2. Wellenoptik2.1. Kohärenz

Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation

Quantenmechanik Energieunschärfe τ

Eδ 1

τEδ 1

τ

1ω

τ

1ω

Photon, = 2

atomare Übergänge Emission von Licht-Wellenpaketen (Photonen)

E1

Energieniveaus der Hüllenelektronen

2.1.1. Zeitliche (bzw. longitudinale) Kohärenz

E

E0 Grundzustand: Lebensdauer

E1 angeregter Zustand: Lebensdauer e

ωEEνh 01 ωEEνh 01 2h 2h

Emittierter Wellenzug (fester Ort):

ωdeωE~

tE tωi ωdeωE~

tE tωi

t detEωE~

tωiπ2

1 t detEωE

~ tωi

π21

Fourier-

Transformation

unendlich scharfe Frequenzlinie unendlich langer Wellenzug

unendlich kurzer Lichtpuls unendlich breites Frequenzspektrum

ωE~

ωE~

ωI~ tEtEtI

tI

tt0

Unschärferelation

tE1tω

γ

ω0

ωI~

τω

1t

τ

ω

1t

τ

1ω

τ

1ω

Mathematische Fassung des Kohärenzmaßes:

Korrelationsfunktion:

22

21

1212

2112

EE

ττγ

τtEtEτ

τγReII2III 122121tot τγReII2III 122121tot

τ

1Δνπ2ω

τ

1Δνπ2ω

ω0

ωI~

Strahl 1 Strahl 2

τω

1t

τ

ω

1t

Anschauliche Formulierung:

In Kohärenzzeit tK laufen Strahlen 1, 2 in der relativen Phase um 2 auseinander weitgehende Phasenmischung des Wellenpakets.

Die Kohärenzlänge l ist der Gangunterschied (Abstand phasen-gleicher Punkte) zwischen Strahlen 1, 2, der in Kohärenzzeit auftritt.

λΔ

λ1

ν

ctc

2

λ1K

Länge des kohärenten

Wellenzuges

Beispiele:

E

E0 Grundzustand:

E1

metastabiler Zust. e e

Spontane Emission Induzierte Emission

CO2-Laser: 10,6 m, 105 nm l 11 km

1)Weißes Licht: 400 700 nm

550 nm

2)Quecksilberdampflampe, grüne Spektrallinie:

546 nm

0,025 nm

3)Laser (Light Amplification by Stimulated Emittion of Radiation)

cm1,2λΔ

λ

2

m1μλΔ

λ

2

2.1.2. Räumliche (bzw. laterale) Kohärenz

ausgedehnte Lichtquelle

phasenkorreliert,longitudinal kohärent Überlagerte, verwaschene

Interferenzmuster

interferenzfähige Strahlen

interferenzfähige Strahlen

Kohärenzfläche Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung mitrelativen Phasenmischungen bzgl. Interferenzpunkt.

Kohärenzvolumen Volumen mit lateraler und longitudinaler Phasenmischung bzgl. Interferenzpunkt.

reale QuelleBeispiel: Sonne Beteigeuze (Orion)

Kohärenz-fläche

Kohärenz-flächen

ideale ebene Welle

ideale Kugelwelle

4 r2

Beispiel:

P1

P2

lausgedehnte Lichtquelle

B

A

Völlige Ausschmierung des Interferenzbildes in P:B: 0 maximale Helligkeit in P

A: Auslöschung in P

r

s

Schirm

P

, d.h. 2λδ

r

sδθ

, wobei

Interferometer

Kohärenzbreite:θ2

λ

2

λ

s

r Kohärenzfläche:

4

λ1 22

Raumwinkel der Lichtquelle vom Interferometer aus gesehen

2.1.3. Erzeugung kohärenter Wellen

a) Phasenstarre Sender:

b)Strahlteilung:

L1

L2

Inter-ferenz

b)Virtuelle Mehrfachbilder einer Quelle:

L

2.2. Interferenz

2.2.1. Zweistrahlinterferenz

Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen

r1k

2k

22

2

11

1

tωrki02

tωrki01

eEt,rE

eEt,rE

t,rEt,rEt,rE 21

Interferenzbild: 1221

2

0 IIIt,rEcεrI

zeitliches Mittel

Tafelrechnung rδcosnnII2I 212112

rδcosnnII2I 212112

E

En

1,2

1,2

0

0

2,1

E

En

1,2

1,2

0

0

2,1

rkkrδ 1212

rkkrδ 1212

rδcosnnII2I 212112

rδcosnnII2I 212112

E

En

1,2

1,2

0

0

2,1

E

En

1,2

1,2

0

0

2,1

rkkrδ 1212 rkkrδ 1212

Folgerungen:

a) Nur Anteile gleicher Polarisation interferieren;

b)

c)

