Praktikumsversuch 2 zur Vorlesung

”Grundlagen der Hochfrequenztechnik“(Bachelor-Studiengang ET/IT & IKT)

Wellen auf Leitungen

Lehrstuhl fur HochfrequenztechnikProf. Dr.-Ing. Peter Krummrich

I

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis II

1 Vorbemerkungen 11.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Theoretische Grundlagen 22.1 Leitungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Reflexionfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Mikrostreifenleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Versuchsaufbau 103.1 Mikrostreifenleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Versuchsdurchfuhrung 134.1 Eigenschaften der Mikrostreifenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Messung der Leistung/Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Bestimmung der Leitungswellenlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Messung des Reflexionsfaktors fur verschiedene Abschlusswiderstande . . . . . . 16

II

1 Vorbemerkungen

1.1 Versuchsziel

Der Versuch”Wellen auf Leitungen“ soll anhand der Stromverteilung auf einer Mikrostreifen-

leitung die Methoden und Begriffe der Leitungstheorie veranschaulichen. Dazu gehoren hier:

Messung der Stromverteilung auf der Mikrostreifenleitung bei verschiedenen Leitungsab-schlussen;

Bestimmung der Leitungswellenlange, der Welligkeit und des Verkurzungsfaktors;

Bestimmung der Reflexionsfaktoren verschiedener Abschlusse und Verglich mit dem rech-nerischen Ergebnis;

Auswertung der Stromverteilung uber die gesamte Leitung;

1.2 Voraussetzungen

Voraussetzung zur erfolgreichen Teilnahme sind die Kenntnis der Leitungstheorie aus der Vor-lesung Hochfrequenztechnik sowie dieser Versuchsanleitung.Vor Beginn der Versuchsdurchfuhrung werden in der Vorbesprechung die Grundlagen uberpruft.Bitte bringen Sie einen Taschenrechner zur Versuchsdurchfuhrung mit.

1

2 Theoretische Grundlagen

In diesem Kapitel werden die fur diesen Versuch relevanten Grundlagen aus den entsprechendenKapiteln des Vorlesungsskriptes Hochfrequenztechnik I zusammengefasst. Fur eine ausfuhrlicheDarstellung wird auf die Vorlesungsunterlagen verwiesen.

2.1 Leitungstheorie

2.1.1 Wellenlosungen

Elektromagnetische Vorgange breiten sich maximal mit der Vakuumgeschwindigkeit aus.

c0 =1

√ε0µ0

≈ 3 ·108 ms

. (2.1)

Auch auf Leitungen pflanzen sich Anderungen von Spannung und Strom mit endlicher Ge-schwindigkeit fort.Die Verhaltnisse auf Leitungen bedingen, aufgrund ihrer Ortsabhangigkeit, eine andere Betrach-tungsweise als bei Schaltungen, die aus konzentrierten Bauelementen bestehen. Diese Ortsab-hangigkeit wird im Folgenden durch die z-Koordinate ausgedruckt, die vom Anfang der Leitungbis zum Ende hin positiv gezahlt wird.Bei harmonischer Zeitabhangigkeit, d.h. nach Abklingen aller Einschaltvorgange, werden orts-abhangige Phasoren eingefuhrt, die mit den zeitabhangigen reellen Großen wie folgt im Zusam-menhang stehen:

u(z, t) =√

2 ·ReU(z)e jωt ; (2.2)

i(z, t) =√

2 ·ReI(z)e jωt . (2.3)

Der Vorfaktor√

2 in den Gleichungen bedeutet, dass der Betrag diese Phasoren gleich demEffektivwert der Schwingung ist. Fur die hier betrachtete Anordnung 2.1 lauteten die Leitungs-gleichungen:

∂u∂z

=−R′i−L′∂i∂t

; (2.4)

∂i∂z

=−G′u−C′∂u∂t

. (2.5)

