Welchen Grad der Allgemeinheit kann man von den Entdeckungen und Begründungen der Kinder erwarten und wie können sich strukturelle Argumentationen zwischen den Kindern in der Grundschule entwickeln?

Welche Anlässe und Anregungen sind dafür geeignet, damit die Kinder über das Ausrechnen von Ergebnissen hinausgehend mathematische Strukturen zielgerichtet erkunden und diskutieren?

»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Entdecken und Argumentieren zwischen

Ausrechnen und Umrechnen

Programmablauf

22. September 2012

22. Symposium

25 Jahre

eine Fortbildungsveranstaltung des Zentrum für HochschulBildung – Bereich Weiterbildung der Technischen Universität Dortmund, in Zusammenarbeit mit dem Institut

für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts der Fakultät für Mathematik

25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

16.45 Uhr Ende der Veranstaltung

Programmablauf

22. September 2012

22. Symposium

25 Jahre

eine Fortbildungsveranstaltung des Zentrum für HochschulBildung – Bereich Weiterbildung der Technischen Universität Dortmund, in Zusammenarbeit mit dem Institut

für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts der Fakultät für Mathematik

25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

16.45 Uhr Ende der Veranstaltung

M. NührenbörgerR. Schwarzkopf

»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Entdecken und Argumentieren zwischen

Ausrechnen und Umrechnen

1. Argumentieren: Wann und wie?

2. Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

3. Ein Beispiel für die Praxis: Pluspfeile

Programmablauf

22. September 2012

22. Symposium

25 Jahre

eine Fortbildungsveranstaltung des Zentrum für HochschulBildung – Bereich Weiterbildung der Technischen Universität Dortmund, in Zusammenarbeit mit dem Institut

für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts der Fakultät für Mathematik

25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

16.45 Uhr Ende der Veranstaltung

Programmablauf

22. September 2012

22. Symposium

25 Jahre

eine Fortbildungsveranstaltung des Zentrum für HochschulBildung – Bereich Weiterbildung der Technischen Universität Dortmund, in Zusammenarbeit mit dem Institut

für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts der Fakultät für Mathematik

25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

16.45 Uhr Ende der Veranstaltung

M. NührenbörgerR. Schwarzkopf

!

Argumentieren: Wann und wie?

Strukturelles UmrechnenWie:

Produktive Irritation: Ein Konflikt zwischen Gleichheit und VerschiedenheitWann:

Miller (1986): untersucht Argumentationen zwischen Kindern

Das argumentative [...] Austragen zwischenmenschlicher Konflikte gleich welcher Art erzeugt für die meisten der daran Beteiligten einen erheblichen Stress, dem sich offenbar niemand ohne wirklich zwingende Gründe unterwerfen mag. Vom Fach aus gedacht

Projekt DAruM: Deutungs- und Argumentationsprozesse bei der Behandlung substantieller Aufgabenformate im Mathematikunterricht der Grundschule

Experimentiere mit Gleichheiten im Unterricht

Verschiedenes gleich machen Gleiches in Verschiedenem sehen

"

Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

Experimentiere mit Gleichheiten im Unterricht

Verschiedenes gleich machen Gleiches in Verschiedenem sehen

9 11

4 1513

20

Ausgangsdreieck

a) b)

c)

15 + 113 + 1

20

9

4+1

11

1513 + 1

20 + 1

9+1

4

11

1513 + 1

20

Forscherfrage:(Wie) kannst du aus dem Ausgangsdreieck

die anderen Dreiecke herstellen?

Irritation: Warum geht das plötzlich nicht?

Auflösung: Umrechnen

#

Experimentiere mit Gleichheiten im Unterricht

Verschiedenes gleich machen Gleiches in Verschiedenem sehen

Ausgangsdreieck

Forscherfrage:(Wie) kannst du aus dem Ausgangsdreieck

die anderen Dreiecke herstellen?

1515

20

d)

9 11

4 1513

20

Irritation: Warum geht das plötzlich wieder?

