Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineare Optimierung Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden Umfang ca....

Prof. Dr. Dr. J. Hansohm

LineareOptimierung

LineareOptimierung

Hauptstudium

Mathematische Planungsmethoden

Umfang ca. 2 TWS mit Übungen

Hauptstudium

Mathematische Planungsmethoden

Umfang ca. 2 TWS mit Übungen


GliederungGliederung

EinführungEinführung Planung, Zielsysteme, Präferenzen

Lineare OptimierungLineare Optimierung Fallstudie Berger, graphische Lösung

Simplex VerfahrenSimplex Verfahren Interpretation, Sensitivität, DualitätInterpretation, Sensitivität, Dualität Betriebswirtschaftl. AnwendungsbeispieleBetriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele

Transportproblem, Zuordnungsproblem Optimierung unter mehrfacher ZielsetzungOptimierung unter mehrfacher Zielsetzung

EinführungEinführung Planung, Zielsysteme, Präferenzen

Lineare OptimierungLineare Optimierung Fallstudie Berger, graphische Lösung

Simplex VerfahrenSimplex Verfahren Interpretation, Sensitivität, DualitätInterpretation, Sensitivität, Dualität Betriebswirtschaftl. AnwendungsbeispieleBetriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele

Transportproblem, Zuordnungsproblem Optimierung unter mehrfacher ZielsetzungOptimierung unter mehrfacher Zielsetzung


Definition PlanungDefinition Planung

Planung: gedanklich rationaleVorwegnahme zukünftigenHandelns und Geschehens

Planung: gedanklich rationaleVorwegnahme zukünftigenHandelns und Geschehens

auf die Zukunft gerichtet Treffen von Entscheidungen und nicht deren Durchsetzung


ausführende Tätigkeit

Elementarfaktoren Betriebsmittel

Werkstoffe

Produktionsfaktoren

Leitung/Führung

Planung

dispositive Faktoren Organisation

Kontrolle

ausführende Tätigkeit

Elementarfaktoren Betriebsmittel

Werkstoffe

Produktionsfaktoren

Leitung/Führung

Planung

dispositive Faktoren Organisation

Kontrolle

ProduktionsfaktorenProduktionsfaktoren


Dispositive FaktorenDispositive Faktoren Leitung/Führung:

Festlegen des betrieblichen Zielsystems Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche

(enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.)

Organisation: Realisierung der Planung Verteilung von Aufgaben Übertragung von Befugnissen, etc.

Kontrolle: Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die

Organisation realisierten Größen

Leitung/Führung: Festlegen des betrieblichen Zielsystems Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche

(enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.)

Organisation: Realisierung der Planung Verteilung von Aufgaben Übertragung von Befugnissen, etc.

Kontrolle: Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die

Organisation realisierten Größen


Neuere Ergebnisse empirischer ZielforschungNeuere Ergebnisse empirischer Zielforschung

Zielinhalte x sx 1. Sicherung des Unternehmensbestandes 4,84 0,43

x 2. Qualität des Angebots 4,65 0,55 3. Gewinn 4,65 0,75 4. Deckungsbeitrag 4,42 1,03

x 5. Soziale Verantwortung 4,28 0,88 6. Ansehen in der Öffentlichkeit 4,26 0,95 7. Umsatz 4,19 0,91 8. Wachstum des Unternehmens 3,98 0,89

x 9. Verbraucherversorgung 3,74 1,11 10. Marktanteil 3,67 1,24 11. Macht und Einfluß auf den Markt 3,60 1,22

x 12. Umweltfreundlichkeit/Schonung nat. Ressourcen 3,37 1,36

Zielinhalte x sx 1. Sicherung des Unternehmensbestandes 4,84 0,43

x 2. Qualität des Angebots 4,65 0,55 3. Gewinn 4,65 0,75 4. Deckungsbeitrag 4,42 1,03

x 5. Soziale Verantwortung 4,28 0,88 6. Ansehen in der Öffentlichkeit 4,26 0,95 7. Umsatz 4,19 0,91 8. Wachstum des Unternehmens 3,98 0,89

x 9. Verbraucherversorgung 3,74 1,11 10. Marktanteil 3,67 1,24 11. Macht und Einfluß auf den Markt 3,60 1,22

x 12. Umweltfreundlichkeit/Schonung nat. Ressourcen 3,37 1,36

x Leistungsziel Marktziel Ertragsziel


Unternehmenssituation - UnternehmenszieleUnternehmenssituation - Unternehmensziele

Situationsvariablen Markt-ziele

Leistungs-ziele

Ertrags-ziele

Unternehmensgröße +++ +++ +

Konkurrenzintensität +++ ---

Delegation derUnternehmerfunktion

+++

Hierarchieebene ---- ++ -Nationalität

Situationsvariablen Markt-ziele

Leistungs-ziele

Ertrags-ziele

Unternehmensgröße +++ +++ +

Konkurrenzintensität +++ ---

Delegation derUnternehmerfunktion

+++

Hierarchieebene ---- ++ -Nationalität


PräferenzenPräferenzen HöhenpräferenzHöhenpräferenz Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt?

vollständige Präordnungsrelation auf Zk ArtenpräferenzArtenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? ZeitpräferenzZeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, UnsicherheitspräferenzRisiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information?

