Physik A – VL32 (10.01.2013)Physik A VL32 (10.01.2013)

Magnetostatik II – Bewegte Ladungen und Magnetfelderjr

g g g g

• Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen LeitersBr

• Das Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetzp g g

◦ Erzeugung homogener Magnetfelder

– Das Helmholtz-Spulenpaarp p

• Bewegte Ladungen im Magnetfeld

– Die Lorentzkraft

1

Magnetostatik IIMagnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters• Frage: Wie hängen elektrische Ladungen und magnetische Felder zusammen ?

• Hans Christian Ørsted entdeckt 1820 den Zusammenhang

Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters

Hans Christian Ørsted entdeckt 1820 den Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld:

Ströme (bewegte Ladungen) erzeugen ein Magnetfeld

H Ch i i Ø d

• Experiment: Feldlinien einesstromdurchflossenen Leiters

Hans Christian Ørsted (1777-1851)

⇒ in einem stromdurchflossenen Draht orientieren sich die Eisenspäne beim Einschalten des Stroms kreisförmig um den Leiter

⇒ di M tf ldli i i d i F k t i h K i d L it d t2

⇒ die Magnetfeldlinien sind in Form konzentrischer Kreise um den Leiter angeordnet.

Magnetostatik IIMagnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters• Ein stromdurchflossener Leiter ergibt ein Magnetfeld, dessen Feldlinien kreisförmig den Leiter umgeben

Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters

• Es gibt geschlossene Magnetfeldlinien (im Gegensatz zum elektrischen Feld)• Die Feldlinien geben die Kraftwirkung (Richtung und Stärke) des Magnetfeldes an

AIjeStromdicht =

Wie die Eisenspäne orientierensich Kompassnadeln entlangden Magnetfeldlinien.

• der Strom I (die Stromdichte j) steht senkrecht zum Magnetfeld• der Strom I (die Stromdichte j) steht senkrecht zum Magnetfeld, das Magnetfeld ist radial um den Leiter orientiert

• die Richtung der Magnetfeldlinien kann mit der rechten Hand

3

demonstriert werden: „Rechte Hand-Regel“

Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters

Magnetostatik IIMagnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters• Berechnung des Magnetfeldes eines geraden Leiters, durch den der Strom fließt◦ die Feldlinien müssen konzentrische Kreise sein

I

⇒ das Feld kann nur vom Abstand r vom Leiter abhängen

.constB =r◦ Vektor des Magnetfeldes B(r): ϕerBrB rrr

⋅= )()(

◦ Experimentell findet man für denBetrag des Magnetfeldes B(r):

rIrB ∝)(

I

r

.constBϕ

erBrB rrr⋅= )()(

M i h Fl di h i

ϕπμ e

rIrB rrr⋅⋅=⇒

2)( 0

r ϕerBrB )()(

Magnetische Flussdichte eines stromdurchflossenen Leiters

Einheitsvektor in Polarkoordinaten

µ0= magnetische Permeabilität des Vakuums Vs104 7−⋅= πμ

⇒ Einheit der magnetischen Flußdichte:IBB μ

20==

r[ ] (Tesla) T 1Vs

2 ==⇒ B

0(magnetische Feldkonstante) Am

1040 = πμ

4

rπ2[ ]

m2

Magnetostatik IIMagnetfeld eines geraden stromdurchflossenen LeitersMagnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters

• Diskussion der magnetischen FeldkonstantenAmVs104 7

0−⋅= πμ

IBB μ0r

[ ] Vsdielektrische Flussdichte / Verschiebung

l k i h F ld ä k

rIBB

πμ2

0== [ ] (Tesla) T1mVs

2 ==⇒ B

◦ Definition in Analogie zum elektrischen Feld: EDrr

0ε=elektrische Feldstärke

HrBrrr

0)( μ=→ ϕπe

rIrH rrr

⋅=⇒

2)( Magnetische Feldstärke eines

stromdurchflossenen Leiters

⇒ Einheit der magnetischen Feldstärke: [ ]mA 1

2=⇒

⋅== H

rIHHπ

r

◦ Beispiel: Magnetfeld eines Leiters - Hochspannungskabel

! das von einer Hochspannungsleitung erzeugte Magnetfeld nimmt mit 1/r ab

-10 kV-Überlandleitung mit Strom I = 2 kA- Wie groß ist die magnetische Flußdichte am Boden (r = 20 m)