Auflösung: Umrechnen

Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

5

10 10

$

Experimentiere mit Gleichheiten im Unterricht

Verschiedenes gleich machen Gleiches in Verschiedenem sehen

Forscherfrage:Addiere immer die eingekreisten Zahlen

- was stellst du fest?

1513

20

9

4

11

1513

20

9

4

11

1513

20

9

4

11

9 11

4 4+114+9

9+11

Irritation: Warum kommt immer dasselbe heraus?

Auflösung: Umrechnen

15 + 9 = (4+11)+9

13 + 11 = (4+9)+11

20 + 4 = (9+11)+4Alles dieselbe Zahl, nur unterschiedlich ausgedrückt

Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

= 7 + 8 + 9

Beispiel Pluspfeile: Teil 1: ausrechnen und erkunden

Finde verschiedene Pluspfeile mit der Zielzahl 24.Ausrechnen

Umrechnen Sortiere die verschiedenen Pluspfeile: Was fällt auf? Warum sind sie alle gleich?

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Abb. F

Abb. G

Abb. H

Phaseneinteilung: Phase 1: Zeile 1 - 9: Einführung der neuen Fragestellung.

Phase 1.1: Z. 1 - 8: Wiederholung der Erkenntnisse der Schüler durch die Lehrerin. Phase 1.2: Z. 9: Fragestellung.

Phase 2: Zeile 10 - 17: Mündliche Erklärung der gleichen Ergebnisse durch Ben. Phase 3: Zeile 18 - 25: Hinlenkung zu einer schriftlichen Erklärung. Phase 4: Zeile 26 - 61: Prozess der Verschriftlichung.

Phase 4.1: Z. 26 - 33: Beginn der Verschriftlichung durch Ben. Phase 4.2: Z. 34 - 44 Phase 4.3: Z. 45 - 56: Fortsetzung der Verschriftlichung. Phase 4.4: Z. 57 - 61:Verstehensnachfrage der Lehrerin.

Phase 5: Zeile 61 - 81: Erläuterung der gleichen Ergebnisse anhand der Verschriftlichung.

Phase 5.1: Z. 61 - 67: Einigung darauf wer erklären darf. Phase 5.2: Z. 68 - 75: Lennards Erklärung.

Phase 5.3: Z. 75 - 81: Bens Erklärung.

#

1 L: ich hab jetzt aber noch , ne ganz schwere frage an euch. 2 B: ja´ welche´ 3 und zwar. ihr habt ja jetzt hier schon super sachen festgestellt. das hier in der

mitte immer die acht (zeigt von unten nach oben auf die Pluspfeile), setzt dich noch mal hin ben. hast es ja gleich geschafft. in der mitte steht immer die acht

Weil sich hier alles um eins verring, vergrößert oder verkleinert und deswegen ist das natürlich immer gleich.

Ben:

Also. Ich mein das so, dass hier, 1 plus 15 ist ja 16 und dann die 8 ist ja dann, gleicht ja immer auf 24.Und hier 2 plus 14 sind auch 16 hier und so alles 16.

Lennart: (notiert und erklärt)

allg. Erkenntnisse zur Konstanz der Summe

5 + 8 + 11 = 6 + 8 + 10= 5+1 + 8 + 11-1= 5+2 + 8 + 11-2 = 6+1 + 8 + 10-1

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Anhang D: Transkripte der analysierten Episoden und die Phaseneinteilung

Abkürzungen:

L: Lehrerin Len: Lennard

B: Ben S: Schüler

1. Erste Episode (1. Interview)

#

Verwendetes Material:

Abb. A

Abb. B

Abb. C

Abb. D

Abb. E

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#

Anhang D: Transkripte der analysierten Episoden und die Phaseneinteilung

Abkürzungen:

L: Lehrerin Len: Lennard

B: Ben S: Schüler

1. Erste Episode (1. Interview)

#

Verwendetes Material:

