Physik A – VL24 (04.12.2012)VL24 (04.12.2012) · Die thermische Ausdehnung von Gasen Das ideale...

Physik A – VL24 (04.12.2012)Physik A VL24 (04.12.2012)

Thermodynamik (Wärmelehre) I – Die Temperatury ( ) p

• Temperatur Temperatur

• thermische Ausdehnung

◦ Festkörper und Flüssigkeiten

◦ Gase → Das ideale Gas

1

Thermodynamik IDie TemperaturDie Temperatur

• Der Wärmezustand ist nicht mit bisherigen physikalischen Begriffen beschreibbar

⇒ neue Größe: Temperatur⇒ neue Größe: Temperatur

Die Temperatur ist ein Maß für den Wärmezustand eines Körpers/Mediums

Einheiten:Grad Celsius °CG d K l i °KGrad Kelvin °KGrad Fahrenheit °F

• Wärme ist eine Energieform: kinetische Energie durch kleinste Bewegungen der Atome und Moleküle

Di T i i M ß fü di ki i h E i d A d M l kül⇒ Die Temperatur ist ein Maß für die kinetische Energie der Atome und Moleküle

2

Thermodynamik IDie Temperatur thermodynamisches Gleichgewicht

• Wärmekontakt:Kommen zwei Körper in Berührung, entsteht ein thermodynamisches System

Die Temperatur – thermodynamisches Gleichgewicht

Kommen zwei Körper in Berührung, entsteht ein thermodynamisches System

⇒ es stellt sich nach einiger Zeit ein Gleichgewicht ein = die Körper nehmen die gleiche Temperatur an

⇒ in jedem System existiert eine neue, fundamentale Zustandsgröße, die Temperatur→ neue Art der Wechselwirkung zwischen Körpern!→ neue Art der Wechselwirkung zwischen Körpern!

Temperaturgleichheit im gesamten System ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz des thermischen Gleichgewichtsfür die Existenz des thermischen Gleichgewichts.

0. Hauptsatz der Thermodynamik

◦ Anwendungen: Wärmebäder, Abkühlungs- und Erhitzungsvorgänge,Temperaturmessung!

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Thermodynamik IDie Temperatur Temperaturmessung

• eine Reihe von Eigenschaften von Körpern hängen von der Temperatur ab

◦ Ausdehnung ◦ Aggregatzustand

Die Temperatur – Temperaturmessung

◦ Ausdehnung ◦ Aggregatzustand◦ Druck ◦ elektrische Eigenschaften◦ Weitergabe von Wärme (Wärmestrahlung)

• Temperaturmessung durch thermische Ausdehnung:

◦ die Dichte einer Substanz nimmt mit steigender Temperatur leicht ab◦ die Dichte einer Substanz nimmt mit steigender Temperatur leicht ab

⇒ das spezifische Volumen nimmt zu:ρ

ρ mVVm =⇔⋅=

◦ Volumenänderungen am besten sichtbar in Kapillaren (geringer Querschnitt!)

V l ä d i i h b l Lä ä d⇒ Volumenänderung ist sichtbar als Längenänderung

AVllAV Δ

=Δ⇔Δ⋅=Δ

4

A


◦ Thermometer unter normalem Druck in Eis und in

• Beispiel: Quecksilberthermometer – Celsiusskala (Anders Celsius 1701 – 1744)Die Temperatur – Temperaturmessung

kochendes Wasser → zwei Punkte für Temperaturskala:

Eispunkt und DampfpunktEispunkt und Dampfpunkt

◦ Festlegung von Celsius (1742): Eispunkt = 0°C und Dampfpunkt = 100°Cispu t 0 C und a pfpu t 00 C

◦ Einteilung der Skala in 100 Teile ⇒ Grad Celsius

↔ Fahrenheitskala (Daniel Gabriel Fahrenheit 1686 – 1736)↔ Fahrenheitskala (Daniel Gabriel Fahrenheit 1686 1736)

◦ Fahrenheit-Skala ist äquivalent, nur Fixpunkte sind verschoben:

Eispunkt = 32°C, Dampfpunkt = 212°C

◦ 0° F = -18°C,

5

◦ Körpertemperatur (37°C): ~100°F (98,6°F)