Daraus folgen in Phasordarstellung 2 gekoppelte Differentialgleichungen 1. Ordnung mit kon-stanten Koeffizienten:

dUdz

=−(R′+ jωL′)I ; (2.6)

dIdz

=−(G′+ jωC′)U (2.7)

2

Abbildung 2.1: Anordnung zweier Leiter als Mikrostreifenleitung

mit dem Langswiderstand R’ und der Langsimpedanz L’, sowie dem Querleitwert G’ und derQuerkapazitat C’. Diese Werte werden pro Langeneinheit angegeben.Die allgemeine Losung U(z) = U1e−γz +U2eγz lasst sich, unter der Randbedingung, dass dieSpannungen am Leitungsanfang (z=0) vorgeschrieben werden, als die Uberlagerung einer hin-und rucklaufender Welle darstellen:

U(z) =Uh(z)+U r(z) =Uh(0)e−γz +Ur(0)eγz . (2.8)

2.1.2 Ausbreitungskonstante, Dampfungskonstante, Phasenkonstante

Die Ausbreitungskonstante ist definiert als

γ =√(R′+ jωL′)(G′+ jωC′) = α+ jβ . (2.9)

Die Dampfungskonstante α wird pro Langeneinheit angegeben. Gebrauchlich dafur ist das di-mensionslose logarithmische Maß Dezibel (dB).

A1A2

in dB = 20 log A1A2

Abbildung 2.2: Welle zu unterschiedlichen Zeitpunkten

3

Die Phasenkonstante β wird meist im Bogenmaß (rad)/Lange angegeben und steht mit derWellenlange wie folgt in Beziehung.

λ =2π

β(2.10)

So lasst sich nun eine hinlaufende Welle darstellen:

uh(z, t) =√

2 |Uh(0) | e−αz · cos(ωt−βz+φh) . (2.11)

Einen besonderen Fall stellt eine Leitung mit R’=G’=0 dar. Hier ist γ nur imaginar und be-schreibt eine verlustfreie Leitung:

γ = jβ =√

L′C′ . (2.12)

2.1.3 Wellenwiderstand

Die Beziehung zwischen Strom und Spannung der hin- bzw. rucklaufenden Wellen wird uber

Z =Uh(z)Ih(z)

=−U r(z)

Ir(z)=

√R′

G′(2.13)

bestimmt und wird Wellenwiderstand genannt.

2.1.4 Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit

Die Phasengeschwindigkeit gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich eine bestimmte Phasenlage,z.B. ein Maximum fortpflanzt.

νp =ω

βoder bekannter mit ω = 2π f und β =

2π

λ: νp = f ·λ (2.14)

Aufgrund zusatzlicher Frequenzkomponenten modulierter Schwingungen breiten sich unter-schiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus. Die Geschwindigkeit mit der sich diese

”Signal“ auf

der Leitung fortbewegt, wird Gruppengeschwindigkeit genannt.

νg =dω

dβ(2.15)

Phasen und Gruppengeschwindigkeit sind unterschiedlich, wenn die Phasengeschwindigkeit fre-quenzabhangig ist. Diese Eigenschaft wird

”Dispersion“ genannt.

2.2 Reflexionfaktor

Bei einer mit Re abgeschlossenen Leitung und den Bedingungen am Leitungsende Ue = ReIe,Ue = Uh(l) +U r(l), Ie =

1ZUh(l)−U r(l) wird das Verhaltnis der Phasoren von ruck- und

hinlaufenden Spannungswellen als”Reflexionsfaktor“ re bezeichnet.

re =U r(l)Uh(l)

=Re−ZRe +Z

, Z = Wellenwiderstand der Leitung (2.16)

4

Betrachtet man die Verteilungen von Spannung und Strom, die sich durch Uberlagerung vonrucklaufenden Wellen uber die am Leitungsende einlaufenden einstellt, so ergibt sich die folgendeDarstellung:

U(z) =Uh(z)+U r(z) =Uh(l)eγ(t−z)+ ree−γ(t−z) ; (2.17)

I(z) = Ih(z)+ Ir(z) =Uh(l)

Zeγ(t−z)+ ree−γ(t−z) . (2.18)

2.2.1 Anpassung

Ein wichtiger Sonderfall ist der Abschluss einer Leitung mit einem Widerstand, der dem Wel-lenwiderstand entspricht.