Abb. A

Abb. B

Abb. C

Abb. D

Abb. E

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#

Anhang D: Transkripte der analysierten Episoden und die Phaseneinteilung

Abkürzungen:

L: Lehrerin Len: Lennard

B: Ben S: Schüler

1. Erste Episode (1. Interview)

#

Verwendetes Material:

Abb. A

Abb. B

Abb. C

Abb. D

Abb. E

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Anhang D: Transkripte der analysierten Episoden und die Phaseneinteilung

Abkürzungen:

L: Lehrerin Len: Lennard

B: Ben S: Schüler

1. Erste Episode (1. Interview)

#

Verwendetes Material:

Abb. A

Abb. B

Abb. C

Abb. D

Abb. E

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#

Anhang D: Transkripte der analysierten Episoden und die Phaseneinteilung

Abkürzungen:

L: Lehrerin Len: Lennard

B: Ben S: Schüler

1. Erste Episode (1. Interview)

#

Verwendetes Material:

Abb. A

Abb. B

Abb. C

Abb. D

Abb. E

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Abb. F

Abb. G

Abb. H

Phaseneinteilung: Phase 1: Zeile 1 - 9: Einführung der neuen Fragestellung.

Phase 1.1: Z. 1 - 8: Wiederholung der Erkenntnisse der Schüler durch die Lehrerin. Phase 1.2: Z. 9: Fragestellung.

Phase 2: Zeile 10 - 17: Mündliche Erklärung der gleichen Ergebnisse durch Ben. Phase 3: Zeile 18 - 25: Hinlenkung zu einer schriftlichen Erklärung. Phase 4: Zeile 26 - 61: Prozess der Verschriftlichung.

Phase 4.1: Z. 26 - 33: Beginn der Verschriftlichung durch Ben. Phase 4.2: Z. 34 - 44 Phase 4.3: Z. 45 - 56: Fortsetzung der Verschriftlichung. Phase 4.4: Z. 57 - 61:Verstehensnachfrage der Lehrerin.

Phase 5: Zeile 61 - 81: Erläuterung der gleichen Ergebnisse anhand der Verschriftlichung.

Phase 5.1: Z. 61 - 67: Einigung darauf wer erklären darf. Phase 5.2: Z. 68 - 75: Lennards Erklärung.

Phase 5.3: Z. 75 - 81: Bens Erklärung.

#

1 L: ich hab jetzt aber noch , ne ganz schwere frage an euch. 2 B: ja´ welche´ 3 und zwar. ihr habt ja jetzt hier schon super sachen festgestellt. das hier in der

mitte immer die acht (zeigt von unten nach oben auf die Pluspfeile), setzt dich noch mal hin ben. hast es ja gleich geschafft. in der mitte steht immer die acht

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Abb. F

Abb. G

Abb. H

Phaseneinteilung: Phase 1: Zeile 1 - 9: Einführung der neuen Fragestellung.

Phase 1.1: Z. 1 - 8: Wiederholung der Erkenntnisse der Schüler durch die Lehrerin. Phase 1.2: Z. 9: Fragestellung.

Phase 2: Zeile 10 - 17: Mündliche Erklärung der gleichen Ergebnisse durch Ben. Phase 3: Zeile 18 - 25: Hinlenkung zu einer schriftlichen Erklärung. Phase 4: Zeile 26 - 61: Prozess der Verschriftlichung.

Phase 4.1: Z. 26 - 33: Beginn der Verschriftlichung durch Ben. Phase 4.2: Z. 34 - 44 Phase 4.3: Z. 45 - 56: Fortsetzung der Verschriftlichung. Phase 4.4: Z. 57 - 61:Verstehensnachfrage der Lehrerin.

Phase 5: Zeile 61 - 81: Erläuterung der gleichen Ergebnisse anhand der Verschriftlichung.

Phase 5.1: Z. 61 - 67: Einigung darauf wer erklären darf. Phase 5.2: Z. 68 - 75: Lennards Erklärung.