HöhenpräferenzHöhenpräferenz Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt?

vollständige Präordnungsrelation auf Zk ArtenpräferenzArtenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? ZeitpräferenzZeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, UnsicherheitspräferenzRisiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information?


Klassifikation von EntscheidungsmodellenKlassifikation von Entscheidungsmodellen

Entscheidungs-Entscheidungs-modellemodelle

eineeineZielsetzungZielsetzung

mehreremehrereZielsetzungenZielsetzungen

RisikoRisikoSicher-Sicher-heitheit

Unge-Unge-wißheitwißheit RisikoRisikoSicher-Sicher-

heitheitUnge-Unge-wißheitwißheit

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch


Lineare Entscheidungsmodelle

Lineare Entscheidungsmodelle

Grundlagen linearer Optimierung Schattenpreise, Sensitivität Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen

Grundlagen linearer Optimierung Schattenpreise, Sensitivität Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen


Fallstudie Berger (1)Fallstudie Berger (1)

M-1 M-2

Verkaufspreis € 1000 € 1200

zurechenbare Kosten € 700 € 800

Stück-DB € 300 € 400

variable Kosten Dreherei € 50 € 100

Unterlieferantenhöchstpreis € 350 =======

€ 500 =======

M-1 M-2

Verkaufspreis € 1000 € 1200

zurechenbare Kosten € 700 € 800

Stück-DB € 300 € 400


Unterlieferantenhöchstpreis € 350 =======

€ 500 =======



M-1 M-2 Gesamt

gewünschte Produktion 1000 St. 900 St.

Stück-DB € 300 € 400 € 660 000

bisherige Produktion 200 St. 900 St.

Stück-DB € 300 € 400 € 420 000

Differenz € 240 000 ========

M-1 M-2 Gesamt

gewünschte Produktion 1000 St. 900 St.

Stück-DB € 300 € 400 € 660 000

bisherige Produktion 200 St. 900 St.

Stück-DB € 300 € 400 € 420 000

Differenz € 240 000 ========



Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten

ergibt € 300 pro Einheit und somit für

Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten

ergibt € 300 pro Einheit und somit für

M-1 M-2

€ 300 € 600


Unterlieferantenhöchstpreis € 350 ======

€ 700 ======


Berger - EntscheidungsblattBerger - Entscheidungsblatt

Fallstudie BergerProduktionsentscheidungen

M-1 M-2 Verbrauch Kapazität Rest Art1000 St. 500 St.

1 2 2000 2000 0 Dreherei1 1 1500 2500 1000 Bohrerei1 1 1500 2500 1000 Stanzerei3 2 4000 4800 800 Spulenwicklerei1 0 1000 1500 500 Endmontage M-10 1 500 900 400 Endmontage M-2

€ 300,00 € 400,00 € 500.000,00 DB€ 276.600,00 Fixkosten€ 116.733,33 Gemeinkosten€ 106.666,67 Gewinn


Fallstudie Berger (LP-1)Fallstudie Berger (LP-1)

x1 = Menge M-1 x1 + 2x2 2000 Dreherei

x2 = Menge M-1 x1 + x2 2500 Bohrerei

x1 + x2 2500 Stanzerei

Gesamtdeckungsbeitrag 3x1 + 2x24800 Spulenwicklerei

300 x1 + 400 x2 x1 1500 Endmontage M-1

x2 900 Endmontage M-2

x1, x2

x1 = Menge M-1 x1 + 2x2 2000 Dreherei

x2 = Menge M-1 x1 + x2 2500 Bohrerei

x1 + x2 2500 Stanzerei

Gesamtdeckungsbeitrag 3x1 + 2x24800 Spulenwicklerei

300 x1 + 400 x2 x1 1500 Endmontage M-1

x2 900 Endmontage M-2

x1, x2


Lineares Programm LP (1)Lineares Programm LP (1)

Entscheidungsvariable x1, ..., xn

Zielfunktionskoeffizienten c1, ..., cn

Restriktionskoeffizienten aij mit i=1, ..., m

und j=1, ..., n

Ressourcen - RHS b1, ..., bm

Entscheidungsvariable x1, ..., xn

Zielfunktionskoeffizienten c1, ..., cn

Restriktionskoeffizienten aij mit i=1, ..., m

und j=1, ..., n

Ressourcen - RHS b1, ..., bm



c1x1+ ... +cnxn MAX

a11x1+ ... +a1nxn b1

. . .

. . .

. . .

am1x1+ ... +amnxn bm

x1, ..., xn 0

c1x1+ ... +cnxn MAX

a11x1+ ... +a1nxn b1

. . .

. . .

