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28. September 2018 

 

Praktikum zur Optischen Messtechnik 

 

 

 

 

 

Anleitung zum Versuch 

MOIRÉ 

   

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1. Versuchsziel 

Ziel des Versuchs  ist das Kennenlernen und Untersuchen des Moiré‐Effektes.  Im Rahmen 

des  Praktikumsversuches  sollen  verschiedene Moiré‐Verfahren  zu Messzwecken  und  Bil‐

derkennung angewandt werden. 

 

 

2. Theoretische Grundlagen und praktische Anwendung 

2.1 Moiré Effekt 

Der Moiré‐Effekt (von frz. moirer, „moirieren; marmorieren“) tritt bei der Überlagerung pe‐

riodischer Strukturen auf. Dabei werden helle und dunkle Streifen sichtbar. 

 

 

2.2 Verdrehungs‐ und Verschiebungsmoiré 

Es werden  zwei Gitter gleicher Ortsfrequenz gegeneinander um den Winkel ∆  verdreht, 

wie in Abb. 1 zu sehen. Dabei sind die Gitter jeweils um den Winkel   bzw.   gegenüber 

dem Koordinatensystem verdreht und um   bzw.   verschoben. Es gilt ∆ . 

 

 Abb. 1 Größen bei der Überlagerung zweier Gitter  Für die Rasterlinien des ersten Gitters gilt:  

⋅ tancos

 

0 

1 

2

3  

(1a) Analog gilt für die Rasterlinien des zweiten Gitters: 

 

⋅ tancos

 

(1b)  Stellt man die Gleichungen nach   bzw.   um, erhält man mit   den Scharpa‐

rameter der Moiré‐Streifen, der angibt, welcher Streifen betrachtet wird (Abb. 1). 

Anhand dieser Beziehung ergibt sich die Parametergleichung für den „ ‐ten“ Moiré‐Streifen 

zu: 

 

⋅⋅ sin ⋅ sin⋅ cos ⋅ cos

⋅⋅ cos ⋅ cos

 

(2)  Der Abstand zweier benachbarter Moiré‐Streifen lässt sich bei Verdrehung des Rasters aus 

den Gitterkonstanten und dem Winkel ∆  bestimmen, wenn  1 und  0 gilt:  

2 ⋅ ⋅ cos ∆ 

(3)  Auch  bei  der  Überlagerung  von  nicht  verdrehten  Gittern  (∆ 0)  lassen  sich  Moiré‐

Streifen  beobachten,  wenn  sich  die  Gitterkonstanten   und   geringfügig  voneinander 

unterscheiden. 

Wird eines der Gitter senkrecht zur Rasterlinie des anderen Gitters verschoben, wandern 

die entstehenden Moiré‐Streifen ebenfalls lotrecht zur Rasterlinie. 

Da  sich die  Streifen  schneller bewegen,  als das Gitter  verschoben wird,  spricht man  von 

„Optischer Verstärkung V“: 

 ΔΔ

 

(4)  

Dabei ist ∆  der Verschiebeweg von Gitter 1 relativ zu Gitter 2, welches relativ zum Koor‐

dinatensystem stabil bleibt und ∆  entspricht dem zurückgelegten Weg der „wandernden“ 

Moiré‐Streifen. 

 

   

4  

2.3 Höhenlinienmoiré 

Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Überlagerung eines Bezugsrasters mit  seinem 

auf das Objekt geworfene Schattenbild zu beobachten. Man spricht dann vom Höhenlini‐

enmoiré oder Schattenmoiré. 

Ziel dieses Verfahren  ist es, die Abweichung der Objektoberfläche gegenüber der Oberflä‐

che  des  Bezugsrasters  zu  bestimmen.  Damit  kann  es  z.B.  zur  Ebenheitsprüfung  genutzt 

werden, setzt aber voraus, dass die Oberfläche diffus reflektiert. 