Phase 5.3: Z. 75 - 81: Bens Erklärung.

#

1 L: ich hab jetzt aber noch , ne ganz schwere frage an euch. 2 B: ja´ welche´ 3 und zwar. ihr habt ja jetzt hier schon super sachen festgestellt. das hier in der

mitte immer die acht (zeigt von unten nach oben auf die Pluspfeile), setzt dich noch mal hin ben. hast es ja gleich geschafft. in der mitte steht immer die acht

Ben und Lennart entdecken und erläutern Hintergründe für dasselbe Resultat bei verschiedenen Rechnungen

dasselbedas gleiche

Gleiches in Verschiedenem sehen

Irritation: Warum kommt immer dasselbe heraus?

4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Verschiedene Rechnungen liefern dasselbe Resultat

1+15 = 1 + 1 + 14 = 2+14

Ein Zahlenmuster. Hier wurde immer minus 1. Hier wurde immer plus 1. Und die 8, die war immer da geblieben. Sie hat sich verglichen, (.) vergleicht, (.) verglichen äh, sie bleibt immer, wo sie war. ... Und danach plus 1 minus 1 wird gleich 0.

Maja:

Lehrerin: Was meinst du damit?

Zum Beispiel 8 plus 16 gleich 24.Nun wir teilen die 16 in zwei Teile, also zwei Zahlen

Maja:

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26. I Pl (legt ein Blatt Papier auf den Tisch) Was meinst du denn genau damit

27. M Damit meine ich (..) (nimmt den Bleistift in die Hand) 28. I Kannst du das vielleicht mal aufschreiben

29. M Zum Beispiel acht plus16 gleich 24 (schreibt die Aufgabe: 8 + 16 = 24) Nur wir teilen die 16 (zeigt auf die 16) in zwei Teile,(..) also zwei Teile, also zwei Zahlen.

30. I Achso. Ihr teilt # 31. M # die16 ergibt 32. K 16 bleibt immer gleich. Nur wir rechnen 16 immer nur mit anderen Zahlen.

Die Interviewerin wiederholt die Aufgabe d , was er konkret damit meint (Z.26). (Z.28). Der Aufforderung folgend schreibt auf 16 in zwei Zahlen geteilt wird (Z.29 u. Z.39). Er scheint die Konstanz der Summe 16 in allen Pluspfeilen erkannt zu haben. So beschreibt er im Sinne des

, dass dieselbe Zahl (16) auf verschiedene Weisen in den Pluspfeilen dargestellt wird. Da Mert im vorhergehenden Verlauf die konstante Mittelzahl acht bereits herausgearbeitet hat (Z.20), eine Bezeichnung verzichtet. Bemerkenswert istals Beispiel bezeichnet (Z.29). Dies Mert die Aufgabe +1 - 1 =

als verallgemeinernde Begr 16 formuliert hat. Auch bei Kerem ist die gleiche Erkenntnis zu sehen, da er seine Aussage (Z.32) durch die wiederholte Verwendung des Wortes Er bringt die Numerische Gleichheit explizit zum Ausdruck: 16 bleibt immer gleich. Nur wir rechnen 16 immer nur mit anderen Zahlen (Z.33).

33. I Aha. Wo steht sie in der Aufgabe

34. M Zum Beispiel bei dieser Aufgabe (zeigt auf die systematisch angeordneten Pluspfeile und schreibt die Aufgabe: 7 + 9 = 16) sieben plus neun gleich 16.

35. K und sechs plus zehn # 36. M # und danach 16 plus acht wird 24. 37. K (spricht gleichzeitig mit Mert) sechs plus zehn gleich 16.

