

2 +=Δ dnx

Interferenz

Wellenoptik IInterferenz

◦ Beispiel: Farben dünner Filme• Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz

p- ist ein Film sehr dünn, kann nur für eine Wellenlänge konstruktive Interferenz

vorliegen, für alle anderen destruktive Interferenz = „Interferenzfilter“:⇒ Film erscheint in einer Farbe:

Verstärkung für ,...2,1,0,2

)1(22 =+==Δ mmdnx λ)1(2

4+

=mdn

mλ⇒

- z.B. d = 350 mm, n = 1,33:, ,

nm6214nm 18624

1

0

==

==

dn

dn

λ

λ⇒

← sichtbarer Wellenlängenbereich

nm 372543

2

1

== dnλ

g(Schicht hat eine rote Farbe)

◦ weitere Beispiele

10

Interferenz

Wellenoptik I

◦ Beispiel: Entspiegelung von Glas

Interferenz• Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz

p p g g- dünne Schicht zwischen Luft und Glas: zwei reflektierte Strahlen

an zwei Grenzflächen. Brechungsindex n(Luft) < n1 < n: → an beiden Flächen Phasensprung von λ/2p g

- gewünscht ist eine destruktive Interferenz zwischen beiden Teilstrahlen

- Bei senkrechtem Einfall: nn11 λ⋅+==Δ )21(2 1 mdnx

1 4220 ddnxm λλ

=⇔==Δ→=

⇒ die Schichtdicke sollte ein Viertel der Wellenlänge betragen ! d

142 n

- für sehr gute Entspiegelung müssen auch Intensitäten der Wellen gleich sein

⇒ für Glas mit n = 1 5 könnte man mit n = 1 22 entspiegeln

- vollständige, ideale Entspiegelung tritt ein für

für sehr gute Entspiegelung müssen auch Intensitäten der Wellen gleich sein

nn =1Herleitung über die Fresnel’schen Formeln,die sich aus den Maxwell-Gleichungen ergeben.

11

⇒ für Glas mit n = 1,5 könnte man mit n1 = 1,22 entspiegeln(es existiert aber kein haltbares Material mit n1 = 1,22; häufig verwendet wird MgF2 mit n1 = 1,38)

Interferenz

Wellenoptik I

◦ Platten mit veränderlicher Dicke / Keilplatten:

Interferenz• Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz

p⇒ Messung der Plattendicke

- für kleine Winkel α:2

)(2 λ+⋅≈Δ xdnx

2⇒ Auslöschung für

λ⋅+=Δ )21(mx

πλ

2md =⇒

⇒ Verstärkung für

λ⋅=Δ mx22

12 λπ

⋅−

=⇒md

22π◦ Beispiel: Newton‘sche Ringe

- Ringe entstehen, da die Linse durch Krümmung ständig den Phasen-/Wegunterschied des durchtretenden Lichts ändert:Wegunterschied des durchtretenden Lichts ändert:

Wege gleicher Phase liegen auf Ringen

- Radien, bei denen Auslöschung stattfindet (ohne Herleitung):

12

⇒ Abstand aufeinanderfolgender dunkler Ringe nimmt abRmmrRrm λλ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

22

2

Interferenz

Wellenoptik I

◦ Interferometer erzeugen auf verschiedenen Wegstrecken Gangunterschiede

Interferenz• Interferometer als Messinstrumente

zwischen Lichtstrahlen, die dann wieder zusammengeführt werden.

Aus den Interferenzmustern können dann Weglängenunterschiede, Brechungs-indexänderungen, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen bestimmt werden

◦ Beispiel: Michelson-Interferometer

- senkrechte Wegauftrennung- unterschiedliche Lauflängen durch Variation der

13

Beobachtete Interferenzringe

f gSpiegelabstände

Beugung

Wellenoptik IBeugung• Frage: Wie breitet sich Licht hinter einem Hindernis aus?⇒ Huygens‘sches Prinzip:

Kugelwellen vereinigen sich zu neuer Wellenfront◦ hinter dem Hindernis „fehlen“ Kugelwellen:

Interferenz erzeugt Propagation nur in einige Richtungen: Beugungsordnungen

◦ Beugungsmuster sind umso deutlicher, je weiter weg der Schirm vom beugenden Objekt steht (Abstand L): Unterscheidung zwischen Nah- und Fernfeld / -zone

Interferenz erzeugt Propagation nur in einige Richtungen: Beugungsordnungen

◦ Realisierung der Bedingungen der Fraunhofer-Beugung: Quelle und Schirm sehr weit weg vom beugenden Objekt

2a

weg vom beugenden Objekt, oder Linsenabbildung:

2

14λ

2aL <<λ

2aL ≈λ

2aL >>

Beugung

Wellenoptik I

◦ Abstand L des Schirms vom Spalt >> Spaltbreite a

Beugung• Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt

⇒ Licht fällt wieder parallel vom Spalt zum Schirm

◦ Überlagerung der Elementarwellen hinter dem Spalt (Huygen‘sches Prinzip) führtzur Interferenz = Verstärkung und Auslöschung in Abhängigkeit vom Beobachtungs-zur Interferenz Verstärkung und Auslöschung in Abhängigkeit vom Beobachtungswinkel α und den daraus resultierenden Gangunterschieden g:

L

◦ Gangunterschied zwischen Teilstrahlen für Auslöschung: αλ sin⋅=⋅ an

◦ Gangunterschied zwischen Teilstrahlen für Verstärkung: αλ sin1⎟⎞

⎜⎛ an

15

◦ Gangunterschied zwischen Teilstrahlen für Verstärkung: αλ sin2

⋅=⋅⎟⎠

⎜⎝

− an

Beugung

Wellenoptik IBeugung• Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt◦ Intensitätsprofil (ohne Herleitung):

1 100%Iges 2 sin2

sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ αak

0.8 20

sin2

2)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⎟⎠

⎜⎝⋅=

α

αak

II ges

0.4

0.6

◦ je kleiner die beugende Öff d ß

⎠⎝

0.2

4,5%1,6% )(αϕ

Öffnung, desto größer das Beugungsmuster

-10 -5 0 5 100

, )(αϕ

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Beugung

Wellenoptik I

◦ hat ein Beugungsobjekt mehrere Öffnungen kommt es zur Interferenz der Beugungsbilder

Beugung• Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt und Gitter

g g j ff g f g g

◦ Beugung am Doppelspalt

- zwei parallelen Spalte gleicher Breite b mit Mittenabstand a⇒ Jedes der beiden Teilbündel erfährt Beugung am einzelnen Spalt

Zusätzlich:Interferenz der Teilbündel, die von den beiden Spalten unter dem gleichen Winkel ausgehen. f , p g g

⇒ Zusätzliche Auslöschungen bei Gangunterschied λα ⋅+

=⋅=Δ2

12'sin max

17Quelle: Wikipedia

Beugung

Wellenoptik I

◦ hat ein Beugungsobjekt mehrere Öffnungen kommt es zur Interferenz der Beugungsbilder

Beugung• Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt und Gitter

g g j ff g f g g

◦ Optisches Gitter: N > 2 äquidistante Einzelspalte der Breite a mit Mittenabstand g. ◦ Interferenz vieler äquidistanter Einzelspalte:

)210sin =⋅=⋅=Δ mmgx λα

⇒ unter einem Winkel α kommt es zu konstruktiver Interferenz aller in diese Richtung laufenden Teilstrahlen bei Gangunterschied Δx benachbarter Teilstrahlen:

,...)2,1,0,sin =⋅=⋅=Δ mmgx λαHauptmaxima bei Beugung am Gitter

m = Ordnung der Interferenz

a◦ Es ergeben sich Maxima, die umso kontrastreicher d h hä f ä td.h. schärfer ausgeprägt sind, je größer die Anzahl N der Spalte ist.

18

Beugung

Wellenoptik IBeugung• Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt und Gitter

◦ Optisches Gitter: N > 2 äquidistante Einzelspalte

◦ Beschreibung des Beugungsmusters am Gitter:

Optisches Gitter: N 2 äquidistante Einzelspalte der Breite a mit Mittenabstand g.

g g gÜberlagerung der Muster an den N Einzelspalten

22

0

i1i

sin21sin

i1

sin21sin

⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

⋅

⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅=αα

k

kgN

k

kaII ges

Beugung am Beugung an

sin2

sinsin2 ⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎜⎝

⋅ αα kgka

Beugung amEinzelspalt

Beugung anN Spalten

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Beugung

Wellenoptik IBeugung• Fraunhofer-Beugung an zweidimensionalen Objekten◦ Spalte können in zwei Richtungen ausgedehnt sein: p g g

rechteckige (Kantenlänge D) oder kreisförmige (Durchmesser D) Öffnungen

◦ Beispiele:

Beugung von weißem Lichti k t Gitt

Beugung an Lochblende Beugungsmuster (Intensitäts-Verteilung) einer kreisförmigen an einem gekreuztem GitterVerteilung) einer kreisförmigen

Öffnung: Airy-Muster

◦ Bedingung für Minimum: αλ sin22,1 ⋅=⋅ Dm

20

g g f ,

Beugung

Wellenoptik I

⇒ Auflösungsvermögen zweier Lichtquellen:

Beugung• Fraunhofer-Beugung an zweidimensionalen Objekten

f g g q

◦ sind zwei Lichtquellen zu nahe beeinander, werden sie nicht mehr als getrennt wahrgenommen B i i l S h i f