 

 Abb. 2 Prinzip des Höhenlinienmoiré 

 

Bei  Beleuchtung mit  streng  parallelen  Licht  (Punktlichtquelle  im Unendlichen)  berechnet 

sich  der Höhenunterschied  zweier  benachbarter  Streifen mit dem Beleuchtungswinkel  , 

dem Beobachtungswinkel   und der Gitterkonstante   wie folgt: 

 

| |tan tan

 

(5)  Um allerdings den  „wahren“ Abstand  zweier Streifen  zu berechnen, benötigt man neben 

dem Höhenunterschied | | den Winkel zwischen dem Bezugsgitter und der Testoberflä‐

che, hier bezeichnet als  : 

 

tan tan⋅cos

sin 

(6)  

∆

5  

   Abb. 3‐1 Streng paralleles Licht  Abb. 3‐2 Berechnung der Beleuchtungsapertur  → starker Kontrast  

Zu beachten ist, dass die Moiré‐Streifen beim Höhenlinienmoiré nur bis zu einem gewissen 

Abstand sichtbar sind, da keine  ideale Lichtquelle  (punktförmig  im Unendlichen) existiert, 

die streng paralleles Licht liefern würde. Je größer der Abstand zwischen dem Bezugsgitter 

und der Testoberfläche ist, desto unschärfer werden die Moiré‐Streifen. Verantwortlich da‐

für  ist die Beleuchtungsapertur der Lichtquelle.  In Abb. 3‐2  ist zu erkennen, bei welchem 

Abstand   die  das  Gitter  durchdringenden  Lichtstrahlen  die  abgeschatteten  Bereiche 

überblenden und die Moiré‐Streifen verschwinden: 

 

4 ⋅ 

(7)  

   

  2

6  

 

2.4 Neigungslinienmoiré 

Der Moiré‐Effekt kann auch zur Vermessung optischer Komponenten angewendet werden. 

So kann beispielsweise die Krümmung von Spiegeln sehr genau bestimmt werden. Man be‐

dient sich dabei dem Prinzip des Neigungslinienmoirés. 

Beim  Neigungslinienmoiré  wird  ein  Gitter mit  seinem  vom  Testobjekt  reflektierten  Bild 

überlagert. Aus dem Abstand der entstehenden Streifen kann die Krümmung des Testob‐

jektes  bestimmt werden,  solange  es  sich  um  große  Krümmungsradien  handelt  (z.B.  bei 

Hohlspiegeln:  200 ).  Im  Gegensatz  zum  Höhenlinienmoiré  können mit  dem  Nei‐

gungslinienmoiré  nur  verspiegelte  Objekte  vermessen  werden  und  das  Verfahren  kann 

nicht zwischen konkaven und konvexen Krümmungen unterscheiden. 

 

 Abb. 4‐1 Überlagerung von zwei Gittern 

 

Als  Grundlage  zur  mathematischen  Beschreibung  des  Neigungslinienmoiré  werden  zu‐

nächst  zwei  Gitter  verschiedener Ortsfrequenz mit  unterschiedlichen  Abständen  zur  Be‐

obachtungsoptik (z.B. Mikroskop oder Auge) betrachtet: 

 ′′⇒ ′ ⋅ ′ 

(8a / 9a)  

′′⇒ ′ ⋅ ′ 

(8b / 9b)  Mit  diesen  Beziehungen  aus  Abb.  4‐1  kann  der  Abstand  der Moiré‐Streifen  z.B.  auf  der 

Netzhaut oder einem Schirm berechnet werden. Um den endgültigen Abstand der Streifen 

zu berechnen, transformiert man über die mittlere Entfernung zur Optik: 

 

∣∣∣ ′ ⋅ ′

′ ′∣∣∣⇒

′ ⋅12 ⋅

′ 

(10 / 11) 

′

7  

 

 Abb. 4‐2 Optische Abbildung beim Neigungslinienmoiré 

 Diese Beziehung  kann  auf den Versuchsaufbau des Neigungslinienmoiré übertragen wer‐

den. Die betrachteten Strecken müssen dazu nur entsprechend interpretiert und eingesetzt 

werden: 

 2 ⋅  

(12)  

⋅ 1 ′  (13) 