I A2000(V /A )104 7−

5rIBB

πμ2

0==r

m 20A2000

2(Vs/Am)104 7

ππ ⋅

= T 20T 102 5 μ=⋅= −

Magnetostatik IIStärke verschiedener MagnetfelderStärke verschiedener Magnetfelder

Beispiel Magnetische Flußdichte B

Weltraum ~10-9 T

Erdmagnetfeld am Äquator 3,1 · 10-5 T (31 µT)

Großer Hufeisenmagnet 10-3 T (1 mT)

Sonnenfleck 10 TSonnenfleck 10 T

Stärkstes permanentes Magnetfeld(National High Magnetic Field Laboratory, 45 TFlorida State University, USA)

Neutronenstern 106 – 108 T

6• Geophysikalische Einheit: 1 γ (Gamma) = 10 -9 T = 1 nT

Magnetostatik IIDas Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz• Das Resultat für das Magnetfeld eines geraden Leiters,

durch den ein Strom I fließt, lässt sich verallgemeinern:

Das Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz

◦ ein Strom I ruft ein Magnetfeld hervor

IrdB μ=⋅∫rr

Ampere‘sches Gesetz oder Durchflutungsgesetz

IrdB 0μ=⋅∫

⇒ jeder elektrische Strom erzeugt einen „Wirbel“ im Magnetfeld:

f g g

rd r

Das Wegintegral ist gleich dem Strom durch die von dem geschlossenen Weg eingeschlossenen Fläche

V l i h it d l kt t ti h F ld i U l f üb E ä d t i ht !◦ Vergleich mit dem elektrostatischen Feld: ein Umlauf über E ändert nichts!

0212

12 =⋅=−=⋅ ∫∫=

rdEUUrdErrr

rrrrrrr

geschlossener Weg im E-FeldAnfangspunkt = Endpunkt

7

1

∫∫rr

Magnetostatik IIDas Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz IdB∫

rrDas Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz• magnetisches Feld einer Leiterschleife und einer langen Spule

IrdB 0μ=⋅∫

◦ Näherungsweise gilt: - innerhalb der Spule B = B0 = const.- außerhalb: B = 0

• Berechnung des Feldes einer Spule der Länge l

◦ Anwendung des Ampère‘schen Gesetzes:

∫ ⋅ rdBr

∫∫ ⋅+⋅= rdBrdBrr

∫ ∫∫außerhalbinnerhalb 4434421

∫=⇒= 00

B

INlB == μrr

8

INlB ⋅⋅=⋅= 00 μ

Magnetostatik IIDas Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz IdB∫

rr

• homogenes Magnetfeld im Inneren einer stromdurchflossenen Spule (l, N)

Das Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz IrdB 0μ=⋅∫

magnetische Feldstärkeeiner langen Zylinderspule

INlBrdB ⋅⋅=⋅=⋅∫ 00 μrrrr

lINB ⋅

⋅=⇒ 0μ

• für dicht gewickelte Spulen mit N >>1 gilt sehr genau: Feld des Stabmagneten !

S l S b

9

Spule Stabmagnet

Magnetostatik IIDas Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz

• Beispiel: Erzeugung eines sehr homogenen Magnetfelds

◦ benötigt man ein sehr homogenes Magnetfeld das besser zugänglich ist als

Das Ampere‘sche Gesetz oder Durchflutungsgesetz

◦ benötigt man ein sehr homogenes Magnetfeld, das besser zugänglich ist als eine lange Spule, läßt sich dies durch Kombination zweier Spulen erreichen:

Berechnetes MagnetfeldBerechnetes Magnetfeldder Helmholtzspule(Quelle: Wikipedia)Helmholtz-Spule

◦ ideales Magnetfeld: Helmholtz-Spulen: Radius = Abstand

◦ durch Überlagerung der Magnetfelder der beiden Spulen ist das Magnetfeld in der Mitte homogen

10

ideales Magnetfeld: Helmholtz Spulen: Radius Abstand

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im Magnetfeld• Eine Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld B

Bewegte Ladungen im Magnetfeld

• Hier: Elektronenstrahl zwischen Helmholtz-Spulenp

◦ die Ladungen (hier: Elektronen) werden durch eine Kraft auf eine Kreisbahn gelenkt

◦ Weitere Beobachtung:Radius der Kreisbahn hängt von der Beschleunigungs-spannung, d.h. der Geschwindigkeit der Elektronen, ab!