◦ Der Einsatz von Flüssigkeitsthermometern ist beschränkt auf die Bereiche

Die Temperatur – Temperaturmessung• Beispiel: Widerstandsthermometer / Thermoelement

g fzwischen den Siede- und Schmelzpunkten der Flüssigkeiten (z.B. Quecksilber: -35°C bis 350°C)

⇒ elektrische Widerstandsthemometer bzw. ThermoelementezTemperaturbereich bis zum Schmelzpunkt des Metalls (z.B. Platin:1773°C)

◦ Prinzip: zwei an ihren Enden leitend verbundene Drähte aus unter-h dl h lschiedlichen Materialien erzeugen Spannung,

wenn sich die Temperatur an der Kontaktstellerelativ zu Referenz ändert:

ThermospannungThermospannung

6

Thermodynamik IDie Temperatur TemperaturmessungDie Temperatur – Temperaturmessung

• Die absolute Temperaturskala – Die Kelvin-Skala◦ Fixpunkte bei der Kelvinskala:Fixpunkte bei der Kelvinskala:

absoluter Nullpunkt* = 0 KTripelpunkt des Wasser*** = 273,16 K

William Thomson, 1. Baron Kelvin(Lord Kelvin), 1824-1907)

1 Kelvin = 1K[SI Ei h it]

( ) )

◦ 1 Kelvin ist der 273,16te Teil der Temperatur des Tripelpunktes von Wasser (1,01°C)

[SI-Einheit]

* Der absolute Nullpunkt bezeichnet den unteren Grenzwert für die Temperatur. Existenz und extrapolierter Wert des absoluten Nullpunkts können aus dem ( ) ersten Gesetz von Gay-Lussac abgeleitet werden (F.14ff).

** T i l kt W d f flü i W d Ei k l i h iti B ti

7

** Tripelpunkt: Wasserdampf, flüssiges Wasser und Eis kommen gleichzeitig vor. Bestimmung genauermöglich verglichen mit Schmelz- und Siedepunkt.

Thermodynamik IDie (lineare) thermische Ausdehnung fester Körper

• Die Ausdehnung von Körpern ist proportional zur Temperatur→ direkte Messung der Temperatur über die Ausdehnung:

Die (lineare) thermische Ausdehnung fester Körper

→ direkte Messung der Temperatur über die Ausdehnung:

α: linearer AusdehnungskoeffizientTll Δ⋅⋅=Δ 0α

1 Δl [ ]1

0

1 −

ΔΔ

⋅=⇔ KTl

lα)1(0 Tll Δ⋅+⋅=⇔ α

→ Die Temperaturänderung bewirkt eine Zustandsänderung des Körpers !

• Ausdehnungskoeffizienten verschiedener Materialien

Material mittlerer Ausdehnungskoeffizient α / 10-6 K-1 zw. 0°C und 100°CDiamant 1,3Porzellan 3,0Platin 9 0Platin 9,0Glas 9,0Eisen 11,9Beton 12,0St hl 16 0

8

Stahl 16,0Aluminium 23,1PVC 80,0


• Anwendung: Bimetallstreifen-Schalter


i dü M t ll t if it t hi dli h Wä d h◦ zwei dünnen Metallstreifen mit unterschiedlicher Wärmeausdehnungwerden fest miteinander verbunden (durch Nieten oder Walzen)

⇒ Biegung bei Erwärmung oder Abkühlungg g g g

→ bei Schließen elektrischer Kontakte: automatischer Wärmeschalter(z.B. Hitzeschutzschaltung)

→ Anwendung als Thermometer

9


• Beispiel: Ausdehnung einer Stahlbrücke

◦ der freitragende Teil einer Stahlbrücke


◦ der freitragende Teil einer Stahlbrückeist bei T = 20 °C 200 m lang.