 Damit gibt der Abbildungsmaßstab die Beziehung zwischen dem reflektierten Gitterbild und 

dem Referenzgitter an. Somit erhält man die beiden nötigen Gitterkonstanten, die  im Be‐

obachtungszentrum überlagert werden: 

 und ⋅ ′ 

(14 und 15)  Führt man die Gleichungen (10), (11), (15) und (16) zusammen, ergibt sich der Abstand der 

Moiré‐Streifen beim Neigungslinienmoiré zu: 

 

                   1 22 1

1 '

2 'M s ss s

gg a a

a a

                                                                      (16) 

 

2

∙ ′

8  

Die Gitterkonstante   wird vom Versuchsaufbau vorgegeben und der Abstand der Moiré‐Streifen   experimentell ermittelt. Aus den Gleichungen (12), (13) und (16) lässt sich eine quadratische Gleichung erstellen, die 

nach  ′ aufgelöst werden kann:  

0

22''

22

1212

ag

mg

ag

aagmag MsMs                                                (17) 

 

    mit:  m = e’ + a – a2              

Die Gleichung (17)  hat ihre Gültigkeitfür konkave Spiegel (r<<0). Für konvexe Spiegel ist das gemessene gM mit einem negativem Vorzeichen in die Gleichung (17) einzusetzen.  Bei der Berechnung von  ′ entfällt stets eine Lösung der Gln.  (17), da  ′ mit den vorgege‐

benen Bedingungen nicht negativ sein kann. Begründung: Das Bild im Wölbspiegel ist stets 

virtuell und auch im Hohlspiegel kann wegen der kleinen Krümmung, also der betragsmäßig 

großen Brennweite nur virtuelles Bild beobachtet werden. Die virtuellen Bilder sind höhen‐ 

und seitenrichtig und somit muss der Abbildungsmaßstab positiv sein! 

 

Es gelten ebenfalls die Abbildungsgleichung für Spiegel: 

 1 1

′1′ 

 und die Formel für den Abbildungsmaßstab von Hohlspiegeln: 

 12⋅ mit  ⋅ ⇒ ′

1

12 ⋅  

(18)   

Schlussendlich  kann Gln.  (18)  nach  dem  Radius   des  Spiegels  umgestellt  und  dieser  be‐

rechnet werden: 

 2 ′ ⋅′ 1

 

Bei Einsetzen der richtigen Lösung für den Abbildungsmaßstab müsste sich für den im Prak‐tikum vorhandenen Spiegel ein betragsmäßig sehr großer Radius (|r|>1000mm) ergeben. 

   

9  

 

2.5 Praktische Anwendung 

Der Moiré‐Effekt findet nebst der Vermessung von optischen Komponenten oder der Eben‐

heitsprüfung von planaren Flächen Anwendung bei der präzisen Positionierung von Masken 

oder Wafern bei der Photolithographie. 

Der Moiré‐Effekt macht  unter Umständen  auch  Strukturen  sichtbar,  die  das  Auflösungs‐

vermögen  einer Optik  überschreiten.  Das  Vorhandensein  solcher  Strukturen  äußert  sich 

dann in Form von Moiré‐Streifen. 

Im weitesten  Sinne  funktioniert  ein Nonius nach dem  gleichen  Prinzip, da  kleine  Längen 

durch eine kleine Varianz größerer Strukturen messbar werden. 

 

3. Versuchsvorbereitung 

3.1 Wo sind im Alltag Moiréerscheinungen zu beobachten? 

3.2 Unter welchen Umständen kommt es zu Moiréerscheinungen? Welche Größen sind dafür 

ausschlaggebend und in welchen Größenordnungen müssen diese gewählt werden? 

3.3 Leiten Sie die Gleichung zur Berechnung des Moiréstreifenabstandes   (Gln. (3)) und die 

Gleichung für die optische Verstärkung   (Gln. (4)) her! 

3.4 Welchen Vorteil bietet es im Rahmen der praktischen Durchführung des Versuchs zum Hö‐

henlinienmoiré, den Beobachtungswinkel  0° zu wählen? 3.5 Welche Eigenschaft der Lichtquelle müsste geändert werden, um den Kontrast der Moirés‐

treifen beim Höhenlinienmoiré zu verbessern? 