In Zeile 33 will die Interviewerin wissen, woher die konstante Zahl 16 stammt und wo sie in den Pluspfeilen steht. Zur Beantwortung dieser Frage setzt sich Mert mit dem ersten Pluspfeil auseinander. Er addiert die Startzahl (7) zu der Endzahl (9) und zeigt somit die additive Zerlegung der Zahl 16 auf (Z.34)Aussage erneut bei allen Pluspfeilen rliche Konstante ansieht. auf den zweiten Pluspfeil (Z.35) die Summe der um eins verringerten Startzahl (6) (10) die konstante Zahl 16 ergibt. Aus diese einer mathematisch-strukturellen Rahmung das Gleichheitszeichen als Relationszeichen deuten.

#

#

#

Beispiel Pluspfeile: Teil 1: ausrechnen und erkunden

Maja und Karl entdecken und erläutern Hintergründe für dasselbe Resultat bei verschiedenen Rechnungen

= 4 + 8 + 12 +1-1

allg. Erkenntnisse zur Konstanz der Summe

5 + 8 + 11 = 4+1 + 8 + 12-1= 4 + 8 + 12

16 bleibt immer gleich. Nur wir rechnen 16 immer mit anderen Zahlen. Mit 7 plus 9 oder mit 6 plus 10 und danach immer plus 8.

Karl: Umdeutung des „Zwischenresultats“ 16

Gleiches in Verschiedenem sehen

Irritation: Warum kommt immer dasselbe heraus?

4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Finde verschiedene Pluspfeile mit der Zielzahl 24.Ausrechnen

Umrechnen Sortiere die verschiedenen Pluspfeile: Was fällt auf? Warum sind sie alle gleich?

Verschiedene Rechnungen liefern dasselbe Resultat

Da haben wir aber einen vergessen (zeigt auf die Streifen). Die Null haben wir vergessen. Hier geht auch das Gleiche. 8 plus 8 gleich 16, 16 plus 8 gleich 24 und hier wird 1 mehr und hier wird 1 weniger, das bleibt immer gleich.

Karl:

Lehrerin: Wie würdet ihr das denn aufschreiben, wenn ihr ne Rechnung dazu aufschreiben müsstet

8 plus 8 plus 8 gleich 24Maja:

Karl: 8 plus 8 plus 8 gleich 3 mal 8.

Weil 8, das sind ja 3 mal 8, deswegen kann man die 3 mal 8 dahin schreiben.

Beispiel Pluspfeile: Teil 1: ausrechnen und erkunden Verschiedene Rechnungen liefern dasselbe Resultat

Maja und Karl nutzen die strukturellen Zusammenhänge zur Umdeutung der Addition durch Multiplikation

Neue Irritationsmöglichkeit?

= 8 + 8 + 8 5 + 8 + 11 = 3 mal 8

Gleiches in Verschiedenem sehen

Irritation: Warum kommt immer dasselbe heraus?

4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Finde verschiedene Pluspfeile mit der Zielzahl 24.Ausrechnen

Umrechnen Sortiere die verschiedenen Pluspfeile: Was fällt auf? Warum sind sie alle gleich?

Beispiel Pluspfeile: Teil 2a: vergleichenEs gibt verschiedene Rechenwege mit derselben Wirkung

Gleiches in Verschiedenem sehen

4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Ausrechnen

Umrechnen

Wir verändern die Pluspfeile: 3

5 7 9Immer 2 mehr

5Immer 3 mehr

5Immer 4 mehr

5Immer 5 mehr

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären: Die Zielzahlen werden immer um __ größer, weil

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären:

weil Die Zielzahlen werden immer um __ größer,

4

7 9Immer 2 mehr 5

6Immer 2 mehr

7Immer 2 mehr

8Immer 2 mehr

Wir verändern die Pluspfeile:

Kind A

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären:

weil Die Zielzahlen werden immer um __ größer,

4

7 9Immer 2 mehr 5

6Immer 2 mehr

7Immer 2 mehr

8Immer 2 mehr

Wir verändern die Pluspfeile:

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären:

weil Die Zielzahlen werden immer um __ größer,

4

7 9Immer 2 mehr 5

6Immer 2 mehr

7Immer 2 mehr

8Immer 2 mehr

Wir verändern die Pluspfeile:

Kind B

Beispiel Pluspfeile: Teil 2a: vergleichen und gezielt verändernEs gibt verschiedene Rechenwege mit derselben Wirkung

Gleiches in Verschiedenem sehen

4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Ausrechnen

Umrechnen

Namen: Immer3 mehr

Immer4 mehr

trtrtrtrtrtr

Portnerpfeile treffendie gteiche Zielzohl:

Wir erkunden Partn erpfeile:

Immer3 mehr

Immer4 mehr

AWtrE@W

'ff; trtr@.iffi trtrw

tr@wImmer1 mehr

Immer5 mehr aww

Wir finden

Immer3 mehr

Partnerpfeile:

trtrtril;:,.EEW

trtrtrtr]WE

ImmerI mehr

Immerlmehr

Wir erklären:Einen Partnerpfeil findet man, indem

nily djn/ P,0,t^ 7.W l-- ,r"lrr,- ,_t".lan*{hf,rrt 4, "j,e/ ddr*,ruu4- ,,tA*fu"s

Allgemeinheit wird durch das Erkennen von mathematischen Zusammenhängen in den Beispielen erzielt

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Welches Feld passt in die Lücke?

Lehrerin: Okay und was ist mit dieser Möglichkeit (zeigt auf die „12+4“)? 12 plus 4, würde die denn da rein passen?

Karl: Nein, wenn das da rein passt, dann würde die Reihe zerstört. Weil die Startzahl mit 4 anfängt und nicht mit 12.

Beispiel Pluspfeile: Teil 2b: Rechen-Pfeile erkundenEine Zahl hat verschiedene Darstellungen

Weil ähm die Startzahl bleibt immer gleich (.) 4,4,4 (zeigt auf die drei Felder des Pluspfeils) Hier nimmt man das hier (zeigt auf das 3. Feld) hierhin mit, danach nimmt man noch die Pluszahl dazu und die Pluszahl ist 12

Maja:

Maja und Karl erkennen strukturell „regelmäßige“ Veränderungen

(Beide Kinder ziehen sofort die Karte „4+12“)

Verschiedenes gleich machen

Irritation: Welche Zahldarstellung passt?

4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Ausrechnen

Umrechnen

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4 16 28Immer __ mehr

Rechnung

Lehrerin: Warum ist die Zielzahl auch 48?

Beispiel Pluspfeile: Teil 2b: Rechen-Pfeile erkunden und vergleichen

4 + 4+12 + 4+12+12 = 48mit 12 + 12+4 + 12+4+4 = 48

Maja: Weil das 3 mal die 12 ist und 3 mal 4

= 3•4 + 3•12

Und hier wird es immer minus 8 und hier wird es plus 8.

Also plus 8 minus 8 gleich 0.Karl:Die anderen Zahlen sind gleich, die sind nur anders aufgestellt.

Die Kinder notieren einen neuen Pluspfeil zur Mittelzahl „12+4“

Maja und Karl nutzen die strukturellen Zusammenhänge zur Konstruktion neuer Pluspfeile

Ausrechnen

Umrechnen Warum kommt bei beiden Pluspfeilen die gleiche Zielzahl raus?

Verschiedene Rechnungen liefern dasselbe Resultat

Gleiches in Verschiedenem sehen

Irritation: Warum sind die Pfeile doch gleich?

12 + 12+4 + 12+4+4 = 4+8 +12+4 + 4+12-8+12 = 4 + 4+12 + 4+12+12

Zusammenfassung:

Allgemeinheit wird durch Umrechnen in den Beispielen erzielt

produktiv für Argumentationen sind mathematisch authentische Anlässe zum Umrechnen

Es gibt verschiedene Rechenwege mit derselben Wirkung

Eine Zahl hat verschiedene Darstellungen

Verschiedene Rechnungen liefern dasselbe Resultat

Heinrich Winter (1982)

Authentisch sind Phänomene die Gleichheit in Verschiedenheit sichtbar machen:

Das Gleichheitszeichen ist das mathematische Zeichen, man kann nicht beliebig mit ihm umspringen.