0Inn 1221

221

2

21

2121211221

IIIII

II2,II2rδcosII2Inn ][

002121 I4I0III und nn

Bemerkung: Überlagerung inkohärenter Strahlen 021 I2III

ycosI4

y2cosI2I2I

sλπ2

0

sλπ

00

y

I(y)4 I0

0sλ

sλ

sλ2

sλ3

sλ2

sy

λλπ2

λπ2

λπ2

12 π2θtanθsinδ

Beispiel 1: Youngscher Doppelspalt 2 punktförmige kohärente Lichtquellen

l,

enger Spalt Punktquelle Doppelspalt, l ≫ Spaltbreiten

2 Punktquellen Schirm

x

y

.

1k

2k

s

21 kk

Einschub

Phasensprünge bei Reflexion

B: Brewster-Winkel

0

0 90B

R

0

0 90B

R

0

0 90B

R

E

E,x

E,z

n1

n2 n1

reflektierter Teilstrahl

Strahlebene

transmittierter Teilstrahl

x

z

Einschub

B: Brewster-Winkel

C: kritischer Winkel (Totalreflexion)

Phasensprünge bei Reflexion

0

0 90B

R

C

E

0

0 90B

R

C

E,z

0

0 90B

R

C

E,x

n1

n2 n1

reflektierter Teilstrahl

Strahlebene

transmittierter Teilstrahl

x

z

Beispiel 3: Der Lloyd-Spiegel

Schirml

,

ys ≫ l

Spiegel

Punktquelle

Spiegelbild: virtuelle Punktquelle

I(y)

ππ2δ sy

λ

Doppelspalt Phasensprung bei Reflexion (streifender Einfall)

ysinI4y2cos1I2πy2cosI2I2I sλπ2

0sλπ

0sλπ

00

Beispiel 2: Das Michelson-Interferometer Siehe Relativitätstheorie

Beispiel 4: Das Fresnelsche Biprisma

y

n

O

l

d ≫ Basislänge s ≫ l

β

nβ

nβα

βαn βα1n

dα1ndβα1ndβ2

Einsetzen in Doppelspalt-Formel

ycosI4I sλ1nαdπ22

0 ycosI4I sλ1nαdπ22

0

I(y)

I3

Beispiel 5: Planparallele Platte

Linse

A

B

C

D

I0 I1

I2

d

n

n0 = 1

n0 = 1

01 IRI

112

02

2 IIR1IR1RI O

2122

023

3 I,IIRIR1RI

Fresnel-Formeln

Intensitätsreflexionskoeffizienten

βRαRR00 nnnn

oft ≪ 1

zu vernachlässigen Zweistrahlinterferenz

Tafelrechnung Gangunterschied παsinndλ

π4δ 22 παsinnd

λ

π4δ 22

relativer Phasensprung der Reflexionen in A und B Maxima: m

Minima: (2m+1)m ℤ

Beispiel 6: Newtonsche Ringe

R

Glasscheibe

sphärische Linse, Diapositiv …

r

Licht,

d

①

d relativer Phasensprung

Tafelrechnung Gangunterschied π2δ 21

Rλr2 π2δ 2

1Rλ

r2

Maxima:

Minima:

Rλmrπm2δ 21

Rλmrπ1m2δ r

I Transmission komplementäres

Muster

Reflexion: I2 I1 = R I0 starker KontrastTransmission: I2 R2 I1 I1 schwacher Kontrast

②

2.2.2. VielstrahlinterferenzGut reflektierende Grenzschichten Mehrfachreflexionen relevant

Beispiel 1: Planparallele Platte (verspiegelt), d.h. R nicht ≪ 1

B1 B2 B3

C3C2C1n

A3

A0 A1 A2

d

n0 = 1

n0 = 1

A4

D3D2D1

2.2.1. Beispiel 5

Gangunterschied

benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge

αsinndλ

π4δ 22 αsinnd

λ

π4δ 22

|A|R

RR1|C|R1|A| |A|R|A| 0

k

k1k01

Amplitudenbeträge:

|A|R1RR|B|RR|C|R|C|

|C|R|C|

01k

11k

11k

k

k1k

k ℕ

B1 B2 B3

C3C2C1n

A3

A0 A1 A2

d

n0 = 1

n0 = 1

A4

D3D2D1

Phasensprünge:

• A2A3A4: je zusätzlich 2 identische Reflexionen R 0

• Polarisation : A0A1: R A0A2: R 0

• Polarisation und B:A0A1: R 0 / A0A2: R / 0

• Polarisation und B: A0A1: R / 0 A0A2: R 0 /

Generelles Resultat: A1 A2 A3 A4 A5 R R 0 R 0 R 0

B1 B2 B3

C3C2C1n

A3

A0 A1 A2

d

n0 = 1

n0 = 1

A4

D3D2D1

Tafelrechung Reflektierte Gesamtintensität:

R0T

2

0

2

1kk

0

R

III

A

A

I

I

Airy-Formeln

2δ2

0

T

2δ2

2δ2

0

R

sinF1

1

I

I

Fsin1

sinF

I

I

mit

R1

R4F 2

R1

R4F 2

,0F

R 0 R 1

αsinndλ

π4δ 22 αsinnd

λ

π4δ 22

Airy-Formeln

2δ2

0

T

2δ2

2δ2

0

R

sinF1

1

I

I

Fsin1

sinF

I

I

R1

R4F 2

R1

R4F 2

αsinndλ

π4δ 22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2m 2m

0

T

I

IR

0.1

R

0.5

R

0.9

F1

1

Halbwertsbreite der Transmissionsfenster:

F

1δ4

ε22

επm2221

II arcsin4ε1sinF1sinF δδ2

1

0

T

0ε1ε1RR

R12

F4

δδ

Variante: Fabry-Perot-Interferometer (FPI) höchstauflösende Spektroskopie (-Messung)

d

QuarzAntireflex-Beschichtung (Vergütung)

Antireflex-Beschichtung (Vergütung)

50 nm Ag-Schicht (aufgedampft)

wie planparallele Platte mit n 1 („Luft-Platte“)

Frequenzmessung bei punktförmiger Quelle:

n

dL1 L2

Quelle Detektorν

sinndδ

cdnπ4

λdnπ4

0α22

λπ4

Transmissions-Maxima:

πm2δm dn2mc

mmdn2

m νλ

Frequenzabstand zweier Maxima: dn2c

m1m ννν (freier Spektralbereich)

Halbwertsbreiten der Maxima: νεε

RπR1

R

R12π2νΔ

δdnπ4c

ν

Frequenzauflösung:R1

Rπ

ε

νΔF

ν Finesse:

Anschauliche Bedeutung: Zahl der interferierenden Teilwellen

Frequenzmessung bei ausgedehnter Quelle:

cosd

sinndδ

λπ4

1n

22λπ4

FPI

dL1, f1

L2, f2

Quelle Detektor

f1 f2

Transmissions-Maxima: λmαcosd2πm2δ mm konzentrische Ringe mit Radius f2 tan m (bei festem ) in Detektorebene

Dm

3mm2m2m ααf2αtanf2D Ο

4m

2mm αα2dαcosd2λm Ο

mλ

d2

d

λf4αf4D

222

m22

2m

m

λ

d2

d

λf4αf4D

222

m22

2m

Dm

mλ

d2

d

λf4D

222

m

m

λ

d2

d

λf4D

222

m

Ringnummerierung von innen:

mmp 0 mit λ

d2m 0

Exzess: 0,1 mλ

d2ε~ 0

ε~pd

λf4D

222

p ε~pd

λf4D

222

p

2pD

p0 1 2 3 4

ε~d

λf4 22

d

λf4tan

22 d

λf4tan

22

Beispiel 2: Dielektrische Spiegel

Metallspiegel starke Absorption von e.m.-Wellen in Metallen

1κ1n

κ1n

1ε

1εRκinε

nκ

22

2220βα

typische Werte: R 0,90 0,95

Dielektrische Spiegel: R 0,99995 erreichbar (für feste )

1m

Glassubstrat

≫ n3

n1

n2

• 1520 aufgedampfte Schichten, alternierende Brechungsindizes

• Schichtdicken Computer-optimiert für Wellenlänge

• reflektierte Strahlen kohärent und konstruktiv interferierend

(nicht absorbierend)