◦ Frage: Wie viel Längenspielraum muss◦ Frage: Wie viel Längenspielraum mussbei der Konstruktion eingeplant werden, damit die Brücke Temperaturen von –20 °C bis +40°C ausgesetzt werden kann?20 C bis +40 C ausgesetzt werden kann?(α (Eisen) = 12·10 –6 K-1)

020 Δ⋅⋅=Δ °− Tll C α

cm 9,6K (-20))-(20m 200K 1012 1-6020

=⋅⋅⋅= −

C

cm4 8K02m200K1012 -16 =⋅⋅⋅=Δ −l cm4,8K02m200K101240 =⋅⋅⋅=Δ °+ Cl

cm 4,144020)40(20 =Δ+Δ=Δ °+°−°+−°− CCCC lll

10

Thermodynamik IVolumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten

• mit der Längenänderung nimmt auch das Volumen zu (vgl. Dehnung!)⇒ Volumenausdehnung

Volumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten

⇒ Volumenausdehnung

γ: VolumenausdehnungskoeffizientTVV Δ⋅⋅=Δ 0γ

1 ΔV [ ]1

0

1 −

ΔΔ⋅=⇔ K

TV

Vγ)1(0 TVV Δ⋅+⋅=⇔ γ

B l Wü f l• Beispiel: Würfel

◦ Ein Würfel mit Kantenlänge l wird in alle drei Raumrichtungen gleichmäßig gedehnt

330

3 )1( TllV Δ⋅+⋅== α α: linearer Ausdehnungskoeffizient

)331( 33220 TTTV Δ+Δ+Δ+⋅= ααα )(0

)31(0 TV Δ+⋅≈ α

B i kl iαγ 3≈⇒

11

Bei kleinem α(z.B. αEisen = 12·10-6 K-1)

Thermodynamik IVolumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten

• Flüssigkeiten haben nur Volumenänderung (keine Formstabilität VL14)⇒ Nur Volumenausdehnungskoeffizienten γ sind von Bedeutung

Volumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten

⇒ Nur Volumenausdehnungskoeffizienten γ sind von Bedeutung

• Volumenausdehnungskoeffizienten verschiedener Flüssigkeiten

Flüssigkeit mittlerer Volumenausdehnungskoeffizientg g ffγ (in 10-3 K-1) bei 20°C

Quecksilber 0,182Wasser 0,21Glycerin 0 50Glycerin 0,50Silikonöl 1,0Ethanol 1,10Benzol 1,23

• Volumenänderung bei konstanter Masse ⇒ Dichteänderung !

)( mT =Δρ m= 0=

ρ)(

)(TV

TΔ

Δρ)1(0 TV Δ⋅+γ )1( TΔ⋅+γ

Näherung bei kleinen Größen im Nenner: xx

−≈+

1)1(

1

12

)()1()( 0 TT Δ⋅−≈Δ→ γρρ

Thermodynamik IDie thermische Ausdehnung von Gasen

• wird ein Gas erwärmt, dehnt es sich ebenfalls aus

b fi d i h d G i i hl G fäß i d D k

Die thermische Ausdehnung von Gasen

• befindet sich das Gas in einem geschlossenen Gefäß, steigt der Druck

Bei der Zustandsänderung eines Gases ändern sich Volumen und Druck.

⇒ Druck, Temperatur und Volumen kennzeichnen den Zustand eines Gases, sie sind thermische Zustandsgrößen

• Zustandsänderungen bei denen eine der Zustandsgrößen konstant gehalten wird:

◦ p = const: isobare Zustandsänderung

◦ V = const: isochore Zustandsänderung

◦ T = const: isotherme Zustandsänderung

◦ ΔQ = const: adiabatische Zustandsänderung(k i Wä h i U b )

13

(kein Wärmeaustausch mit Umgebung)


◦ wird ein Gas unter konstantem Druck umΔT = T T erwärmt folgt:

• Erwärmung bei konstantem Druck – isobare Zustandsänderung


◦ wird ein Gas unter konstantem Druck umΔT = T2-T1 erwärmt, folgt:

)1(0 TVV Gas Δ⋅+⋅= γ FestkörpertFlüssigkeiGas γγγ ,>>

◦ die Volumenänderung ist um so geringer, je niedriger der Druck ist

◦ geht die Dichte gegen Null, ist γ für alle Gase gleich: g g g , γ f g

K 14,2731K 003661,0:0 1- ==→ Gasγρ

1. Gesetz von Gay-Lussac)K15,273

11(0 TVV Δ⋅+⋅=

Gase, die dem Gesetz von Gay-Lussac gehorchen, sind ideale Gase ( VL17).

,

14

Thermodynamik IDie thermische Ausdehnung von Gasen Das ideale Gas

• annähernd ideal: Helium

Die thermische Ausdehnung von Gasen – Das ideale Gas

Das Ideale Gas

◦ Gasteilchen als Punktmassen angenommen → keine physikalische Ausdehnung.