Wer ein begründetes und kreatives Rechnen in der Grundschule will, muss sich darüber im Klaren sein, dass dies auch die Weiterentwicklung eines allzu alltäglichen Gebrauchs des Gleichheitszeichens erforderlich macht.

M. Nührenbörger & R. Schwarzkopf

»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Entdecken und Argumentieren zwischen

Ausrechnen und Umrechnen

1. Argumentieren: Wann und wie?

2. Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

3. Ein Beispiel für die Praxis: Pluspfeile

Programmablauf

22. September 2012

22. Symposium

25 Jahre

eine Fortbildungsveranstaltung des Zentrum für HochschulBildung – Bereich Weiterbildung der Technischen Universität Dortmund, in Zusammenarbeit mit dem Institut

für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts der Fakultät für Mathematik

25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

16.45 Uhr Ende der Veranstaltung

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25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

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13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

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»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Entdecken und Argumentieren zwischen

Ausrechnen und Umrechnen

1. Argumentieren: Wann und wie?

2. Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

3. Ein Beispiel für die Praxis: Pluspfeile

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10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

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25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

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»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Forscherfrage: (Wie) kannst du aus dem Ausgangsdreieck die anderen Dreiecke herstellen?

4

9 11

15

20

13

Ausgangsdreieck

16

20

14 15

21

14 15

20

14 15

20

15

a) b) c) d)

Forscherfrage: Addiere immer die eingekreisten Zahlen - was stellst du fest?

4

9 11

15

20

13 4

9 11

15

20

13 4

9 11

15

20

13

Forscherfrage: Kannst du innen auch andere Zahlen finden, die zu den äußeren Zahlen passen?

15

20

13

Forscherfrage: Funktioniert das folgende Verfahren bei alle Rechendreiecken?

15

20

13 Berechne die Hälfte der Außensumme1.

Subtrahiere davon die 152.

Schreibe das Ergebnis unten links rein3.

Die anderen Zahlen ergeben sich durch Ergänzen zur Außenzahl

4.

M. Nührenbörger & R. Schwarzkopf

»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Entdecken und Argumentieren zwischen

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3. Ein Beispiel für die Praxis: Pluspfeile

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10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

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10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

16.45 Uhr Ende der Veranstaltung

M. NührenbörgerR. Schwarzkopf

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»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Entdecken und Argumentieren zwischen

Ausrechnen und Umrechnen

1. Argumentieren: Wann und wie?

2. Produktive Irritation und strukturelles Umrechnen

3. Ein Beispiel für die Praxis: Pluspfeile

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25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

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13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

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25 Jahre "mathe 2000": Rückblick und Ausblick Das Projekt "mathe 2000" hat in den vergangenen Jahrzehnten die Entwick-lung des Mathematikunterrichts geprägt wie kaum ein anderes Projekt. Das 25-jährige Jubiläum ist daher ein guter Anlass, mit der Praxis auf das bisher Erreichte zurückzublicken und die Weichen für die weitere Arbeit zu stellen. Die beiden Hauptvorträge werden gehalten von Herrn Dr. Michael Gaido-schik (Wien) über Rechenschwäche und Frau Dr. Theresa Deutscher, Pro-jektgruppe "mathe 2000", über die arithmetischen und geometrischen Vor-kenntnisse von Schulanfängern. In 17 Workshops wird die gesamte Band-breite von Themen für die Grundschule und den Kindergarten abgedeckt. In einer begleitenden Ausstellung präsentiert sich das runderneuerte Pro-gramm "mathe 2000", und auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer wartet eine Jubiläumsüberraschung. Da der Übergang Kindergarten/Grundschule Schwerpunkt der kommenden Jahre sein wird, wäre es zu begrüßen, wenn Leitungspersonen im Kindergar-tenbereich und interessierte Erzieherinnen und Erzieher auf das Symposium angesprochen würden. In einigen Bundesländern und im Ausland gibt es bereits solche Kooperationen. Hinweis: Wegen des 25-jährigen Jubiläums wird das üblich Programmsche-ma etwas modifiziert. Die Hauptvorträge dauern 45 Minuten, die Workshops 60 Minuten.