Beispiel 3: Vergütung (Antireflexschicht)

Ziel: Beseitigung von Reflexen bei Brillen, Objektiven, Elementen in komplexen optischen Aufbauten (Laborexperimente)

Methode: „Inverser“ dielektrischer SpiegelVielschichtvergütung Reflexbeseitigung in breitem -Bereich

(z.B. sichbares Licht)

Einfachster Fall: Einschichtvergütung für feste Wellenlänge

Glas

n2 n1

n1

Auslöschung

Verifikation Übung

2.3. Beugung

2.3.1. Kirchhoffsche Beugungstheorie

Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen

z

x

y Blende bei z 0S

PSender

λ

π2k Empfänger

Dd

Einlaufende Amplitude für eine Punktquelle

D

eAE

Dki

S D

eAE

Dki

S

Auslaufende Amplitude ( Überlagerung von Kugelwellen)

dy dxd

eyx,Ey,x;cos,θcosCE

dki

S

Blende

P dy dxd

eyx,Ey,x;cos,θcosCE

dki

S

Blende

P

yx,εcoscosθC π4ki yx,εcoscosθC π4ki

(x,y) Durchlässigkeit der Blende; oft 1

Skalare Theorie ohne Polarisations-

effekteEE

eEeEy,xE yx kykxi

0rki

0S

Einfallende ebene Welle ( unendlich weit entfernte Punktquelle):

dy dxd

eyx,Ecosθcosy,xε

π4

kiE

dki

S

Blende

P dy dxd

eyx,Ecosθcosy,xε

π4

kiE

dki

S

Blende

P

P

z

x

y z 0

d

k

Well

enfro

ntyyxx sinθk k sinθkk

dy dx

d

eecosθcosy,xε

π4

EkiE

dkisinθysinθxki

Blende

0P

yx dy dx

d

eecosθcosy,xε

π4

EkiE

dkisinθysinθxki

Blende

0P

yx

dy dxd

ecos1y,xε

π4

EkiE

dki

Blende

0P dy dx

d

ecos1y,xε

π4

EkiE

dki

Blende

0P

Spezialfall: Senkrecht einfallende ebene Welle 0θθθ yx

Fraunhofer-Beugung: Quelle & Empfänger im Unendlichen

mathematisch präzise: d,D λρ2

d,D λρ2

D Abstand Quelle / Blended Abstand Blende /

Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts

yx,

iny,x sinθkk

yx,

outy,x sinkk

Experimentelle Realisierung:

L2L1

Schirm / Detektor

Quelle

Blende

dy dxecosθcosy,xε.constE yyxx sinsinθysinsinθxki

Blende

P

sinyksinxk0,0dky,xdk dλρ

yx

2

O sinyksinxk0,0dky,xdk dλρ

yx

2

O

Taylorentwicklung:

Oft ist 0, ≪ 1 dy dxey,xε.constE yx yxki

Blende

P dy dxey,xε.constE yx yxki

Blende

P

Fresnel-Beugung: Quelle oder Empfänger nahe an der Blende

mathematisch: Doder d λρ

λρ 22

Doder d λρ

λρ 22

experimentell erzeugbar ohne Linsen

b) Nahzone Quelle:

zS

Blende

Beugungsbild

λ

ρz

2

S λ

ρz

2

S

im Unendlichen

D Abstand Quelle / Blended Abstand Blende /

Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts

a) Nahzone Bild:

ebene Welle zP

Blende Schirm

Beugungsbild

λ

ρz

2

P λ

ρz

2

P

2.3.2. Beugung am Spalt ( Fraunhofer-Grenzfall )

a) unendlich ausgedehnt in y 1-dimensionales Problem

b

b x ≪ 1

x

2b

2b

xy xkiyki edxedyE

ykeine Ablenkung

in y-Richtungkeine Ablenkung

in y-Richtung

Tafelrechnung u

usinIuI

2

2

0 u

usinIuI

2

2

0

2

kb

λ

bπu xx

2

kb

λ

bπu xx mit

I

u 22 uBreite:

b klein breites Beugungsbild

b ≫ geometr. Optik, I(u) (u)