3.6 Skizzieren Sie den Strahlengang für den Versuchsaufbau „Neigungslinienmoiré“ (Abb. 4‐2) 

und ermitteln Sie so das feldbegrenzende Element! Leiten Sie die Gleichung zur Bestimmung 

der Größe des Überlagerungsgebietes   (Gln. (19)) her! 

3.7 Warum ist der Kontrast der beobachteten Moiréstreifen beim Neigungslinienmoiré geringer 

als beim Höhenlinienmoiré 

3.8 Weshalb sind nur große Spiegelradien ( 200mm) mit dem Verfahren Neigungslinien‐

moiré erfassbar? (Hinweis: Beachten Sie dabei den Einfluss des Abbildungsmaßstabs.) 

Wie müsste der Versuchsaufbau verändert werden, um auch kleinere Spiegelradien messbar 

zu machen? 

3.9 Warum lässt sich beim Neigungslinienmoiré nicht zwischen konkaven und konvexen Spiegel 

unterscheiden? 

 

   

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4. Geräteliste 

Laborleuchte 6V mit Stativ 

Transformator 6V 

2x Dreieckschiene (1x lang mit Skala, 1x kurz) 

Gitterhalter mit Gitter  1mm 

Kabel mit Abstandsmarken 

Objekttisch mit Stativ 

weißer Planschirm 

Planspiegel 

Hohlspiegel 

Teilerwürfel (Kantenlänge  30mm) 

Mattscheibe (Pergamentpapier) 

diverse geweißte Testobjekte 

Arbeitsunterlage  Verdrehungs‐  und  Verschiebungsmoiré  mit  Magnetlineal  und 

Drehgitter (Folie und Papier) 

2x Papiergitter (g und 2,0) 

2x Foliengitter (g und 2,0) 

Koordinatensystem auf Folie 

Gliedermaßstab 

   

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5. Versuchsdurchführung 

5.1 Verdrehungsmoiré 

Für die Messungen zum Verdrehungsmoiré wird das auf Papier gedruckte Gitter mit dem 

darüber befindlichen Foliengitter benötigt. Die Bedeutung der daran befindlichen Winkels‐

kalen wird in den folgenden Abschnitten erläutert. 

 

Zunächst wird das Foliengitter soweit gedreht, dass vier oder fünf Moiréstreifen entstehen. 

Danach  ist das Koordinatensystem aufzulegen und so auszurichten, dass die 30° Verdreh‐

winkel eingehalten werden. Dazu muss die Linie rechts vom Koordinatensystem parallel zu 

den entsprechenden Richtmarken verlaufen. Mit dieser Ausrichtung gilt  für  60° und  wird an der roten Skala abgelesen. 

Stellen Sie nun für die beiden Gitter die Parametergleichung gemäß Gln. (1a) und (1b) auf. 

Gehen Sie bei den entstandenen Moiréstreifen genauso vor. 

(Es empfiehlt sich den Koordinatenursprung  für diese Aufstellung so zu  legen, dass er auf 

einem der Moiréstreifen liegt, d.h.  0)  

Für den zweiten Teil ist das Koordinatensystem wieder zu entfernen und die Gitter sind so 

zu verdrehen, dass zunächst zwei Moiréstreifen entstehen. 

Messen Sie nun den Abstand   der Moiréstreifen und bestimmen Sie die Winkeldifferenz 

 (Verdrehwinkel zwischen den beiden Gittern → schwarze Skala). 

Wiederholen Sie die Messung für 3 bis 10 Moiréstreifen. 

 

 

5.2 Verschiebungsmoiré 

Für die Messungen zum Verschiebungsmoiré wird die Unterlage um 180° gedreht und auf 

der  Metallplatte  gearbeitet.  Hierfür  werden  die  beiden  auf  Papier  gedruckten  Gitter 

( 2,0mm, ), die beiden Foliengitter  ( , ) sowie das Lineal mit Magnetunter‐

seite benötigt. 

 

Zunächst wird das Papiergitter   zwischen Lineal und Metallplatte fixiert, sodass das Lineal 

genau an der längeren Seite des Gitters anliegt und die linke Seite bei 0 auf dem Lineal liegt. 