10.00 Uhr Begrüßung und Kurzvorträge Audimax Prof. em. Dr. Dr. h. c. Erich Ch. Wittmann (Dortmund) Prof. Dr. Lieven Verschaffel (Universität Leuven/Belgien, Member of the Royal Academia for Sciences and Arts) Tilo Knoche (Sprecher der Geschäftsführung des Ernst Klett Verlages)

10.55 Uhr Eröffnungsvortrag Audimax Dr. Michael Gaidoschik (Wien)

11.45 Uhr Kaffeepause Audimax-Foyer

12.15 Uhr Workshops Mathematik- und Physikgebäude

13.15 Uhr Mittagspause ggf. Imbiss im Mensa-Gebäude

14.30 Uhr Workshops (bis 15.30 Uhr, Wiederholung vom Vormittag)

15.45 Uhr Abschlussvortrag Audimax Dr. Theresa Deutscher (TU Dortmund)

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M. NührenbörgerR. Schwarzkopf

»Das ist die gleiche Aufgabe, nur sieht die nicht gleich aus.«

Forscherfragen: Finde verschiedene Pluspfeile - was fällt auf - warum sind sie alle gleich?Ausgangspluspfeil

5 8 1124

Immer 3 mehr

Rechnung 24

Immer mehr

Rechnung 24

Immer mehr

Rechnung

Forscherfragen: Welches Feld passt in die Lücke

4 4+12+1248

Immer 12 mehr

Rechnung

4+12 6+1012+4

16

Immer mehr

Rechnung

Welche Pluspfeile passen zu den anderen Karten - warum kommt stets die gleiche Zielzahl heraus? Forscherfrage: Wie kann ohne Mittelzahl

die Zielzahl schnell bestimmt werden?

24 30 36__

Immer 6 mehr

Rechnung

42

Wir verändern die Pluspfeile: 3

5 7 9Immer 2 mehr

5Immer 3 mehr

5Immer 4 mehr

5Immer 5 mehr

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären: Die Zielzahlen werden immer um __ größer, weil

Wir verändern die Pluspfeile: 3

5 7 9Immer 2 mehr

5Immer 3 mehr

5Immer 4 mehr

5Immer 5 mehr

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären: Die Zielzahlen werden immer um __ größer, weil

Wir verändern die Pluspfeile: 3

5 7 9Immer 2 mehr

5Immer 3 mehr

5Immer 4 mehr

5Immer 5 mehr

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären: Die Zielzahlen werden immer um __ größer, weil

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären:

weil Die Zielzahlen werden immer um __ größer,

4

7 9Immer 2 mehr 5

6Immer 2 mehr

7Immer 2 mehr

8Immer 2 mehr

Wir verändern die Pluspfeile:

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären:

weil Die Zielzahlen werden immer um __ größer,

4

7 9Immer 2 mehr 5

6Immer 2 mehr

7Immer 2 mehr

8Immer 2 mehr

Wir verändern die Pluspfeile:

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären:

weil Die Zielzahlen werden immer um __ größer,

4

7 9Immer 2 mehr 5

6Immer 2 mehr

7Immer 2 mehr

8Immer 2 mehr

Wir verändern die Pluspfeile:

Forscherfrage: Vergleiche - Warum kommt immer die gleiche Zielzahl heraus? Wie kannst du Partnerpfeile konstruieren?

Wir verändern die Pluspfeile: 3

5 7 9Immer 2 mehr

5Immer 3 mehr

5Immer 4 mehr

5Immer 5 mehr

Wir beobachten:

Die Zielzahlen werden immerum __ größer

Wir erklären: Die Zielzahlen werden immer um __ größer, weil

Ausgangspluspfeil