bλ2π2u x

b) Rechteckspalt

bx

2xb

2xb

x

2yb

2yb

y xkiyki edxedyE

v

vsin

u

usinIuI

2

2

2

2

0 v

vsin

u

usinIuI

2

2

2

2

0

yy

yy

xx

xx

2

kb

λ

b πv

2

kb

λ

bπu

yy

yy

xx

xx

2

kb

λ

b πv

2

kb

λ

bπu

mit

by analoges Resultat in zwei Dimensionen

Fraunhoferbeugung an Dreiecksblende

b

c)

d) Lochblende

22

22

yR

yR

R

R

yki22R

R

yki ydeyR2dxedyE

Tafelrechnung

u

uJ2IuI

2

10

u

uJ2IuI

2

10

Rk

λ

Rπ2u Rk

λ

Rπ2u mit

x

y

R

drehsymmetrisches Beugungsbild o.B.d.A. y , x 0

Besselfunktionen: „Winkelfunktionen” (sin, cos) für Polarkoordinaten

1n2

u

2

u

1kn!k

1

dncoseπ

iuJ

n

n0uk2n

0k

k

π

0

cosuin

n

( nℤ, uℂ\],0] )

( nℝ\{1,2,} )

asymptotisch ( u ): 23

uucosuπ

2uJ 4

π2πn

n O

J0

J1

J2J3

J4

u

Die ersten Besselfunktionen

u

uJ2IuI

2

10

u

uJ2IuI

2

10

Rk

λ

Rπ2u Rk

λ

Rπ2u mit I

uu1 u2 u3

I01735,10u

0156,7u

8317,3u

3

2

1

u

Breite des Hauptmaximums:

λ

Rπ2u2u 1

R

λ22,1

R

λ

π

u1

2.3.3. Beugung am Gitter ( Fraunhofer-Grenzfall )

Tafelrechnung

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

2

kd

λ

dπu

2

kb

λ

bπu

xxd

xxb

2

kd

λ

dπu

2

kb

λ

bπu

xxd

xxb

mit

b

d

N Spalte

b

x ≪ 1

x

0

d

1N

0j

bdj

dj

xkiykiyx

xy edxedy,E

y xE

Beugung am EinzelspaltN-Strahl-Interferenz der N Einzelspalte (analog Fabry-Perot)

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

2

kd

λ

dπu

2

kb

λ

bπu

xxd

xxb

2

kd

λ

dπu

2

kb

λ

bπu

xxd

xxb

a) b 0: Reine N-Strahl-Interferenz

0II

λ

d

π

ux

d

6N N 2

Neben-maxima

Ordnung der Hauptmaxima

0 1 212

b) b 0: Interferenz der Beugungswellen der N Spalte

0II

λ

d

π

ux

d

d6,0b

6N

Modulationsfunktion Beugungsmuster

des Einzelspalts

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

2

kd

λ

dπu

2

kb

λ

bπu

xxd

xxb

2

kd

λ

dπu

2

kb

λ

bπu

xxd

xxb

Linientrennung ( Auflösungsvermögen für Wellenlängenmessung )

0II

λ

d

π

ux

d

6N

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

usin

uNsin

u

usin

N

II

d2

d2

2b

b2

20

x

0x dλ

x dλ

x

dNλ

x dNλ2

x dN

λx

Trennung benachbarter Hauptmaxima:

Breite eines Hauptmaximums:

dλ

x

dNλ2

xε 12

N

ε

Δ

x

x

2.3.4. Die Fresnelsche ZonenplatteFresnelbeugung quantitativ blinde Numerik per Computerhier: semiquantitative Betrachtung physikalisches Verständnis

Definition: Die n-te Fresnel-Zone ist der Ring mit n1 n (wobei 0 0), für den die Strahlen von S gerade einen maximalen Gangunterschied von 2 besitzen.

oder kurz:2

λnδδ

zS P0R r

n

n n

R,rδδ,

zS P0R r

n

n n

2

λnδδ

r2

ρ222n

2

R2ρ222

n2

2n

2n

δδr2rδrρr

δδR2RδRρR

R,rδδ,

r

1

R

1

2

ρδδ

2

λn

2n

λRr

Rrnρn

S1

S2

S3

S4

Fläche der n-ten Zone:

λπρρπS RrRr2

1n2nn

konstant ( unabhängig von n )