. . .

am1x1+ ... +amnxn bm

x1, ..., xn 0



cTx MAX

Ax b

x 0

cTx MAX

Ax b

x 0

StandardformStandardform


Fall Berger - Graphische LösungFall Berger - Graphische Lösung

x2

x1

LP-Graphik

(200, 900) (1000, 900)

(1400, 300)

(1500, 150)

Spulenwicklerei

Dreherei

Endmontagen

Die Kapazitätsbeschränkungen für die Bohrerei und die Stanzerei sind redundant und damit weggelassen worden

x2

x1

LP-Graphik

(200, 900) (1000, 900)

(1400, 300)

(1500, 150)

Spulenwicklerei

Dreherei

Endmontagen

Die Kapazitätsbeschränkungen für die Bohrerei und die Stanzerei sind redundant und damit weggelassen worden


Simplex - VerfahrenSimplex - Verfahren


Definition und Hauptsatz der LPDefinition und Hauptsatz der LP

Definition:

x heißt zulässig <=> Ax b, xx heißt optimal <=> (y zulässig => cTy cTx)

Hauptsatz:Hauptsatz:

Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung

Definition:

x heißt zulässig <=> Ax b, xx heißt optimal <=> (y zulässig => cTy cTx)

Hauptsatz:Hauptsatz:

Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung


ProduktionsplanungsproblemProduktionsplanungsproblem

Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her-stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung.

Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert.

Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her-stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung.

Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert.


Lineares ModellLineares Modell

x1 Menge Qualität I

x2 Menge Qualität II

Ziel 3x1 + 2x2 MAX

3x1 + 6x23000

9x1 + 3x2 3000

x1, x2 0

x1 Menge Qualität I

x2 Menge Qualität II

Ziel 3x1 + 2x2 MAX

3x1 + 6x23000

9x1 + 3x2 3000

x1, x2 0


Graphische LösungGraphische Lösung


BasislösungBasislösung

Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form

Ax + y = b mit A mxn, x n, y, b m

Setzt man einige der Variablen {x1, ..., xn,

y1, ..., ym} willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung xi 0 (i = 1, ..., n) und yi 0 (i = 1, ..., m), so heißt sie zulässige Basislösung.

Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form

Ax + y = b mit A mxn, x n, y, b m

Setzt man einige der Variablen {x1, ..., xn,

y1, ..., ym} willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung xi 0 (i = 1, ..., n) und yi 0 (i = 1, ..., m), so heißt sie zulässige Basislösung.


Ecken und BasislösungenEcken und Basislösungen

Satz:

Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax b, x 0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs-systems Ax + y = b ist.

Satz:

Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax b, x 0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs-systems Ax + y = b ist.


Simplex StartSimplex Start

x1 x2 y1 y2 z

3 6 1 0 0 3000

9 3 0 1 0 3000

-3 -2 0 0 1 0

Basis {y1, y2, z}

Nichtbasis {x1, x2}

Pivotzeile; d.h. y2 aus der Basis

neue Basis {x1, y1, z}neue Nichtbasis {y2, x2}

Pivotspalte, d.h. x1 in die Basis


Simplex UmformungSimplex Umformung

x1 x2 y1 y2 z

0 5 1 -1/3 0 2000

1 1/3 0 1/9 0 333 1/3

0 -1 0 1/3 1 1000

B N B N B

B = Basiselement

N = Nichtbasiselement

-x2 + 1/3y2 + z = 1000

z = 1000 +x2 - 1/3y2 = 1000


Simplex EndtableauSimplex Endtableau

x1 x2 y1 y2 z

0 1 1/5 -1/15 0 400

1 0 -1/15 6/45 0 200

0 0 1/5 4/15 1 1400

B B N N B

x1 x2 y1 y2 z

0 1 1/5 -1/15 0 400

1 0 -1/15 6/45 0 200

0 0 1/5 4/15 1 1400

B B N N Bz = 1400 - 1/5y1 - 4/15y2

mit y1, y2

maximal möglicher Wertvon z ist 1400


Simplex VorgehensweiseSimplex Vorgehensweise1. Wandle die -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen

um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf.2. Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damit

die Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden.

3. Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich.

4. Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement.

5. Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein.

6. (Gehe zu 2).

1. Wandle die -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf.

2. Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damitdie Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden.

3. Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich.

4. Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement.

5. Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein.

6. (Gehe zu 2).


Voraussetzungen eines LPVoraussetzungen eines LP

Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen

Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei-dungsvariablen

Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen

beliebig unterteilbare Variablen genaue Kenntnis der Koeffizienten

Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen

Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei-dungsvariablen

Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen

beliebig unterteilbare Variablen genaue Kenntnis der Koeffizienten


Berger - LP mit EXCEL gelöstBerger - LP mit EXCEL gelöstMicrosoft Excel 5.0 AntwortberichtTabelle: [BERGER.XLS]BergerBericht erstellt am: 12.8.95 10:04