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⇒ Die Kraft auf die Ladung hängt von der Geschwindigkeit der Ladung ab

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im Magnetfeld

⇒ Bewegung der Ladung auf Kreisbahn, Radius abhängig von Geschwindigkeit

Bewegte Ladungen im Magnetfeld• Eine Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld B

g g g f , g g g

⇒ Die wirkende Kraft heißt Lorentz-Kraft. Sie wirkt nur auf ein bewegtes Teilchen!

BFrrr

Lorentz-Kraft auf ein bewegtes geladenes Teilchen im Magnetfeld

BvqFL ×=

g g f

Rechte-Hand-Regel

I: Richtung der technischenStromrichtung, d.h. entgegender Bewegungsrichtung derElektronen (siehe Formel, neg.

E i V kt d kt ⊥⊥→ bditbbV ktrrrrrrrrr

( gVorzeichen für Elektronen→ Kraftwirkung in Gegenrichtung!

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◦ Erinnerung Vektorprodukt:

αsin

,

⋅⋅=×=

⊥⊥=×→

babac

bcundacmitcbabaVektorenrrrrr

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im Magnetfeld• Frage: Wie hängen die Lorentz-Kraft und das zweite Newton‘sche Axiom zusammen ?Bewegte Ladungen im Magnetfeld

vdr

⇒ die Richtung der Geschwindigkeit v ändert

BvqdtvdmamF

rrrr×=⋅=⋅= mit q, m, B = const.

⇒ die Richtung der Geschwindigkeit v ändert sich im Magnetfeld, der Betrag bleibt konstant!

B i i l 1◦ Beispiel 1: Berechnung des Bahnradius aus dem Gleichgewicht zwischen Lorentz-Kraft und Zentrifugalkraft:

32143421

rr

lk fZ ifftLorentzkraRvmBvq

2⋅=×⋅

vB

mq

R

Bv⋅=⇒

⊥ 1rr

R

lkraftZentrifugaftLorentzkra

Bv

qmR

BRv

mq

⋅=⇔⋅

=⇔

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BqBRm ⋅

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im MagnetfeldBewegte Ladungen im Magnetfeld◦ Beispiel 2:

Elektronenstrahl durchquert ein räumlich begrenztes Magnetfeld.Ist l die Bahnlänge im Magnetfeld und R der Bahnradius,dann ist der Ablenkwinkel α (in Radiant): l

Rl

=α

• Bisher: • Weitere Fälle: Bisher: Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Magnetfeld

Weitere Fälle: ◦ Geschwindigkeitsvektor

schräg zum Magnetfeld◦ Inhomogenes Magnetfeld

Kreisbahn Spiralbahn, Spiralbahn,

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Kreisbahn Spiralbahn, B = const. → R = const.

Spiralbahn, B ≠ const. → R ≠ const.

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im Magnetfeld Die Erde• Geladene Teilchen bewegen sich auf Spiralbahnen entlangder Feldlinien

Bewegte Ladungen im Magnetfeld – Die Erde

Polarlicht (Nordlicht, Aurora borealis)Leuchterscheinung beim Auftreffen ge-ladener Teilchen des Sonnenwindes auf die Erdatmosphäre in den Polargebietendie Erdatmosphäre in den Polargebieten der Erde.

• Sonneneruptionen: Emission geladener PartikelstrahlenEmission geladener Partikelstrahlen= sehr starke Ionenströme in

Richtung Erde ⇒ Veränderung des Erdmagnetfeldes

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⇒ Veränderung des Erdmagnetfeldes

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im Magnetfeld

• Anwendung 1: Zyklotron◦ Ein Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger ein sogenannter Kreisbeschleuniger

Bewegte Ladungen im Magnetfeld

Ein Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger, ein sogenannter Kreisbeschleuniger◦ Erinnerung: der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich im magnetischen Feld nicht !

.constqRBvvmR ==⇔⋅=⇒ Ladungen können allein mit Magnetfeldern .constm

vBq

R ⇔nicht beschleunigt werden.