1S

S1

S2

S3

S4

n1

n1 n1

2

λ1nδδ

zS P0R r

R,rδδ,

dy dxδr

e

δR

ecos,θcosCE

δrkiδRki

S

n

n

n

rkiRki

1n1nδδki S

δr

e

δR

ecos,θcosCe

1,1Ccosθcos 1n1n21

1ee 1nπ1nik1ni 2λ

1n1n cosθcosrR

S1

S2

S3

S4

n1

n1 n1

2

λ1nδδ

zS P0R r

R,rδδ,

Sr

e

R

e1,1Ccos,θcosf1E 1

rkiRki

1n1n1n

n

E1

cos,θcosfE1 1n1n11n

alternierende Amplituden

mit n langsam abnehmende Beträge

S1

S2

S3

S4

cos,θcosfE1E 1n1n11n

n cos,θcosfE1E 1n1n11n

n

N

1jjE

N

1E

121 E

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Grenzwert

Folgerungen:

• Volle Apertur: 214

12

2E200

P EEI 1

• Lochblende S1: 0

PP

2021P I4IE4EI

• Lochblende S1 S2: 0IP

• Abdeckung S1: Poisson-Fleck 0PP

214

12

102 IIEEEE

S1

S2

S3

S4

Fresnelsche Zonenplatte: Abdeckung von S2, S4, S6,

konstruktive Interferenz der offenen Zonen, 0PP II

R Brennweite f r wobei rλnλRr

Rrnρ

R

n

Hauptbrennpunkt: λ

ρf

21

λ

ρf

21 Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen

cos,θcosfE1E 1n1n11n

n cos,θcosfE1E 1n1n11n

n

N

1jjE

N

1E

121 E

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Grenzwert

Zonenplatte aus Germanium Röntgenlinse

Zentrum

Randbereich äußere Ringe 30 nm breit

2.3.5. Das Babinetsche Prinzip

Zwei komplementäre Blendenöffnun-gen erzeugen identische Beugungsbil-der in allen Raumbereichen, die vom einfallenden Licht bei Abwesenheit der Blenden nicht beleuchtet werden.

Lichtwelle

P 0E 0

Beweis: Superpositionsprinzip 021 EEE 21210 IIEE0E q.e.d.

P 1EBlende

P 2Ekomplementäre

Blende

P2

3.3.6. Räumliches Auflösungsvermögen

P1

S1

S2

2 Quellpunkte

BildebeneH1 H2

optisches System

G

g

I

Rayleigh-Kriterium: S1 und S2 heißen gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des Beugunsscheibchens von S1 im ersten Minimum des Beugungsscheibchens von S2 liegt.

I

2Dλ1,22

Bθ

minmin

Dλ22,1

B21

min

δθ gδG

θδθ

minmin

Dλ22,1

B21

min

δθ gδG

θδθ

Winkelauflösung:

Ortsauflösung:

1

minG

1

minθ

GδR

θδR

Gute Auflösung erfordert kleine Wellenlänge und große Aperturöffnung

Aperturblende

( Eingangspupille )

D

Beispiel: Das Fernrohr

D

ObjektivlinseOkularlinse

Filter

Stern 2

Stern 1D

λ22,1minδθ D

λ22,1minδθ

Beispiel: Das Auge

Pupille: D 1 8 mm

Linse: f 24 mm

0,4 0,7 m

13,23,0θδ

nm550

min

O

Beugungsscheibchen: μm7θδf min ( Lichtrezeptoren (Stäbchen) haben tatsächlich etwa diesen Abstand voneinander )

Deutliche Sehweite: cm25g

μm70θδgGδ minmin

Beispiel: Das Mikroskop

22,122,1Gδ Dnfλ

Dfλ

min0 22,122,1Gδ Dnfλ

Dfλ

min0

f

Dsin 2

1

2α

2α

021

min

sinn.A.NN.A.

λ22,1Gδ

Numerische Apertur

Lichtstärke des ObjektivsFaustregel: Prinzipielle Grenze der Auflösung bei ½

S1

S2

G

g f

Objektivlinse, f

D

Immersionsöl, n

Zwischenbildebene

b t Tubuslänge

Okular (Lupe)

Objektebene

0

0n1 λλ

2.3.7. Abbesche Theorie der Abbildung

Wann sind die Doppelspalte noch als zwei Spalte auflösbar?

Bildebene

S1

S2

Doppelspalt

d

g

Aperturblende

D

P2

P1

H1 H2

optisches System0. Ordnung1. Ordnung

1. Ordnung

1. Fall: Aperturblende lässt nur 0. Beugungsordnung durch heller, strukturloser Fleck kein Interferenzmuster d nicht messbar.