Zielzelle (Max)Zelle Name Ausgangswert Lösungswert

$C$11 DB € 0,00 € 540.000,00

Veränderbare ZellenZelle Name Ausgangswert Lösungswert

$A$4 M-1 0 1400$B$4 M-2 0 300

NebenbedingungenZelle Name Zellwert Formel Status Differenz

$C$5 Dreherei 2000 $C$5<=$D$5 Einschränkend 0$C$6 Bohrerei 1700 $C$6<=$D$6 Nicht einschränkend 800$C$7 Stanzerei 1700 $C$7<=$D$7 Nicht einschränkend 800$C$8 Spulenwicklerei 4800 $C$8<=$D$8 Einschränkend 0$C$9 Endmontage M-1 1400 $C$9<=$D$9 Nicht einschränkend 100$C$10 Endmontage M-2 300 $C$10<=$D$10 Nicht einschränkend 600$A$4 M-1 1400 $A$4>=0 Nicht einschränkend 1400$B$4 M-2 300 $B$4>=0 Nicht einschränkend 300


Berger - ScenariosBerger - Scenarios

ÜbersichtsberichtAktuelle Werte: bisher optimal maximal

Veränderbare Zellen:M-1 1000 200 1400 1000M-2 500 900 300 900

Ergebniszellen:Gewinn Gewinn Gewinn Gewinn

€ 106.666,67 € 26.666,67 € 146.666,67 € 266.666,67


Fallstudie Berger (LP-2)Fallstudie Berger (LP-2)

M-1 M-2 Gesamt-DB bisheriges Prod.-Programm 200 900 € 420 000

optimales Prod.-Programm 1400 300 € 540 000

optimal bei 2800 Einh. Dreherei 1000 900 € 660 000

optimal bei max. 1000 St. M-1 1000 500 € 500 000

M-1 M-2 Gesamt-DB bisheriges Prod.-Programm 200 900 € 420 000

optimales Prod.-Programm 1400 300 € 540 000

optimal bei 2800 Einh. Dreherei 1000 900 € 660 000

optimal bei max. 1000 St. M-1 1000 500 € 500 000



höchster Stück-DB bei M-2

ergibt M-1: 200 und M-2: 900 Gesamt-DB: € 420 000

Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1


Berücksichtigung aller Restriktionen simultan


höchster Stück-DB bei M-2


Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1


Berücksichtigung aller Restriktionen simultan



Berger - HandlungsvorschlagBerger - Handlungsvorschlag

Preiskalkulation bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 M-1 M-2 DBvariable Kosten € 50,00 € 100,00 1000 St. 900 St.DB-Differenz € 200,00 € 400,00 € 300,00 € 400,00Preis € 250,00 € 500,00 € 300.000,00 € 360.000,00 € 660.000,00

1000 St. 500 St. € 500.000,000 St. 400 St. € 160.000,00

Handlungsempfehlung bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 max. Fremd-Kapazität 800angebotener Preis € 210,00 € 380,00 DB gesamte Produktion € 660.000,00variable Kosten € 50,00 € 100,00 variable Kosten € 40.000,00Preis Kapazität € 160,00 € 140,00 Fremdvergabe € 152.000,00Auftragsvergabe € 0,00 € 400,00 Fixkosten € 276.600,00gew. Produktion € 1.000,00 € 900,00 Gemeinkosten € 116.733,33eigene Produktion € 1.000,00 € 500,00 Gewinn € 154.666,67


Literatur: Lineare OptimierungLiteratur: Lineare Optimierung Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer,

1991 Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall,

1985 Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon

Inc., 1988 Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice

Hall, 1978 Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West

Publishing Company, 1986 Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987

Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer, 1991

Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall,

1985 Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon

Inc., 1988 Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice

Hall, 1978 Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West

Publishing Company, 1986 Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987


Interpretation der Lösung des Modells

Interpretation der Lösung des Modells

Sensitivität

Dualität

Spieltheorie

Sensitivität

Dualität

Spieltheorie


Sensitivität-ProduktionsplanungsbeispielSensitivität-Produktionsplanungsbeispiel

1. In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt.

2.Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit?

3.Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)?

1. In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt.

2.Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit?

3.Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)?


SensitivitätSensitivität

1. In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten ci verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

2. In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

1. In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten ci verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

2. In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?


Sensitivität KoeffizientenSensitivität KoeffizientenFall 1: Entscheidungsvariable

xk in der BasisFall 1: Entscheidungsvariable

xk in der Basis

xk

0...

1...~

aik

~

bi

.

.

.00 dk

xk

ã1k

.

.

.

.

.

.

.

.ãmk

dk

Variation des Zielfunktionskoeffizienten ck um

Fall 2: Entscheidungsvariable xk nicht in der Basis

Fall 2: Entscheidungsvariable xk nicht in der Basis

c dk kmax , ~~ min , ~

~

d

afür a c

d

afür ak

ikik k

k

ikik0 0


Sensitivität RestriktionenSensitivität RestriktionenFall 1: Schlupfvariable yk in

der BasisFall 1: Schlupfvariable yk in

der BasisFall 2: Schlupfvariable yk

nicht in der BasisFall 2: Schlupfvariable yk

nicht in der Basis

yk

0...