Re = Z (2.19)

Bei diesem technisch oft angestrebten Fall verschwindet der Reflexionsfaktor (re = 0), somittritt keine rucklaufende Welle auf.Die hinlaufende Welle weist eine mit e−αz abnehmende Spannungsamplitude auf.

U(z) =U(0)e−γz; I(z) =U(z)

Z(2.20)

Abbildung 2.3: a) Spannungsverteilung auf einer angepassten Leitungb) Amplitude und Phase zu einem festen Zeitpunkt

Am Leitungsanfang stellt sich die Amplitude nach dem Verhaltnis des Wellenwiderstands derLeitung zum Gesamtwiderstand aus Generatorwiderstand und Wellenwiderstand ein:

U(z) =UGZ

RG +Z. (2.21)

Der Generator ist nur durch den Wellenwiderstand belastet.

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2.2.2 Zeigerdarstellung

Wenn die Leitung nicht angepasst abgeschlossen ist, kommt es zu einer Reflexion und damit zueiner rucklaufenden Welle. Strom und Spannung ergeben sich durch die Uberlagerung von hin-und rucklaufender Welle.In der Zeigerdarstellung werden die beiden Wellen durch Zeiger dargestellt, die entsprechendihrer Ortsabhangigkeit z zu strecken bzw. zu stauchen und um den Winkel β zu drehen sind.Bei Betrachtung vom Leitungsende(l-z) aus streckt sich der Zeiger der hinlaufendne Welle undist im mathematisch postitiven Sinn zu drehen, entsprechend umgekehrt verhalt es sich bei demZeiger der rucklaufenden Welle.

Uh(z) =Uh(l)eα(l−z)e j 2π(l−z)λ (2.22)

Ih(z) =1Z

Uh(l− z) (2.23)

Abbildung 2.4: Abgeschlossene Leitung (allgemein, nicht angepasst); hin- und rucklaufendeWelle

Fur die rucklaufende Welle gilt:

U r(z) = reUr(l)eα(l−z)e j 2π(l−z)λ ; (2.24)

Ir(z) =1Z

U r(l− z) . (2.25)

Vektoriell addiert ergeben sich dann U(z) und I(z).

Betrachtung der Zeigerdarstellungen einiger Verteilungen:

Fur den Kurzschluss mit dem Abschluss Re = 0 folgt ein Reflexionsfaktor re = −1. Wie inAbb. 2.5a zu sehen ist, schwankt bei einer verlustfreien Leitung die Amplitude zwischen 0und 2absUh. Es treten

”stehende Wellen“ auf, mit ortsabhangiger Spannungsamplitude und 90°

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Bei Leerlauf (Re = ∞) betragt der Reflexi-onsfaktor re = 1. Die Verteilung von |U(z) | und | I(z) | ist hierbei gegenuber der Abb. 2.5 um90° bzw. λ

4 verschoben.In Abb. 2.6a ist die Verteilung fur einen Widerstand Re = Z/2, re =−1/3 dargestellt.

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Abbildung 2.5: a) Zeigerdarstellung b) Spannungsverteilung c) Stromverteilung

Wie bereits oben erwahnt, ergibt sich aus der vektoriellen Addition ein Absolutbetrag |U(z) |.Der dabei erreichte Maximalbetrag, wenn beide Zeiger in Phase sind, errechnet sich nach

Umax =|Uh(z) |+ |U r(z) | (2.26)

und der Minimalbetrag bei Gegenphasigkeit der Zeiger

Umin =|Uh(z) | − |U r(z) | . (2.27)

Fur verlustfreie Leitungen vereinfacht sich die Rechnung zu:

Umax =|Uh(l) | ·(1+ | re |) (2.28)

undUmin =|Uh(l) | ·(1− | re |) . (2.29)

Das Verhaltnis UmaxUmin

wird ”Welligkeit“ oder Stehwellenverhaltnis s genannt.

s =Umax

Umin=

1+ | re |1− | re |

(2.30)

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Abbildung 2.6: a) Zeigerdarstellung fur eine mit Z/2 abgeschlossene Leitungb) Spannungsverteilungc) Stromverteilung

Abbildung 2.7: Spannungsverteilung bei verschiedenen Abschlussen

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2.3 Mikrostreifenleitungen

Mikrostreifenleitungen kommen im Bereich von etwa 300 MHz bis einigen 10 GHz zum Ein-satz und werden als passive Schaltungselemente verwendet. Die einfache Herstellung und guteReproduzierbarkeit in der Fotoatztechnik als Standardherstellungsverfahren sprechen fur dieseLeitungsart. Andere Leitungstypen, wie z.B. Hohlleiter werden nur noch bei besonderen Anfor-derungen, z.B. hohe Ubertragungsleistung oder Dampfungsarmut bzw. bei hohen Frequenzeneingesetzt.Eine Mikrostreifenleitung besteht aus einem dielektrischen Tragermaterial, auf dem auf dereinen Seite eine leitfahige Schicht aus Kupfer, Gold oder Aluminium aufgebracht ist, auf deranderen Seite werden mit Hilfe von Fotoatztechnik Schaltungselemente bzw. Streifenleitungenaufgebracht.

Abbildung 2.8: Querschnitt Mikrostreifenleitung

In guter Naherung entspricht die sich ausbildende Welle einer TEM-Welle. Bei steigender Di-elektrizitatskonstante εr konzentriert sich das Feld mehr im Substrat und die Fuhrung derWelle verbessert sich, allerdings vergroßern sich die dielektrischen Verluste ebenfalls. Die Eigen-schaften der Mikrosreifenleitungen werden durch ihren Wellenwiderstand und ihre Wellenlangecharakterisiert. Der Wellenwiderstand lasst sich wie folgt bestimmen:

ZL =Z0√εe f f

(2.31)

mit

Z0 =120 ·π

wh +1,393+0,667 · ln(w

h +1,444)fur w/h ≥ 1 (2.32)

Z0 = 60 · ln(8 · hw+0,25 · w

h) fur w/h < 1 . (2.33)

Die wirksame Dielektrizitatskonstante εe f f ist aufgrund der Feldverteilung nicht identisch mitεr, sondern muss erst noch bestimmt werden:

εe f f =12(εr +1)+

12(εr−1) ·F (2.34)

mit

F =1√

(1+12 hw)

fur w/h > 1 (2.35)

F =1√

(1+12 hw)

+0,004 · (1− wh)2 fur w/h ≤ 1 . (2.36)

Die Wellenlange als zweite charakteristische Große einer Mikrostreifenleitung lasst sich nach

λe =λ0√εe f f

(2.37)

berechnen, wobei λ0 die Vakuumwellenlange ist und 1√εe f f

dem”Verkurzungsfaktor“ entspricht.

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3 Versuchsaufbau

Abbildung 3.1: Gesamtansicht des Versuchsaufbau

Der Versuch wird mit Hilfe des in Abb.3.1 gezeigten Versuchsaufbaus durchgefuhrt. Die Strom-verteilung auf der Mikrostreifenleitung wird mit Hilfe einer H-Feld Messung aufgenommen. Dasam Ort z befindliche, zeitabhangige Magnetfeld der TEM-Welle induziert eine Spannung in derunter dem Schlitten befindlichen Leiterschleife. Diese muss klein im Vergleich zur Wellenlangesein.Nach dem Induktionsgesetz errechnet sich die Spannung wie folgt:

ui =−NdΨ

dt(3.1)