Das  Foliengitter mit  der Gitterkonstante   wird  genau  auf  das  unten  liegende Gitter   

aufgelegt. 

Verschieben Sie nun das Foliengitter   entlang des Lineals nach rechts und beobachten Sie 

den Moiré‐Streifen ganz rechts, wenn er über die Länge des Gitters   „wandert“. Stoppen 

Sie, wenn der Streifen den linken Rand des Gitters   erreicht. 

Lesen Sie nun den Verschiebeweg   des Gitters   ab und bestimmen Sie den Laufweg   

des Moiré‐Streifens. 

Tauschen Sie nun die beiden Gitter aus  (Papiergitter   unten; Foliengitter   oben), wie‐

derholen Sie die Verschiebung und beschreiben Sie die Veränderung. 

Messen Sie auch für diese Kombination den Verschiebeweg des Gitters   und den Laufweg 

der Moiré‐Streifen. 

 

   

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5.3 Höhenlinienmoiré 

Für diesen Versuchsabschnitt ist der Aufbau entsprechend Abb. 5 zu verwenden. Nutzen Sie 

dabei  die  lange  Schiene  für  den Gitterhalter  und  die  dazugehörigen  Teile  und  die  kurze 

Schiene  zum  Aufstellen  der  Lichtquelle.  Der  Beleuchtungswinkel   soll  30°  und  der  Be‐

obachtungswinkel   soll  0°  betragen. Die  Abstände  der  Lichtquelle  und  des  Beobachters 

zum Gitter sollen jeweils ca. 1m betragen. (Das vor dem Gitter befestigte Kabel kann dabei 

als Hilfsmittel zur Einstellung von Abstand und Winkel dienen) 

 

   Abb. 5 Versuchsaufbau Höhenlinienmoiré 

 

Dabei ist zu beachten, dass als Lichtquelle das Bild des Glühwendels zu betrachten ist. Die‐

ses Bild soll sich ca. 10cm vor der Lampe befinden und möglichst klein eingestellt werden, 

damit es einer punktförmigen Lichtquelle nahe kommt. 

 

Stellen Sie zur Veranschaulichung zunächst die bereitgestellten Testobjekte (z.B. Pyramide, 

Kegel, Zylinder, usw.) nacheinander hinter das Gitter. Drehen oder kippen Sie die Objekte 

und beobachten Sie die entstehenden Moiré‐Erscheinungen. 

 

Für die Messungen zum Höhenlinienmoiré stellen Sie den Planschirm direkt hinter das Git‐

ter ( 1mm). Der Winkel   zwischen Schirm und Gitter soll bei der ersten Messung 10° 

und bei der zweiten Messung 15° betragen. 

Bestimmen Sie mithilfe der Breite des Planschirms und der Anzahl der Moiré‐Streifen  für 

beide Winkel  den  Streifenabstand  zwischen  den  Streifen.  Beachten  Sie  hierbei,  dass  die 

projizierte Fläche vom Winkel   abhängt. 

 

 

5.4 Beleuchtungsapertur 

Der Grundaufbau aus dem vorhergehenden Versuchsabschnitt wird beibehalten. 

Der Planschirm wird nun  jedoch mit einem Winkel von  5° hinter dem Gitter positio‐

niert und anschließend  in Schritten von ca. 2cm vom Gitter weggeschoben, während der 

Beobachter den Kontrast der Moiréstreifen nach jedem Schritt beurteilt. 

Wenn keine kontrastreichen Streifen mehr erkennbar  sind, messen Sie den Abstand vom 

Schirm zum Gitter. 

Notieren Sie außerdem die Abmessung des zur Beleuchtung genutzten Lichtquellenbildes. 

 

 

1 – Lichtquelle 2 – Gitter 3 – Planschirm / Objekte4 – Beobachter 

1

23

4

13  

5.5 Neigungslinienmoiré 

Der Versuchsaufbau  ist entsprechend Abb. 6  zu  realisieren. Drehen Sie dazu den Objekt‐

tisch um 180°,  rücken Sie  ihn bis an das Gitter und nutzen Sie die Markierungen  für den 

Aufbau. Auf der beleuchteten Seite des Gitters wird das Pergamentblatt als Mattscheibe 

mit in den Gitterhalterahmen geschoben. 