1...~

bj

.

.

.00

yk

ã1k

~

b1

. .

. .

. .

. .

. .

. .

ãmk

~

bm

dk

max ,~

~~ min ,

~

~~

b

afür a b

b

afür ai

ikik k

i

ikik0 0 ~

b bj k

Schattenpreis = 0 für Schattenpreis dk für


Duales ProblemDuales ProblemSei cTx MAX ein lineares Optimierungsproblem

(*) A x b x 0

dann bezeichnet das zu (*) duale Problem

bTy ATyc

y 0(*) wird dementsprechend primales Problem genannt

Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x

von (*) und y von (**) cTx bTy. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen

Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.

Sei cTx MAX ein lineares Optimierungsproblem

(*) A x b x 0

dann bezeichnet das zu (*) duale Problem

bTy ATyc

y 0(*) wird dementsprechend primales Problem genannt

Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x

von (*) und y von (**) cTx bTy. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen

Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.


Duales Problem und SchattenpreiseDuales Problem und Schattenpreise

Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des

Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems.

Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. bk

genau um yk*, wenn (y1*, ..., ym*) die optimale Lösung von (**) darstellt.

Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des

Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems.

Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. bk

genau um yk*, wenn (y1*, ..., ym*) die optimale Lösung von (**) darstellt.


Berger - SchattenpreiseBerger - Schattenpreise

Reduzierte Ziel- Zulässige ZulässigeZelle Name Endwert Kosten Koeffizient Zunahme Abnahme

$A$4 M-1 1400 0 300 300 100$B$4 M-2 300 0 400 200 200

Nebenbedingungen Nebenbedingung Zulässige Zulässige

Zelle Name Endwert Schattenpreis Rechte Seite Zunahme Abnahme$C$5 Dreherei 2000 150 2000 800 200$C$6 Bohrerei 1700 0 2500 1E+30 800$C$7 Stanzerei 1700 0 2500 1E+30 800$C$8 Spulenwicklerei 4800 50 4800 200 2400$C$9 Endmontage M-1 1400 0 1500 1E+30 100$C$10 Endmontage M-2 300 0 900 1E+30 600


Berger - LösungBerger - Lösung

Preiskalkulation bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 M-1 M-2 DBvariable Kosten € 50,00 € 100,00 1000 St. 900 St.DB-Differenz € 200,00 € 400,00 € 300,00 € 400,00Preis € 250,00 € 500,00 € 300.000,00 € 360.000,00 € 660.000,00

1000 St. 500 St. € 500.000,000 St. 400 St. € 160.000,00

Handlungsempfehlung bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 max. Fremd-Kapazität 800angebotener Preis € 260,00 € 510,00 DB gesamte Produktion € 500.000,00variable Kosten € 50,00 € 100,00 variable Kosten € 0,00Preis Kapazität € 210,00 € 205,00 Fremdvergabe € 0,00Auftragsvergabe € 0,00 € 0,00 Fixkosten € 276.600,00gew. Produktion € 1.000,00 € 900,00 Gemeinkosten € 116.733,33eigene Produktion € 1.000,00 € 500,00 Gewinn € 106.666,67


Modellierung linearer Entscheidungsmodelle

in verschiedenen Funktionalbereichen

Modellierung linearer Entscheidungsmodelle

in verschiedenen Funktionalbereichen


EXCEL - LiquiditätsproblemEXCEL - Liquiditätsproblem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Monate

Liquidität

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Monate

Liquidität


EXCEL - Lineares EntscheidungsmodellEXCEL - Lineares EntscheidungsmodellKredittyp Periode 1 2 3 4 5 6 12

1 1 100 -1011 2 100 -1011 3 100 -1011 4 100 -101

0,55 12 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 13 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 14 99 -0,55 -0,55 -100,55

Variable x(.)

0 1 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 00 3 0 0 0 0 0 0 0

1,89473252 4 0 0 0 189,473252 -191,367984 0 00,95704891 5 0 0 0 0 95,7048909 -96,6619398 0

0 6 0 0 0 0 0 0 00 7 0 0 0 0 0 0 00 8 0 0 0 0 0 0 00 9 0 0 0 0 0 0 00 10 0 0 0 0 0 0 00 11 0 0 0 0 0 0 0

1,01010101 12 100 -0,55555556 -0,55555556 -101,565657 0 0 02,02581369 13 0 200,555556 -1,11419753 -1,11419753 -203,695567 0 01,0269672 14 0 0 101,669753 -0,56483196 -0,56483196 -103,261552 00,1391054 15 0 0 0 13,7714344 -0,07650797 -0,07650797 0

0 16 0 0 0 0 0 0 00 17 0 0 0 0 0 0 00 18 0 0 0 0 0 0 00 19 0 0 0 0 0 0 00 20 0 0 0 0 0 0 0

Kreditsaldo 100 300 400 500 200 -5,6843E-14 -13,9870478Liquiditätsprognose 0 -200 -300 -400 -100 100 100Mindestkassenbestand 100 100 100 100 100 100 100Soll-Kreditsaldo 100 300 400 500 200 0 0Differenz 0 5,6843E-14 5,6843E-14 5,6843E-14 -5,6843E-14 -5,6843E-14 -13,9870478 -13,987048

Kredittyp Periode 1 2 3 4 5 6 12

1 1 100 -1011 2 100 -1011 3 100 -1011 4 100 -101

0,55 12 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 13 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 14 99 -0,55 -0,55 -100,55

Variable x(.)