mit N Windungen und dem magnetischen Fluss Ψ. Die Spannung ui wird in drei Stufen ver-starkt, anschliessend gleichgerichtet und gemessen. So ergibt sich eine zur Stromverteilung pro-portionsle Spannungsverteilung. Da sich in der Einweggleichrichtung mit einer schnellen Gleich-richterdiode ein nichtlineares Bauelement befindet, muss die Messung linearisiert werden. Zudiesem Zweck wurden die Versuchsaufbauten zuvor bei der im Praktikum verwendeten Fre-quenz von 1,15 GHz vermessen.Die H-Feld-Sonde ist auf einem Schlitten befestigt, der durch eine Linearfuhrung gefuhrt undvon einem Schrittmotor uber einen Zahnriemen angetrieben wird.Links auf dem Versuchsaufbau befindet sich die Steuereinheit, die das verstarkte Messsignalauswertet und anschließend zum steuernden PC ubertragt.

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3.1 Mikrostreifenleitungen

Fur den Versuchsaufbau wurden Mikrostreifenleitungen hergestellt, die aus Standard Epoxidharz-Platinenmaterial bestehen. Dieses Material besitzt zwar nicht so gute HF-Eigenschaften wieTeflon, ist aber kostengunstiger und ermoglicht aufgrund seiner hoheren Dampfung bei derVersuchsdurchfuhrung eine bessere Darstellung der Dampfungskonstanten α. Die Lange derLeitungen betragt 400mm. Durch die Herstellung der Mikrostreifenleitungen in Atztechnik kannes durch Unteratzung zu Abweichungen in der Leiterbahnbreite kommen.Nachfolgend sind die Daten der im Praktikum verwendeteten Mikrostreifenleitung angegeben:

Dicke des Materials h = 1,5mm;

Leiterbahnbreite w = 2,8mm;

Dielektrizitatskonstante εr = 4,8.;

Die Leitungen wurden vorab mit einem Netzwerkanalyser vermessen. Die Mikrostreifenleitun-gen sind am Anfang und am Ende mit SMA-Buchsen versehen, an die der VCXO (VoltageControlled Crystal Oscillator) und verschiedene Abschlusse angeschlossen werden.

3.2 Generator

Zur Erzeugung der Schwingung wird ein spannungsgesteuerter Quarzoszillator (VCXO) verwen-det, der in Dickfilmtechnik hergestellt ist. Die Frequenz kann mit Hilfe eines Potentiometers(0,3 - 4,7V) eingestellt werden.

Abbildung 3.2: Foto des Oszillators

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3.3 Detektor

Als Detektor wird ein IC der Firma MAXIM vom Typ MAX2015 eingesetzt. Es handelt sichum einen logarithmischen Detektor, der eine Eingangsleistung in eine aquivalente Ausgangs-spannung umsetzt (Frequenzbereich 0,1GHz bis 2,5GHz).

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4 Versuchsdurchfuhrung

Bevor Sie mit den Messungen beginnen, sollten Sie sicherstellen, dass der Versuchsaufbau unddie Oszillatoren eine Warmlaufzeit von mindestens 5 Minuten hatten.

Folgende Gerate werden benotigt:

Versuchsaufbau”Wellen auf Leitungen“;

Oszillator und Abschlusswiderstande;

PC mit Windows-Betriebssystem und Software”V308“;

konstanter”Firma Gossen“ T1 K15 B1,5;

Frequenzzahler;

Leistungsmessgerat;

Die folgenden Messungen und Auswertungen an der Mikrostreifenleitung werden vom PC ausgetatigt. Sie haben die Moglichkeit mit Hilfe der Software

”V308“ folgende Funktionen auszu-

fuhren:

1. Unter dem Menupunkt”Schlitten“ →

”Verfahre nach“ oder durch Anwahlen des Knopfes

konnen Sie den Schlitten zu einer Position verfahren.

2. Unter dem Menupunkt”Schlitten“→

”Messe von nach“ oder durch Anwahlen des Knopfes

werden Sie zur Eingabe einer Messstrecke aufgefordert.

