Probleme mit dem Grenzwertbegriff beim Ableiten

Hauke Friedrich

hugo@uni-paderborn.de

Universität

Gesamthochschule Paderborn

Potsdam, 29. Feb. 2000

Die lokale Änderungsrate

• Die lokale Änderungsrate als Grundvorstellung für

das Differenzieren

• Die Momentangeschwindigkeit als Beispiel aus

der realen Alltagswelt von Schülerinnen und

Schülern

Uni GH Paderborn

1. lok. Ä-Rate

Denkwelten

2. Aufgabe

3. Transkripte

I

II

Zu I und II

III

Zu I, II, III

IV

Zu III und IV

V

VI

4. Zusammen-

fassung

• Vorstellungen vom Grenzwertbegriff bei

Schülerinnen und Schülern

• Zusammenhänge zwischen realer Welt (r-Welt) und

Mathematikwelt (m-Welt)

Der Grenzprozeß in r- und m-Welt

m-Welt

Differenzen-quotient

Differenzial-quotient

Durchschnitts-geschwindigkeit

Momentan-geschwindigkeit

r-Welt

Grenz- prozeß

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4. Zusammen-

fassung

Die Aufgabe

c) Bisher war immer von Durchschnittsgeschwindig-

keiten die Rede. Gibt es auch so etwas wie eine Mo-

mentangeschwindigkeit um 16:00 Uhr? Begründe!

d) Wie kannst Du möglichst genau die Momentange-

schwindigkeit berechnen?

e) Überlege, ob und wie Du mit Deiner Methode die

Momentangeschwindigkeit ganz genau berechnen

kannst.

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4. Zusammen-

fassung

Probleme mit dem Grenzwertbegriff

r- und m-Welt: Zwei Sichtweisen auf den Grenzwertbegriff

Vermutung: Probleme in der einen Welt lassen sich auch in der anderen Welt wiederfinden:

r-Welt: Momentangeschwindigkeit existiert / existiert nicht

m-Welt: Momentangeschwindigkeit läßt sich genau berechnen / näherungsweise berechnen bzw. nicht berechnen

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fassung

I. Momentangeschwindigkeit = Grenzwert; TachoClaudia und David; Klasse 12 LK

VL: Ja, aber was hast du denn dann da gerade ausgerechnet?

C: Ja, aber in dem Moment ist er dann ja, in dem Moment wo er,.. zu

dem Zeitpunkt hat er je ne gewisse Geschwindigkeit drauf. ... Weg

hat er vielleicht zurückgelegt, aber die zeigt vielleicht ein Tacho

(D: Ja.) würd das anzeigen. [...] Das hatten wir ausgerechnet.... [...]

Weil ich ja in dem Moment, die genau diese Geschwindigkeit, zu

diesem Zeitpunkt, ich habe in diesem Moment vielleicht keine Strecke

zurückgelegt, aber wenn ich das im Ganzen betrachte, würd ich, bin

ich in dem Moment so schnell.

II. Ohne MG keine DG; Wer fährt, hat GeschwindigkeitChristian und Heiko; Klasse 10

H: Gibt es auch so etwas wie eine Momentangeschwindigkeit um 16

Uhr?

C: Ja, natürlich. [...] Er fährt ja immer weiter.

H: [...] Ja, ja, schreib das hin. ... [...] ... Du kannst doch schreiben, dass

es keine Momentangeschwindigkeit geben würde, gibt’s auch keine

Durchschnittsgeschwindigkeit, weil dann würd er sich ja gar nicht

bewegen.

Bemerkungen zu I und II

Claudia:Übereinstimmung von r- und m-Welt.Bewegung als Ganzes: Der Zeitpunkt wird innerhalb des Zeitintervalls betrachtet, als dessen Teil.

Heiko:Hier nur r-WeltDas Zeitintervall wird aus Zeitpunkten zusammen-gesetzt.