0 1 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 00 3 0 0 0 0 0 0 0

1,89473252 4 0 0 0 189,473252 -191,367984 0 00,95704891 5 0 0 0 0 95,7048909 -96,6619398 0

0 6 0 0 0 0 0 0 00 7 0 0 0 0 0 0 00 8 0 0 0 0 0 0 00 9 0 0 0 0 0 0 00 10 0 0 0 0 0 0 00 11 0 0 0 0 0 0 0

1,01010101 12 100 -0,55555556 -0,55555556 -101,565657 0 0 02,02581369 13 0 200,555556 -1,11419753 -1,11419753 -203,695567 0 01,0269672 14 0 0 101,669753 -0,56483196 -0,56483196 -103,261552 00,1391054 15 0 0 0 13,7714344 -0,07650797 -0,07650797 0

0 16 0 0 0 0 0 0 00 17 0 0 0 0 0 0 00 18 0 0 0 0 0 0 00 19 0 0 0 0 0 0 00 20 0 0 0 0 0 0 0

Kreditsaldo 100 300 400 500 200 -5,6843E-14 -13,9870478Liquiditätsprognose 0 -200 -300 -400 -100 100 100Mindestkassenbestand 100 100 100 100 100 100 100Soll-Kreditsaldo 100 300 400 500 200 0 0Differenz 0 5,6843E-14 5,6843E-14 5,6843E-14 -5,6843E-14 -5,6843E-14 -13,9870478 -13,987048


EXCEL-AntwortberichtEXCEL-Antwortbericht

Microsoft Excel 5.0 AntwortberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54


$O$47 Differenz -13,98704778 -13,98704778


$C$43 Kreditsaldo 100 $C$43>=$C$46 Einschränkend 0$D$43 Kreditsaldo 300 $D$43>=$D$46 Einschränkend 0$E$43 Kreditsaldo 400 $E$43>=$E$46 Einschränkend 0$F$43 Kreditsaldo 500 $F$43>=$F$46 Einschränkend 0$G$43 Kreditsaldo 200 $G$43>=$G$46 Einschränkend 0$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 $H$43>=$H$46 Einschränkend 0$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 $I$43>=$I$46 Nicht einschränkend 186,0129522$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 $J $43>=$J $46 Nicht einschränkend 286,0129522$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 $K$43>=$K$46 Nicht einschränkend 486,0129522$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 $L$43>=$L$46 Nicht einschränkend 386,0129522$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 $M$43>=$M$46 Nicht einschränkend 286,0129522$A$23 Variable 0 $A$23>=0 Einschränkend 0$A$24 Variable 0 $A$24>=0 Einschränkend 0$A$42 Variable 0 $A$42>=0 Einschränkend 0

Microsoft Excel 5.0 AntwortberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54


$O$47 Differenz -13,98704778 -13,98704778


$C$43 Kreditsaldo 100 $C$43>=$C$46 Einschränkend 0$D$43 Kreditsaldo 300 $D$43>=$D$46 Einschränkend 0$E$43 Kreditsaldo 400 $E$43>=$E$46 Einschränkend 0$F$43 Kreditsaldo 500 $F$43>=$F$46 Einschränkend 0$G$43 Kreditsaldo 200 $G$43>=$G$46 Einschränkend 0$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 $H$43>=$H$46 Einschränkend 0$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 $I$43>=$I$46 Nicht einschränkend 186,0129522$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 $J $43>=$J $46 Nicht einschränkend 286,0129522$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 $K$43>=$K$46 Nicht einschränkend 486,0129522$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 $L$43>=$L$46 Nicht einschränkend 386,0129522$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 $M$43>=$M$46 Nicht einschränkend 286,0129522$A$23 Variable 0 $A$23>=0 Einschränkend 0$A$24 Variable 0 $A$24>=0 Einschränkend 0$A$42 Variable 0 $A$42>=0 Einschränkend 0


EXCEL - EmpfindlichkeitsberichtEXCEL - Empfindlichkeitsbericht

Microsoft Excel 5.0 SensitivitätsberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

Veränderbare Zellen Reduzierte Ziel- Zulässige Zulässige

Zelle Name Endwert Kosten Koeffizient Zunahme Abnahme$A$23 Variable 0 -0,001892973 -0,999999997 0,001892973 1E+30$A$24 Variable 0 -0,001882515 -0,999999997 0,001882515 1E+30$A$25 Variable 0 -0,338853169 -0,999999997 0,338853169 1E+30$A$26 Variable 1,894732516 0 -1 0,336610099 0,001874055$A$27 Variable 0,957048909 0 -1 0,335120674 0,001863747$A$42 Variable 0 -2,65 -2,65 2,65 1E+30