◦ Die Gasteilchen können sich in dem ihnen zur Verfügung stehenden Volumen frei, d.h. ohne den Einfluss äußerer Kräfte bewegen.

◦ Zwischen den Gasteilchen finden ausschließlich elastische Stöße statt.

• Volumen des idealen Gases bei T = 273 15 °C: Null• Volumen des idealen Gases bei T = -273,15 C: Null

⇒ absoluter Nullpunkt der Temperatur ← Volumen kann nicht negativ sein!

⇒ absolute Temperaturskala: T = -273,15°C = 0:

Kelvin-Temperaturskala

Alternative Darstellung des1 Gesetz von Gay Lussac

.constTT

VV

==

15

1. Gesetz von Gay-Lussac 00 TV


◦ wird ein Gas unter konstantem Volumen erhitzt, erhöht sich der Druck• Erwärmung bei konstantem Volumen – isochore Zustandsänderung


wird ein Gas unter konstantem Volumen erhitzt, erhöht sich der Druck◦ bei idealem Gas: Druckzunahme ist proportional zur Temperatur:

je Kelvin Temperaturerhöhung erhöht sich der Druck um 1/273,15 des Druckes b i 0°Cbei 0°C.

)K 15,273

1()1( 00TpTpp Δ

+⋅=Δ⋅+⋅= β

beweglicher

Spannungskoeffizient für verdünnte Gase γβ ≈ (Volumenausdehnungskoeffizient)

beweglicherStempel.

0

0 constTp

Tp

==

pinnen, Tinnenpaußen, Taußen2. Gesetz von Gay-Lussac

(Gesetz von Amontons, 1663 – 1705)

16

Thermodynamik IDie thermische Ausdehnung von GasenDie thermische Ausdehnung von Gasen • Darstellung von Zustandsänderungen in V/T, p/T-Diagrammen◦ p = const: isobare Zustandsänderung ◦ V = const: isochore Zustandsänderung p g

→ Geraden im V/T-Diagramm

. bei ./ constpconstTV ==

g

→ Geraden im p/T-Diagramm

. bei ./ constVconstTp ==

Vp2

p3 pV2

V3

p1

ppp >>

V1

VVV >>T321 ppp >>

T321 VVV >>

◦ T = const: isotherme Zustandsänderung: p

T2

T1. bei . constTconstVp ==⋅

17V

2

T3321 TTT >>


◦ geschlossenes System: feste unveränderliche Menge eines Gases

Die thermische Ausdehnung von Gasen • Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

◦ geschlossenes System: feste, unveränderliche Menge eines Gases◦ Veränderung aller drei Zustandsgrößen: p,V, T‘ (Temperatur in °C)◦ Ausgangslage: p0, V0, T0

◦ Schritt 1: Änderung von T‘ bei V = const. – isochore Zustandsänderung

D kä d )'1( T+⇒ Druckänderung: )'1(0 TppT ⋅+⋅= γ

◦ Schritt 2: Änderung von V bei T‘ = const. – isotherme Zustandsänderung

⇒ Druckänderung nach Boyle-Mariotte‘schem Gesetz

VpVp ⋅=⋅ VpVpT ⋅=⋅ 0

⇒ Druckänderung in Abhängigkeit von V und T‘: )'1(00 TVpVp ⋅+⋅⋅=⋅ γ

18

Thermodynamik IDie thermische Ausdehnung von GasenDie thermische Ausdehnung von Gasen • Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

⇒ Druckänderung in Abhängigkeit von V und T:⇒ Druckänderung in Abhängigkeit von V und T:

)1(00 TVpVp ⋅+⋅⋅=⋅ γ

K 15,2731

=γ 15,273'+

°=

CT

KTmit und

0

00

TVp

TVp ⋅=

⋅⇒

Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

◦ Die Zustandsgleichung gilt unabhängig davon, welche Reihenfolge man bei der Änderung der Zustandsgrößen vornimmt:

⇒ Die Änderung ist unabhängig vom Weg ! (vgl Mechanik!)

19

⇒ Die Änderung ist unabhängig vom Weg ! (vgl. Mechanik!)