2. Fall: Aperturblende lässt mindestens auch 1. Beugungsordnung durch charakteristisches Interferenzmuster d messbar.

Anwendung der Abbe-Theorie auf Scheibchen des Durchmessers Gmin:

g22,1Gδ22,1D Dλ

minGδgλ

min

identisch mit Rayleigh-Kriterium!

1. Ordnung

minGδλ22,1 0. Ordnung

1. Ordnung

Gmin

2.4. Instrumente und Methoden

2.4.1. Spektrographen Messung von I()

a) Interferometer: -abängige Transmission (z.B. Fabri-Perot-Interferometer)

a) Spektrograph: räumliche Trennung verschiedener Wellenlängen z.B. Prismenspektrograph: -abhängige Brechung z.B. Gitterspektrograph: -abhängige Beugung

c) Monochromator: Spektrograph mit Selektionsspalt

Begriffe:

sehr viele Typen und Varianten

Prinzip des Prismenspektrographen:

Geometrische Optik VL

λd

nd

sinn1

sin2

λd

δd

2γ22

2γ

λd

nd

sinn1

sin2

λd

δd

2γ22

2γ

(symmetrischer Strahlengang)

λd

δdf

λd

xd

λd

δdf

λd

xd

1

2

x

f

n

Licht-quelle Spalt

Basislänge des ausgeleuchteten

Prismas

b

1

Schirm / Detektor

x

Prinzip des Gitterspektrographen ( hier: Strichgitter ):

Licht-quelle

SpaltGitter

Strichabstand df

x

m

Hauptmaximum, m-te Beugungsordnung

Schirm / Detektor

1

2

xm

Kap. 2.3.3. d

λmθ m

d

λmθ m

d

fm

λd

xd

d

m

λd

θd mm

2.4.2. Spektrales AuflösungsvermögenProblem: Für welches sind die Bilder der Wellenlängen 0 und gerade noch trennbar? Verwende Rayleigh-Kriterium!

I

Bild für 0Bild für

Der maximale optische Gang-unterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellen-länge verschoben. Eintrittspupille

( Strahlbreite )

HauptmaximumL0

erstes MinimumL L0

Beugungsbild

DD

Beugung an Eintrittspupille D

Der maximale optische Gangunterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellenlänge verschoben

00 λpλL

λpλL λ1pλL

Folgerung:

1λ

λL

λ

λL

0

0

1λ

λL

λ

λL

0

0

0λδmit λδλλ 0

0

0

λ0λ0

0

λ

λL

λd

Ld

λ

1

λ

λL

d

d

λ

λL

λ

λL

λδ

1

00

Beachte:

1

0λ

0

λ

L

λd

Ld

λδ

λ

Spektrales Auflösungsvermögen:

00 λ1pλL

I

Bild für 0Bild für

00 λλd

nd

λλdLΔd b

0λ

0

λ

L

λd

Ld

λδ

λ

Spektrales Auflösungsvermögen:

Beispiel: Prismenspektrograph

n

bStrahlengang der geometrischen Optik

bei Wellenlänge 0 Hauptmaximum

2Fermatsches Prinzip L0 L20

0λL 0

Wege (1,2) im Prisma nicht gemäß geometrischer Optik (Beugung):λ λδbbλnbλnλLλL

0λdnd

0022

λδλLΔ0λλd

LΔd0 0

λLλLλL 12 0

20

1 λLλL Spektrales Auflösungsvermögen

des Prismenspektrographen:

0λ

0

λd

λndb

λδ

λ

Beispiel: Gitterspektrograph

Gitter mit N Strichspalten, Strichabstand d

Strahlengang der geom. Optik

( L 0 )

m-tes Beugungs-Maximum des Gitters bei 0

Nd

m

.m

L

Ablenkungsrichtung m fest

0

d

Ld

.constθsindNL m

Nmλδ

λ0 Spektrales Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen mit N ausge-

leuchteten Spalten in Beugungsordnung m

0λ

0

λ

L

λd

Ld

λδ

λ

Spektrales Auflösungsvermögen:

d

mdNL

d

msin 00

m

Nm

λ

λLΔ

0

0

2.4.3. Holographie

Foto:

inkohärente Lichtquelle

Objekt ( Motiv

)

Streu-/ Reflexionslicht

Objektiv-Linse

Fotoplatte / Film / Netzhautin (x,y)-EbeneI(x,y) Schwärzung des Negativs

Erregung der Lichtrezeptoren

Ein Foto stellt eine zweidimensionale Projektion des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist verloren.