3. Wahrend oder nach der Messung ist es moglich mittels der Funkton”Auswertung“ →

”Minimum Maximum“ oder durch Anwahlen des Knopfes die absoluten Minimal- bzw.

Maximalwerte der Messkuve anzeigen zu lassen.

Die Lange der Mikrostreifenleitung betragt 400mm, da an den Enden SMA-Buchsen angebrachtsind, kommt es in diesen Bereichen zu Veranderungen im Feldverlauf. Die Fuhrungsschienensind am Ende mit Endschaltern versehen. Die maximal erreichbare Endposition betragt 385mm.Zu Beachten: Das physikalische Ende der Leitung liegt aufgrund der SMA-Buchsen und Ab-schlusswiderstande etwa 20mm hinter dieser Position.

4.1 Eigenschaften der Mikrostreifenleitung

Berechnen Sie mit den in Abschnitt 3.1 gemachten Angaben folgende Charakteristika der Mi-krostreifenleitung:

F =

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εe f f =

Z0 =

ZL =

4.2 Messung der Leistung/Kalibrierung

Die Messleitung wird mit einem Abschlusswiderstand am hinteren Ende abgeschlossen. Nunwerden an zwei verschiedenen Positionen auf der Messleitung die Leistung (in dBm!), die dieH-Feld-Sonde liefert, mit dem Leistungsmessgerat gemessen und die angezeigte Spannung desDetektors notiert. Mit diesen Werten und den Kenntnissen aus Abschnitt 3.3 kann nun diey-Achse in der Software uber Auswertung → Skalierung der y-Achse skaliert werden.

4.3 Bestimmung der Leitungswellenlange

Messen Sie die komplette Strecke mit entsprechendem Abschluss vom Anfang zum Ende, umdie Stromverteilung aufzunehmen. Bestimmen Sie nun anhand der Lage von Messwertmaximaund -minima die Wellenlange, der sich auf der Leitung ausbreitenden Welle.Beachten Sie, dass das verwendete Leiterplattenmaterial fur diese Frequenz nicht optimal istund somit Abweichungen von den rechnerischen Ergebnissen zu erwarten sind.

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Vakuumwellenlange bei der entsprechenden Frequenz:

λ0 =

Welchen Abschluss wahlen Sie sinnvollerweise zur Messung der Leitungswellenlange?

Ermittelte Leitungswellenlange:

λ =

Wie verhalt sich der ermittelte Verkurzungsfaktor λ/λ0 im Vergleich zu 1√εe f f

?

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Berechnen Sie nun aus den Messwerten die elektrische Dielektrizitatskonstante εe f f und εrund vergleichen Sie diese mit der in Abschnitt 3.1 angegeben bzw. in Abschnitt 4.1 berechnetentheoretischen Werten.

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4.4 Messung des Reflexionsfaktors fur verschiedeneAbschlusswiderstande

Nun sollen nacheinander die Reflexionsfaktoren am Leitungsende fur Leerlauf, Anpassung,Kurzschluss und 2Z bestimmt werden. Vorahndene Abschlusswiderstande sind 0Ω (Kurschluss),50Ω (Anpassung)und 100Ω (2Z).

Messen Sie die Strecke nacheinander mit verschiedenen Abschlusswiderstanden am Leitungs-ende und notieren Sie dabei die Lage des dem Abschluss nachstgelegenen Minimums bzw.Maxmimums und die entsprechenden Messwerte.

Aufgabe:

Abschluss Maximum bei Minimum bei Imin Imax

Kurzschluss

Anpassung

2 Z

Auswertung:Berechnen Sie aus den Spannungswerten zunachst die Welligkeit

”s“ und daraus den Betrag des

Reflexionsfaktors. Tragen Sie die Ergebnisse in die folgende Tabelle ein. Vergleichen Sie IhreMessungen mit den rechnerischen Ergebnissen.

Abschluss | re,theoretisch | | re,gemessen |Kurzschluss

Anpassung

2 Z

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