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III. keine Zeit => kein Weg => keine MG;Alexander und Sebastian; Klasse 12 LK

A: Genau, weil in dem Augenblick keine Zeit vergeht. So. Und

äh, theoretisch bewegt sich das Auto zu diesem Zeitpunkt

nicht vorwärts. Sondern genau zu dieser Zeit bleibt es ja

genau da stehen, wo ich hin gucke. [...] Ne Sekunde später

ist das Auto woanders. Und dann kann ich den Weg, dann

habe ich einmal den Weg, den Weg, den es zurückgelegt

hat und die Zeit, und daraus ich irgendwie da die

Geschwindigkeit berechnen. [...] Aber genau zu dem

Augenblick, wo ich kucke (VL: Ehm; S: Ja.), ist es für mich

gleich 0.

III. MG = GW = NäherungAlexander und Sebastian; Klasse 12 LK

Der VL wiederholt, dass “t gegen 0” nicht heißen kann, dass man in

den Differenzenquotient für t einfach 0 einsetzt. Dann fragt er, ob der

Grenzwert die Momentangeschwindigkeit genau angibt.

A: Wenn t = 0 wird, (VL: Ja.) aber t wird ja nicht = 0. [...]

S: Also kriegt man einen ganz knapp davon abweichenden

Näherungswert.

A: Grenzwert eben.

Bemerkung zu I, II, III

Alexander:

betrachtet Zeitpunkte (wie Heiko) aber keine Zeitinter-

valle;

isolierte Sichtweise

Grenzwert

Claudia:

betrachtet Zeitpunkte nur innerhalb von Zeitintervallen;

integrierte Sichtweise

Grenzwert

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IV. Verschieden schnell; MG = NäherungChristian und Heiko; Klasse 10

H: Und das noch. (liest vor) Überlege, ob und wie du mit deiner

Methode die Momentangeschwindigkeit ganz genau berechnen

kannst.

C: Ist doch das (meint Lösung von d)) ... Ne! Kannst nicht ganz genau

berechnen.

H: Nö.

C: Weil, er kann sich in der einen Sekunde etwas schneller (bewe-

gen?) und in der anderen Sekunde etwas langsamer.

Bemerkung zu III und IV

Christian und Alexander betonen beide den Näherungsaspekt beim Grenzwert, aber:

Alexander: isolierte Sichtweise

Christian: ständige Änderung der Geschwindigkeit

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V. Werte fehlen; MG nicht berechenbar

Schülerinnen und Schüler behaupten: Momentangeschwindigkeit aufgrund fehlender Werte nicht berechenbar

Welcher Art sind die fehlenden Werte?

• Die vorhandenen Strecken sind zu ungenau Wertetabelle gibt nur Entfernungen im ½-Stunden-Takt wiedergibt• Nur Strecken aber keine Geschwindigkeiten gegeben eine Art Mittelwertbildung o.ä nicht möglich

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VI. Nenner ist Null (Zähler auch)

Dass Zähler und Nenner zu Null werden, wenn man den betrachteten Zeitpunkt einsetzt, scheint für die Schülerinnen und Schüler selbstverständlich zu sein.

Fragt der Versuchsleiter im Gespräch nach, wird fast immer sofort darauf hingewiesen. In der Partnerar-beitsphase bemerken sie alleine dieses Problem, z.B. Alexander (13;188).

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Zusammenfassung des vorläufigen Abschlusses

der deskriptiven Phase:

m-Welt

r-Welt

m- Weltlokale Änderungsrate

ist genau berechenbar

ist beliebig genauberechenbar

ist nichtberechenbar

Momentange- schwindigkeit

= Grenzwert

Momentan-geschwindigkeit

= Grenzwert= Näherung

Nenner ist Null(Zähler auch)

Werte fehlen

Tacho

ohneMomentange-schwindigkeitkeine Durch-schnittsge-

schwindigkeit

Wenn man dieganze Zeit

fährt, hat manin jedem Mo-ment eine Ge-schwindigkeit

Man kann ineinem

Zeitraumverschiedenschnell sein

Für Geschwin-digkeit mußman aucheinen Weg

zurückgelegthaben

Wenn keine Zeitvergeht, bewegtman sich auch

nichtexistiert existiert nicht

Momentangeschwindigkeitr-Welt