( Auswege: Stereoskopische Fotographie; belebte Natur: Beobachtung durch mindestens zwei Augen )

Hologramm:

Objekt

Streu-/ Reflexionslicht

Fotoplatte in (x,y)-Ebene

Ein Hologramm stellt eine dreidimensionale abstrakte Codierung des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist in dem

Interferenzmuster von Referenz- und Objektwelle verborgen. Das Bild ist keine optische Abbildung.

kohärente Lichtquelle

( Laser )

Strahlteiler

xy

z

Referenz-Welle

0k

I(x,y,) Schwärzung

r

Objektwelle ( eine harmonische

Komponente )

Sk

Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz-

und Objektwelle

Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz-

und Objektwelle

xy

z

Referenz-Welle

0k

I(x,y,)

r

Objektwelle

0yx

r

tωrkiexpAE 000

Referenzwelle: y,x0

tωx,yiexpAE SSS Objektwelle:

SSSS

0000

AAAA

AAAA

Nomenklatur:

Schwärzungsgrad der Fotoplatte Energiestromdichte I(x,y):

S02S

200

2

S00 EERe2AAεcEEεcyx,I

S0i

S02S

200 eAARe2AAεc

Interferenzterm Entfernungsinformation dritte Dimension

Beispiel: Hologramm eines ebenen Spiegels

Das Hologramm eines ebenen Spiegels ist ein Sinus-förmiges Beugungsgitter. Technische Anwendung

Fotoplatte in (x,y)-Ebene

kohärente Lichtquelle

(Laser)

Strahlteiler

xy

z

Referenz-Welle

0k

r

Objektwelle (ebene

Welle)

Sk

Spiegel

rky,x

rky,x

SS

00

rky,x

rky,x

SS

00

1α 2α

I d

21 αsinαsin

λd

21 αsinαsin

λd

Beispiel: Hologramm einer Punktquelle

Das Hologramm einer Punktquelle ist ein ,,Sinus-förmige” Fresnel-Zonenplatte. Technische Anwendung

Symmetrie Interferenzbild = f()

I

transparenter Film in (x,y)-Ebene

Lochblende Punktquelle

Referenzstrahl vom Strahlteiler

Referenzstrahl

d ≫

tωdki2d2

ktωi22

22S

tωi00

eρiexpd

1eρdkiexp

ρd

1tρ,E

etEtρ,E

.constρcosρI 02

dλπ .constρcosρI 0

2dλ

π

Fresnel-Zonen

Bemerkungen:

• Jeder Punkt des Hologramms enthält Informationen von dem gesamten, von diesem Punkt sichtbaren Teil des Objekts

• Größere Fotoplatte mehr ,,Rundum-Information”• Größere Fotoplatte mehr ,,Speicherfläche” pro Objektpunkt

höhere Auflösung

0S0S E%10EI%1I

• Intensität der Objektwelle ist unkritisch:

Beispiel:

Kontrast des Interferenzbildes:

5,1

9,0

1,1

EE

EE

I

I2

2

2

0S

2

0S

min

max

Rekonstruktion eines dreidimensionalen Bildes von einem Hologramm:

Laser

Rekonstruktions-Welle

Rk

0. Beugungs-Ordnung

Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y)

Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y)

Rekonstruktionswelle:

Transmission:

y,xIγTyx,T

tωrkiexpAE

cε1

0

RRR

0

SchwärzungskoeffizientTransmission des unbelichteten Films

1. Beugungs-Ordnung

reelles Bild

1. Beugungs-Ordnung

virtuelles Bild

Laser

Rekonstruktions-Welle

Rk

0. Beugungs-Ordnung

Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y)

Transmissionswelle:

tωrkkiexpAAAγ

tωrkkiexpAAAγ

EAAγTEy,xTE

S0RS0R

S0RS0R

R2S

200RT

durchlaufende Referenzwelle

virtuelles Bild (a)

reelles Bild (b)

(a) Objektwelle in Richtung virtuelles Bild0R1 kkk

(b) zeitlich rückwärts laufende Objektwelle in Richtung reelles Bild0R2 kkk