Probe l Klaus Ur 2012

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Probeklausur Ingenieurmathematik

für Maschinenbau

Studiengang MaschinenbauPrüfungsfach IngenieurmathematikPrüfer Jonas, Kröger, Rademacher, StryPrüfungsterminPrüfungsdauer 120 MinutenPrüfungsunterlagen 11 Blätter (einschließlich Deckblatt) mit insgesamt 10 AufgabenHilfsmittel 1 mathematische Formelsammlung oder Taschenbuch der Mathematik;

1 Lexikon Muttersprache–Deutsch;3 Blätter (6 Seiten) DIN A4-Skriptenauszug;Taschenrechner

Name Vorname Matrikelnummer Unterschrift

Vorlesung besucht bei: ✷ Stry/Jonas; ✷ Rademacher/Jonas; ✷ Kröger.

Bitte beachten Sie:

1. Die Prüfungsunterlagen bestehen aus dem vorliegenden Aufgabensatz (11 Blätter ein-schließlich Deckblatt, insgesamt 10 Aufgaben). Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Be-arbeitung die Unterlagen auf Vollständigkeit.

2. Tragen Sie bitte Ihre persönlichen Angaben (Name, Vorname, Matrikelnummer, Unter-schrift) ein.

3. Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf dem freien Platz der entsprechenden Aufgabenseiteund gegebenenfalls deren Rückseite. Nur wenn der Platz nicht ausreichen sollte, lassenSie sich bitte von der Aufsicht weiteres Papier geben. Es darf kein eigenes Schreibpapierbenutzt werden.

4. Die erhaltenen Lösungen der Aufgaben sind durch Darlegung der Rechenwege inklusiveZwischenrechnungen zu begründen. Die Verwendung des Taschenrechners ist nur für dieAuswertung von elementaren Rechenoperationen und elementaren Funktionen zulässig.

5. Nach Abschluss der Prüfung sind sämtliche Prüfungsunterlagen abzugeben.

Viel Erfolg!

Korrekturvermerke

Aufgabe

Punkte

max. Punkte

1

4

2

5

3

5

4

4

5

5

6

5

7

5

8

5

9

6

10

6

Σ

50

Note Erstprüfer Zweitprüfer


Aufgabe 1: Bestimmen Sie im Bereich der komplexen Zahlen alle Lösungen (Wurzeln) derGleichung

z4 = 8 + j · 8√3.

Geben Sie die Lösung in Exponentialform an und zeichnen Sie die Lösungen in der komplexenZahlenebene. [4 Punkte]


Aufgabe 2: Gegeben ist das folgende, vom reellen Parameter c ∈ R abhängige, Gleichungssys-tem

2x− 3y + cz = 5,

4y + (c2 + c)z = −c,

−2x+ 3y + (c2 − c− 4)z = c− 7.

Für welche Parameterwerte von c hat das Gleichungssystem

a) keine Lösung?

b) genau eine Lösung?

c) unendlich viele Lösungen? [5 Punkte]


Aufgabe 3: Berechnen Sie für die beiden Matrizen

A =

(

4 24 4

)

und B =

1 −10 −13 1

a) das Produkt B · A,

b) die inverse Matrix A−1.

c) Warum kann det(B) nicht berechnet werden? [5 Punkte]


Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe

∞∑

k=1

k

ek + 1(x− 1)k.

Geben Sie das größtmögliche offene Intervall (a, b) an, auf dem die Reihe konvergiert. DieRandpunkte brauchen nicht untersucht zu werden. [4 Punkte]


Aufgabe 5: Gegeben sei die Funktion f : R2 → R mit

f(x, y) = (x2 + y) · ey.

Für welche Punkte besitzt die Funktion f Extrema? Geben Sie im Falle lokaler Extrema an,ob ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt. [5 Punkte]


Aufgabe 6: Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve

x(t) = 7 cos(t)− cos(7t), y(t) = 7 sin(t)− sin(7t), 0 ≤ t ≤ 2π.

Hinweis: Nutzen Sie die Symmetrieeigenschaften und verwenden Sie die Gleichung

sin t sin(

(n+ 1)t)

+ cos t cos(

(n+ 1)t)

= 1− 2 sin2(n

2t)

.

[5 Punkte]

2 4 6 8−2−4−6−82

4

6

8

−2

−4

−6

−8


Aufgabe 7: Berechnen Sie die Gesamtmasse M des inhomogenen Kegels

K = {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 1 und 0 ≤√

x2 + y2 ≤ 2z}

mit der Dichtefunktion

ρ(x, y, z) = z · (x2 + y2).

Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten. [5 Punkte]


Aufgabe 8: Gegeben sei das Vektorfeld ~F mit

~F =

(

−y sin(x) + y2

cos(x) + 2yx

)

.

a) Berechnen Sie den Wert des Kurvenintegrals entlang der Kurve

C : ~r(t) =

(

πt

−1

)

, 0 ≤ t ≤ 1.

b) Wie verändert sich der Wert des Kurvenintegrals aus Teil a), wenn Sie bei gleichemAnfangs- und Endpunkt lediglich den Verlauf der Kurve ändern? Begründen Sie IhreAntwort. [5 Punkte]


Aufgabe 9: Gegeben ist die Differenzialgleichung

y′(x) + x · y(x) = x+ e−x2/2.

a) Weisen Sie nach, dass yh(x) = C ·e−x2/2 die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenenDifferenzialgleichung ist.

b) Ermitteln Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung mit der Methode derVariation der Konstanten.

c) Wie lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung? [6 Punkte]


Aufgabe 10: Gegeben ist das lineare Differenzialgleichungssystem

x1(t) = −x1(t),

x2(t) = 2x1(t) − 2x2(t).

a) Schreiben Sie dieses System in Matrixform

~x(t) = A · ~x(t).

b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems. [6 Punkte]

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