◦ bisher Teilchennatur des idealen Gases nicht berücksichtigt


g

pinnen, TinnenV

⇒ Teilchenzahl N

NTNVp ⋅∝⋅⇒ V NTNVp ∝⇒

Proportionalitätskonstante: kB = 1,38·10-23 J K-1 Boltzmann-Konstante

TkNVp ⋅⋅=⋅⇒Zustandsgleichung des idealen Gases (Gasgesetz)

TkNVp B=⇒

◦ passende“ Teilchenzahl: 1 mol = 6,022045·1023 Teilchen = 1 NA Teilchen„passende Teilchenzahl: 1 mol 6,022045 10 Teilchen 1 NA Teilchen

◦ 1 Mol jeden (idealen!) Gases nimmt unter Normalbedingungen ein bestimmtes Volumen ein: Vm,0 = 22,41 ·10-3 m 3 /mol

VV M l )dA hl(TRVpVp

TVp

R mmmm

m ⋅=⋅=⋅⇔⋅

= 0,00

0,0

A

m

NnN

nVnV

=

⋅= Mole)der Anzahl:(

J

20

TRnVp m ⋅⋅=⋅⇒ molare GaskonstanteKmol

J 3145,8⋅

=mR


◦ Beispiel: Autoreifen


◦ Beispiel: Autoreifen

- Ein Autoreifen hat vor einer Fahrt bei 10°C einen Überdruck von 2 bar (= 200 kPa). Nach der Fahrt ist die Reifentemperatur auf 50°C gestiegen.

Ü- Frage: Welcher Überdruck herrscht nach der Fahrt im Reifen ?

→ Volumen wird als konstant angenommen: isochorer Prozess !

pp

2

2

1

1

Tp

Tp

=→

kPa)200100( +=+= Üppp kPa)200100(1 +=+= ÜberdruckAtm ppp

K 50)(273,15 K, )1015,273( 21 +=+= TT

Ü

kPa 342kPa 300K 283K323

11

22 =⋅==⇒ p

TTp

21

→ Der Überdruck beträgt 242 kPa = Anstieg um ~ 20%.


◦ Frage: Wie sehen die Verhältnisse aus, wenn man ein Gas aus verschiedenen

Die thermische Ausdehnung von Gasen • Partialdruck und Partialvolumen

Frage: Wie sehen die Verhältnisse aus, wenn man ein Gas aus verschiedenen Molekülen hat?

→ Gas aus n Komponenten mit N1, N2, ... bis Nn Teilchen

k TkNVp B ⋅⋅=⋅→

∑=→n

ipp ∑=i

i1

∑=

=→n

iiVV

1

Partialdrücke p und Partialvolumina V haben

=i 1

∑=

=→n

iiNN

1Partialdrücke pi und Partialvolumina Vi haben dasselbe Verhältnis wie die Teilchenzahlen Ni:

p1: p2 : p3 :... = V1 : V2 : V3:... = N1 : N2 : N3:...TkNVp Biii ⋅⋅=⋅⇒

22

ZusammenfassungT t i t i M ß fü d Wä t d d Kö• Temperatur ist ein Maß für den Wärmezustand des Körpers

• Temperatur ist ein Maß für die kinetische Energie der Atome und Moleküle

• Gleichheit der Temperatur im gesamten System ist Voraussetzung für Existenz des thermischen Gleichgewichts. Temperatur ist eine fundamentale Zustandsgröße

(0. Hauptsatz der Thermodynamik)

• Messung der Temperatur: - Messung von Längen- oder Volumenausdehnung- Temperaturskalen: Celcius, Fahrenheit, Kelvin

0 K = 273,15°C absoluter Nullpunkt der Temperatur

T ä d b i k Z d ä d L V l D h d• Temperaturänderung bewirkt Zustandsänderung: Längen-, Volumen-, Dichteänderung

• Zustandsänderung eines Gases: Druck und Volumen ändern sich→ Druck, Temperatur und Volumen sind thermische Zustandsgrößen

• Druckänderung in Abhängigkeit von V und T

Zustandsgleichung des idealen Gases00 VpVp ⋅=

⋅Zustandsgleichung des idealen Gases

Zustandsgleichung des idealen Gases( id l G “)

0TT

TkNVp B ⋅⋅=⋅

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(„ideales Gasgesetz“)TRnVp m ⋅⋅=⋅

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