 

 Abb. 6 Versuchsaufbau Neigungslinienmoiré  Stellen Sie die Beleuchtungseinrichtung so vor den Aufbau, dass der Teilerwürfel voll ausge‐

leuchtet wird. 

Ermitteln Sie die Anzahl der Moiréstreifen, die  im Überlagerungsgebiet der Gitter entste‐

hen, wenn  der Abstand  zwischen dem  Strahlteiler  und dem Beobachter  300  be‐

trägt und messen Sie alle für die Berechnung relevanten Abstände. 

   

1

23

4

5

6

7

1 – Lichtquelle 2 – Mattscheibe 3 – Gitter 4 – Strahlteiler / 4 – Teilerwürfel 5 – Planspiegel 6 – Hohlspiegel 7 – Beobachter 

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6. Versuchsauswertung 

6.1 Verdrehungsmoiré 

Überprüfen  Sie  die  in  3.1.  ermittelte  Parametergleichung  mit  der  Gln.  (2). 

Stellen Sie den Streifenabstand   als Funktion der Winkeldifferenz   grafisch dar. Inter‐

pretieren Sie die daraus resultierende Kurve und ermitteln Sie, ob „Optische Verstärkung“ 

auftritt. 

 

 

6.2 Verschiebungsmoiré 

Berechnen Sie mit Hilfe der gemessenen Werte  für   und   die optische Verstärkung   

für beide Fälle, sowie die unbekannte Gitterkonstante g des zweiten Gitters und ermitteln 

Sie die Differenz der Gitterkonstanten. 

 

 

6.3 Höhenlinienmoiré 

Berechnen Sie die Streifenabstände für beide Winkel nach Gln. (6) und vergleichen Sie die 

berechneten Werte mit den in 3.2 ermittelten. 

Berechnen Sie das vollständige Differential  für die Gln.  (6) mit  folgenden Werten  für die 

Winkelabweichungen ∆ ∆ ∆ 0,5° und  schätzen  Sie  damit  die Messgenauigkeit 

dieses Verfahrens ab. 

 

 

6.4 Beleuchtungsapertur 

Berechnen Sie die Beleuchtungsapertur nach Gln.  (7) und zusätzlich noch anhand der ge‐

messenen Lichtquellengröße. Vergleichen Sie beide Werte. 

Berechnen Sie   mit der Beleuchtungsapertur, die sich aus der konkreten Lichtquellen‐

größe ergab und vergleichen Sie diesen Wert mit dem gemessenen. 

 

 

6.5 Neigungslinienmoiré 

Leiten Sie die Gln. (19) her und berechnen Sie dann die Größe des Überlagerungsgebietes   

der Gitterbilder. (Kantenlänge des Teilerwürfels:  30 ) 

Ermitteln Sie mit dem errechneten Wert für   und der Anzahl der beobachteten Moiréstrei‐

fen den Abstand der selbigen. 

 ∙

 

(19)  Berechnen Sie den Abbildungsmaßstab  ′ für die Abbildung am Hohlspiegel und damit Ra‐

dius und Brennweite des Hohlspiegels. 

   

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7. Literaturverzeichnis 

|1| Amidror, I.: „The theory of the Moiré‐phenomenon, Volume I: Periodic Layers”, Springer‐

Verlag, Berlin 2009 

|2| Heymann,  J.; Lingener, A.: „Experimentelle Festkörpermechanik“, Fachbuchverlag, Leipzig 

1986 

|3| Gåsvik, K. J.: „Optical metrology“, John Wiley & Sons, 2002 

|4| Eckert, S.: „Beitrag  zur Rasterspiegelung an global und  lokal gekrümmten Oberflächen“, 

Dissertation, 1990, TH Ilmenau 

|5| Roye, M.: „3D‐Erkennung und Moiré‐Verfahren“, Diplomarbeit, 1986, TH Ilmenau 

|6| Möbius, G.: „Theorie und Experimente zum hochauflösenden Moiré“, Diplomarbeit, 1991, 

TH Ilmenau