Zelle Name Endwert Schattenpreis Rechte Seite Zunahme Abnahme$C$43 Kreditsaldo 100 -0,010422041 100 201,6759777 100$D$43 Kreditsaldo 300 -0,010318956 300 102,2377405 95,70891014$E$43 Kreditsaldo 400 -0,006880445 400 95,16834858 101,6697531$F$43 Kreditsaldo 500 -0,010167303 500 18295,21013 191,3891667$G$43 Kreditsaldo 200 -0,010066637 200 18478,16224 96,66726263$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 -0,006663703 0 96,13259857 13,89445923$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -200 186,0129522 1E+30$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -500 486,0129522 1E+30$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -400 386,0129522 1E+30$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30

Microsoft Excel 5.0 SensitivitätsberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

Veränderbare Zellen Reduzierte Ziel- Zulässige Zulässige

Zelle Name Endwert Kosten Koeffizient Zunahme Abnahme$A$23 Variable 0 -0,001892973 -0,999999997 0,001892973 1E+30$A$24 Variable 0 -0,001882515 -0,999999997 0,001882515 1E+30$A$25 Variable 0 -0,338853169 -0,999999997 0,338853169 1E+30$A$26 Variable 1,894732516 0 -1 0,336610099 0,001874055$A$27 Variable 0,957048909 0 -1 0,335120674 0,001863747$A$42 Variable 0 -2,65 -2,65 2,65 1E+30


Zelle Name Endwert Schattenpreis Rechte Seite Zunahme Abnahme$C$43 Kreditsaldo 100 -0,010422041 100 201,6759777 100$D$43 Kreditsaldo 300 -0,010318956 300 102,2377405 95,70891014$E$43 Kreditsaldo 400 -0,006880445 400 95,16834858 101,6697531$F$43 Kreditsaldo 500 -0,010167303 500 18295,21013 191,3891667$G$43 Kreditsaldo 200 -0,010066637 200 18478,16224 96,66726263$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 -0,006663703 0 96,13259857 13,89445923$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -200 186,0129522 1E+30$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -500 486,0129522 1E+30$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -400 386,0129522 1E+30$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30


EXCEL - GrenzberichtEXCEL - GrenzberichtMicrosoft Excel 5.0 GrenzenwertberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

ZielzelleZelle Name Wert

$O$47 Differenz -13,98704778

Veränderbare Zellen Untere Ziel- Obere Ziel-Zelle Name Wert Grenze Ergebnis Grenze Ergebnis

$A$23 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$24 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$25 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$26 Variable 1,894732516 1,894732516 -13,98704778 1,894732516 -13,98704778$A$27 Variable 0,957048909 0,957048909 -13,98704778 0,957048909 -13,98704778$A$28 Variable 0 5,68434E-16 -13,98704778 186,0129523 -200,0000001$A$29 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$30 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$31 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$32 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$33 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV$A$34 Variable 1,01010101 1,01010101 -13,98704778 1,01010101 -13,98704778$A$35 Variable 2,025813692 2,025813692 -13,98704778 2,025813692 -13,98704778$A$36 Variable 1,026967203 1,026967203 -13,98704778 1,026967203 -13,98704778$A$37 Variable 0,139105398 0,139105398 -13,98704778 70,33267225 -199,9999999$A$38 Variable 0 5,77384E-16 -13,98704778 107,929416 -300,0000002$A$39 Variable 0 5,74176E-16 -13,98704778 107,9294159 -300$A$40 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$41 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$42 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV

Microsoft Excel 5.0 GrenzenwertberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

ZielzelleZelle Name Wert

$O$47 Differenz -13,98704778

Veränderbare Zellen Untere Ziel- Obere Ziel-Zelle Name Wert Grenze Ergebnis Grenze Ergebnis

$A$23 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$24 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$25 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$26 Variable 1,894732516 1,894732516 -13,98704778 1,894732516 -13,98704778$A$27 Variable 0,957048909 0,957048909 -13,98704778 0,957048909 -13,98704778$A$28 Variable 0 5,68434E-16 -13,98704778 186,0129523 -200,0000001$A$29 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$30 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$31 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$32 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$33 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV$A$34 Variable 1,01010101 1,01010101 -13,98704778 1,01010101 -13,98704778$A$35 Variable 2,025813692 2,025813692 -13,98704778 2,025813692 -13,98704778$A$36 Variable 1,026967203 1,026967203 -13,98704778 1,026967203 -13,98704778$A$37 Variable 0,139105398 0,139105398 -13,98704778 70,33267225 -199,9999999$A$38 Variable 0 5,77384E-16 -13,98704778 107,929416 -300,0000002$A$39 Variable 0 5,74176E-16 -13,98704778 107,9294159 -300$A$40 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$41 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$42 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV


Beispiel: PersonaleinsatzplanungBeispiel: PersonaleinsatzplanungIn einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal:

Von 0.00 - 4.00 Uhr: 30 Personen






Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, 20.00 Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird?

In einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal:







Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, 20.00 Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird?


TransportproblemTransportproblem

F = FabrikenV = Verbraucher

ai = Kapazität der Fabrik Fi

bj = Nachfrage des Verbrauchers Vj

cij Transportkosten pro Einheit von Fi nach Vj

F1

Fm

V1

Vn

(- max cij,

(c11,

(cij,

(cmn,

(0, ai) (0, bj)


ZuordnungsproblemZuordnungsproblem

K = KandidatenS = Stellen

cij = Grad der "Un"-eignung von Kandidat Ki für Stelle Sj

(cij,

K1

Km

S1

Sn

(0, 1)

(0, 1)

(- max cij,


MEHRZIELOPTIMIERUNGMEHRZIELOPTIMIERUNG


Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1)Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1)

Beispiel:Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x1 und x2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x1 + 2x2 16

x1 + x2 10

4x1 + x2 28

Beispiel:Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x1 und x2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x1 + 2x2 16

x1 + x2 10

4x1 + x2 28


Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2)Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2)

Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit.

Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei-trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A.

Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit.

Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei-trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A.


Effiziente - Ineffiziente EntscheidungenEffiziente - Ineffiziente Entscheidungen

Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z1,..., zm (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist.

x effizient <==> x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit:

zi(y) > zi(x) (i=1,...,m) und zk(y) > zk(x) für ein k(bei Maximierung der zi )

Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z1,..., zm (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist.

x effizient <==> x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit:

zi(y) > zi(x) (i=1,...,m) und zk(y) > zk(x) für ein k(bei Maximierung der zi )


BeispielBeispiel

a1 ineffizient, da von a2 dominierta3 ineffizient, da von a5 dominiert

z1 z2 z3 z4

a1 0 2 7 2

a2 4 4 8 6

a3 4 2 14 3a4 14 1 15 4

a5 10 2 20 3

z1 z2 z3 z4

a1 0 2 7 2

a2 4 4 8 6

a3 4 2 14 3a4 14 1 15 4

a5 10 2 20 3


Mehrzieloptimierung - GraphikMehrzieloptimierung - Graphik

xx11+x+x22<=10<=10

xx11+2x+2x22<=16<=16

4x4x11+x+x22<=28<=28

xx22<=7<=7

x2

x1

DeckungsbeitragAuslastungProduktion A


Methoden der MehrzieloptimierungMethoden der Mehrzieloptimierung

Einmalige Methoden Zielgewichtung Zielprogrammierung (Goalprograming)

Interaktive Methoden Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) Tauschratenverfahren (Geoffrion)

Einmalige Methoden Zielgewichtung Zielprogrammierung (Goalprograming)

Interaktive Methoden Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) Tauschratenverfahren (Geoffrion)


ZielgewichtungZielgewichtung

Artenpräferenz durch Angabe der Gewichteg1,...,gm mitgi=1

Lösen des Problems mit der Zielfunktionz(x)= gi*zi(x)

bei gi > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung

jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete gi als Optimallösung des obigen Problems erreichen

Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig

Artenpräferenz durch Angabe der Gewichteg1,...,gm mitgi=1

Lösen des Problems mit der Zielfunktionz(x)= gi*zi(x)

bei gi > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung

jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete gi als Optimallösung des obigen Problems erreichen

Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig


GoalprogrammingGoalprogramming

Angabe von gewünschten Zielwerten zi* und Wahl der Entscheidung x, die zi(x) - zi*| minimiert

ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion

führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung

Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar

Angabe von gewünschten Zielwerten zi* und Wahl der Entscheidung x, die zi(x) - zi*| minimiert

ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion

führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung

Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar


Setzen von AnspruchsniveausSetzen von Anspruchsniveaus

Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte zj(xi), wobei xi die optimale Entscheidung für Ziel zi ist.

min{zj(xi)|i} und max{zj(xi)|i} geben die Spann-weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel zj an

Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durchzj(x) z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist.

ergibt immer eine effiziente Lösung sehr gute Akzeptanz des Verfahrens

Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte zj(xi), wobei xi die optimale Entscheidung für Ziel zi ist.

min{zj(xi)|i} und max{zj(xi)|i} geben die Spann-weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel zj an

Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durchzj(x) z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist.

ergibt immer eine effiziente Lösung sehr gute Akzeptanz des Verfahrens


TauschratenverfahrenTauschratenverfahren

Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z1 festgelegt

Mit diesen Tauschraten z1/zi wird eine Ziel-gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden

u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung mit den Tauschraten z1 zu z2 und z3 ergibt sich

auch die Tauschrate z2 zu z3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens

Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z1 festgelegt

Mit diesen Tauschraten z1/zi wird eine Ziel-gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden

u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung mit den Tauschraten z1 zu z2 und z3 ergibt sich

auch die Tauschrate z2 zu z3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens

Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineare Optimierung Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden Umfang ca....

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