⇒ Im Zyklotron wird dafür ein elektrisches Feld wiederholt durchlaufen.f

Zyklotron in der Abteilung für Nuklear-medizin (Uniklinikum Regensburg)techn Daten: Magnetischer Fluss = 1 9 Tesla

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techn. Daten: Magnetischer Fluss = 1.9 Tesla, 1.5 m Durchmesser, Gewicht = 11.5 t, Energie der austretenden Protonen = 11 MeV

Magnetostatik IIBewegte Ladungen im Magnetfeld

◦ Die geladenen Teilchen werden durch Ub beschleunigt und erhalten die

• Anwendung 2: Massenspektrometer

Bewegte Ladungen im Magnetfeld

Die geladenen Teilchen werden durch Ub beschleunigt und erhalten die Geschwindigkeit v0:

2

21 mvUqW =⋅=

qUv b2

0 =⇔{29

2VL m0

◦ Im Spektrometer: K äf l i h i h i h LKräftegleichgewicht zwischen Lorentz-und Zentrifugalkraft:

Bmv

Bmv 0

20 qB

RBqv

R=⇔= 0

00

222 BUq b

◦ Prinzip der Bestimmung der Elementarladung relativ zur Elektronenmasse

222 2

)(2

RqUBRm

BRU

mq

b

b ⋅=⇔=⇒

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p g g◦ Massenbestimmung chemischer Verbindungen zur Analyse/Qualitätskontrolle

Magnetostatik IIMagnetische und elektrische Kräfte Vergleich• elektrische Kraft ist parallel zum elektrischen Feld und erzeugt eine Biegung

der Teilchentrajektorie in einer Ebene (hier: horizontale Ebene)

Magnetische und elektrische Kräfte - Vergleich

• magnetische Kraft ist senkrecht zum magnetischen Feld und zur Geschwindigkeitund erzeugt eine Ablenkung in die dritte Dimension (hier: vertikale Ebene)

⇒ Elektrische Feldlinien zeigen in Richtung der Kraft auf eine positive Ladung⇒ Magnetische Feldlinien verlaufen senkrecht zur Richtung der Kraft

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Magnetostatik IIMagnetische und elektrische Kräfte Überlagerung

• Die Lorentz-Kraft auf eine bewegte Ladung q im Magnetfeld ist:

Magnetische und elektrische Kräfte - Überlagerung

rrrBvqFL

r×=

• Die Kraft auf eine Ladung q im elektrischen Feld ist:f f g q

EqFErr

=

• Sind sowohl magnetisches als auch elektrisches Feld vorhanden, wirkt die Gesamtkraft:

( )BvEqFrrrr

×+= ( )• Kräfte auf ein mit annähernd mit Lichtgeschwindigkeit c bewegtes Teilchen:

k t t G h i di k it F 0⇒ konstante Geschwindigkeit ⇒ F = 0:

BcEBqcEqFrrrrr

=⇒=+= 0

19

Elektrisches und magnetisches Feld sind proportional zueinander!

Zusammenfassung• Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters:g f g f◦ Magnetfeldlinien sind in Form konzentrischer Kreise um den Leiter angeordnet

◦ Magnetische Flussdichte eines stromdurchflossenen Leiters ϕπμ

erIrBrrr⋅⋅=

2)( 0

◦ µ0= magnetische Permeabilität des Vakuums (magnetische Feldkonstante)

π r2

AmVs104 7

0−⋅= πμ [ ] (Tesla) T 1

mVs

2 ==⇒ B

rr Ir◦ Magnetische Feldstärke eines stromdurchfl. Leiters:

◦ ein Strom I ruft ein Magnetfeld hervor:

HrBrrr

0)( μ= ϕπe

rIrH

rr

⋅=⇒

2)(

Ampere‘sches Gesetz oder Durchflutungsgesetz

IrdB 0μ=⋅∫rr

◦ magnetische Feldstärke eine langen Zylinderspule (N Windungen):

• Auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld B bewegt,

f g g

lINB ⋅

⋅= 0μ

f g q, g g f g ,wirkt die Lorentzkraft:

◦ Anwendungen: z.B. Zyklotron und Massenspektrometer

BvqFLrrr

×=

Anwendungen: z.B. Zyklotron und Massenspektrometer

◦ sowohl magnetisches als auch elektrisches Feld vorhanden → Gesamtkraft

→ Betrachtung der Kräfte auf ein mit annähernd mit Lichtgeschwindigkeit c

( )BvEqFrrrr

×+=

20

bewegtes Teilchen: Elektrisches und magnetisches Feld sind proportional zueinander!