◦ Auflösungsvermögen: zwei Punkte können noch getrennt werden, wenn das Maximum eines Beugungsbildes auf das erste Minimum des anderen fällt

wahrgenommen Beispiel: Scheinwerfer

Bedingung für Minimum:αλ sin22,1 ⋅=⋅ Dm

⇓⇓

21

Beugung

Wellenoptik I

◦ Beispiel Auflösungsvermögen eines Mikroskops:

Beugung• Fraunhofer-Beugung an zweidimensionalen Objekten

Beispiel Auflösungsvermögen eines Mikroskops:

- Trennung von einzelnen Punkten wird beschränkt durch den Durchmesser derLi (A t * d Li )Linse (Apertur* der Linse): ↔ Beugung am Objekt Linse

⇒ Abbe‘sches Auflösungskriteriumf g

- Bedingung für Minimum: αλ sin22,1 ⋅=⋅ Dm

⇒ Begrenzung auf ~ ½ Wellenlänge des beobachteten Lichtes

Ö

◦ Bei Fernrohren/Teleskopen: Rayleigh‘sches Auflösungskriterium

22

*Allgemein: Apertur eine Optik = Öffnungsweitez.B. Durchmesser einer Abbildenden Linse, Durchmesser einer Blende etc.

Beugung

Wellenoptik I

◦ Beispiel: Röntgenbeugung (Röntgendiffraktion) am Kristallgitter

Beugung• Fraunhofer-Beugung an zwei- und dreidimensionalen Objekten

p g g g ( g ff ) g

- für die Maxima der Röntgenstrahlung gilt die sog. Bragg-Gleichung

it λΔmit λ⋅=Δ nxλ⋅=Θ⋅ nd sin2⇒

d Rö ll lä d k !- die Röntgenwellenlängen sind kurz!

m 1010 109 −− −≈Rλ

Abb ‘ h A flö k it i ilt h hi

- Messung des Winkels Θ liefert die Gitterkonstante d des Kristalls

- Abbe‘sche Auflösungskriterium gilt auch hier:⇒ Auflösung im Bereich halber Wellenlänge = atomare Auflösung (im Å-Bereich)

Messung des Winkels Θ liefert die Gitterkonstante d des Kristalls- Systematische Aufnahme und Auswertung der Beugungsbilder des Kristalles unter verschiedenen Einstrahlwinkeln (Drehung des Kristalls im Röntgenstrahl) liefertInformationen über die Positionen der einzelnen Atome im Kristall

23

Informationen über die Positionen der einzelnen Atome im Kristall⇒ Röntgenstrukturanalyse

BeugungBeugung

Wellenoptik IBeugung

◦ Röntgenbeugung (Röntgendiffraktion) am Kristallgitter

Beugung• Fraunhofer-Beugung an zwei- und dreidimensionalen Objekten

g g g ( g ff ) g

- Beispiel: Entdeckung und St kt fkläStrukturaufklärung der DNA

(Rosalynd Franklin, 1920 - 1958)

pulverförmige Probe:Debye-Scherrer-Verfahren Röntgen-Beugungsbild der B-DNA.

Rosalind Franklin gelang diese

James Watson (links) und Francis Crick

Aufnahme, die James Watson und Francis Crick den letzen Hin-weis zur Struktur-

Kristalline Probe:

aufklärung der Erbsubstanz gab.(Quelle: Nature)

24

Kristalline Probe: Laue-Verfahren

Zusammenfassung• Interferenz entsteht durch optische Gangunterschiede von Lichtstrahlen wenn• Interferenz entsteht durch optische Gangunterschiede von Lichtstrahlen, wenn

deren Phase konstant bleibt: Kohärenz = Interferenzfähigkeit:• durch den Gangunterschied Δx entsteht ein Phasenunterschied. Mit Δx = λ und Δ φ = 2π

2

Phasendifferenz konstruktive Interferenz destruktive Interferenz

xΔ=Δλπϕ 2 λ⋅=Δ mx λ⋅+

=Δ2

12mx

• Interferenzen treten überall im Alltag auf: dünne Schichten, Spiegelungen an planparallelen Platten, Seifenblasen, Ölfilme, ...

• Interferometer nutzen optische Wegdifferenzen zur Messung von - Strecken, Brechungsindexänderungen, Rotationen, Spektrum von Lichtquellen, ...

• Beugung: Huygen‘sches Prinzip, Interferenz der Elementarwellen• Unterscheidung: Nahfeld = Fresnel-Beugung, Fernfeld = Fraunhofer-Beugung

• Fraunhofer-Beugung: Quelle und Schirm weit entfernt oder im Brennpunkt von Sammellinsen

• Beugung am Einzelspalt: Verstärkung Auslöschungαλ sin21

⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − an αλ sin⋅=⋅ an

g f g g, f f g g

2 ⎠⎝

• Beugung am Gitter (Spaltabstand g): Verstärkung für αλ sin⋅=⋅ gn

25

• Beugung an Lochblende (Durchmesser R): Auslöschung für αλ sin22,1 ⋅=⋅⋅ Dm